78
C OMPOSITIO M ATHEMATICA MICHELE AUDIN ROBERT S ILHOL Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevski Compositio Mathematica, tome 87, n o 2 (1993), p. 153-229. <http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__87_2_153_0> © Foundation Compositio Mathematica, 1993, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Compositio Mathematica » (http: //http://www.compositio.nl/) implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in- fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

COMPOSITIO MATHEMATICA

MICHELE AUDIN

ROBERT SILHOLVariétés abéliennes réelles et toupie de KowalevskiCompositio Mathematica, tome 87, no 2 (1993), p. 153-229.<http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__87_2_153_0>

© Foundation Compositio Mathematica, 1993, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Compositio Mathematica » (http://http://www.compositio.nl/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

Page 2: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

153

Variétes abéliennes réelles et toupie de Kowalevski

MICHELE AUDIN1 et ROBERT SILHOL21 Institut De Rech. Math. Avancée, 7 Rue René Descartes, F-67084 Strasbourg Cedex, France;2Université de Montpellier II, F-34095 Montpellier Cedex 5, France

Received 5 February 1992; accepted 30 June 1992

Compositio Mathematica 87: 153-229, 1993.e 1993 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

Nous allons expliquer dans ces notes comment sont faits les niveaux communsdes intégrales premières dans l’exemple de la toupie de Kowalevski et, à titred’introduction, dans les exemples plus simples de la toupie de Lagrange et dusolide de dimension 3. Pour ce faire, nous montrerons que les aspects réels de laméthode de la courbe spectrale permettent d’étudier les "tores de Liouville". Cesrésultats sont assez classiques dans les cas du solide libre et de la toupiesymétrique (cas dit de Lagrange), en particulier, l’exposé de Verdier [28] utiliseprécisément l’exemple de Lagrange pour introduire et illustrer la méthode.

Le calcul des tores de Liouville de Kowalevski a déjà été fait dans [19], mais,d’une part les calculs sont assez pénibles et certains arguments ne sont pas trèsdétaillés dans cet article, d’autre part, ces mêmes arguments reposent sur l’étude

[4] qu’il n’est pas très facile de se procurer.L’exemple de Kowalevski est à la fois un exemple très simple de système

complètement intégrable: deux fonctions en involution sur une variété sym-plectique de dimension 4, et à la fois un exemple très difficile: une interprétationphysique* raisonnable en est très récente [7], tous les calculs reposent sur deschangements de variables très astucieux et réputés mystérieux (dûs à

Kowalevski elle-même). En fin de compte, les solutions s’expriment à l’aide defonctions thêta associées à une courbe algébrique X de genre 2. Tout sembledonc en place pour que la méthode "équation de Lax-courbe spectrale" sedéroule pour donner une étude simple du problème en fournissant une belleapplication algébrique de la surface de niveau considérée dans la jacobienne dela courbe X correspondante, dont on peut rêver, les dimensions coïncidant,qu’elle soit un isomorphisme, réel qui plus est. Comme il est très facile de

comprendre la partie réelle de la jacobienne de X, il n’y aurait plus rien à faire(voir [13]).La réalité est à la fois plus compliquée et plus mystérieuse. D’abord, c’est un

exemple qui a résisté très longtemps à la mise sous forme de Lax, ensuite la

*Il y a bien sûr des bonnes raisons mathématiques de s’intéresser à ce cas: à part les cas d’Euler-Poinsot et de Lagrange, c’est le seul cas de "toupie" dont les solutions sont des fonctions

méromorphes du temps, c’est d’ailleurs ainsi que Kowalevski l’a trouvé.

Page 3: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

154

topologie des niveaux est définitivement différente de celle de la jacobienne de X !On verra donc qu’il y a une certaine différence entre résoudre un système par desfonctions ~ sur une courbe X et linéariser le système sur la jacobienne d’unecourbe spectrale.

Voici maintenant un résumé et un plan du présent article:Nous allons commencer par rappeler la méthode générale et les équations

différentielles du mouvement du solide avec un point fixe (que nous appellerons,comme tout le monde, une toupie) et les intégrales premières dans les cas ditsd’Euler-Poinsot, de Lagrange et de Kowalevski (section 1.3).Nous expliciterons complètement la méthode dans les cas d’Euler-Poinsot (et

du solide libre) dans la Section 2 et de Lagrange dans la Section 3. Dans chacunde ces cas nous montrerons l’image de l’application moment, l’équivalence entrela lissité de la courbe spectrale et la régularité du niveau correspondant, et, enplus, comment la géométrie réelle de la jacobienne informe sur la topologie desniveaux (tores de Liouville et leurs bifurcations).Toute la suite sera consacrée au cas de Kowalevski. Nous rappellerons tout

d’abord les changements de variables de Kowalevski, pour expliquer comments’introduit la courbe X et nous étudierons cette courbe en fonction des valeurs

prises par les intégrales premières (section 4).Nous rappellerons ensuite la forme de Lax de [7] dans la Section 5 où nous

étudierons les différents avatars de la courbe spectrale associée. Nous auronsainsi assez d’informations pour montrer dans la Section 6 que l’application devecteurs propres est un isomorphisme sur son image. En.particulier, les niveauxréguliers seront identifiés à des parties réelles de variétés de Prym réelles.

Ainsi dans la Section 7, nous pourrons identifier l’image de l’applicationmoment et les nombres de tores de Liouville, et même les bifurcations de ces

tores, en étudiant les variétés de Prym réelles concernées*.La littérature consacrée aux systèmes intégrables et en particulier aux toupies

est très vaste et nous ne pouvons prétendre tout citer. Nous avons surtout utiliséles articles d’Adler et van Moerbeke [1], de Bobenko, Reiman et Semenov-Tian-Shanski [7] qui contient l’outil essentiel de ce travail (la forme de Lax que nousutilisons pour Kowalevski), de Reiman [23] et de Griffiths [15] et nous avonsbeaucoup pillé celui de Verdier [28] qui a été notre introduction au sujet.A notre connaissance, il n’existe toutefois dans la littérature publiée aucun

exemple de système intégrable dont les bifurcations de tores de Liouville aientété traitées complètement (malgré de nombreuses annonces plus ou moinscrédibles). En plus de montrer l’utilisation de la méthode algébro-géométriquepour ce type de problèmes, le présent travail innovera en présentant desrésultats complets pour les trois cas traités.

*La méthode choisie ici repose sur l’utilisation de l’application de vecteurs propres. Un autre typed’approche algébro-géométrique est celle dite "de Painlevé" [2] et pourrait sans doute être utiliséeaussi à des fins topologiques.

Page 4: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

155

Nous avons bénéficié de discussions avec D. Bennequin, J.-Y. Mérindol et C.Sabbah. Enfin nous devons remercier A. Chenciner et N. Desolneux de nousavoir indiqué le très beau [7] sans quoi ce travail n’existerait pas.

0. Notations

Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une courbealgébrique sur C, ou plus généralement une variété projective complexe V, estréelle si elle admet une involution anti-holomorphe 6. Nous dirons que (V, 03C3), ouplus simplement 0", est une structure réelle. La partie réelle de (P;(7) est forméedes points fixes de 6 et sera notée V(R).Remarquons qu’une courbe ou plus généralement une variété réelle peut avoir

une partie réelle vide et que ceci n’enlève rien à son caractère réel. De la mêmemanière une singularité réelle peut avoir une partie réelle vide.

Les niveaux communs des intégrales premières considérés dans cet articlesont notés par un !T. Cette notation désigne bien le niveau réel. Les jacobienneset autres variétés abéliennes considérées sont complexes, et réelles au sens ci-dessus puisque définies par des courbes réelles.

PREMIERS EXEMPLES

1. Introduction: la méthode de la courbe spectrale, les toupies

l.l. La méthode de la courbe spectrale

On s’intéresse à des systèmes différentiels qu’on a été capable de mettre "sousforme de Lax", c’est à dire sous la forme

où A(03BB) et B(03BB) sont des polynômes de Laurent en une variable à coefficients dansune algèbre de Lie (de matrices) g, dépendant du temps, et où le point désigneprécisément la dérivation par rapport au temps*.

L’intérêt de cette forme est que, grâce aux propriétés de la trace et du crochet,les coefficients du polynôme caractéristique

*En général, B dépend de A: l’équation est non-linéaire.

Page 5: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

156

ne dépendent pas du temps: ce sont des intégrales premières.La courbe d’équation P(Â, p) = 0, ou plutôt la courbe complète lisse X ayant

cette équation pour 03BB ~ 0, oo est dite courbe spectrale. Un point (Â, Jl) de lacourbe spectrale décrit une valeur propre (p) de la matrice A(03BB). Sous deshypothèses convenables, y est une valeur propre simple et l’on peut parler de ladroite propre associée. On définit ainsi un fibré en droites complexes sur lacourbe. Plus précisément: à chaque valeur spécifique des matrices constituant lepolynôme A(03BB), on associe un fibré sur la courbe. Appelons 9-x l’ensemble desmatrices donnant la même courbe X (c’est un niveau commun des intégralespremières que sont les coefficients dans X). On a ainsi défini une application

pour un certain entier d (en fait, pour avoir d &#x3E; 0, on considère le fibré en droitesdual de celui des vecteurs propres)t.Une façon de dire que le système différentiel de départ se résoud à l’aide de

fonctions 9 ou d’intégrales hyperelliptiques peut être de dire qu’il lui correspondpar fX un flot linéaire sur la jacobienne de X (ou son avatar Picd(X)).

Les intégrales premières sont des polynômes en les coefficients de A(03BB) et

l’application fX est algébrique. Remarquons aussi que, dans le cas où le systèmeconsidéré est complètement intégrable (voir ci-dessous la Section 1.2), .rx est uneréunion de tores réels (tores de Liouville), et Pic(X) un tore complexe. On peutrêver que fX soit un isomorphisme de la complexifiée de JX dans un ouvert dePic(X), ou de JX dans la partie réelle de Pic(X). En fait, ce sera en général unrevêtement de son image, ou une fibration.Une méthode assez simple, dont une version est due à Reiman [23] et une

autre à Griffiths [15] (voir aussi [1]) permet à la fois de calculer la différentiellede fX et de dire si l’image du flot considéré est ou non linéaire.

1.1.1. Application tangente à f (à la Reiman)On considère donc l’algèbre de Lie g et des polynômes de Laurent en 2 àcoefficients dans g. On suppose que g est une fonction invariante sur g et onconsidère un hamiltonien de la forme

(c’est à dire le coefficient de Ân dans g(A)). Son flot est alors décrit par une

~Comme l’explique bien Griffiths dans [15], les deux faits que X soit une courbe, et qu’elle soit lisseimpliquent que ce fibré est bien défini dès lors qu’il l’est en un point général, c’est à dire dès lors qu’enun tel point, les sous-espaces propres de A(03BB) sont de dimension 1.

Page 6: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

157

équation de Lax

où B(03BB) est la partie polynôme (c’est à dire les puissances positives) de dh(A(03BB)).La courbe spectrale X associée est recouverte par deux ouverts (affines) U+ et

U- (correspondant à 03BB ~ ~ et 03BB ~ 0 respectivement). A chaque valeur par-ticulière de la matrice A(03BB) on associe un fibré de degré d sur Y, (le dual de) celuides vecteurs propres.Du fait que g est une fonction invariante sur g, A(03BB) commute avec dh(A(03BB)),

elles ont donc les mêmes vecteurs propres. Si v est un vecteur propre de A(03BB)pour la valeur propre p ((03BB, p) E Y), il est vecteur propre de dh(A(03BB)) pour unecertaine valeur propre 03C8(03BB, Jl) qui est clairement une fonction holomorphe surU+ ~ u-. Elle définit un cocycle et donc un élément de H1(1’: (Dy) = T2 Picd(Y)qui est précisément l’image du champ de vecteurs défini par l’équation de Laxconsidérée*.

De plus, dans le cas de ces formes de Lax particulières, l’image du flot estautomatiquement linéaire.

1.1.2. Application tangente à f (à la Griffiths)Appelons P - le diviseur L Pi des points où 03BB = ~ sur la courbe X et

considérons le faisceau (9x(P-) des fonctions méromorphes qui ont au plus despôles simples en les points de P - :

ainsi que la suite exacte

qui définit le faisceau "gratte-ciel" (9p - (P -) des parties "Laurent" en les points deP - des éléments de (9x(P-), et son pendant cohomologique

Avec la seule hypothèse que le flot concerné est écrit sous forme de Lax, Griffithsmontre que l’image du champ de vecteurs engendrant ledit flot dans H1(X, (9x)est l’image par ô d’une section de (9p-(P-) que nous décrivons maintenant:

Si A(03BB)03C5 = yv, alors, en dérivant par rapport au temps, on voit que B(03BB)03C5 + v

*Naturellement (99 désigne le faisceau des fonctions holomorphes sur?

Page 7: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

158

est un vecteur propre de A(03BB) pour y et, puisqu’on a supposé les sous-espacespropres de dimension 1,

et la section de OP-(P-) cherchée est celle induite par 9(î, y).Il est facile de vérifier, quand B(03BB) est de la forme considérée par Reiman, que

les deux constructions coïncident. Sous l’hypothèse plus faible considérée parGriffiths, la linéarisation n’est pas automatique, mais elle se produit effective-ment, par exemple quand la section obtenue ne dépend pas du temps.

1.2. Systèmes complètement intégrablesLes systèmes que nous allons étudier s’écrivent donc en termes de matrices.Nous aurons à considérer les orbites coadjointes de l’opération d’un groupe deLie G sur le dual de son algèbre de Lie g* : G sera ici SO(3) ou son fibré tangentSO(3) X so(3). Le dual g* sera muni de sa structure de Poisson naturelle (celle deKirillov) et les orbites coadjointes de la structure symplectique correspondante(voir [6] par exemple).

Les systèmes étudiés sont des systèmes hamiltoniens. Autrement dit, on

dispose, sur la variété symplectique (M, 03C9) - notre orbite coadjointe - d’unefonction H et le flot considéré est celui de son gradient symplectique.On dit qu’un tel système est complètement intégrable s’il existe n fonctions

H = Hi , H2, ... , Hn (2n = dim M) indépendantes sur un ouvert dense de M et eninvolution: {Hi, Hj} = 0. Les niveaux communs réguliers JH1,...,Hn sont dessous-variétés lagrangiennes de M et Arnold a montré dans [5] que les

composantes connexes compactes en sont des tores (les célèbres "tores deLiouville").

1.3. Les toupies

Les exemples que nous allons développer sont issus de la mécanique, aspect surlequel nous ne nous appesentirons pas: le lecteur peut se reporter aux livresd’Appell [3] et d’Arnold [5]. La présentation qui suit est inspirée de l’exposé deVerdier [28].Nous utiliserons systématiquement l’isomorphisme

Page 8: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

159

le produit scalaire usuel permettant d’identifier le tout à so(3)* où le groupeSO(3) opère par l’opération coadjointe... c’est à dire par rotations. Les orbitescoadjointes y sont donc les sphères centrées à l’origine.

Soit J la matrice d’inertie. C’est la matrice d’un opérateur symétrique définipositif (et constant), soient 03A9 le vecteur instantané de rotation et M le moment

cinétique - tous deux dans un repère lié au solide.La "toupie" est une solide de masse 1 avec un point fixe dans un champ de

pesanteur constant (d’intensité 1 dans les unités choisies). Si r désigne ce champde pesanteur exprimé dans un repère lié au solide, les équations d’Euler-Poissonsont

où L = OG (du point fixe au centre de gravité) est un vecteur constant qu’onpeut supposer de longueur 1.On se trouve maintenant dans R3 x R3 qu’il est naturel (vues les équations) de

munir de la structure d’algèbre de Lie produit semi-direct: g = so(3) x R3 avec lecrochet

ou encore, grâce à notre identification de R3 avec les matrices antisymétriques

(on prolonge le crochet par linéarité et on "fait" 03B52 = 0).Ainsi les deux premières équations du système (1) se résument en

(Il reste à caser la troisième!)On utilise aussi la forme bilinéaire symétrique non dégénérée invariante

définie grâce au produit scalaire usuel de R3, grâce à laquelle on identifie g* à g.Les orbites coadjointes concernées sont de dimension 4:

Page 9: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

160

(elles sont difféomorphes à 00 = TS’).L’énergie est maintenant

(somme de l’énergie cinétique, et de l’énergie potentielle).Le gradient de H pour la forme bilinéaire considérée est:

en effet, comme M · 03A9 = M. I(M) avec f symétrique

Les deux premières équations de (1) s’écrivent

et sont donc de la forme x = [x, V,,H]. Le produit scalaire utilisé pour calculer legradient étant celui qui définit l’isomorphisme g - g*, on en déduit immédiate-ment que S2 + eL est le champ hamiltonien associé à H.Pour que le système soit complètement intégrable sur 0,, il faut encore qu’il

existe une autre intégrale première K. C’est le cas quand

1. Le point fixe est au centre de gravité: 0 = G ou L = 0, cas dit d’Euler-Poinsot, où K = IIMI12 convient (le lecteur vérifiera facilement que H et K sonten involution).

2. La toupie est symétrique: il existe un repère orthonormé lié au solide où

(quitte à changer d’unités on peut supposer - ce que nous ferons - que l = 1) etdont le troisième vecteur est colinéaire à L: OG est un axe de symétrie pour lesolide. En d’autres termes (M - 03A9) A L = 0. Ce cas est dit "de Lagrange",K = M - L, le moment de Lagrange, est alors une intégrale première. De plus

Page 10: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

161

puisque M est dans le plan (Q, L) et donc les deux intégrales commutent.

REMARQUE. La fonction K est le moment de Lagrange, elle doit donc

engendrer un flot de rotations autour de l’axe L. C’est en effet le cas puisque songradient symplectique est

Le vecteur [L, X] = L n X est obtenu en projetant X sur le plan orthogonal à Let en le faisant tourner d’un quart de tour, c’est à dire le champ fondamental del’opération de S’ par rotations autour de l’axe L.

3. Il existe une base orthonormée liée au solide dans laquelle

(on supposera encore que m = 1) et dont le premier vecteur est colinéaire à L.C’est le cas de Kowalevski. Si, dans la même base,

la fonction

est une deuxième intégrale première, qui commute avec l’énergie H (les calculs

Page 11: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

162

sont aussi classiques que les précédents, mais un peu plus pénibles, ils sont donclaissés au lecteur).

Pour une discussion détaillée des différentes raisons qui peuvent amener à neconsidérer que ces trois cas, voir le livre de Golubev [14].

2. Le solide libre en dimension 3 et la toupie d’Euler-Poinsot

2.1. Le solide libre

Les équations (1) s’écrivent, dans le cas d’Euler-Poinsot

puisque L = 0. La deuxième traduit simplement le fait que r est un vecteurconstant (dans le repère fixe). Nous allons donc seulement étudier les deuxautres, c’est à dire le système

qui décrit un solide libre. C’est une bonne illustration de la méthode puisqu’ils’agit d’un exemple de (très) petite dimension*: M E R3 = so(3).

2.2. Tores de Liouville pour le solide libre

Les deux intégrales premières sont

Les niveaux de K sont les orbites (co)-adjointes, c’est à dire les sphères centrées àl’origine. Si M = t(u, v, w) et si J est la matrice diagonale (al, a2, a3) (on supposeles ai &#x3E; 0 distincts), alors

*Mais ayant suscité des généralisations intéressantes: y remplacer so(3) par 5o(n).

Page 12: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

163

Le problème des tores de Liouville et de leurs bifurcations est donc celui de lafonction H sur les sphères de dimension 2:

Ce n’est donc pas très compliqué. Ces "tores" sont représentés sur la figure 1.

Fig. 1.

2.3. Une forme de Lax et la courbe spectrale

Manakov [21] a remarqué que les équations d’Euler se mettent sous forme deLax en

où J est la matrice diagonale (b,, b2, b3) avec

(de sorte que, matriciellement, M = J(03A9) = QJ +JQ). On supposera les ai et demême les bi distincts. Remarquons que cette forme de Lax n’est pas dans

so(3)[03BB, 03BB-1] mais dans gI(3)[03BB, 03BB-1].La courbe spectrale correspondante X a pour équation

soit, sur l’orbite Op2

avec H’ = b21u2 + b22v2 + b23w2, qui est naturellement une combinaison linéaire deH et K grâce à (3):

Page 13: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

164

Fig. 2.

Sur l’orbite Op2, on peut remplacer sans dommages l’étude de H par celle de H’.La courbe X est de genre 1. La figure 2 la représente dans ses coordonnées

naturelles.

La figure 3, quant à elle, représente côte à côte, les niveaux de H et les partiesréelles des courbes spectrales correspondantes. On remarque, et on démontreaisément, que la courbe spectrale X(C) est lisse si et seulement si le niveau (réel)correspondant est régulier. Comme X est de genre 1, elle est isomorphe à sajacobienne et la partie droite de la figure doit représenter la fibration jacobienne,comme nous le verrons rapidement (dans 2.5).

Fig. 3.

Page 14: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

165

Sur cette figure, la courbe est dessinée dans les coordonnées y = 03BB-103BC enabscisses, t = 03BB-1 en ordonnées, coordonnées dans lesquelles on voit bien que laforme de sa partie réelle ne dépend que de la position de H’jp2 par rapportaux b2.

2.4. Application de vecteurs propres

Nous allons démontrer ici ce que ne montre pas la Fig. 3:

PROPOSITION 2.4.1. Si H ~ R est une valeur régulière, l’application de vecteurspropres fH : 9-H -+ Pic3(X) est un revêtement d’ordre 4 de la partie réelle.

DEMONSTRATION. Le calcul du degré est standard et se fait par exemple parle théorème de Grothendieck-Riemann-Roch (voir 6.2). Commençons donc parregarder la courbe X dans ses coordonnées naturelles comme sur la figure 2. Lediviseur P- au dessus de 2 = oo est Pl + P2 + P3 où Pi: y = b2i03BB, (03BB, Jl) = (00, 00).Dans ce cas, il est un peu délicat d’appliquer la méthode de Reiman, puisque

la forme de Lax (2) s’obtient seulement formellement à l’aide d’une fonctioninvariante g comme à la Section 1.1.1 : g devrait être

(voir [23] ou [1]). Alors dg(A) serait trA. Comme au voisinage de Pi, on a03BC ~ bf Â., l’élément de H1(X, (9x) obtenu comme image du flot de H’ devrait êtrel’image de

(ti = 1/À est une coordonnée locale près de Pi).C’est bien ce que donne la méthode de Griffiths.

REMARQUE. Considérons la suite exacte

Une section du faisceau gratte-ciel est envoyée sur 0 quand elle provient d’unesection de (9x(P-), autrement dit quand il existe une fonction méromorphe surX dont les pôles sont en les points de P -, avec le développement prescrit. Parexemple 03A33i=1 1/ti va sur zéro: il correspond à la fonction 03BB, de même 03A33i=1 b2i/ti,qui correspond ày. Nous allons montrer que Lf= 1 bilti n’est pas envoyé sur zéro,nécessairement par un calcul un peu précis, à cause des deux exemplesprécédents.

Page 15: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

166

Choisissons W E H°(X, Ql) et montrons donc que

Pour ce faire on transforme l’équation (4) en l’écrivant dans les coordonnées y ett ci-dessus

Il n’y a plus qu’à poser u = 1j(p2y-H’), z = tu pour avoir X sous forme de

Weierstrass Z2 = P(u), de sorte que w = du est un générateur de HO(X, 03A91X).zLEMME 2.4.2

On a alors le résultat cherché puisque

(les bi sont distincts).Remarquons aussi, comme prévu, que le lemme donne

Ainsi, fX est submersive. En utilisant la méthode que nous expliquerons dans6.4 (en gros, chercher les matrices g E GL(3, C) telles que g(M + J203BB)g-1 soit unematrice de la même forme M’+ J203BB), on montre aisément que fX est un

revêtement d’ordre 4: les points

(avec a2 = 03B22 = 1) ont la même image, voir [17] par exemple, où Haine montrequ’en fait les réseaux de périodes sont proportionnels, ce qui fait que le niveau!/H est quand même isomorphe à la courbe elliptique. 0

Page 16: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

167

Il nous reste à faire le petit calcul qui donne la démonstration du lemme. Auvoisinage de P1, on développe

on pose A = (b23 - bi)(b2 - b2) et on calcule

et

comme annoncé. D

2.5. Etude des bifurcations

Dans toute la suite de cette section on suppose K, et donc p2, fixé*.Nous désignerons par LH’ la courbe complexe, complexifiée du niveau 9-H’,l

(K fixé comme ci-dessus). En fait il est facile de voir qu’en utilisant exactementles mêmes formules on peut aussi définir LH’ lorsque H’est complexe. Comme ilexiste un ouvert non vide de R au-dessus duquel les LH’ sont des courbes lissesde genre 1, il existe un ouvert U de C au-dessus duquel les LH’ le sont aussi. Onpeut de plus toujours choisir U, et c’est ce que nous ferons, de façon à ce qu’il soitglobalement invariant par conjugaison complexe.Avec la construction ci-dessus nous avons une surface complexe W, fibrée en

courbes elliptiques au-dessus de U. La conjugaison complexe opérant sur cettesurface, nous avons une structure réelle, évidemment compatible avec la

fibration et donc une surface elliptique réelle au sens de [26]. A une telle surfaceon peut associer sa fibration jacobienne définie de la manière suivante. Commetoute les courbes sont homémorphes, on peut supposer que c’est une mêmesurface topologique Ctop et que c’est la structure complexe qui varie avec H’. Onfixe une base (a, fi) de H1(Ctop, Z). Pour chaque H’ il existe une forme

holomorphe (OH’ sur LH’, telle que 03B203C9H’ = 1. Notons 03C4H’ = 03B103C9H’ et faisons

*En fait, pour ce que nous allons faire, on pourait tout aussi bien faire l’inverse i.e. fixer H’ et fairevarier K.

Page 17: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

168

opérer Z2 sur C x U par

Le quotient de C x U par cette opération de Z2 est la fibration jacobienne deW. On remarquera que la surface ainsi obtenue possède une structure réelleinduite par celle de L.

De la même manière que nous avons construit L, on peut à l’aide des XH,construire une surface X, fibrée elle aussi en courbes elliptiques au-dessus d’unouvert U’. Soit U" = U’ n U (en fait, comme on le vera plus bas, on peut choisirU = U’ ce qui montrera, entre autre, que !Y H’,K(C) est lisse si et seulement si XH,est lisse). Nous alons montrer

LEMME 2.5.1. La fibration elliptique X au-dessus de U" est isomorphe à la

fibration jacobienne de L, au-dessus de U" et cet isomorphisme est réel.

Le résultat découle de la démonstration donnée par Haine [17] du fait

correspondant pour XH’ et la jacobienne de LH’. Pour être plus précis onremarque tout d’abord que le changement de variables, mentioné plus haut, quipermet de mettre les courbes XH, sous la forme z’ = P(u), avec deg P = 3, dépendalgébriquement de H’ et est compatible avec la structure réelle. Ensuite que l’onpeut normaliser, grâce à une transformation de la forme

qui dépend algébriquement des racines et donc de H’, les courbes sous la formez2 = u(1- u)(1-cu) (on poura prendre a = 1, b = 1/(p2b21-H’) et

ce qui donne pour c

ce qui, à une permutation des bi près, correspond exactement à la forme donnéepar Haine).De là il est possible en suivant exactement la démonstration proposée par

Haine de montrer que le réseau des périodes de W est proportionel au réseau despériodes de X (et ceci, cette fois ci, indépendamment de H’), ce qui démontre lelemme.

Page 18: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

169

REMARQUE. En fait le résultat du lemme 2.5.1 est encore vrai si l’on remplaceU" par C. Ceci découlera des considérations qui suivent.

Le lemme 2.5.1 va nous permettre d’expliquer les similitudes et les différencesentre les fibres f7 H’ et la partie réelle des fibres XH’ et ceci y compris dans le casoù les fibres sont singulières.Tout d’abord on remarquera que sauf dans les cas H’ = bi et H’ = b23, la fibre

f7 H’ est lisse si et seulement si la fibre X H. n’a pas de singularités réelles. SiH’ = bi ou si H’ = b23 la fibre 9-H, est formée de deux points isolés alors que lafibre XH, est formée de deux courbes rationnelles qui se coupent en deux pointscomplexes conjugués. Pour comprendre la correspondance dans ce dernier casnous aurons besoin de quelques remarques. Tout d’abord la fibre XH, n’est paslisse, elle a deux points singuliers complexes conjugués. Pour de nombreusesraisons il est important de considérer ceci comme une singularité réelle. Ontrouve du coup que 9-H, est lisse si et seulement si XH, n’a pas de singularitésréelles au sens ci-dessus*.

Ensuite on remarquera que d’une part la surface L est lisse (c’est évidentpuisque n’est rien d’autre que la surface u2 + v2 + w2 = p2) et que d’autre partla fibration au-dessus de C par les XH, est isomorphe au modèle de Néron de X(ceci peut se démontrer par le calcul en utilisant la forme y2 = z(1- z)(1-cz) ci-dessus et la caractérisation des fibres singulières donnée dans [26]). Ceci

explique complètement et la différence et la correspondance entre les deux fibres.Si b21 H’ b23 les fibres sont identiques. Ceci s’explique de la manière

suivante: les fibres sont toutes semi-stables (les seules singularités sont dessingularités quadratiques ordinaires) et pour chaque H’ il existe un voisinage surlequel aucune fibre f7 H’ n’est vide. De plus aucune fibre n’est réduite à des pointsisolés. Dans ce contexte le fait que les fibres soient identiques découle duthéorème VII 2.2 de [26].

Si bi &#x3E; H’ ou si b23 H’, f7 H’ est vide alors que XH’(R) a deux composantesconnexes. Ceci correspond au fait qu’une courbe réelle de genre 1, dont la partieréelle est vide a une jacobienne dont la partie réelle a deux composantesconnexes (c’est facile à démontrer mais on peut consulter [16] ou [24]).

Si H’ = bi ou si H’ = b23 la fibre JH’ est celle décrite théorème VII 2.1 (derniercas) de [26] à laquelle correspond la fibre du modèle de Néron de sa fibrationjacobienne qui est décrite p. 154 (milieu de page, cas m = 2) de [26] ce qui estexactement la fibre X H’.

2.6. Tores de Liouville pour la toupie d’Euler-Poinsot

Revenons au cas d’Euler-Poinsot. Nous avons déterminé les trajectoires de M

*En fait ceci semble être un résultat tout à fait général à condition bien sûr, de remplacer lisse par"n’a pas de singularité réelle" et de prendre la même définition de part et d’autre.

Page 19: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

170

Fig. 4.

pour H = cste, K = cste. Les niveaux pour Euler-Poinsot s’en déduisent: pourchaque valeur de M, le vecteur r vérifie 0393 · M = c et ~0393~2 = 1. Autrement dit, leniveau 5i est un fibré en cercles sur le niveau H = K = cste si c ~ ] -p,p [,identique à ce niveau si c = ± p et vide dans les autres cas.La figure 4 représente l’image de l’application moment (H, K) (noter que

H = K/ai p H’ = b2K). Si c ~ ] -p,p[, en suivant le chemin représenté par laflèche, on trouve la situation suivante pour les tores de Liouville:

0, 2 cercles, 2 tores, produit de 2 cercles se coupant en 2 points par un cercle,2 tores, 2 cercles, 0.La bifurcation centrale est le modèle qui manque dans la liste de Fomenko

[11] (bien qu’il figure dans la plupart des exemples considérés dans les livres decet auteur).En imitant les graphes de Fomenko, il s’agit de

ou mieux, de

3. Le cas de Lagrange

3.1. La courbe spectrale

On reprend les notations de la Section 1.3. En remplaçant e par une variablepolynomiale et en décalant les exposants, on voit facilement que le système (1)

Page 20: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

171

est équivalent à

C’est la mise sous forme de Lax de la toupie symétrique. On dispose doncd’une "courbe spectrale", la courbe d’équation

où r À - 1 + M + L03BB est considéré comme une matrice antisymétrique et donc oùle polynôme caractéristique s’écrit 03BC(03BC2 + ~039303BB-1 + M + L03BB~2) avec

(on remarquera comme le décalage utilisé dans les puissances de 03BB met bien enévidence les rôles analogues joués par les moments c = M - r et K = M · L). AinsiQ s’écrit, sur l’orbite De: Q(03BB) = 03BB-2 + 2c03BB-1 + H’ + 2K03BB + 03BB2, où :

les coefficients de Q sont, à peu de choses près, les intégrales premières H et Kdéjà exhibées.

Ainsi la courbe spectrale a pour équation

et est indexée par les niveaux de (H’, K) ou de (H, K), ce qui revient au même.Il sera commode d’utiliser la courbe (de genre 1) X d’équation

3.2. Niveaux réguliers

La courbe X décrit les valeurs propres non nulles de la matrice antisymétriqueA(À) = FÂ - 1 + M + LÀ. La courbe complexe X(C) est lisse exactement quand le

Page 21: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

172

polynôme 03BB2Q(03BB) n’a pas de racine multiple (en particulier, elle n’a aucun pointréel dans ce cas: X(R) = 0). Le polynôme de Laurent Q est indexé par lesvaleurs de (H, K).

PROPOSITION 3.2.1. a ~ R2 est une valeur régulière de (H, K) si et seulement sila courbe complexe correspondante X(C) est lisse.

DEMONSTRATION. Le polynôme À 2Q est réel et positif sur R. Pour que X(C)soit singulière, il faut et il suffit que À 2Q ait une racine multiple, c’est à dire, sicelle-ci est réelle, que Q ait une racine réelle, et sinon que À 2Q soit le carré d’unpolynôme réel irréductible de degré deux. Autrement dit, soit

soit (tous calculs faits)

avec c2 - 4 0, ou encore

Examinons maintenant les niveaux de (H, K). On se place sur l’orbite 0,

et on cherche quand les fonctions

sont indépendantes. Leurs gradients ont déjà été calculés à la Section 1.3:

~0393+03B5MH = 03A9 + 03B5L, Vr+eMK = L. Avec la même forme bilinéaire invariante, lesgradients des deux fonctions définissant l’orbite Oe sont évidemment 6r etF + eM respectivement. Le problème des niveaux réguliers est donc celui du rangde la matrice 6 x 4

Page 22: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

173

ce qui n’est pas très difficile. En se souvenant que M - 03A9 est colinéaire à L, ontrouve que

1. Le rang de (H, K) est 0 quand les quatre vecteurs L, r, M, Q sontcolinéaires: l’axe de la toupie est vertical, le moment cinétique aussi et il est

constant. La valeur que (H, K) prend en ces points est

ou

grâce aux formules précédentes. Pour 1 = 1 et c 2 on trouve le point (H’, K) oùQ a deux racines doubles conjuguées.

2. Le rang de (H, K) est 1 quand il y a une relation linéaire de la forme

039303BB-1 + M + L03BB = 0 comme on le vérifie aisément, autrement dit quand 03BB2Q aune racine réelle (nécessairement double). D

La discussion précédente est résumée par la Fig. 5 où l’on voit les valeursprises par l’application (H’, K) pour c 0.

Les deux points 0 de chaque figure indiquent les valeurs de (H’, K) pourlesquelles le polynôme À2Q a deux racines doubles, la courbe celles pour

lesquelles il a une racine double (réelle). Sur la première figure, un des pointsn’est pas sur la courbe: il correspond à deux racines doubles complexes nonréelles et aussi à une courbe Xo(C) singulière dont la partie réelle est vide (etdonc lisse).

Naturellement, ces dessins représentent des sections du discriminant (queue

Page 23: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

174

d’aronde) des polynômes de degré 4. La courbe discriminante se paramètre parla racine double t:

Elle a deux branches t 0 et t &#x3E; 0 qui s’échangent quand on remplace c par - c(c’est pourquoi étudier le cas c 0 suffit) et qui se recoupent quand 03BB2Q a deuxracines doubles réelles, c’est à dire quand t2 - ct + 1 = 0 (intersection des deuxbranches, en (H’, K) = (c2 - 2, - c)) et t2 + ct + 1 = 0 si c2 - 4 0 (auto-intersection d’une des branches, en (H’, K) = (C2 + 2, c)).Quand c2 - 4 0, les deux racines de t2 + ct + 1 = 0 sont quand même des

racines doubles de À 2Q qui, étant conjuguées, correspondent bien à des valeursréelles (C2 + 2, c) de H’ et K.

Les zônes hachurées ne sont pas atteintes comme on le voit en remarquantque H’ - 2 d’une part, et d’autre part, comme 03BB2Q est un polynôme réelpositif, qu’il ne peut avoir une racine réelle d’ordre exactement 3.

3.3. Application de vecteurs propres

Elle envoie un niveau (H, K) indexant la courbe X dans la j acobienne de celle-ci.Plus précisément, on a

Le calcul du degré n’est pas difficile, il sera fait un peu plus bas, où nouscalculerons explicitement l’image de fH,K.Notons qu’ici dim f7 H,K = 2 et dim Jac(X) = 1. C’est lié au fait que le flot de K

engendre un groupe (compact) de rotations comme on l’a remarqué à la Section1.3. On a

PROPOSITION 3.3.1. L’application f = fH,K est une submersion. Le noyau de sadifférentielle est engendré par le champ de vecteurs hamiltonien de K.

DEMONSTRATION. On utilise la méthode de Reiman comme en 1.1.1 pourmontrer que le champ hamiltonien de K est annulé par l’application tangente àf alors que celui de H est envoyé sur un élément non nul de H1(X, OX).Dans tr A(03BB)2, K est le coefficient de 03BB et H’ le terme constant:

Page 24: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

175

Les images de champs hamiltoniens par l’application tangente à f sont donc, àdes coefficients constants près, les cocycles y (pour H’) et 03BC03BB-1 (pour K).On veut donc montrer que

Regardons donc un peu précisément les fonctions et y sur X. La fonction03BB: X ~ P1 est un revêtement double, ramifié en les quatre racines el, e2, e3, e4 dupolynôme 03BB2Q(03BB), qui sont d’ailleurs dans C - {0} (ou dans P1- {0, ~}).

Près de 03BB = 0, l’équation de la courbe donne 03BB2 + 03BC-2 = 0, on a donc deuxbranches et en particulier, après normalisation, il y a deux points a + et b + de Xau dessus de (À, Jl) = (0, oo) E Pl x Pl. La situation est identique pour À = 00comme on l’a déjà remarqué. Appelons donc a- et b- les deux points de Xcorrespondants. Ainsi

et en particulier, (03BB-103BC) = e1 + e2 + e3 + e4 - 2a+ - 2b + et 03BB-103BC est holomorphesur U- et le cocycle qu’elle représente a une classe de cohomologie triviale (voilàpour l’image du flot de K). Il ne reste plus qu’à vérifier que la classe de

cohomologie définie par li est non nulle dans H1(X, C9x). Pour cela, on val’évaluer sur une forme holomorphe. Comme l’équation de X s’écrit sous forme

de Weierstrass (03BB03BC)2 + 03BB2Q(03BB) = 0 il est clair que 03C9= d03BB 03BB03BC est une forme

holomorphe. Calculons

Comme il n’est pas difficile de voir que g H Res[03BB=~](g03C9) induit un homomor-phisme H1(X, OX) ~ C (en fait c’est la dualité entre H1(X, OX) et H°(X, Q1)), çasuffit pour montrer que la classe de 03BC est non triviale. D

L’application fH,K JH,K ~ Pic4(X) est invariante par l’opération du groupeR des rotations autour de l’axe L (c’est à dire par le flot de K) comme on l’a déjàvu. On obtient donc une application JH,K/R ~ Pic4(X) qui est un isomorphimesur son image. On trouve une démonstration de ce fait dans [1], que nous

rappelons rapidement (voir aussi [28] et [22]). Commençons par étudier les

propriétés du fibré des vecteurs propres. Ces vecteurs se calculent explicitement.

Page 25: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

176

Si A(03BB) est la matrice antisymétrique correspondant au vecteur

un vecteur propre associé à y est

(rappelons que 112 + X2 + y2 + z2 = 0).

REMARQUE (pour les sceptiques). Ce calcul montre que le fibré des vecteurspropres est effectivement bien défini, même en les points où les deux valeurspropres coïncident, c’est à dire où li s’annule.A l’aide d’une transformation linéaire (constante) de C3, on remplace V par

pour simplifier un peu l’étude des diviseurs. Celui associé au fibré des vecteurspropres se détermine à l’aide

(a) des zéros communs des trois coordonnées(b) des pôles de chacune d’elle.

mais

avec p = iz(03BB), ce qui détermine un unique point R de la courbe X. L’autre

Page 26: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

177

équation détermine le point R’ - - 03B31 -i03B32 03C5 - i03C5, - iz) (remarquons que quandx, y, u, v E R, R’ = R)*.

Il est clair que x2 + y2 a un zéro simple en chacun de ces points, le diviseur deszéros de V est donc R + R’.

Les composantes de V’ ont des pôles seulement pour 03BB = 0 et 03BB = oo. En

chacun des points a + et b+ de X au-dessus de 03BB = 0, chacune des coordonnées aun pôle double, ainsi le diviseur des pôles de V’ est 2a+ + 2b + + a- + b _, le degrédu fibré des vecteurs propres est - 4, celui de son dual est donc bien 4, et undiviseur possible est

Remarquons que

où u(Â, p) = (03BB, - Jl) désigne l’involution du revêtement 03BB. Ainsi

D~03C3R+03C3R’+a-+b-, écriture qu’on peut trouver plus agréable. En par-ticulier, quand r et M sont réels, la classe de D est dans l’imaget du groupe desdiviseurs réels dans Pic4(X)(R).

Inversement, soit R un point de X, R = (03BB0, 03BC0), essayons de reconstituer de

qui la classe du diviseur 2a + 2b+ - R - R’ est l’image. D’abord - 03B31+i03B32=03BB0+ + g u + iv

°

est déterminé. Aussi, comme w = K = M - L est donné, on en déduit y3 par

Ecrivons encore que ~0393~2 = 1 et M’r=c. La première de ces deux

équations détermine yi + y2 et donc u2 + v2, la deuxième détermine

Re(03B31 + iY 2)(U - iv). Ainsi Yl + iY2 et u + iv sont déterminés à multiplication par unmême ei03B8 près : r et M sont déterminés à l’action du flot de K près. De même lepoint R’ détermine 03B31- i03B32 et u - iv au flot de K près. Ainsi le diviseur considéréest l’image de deux points de ff H,KjP/l. En résumant:

*Rappelons que z est une fonction de 03BB : z = 03B3303BB-1 +W+..1.~Comme X n’a pas de point réel, Pic4(X)(R) a deux composantes connexes. L’une contient les classesqui peuvent se représenter par des diviseurs réels tels que A + A, l’autre n’est pas dans l’image dugroupe des diviseurs réels: elle contient des diviseurs qui sont équivalents à leur conjugué sans êtreeux-mêmes invariants par conjugaison.

Page 27: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

178

PROPOSITION 3.3.2. Si (H, K) E R2 est une valeur régulière,

induit un revêtement double de JH,K/R sur l’une des deux composantes de lapartie réelle de Pic4(X). ~

De plus, on a aisément:

PROPOSITION 3.3.3. Le revêtement n’est pas trival, en particulier les niveauxréguliers sont connexes.

DEMONSTRATION. Vue la forme du discriminant et celle de l’image de(H, K), par un argument standard de théorie de Morse, il suffit de vérifier que leniveau critique correspondant à un minimum de K sur H = cste (ou inverse-ment) est connexe. On fixe donc t ~ R, paramétrant un point (H, K) de la

frontière de l’image. Ainsi F+tM+t2 L = 0 et la valeur de 73 est déterminée,(03B31, 72) décrit le petit cercle correspondant sur la sphère unité et les deux

premières coordonnées de M sont déterminées par

et le niveau critique considéré est bien un cercle. D

Le long d’un chemin comme celui représenté sur la Fig. 5 on trouve donc ~, 1cercle, 1 tore, 1 cercle, 0, ou, dans les notations de Fomenko:

REMARQUE. Contrairement à ce qu’on lit parfois, JH,K/S1 n’est isomorphe,ni à X(R), qui n’a pas de points, ni à X avec son autre structure réelle, qui a deuxcomposantes. Classiquement, les ouvrages de mécanique montrent qu’on peutrésoudre les équations d’Euler dans ce cas en intégrant une équation dif-

férentielle, celle vérifiée par y 3:

(voir [5] par exemple). La courbe X’ : X2 = f (u) est équivalente sur C à notrecourbe X comme en le voit en calculant ses invariants. Son équation s’obtientclassiquement en envoyant une des racines de À 2Q à l’infini. La zône des

mouvements réels que nous avons représentée dans le plan des (H’, K) sur la Fig.5 correspond au cas où le polynôme f a deux racines réelles el et e2 entre -1 et1 (il en a toujours une 1). Sous cette forme, la courbe elliptique X’(R) a deux

Page 28: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

179

composantes (comme Pic4(X)(R)), mais l’une seulement correspond à des

mouvements réels de la toupie, celle où 73 E [ -1,1].La zône où y3 e [el, e2] est l’image du niveau considéré dans la sphère S2 ou

vit r. A chaque point r de l’intérieur de cette bande correspondent 2 points M,ce qui montre que le niveau est bien un tore, comme nous venons de le vérifierpar la méthode algébrogéométrique (voir les traités de mécanique cités pour uneétude plus précise de l’image du flot de H dans cette bande).

LE CAS DE KOWALEVSKI

Nous reprenons les notations de 1.3, en indexant les orbites par 21 = c, suivant

l’usage consacré.

4. Les changements de variables de Kowalevski

4.1. Quelques réductions algébriques

Rappelons la méthode utilisée par Kowalevski elle-même dans [20], traduite entermes modernes à l’aide de [18] et de [29] ... c’est à dire, en dernière instanced’Euler lui-même.

Vue la forme de la fonction K, il est naturel de poser x = p + iq et

ce qu’elle fait. Il est agréable de poser y = p - iq et q = p2 - q2 + 03B31- i(2pq + y2), etde considérer x, y, 03BE et il comme des variables complexes indépendantes (cequ’elles sont effectivement si on complexifie les équations en autorisant M et r àvivre dans C3 au lieu de R3).

Ainsi les quatre équations (décrivant l’orbite 02l pour les deux premières et lesintégrales H et K pour les deux suivantes)

Page 29: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

180

deviennent

On élimine facilement r et 73 entre les trois premières, ce qui fait introduire lesdeux polynômes

et

grâce auxquels on peut écrire

Elle remarque aussi que

et décide de considérer la courbe de genre 1, E, d’équation u2 = - R(x). Sajacobienne sera la courbe isomorphe .9’ d’équation t2 = S(s) où

REMARQUE. Il nous sera utile d’avoir remarqué que, par construction, R et Sont une racine multiple en même temps. Il sera agréable d’avoir un énoncé unpeu plus précis sur les racines réelles (R et S sont à coefficients réels): S s’obtientpar une transformation projective qui envoie une racine de R à l’infini. On endéduit sans trop de mal le nombre de racines réelles de S en fonction de celui deR en remarquant que oo est réel (voir la discussion dans 4.3).

La courbe de genre 1 8 est un espace homogène principal sous l’opération dugroupe 8’ (c’est le point à l’infini qui est l’élément neutre). Les + et - figurantdans la suite réfèrent à ces structures.

Page 30: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

181

On considère la forme holomorphe OJ = dx. Les automorphismes de &#x26; quiu

transforment w en + w sont de la forme M ~ P + M où P est un point de .9’. End’autres termes, les points P de Cf paramètrent ces automorphismes.

Ceci peut se raconter avec des formules. On cherche les automorphismes

(x, u) ~ (y, v) (v’ = R(y)) tels que dx = ± dy, autrement dit tels queu v

Les intégrales de cette équation différentielle sont données par une équation

où 03A6 est un polynôme homogène symétrique en x et y, de degré 2 en chacune deses variables, et aussi de degré 2 en le paramétre s. Tous calculs faits (!), c’estl’équation

qu’on trouve à la page 188 de [20] et dans laquelle

Sa signification est la suivante: soit M = (x, u) un point fixé dans S (notons aupassage que - M = (x, - u)). Fixons aussi P = (s, t) e E’ (de même - P = (s, - t)).Les solutions de l’équation (en y) (D,(x, y) = 0 sont y(P + M) et y(P - M).

Si au contraire, fixant toujours M, on fixe un deuxième point M’ = (y, v) E E, lessolutions en s de 03A6s(x, y) = 0 sont

Le "mystérieux changement de variables" de Kowalevski est exactementcelui-ci: elle remplace x et y par s, et s2. Notons que, par définition, grâce à (9),on a

Page 31: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

182

4.2. Les équations différentielles

Ensuite, elle utilise l’équation (8) et sa jumelle:

pour obtenir

Posons

pour obtenir

et de même

d’où l’on déduit les équations différentielles vérifiées par s1,2 :

Il est donc nécessaire d’étudier la courbe X d’équation y2 = T(s): on voitapparaître des intégrales hyperelliptiques qui lui sont associées.

Page 32: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

183

Posons, pour simplifier les expressions:

alors

et

L’équation de la courbe X est maintenant

C’est une courbe (hyperelliptique) de genre 2, lisse exactement quand toutes lesracines du polynôme

sont simples.Etudions donc le discriminant pour la courbe X. Il est formé de trois

composantes:

1. le discriminant de cp (ou de R), courbe sur laquelle cp a une racine multiple,2. la droite K = 0 où les deux racines de (z-H)2-K coïncident,3. la courbe sur laquelle H ± fi est une racine de 9.

4.3.1. On trouve un paramétrage du discriminant de 9 en écrivant

cp(z) = (Z-t)2(Z-U) qui donne en éliminant u :

Page 33: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

184

La courbe est ainsi paramétrée par la racine double elle-même. Si on s’intéresse àsa partie réelle, elle a deux branches, l’une pour t 0 et l’autre pour t &#x3E; 0, elleest asymptote à la droite K = 1 et présente un point de rebroussement obtenupour t = (2l2)1/3 "avant" lequel la racine simple u est supérieure à la racinedouble t et après lequel c’est l’inverse.

REMARQUE. On obtient aussi cette courbe en disant que R a une racinemultiple: la même méthode donne alors un paramétrage par la racine multiplede R cette fois

Elle partage le plan en trois parties, suivant que 9 a trois racines réellespositives, une racine réelle (positive), deux racines réelles négatives et une

positive, ce qui correspond aux cas où R a respectivement 4, 2, et 0 racinesréelles. Cette discussion est résumée sur la figure 6.4.3.2. En écrivant

on vérifie immédiatement que ~(H±K) = 0 si et seulement si K = (H - 212)2.La parabole ayant cette équation partage le demi-plan K &#x3E; 0 en trois parties où,de haut en bas

(a) d’abord cp(H:t fi) &#x3E; 0

(b) ensuite cp(H + fi) &#x3E; 0 et qJ(H-fi) 0

(c) et enfin g(H ± fi) 0.

Page 34: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

185

La parabole et la courbe à cusp de la figure 6 se coupent en les points

et sont tangentes au point

obtenu pour t = 212.La figure 7 représente le discriminant de 03A6. Naturellement cette figure

représente des sections du discriminant des polynômes de degré 5 (ombilic).

La partie réelle de la courbe X a trois composantes quand ç a trois racinesréelles (intérieur de la courbe à cusp, voir la figure 6) et deux quand 9 n’en aqu’une.On déduit aisément le nombre de composantes de la partie réelle de la

jacobienne Jac(X) en appliquant le théorème de Comessatti (voir [8] ou [26]).Dans le cas qui nous intéresse, où X(R) n’est pas vide, puisque 03A6 est de degréimpair

On s’aperçoit immédiatement, contrairement à ce qui est affirmé dans [13],que le nombre de composantes ne correspond pas à celui trouvé par Kharlamov[19] et que nous allons retrouver dans 7.3 pour les niveaux réguliers corre-spondants : par exemple le nombre de composantes de X(R) (et donc celui deJac(X)(R)) ne dépend évidemment pas de la position du point considéré parrapport à la parabole (la parabole sert uniquement à placer les racines de 9 par

Page 35: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

186

rapport à H + ft, pas à modifier le nombre des racines), alors que le nombrede tores de Liouville en dépend.

PROPOSITION 4.3.3. Le niveau régulier 9-H,, indexé par H et K dans l’orbite0,, n’est pas en général isomorphe à la partie réelle de la jacobienne de la courbe Xcorrespondante. n

COROLLAIRE 4.3.4. Il n’existe aucune application

qui induise un difféomorphisme de JH,K sur la partie réelle de Jac(X). ~

La philosophie de ces remarques est la suivante. Le fait de résoudre unsystème différentiel grâce à des fonctions 3 associées à une courbe X n’est paséquivalent à l’identification des variétés intégrales à la jacobienne de X même sielle permet de linéariser les flots sur cette courbe. La méthode "forme de Lax-courbe spectrale" est bien plus puissante: elle fournit une application de la variétéintégrale considérée dans une variété abélienne qui, en plus de linéariser les flots,est bien souvent un isomorphisme. C’est ce que nous allons étudier dans leparagraphe 5.La proposition précédente explique sans doute pourquoi on n’a jamais trouvé

de forme de Lax réelle pour la toupie de Kowalevski qui donne la courbe Xcomme courbe spectrale. Il y a bien une forme de Lax dont X est la courbe

spectrale dans [2] (les matrices y ont des coefficients fractions rationnelles plutôtque polynômiaux, ce qui n’est pas très grave) mais ses coefficients sont non réels.Nous remercions P. van Moerbeke pour cette précision.

4.4. Relation entre X et e’: la jacobienne de X comme variété de Prym

Explicitons maintenant, en termes de variétés abéliennes, les relations entre lacourbe X et la courbe elliptique é’ utilisées par Kowalevski.Avec les notations de 4.3, les équations de ces deux courbes sont

pour

pour X, où l’on a posé pour abréger

Page 36: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

187

La courbe elliptique 6’ est revêtement double de P1 par x, ramifié en les troisracines el, e2, e3 de cp et en oo. La fonction u a pour diviseur

Soit f : E’ ~ P’ la fonction méromorphe

Son diviseur est

où ei (resp. oo) désigne l’unique point de é’ au dessus de ei ~ P1 (resp. de oo) etb +, c + sont les points au dessus de b, c E P 1.

Soit maintenant X la normalisée de la courbe

La courbe est munie de deux involutions:

(a) (11 (x, u, y) = (x, u, - y), qui donne E’ comme quotient. Les points fixes de61 (et donc la ramification de ~ E’) sont les quatre points b +, b -, c +,C _: les autres points qui apparaissent dans le diviseur de f ont uncoefficient pair et donnent donc lieu à des points doubles ordinaires dansX°, dans la normalisation on sépare les deux branches et il n’y a donc pasde ramification en ces points. Notons qu’en particulier le genre de X est 3.

(b) (12(X, u, y) = (x, - u, y), qui donne X au quotient. A cause du calcul dugenre, le revêtement ~ X doit être étale, ce qu’on vérifie aisémentcomme ci-dessus.

Considérons maintenant la jacobienne de X. Une chose très facile à

comprendre est H0(, 03A91), qui est engendré par les éléments provenant de

H0(03B5’,03A91E’) et de H0(X,03A91X). Il est clair que {dx u} est une base du premier, demême que {i2 dx y, i2x dx y} est une base du second. Il est non moins clairque, dans H (X, Q1), on a

Page 37: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

188

de même d’ailleurs que

de sorte qu’on a des isogénies

5. Forme de Lax et courbes spectrales

5.1. Forme de Lax

Dans [7], une forme de Lax

très naturelle est exhibée. L’algèbre de Lie de matrices considérée est so(3, 2) etdans la décomposition par blocs usuelle, on a:

(nous n’aurons pas besoin de la forme explicite de M(03BB)).Dans cette écriture, F = (F, 0) et E est la matrice des deux premiers vecteurs de

la base canonique de R3, alors que PMP désigne le coin supérieur gauche de lamatrice M.

Si 13,, désigne la matrice

(matrice de la forme quadratique standard de signature (3, 2)), le fait que L(03BB) estdans so(3, 2) se traduit par

Il y a aussi une symétrie particulière dans la dépendance en 03BB:

Page 38: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

189

(les blocs diagonaux étant des matrices antisymétriques), en résumé:

La courbe spectrale est la courbe d’équation dét(L(03BB) - 03BCI) = 0. Elle est doncmunie de deux involutions i 1 et i2 reflétant ces relations: 03C41(03BB, 03BC) = (-03BB,03BC) et03C42(03BB,03BC) = (03BB, -y). Nous aurons l’occasion de revenir assez longuement sur cesinvolutions.

De l’équation (11) et comme 5=2+3 est impair, on déduit immédiatementque L(03BB) a toujours la valeur propre 0. Si l’équation de Lax exhibée est introduitede façon très naturelle dans [7], les auteurs de cet article remarquent aussi qu’onpeut utiliser l’isomorphisme fo(3, 2) ~ sp(4, R) pour remplacer L(03BB) par la

matrice

et l’équation de Lax par une équation de même forme vérifiée par L’(2). Lepolynôme caractéristique de L(03BB) est y dét(L’(03BB) - 03BCI). Les relations (11) et (12)deviennent

et

Page 39: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

190

5.2. Les courbes spectrales

Après élimination du facteur Jl = 0, la courbe spectrale Y: dét(L’(03BB) - 03BCI) = 0 apour équation

C’est un revêtement double (étale) de la courbe C = Y/03C41 d’équation

laquelle est elle-même un revêtement double ramifié de la courbe E = C/i2d’équation

Il est entendu que les lettres Y, C, E désignent les complétées normalisées àl’infini et en zéro des courbes définies par ces équations là où elles ont un sens.

PROPOSITION 5.2.1. Si 1 * 0, la courbe E est une courbe elliptique, revêtementdouble de P’(C) ramifié en 0 et en les trois racines du polynôme 9 de Kowalevski.La courbe C est de genre 3, et Y de genre 5. Les courbes Y et C sont lisses

exactement quand la courbe X est lisse.

En particulier, Y ou C d’une part et X de l’autre, ont même discriminant.

DEMONSTRATION. On va considérer les équations (16), (17) et (18) commedéfinissant des courbes complètes dans P 1 (C) x P 1 (C) (qu’il faut éventuellementnormaliser à l’ oo et en 0 pour obtenir les courbes Y, C, E qui nous intéressent).Autrement dit, les deux variables sont considérées comme vivant indépendam-ment dans C u oc. Dans chacune de ces courbes, nous appellerons U+(respectivement U-) l’ouvert formé des points où z ~ oo (respectivement z ~ 0).

La courbe E est revêtement double de P’(C) par la fonction z, elle est ramifiée,au dessus de U+ n U-, en les racines du discriminant du polynôme du second

Page 40: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

191

degré en y qui est le premier membre de (18):

Donc les trois racines de cp sont des points de ramification. Il reste à déterminersi 0 ou oo est un point de ramification.Dans U- en posant t = z-1, on voit que E a pour équation

ce qui donne, pour t = 0, - 4y = 0, et donc les points y = 0 et y =00. Enparticulier le revêtement z n’est pas ramifié à l’infini, il l’est donc certainement en0. Et en effet, sur U+ et en z = 0, l’équation devient 1 = 0 autrement dit les deuxracines sont parties à l’infini. Les points de ramification de z sont donc bien 0 etles trois racines de 9.On en conclut naturellement que le genre de E est 1 (notons que pour 1 = 0,

ç(0) = 0, alors le revêtement z ramifie en deux points seulement, E est degenre 0).

Puisque 03C41 n’a pas de point fixe, Y et C sont lisses en même temps. Pour que Csoit lisse, il faut et il suffit, d’une part que E le soit, c’est à dire que les 3 racines deç soient distinctes, et d’autre part que les points de ramification de C - E soientdistincts.

Les points de ramification de C ~ E sont les deux points de E au dessus dez = cc, c’est à dire avec les notations de [7]

ainsi que les deux points de U+ où y s’annule, c’est à dire les deux pointspi = (a, 0) et P2 =(03B2, 0) où oc et fi sont les deux racines de

4Kz2 +4(2l2-H)z+ 1 = 0

Ainsi C est revêtement double de E ramifié en 4 points, on en déduit son genrepar la formule d’Hurwitz, et de même celui de Y.

Les quatre points pi, p2, 00 + et oo - sont distincts sauf quand a = 03B2, c’est à direK = (212 - H)2 ou 03B1 ou 03B2 = oo c’est à dire K = 0. On a bien retrouvé ainsi lesconditions de lissité de la courbe X (voir 4.3). D

REMARQUE. La courbe C, de genre 3 et possédant une fonction y de degré 3(c’est à dire inférieur ou égal au genre mais impair) n’est certainement pashyperelliptique (voir [9] p. 102 par exemple).

Page 41: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

192

5.3. Description des courbes réelles E et C

Commençons par représenter la partie réelle de la courbe E dans les différentscas à considérer (figure 8).

Dans le cas où V est une courbe réelle projective et lisse, on sait depuis Hurwitzet Klein que les structures réelles sur V sont déterminées à homéomorphismeprès par deux invariants, le nombre de composantes connexes de la partie fixesous 6 (la partie réelle) et le nombre de composantes du complémentaire de lapartie fixe (qui peut être 1 ou 2). Nous dirons que ces invariants sont les

invariants de la structure réelle sur la courbe V Notons qu’ils déterminent laforme de la matrice des périodes et les propriétés réelles de la jacobienne (cf. [16]ou [24] pour plus de détails).

Page 42: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

193

Pour pouvoir calculer les structures réelles de C en fonction des paramètres,H, K et l, nous aurons besoin des remarques suivantes:

REMARQUES

1. Topologiquement une structure réelle (E 03C3) sur une courbe peut toujoursêtre représentée par un modèle de la forme suivante:

(a) V par une surface (compacte, connexe, orientable, sans bord) symétriquepar rapport à un plan P,

(b) 0" par une symétrie par rapport à P composée avec des demi-twists deDehn (voir ci-dessous) le long de cycles globalement invariants par lasymétrie (i.e. invariants ou anti-invariants) ou de paires de cycles échangéspar la symétrie.

2. Un demi-twist de Dehn le long d’un cycle y peut se décrire ainsi: identifierun voisinage tubulaire de y au cylindre de R3 d’axe z, z~[-1,1] et de

circonférence le cercle x2 + y2 =1 (identifié à y), le demi-twist de Dehn est alors latransformation,

3. Dans la pratique nous aurons besoin d’une variante de la constructiondécrite cidessus. Pour cela on remarquera que si l’on part d’un modèle

topologique de structure réelle (V, a)top (ceux décrit au point 1 par exemple) etque l’on compose l’involution 03C3 avec un demi-twist de Dehn le long d’un cycleglobalement invariant par 6 on obtient à nouveau une symétrie (i.e. uneinvolution qui renverse l’orientation) et donc un nouveau modèle de structureréelle.

4. Les résultats de Hurwitz et Klein peuvent s’interpréter en disant que le typetopologique d’une structure réelle (V, u), dans le cas où V est une courbe, estdéterminé par l’action de 6 sur H1(V, Z). Pour pouvoir utiliser ceci dans le cadrede la construction décrite en 3 on fait la remarque suivante. Soit Q une symétriesur Vtop et soit a’ une autre symétrie obtenue en composant a avec un demi-twistde Dehn le long d’un cycle y globalement invariant sous u. Alors si M est lamatrice pour l’action de 6 dans une base symplectique (03B11,..., 03B1g, 03B21,..., 03B2g) deH1(V, Z) où y = ak (resp. = 03B2k) alors la matrice de a’ est BM où B = (bij) avecbii = 1, bk,g+k = 1 (resp. b. 1 k,k = 1) et bit = 0 dans les autres cas.

5. La correspondance entre le type topologique de (E 03C3) et l’action de 6 surH1(V, Z) s’exprime de la manière suivante (cf. [24]). On peut toujours trouverune base symplectique de H1(V, Z) telle que la matrice de 6 soit de la forme,

Page 43: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

194

avec M symétrique.Dans ce cas on a, si r est le nombre de composantes de C(R) et r ~ 0,

De plus C(C) - C(R) est non connexe si et seulement si la Z-forme bilinéaireassociée à M est paire (ou de type II, ou orthosymétrique ...).

Ces remarques faites nous allons pouvoir décrire les structures réelles de C dansles différents cas.

Sur C nous noterons r l’involution du revêtement C ~ E, (z, 03BC) ~ (z, - 03BC).L’existence de i permet de définir deux structures réelles sur C. L’une définie par(z, Jl) ~ (z, Ji) l’autre par (z, 03BC) H (z, - Ji). La première sera notée 6 la seconde,6’ ( = 03C303C4 = 03C403C3).

REMARQUE. L’équation réelle de (C, a’) est simplement

Nous allons décrire simultanément ces deux structures en fonctions des

paramètres 1, H et K. En fait, pour des raisons pratiques, nous allons décrire 6’ eten déduire 6 en utilisant le fait que a = 6’i (sauf dans le cas E où il sera plussimple de décrire directement 03C3).Nous utiliserons pour Ctop et r, le modèle fixe décrit par la figure 9.On remarquera que la base (ai, bi)1i3 de H1(C, Z) choisie est symplectique

(ou standard) pour la forme d’intersection. On notera aussi que cette base est lamême que celle utilisée dans [7].

Page 44: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

195

Fig. 10.

Nous utiliserons aussi pour E le modèle décrit dans la figure 10.Dans le cas Q , C a, pour la structure définie par a’, 4 composantes réelles.

Cette situation est facile à décrire dans le cadre du modèle fixé ci-dessus: a’ est

simplement la symétrie par rapport au plan horizontal P. On notera que Q estalors la symétrie par rapport au plan orthogonal à P passant par l’axe de z etque dans ce cas (C, Q) a 2 composantes réelles (ce que l’on peut aussi constaterimmédiatement par un calcul direct). On notera aussi que le fait de remplacer a’par Q revient sur E à remplacer les coupures par leur complémentaire dans lacomposante réelle qui les porte.La matrice pour l’action de 03C3’ sur H1(C, Z) dans la base (ai, bi) est donc, dans

ce cas,

Pour passer de Os à M il y a deux possibilités. La première (situation "avantcusp" de 4.3.1) consiste à contracter le cycle b de E (et donc les cycles b1 et b3 de

C) puis, pour passer en ffl, à redilater b en composant avec un demi-twist deDehn le long de b dans E (resp. le long de b 1 et b3 dans C). Ceci donneimmédiatement pour la matrice de 6’ sur C, toujours dans la base (ai, bi):

La deuxième (situation "après cusp") consiste à contracter a dans E puisredilater et composer avec un demi-twist le long de a. Pour C on a le choix, soitfaire l’opération le long de al et a3, soit la faire le long de al - a2 et a3 - a2. Pour

Page 45: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

196

des raisons de cohérence, justifiées dans la suite, nous ferons le second choix. Lamatrice de 6’, dans la base (ai, bi) est alors

On remarquera que cette description est homéomorphe à celle décrite dans lasituation "avant cusp". On remarquera aussi que dans les deux cas ("avant et

après cusp") les constructions ne changent pas la partie réelle de (C, a) (ce quicorrespond bien à ce que l’on constate en regardant l’allure de la courbe). Nousavons représenté les parties réelles de (C, 03C3) et (C, a’) pour ce cas dans la

figure 11.Pour passer de 0 à r4l. Une analyse de l’allure de E lors de ce passage montre

que l’opération correspond à contracter un cycle réel pour (C, 6’) puis à le

redilater en composant avec un demi-twist. Comme il faut de plus que ce cyclesoit stable par i, il est facile de constater que pour le modèle que nous avons fixé

pour Q il ne peut s’agir que de b2. La matrice de 6’ est alors

Fig. 11.

Page 46: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

197

Pour passer de 2n à Fil. Ce cas se traite de la même manière que pour passer der5l à 0. On en déduit la matrice de 0"’

Pour passer de n4 à in. La situation est similaire dans les deux cas possibles

les cas A : l 1 2 et B : l 1 2 et se traite de la même manière que le passagede 5n à n2 dans le cas "avant cusp". Ceci donne pour la matrice de a’, la mêmematrice que celle décrite en (20).

Pour passer de n2 à 3n. Pour décrire ce cas nous aurons besoin d’une analyseprécise des parties réelles de (C, 6) et (C, a’). Les allures de (C, 03C3) et (C, 03C3’) dans [2]sont décrites dans la figure 12, deux de (C, Q) et (C, a’) dans 0 dans la figure 13,et les situations intermédiaires dans la figure 14.On en déduit que pour passer de 0 à n3 il faut contracter, puis redilater et

composer avec des demi-twists deux cycles qui ne coupent pas la partie réelle de

(C, a’) mais intersectent chacun les deux composantes réelles de (C, a). Deux tels

cycles sont a1 - a2 - b2 et a3 - a2 - b2 (voir la Fig. 15 et aussi la Fig. 11). Cecidonne en utilisant la remarque 4 et la matrice de 6’ du cas [2] "après cusp"

Fig. 12.

Fig. 13.

Page 47: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

198

Fig. 14.

donnée ci-dessus, la matrice

(toujours dans la base (ai, bi)).

Pour passer de 4 à 3 . Une analyse similaire à celle faite pour passer de m àmontre que le passage se fait en contractant le cycle al + a3 - b2 - 2a2 (voir

sur la Fig. 16 les composantes réelles de (C, 03C3’)).En utilisant une fois de plus la remarque 4, ceci donne pour la matrice de a’, à

nouveau la matrice (21).

Dans la suite nous aurons besoin du résultat suivant:

LEMME 5.3.1. Dans le cas ru (resp. ) les deux structures réelles (C, a) et (C, u’)sont homéomorphes. Dans le cas ru il n’y a qu’une composante réelle pour u et a’.Dans le cas la partie réelle, pour a et pour u’, a deux composantes et ne séparepas la partie complexe.

Fig. 15.

Page 48: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

199

Fig. 16.

L’affirmation est facile à vérifier dans le cas ru. Dans le cas n3 ceci peut aussise déduire des constructions. Pour a’, il suffit de remarquer que la structure réelleest homéomorphe à celle obtenue dans le cas rn (la partie réelle correspond auxcycles b1 + b2 + b3 et a1 - 2a2 + a3 + b1 - b2 + b3, voir la Fig. 11).Pour c’est un peu plus délicat mais l’on peut montrer, en suivant la

construction faite pour passer de 0 en E, que la partie réelle correspond auxcycles 2a2 + b2 et al + a3 - 2a2 - b2.Un autre argument, plus brutal, consiste à remarquer que dans la base

la matrice de a’ est

et que dans la base - bi, a2, a3, al + a3, 2a2 + b2, b3 - b1 la matrice de (1 est

et utiliser la remarque 5 dans les deux cas.

Page 49: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

200

Pour passer de P, à ru. Remarquons tout d’abord que dans le cas E (C, 03C3)(resp. (C, 6’)) a 3 (resp. 1) composantes réelles. Ceci implique que (C, 6) (resp.(C, a’)) dans le cas E est homéomorphe à (C, 03C3’) (resp. (C, a)) dans le cas . Onen déduit que l’on peut prendre comme matrice de a la matrice

Pour passer en Q il y a deux façons de procéder. La première, qui correspond àla situation "avant cusp", consiste à contracter b1 et b3 et donne comme matricepour

La seconde, qui correspond à la situation "après cusp", consiste à contracteral et a3. On obtient alors pour 03C3 la matrice

Pour passer de à r3l. Nous avons déjà constaté que le cas pour u est

similaire au cas 0 pour 6’ et que les deux structures réelles sont homéomorphespour r3l. On en déduit que ce passage est identique pour 6 au passage fil, Qpour a’.

Page 50: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

201

6. Fibré et diviseur des vecteurs propres

Nous allons utiliser abondamment les diviseurs de C et E. Il est donc nécessaire

de commencer par comprendre un peu précisément ceux des fonctions sur cescourbes.

6.1. Quelques fonctions méromorphes sur C et E

On se place toujours dans P’ x P1, la première coordonnée est z. Les pointsremarquables sont oo - = ( oo, 0), oo , = ( oo, oo ), p 1 = (a, 0), p, = (03B2, 0) et

a = (0, oo). De la discussion précédente, il ressort que sur E, le diviseur de z est

et celui de y

Appelons a + et a - les deux points de C au dessus de a. Sur C, le diviseur de lafonction z est

et celui de 03BC

remarquons au passage que %z) = a+ + a- -~+ -~- est un élément de Pic°(C)d’ordre 2 (il est non trivial puisqu’il n’y a pas de fonction de degré 2 sur C).Nous allons être amenés à travailler dans un groupe Pic’(C), dont l’espace

tangent en chaque point s’identifie canoniquement à H1(C, (9c). Chacun desouverts U± dans C est une courbe affine (les courbes non complètes sont affinesd’après un théorème de Serre) et donc le recouvrement C = U+ ~ U- de C estacyclique pour (De. Ainsi H1(C, (De) est le H1 associé à ce recouvrement.

PROPOSITION 6.1.1. Les 1-cocycles définis par les fonctions 03BC, 03BC2, 03BC3,holomorphes sur U+ ~ U- ont des classes de cohomologie indépendantes dansH1(C, (9c).DEMONSTRATION. Remarquons d’abord que M2 est invariante par i2 alorsque y et Jl3 sont anti-invariantes. Il suffit donc de démontrer les deux lemmessuivants:

Page 51: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

202

LEMME 6.1.2. Le cocycle y définit un élément non trivial de H1(E, (9E).

LEMME 6.1.3. Les deux cocycles Jl et M3 définissent des éléments indépendantsdans H1(C, (9c).

REMARQUE. Ainsi ces deux éléments de l’espace tangent à la jacobienneformeront une base de l’espace tangent à la sous-variété abélienne Prym (C|E),alors que Jl2 engendrera la partie provenant de Pic(E).DEMONSTRATION DU LEMME 6.1.2. Appelons toujours OUI les ouverts adhoc sur la courbe E. On a vu qu’il suffit de montrer que l’élément considéré estnon trivial dans la cohomologie du recouvrement. Supposons donc qu’il le soit,c’est à dire qu’il existe f+ holomorphe sur U+ et f- holomorphe sur OU- tellesque, sur 4Y+ ~ U-, y = f+ - f-. Alors f+ va avoir, comme y, un pôle simplepour z = oo. Comme elle n’en a pas ailleurs, c’est une fonction de degré 1 à

valeurs dans P1, ce qui est absurde. D

DEMONSTRATION DU LEMME 6.1.3. De même, la fonctiony a un pôlesimple pour z = oo et elle représente donc un élément non trivial de H1(C, (9c).Montrons qu’il n’existe aucun scalaire oc tel que Jl3 - oep - 0. Comme dans ladémonstration de 3.3.1, on montre que, pour une 1-forme holomorphe w bienchoisie,

Posons 03B4(z) = z-1 - 2H + 2z de sorte que l’équation de C s’écrit

et de sorte qu’il est clair que

est une forme holomorphe sur C. On calcule sans difficulté la somme des résiduscherchée, elle vaut - 2, ce qui finit la démonstration. 0

6.2. Application de vecteurs propres

Considérons une orbite 02l (l ~ 0) fixée, et sur cette orbite un niveau communJH,K des intégrales premières H et K. Ces valeurs indexent aussi une courbespectrale Y. A tout élément (r, M) E 02l on associe un fibré en droites complexesF sur Y: celui dont la fibre au point (A, p) est le dual de la droite propre de L(03BB)pour la valeur propre ,u.

Page 52: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

203

Le degré de ce fibré se calcule facilement. On utilise la forme (13) pourconstater que 03BB*F ~ Pl est le fibré trivial R4 QR Op, de rang 4: la fibre en E Plest la somme des (duaux des) sous-espaces propres de L(03BB) soit tout l’espace C4.Le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch donne

soit

où t E H’(Pl), u E H2(Y) sont les générateurs canoniques, d est le degré cherché etg, le genre de Y, vaut 5. Bien sûr, Â*u = t et 03BB* 1 = 4 puisque est de degré 4. Ontrouve donc que d = 8.

On définit ainsi l’application

REMARQUE. La même jacobienne reçoit aussi le niveau correspondant auxmêmes valeurs de H et H mais cette fois dans O-2l: seul l2 apparaît dansl’équation de Y D’ailleurs il est clair que les deux niveaux en question sontisomorphes par

La relation (14) implique que, si v est un vecteur propre de L’(03BB) pour la valeurpropre ,u, alors ilv est un vecteur propre de L’(03BB) pour la même valeur propre. Enparticulier, Li F est isomorphe à F, et fH,K est à valeurs dans l’image del’application

induite par le revêtement n : Y ~ C.

REMARQUE. 03C0* est un revêtement double de son image et non pas uneinclusion comme l’affirment les auteurs de [7]. En termes de groupes, le noyaude son avatar

est engendré par un élément d’ordre 2, ici celui représenté par 1 2(z). En termestopologiques, le groupe des éléments d’ordre 2 dans Pic°(C) s’identifie naturelle-

Page 53: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

204

ment à H1(C; Z/2) et l’image de 1 2(z) est la classe correspondant au revêtementY - C.

PROPOSITION 6.2.1. Il existe une application IH,K: JH,K ~ Pic4(C) relevantJH,K (de sorte que fH,K = 03C0*H,K).DEMONSTRATION. Fixons un point de JH,K, autrement dit un polynômeL’(03BB). Considérons une section holomorphe 03C8 du fibré F associé, dualement unesection méromorphe sans zéro (À, 03BC) H v(À, 03BC) du fibré des vecteurs propres. Acause de la propriété d’invariance sous 03C41 et quitte à multiplier v par unefonction ad hoc, on peut supposer que le diviseur des pôles de v s’écrit

A + n - 1(oo ) où A est effectif de degré 6 et vérifie 03C4*1A = A, de sorte que A = n* D,avec D un diviseur effectif de degré 3 sur C.

REMARQUE. Bien que les auteurs de [7] aient été un peu imprudents sur laquestion traitée ici, cette construction est reprise de leur article.

Les deux éléments de Pic4(C) qui s’envoient sur fH,K(L’(03BB)) sont donc lesclasses des diviseurs D + oo + et D+a++- -~-. Pour démontrer la pro-position, il suffit donc de vérifier que D+a+ +a- -~- n’est pas équivalent à undiviseur effectif de la forme D’ + oo + : on pourra alors définir H,K(L’(03BB)) commela classe de D + oo + (par exemple).Supposons donc que

ou que

Soit g une fonction méromorphe sur C telle que (g) = D’ + ~+ + ~- -D-a+ -a-. Alors g = g - 03C0 est une fonction sur Y et 03C8 une section méromorphe deF. Son diviseur est

Comme D’ est effectif, 03C8 s’annule en tous les points au dessus de 03BB = ~. C’estdire que 03C8 annule tous les vecteurs propres de L’. Or cette matrice est

diagonale (dans la base canonique). La section 03C8 serait donc nulle, ce qui estabsurde. 0

Le but des deux paragraphes suivants est de démontrer

THEOREME 6.2.2. Si C est lisse, le niveau 9-H,, correspondant est régulier etf : JH,K ~ Pic4(C) est un isomorphisme de variétés algébriques (complexes munies

Page 54: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

205

d’une structure réelle) sur son image. Celle-ci est isomorphe à un ouvert dePrym(C |E).

COROLLAIRE 6.2.3. Si C est lisse, le niveau (réel) JH,K est difféomorphe à lapartie réelle de Prym(C|E). En particulier, le nombre de tores de Liouville

constituant ce niveau est le nombre de composantes de Prym(C |E)(R).

En effet, 9-HK étant compacte, toute la partie réelle de Prym(C 1 E) est dansl’image. D

REMARQUE. L’essentiel des aspects complexes de ce résultat est énoncé dans[7] à la suite de la détermination des solutions explicites des équations d’Euler.Nous l’obtenons ici indépendamment de ces solutions.

Compte-tenu de ce qui précède, et pour montrer le théorème, il suffit de

vérifier:

(a) que l’application tangente à fH,K est à valeurs dans le sous-espace vectorieldes éléments invariants par T,* et anti-invariants par i2 dans H1(1: OY) -c’est l’espace tangent de Prym(C|E).

(b) qu’elle induit un isomorphisme de l’espace tangent à JH,K sur ce sous-espace.

Ainsi nous saurons que fH,K (et donc aussi fH,K) est un revêtement de son image.Ensuite il n’y aura plus qu’à montrer que f est injective en un point générique,ou, compte-tenu de la factorisation (Proposition 6.2.1), que f est de degré 2 enun point générique.

6.3. Application tangente à f

Nous allons utiliser ici la méthode de Reiman 1.1.1 deux fois: essentiellement une

fois pour la fonction H et une autre fois pour la fonction 2(H2 + 1) - K.

6.3.1. Invariants spectraux et intégrales premièresLes coefficients des puissances de 03BB dans l’équation (16) de la courbe spectrale Ysont des intégrales premières de l’équation différentielle: c’est la première desvertus de la forme de Lax que de fournir des intégrales premières.En utilisant les relations entre fonctions symétriques élémentaires et poly-

nômes de Newton (sommes de puissances), on calcule facilement:

et

Page 55: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

206

de sorte que 8H = Res(tr L(03BB)203BB-1 d2) et 16[2(H2 + 1) - K] =Res (tr L(03BB)403BB-1 d2).

Naturellement, ces deux fonctions sont indépendantes et en involution si etseulement si H et K le sont.

6.3.2. Commençons donc par regarder le cas de H (qui est traité dans [7]). A uncoefficient constant près, H est le terme constant dans tr(L(2)2). On applique laméthode de Reiman 1.1.1 avec g(A) = tr A2, c’est d’ailleurs ce qui permet detrouver le second membre de l’équation de Lax pour la toupie de Kowalevskique nous n’avons pas explicitement écrit. A un coefficient constant près, ontrouve que dh(L(03BB)) = L(2) et donc que 03C8(03BB, Jl) = Jl.

6.3.3. Pour ce qui est de 2(H2 + 1) - K, c’est le terme constant dans tr(A)4 (ce quipermettrait aussi de mettre l’équation différentielle du flot de K sous forme deLax mais nous n’en avons pas besoin ici). Toujours à un facteur constant près,on trouve que dh(L(03BB)) = L(2)3 et donc que 03C8(03BB, Jl) = Jl3.Des calculs de 6.1, on déduit alors immédiatement:

PROPOSITION 6.3.4. Si C est lisse, le niveau JH,K est régulier.

En effet les champs de vecteurs hamiltoniens de H et K sont alors envoyés surdes vecteurs indépendants de H1(C, (9c) et donc ces deux vecteurs étaient

indépendants. 0En supposant (H, K) tel que C soit lisse, on a aussi

PROPOSITION 6.3.5. L’application de vecteurs propres!H,K: JH,K ~ Pic4(C) estun revêtement (étale) de son image, laquelle est une sous-variété abélienne de mêmedirection que (et donc isomorphe à) Prym(C |E).

6.4. lnjectivité de f

Pour finir de démontrer le théorème 6.2.2, il reste à montrer que f est de degré 2(considérée à valeurs dans son image). La base de la technique vient encore deReiman [23]. Il commence par montrer que si F est dans l’image, alors

2(F( -P+)) = 0 où pour simplifier, on a appelé P+ le diviseur des zéros de 2 (demême P - sera son diviseur des pôles).

REMARQUE. Reiman fait l’hypothèse que le coefficient de 2 dans L(03BB) a unspectre simple, ce qui n’est pas vrai pour nous: dans la forme (13) ce coefficient a0 pour valeur propre double. Quoiqu’il en soit, sa démonstration utilise

exclusivement le fait que cette matrice est diagonalisable, ce qui est vrai ici oùelle est diagonale.

Il considère ensuite la courbe Y, munie de ses fonctions 2 et J1 (et en particulierde (03BB) = P+ - P-) et un fibré F de degré 8 sur Y qui vérifie L(F(-P+)) = 0. SoitV = fL7(F) l’espace de ses sections holomorphes.

Page 56: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

207

LEMME 6.4.1. dimc V = 4.

Soit Yo = U+ ~ U- = Y-(P+ ~ P-) et soit R = C[03BB,03BB-1]. On considère

l’application naturelle

LEMME 6.4.2. L’application i est un isomorphisme de R-modules.

En particulier, la multiplication par 03BC, endomorphisme de Y(YO, F) corre-spond, via i à une application R-linéaire de V 0 R dans lui-même, c’est à dire àun polynôme de Laurent à coefficients dans les endomorphismes de V.Comme on a donné les fonctions et p sur Y, on sait en plus que 03BB03BC n’a pas de

pôle en les points de P +, et de même que 03BB-103BC n’a pas de pôle en les points deP -, ainsi, notre polynôme d’endomorphismes est

On a ainsi, à conjugaison près, une matrice L’(03BB) (qui n’a a priori aucuneraison d’être dans sp(4, R)[À, 03BB-1]).

Il n’est pas difficile maintenant, une matrice L(03BB) du type (13) étant fixée,d’étudier sa classe de conjugaison sous GL(4, C) ou, ce qui revient au même, sousSL(4, C): c’est un calcul ni très long, ni très difficile, ni très intéressant. Oncherche les g E SL(4, C) tels que gL(03BB)g-1 soit de la forme L’(À). Comme lecoefficient de 03BB est une matrice diagonale indépendante des paramètres,

On considère ensuite le terme constant et enfin le terme en pour montrer,avec des hypothèses de généricité ad hoc sur L(03BB) (précisément (u, v) ~ 0, w ~ 0,(03B31,03B32) ~ 0, (Y 3 ~ 0), que

Page 57: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

208

Cette conjugaison correspond à

avec 112 = 1. En fait, si on est bien sur l’orbite 021, on a 11 = e.Les deux éléments de ff H,K

ont donc la même image, ainsi f est de degré 2 et 1 de degré 1. D

7. Tores de Liouville

7.1. L’image de l’application moment et les niveaux critiques

Nous avons vu dans 6.1 que lorsque C est lisse, alors le niveau g- correspondantest régulier: l’ensemble des valeurs critiques de l’application moment (K, H) estcontenu dans le discriminant de la famille de courbes C. Nous allons montrer ici

la réciproque, en vérifiant que les valeurs de H et K figurant sur le discriminantsont effectivement critiques. Nous allons limiter les calculs (voir [19]).

7.1.1. Image du momentDéterminons l’image réelle de l’application moment (K, H). Il suffit de con-

sidérer chacune des régions du plan des (K, H) limitées par la partie réelle dudiscriminant et de décider si oui ou non elle est atteinte. Il est clair que les

régions hachurées sur la figure 17 ne sont pas atteintes: elles contiennent soit despoints avec K 0, soit des points avec H -1.

Toutes les autres régions (numérotées sur la Fig. 17) sont atteintes: faisonsq = 0 et 03B32 = 0, alors

Si Yl est très proche de 0, alors 72 est très proche de + 1 et r de + 21. Si on. it

Page 58: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

209

Fig. 17.

brutalement y =0, on obtient K = p4, H = p2 + 2l2 et ainsi tous les points de labranche supérieure de la parabole. En gardant 03B31 ~ 0 mais très petit, on obtientdes points de toutes les régions limitées par cette branche supérieure, c’est à direen fait de toutes les régions non hachurées et numérotées sur la figure 17.

REMARQUE. Evidemment toutes les branches de courbes qui contribuent à lafrontière de l’image du moment sont formées de valeurs critiques correspondantà des points critiques réels.

7.1.2. La matrice jacobienneEtudions maintenant les valeurs critiques de l’application moment. Les gra-dients de ~0393~2, M - r et H pour la forme bilinéaire définie à la Section 1.3 sont

respectivement 03B50393, r + eM et Q + eL. On calcule facilement celui de K qui s’écritA+EB, où

Les différentielles des deux fonctions H et K sont donc liées sur l’orbite 02l siet seulement si les 4 vecteurs de R3 x R3 qui sont les colonnes de la matrice

sont liés.

Ecrivons donc qu’il existe une relation linéaire entre les colonnes de cette

Page 59: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

210

matrice:

On a M = 203A9+C où tC=(0,0-r). Posons y=03B31+i03B32 et comme toujoursx = p + iq, 03BE = ~1 + i~2 et regroupons en une seule équation (complexe) les

équations reliant les deux premières composantes dans chaque vecteur, onobtient un système de 4 équations à 4 inconnues:

Bien sûr, ce n’est pas vraiment un système linéaire de 4 équations à 4inconnues: s, t, u et v doivent être réels. En tout état de cause, nous cherchons

simplement à montrer que les courbes composant le discriminant sont effective-ment des courbes de valeurs critiques. Un cas particulièrement simple s’impose ànous: celui où les équations elles-mêmes sont réelles, c’est à dire où 7, = 0 etq = 0 (ainsi y et x, mais aussi 03BE, sont réels).Dans ce cas on a des valeurs critiques si et seulement si le déterminant 4 x 4 du

système est nul. On calcule assez facilement:

Chacun de ces trois facteurs correspond à une des composantes dudiscriminant.

7.1.3. La droite K = 0

Supposons que p2 +Yl = 0. Comme q = 72 = 0, on arrive bien sur la droiteK = 0. Grâce à 7.1.1, on sait que tous les points de la demi-droite K = 0 etH 2l2 sont des valeurs critiques correspondant à des points critiques réels.

Page 60: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

211

7.1.4. La courbe à cusp

Supposons pr + 73 = 0. Fixons une valeur de p et un point

de la courbe à cusp (p est la valeur de la racine multiple de R pour ces valeurs deH et K). Posons encore

Alors K = (p2 + 03B31)2, ce qui n’est possible que si

Si l’on suppose 1 &#x3E; 0 pour simplifier, cette équation en r a des solutions réelles

pour p - 1 est - 3l p 0 (ce qui correspond à l’intersection de la branchecontenant le point de rebroussement avec le demi-plan K 0) et aussi pourp 1 ce qui correspond à la partie de l’autre branche qui est dans la zône nonhachurée (dont nous savons déjà qu’elle reçoit des points critiques réels grâce à7.1.1).Toute la partie de la courbe à cusp qui se trouve dans la zône non hachurée est

donc bien formée de valeurs critiques correspondant à des points critiques réels.

7.1.5. La paraboleSi le troisième facteur 2p03B33 r03B31 est nul, avec q = 0 et 03B32=0, les équationsdonnent

On atteint ainsi des points de la branche inférieure de la parabole, dont noussavons déjà qu’ils reçoivent des points critiques réels grâce à 7.1.1, et aussi despoints critiques réels qui s’envoient dans la branche supérieure. Remarquonsque, si toute cette parabole est formée de valeurs critiques (complexes), nousn’avons pas exhibé ici de point critique réel qui s’envoie sur la partie de labranche supérieure située au delà du point de tangence avec la courbe à cusp.

Page 61: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

212

Un peu plus de calculs (ceux que fait Kharlamov dans [19]) montrerait qu’il n’yen a effectivement pas. Nous le retrouverons dans 7.4.

7.2. La méthode classique

Elle est due à Kharlamov [19], et est basée sur l’étude des "mouvements réels"d’Appelrot [4]. Celui-ci a étudié quelles valeurs de (p, q) (projection de Q ou de’M sur le plan équatorial de la toupie) étaient effectivement atteintes. Cetteétude utilise les fonctions si et s2 et leur position par rapport aux racines réellesdu polynôme T (voir la Section 4 pour les notations). Avec le petit changementlinéaire de variables de 4.3 et en appelant toujours s, et s2 les variables

modifiées, on remarque d’abord qu’on a toujours

et, d’autre part, si el, e2, e3 (resp. el) désignent les (resp. la) racine(s) réelle(s) de ç,que

On dessine alors les courbes s, = cste, s2 = cste dans le plan des (p, q). Lesrégions des mouvements réels sont celles autorisées par ces inégalités. Onconçoit aisément que la position du point (K, H) considéré par rapport audiscriminant a son importance: elle détermine le nombre des racines réelles de 9et leurs positions par rapport à H ± JÀ.La figure 18 représente la forme des régions obtenues suivant que (K, H)

Fig. 18.

Page 62: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

213

est dans la région numérotée respectivement ru, ML ou rn, et 0 sur lafigure 17.Ensuite, on compte combien de points (r, M) s’envoient sur chaque point de

la région considérée. Avec un peu de soin, on peut en déduire le nombre de toresde Liouville correspondant à chaque région du complémentaire du

discriminant.On peut même étudier leurs bifurcations à l’aide de celles des régions de

mouvements réels correspondantes, mais l’article [19] ne contient pas dedémonstration des résultats annoncés sur les bifurcations.

7.3. Tores de Liouville et variétés de Prym réelles

PROPOSITION 7.3.1. Le nombre de tores de Liouville du niveau régulier(H, K) ~ R2 est celui indiqué sur la figure 19.

C’est le résultat de Kharlamov [19]. Pour le démontrer, il nous suffit

maintenant de compter, dans chaque cas, les composantes de Prym(C|E), ceque nous faisons dans la suite de ce paragraphe.

Soit (ai, bi) la base de H1(C, Z) fixée dans 5.3 et soit (Wi)i une base l’espace des1-formes holomorphes H0(C, Çl’), normalisée, c’est à dire telle que, bj03C9i = bij.

La jacobienne Jac(C) est le quotient C3/[Z, 13] où Z = (Saj 03C9i)i,j et [Z, 13] estle réseau de C3 engendré par les colonnes de la g x 2g matrice (Z, 13).

Soit ç un automorphisme de C. Si ~* opère sur Hi(C, Z) par la matrice 0 et si

(où a, b, c et d E Mg(Z)) alors l’action de 9 sur Jac(C) est induite par l’application

Fig. 19.

Page 63: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

214

C3 ~ C3 : z~t (cZ + d)-1z. Appliqué à i, qui opère sur H1(C, Z) par la matrice

on trouve que l’action de i sur Jac(C) est induite par (zi, z2, Z3) ~ -(z3, Z2, z1).On remarquera que l’existence de i entraine des relations non triviales entre

les zj (où Z = (zij)i,j). Explicitement on a z11 = Z33 et z12 = z23 en plus desrelations habituelles de symétrie zj = zj..Nous noterons encore i cet automorphisme de Jac(C). Prym(C| E) est par

définition la composante connexe à l’origine de la partie fixe sous -,r ou, pourreformuler les choses autrement,

où l’exposant - désigne la partie fixe sous - i et * le dual.Ici, vue la simplicité de l’expression de 03C4, il est facile de voir que c’est l’image

dans Jac(C) du sous-espace {(z1, Z2, z1)} de C3 et que l’on peut prendre a2,al + a3, b2, b1 + b3 comme base de H1(C, Z)- et W2, (01 +W3 comme base deH0(C, 03A91C)-. De là on peut déduire que Prym (CIE) = C2/[W,B], où comptetenu des relations satisfaites par les zy,

Les structures réelles sur Prym(C 1 E) correspondant aux structures de C sontinduites par (7 et a’. Remarquons que, comme T opère comme -1 d surPrym(C|E), on a

On pourra donc utiliser 03C3, 03C3’, -03C3 ou -03C3’ pour calculer le nombre de

composantes réelles de Prym(C |E). Nous noterons encore u et - a ces

structures réelles.

Pour faire ce calcul on dispose de plusieures méthodes. La plus simple

Page 64: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

215

consiste à compter le nombre de points réels d’ordre 2 (il y en a 29, soit ici 4, parcomposantes). On peut aussi normaliser la matrice pour l’action de Q (resp. - a)sur H1(C, Z)- de façon à ce qu’elle soit de la forme

auquel cas le nombre de composantes connexes sera 22 -r, où

(ceci se démontre de la même manière que le résultat correspondant de laremarque 5 de 5.3).

Les calculs faits précédemment montrent que pour -a on a déjà cette formedans les cas , , E et 0 avec respectivement,

Pour 6 on a cette forme dans les cas 0 et avec respectivement

On en déduit que Prym(C E) a:

(a) 4 composantes réelles dans le cas [5],(b) 2 composantes dans les cas B, E et F21,(c) 1 composante dans le cas ru.

Il nous reste le cas rn, où il faut normaliser. Pour ce faire on peut prenre labase a2 + b2, 2a2-(a1+a3)+2b2+(b1+b3), b2+(b1+b3), 2a2-(a1+a3)+2b2de H1(C, Z)- (dont on constatera qu’elle est symplectique pour la forme (1, 2)).Dans cette base, la matrice de - (1 est

et donc

(a) Prym (C |E) a 2 composantes réelles dans le cas rn.

Page 65: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

216

Fig. 20.

7.4. Bifurcations des tores de Liouville

PROPOSITION 7.4.1. Les bifurcations des tores de Liouville pour la toupie deKowalevski sont celles représentées par la figure 20.

On trouve effectivement les bifurcations annoncées par Kharlamov. Remar-

quons que la branche de la parabole située au-delà du point de tangence nedonne pas de fibre singulière (au sens de la topologie cette fois!) et donc pas debifurcation.

Pour démontrer la proposition, on commence par remarquer que la fibrationpar les tores de Liouville est minimale: la variété symplectique est lisse, et lesfibres singulières correspondant à des points réguliers du discriminant sontmunies de champs de vecteurs non nuls; elles sont des réunions de cercles, toresou bouteilles de Klein immergées et ne peuvent être obtenues par éclatement.Ensuite on décrit les modèles minimaux stables des dégénérescences des variétésde Prym le long du discriminant.Nous allons utiliser [27], et pour contourner la difficulté liée au fait que les

Page 66: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

217

variétés de Prym qui nous intéressent ici ne sont pas principalement polarisées(l’article cité ne traitant que le cas des variétés abéliennes principalementpolarisées) nous allons d’abord travailler dans Jac(C).

Soit p un point (réel) du discriminant et soit D un petit disque complexe centréen p, globalement invariant par conjugaison complexe et d’intersection trans-verse avec le discriminant. On peut utiliser les équations définissant C et E pourdéfinir des courbes au dessus de D. On définit de cette façon des fibrations encourbes au dessus de D. De la même manière que dans 2.5 on peut supposer queles surfaces topologiques Ctop et Etop sont fixes et que ce sont les structurescomplexes qui varient. On peut aussi choisir des formes holomorphes (03C9i(t))i,t ~ D - {p} = D*, telles que bj 03C9i(t) = 03B4ij ((aj, bj) la base de H1(C, Z) fixée

précédemment). Dans ces conditions si l’on note zij(t) 1,,j 03C9i(t) on obtient unefibration par les Jac(C) définie par

où Z6 opère par

et où les (zij(t))i sont les colonnes de la matrice ((zij(t))ij, 13). On peut aussi définirune fibration par les Prym(C 1 E) par

où Z4 opère par les colonnes de la matrice

Pour illustrer la méthode que nous voulons utiliser nous allons commencer

par traiter en détail un des cas les plus simples.Soit p un point réel de la courbe à cusp du discriminant (voir 4.3.1) situé sur

l’arc entre les zônes M et Q (voir la Fig. 7). Nous avons montré que le passagede m à 0 se fair par contraction du cycle b2, réel pour a’. Mais ceci impliqueque nous sommes exactement dans la situation étudiée par Fay, dans [10] p. 50-60 et aussi étudiée dans [27] Lemma 10.7 (voir en particulier le point (ii) a) de lapreuve). On en déduit que la fibration par les Jac(C) (ou pour être plus précis,par les (Jac(C), 03C3’)) se prolonge holomorphiquement en une fibration au dessus

Page 67: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

218

de D en prenant comme fibre au dessus de p

REMARQUE. On fera attention que la limite de z12(t), z22(t) et z32(t) n’est pas 0.Au contraire lim,-p z22(t) = oo. En d’autres termes la période correspondant à ladeuxième colonne n’opère plus ou, si l’on préfère, ce n’est plus Z6 qui opère maisZ5. Comme on veut quand même faire opérer Z6 il est nécessaire de remplacer lacolonne correspondante par des zéros.

L’action ((ri, z2, Z3), t) ~ (- (ZI, Z2, Z3), t) sur C3 x D* induit r sur chaque fibreet cette action se prolonge évidemment en une opération sur C3 x D. Du coup onpeut, en procédant exactement comme dans le cas lisse, prolonger la fibrationpar les Prym(C E) en une fibration au dessus de D avec comme fibre au dessusde p, le quotient de C2 par le réseau engendré par les colonnes de

REMARQUE. Il est peut être utile, pour expliciter ce point de remarquer que sil’on ne tient pas compte des relations entre les zj, la matrice des périodes dePrym(Ct| Et) est

(puisque les coefficients sont 03B12 ffl2, flll +1l3 W2 ... etc.). D’où quand on passe à lalimite la matrice (22).

Cette fibre est assez simple à étudier, il s’agit d’une extension par C* de lacourbe elliptique de période z11 + z13. De plus la classe de congruence de cetteextension est donnée par l’image dans cette courbe du point Z21 (voir [10] ou[25] pour plus de détails).On peut aussi décrire, en utilisant les méthodes de [27], la structure réelle de

la fibre.

Nous sommes partis de a’ sur C (i.e. de - 6 sur Prym(C 1 E». Le fait d’avoircontracté un cycle réel implique que la structure réelle sur C* est celle définie parz H 1/z. D’un autre côté vu les structures réelles de C dans les cas 0 et V41, z, 1,

Page 68: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

219

z13 et z21 sont imaginaires purs (en effet par construction

et similairement pour z13 et z21). De ce dernier point on déduit deux choses

1. La courbe elliptique a deux composantes réelles et ceci pour les deuxstructures réelles S et - S induites par 6 et - 6.

2. z21 appartient à la composante connexe de l’origine pour la structure - S.

Ceci décrit la situation pour. Pour obtenir celle qui correspond à 03C3, il

suffit de prendre la structure - S sur la courbe elliptique et de prendre sur C* lastructure définie par z H z (voir [27] pour le passage de 03C3 à - 03C3).La limite que nous avons décrite est la limite pour les structures de groupes

algébriques et non pas la limite pour les structures de variétés topologiques.Pour obtenir celle-ci remarquons que le point 2 ci-dessus implique de plus quel’extension est quasitriviale (c’est à dire peut être déformée continument, enrespectant la structure réelle, en une extension triviale, voir [27] pour plus dedétails et aussi plus bas une autre approche). En d’autres termes la fibre limite(au sens des groupes algébriques) est homéomorphe au produit de C*, muni dela structure z ~ z, et d’une courbe elliptique à deux composantes réelles (lapartie réelle de cette fibre est donc homéomorphe au produit de demi-droites pardeux cercles).En fait on peut être beaucoup plus explicite en analysant de façon un peu plus

précise le comportement de la partie réelle des fibres.Dans le cas , - 6, les 4 composantes sont les images des parties suivantes de

C2 (et de leurs translatés par les éléments du réseau)

OÙ yij = Jmzij.Comme - 6 est induit par la conjugaison complexe, 6 est induit par z H - z

dans C2. On en déduit que les 4 composantes sont les images respectivement de

i R2 et de ses translatés par (1 2 0), (0 1 ) et 0),

Page 69: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

220

Pour 0 on utilise la même méthode en remarquant que comme Rez22 == 2 onn’a plus que deux composantes, les images de

1. R2 et et (iy12 i(y11+y13) + R2 pour -03C3.2. Et pour 03C3:

(a) l’image de i R2 et de 2 + i R2 pour une composante;

(b) l’image de G)+iR2 et de (1 2 1)+ iR2 pour l’autre.Mais on peut encore utiliser la même méthode pour la fibre limite. On trouve

qu’elle a deux composantes pour -03C3, les images de R2 et de ( iYl2 + R2.Et on obtient deux tores ( puisqu’on prend le quotient par (1 0 0 2)). Et 4composantes pour (7, les images de iR2, (1 2 0) + i R2, 0 + i R2 et 2 + i R2. Maiscette fois comme on ne prend le quotient que par l’action de i(Yl iy12 i(y11+y13))chacune de ces composantes est homéomorphe à un cylindre ou mieux un demi-tore. Il est facile de voir que pour compactifier la variété fibrée de dimension 3 ilfaut rajouter deux cercles qui seront disjoints des deux tores si la structure est-03C3 et qui recolleront deux par deux les demi-tores si la structure est a. Onobtient donc l’union de deux tores et deux cercles pour -03C3 et le produit d’unhuit par l’union de deux cercles pour 6.

Il y a une autre façon de trouver ce résultat qui peut être utile pour d’autresapplications. On remarque que l’on peut déformer la fibration en faisant tendrez12 = iy12 vers 0. Mais pour iy12 = 0 la matrice est la matrice des périodes duproduit de deux courbes elliptiques. Comme la déformation respecte la structureréelle la fibration est homéomorphe à celle obtenue en considérant le produitd’une courbe elliptique à deux composantes réelles et d’une courbe elliptique quidégénère en la courbe

Pour la première la structure de groupe sous jacente à la partie régulière est cellede C* muni de la structure réelle définie par z ~ 1/z et la partie réelle esthoméomorphe à l’union d’un cercle et d’un point. Pour la seconde la structure

Page 70: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

221

de groupe est C* muni de la structure définie par z ~ z et la partie réelle esthomémorphe à un huit.On en déduit à nouveau, en utilisant [27] Section 5, que le complété naturel

de la fibre limite (pour 6) est homéomorphe au produit d’un huit par 2 cercles.La méthode que nous venons de décrire s’applique à quelques adaptations

près à tout les autres cas comme nous allons le constater.

p situé sur l’arc entre 0 et n2 "avant" le cusp. Ici on contracte deux cycles réelspour a’ (b1 et b3). Le raisonnement utilisé dans le cas précédent permet deprolonger la fibration en Prym, pour la structure -03C3, en prenant comme fibreau-dessus de p le quotient de C2 par

On en déduit que la limite, au sens des groupes algébriques, est une extensionde la courbe elliptique de période Z22 par C*, et que la classe de cette extensionest déterminée par l’image dans la courbe de z12. Comme ici aussi les partiesréelles de z 11 et z12 sont nulles, on est dans une situation tout à fait similaire àcelle rencontrée dans le cas précédent et on retrouve comme fibre limite

topologique une fibre homéomorphe au produit d’un huit par deux cercles.

p situé sur l’arc entre et ru . La première partie des calculs est identique à ceuxfaits pour p entre et , puisque le passage se fait par contraction de b2 qui estréel pour 03C3’ dans les deux cas.

On peut donc à nouveau utiliser pour décrire la fibre limite la matrice

Il y a cependant une différence ici, la partie réelle de z 11 est égale à -1 2. En effetvue la forme de la matrice de 03C3’,

Ceci signifie que la courbe elliptique intervenant dans la fibre limite n’a qu’unecomposante réelle. Cependant comme on a encore Rez12 = 0 le reste duraisonnement fait dans les deux cas précédents s’applique en tenant compte decette modification. On trouve donc que la fibre limite est homéomorphe auproduit d’un huit par un cercle.

p situé sur l’arc entre et El. Ce cas est en quelque sorte une combinaison

Page 71: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

222

des passages de 0 à M et de [2] à ru. Le passage se fait par contraction de b 1 etb3, qui sont réels pour a’. On a comme matrice limite une matrice de la formedécrite par (23). Mais cette fois Rez22 =! et la courbe elliptique n’a qu’unecomposante réelle. On est dans une situation similaire à celle du cas précédent eton retrouve le produit d’un huit par un cercle.

p situé sur l’arc entre Os et [2] "après" le cusp. Dans ce cas il sera plus simple detravailler avec’ et donc directement avec sur Prym(C|E). Toujours poursimplifier, nous pouvons décrire ce passage par contraction de al et a3 (voir laremarque faite à ce sujet dans 5.3). Les matrices de - Q’ dans la base (bl, b2, b3,-a1, -a2, -a3) sont respectivement

On est donc dans le même situation que celle décrite pour p sur l’arc entre n5et [2] "avant cusp", mais pour - 03C3’ cette fois et donc pour 6 au niveau des Prym.Il faut donc modifier la dernière partie du raisonnement. La fibre limite (limiteprise au sens des groupes algébriques) est une extension d’une courbe elliptique àdeux composantes réelles (pour les mêmes raisons que précédemment) par C*muni de la structure réelle z H 1/z, qui correspond à la structure de groupe de lapartie régulière de la courbe

dont la partie réelle est homéomorphe à l’union d’un point et d’un cercle.On a encore Rez12 = 0 et ici encore l’extension est quasi-triviale (pour des

raisons symétriques de celles rencontrées dans les cas précédents). En utilisant ànouveau le raisonement fait plus haut, on trouve que la limite est homéomorpheau produit de deux cercles par l’union d’un point et d’un cercle.

p situé sur l’arc entre et [E] "avant" le cusp. D’aprés 5.3 la fibration

(Prym(Ct|Et), 03C3) est ici de même nature que la fibration (Prym(Ct|Et), - 6) lorsdu passage de 0 à ru.

Il faut donc pour décrire ce cas utiliser la même modification que dans le cas

Page 72: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

223

précédent. On trouve alors que la fibre limite est homéomorphe au produit d’uncercle par l’union d’un point et d’un cercle.

p situé sur l’arc entre R] et ru "après" le cusp. La relation entre ce cas et leprécédent est la même qu’entre les cas "passage de r5l à [2] ’avant cusp"’ et"passage de rn à ffl "’après cusp"’ que nous avons décrits. En suivant la mêmeméthode on trouve le produit d’un huit par un cercle.Pour pouvoir appliquer les raisonnements qui précédent aux trois cas restants

il va nous falloir effectuer des changements de base pour H1(Ctop, Z) de façon àce que les cycles contractés apparaissent dans la deuxième moitié de la nouvellebase.

p situé sur l’arc entre [2] et 0. On poura prendre la base que nous avonsdonnée pour r3l 6 dans notre argument "brutal" pour la preuve du Lemme 5.3.1mais il est peut être préférable, pour rester plus près des hypothèses de Fay,d’utiliser par exemple la base

Ce choix change la forme de la matrice pour a’, mais comme on va le voir souspeu, ce n’est pas important.On choisira à nouveau des formes holomorphes ((~i(t))1i3 telles que

03B2j~i(t) = ôy. On pose 03B6ij(t) = 03B1j~i(t). La méthode de Fay donne alors commefibre limite pour la fibration en Jac(Ct), le quotient de C3 par le réseau engendrépar les colonnes de

A présent on remarque que la matrice de i dans la base (03B1j, 03B2j) est la même quedans la base (aj, bj) et qu’on peut prendre comme base de H1(Ct, Z)- la base

(03B12, (Xl + a3, 03B22, 03B21 + P3)

La forme de i induisant les mêmes relations entre les 03B6ij que celles que nousavions entre les zy on trouve comme matrice des périodes pour Prym(Ct|1 Et),

Page 73: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

224

ou, si nous n’utilisons pas ces relations, ce qui vaut peut être mieux ici,

et pour la fibre limite

compte tenu des relations entre les (jj.On remarquera aussi que la matrice de 03C3’|H1(Ct,Z)- est

De ceci on déduit deux choses, d’une part que les 1-formes ~2 et ’11 + ’13 sont

réelles pour 6’ (i.e. pour tout cycle y, J y ’1 = Jaf(y) ’1) et d’autre part queRe ’22(t) = 0 et W-’ 03B621(t) = 2 (pour ffl et ).En procédant de la même manière que dans les cas précédents on trouve que

la fibre limite, au sens des groupes algébriques, pour la fibration

(Prym(Ct 1 Et), a), est une extension d’une courbe elliptique à 2 composantesréelles par C* muni de la structure réelle z) ~ z. Mais comme Re03B621(t) = 2l’extension n’est pas quasi-triviale et ceci va tordre la structure.Pour voir exactement comment cette structure est tordue, nous allons

reprendre la démarche du début de cette section. Dans le cas Q la fibre

complexe est le quotient de C2 par

(où pour simplifier nous avons noté yij la partie imaginaire de 03B6ij(t)). La structure- 6 est induite par la conjugaison complexe de e2. Donc les composantes de la

partie réelle sont les images de R2 pour l’une et de R2+(.( iy12 i(y11+y13)) pourl’autre. On en déduit que pour (1 les composantes sont les images de i R2 et

(0 1)+iR2 pour l’une et de (1 2 0) + iR2 et (1 2 1) + iR2 pour l’autre.

Page 74: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

225

Dans le cas n2 la fibre est le quotient de C2 par

Ainsi les composantes de la partie réelle pour 6 sont encore les images de iR2

et (0 1) + i R2 p our l’une et de 2 + i R2 et

2 + i R2 p our l’autre.

La fibre limite est le quotient de C2 par

1

et la partie réelle (pour 03C3) est l’image de i R2 et de 2

+ iR2. Comme pour passer

au uotient on opère ar (2iy22 4iy12), la partie réelle est formée de deux demi-tores.

Pour obtenir la fibre topologique il faut à nouveau compléter. Pour voircomment, il suffit de suivre l’évolution des différentes composantes: un tore de

0 se transforme en un tore de V31 et la limite est un demi-tore. On en déduit qu’ilfaut recoller le long d’un cercle chaue demi-tore sur lui-même et que la fibrelimite est formée de deux "bouteilles de Klein immergées" (cf. Fig. 21).

p situé sur l’arc entre 0 et rn. On prend comme base de H,(C,,,,P’ Z) la base

on poura constater que cette fois les matrices de - Q’ sont sous forme standard

Fig. 21

Page 75: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

226

dans les cas 0 et 0. Explicitement on a

pour rn

et

pour V41

La matrice de r est encore de la même forme et on en déduit à nouveau que

est une base de H1(Ctop, Z)-.

Les matrices de la restriction de - a’ à ce dernier groupe sont

Comme le passage de 0 à n3 se fait par contraction de

2a2-(a1+a3)+b2=03B22 (qui est réel pour -03C3’ dans les deux cas), on peut ànouveau appliquer la méthode de Fay, ce qui finalement donne comme fibrelimite pour la fibration (Prym(Ct|Et),03C3) (se rappeler que -03C3’ induit a) le

quotient de C2 par le réseau engendré par les colonnes de

Page 76: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

227

(où (ij = 03B1j~i pour un choix normalisé de 1-formes qi).En utilisant (24) ou (25) il est facile de montrer que Re03B611 = -1 2, Re03B613 = 1 2 et

Re03B621 = 1 2. La fibre limite est l’extension d’une courbe à deux composantesréelles par C* muni de la structure z H 1/z (se rappeler qu’on travaille avec - a’et donc directement avec 6). Ici encore l’extension n’est pas quasi-triviale et nousallons utiliser la même méthode que ci-dessus.

Pour Q la matrice de 6 étant de la même forme que celle de - 6 dans le cas

précédent les composantes réelles sont les images de R2 pour l’une et de

R2 + (iy12 i(y11 + y13)) pour l’autre.

Pour n4 et a la matrice des périodes est de la forme

Les composantes réelles sont ici aussi les images de R2 et de R2 -

La fibre limite étant le quotient de C2 par l’action de

la partie réelle est à nouveau l’image de R2 et de R2 + (iy12 i(y11+y13)). . Lescomposantes étant obtenues par passage au quotient sous l’action de (1 0 2 ’on trouve 2 tores (au sens de la topologie, c’est une fibre lisse).

p situé sur l’arc entre et F31. Comme on l’a remarqué dans 5.3 ce cas sedéduit du précédent en échangeant a’ et 6 et donc au niveau des Prym enéchangeant 6 et - 03C3.

Pour rn nous avons déjà décrit les composantes, ce sont les images de iR2 et

+ i R2 pour l’une et de 2 + i R2 et (1 2 1) + iR2 pour l’autre.Pour , le même type de calculs montre que les composantes de la partie

réelle sont les images de iR2 et (D+iR2 d’un côté et (1 2 0)+iR2 et (0 1)+iR2 del’autre.

A la limite ce sont les images de i R2, 2 + i R2, G)+iR2 et (1 2 1)+iR2 et on a4 demi-tores. La façon de les recoller est dictée par l’évolution des composantes

Page 77: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

228

Fig. 22.

entre et 0 (voir la Fig. 22). La fibre est homéomorphe au produit de deuxcercles qui se coupent en deux points par un cercle.

Références

[1] M. Adler, P. van Moerbeke: Completely integrable systems, euclidian Lie algebras and curves,et Linearization of hamiltonian systems, Jacobi varieties and representation theory, Advancesin Math. 38 (1980), 267-317 et 318-379.

[2] M. Adler and P. van Moerbeke: The Kowalevski and Hénon-Heiles motions as Manakovgeodesic flows on SO(4) - a two-dimensional family of Lax pairs, Comm. Math. Phys. 113(1988), 659-700.

[3] P. Appell: Traité de mécanique rationnelle, vol. II, Gauthier-Villars, Paris, 1931.[4] G. G. Appelrot, Non Totally Symmetric Gyroscopes, Moscow 1940.[5] V. I. Arnold: Méthodes Mathématiques de la Mécanique Classique, MIR, Moscou, 1974.[6] M. Audin: The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds, Progress in Math. 93,

Birkhäuser, 1991.[7] A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky: The Kowalevski top 99 years

later: A Lax pair, generalizations and explicit solutions, Commun. Math. Phys. 122 (1989), 321-354.

[8] A. Comessatti: Sulle varietà abeliane reale I e II, Ann. Mat. Puro Appl. 2 (1924), 67-106 et 4(1926), 27-71.

[9] H. Farkas and I. Kra: Riemann Surfaces, Graduate texts in Math. 71, Springer, 1980.[10] J. D. Fay: Theta functions on Riemann surfaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 392,

1973.

[11] A. T. Fomenko: The topology of surfaces of constant energy in integrable hamiltonian systemsand obstructions to integrability, Math. USSR Izvestya 29 (1987), 629-658.

[12] A. T. Fomenko: Integrability and Nonintegrability in Geometry and Mechanics, Math. and itsApplications, Kluwer, 1988.

[13] J.-P. Françoise and R. Silhol: Real abelian varieties and the singularities of an integrablehamiltonian system, Real analytic and algebraic geometry, Lecture Notes in Mathematics,1420, 1990.

[14] V. V. Golubev: Lectures on Integration of the Equations of Motion of a Rigid Body about a FixedPoint, Israel program for scientific translations, Haifa, 1960.

[15] P. A. Griffiths: Linearizing flows and a cohomological interpretation of Lax equations, Amer.J. Math. 107 (1985), 1445-1483.

[16] B. Gross and J. Harris: Real algebraic curves, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 14 (1981), 157-182.[17] L. Haine: Geodesic flow on SO(4) and abelian surfaces, Math. Ann. 263 (1983), 435-472.

Page 78: Variétés abéliennes réelles et toupie de Kowalevskiirma.math.unistra.fr/~maudin/VarAbeliennesKowa.pdf · Commençons par quelques rappels de géométrie algébrique réelle. Une

229

[18] E. Horozov and P. van Moerbeke: The full geometry of Kowalevski’s top and (1, 2)-abeliansurfaces, Comm. Pure and Appl. Math. 42 (1989), 357-407.

[19] M. P. Kharlamov: Bifurcation of common levels of first integrals of the Kowalevskayaproblem, PMN U.S.S.R. 47 (1983), 737-743.

[20] S. Kowalevski: Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe, ActaMath. 12 (1889), 177-232.

[21] S. V. Manakov: Note on the integration of Euler’s equations of the dynamics of an n-

dimensional rigid body, Funct. Anal. Appl. 11 (1976), 328-329.[22] T. Ratiu and P. van Moerbeke: The Lagrange rigid body motion, Ann. Institut Fourier 33

(1982), 211-234.[23] A. G. Reiman: Integrable hamiltonian systems connected with graded Lie algebras, J. Soviet

Math. 19 (1982), 1507-1545.[24] M. Seppala and R. Silhol: Moduli spaces for real algebraic curves and real abelian varieties,

Math. Z. 201 (1989), 151-165.[25] J.-P. Serre: Groupes Algébriques et Corps de Classes, Hermann, Paris, 1959.[26] R. Silhol: Real algebraic surfaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 1392, 1989.[27] R. Silhol: Compactifications of real moduli spaces in real algebraic geometry, Invent. Math. 107

(1992), 151-202.[28] J.-L. Verdier: Algèbres de Lie, systèmes hamiltoniens, courbes algébriques, Séminaire Bour-

baki, Springer (1980), 85-94.[29] A. Weil: Euler and the Jacobians of elliptic curves, arithmetic and geometry, papers dedicated

to Shafarevich, Progress in Math., Birkhäuser, 1983.