V07 Rasteralgorithmen und Anitaliasing · Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Graphische Datenverarbeitung Raster-Algorithmen

Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

Goethe-Universität, FrankfurtGraphische Datenverarbeitung

Graphische Datenverarbeitung

Raster-Algorithmen und Antialiasing

SS 20062Computer Grafik7. Rasteralgorithmen und Antialiasing© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

RückblickRendering-Pipeline

Noch offen:BeleuchtungsrechnungInteraktion von Licht undMaterie PixelfarbeRastern:

Umsetzen der geometrischenPrimitive in ein diskretes Pixelbild:AbtastungProblem des Aliasings (Kanten, Objekte in Pixelgröße)

Model and ViewTransformation

Beleuchtungs-rechnung

Projektion

Klipping

Screen Mapping

Rastern(Scan Konvertieren)

Visibilitätsrechnungz-Buffer


Übersicht

1. Rastern von Strecken (Linien, Vektoren)Differential Digital Analyser (DDA)Algorithmus von BresenhamMittelpunktsalgorithmus

2. Mittelpunktsalgorithmus für Kreise, ... andere Primitive

3. Polygon-RenderingScan-Line-Algorithmus


Übersicht (Fortsetzung)

4. Aliasing: Zusammenstellung der Probleme5. Erste Maßnahmen6. Rückbesinnung auf die Theorie: Identifikation

möglicher Lösungsansätze7. Maßnahmen beim Rendering = Abtastung

Area SamplingSupersampling und Digitale FilterungAlpha-Channel und CompositioningA-Buffer

8. Zusammenfassung 9. Ausblick – Nächste Schritte


Rastern: Einleitung

Im Rasterisierer werden die einzelnen graphischen Primitive (Linien, Dreiecke, Polygone) in Rasterpunkte (Pixel) zerlegt.

Für jedes Pixel werden dabei zusätzlich Operationen • zur Verdeckungsrechnung (inclusive Transparenz)• zum Shading und• zur Texturierung

durchgeführt.


Rastern von StreckenStrecken werden oft auch (streng genommen falsch) Linien oder Vektoren genanntWir zeigen die Algorithmen für eine Steigung von 00 bis 450

Alle anderen Strecken können hieraus durch Vertauschen der X- und Y-Koordinaten unter Beachtung der Vorzeichen gewonnen werdenAnnahme: Strecken sind gegeben durch Anfangspunkt P1 = (x1,y1) und Endpunkt P2 = (x2,y2) y = ax + b (x = [x1,x2])Zur Herleitung der Algorithmen nehmen wir weiterhin an: Anfangs- und Endpunkt liegen auf dem Rastermittelpunkt: Erweiterung ist naheliegend, wenn die Algorithmen verstanden sind.Algorithmen:

DDABresenhamMittelpunktalgorithmus


Differential Digital Analyser (DDA) Prinzip: Explizite Geradengleichung nutzen

P x y1 1 1= ( , )

P x y2 2 2= ( , )

Berechne:

Herleitung:

( , ( ))

( , ( )

x round y

x Floor y

i i

i i= +12

Zeichne Pixel an der Stelle

− ≤ ≤1 1ΔΔ

xy

bxmyxiixx

ii

i

+⋅=

Δ=+= ,...,1,1

mxybxy

bmxyyyyxxx

⋅−=ΔΔ

=

+=

−=Δ−=Δ

11

1212

undm

mit


Kritik und Verbesserung des DDA

Ineffizient: jedes Pixelsetzen erfordert• floating point Multiplikation,• floating point Addition, • Rundung

1. Verbesserungsidee: Verwende inkrementellen Algorithmus, d.h xi+1berechnet sich aus xi und spare Multiplikation

xyyy

xxxyy

bxxxxy

bxxyy

ii

iii

iii

ii

ΔΔ

+=

=

−ΔΔ

+=

+−+ΔΔ

=

+⋅ΔΔ

=

+

+

+

+

++

1

i1i

1

1

11

sich ergibt 1x- xmit

)(

)(m = (x2-x1)/(y2-y1)for (x=x1,x<=x2,x++){

zeichne_pixel(x,round(y));y=y+m;}

))(,(x setzen Pixel i i

ii

yroundbxmy +⋅=


Verbleibende Nachteile DDA

ΔΔΔ Δ

x x xy y yx y

= − ≥= − ≥≥

2 1

2 1

00,,

.P x y1 1 1= ( , )

P x y2 2 2= ( , )Voraussetzungen:

Nachteile des inkrementellen DDA - immer noch:• Floating Point Addition• Rundung

2. Verbesserungsidee: Benutze ausschließlich IntegerarithmetikAlgorithmus von Bresenham (1965)


Algorithmus von Bresenham 1Idee:Welcher Pixelmittelpunkt liegt näher zur (idealen) Geraden?Ist d≤1/2 oder ist d>1/2?

x x:= + 1 x xy y::= += +

11

E E yx

:= +ΔΔ

E E yx

:= + −ΔΔ

1

E ≤ 0: E > 0:

Entscheidungsvariable E yx

:= −ΔΔ

12

=ΔΔ

yx


Algorithmus von Bresenham 2Verbesserungsidee:Brüche vermeiden, d.h. auf ganze Zahlen erweitern? E E‘

x x:= + 1 x xy y::= += +

11

E E yx

:= +ΔΔ

E E yx

:= + −ΔΔ

1

E ≤ 0: E > 0:

Entscheidungsvariable E yx

:= −ΔΔ

12

′ = = −E xE y x: 2 2Δ Δ Δ

′ = ′ +E E y: 2Δ ′ = ′ + −E E y x: 2 2Δ Δ

=ΔΔ

yx

xΔ⋅⋅ 2

00 >′≤′ EE


Vorteile des Bresenham Algorithmus

Nur Integer-Arithmetik nötig

Nur (schnelle) Addition, Subtraktion, Multiplikation mit 2 wird durch Shift implementiert (also keine Multiplikation nötig)

Der Abstand zwischen Rasterpunkten und idealer Gerade ist minimal

Die erzeugte Strecke verläuft genau durch die Anfangs- und Endpunkte

Es entstehen symmetrische Punktfolgen bzgl. Anfang und Ende; ggf. innen Zyklen


Ziel: Erweiterung auf andere Primitive

MittelpunktsalgorithmusVorraussetzungen wie bei der Herleitung des Bresenham-AlgorithmusWelches Pixel soll als nächstes gewählt werden:

Auf welcher Seite der Geraden liegt ( , )x y x y+1 1 1 oder ( + , + )?

M x y= + +( , )1 12

Implizite Geradengleichung:

g x y y x x y x y y x( , ) * * ( * * )= − + −Δ Δ Δ Δ1 1

g x y x y

g x y x y

( , )

( , ) ,

+ + ≤

+ + >

1 12

0 1

1 12

0 1 1

, wähle Pixel ( + , )

wähle Pixel ( + , + )

ΔΔΔ Δ

x x xy y yx y

= − ≥= − ≥≥

2 1

2 1

00,,

.

E


Mittelpunktsalgorithmus

Inkrementelle Berechnung von g x y( , ):+ +1 12

g x y y x x y C C y x x y( , ) *( ) *( ) , * *+ + = + − + + = −1 12

1 12 1 1Δ Δ Δ Δ

Pixel ( + , ) gewähltx y1

g x y y x x y C( , ) *( ) *( )+ + = + − + +2 12

2 12

Δ Δ

g x y g x y y( , ) ( , )+ + = + + +2 12

1 12

Δ

Pixel ( + , ) gewähltx y1 1+

g x y y x x y C( , ) *( ) *( )+ + = + − + +2 32

2 32

Δ Δ

g x y g x y y x( , ) ( , )+ + = + + + −2 32

1 12

Δ Δ

g x y y x x y x y y x( , ) * * ( * * )= − + −Δ Δ Δ Δ1 1

E


Mittelpunktsalgorithmus lässt sich leicht auf andere Primitive

erweitern, z.B. KreiseBeschränkung auf

Imlizipte Kreisgleichung: ( , ) =

02

1 12

1 12

2 2 2

2 2 2

≤ ≤

+ −

+ − = + + − −

x R

f x y x y R

f x y x y R

:

.

( , ) ( ) ( )

Pixel ( + , ) gewähltx y1

f x y x y R( , ) ( ) ( )+ − = + + − −2 12

2 12

2 2 2

f x y f x y x( , ) ( , )+ − = + − + +2 12

1 12

2 3

Pixel ( + , ) gewähltx y1 1−

f x y x y R( , ) ( ) ( )+ − = + + − −2 32

2 32

2 2 2

f x y f x y x y( , ) ( , )+ − = + − + − +2 32

1 12

2 2 5S

O

E


2.-te Ordnung Differenzen

Beim Kreis ändern sich die Differenzen in Abhängigkeit vonder aktuellen Pixelposition! ⇒ Erhöhter Aufwand!

f x y f x y( , ) ( , )+ − = + −2 12

1 12

+ +2 3x

f x y f x y( , ) ( , )+ − = + −2 32

1 12

+ − +2 2 5x y

Idee: Bilde für die Inkremente 2.-te Differenzen

ΔΔΔ Δ

( , )( , ) ( )( , ) ( , )

x y xx y xx y x yO

= ++ = + +

− + + =

2 31 2 1 3

1 1 2

ΔΔΔ Δ

( , )( , ) ( ) ( )( , ) ( , )

x y x yx y x yx y x ySO

= − ++ − = + − − +

− + + =

2 2 51 1 2 1 2 1 5

1 1 4

ΔΔΔ Δ

( , )( , ) ( )( , ) ( , )

x y xx y xx y x yO

= ++ − = + +

− + + =

2 31 1 2 1 3

1 1 2

ΔΔΔ Δ

( , )( , ) ( )( , ) ( , )

x y x yx y x yx y x ySO

= − ++ = + − +

− + + =

2 2 51 2 1 2 5

1 1 2


Circle Algorithmprocedure MidpointCircle (radius, value : integer); var x, y, d, deltaE, deltaSE : integer; beginx:= 0; y:= radius; d:= 1 - radius; deltae:= 3; deltaSE := -2 * radius + 5; CirclePoints (x, y, value); while y > x do

beginif d < 0 then {Select E}

begind := d + deltaE; deltaE := deltaE+2; deltaSE := deltaSE + 2; x:=x+1;

end else {Select SE}

begind:= d + deltaSE; deltaE:= deltaE + 2; deltaSE :=deltaSE + 4;x:= x+ 1; y := y - 1;

end; CirclePoints (x, y, value) end; {while}

end; {MidpointCircle}

E


Erweiterung auf andere Primitive

In ähnlicher Art wie beim Kreis sind Erweiterung auf Ellipsen und andere Kurven möglich


Polygon-Rendering

Idee: ( Scan Line Algorithmus)1. Finde Schnittpunkt der scan line mit allen Kanten des

Polygons2. Sortiere Schnittpunkte nach wachsender x-Koordinate3. Fülle alle Pixel zwischen Paaren aufeinanderfolgender

Schnittpunkte die im Inneren des Polygons liegen.

Dieser Algorithmus behandelt beliebige Polygone:nach der Regel von der ungeraden Parität: Parität ist am Anfang 0 und wird mit jedem Schnittpunkt um eins inkrementiert. Pixel wird gesetzt falls Parität ungerade.Anm.: 1. Alle Polygoneckpunkte sind auf Integerwerte gerundet.2. Bei allen konvexen Polygonen (Dreiecken)entsteht nur ein Span

scan line

2 4 106 8 12

24

10

68

12

Achtung: das Gitter markiertdie Pixelmittelpunkte


Scanline Algorithmus Datenstrukturen

Kanten:e = ((xmin, ymin), (xmax, ymax), 1/m)

AET (Active Edge Table) (Kanten die von der aktuellen Scanlinegeschnitten werden):

(e1, ..., ek) sortiert nach xmin

ET (Edge Table) (alle Kanten, sortiert mit dem Bucket-Sortnach ymin (ein Bucket pro Scan line), danach nach xmin

2 4 106 8 12

24

10

68

12

AB C

DEF

y max

x min

3/213 2 6 4-6-2/9

6 5

-5/4 6/413 2 13

minmax

minmax/1yyxxm

−−

=

1/m

ET (Edge Table)

0

AF

DEDF

CECB

AB

13 13

7


Pseudo-Code (AET) y:=ymin(e1) (erstes nichtleeres Bucket)AET = {} Repeat until the AET={} and ET={}

1 Move from ET bucket y to the AET those edges whoseymin = y (entering edges), then sort the AET on xmin

2 Fill in desired pixel values on scan line y by using pairs of x coordinates from the AET (odd parity rule)

3 Remove from the AET those entries for which y = ymax. (edges not involved in the next scan line)

4 Increment y by 1 (to the coordinate of the next scan line)

5 For each nonvertical edge remaining in the AET, update every x = x+1/m

End {Repeat}


Beachte: Einfaches Prinzip – aber viele Detailprobleme

1. Welche Pixel gehören zum Polygon?würde das Entscheidungskriterium des Mittelpunkt-Algorithmus (wie vorgestellt) für die Kanten des Polygons genutzt, dannwerden auch Pixelanteile außerhalb des Polygons eingefärbt

Problem bei aneinander anschließenden Polygone (z.B: ein Polygonnetz): die Randpixel (Kante) gehören zu beiden Polygonen!

2 4 106 8 12

24

10

68

12

2 4 106 8 12

24

10

68

12


Eine Lösung des 1. Detailproblems

Modifizierter MP-Algorithmus: Nur solche Pixel zeichnen, deren Mittelpunkt echt innerhalb des Polygons liegt

aber es verbleiben leider weitere Detailprobleme

2 4 106 8 12

24

10

68

12

2 4 106 8 12

24

10

68

12


2. Pixelmittelpunkt liegt auf der Polygonkante

Schnitt Floatingpoint-x-Wertinnen sein abrunden auf Ganzzahl außen sein aufrunden auf Ganzzahl

Schnitt Integer-x-Wertlinker Endpunkt eines Spans: InnenRechter Endpunkt eines Spans: Außen


Zwei weitere Detailprobleme

3. Gemeinsamer Eckpunkt (Vertex) von Nachbarpolygonen

ymax-Vertex einer Kante wird nicht zur Berechnung der Parität gezählt

4. Horizontale KantenPixel horizontaler Kanten werden zur Berechnung der Parität nicht gezählt und fallen für weitere Berechnungen heraus


... noch ein Problem

Splitter (Sliders)

Lösungsansatz: z.B. SubpixelverfahrenIdee: bestimme Anteil der überdeckten Fläche eines Pixels mit Hilfe von Subpixeln ... auch zum Antialiasing


ZusammenfassungScan Line Algorithmus

Algorithmus behandelt beliebige Polygone

Achtung bei kreuzenden Linien oder Splitter (sehr schmale Polygone) ggf. zweiphasig arbeiten (1. Spans berechnen und 2. Füllen)

Ist Basisalgorithmus und kann leicht erweitert werden:um Füllmuster (Texturen) zu füllen,Geometrische Glättung und Beleuchtungsrechnung (Gouraud und Phong) zu ergänzen (nächste Woche!)Verdeckungsrechnung (wenn Primitive sich nicht durchdringen,

muss der z-Vergleich nur an den Kanten durchgeführt werden!Klipping kann in die Berechnung der Spans einbezogen werden


Zusammenfassung

Rasteralgorithmen (Prinzipien) besprochen fürStrecken (Vektoren), Kreise, ...

LiniendarstellungenPolygone

Flächendarstellungenkönnen erweitert werden auf Komplexere Primitive, z.B: Ellipsen

Um die gewünschte Performance, z.B. 1.000.000 Polygone / Sekunde zu erreichen, ist eine spezielle Hardwareunterstützung (Graphik-Subsystem) nötig und üblich

Viele weitere Details bleiben noch zu klären – insbesondere das Antialiasing:

Vermeidung der Treppenstufen und weiterer Aliasing-Effekte


Übersicht (Fortsetzung)

4. Aliasing: Zusammenstellung der Probleme5. Ein erster adhoc Lösungsansatz6. Rückbesinnung auf die Theorie: Identifikation

möglicher Lösungsansätze7. Maßnahmen beim Rendering = Abtastung

Area SamplingSupersampling und Digitale FilterungAlpha-Channel und CompositioningA-Buffer

8. Zusammenfassung 9. Ausblick – Nächste Schritte


Das ProblemMit allen bisher vorgestellten Algorithmen erzeugen wir Treppenstufen ... der auffälligste EffektSelbst bei einem „optimalen“Rasterdisplay (4k x 4 k) würden sich noch Effekte zeigen durch das z.B. das „Noinussehen“Weitere Effekte sind je nach Primitiv (und Operation) verschieden:

Linien und SchriftPolygoneTexturen

All diese Probleme sind Abtasteffekte, die wir als Aliasing bezeichnen ... Gegenmaßnahmen nennen wir Antialiasing


Linien

Neben Treppenstufen zeigen Linien folgende Effekte

Vertikale und horizontale Linien sind schwärzer als 450 Linien

Besonders starke Effekte:Perlschnüre an fast horizontalen/vertikalen Linien

und weitereSpaghetti-Effekt (dünne schnell bewegte Linien sehen wir mehrfach)

(Die links gezeigten Linien sind schon antialised!)


Skalierte Linien

Nach dem Rendernskalierte Linien zeigen nochmals verstärkte Effekte:Unterbrechungenanscheinend andere Linienart:strichliertpunktiert

100% 20%

20%


Schrift

Ist in jedem Fall als spezielles Primitiv zu behandeln Probleme insbesondere durch die kleinen Details, z.B. Serifen, ...

„Normales“ Linien-Antialiasing liefert oft schlechte Ergebnisse, z.B. deutliche Unschärfe wie bei älteren Flash- Versionen

Aus Gründen der optimalen, möglichst kontraststarken Darstellung müssen signaltheoretische Erwägungen zurücktreten

spezielle Bildschirmschriftenskalierbar (Truetype, ...)Pixelschriften (optimiert für eine Größe, z.B. 18x10 Pixel)


Polygone

Zeigen ähnliche Effekte wie Linien an den

KonturkantenSchattenkantenRändern von Hightlights(Glanzlichtern)

überall dort, wo große Farb-(insbesondere Helligkeits-) änderungen auftreten

ohne Antialiasing


Kleine Polygone

Polygone, die kleiner sind als die Pixelfäche oder sehr schmalzeigen in der Bewegung und ohne Antialiasing „bösartiges“Aufblitzen (Szintilationen)


Ein weiterer Abtast-Effekt: Moiree

hier einfaches Point Sampling:

Es entstehenniederfrequenteSrukturen!

Nicht wie erwünschtGrauwerte!


Wird dramatisch Moiree (Resampling 1:2)


Noch schlimmerMoiree (Resampling 1:4)


TexturenResampling (ein Vorgriff)

Point-Sampling(nearest neightbour)

Mipmapping

Summed Area Tables

Ein gutes Antaliasing ist extrem wichtig!

Verfahren behandeln wir später!


Windows95 BannerSehr bekanntes Beispiel:

Zeigt sehr schön, dass die Anti-Aliasing-Maßnahme weit über das Pixel der Konturgrenze hinaus greifen müssen, aber auch, dass Auflösung,Gamma, etc. zu berücksichtigen sind !


Skalierungen

Pixelreplikation

Anti-aliased Scaling


Aliasing und AntialiasingAuswirkungen und Effekte

Aliasing ist ein grundsätzliches Abtast- und Rekonstruktionsproblem mit vielen unangenehmen Effekten

Je nach Primitiv sind die subjektiven Wirkungen verschieden … entsprechend auch die Lösungen

Wir müssen unterscheiden:LinienPolygoneTexturenText


Glätten (= Antialising)von gerasterten Strecken

eine adhoc Idee – Nutzung des EntscheidungstermsIdee: Für jeden X-Wert (Spalten) werden zwei übereinanderliegen-de Pixel gesetzt. Die Gesamthelligkeit ist in jeder Spalte gleich und wird den vertikalen Entfernungen E der beiden Pixel von der zu untersuchenden Strecke entsprechend verteilt, z.B. durch Ausnutzung des Entscheidungsterms E beim Bresenham-Algorithmus (Beispiel einer schwarzen Linie)

Pixel1 = E Grau2 = 1-E also insbesondere

E=0: Grau = 1E=1: Grau = 0

dieses einfache Verfahrenverbessert die Darstellungschon erheblich! Aber es isteiniges zu beachten!


Ergänzende Maßnahmen

Gammakorrektur muss immer vorgenommen werden, sonst sichtbare Helligkeitsschwankungen entlang der Linie wegen fehlerhaften GrauwertdarstellungLinien in geringem Abstand beeinflussen sich gegenseitig: schon hell gesetzte Pixel könnten von einer benachbarten Linie wieder dunkel gesetzt werden

adhoc Lösung: einen neuen Helligkeitswert nur dann speichern, wenn er größer (heller) als der bereits gespeicherte ist.Linien mit einer Neigung von 0≤α≤π/4 sind gegenüber den Koordinatenachsen länger als achsenparallele Linien mit gleicher Pixelanzahl subjektiv weniger gefärbtUm den Eindruck gleicher Helligkeit zu erreichen, muss deshalb der Grauwert mit dem Faktor 1/cos(α) skaliert werden.Verbesserte Algorithmen ??? optimale Algorithmen ???


Aliasing ist ein Abtastungs- und Rekonstruktionsproblem

AbtastungRekonstruktion

kontinuierliche Bildfunktion

diskretes Bild

Rendering

Idee: die Maßnahmen,die bei der Abtastungwirksam waren, beim Rendering nachbilden!


Signaltheoretische Ansätze zum Antialiasing

Rückbesinnung (Das digitale Bild)Wir unterscheiden folgende Fehlerursachen (nach

Shannon: Abtasttheorem)Verletzung des Abtasttheorems: Fehlende Bandbegrenzung

Aliasing 1.Art ... das können wir ggf. beim Rasterisieren lösenFehlerhafte Rekonstruktion: Rechteck anstelle der sinc-Funktion

Aliasing 2.Art ... das können wir nur beim Anzeigen (Display) lösen


Abtasttheorem (1)

Ein bandbegrenztes Bild f(x,y), das orthogonal mit Abtastintervallen abgetastet wird, kann fehlerfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenzen größer als die Nyquist-Frequenzen sind.

Δ Δx y,

1 2 1 2Δ Δx

u by

v bs u s v= > = >,

mit F b bu v( , ) , ,ξ η ξ η= > >0

b bu v,

ss vu ,

R


Abtasttheorem (2)Ein diskretes Bild lässt sich mit Hilfe eines (idealen)

Tiefpasses mit der Übertragungsfunktion

rekonstruieren, so daß dieses mit dem ursprünglichen Signal identisch ist. Das rekonstruierte Bild ist dann

H u v x y r e c t u v m i t

b u b u n d b v bh x y x y x y

T P

u u v v

T P

( , ) ( , )

( , ) s i n c ( ) s i n c ( )

=

< < − < < −=

Δ Δ

Δ ΔΔ Δ

ξ η

ξ ηξ η

f x yd ( , )

f x y f m x n y

xx

m

xx

m

yy

n

yy

nnm( , ) ( , )

sin( )

( )

sin( )

( )=

−

−

−

−=−∞

∞

=−∞

∞

∑∑ Δ Δ Δ

Δ

Δ

Δ

π

π

π

π

R


sinc-Funktion-1D

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

f x xx

( ) sin=

π 2π 3π 4π−π−2π

©D

etle

f Krö

mke

rR


2D-Sinc - Die ideale Rekonstruktionsfunktion

-6,2

83

-4,7

12

-3,1

42

-1,5

71

0,00

0

1,57

1

3,14

2

4,71

2

6,28

3

7,85

4

9,42

5

10,9

96

12,5

66

0,000

1,571

3,142

4,712

6,283

7,854

9,425

-0,3-0,2-0,100,10,20,30,40,50,60,70,80,91

0,9-10,8-0,90,7-0,80,6-0,70,5-0,60,4-0,50,3-0,40,2-0,30,1-0,20-0,1-0,1-0-0,2--0,1-0,3--0,2

f x y xx

yy

( , ) sin sin= ⋅

©D

etle

f Krö

mke

r


Reale Abtastung und Rekonstruktion

Die Forderungen des Abtasttheorems sind in realen Systemen nicht zu erfüllen. Im einzelnen:Bandbegrenzung: Reale Bildvorlagen sind nicht bandbegrenzt Aliasing (1.Art) ideale Abtastung (mit Diracimpuls): Reale Abtaster haben endliche Apertur Unschärfeideale Rekonstruktion (mit sinc-Funktion): Real nur Approximationen möglich

Aliasing (2.Art)

R


Aliasing 1. Art: Veranschaulichung im 1D

-1,25

-1

-0,75

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

Ortsraum

ALIASDoppelgänger

©D

etle

f Krö

mke

rR


Aliasing 1. Art im 2D

x

y

Δx

Δy

ALIASING

R


Aliasing 1. Art –Unser aktuelles Problem beim Rastern

Ursache: Unterabtastung, Überlappung der SpektrenDie Konturkanten werden trivialerweise als Sprünge angesehen = „unendlich steil“unendliches Spektrum Nyquistgrenze liegt im Unendlichen!Einmal in ein digitales Bild eingebrachte Artefakte sind durch nachträgliche Filterung nicht korrigierbar!Lösung geht nur über Bandbegrenzung:d.h. unser Bild wird weniger scharf!


Aliasing 1. Art Erste klassische Maßnahmen und Ansätze

Bandbegrenzung des abzutastenden Bildes durch z.B.

optische Unschärfe (im Videobereich eingesetzt!)einfach, adhoc einsetzbarwenig effektiv, weil Filterflanken nicht steil genug erfordert Abtastraten deutlich über Nyquistfrequenzdeutlich sichtbare Unschärfe

endliche Abtastaperturhat Tiefpaßwirkungführt direkt zum sogenannten Area-Sampling


Was für ein Filter (shape)?Region of Support?

Idealer Tiefpaß wäre sinc-Funktion minimaler Verlust von SchärfePixelbreite sei x, dann Nyquist Frequenz 1/2xSync-Funktion 1. Nullstelle in 1Pixel Abstand also sollte die Region of Support 2 Pixel breit seinÜbliche Approximationen:

Box (Rechteck)Dreieck BartlettGauß


Fourier Transformierte

1Δx

−Δx2

Δx2

10.

1Δx

10.

10.

2Δx

1Δx

10.

2 0ξx

2σ

ΔxΔx

4 0ξx

4 0ξx

( )sinc 1x0

sinc 2y0

ξξ

ξξ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinc 1x0

sinc 2y0

ξ

ξ

ξ

ξ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

e− +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2 2 2

12

22π σ ξ ξ

( )rect 1x0

rect 2y0

ξ

ξ

ξ

ξ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 2

2

2 2

πσσex

−

1Δ Δx

trixx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1Δ Δx

rec txx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1Δ Δx

xx

sinc⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

R


Maßnahmen beim Rendering

Idee: Area-Sampling (entspricht einer endliche Apertur)unweighted (Rechteck, wie beim CCD-Chip)

Catmull [CATM 78]Flächenanteile am Pixel

werden beim Scannen errechnet:Pixel ist weder rot noch grünBeispiel: 70% grün, 30% rot

weighted (mit größerem Abstand vom idealen Sample Punkt wird der Einfluß geringer (nach welcher Funktion?)

Abram, Westover, Whitted [ABRA 85]


Unweighted Area SamplingCatmull [CATM 78]

Probleme

Entspricht einemBoxfilter über der„Pixelfläche“


Weighted Area Samplingohne overlap

Entspricht z.B. einem Dreiecksfilter über der„Pixelfläche“


Weighted Area Sampling withOverlap

Die Berechnung eines Pixelwertes wirkt potentiell auf mindestens 9 Pixel !sehr hoher Aufwand


Weighted Area Sampling withOverlap nach [ABRA 85]

Signaltheoretisch korrektHat jedoch sehr hohen Aufwand!

Man verwendet meist nur AreaSampling ohne Overlap in einer diskreten Variante

Supersamplinginsbesondere beim

RealtimeRendering

A B C

D E F

G H I


Supersamplingdie diskrete Variante des Area Samplings

DigitalesBild

Graphik

n x m

n x m

pn x qm

Dig. Filter

TiefpaßStraight ForwardFull-Scene Antialiasing FSAA


Supersampling Schemata

In der Praxis sind verschiedene Schemata gebräuchlich!Man sucht möglichst wirksame, dabei aufwandsarme Möglichkeiten, z.B.Quincunx: nur 2 Samples/ Pixel! Ecken werden auch von Nachbarn genutzt!RGSS Rotated Grid Supersampling, usw.


Probleme einfacher Subpixelmasken

Horizontale Polygonkante über der in (4x4 ) Subpixel aufgeteilten Pixelfläche.

Zahl der gesetzten Subpixel als Funktion der überdeckten Pixelfläche beim Supersampling

erwünschtes Verhalten, auch mit stochastischem Abtasten (eine mögliche Variante) kaum erreichbar.

Horizontale odervertikale Kante

DiagonaleKante

ErwünschtesVerhalten


Antialiasing

Berechnung der überdeckten Fläche gemäß der Subpixelauflösung, z.B. 1/16 genauBeobachtung: z.B. bei 16 Subpixeln gibt es nur 32 mögliche Anordnungen bedeckter Subpixelz.B. Subpixelzahl und Kantenneigung und Abstand zum Pixelmittelpunkt als weitere Parameter nutzen (Schilling 91)diverse andere Varianten möglich


Beispiele für Filterdesign

In Realtime-Anwendungen häufig unweightedSubpixel: tragen gleichermaßen bei (Ausnahme Quincunx: Mitte 1/2, Ecke 1/8)

Signaltheoretisch besser:Bartlett-Fenster: DreieckGaus-FensterHanning-Fenster: CosinusquadratKaiser-Bessel-Fenster, u.s.w.


Beispiele für Filterkerne

1 2 3 4 3 2 12 4 6 8 6 4 23 6 9 12 9 6 34 8 12 16 12 8 43 6 9 12 9 6 32 4 6 8 6 4 21 2 3 4 3 2 1

1 4 8 10 8 4 14 12 25 29 25 12 48 25 49 58 49 25 8

10 29 58 67 58 29 108 25 49 58 49 25 84 12 25 29 25 12 41 4 8 10 8 4 1

7x7 Bartlett Filter 7x7 Gauss Filter

1 2 3 2 12 4 6 4 23 6 9 6 32 4 6 4 21 2 3 2 1

5x5 Bartlett Filter 3x3 Bartlett Filter

1 2 12 4 21 2 1


Weitere Möglichkeiten beim Filterdesign

Tschebyscheff-Approximation:füllt vorgegebenes Toleranzschema optimal auskonstante Welligkeit im Durchlaß- und SperrbereichAchtung: die berechneten Koeffizienten müssen genau genug realisiert werdenbei 8/9 Bit Wortlänge gehen Vorteile ggf. wieder verloren


SupersamplingPro und Cons

Con: Löst das Aliasing-Problem 1. Art nur unvollständig: postfiltering d.h. es giltArtefakte sind durch nachträgliche Filterung nicht vollständig korrigierbar! aberDaumenregel: 4-faches Oversampling liefert zufriedenstellende Ergebnisse bei scharfen Konturen Texturen können noch Probleme bereiten


Weitere Tricks

“leichtes” Rauschen kann Effekte noch weiter reduzierenRealisierbar durch stochastische Sampling: z.B. nach einer Poisson Verteilung (entspricht in etwa der Anordnung unserer Zapfen)Achtung: nur subjektive Wirkung: lediglich (für den Menschen) weniger störendvorsichtig einsetzen!


α-Channelist heute die Standardlösung

Pixel ist weder rot noch grünBeispiel: 70% grün, 30% rotBeim Rendering wird Überdeckungsinformation(coverage) generiert: α-Channelp:= (r,g,b, α), α = [0,1] z.B. (0,1,0,0.7)


α-Channelberücksichtigt keine Subpixel-Geometrie

aber ermöglicht das „aufaddieren“ von Pixelbeiträgen

no overlap total overlap proportional overlap

α -Wert liefert keine geometrischen Angaben

Annahmen: (1) proportional overlap gilt !!!,(2) Gleichverteilung für Geometrie

dann gemeinsame Überdeckung = α Α α Β

30%

50%


Im Gegensatz A-Buffer Algorithmusberücksichtigt Subpixelgeometrie,

ist aber selten gebräuchlich!

A

B

=

=

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

BetrachteterBereich

=

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1

xor xor

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

=


α-ChannelFlächengrößen und mögliche Farben

R egion FlächeM öglicheFarben

w eder-noch (1-α A) (1-α B) 0

nur A α A(1-α B) 0,A

nur B α B(1-α A) 0,B

beide α A α B 0,A ,B


Potentielle Überlagerungsmöglichkeiten (1)

Es sei:Result. Farbe cComp und Coverage α Comp :

cComp = FA cA + FB cB

α Comp = FA α A + FB α B

FA, FB : Anteil des Pixels aus Bild A bzw. BQuadrupel: Farben für die Fälle

(weder A noch B, A, B, beide)


Potentielle Überlagerungsmöglichkeiten (2)

operation quadruple diagram F A F B

clear (0 , 0 , 0 , 0) 0 0

A (0, A , 0 , A ) 1 0

B (0, 0 , B , B ) 0 1

A over B (0 , A , B , A ) 1 1-α A

B over A (0, A , B , B ) 1-α B 1

A in B (0, 0 , 0 , A ) α B 0

B in A (0, 0 , 0 , B ) 0 α A

A held out by B (0, A , 0 , 0) 1-α B 0

B held out by A (0, 0 , B , 0) 0 1-α A

A atop B (0, 0 , B , A ) α B 1-α A

B atop B (0, A , 0 , B ) 1-α B α A

A xor B (0 , A , B , 0) 1-α B 1-α A


Weitere Funktionsmöglichkeiten mit dem α-Channel

darkenfadeopaquefade (A,t) plus fade (B, 1-t)


Weitere hier nicht behandelte Probleme

Wie gewinnt man α-Wert, wenn die Ausgangsbilder dies nicht haben:

siehe Fiskin-Barsky [FISH 84]


Zusammenfassung

Supersampling (trotz der bekannten Nachteile) ist oft günstigste Alternative und häufig genutztes Verfahren:Achtung: geeignete Supersampling-Geometrie wählen (ggf. sogar nicht regelmäßig, also stochastisch leichtes Rauschen und damit weitere Milderung der Aliasing_Effekte) und Auswahl geeigneter Filter nötig

für beste Bildqualität „Weighted Area Sampling with Overlap“ein errechneter „Pixelwert“ wirkt potentiell auf die 8 Nachbarpixelsehr hoher Aufwand

Compositing mit α-Channel ist geeignetes Update-Verfahren und für viele weitere Effekte nutzbar!

alles durch Hardware gut unterstützt, aber auch in SW realisierbar


Ausblick

Beleuchtungsrechnung= Berechnung des Pixel-Farbwertes unter Berücksichtigung

der Polygonfarbe (Körperfarbe)der Glanzeigenschaften des Polygons (stumpf ... Hochglänzend)Der Beleuchtung (Lichtquellen, andere Objekte)Umgebungseffekte (Dunst, Nebel, Rauch, ...)


Glossar

Antialiasing beim RenderingArea SamplingWeighted Area SamplingA-BufferSupersampling und FilterungFilterkerne und FilterdesignAlpha-ChannelBildüberlagerung

(compositing) nach Porter und Duff


Glossar

Rastern von LinienDifferential Digital Analyser (DDA)Algorithmus von BresenhamMittelpunktsalgorithmus

Mittelpunktsalgorithmus für Kreise, ...Glätten von gerasterten Linien:

Einfaches AntialiasingPolygon-Rendering

Scan-Line-Algorithmus

Documents

V07 Rasteralgorithmen und Anitaliasing · Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Graphische Datenverarbeitung Raster-Algorithmen