V spazio vettoriale su K (in particolaremat.unicam.it/piergallini/home/materiale/geom1/schemi/...bbbbbbbd p 0q00 = k bbbbbbbd p 0p00) bbbbbd qq00 = k bbbbbd pp00) hp,p00i A khq,q00i

Geometria 1 Geometria a�ne/1

V spazio vettoriale su K (in particolare K = R, C)

A = (A,A⇥A! V : (p, q) 7! bbbdpq) spazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�nespazio a�ne su Vdef() 1) per ogni p 2 A e v 2 V esiste unico q 2 A t.c. bbbdpq = v

2) bbbdpq + bbdqr = bbbdpr per ogni p, q, r 2 A (identita di Charles)

p, q 2 A 3 (p, q) 2 A2 vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl.vettore appl. in p 3 bbbdpq 2 V vettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore liberovettore libero

dim Adef== dim V dimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensionedimensione di A come spazio a�ne

(dim A = 1 2 retta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�neretta a�ne, dim A = 2 2 piano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�nepiano a�ne)

A spazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessospazio a�ne reale, complessodef() K = R, C

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) A spazio a�ne ) bbbdpp = 0V e bbbdqp = �bbbdpq , 8 p, q 2 Abbbdpq = bbdrs , bbbdpr = bbdqs , 8 p, q, r, s 2 A

2) A⇥A! V : (p, q) 7! bbbdpq struttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�nestruttura a�ne

2 azione semplicemente transitiva di (V,+) su A

⌧v : A! A definita ⌧v(p) = p + vdef== q se v = bbbdpq

TTDBBB

traslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazionetraslazione associata al vettore v 2 V

3 �c,k : A! A definita �c,k(p)def== q se bbdcq = k bbdcp

TTDBBB

dilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazionedilatazione di centro c 2 A e fattore k 2 KEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) retta/piano/spazio euclidei = spazi a�ni reali

(V = {[bbbbbdPQ] | bbbbbdPQ vett. appl.} spazio dei vettori liberi)

2) V = (V, (v, w) 7! bbbbdvw = w � v) spazio a�ne su V

An(K)def== Kn spazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numericospazio a�ne numerico di dim. n su K

L ⇢ A sottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nesottospazio a�nedef() DirL = {bbbdpq | p, q 2 L} ⇢ V sottosp. vett. giacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacituragiacitura di L

e L spazio a�ne su DirL (restrizione strutt. a�ne di V )

() 9 p 2 L t.c. {bbbdpq | q 2 L} ⇢ V sottosp. vett. (= DirL 8 p 2 L)

iperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�neiperpiano a�nedef() codimL

def== dim A� dim L = 1

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) A spazio a�ne su V , p 2 A, U ⇢ V sottosp. vett.

3 L = {q 2 A | bbbdpq 2 U} = {p + v | v 2 U} ⇢ A

unico sottospazio a�ne per p con DirL = U

2) L1 ⇢ L2 ⇢ A sottospazi a�ni ) DirL1 ⇢ DirL2

) dim L1 dim L2 (e vale = se e solo se L1 = L2)


EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) punti/rette/piani ⇢ retta/piano/spazio euclideo

2) sottosp. a�ni di V = laterali dei sottosp. vett. di V

(Dir(U + v) = U per ogni U ⇢ V sottosp. vett. e v 2 V )

3) L ⇢ An(K) sottospazio a�ne di dimensione k

, L = {x 2 An(K) | A · x = B} con A 2Mn�k,nK ,

rgA = n� k, B 2 Kn�k (DirL = {x 2 Kn | A ·x = 0}), L = {x = M · t + C | t 2 Kk} con M 2Mn,kK ,

rgM = k, C 2 Kn (DirL = {x = M · t | t 2 Kk})

L1, L2 ⇢ A sottospazi a�ni

paralleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleliparalleli (L1 k L2)def() DirL1 ⇢ DirL2 oppure DirL2 ⇢ DirL1

incidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentiincidentidef() L1 \ L2 6= ? e L1, L2 non paralleli

trasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalidef() L1, L2 incidenti e DirL1 + DirL2 = V

complementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaricomplementaridef() L1, L2 incidenti e DirL1 �DirL2 = V

sghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembisghembidef() L1 \ L2 = ? e L1, L2 non paralleli

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) L1, L2 paralleli ) disgiunti o contenuti uno nell’altro

2) parallelismo 3 equiv. tra sottospazi della stessa dim.

3) L1, L2 incidenti ) L1 \ L2 sottospazio a�ne di A

Dir(L1 \ L2) = DirL1 \DirL2

4) L1 retta, |L1 \ L2| > 1 ) L1 ⇢ L2 (9! retta per due punti)

5) L1, L2 trasv. ) dim L1+ dim L2 � dim A (= se compl.)

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. A spazio a�ne, p 2 A, L ⇢ A sottospazio a�ne

) 9!L0 ⇢ A sottosp. a↵. t.c. p 2 L0, L0 k L e dim L0 = dim L

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. L0 = unico sottosp. a�ne di A t.c. p 2 L0 e DirL0 = DirL

S ⇢ A sottoinsieme 6= ? 3 hSiA↵

sottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generatosottospazio a�ne generato da S

hSiA↵

def== piu piccolo sottospazio a�ne di A contenente S

== intersezione di tutti i sottosp. a�ni di A contenenti S

== sottosp. a�ne t.c. S ⇢ hSiA↵

e DirhSiA↵

= h{bbbdpq | p, q 2 S}i

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) p0 2 S ) DirhSiA↵

= h{bbbbbdp0p | p 2 S}i (bbbdpq = bbbbdp0q � bbbbbdp0p)

) hSiA↵

= {p0 +a1bbbbbbdp0p1 + . . .+an

bbbbbbbdp0pn | ai 2 K, pi 2 S, n � 0}


2) S ⇢ V spazio a�ne su se stesso

) hSiA↵

= {a1v1 + . . .+anvn |P

iai =1, vi 2 S, n � 1} hSiPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. A spazio a�ne, L1, L2 ⇢ A sottosp. a�ni t.c. L1 \ L2 6= ?

dimhL1 [ L2iA↵= dim L1 + dim L2 � dim(L1 \ L2)

TTDBBB

relazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�nerelazione di Grassmann a�ne

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. L1 \ L2 6= ? ) DirhL1 [ L2iA↵= DirL1+DirL2

Teorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di TaleteTeorema di Talete

A spazio a�ne, L1, L2,H,H 0,H 00 ⇢ A sottosp. a�ni

t.c. L1 e L2 complementari rispetto ad H k H 0 k H 00

Li \H = {pi}, Li \H 0 = {p0i}, Li \H 00 = {p00i }bbbbbbbdp1p001 = k

bbbbbbdp1p01 con k 2 K ) bbbbbbbd

p2p002 = kbbbbbbdp2p02

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. possiamo assumere: 1) p1 = p2 = p (L2 3 L2 � bbbbbbdp1p2)

2) L1, L2 rette distinte e H,H 0,H 00 iperpiani distinti

(L1 3 h{p, p01}iA↵, A 3 hH [ L1iA↵

� H 0,H 00, hp, p02, p002 iA↵

Grassmann ) dimhp, p02, p002 iA↵

= 1 ) L2 3 hp, p02iA↵)

3) A piano e H,H 0,H 00 ⇢ A rette (A 3 hL1 [ L2iA↵)

) bbbbbdpp00i = ki

bbbbdpp0i e

bbbbbbbdp001p002 = l

bbbbbbdp01p

02 (con k1 = k) ) k1 = k2 = l

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: nel piano vale anche il viceversa (criterio di parallelismo)

Teorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di DesarguesTeorema di Desargues

A spazio a�ne, L = hp, qiA↵

, L0 = hp0, q0iA↵

, L00 = hp00, q00iA↵

rette distinte tali che L k L0 k L00 o L \ L0 \ L00 6= ? ,

hp, p0iA↵k hq, q0i

A↵^ hp0, p00i

A↵k hq0, q00i

A↵) hp, p00i

A↵k hq, q00i

A↵

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. L k L0 k L00 ) bbbbdqq0 =

bbbbdpp0 ^ bbbbbbd

q0q00 =bbbbbbdp0p00 ) bbbbbd

qq00 =bbbbbdpp00

L \ L0 \ L00 = {p0} ) bbbbdp0q = k bbbbbdp0p ,bbbbbbdp0q0 = k

bbbbbbdp0p0,

bbbbbbbdp0q00 = k

bbbbbbbdp0p00

) bbbbbdqq00 = k

bbbbbdpp00 ) hp, p00i

A↵k hq, q00i

A↵

A spazio a�ne reale (cioe V spazio vettoriale su R)

H ⇢ A iperpiano, v 2 V �DirH

3 semispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispaziosemispazio �(H, v)def== {p + a v | p 2 H, a > 0}

p, q 2 A 3 segmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmentosegmento pqdef== bbbbpq = {p + a bbbdpq | 0 a 1}


C ⇢ A convessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessoconvessodef() bbbbpq ⇢ C per ogni p, q 2 C

S ⇢ A 3 hSiCon involucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convessoinvolucro convesso di Sdef== piu piccolo convesso di A contenente S

== intersez. di tutti i convessi di A contenenti S

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) H ⇢ A iperpiano 3 2 semispazi opposti uscenti da H

(p, q 2 A�H nello stesso semispazio , bbbbpq \H = ?)

2) p, q 2 A ) bbbbpq = bbbbqp convesso ) bbbbpq = hp, qiCon

3) sottospazi sono convessi ) hSiCon ⇢ hSiA↵per ogni S ⇢ A

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) p punto 2 r retta 3 2 semirette ⇢ r uscenti da p

r retta ⇢ ⇡ piano 3 2 semipiani ⇢ ⇡ uscenti da r

2) V spazio a�ne su se stesso )bbbbbvw = {a v + bw | a + b = 1, a � 0, b � 0}hSiCon= {a1v1 + . . .+ anvn |

Piai =1, ai�0, vi 2 S, n�1}

3) H = {x 2 An(R) |P

i aixi = b} iperpiano di An(R)

3 �± = {x 2 An(R) |P

i aixi ? b} semispazi da H

Applicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�niApplicazioni a�ni

' : A! B con A,B spazi a�ni su V,W spazi vett. su Kapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�neapplicazione a�ne

def() 9'⇤ : V !W applicazione lineare

tale chebbbbbbbbbbbbbbbbd'(p)'(q) = '⇤(

bbbdpq) , 8 p, q 2 A

isomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�neisomorfismo a�nedef() '⇤ isomorfismo

A 5 Bdef() 9' : A! B isomorfismo a�ne

TTDBBB

spazi a�ni isomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfiisomorfi

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) idA : A! A e cost : A! A sono applicazioni a�ni

2) ' : A! B e : B ! C a�ni ) a ' : A! C a�ne

3) ' : A! B iso a�ne ) 9'�1 : B ! A iso a�ne0TTDB

B

5 “relazione di equivalenza” tra spazi a�ni

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. A,B spazi a�ni su V,W spazi vett. su K8 p0 2 A , 8 q0 2 B , 8 : V !W appl. lineare

9!' : A! B appl. a�ne t.c. '(p0) = q0 e '⇤ =


DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. '(p0 + v) = q0 + (v) per ogni v 2 V

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. A 5 B , dim A = dim B (spazi a�ni sullo stesso K)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) a�nita del piano/spazio euclideo = isomorfismi a�ni

2) ' : V !W applic. a�ne (V,W spazi a�ni su se stessi)

, '(v) = '⇤(v) + w0 con '⇤ : V !W lineare, w0 = '(0)

3) ' : An(K)! Am(K) applicazione a�ne

, '(x) = M · x + C con M 2Mm,nK e C 2 Am(K)

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. ' : A! B applicazione a�ne

1) A0 ⇢ A sottosp. a�ne ) B0 = '(A0) ⇢ B sottosp. a�ne

2) B0 ⇢ B sottosp. a�ne ) A0 = '�1(B0) ⇢ A sottosp. a�ne

3 '|A0 : A0 ! B0 applicazione a�ne

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 1) DirA0 sottosp. vett. ) DirB0 = '⇤(DirA0) sottosp. vett.

2) DirB0 sottosp. vett. ) DirA0 = '�1⇤ (DirB0) sottosp. vett.

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) ' : A! B appl. a�ne ) ' conserva il parallelismo

cioe: A1 k A2 ⇢ A ) '(A1) k '(A2) ⇢ B

B1 k B2 ⇢ B ) '�1(B1) k '�1(B2) ⇢ A

2) ' : A! B appl. a�ne tra spazi a�ni reali

) '(bbbbpq) =bbbbbbbbbbbbbbbbb'(p)'(q) per ogni p, q 2 A

C ⇢ A convesso ) '(C) convesso

Trasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�niTrasformazioni a�ni

A spazio a�ne su V spazio vett. su KA↵A

def== ({' : A! A | ' isomorfismo a�ne}, a )

TTDBBB

gruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nitagruppo delle a�nita di A

TraAdef== ({⌧v : A! A | v 2 V }, a ) 5 (V,+)

TTDBBB

gruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazionigruppo delle traslazioni di A

DilAdef== (' 2 A↵A | '(L) k L , 8L ⇢ A sottosp. a�ne}, a )

TTDBBB

gruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazionigruppo delle dilatazioni di A

p 2 A 3 A↵p Adef== {' 2 A↵A | '(p) = p} ⇢ A↵A

Dilp Adef== {' 2 DilA | '(p) = p} ⇢ DilA


NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) TraA ⇢ DilA ⇢ A↵A sottogruppi normali

(' 2 Tra , '⇤ = idV , ' 2 Dil , '⇤ : v 7! k v)

2) A↵p A ⇢ A↵A e Dilp A ⇢ DilA sottogr. non normali

(v = bbbdpq ) ⌧v(A↵p A)⌧�1v = A↵q A , ⌧v(Dilp A)⌧�1

v = Dilq A)

3) ' 2 DilA , '(L) k L per ogni retta L ⇢ A

' 2 Dilp A , ' = �p,k con k 2 K� {0}4) DilA = TraA [ ([p Dilp A)

(' 6= idA 3 p0 2 A t.c. '(p0) 6= p0 3 L = hp0,'(p0)iA↵

'(L) = L 3 '|L : L! L traslazione/dilatazione di L

) ' = ⌧v con v =bbbbbbbbbbbbbdp0'(p0) o ' = �p,k con p 2 L)

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. � : A↵A! AutV def. ' 7! '⇤ omomorfismo di gruppi

tale che �| : A↵p A 5 AutV 8 p 2 A e TraA = ker�

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 8 2 AutV 9!' 2 A↵A t.c. '(p) = p e '⇤ =

' = ⌧v 2 TraA , bbbbbbbbbbdp'(p) =

bbbbbbbbbdq'(q) = v , 8 p, q 2 A

, bbbdpq =bbbbbbbbbbbbbbbbd'(p)'(q) , 8 p, q 2 A

, ' 2 ker�

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) p 2 A 3 A↵A$ A↵p A⇥TraA def. '$ ('p, ⌧v)

con ' = ⌧v a 'p, con 'p 2 A↵p A e v =bbbbbbbbbdp'(p)

2) ' = ⌧v a 'p, = ⌧w a p ) a ' = ⌧ ⇤(v)+w a ( a ')p

(in generale ⌧ ⇤(v)+w = ⌧w a ⌧ ⇤(v) 6= ⌧w a ⌧v = ⌧v+w)

3) V spazio a�ne su se stesso ) A↵0 V = AutV

3 A↵V $ AutV ⇥TraV def. '$ ('⇤, ⌧'(0))

3 a ' = ⌧ ⇤('(0))+ (0) a ( a ')⇤

A spazio a�ne reale (cioe V spazio vettoriale su R)

A↵+A = {' 2 A↵ | '⇤ 2 Aut+V } ⇢ A↵A sottogr. normaleTTDB

BB

gruppo delle a�nita che conservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioniconservano le orientazioni

(orientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazioneorientazione di Adef== orientazione di V

== classe di riferimenti a�ni ordinati)

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: Tra ⇢ A↵+A, mentre DilA ⇢ A↵+A , dim A e pari


Riferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�niRiferimenti a�ni

A spazio a�ne su V spazio vett. su Kp0, . . . , pn 2 A a�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendentia�nemente indipendenti

def() bbbbbbdp0p1, . . . ,bbbbbbbdp0pn linearmente indipendenti in V

() dimhp0, . . . , pniA↵= n (Dirhp0, . . . , pniA↵

= hbbbbbbdp0p1, . . . ,bbbbbbbdp0pni)

() pi /2 hp0, . . . , pi�1, pi+1, . . . , pniA↵, 8 i = 0, . . . , n

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: p0, . . . , pn 2 A a�nemente indipendenti ) n dim A

hp0, . . . , pniA↵unico sottosp. a↵. n-dim. contenente p0, . . . , pn

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) p0, p1 a�nemente indipendenti , distinti

hp0, p1iA↵= retta a�ne passante per p0 e p1

2) p0, p1, p2 a�nemente indipendenti , non allineati

hp0, p1, p2iA↵= piano a�ne passante per p0, p1 e p2

hp0, p1, p2iCon = triangolo p0, p1, p2 (solo per K = R)

3) p0, p1, p2, p3 a�nemente indipend. , non complanari

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. A,B spazi a�ni su V,W spazi vett. su Kdim A = n <1, p0, . . . , pn 2 A a�nememente indip.

8 q0, . . . , qn 2 B 9!' : A! B appl. a�ne t.c. '(pi) = qi

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. p0, . . . , pn 2 A a�nem. indip. ) {bbbbbbdp0p1, . . . ,bbbbbbbdp0pn} base di V

3 unica : V !W lineare t.c. (bbbbbbdp0pi) = bbbbbdq0qi 8 i = 1, . . . n

3 unica ' : A! B t.c. '(p0) = q0 e '⇤ =

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: ' suriettiva , hq0, . . . , qniA↵= B

' iniettiva , q0, . . . , qn a�nem. indip. in B

' isomorfismo a�ne , valgono entrambe

A spazio a�ne su V di dimensione n <1 su Kp0 2 A 3 �p0 : A! V def. �p0(p) = bbbbbdp0p isomorfismo a�ne

p0, p1, . . . , pn 2 A a�nemente indipendenti

3 B = (v1 = bbbbbbdp0p1, . . . , vn = bbbbbbbdp0pn) base ordinata di V

3 R = (p0, B) riferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�neriferimento a�ne con orgine in p0

3 �R = �B a �p0 : A! An(K) isom. a�ne (coordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�nicoordinate a�ni)


NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) p0, p00 2 A 3 �p00a ��1

p0: v 7! v � v0 con v0 =

bbbbbbdp0p00

2) R = (p0, B) e R0 = (p00, B0) riferimenti a�ni su A

3 �R,R0 = �R0 a ��1R : x 7!MB,B0 · x� x0 con x0 = �B0(v0)

TTDŒÕ << <

cambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�nicambiamento di coordinate a�ni

3) ' : A! B appl. a�ne, R e S riferimenti a�ni su A e B

3 'R,S :An(K)! Am(K) appl. a↵. def. 'R,S = �S a ' a ��1R

' in coord. a�ni indotte da R e S 0 0 ∂∑HHH

4) R0, S0 altri rif. a↵. su A,B 3 'R0,S0 = �S,S0 a 'R,S a ��1R,R0

Equazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospaziEquazioni di sottospazi

A spazio a�ne su V di dimensione n <1 su KR = (O,B) riferimento a�ne con origine O 2 A

3 �R : A! An(K) = Kn coordinate a�ni

3 (�R)⇤ = �B : V ! Kn coordinate lineari

L ⇢ A sottosp. a�ne�R ! �R(L) ⇢ An(K) sottosp. a�ne

3 DirL�B ! �B(DirL) = Dir(�R(L)) 3 dim L = dim �R(L)

L1, L2 ⇢ A sottosp. a�ni paralleli/incid./trasv./compl./sghembi

, �R(L1), �R(L2) ⇢ An(K) paralleli/incid./trasv./compl./sghembi

43 basta considerare i sottospazi a�ni di An(K) = Kn

p0, p1, . . . , pk 2 Kn 3 v1 = p1� p0 , . . . , vk = pk� p0 2 Kn

p0, p1, . . . , pk a�nemente indipendenti

, rg(v1 . . . vk) = k con v1, . . . , vk 2Mn,1K, rg(ep0 . . . epk) = k + 1 con epi = (1, pi) 2Mn+1,1K

Equazione parametrica di hp0, p1, . . . , pkiA↵⇢ Kn

x = p0 + t1v1 + . . . + tkvk con x = (x1, . . . , xn) coord. e ti parametri

(ex = t0ep0 + t1ep1 + . . .+ tkepk con ex = (1, x) , epi = (1, pi) ,Pk

i=0 ti = 1)

2 x = M · t + C con x = (x1, . . . , xn) e t = (t1, . . . , tk) vett. colonna

M = (v1 . . . vk) 2Mn,kK e C = p0 2Mn,1K


2 ex = eM · et con ex = (1, x) e et = (1, t) vett. colonna

eM =⇣

1C

0M

⌘2Mn+1,k+1K

Equazione cartesiana di hp0, p1, . . . , pkiA↵⇢ Kn

rg(v1 . . . vk x� p0) = k con x = (x1, . . . , xn) coord. e p0 2Mn,1K(rg(ep0 ep1 . . . epk ex) = k + 1 con ex = (1, x) vett. col. e epi 2Mn+1,1K)

2 det M1 = . . . = det Mn�k = 0 con M1, . . . ,Mn�k orlati di Q ⇢M

mat. quadrata con rgQ = k

2 A · x = B con A 2Mn�k,nK , rgA = n� k , B 2Mn�k,1K2 eA · ex = 0 con ex = (1, x) vett. col. e eA = (�B|A) 2Mn�k,n+1K

Condizioni di parallelismo

L1 ⇢ Kn 2 x = M1 · t + C1 2 A1 · x = B1

L2 ⇢ Kn 2 x = M2 · t + C2 2 A2 · x = B2

3 DirL1 ⇢ Kn 2 x = M1 · t 2 A1 · x = 0

DirL2 ⇢ Kn 2 x = M2 · t 2 A2 · x = 0

3 L1 k L2 , rg(M1|M2) = max{rgM1, rgM2}, rg

⇣A1

A2

⌘= max{rgA1, rgA2}

, A1 · M2 = 0 o A2 · M1 = 0

A�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinateA�nita in coordinate

A spazio a�ne su V di dimensione n <1 su KR = (O,B) riferimento a�ne con origine O 2 A

3 A↵A 5 A↵An(K) = A↵Kn iso def. '$ 'Rdef== �R a ' a ��1

R

' in coord. a�ni indotte da R 0 0 ∂∑HHH

(3 TraA 5 TraKn, DilA 5 DilKn, A↵p A 5 A↵�R(p) Kn)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) R0 = (O0, B0) altro rif. a�ne 3 'R0 = �R,R0 a 'R a ��1R,R0

2) ' : Kn ! Kn a�nita

, y = '(x) = M · x + C con M 2 GL(n, K) e C 2Mn,1K, ey = eM · ex con ex = (1, x), ey = (1, y) e eM =

⇣1C

0M

⌘3) �R,R0 cambiamento di coordinate a�ni ha questa forma


A↵Kn 5 A(n, K)def== ({ eM =

⇣1C

0M

⌘| M 2 GL(n, K), C 2Mn,1K}, ·)

TTDBBB

gruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�negruppo a�ne di grado n su K

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) A(n, K) ⇢ GL(n+1, K) sottogruppo (non normale)

2) ', 2 A↵Kn, '(x) = y , (y) = z

y = M ·x+C , z = N · y +D 3 z = (N ·M) ·x+(N ·C+D)

ey = eM · ex , ez = eN · ey 3 ez = ( eN · eM) · exEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�neEquivalenza a�ne

A spazio a�ne, X,Y ⇢ A sottoinsiemi

X 5A↵ Ydef() 9' 2 A↵A tale che Y = '(X)

TTDBBB

X e Y a�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalentia�nemente equivalenti

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) L 5A↵ L0 , dim L = dim L0, 8L,L0 ⇢ A sottosp. a�ni

(A = Kn, ' 2 A↵Kn t.c. '(L) = L0, '(x) = N · x + D

L : x = M · t + C 3 L0 : x = (N · M) · t + (N · C + D)

L : A · x = B 3 L0 : (A · N�1) · x = B + A · N�1 · DeN =

⇣1C

0N

⌘3

⇢L : x = eM · t 3 L0 : x = ( eN · eM) · tL : eA · x = 0 3 L0 : ( eA · eN�1) · ex = 0

2) {p1, . . . , pn} 5A↵ {q1, . . . , qn} 8 {pi}, {qi} a�nem. indip.

3) A spazio a�ne 3 triangoli tutti a�nem. equivalenti

A piano a�ne 3 quadrilateri non tutti a�nem. equiv.

4) A spazio a�ne reale 3 segmenti e semispazi sono

tutti a�nemente equivalenti

(hp1, . . . , pniCon 5A↵ hq1, . . . , qniCon 8 {pi}, {qi} a↵. indip.)

P proprieta riferita ai sottoinsiemi di uno spazio a�ne A

proprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�neproprieta a�nedef() proprieta invariante per a�nita di A

(cioe: P vale per X , P vale per '(X) 8' 2 A↵A)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) P proprieta di X ⇢ A e a�ne , si puo esprimere

in termini della struttura a�ne di A (soltanto)

2) P proprieta di X ⇢ A definita in coordinate a�ni

e a�ne , non dipende dalla scelta del riferim. a�ne


EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) indip. a�ne di X = {p1, . . . , pk} e una prop. a�ne

2) p = baricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentrobaricentro di X = {p1, . . . , pk} def. in coord. a�ni

x = bar {x1, . . . , xk}def==

Pi xi/k (combinazione a�ne)

e una prop. a�ne (P

i(M · xi + C)/k = M · x + C )

3) convessita di X ⇢ A sp. a�ne reale e una prop. a�ne

Quadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�niQuadriche a�ni

A spazio a�ne di dimensione n <1 su K , carK 6= 2

Q ⇢ A quadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadricaquadrica a�nedef() Q ha equaz. cart. di grado 2 in un sistema di coord. a�ni

() Q ha equaz. cart. di grado 2 in ogni sistema di coord. a�ni

() Q ha equaz. cart. scalare di grado 2 in L ⇢ A sottosp. a�ne

(Q e una ipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadricaipersuperficie quadrica in L, dim Qdef== dim L� 1)

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: coniche/quadriche nel piano/spazio euclideo

Q ,Q0 ⇢ A quadriche con dim Q = dim Q0

3 Q ⇢ L, Q0 ⇢ L0 ipersuperfici quadriche con dim L = dim L0

3 Q ,Q0 ⇢ L ipersuperfici quadriche (a meno di a�nita)

43 basta considerare ipersuperfici quadriche

R = (O,B) riferimento a�ne con origine O 2 A

3 �R : A! An(K) = Kn isomorfismo a�ne

Q ⇢ A (ipersuperf.) quadrica�R ! �R(Q) (ipersuperf.) quadrica

Q ,Q0 ⇢ A (ipersup.) quadriche, Q 5A↵ Q0 , �R(Q) 5A↵ �R(Q0)

43 basta considerare ipersuperfici quadriche in An(K) = Kn

Q ⇢ Kn ipersuperficie quadrica, carK 6= 2

2Pn

i,j=1 ai,jxixj +Pn

i=1 2bixi + c = 0

equazione cartesiana con ai,j , bi, c 2 K e ai,j non tutti nulli

a meno di moltiplicazione per un fattore k 2 K� {0}2 x⇤·A ·x+2B ·x+C = 0 con A 2M sim

n,nK�{0} , B 2M1,nK , C 2 K2 ex⇤ · eA · ex = 0 con eA =

⇣CB⇤

BA

⌘2M sim

n+1,n+1K , A 2M simn,nK� {0}


PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. rg eA , rgA proprieta a�ni di Q (indipendenti dall’equazione)

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. ex = eM · ex0 con eM 2 A(n, K)

) ex⇤ · eA · ex = 0 3 ex0⇤ · eA0 · ex0= 0

con eA0 = eM⇤ · eA · eM ) rg eA0 = rg eAx = M · x0 con M 2 GL(n, K)

) x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0 3 x0⇤ · A0 · x0+ 2B0 · x0+ C0= 0

con A0 = M⇤ · A · M ) rgA0 = rgA

x = x0 + D con D 2Mn,1K) x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0 3 x0⇤ · A0 · x0+ 2B0 · x0+ C0= 0

con A0 = A , B0 = B + A · D , C0 = C + 2B · D + D⇤ · A · DeA0 = k eA con k 2 K� {0} ) rg eA0 = rg eA e rgA0 = rgA

3 rgQdef== rg eA (rango della quadrica Q)

rgQ1def== rgA (rango della quadrica all’infinito Q1)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) 1 rgQ n + 1 e 1 rgQ1 n

2) rgQ1 = rgQ , rgQ� 1 , rgQ� 2

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. Q ⇢ Kn ipersuperficie quadrica, carK 6= 2

) 9R riferimento a�ne con coordinate x tale che

Q ha equazione canonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonicacanonica x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0

con ai,j = 0 se i 6= j , ai,i = 0 se i > rgQ1

bi = 0 se i 6= n ,

8<:

bn = 0 e C = 0 se rgQ1= rgQ

bn = 0 e C = 1 se rgQ1= rgQ� 1

bn = 1 e C = 0 se rgQ1= rgQ� 2

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. x = M · x0 t.c. x⇤ · A · x 3 x0⇤ · A0 · x0 con A0 diagonale

3 ai,j = 0 se i 6= j e ai,i = 0 se i > rgQ1 (6= 0 se i rgQ1)

x = x0 + D con di = �bi/ai,i se i rgQ1 e di = 0 altrimenti

3 bi = 0 se i rgQ1rgQ1= rgQ ) bi = 0 per ogni i = 1, . . . , n e C = 0

rgQ1= rgQ� 1 ) bi = 0 per ogni i = 1, . . . , n e C 6= 0

3 si divide l’equazione per C


rgQ1= rgQ� 2 ) bi 6= 0 per qualche i = rgA + 1, . . . , n

3 dim ker(x 7! B · x) = n� 1

3 bi = 0 se i < n e bn 6= 0

3 si divide per bn e xn 3 xn � C/2

Q ⇢ Rn ipersuperficie quadrica reale

2 x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0 2 ex⇤ · eA · ex = 0

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. sgn eA def== | rg eA� 2pos eA| � 0

sgnAdef== | rgA� 2posA| � 0

proprieta a�ni di Q (indipendenti dall’equazione)

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. indipendenza dalle coordinate come per rg eA e rgAeA0 = k eA con k 2 R� {0}) pos eA0 = pos eA o rg eA� pos eA (se k < 0)

posA0 = posA o rgA� posA (se k < 0)

3 sgnQdef== sgn eA � 0 (segnatura della quadrica Q)

sgnQ1def== sgnA � 0 (segnatura della quadrica all’infinito Q1)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) rgQ ⌘2 sgnQ rgQ e rgQ1 ⌘2 sgnQ1 rgQ12) sgnQ1 = sgnQ , sgnQ ± 1

(sgnQ1 = sgnQ se rgQ1 = rgQ, rgQ� 2)

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. Q ⇢ Rn ipersuperficie quadrica reale


Q ha equazione canonica x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0

con ai,i = ±1 per ogni i = 1, . . . , rgQ1 ,

univocamente determinata da rgQ , rgQ1 , sgnQ , sgnQ1a meno di cambiamento di segno e permutazione delle xi

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. segue dalle prop. precedenti e dal teorema di Sylverster

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. Q ,Q0 ⇢ Rn ipersuperfici quadriche reali

Q 5A↵ Q0 , rgQ = rgQ0 , sgnQ = sgnQ0

rgQ1= rgQ01 , sgnQ1= sgnQ0

1

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. Q 5A↵ Q0 , hanno la stessa equazione canonica


EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) Q ⇢ R2 conica a�ne reale

classificata al variare di (rgQ, sgnQ, rgQ1, sgnQ1)

(3,3,2,2) 3 x2 + y2 = �1 (ellisse a punti imm.)

(3,1,2,2) 3 x2 + y2 = 1 (ellisse)

(3,1,2,0) 3 x2 � y2 = 1 (iperbole)

(3,1,1,1) 3 x2 � 2y = 0 (parabola)

(2,2,2,2) 3 x2 + y2 = 0 (rette incidenti imm.)

(2,2,1,1) 3 x2 = �1 (rette parallele imm.)

(2,0,2,0) 3 x2 � y2 = 0 (rette incidenti)

(2,0,1,1) 3 x2 = 1 (rette parallele)

(1,1,1,1) 3 x2 = 0 (rette coincidenti)

2) Q ⇢ R3 quadrica a�ne reale

classificata al variare di (rgQ, sgnQ, rgQ1, sgnQ1)

(4,4,3,3) 3 x2 + y2 + z2 = �1 (ellissoide a pun. imm.)

(4,2,3,3) 3 x2 + y2 + z2 = 1 (ellissoide)

(4,2,3,1) 3 x2 � y2 � z2 = 1 (iperboloide ellittico)

(4,2,2,2) 3 x2 + y2 � 2z = 0 (paraboloide ellittico)

(4,0,3,1) 3 x2 + y2 � z2 = 1 (iperboloide iperbolico)

(4,0,2,0) 3 x2 � y2 � 2z = 0 (paraboloide iperbolico)

(3,3,3,3) 3 x2 + y2 + z2 = 0 (cono immaginario)

(3,3,2,2) 3 x2 + y2 = �1 (cilindro immaginario)

(3,1,3,1) 3 x2 + y2 � z2 = 0 (cono)

(3,1,2,2) 3 x2 + y2 = 1 (cilindro a sez. ellittica)

(3,1,2,0) 3 x2 � y2 = 1 (cilindro a sez. iperbolica)

(3,1,1,1) 3 x2 � 2z = 0 (cilindro a sez. parabolica)

(2,2,2,2) 3 x2 + y2 = 0 (piani incidenti imm.)

(2,2,1,1) 3 x2 = �1 (piani paralleli imm.)

(2,0,2,0) 3 x2 � y2 = 0 (piani incidenti)

(2,0,1,1) 3 x2 = 1 (piani paralleli)

(1,1,1,1) 3 x2 = 0 (piani coincidenti)


PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. Q ⇢ Cn ipersuperficie quadrica complessa


Q ha equazione canonica x⇤ · A · x + 2B · x + C = 0

con ai,i = 1 per ogni i = 1, . . . , rgQ1

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. segue dalla prop. prec. e dalla diag. delle forme bilin. compl.

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. Q ,Q0 ⇢ Cn ipersuperfici quadriche complesse

Q 5A↵ Q0 , rgQ = rgQ0 , rgQ1= rgQ01

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. Q 5A↵ Q0 , hanno la stessa equazione canonica

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) Q ⇢ C2 conica a�ne complessa

classificata al variare di (rgQ, rgQ1)

(3,2) 3 x2 + y2 = 1 (ellisse/iperbole)

(3,1) 3 x2 � 2y = 0 (parabola)

(2,2) 3 x2 + y2 = 0 (rette incidenti)

(2,1) 3 x2 = 1 (rette parallele)

(1,1) 3 x2 = 0 (rette coincidenti)

2) Q ⇢ C3 quadrica a�ne complessa

classificata al variare di (rgQ, rgQ1)

(4,3) 3 x2 + y2 + z2 = 1 (ellissoide/iperboloide)

(4,2) 3 x2 + y2 � 2z = 0 (paraboloide)

(3,3) 3 x2 + y2 + z2 = 0 (cono)

(3,2) 3 x2 +y2 = 1 (cilindro a sez. ellittica/iperbolica)

(3,1) 3 x2 � 2z = 0 (cilindro a sez. parabolica)

(2,2) 3 x2 + y2 = 0 (piani incidenti)

(2,1) 3 x2 = 1 (piani paralleli)

(1,1) 3 x2 = 0 (piani coincidenti)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) ellissi e iperboli sono a�nemente equiv. su C2) ellissoidi e ipeboloidi sono a�nemente equiv. su C

paraboloidi ellittici e iperbolici sono a�n. equiv. su C

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V spazio vettoriale su K (in particolaremat.unicam.it/piergallini/home/materiale/geom1/schemi/...bbbbbbbd p 0q00 = k bbbbbbbd p 0p00) bbbbbd qq00 = k bbbbbd pp00) hp,p00i A khq,q00i