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Capítulo 4 Capítulo 4 Variables Variables Aleatorias Aleatorias Distribuciones Distribuciones

VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIONES

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ALEATORIAS

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  • Captulo 4 Variables AleatoriasDistribuciones

  • Funcin que asigna a cada punto del espacio muestral un nmero real

    X : R

    Ejemplo N1: = falla , no falla

    X( no falla ) = 0X( falla ) = 1

    Variables Aleatorias

  • fallano fallaEspacio Muestral0 1-+ConjuntoNmerosRealesX : Rx X-1(-, x) IRA cada s le corresponde exactamente un valor X(s)Variables Aleatorias

  • abEl espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestralEl espacio muestral original induce un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria XLuego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RXRXVariables Aleatorias

  • Ntese que para cada par de nmeros reales a y b existen los siguientes conjuntosabRXX(s) = b; s X(s) = asiskAVariables Aleatorias

  • El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral se puede aplicar a eventos en RX.RXX: W RXWX(s) = xsFuncin de Probabilidad

  • Variable AleatoriaX : RX-1(-, x) Variable Aleatoria DiscretaSea C (con C ) Soporte contablef : C RC = ci : i I N

    i) f(ci) 0

    ii) = 1

    Usando la transformacin X

  • Sea X una variable aleatoria.

    Si el nmero de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable).Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.

    Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X1, x2, x3, ...., xn, .....

    - En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contableVariable Aleatoria Discreta

  • Sea C

    X: C

    tal quei) p(ci) = Pr(ci) 0

    X(ci) = xi

    P(A) = IR}{==IACciiiiixXP:i)()p(cConjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C X es una funcin definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Nmeros Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i I N En algunos textos se utiliza la letra fpara acentuar que la variable aleatoria discreta es una fucinSea A el evento tal los eventos elementales ciC pertnezcan tambin a A, esto es ci C A. Usando la transformacin XVariable Aleatoria Discreta

  • xLos f(xi) deben satisfacer 0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, ... , n S f(xi) = 1El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Funcin de Probabilidad o Cuantia.A cada resultado posible xi se asocia un nmero f(xi) = P(X(s) = xi) llamado la probabilidad de xiiFuncin de Probabilidad v.a. Discreta

  • X(ci) = xi

    P(A) =

    Propiedades funcin de cuantia:1. P ( X = xi ) 02. P ( X = xi ) = 1

    3. Funcin de Distribucin:

    F(x) = P ( X = xi ) = f ( xi )xixxixi

  • Esperanza de una v.a. XVarianza de una v.a. X

  • 1. Distribucin Bernoulli

    X : R

    P(X()=0) = 1 pP(X()=1) = p

    E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = pV X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )Distribuciones Discretas Especiales

  • Consideremos un solo experimento sea A un evento asociado con tal experimento. supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- pSea la v.a. X(A ) = 1 X(Ac) = 0

    Funcin de Distribucin v.a. Discreta

  • 2. Distribucin Binomial

    Supongamos que de una lnea de produccin se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad p.X: N de piezas defectuosas en las n extracciones

    Entonces

    k = 0, 1, 2,......,nDistribuciones Discretas Especiales

  • E X = npV X = np (1-p)

    Notacin:X B( n , p )

    Se utiliza en el muestreo de una poblacin finita con reemplazo. Tambin cuando la poblacin es muy grande, con o sin reemplazo, ya que p se hace relativamente constante.

  • Sean n repeticiones independientes del experimento consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an}, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. Existen 2n de tales secuencias

    Sea la variable aleatoria X := nmero de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., nFuncin de Distribucin v.a. Discreta

  • 3. Distribucin Hipergeomtrica

    Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ).

    Consideremos un lote de tamao N. Se extrae una muestra de tamao n sin reemplazo.

    X: N de artculos defectuosos en la muestra

    Distribuciones Discretas Especiales

  • k =0,1,2,.....,min n , D

    Es aplicable al muestrear lotes de tamao pequeo en relacin al tamao de la muestra ( N 10 n ).

  • 4. Distribucin de Poisson

    Supongamos que tenemos una muestra de tamao grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artculo defectuoso es pequeo p, y por lo tanto np el nmero total de artculos defectuosos en la muestra. Sea = np.

    Entonces

    k = 0, 1, 2,.......Distribuciones Discretas Especiales

  • E X = V X =

    Caso lmite: X B( n , p )

    con n p 0N0

  • Se define una v.a. X igual al nmero de piezas defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi)) Las piezas a la salida de una lnea de produccin se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N). Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El para este experimento es: = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la poblacin es finita, las observaciones se hacen con reemplazoInteresa el nmero de piezas D y no el orden en que salen.Cronstruccin de un Modelo Probabilstico

  • xf(x)00,10,20,30,40,5Creando un Modelo Probabilstico

  • x1

    0F(x)x1 x2 x3 x4 x5 x6 xnFuncin de Distribucin v.a. Discreta

  • Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que est relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.)

    Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-simo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una funcin continua especial

    f:

    f(x) = lim h 0 > 0Variables Aleatorias Continuas

  • f(x)xf(x) > 0; Sea X una variable aleatoria continua. La funcin densidad de probabilidad (pdf) es una funcin que satisface: x Rx -, + Variables Aleatorias Continuas

  • Estn definidas por una densidad de v. a. X

    f : R R se dice densidad de probabilidad

    Propiedades:

    1. f (x) 0

    2.Distribuciones de Probabilidad Continuas

  • Observaciones1.

    2.

    3. F (-) = 0 ; F () = 1

    4. Fx es no decreciente

    5.

    6.abf(x)x

  • Si X es una variable aleatoria, la Funcin de Distribucin Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:

    F(x) = P(X x)Funcin de Distribucin Acumulada

  • II) Sea F : R R ,Fu Distribucin, entonces:

    i) F es no decrecienteii) F es continua por la derechaiii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1

    Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad

    Adems:P( a,b ) = F(b) - F(a)P( a,b ) = F(b) - F(a-)P( a,b ) = F(b-) - F(a)P( a,b ) = F(b-) - F(a-)Construccin de Modelos de Probabilidad

  • Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es:Sea a = 3; b = 12

    A: el evento { 4 < x < 7 }

    Entonces:P(A) = 13Variables Aleatorias Continuas

  • Distribucin Uniforme: Dada la funcin de densidad

    La funcin de Distribucin esDistribuciones Continuas Especiales

  • Notacin: X U( a , b )

  • 2. Distribucin Normal

    F(x) : No tiene expresin analticaDistribuciones Continuas Especiales

  • Notacin: X N( , 2 )EstandarizacinHaciendo N( 0 , 1 )

    se tiene que:

    y FZ(z) se obtiene de tablas !

  • 3. Distribucin RayleighDistribuciones Continuas Especiales

  • 4. Distribucin GammaDistribuciones Continuas Especiales

  • Funcin Densidad de Probabilidades

  • 5. Distribucin Chi-Cuadrado

    Evaluando en Gamma

    Se llega a que X 2(n) ( n/2 , 2 )Distribuciones Continuas Especiales

  • 6. Distribucin Beta

    X ( r , s )ssi

    Distribuciones Continuas Especiales

  • Funcin Densidad de Probabilidades

    Una Variable Aleatoria es una funcin sobre el espacio de probabilidades: hace corresponder a todo y cada uno de de los eventos elementales posibles de observar de un experimento un valor numrico real: el valor de la variable aleatoria en ese evento elemental.

    Ms aun, para todo nmero real a, {x = a} debe ser interpretado describiendo un evento, un conjunto de eventos elementales, para cada uno de los cuales x asume el valor a.

    Ntese que para cada par de nmeros reales b y c los conjuntos {b < x b}, {x b} son eventosMs aun, para todo nmero real a, {x = a} debe ser interpretado describiendo un evento, un conjunto de eventos elementales, para cada uno de los cuales x asume el valor a.

    Ntese que para cada par de nmeros reales b y c los conjuntos {b < x b}, {x b} son eventosUna variable aleatoria X definida sobre un espacio probabilstico en R induce, a su vez, en el conjunto de RX otro espacio probabilstico En este espacio probabilstico inducido los eventos elementales son los nmeros reales; tambin son eventos. Cada intervalo de nmeros reales es un evento.La probabilidad de un evento constituido por un simple nmero real a es Pr({x = a}).La probabilidad de un evento [a, b) es Pr(a x < b) (a, b] es Pr(a < x b) y [a, b] es Pr(a x b)

    Ejemplo: Pieza con defecto o sin defecto producidas por una mquina en una perodo dado. Factura cuyo monto es igual o ms de $ 1.000.000 memos de esa cantidad.

    Si X es la variable aleatoria, entonces

    X = 3 si y slo si DDD = 2 DDN, DND, NDD = 1 DNN, NDN, NND = 0 NNN

    P(x = 0) = (1 p) 3P(x = 1) = 3 p (1 p)2P(x = 2) = 3 p2 (1- p)P(x = 3) = p3Si X es la variable aleatoria, entonces

    X = 3 si y slo si DDD = 2 DDN, DND, NDD = 1 DNN, NDN, NND = 0 NNN

    P(x = 0) = (1 p) 3P(x = 1) = 3 p (1 p)2P(x = 2) = 3 p2 (1- p)P(x = 3) = p3 En situaciones dnde no es posible decir nada sobre un fenmeno.

    Se desconoce totalmente lo que se sucede y slo podemos establecer sus valores mnimos y mximos, decimos que el patrn de comportamiento del fenmeno obedece a una distribucin uniforme: