Student: Nataša Predić 291/02

Uticaj Indije Do sada smo govorili samo o najprimitivnijoj upotrebi brojeva, tj. kao oznaka za prebrojavanje posebnih predmeta, uključivši podeoke na skali. Ako usvojimo gledište da je matematika pre svega veštački pisani jezik koji nam omogućuje da rezonujemo o različitim vidovima upotrebe brojeva a da pri tom izbegnemo močvaru paradoksa i suvišnih reči, onda moramo sada ispitati i druge upotrebe brojeva, a ne samo kao običnih oznaka pri brojanju i merenju. Privremeno, definisaćemo našu temu u ovoj glavi na sledeći način: kako se brojevi mogu koristiti kao oznake pri manipulisanju brojevima. To ne znači da smo već sada spremni da govorimo o svim vidovima klasifikacije brojeva koje primenjuju matematičari: o prostim i rednim, negativnim i pozitivnim, razlomcima i celim brojevima, racionalnim i iracionalnim, algebarskim i transcedentnim, realnim i kompleksnim (ovo poslednje je nedavno postalo moderno smatarati brojnim parovima). Ako se zapitamo šta sve oni imaju zajedničko, biće dovoljno reći da je veliki problem znatnog dela matematičkog istraživanja tokom proteklog veka, a naročito tokom poslednje polovine veka, upravo bio – kako opravdati upotrebu iste reči za sve njih. To se postiglo formulisanjem opšte strukture, šire oblasti važenja, ali saglasne sa praviima sabiranja, oduzimanja i množenja kako se uče u školi u skladu sa zahtevima postupka sa prirodnim brojevima. Pomoćiće nam da shvatimo potrebu za kvalifikacijom brojeva, kao i potrebu za propisivanjem opštih pravila koja koristimo pri upotrebi svega onog što nazivamo brojem, ako se najpre udubimo u istoriju ljudskih pokušaja da se stvore znaci za brojeve.

Ova slika iz ranog XVI veka prikazuje jednog čoveka koji računa na nekoj vrsti abakusa, dok drugi računa koristeći indijsko-arapske cifre. Ove cifre, koje se sastoje od devet simbola koji označavaju broj zrnaca u

bilo kojoj koloni abakusa i znaka nula da se ounači da je neka kolona prazna, učinile su mogućim računanje na hartiji.

1

Naša priča počinje u samo praskozorje čovekovog života na ovoj planeti. Različiti geografski varijeteti jedinstvene vrste Homo sapiens postoje na njoj već 25.000 godina. Ono što bi smo ma u kom smislu mogli smatrati matematikom ne postoji duže od 5000 godina. Ipak, za prethodnih 20.000 godina, u toku kojih su ljudi skoro sve vreme bili lovci i sakupljači hrane bez trajnih staništa, prikupljeno je mnogo podataka, te je sistem brojnih znakova za manipulisanje ovima postao društvena nužnost kada su ljudi počeli stalno da se nastanjuju pre nekih 10.000 godina. Za sve ono što bismo sa nekom verovatnoćom pretpostavili o vremenu, pre toga moramo se osloniti na slike u pećinama iz devne starine, kao i na činjenice o preistorijskim zajednicama u Nilsonovoj monografiji o primitivnom računanju vremena.

Stela Maja obično ima piktogramske oznake božanstava, cifre tipa onih koje su prikazane desno i ″cifre u

vidu lica″ kao što su prikazane na slici levo. Proste cifre sastoje se od devetnaest simbola i nule.

Iz ovih izvora dobijamo sliku o jednom od najranijih ljudskih problema. Paleolitski nomadi nisu imali ni časovnike ni mape da ih vode u oblasti gde ima dosta voća, životinja, ptica i jestivih trava koje klasaju. Njihovi jedini „međaši“ bili su mesta sunčevog izlaska i zalaska i zvezdana jata na ivici horizonta, a najosetljivija kontrola vremena tokom godine – situacija kad izvanredno sjajna zvezda ili zvezdano jato izlazi ili zalazi baš pred zoru ili odmah po sunčevom zalasku. Najmudrije starice plemena možda su pamtile koliko je punih meseca proteklo od rođenja deteta kome se bliži vreme za svečano uvođenje u krug odraslih. Možemo s izvesnošću pretpostaviti da se već na tom stupnju poznavao mesec od 30 dana kao veća vremenska jedinica.

Dnevno kretanje nebeskih tela po prividno poluloptastom nebeskom svodu, polukružno kretanje, u toku noći, zvezda bliskih nebeskom polu, mesta izlaska i zalaska njasjajnijih zvezda i njihov odnos prema sunčevom izlasku i zalasku, kao i približna dužina lunarnog meseca – na to se svodilo ljudsko znanje astronomije i hronologije sve do pojave stalnih naselja stočara i ratara. Tada velika ljudska potreba nalazi istovremeno motiv, sredstva i pogodnu priliku za realizaciju. Solarni (sunčev) kalendar je neophodan za regulisanje ekonomije koja zavisi od godišnjih doba. Tek kad žive stalno na jednom mestu, ljudi mogu posmatrati promene senke koju baca kolac osvetljen suncem, ili promene mesta sunčevog izlaska i zalaska tokom godišnjih doba. Zbog toga nova okolina izaziva potrebu za usklađivanjem lunarnog i solarnog računanja vremena. Realna potreba za kalendarom koji će biti u skladu sa godišnjim dobima bila je još pojačana imaginarnim razlozima: nužnošću da se umilostive nebeski stanovnici i željom da se očuvaju nepromenljive ceremonije uvođenja

2

mladića u život odraslih članova plemena. Pošto privatne svojine nije bilo, brojanje stoke u stadu nije izgledalo važno. Uostalom, stoka stoji mirno i dozvoljava da se broji. Dani su drugačiji. Vreme leti i postoji granica preko koje čak ni najmudriji članovi plemena više ne pamte događaje.

Oznake za brojeve javljaju se sa leve strane svake kolone ovog vavilonskog kalendara, koji beleži srećne i

nesrećne dane. Astronomi su konzistentno upotrebljavali bazu 60, ali su koristili znake za brojeve repetitivno sve do devet puta. Svaki znak predstavlja različite vrednosti u različitom kontekstu

Tri su okolnosti iz kojih možemo sa priličnom sigurnošću da zaključimo kako je sve to počelo. Prva je: ono što nazivamo pismom kulture Maja sastoji se samo od simbola za brojeve i piktograma kalendarskih božanstva. Druga je: istaknuta uloga primitivne astronomije u najranijim zapisima starijih mediteranskih civilizacija. Treća, koja nam možda najviše kazuje, je princip ponavljanja (repetitivni princip), koji ilustruju poznati rimski brojevi MMMM (4000), CCC (300), XX (20), III (3), a koji je uočljiv u egipatskim, mesopotamijskim, feničanskim znacima za brojeve kao i u simbolima naroda Maje. On se nastavlja i u kineskim znacima za brojeve, kao i u ranim indijskim oblicima cifara.

Od ovih kineskih cifara koje se obično koriste u računovodstvu, tri još uvek koriste repetitivni sistem

Ako je naša dosadašnja rekonstrukcija daleke prošlosti ispravna, nije beznačajno napomenuti na ovom stupnju da je upotreba celih brojeva kao rednih brojeva za označavanje toka vremena prvobitno mnogo važnija nego njihova upotreba za prebrojavanje ulovljenih životinja koje su pripadale celom plemenu. Bilo kako bilo, za sve naše pretpostavke moramo imati u vidu sredstva kojima je čovek raspolagao za ostvarenje ovog cilja. Prvi korak predstavlja urezivanje oznaka svaki dan u stub ili deblo drveta da bi se zabeležilo proticanje vremena. I ovde izučavanje spomenika Maja i

3

Tolteka, mada daleko mlađe od egipatskih i vavilonskih spomenika iz 3000. godine pre n. e. Potvrđuje ono što pretpostavljamo na osnovu drugih podataka. Svake 52 godine graditelji hrama dodavali su novi sloj stepenastoj piramidi Zmije, blizu Meksiko-Sitija. Možemo pretpostaviti da je sledeći stupanj u nastajanju pisanih spomenika (neđu kojima su se našli i pečati prvobitno poezani sa životinjom-totemom koja je žrtvovana nekog od ključnih dana primitivnog kalendara), predstavljalo grupisanje zareza radi uštede prostora. Po svojoj prilici su čuvari kalendara smatrali pogodnim da grupišu oznake urezane u kamenu ili drvenom stubu na sledeći način, kako bi označili da je proteklo 27 dana:

Tokom vremena, kasniji zapis takvog događaja mogao bi dobiti stilizovaniji oblik, tako da bi nekoliko milenijuma kasnije Cezar, ili pre Cezarov rob, taj isti broj zapisao ovako:

Ovde se javljaju dva moguća rešenja. Najčešće je grupa koju danas zovemo baza, neki umnožak od pet - koliko ima prstiju na jednoj ruci. Većina naroda sveta, kao i Egipćani, koriste 10; Rimljani kao što znamo upotrebljavali su i 5 (V) i 10 (X). Maje su koristii 20, tj. broj prstiju na rukama i nogama, ali uz jedno upadljivo odstupanje (anomaliju), što takođe svedoči kako je velika društvena potreba nagnala narode na primitivnom nivou društvenog života da beleže proticanje vremena.U skladu sa brojanjem zrnaca na abakusu (računaljci o kojoj ćemo govoriti kasnije), Maje su koristile vrednosti 1, 20, 360, 7200, 144.000 i tako dalje. Vrednost koja odstupa od pravila je 360, tj. 12 lunarnih meseci po 30 dana, što predstavlja raširenu ranu ocenu sunčeve godine. To je najbolje što se moglo učiniti ako se uopšte pretpostavi da je moguće potpuno uskladiti primitivan kalendar zasnovan na broju punih meseci sa sezonskim sunčevim ciklusom. U svojim astronomskim izračunavanjima Vavilonci su dosledno koristili bazu 60; kasnije ćemo videti da je to pružalo znatne olakšice u radu sa razlomcima. Međutim znaci koje su oni preuzeli od svojih učitelja Sumeraca bili su takvi da su se umnošci određenog stepena baze izražavali repetitivno na složen način. Iako lucidan u poređenju sa grčkim i jevrejskim sistemom, ovaj repetitivni način pisanja bio je veoma glomazan. Možda čak i V, L, D etrursko-rimskog sistema ne predstavlja ostatak ranije baze 5, već način za uštedu prostora, sličan kasnije pronađenom načinu inverzije (na primer IV za IIII ili XLIV za XXXXIIII). Za računanje su se svi pismeni ljudi antike, čak od početka nove ere, oslanjali uglavnom na dečiju spravu nazvanu abakus (računaljka). U najrazvijenijem obliku to je ram sa razapetim žicama na koje su nanizana zrnca tako da se mogu pokretati duž žice. U prvo vreme to je verovatno bio niz udubljenja u pesku sa kamenčićima koje je onaj ko računa pomerao i zamenjivao na određen način. U stvari, medicinski termin calculus za kamen u bešici i isti koren u reči kalkulacija nastali su od latinske reči za kamičak, šljunak. Na abakusu se radi na jedan od dva načina. Udubljenje može da sadrži onoliko kamička kolika je baza. Kada se udubljenje napuni, treba ga isprazniti, staviti jedan kamičak u sledeće udubljenje i odbaciti ostale. Ili, udubljenje može sadržati jedan kamenčić manje nego što je baza. Tada se sledeći kamičak odmah stavlja u sledeće

4

udubljenje, pa se onda isprazni prethodno. Vavilonci, a kasnije i Grci, koji su od njih naučili ono malo čto su znali o veštini računanja, imali su različite ad hoc postupke pomoću kojih su štedeli vreme pribegavajući tablicama suviše dugim da bi se pamtile. Ono čto su Grci nazivali aritmetikom, naime ispitivanje prostih brojeva i redova, kao na primer zbirova kvadrata ili prirodnih brojeva – nema nikakve veze sa našim prostim pravilima računanja na hartiji, koja se mnogo prikladnije nazivaju arapskim terminom algoritam.

Ovaj fragment kalendarskog zapisa iz Atine, iz V veka pre nove ere, pokazuje rane grčke oznake za brojeve

koji su korišćeni repetitivno, kao kod rimskih brojeva Naš zaključak da je početni impuls stvaranju zapisa svih vrsta dala društvena nužnost primitivnog računanja vremena, kada su se tokom neolitske revolucije u toplijim krajevima Severne hemisfere pojavila stalna naselja, bio bi dovoljno prihvatljiv čak i da ga ne potvrđuju impresivni ostaci kalendarskih zapisa u vidu skulptura u hramovima centralnoameričke džungle. U svakom slučaju, repetitivni karakter najstarijih zapisa brojeva, bilo u Egiptu, Mesopotamiji, feničanskim kolonijama ili Kini, koji do današnjeg dana čuvaju etrursko-rimski brojevi što se još uvek upotrebljavaju za označavanje glava u knjizi ili na brojčaniku časovnika, ubedljivo svedoči o nastanku znakova za brojeve iz zareza kojima su se beležili uzastopni događaji. Medicinski termin calculus za kamen u bešici podseća nas na starinu već pomenute oznake, pokretljivije no što su zarezi na deblu drveta ili kamenom stubu. Potreba za ovakvom oznakom ipak nije mogla nastati pre nego što se pojavila potreba za korišćenjem brojeva kao oznaka za merenje. A ova se javila zajedno sa počecima istorijskih zapisa, kada je postala moguća kvazinarativna forma pisanja pomoću piktograma nastalih iz pečata sa otemističkim oznakama svetih životinja. Ovi pečati korišćeni su prvobitno kao simboli vlasti, sopstvenosti, ili kao potpis majstora; nastali su verovatno iz elemenata koji vuku poreklo još iz pećinskih slika lovaca orinjačkog perioda. Potreba za brojevima kao oznakama za merenje nastaje zajedno sa privatnom svojinom, tj. onda kada sveštenici-astronomi i čuvari kalendara, sa privilegisanom kastom nadzornika i arhitekata, počinju da ubiraju porez od onih koji obrađuju zemlju. Prema tradiciji, egipatski sveštenici, bar u jednoj epohi, razrezivali su porez prema veličini zemljičnog poseda. Često gubljenje međa usled poplava Nila izazvalo je potrebu za ponovnim razrezivanjem poreza, te su bile neophodne neke standardne mere za merenje površine kao i zapreminske mere za određivanje količina prikupljene robe. U Sumeru je rani nastanak trgovačke klase, koja je trgovala metalima i sličnom robom, činio nužnim stvaranje tačnog sistema težina koji je garantovala vlast.

5

Iako na prvi pogled stvaranje sistema težina i mera nema mnogo veze sa razvojem čiste matematike, ipak je ovaj događaj bio bitan korak napred u razvoju shvatanja broja. Sve dok se brojevi koriste samo kao oznake pri brojanju dana i punih meseca, solsticija, ili ovaca u stadu, nema osobite potrebe za pojmom razlomka. Tako se stado u kojem ima 31

ovca može podeliti samo na 30 načina, naime: ,313,

312,

311 itd., besmisleno je govoriti o

dve petine ili o 0,1 stada. Kada jednom počnemo da merimo zemlju ili porez i da trampimo robu, možemo slobodno deiti na proizvoljan pogodan način našu najveću jedinicu (na primer tonu) na manje jedinice (na primer funte, unce, kilograme). Ostaci ovog konkretnog shvatanja razlomaka znatno su kočili razmišljanje o broju u staro vreme. I mi kao deca upoznajemo najpre razlomke kao toliko i toliko (m) od ukupnog broja (n) jednakih delova nečega. Prvi značajan korak u čistoj matematici bila je dilema sa kojom su se suočili rani grčki matematičari susrevši se sa razlomcima koji se ne mogu izraziti na ovaj način. Oni su se mogli sresti sa tom dilemom u povoljnijim uslovima da nisu učinili odlučujući korak natrag na važnoj etapi u istoriji ljudskih komunikacija. Narativno simboličko pisanje sveštenika koji su se starali o kalendaru predstavljalo je veštinu dostupnu samo malom broju ljudi. Odlučujući korak napred učinjen je kada su semitski robovi u Egiptu izumeli prve grube oblike alfabetskog pisma negde oko 1800. godine pre n. e. Novi način pisanja imao je dve vrline. Bio je lakši za učenje i mnogo pogodniji nego način pisanja iz hramovnih arhiva. Ipak, njegov razvoj do savršenog oblika bio je spor proces. Do nastanka grčke literature, hiljadu godina kasnije, alfabetsko pismo, koje su semitski narodi Istoka prenosili zapadnim pomorskim putevima i istočnim kopnenim, imalo je ograničenu upotrebu među trgovcima i pomorcima samo za kratke zapise. U vreme kada ljudi nisu osećali svu prednost alfabeta niti predviđali da će on potpuno potisnuti ostale oblike pisma kao sredstvo za beleženje nagomilanog znanja – učinjena je bitna greška: brojevi su se počeli predstavljati slovima. Očevidno značenje M i C u etrursko-rimskom sistemu brojeva, koji zadržava repetitivni princip, kao i najraniji grčki brojni sistem, nagoveštava da je to počelo bez namere da se štedi prostor. Međutim Jevreji i kasnije Grci upotrebili su ceo alfabet da izgrade nov sistem brojnih znakova sa različitim oznakama za isti broj jedinica na različitim kolonama abakusa. Teško je u punoj meri oceniti koliko su štetne bile posledice ovog koraka. Njima je simbolički jezik brojeva odvojen od operacionalnog značenja repetitivnog sistema. On je još otežao razmišljanje o brojevima koji su suviše veliki da bi se mogli predstaviti znacima alfabeta. Pamćenje tablica sabiranja, oduzimanja i množenja, da bi se olakšao rad sa relativno malim brojevima na abakusu, postalo je skoro natčovečanski zadatak. Astronom je postao još zavisniji od tablica i mehaničkih pomoćnih sredstava, vršeći sa naporom svoja izračunavanja, koja mi sada naučimo da sa lakoćom obavljamo još u osnovnoj školi. Bez sumnje je ovo usporilo pojavu one vrste simboličkog jezika koju obično nazivamo algebrom. Između ostalog, ovo je takođe doprinelo održavanju sujeverja o srećnim, nesrećnim i svetim brojevima kada je tako napisani broj imao značenje kao reč; tako je, na primer, magični kvadrat davao ime božanstva koje se kod Jevreja nije smelo pominjati. Danas više ne moramo da se mučimo pri računanju i da se petljamo sa abakusom zato što je negde između 300. i 700. godine n. e. u trgovačkim kućama Indije nastao običaj da se prazna kolona abakusa predstavlja tačkom, od koje je kasnije nastao naš znak za nulu.

6

Originalno ime toga znaka, sunja, što znači prazno, svedoči o njegovom poreklu. Kada se ima takav znak, položaj kolone abakusa može da se označi bez pribegavanja novim simbolima tipa M, C, X u rimskom sistemu. Ukratko, broj potrebnih simbola osim nule je za jedinicu manji no što je baza, tj. 9 ako je baza 10. Tada iste tablice sabiranja, oduzimanja i množenja, koje je lako zapamtiti, važe za bilo koju kolonu. Kada ih naučimo, tada računsku operaciju možemo preneti na hartiju a da ne moramo mehanički pregrupisavati zrnca na računaljci.

Indijsko-arapske cifre pokazuju na ekonomičan način stanje na abakusu. Egipatski, rani grčki i arapski znaci za brojeve čine to na komplikovaniji način. Svi oni koriste različite oznake za zrnca u različitim

kolonama, ponavljajući znak onoliko puta koliko ima zrnaca. Svima im nedostaje znak koji označava da je kolona prazna.

Brojni sistem Maja takođe je imao znak za nulu; ali ga je abnormalna promena baze, kojom je koloni posle 20 data vrednost 360 umesto 400, lišili njegove maksimalne korisnosti. Velika prednost brojnog sistema koji dugujemo indijskoj civilizaciji zavisi isključivo od činjenice da položaj znaka u nizu označava broj jedinica na uzastopnim žicama računaljke sa fiksnom bazom; na primer 423 znači 4 (100) + 2 (10) + 3 (1), ako je baza (b) jednaka 10. Pravila rada na abakusu čije žice (ili udubljenja) mogu primiti isti broj zrnaca ne zavise od veličine toga broja. Tako vrlo velike prednosti sistema koji danas koristimo nemaju nikakve veze sa činjenicom da je naša baza 10. Veća baza (na primer 20 ili 60) uslovila bi potrebu da se pamte duže tablice sabiranja, oduzimanja i množenja, a manja baza zahtevala bi više prostora za pisanje brojeva. Sa b=3, na primer, broj koji mi pišemo kao 423 bio bi 1 (243) + 2 (81) + 0 (27) + 2 (9) + 0 (3) + 0 (1), što mo9žemo napisati (120200) 3 da bismo ga razlikovali od (423)10 . Sabiranje, oduzimanje i množenje za b=3 vrši se uz pomoć tablica koje su date niže, a u kojima cifre kurzivno pisane daju instrukcije koje mi obično nazivamo „pozajmljivanje“. Sabiranje Oduzimanje Množenje 0 1 2 10 0 1 2 10 0 1 2 10 0 0 1 2 10 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 1 1 2 10 11 1 2 0 1 2 1 0 1 2 10 2 2 10 11 12 2 1 2 0 1 2 0 2 11 20 10 10 11 12 20 10 0 1 2 0 10 0 10 20 100 Nema potrebe naglašavati da baza 2 zahteva najmanji napor pamćenja, ali zahteva najviše prostora. Tako je (8192)10 = (10000000000000) . Treba samo zapamtiti tablice: 2

7

1 + 0 = 1 1 – 0 = 1 1 x 0 = 0 1 + 1 = 10 1 – 1 = 0 1 x 1 = 1 1 + 10 = 11 10 – 1 = 1 1 x 10 = 10

1 + 11 = 100 100 – 1 = 11 10 x 10 = 100

Kod mašine, koja ne upotrebljava hartiju za računanje i registruje samo poslednji stepen izračunavanja preveden na naše decimalne cifre, glomaznost predstavljanja stupnjeva izračunavanja u bazi 2 nije nikakav nedostatak, a jednostavnost koju poseduje modus operandi, a naročito algoritam za vađenje kvadratnog korena pruža značajne prednosti. Tako većina modernih računarskih mašina koristi bazu 2. Ako čitalac hoće da se malo zabavi a da to bude i korisno, i da uživa bar toliko koliko uživa rešavajući ukrštene reči, mogao bi da sastavi tablice sabiranja, oduzimanja i množenja za bazu 5; neka najpre proveri sledeći račun, a zatim i sam sastavi primere – naročito za deljenje – koje bi mogao sam rešavati. (256)10 = (2011) ; (41) = (131) : 5 10 5

(10 496)10 = (313 441) : (297) = (2 142) 5 10 5

Sabiranje 256 baza 10 2011 baza 5

10)297(

41 5)2142(

131

Množenje

256 baza 10 2011 baza 5

25641

2011131

104961024 11033

313441

2011

Hiljadu godina razdvaja početke grčke geometrije od ovog epohalnog otkrića. Ono je brzo dalo plod: osnovne algoritme koji su veoma uprostili veštinu računanja. Međutim, proteklo je još hiljadu godina pre no što smo otkrili čemu nas sve abakus može naučiti. Najvažnija – mada istorijski najkasnija – bila je mogućnost novog vida korišćenja brojeva. Mada ćemo se pri ilustrovanju toga služiti bazom deset, jasno je po sebi da bismo umesto deset mogli uzeti 2, 3, odnosno bilo koji proizvoljan broj koji bismo izabrali za bazu. Uočimo najpre niz vrednosti koje imaju zrna na sukcesivnim žicama računaljke kada te vrednosti pišemo na uobičajeni način, naime:

8

.... 10.000, 1000, 100, 10, 1 U tom nizu 10.000 (=10 ) predstavlja 1 sa 4 nule, 1000 (=10 3 ) je 1 sa 3 nule, a 100 (=10 ) – 1 sa 2 nule. Stoga se 10 može pisati kao 101 a 1 kao 10 , tj. 1 bez ikakvih nula. Za sada je to samo koncizniji način pisanja broja koji označava ishod brojanja. Možemo, međutim, to posmatrati i sa druge tačke gledišta, naime: 10 5 predstavlja instukciju da 1 treba pomnožiti sa 10 pet puta, a 10 – da ga ne treba pomnožiti sa 10. Tako 10.000 X 100 = 1. 000. 000 u ovom sistemu obeležavanja znači 10 X 10 = 10 6 , što se može generalisati za cele brojeve b, m, n kao

4

2 0

0

4 2

b * b = b m n nm+

Do sada smo govorili o pozitivnim celim brojevima. Sve dok koristimo brojeve kao oznake za brojanje i merenje, možemo misliti o -6 ili -16 samo kao o nedostatku nečega (tj. kao o deficitu u onome što se duguje) ili kao o proizvoljnoj posledici imenovanja podelaka naše skale, na primer -273 C za apsolutnu nulu, a 0 C kao 273 na apsolutnoj skali. Ispitivanje abakusa označenog na upravo izložen način potkrepljuje novu upotrebu negativnih brojeva. Svaki put kada se na abakusu vrši pomeranje slova nadesno znači da delimo vrednost svakog zrnceta u koloni sa 10 i time reduciramo njegov indeks za 1. Ako označimo 10 kao 10 ( = 10 ÷ 10 1 = 10 ) i 1 kao 10 0 ( = 101 ÷10 = 10 ), u skladu je sa celokupnom strukturom ako označimo

0 0

1 2 12− 11−

101 kao 10 ( = 10 ÷10 ), 1− 0

1001 kao 10 ( =

10 ÷10 ), i tako dalje.

2−

1−

Radi uštede u prostoru, Jevreji a u kasnije doba i Grci, koristili bi celu azbuku da bi označili brojeve.

Čineći to oni su lišili simbole svakog operacionalnog značenja. Jevreji su koristili isti znak za 1000 i za 1

Dugo pre nego što je pogodnost ovog poboljšanja sredstava ljudske komunikacije postala očevidna, bilo je jasno bar jednom indijsko-muslimanskom matematičaru da smo stekli nov način pisanja razlomaka, saglasan sa pozicionim principom, tj. da se da se razlomak piše kao decimalni razlomak ako je baza deset; taj način ćemo uopšteno nazvati bazalnim. Kasnije ćemo diskutovati o značajnim teorijskim implikacijama ovog koraka;

9

ovde je dovoljno istaći da on mnogo uprošćuje problem konstruisanja svih vrsta računskih mašina. Ostavili smo sada daleko iza nas konkretan način mišljenja o razlomcima kao delovima neke jedinice, kao što su na primer, minuti i sekunde. Time smo se takođe oslobodili teškoće koja se u staro vreme smatrala znatnom. Množenje na tradicionalnom abakusu tačna je operacija; pri deljenju, međutim, obično dobijamo ostatak. Antički svet je mogao konceptualno povećati broj žica računaljke po želji, ako se ne uzme u obzir da je to ograničen sistem brojnij znakova veoma otežavao. Mada su se Vavilonci tome veoma približili, niko drugi nije mogao zamisliti neograničeno deljenje pomoću računaljke sa beskonačnim nizom kolona, da bi se predstavili razlomci čiji su imenitelji uzastopni stepeni iste baze. Kao što 5 u 10 shvatamo kao instrukciju da pomnožimo 1 sa 10 pet puta, tako i 10 tumačimo kao instrukciju da treba podeliti 1 sa 10 pet puta, i ta se instrukcija može uopštiti za pzitivne cele brojeve u obliku

5 5−

b m ÷ b n = b nm−

Ako vršenje jedne operacije poništava dejstvo druge, nazivamo tu operaciju inverznom operacijom prethodne. Tako je oduzimanje inverzna operacija sabiranju, jer oduzimanje 3 od 8 ili 14 od 23 itd. poništava efekat sabiranja 3 i 8 ili 14 i 23 itd. Na isti način deljenje je operacija inverzna množenju. Tako interpretiramo m u 10 kao: izvrši operaciju množenja jedinice m puta sa 10. Stoga interpretiramo –m u 10 kao instrukciju da se izvrši odgovarajuća inverzna operacija deljenja jedinice m puta sa 10.

m

m−

Ovo je koristan dodatak našem simboličkom jeziku, kao što se vidi i iz sledeće vežbe u prevođenju: sin A = x polutetiva koja odgovara uglu A u krugu jediničnog poluprečnika je x. ≡

sin x = A ≡ugao koji odgovara polutetivi x u krugu jediničnog poluprečnika je A 1−

Avaj, u udžbenicima srednjih škola još uvek se zadržavaju takve nedoslednosti kao što je sin 2 A umesto (sin A)2, kao što ćemo mi pisati u ovoj knjizi, a što bi Euklid zvao kvadratom semitetive. Naučivši da mislimo o broju kao oznaci za operacije, nasuprot njegovoj upotrebi kao oznake pri brojanju dana, ovaca, težina ili podelaka na skali, i time veoma proširivši naš horizont, još uvek imamo vizuelni model računaljke kao putokaz u istraživanju. Sada smo u iskušenju da učinimo korak u nepoznato. Srednjovekovni matematičari koristili su znak

x da predstave operaciju nalaženja broja koji daje x ako se pomnoži sa samim sobom.

Sada ćemo probati da napišemo 101 u obliku 10 21

21

+. Ako je pravilo 10 * 10 = 10

tačno i onda kada su n i m obični razlomci, onda moramo interpretirati

m n nm+

10 kao 10 21

,

3 10 kao 10 31

itd., i ta konvencija ne sadrži nedoslednosti. Lako je videti da je (b ) = b ako su m, n i b celi brojevi. Slično je i (b ) = b = (b m ) , tako da možemo pisati:

m n

mn m− n mn− n−

(100 3 ) 21

= 1000 = 10 = (1003 21

) 3

10

Isto tako, moramo interpretirati b 21

− kao recipročnu vrednost b , na primer 100 2

1−

= 0,1. Ako sada faktorizujemo bazu, na primer 10 = 2(5), vidimo da je 10 = 100 = 4*25 = 2 2 * 5 , ili uopšte: ako je b = f1 * f * f 3 ..., možemo pisati b m = f1 * f 2 * f 3 ...i b = f 1 * f * f 3 odakle sledi da se naš simbolički jezik može proširiti uključivanjem baze koja je običan razlomak, kao kada pišemo b = (49 ÷ 400) = 7 *

20 . Takođe se može bez nedoslednosti napisati (

2

22

m m m

m−

−

m−2

−m m−

2

2

40049 ) 2

1

= 7 * 20 = 1−

207 .

Svaki put kada se pomerimo za jedak korak sleva udesno u kolonama abakusa, delimo vrednost svakog zrnceta sa 10. Takođe smanjujemo indeks za 1. Abakus predstavlja idealan model bazalnog razlomka

Odlutali smo sada daleko u oblast gde brojevi prestaju da budu oznake za operacije koje je moguće vizualizovati uz pomoć abakusa. Zaista sada smo spremni da razmotrimo neke još nediskutovane teškoće antičke matematike. Jednu od njih predstavljalo je razumevanje mogućnosti da neograničeni red pozitivnih razlomaka može biti konvergentan u smislu da je zbir proizvoljno velikog broja njegovih članova konačan, a ponekad čak i mali broj. Koliko mi znamo, niko to nije jasno shvatio pre no što je Arhimed uradio sledeće:

(1+ 41 +

161 +

641 + ... u beskonačnost ) = S

= ( 041 + 14

1 + 241 + 34

1 + ... ad infin)

Odatle

41 S = ( 14

1 + 241 + 34

1 + ... ad infin)

Odakle se oduzimanjem dobija

(1 - 41 )S =

43 S = 04

1 = 1 i S = 34

11

Ako neko želi da se pravi mudar posle svršenog čina, mogao bi se začuditi: kako to da njihova naklonost prema upotrebi šestara nije navela stare Grke da shvate da je sukcesivna podela jedinične linije na po dva dela ekvivalentna iskazu:

itd...641

321

161

81

41

21

++++++=1

Ipak moglo bi se smatrati, zajedno sa F. Bekonom, da nije mudro veličati moći ljudskog uma, već da bi bolje bilo tražiti načine da se on usavrši. U tom slučaju trebalo bi da budemo zahvalni našim indijskim prethodnicima, čije nam je delo omogućilo da sledeći primer postojanja konvergentnih redova bude neposredno očevidan:

...

103

103

103

103

...33333,03,031

4321 +++=

==⋅

Evo kako su se zapisivali brojevi ranije Nasuprot onome što su rekli mnogi eminentni matematičari devetnaestoga veka, E. J. Bel, savremeni čisti matematičar koji piše sa nenadmašnom kombinacijom ogromne erudicije i briljantne duhovitosti, opominje nas da nećemo preuveličati naš dug prema velikoj indijskoj reformi brojnog sistema ako se podsetimo da veliki matematički traktati s kraja devetnaestog veka i iz dvadesetog veka nemaju nikakve direktne veze sa brojem kao takvim. Dovoljno je reći: ostavimo potomstvu da ono prosudi da li ovako ogromna produkcija verbalnih rasprava, bilo da je podržana neverbalnim simbolizmom ili ne, ima kakvu trajniju funkciju osim da sliži kao još nezavršeni program za otkrivanje nedoslednosti u simboličkom jeziku koji je stvaran tokom plodnog perioda otkrića za tri protekla veka. Ako je nema, onda će opravdati svoje pretenzije na dugoročni značaj samo ako proizvede, slično već pomenutoj zameni kompleksnih brojeva brojnim parovima, dosledniji i koherentniji – pa otud i komunikativniji simbolizam za one procedure čija numerička korisnost bude izdržala probu vremena.

12

Brojčanik sunčanog časovnika iz 1453. sa indijsko-arapskim ciframa

Mentalna prepreka koja je sprečila najbolje umove ranog perioda grčke matematike da lako ovladaju pojmom konvergentnog reda predstavlja jedan od mnogih primera razjašnjenja konfuzije zahvaljujući mogućnosti upotrebe pogodnije notacije za brojeve. Ispitujući jedan od komplikovanijih problema grčke aritmetike, upoznajemo se sa jednim instruktivnim načinom predstavljanja celih brojeva i stičemo informacije koje nam pomažu da rešimo već pomenutu dilemu grčkih matematičara. Euklid je dao dokaz tvrđenja da nema granice broju prostih brojeva. Zapravo, on je postupio na sledeći način. Pretpostavimo da ne znamo prost broj veći od 17. Pomnožimo sada sve proste brojeve do 17, uključivši i taj broj, tako da dobijemo: 1 5105101713117532 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Jedini brojevi sa kojima je ovo deljivo jesu njegovi faktori i njihovi produkti, na primer 10, 21, 39 itd. Dodajući 1 dobijamo 510511, koji daje ostatak 1 ako ga podelimo sa bilo kojim od njegovih prostih faktora, a stoga i produktom tih faktora. Prema tome, taj broj nije faktorizabilan, te je stoga prost broj veći od 17. Argument se lako može generalisati. Ma kako veliki bio najveći prost broj koji možemo navesti, uvek možemo naći drugi veći od njega dodajući 1 proizvodu svih prostih brojeva do njega i njega samog. Raspolažući ovim i koristeći indeksnu notaciju možemo sagledati bar jedno svojstvo brojeva koje je više zbunjivalo najbolje umove antike no što bi danas zbunilo inteligentnog dečaka koji ume da izvrši sledeće proste procese prevodjenja. Ako a, b, c itd. svaki odgovara nekom pozitivnom broju ili nuli, možemo očevidno izraziti svaki pozitivan ceo broj (n) kao proizvod stepena svih prostih brojeva koji su manji od njega (ili jednaki njemu) u obliku:

itdnpr

itdn fedcba

...131175321261....13117532

001122 ⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅=

Ovo je očevidno tačno: (a) zato što se svaki faktorizabilan broj može izraziti kao proizvod prostih brojeva na primer ; (b) zato što je b za svako b, te 23 52200 ⋅= 10 =

13

svaki prost broj čiji je stepen nula, budući jednak jedinici, uopšte ne doprinosi rezultatu, na primer . Prost broj se može naravno izrazitio u tome obliku: 23203 52532 ⋅=⋅⋅ 171713117532 1000000 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅Pretpostavimo sada da je p ceo broj i da je drugi ceo broj N jednak p-tom stepenu n koje je napisano na navedeni način, tako da je

nitdN

itdN

dcbap

dPcPbPaP

=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

....7532

.....75321

Ako kažemo da je p-ti koren celog broja (N) i sam ceo broj (n), to znači da je stepen (različit od nule) bilo kog prostog faktora N ili p ili tačen umnožak p. Pogledajmo sada kako se može faktorisati takav ceo broj N. U cilju ilustracije možemo pretpostaviti da je N( ) p-ti stepen celog broja n( ) čija samo četiri prva prosta faktora imaju imaju indekse (a, b, c, d) veće od nule. Svi mogući načini razlaganja N na dva faktora od kojih je svaki p-ti stepen nekog celog broja dati su onda ovako:

dPcPbPaP 7532 ⋅⋅⋅= dcba 7532 ⋅⋅⋅=

aPPdcbbPPdcacPPdbadPPcba

PcbPdaPdbPcaPdcPba

2)753(3)752(5)732(7)532()53()72()73()52()75()32(

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅

Zato je sledeći iskaz uvek istinit: Ako se ceo broj (N1 ), koji je p-ti stepen drugog celog broja, može razložiti na dva faktora od kojih je jedan takođe p-ti stepen celog broja, onda i drugi faktor mora takođe biti p-ti stepen nekog celog broja.

)( 2N

Ovde je važno shvatiti šta ovaj iskaz ne znači, naime: da je nemoguće razložiti p-ti stepen celog broja u dva faktora osim ako se svaki može izraziti kao p-ti stepen nekog celog broja. Na primer, možemo razložiti na dva faktora na jedan od dva načina: 23 )32(576 ⋅=

(a) oba su potpuni kvadrati: 4(144): 9(64): 16(36)

(b) nijedan od njih nije potpun kvadrat: 2(288): 3(192): 6(96)

Ispitajmo sada kakvo značenje možemo dati veličini tipa 3 5 u staroj notaciji, a 5 31

u našoj, informativnoj, u svetlosti ovog argumenta. Pošto je 113 = i , kubni koren svakog broja između 1 i 8 treba da leži između 1 i 2. Zato padamo u iskušenje da pretpostavimo da se

823 =

3 5 može izraziti kao nepravi obični razlomak pomoću celih brojeva a i b (>a) kao:

14

b

baba +=+= 153

Ako zamenimo (a + b) celim brojem a b zamenimo sa da bismo uhvatili vezu sa prethodnim argumentom, tada možemo napisati:

1N 2N

32

31

32

31

2

13

5

5;5

NN

NN

NN

=∴

==

Videli smo, međutim, da to može biti istina samo ako je 5 jednako kubu celog broja; no mi znamo da nije tako. Stoga moramo zaključiti da se 5 ne može predstaviti kao odnos dva cela broja tj. kao običan razlomak. Čitalac bi mogao primeniti ovaj argument na prostiji slučaj

21 , NN2 . Odatle sledi da se ni 2 ne može izraziti u vidu običnog razlomka,

pa stoga ni odnosi tipa 2:5 ili 1:2 ne mogu biti predstavljeni u vidu običnih razlomaka. I pored toga, iz primene metoda probe i greške znamo da ipak možemo naći broj između 1 i 2 čiji je kub tako blizu 5, ili čiji je kvadrat tako blizu 2, koliko nam se god prohte da im se približimo. Možemo sve više sužavati grešku u izračunavanju takvoga broja. Tako: (1,4) 2 = 1,96 < 2 < 2,25 = (1,5) 2

1,4 < 2 21

< 1,5 Nastavljajući na taj način, nalazimo:

1,41 < 21

2 <1,45

1,414 < 21

2 <1,415

1,4142 < 21

2 <1,41423

4142135,1 < 21

2 < 4142136,1 Pre no što počnemo diskusiju o tome kako da podesimo našu predstavu o razlomcima da bismo u nju uklopili prividno paradoksalan zaključak da takvi, takozvani iracionalni, brojevi ne mogu biti predstavljeni kao odnos dva cela broja, treba napomenuti da oni nikako nisu nešto izuzetno. Pošto je 422 = , , , , ima dva cela broja (2, 3) čiji iracionalni kvadratni koreni leže između 1 i 2 (ili -1 i -2), šest (2, 3, 4, 5, 6, 7) čiji kubni korenovi, četrnaest čiji četvrti korenovi i 8190 čiji 13-ti korenovi takođe leže između istih granica, pozitivnih ili negativnih. Ono što bismo mogli nazvati gustinom takvih brojeva između uzastopnih celih brojeva ravnomerno raste. Postoji 126 celih brojeva čiji iracionalni sedmi koren leže između 1 i 2, ali broj celih brojeva čiji sedmi koren leže između 9 i 10 u stvari je veći od 5 miliona. Metodom probe i greške, pre no što bi pokušao da nađe opšti dokaz, čitalac bi mogao pokazati da je broj celih brojeva čiji iracionalni p-ti koreni leže između N i N + 1 ili –N i –(N + 1) jednak (N+1) -(N +1).

823 = 1624 = 8192213 =

P

P

15

Činjenica da grub pojam o realnom broju kao celom broju ili odnosu dva cela broja ne može obuhvatiti široku klasu razlomaka bila bi vrlo uznemirujuća kada bi naši jedini

načini beleženja razlomaka bile obične forme tipa 481203

1712,

95 ili . To prestaje da nas brine

kada potpuno ispitamo sve implikacije bazalne notacije. Mada se svi obični razlomci, koji se mogu izraziti kao odnos dva cela broja, takođe mogu izraziti i kao decimalni razlomci, obrnuto, srećom, nije istina. Razlomci koji se mogu izraziti kao odnos dva cela broja dele se:

(I) ako imenitelj ne sadrži druge faktore osim stepena prostih faktora baze (tj. ako je u obliku 2 ba 5⋅ ako je baza 10), onda se odgovarajući bazalni razlomak svršava na a-tom mestu ako je a>b ili na b-tom mestu ako je b>a; npr. u decimalnom sistemu

1875,052

3163

04 =⋅

= i 08,052

2252

20 =⋅

=

(II) ako imenitelj sadrži faktor koji je prost broj, a nije faktor baze, ponavlja se neograničeno isti niz jedne ili više cifara, kao u slučaju

32 = 0, = 0,66666...

⋅

6

73

= 0, 2857 = 0,428571428571428571... ⋅

4⋅

1

Decimalni razlomci drugog tipa, tj. periodični (rekurentni), koji se nikad ne završavaju, dvostruko nas interesuju. Kao što smo videli, oni nas familijarizuju sa pojmom konvergentnog beskonačnog reda, tj. sa činjenicom da se mogu neograničeno dodavati sve manji i manji razlomci a da se u izvesnim slučajevima ne pređe određeni broj. Na

primer, odmah vidimo da 0, leži između 0,11 i 0,12, između 0,111 i 0,112, između 0,1111 i 0,1112, itd. Svaki beskrajni periodični bazalni razlomak zaista je ekvivalentan beskonačnom redu čiji članovi imaju imenitelje koji su rastući stepeni baze. Nema, međutim, nikakvog razloga da imenitelji sukcesivnih članova beskonačnog reda običnih razlomaka rastu samo na ovaj način.

⋅

1

Definišući obične razlomke pomenuta dva tipa, mi nismo iscrpeli sve zamišljene

bazalne razlomke. Možemo zamisliti i konstruisati konvergentne beskonačne redove u kojima nema nikakve pravilne periodičnosti u nizu cifara decimalnog razlomka, npr. 0,23223222322223... Važan primer je Ojlerov broj (e=2,7182818285), kod koga je deo iza decimalne zapete jednak redu

21

1⋅

+321

1⋅⋅

+ 4321

1⋅⋅⋅

+ 54321

1⋅⋅⋅⋅

itd.

16

Ovde imamo deset značajnih datuma svetske istorije ispisanih različitim brojnim znacima korišćenim u staro doba

Lako je videti da ovaj red konvergira. Kada dođemo do devetog člana, koji je

10321

1⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 362880

1 ,

Ostatak reda može se uprošćeno napisati

362880

1 (111 +

121111⋅

+131211

1⋅⋅

...)

Tako je ostatak posle 9 članova manji od

362880

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ inad inf...

101

101

101

321 = ( )36288091

Najpre, nemamo nikakvog razloga da verujemo, a imamo dobre razloge da sumnjamo,

da je moguće izraziti kao egzaktan odnos dva cela broja beskonačan neperiodičan bazalni razlomak koji je izgrađen od članova čiji imenitelji sadrže kao faktore neograničene nizove različitih prostih brojeva. Videćemo kasnije da se svaki iracionalni broj može izraziti kao zbir reda beskonačno mnogo članova čiji imenitelji sadrže u sebi sve više različitih prostih brojeva. Ipak, nemogućnost predstavljanja oracionalnog broja u vidu odnosa dva cela broja manje će nas zbunjivati na ovom stupnju ako se upoznamo sa jednim načinom pisanja razlomaka koji u stvari omogućuje da se iracionalni broj predstavi na racionalni način.

Kao primer nam može poslužiti 5 21

. Znamo da je 2 = 4 i 3 = 9. Ako 52 2 21

ima neki smisao on mora ležati između 2 i 3, pa ga možemo pisati u obliku 2 + r, gde je r ostatak u vidu razlomka. Tako je (2 + r) = 5, te je 2

2 4 + 4r + r = 5 i r (4+ r) = 1

17

∴ r = r+4

1

∴ r =

r++

414

1

∴ r =

r++

+

414

14

1

I tako dalje u beskonačnost

Možemo proveriti i ustanoviti da je

414

141

+>> r

Ukratko možemo sukcesivno nalaziti sve finije granice između kojih leži r, koristeći

kao aproksimacije:

414

14

14

1;

414

14

1;

414

1;41

++

++

++

U decimalnoj notaciji to daje 0,25; 0.2353; 0,2361; 0,2360 .... Kvadrirajući (2 + r) na osnovu srednje vrednosti poslednjeg para, dobijamo broj koji se

razlikuje od 5 za manje od 1 prema 50000, naime (2,23605) = 4,99992 (tačno sa 6 značajnih cifara).

2

Iz prethodnih primedbi ne sme se zaključiti da neprekidni razlomak nužno odgovara neperiodičnom beskonačnom bazalnom razlomku. Dovoljan je jedan primer da pokaže da to nije tačno. To je ustvari opštija struktura, koja obuhvata obične razlomke kao

specijalan slučaj. Ako izaberemo (2 + r) za 4 21

, dobijamo odmah r = 0; no ako izaberemo (1 + r), dobijamo

18

r

r

r

rr

r

++

+=≡

++

=≡+

=

232

32

3

232

32

3

Sukcesivne aproksimacije dobijene zanemarivanjem r u donjoj liniji su:

itdrrr .....2021

762

3;76

232

3;23

321 =+

==+

==

Jedanaesta i dvanaesta aproksimacija su respektivno

132680

11132680132681

11 +==r

398041

11398041398040

12 −==r

Tako se r sve više približava granici 1≈r u skladu sa jednakošću (1 + r) 2 = 4.

Mada zauzima mnogo prostora, neprekidni razlomak ima jednu prednost. Alternativne

aproksimacije su čas veće čas manje od stvarne vrednosti. Tako smo izveli za 51

vrednosti 2,25, 2,2353, 2,2361, 2,2360 ... itd. Pri svakom koraku stvarna vrednost leži između dve susedne ocene, tako da je

itd....2360,252361,252353,2525,2 21

21

21

>><<>> Kada smo ovako rešili paradoks da se neki razlomci ne mogu predstaviti kao odnos dva

cela broja, ostaje nam još da otklonimo vrlo opravdanu sumnju izazvanu zapažanjem da ne možemo egzaktno niti pomnožiti niti podeliti broj tipa 5 brojem tipa 3 . Videćemo kasnije da su grčki matematičari staroga doba reagovali na ovaj izazov zamenivši pojam broja pojmom veličine. To stvarno znači da su oni napustili svaki pokušaj da interpretiraju odnos tipa 7:5 na bilo koji način izuzev pomoću idealizovanog crteža. Pošto nisu mogli predvideti elektronski mozak, nisu osećali obavezu da se izražavaju jedinim jezikom koji on razume. Mi međutim, ne možemo izbeći ovu obavezu.

Videli smo da brojeve tipa 5 i 3 možemo izraziti sa proizvoljnom tačnošću koja odgovara cilju računanja; međutim nismo pokazali da sa njima možemo pouzdano računati. Odnosu tipa 3:2 dali smo značenje koje zadovoljava praktične potrebe, ali nismo dali nikakvo značenje odnosu tipa 5 : 3 . Pitanje je veoma važno kad računanje prepuštamo elektronskom mozgu, osim ako smo spremni da mu damo blanko ček. Na sreću, naš indijski brojni sistem, koji omogućuje da se tako lako shvati postojanje

19

konvergentnih redova, pomaže nam i ovde, i to iz istog razloga. Pogledajmo dva sledeća broja:

(a) 1000,9 (b) 9999,0 Ako zadržimo samo prve četiri cifre beskonačnoga reda (a), relativna greška bila bi

manja kada bi se u ostatku nalazila bilo koja druga kombinacija cifara ili kada bi se u zadržanom delu nalazile bilo kakve druge cifre osim nula. U istoj situaciji beskonačni red (b) imao bi upravo suprotne osobine: ma kakva druga kombinacija cifara u zadržanom delu činila bi relativnu grešku većom, isto kao i zamena jedne ili više nula u ostatku nekom drugom cifrom. Uopšte, možemo reći da odbacivanje svih značajnih cifara posle n-te dovodi do najveće moguće relativne greške ako se realni broj može izraziti u obliku:

)110(10 1

1 += −nPN

)

Na primer 1,0009 = 10 (1001) 3−

Ako zapišemo 99 = 10 -1, 999 = 10 -1 itd., možemo na sličan način formulisati uslov

da je relativna greška najmanja ako se broj može predstaviti u obliku: 2 3

110(102 −= nPN Na primer 99,999 = 10 (100 000 - 1) 3−

Trebalo bi ba bude jasno da je maksimalna relativna greška u proizvodu, koja rezultuje

iz zadržavanja samo n značajnih cifara u svakom od faktora, najveća kada se svaki od njih može predstaviti kao N1 gore. Pogledajmo stoga situaciju kada je

)110(10

)110(10);110(101

11

+=

+=+=−+

−−

nqP

nqnP

abba

Ako odbacimo sve značajne cifre posle n-te, naše će se aproksimacije tada moći izraziti kao

22

11

19101010;1010

−+

−−

⋅=

⋅=⋅=nqP

nqnP

ABBA

Pošto je , apsolutna greška je 110210)110( 12221 +⋅+=+ −−− nnn

ab- AB = Δ = )1102(10 1 +⋅ −+ nqp

Odatle je relativna greška:

21

1

)110(1102

++⋅

=Δ

−

−

n

n

ab< 2210

1102−

+⋅n

n

20

To je najveća relativna greška koja se može napraviti pri računanju proizvoda ako se zadrže samo prvih n značajnih cifara oba faktora. Pretpostavimo da smo odbacili sve cifre posle šeste; iz formule se vidi da relativna greška proizvoda nikad ne moze preći

0000100005,0102

110210

5

=⋅

−⋅

Kada delimo jedan broj drugim, mogu nastati četiri situacije, u skladi sa napred rečenim. Biće dovoljno da razmotrimo dve: relativna greška u brojitelju je najveća moguća a relativna greška u imenitelju najmanja moguća, ili obratno. Za prvi slučaj može se napisati:

)110(10)110(10 1

−+

=−

nq

nP

ba

Naše aproksimativne vrednosti biće tada

11010

)110(101010 1

−=Δ=−

−⋅

=

−

−

n

qP

nq

nP

BA

baBA

Relativna greška je ba

÷Δ , tako da je

110

11 +−n < 110

1−n

Alternativno možemo učiniti da relativna greška u imenitelju bude najveća, tako da je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=Δ

⋅−

=+−

=

−−

−−

)110(101

10)110(10

1010)110(10;

)110(10)110(10

11

11

nnn

nn

nq

nn

nP

BA

ba

a relativna greška je 1101−n .

To je najveća relativna greška koja se može učiniti ako se odnos a : b interpretira kao

običan razlomak čiji je brojitelj jednak sa n prvih značajnih cifara a i čiji imenitelj je

21

jednak sa n prvih značajnih cifara b. Ako je n = 6, relativna greška ne može nikad biti veća od 0,00001.

Izmedju 1 i 2 leže iracionalni kvadratni koreni dva cela broja, iracionalni kubni brojevi šest celih

brojeva, iracionalni četvrti koreni četrnaest celih brojeva, i iracionalni n-ti koreni dva na n minus dva celih brojeva

Kada mehanički uređaj za računanje odbaci sve značajne cifre posle prvih n u nekoj

operaciji množenja ili deljenja, znamo, dakle, da relativna greška ne može nikad biti veća od određenog broja. Možemo računati proizvod ili količnik dva beskonačna decimalna razlomka, pouzdano znajući da naša greška ne može preći određenu granicu. U praksi, to je dovoljna garancija da možemo imati pouzdanja u ishod računanja na mašini. Kada bi elektronski mozak mogao govoriti, rekao bi nam otprilike ovo: Kada mi govorite o množenju ili deljenju jednog beskonačnog bazalnog razlomka drugim, mogu izvršiti vaše instrukcije tako da budete zadovoljni; no kada govorite o Euklidovim veličinama, uopšte ne razumem šta govorite.

22

23