UYGULAMALI

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

0''' dycybxadxcbyax

Homojen Hale Getirilebilen Diferansiyel Denklemler

Şeklindeki diferansiyel denklem homojen olmamasına rağmen basit bir değişken dönüşümü ile

homojen hale dönüştürülebilir.

0''''

baabba

baolduğu takdirde iki doğru birbirine paraleldir.

0' dycbyaxkdxcbyax şeklinde yazılabilir.

Bu durumda u=ax+by , du=adx+bdy dönüşümü yapılarak denklem homojen diferansiyel

denklem haline dönüştürülebilir.

Örnek

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. 0263542 dyyxdxyx

03.46.263

42 olduğu için:

0223522 dyyxdxyx şeklinde yazılır.

yxu 2 dydxdu 2 dönüşümü yapılırsa:

02

2352

dxduudxu 02312 duudxu

012

23

du

u

udx 012ln383 Cuux

0122ln3864 Cyxyx

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. 012'12 xyyxy

01.22.121

21

olduğu için:

xyu 2 1'2' yu dönüşümü yapılırsa:

0122

1'1

u

uu 015'1 uuu

dxduu

u

15

1

dxduu

u

15.5

615

dxduu

du15.5

6

5

1

015ln5

6

5 Cxu

u 01510ln62010 Axyxy

Örnek

0''' dycybxadxcbyax

Homojen Hale Getirilebilen Diferansiyel Denklemler

Şeklindeki diferansiyel denklem homojen olmamasına rağmen basit bir değişken dönüşümü ile

homojen hale dönüştürülebilir.

0''''

baabba

baolduğu takdirde iki doğru (α, β) noktasında kesişir.

Xx Yy

dXdx dYdy

dönüşümü uygulanarak homojen diferansiyel denkleme çevrilir.

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. 0737373 dxyxdyyx

04049937

73

olduğu için:

doğruları (1,0) noktasında kesişir. 0373 yx 0737 yx

Xx 1 Yy 0

dXdx dYdy dönüşümleri yapılırsa denklem aşağıdaki hale gelir:

YX

XY

dX

dY

73

73

Elde edilen denklem homojen diferansiyel denklemdir.

Örnek

YX

XY

dX

dY

73

73

uXY uXdX

du

dX

dY dönüşümü yapılırsa:

uXX

XuXuX

dX

du

73

73

u

uX

dX

du

73

17 2

X

dXdu

u

u

17

732

dX

Xdu

uu

1

1

5

1

2

7

1

CXuu ln1ln7

51ln

7

2 75211 XuAu

X

Yu dönüşümü yapılırsa: 452

XXYAXY

1 xX yY ters dönüşümü yapılırsa: 452111 xxyAxy

Tam Diferansiyel Denklemler

0,, dyyxQdxyxP şeklindeki diferansiyel denklemde;

x

Q

y

P

şartı gerçeklenirse, bu tip diferansiyel denkleme

Tam Diferansiyel Denklem denir. Çözümü:

yfyxSyfdxyxPyx ,,,

bulunduktan sonra:

yxQyf

y

S

y

yx,'

,

elde edilir. Buradan:

Cyx , eşitliği bulunur.

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. 0 dyedxey xx

xeyyxP ., xeyxQ ,

xex

Q

y

P

olduğu için denklem tam diferansiyeldir.

yfeyyfdxeyyfdxyxPyx xx ..,,

xx eyfe

y

yx

'

, 0' yf Cyf

Genel çözüm:

Cey x

Örnek

diferansiyel denkleminin genel

çözümünü bulunuz. 0

1cos212sin2 22

dy

yxyxdxxxyxy

12sin2, 2 xxyxyyxP y

xyxyxQ1

cos2, 2

xxyx

Q

y

Psin4

yfdxxxyxyyfdxyxPyx 12sin2,, 2

yfxxxyyxyx 222 cos,

Q

y

yx

,

yxyxyfxyx

1cos2'cos2 22

y

yf1

' yyf ln

Genel çözüm:

Cyxxxyyx lncos 222

Örnek

diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. 02 222 dxbxxydyayx

bxxyyxP 22, ayxyxQ 22,

xx

Q

y

P2

olduğu için denklem tam diferansiyeldir.

yfbxx

yxyfdxbxxyyfdxyxPyx 32,,

322

Q

y

yx

, ayxyfx 222 ' ayyf 2'

ayy

yf 3

3

Genel çözüm:

Cayy

bxx

yx 33

332

Örnek

0,, dyyxQdxyxP

İntegral Çarpanı

şeklindeki diferansiyel denklemde;

x

Q

y

P

şartı gerçeklenmiyorsa bu denklem tam diferansiyel denklem değildir.

Bu denklem λ(x,y) integrasyon çarpanı ile çarpılarak tam diferansiyel denklem haline

dönüştürülebilir.

TAM DİFERANSİYEL HALE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER

0,.,. dyyxQdxyxP

Qx

Py

x

Q

y

P

Py

Qx

İntegral Çarpanının sadece x’in fonksiyonu olması durumu:

x 0

y

olacağına göre;

x

Q

y

P

PQx

.0

Qdx

d

x

Q

y

P

dxQ

x

Q

y

P

d

Örnek

denkleminin integral çarpanını ve genel çözümünü

bulunuz. 02343 223 dyxyxdxyxy

yxyyxP 43),( 3

xyxyxQ 23),( 22

49),( 2

xy

y

yxP

26),( 2

xy

x

yxQ

olduğuna göre verilen denklem

tam dif. denk. değildir.

dxx

dx

xyx

xyxydx

Q

x

Q

y

P

d 1

23

2649

22

22

dxx

d 1

x

02343 223 dyxyxxdxyxyx

02343 22332 dyxyxdxxyyx denklemi tam diferansiyel denklemdir.

dxxyyxyx 43),( 32

)(2),( 233 yfyxyxyx

),(),(

yxQy

yx

223233

23)(2

xyxy

yfyxyx

223223 23)('23 xyxyfxyx 0)(' yf Cyf )(

Cyxyx 233 2

Genel çözüm:

İntegral Çarpanının sadece y’nin fonksiyonu olması durumu:

y 0

x

olacağına göre;

x

Q

y

P

Py

Q

.0

Pdy

d

x

Q

y

P

dyP

x

Q

y

P

d

Örnek

denkleminin integral çarpanını ve genel çözümünü

bulunuz. 0323

2 dyxydxyxy

yxyyxP 23),(

23),( xyyxQ

yxy

yxP43

),(

xyx

yxQ66

),(

olduğuna göre verilen denklem

tam dif. denk. değildir.

dyy

d 1

y

dyy

dyyxy

xyyxdy

P

x

Q

y

P

d 1

23

66432

denklemi tam diferansiyel denklemdir.

dxyxyyx 32 23),(

)(22

3),( 322 yfxyyxyx

),(),(

yxQy

yx

2

322

3

)(22

3

xyyy

yfxyyx

yxxyyyfxyyx 22322 363)('63 33)(' yyf Cyyf 4

4

3)(

Genel çözüm:

032322 dyxyydxyxy

Cyxyyx 4322

4

32

2

3

y

)(')( xhyxgyxf

1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

şeklindeki diferansiyel denkleme lineer denir.

Bu denklem f(x) ile bölünürse:

şeklindeki genel lineer denklem formu elde edilir.

Bu tipteki denklemlerin çözümünde üç ayrı yol izlenir:

LİNEER DENKLEMLER

)(' xQyxPy

A) y=uv dönüşümü ile çözüm

B) µ=µ(x) şeklinde x’e bağlı integrasyon çarpanı ile çözümü

C) Sabitin değişimi metodu ile çözüm: C(x)

Örnek

denkleminin genel çözümünü y=uv dönüşümü ile bulunuz. xxyy 2cottan.'

uvy ''' uvvuy

0cottan.'' 2 xxuvuvvu

0cot'tan' 2 xuvvxuu

0

0tan' xuu dxxu

du.tan

xu cos

0cot' 2 xuv

0cotcos' 2 xxv

xCv

sin

1

xx

Cuvy cossin

1

A) y=uv dönüşümü ile çözüm:

Örnek

denkleminin genel çözümünü y=uv dönüşümü ile bulunuz. xyxy '

uvy ''' uvvuy

xuvxuvvu ''

xuvvuxu ''

0

0' uxu xdxu

du

2

2x

eu

0'2

2

xvex

0' 2

2

x

xev

Cevx

2

2

Ceeuvyxx

22

22

Örnek

denkleminin genel çözümünü µ=µ(x) integrasyon çarpanı ile

bulunuz. 22 2'1 xxyyx

021 22 dxxxydyx

Genel çözüm:

PdxxμdxexQCey xμxμ )( )( )()(

11

2'

2

2

2

x

xy

x

xy )(' xQyxPy

dxex

xCey

dxx

xdx

x

x

1

2

2

2

1

222

1

dxe

x

xeCey xxx 1ln

2

21ln1ln 222

1

dxxxx

Cy 2

22 1

1

1

131 2

3

2

x

x

x

Cy

B) µ=µ(x) şeklinde x’e bağlı integrasyon çarpanı ile çözümü:

Örnek

denkleminin genel çözümünü sabitin değişimi metodu ile bulunuz. 2

2' xexyy

Öncelikle denklemin sağ tarafsız çözümü bulunur:

02' xyy xdxy

dy2 Cxy 2ln

2xCey

Daha sonra C sabiti C(x) şeklinde seçilerek:

2xexCy

22

2'' xx exCexCy

2222

22' xxxx eexxCexxCexC 22

' xx eexC

1' xC AxxC

Genel çözüm: 2xeAxy

C) Sabitin değişimi metodu ile çözüm: C(x)

Örnek

denkleminin genel çözümünü sabitin değişimi metodu ile bulunuz. 1

1

1

1'

22

xy

xy

Öncelikle denklemin sağ tarafsız çözümü bulunur:

01

1'

2

y

xy

12

x

dx

y

dyCxy arctanln

xCey arctan

Daha sonra C sabiti C(x) şeklinde seçilerek:

xexCy arctan xx exCx

exCy arctan

2

arctan

1

1''

1

1

1

1

1

1'

2

arctan

2

arctan

2

arctan

xexC

xexC

xexC xxx

1

1'

2

arctan

xexC x

xex

xC arctan

2 1

1'

AexC x arctan

Genel çözüm: 1arctanarctanarctan xxx AeeAey