Student: Nataa Predi 291/02

Uticaj Indije Do sada smo govorili samo o najprimitivnijoj upotrebi brojeva, tj. kao oznaka za prebrojavanje posebnih predmeta, ukljuivi podeoke na skali. Ako usvojimo gledite da je matematika pre svega vetaki pisani jezik koji nam omoguuje da rezonujemo o razliitim vidovima upotrebe brojeva a da pri tom izbegnemo movaru paradoksa i suvinih rei, onda moramo sada ispitati i druge upotrebe brojeva, a ne samo kao obinih oznaka pri brojanju i merenju. Privremeno, definisaemo nau temu u ovoj glavi na sledei nain: kako se brojevi mogu koristiti kao oznake pri manipulisanju brojevima. To ne znai da smo ve sada spremni da govorimo o svim vidovima klasifikacije brojeva koje primenjuju matematiari: o prostim i rednim, negativnim i pozitivnim, razlomcima i celim brojevima, racionalnim i iracionalnim, algebarskim i transcedentnim, realnim i kompleksnim (ovo poslednje je nedavno postalo moderno smatarati brojnim parovima). Ako se zapitamo ta sve oni imaju zajedniko, bie dovoljno rei da je veliki problem znatnog dela matematikog istraivanja tokom proteklog veka, a naroito tokom poslednje polovine veka, upravo bio kako opravdati upotrebu iste rei za sve njih. To se postiglo formulisanjem opte strukture, ire oblasti vaenja, ali saglasne sa praviima sabiranja, oduzimanja i mnoenja kako se ue u koli u skladu sa zahtevima postupka sa prirodnim brojevima. Pomoie nam da shvatimo potrebu za kvalifikacijom brojeva, kao i potrebu za propisivanjem optih pravila koja koristimo pri upotrebi svega onog to nazivamo brojem, ako se najpre udubimo u istoriju ljudskih pokuaja da se stvore znaci za brojeve.

Ova slika iz ranog XVI veka prikazuje jednog oveka koji rauna na nekoj vrsti abakusa, dok drugi rauna koristei indijsko-arapske cifre. Ove cifre, koje se sastoje od devet simbola koji oznaavaju broj zrnaca u

bilo kojoj koloni abakusa i znaka nula da se ounai da je neka kolona prazna, uinile su moguim raunanje na hartiji.

1

Naa pria poinje u samo praskozorje ovekovog ivota na ovoj planeti. Razliiti geografski varijeteti jedinstvene vrste Homo sapiens postoje na njoj ve 25.000 godina. Ono to bi smo ma u kom smislu mogli smatrati matematikom ne postoji due od 5000 godina. Ipak, za prethodnih 20.000 godina, u toku kojih su ljudi skoro sve vreme bili lovci i sakupljai hrane bez trajnih stanita, prikupljeno je mnogo podataka, te je sistem brojnih znakova za manipulisanje ovima postao drutvena nunost kada su ljudi poeli stalno da se nastanjuju pre nekih 10.000 godina. Za sve ono to bismo sa nekom verovatnoom pretpostavili o vremenu, pre toga moramo se osloniti na slike u peinama iz devne starine, kao i na injenice o preistorijskim zajednicama u Nilsonovoj monografiji o primitivnom raunanju vremena.

Stela Maja obino ima piktogramske oznake boanstava, cifre tipa onih koje su prikazane desno i cifre u

vidu lica kao to su prikazane na slici levo. Proste cifre sastoje se od devetnaest simbola i nule.

Iz ovih izvora dobijamo sliku o jednom od najranijih ljudskih problema. Paleolitski nomadi nisu imali ni asovnike ni mape da ih vode u oblasti gde ima dosta voa, ivotinja, ptica i jestivih trava koje klasaju. Njihovi jedini meai bili su mesta sunevog izlaska i zalaska i zvezdana jata na ivici horizonta, a najosetljivija kontrola vremena tokom godine situacija kad izvanredno sjajna zvezda ili zvezdano jato izlazi ili zalazi ba pred zoru ili odmah po sunevom zalasku. Najmudrije starice plemena moda su pamtile koliko je punih meseca proteklo od roenja deteta kome se blii vreme za sveano uvoenje u krug odraslih. Moemo s izvesnou pretpostaviti da se ve na tom stupnju poznavao mesec od 30 dana kao vea vremenska jedinica.

Dnevno kretanje nebeskih tela po prividno poluloptastom nebeskom svodu, polukruno kretanje, u toku noi, zvezda bliskih nebeskom polu, mesta izlaska i zalaska njasjajnijih zvezda i njihov odnos prema sunevom izlasku i zalasku, kao i priblina duina lunarnog meseca na to se svodilo ljudsko znanje astronomije i hronologije sve do pojave stalnih naselja stoara i ratara. Tada velika ljudska potreba nalazi istovremeno motiv, sredstva i pogodnu priliku za realizaciju. Solarni (sunev) kalendar je neophodan za regulisanje ekonomije koja zavisi od godinjih doba. Tek kad ive stalno na jednom mestu, ljudi mogu posmatrati promene senke koju baca kolac osvetljen suncem, ili promene mesta sunevog izlaska i zalaska tokom godinjih doba. Zbog toga nova okolina izaziva potrebu za usklaivanjem lunarnog i solarnog raunanja vremena. Realna potreba za kalendarom koji e biti u skladu sa godinjim dobima bila je jo pojaana imaginarnim razlozima: nunou da se umilostive nebeski stanovnici i eljom da se ouvaju nepromenljive ceremonije uvoenja

2

mladia u ivot odraslih lanova plemena. Poto privatne svojine nije bilo, brojanje stoke u stadu nije izgledalo vano. Uostalom, stoka stoji mirno i dozvoljava da se broji. Dani su drugaiji. Vreme leti i postoji granica preko koje ak ni najmudriji lanovi plemena vie ne pamte dogaaje.

Oznake za brojeve javljaju se sa leve strane svake kolone ovog vavilonskog kalendara, koji belei srene i

nesrene dane. Astronomi su konzistentno upotrebljavali bazu 60, ali su koristili znake za brojeve repetitivno sve do devet puta. Svaki znak predstavlja razliite vrednosti u razliitom kontekstu

Tri su okolnosti iz kojih moemo sa prilinom sigurnou da zakljuimo kako je sve to poelo. Prva je: ono to nazivamo pismom kulture Maja sastoji se samo od simbola za brojeve i piktograma kalendarskih boanstva. Druga je: istaknuta uloga primitivne astronomije u najranijim zapisima starijih mediteranskih civilizacija. Trea, koja nam moda najvie kazuje, je princip ponavljanja (repetitivni princip), koji ilustruju poznati rimski brojevi MMMM (4000), CCC (300), XX (20), III (3), a koji je uoljiv u egipatskim, mesopotamijskim, fenianskim znacima za brojeve kao i u simbolima naroda Maje. On se nastavlja i u kineskim znacima za brojeve, kao i u ranim indijskim oblicima cifara.

Od ovih kineskih cifara koje se obino koriste u raunovodstvu, tri jo uvek koriste repetitivni sistem

Ako je naa dosadanja rekonstrukcija daleke prolosti ispravna, nije beznaajno napomenuti na ovom stupnju da je upotreba celih brojeva kao rednih brojeva za oznaavanje toka vremena prvobitno mnogo vanija nego njihova upotreba za prebrojavanje ulovljenih ivotinja koje su pripadale celom plemenu. Bilo kako bilo, za sve nae pretpostavke moramo imati u vidu sredstva kojima je ovek raspolagao za ostvarenje ovog cilja. Prvi korak predstavlja urezivanje oznaka svaki dan u stub ili deblo drveta da bi se zabeleilo proticanje vremena. I ovde izuavanje spomenika Maja i

3

Tolteka, mada daleko mlae od egipatskih i vavilonskih spomenika iz 3000. godine pre n. e. Potvruje ono to pretpostavljamo na osnovu drugih podataka. Svake 52 godine graditelji hrama dodavali su novi sloj stepenastoj piramidi Zmije, blizu Meksiko-Sitija. Moemo pretpostaviti da je sledei stupanj u nastajanju pisanih spomenika (neu kojima su se nali i peati prvobitno poezani sa ivotinjom-totemom koja je rtvovana nekog od kljunih dana primitivnog kalendara), predstavljalo grupisanje zareza radi utede prostora. Po svojoj prilici su uvari kalendara smatrali pogodnim da grupiu oznake urezane u kamenu ili drvenom stubu na sledei nain, kako bi oznaili da je proteklo 27 dana:

Tokom vremena, kasniji zapis takvog dogaaja mogao bi dobiti stilizovaniji oblik, tako da bi nekoliko milenijuma kasnije Cezar, ili pre Cezarov rob, taj isti broj zapisao ovako:

Ovde se javljaju dva mogua reenja. Najee je grupa koju danas zovemo baza, neki umnoak od pet - koliko ima prstiju na jednoj ruci. Veina naroda sveta, kao i Egipani, koriste 10; Rimljani kao to znamo upotrebljavali su i 5 (V) i 10 (X). Maje su koristii 20, tj. broj prstiju na rukama i nogama, ali uz jedno upadljivo odstupanje (anomaliju), to takoe svedoi kako je velika drutvena potreba nagnala narode na primitivnom nivou drutvenog ivota da belee proticanje vremena.U skladu sa brojanjem zrnaca na abakusu (raunaljci o kojoj emo govoriti kasnije), Maje su koristile vrednosti 1, 20, 360, 7200, 144.000 i tako dalje. Vrednost koja odstupa od pravila je 360, tj. 12 lunarnih meseci po 30 dana, to predstavlja rairenu ranu ocenu suneve godine. To je najbolje to se moglo uiniti ako se uopte pretpostavi da je mogue potpuno uskladiti primitivan kalendar zasnovan na broju punih meseci sa sezonskim sunevim ciklusom. U svojim astronomskim izraunavanjima Vavilonci su dosledno koristili bazu 60; kasnije emo videti da je to prualo znatne olakice u radu sa razlomcima. Meutim znaci koje su oni preuzeli od svojih uitelja Sumeraca bili su takvi da su se umnoci odreenog stepena baze izraavali repetitivno na sloen nain. Iako lucidan u poreenju sa grkim i jevrejskim sistemom, ovaj repetitivni nain pisanja bio je veoma glomazan. Moda ak i V, L, D etrursko-rimskog sistema ne predstavlja ostatak ranije baze 5, ve nain za utedu prostora, slian kasnije pronaenom nainu inverzije (na primer IV za IIII ili XLIV za XXXXIIII). Za raunanje su se svi pismeni ljudi antike, ak od poetka nove ere, oslanjali uglavnom na deiju spravu nazvanu abakus (raunaljka). U najrazvijenijem obliku to je ram sa razapetim icama na koje su nanizana zrnca tako da se mogu pokretati du ice. U prvo vreme to je verovatno bio niz udubljenja u pesku sa kameniima koje je onaj ko rauna pomerao i zamenjivao na odreen nain. U stvari, medicinski termin calculus za kamen u beici i isti koren u rei kalkulacija nastali su od latinske rei za kamiak, ljunak. Na abakusu se radi na jedan od dva naina. Udubljenje moe da sadri onoliko kamika kolika je baza. Kada se udubljenje napuni, treba ga isprazniti, staviti jedan kamiak u sledee udubljenje i odbaciti ostale. Ili, udubljenje moe sadrati jedan kameni manje nego to je baza. Tada se sledei kamiak odmah stavlja u sledee

4

udubljenje, pa se onda isprazni prethodno. Vavilonci, a kasnije i Grci, koji su od njih nauili ono malo to su znali o vetini raunanja, imali su razliite ad hoc postupke pomou kojih su tedeli vreme pribegavajui tablicama suvie dugim da bi se pamtile. Ono to su Grci nazivali aritmetikom, naime ispitivanje prostih brojeva i redova, kao na primer zbirova kvadrata ili prirodnih brojeva nema nikakve veze sa naim prostim pravilima raunanja na hartiji, koja se mnogo prikladnije nazivaju arapskim terminom algoritam.

Ovaj fragment kalendarskog zapisa iz Atine, iz V veka pre nove ere, pokazuje rane grke oznake za brojeve

koji su korieni repetitivno, kao kod rimskih brojeva Na zakljuak da je poetni impuls stvaranju zapisa svih vrsta dala drutvena nunost primitivnog raunanja vremena, kada su se tokom neolitske revolucije u toplijim krajevima Severne hemisfere pojavila stalna naselja, bio bi dovoljno prihvatljiv ak i da ga ne potvruju impresivni ostaci kalendarskih zapisa u vidu skulptura u hramovima centralnoamerike dungle. U svakom sluaju, repetitivni karakter najstarijih zapisa brojeva, bilo u Egiptu, Mesopotamiji, fenianskim kolonijama ili Kini, koji do dananjeg dana uvaju etrursko-rimski brojevi to se jo uvek upotrebljavaju za oznaavanje glava u knjizi ili na brojaniku asovnika, ubedljivo svedoi o nastanku znakova za brojeve iz zareza kojima su se beleili uzastopni dogaaji. Medicinski termin calculus za kamen u beici podsea nas na starinu ve pomenute oznake, pokretljivije no to su zarezi na deblu drveta ili kamenom stubu. Potreba za ovakvom oznakom ipak nije mogla nastati pre nego to se pojavila potreba za korienjem brojeva kao oznaka za merenje. A ova se javila zajedno sa poecima istorijskih zapisa, kada je postala mogua kvazinarativna forma pisanja pomou piktograma nastalih iz peata sa otemistikim oznakama svetih ivotinja. Ovi peati korieni su prvobitno kao simboli vlasti, sopstvenosti, ili kao potpis majstora; nastali su verovatno iz elemenata koji vuku poreklo jo iz peinskih slika lovaca orinjakog perioda. Potreba za brojevima kao oznakama za merenje nastaje zajedno sa privatnom svojinom, tj. onda kada svetenici-astronomi i uvari kalendara, sa privilegisanom kastom nadzornika i arhitekata, poinju da ubiraju porez od onih koji obrauju zemlju. Prema tradiciji, egipatski svetenici, bar u jednoj epohi, razrezivali su porez prema veliini zemljinog poseda. esto gubljenje mea usled poplava Nila izazvalo je potrebu za ponovnim razrezivanjem poreza, te su bile neophodne neke standardne mere za merenje povrine kao i zapreminske mere za odreivanje koliina prikupljene robe. U Sumeru je rani nastanak trgovake klase, koja je trgovala metalima i slinom robom, inio nunim stvaranje tanog sistema teina koji je garantovala vlast.

5

Iako na prvi pogled stvaranje sistema teina i mera nema mnogo veze sa razvojem iste matematike, ipak je ovaj dogaaj bio bitan korak napred u razvoju shvatanja broja. Sve dok se brojevi koriste samo kao oznake pri brojanju dana i punih meseca, solsticija, ili ovaca u stadu, nema osobite potrebe za pojmom razlomka. Tako se stado u kojem ima 31

ovca moe podeliti samo na 30 naina, naime: ,313,

312,

311 itd., besmisleno je govoriti o

dve petine ili o 0,1 stada. Kada jednom ponemo da merimo zemlju ili porez i da trampimo robu, moemo slobodno deiti na proizvoljan pogodan nain nau najveu jedinicu (na primer tonu) na manje jedinice (na primer funte, unce, kilograme). Ostaci ovog konkretnog shvatanja razlomaka znatno su koili razmiljanje o broju u staro vreme. I mi kao deca upoznajemo najpre razlomke kao toliko i toliko (m) od ukupnog broja (n) jednakih delova neega. Prvi znaajan korak u istoj matematici bila je dilema sa kojom su se suoili rani grki matematiari susrevi se sa razlomcima koji se ne mogu izraziti na ovaj nain. Oni su se mogli sresti sa tom dilemom u povoljnijim uslovima da nisu uinili odluujui korak natrag na vanoj etapi u istoriji ljudskih komunikacija. Narativno simboliko pisanje svetenika koji su se starali o kalendaru predstavljalo je vetinu dostupnu samo malom broju ljudi. Odluujui korak napred uinjen je kada su semitski robovi u Egiptu izumeli prve grube oblike alfabetskog pisma negde oko 1800. godine pre n. e. Novi nain pisanja imao je dve vrline. Bio je laki za uenje i mnogo pogodniji nego nain pisanja iz hramovnih arhiva. Ipak, njegov razvoj do savrenog oblika bio je spor proces. Do nastanka grke literature, hiljadu godina kasnije, alfabetsko pismo, koje su semitski narodi Istoka prenosili zapadnim pomorskim putevima i istonim kopnenim, imalo je ogranienu upotrebu meu trgovcima i pomorcima samo za kratke zapise. U vreme kada ljudi nisu oseali svu prednost alfabeta niti predviali da e on potpuno potisnuti ostale oblike pisma kao sredstvo za beleenje nagomilanog znanja uinjena je bitna greka: brojevi su se poeli predstavljati slovima. Oevidno znaenje M i C u etrursko-rimskom sistemu brojeva, koji zadrava repetitivni princip, kao i najraniji grki brojni sistem, nagovetava da je to poelo bez namere da se tedi prostor. Meutim Jevreji i kasnije Grci upotrebili su ceo alfabet da izgrade nov sistem brojnih znakova sa razliitim oznakama za isti broj jedinica na razliitim kolonama abakusa. Teko je u punoj meri oceniti koliko su tetne bile posledice ovog koraka. Njima je simboliki jezik brojeva odvojen od operacionalnog znaenja repetitivnog sistema. On je jo oteao razmiljanje o brojevima koji su suvie veliki da bi se mogli predstaviti znacima alfabeta. Pamenje tablica sabiranja, oduzimanja i mnoenja, da bi se olakao rad sa relativno malim brojevima na abakusu, postalo je skoro natoveanski zadatak. Astronom je postao jo zavisniji od tablica i mehanikih pomonih sredstava, vrei sa naporom svoja izraunavanja, koja mi sada nauimo da sa lakoom obavljamo jo u osnovnoj koli. Bez sumnje je ovo usporilo pojavu one vrste simbolikog jezika koju obino nazivamo algebrom. Izmeu ostalog, ovo je takoe doprinelo odravanju sujeverja o srenim, nesrenim i svetim brojevima kada je tako napisani broj imao znaenje kao re; tako je, na primer, magini kvadrat davao ime boanstva koje se kod Jevreja nije smelo pominjati. Danas vie ne moramo da se muimo pri raunanju i da se petljamo sa abakusom zato to je negde izmeu 300. i 700. godine n. e. u trgovakim kuama Indije nastao obiaj da se prazna kolona abakusa predstavlja takom, od koje je kasnije nastao na znak za nulu.

6

Originalno ime toga znaka, sunja, to znai prazno, svedoi o njegovom poreklu. Kada se ima takav znak, poloaj kolone abakusa moe da se oznai bez pribegavanja novim simbolima tipa M, C, X u rimskom sistemu. Ukratko, broj potrebnih simbola osim nule je za jedinicu manji no to je baza, tj. 9 ako je baza 10. Tada iste tablice sabiranja, oduzimanja i mnoenja, koje je lako zapamtiti, vae za bilo koju kolonu. Kada ih nauimo, tada raunsku operaciju moemo preneti na hartiju a da ne moramo mehaniki pregrupisavati zrnca na raunaljci.

Indijsko-arapske cifre pokazuju na ekonomian nain stanje na abakusu. Egipatski, rani grki i arapski znaci za brojeve ine to na komplikovaniji nain. Svi oni koriste razliite oznake za zrnca u razliitim

kolonama, ponavljajui znak onoliko puta koliko ima zrnaca. Svima im nedostaje znak koji oznaava da je kolona prazna.

Brojni sistem Maja takoe je imao znak za nulu; ali ga je abnormalna promena baze, kojom je koloni posle 20 data vrednost 360 umesto 400, liili njegove maksimalne korisnosti. Velika prednost brojnog sistema koji dugujemo indijskoj civilizaciji zavisi iskljuivo od injenice da poloaj znaka u nizu oznaava broj jedinica na uzastopnim icama raunaljke sa fiksnom bazom; na primer 423 znai 4 (100) + 2 (10) + 3 (1), ako je baza (b) jednaka 10. Pravila rada na abakusu ije ice (ili udubljenja) mogu primiti isti broj zrnaca ne zavise od veliine toga broja. Tako vrlo velike prednosti sistema koji danas koristimo nemaju nikakve veze sa injenicom da je naa baza 10. Vea baza (na primer 20 ili 60) uslovila bi potrebu da se pamte due tablice sabiranja, oduzimanja i mnoenja, a manja baza zahtevala bi vie prostora za pisanje brojeva. Sa b=3, na primer, broj koji mi piemo kao 423 bio bi 1 (243) + 2 (81) + 0 (27) + 2 (9) + 0 (3) + 0 (1), to mo9emo napisati (120200) 3 da bismo ga razlikovali od (423)10 . Sabiranje, oduzimanje i mnoenje za b=3 vri se uz pomo tablica koje su date nie, a u kojima cifre kurzivno pisane daju instrukcije koje mi obino nazivamo pozajmljivanje. Sabiranje Oduzimanje Mnoenje 0 1 2 10 0 1 2 10 0 1 2 10 0 0 1 2 10 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 1 1 2 10 11 1 2 0 1 2 1 0 1 2 10 2 2 10 11 12 2 1 2 0 1 2 0 2 11 20 10 10 11 12 20 10 0 1 2 0 10 0 10 20 100 Nema potrebe naglaavati da baza 2 zahteva najmanji napor pamenja, ali zahteva najvie prostora. Tako je (8192)10 = (10000000000000) . Treba samo zapamtiti tablice: 2

7

1 + 0 = 1 1 0 = 1 1 x 0 = 0 1 + 1 = 10 1 1 = 0 1 x 1 = 1 1 + 10 = 11 10 1 = 1 1 x 10 = 10

1 + 11 = 100 100 1 = 11 10 x 10 = 100

Kod maine, koja ne upotrebljava hartiju za raunanje i registruje samo poslednji stepen izraunavanja preveden na nae decimalne cifre, glomaznost predstavljanja stupnjeva izraunavanja u bazi 2 nije nikakav nedostatak, a jednostavnost koju poseduje modus operandi, a naroito algoritam za vaenje kvadratnog korena prua znaajne prednosti. Tako veina modernih raunarskih maina koristi bazu 2. Ako italac hoe da se malo zabavi a da to bude i korisno, i da uiva bar toliko koliko uiva reavajui ukrtene rei, mogao bi da sastavi tablice sabiranja, oduzimanja i mnoenja za bazu 5; neka najpre proveri sledei raun, a zatim i sam sastavi primere naroito za deljenje koje bi mogao sam reavati. (256)10 = (2011) ; (41) = (131) : 5 10 5(10 496)10 = (313 441) : (297) = (2 142) 5 10 5 Sabiranje 256 baza 10 2011 baza 5

10)297(

41 5)2142(

131

Mnoenje

256 baza 10 2011 baza 5

25641

2011131

104961024 11033

313441

2011

Hiljadu godina razdvaja poetke grke geometrije od ovog epohalnog otkria. Ono je brzo dalo plod: osnovne algoritme koji su veoma uprostili vetinu raunanja. Meutim, proteklo je jo hiljadu godina pre no to smo otkrili emu nas sve abakus moe nauiti. Najvanija mada istorijski najkasnija bila je mogunost novog vida korienja brojeva. Mada emo se pri ilustrovanju toga sluiti bazom deset, jasno je po sebi da bismo umesto deset mogli uzeti 2, 3, odnosno bilo koji proizvoljan broj koji bismo izabrali za bazu. Uoimo najpre niz vrednosti koje imaju zrna na sukcesivnim icama raunaljke kada te vrednosti piemo na uobiajeni nain, naime:

8

.... 10.000, 1000, 100, 10, 1 U tom nizu 10.000 (=10 ) predstavlja 1 sa 4 nule, 1000 (=10 3 ) je 1 sa 3 nule, a 100 (=10 ) 1 sa 2 nule. Stoga se 10 moe pisati kao 101 a 1 kao 10 , tj. 1 bez ikakvih nula. Za sada je to samo koncizniji nain pisanja broja koji oznaava ishod brojanja. Moemo, meutim, to posmatrati i sa druge take gledita, naime: 10 5 predstavlja instukciju da 1 treba pomnoiti sa 10 pet puta, a 10 da ga ne treba pomnoiti sa 10. Tako 10.000 X 100 = 1. 000. 000 u ovom sistemu obeleavanja znai 10 X 10 = 10 6 , to se moe generalisati za cele brojeve b, m, n kao

4

2 0

0

4 2

b * b = b m n nm+

Do sada smo govorili o pozitivnim celim brojevima. Sve dok koristimo brojeve kao oznake za brojanje i merenje, moemo misliti o -6 ili -16 samo kao o nedostatku neega (tj. kao o deficitu u onome to se duguje) ili kao o proizvoljnoj posledici imenovanja podelaka nae skale, na primer -273 C za apsolutnu nulu, a 0 C kao 273 na apsolutnoj skali. Ispitivanje abakusa oznaenog na upravo izloen nain potkrepljuje novu upotrebu negativnih brojeva. Svaki put kada se na abakusu vri pomeranje slova nadesno znai da delimo vrednost svakog zrnceta u koloni sa 10 i time reduciramo njegov indeks za 1. Ako oznaimo 10 kao 10 ( = 10 10 1 = 10 ) i 1 kao 10 0 ( = 101 10 = 10 ), u skladu je sa celokupnom strukturom ako oznaimo

0 0

1 2 12 11

101 kao 10 ( = 10 10 ), 1 0

1001 kao 10 ( =

10 10 ), i tako dalje.

2

1

Radi utede u prostoru, Jevreji a u kasnije doba i Grci, koristili bi celu azbuku da bi oznaili brojeve.

inei to oni su liili simbole svakog operacionalnog znaenja. Jevreji su koristili isti znak za 1000 i za 1

Dugo pre nego to je pogodnost ovog poboljanja sredstava ljudske komunikacije postala oevidna, bilo je jasno bar jednom indijsko-muslimanskom matematiaru da smo stekli nov nain pisanja razlomaka, saglasan sa pozicionim principom, tj. da se da se razlomak pie kao decimalni razlomak ako je baza deset; taj nain emo uopteno nazvati bazalnim. Kasnije emo diskutovati o znaajnim teorijskim implikacijama ovog koraka;

9

ovde je dovoljno istai da on mnogo uprouje problem konstruisanja svih vrsta raunskih maina. Ostavili smo sada daleko iza nas konkretan nain miljenja o razlomcima kao delovima neke jedinice, kao to su na primer, minuti i sekunde. Time smo se takoe oslobodili tekoe koja se u staro vreme smatrala znatnom. Mnoenje na tradicionalnom abakusu tana je operacija; pri deljenju, meutim, obino dobijamo ostatak. Antiki svet je mogao konceptualno poveati broj ica raunaljke po elji, ako se ne uzme u obzir da je to ogranien sistem brojnij znakova veoma oteavao. Mada su se Vavilonci tome veoma pribliili, niko drugi nije mogao zamisliti neogranieno deljenje pomou raunaljke sa beskonanim nizom kolona, da bi se predstavili razlomci iji su imenitelji uzastopni stepeni iste baze. Kao to 5 u 10 shvatamo kao instrukciju da pomnoimo 1 sa 10 pet puta, tako i 10 tumaimo kao instrukciju da treba podeliti 1 sa 10 pet puta, i ta se instrukcija moe uoptiti za pzitivne cele brojeve u obliku

5 5

b m b n = b nm Ako vrenje jedne operacije ponitava dejstvo druge, nazivamo tu operaciju inverznom operacijom prethodne. Tako je oduzimanje inverzna operacija sabiranju, jer oduzimanje 3 od 8 ili 14 od 23 itd. ponitava efekat sabiranja 3 i 8 ili 14 i 23 itd. Na isti nain deljenje je operacija inverzna mnoenju. Tako interpretiramo m u 10 kao: izvri operaciju mnoenja jedinice m puta sa 10. Stoga interpretiramo m u 10 kao instrukciju da se izvri odgovarajua inverzna operacija deljenja jedinice m puta sa 10.

m

m

Ovo je koristan dodatak naem simbolikom jeziku, kao to se vidi i iz sledee vebe u prevoenju: sin A = x polutetiva koja odgovara uglu A u krugu jedininog poluprenika je x.

sin x = A ugao koji odgovara polutetivi x u krugu jedininog poluprenika je A 1Avaj, u udbenicima srednjih kola jo uvek se zadravaju takve nedoslednosti kao to je sin 2 A umesto (sin A)2, kao to emo mi pisati u ovoj knjizi, a to bi Euklid zvao kvadratom semitetive. Nauivi da mislimo o broju kao oznaci za operacije, nasuprot njegovoj upotrebi kao oznake pri brojanju dana, ovaca, teina ili podelaka na skali, i time veoma proirivi na horizont, jo uvek imamo vizuelni model raunaljke kao putokaz u istraivanju. Sada smo u iskuenju da uinimo korak u nepoznato. Srednjovekovni matematiari koristili su znak

x da predstave operaciju nalaenja broja koji daje x ako se pomnoi sa samim sobom.

Sada emo probati da napiemo 101 u obliku 10 21

21+

. Ako je pravilo 10 * 10 = 10

tano i onda kada su n i m obini razlomci, onda moramo interpretirati

m n nm+

10 kao 10 21

,

3 10 kao 10 31

itd., i ta konvencija ne sadri nedoslednosti. Lako je videti da je (b ) = b ako su m, n i b celi brojevi. Slino je i (b ) = b = (b m ) , tako da moemo pisati:

m n

mn m n mn n

(100 3 ) 21

= 1000 = 10 = (1003 21

) 3

10

Isto tako, moramo interpretirati b 21

kao recipronu vrednost b , na primer 100 21

= 0,1. Ako sada faktorizujemo bazu, na primer 10 = 2(5), vidimo da je 10 = 100 = 4*25 = 2 2 * 5 , ili uopte: ako je b = f1 * f * f 3 ..., moemo pisati b

m = f1 * f 2 * f 3 ...i b = f 1 * f * f 3 odakle sledi da se na simboliki jezik moe proiriti ukljuivanjem baze koja je obian razlomak, kao kada piemo b = (49 400) = 7 *

20 . Takoe se moe bez nedoslednosti napisati (

2

22

m m m

m

m2

m m

2

2

40049 ) 2

1

= 7 * 20 = 1207 .

Svaki put kada se pomerimo za jedak korak sleva udesno u kolonama abakusa, delimo vrednost svakog zrnceta sa 10. Takoe smanjujemo indeks za 1. Abakus predstavlja idealan model bazalnog razlomka

Odlutali smo sada daleko u oblast gde brojevi prestaju da budu oznake za operacije koje je mogue vizualizovati uz pomo abakusa. Zaista sada smo spremni da razmotrimo neke jo nediskutovane tekoe antike matematike. Jednu od njih predstavljalo je razumevanje mogunosti da neogranieni red pozitivnih razlomaka moe biti konvergentan u smislu da je zbir proizvoljno velikog broja njegovih lanova konaan, a ponekad ak i mali broj. Koliko mi znamo, niko to nije jasno shvatio pre no to je Arhimed uradio sledee:

(1+ 41 +

161 +

641 + ... u beskonanost ) = S

= ( 041 + 14

1 + 241 + 34

1 + ... ad infin)

Odatle

41 S = ( 14

1 + 241 + 34

1 + ... ad infin)

Odakle se oduzimanjem dobija

(1 - 41 )S =

43 S = 04

1 = 1 i S = 34

11

Ako neko eli da se pravi mudar posle svrenog ina, mogao bi se zauditi: kako to da njihova naklonost prema upotrebi estara nije navela stare Grke da shvate da je sukcesivna podela jedinine linije na po dva dela ekvivalentna iskazu:

itd...641

321

161

81

41

21 ++++++=1

Ipak moglo bi se smatrati, zajedno sa F. Bekonom, da nije mudro veliati moi ljudskog uma, ve da bi bolje bilo traiti naine da se on usavri. U tom sluaju trebalo bi da budemo zahvalni naim indijskim prethodnicima, ije nam je delo omoguilo da sledei primer postojanja konvergentnih redova bude neposredno oevidan:

...

103

103

103

103

...33333,03,031

4321 +++=

==

Evo kako su se zapisivali brojevi ranije Nasuprot onome to su rekli mnogi eminentni matematiari devetnaestoga veka, E. J. Bel, savremeni isti matematiar koji pie sa nenadmanom kombinacijom ogromne erudicije i briljantne duhovitosti, opominje nas da neemo preuveliati na dug prema velikoj indijskoj reformi brojnog sistema ako se podsetimo da veliki matematiki traktati s kraja devetnaestog veka i iz dvadesetog veka nemaju nikakve direktne veze sa brojem kao takvim. Dovoljno je rei: ostavimo potomstvu da ono prosudi da li ovako ogromna produkcija verbalnih rasprava, bilo da je podrana neverbalnim simbolizmom ili ne, ima kakvu trajniju funkciju osim da slii kao jo nezavreni program za otkrivanje nedoslednosti u simbolikom jeziku koji je stvaran tokom plodnog perioda otkria za tri protekla veka. Ako je nema, onda e opravdati svoje pretenzije na dugoroni znaaj samo ako proizvede, slino ve pomenutoj zameni kompleksnih brojeva brojnim parovima, dosledniji i koherentniji pa otud i komunikativniji simbolizam za one procedure ija numerika korisnost bude izdrala probu vremena.

12

Brojanik sunanog asovnika iz 1453. sa indijsko-arapskim ciframa

Mentalna prepreka koja je spreila najbolje umove ranog perioda grke matematike da lako ovladaju pojmom konvergentnog reda predstavlja jedan od mnogih primera razjanjenja konfuzije zahvaljujui mogunosti upotrebe pogodnije notacije za brojeve. Ispitujui jedan od komplikovanijih problema grke aritmetike, upoznajemo se sa jednim instruktivnim nainom predstavljanja celih brojeva i stiemo informacije koje nam pomau da reimo ve pomenutu dilemu grkih matematiara. Euklid je dao dokaz tvrenja da nema granice broju prostih brojeva. Zapravo, on je postupio na sledei nain. Pretpostavimo da ne znamo prost broj vei od 17. Pomnoimo sada sve proste brojeve do 17, ukljuivi i taj broj, tako da dobijemo: 1 5105101713117532 = Jedini brojevi sa kojima je ovo deljivo jesu njegovi faktori i njihovi produkti, na primer 10, 21, 39 itd. Dodajui 1 dobijamo 510511, koji daje ostatak 1 ako ga podelimo sa bilo kojim od njegovih prostih faktora, a stoga i produktom tih faktora. Prema tome, taj broj nije faktorizabilan, te je stoga prost broj vei od 17. Argument se lako moe generalisati. Ma kako veliki bio najvei prost broj koji moemo navesti, uvek moemo nai drugi vei od njega dodajui 1 proizvodu svih prostih brojeva do njega i njega samog. Raspolaui ovim i koristei indeksnu notaciju moemo sagledati bar jedno svojstvo brojeva koje je vie zbunjivalo najbolje umove antike no to bi danas zbunilo inteligentnog deaka koji ume da izvri sledee proste procese prevodjenja. Ako a, b, c itd. svaki odgovara nekom pozitivnom broju ili nuli, moemo oevidno izraziti svaki pozitivan ceo broj (n) kao proizvod stepena svih prostih brojeva koji su manji od njega (ili jednaki njemu) u obliku:

itdnpr

itdn fedcba

...131175321261....13117532

001122 ==

Ovo je oevidno tano: (a) zato to se svaki faktorizabilan broj moe izraziti kao proizvod prostih brojeva na primer ; (b) zato to je b za svako b, te 23 52200 = 10 =

13

svaki prost broj iji je stepen nula, budui jednak jedinici, uopte ne doprinosi rezultatu, na primer . Prost broj se moe naravno izrazitio u tome obliku: 23203 52532 = 171713117532 1000000 =Pretpostavimo sada da je p ceo broj i da je drugi ceo broj N jednak p-tom stepenu n koje je napisano na navedeni nain, tako da je

nitdN

itdN

dcbap

dPcPbPaP

===

....7532

.....75321

Ako kaemo da je p-ti koren celog broja (N) i sam ceo broj (n), to znai da je stepen (razliit od nule) bilo kog prostog faktora N ili p ili taen umnoak p. Pogledajmo sada kako se moe faktorisati takav ceo broj N. U cilju ilustracije moemo pretpostaviti da je N( ) p-ti stepen celog broja n( ) ija samo etiri prva prosta faktora imaju imaju indekse (a, b, c, d) vee od nule. Svi mogui naini razlaganja N na dva faktora od kojih je svaki p-ti stepen nekog celog broja dati su onda ovako:

dPcPbPaP 7532 = dcba 7532 =

aPPdcbbPPdcacPPdbadPPcba

PcbPdaPdbPcaPdcPba

2)753(3)752(5)732(7)532()53()72()73()52()75()32(

=======

Zato je sledei iskaz uvek istinit: Ako se ceo broj (N1 ), koji je p-ti stepen drugog celog broja, moe razloiti na dva faktora od kojih je jedan takoe p-ti stepen celog broja, onda i drugi faktor mora takoe biti p-ti stepen nekog celog broja.

)( 2N

Ovde je vano shvatiti ta ovaj iskaz ne znai, naime: da je nemogue razloiti p-ti stepen celog broja u dva faktora osim ako se svaki moe izraziti kao p-ti stepen nekog celog broja. Na primer, moemo razloiti na dva faktora na jedan od dva naina: 23 )32(576 =

(a) oba su potpuni kvadrati: 4(144): 9(64): 16(36)

(b) nijedan od njih nije potpun kvadrat: 2(288): 3(192): 6(96)

Ispitajmo sada kakvo znaenje moemo dati veliini tipa 3 5 u staroj notaciji, a 5 31

u naoj, informativnoj, u svetlosti ovog argumenta. Poto je 113 = i , kubni koren svakog broja izmeu 1 i 8 treba da lei izmeu 1 i 2. Zato padamo u iskuenje da pretpostavimo da se

823 =3 5 moe izraziti kao nepravi obini razlomak pomou celih brojeva

a i b (>a) kao:

14

b

baba +=+= 153

Ako zamenimo (a + b) celim brojem a b zamenimo sa da bismo uhvatili vezu sa prethodnim argumentom, tada moemo napisati:

1N 2N

32

31

32

31

2

13

5

5;5

NNNN

NN

===

Videli smo, meutim, da to moe biti istina samo ako je 5 jednako kubu celog broja; no mi znamo da nije tako. Stoga moramo zakljuiti da se 5 ne moe predstaviti kao odnos dva cela broja tj. kao obian razlomak. italac bi mogao primeniti ovaj argument na prostiji sluaj

21 , NN2 . Odatle sledi da se ni 2 ne moe izraziti u vidu obinog razlomka,

pa stoga ni odnosi tipa 2:5 ili 1:2 ne mogu biti predstavljeni u vidu obinih razlomaka. I pored toga, iz primene metoda probe i greke znamo da ipak moemo nai broj izmeu 1 i 2 iji je kub tako blizu 5, ili iji je kvadrat tako blizu 2, koliko nam se god prohte da im se pribliimo. Moemo sve vie suavati greku u izraunavanju takvoga broja. Tako: (1,4) 2 = 1,96 < 2 < 2,25 = (1,5) 2

1,4 < 2 21

< 1,5 Nastavljajui na taj nain, nalazimo:

1,41 < 21

2

injenica da grub pojam o realnom broju kao celom broju ili odnosu dva cela broja ne moe obuhvatiti iroku klasu razlomaka bila bi vrlo uznemirujua kada bi nai jedini

naini beleenja razlomaka bile obine forme tipa 481203

1712,

95 ili . To prestaje da nas brine

kada potpuno ispitamo sve implikacije bazalne notacije. Mada se svi obini razlomci, koji se mogu izraziti kao odnos dva cela broja, takoe mogu izraziti i kao decimalni razlomci, obrnuto, sreom, nije istina. Razlomci koji se mogu izraziti kao odnos dva cela broja dele se:

(I) ako imenitelj ne sadri druge faktore osim stepena prostih faktora baze (tj. ako je u obliku 2 ba 5 ako je baza 10), onda se odgovarajui bazalni razlomak svrava na a-tom mestu ako je a>b ili na b-tom mestu ako je b>a; npr. u decimalnom sistemu

1875,052

3163

04 == i 08,0522

252

20 == (II) ako imenitelj sadri faktor koji je prost broj, a nije faktor baze, ponavlja se

neogranieno isti niz jedne ili vie cifara, kao u sluaju

32 = 0, = 0,66666...

6

73

= 0, 2857 = 0,428571428571428571... 4

1

Decimalni razlomci drugog tipa, tj. periodini (rekurentni), koji se nikad ne zavravaju, dvostruko nas interesuju. Kao to smo videli, oni nas familijarizuju sa pojmom konvergentnog beskonanog reda, tj. sa injenicom da se mogu neogranieno dodavati sve manji i manji razlomci a da se u izvesnim sluajevima ne pree odreeni broj. Na

primer, odmah vidimo da 0, lei izmeu 0,11 i 0,12, izmeu 0,111 i 0,112, izmeu 0,1111 i 0,1112, itd. Svaki beskrajni periodini bazalni razlomak zaista je ekvivalentan beskonanom redu iji lanovi imaju imenitelje koji su rastui stepeni baze. Nema, meutim, nikakvog razloga da imenitelji sukcesivnih lanova beskonanog reda obinih razlomaka rastu samo na ovaj nain.

1

Definiui obine razlomke pomenuta dva tipa, mi nismo iscrpeli sve zamiljene

bazalne razlomke. Moemo zamisliti i konstruisati konvergentne beskonane redove u kojima nema nikakve pravilne periodinosti u nizu cifara decimalnog razlomka, npr. 0,23223222322223... Vaan primer je Ojlerov broj (e=2,7182818285), kod koga je deo iza decimalne zapete jednak redu

21

1 + 321

1 + 4321

1 + 54321

1 itd.

16

Ovde imamo deset znaajnih datuma svetske istorije ispisanih razliitim brojnim znacima korienim u staro doba

Lako je videti da ovaj red konvergira. Kada doemo do devetog lana, koji je

10321

1 = 362880

1 ,

Ostatak reda moe se uproeno napisati

362880

1 (111 +

121111 + 131211

1 ...)

Tako je ostatak posle 9 lanova manji od

362880

1

+++ inad inf...10

110

1101

321 = ( )36288091

Najpre, nemamo nikakvog razloga da verujemo, a imamo dobre razloge da sumnjamo,

da je mogue izraziti kao egzaktan odnos dva cela broja beskonaan neperiodian bazalni razlomak koji je izgraen od lanova iji imenitelji sadre kao faktore neograniene nizove razliitih prostih brojeva. Videemo kasnije da se svaki iracionalni broj moe izraziti kao zbir reda beskonano mnogo lanova iji imenitelji sadre u sebi sve vie razliitih prostih brojeva. Ipak, nemogunost predstavljanja oracionalnog broja u vidu odnosa dva cela broja manje e nas zbunjivati na ovom stupnju ako se upoznamo sa jednim nainom pisanja razlomaka koji u stvari omoguuje da se iracionalni broj predstavi na racionalni nain.

Kao primer nam moe posluiti 5 21

. Znamo da je 2 = 4 i 3 = 9. Ako 52 2 21

ima neki smisao on mora leati izmeu 2 i 3, pa ga moemo pisati u obliku 2 + r, gde je r ostatak u vidu razlomka. Tako je (2 + r) = 5, te je 2

2 4 + 4r + r = 5 i r (4+ r) = 1

17

r = r+4

1

r = r++ 4

14

1

r =

r+++

414

14

1

I tako dalje u beskonanost

Moemo proveriti i ustanoviti da je

414

141

+>> r

Ukratko moemo sukcesivno nalaziti sve finije granice izmeu kojih lei r, koristei

kao aproksimacije:

414

14

14

1;

414

14

1;

414

1;41

++

++

++

U decimalnoj notaciji to daje 0,25; 0.2353; 0,2361; 0,2360 .... Kvadrirajui (2 + r) na osnovu srednje vrednosti poslednjeg para, dobijamo broj koji se

razlikuje od 5 za manje od 1 prema 50000, naime (2,23605) = 4,99992 (tano sa 6 znaajnih cifara).

2

Iz prethodnih primedbi ne sme se zakljuiti da neprekidni razlomak nuno odgovara neperiodinom beskonanom bazalnom razlomku. Dovoljan je jedan primer da pokae da to nije tano. To je ustvari optija struktura, koja obuhvata obine razlomke kao

specijalan sluaj. Ako izaberemo (2 + r) za 4 21

, dobijamo odmah r = 0; no ako izaberemo (1 + r), dobijamo

18

r

r

r

rr

r

+++

=++

=+=

232

32

3

232

32

3

Sukcesivne aproksimacije dobijene zanemarivanjem r u donjoj liniji su:

itdrrr .....2021

762

3;76

232

3;23

321 =+

==+

==

Jedanaesta i dvanaesta aproksimacija su respektivno

132680

11132680132681

11 +==r

398041

11398041398040

12 ==r

Tako se r sve vie pribliava granici 1r u skladu sa jednakou (1 + r) 2 = 4. Mada zauzima mnogo prostora, neprekidni razlomak ima jednu prednost. Alternativne

aproksimacije su as vee as manje od stvarne vrednosti. Tako smo izveli za 51

vrednosti 2,25, 2,2353, 2,2361, 2,2360 ... itd. Pri svakom koraku stvarna vrednost lei izmeu dve susedne ocene, tako da je

itd....2360,252361,252353,2525,2 21

21

21

>> Kada smo ovako reili paradoks da se neki razlomci ne mogu predstaviti kao odnos dva

cela broja, ostaje nam jo da otklonimo vrlo opravdanu sumnju izazvanu zapaanjem da ne moemo egzaktno niti pomnoiti niti podeliti broj tipa 5 brojem tipa 3 . Videemo kasnije da su grki matematiari staroga doba reagovali na ovaj izazov zamenivi pojam broja pojmom veliine. To stvarno znai da su oni napustili svaki pokuaj da interpretiraju odnos tipa 7:5 na bilo koji nain izuzev pomou idealizovanog crtea. Poto nisu mogli predvideti elektronski mozak, nisu oseali obavezu da se izraavaju jedinim jezikom koji on razume. Mi meutim, ne moemo izbei ovu obavezu.

Videli smo da brojeve tipa 5 i 3 moemo izraziti sa proizvoljnom tanou koja odgovara cilju raunanja; meutim nismo pokazali da sa njima moemo pouzdano raunati. Odnosu tipa 3:2 dali smo znaenje koje zadovoljava praktine potrebe, ali nismo dali nikakvo znaenje odnosu tipa 5 : 3 . Pitanje je veoma vano kad raunanje preputamo elektronskom mozgu, osim ako smo spremni da mu damo blanko ek. Na sreu, na indijski brojni sistem, koji omoguuje da se tako lako shvati postojanje

19

konvergentnih redova, pomae nam i ovde, i to iz istog razloga. Pogledajmo dva sledea broja:

(a) 1000,9 (b) 9999,0 Ako zadrimo samo prve etiri cifre beskonanoga reda (a), relativna greka bila bi

manja kada bi se u ostatku nalazila bilo koja druga kombinacija cifara ili kada bi se u zadranom delu nalazile bilo kakve druge cifre osim nula. U istoj situaciji beskonani red (b) imao bi upravo suprotne osobine: ma kakva druga kombinacija cifara u zadranom delu inila bi relativnu greku veom, isto kao i zamena jedne ili vie nula u ostatku nekom drugom cifrom. Uopte, moemo rei da odbacivanje svih znaajnih cifara posle n-te dovodi do najvee mogue relativne greke ako se realni broj moe izraziti u obliku:

)110(10 11 += nPN

)

Na primer 1,0009 = 10 (1001) 3 Ako zapiemo 99 = 10 -1, 999 = 10 -1 itd., moemo na slian nain formulisati uslov

da je relativna greka najmanja ako se broj moe predstaviti u obliku: 2 3

110(102 = nPN Na primer 99,999 = 10 (100 000 - 1) 3 Trebalo bi ba bude jasno da je maksimalna relativna greka u proizvodu, koja rezultuje

iz zadravanja samo n znaajnih cifara u svakom od faktora, najvea kada se svaki od njih moe predstaviti kao N1 gore. Pogledajmo stoga situaciju kada je

)110(10

)110(10);110(101

11

+=+=+=

+

nqP

nqnP

abba

Ako odbacimo sve znaajne cifre posle n-te, nae e se aproksimacije tada moi izraziti kao

22

11

19101010;1010

+

===

nqP

nqnP

ABBA

Poto je , apsolutna greka je 110210)110( 12221 ++=+ nnn

ab- AB = = )1102(10 1 + + nqp Odatle je relativna greka:

211

)110(1102

++=

n

n

ab< 2210

1102+

n

n

20

To je najvea relativna greka koja se moe napraviti pri raunanju proizvoda ako se zadre samo prvih n znaajnih cifara oba faktora. Pretpostavimo da smo odbacili sve cifre posle este; iz formule se vidi da relativna greka proizvoda nikad ne moze prei

0000100005,0102

110210

5

=

Kada delimo jedan broj drugim, mogu nastati etiri situacije, u skladi sa napred reenim. Bie dovoljno da razmotrimo dve: relativna greka u brojitelju je najvea mogua a relativna greka u imenitelju najmanja mogua, ili obratno. Za prvi sluaj moe se napisati:

)110(10)110(10 1

+=

nq

nP

ba

Nae aproksimativne vrednosti bie tada

11010

)110(101010 1

==

=

n

qP

nq

nP

BA

baBA

Relativna greka je ba , tako da je

110

11 +n < 110

1n

Alternativno moemo uiniti da relativna greka u imenitelju bude najvea, tako da je

+

=

=+=

)110(101

10)110(10

1010)110(10;

)110(10)110(10

11

11

nnn

nn

nq

nn

nP

BA

ba

a relativna greka je 1101n .

To je najvea relativna greka koja se moe uiniti ako se odnos a : b interpretira kao

obian razlomak iji je brojitelj jednak sa n prvih znaajnih cifara a i iji imenitelj je

21

jednak sa n prvih znaajnih cifara b. Ako je n = 6, relativna greka ne moe nikad biti vea od 0,00001.

Izmedju 1 i 2 lee iracionalni kvadratni koreni dva cela broja, iracionalni kubni brojevi est celih

brojeva, iracionalni etvrti koreni etrnaest celih brojeva, i iracionalni n-ti koreni dva na n minus dva celih brojeva

Kada mehaniki ureaj za raunanje odbaci sve znaajne cifre posle prvih n u nekoj

operaciji mnoenja ili deljenja, znamo, dakle, da relativna greka ne moe nikad biti vea od odreenog broja. Moemo raunati proizvod ili kolinik dva beskonana decimalna razlomka, pouzdano znajui da naa greka ne moe prei odreenu granicu. U praksi, to je dovoljna garancija da moemo imati pouzdanja u ishod raunanja na maini. Kada bi elektronski mozak mogao govoriti, rekao bi nam otprilike ovo: Kada mi govorite o mnoenju ili deljenju jednog beskonanog bazalnog razlomka drugim, mogu izvriti vae instrukcije tako da budete zadovoljni; no kada govorite o Euklidovim veliinama, uopte ne razumem ta govorite.

22

23