Vežba #5: Teorijske osnove

Primena metode karakteristika za rešavanje jednačina matematičkog modela elastičnog (hidrauličkog)

udara.

Napomena: Ovaj tekst predstavlja sažetak dela teorije opisane u knjizi „Računska hidraulika“ (M.

Ivetić) - Poglavlje 7, neophodan za razumevanje i rešavanje zadatka. Kroz tekst, navode se

poglavlja knjige koja se preoporučuju studentima da pročitaju pre izrade zadatka.

Svaka promena brzine/protoka ili pritiska u cevima pod pritiskom se propagira duž cevi konačnom

brzinom. Kod sporih promena, to obično ne predstavlja poseban problem, odnosno ne dovodi do kritičnih

promena pritisaka. Međutim, kod brzih promena (hidrauličkog udara), pritisci koji potencijalno mogu da

se pojave na pojedinim lokacijama duž cevovoda mogu da premaše projektovane (radne) vrednosti na

koje je projektovan distributivni sistem i da dovedu do havarije. Analiza sistema u ovim situacijama

predstavlja osnovu za projektovanje zaštite od hidrauličkog udara. Na primer, tipične cevi (npr. od

polietilena) koje se ugrađuju u vodovodnim sistemima se projektuju na radne pritiske između 6 i 20 bara,

što je znatno manje od pritisaka koji se mogu javiti kod hidrauličkog udara (Pogledati izraz Žukovskog).

Jednačine koje opisuju promene brzine i pritiska duž cevi čine matematički model elastičnog udara koji se

sastoji od dve jednačine sa dve nepoznate (v i ):

Dinamička jednačina: 𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑔

𝜕Π

𝜕𝑥+

𝜆

2𝐷𝑣|𝑣| = 0 (1)

Jedn. kontinuiteta: 𝜕Π

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕Π

𝜕𝑥+

𝑎2

𝑔

𝜕v

𝜕𝑥− 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 (2)

gde su: v – brzina vode, - pijezometarska kota, t – vreme, x – prostorna koordinata duž cevi, a – brzina

propagacije poremećaja duž cevi i - ugao položaja cevi u odnosu na horizontalnu ravan.

Rešavanjem ovih jednačina, za date početne i granične uslove, dolazi se do nepoznatih veličina v(x,t) i

(x,t), odnosno do promena brzine i pijezometarske kote (pritiska) duž cevi (x) i u toku vremena (t).

Matematički model elastičnog udara spada u grupu „hiperboličkih“ problema, odnosno, problema kod

kojih se poremećaj kroz računski domen (u ovom slučaju cev), prostiru konačnom brzinom. Takvi problemi

se mogu rešavati metodom karakteristika. Suština metode karakteristika jeste mogućnost da se parcijalne

difierencijalne jednačine svedu na sistem običnih diferencijalnih jednačina, a koje su time i jednostavnije

za rešavanje.

Linearnom kombinacijom jednačina (1) i (2), uz „pametan“ izbor koeficijenata kojim se množe jedna ili

druga jednačina (videti Poglavlje 7 knjige), relativno lako se dolazi do sledećeg sistema običnih

diferencijalnih jednačina:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 + 𝑎 ≈ 𝑎 (3)

𝑑

𝑑𝑡(Π +

𝑎

𝑔𝑣) = −

𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 (4)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 − 𝑎 ≈ −𝑎 (5)

𝑑

𝑑𝑡(Π −

𝑎

𝑔𝑣) =

𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 (6)

Pri tome, navedene jednačine nisu međusobno nezavisne. Jednačina (4) važi samo za uslov opisan

jednačinom (3), dok jednačina (6) važi samo uz uslov opisan jednačinom (5).

Jednačina (3) generalno predstavlja krivu u koordinatnom sistemu prostor-vreme, što znači da jednačina

(4) važi samo duž te krive. Isto važi i za jednačine (5) i (6). S obzirom da je brzina propagacije (a) za najmanje

dva reda veličine veća od brzine vode (v), kao i da je konstantna duž jedne cevi, jednačine (3) i (4) zapravo

predstavljaju prave linije u koordinatnom sistemu prostor-vreme. Ove linije zovemo karakteristikama.

Ako posmatramo par jednačina (3) i (4) koje važe duž tzv. pozitivne karakteristike (Slika 1), vidimo da

jednačina (4) zapravo opisuje promenu veličine (Π +𝑎

𝑔𝑣) duž pozitivne karakteristike. Ako bi zanemarili

trenje i posmatrali horizontalnu cev (sin α = 0), vidimo da ta veličina duž pozitivne karakteristike se ne

menja:

𝑑

𝑑𝑡(Π +

𝑎

𝑔𝑣) = 0 (7)

Drugim rečima, koliko je (Π +𝑎

𝑔𝑣) bilo u tački A (xA,tA) – u tački u kojoj znamo brzinu i pijezometarsku

kotu, toliko će iznositi i u tački P (xP,tP) – u tački u kojoj tražimo veličine v i .

U slučaju da se trenje ne može zanemariti, potrebno je numerički integraliti običnu diferencijalnu

jednačinu od tačke A do tačke P, što nije previše težak zadatak. Najjednostavnija je Ojlerova metoda

numeričke integracije, prema kojoj će vrednost u tački P biti:

(Π +𝑎

𝑔𝑣)

𝑃

= (Π +𝑎

𝑔𝑣)

𝐴

+ ∫ (−𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑑𝑡

𝑃

𝐴

gde se drugi član na desnoj strani jednačine aproksimira sa:

∫ (−𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑑𝑡

𝑃

𝐴

≈ (−𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣𝐴|𝑣𝐴| + 𝑣𝐴 𝑠𝑖𝑛𝛼) Δ𝑡

i gde je Δ𝑡 = 𝑡𝑃 − 𝑡𝐴, odnosno, „vremensko“ rastojanje tačaka A i P.

Slika 1. Pozitivna (levo) i negativna (desno) karakteristika

Može se videti da se problem sveo na algebarsku jednačinu u kojoj figurišu dve nepoznate veličine (v i

) u tački P. Drugu algebarsku jednačinu dobijamo iz drugog para jednačina (jednačine (5) i (6)) na

analogan način:

(Π −𝑎

𝑔𝑣)

𝑃

= (Π −𝑎

𝑔𝑣)

𝐵

+ ∫ (+𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑑𝑡

𝑃

𝐵

gde se drugi član na desnoj strani jednačine aproksimira sa:

∫ (𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣|𝑣| + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑑𝑡

𝑃

𝐵

≈ (−𝜆 𝑎

2𝑔𝐷𝑣𝐵|𝑣𝐵| + 𝑣𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼) Δ𝑡

Tačka B (xB,tB) je tačka u koordinatnom sistemu prostor-vreme, u kojoj su poznate brzina i pijezometarska

kota, a kroz koju prolazi linija negativne karakteristike (jednačina (5)) na kojoj leži i tačka P (Slika 1 – desno).

U praksi, umesto brzine se obično koristi protok. Takođe, grupisanjem poznatih veličina u jednačinama (4)

i (6) (videti Poglavlje 7.2 knjige), dolazi se do poznatog oblika jednačina za prostorni i vremenski presek u

kome se računaju nepoznate veličine:

Π𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑃 − 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1

Π𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑀 + 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1

gde je i – „prostorni“ presek, a n+1 - „vremenski“ presek u kome se računaju nepozate veličine Q i (u

prethodnom objašnjenju to odgovara tački P)

Početni uslov

Proračun propagacije poremećaja počinje od vremenskog nivoa na kome su poznate sve veličine duž

cevovoda, što obično prestavlja stanje u trenutku nastanka poremećaja (npr. zaustavljanja pumpe,

manevra zatvarača, itd.). Dakle, u tom trenutku se može pisati:

Π(𝑥, 𝑡𝑜) = Π𝑜(𝑥, 𝑡)

Q(𝑥, 𝑡𝑜) = Q𝑜(𝑥, 𝑡)

Granični uslovi

Vidimo da na granice domena (u ovom slučaju krajeve cevi) dolazi samo po jedna karakteristika. Pri čemu

je potrebno sračunati dve nepoznate veličine. Drugim rečima, na granicama je potreban granični uslov koji

može da bude zadat na jedan od tri moguća načina:

• Poznata pijezometarska kota (npr. rezervoar na kraju cevi),

• Poznata brzina/protok (npr. zatvoren zatvarač na kraju cevi), i

• Funkcionalna veza između protoka i pijezometarske kote (npr. delimično zatvoren zatvarač na

kraju cevi).

Veza između protoka i pijezometarske kote može da bude složena, kao što je to slučaj u zadatku koja je

predmet ove vežbe, a radi se o vazdušnom kazanu na kraju cevi (Poglavlje 9.8 knjige).

HIDRAULIKA 2 ve�be

6. zadatak Hidrauliqki udar

D = 200 mm

λ = 0.03Q

5.0

L = 2000 m

1.0

A

B

V02.0

0.0

20 m

Iz rezervoara ”A” u rezervoar ”B” potiskuje se u ustaljenom re�imu Q0 = 5β l/s.Poqetna zapremina vazduha u kazanu je V0 = 0.2 m3. Za ove uslove odrediti visinudizanja pumpe i pritisak vazduha u kazanu.

Sraqunati promenu proticaja i pijezometarskih kota u presecima na poqetku, sre-dini i kraju potisne cevi, kao i promenu zapremine vazduha u vazduxnom kazanuprouzrokovanu trenutnim prestankom rada pumpe. (Vrednost brzine propacagijetalasa iznosi a = 1000 m/s.)

Preqnik vazduxnog kazana je 1 m, a priguxivaqa 50 mm. Koeficijent lokalnoggubitka za priguxivaq je 1.5, raqunato sa brzinskom visinom u priguxivaqu.