Matematički fakultet

Beograd

Seminarski rad iz metodike nastavematematike II

Tema:Uvod u geometriju

Profesor: Zoran Lučić Student: Džemić Džemail

Br.indeksa: 428/06.

1

Sadržaj:1. Uvod......................................................................................................................................... 3

2.Osnovni i izvedeni pojmovi geometrije..................................................................................... 4

3.Aksiome pripadanja.................................................................................................................. 5

4.Paralelnost................................................................................................................................ 8

5.Raspored tačaka...................................................................................................................... 12

6.Aksiome rasporeda.................................................................................................................. 15

7.Literatura................................................................................................................................. 16

2

1.U V O D

Kad se pomene reč geometrija, ona danas pre svega asocira na tačke, prave krugove, mnogouglove, njihove osobine i međusobne odnose, zatim na ravni, geometrijska tela itd.

Aristotel, učenik Platonove škole razradio je ideju da se svaki novi pojam definiše pomoću poznatog bliskog pojma i karakteristične razlike. Ovaj princip je bio naučno priznat i jedini korišćen u nauci u sledećih 2000 godina.

U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo. Oko 300.godine p.n.e. pojavilo se inzvanredno delo Elementi, koje je napisao grčki matematičar Euklid.

Izgledalo je da je geometrija sa Elementima dostigla savršenstvo, ali ubzo su uočeni neki nedostaci i nesavršenosti, iako je takva geometrija savršeno odslikavala konačan prostor. Jedan od nedostataka Elemenataa bilo je nastojanje Euklida da se definiše sve. Na primer: “Tačka je ono čiji je deo ništa“ ili : “Prava je linija jednako postavljena u odnosu na sve svoje tačke“. Tako dolazi do nelogičnosti pa se pri definisanju koristi pojmovima koji nisu ranije uvedeni, kao „deo“, „linija“, „dužina“, „širina“ i sl.

Kasnije su Elementi i dalje analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju su privlačili postulati i aksiome.

U prvoj polovini prošlog veka (1826.godine) Lobačevski, profesor Kazanskog univerziteta objavio je svoje zaključke o V postulatu. On je pokazao, ako se V postulat zameni tvrđenjem da se kroz datu tačku van date prave u istoj ravni mogu povući dve prave koje ne seku datu pravu, tada se dobija jedna sasvim nova geometrija u kojoj nema nelogičnosti, mada su zaključci sa stanovišta očiglednosti veoma neobični.

Zahvaljujući otkriću Lobačevskog, međutim, došlo se do zaključka da „objekti“, koji se nazivaju tačkama, pravim i ravnima, ne moraju biti baš onakvi kakvim ih je opisao Euklid i kakvim se zamišljaju. Ovi objekti mogu biti proizvoljni, sa jednim ograničenjem – da ispunjavaju zahteve aksioma i postulata. Ni aksiome ne moraju biti najjednostavnija tvrđenja ni osobine „sto posto“ očigledne. Tako se dolazi do geometrije u kojoj tačka nije „ono čiji je deo ništa“, već je ona uređena n-torka nealnih brojeva:(X1,X2,...Xn).

2.Osnovni i izvedeni pojmovi geometrije

3

Deduktivno zasnivanje geometrije podrazumeva da se unapred raspolaže nekim osnovnimpojmovima, pomoću kojih se uvode (definišu) novi izvedeni pojmovi. U strogo deduktivno zasnovanoj teoriji nastoji se da broj osnovnih pojmova bude minimalan.

Polazimo od osnovnih objekata i osnovnih relacija.

1)Osnovni objekti su: tačka, prava i ravan

2)Osnovne relacije su: biti između i biti podudaran.

Mada se ovi pojmovi ne definišu, o njima postoji uobičajena intuitivna predstava.

Definicija 1. Skup svih tačaka je trofimenzinalni prostor, koji se označava sa E3.

Tačke su elementi trodimenzionalnog prostora, označene velikim slivima latinice:A, B, C,..., P, Q,...

Prave su podskupovi prostora koji se označavaju malim slovima latinice:a, b, c,..., p, q,..., a u određenim slučajevima može se dogovoriti i drugi način označavanja.

Ravni su takođe podskupovi prostora. One se označavaju grčkim slovima α, β, γ,...π, ρ,..., unekim slučajevima, koriste se i drugačije oznake.

Ponekad treba znati da li određena prava ili odrešena ravan, kao podskup prostora sadrži ili ne sadrži određene tačke. Za tačke koje su elementi jedne prave (pripadaju jednoj pravoj) kaže se da su kolinearne, a za tačke koje su elementi jedne ravni (pripadaju jednoj ravni) da su komplanarne.

Definicija 2. Neprazan skup tačaka naziva se geometrijska figura ili prosto figura.

Ako dva skupa (dakle i dve figure) nemaju zajedničkih tačaka, onda se kaže da su oni disjunktni.

Osnovne relacije „biti između“ i „biti podudaran“ jesu relacije među tačkama.

Relacija između je troelementna relacija pa se, na primer, za tačke A, B, C, ako je tačka B između A i C, to označava sa: A-B-C.

Relacija podudarno je četvoroelementna relacija, kojom se upoređuju parovi tačaka. Tako se za

tačke A, B, C, D, ako su, na primer, parovi i u toj relaciji, piše (čita

se“par tačaka“ je podudaran (ili kongruentan) paru tačaka ).

4

3.Aksiome pripadanja

Ove aksiome se još nazivaju aksiomama veze (prema Hilbertu) ili aksiomama incidentnosti. Iz samog naziva se vidi da se govori o skupovnim vezama osnovnih objekata.

Aksiome pripadanja čini grupa od šest aksioma:

Aksioma 1. Svaka prava sadrži najmanje dve različite tačke. Postoje tri nekolinearne tačke.

Aksioma 2. Svake dve različite tačke određuju jednu pravu.

b) a)

Slika 1.

Aksioma 3. Svake tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan.

a) b)

Slika 2

Na sledećoj slici vidi se kako može odnosno kako ne može. Sa ravan ABC označena je ravan određena sa tri nekolinearne tačke A, B i C.

Aksioma 4. Svaka ravan sadrži najmanje tri tačke. Postoje četiri nekolinearne tačke.

5

Aksioma 5. Svaka prava, koja sa nekom ravni ima zajedničke dve različite tačke,pripada toj ravni.

Na sledećim slikama prikazano je kakav se odnos pretpostavlja odnosno koji nije moguć.

Slika 3

a) b)

c)

Slika 3

Aksioma 6. Ako dve različite ravni imaju jednu zajedničku tačku, onda one imaju tačno jednu zajedničku pravu.

Navedenim aksiomama potpuno su određeni svi skupovni odnosi između tačaka, pravih i ravni. Neke veze ćemo samo opisati (definicijama), a neke dokazati (teoremama).

Definicija 3. Za dve prave a i b kaze se da se seku ako imaju samo jednu zajedničku tačku.

Definicija 4. Ako zajedničke tačke ravni α i β pripadaju samo jednoj pravoj, tada se kaže da se ove ravni seku. Za ravni π i q koje se ne seku kaže se da su paralelne i piše se πІІq.

6

Slika 4

Iz ove definicije proizilazi da su paralelne i ravni koje imaju zajedničku pravu i bar jednu tačku van te prave. Ovaj slučaj će biti jasniji posle dokaza sledećeg stava.

Teorema 1. Prava i tačka van prave odredjuju jednu ravan.

Dokaz. Neka su date prava a i tačka B van prave a. Treba utvrditi da postoji neka ravan α kojoj su a i {B} podskupovi, a zatim da je α jedina ravan sa tom osobinom.

Slika 5 Slika 6

Teorema 2. Dve prave koje se seku odredjuju jednu ravan. Ovo se jednostavno svodi na prethodnu teoremu.

Definicija 5. Ako prava p i ravan β imaju tačno jednu zajedničku tačku, onda se kaže da prava p prodire ravan β ili da ravan β seče pravu p. U protivnom su prava i ravan paralelne.

Slika 7 Slika 8

Teorema 3. Dve različite prave imaju najvise jednu zajedničku tačku.

Dokaz: Prema dosadašnjem izlaganju je jasno da dve različite prave mogu biti disjunktivne,kao m i p ili imaju jednu zajedničku tačku, kao prave a i b na sl. 4.

Neka su m i n različite prave. Koristeći se kontrapozicijom, dokazaćemo da one nemaju više od

jedne zajedničke tačke. To znači, umesto tvrđenja ,

dokazujemo tvrđenje

7

Zaista, ako , onda je na osnovu aksiome 2 tj.onda nije

Primer 1. Dat je skup gde su različite tačke i različite prave.

Koliko najviše ravni mogu odrediti elementi skupa ?

Rešenje. Ako su nelinearne tačke, one prema aksiomi 3 određuju jednu ravan.Ako se

prave i seku, one prema teoremi 3 određuju još jednu ravan. Zatim, prema teoremi 1, prava

može sa svakom od tačaka odrediti po jednu ravan, a to čini jos 3 ravni. Isto toliko

ravni može odrediti i prava sa ovim tačkama. Dakle, određeno je najviše 8 ravni.

Primer 2. U skupu postoje tačno dve trojke kolinearnih tačaka. Koliko

najviše pravih mogu odrediti tačke ovog skupa?

Rešenje. Koristićemo aksiomu 2. Tačka A sa svakom od ostalih šest tačaka određuje najviše po

jednu pravu, a to je ukupno 6 pravih. Zbog toga će ovih 7 tačaka odrediti najvise pravih. (Deli

se sa 2 jer se svaka prava broji po dva puta, na primer, AB, a potom BA). Međutim, ako je, recimo, A, B, C trojka kolinearnih tačaka, onda ove tri tačke određuju jednu pravu, a ne 3 (tj. ne

, što znači za 2. prave manje. Dve ovakve trojke odrediće za 4 prave manje. Određeno je,

dakle, najviše 21-4=17 pravih.

4.Paralelnost

Definicija 6. Prave a i b su paralelne ako je ili ako obe pripadaju jednoj ravni i

(sl.10).

Slika 9 Slika 10

8

Aksioma 7. Za svaku pravu i svaku tačku postoji tačno jedna prava koja sadrži tačku A i

paralelna je pravoj .

Prema definiciji 6, uočavaju se dva različita slučaja:

prvi, ako je , onda je ta jedina paralelna prava:

drugi, ako je A van tada, prema teoremi 1, prava p i tačka A određuju jednu ravan i u ovoj

ravni postoji jedinstvena prava, recimo prava a, takva da i .

Moguća je i drugačija aksiomatika, tako da ima na primer, hiperbolička geometrija u kojoj ako

, onda postoje dve prave koje sadrže A i paralelne su pravoj p, kao i eliptička geometrija, u

kojoj, ako , onda postoje dve prave koje sadrže A i paralelne su pravoj p, kao i eliptička

geometrija, u kojoj, ako , nema prave koja sadrži A i paralelna je sa .

Teorema 4. Dve različite paralelne prave određuju jednu ravan.

Dokaz. Neka su i date paralelne prave, . Iz ove definicije paralelnih pravih

proizilazi da postoji recimo ravan α koja sadrži ove dve prave. Treba još da dokažemo da je α jedina takva ravan.

Prema aksiomi 1, na pravoj α postoje dve tačke, recimo A i C i na pravoj b postoji tačka B (sl.9). Ove tačke su nekolinearne, pa prema aksiomi 3 određuju jednu ravan, recimo α’. Pavan α’ sadrži pravu a (prema aksiomi 5) i pravu b (prema aksiomi paralelnosti), pa je α’ određena pravim a i b. Međutim, i ravan α sadrži tačke A, B, C, pa je, prema aksiomi 3 i α= α’, što potvrđuje da je α jedinstvena ravan koja sadrži a i b.

Teorema 5. Neka su prave koje pripadaju ravni α. Ako su prave i paralelne i ako

seče , tada seče i .

Dokaz. Neka je (sl.11). Prave i su u istoj ravni, pa su ili paralelne ili se seku.

Ne mogu biti paralelne, je bi u tom slučaju postojala dve različite prave, koje sadrže tačku P i

9

bile paralelne sa (to su prave i ). Ovo nije dozvoljeno u aksiomi 7. Prema tome, prave i

se seku.

Slika 11 Slika 12

Definicija 7. Ako ne postoji ravan kojoj pripadaju prave m i n tada se kaže da su prave m i n mimoilazne.

Mimoilazne prave dakle nemaju zajedničkih tačaka.

Teorema 6. Prava b je paralelna ravni α ako i samo ako u ravni α postoji prava koja je paralelna sa b.

Dokaz se sastoji iz dva dela (treba dokazati da je navedeni uslov potreban i dovoljan).

1) Neka je b||a (sl.13). Treba dokazati da u ravni α postoji prava a, takva da je a||b. Ako je ,

tada je a=b. Ako je , uočimo neku tačku A u ravni α. Tada , pa prava b i tačka

A određuju neku ravan β, prema teoremi 1. Ravni α i β imaju zajedničku tačku A, pa prema aksiomi 6 imaju i zajedničku pravu. Dokažimo da je to tražena prava a, tj. Da je ta prava paralelna pravoj b.

Prave a i b su u ravni β i ne mogu se seći, jer bi njihova presečna tačka bila u ravni α, što bi

značilo da se b i a seku, a to je suprotno pretpostavci ( ). Dakle, a i b se ne seku,pa je

a||b.

2) Neka je u ravni α postoji prava a, paralelna sa b. Dokazaćemo da je tada i b||a.

Ako je , onda , pa je b||a po definiciji.

10

Ako je , onda a i b određuju neku ravan β, po teoremi 4. Prava α je zajednička za ravni

α i β. Ako b podire ravan α, onda tačka prodora mora pripadati pravoj α, jer je . Ali u tom

slučaju bi se prave a i b sekle, što je suprotno pretpostavci da . Prema tome, mora biti

b||a po definiciji.

Slika 13 Slika 14

Teorema 7. Relacija paralelnosti na skupu svih pravih je relacija ekvivalencije (RST-relacija).

Dokaz. Refleksivnost. Relacija je refleksivna jer za svaku pravu vazi tj. , po

definiciji.

Simetričnost. Za bilo koje dve prave i jedne ravni, ako je onda je ili .

Na osnovu simetričnosti jednakosti i na osnovu komutativnosti preseka skupova važi ili

, što znači da je .

Tranzitivnost. Neka su tri prave, takve da je . Razlikujemo dva slučaja:

1) su prave jedne ravni

2) Prave ne pripadaju jednoj ravni

11

1) Koristeći kontra poziciju pretpostavimo da a nije paralelno sa c. Onda je , pa

kroz P prolaze dve prave paralelne sa . To nije moguće zbog aksiome paralelnosti, pa se

zaključuje da je .

2) Tranzitivnost u slučaju da prave nisu u jednoj ravni se prihvata bez proveravanja.

Definicija 8. Klasa pravih paralelnih datoj pravoj naziva se pravcem prave . Za paralelne

prave kaže se da imaju isti pravac.

Prema aksiomi paralelnosti, za svaku tačku prostora jednistveno je određena prava datog pravca.

Teorema 8. Ako su i prave koje se seku i koje su paralelne ravni , tada prave i

određuju ravan paralelnu sa .

Teorema 9. Kroz datu tačku B prolazi tačno jedna ravan paralelna datoj ravni .

Teorema 10. Ako je prava b paralelna datoj ravni , tada postoji tačno jedna ravan β koja

sadrži pravu b paralelna je ravni .

Teorema 11. Paralelnost ravni je relacija ekvivalencije na skupu svih ravni.

Dokaz. Refleksivnost i simetričnost se dokazuju slično teoremi 7.

Tranzitivnost. Treba dokazati: ako su ,β i γ tri ravni i pri tome je ||β i β||γ onda je i ||γ.

Ako je =β ili =γ, onda je tvrđenje po definiciji paralelnih ravni.

Ako su tri različite ravni, tvrđenje je tačno na osnovu teoreme 10, jer ako bi se ravni

, sekle po nekoj pravoj, tada bi postojale dve ravni, koje sadrže tu pravu i paralelne

su ravni β.

Primer. Koliko najviše ravni određuju paralelne prave a i b i tri tačke M, N, P?

12

Rešenje. Paralelne prave a i b određuju jednu ravan ako su različite (teorema 4).Tačke M, N, određuju jednu ravan ako su nekolinearne (aksioma 3). Svaka od pravih a i b sa svakom od tačaka M, N i P može odrediti jednu ravan (teorema 1), a to znači najviše šest ravni. Prema tome određeno je najviše osam ravni.

5.Raspored tačaka

Sledeća grupa od pet aksioma rasporeda opisaće osobine ove relacije.

Aksioma 8. Ako je tačka B između tačaka A i C, onda su A, B i C tri različite tačke jedne prave i takođe je tačka B između C i A.

Aksioma 9. Ako su A, B, C tri različite tačke jedne prave, tada je samo jedna od tih tačaka između druge dve.

Ako su A, B, C tri različite kolinearne tačke tada važi samo jedna od tri relacije: A-B-C, A-C-B, B-A-C. Na slici 18 je A-B-C. Ovom askiomom se posebno ističe činjenica da prava nije zatvorena linija.

Slika 15

Aksioma 10. Ako su A i B dve različite tačke, tada postoji tačka C takva da je A-B-C (slika 15)

Aksioma 11. (Pašova aksioma) Ako su A, B i C tri nekolinearne tačke, D tačka između A i B i u ravni ABC prava p, koja sadrži tačku D i ne sadrži nijednu od tačaka A, B, C tada na pravoj p postoji tačka E takva da je B-E-C ili A-E-C.

Teorema 12. Ako su A i B dve različite tačke, tada postoji tačka C između A i B.

Dokaz. Na osnovu aksiome 1 postoji tačka D takva da su A, B i D nekolinearne tačke (slika 16). Sada postoji tačka M na pravoj BD, takva da je B-D-M (aksioma 10), a slično i na pravoj AM postoji tačka P takva da je A-M-P. Sada su A, B i M tri nekolinearne tačke i prava PD,

zbog B-D-M, na osnovu Pašove aksiome, prolazi kroz tačku C, takvu da je A-C-B.

13

Slika 16

Definicija 9. Ako su A, B i C tačke na pravoj p takve da je A-B-C, tada se kaže da su A i C tačke prave p sa raznih strana tačke B (slika 15). Takođe se kaže da su B i C tačke prave p sa iste strane tačke A.

Aksioma 12. Svaka tačka O prave p određuje na ovoj pravoj dva disjunktna podskupa, tako da dve tačke A i B prave p pripadaju istom podskupu ako i samo ako su sa iste strane tačke O (slika 17). Tačka O pri tom ne pripada nijednom od dva podskupa.

Slika 17

Definicija 10. Skup koji sadrži dve različite tačke A i B i sve tačke izmedju A i B zove se duž AB (slika 18). Tačke A i B su krajnje tačke ili krajevi duži. Tačke između tačke A i B su unutrašnje tačke duži.

Slika 18

Definicija 11. Ako je tačka C između A i B tada je duž AB zbir duž i AC i CB, što se označava sa: AB = AC + CB (slika 19).

Slika 19

14

Definicija 12. Skup koji se sastoji od tačke O, prave p i skupa p1 tačaka prave p sa jedne strane tačke O naziva se poluprava (slika 20), koja se označava sa Op1.

Slika 20

Definicija 13. Duž AB kod koje je određeno da je A početna, a B krajnja tačka naziva se

usmerenom duži i označava sa .

Definicija 14. Svaka tačka O prave a definiše na pravoj a dva smera, određena dvema polupravim sa početnom tačkom O. Ako se jedan smer označi sa +, a drugi sa -, tada se dobija orijentisana prava ili osa a (slika 21).

Slika 21

Definicija 15. Prava p ravni α i skup α1 svih tačaka te ravni sa iste strane prave p čine poluravan ravni α sa ivicom p, koja se označava sa pα1 (slika 22).

Slika 22

15

Definicija 16. Ravan α i skup svih tačaka E’3 prostora sa jedne strane te ravni čine poluprostor αE’3. Ravan α je granična ravan ili granica poluprostora αE’3.

6.AKSIOME RASPOREDA

Aksiome rasporeda:

1. Ako je B(A,B,C),tada su A,B,C tri razne kolinearne tačke.

2. Ako je B(A,B,C),tada je B(C,B,A).

3. Ako je B(A,B,C),tada nije B(A,C,B).

4. Ako su A i B dve razne tačke,tada postoji tačka C takva da je B(A,B,C).

5. Ako su A,B,C tri razne kolinearne tačke,tada je B(A,B,C) ili B(B,C,A) ili B(C,A,B).

6. Ako su A,B,C tri nekolinearne tačke i p prava koja pripada ravni ABC,ne sadrži tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj da je B(B,P,C),tada prava p seče pravu CA u tački Q takvoj da je B(C,Q,A) ili pravu AB u tački R takvoj da je B(A,R,B).

Prvih pet aksioma se odnose na geometriju prave i nazivaju seLINEARNIM,a šesta je aksioma rasporeda poznatija kao PAŠOVA AKSIOMA koja se odnosi na geometriju ravni.

Relaciju B zvaćemo relacija između ili relacija poretka tačaka na pravoj,a formulu B(A,B,C) čitamo:tačka B je između tačaka A i C.

7.Literatura1. Zoran Lučić – Ogledi iz antičke geometrije.2. Pavle Miličić. Vladimir Stojanović. Zoran Kadelburg. Branislav Boričić – Matematika za

I razred srednje skole3. Dragomir Lopandić – Geometrija

16