Variables aleatorias continuas, TCL yEsperanza Condicional

FaMAF

19 de marzo, 2013

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Poisson P(λ)

Número de éxitos en una cantidad grande de ensayosindependientes

I Rango: {0,1,2, . . . } = {0} ∪ NI Función de masa:

P(X = k) = e−λλk

k !.

I Valor esperado:E [X ] = λ.

I Varianza:Var(X ) = λ.

I Fórmula recursiva:pk+1 =

λ

k + 1pk .

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Poisson

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4λ=1

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35λ=2

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2λ=5

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2λ=7

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

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Variables aleatorias continuas

DefiniciónUna variable aleatoria X se dice (absolutamente continua) si existef : R 7→ R con f ≥ 0, tal que

P(X ∈ C) =

∫C

f (x) dx .

Ejemplos:I Uniforme: X ∼ U(a,b)

I Normal: X ∼ N (µ, σ)

I Exponencial: X ∼ E(λ).I Otras: " distribuciones derivadas de la normal": χ2, t-Student.I Otras: Gamma, Beta, Weibull, Cauchy, Laplacian, etc.

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Distribución uniforme

DefiniciónX se dice uniformemente distribuida en (a,b) si su función dedensidad está dada por

f (x) =1

b − aI(a,b)(x) =

{1

b−a a < x < b0 c.c.

I Función de distribución acumulada:

F (x) =

0 x ≤ ax−ab−a a < x < b1 x ≥ b

I E [X ] =a + b

2.

I Var(X ) =112

(b − a)2.

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Gráficos

f (x) =12I(3,5)(x) F (x) =

0 x ≤ 3x−3

2 3 < x < 51 x ≥ 5

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Distribución exponencial

DefiniciónUna v.a. X con función de densidad dada por

fλ(x) = λe−λx , x > 0,

para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ.

I E [X ] =1λ

I Var(X ) =1λ2

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Función de densidad

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

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Propiedades

I Una variable aleatoria con distribución exponencial tiene falta dememoria.

P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

I Son las únicas v.a. continuas con falta de memoria.I El análogo en el caso discreto son las v.a. geométricas.I F (x) = 1− exp(−λx)

I Si X ∼ E(λ), entonces c X ∼ E( 1cλ).

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Mínimo de exponenciales

Sean X1, X2, . . . , Xn son v.a. independientes con f.d.a. F1, F2, . . . ,Fn, y sea

M = min1≤i≤n

{X1,X2, . . . ,Xn} .

Entonces

1− FM(x) = P(M > x) = (1− F1(x)) · (1− F2(x)) · · · (1− Fn(x)).

Si Xi ∼ E(λi ), entonces

1− FX (x) = e−λ1x · e−λ2x . . . e−λnx = e−(∑

i λi ) x .

M ∼ E(λ1 + λ2 + · · ·+ λn).

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Distribución Normal

DefiniciónLa v.a. X se dice normalmente distribuida con media µ y varianza σ2

si su función de densidad de probabilidad está dada por

f (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2/2σ2

, x ∈ R.

I µ ∈ R, σ > 0.I Notación: X ∼ N(µ, σ).I Distribución normal estándar: Z ∼ N(0,1).

fZ (x) =1√2π

e−x2/2, x ∈ R.

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Variando µ

I Máximo: x = µ

I Valor Máximo:1√2πσ

I1√2π' 0.398

I1√2π 2

' 0.2

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Variando σ

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La desviación estándar

I P(|X − µ| < σ) ' 68%

I P(|X − µ| < 2σ) ' 95%

I P(|X − µ| < 3σ) ' 99.7%

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Distribución Normal estándar

Φ(x) = P(Z ≤ x) =1√2π

∫ x

−∞e−t2/2 dt .

I No existe una fórmula cerrada para Φ(x).I Si X ∼ N(µ, σ), entonces

aX + b ∼ N(aµ+ b, |a|σ).

IX − µσ

∼ Z = N(0,1).

I Si X ∼ N(µ, σ),

P(X ≤ x) = Φ

(X − µσ

).

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La función Φ(x)

P(X ≤ 2) = P(Z ≤ 1) = Φ(1).

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Valores de Φ(x)

I Para α ∈ (0,1), zα es el número real tal que

P(Z > zα) = α.

I Los valores de Φ(z) están tabulados:

Φ(zα) = P(Z ≤ α) = 1− α

I Φ(−z) = 1−Φ(z), por lo tanto es suficiente tabular para z ≥ 0, oz ≤ 0.

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Tabla de Φ(z)

Z ∼ N(0,1)

P(Z ≤ 1.51) = 0.93448

z 0.00 0.01 0.02 0.030 0.5 0.50399 0.50398 0.51197...

1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699...

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Valores usuales de zα

I α = 0.05I zα = 1.64

P(−1.64 ≤ Z ≤ 1.64) = 0.90

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Valores usuales de zα

I α = 0.025I zα = 1.96

P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95

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Valores frecuentes de zα

I α = 0.01I zα = 2.33

P(−2.33 ≤ Z ≤ 2.33) = 0.98

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Desigualdad de Chebyshev

Lema (Desigualdad de Markov)Si X toma sólo valores no negativos y a > 0, entonces

P(X ≥ a) ≤ E [X ]

a.

Teorema (Desigualdad de Chebyshev)Si X es v.a. con media µ y varianza σ2, entonces para k > 0

P(|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1k2 .

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Leyes de los grandes números

Si X1, X2, . . . , Xn, . . . son v.a. independientes e idénticamentedistribuidas, con media µ:

I Ley débil de los grandes números:

P(∣∣∣∣X1 + X2 + · · ·+ Xn

n− µ

∣∣∣∣ > ε

)→ 0 n→∞.

I Ley fuerte de los grandes números:Con probabilidad 1 se cumple que:

limn→∞

X1 + X2 + · · ·+ Xn

n= µ.

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LGN

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−40

−20

0

20

40

60

80

100número de caras−número de cecas

N=cantidad de tiradas−1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7frecuencia relativa=proporción de caras

N=cantidad de tiradas

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Teorema Central del límite

Teorema (Teorema Central del Límite)Sean X1, X2, . . . , variables aleatorias igualmente distribuidas, conmedia µ y varianza σ2. Entonces

limn→∞

P(

X1 + X2 + · · ·+ Xn − nµσ√

n< x

)= Φ(x).

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Muestra finita

80 90 100 1100

1

2

3

4

551 intervalos

80 90 100 1100

1

2

3

4

5

6

725 intervalos

80 90 100 1100

2

4

6

8

10

1215 intervalos

80 90 100 1100

2

4

6

8

10

1210 intervalos

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Teorema Central del límite

EjemploSupongamos que un programa suma números aproximando cadasumando al entero más próximo. Si todos los errores cometidos sonindependientes entre sí y están distribuidos uniformemente entre -0.5y 0.5 y se suman 1500 números, ¿A lo sumo cuántos númerospueden sumarse juntos para que la magnitud del error total semantenga menor que 10 con probabilidad 0.9?

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resolución

Cada error cometido es una variable aleatoria εk con distribuciónU [−0.5,0.5]

E(εk ) = [0.5 + (−0.5)]/2 = 0 Var(εk ) = (0.5− (0.5))2/12 = 1/12

Definamos Sn =∑n

k=1 εk , si deseamos encontrar el n más grandepara el cual

0.9 = P(|Sn| < 10)

Usando el TCL [S1500 − nE(ε)]/√

nVar(ε) ∼ N(0,1) y

P(|Sn| < 10) = P

(−10− nE(ε)√

nVar(ε)≤ Sn − nE(ε)√

nVar(ε)≤ 10− nE(ε)√

nVar(ε)

)

= P

−10√n12

≤ Z ≤ 10√n12

= 1− 2P

Z ≤ −10√n12

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resolución

por lo cual

0.9 = 1− 2P

Z ≤ −10√n12

=⇒ P

Z ≤ −10√n12

= 0.05

y −10√n12

= −1.65. Entonces, despejando resulta n = 102121.652 = 440.7.

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Teorema Central del límite

EjemploSuponga que se tienen 100 lámparas de un cierto tipo, cuya duraciónpuede modelarse como una variable exponencial de parámetroλ = 0.002. Si la duración de cada lámpara es independiente de laduración de las otras, encuentre la probabilidad de que el promediomuestral T = (1/100)(T1 + · · ·+ T100) se encuentre entre 400 y 550horas.

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ResoluciónComo n es 100, podemos suponerlo suficientemente grande yaproximar la distribución del promedio por una normal. Entonces laesperanza y varianza de Sn = T1 + · · ·+ Tn son

E(Sn) = E(T1 + · · ·+ T100) = 100.E(T1) =100

0.002= 50000

Var(Sn) = Var(T1 + · · ·+ T100) = 100.Var(T1) =100

0.0022

P(400 ≤ (1/100)T1+· · ·+T100 ≤ 550) = P(40000 ≤ T1+· · ·+T100 ≤ 55000)

∼ Φ(55000− E(Sn)/√

Var(Sn))− Φ(40000− E(Sn)/√

Var(Sn))

= Φ(55000− 50000/5000)− Φ(40000− 50000/5000)

= Φ(1)− Φ(−2) = 0.8413− 0.0228 = 0.8185

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Distribución condicional

I X e Y discretas:

p(x , y) = pX |Y (x | y)pY (y)

pX |Y (x | y) = P(X = x | Y = y) =P(X = x ∩ Y = y)

P(Y = y)=

p(x , y)

pY (y).

P(X ≤ x | Y = y) =∑ai≤x

pX |Y (ai | y)

I X e Y conjuntamente continuas con densidad:

fX |Y (x | y) =f (x , y)

fY (y)=

fY |X (y | x)fX (x)

fY (y).

P(X ≤ x | Y = y) =

∫ x

−∞fX |Y (s | y) ds.

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Esperanza condicional

I X e Y conjuntamente discretas se define a la esperanzacondicional de X dado Y = y como

E(X | Y = y) =∑

x

xpX |Y (x | y)

E(X | Y = y) =∑

x

xP(X = x | Y = y) =∑

x

xP(X = x ,Y = y)

P(Y = y)

I X e Y conjuntamente continuas con densidad:

E(X | Y = y) =

∫xfX |Y (x | y)dx =

∫xf (x , y)dx∫f (x , y)dx

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Proposición

ProposiciónSea E(X | Y ) la variable aleatoria (función de la variable aleatoria Y )cuyo valor en Y = y es E(X | Y = y). Entonces

E(E(X | Y )) = E(X )

Para el caso X ,Y conjuntamente absolutamente continuo oconjuntamente discreto,

E(X ) =∑

y

E(X | Y = y)P(Y = y)

E(X ) =

∫E(X | Y = y)fY (y)dy

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Esperanza condicional

EjemploUna rata está encerrada en el centro de un laberinto con tresposibles salidas a diferentes corredores, A, B, C que llevan al interiordel laberinto donde hay una celda con comida. La rata tiende a elegirla puerta de su derecha (A) la mitad de las veces, mientras que laotra mitad de las veces elige B o C sin distinguirlas. Ahora, si elige lapuerta A tarda 2 minutos en encontrar la celda de la comida, si eligela puerta B tarda 3 minutos, y si elige la puerta C da vueltas dentrodel laberinto por 5 minutos y vuelve al lugar de partida (pero no se dacuenta, es decir cuando elige la puerta del corredor lo hacenuevamente con las probabilidades de inicio). Encuentre laesperanza de T , el tiempo que tarda la rata en encontrar su comida.

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Esperanza condicionalI Sea éxito elegir la salida A o B, y sea C̃ la variable aleatoria que

mide la cantidad de veces que se elige la salida C hasta por finelegir A o B. Entonces C̃ es geométrica de parámetro 3/4 (queva desde el cero!!).

I Sea T el tiempo que se tarda en encontrar la salida

T =

{2 + 5C̃ si se elige C̃ veces la puerta C y luego A3 + 5C̃ si se elige C̃ veces la puerta C y luego B

I Sea D la variable que es 1 si se eligió la puerta A y 0 si se eligióla puerta B. Entonces

E(T ) = E(E(T | D)) = E(T | D = 0)P(D = 0)+E(T | D = 1)P(D = 1)

= (2 + 5E(C̃))23

+ (3 + 5E(C̃))13

= 4

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Varianza Condicional

DefiniciónX e Y variables aleatorias se define a la varianza condicional de Xdado el valor de Y como

Var(X | Y ) = E [(X − E [X | Y ])2 | Y ]

Esto es, Var(X | Y ) es una función de Y tal que en Y = y es lavarianza de X dado Y = y .

Proposición

Var(X ) = E [Var(X | Y )] + Var(E [X | Y ])

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