Uvod u matematičku logiku

Postoji potpuna analogija između govornog i matematičkog jezika, oba imaju svoju sintaksu (nauku koja se bavi formiranjem jezičkih konstrukcija na propisan način) i semantiku (nauku koja se bavi značenjem jezičkih konstrukcija).Osnovni pojmovi svakog jezika su: simboli i konstrukcije formirane od njih – reči i rečenice.Matematički simboli:

konstante a,b,c,....,0,1,2,...,9 promenljive x,y,z, ... operacijski znaci:

a) algebarski +,-,*,/b) skupovni , , c) logički , , ,

relacijski znaci , , Reč u govornom jeziku je niz simbola tako međusobno povezanih da imaju određeno značenje. Matematička reč – izraz je niz konstanti i promenljivih povezanih operacijskim znacima konačan broj puta na propisan načinNa primer:5x+y, a+b, ...Prosta rečenica u govornom jeziku je veza dve imenice glagolom. Matemattička prosta rečenica je veza dva izraza relacijskim znakom tj. izraz1 izraz 2, gde je relacija.Matematička logika proučava tačnost ovakvih rečenicap- rečenica (p)- tačnost rečeniice (p)= T – tačna rečenica (p)= - netačna rečenica

Primer:p: a2+1 0 (p)=T za sve realne brojeveq: a20 (q)= za sve realne brojeve r: a - 18 5 (r)= T za a veće od 23

(r)= za a manje od 23

Def. 1: Prosta matematička rečenica čija se tačnost ne menja u zavisnosti od promenljivih koje u njoj učestvuju je iskaz.Def. 2: Matematička rečenica čija se tačnost menja u zavisnosti od promenljivih u njoj je matematička formula.

Primer:p: proizvod dva broja je negativan ako su oni različitog znaka i obrnuto (p)=Tq: x * 0 =0 (q)= T za sve realne vrednosti xr: x * 1=x (r)= T za sve realne vrednosti x

Logičke operacije

Konjukcija

Konjukcija iskaza p i q je rečenica koja se piše pq i čita „p i q “ i ima sledeću tablicu istinitosnih vrednosti

T

T T

Konjukcija je dakle tačna isključivo ako su oba iskaza tačna

Disjunkcija

Disjunkcija iskaza p i q je rečenica koja se piše p q i čita „p ili q“ i ima sledeću tablicu istinitosnih vrednosti

T

T T T

T

Negacija

Negacija iskaza p je rečenicakoja se piše kao p i čita „ne p “ ili „nije p“ i ima sledeće vrednosti:Ako je (p)=T onda je p= (p)= onda je p=T

Implikacija

Implikacija iskaza p i q koja se piše p q i čita „ako je p onda je q“ ili „p implicira q“ ili „iz p sledi q“ ima sledeću tablicu istinitosti

T

T T

T Ttj. iz istine ne može da sledi laž

1. Na osnovu datih iskaza p: Srbija je najveća zemlja sveta q: Rusija je veća od Srbije r: Srbija je veća od Indije s: Srbija je veća od Crne Gore ispitati tačnost sledećih rečenica: (qp), (pq), (qs), (rq)

Rešenje:

(p)=, (q)=T, (r)= , (s)=T (qp)= (T)= (pq)= (T)=T (qs)= (TT)=T (rq)= (T)=T

Ekvivalencija

Ekvivalencija iskaza p i q je rečenica koja se piše p q i ima strukturu konjukcije dve suprotne implikacije (pq)( qp) i čita se „p ekvivalentno sa q“ ili „ako je p onda je q“ i „ako je q onda je p“ tj. „p akko q“ i ima sledeću tablicu

T

T T

T

Priopitet izvršavanja logičkih operacija je sledeći:o Negacijao Konjukcija i disjunkcijao Implikacija i ekvivalencija

Prioritet se može remetiti samo zagradama!!!

2. Odrediti tačnost sledećih formula:

a) p qb) ( p q )

Rešenje:a)

p q p p qT T T (T)T () T T T (TT) T T (T)

b)

p q q p q ( p q )T T TT T T T T T T

3.(deseti zadatak iz Veneove zbirke) Dati su iskazi p (1/2 – 1/3)(1/4 - 1/5) =10/3q ½ - 1/3 (1/4 - 1/5) = - 37/6r (1/2 – 1/3) ¼ - 1/5 = 7s ½ - 1/3 ¼ - 1/5 = 2/5

Odrediti njihovu tačnost, pa na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost iskaza:a) (pq) (r s) b) (pq) (ps)c) ((p r) q ) (s r)d) (( r s ) (p s)) qe) (q ( r(s p))) ((pq) (qs))

Rešenje: Kad izračunamo izraze dobijemo da je p T, q T, r , s

a) T daje Tb) T daje Tc) (T T) daje d) (T) T daje T tj. e) (T())( T ) tj. T daje T

12. zadatak iz Veneove zbirke za domaći zadatak

Tautologije

Tautologija je iskazna formula koja je tačna za sve istinitosne vrednosti iskaza koji u njoj učestvuju.

1. Ispitati da li je sledeća iskazna formula tautologija.

p (pq) q

Rešenje:

p q pq p (pq) p (pq) q

T T T T T

T T

T T T

T T

Ova rečenica jeste tautologija

2. Ispitati da li je sledeća iskazna formula tautologija A=((pq)z)((pz)(qz))

Rešenje:L

DI način

p q z pq (pq)z pz qz (pz)(qz) L DT T T T T T T TT T T TT T T T T TT T T T T T T T T T T T T T T T

II način

Metodom suprotne pretpostavke. Neka je A , to je moguće u dva slučaja ako je L=T D= ili ako je L= D=T

a) Neka je L=T D= tj. (pq)z=T (pz)(qz) =

Pogledajmo prvo levu stranu ona ima logičku operaciju koja je tačna samo ako su oba iskaza tačna pa je pq=T z=T , pošto smo zaključili da je z =T ubacimo to u D i dobijamo da je (pT)(qT) = . Pogledajmo sada ove zagrade, obe imaju logičku operaciju kod koje je jedan član tačan pa onda zaključujemo da njihova vrednost zavisi isključivo od tačnosti drugog člana u zagradi pa ćemo onda tako i zapisati pq=, a u L je upravo ovo bilo =T, pa je ovo kontradikcija

b) Neka je L= D=T tj. (pq)z= (pz)(qz) =T

Na levoj strani imamo operaciju koja je netačna u tri slučaja

1 z= i ubacimo ovo u D i dobijamo (p)(q) =T tj. =T što je nemoguće, pa je i ovo kontradikcija

2 pq = , z= T i ubacimo ovo z u D i dobijamo (pT)(qT) =T tj. pq =T što je u kontradikciji sa pretpostavkom u L

3 z= i pq = i dobijamo isto kao u prvom slučaju da je =T što je nemoguće, pa je i ovo kontradikcija

17. zadatak iz Veneove zbirke je za domaći zadatak (na oba načina)

3. (18. zadatak u Veneovoj zbirci) Sastaviiti istinitosne tablice za sledeće iskaze:

a) (pq) q b) (pq) r c) p (qr)

d) p (qr) e) p (qr) f) (pq) r

a), c), d) na času, b), e), f) za domaći zadatak

Rešenje:

a) c)

p q pq (pq) q

T T T T

T T T

T T T

p q r qr p (qr)

T T T T TT T T T T T T T T T

d)

p q r qr p (qr) T T T T TT T TT T TT T T T T T T T

4. (19. zadatak u Veneovoj zbirci) Odrediti istinitosne vrednosti iskaza:

a) (pq) r b) (pq) (qr) c) (pq)(qr)d) (pr)q e) (pq) (p) f) (p(p)) (pp)g) (pr) (p (qr)) h) ((pq) r ) ( pr)i) (pr ) (p (qr))

b), e), f), na času, a), c), d), g), h), i) za domaći zadatak

b)

e)

f)

p q r pq (qr) (pq)(qr)T T T T T T T T TT T T T TT T T T T T T T T T T T T T T T T

p q pq (pq)(p)T T T T T T T TT T T T T T T T

p q p (p(p)) (pp) (p(p))(pp)T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

21. zadatak iz Veneove zbirke za domaći zadatak

Kvantori

Upotrebom govornih reči svaki (bilo koji) i neki (postoji) od formule možemo da napravimo rečenice koje mogu biti tačni ili netačni iskazi.

Primer:x2 =9 je formulap(tačan iskaz): postoje realni brojevi x (za neke realne brojevex) za koje je x2 =9 i pišemo kao: (x)( x2 =9) ili (x)( x x2 =9) q(netačan iskaz): za svaki (bilo koji) realan broj x je x2 =9 tj. pišemo kao (x)( x2 =9) ili (x)( x x2 =9)

- univerzalni kvantor- egzistencijalni kvantor

1. Prevedi date rečenice i odredi njihovu tačnost

a) Svi pripodni brojevi su veći ili jednaki 1b) Postoje prirodni brojevi koji su veći od 3 i manji ili jednaki 8

Rešenje:

a) (xN)(x 1) je tačno jer skup N ima članove 1,2,3,4,5,6,7,.....b) (xN)( x3 x 8 ) je tačno jer ti brojevi postoje i to su brojevi 4,5,6,7,8

Uvek valjane formule

(x) A (x) A (x) A (x) A

Primer:

p: Svi ljudi su dobri tj. (x) A

p : Nisu svi ljudi dobri Postoje ljudi koji nisu dobri tj. (x) A (x) A

q: Postoje loši ljudi (Neki ljudi su loši) q: Svi ljudi su dobri

2. Prevedi na matematički jezik, zatim je negiraj i napiši njoj ekvivalentnu rečenicu:

a) Postoje realni brojevi čiji je kvadrat uvećan za 3 jednak 19b) Svi realni brojevi su takvi da im je kvadrat jednak samom sebi

Rešenje:

a) (x)( x x2 +3=19) (x)( x2 =16) (x)( x =4 x= -4)

(x)( x =4 x= -4) (x) (x =4 x= -4) (x) (x 4 x -4)

b) (x) (x2 =x) (x) (x2 –x =0) (x) (x(x-1)=0) (x) (x=0 x=1)

(x) (x=0 x=1) (x) (x=0 x=1) (x) (x 0 x 1)

3. Postoje prirodni brojevi čiji je kvadrat umanjen za 9 manji od nule

Rešenje: (xN) ( x2 –9 0) (xN) ( (x-3)(x+3) 0) (xN) ((x-30 x+30) (x-30 x+30)) (xN) ((x3 x -3) (x3 x -3)) (xN) (x3 x -3)

p : (xN) (x3 x -3) (xN) (x3 x -3) (xN) (x 3 x -3)

Domaći zadatak: 1. Za sve realne brojeve važi da je kvadrat broja veći od tog broja.

Napisati i negirati2. Za neke prirodne brojeve važi kvadrat binoma 3x-2 tj. (3x-2)2

manji je od proizvoda činilaca 3x’1 i 3x+1 uvećanom za 5.. Napisati p i p

3. Kvadrat binoma 2x-3 manji je od proizvoda činilaca 2x-1 i 2x+1 umanjenom za 2, za sve prirodne brojeve

Skupovi

Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definiše jer je njegovo značenje neposredno jasno. Sačinjavaju ga elementi.

x – elementA – skup A=a, b,...,m.n obeležavanje skupa kad ima konačno mnogo članovaN=1,2,3,4,...,n,n+1,.... beskonačan skup kod koga je poznat način formiranja

elemenata

A=x S(x) skup elemenata x sa osobinom S

Na primer Q=x x=p/q pZ qN NZD(p/q)=1 skup racionalnih brojeva uzajamno prostih i delilac je različit od nule

A = B (x) (( xA x B) (x B xA )) (x) (xA x B)

A

B

A B (x) ( xA x B)

B A (x) (x B xA )

A B B A A = B

= x x x prazan skup

1. (22. u Veneovoj zbirci) Dati su skup S={0,1,2,3} i relacija xS, odrediti x.

Rešenje:

Pošto x pripada skupu S onda on može biti bilo koji broj iz skupa S tj. x=0,1,2,3

2. (23. u Veneovoj zbirci) Dat je skup S={(A,B), ,(1,5),(m,l,V,W)}, odrediti card S

Rešenje:

Kardinalni broj skupa je broj elemenata skupa, pa naš skup S ima 4 elementa

3. (25. u Veneovoj zbirci) Dat je skup P={0,1,2,..9}a) odrediti skupove A i B tako da su njihovi elementi ujedno i elementi skupa P i

da je A={x x 3}, a B={x x 8} b) odrediti skupove A B, B / A

Rešenje:

a) A={3,4,5,6,7,8,9} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8}b) A B={3,4,5,6,7,8} a elementi skupa B razlika A su svi elementi skupa B koji se ne nalaze i u skupu A i to su B / A ={0,1,2}

4. (28. u Veneovoj zbirci) Dati su skupovi A={ x x se sadrži u 12}, B={ x x se sadrži u 20}, C={ x x se sadrži u 32}. Odrediti skupove:

a) A \ (BC)b) A(BC)c) C (AB)d) (AB) \ Ce) A\(B\C)

Rešenje:

A={1,2,3,4,6,12}, B={1,2,4,5,10,20}, C={1,2,4,8,16,32} pa je:

a) BC={1,2,4,5,8,10,16,20,32} A \ (BC)={3,6,12}b) BC={1,2,4} A(BC)={1,2,3,4,6,12}c) AB={1,2,4}, C (AB)={1,2,4,8,,16,32}d) (AB) \ C =

B

A

e) B\C={5,10,20} A\(B\C)={1,2,3,4,6,12}

5. (30. u Veneovoj zbirci) Dati su skupovi: A={a,b,c,d}, B={a,b,4}, C={2,4,c}, D={a,b,3}, E={ 1,b}. Odrediti a,b,c i d znajući da je: B A, C A, D A, E B.

Rešenje:

B A a,b,4a,b,c,d pa je onda c=4 ili d=4C A 2,4,ca,b,c,d pa je a,b ili d jednako 2 i a,b ili d jednako 4 D A a,b,3a,b,c,d pa je c=3 ili d=3 E B 1,ba,b,4 pa je a=1

Sada imamo tri kombinacije:b=2 b=4 c=4 d=4 c=3c=3 d=2

druga kombinacija nije moguća jer ako je c=3 onda je iz B A d=4treća kombinacija nije moguća jer bi onda i b i d morali biti =2 . Onda je:

d=4, b=2, c=3, a=1

6. (31. u Veneovoj zbirci) Dat je skup S={0,1,2,3….,9}. Odrediti skupove A={x xS 2x/(12-x) S } i B={ y yS (y2/2 – y) S }, zatim odrediti skupove: AB, AB, A/B, B/A, i P(A/B).

Rešenje:

A={0,4,6,8,9}, (skup A dobijamo tako što menjamo sve članove skupa S umesto x u jednačini i ako rešenje te jednačine pripada skupu S onda je taj broj element skupa A, na primer uzmemo broj 0 i menjamo u jednačinu 2x/(12-x) i dobijamo broj 0 koji je element skupa S pa je onda to naš prvi člen skupa A i tako dalje nastavimo sa svim brojevima skupa S)B={0,2,4}

AB={0,2,4,6,8,9} A/B={6,8,9} AB={0,4} B/A={2}

P(A/B) ={,{6},{8},{9},{6,8},{6,9},{8,9}, {6,8,9}}32. zadatak u Veneovoj zbirci je za domaći

7. (33. u Veneovoj zbirci) Ako je P Q ={a,b,c,d,e,f,g,h}, PQ={c,f,h}, P{c,d,f}={a,c,d,f,g,h}, Q{a,f,h}={a,b,c,d,e,f,h}, odrediti skupove P i Q.

Rešenje:

c,f,h pripadaju skupovima P i Qa,g pripadaju P i d možda pripada Pb,c,d,e pripadaju Q i a možda pripada Qpošto d pripada Q onda jer nije u preseku P i Q on ne može pripadati P, isto zaključujemo i da a ne pripada Q pa suP={a,c,f,g,h}Q={b,c,d,,e,f,h}

34. zadatak u Veneovoj zbirci je za domaći

Skupovne operacije

A B

A B = x xA x B A B = x xA x B A B = x xA x B A B

Zakoni skupovnih operacija

A B = B A

A B = B A A (B C) = (A B) C

komutativnost preseka i unije važi jer su konjukcije i disjunkcije komutativne

asocijativnost preseka i unije važi jer su konjukcija i disjunkcija asocijativne

A (B C ) = (A B) C

A (B C ) = (A B) (A C) distributivnost unije i preseka

A (B C) = (A B) (A C) distributivnost preseka i unije

A A =

A =A A A =AA = A A = A

Skupovne jednakosti

1. Proveri jednakost:A (B C) = (A B) C

L D

L : (x) ( xA ( B C )) (x) ( xA x ( B C )) (x) ( xA (x B x C )) (x) ( (xA x B) x C )

D : (x) ( x (A B) C) (x) ( x (A B) x C ) (x) ( (xA x B) x C ) Onda važi da je L D

2. (37 zadatak u Veneovoj zbirci) Dati su skupovi A={1,3,4,6,7,8}, B={1,2,3,5,8,9}. Odrediti A B

Rešenje:

To znači da tražimo skup koji je unija razlika A od B i B od APa je A/B={4,6,7} B/A={2,5,9} A B ={2,4,5,6,7,9}

3. (38. zadatak u Veneovoj zbirci) Odrediti elemente skupova A,B,C ako je ABC ={1,2,3,4,5,6}, (AC) (BC)=, A/B={1,3,5} C/B={2,4} i (A B)/C ={6}

Rešenje:

1,3,5 su elementi skupa A i nisu elementi skupa B2,4 su elementi skupa C i nisu elementi skupa B6 je element skupova A i B i nije element skupa CZnači da skup B ima samo jedan element tj. broj 6, B={6}Pošto je unija prazan skup onda ovi preseci nemaju nijedan član tj. skupovi A i C nemaju iste članove kao ni skupovi B i CPa je A={1,3,5,6}, C={2,4}

4. (41. zadatak u Veneovoj zbirci) Dati su skupovi A={ x x je delilac broja 12}, B={ x x je delilac broja 18}, C={ x x je delilac broja 30}.Izračunati:

a) A/(BC) i pokazati da važi A/(BC)=(A/B)/C=(A/C)/B=(A/B) (A/C)b) (AB)/C=(A/C) (B/C)c) (AB)/C=(A/C) (B/C)

Rešenje:

A={1,2,3,4,6,12}, B={1,2,3,6,9,18}, C={1,2,3,5,6,10,15,30}

a) BC={ 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30} A/(BC) ={4,12} A/B= {4,12} (A/B)/C ={4,12} A/C ={4,12} (A/B) (A/C) ={4,12}b) AB ={1,2,3,6} (AB)/C = B/C ={9,18} (A/C) (B/C)= c) AB ={1,2,3,4,6,9,12,18} (AB)/C ={4,9,12,18} (A/C) (B/C) ={4,9,12,18}

5. (43. zadatak u Veneovoj zbirci) Koristeći definicije operacija sa skupovima dokazati skupovnu jednakost A/(B/C)=(A/B) (AC)

Rešenje:

x A/(B/C) tj. x A i x B/C (x A (x B/C)) (x A (x B x C))(x A ( xB xC))( x A xB) (x A xC)

x (A/B) (AC)

6. (47. zadatak u Veneovoj zbirci) U jednoj školi 330 učenika uči francuski, 470 učenika uči engleski, 420 učenika uči ruski, 140 učenika uči francuski i engleski, 180 francuski i ruski, 250 engleski i ruski, a 120 učenika engleski, francuski i ruski. Koliko je učenika u toj školi?

Rešenje:

card(F)=330, card (E)=470, card(R)=420, card (FE)=140, card (FR)=180, card(ER)=250, card(EFR)=120card (EFR)=330+470+420-140-180-250+120=770

Dekartov proizvod skupova

a,b - dvočlani skup(a,b) - uređeni par

a,b = b,a

(a,b) (b,a)

(a,b) = (c,d) (a=c b=d)

Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova sa osobinom da prvi element uređenog para pripada prvom skupu, a drugi element uređenog para pripada drugom skupu. A B = (a,b) aA bB

Dekartov proizvod nije komutativna operacija jer je (a,b) (b,a)

1. Formiraj skupove ako je zadat njihov Dekartov proizvod

A B = (x,3),(y,2),(x,a),(y,3),(y,a),(x,2)

Rešenje:

A= x,yB= 3,2,a

59. zadatak u Veneovoj zbirci je za domaći zadatak

69. zadatak u Veneovoj zbirci je za domaći zadatak

Relacija

Relacija je bilo koji podskup dekartovog proizvoda (dakle, relacija je takođe skup uređenih parova sa zadatom vezom između elemenata).

A B

Primeri:

A=1,2,3,4B=3,4,5,6

= (a,b) a+b 6

= (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(3,3)

= (a,b) 3/ (a+b)

= (1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,4),(4,6)

1. ( 81. zadatak u Veneovoj zbirci) Dat je skup A={1,2,3,4,5,6} i u njemu je definisana relacija : (x,y)A : x y y= x+1. Odrediti elemente relacije i prikazati grafički u skupu A2.

Rešenje:

U relaciji je doyvoljeno da se jednom elenentu prvog skupa pridruži više elemenata drugog skupa

Za x=1 dobijamo da je y=2Za x=2 dobijamo y=3x=3 y=4x=4 y =5x=5 y=6x=6 y=7, ali y mora takođe pripadati skupu A pa ovaj par ne zadovoljava našu relacijupa su parovi elemenata (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)

2. (83. u Veneovoj zbirci) U skupu M={0,1,2,….10} odrediti releciju definisanu na sledeći način: (x,y)M: x y x+y=10.

Rešenje:

(0,10), (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,0)

Refleksivnost

x x tj. x je u relaciji sa samim sobom

Simetričnost

x y y x Ako neka relacija ima tu osobinu onda je ona simetrična

Antisimetričnost

x y y x y=x

Ako je x u relaciji sa y i y u relaciji sa x onda je y=x

Tranzitivnost

x y y z x z

Relacija je relacija ekvivalencije ukoliko ima osobine R,S,T

RST- relacija ekvivalencijeRAT – relacija poretka

Primer:

Proveriti da li je relacija : biti paralelan sa, relacija ekvivalencije ili poretka Rešenje:

R: x x TS: x y = y x TT: x y y z x z TA: x y y x y=x (sem u slučaju kad se x i y poklapaju)

1. (85. zadatak u Veneovoj zbirci) U skupu A ={-1,0,1} definisana je relacija na sledeći način: (x,y)A: x y x3=y3. Da li je relacija refleksivna?

Rešenje:

(-1,-1),(0,0),(1,1)

Refleksivnost:xAxxPa je onda naša relacija po tom kriterijumu refleksivna

2. (86. zadatak u Veneovoj zbirci) U skupu S={x xN x 12}definisana je relacija na sledeći način (x,y)S: x y 3 (x-y). Pokazati da je relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i odgovarajući količnički skup.

Rešenje:

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}Relacija onda ima elemente: (4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6),(10,7),(11,8),(12,9),(7,1),(8,2),(9,3),(10,4),(11,5),(12,6), (10,1),(11,2),(12,3)

1) Refleksivnost: relacija je refleksivna jer xSxx sledi da je 3 (x-x) tj. 3 0 što je tačno jer je nula deljiva sa svakim brojem takoda i 3 deli 0

2) simetričnost : neka su a, b elementi iz skupa A, ako je aRb tada je i bRa Ispitajmo da li to važi:

Ako 3 (x-y) onda to znači da je x-y=3k, ako sada ovu jednakost malo izmenimo (da bi dobili jednakost za y x ) tj. pomnožimo sve sa -1 dobijamo:-(x-y)= - 3ky-x= - 3ky-x=3 (-k)pa važi 3 (y-x) čime je zadovoljena simetričnost 3) nedostaje nam još tranzitivnost da bi ovo bila relacija ekvivalencije: neka su a, b, c elementi iz A, ako je aRb i bRc tada je aRc pa ispitajmo još da li je i ona zadovoljena tj. 3 (x-y) 3 (y-z) onda je x-y=3k i z-y=3m Onda je x-z=(dodajmo i oduzmimo y) = x-y+y-z = 3k - 3m= 3(k-m)=3n pa sledi da je

3 x-z čime smo dokazali i tranzitivnost

Funkcija

Je podskup dekartovog proizvoda (relacija sa osobinom): svakom elementu prvog skupa u drugom odgovara tačno jedan element.

Primer:

A= 1,2,x,yB= a,b

f= (1,a),(2,b),(x,a),(y,b)

=(1,a),(1,b),(x,a),(2,b) - nije funkcija

Preslikavanje

A= 1,2,3,4 B= a,b

A B = (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)

A B = {(1,a),(2,b),(3,a),(3,b)} element 3 iz skupa A preslikava se u dva (više od jednog ) elementa skupa B

f

f= (1,a),(2,a),(3,b),(4,a)Moguće je da se desi da je neki učenik iz 17 u trenutku slikanja bolestan tako

da on nema svoju sliku u skupu B, takođe postoji mogućnost da se sa učenicima slika i neko ko nije iz tog odeljenja pa on nema svoj „original “ u skupu A

„1-1“ ( x1,x2 A) (x1 x2 f(x1) f(x2))

Svaka dva različita originala imaju različite slike

„na“ ( y B ) (1 x A ) y = f(x)

Svakoj slici skupa B u skupu A odgovara tačno jedan original

Bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje) je funkcija koja je istovremeno preslikavanje i „1-1“ i „na“

1. (95. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) Data je funkcija f(x)=3x-2. Dokazati da je preslikavanje dato ovom formulom jedan-jedan i na.

Rešenje:

Preslikavanje je jedan –jedan ako različitim likovima odgovaraju različite slike tj. x1 x 2 f(x1) f(x2) To čemo dokazati tako što ćemo dokazati da je tačna negacija ove tvrdnje tj.

f(x1) = f(x2) x1 = x 2 onda je 3x1-2=3x2-2 tj. 3x1=3x2tj. x1=x2onda je ovo preslikavanje 1-1Preslikavanje je “na“ ako je svaki element a jednog skupa slika bar jednog realnog broja x, tj. aR,(xR)f(x)=a.f(x)=a tj. 3x-2=ax=(a+2)/3 i proverimo da li je a=f(x)tj. f(x)=f((a+2)/3)=3(a+2)/3 -2 =a

2. (96. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) Dokazati da su bijektivna (1-1 i na) preslikavanja:a) f(x)=4x-1b) f(x)=5x-6c) f(x)=3/4x-2/3

Rešenje:

4x1-1=4x2-1 tj. x1=x2 pa je 1-1f(x)=a tj. a=4x-1 tj. x=(a+1)/4 f(x)=4(a+1)/4-1=a i c) identično se radi

Složeno preslikavanje

f : A Bg: B C

g f : A C tj. x g(f(x))

(g f) (x) = g (f(x))

(f g) (x) = f(g(x))

Preslikavanje u opštem slučaju nije komutativno jer (f g) (x) (g f) (x).

1. (91. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) U skupu R data su preslikavanja: f: x3x+5 i g:x4x+6. Izračunati:

a) (f g)(6)b) (f g) (m)c) (g f)(6)d) (g f)(m)

Rešenje:

a) (f g)(6)= f(g(6))=f(4*6+6)=f(30)=3*30+5=95b) (f g) (m)= f(g(m))=f(4m+6)=3(4m+6)+5=12m+23c) (g f)(6)=g(f(6))=g(3*6+5)=g(23)=4*23+6=98d) (g f)(m)= g(f(m))=g(3m+5)=4(3m+5)+6=12m+26

2. (92. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) Preslikavanja f i g, RR definisana su sa f(x)=x2-4x+5 i g(x)=3x-4. Odrediti: a) f2b) g2c) f gd) g f

Rešenje:

f2=f(f(x))=f(x2-4x+5)=( x2-4x+5)2-4(x2-4x+5)+5

g2=g(g(x))=g(3x-4)=3(3x-4)-4

f g= f(g(x))=f(3x-4)=(3x-4)2-4(3x-4)+5

g f= g(f)=g(x2-4x+5)=3(x2-4x+5)-4

3. (100. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) Dato je preslikavanje f(1)=3,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=4. Odrediti:a) f f = f2b) f f f=f3c) f f f f=f4

Rešenje:

a) (f f)(1)=f(f(1))=f(3)=2 (f f)(2)=f(f(2))=f(1)=3 (f f)(3)=f(f(3))=f(2)=1 (f f)(4)=f(f(4))=f(5)=4 (f f)(5)=f(f(5))=f(4)=5

b) (f f f)(1)=f(2)=1 (f f f)(2)=f(3)=2 (f f f)(3)=f(1)=3 (f f f)(4)=f(4)=5 (f f f)(5)=f(5)=4

c) (f f f f)(1)=f(1)=3(f f f f)(2)=f(2)=1(f f f f)(3)=f(3)=2(f f f f)(4)=f(5)=4

(f f f f)(5)=f(4)=5

4. (101. zadatak u Veneovoj zbirci zadataka) Date su funkcije f(1)=2,f(2)=1,f(3)=4,f(4)=3 i g(1)=3,g(2)=1,g(3)=2,g(4)=1. Odrediti:a) f gb) g fc) f2 g

Rešenje:

a) (f g)(1)=f(g(1))=f(3)=4 (f g)(2)=f(g(2))=f(1)=2 (f g)(3)=f(g(3))=f(2)=1 (f g)(4)=f(g(4))=f(1)=2

b) (g f)(1)=g(f(1))=g(2)=1 (g f)(2)=g(f(2))=g(1)=3 (g f)(3)=g(f(3))=g(4)=1 (g f)(4)=g(f(4))=g(3)=2

c) (f2 g)(1)=f(f(g(1)))=f(f(3))=f(4)=3 (f2 g)(2)= f(f(g(2)))=f(f(1))=f(2)=1 (f2 g)(3)= f(f(g(3)))=f(f(2))=f(1)=2 (f2 g)(4)= f(f(g(4)))=f(f(1))=f(2)=1

Inverzna funkcija

Bijekcija f : A B f -1 : BAx f(x) f -1 (f(x)) x

(f -1 f) (x) = f -1 (f (x)) =x

Ako je funkcija f bijekcija koja skup A preslikava u skup B onda postoji njoj inverzna funkcija f -1 koja skup B preslikava u skup A sa osobinom (f -1 f) (x) =x

1. Odrediti inverznu funkciju datoj f(x) = 3x+5

Rešenje:

-3x= -f(x) +5 x= (f(x)-5) / 3Pa je f -1 (x)= (x-5) / 3

2. (102. zadatak u Veneovoj zbirci) Date su funkcije: xf(x)=3x-5 i xg(x)=5x-3. Odrediti:a) f-1(x) i g-1(x)b) f g i g fc) f -1 g-1 i f-1 g

Rešenje:

a) f-1(x)=(x+5)/3 g-1(x)=(x+3)/5b) (f g)(x) =f(g(x))=f(5x-3)=3(5x-3)-5=15x-14 (g f)(x)=g(f(x))=g(3x-5)=5(3x-5)-3=15x-28c) (f -1 g-1 )(x)= f-1 ((x+3)/5)= 3/5(x+3)-5 (f-1 g)(x)= f-1 (5x-3)=(5x-3+5)/3

3. (103. u Veneovoj zbirci zadataka ) Ako je:a) f(x+1)=5x-3b) f(2x-3)=3x+1c) f(3-2x)=2x+5d) f(1-x)=3-2x , odrediti f(x).

a) smena: x+1=t x =t-1

f ( t ) = 5 (t-1)-3 = 5t -5-3=5t-8 pa je f(x) = 5x-8

c) smena: 3-2x=t -2x = t-3 2x = 3-t x= (3-t) / 2

f ( t ) = 2* (3-t) / 2 +5 = 3-t +5 =8-t pa je f(x) = 8-x

b) i d) su za domaći rad kao i 104. zadatak iz Veneove zbirke