VAJE - University of Ljubljanalab.fs.uni-lj.si/ldsta/old_page/vaje/ta/Tehnicna Akustika... · 2015. 4. 7. · VAJE . pri predmetu . TEHNIČNA AKUSTIKA 2 . TEORETIČNE OSNOVE AKUSTIKE

VAJE

pri predmetu

TEHNIČNA AKUSTIKA 2

TEORETIČNE OSNOVE AKUSTIKE

Asistent: doc.dr.Jurij Prezelj

Ljubljana: 2012

Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike

KAZALO TEHNIČNA AKUSTIKA 2 .................................................................................................................................................................1 KAZALO............................................................................................................................................................................................2 1. OSNOVE AKUSTIKE ...................................................................................................................................................................2

1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU ...................................................................................................4 1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE .................................................................................................4 1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU....................................................................................5 1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU ...............................................................................................................7

1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE...................................................................................................8 1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV........................................................................12 1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM POLJU.............................................................15

Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO HARMONIČNE FUNKCIJE ..................16 Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO .............................................................17

2.1. HELMHOLTZOVA ENAČBA ..............................................................................................................................................18 3.1 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA...........................................................................................................................18 4.1. ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE....................................................................................................................20

4.1.1. KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM ......................................................................................................................22 4.1.2. KANAL S PROSTIM KONCEM .................................................................................................................................24 1.3.3. OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE................................................................................36

1. OSNOVE AKUSTIKE Pod zvok lahko v širšem smislu vključujemo vsa mehanska valovanja. Vsako valovanja vedno nastane kot posledica delovanaja motnje na sistem, ki je sicer v ravnotežnem stanju. Motnja je lahko poljubna sila, ki premakne del zveznega sistema iz ravnovesne lege. Valovanja se lahko širijo po plinih (zvok ki ga lahko slišimo), po kapljevinah (zvok v morju, valovi na površini morja) in po trdnih snoveh, kar občutimo kot vibracije. Valovanja je vedno vezano na nek medij v časovni in krajevni koordinati. Pri tem je hitrost širjenja motnje oziroma valovne fronte najpomembnejša lastnost medija. Časovna in krajevna koordinata pa določata razmerje med dimenzijami medija/prostora po katerem se valovanje širi in valovno dolžino tega valovanja. Pri opazovanju valovanj, s katerimi največkrat ponazarjajo zvok, je sila pomembno razmerje te skale opazovanja. Če vržemo opeko na vodno gladino bomo povzročili valovanje. Če motnjo ki jo povzročimo na gladini opazujemo tik ob opeki in jo opazujemo iz opeke jo vidimo kot ravno valovanje ki se širi od opek v neskončnost medija. Ko valovanje opazujemo iz obale ga vidimo kot krožne valove ki se širijo po gladini od mesta padca opeke v neskončnost vodne površine. Če bi sedeli kot mravljica na slamici ob obali, pa ne bi videli krogov ki se širijo, temveč bi zaznali samo dviganje in spuščanje gladine ob slamici. Zvok lahko glede na skalo opazovanja razumemo kot spreminjanje tlaka v nekem opazovanem kontrolnem volumnu, lahko pa ga razumevamo kot žarke, ki se širijo po tem kontrolnem volumnu in imajo vse lastnosti odbojev in uklonov valovanj. Zvok pa ni sestavljen iz sinusnih valovanj. Pojavna oblika zvoka je zelo pestra. Vsebuje impulze, tone in popolnoma naključne signale. Zaradi tega je dobro poznati digitalno obdelavo signalov, fourierovo transformacijo in pridobiti občutek za frekvenčno razumevanje zvoka. Frekvenčni prostor je samo interpretacija realnih signalov.

doc.dr.Jurij Prezelj stran: 2 / 38


Zvok zaznavamo kot časovno spreminjajočo se majhno tlačno motnjo, ki se spreminja okoli ravnotežnega tlaka medija. V zraku govorimo o nihanju zvočnega tlaka okoli atmosferskega tlaka. Zvočni tlak v kapljevinah niha okoli hidrostatičnega tlaka. V dani točki trdnega telesa, nihajo napetosti okoli ravnotežnih napetosti.

poko lice

pA

čas Slika 1: Zvok kot časovno spreminjajoča se tlačna motnja okoli atmosferskega tlaka.

Pri premikanju površine po cevi (bat s hitrostjo v) se pred površino ustvari tlak (zastojni tlak). Če gibanje površine ustavimo tudi zastojni tlak na površini bata pade na tlak okolice. Zaradi masnih lastnosti zraka in zaradi stisljivosti, ki daje vzmetno konstanto, se zastojni tlak po prenehanju gibanja površine odlepi od površine in se širi po cevi Predpostavimo da imamo na razpolago zvočni vir ki seva zvok s konstantno frekvenco in konstantno amplitudo. Predpostavimo da je zvočni vir na prostem in da okoli njega ni nobenih ovir ali pa odbojnih površin. Zvočni tlak, ki nastane kot posledica delovanja tlaka lahko opazujemo krajevno v izbranem časovnem trenutku p(x), lahko pa na izbranem merilnem mestu opazujemo kako se s časom spreminja zvočni tlak p(t).

x[cm]

p(x)

p(t) p(t)

t[msek]t[msek]

Slika 2: Zvok kot valovanje. Zvočni tlak se spreminja po kraju in v času.



1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU Ker se v dani točki medija zvočni tlak ves čas spreminja, kljub temu da se posamezna motnja izniha, to pomeni, da so sile ki povzročajo motnje dinamične, in da se motnje po mediju širijo. Biljardne kroglice v vrsti: Če postavimo biljardne kroglice v vrsto tako da se dotikajo. Nato v prvo trčimo kroglico z neko hitrostjo. Pri trku bo nastala motnja, ki se bo prenesla na drugo stran kroglice. nato bo prestopila na tretjo kroglico, in vse tako do zadnje. Bistvo je v tem, da se zadnja kroglica ne loči iz vrste takoj, ko zadanemo prvo, ampak šele malo kasneje. Torej ima motnja neko hitrost, ki ima enako smer kot kroglica. Kolona avtomobilom pred semaforjem: Ker vozniki speljejo ko imajo pred seboj dovolj prostora, začne deseti speljevati nekaj sekund za prvim. Če kolono opazujemo iz vrha nebotičnika, lahko vidimo da se avtomobili pomikajo naprej, motnja (varnostna razdalja med avtomobili), pa se pomika v nasprotno smer.

1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE

Za izpeljavo hitrosti širjenja transverzalne motnje bomo vzeli primer potovanja motnje po napeti vrvici. Pri tem moramo narediti naslednje predpostavke: Vrvica je zelo dolga. Vrvica je napeta s silo F. Na enem koncu je vpeta na togo steno. Na drugem koncu začne delovati majhna prečna sila

Fv

Fm

F +Fv m

vdtcdt

2vdt

2cdt

t=0

t=dt

t=2dt

valovna fronta

valovna fronta

Slika 3: Hitrost potovanja motnje po vrvici Vrvica se v neki točki pod kotom prelomi na dva dela. Na eni strani imamo že deformirano novo stanje, na drugi strani pa je vrvica še nedeformirana. Ta točka predstavlja valovno fronto ali valovno čelo. Valovna fronta je prikazana na sliki 2. Kot deformacije vrvi je definiran z razmerjem sil:

v

m

F

Ftg

Motnjo generiramo s transverzalnim premikanjem vrvi s hitrostjo v. Transferzalna hitrost motnje mora biti majhna v primerjavi s hitrostjo širjenja motnje po vrvi, da je kot majhen.



Valovna fronta - motnja se po vrvi premika s hitrostjo c ki jo iščemo. Razmerje med hitrostima je določeno z razmerjem med silama:

v

m

F

F

c

v

Masa gibajočega se dela vrvice je S c dt. Pri tem pa predstavlja gostoto vrvice, S pa predstavlja površino prereza vrvice. Sedaj lahko uporabimo izrek o gibalni količini:

dG = mdv + vdm = Fm dt Ker je hitrost motnje s katero vzbujamo gibanje delčka vrvi konstanta in se spreminja samo dolžina vrvi ki se giblje in s tem premikajoča se masa, je mdv = 0 tako da velja:

Fm dt = dG Sedaj lahko zapišemo:

Fm dt = S c dt v V tej točki smo uporabili približek da je kot deformacije majhen oziroma da je cos =1

cdt

vdt

F

Ftg

v

m => v

m

F

Fcv

Sedaj dobimo da je: c

vFScvF v

m To vstavimo nazaj v enačbo za gibalno količino, tako

da dobimo:

S

Fc v

Iz te enačbe, ki predstavlja hitrost širjenja transverzalne motnje po vrvi vidimo, da hitrost same motnje ne vpliva na hitrost širjenja te motnje. Hitrost je odvisna od sile s katero je vrvica napeta, s pravi od lastnosti medija po katerem se motnja širi.

1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU

Podoben izračun lahko naredimo tudi za longitudinalno širjenje motnje po palici kot je prikazano na sliki 4. Na prosti del palice začne delovati majhna sila, tako da velja Hookov zakon.

0l

dlE

S

F

Posledica konstantnega delovanja sile je krčenje palice s hitrostjo v. Prav tako pride do formiranja valovne fronte. Pod valovno fronto delci palice mirujejo in napetosti v palici zaradi delovanja sile F ni, nad valovno fronto pa se delci palice premikajo palica je deformirana in v njej nastopa napetost oziroma tlak p. V času dt se palica skrajša za vdt, valovna fronta pa



prepotuje cdt. Deformirani del palice ima torej dolžino cdt medtem ko se palica skrajša za vdt. Po Hookovem zakonu je

E

p

cdt

vdt

ES

F .

F

F

F

cdt

vd t

2cd t

3cd t

3 vdt2vdt

Slika 4: hitrost širjenja valovne fronte longitudinalnega valovanja po togem telesu: Zopet bomo uporabili izrek o gibalni količini:

dG = mdv + vdm = Fdt Hitrost je konstantna in se ne spreminja zato je mdv = 0. Masa deformiranega - gibajočega se dela palice se konstantno povečuje in je S c dt. Hitrost premikanja delcev je v, tako da iz izreka o gibalni količini sledi:

Fdt=S c dt v. Iz obeh enačb dobimo:

cvc

Ev

S

F .

Sedaj lahko izrazimo hitrost valovne fronte.

E

c

E predstavlja modul elastičnosti. Tudi tu hitrost širjenja motnje ni odvisna od sile niti od hitrosti same motnje ampak samo od lastnosti medija. Sklepamo torej lahko, da vsaka majhna motnja potuje po palici s to hitrostjo.




1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU

F, v F, v

vdt

cdt

F = (p+dp)S

F=pS

Slika 5: Hitrost širjenja valovne fronte po plinu Izračun za hitrost valovne fronte lahko ponovimo tudi za steber kapljevine. Predpostavimo da so hitrosti s katerimi se stanje plina spreminja velike. Če vemo da je osnovna zvočna frekvenca 1000 Hz potem lahko sklepamo da se stanje plina 1000 na sekundo razširi in stisne. Pri taki hitrosti pa lahko predpostavimo adiabatno spremembo stanja.

p

dp

V

dV

dVpVdp

dVVpdpV

constpV

1

0

01

Namesto Hookovega zakona uporabimo enačbo stisljivosti fluida:

c

vp

dp

V

dVp

dp

od tod sledi p

cv

dp1

Ponovno bomo uporabili izrek o gibalni količini:

dG = mdv + vdm = Fdt Tudi tu je hitrost konstantna, tako da je mdv = 0. Maso tistega dela plnskega stebra ki je komprimiran, zapišemo z enačbo:


dm = S c dt Sunek sile ki povzroči motnjo lahko zapišemo tudi z razliko tlakov

Fdt = dp S dt Če zgornji enačbi vstavimo v izrek o gibalni količini dobimo:

pc

dpp

dpcc

SdpdtScvdt

2

1

Ugotovimo lahko, da ima v zadnji enačbi enako vlogo kot 1/E v računu s palico. Hitrost širjenja motnje po stebru kapljevine tako dobi obliko:

1

c

Paziti moramo, da ne privzamemo izotermne spremembe ampak adiabatno, saj so spremembe tako hitre, da toplota nima časa za prehod iz toplejšega komprimiranega dela na hladneši ekspandirani del cikla. Koeficient adiabatne spremembe je definiran z enačbo: = cp/cv. Hitrost širjenja motnje po stebru plina torej dobi naslednjo obliko:

p

c

Pri zelo nizkih frekvencah (infrazvok) so pogoji bolj izotermni, pri višjih frekvencah pa bolj adiabatni. V nekaterih medijih zasledimo, da se fazna razlika med posameznimi frekvencami spreminja, kar pomeni da zvok pri različnih frekvencah širi z različnimi hitrostmi.

1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE V plinih in kapljevinah ni strižnih napetosti. Zaradi tega je zvok v plinih in kapljevinah longitudinalno valovanje. Delci medija se premikajo v smeri širjenja valovanja, tako da ustvarjajo razredčine in zgoščine, kot je prikazano na sliki 6. Ugotovili smo, da se motnja širi po mediju, ki ima maso in je stisljivo, s hitrostjo, ki smo jo poimenovali hitrost zvoka. Pri izračunu hitrosti širjenja motnje, ki jo povzroči nek mehanski vir, smo predpostavili, da le ta deluje kratek čas in to s konstantno silo. V tem primeru nimamo valovanja in lahko govorimo samo o udarnih valovih, ne moremo pa govoriti o zvoku.



Ugotovili smo tudi že, da zvok povzročajo dinamične sile. Na sliki 4 imamo prikazano cev v katero je na en konec pritrjen zvočnik, drug konec cevi pa je prosto odprt. Na membrano deluje dinamična sila, ki jo lahko enostavno opišemo z enačbo: pri tem je krožna frekvenca [rad-1], ki je s frekvenco [Hz] povezana z enačbo f 2 .

F(t) = FA sin(t) Posledica delovanja sile na membrano je pomik membrane s hitrostjo ki jo zapišemo z enačbo:

v(t) = v0 sin (t+1) Posledica gibanja membrane je nadtlak v cevi, ko je membrana izven ravnovesne lege v smeri cevi, in podtlak, ko je membrana izven ravnovesne lege v negativno smer. Nadtlak in podtlak, ki predstavljata motnjo v sistemu se širita s hitrostjo zvoka. Zvočni tlak se torej spreminja tako s časom kot s krajem. V poljubnem časovnem trenutku je zvočni tlak v cevi porazdeljen kot je prikazano na sliki 4. V vsaki točki cevi pa se zvočni tlak spreminja tudi s časom. Zaradi tega moramo za opis valovanja uporabiti dve dimenziji, čas in kraj.

p(t) = p0 sin (t+kx+2) Razdalja med dvema zgoščinama (maksimalnim tlakom) ali med dvema razredčinama (minimalnim tlakom) je definirana kot valovna dolžina. Predpostavimo da neskončno cev napolnimo z dvema različnima medijema. V prvem mediju se motnja širi zelo hitro, v drugem pa zelo počasi. Membrana v obeh primerih niha z enako frekvenco. Če se motnja širi zelo hitro, potem bo nadtlak v času enega cikla naredil veliko večjo razdaljo, kot če bi se motnja širila počasi. Iz tega je jasno, da je valovna dolžina pri konstantni frekvenci odvisna od hitrosti zvoka in zapišemo lahko osnovno povezavo med valovno dolžino, frekvenco in hitrostjo zvoka.

c = f

razredčina

pmax

pok olice

F

Čas ali kraj

v

zgoščina

Slika 6: Zvočno valovanje v neskončni cevi V primeru, da se kot opazovalci postavimo na fiksno točko v cevi in opazujemo tlak, se le ta s časom harmonično spreminja z enako frekveco kot membrana zvočnika. Delci medija po katerem se širi zvok nihajo okoli svoje ravnovesne lege s to vsiljeno frekvenco. Premikanje delcev medija ustvarja motnjo. Delci medija se obnašajo kot nihala, ki imajo neko vztrajnost (maso in pospešek), dušenje (trenje) in vzmetno konstanto (stisljivost medija).



Valovanje ima torej dve dimenziji, to sta čas in kraj. Popolni opis širjenja valovanja v cevi dosežemo z ploskvijo. Prvi rob ploskve predstavlja čas, drugi rob ploskve predstavlja krajevno koordinato. Eulerjev zakon gibanja fluida. Gradient tlaka v cevi povzroči da se

prične fluid z gostoto gibati s pospeškom t

v

. Velja tudi obratno. Če imamo dano gibanje

fluida le ta povzroči tlačno razliko.

t

v

x

p

h

A

p(x,t) p(x+h,t)v(x,t) v(x+h,t)

Slika 7: Kontrolni volumen v točki opazovanja

Na poljubnem mestu v cevi si izberemo kontrolni volumen. Na tem kontrolnem volumnu v cevi s prerezom/presekom A velja zakon o ohranitvi mase.

A)t,hx(v)t,x(vV

0A)t,hx(v)t,x(vm

Zaradi spremembe volumskega pretoka se bo spremenil tlak v kontrolnem volumnu. Zapišemo lahko osnovno obliko plinske enačbe za izbrani kontrolni volumen V0:

PV=mRT In jo odvajamo po času. S tem opišemo kako se spreminja stanje plina na danem mestu oziroma v izbranem kontrolnem volumnu.

RTt

mV

t

p

0

t

m

predstavlja masni pretok, ki smo ga definiriali že zgoraj in ga lahko vstavimo v plinsko

enačbo stanja ki smo jo odvajali po času.

RTA)t,hx(v)t,x(vVt

p

0

Če izrazimo spreminjanje tlaka s časom glede na spremembe stanja v kontrolnem volumnu V0 dobimo naslednji izraz.



RTV

A)t,hx(v)t,x(v

t

p

0

V zgornjem izrazu lahko vidimo da 0V

Apredstavlja višino kontrolnega volumna 1/h, RT pa

tlak p v kontrolnem volumnu. Ker je naš kontrolni volumen infinitezimalno majhen lahko zgornji izraz limitiramo tako da gre h 0.

00

ph

)t,hx(v)t,x(vlim

t

ph

Rezultat limite je:

0px

v

t

p

Sedaj lahko ta rezultat odvajamo po kraju.

2

2

0

2

x

vp

tx

p

Lahko pa tudi po času.

2

2

02

2

t

vp

t

p

Odvajamo pa lahko tudi osnovno Eulerjevo enačbo, in to enkrat po času in drugič po kraju. Če osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po času dobimo:

2

22

x

v

tx

p

Če pa osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po kraju dobimo:

tx

v

x

p

2

2

2

Odvode Eulerjeve enačbe in odvod rezultata limite lahko seštejemo tako da dobimo:

2

2

02

2 11

x

p

pt

p

oziroma če upoštevamo RTc dobimo končno obliko

enodimenzionalne valovne enačbe.

01

2

2

22

2

t

p

cx

p



Enodimenzionalna valovna enačba predstavlja matematični model širjenja tlačne motnje po mediju v eni smeri. To pomeni da je valovna dolžina harmonične motnje bistveno daljša od prečne dimenzije vodnika. Z drugimi besedami, dolžina cevi mora biti bistveno večja od premera cevi, valovna dolžina zvoka ki ga opisuje ta enačba pa mora biti vsaj nekajkrat daljša od prereza cevi da enodimenzionalna enačba velja. Sama enačba pa predstavlja površino. Na eni strani površine je časovna os, na drugi strani površine pa je krajevna koordinata cevi. Oblika površine je določena če imamo podane začetne pogoje in robne pogoje. Če poznamo kako se v izbrani točki s časom spreminja zvočni tlak potem bomo lahko določili kako se bo zvočni tlak s časom odzval na te pogoje na drugih mestih v cevi. Če poznamo kako je zvočni tlak v določenem trenutku porazporejen po cevi, bomo lahko izračunali kako bo zvočni tlak s časom po cevi spreminjal. Rešitev valovne enačbe je torej poljubna funkcija, dokler vsebuje širjenje motnje po mediju. Zaradi tega bi lahko rekli oziroma si lahko predstavljamo rešitev valovne enačbe bolj kot argument funkcije kot funkcijo sama. Za nazorno predstavitev bomo podali nekaj rešitev valovne enačbe: Splošno zapisana rešitev: )ctx(f)ctx(f)t,x(p 21 Harmonična motnja: )ctxcos(C)ctxsin(C)t,x(p 21 Harmonična motnja: )kxtcos(C)kxtsin(C)t,x(p 21 Harmonična motnja: )kxt(i)kxt(i eCeC)t,x(p

21

Argument (x-ct) oziroma (t-kx) predstavlja motnjo ki se širi v pozitivno smer koordinate x. Argument (x+ct) oziroma (t+kx) pa predstavlja motnjo ki se širi v nasprotno smer, to je v negativno smer koordinate x. Konstante C predstavljajo amplitudo zvočnega tlaka.

1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV Akustika kanalov ima nekaj specifičnih lastnosti, ki precej otežujejo načrtovanje sistemov za ADH. Prva taka lastnost je, da kanal sam po sebi nima padca odziva pri visokih frekvencah. Poleg tega je modalnost kanala kot vodnika zvočnega valovanja zelo bogata. Akustiko kanalov v prvi vrsti določajo resonančni vrhovi, ki določajo dinamiko akustičnega odziva. Že v uvodu smo ugotovili, da se lahko omejimo na opazovanje nizkih frekvenc zvoka. To pomeni, da bomo obravnavali samo zvočno valovanje, ki ima valovno dolžino precej daljšo od karakteristične prečne dimenzije kanala, po katerem se širi. Na ta način se izognemo pojavu višjih načinov širjenja zvočnega valovanja in teoretičnemu pomankanju dušenja višjih fekvenc. Osnovna enačba, ki opisuje širjenje zvočnega valovanja po kanalu, je enodimenzionalna valovna enačba. Valovno enačbo lahko zapišemo za pomik delcev (x,t)




01

2

2

22

2

tcx

,

za zvočni tlak p(x,t)

01

2

2

22

2

t

p

cx

p,

in za hitrost nihanja delcev medija u(x,t)

01

2

2

22

2

t

u

cx

u

Vse tri veličine se sicer lahko merijo, toda daleč najlažje merimo signale zvočnega tlaka p(x=konst,t). Poleg tega je zvočni tlak tista veličina, ki jo slišimo in je zato daleč najpomembnejša. Rešitev valovne enačbe je poljubna funkcija, ki ima poljubno obliko:

)()(),( 11 ctxgctxftxp

)()(),( 22 ctxgctxftxu

)()(),( 33 ctxgctxftx Motnjo oziroma valovno obliko, ki se širi v mediju v pozitivni smeri koordinate x, opisuje funkcija fi , gi pa predstavlja funkcijo (valovno obliko), ki se širi po mediju v negativni smeri krajevne koordinate x. Hitrost širjenja motnje opisujemo s hitrostjo zvoka c, ki jo lahko imenujemo tudi fazna hitrost. Celotna motnja je vsota obeh motenj, ki potujeta v pozitivni in negativni smeri, kot je prikazano na sliki 8.

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Razdalja [cm]

Zvočn

i tla

k [m

Pa]

f(x-ct)

g(x+ct)

p(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)

Slika 8. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja potovanje motnje v mediju v pozitivni smeri, je označena z modro barvo. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja

potovanje motnje v negativni smeri, je označena z rdečo barvo. Njuna vsota, ki predstavlja celotno rešitev valovne enačbe, je označena s črno barvo.

Poenostavljeno lahko rečemo, da rešitev valovne enačbe ni funkcja, temveč njen argument. Rešitev enodimenzionalne valovne enačbe si lahko predstavljamo kot ploskev, napeto preko


koordinat časa t in kraja x. Za rešitev valovne enačbe pa bomo najpogosteje uporabljali eksponentno funkcijo v kompleksnem prostoru. Kompleksna števila bomo uporabljali zato, ker njihov zapis vsebuje tudi informacijo o fazni razliki. Ker nas trenutno zanimajo samo stacionarna zvočna polja in obdelava signalov s Fourierovo in Laplacovo transformacijo na znanih koordinatah oziroma na izbranih merilnih mestih bomo časovno koordinato lahko opustili. Rešitve bomo opazovali za izbrane frekvence oziroma valovna števila k.

)(

1)(

1),( kxtikxti eBeAtxp

)(

2)(

2),( kxtikxti eBeAtxu

)(

3)(

3),( kxtikxti eBeAtx

pri tem predstavlja frekvenco, k pa valovno število, ki je definirano kot:

ck

2

Na koncu izračunov je za nas merodajna tista komponenta kompleksnega števila, s katero smo opisovali začetne oziroma robne pogoje. Če smo jih opisali s sinusno funkcijo, potem realni del rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino, če smo uporabili kosinus, pa imaginarni del rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino. Tako lahko sedaj zapišemo rešitev valovne enačbe za zvočni tlak in za hitrost delcev za širjenje valovanja v pozitivni smeri, to je od primarnega vira proti izstopni odprtini kanala:

)(1Re),( kxtieAtxp → )cos(),( 1 AkxtAtxp

oziroma za negativno smer širjenja, to je proti vstopni odprtini kanala:

)(1Re),( kxtieBtxp → )cos(),( 1 BkxtBtxp

pri tem sta tudi amplitudi A1 in B1 kompleksni števili: A1 = Ar + iAi oziroma AieAA 11 , ki

sta lahko realni ali kompleksni. Rešitev lahko zapišemo tudi z vsoto sinusov in kosinusov.

tZtVxc

Yxc

Xtxp iiii

N

i

ii

ii 00

....2,1

00 sinsincossin),(



Pri tem sta Xi in Yi poljubni konstanti, ki se ju določi iz robnih pogojev. Vi in Zi pa sta poljubni konstanti, ki se ju določi iz začetnih pogojev. 0i so lastne frekvence sistema, ki ga opazujemo. V našem primeru so to lastne frekvence kanala.

1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM

POLJU Če predpostavimo da zvočno polje v neskončno dolgi cevi lahko popišemo z enačbo za zvočni tlak p(x,t) potem nas zanima kakšno je polje hitrosti gibanja delcev zraka v isti cevi, se pravi da iščemo v(x,t). Eulerjeva enačba, ki popisuje gibanje fluida vedno velja:

grad p = - a oziroma t

v

x

p

Če želimo dobiti polje hitrosti gibanja delcev, moramo torej polje zvočnega tlaka najprej odvajati po krajevni koordinati in nato integrirati po času. Predpostavimo zvočno polje:

)kxt(i)kxt(i eCeC)t,x(p 21

Odvajajmo ga po krajevni komponenti x in vstavimo v eulerjevo enačbo.

)kxt(i)kxt(i keiCkeiCt

)t,x(v

21

To enačbo lahko sedaj enostavno integriramo po času da dobimo hitrost gibanja delcev.

dtx

p)t,x(v

t

0

1

dteCeCk

i)t,x(vt

)kxt(i)kxt(i 0

21

t

)kxt(i)kxt(i ei

Ce

i

Cki)t,x(v

0

21

)kxt(i)kxt(i eCeCk

)t,x(v

21

Za širjenje zvoka v samo eno smer pa lahko zapišemo:

)t,x(pc

)t,x(v1



Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO HARMONIČNE FUNKCIJE

Ker smo predpostavili ravno valovanje, ki se širi po cevi katere premer je bistveno manjši od valovne dožine valovanja, in ker opazujemo samo krajevno spreminjanje amplitude valovanja, lahko rečemo da se amplituda zvočnega tlaka spreminja samo po eni dimenziji, to je po x.

ax

p

pri tem za realno motnjo zvočnega tlaka lahko predpostavimo harmonično funkcijo:

p(x,t)=pA sin(t-kx)

tako da lahko zapišemo: )cos(1

kxtkpdt

dvA

- in - da +

dtkxtpk

v A )cos(

dtkxtkxtpk

v A )sinsincos(cos

t

kxt

kxp

kv A

cos

sinsin

cos

tkxtkxpk

v A

cossinsincos

če upoštevamo še naslednje povezave: k = 2/ = 2f c = f

potem lahko rečemo da je :

2k

2c

in končno lahko zapišemo hitrost delcev pri valovanju:

)sin( kxtc

pv A

Hitrost vedno dobimo tako, da tlak p(x,t) odvajamo po kraju in nato integriramo po času.



Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO

Vir tlacne motnje

Motnja v sirjenju

C1 C3C2

Neskoncnacev

A2A1

Slika 9. Nenadna razširitev kanala po katerem se širi zvočno valovanje

Imamo dve zvočni polji in dve hitrostni polji.

)kxt(i)kxt(i eCeC)t,x(p

21

)kxt(i)kxt(i ec

Ce

c

C)t,x(v

21

)kxt(ieC)t,x(p

3

)kxt(ie

c

C)t,x(v

3

Zapišemo lahko robne pogoje pri x=0;

)t,x(p)t,x(p 00 21

)t,x(vA)t,x(vA 00 2211 Robne pogoje vstavimo v zgornje enačbe tako da dobimo sistem enačb:

32211

321

CACCA

CCC

Imamo samo dve enačbi in tri neznanke. Ker pa lahko predpostavimo da poznamo amplitudo vpadnega valovanja C1, lahko amplitudo valovanj C2 in C3 izrazimo z njim. Tako dobimo amplitudo odbitega valovanja C2.

21

2112 AA

AACC

Rešitev je neodvisna od frekvence. Odvisna je od razmerja prerezov cevi:

A1 = A2 => C2 = 0

A1 << A2 => C2 = - C1

A1 >> A2 => C2 = C1




1.5 HELMHOLTZOVA ENAČBA

Ker nas zanima oblika zvočnega polja in ne potovanje same motnje, lahko fiksiramo čas, s tem pa tudi frekvenco. Pri posamezni frekvenci nas zanima, kako je porazdeljen kompleksni zvočni tlak p(x) po kanalu. Kompleksni zvočni tlak bo torej funkcija položaja točke opazovana v kanalu. Realni zvočni tlak dobimo, če kompleksnega množimo z eit..

tiexptxp )(Re),(

Če to enačbo vstavimo v osnovno valovno enačbo (3.1), dobimo:

0)(Re1

2

2

22

2

tiexp

tcx

Operacija ločevanja realnega dela sovpada z operatorjem diferenciranja in če dvakrat odvajamo po času, lahko zapišemo:

0)()(

Re20

2

2

2

tiexp

cdx

xpd

Tej enačbi mora biti zadoščeno v vseh časih t in še posebej, ko je eit = 1 oziroma ko je eit = i. Ta dva pogoja pa sta izpolnjena, ko je izraz v oglatem oklepaju enak 0.

0)()(

20

2

2

2

xpcdx

xpd

Enačba se imenuje enodimenzionalna Helmholtzova enačba. Kompleksni zvočni tlak mora zadostiti tej enačbi. Enačba je pomembna zato, ker je osnova za metodo končnih elementov pri simulaciji zvočnega polja v kanalu. Rešitev Helmholtzove enačbe sta valovanji

in , ki predstavljata potovanje motnje v pozitivno smer in v negativno smer,

kot je prikazano na sliki

tieAxp 1)( tieBxp 1)(

3.

1.6 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA Pri zvočnem valovanju sta zvočni tlak in hitrost delcev v medsebojni povezavi. To povezavo opisujemo z impedanco. Le ta je odvisna od medija, položaja v opazovanem sistemu in od tipa zvočnega polja. Načeloma lahko pri majhnih amplitudah zvočnega tlaka in majhnih spremembah gostote medija zapišemo Eulerjevo enačbo za gibanje fluida v obliki:

00

x

p

t

u


Ta enačba opisuje, kako gradient tlaka pospeši medij, ki ima gostoto 0 s pospeškom t

u

. Če

predpostavimo, da zvočni tlak poznamo, analitično zapisan z enačbo

)()(),( kxtikxti BeAetxp ali preko izmerjenega signala, potem lahko izračunamo hitrost delcev. Najprej izračunamo gradient zvočnega tlaka in ga nato integriramo po času, skladno z Eulerjevo enačbo. Poudariti moramo, da rezultat velja samo za ravno valovanje, to je pri širjenu zvoka po kanalu, ali pa zelo daleč od zvočnega vira.

t

txukBekAe

x

txp kxtikxti

),(),( )()(

Tako dobimo hitrost delcev pri ravnem zvočnem valovanju, ki se širi po kanalu ali pa zelo daleč od zvočnega vira.

)(

0

)(

0

),( kxtikxti ec

Be

c

Atxu

Če primerjamo enačbo za hitrost gibanja delcev u(x,t) z enačbo za zvočni tlak p(x,t) vidimo, da se razlikujeta samo za konstanto 0c, ki je produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje po njem, in v predznaku drugega člena. Produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje po njem se imenje karakteristična akustična impedanca medija in se označuje z Z0.

cZ 00

Splošna rešitev valovne enačbe za zvočni tlak in hitrost vsebuje člen za opis stanja v času in člen za opis stanja v prostoru. Če člen (it) fiksiramo in ga vstavimo v konstanti A in B, lahko zapišemo rešitev valovne enačbe za hitrost nihanja delcev pri širjenju zvočnega valovanja po kanalu v obliki:

ikxikx BeAeZ

txu

0

1),(

Sedaj lahko definiramo akustično impedanco, ki je razmerje med zvočnim tlakom v dani točki in hitrostjo nihanja delcev v tej točki:

ikxikx

ikxikx

BeAe

BeAeZ

xv

xpxZ

0)(

)()(

Akustična impedanca je odvisna od položaja v kanalu in predstavlja ekvivalentno impedanco celotnega pasivnega podsistema v spodnjem delu kanala. Tako lahko vrednost akustične impedance na začetku kanala pri x=0 povežemo z akustično impedanco na koncu kanala pri x=L.

BA

BAZ

xv

xpxZ

0)0(

)0()0(



ikLikL

ikLikL

BeAe

BeAeZ

Lv

LpLxZ

0)(

)()(

Če uporabimo povezavo: potem lahko izraz za akustično impedanco pri x=L izrazimo z:

kxikxeikx sincos

kLBAikLBA

kLBAikLBAZ

Lv

LpLZ

sin)(cos)(

sin)(cos)(

)(

)()( 0

kLkLZ

Zi

kLiZkLZLZ

cossin)0(

sincos)0()(

0

0

Akustična impedanca se po kanalu spreminja in je odvisna od medija v kanalu, po katerem se valovanje širi, in od dolžine kanala.

1.7 ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE Oblika zvočnega polja v kanalu je odvisna od robnih pogojev. Našteli in opisali bomo tiste robne pogoje, ki so pomembni za razumevanje akustike v kanalih: a) stene kanala bomo obravnavali kot idealno toge, brez absorpcije energije zvočnega

valovanja, b) konec kanala je lahko togo zaključen, c) konec kanala je lahko prosto odprt, d) konec kanala ima lahko popolno absorpcijo, e) konec kanala ima lahko poljubno impedanco, f) kanal se lahko razširi oziroma zoži, g) obravnavali bomo vsiljeno nihanje z dvema oblikama: pravokotni impulz zvočnega tlaka

in stacionarno harmonično spreminjanje zvočnega tlaka z diskretno frekvenco na dani točki kanala.

Robne pogoje in njihov vpliv na dogajanje v kanalu bomo uvodoma predstavili s pomočjo analize širjenja in odboja kvadratnega zvočnega impulza. Kvadratni zvočni impulz je teoretično orodje, s katerim si pomagamo pri predstavi, kaj se v kanalu dogaja, ko zvočna motnja zadene ob različne nehomogenosti v kanalu. Za zvočno valovanje, ki ga ustvarjajo različni delovni stroji pri stabilnih obraovalnih pogojih, je ponavadi mogoče predpostaviti, da je stacionarne narave in ga lahko opišemo s harmoničnimi funkcijami. V nadaljevanju nas bo zanimalo, kako vplivajo različni robni pogoji na zvočno polje v kanalu, če imamo zvočni vir, ki ustvarja zvočno valovanje s stacionarno diskretno frekvenco. Pri akustiki v kanalih se valovanje praktično vedno širi v obe smeri kanala, kot posledica odbojev valovanja. Do odbojev prihaja zaradi spremembe impedance pri prehodu valovanja iz enega medija v drug medij ali pa zaradi spremebe prereza kanala. Na sliki 10 je prikazano, kako se del valovanja na meji med dvema različnima medijema (sprememba impedance)



odbije nazaj proti viru in kako se del valovanja prenese v drug medij. Zvočno valovanje vidi spremembo prereza kanala, po katerem se širi, tudi kot spremembo impedance.

Beikxptr

Ae-ikx

Z2Z1

Bat

x d

L

Slika 10. Odboj in transmisija valovanja iz enega medija v drug medij Amplituda odbitega zvočnega valovanja je odvisna od amplitude vpadnega zvočnega valovanja in od pogojev pri odboju od mejne plasti. Koeficient refleksije bomo zapisali kot razmerje med vpadnim in odbitim zvočnim valovanjem.

ikx

ikx

eA

eBR

A

BxR )0(

ikL

ikL

Ae

BeLxR )(

Ker je koeficient refleksije povezan s koeficientom transmisije T in ker nas zanima samo

dogajanje na površini meje lahko zapišemo koeficient refleksije R in koeficient transmisije T

tudi z razmerjem med impedancami dveh sosednjih medijev.

12

2

12

12 2 in

ZZ

ZT

ZZ

ZZR

S takim zapisom dobi impedanca kompleksen značaj, kar je pomembno zato, ker imajo disipativni mediji kompleksno impedanco. Disipativnen zaključek kanala bomo uporabljali pri načrtovanju sekundarnega vira.

ieRR

S tako definicijo koeficienta refleksije lahko določimo odbito zvočno valovanje, če poznamo vpadno zvočno valovanje in karakteristiko obeh medijev. Če je R<0, ima odbito valovanje fazo obrnjeno za 180. Če je R>0, je odbito valovanje v fazi z vpadnim valovanjem. Če je R=1, potem je odbito valovanje čista kopija vpadnega valovanja.



Odboj vpadnega valovanja je določen izključno z razmerjem med impedancami dveh mejnih medijev, ki jih valovanje vidi na meji pri d = 0, ne glede na to, ali je ta razlika posledica razširitve kanala, spremembe medija ali pa dodatnega resonančnega volumna.

ikdikd

ikdikd

eRe

eReZdZ

0)(

Pri d = 0, to je na površini konca kanala oziroma absorpcijskega materiala, dobimo:

R

RZZ n

1

10 =>

0

0

ZZ

ZZR

n

n

V kanalu imamo torej vedno stoječe zvočno polje, razen če je R = 0 oziroma Zn = Z0. Eden od kriterijev stoječega zvočnega polja v kanalu je razmerje med ravnjo amplitude hrbta stoječega valovanja in ravnjo amplitude vozla stoječega valovanja, ki ga označujemo s kratico SWR (Standing Wave Ratio):

min

max

p

pSWR

pmax in pmin predstavljata maksimalni in minimalni zvočni tlak v kanalu, ne glede na to, na katerem mestu v kanalu se pojavita. Položaj minimuma in maksimuma je povezan s frekvenco opazovanega zvočnega valovanja. Če je v kanalu vozel stoječega valovanja, v katerem gre amplituda proti nič, potem gre dejansko razmerje SWR proti neskončnosti. To se lahko zgodi samo, če je amplituda vpadnega valovanja popolnoma enaka amplitudi odbitega valovanja. To velja v primeru, ko gre koeficient R =>1. V tem primeru lahko iz enačbe

)(),( ikdikdti eReAetdp vidimo, da morata imeti eikd in Rּe-ikd obrnjeno fazo, da bi imeli dani točki pogoj za vozel oziroma za pmin. Obratno velja za hrbet stoječega valovanja. V točki, kjer imamo pmax, morata biti vektorja imaginarne amplitude popolnoma v fazi. Zaradi tega lahko enačbo preoblikujemo v obliko:

R

R

p

pSWR

1

1

min

max 1

1

SWR

SWRR

Zvočno polje v kanalu je torej odvisno od impedance na obeh zaključkih kanala.

1.7.1 KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM

Če je konec kanala idealno togo zaprt, tako da se nič energije vpadnega zvočnega valovanja ne absorbira oziroma izgubi iz kanala (slika 11), potem je hitrost delcev na površini zaključka kanala enaka nič. To pomeni, da gre impedanca pri d=0 oziroma pri x=L proti neskončnosti. Posledično gre koeficient refleksije proti 1. Odbito zvočno valovanje od popolnoma togega zaključka v kanalu ohranja amplitudo in fazo. Odbito zvočno valovanje tako postane popolna kopija vpadnega valovanja z nasprotno smerjo širjenja. Pri tem pride na steni togega materiala do podvajanja zvočnega tlaka. Popolnoma togo zaprt kanal je primer prehoda valovanja iz



"mehkega" medija na "tog" medij. V tem primeru je torej Z2 >> Z1 in enačba za reflektivnost limitira proti 1:

u(x=L)=0 (x=L)= 0 Rtog zakljucek kanala 1

112

12

RZZ

ZZR

Bat

x d

Zn

L

Slika 11. Kanal s togo zaprtim koncem

Ker se vsa energija zvočnega valovanja odbije nazaj v kanal, dobita izraza za zvočni tlak in hitrost delcev naslednjo obliko:

)()( ikdikdikL eeAexp

)()(0

ikdikdikL eeeZ

Axu

Na površini togega zaključka kanala pri kL=0 je razmerje med vpadnim valovanjem in vsoto vpadnega in odbitega valovanja enako 2, kot se lahko razbere iz prikaza odboja kvadratnega impulza od toge stene na sliki 12. Do podvajanja pride, ker se faza odbitemu valovanju ohranja. Medtem je na istem mestu hitrost delcev enaka 0, kar je logično, saj delci medija tik ob togem zaključku ne morejo nihati. Teoretično razmerje SWR gre proti neskončnosti.

MEJA

Slika 12. Odboj kvadratnega zvočnega impulza od toge stene v kanalu



Slika 13. Impedanca po zaprtem kanalu s premikajočim se batom na nasprotni strani

Če je izvor vibrirajoč bat, potem lahko zapišemo robni pogoj za hitrost gibanja bata:

tieUtu 0),0(

V tem primeru postaneta izraza za u(x,t) in p(x,t):

kl

xLkeutxu ti

sin

)(sin),( 0

in

kl

xLkeuiZtxp ti

sin

)(cos),( 00

Akustična impendanca v zaprtega kanala dobi obliko:

kliZZ ctg0

ki je predstavljena na sliki 13. Akustična impedanca je odvisna od produkta kl, ki predstavlja razmerje med dolžino kanala in valovno dolžino zvočnega valovanja. Iz slike 13 lahko razberemo, da zaprti kanal dolžine 0, /2, 3/2,... predstavlja za vir (nihajoč bat) neskončno impedanco.

1.7.2 KANAL S PROSTIM KONCEM

Če je valovna dolžina mnogo večja od karakteristične prečne dimenzije kanala (>>d), potem zvočni tlak na površini konca odprtega kanala teoretično pade na nič. Načeloma si pojav lahko predstavljamo kot impedančno neujemanje. Na ustju odprtega kanala si lahko predstavljamo da se ravno valovanje želi hipoma spremeniti v sferično valovanje (Slika 14), kar pa fizikalno



ni mogoče. V naravi je malo diskretnih preskokov na tem velikostnem razredu opazovanja medija. V angleški literaturi se uporablja pojem "pressure release surface". Akustična impedanca sferičnega valovanja v bližnjem polju pri zelo majhnem radiju (kr<<1) ima poleg realnega tudi izredno veliko imaginarno komponento, ki deluje nazaj na valovanje tik ob koncu kanala.

Bat

x d

L

AB

TR

Slika 14. Odboj valovanja od prostega konca kanala

MEJA

Slika 15. Časovni potek odboja kvadratnega zvočnega impulza od prostega konca kanala

Na sliki 15 je prikazan odboj teoretičnega kvadratnega zvočnega impulza od prostega konca kanala. Polni pravokotnik predstavlja zvočni impulz, prazni pravokotnik pa sliko, kako bi se ta impulz širil, če motnje (odprtine kanala) ne bi bilo. Pomembno je, da amplituda impulza po odboju spremeni predznak. Posledično se na prostem koncu kanala zvočni tlak vpadnega in odbitega zvočnega valovanja izničita. Ker se energija valovanju ohranja, ima hitrost nihanja delcev medija na prostem koncu maksimalno amplitudo.

u(x=L)=max in p(x=L)= 0 Z(x=L)0 Rodprtega konca kanala -1

Predpostavimo, da imamo pri x=0 zvočni vir, ki na tem mestu ustvarja zvočni tlak vpadnemu valovanju. Robne pogoje za izvor zvočnega tlaka torej lahko zapišemo: . Ob

predpostavki idealnega odboja zvočnega valovanja lahko zapišemo enačbo za zvočni tlak:

tiePtp 0),0(

tiikltiikdikdikl exkliAeeeeAetxp )(sin2)(),(

Da v enačbi zadostimo robnim pogojem za vir: p(0,t)=P0e

it, mora biti



kli

PAe ikl

sin20

tako, da končna rešitev dobi obliko: tie

kl

xLkPtxp

sin

)(sin),( 0

Takoj vidimo, da ima enačba pol pri kl = n. V primeru, ko je dolžina kanala enaka večkratniku polovice valovne dolžine, dobimo resonanco kanala. Enostavno lahko določimo tudi hitrost delcev:

tiekl

xLk

iZ

Ptxu

sin

)(cos),(

0

0

Če primerjamo enačbi za p(x,t) in u(x,t) v togo zaprtem kanalu z enačbama za p(x,t) in u(x,t) v prosto odprtem kanalu lahko ugotovimo, da ima prosto odprti kanal z robnim pogojem zvočnega tlaka pri x=0 enako resonanco kot zaprti kanal z robnim pogojem hitrosti gibanja bata pri x=0. Impedanca se po kanalu spreminja, toda po vsej dolžini ima čisto reaktivni značaj. Zvočna intenzivnost v kanalu je enaka nič, saj je neto pretok energije zvočnega valovanja po kanalu enak 0. Impedanco, kot jo vidi vir, dobimo tako da predpostavimo d=L. Če je dolžina kanala celoštevilčni večkratnik polovice valovne dolžine, potem je impedanca za vir enaka nič. Če pa je l=/4, l=3/4 .... potem je impedanca za vir neskončna. V primeru, da namesto vira zvočnega tlaka uporabimo realen premikajoč bat (zvočnik z nihajočo membrano), se robni pogoji spremenijo. Pri x=0 imamo določeno hitrost delcev in ne zvočnega tlaka. Ker je koeficient refleksije še vedno R=-1, se enačba za impedanco poenostavi v naslednjo obliko:

)tan()( 0 kliZdZ

Slika 16. Potek zvočnega tlaka in hitrosti delcev pri stoječem valovanju v odprtem kanalu, skupaj z impedanco



1.7.2.1 KOREKCIJA KONCA ODPRTEGA KANALA

Do sedaj smo predpostavili, da je zvočni tlak zvočnega valovanja na odprtem koncu kanala enak 0. To je načeloma res samo pri pogoju, da je valovna dolžina zvočnega valovanja, ki se širi po kanalu, precej večja od prečne dimenzije kanala (>>a). Če bi bila ta ocena popolnoma pravilna, potem se zvočno valovanje iz kanala sploh ne bi smelo širiti. Zvočnega vira, zaprtega v kanal z odprim koncem, se iz kanala ne bi smeli slišati. Dejansko pa zvočni tlak na odprtem koncu kanala ne pade čisto na nič. Zato se lahko del zvočnega valovanja razširi iz kanala v okolico. Sevanje zvoka iz kanala lahko opišemo, če upoštevamo nihanja zadnje plasti medija v kanalu tik ob njegovem izstopu. To plast lahko obravnavamo kot bat, ki se premika iz kanala nazaj v kanal, kot je prikazano na sliki 17. Sevalna impedanca Z0 predstavlja impedanco, ki jo atmosfera naloži na akustično sevanje iz konca kanala, to je na teoretični bat. To lahko opazujemo in ocenjujemo preko trodimenzionalnega zvočnega polja, ki nastane zaradi teoretičnega bata in se nahaja na koncu kanala. Teoretični bat se giblje s hitrostjo delcev u0. Sevalna impedanca Zac je definirana kot:

0

0

batahitrost masna Akusticna

bata površini po tlak zvocni povprecni

u

pZ ac

Akustična masna hitrost bata je: 00 Suu

dx2rs dx2rs

a) b)

Slika 17. Korekcija prostega konca kanala s teoretičnim batom: a) zadnja plast medija v kanalu pri prehodu zvočnega valovanja iz kanala v okolico prestopi iz kanala b).

Da problem prevedemo v bolj obvladljivo obliko, predpostavimo, da je zaključek kanala v neskončni togi plošči, ki preprečuje gibanje fluida po zunanjem robu kanala nazaj proti viru zvoka. Predpostavimo lahko tudi denimo okrogel kanal in okrogel bat. Tako lahko uporabimo teorijo sevanja zvoka vibrirajočega bata na neskončni plošči in z njeno pomočjo določimo impedanco, kot jo vidi zadnja plast medija v kanalu. Če imamo kanal, ki se končuje z neskončno prirobnico (ventilacijski jašek na steni), potem lahko zapišemo sevalno impedanco z realnim in imaginarnim delom iXRZac :

)2()2(200 kriXkrR

a

cZac

Pri tem je r radij kanala in radij predpostavljenega bata na zunanjem koncu. R in X sta funkciji, ki imata podobno obliko kot jo ima izraz za realni in imaginarni del akustične impedance pulzirajoče krogle (slika 18). Ker se valovanje na izstopu kanala spremeni iz ravnega valovanja v sferično valovanje, je podobnost med izrazi logična. Funkciji R in X se




lahko imenujeta tudi funkciji sevanja bata in sta v literaturi tabelirani. Nas zanima predvsem obnašanje teh dveh funkcij pri nizkih frekvencah, to je v primeru ko je 2kr<<1. Poleg slike 18 je prikazan razvoj teh dveh funkcij v M'claurinovo vrsto. Prva člena v M'claurinovi vrsti sta tista, ki nas zanimata, saj pri nizkih frekvencah ostale člene v vrsti lahko zanemarimo.

753

5)2(

53

)2(

3

24

......4321

)(

321

)(

21

)(

222

3

1

22

6

2

42

1

krkrkrX

krkrkrR

0 2 4 6 8 10 12 14 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2R kr1( )

6

X kr1( )

kr

Slika 18. Sevalna impedanca, [18] Tako lahko zapišemo enačbo za impedanco kot jo zazna zadnja plast medija v kanalu:

2

202

00

3

8

2 a

ra

ik

cZac

Vidimo, da dominira pozitivna reaktanca, ki predstavlja maso

3

820

ra . To je cilinder

medija (fluida), ki ima enak prerez kot ga ima kanal, in dolžino

3

8r. Ko valovanje oziroma

tlačna motnja pride do konca kanala, ne zazna stanja brez omejitve, temveč breme, ki se v glavnem sestoji iz navideznega podaljšanja kanala. Od tu izhaja tudi znana korekcija dolžine kanala zaradi odprtega konca.

ar

l 85,03

8

Poleg reaktance mase, zaradi dodatne navidezne dolžine kanala l, potujoča motnja zazna tudi majhno upornost sevanju (prvi člen v Maclaurinovi vrsti se v angleški literaturi imenuje "radiation resistence"). Upornost sevanju je za faktor kr manjša od reaktance. Efektivna dolžina kanala za akustiko je torej daljša od njene fizične dimenzije in znaša lll ' . Seveda je korekcija odvisna tudi od frekvence. Če je r<<l potem je korekcija zelo majhna, praktično zanemarljiva. Po drugi strani pa je korekcija l za zelo kratke kanale lahko glavni del efektivne dolžine kanala l'. Če vzamemo za primer luknjo v togi steni debeline l (slika 19),


potem je akustična dolžina luknje l'=l+l+l. Dve korekciji sta potrebni zaradi dveh koncev kanala. Ker sevata obe strani odprtine, je upornost sevanja še enkrat večja kot pri navadnem odprtem kanalu. Impedanca odprtine s površino S je tako:

'

22 0

200

S

li

kcZac

Slika 19. Korekcija kratkega kanala

Rezultati izračunov, ki temeljijo na modelih in meritvah, kažejo, da je opisana ocena korekcije l dolžine kanala na zgornji meji. Spodnja meja korekcije l znaša:

ra

l 7854,04

Korekcija, ki smo jo podali, velja za kanale, ki se končajo na površini neskončne toge stene. To predpostavko smo uporabili, ker se večina prezračevalnih kanalov konča na steni. Korekcijski koeficient dolžine kanala, ki se konča v neomejenem prostoru, kar pomeni, da njegov konec stoji v prostem zvočnem polju, je nekoliko drugačen. Kanal našega modela je tak primer, zato moramo poznati tudi korekcijo za tako izveden zaključek kanala. Motnja, ki se širi po kanalu in pride do njegovega izstopa, se deloma odbije in deloma odcepi v prosto zvočno polje. Pri tem se zvočno valovanje širi tudi ob zunanji steni kanala nazaj proti vstopnemu koncu kanala. Korekcija efektivne akustične dolžine kanala je za tako prosti konec nekoliko manjša:

rl 6133,0

1.7.2.2 KOEFICIENT REFLEKSIJE ODPRTGA KONCA KANALA

Analitčna rešitev za izračun koeficienta refleksije odprtega konca nevgrajenega kanala, ki nima prirobnice, je precej bolj kompleksna kot za vgrajen kanal z neskončno prirobnico. Koeficient refleksije v dani točki je odvisen od akustične impedance Z v tej točki. Na prostem koncu kanala je akustična impedanca Z enaka sevalni impedanci Zac, definirani v enačbi:

R

RZiXRZ ac

1

1011

Sevalno impedanco lahko zapišemo s pomočjo koeficienta refleksije:




Pri tem pa velja: )2( kieRR

Absolutna komponenta koeficienta refleksije R je prikazana na sliki 20 levo, koeficient , ki opisuje fazni zamik odbitega valovanja, pa je prikazan na sliki 20 desno. Ta teoretični rezultat pojasnjuje obliko zvočnih polj, ki se pojavljajo v rezultatih eksperimentalnega dela.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

2

Ko

efic

ien

re

fleks

ije I

RI

kr0 1 3 4 5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

2K

ore

kcija

pro

ste

ga

kon

ca

Ra

dij

cevi

kr0 1 3 4 5

a) b)

Slika 20. Koeficient refleksije v kanalu s prostim koncem a) in korekcija prostega konca kanala b)

Empirični približek vrednostim za absolutno vrednost koeficienta refleksije in korekcijo faze lahko podamo tudi s polinomom v naslednji obliki:

1,5kr0 za )(06432,0)(3357,0)(59079,001336,01

, 2kr0,5 za 1104,06393,0

, 0,5kr za )(1168,06133,0

432

2

krkrkrkrR

krr

krr

Ker imamo v signalih, ki nas zanimajo, samo najnižje frekvence, pri katerih velja kr<0,5 oziroma r < 0,08, lahko izpeljemo radiacijsko impedanco. Iz slike 20 lahko razberemo, da je koeficient refleksije odprtega konca kanala za najnižje frekvence skoraj 1, in da je fazna razlika med vpadnim in odbitim valovanjem malo manj kot . To pomeni, da se zvočno valovanje v kanalu, ko pride do odprtega konca, odbije skoraj v celoti nazaj v kanal, pri tem pa se valovanju obrne faza. Zaradi tega je zvočni tlak na odprtini kanala praktično skoraj vedno okoli 0. Koeficient refleksije je odvisen od razmerja med valovno dolžino in premerom kanala. Odprtina kanala deluje na sevanje zvoka iz kanala kot filter, ki prepušča visoke frekvence. Istočasno pa odprtina deluje pri odboju valovanja nazaj v kanal kot filter, ki prepušča samo nizke frekvence.


1.7.3 KONEC KANALA S POPOLNO ABSORPCIJO

Kanal, ki ima tako izveden zaključek, bomo imenovali gluhi kanal, analogno poimenovanju gluhi sobi. Koeficient refleksije gluhega konca kanala gre proti nič, ker gre amplituda odbitega zvočnega valovanja proti nič. Posledično je specifična akustična impedanca enaka Z0 in je neodvisna od položaja v kanalu. To je logično, saj imamo v kanalu samo tisti del valovanja, ki se širi v pozitivno smer. Konec kanala s popolno absorpcijo zagotavlja pogoje, ki jih v teoriji lahko opišemo tudi s pojmom neskončno dolgega kanala.

1.7.4 KONEC KANALA S POLJUBNO IMPEDANCO

V realnosti idealno tog zaključek kanala ne obstaja. Prav tako v realnosti ne obstaja idealno prost zaključek kanala niti ne poznamo popolne absorpcije. Tanke stene, ki zapirajo prezračevalne kanale, niso dovolj toge, ali pa tesnenje ni dovolj dobro izvedeno. Tudi prosti konec kanala se ne obnaša tako, kot predvidevajo osnovne teoretične predpostavke. Akustične karakteristike realnega zaključka kanala opisujemo s kompleksnim koeficientom refleksije R Z A in B smo definirali kompleksni amplitudi dveh valovanj, ki se širita v nasprotni smeri. Koeficient refleksije smo zapisali z enačbo

ikx

ikx

eA

eBR

Sedaj bomo predpostavili, da je konec kanala zaključen z znano impedanco, ki jo bomo označili z Zn.

Bat

x d

Zn

L

Slika 21. Kanal z zaključkom s poljubno impedanco

Če je Zn kompleksno število, iz enačbe 0

0

ZZ

ZZR

n

n

sledi, da je tudi koeficient refleksije R

kompleksno število. Koeficient refleksije R bomo zato zapisali v polarni obliki ieRR . Pri

tem je fazni kot med vpadnim in odbitim valovanjem. Če tako zapisan koeficient refleksije zapišemo v enačbo:

)()( ikdikdikL eReAexp dobimo:

)()( )( kdiikdikL eReAexp

Razdalja do prvega maksimuma je tako podana z:



2

1)( max kd

Naslednji maksimumi se pojavijo pri diskretnih večkratnikih n. Prvi minimum zvočnega tlaka se pojavi, ko je zadoščeno naslednjemu pogoju:

2

1

2

1)( min kd

Ali se najprej pojavi minimum ali maksimum je odvisno od velikosti . Če je v prvem ali drugem kvadrantu ( <) potem mora v zadnji enačbi nastopiti predznak plus, da je produkt kd pozitiven. V takem primeru je jasno, da se najprej pojavi maksimum, ki mu 90 kasneje sledi minimum. Če pa je v tretjem ali četrtem kvadrantu ( >) potem v zgornji enačbi nastopi predznak minus in posledično se najprej pojavi minimum. Slika se obrne, če primerjamo hitrosti delcev in zvočni tlak. Kot ponavadi je maksimum zvočnega tlaka pri minimumu hitrosti delcev in minimum zvočnega tlaka pri maksimumu hitrosti delcev (Slika 13 in Slika 16).

3.1.4.5. SPREMEMBA PREREZA KANALA

Poudariti moramo, da analiza dogajanja ob širjenju zvočnega valovanja skozi spremembo prereza kanala velja samo za ravno valovanje. Se pravi, za širjenje valovanja z valovnimi dolžinami, ki so precej večje od prečnih dimenzij kanala. Analizo bomo začeli z razširitvijo neskončno dolgega kanala (Slika 22). Zvočno polje na levi strani kanala je sestavljeno iz vpadnega valovanja Ae-ikx, ki prihaja od vira, in iz odbitega valovanja RAeikx, ki se odbije od motnje v kanalu. Mimo razširitve se širi valovanje (1-R)e-ikx, ki samo tvori zvočno polje v razširjenem delu kanala. Zvočno polje lahko zapišemo z zvočnim tlakom in hitrostjo delcev na obeh straneh razširitve. Indeks 1 označuje točko v kanalu tik pred razširitvijo, indeks 2 pa označuje točko tik po razširitvi. R označuje koeficient refleksije vpadnega zvočnega valovanja, ki ga iščemo. Zvočni tlak in hitrost delcev sta povezana preko Eulerjeve enačbe.

)()(1ikxikx eReAxp

)()(0

1ikxikx eRe

c

Axu

ikxAeRxp )1()(2

ikxe

c

ARxu

02 )1()(



( )1-R eA ikxAe-ikx

R Aeikx

x=0

S1

S2

x

Slika 22. Sprememba prereza kanala se odraža kot sprememba impedance

Koeficienta refleksije zvočnega valovanja od razširitve še ne poznamo. Določajo ga robni pogoji tik ob razširitvi pri x=0 (Slika 16). Tlak tik pred razširitvijo je enak tlaku tik po razširitvi. Če ne bi bil, bi se medij pospešeno gibal. Masni pretok pri širjenju valovanja mora biti tik pred razširitvijo enak masnemu pretoku tik za razširitvijo. Ker imamo pri zvočnem valovanju zanemarljivo majhne spremembe tlaka v primerjavi z atmosferskim tlakom, lahko spremembo gostote zanemarimo in zapišemo zakon o ohranitvi volumskega pretoka.

)0()0( 2211 xuSxuS Enačbe za hitrost delcev vstavimo v robni pogoj in zapišemo lahko koeficient refleksije:

1

2

1

2

1

1

SSSS

R

Iz zgornje enačbe lahko vidimo, da je koeficient refleksije teoretično neodvisen od frekvence, dokler imamo ravno valovanje. Za natančnejšo analizo bi morali upoštevati korekcisjki koeficient ob zaključku ožjega dela kanala, kot smo to naredili pri korekciji prostega konca kanala. Nenadna sprememba prereza vodnika valovanja torej povzroči delni odboj valovanja, tudi če sta impendanci medijev v obeh delih cevi enaki. Če imamo nenadno zožitev kanala (S2<S1), potem le-ta deluje kot akustični element s koeficientom refleksije R, ki leži med 0 in 1. Če imamo obraten primer, se pravi nenadno razširitev (S2>S1), potem le-ta deluje kot akustični element s koeficientom refleksije R, ki leži med –1 in 0. Poudariti je potrebno, da pri stacionarnem zvočnem valovanju z nenadno spremembo prereza kanala ne dosežemo zmanjšanja moči zvočnega valovanja. Nenadna sprememba prereza kanala samo odbije del vpadnega valovanja nazaj proti viru, s tem ko ustvari neujemanje karakterističnih impedanc. Ker z razširitvijo in zožitvijo prereza kanala ne dosežemo disipacije energije valovanja, glušnike, ki delujejo na tem principu, imenujemo nedisipacijski glušniki oziroma reaktivni glušniki. Izračunamo lahko teoretične prenosne izgube za nenadno spremembo prereza kanala. Rešitve so prikazane na sliki 23.



Pre

nosn

a iz

gube

[dB

]

21

212

4log10

SS

SSTL

Slika 23.Prenosne izgube ob nenadni razširitvi kanala,

3.1.4.6. EKSPANZIJSKA KOMORA

Enostavna razširitev oziroma zožitev kanala ni zelo učinkovito orodje za preprečevanje širjenja zvočnega valovanja. Šele če se prerez kanala spremeni za šestkrat, se zvočnemu valovanju, ki pride preko te razširitve, amplituda zmanjša na polovico, kar je razvidno iz diagrama na sliki 23. Če dve spremembi prereza kanala združimo tako, da dobimo ekspanzijsko komoro, kot je prikazano na sliki 24, se prenosne izgube precej izboljšajo. Zvočno polje v dotočnem neskončnem kanalu je sestavljeno iz vpadnega valovanja Ae-ikx in iz odbitega valovanja RAeikx. V ekspanzijski komori imamo prav tako zvočno polje, sestavljeno iz vpadnega valovanja, ki pride skozi razširitev, in iz odbitega valovanja, ki se odbije pri zožitvi kanala. Zaradi priročnosti bomo zvočni tlak in hitrost delcev v ekspanzijski komori zapisali v klasični obliki za p(x,t) in v(x,t). V zadnjem, tretjem neskončnem delu kanala pa zvočno polje sestavlja samo tisti del zvočnega valovanja, ki pride iz ekspanzijske komore.

)(1ikxikx eReAp

)(0

1ikxikx eRe

c

Au

)cossin(2 kxkxAp

)cossin(0

2 kxkxic

Au

)(

3LxikAeTp

)(

03

Lxikec

ATu




Ae-ikx

x=0

S1

S2

x

L

R AeikxA e -ikx

Taeikx

A e -ikx

Slika 24: Ekspanzijska komora

Na voljo imamo štiri robne pogoje. Pri vstopu v ekspanzijsko komoro (x=0) lahko uporabimo zakon o ohranitvi volumskega pretoka in dejstvo, da mora biti tlak tik pred vstopom v ekspanzijsko komoro enak tlaku tik za vstopom v ekspanzijsko komoro. Enako velja tudi na drugi strani ekspanzijske komore pri x=L. Ti štirje robni pogoji so:

)0()0( 21 xpxp

)0()0( 2211 xuSxuS

)()( 32 LxpLxp

)()( 3322 LxuSLxuS

Robne pogoje vstavimo v enačbe za opis zvočnega tlaka in hitrosti delcev treh zvočnih polj, tako da dobimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami R, T, in .

R1

21 )1( SiRS

TkLkL cossin

32 )sincos( iTSkLkLS

Za nas je pomemben predvsem koeficient T, ki predstavlja uspešnost ekspanzijske komore pri preprečevanju širjenja zvočnega valovanja skozi kanal. Ko sistem rešimo, dobimo:

kLS

S

S

SikL

S

ST

sincos1

2

1

2

2

3

1

3

V primeru, da sta preseka vstopnega kanala in izstopnega kanala enaka, prenosne izgube lahko zapišemo spodnjo enačbo za TL katere rešitve so predstavljene na sliki 25.


kL

S

S

S

STL 2

2

1

2

2

1 sin4

11log10

Pre

nosn

a iz

gube

[dB

]

Slika 25. Prenosne izgube zvočnega valovanja v ekspanzijski komori l/

1.5 OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE Do sedaj smo ves čas govorili o ravnem valovanju. Osnovna značilnost ravnega valovanja je, da z oddaljevanjem valovanja od izvora valovna fronta ohranja obliko ravnine, pri tem pa amplituda ostaja enako velika. Tako valovanje je praktično prisotno v ceveh. Drug, dejanski način širjenja motnje pa je s sferičnim valovanjem po prostoru. Pri tem zvočni vir seva zvok enakomerno na vse strani. Ker se površina valovne fronte veča, lahko pričakujemo, da se bo amplituda zvočnega valovanja, ki se sferično širi manjšala z oddaljevanjem od izvora. Splošna oblika valovne enačbe je zapisana v kartezijskem koordinatnem prostoru:

2

2

2

2 1

t

p

cp

Prehod iz kartezijskega koordinatnega prostora v sferične koordinate je določen:

r

p

rr

pp

2

2

22

rr

prp

1)(2

22

Tako dobi valovna enačba v sferičnih koordinatah naslednjo obliko:

0)(1)(

2

2

22

2

t

pr

cr

pr

Splošna rešitev valovne enačbe za sferično valovanje je:



)(1

)(1

),( 21 rctfr

kctfr

trp

pri tem sta f1 in f2 poljubni funkciji. Drugi člen v rešitvi predstavlja valovanje ki se konvergentno širi v točko izvora. Ker to ni mogoče (razen pri imploziji kavitacijskega mehurčka, atomski bombi in drugih nelinearnih pojavih) lahko drugi člen zanemarimo tako da dobi rešitev naslednjo obliko:

)sin(),( krtr

Atrp

pri tem je potrebno paziti, saj A ni amplituda, ampak njen faktor z enoto Pa m. Iz enačbe se tudi jasno vidi singularnost v točki izvora, zato lahko s to enačbo opisujemo samo omnidirekcionalne izvore zvoka, ki imajo končno veliko površino in s tem radij. Kompleksna oblika zapisa tlaka sferičnega valovanja ima obliko:

)(),( krtier

Atrp

1.6 HITROST DELCEV PRI SFERIČNEM VALOVANJU

Osnovna valovna enačba opisuje povezavo zvočnega tlaka s krajevnimi koordinatami in časom. Pogosto pa nas zanima kakšno hitrost imajo delci ki nihajo okoli svoje ravnotežne lege. S pomočjo Eulerjeve enačbe opisuje s kakšnim pospeškom se pospeši fluid z gostoto če nanj deluje tlačna razlika. S pomočjo te enačbe lahko iz gradienta tlaka izračunamo hitrost delcev fluida. Eulerjeva enačba: grad p = - a Ker smo predpostavili sferično valovanje se tlak spreminja samo po eni dimenziji, to je po r.

dt

dv

r

p

)sin(),( krtr

Atrp

)cos()sin(2

krtkr

Akrtk

r

A

r

p

r

p

dt

dv

1

hitrost gibanja delcev v dobimo z integriranjem tlačnega gradienta po času.




)sin(1

)cos(1

coscossinsinsinsincoscos1

sinsincoscossincoscossin1

)cos()sin(1

2

2

2

2

krtr

krtr

kA

v

krtkrtk

r

Akrtkrtk

r

Av

dtkrtkrtkr

Akrtkrtk

r

Av

dtkrtkr

Akrtk

r

Av

)sin(

1)cos(

12

krtr

krtrc

Av

Hitrost delcev pri sferičnem valovanju lahko zapišemo tudi s pomočjo rešitve osnovne valovne enačbe za sferično valovanje.

)(1

)(1

),( 21 rctfr

kctfr

trp

Že prej smo ugotovili da drugi člen lahko zanemarimo.

)(1

),( 1 kctfr

trp

Če je f(r,t) odvod funkcije F(r,t) potem lahko hitrost delcev pri valovanju zapišemo:

)(

1)(

11),(

2rctf

rrctF

rctrv

kompleksna oblika hitrosti delcev sferičnega valovanja ima obliko:

)(2

1),( krtiA e

r

ki

ri

vtrv

vA je faktor amplitude hitrosi delcev, zato za hitrost velja enako, kot za tlak, da ima v točki singularnost, tako, da lahko te rešitve uporabimo samo za izvore zvoka s končno veliko površino.

Documents

VAJE - University of Ljubljanalab.fs.uni-lj.si/ldsta/old_page/vaje/ta/Tehnicna Akustika... · 2015. 4. 7. · VAJE . pri predmetu . TEHNIČNA AKUSTIKA 2 . TEORETIČNE OSNOVE AKUSTIKE