34
Valoarea Shapley Shapley - 1953

Valoarea Shapley

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teoria jocurilor Valoarea Shapley

Citation preview

Page 1: Valoarea Shapley

Valoarea Shapley

Shapley - 1953

Page 2: Valoarea Shapley

Problema:Care este valoarea jucatorului i in <N,v>?

• Shapley:• Se presupune ca coalitia N se formeaza prin

intrarea a cate un jucator (n! moduri), fiecare jucator obtinand contributia marginala.

• Daca toate variantele de intrare au probabilitatea 1/(n!), atunci valoarea Shapley pentru jucatorul i este:

• Φi(v) = plata asteptata (medie) a jucatorului i

(the expected payoff of i)

Page 3: Valoarea Shapley

Exemplu 1

• v(Φ) = 0, v(1) = 3, v(2) = 5, v(1,2) = 14• ordinea (permutarea) contributii marginale juc. 1 juc. 2 σ1 = (1,2) 3 = 3 – 0 11 = 14 - 3 σ2 = (2,1) 9 = 14 – 5 5 = 5 – 0 + 12 16

Φ(v) = 1/(2!) * (12, 16) = (6,8)

Page 4: Valoarea Shapley

Exemplu 2

• v(1) = v(2) = v(3) = 0; v(1,2) = 4; v(1,3) = 7; v(2,3) = 15• v(1,2,3) = 20 σ mσ

1(v) mσ1(v) mσ

1(v)

1 2 3 0 4 16 1 3 2 0 13 7 2 1 3 4 0 16 2 3 1 5 0 15 3 1 2 7 13 0 3 2 1 5 15 0 21 45 54

Φ(v) = 1(3!) * (21, 45, 54) = (3 ½ , 7 ½ , 9)

Page 5: Valoarea Shapley

Formula valoare Shapley (1)

Φ(v) = 1/(n!) * Σ mσ(v), unde:• σ este o permutare a lui N• mσ(v) este vectorul marginal corespunzator la ordinea

σ(1), σ(2), …, σ(n)• Atunci: mσ

σ(1) (v) = v(σ(1)) – v(Φ) = v(σ(1))

mσσ(1)

(v) = v(σ(1)) – v(Φ) = v(σ(1))

Page 6: Valoarea Shapley

Formula valoare Shapley (2)

• Φi(v) = |S|!(n-1-|S|)! v(SU{i}) – v(S) n! S-{i}

Notatie: σ(k) – jucatorul care intra al k-lea σ-1(i) – numarul de intrare al jucatorului i

Page 7: Valoarea Shapley

Exemplu formula 2

• σ = (3, 2, 1) : σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 1; σ-1(1) = 3• Pσ(i) = { r din N | σ-1(r) < σ-1(i)} – predecesorii lui i in σ• => mσ

σ(k) (v) = v(Pσ(σ(k)) U {σ(k)}) - v(Pσ(σ(k))

sau mσ

i (v) = v(Pσ(i) U {i}) - v(Pσ(i))

=>Φi(v) = 1/(n!)Σ(v(Pσ(i) U {i}) - v(Pσ(i))), σ in permutari(N)

=> Φi(v) = 1/(n!)Σ(v(S U {i}) - v(S)), unde i nu este in SIntrebare: Cate ordini avem a.i. Pσ(i) = S ? Raspuns: |S|!(n-1-|S|)!

Page 8: Valoarea Shapley

Alta interpretare probabilista

• 1/n C|S|n-1 -1

• i ; formeaza S, i nu se afla in S, s = |S|, s=0,n-1• Extrage s (probabilitate 1/n)• Extrage S, cu |S| = s (probabilitate C|S|

n-1 -1)• => jucatorul i primeste v(SU{i}) – v({i})

s! (n-s-1)!

S N-(SU{i})

{i}

Page 9: Valoarea Shapley

Proprietati ale valorii Shapley – unica regula

• Fie GN multimea(spatiul vectorial (2n-1)-dimensional) jocurilor de n persoane cu N multimea jucatorilor

• Fie f: GN -> RN, o aplicatie v -> f(v)• Atunci: i) f se numeste eficienta(EFF) daca: Σfi(v) = v(N), i=1,n, oricare v din GN

ii) f are proprietate jucatorului fictiv (DUM) daca: fi(v) = v(i), oricare v din GN, oricare i-jucator fictiv in v (i-jucator fictiv: v(SU{i}) = v(S)+v(i), oricare S din 2N-{i})

Page 10: Valoarea Shapley

Proprietati ale valorii Shapley (continuare)

iii) f are proprietatea de anonimitate (AN) daca: f(vσ) = σ*(f(v)), oricare σ din Perm(N), vσ(σ(U)) = v(U), oricare U din 2N

sau vσ(S) = v(σ-1(S)), oricare S din 2N si unde σ*:RN->RN

e definit prin: (σ*(x)) σ(k) = xk, oricare x din RN,k din N (plata nu depinde de numerotarea jucatorilor) iv) f este aditiva (ADD) daca: f(v+w) = f(v) + f(w), oricare v, w din GN

Page 11: Valoarea Shapley

Teorema: Caracterizarea axiomatica a valorii Shapley

• Exista o singura solutie f:GN -> RN care satisface EFF, AN, DUM si ADD. Aceasta este valoarea Shapley.

• Aplicatii: teoria alocarii costurilor indici de putere

Page 12: Valoarea Shapley

i) In general, valoarea Shapley nu e individual rationala ex.: N={1, 2, 3}, v(1,2) = -2, v(S) = 0 in rest atunci Φ(v) = 1/(3!)((0, -2, 2) + (0, 0, 0) + (-2, 0, 2) + + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0)) = = (-1/3, -1/3, 2/3) se observa ca: Φ1(v) = -1/3 < v({1}) Obs.: v nu este superaditiv: v(1,2) < v(1) + v(2) daca <N,v> este superaditiv: Φi(v) >= v({i}), oricare i din N

Page 13: Valoarea Shapley

ii) Φ e IR daca v e zero-monoton(0-normalizarea sa e joc monoton)

(adica: v(S) – Σv(i) <= v(T) – Σv(i), oricare S,T cu S din T) i din S i din T

sau (S -> v0(S) = v(S) – Σv(i), i din S; v0 monoton) Atunci Φi(v0)) = |S|!(n-1-|S|)! v0(SU{i}) – v0(S) n! S-{i} Φi(v0)) >= 0 = v0(i)

Page 14: Valoarea Shapley

• Fie a un joc aditiv: a(S) = Σv(i), oricare S din 2N-{Φ}, i din S Atunci: Φi(v) = Φi(v0) + Φi(a) = Φi(v0) + v(i) >= v(i) (Φi(a) = Σ…(a(SU{i}) – a(S)) = v(i) v(i)iii) Valoarea Shapley Φ satisface ADD, DUM, EFF: ADD rezulta din mσ(v+w) = mσ(v) + mσ(w) DUM rezulta din formula |S|!(n-1-|S|)! = 1 n! EFF: Φ e o combinatie convexa de mσ(v) si Σmσ

i(v) = v(N) oricare σ

Page 15: Valoarea Shapley

• Valoarea Shapley Φ(v) a unui joc aditiv e (v(1), v(2),…,v(n))

• Valoarea Shapley a jocului unanim pe S este Φ(us) = 1 * eS , unde uS(T) = 1, S inclus in T |S| 0, altfel(o baza a spatiului liniar GN este { uS | S apartine 2N\{Φ}})

v = Σ csus cu cs = Σ (-1)|S|-|T|v(T) S in 2N\{Φ} T:T inclus in S

Page 16: Valoarea Shapley

Teorema• Exista o singura solutie f:GN -> RN ce satisface EFF, AN,

DUM si ADD. Aceasta solutie este valoarea Shapley. (Shapley, 1953)

• Dem.: fie f cu EFF, AN, DUM si ADD. Atunci f = Φ (f coincide cu valoarea Shapley)

v= ΣcTuT, T inclus in N f(v) = Φ (v) ?

Prin ADD lui f si Φ este suficient sa aratam ca

f(cTuT) = Φ(cTuT) In cTuT fiecare i din N\T este un jucator fictiv cu valoarea 0 Jucatorii din T au un rol “simetric”. Prin DUM, AN, EFF => Φ(cTuT) = f(cTuT) = cTeT

|T|

Page 17: Valoarea Shapley

Definitie: joc unanim dual pe S

• us*(T) = 1, daca S∩T <> Φ 0, altfel Valoarea Shapley a jocului unanim dual pe S este

Φ(uS*) = Φ(uS) = 1 * eS

|S|

Page 18: Valoarea Shapley

Formula cu dividende pentru valoarea Shapley(Harsanyi)

• Def.: dat <N,v> dividendele sunt definite recursiv d{i}(v) = v(i) d{i,j}(v) = v(i,j) – d{i}(v) – d{j}(v) 2 |T| > 1: dT(v) = v(T) – Σ|S|dS(v) , S inclus in T def. |T| S <> T

Page 19: Valoarea Shapley

Formula cu dividende pentru valoarea ShapleyTeorema

• Fie v = ΣcTuT, T inclus in N. Atunci: i) |T|dT(v) = cT, oricare T inclus in N ii) Φi(v) = ΣdT(v), unde v este din T

Dem.: Φ(v) = Φ(ΣcTuT) = Σ(Φ(cTuT) ) = ΣcTeT

T din N ADD |T| prin urmare Φi(v) = Σ cT , T:i din T |T| dem. ca dT(v) = cT (*) prin inductie dupa |T| |T| |T| = 1 : d{i}(v) = v(i) = c{i}

|{i}|

Page 20: Valoarea Shapley

Formula cu dividende pentru valoarea ShapleyTeorema (continuare demonstratie)

• Presupunem ca (*) e adevarata pentru |S| < |T|• Atunci |T|dT(v) = v(T) – Σ|S|dS(v) = v(T) – ΣcS = cT

• S inclus in T, S <> T

Definitie dividend

Ipoteza inductiva

Rezulta din

V(T) = ΣcSuS(T) = ΣcS

S inclus in T

Page 21: Valoarea Shapley

Metoda dividendelor – exempluN = {1, 2, 3} , v definit prin:

S v(S) |S|dS 1 2 3 1 10 10 10 0 0 2 10 10 0 10 0 3 10 10 0 0 10 (1,2) 40 40-20 10 10 0 d{1,3}

(1,3) 40 40-20 10 0 10 (2,3) 60 60-20 0 20 20 d{1,2,3}

(1,2,3) 125 125-110 5 5 5 Φ(v) = (35, 45, 45)v = 10u1 + 10u2 + 10u3 + 20u12 + 20u13 + 40u23 + 15u123

Page 22: Valoarea Shapley

Φ(v) prin extensia multiliniara f a lui v(Owen – 1972, 1982)

• g:Rn->R se numeste multiliniara <-> g(x) = ΣcT(Πxi), T din N, i apartine T

• f: [0, 1]n -> R • Ext([0,1]n) = {eS | S apartine 2N}• x = eS corespunde la participarea jucatorilor din S (cu

probabilitatea 1)• f(eS) = v(S) oricare S apartine 2N (dem.la ex.rez., p. i) )• v: Ext ([0,1]n) ->R cu v(eS) = v(S)• x=(x1, x2, …, xn) apartine [0, 1]n

• f(x1, x2, … , xn) = Σ(Πxi* Π(1-xi))v(S), S din 2N

i din S i din N\S

P(S)

Page 23: Valoarea Shapley

Φ(v) prin extensia multiliniara f a lui v(continuare)

(1, 0, 1)

X3

x2

x1

(1,0,0)

(0,1,1) = e{2,3}

(0,1,0)

(1,1,0) = e{1,2}

(1,1,1) = e{1,2,3}

(0,0,0)

Page 24: Valoarea Shapley

Φ(v) prin extensia multiliniara f a lui v(continuare)

• Intepretare probabilistica a lui f(x): xi – probabilitatea ca i din N participa in coalitia S P(S) – probabilitatea ca S se formeaza f(x1, x2, …, xn) – valoarea medie (asteptata) a valorii

coalitiei formate• Formula integrala a lui Owen: integrala pe diagonala de

la (0,0,…,0) la (1,1,…,1) a lui Dif produce valoarea Shapley Φi(v) a jucatorului i

• Notatie: Dif(x) – derivata lui f in raport cu a i-a coordonata a lui x

1 Φi(v) = ∫ (Dif)(t,t,…,t)dt, oricare i din N 0

Page 25: Valoarea Shapley

Teorema

1• Φk(v) = ∫ (Dkf)(t,t,…,t)dt

0• Dem.: f(x) = Σ(Πxi * Π(1-xi))v(S). Deci Dkf(x) = Σ (Πxi * Π(1-xi))v(S) – T:k din T , i din T\{k} , i din N\T - Σ(Πxi * Π(1-xi))v(S) S:k nu e din S , i din S , i din N\(SU{k})

continuarea demonstratiei in pdf-ul corespunzator cursului pe site

Page 26: Valoarea Shapley

Exemplu (formula integrala a lui Owen)

• <N,v> cu N={1,2,3}• f(x1,x2,x3) = v(Φ)(1-x1)(1-x2)(1-x3) + v(1)x1(1-x2)(1-x3) + v(1,2)x1x2(1-x3) + v(2)(1-x1)x2(1-x3) + v(1,3)x1(1-x2)x3 + v(3)(1-x1)(1-x2)x3

+ v(1,2,3)x1x2x3 + v(2,3)(1-x1)x2x3

∂f (x1,x2,x3) = (v(1)- v(Φ))(1-x2)(1-x3)∂x1 + (v(1,2)- v(2))x2(1-x3) + (v(1,3) – v(3))(1-x2)x3

+ (v(1,2,3) – v(2,3))x2x3

Page 27: Valoarea Shapley

Exemplu (formula integrala a lui Owen)-continuare

1 1

• ∫ ∂f (t,t,t)dt = (v(1) – v(Φ)) ∫(1-t)2dt + 0 ∂x1 0 1 + (v(1,2) – v(2)) ∫t(1-t)dt + 0 1 +(v(1,3) – v(3)) ∫(1-t)tdt + 0 1

+(v(1,2,3) – v(2,3)) ∫t2dt = 0

Page 28: Valoarea Shapley

Exemplu (formula integrala a lui Owen)-continuare

= 2/6 (v(1) – v(Φ)) + 1/6(v(1,2) – v(2)) + +1/6 (v(1,3) – v(3)) + 2/6(v(1,2,3) – v(2,3)) = Φ1(v) 1 ∫ ∂f (t,t,t)dt = Φ2(v)0 ∂x2

Φ3(v) = v(N) – Φ1(v) - Φ2(v)

Page 29: Valoarea Shapley

Exercitii rezolvate

• i) f(eT) = v(T) oricare T din 2N

• ii) f este de forma ΣcT(Πxi) (t inclus in N, i din T) (f este o functie multiliniara)

• iii) f este unica multiextensie liniara a lui v~ la [0,1]n

v~:Ext([0,1]n)->R, v~(eS) = v(S)

demonstratia in pdf-ul de pe site

Page 30: Valoarea Shapley

AL-valoarea (Average-Lexicographic Value)(Tijs, 2005)

• AL(v) = 1/(n!)Σ Lσ(v), σ o permutare a lui N, oricare v cu C(v) nenul

• >=L – ordinea lexicografica in Rn

• Exemplu: x=(8,5,11,0) >L (8,5,11,100) = y• Lσ(v) apartine C(v), σ = (σ(1),…,σ(n)) o permutare a lui N

este maximul lexicografic al lui C(v) in raport cu σ: (Lσ(v))σ(1) = max{xσ(1) | x apartine C(v)} (Lσ(v))σ(2) = max{xσ(2) | x apartine C(v) cu xσ(1)= (Lσ(v))σ(1) } … (Lσ(v))σ(n) = max{xσ(n) | x apartine C(v) cu (xσ(1), xσ(2),… xσ(n))

=( (Lσ(v))σ(1) ,(Lσ(v))σ(2) ,…,(Lσ(v))σ(n-1) )}

Page 31: Valoarea Shapley

AL-valoarea (Average-Lexicographic Value)(continuare)

• Obs.: Lσ(v) este un punct extrem al lui C(v) pentru fiecare σ o permutare a lui N

• Proprietati: eficienta, rationalitatea individuala, S-echivalenta, simetria, proprietatea jucatorului fictiv, invarianta cu privire la exactificare, aditivitatea pe conurile de jocuri exacte unde samburele este o corespondenta aditiva

• Def.: <N,v> joc exact daca oricare S din 2N\{Φ} exista x din C(v) a.i. x(S) = v(S)

<N,v> -> <N,vE>: vE(S)=min{Σxi dupa i din S | x din C(v)} vE(Φ) = 0 AL(v)= Φ(v) oricare

<N,v> convex si oricare <N,v> cu N={1,2}

exactificarea

jocului v

Page 32: Valoarea Shapley

AL-valoarea (Average-Lexicographic Value)Exemplu

• v(1) = 10; v(2) = 20; v(3) = 30; v(1,2) = v(1,3)=v(2,3) = 50 v(1, 2, 3) = 102

Φ(v)

x1+x2 = 50

x1+

x3 = 50

f3 = (10,20,72)

f2 = (10,62,30)

f1 = (52,20,30)=m(2,3,1)

=m(3,2,1) m(3,1,2)=(20,52,30)

m(1,3,2)=(10,52,40)

m(1,2,3)=

(10,40,52)

I(v)

m(2,1,3)=(30,20,52)

x2+x3 = 50C(v)

Page 33: Valoarea Shapley

AL-valoarea (Average-Lexicographic Value)Exemplu

Φ(v) = 1/3! (m(123) + m(132) + m(213) + m(231) + m(312) + m(321)) = =1/6((10,40,52) + (10,52,40) + (30,20,52) + +(52,20,30) + (20,52,30) + (52,20,30)) = =1/6(174,204,234) = (29,34,39)AL(v) = 1/3!(L(123) + L(132) + L(213) + L(231) + L(312) + L(321)) = = (29,34,35)AL(v) = Φ(vE) oricare <N,v> joc balansat cu N={1, 2, 3} oricare <N,v> joc balansat simplex (C(v)=I(v)) oricare <N,v> joc big boss cu n ca big boss

Page 34: Valoarea Shapley

(0,0,600)

Valoarea Shapley si valoarea proportionala

• Exemplul 1: N={1, 2, 3}; capital de investit: 1.5 mil.; 1.5 mil.; 3 mil.; intr-un proiect ce necesita >= 4 mil. si aduce beneficiu 10% v(N) = 600, v(1,3) = 450, v(2,3) = 450, v(S) = 0 in rest p(v)=(150,150,300) –punct extrem pentru C(v) Φ(v) = (125,125,350) apartine C(v) -> (8.3%,8.3%,11.6%)

(0,150,450)

x1 = 0

(0,600,0)(600,0,0)

x2 = 0

(150,0,450)Φ(v)

p(v)