Variables Aleatorias Bidimensionales

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Tema 1: Introduccin a la estadstica descriptiva

1Variables Aleatorias Bidimensionales1Variables Aleatorias BidimensionalesHasta el momento slo hemos estudiado el comportamiento de una variable aleatoria, ahora nos interesar analizar la existencia o no de una relacin entre dos variables aleatorias definidas sobre la misma poblacin. Se pueden definir dos variables aleatorias sobre la misma poblacin, llamaremos X e Y a estas dos variables aleatorias. Se pueden presentar varios casos:Ambas variables aleatorias discretas: Ejemplo:X: Nmero de trabajadores de la empresa Alfa.Y: Nmero de artculos defectuosos producidos por la empresa Alfa.

Ambas variables aleatorias continuas:Ejemplo:X: Ingreso mensual de la Univ. de Lima.Y: Egreso mensual de la Univ. de Lima.Una variable discreta y la otra continua:Ejemplo:X: Nmero de alumnos matriculados por periodo acadmico en la Univ. de Lima.Y: Ingresos por periodo acad. de la Univ. de Lima.Vector aleatorio discreto:Las dos variables son discretas y estn definidas en una misma poblacin.El rango de X e Y es el conjunto de pares ordenados: Rx,y = (X1, Y1) , (X2, Y2) , ... ,(Xn , Ym) Funcin de probabilidad conjunta:Viene dada por: P(xi , yj) = P(X = xi , Y = yj) Esta funcin cumple con las siguientes propiedades:i) P(X = xi , Y = yj) 0, (xi , yj) Rx,yii) P (xi , yj ) = 1, (xi , yj) Rx,yLa distribucin de probabilidad conjunta se presenta en la siguiente tabla: Y Xy1y2ycx1p(x1,y1)p(x1,y2)p(x1,yc)x2p(x2,y1)p(x2,y2)p(x2,yc)xrp(xr,y1)p(xr,y2)p(xr,yc)Donde p(xi,xj) = P(X=xi,Y=yj)Distribuciones Marginales:Es la distribucin de probabilidad de cada variable.

Distribucin marginal para la variable XXp(xi)x1p(x1)x2p(x2)xrp(xr)Total1Distribucin marginal para la variable Y

Ambas distribuciones marginales se pueden obtener a partir de las distribuciones conjuntas.

Yp(yj)y1p(y1)y2p(y2)ycp(yc)Total1Distribuciones Condicionales:Estas distribuciones se obtienen para cada variable aleatoria fijando uno o ms valores de la otra variable aleatoria.Se aplica la frmula de probabilidad condicional de la siguiente manera:Para la variable X , fijando un valor de Y, tenemos:

La distribucin condicional de X dado un valor de Y est dada por:

X / yjP(X=xi / Y=yj)x1P(X=x1 / Y=yj)x2P(X=x2 / Y=yj)xrP(X=xr / Y=yj)Total1De igual manera: la probabilidad condicional de Y dado un valor de X est dado por:

La distribucin condicional de Y dado un valor de X est dada por:

Y / xiP(Y=yj / X=xi)y1P(Y=y1 / X=xi)y2P(Y=y2 / X=xi)ycP(Y=yc / X=xi)Total1Esperanzas marginales:La esperanza marginal de X est dada por:

La esperanza marginal de Y est dada por:

Esperanzas Condicionales:La esperanza de X dado un valor fijo de Yest dada por:

La esperanza de Y dado un valor fijo de X est dada por:

Varianzas Condicionales:La varianza de X dado un valor fijo de Y est dada por:

El clculo es igual a la varianza de X, pero utilizando la distribucin condicional en lugar de la marginal. De igual forma se calcula la varianza condicional de Y, para un valor fijo de X.

Variables aleatorias independientes:Dos variables aleatorias X e Y son independientes si la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales para todos los valores de X e Y; esto es, si y solo si:P(X=xi , Y=yj) = P(X=xi ) P(Y=yj ) (xi , yj) Rx,y

Tambin se puede decir que X e Y son independientes si:P(X=xi / Y=yj) = P(X=xi )P(Y=yj / X=xi) = P(Y=yj )La independencia de dos variables significa que dichas variables no se relacionan.Covarianza y coeficiente de correlacin:Cuando dos variables no son independientes; es decir, estn relacionadas, podemos medir la fuerza de la relacin a partir de la covarianza y el coeficiente de correlacin.

La Covarianza: Proporciona informacin sobre el sentido de la asociacin o relacin entre dos variables (directa o inversa). La covarianza expresa relaciones de causalidad (no de casualidad), no proporciona informacin sobre el grado de la relacin entre X e Y. COV (X,Y ) = E(XY) E(X)E(Y)

Donde: E(XY) = xiyj P(X=xi,Y=yj)

El Coeficiente de correlacin: Es una medida descriptiva que expresa el grado de asociacin o relacin lineal entre dos variables X e Y. Se le denota con la letra griega . Originado por el investigador Karl Pearson aproximadamente en 1,900.

Interpretacin:

XY< 0, relacin inversa entre las variables.XY > 0, relacin directa entre las variables.XY , tendiendo a uno relacin fuerte.XY , tendiendo a cero relacin dbil.XY = 0, no existe relacin lineal.