Uvjeti korištenja prezentacije: Autorica: Sonja Banić, prof.

Ovu prezentaciju dozvoljeno je koristiti za rad s učenicima. U tu svrhu dozvoljeno ju je i izmijeniti prema svojim potrebama.

Nije dozvoljeno koristiti i prikazivati ovu prezentaciju na predavanjima, u člancima, knjigama ili objavljivati na CD-u ili internetu. Za te i slične namjene potrebno je tražiti i dobiti pristanak autorice.

SKUPOVISKUPOVI

Skupovi i neka njihova svojstva

Sonja Banić, prof.

Ova prezentacija pomoći će vam da steknete neka osnovna znanja o skupovima.

Podatke koji vam se čine važni možete, ako želite, zapisati u bilježnicu.

Ako želite ići dalje, kliknite na lijevu tipku miša.

Zadatke rješavajte u bilježnicu. Nakon što ste riješilizadatke, možete klikom na lijevu tipku miša provjeritirješenja.

Želim vam ugodan i uspješan rad!

Skup je osnovni matematički pojam koji ne definiramo.

Često smo spominjali skupove brojeva...

skup prirodnih brojeva:N={1,2,3,4,....}

skup parnih brojeva:A={2k : k je cijeli broj}

ili skupove točaka u ravnini:

Kružnica je skup točaka ravnine jednako udaljenih od čvrste točke, središta kružnice.

Skup čine njegovi elementi.

Element skupa je osnovni matematički pojam koji ne definiramo.

Skupove obično označavamo velikim slovima A, B, C,..., a njihove elemente malim a, b, c, d,....

Da je a element skupa A kraće zapisujemo koristeći znak aA (čitamo: a je element skupa A)

Da b nije element skupa A kraće zapisujemo koristećiznak bA (čitamo: b nije element skupa A)

Skup je zadan kada je točno određeno koji elementi čine taj skup.

Skup možemo zadati tako da nabrojimo sve njegove elemente:

A={a, e, i, o, u }

B={2,4,6,8}

Ili možemo odrediti koji elementi pripadaju skupupomoću njihovih svojstava:

B={x | x je paran broj manji od 10}

A={samoglasnik u hrvatskoj abecedi}

ZADATAK1:

a) Zapiši navođenjem elemenata skup A višekratnika broja 3 manjih od 30b) Koje su od sljedećih tvrdnji istinite:

1) 3A 2) 14A 3) 2A 4) 21A

RJEŠENJE:a) A={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}b) 1) da 2) ne 3) da 4) ne

Broj elemenata nekog skupa nazivamo kardinalni broj tog skupa.

Kardinalni broj skupa S označavamo sa|S| ili kS

PRIMJER: A={a, e, i, o, u }, |A| = 5 ili kA = 5

A koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva?

B={2,4,6,8}, |B| = 4 ili kB = 4

Za skupove koji imaju beskonačno mnogo elemenataKažemo da su beskonačni skupovi.

Ako je kardinalni broj skupa S prirodan broj kažemoda je skup S konačan skup ili da ima konačno mnogo elemenata.

Takvi su skupovi N, Z, Q, R i CSvi oni imaju beskonačno mnogo elemenata (ali ne i jednako mnogo elemenata).

Skup koji ne sadrži niti jednan element nazivamoprazan skup i označavamo s Ø . Očito vrijedi: kØ=0

ZADATAK:Odredi kardinalne brojeve sljedećih skupova:1) A={x | x je prirodan broj manji od 10}2) B={x | x je cijeli broj manji od od 10}3) C={x | x je prirodan broj manji od 0}4) D={x | x je cijeli broj veći od -5 i manji od 5}

RJEŠENJE:1) kA=92) Beskonačan skup3) kC=04) kD=9

Da bismo lakše stvorili predodžbu o odnosima među skupovima koje promatramo, prikazujemo ih crtežima.Takav način prikazivanja skupova naziva se Venn-Eulerovi dijagrami.

A

B

u

A

B

u

Za skup A kažemo da je podskup skupa B ako je svaki element skupa A također i element skupa B.

To označavamo s A B.

B

A

Na primjer, skup prirodnihbrojeva je podskup skupacijelih brojeva, N Z.

Primijetimo, svaki skup je podskup samog sebe.

A APrazan skup je podskupsvakog skupa.

Ø A

ZADACI:

1. Je li skup S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} podskup skupa prirodnih brojeva?

2. Neka je A={4, 6, 8, 10}. Jesu li istinite sljedeće tvrdnje: a) {6} A b) {4,5,6} A c) A S d) Ø A

Ne, jer 0 nije prirodan broj.

a) DA b) NE c) NE d) DA

Za bilo koji skup S možemo promatrati skup svih njegovihpodskupova. Taj skup zove se partitivni skup skupa S i

označava se s P (S).

Ispiši sve članove skupa P (S) ako je S={2,3}.

P (S)={Ø, {2}, {3}, {2,3}}

U matematici često promatramo samo podskupove nekogodređenog skupa. Za skup čije podskupove promatramo

kažemo da je univerzalni skup i označavamo ga s u.

Unija skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samooni elementi koji pripadaju ili skupu A ili skupu B ili i skupu A i skupu B.

A B = {x | x A ili x B}

A B

A

B

u

B

u A

Iz definicije se jednostavno vidi da unija skupova ima ova svojstva:

1) A B= B A2) A A B i B A B3) A Ø = A

4) A u = u

ZADATAK:Neka je: A={1,2,3,4}, B={3,4,a,b} i C={a,b,c,d}

Ispiši skupove: 1) A B 2) A C 3) A B CJesu li neki od ovih skupova jednaki?Prikaži ove skupove pomoću Venn - Eulerovih dijagrama.

RJEŠENJE:1) A B = {1,2,3,4,a,b} 2) A C = {1,2,3,4,a,b,c,d}3) A B C ={ 1,2,3,4,a,b,c,d}Jednaki su skupovi A C i A B C

AB

°1

°2

°3

°4

°a

°b°d

C

A B C

°c

A

B

u

Presjek skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su i elementi skupa A i elementi skupa B.

A B = {x | x A i x B}

A

B

u

A B

A B

Iz definicije se jednostavno vidi da presjek skupova ima ova svojstva: 1) A B = B A

2) A B A i A B B3) A Ø = Ø

4) A u = A

A B

ZADATAK:Neka je: A={1,2,3,4}, B={3, 4, a, b} i C={a, b, c, d}Ispiši skupove: 1) A B 2) B C 3) A C

RJEŠENJE:1) A B = {3, 4} 2) B C= {a, b} 3) A C = Ø

Ako skupovi A i B nemaju zajedničkih elemenata tadaje njihov presjek prazan skup.

Za skupove čiji je presjek prazan skup kažemo da Su disjunktni skupovi.Skupovi A i C iz prethodnog zadatka su disjunktni.

A

C

u

ZADATAK: Zadani su skupovi:A={1,2,3,4,5} B={1,3,5,7}

C={x | x je prirodan broj manji od 7}D={x | x je rješenje jednadžbe x2 - 8x + 15 = 0}

Ispiši i nacrtaj skupove:1) A C 2) B D 3) A B C D 4) A B C D

RJEŠENJE:1) A C={1,2,3,4,5}2) B D={3,5}3) A B C D={3,5}4) A B C D={1,2,3,4,5,6,7}

°3°5

°1°7

°2

°4

°6

D

B

A

C

Razlika skupova A i B je skup A\ B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su elementi skupa A i koji nisu elementi skupa B.

A\ B = {x | x A i x B}

BA

uA\ B

BA

uB\A

Uočimo: A\ B B \ A

Kakvi su skupovi A\ B , B \ A i A B međusobno?

Disjunktni!

ZADATAK: Zadani su skupovi:A={1,2,3,4,5} B={1,3,5,7}C={x | x je prirodan broj manji od 7}D={x | x je rješenje jednadžbe x2 - 8x + 15 = 0}Nađi razliku skupova: 1) A\ B 2) B \ A 3) A\ C

4) C \ A 5) (A B) \ D

Rješenja:1) A\ B={2,4} 2) B \ A={7} 3) A\ C= Ø 4) C \ A ={6}5) (A B) \ D={1}

°3°5

°1°7

°2

°4

°6

D

B

A

C

Komplement skupa A je skup AC kojeg čine oni i samo oni

elementi univerzalnog skupa u koji nisu elementi skupa A

AC= u \ A

AC={x | x u i x A} u

A

AC

Uočimo da vrijedi:

1) A AC= u2) A AC= Ø3) (AC)C = A

4) ØC = u5) uC = Ø

ZADATAK:Neka je u ={x | x je prirodan broj manji od 50} i neka su

A = {x | x je prirodan broj manji od 40} i B = {x | x je višekratnik broja 5 manji od 50}Odredi skupove:1) AC

2) A B3) AC \ B4) AC B5) (A B)C

Rješenja:1) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49}2) {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}3) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49}4) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}5) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49}