REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIAFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE SISTEMASMARACAIBO EDO. ZULIA

CATEDRA: ESTADISTICA I

UNIDAD III:VARIABLES ALEATORIAS

Realizado por:Br. CEPEDA, Estephany C.I.: 21.229.521Br. GUTIERREZ, Gretty C.I.: 14.523.461

Seccin O/S: 3401Prof. Ing. ngela Galvn

Maracaibo, Octubre de 2010

ESQUEMA

Unidad III: Variables Aleatorias

1. Variables Aleatorias

1.1. Variable Aleatoria Discreta

1.2. Variable Aleatoria Continua

2. Funcin de Distribucin Acumulada

3. Variables Bidimensionales

4. Funcin de Variables Aleatorias

4.1. Unidimensionales

4.2. Bidimensionales

5. Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria.

6. Propiedades de E y S2

DESARROLLO

Unidad III: Variables Aleatorias

1. Variables Aleatorias: Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fcilmente mediante un nmero real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos nmeros.Tambin se le llama variable de azar o variable estocstica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos.

Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: , , , , y . Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el nmero correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, ser:

X= 1,2,3,4,5,6

Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera no resulta inmediata la asociacin de un nmero para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los nmeros reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un nmero real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan nmeros distintos.

Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los nmeros reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales.

Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferir un individuo entre las posibles marcas: , , .

En este caso la asociacin de un nmero para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los nmeros reales, del modo siguiente:

Al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 1; al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 2; al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 3.

La variable aleatoria X ser: X = (1,2,3).

El nmero asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conjunto de los nmeros reales, con la condicin nica de que a sucesos elementales distintos le correspondan nmeros tambin distintos. Se comprueba fcilmente que la correspondencia as definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los nmeros reales es una aplicacin inyectiva.1.1. Variable Aleatoria Discreta: Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que slo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variacin dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 ++ pn=1.En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entender la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una funcin matemtica que asigne una probabilidad a cada realizacin x de la variable aleatoria X. Esta funcin recibe el nombre de funcin de la probabilidad.Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, , , no vienen representados por los nmeros, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un nmero real. As al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 1 y al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 2.La variable aleatoria ser: X = (1,2).

2.1. Variable Aleatoria Continua: Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variacin dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x estn dadas por una funcin de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El rea total bajo la curva es 1.Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un nmero, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas.En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existira ninguna razn para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua.

2. Funcin de Distribucin Acumulada:

Describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada distribucin de probabilidad se encontrar en un valor menor o igual que x. Intuitivamente, es el "rea de la medida" en funcin de la distribucin de probabilidad.

En algunas ocasiones se desea calcular la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria X sea menor o igual que algn numero real x. al escribir para cualquier numero real x, se define a como la distribucin acumulada de la variable aleatoria X.

La distribucin acumulada de una variable aleatoria discreta X con distribucin de probabilidad es

Para la variable aleatoria x del ejemplo anterior se tendra

Las distribuciones de probabilidad se pueden representar en forma grfica, ya que estas, tendran una representacin grfica por ser funcin por lo tanto para el ejemplo de los computadores porttiles teniendo en cuenta los datos obtenidos de x 012f(x) 10/2815/283/28Sea X una variable aleatoria discreta o continua, F es la funcin de densidad acumulada de X,

, si

Si X es variable aleatoria discreta,

Si X es variable aleatoria continua,

F es no decreciente, por tanto,

Se cumple, tambin, con valores x1,x2,... y son x1