USO DE INFERÊNCIA BAYESIANA PARA ESTIMATIVA DE ...objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/BernardLamien.pdf · Primeiramente a Deus, por ter me dado saúde, força e vontade para a realização

i

USO DE INFERÊNCIA BAYESIANA PARA ESTIMATIVA DE PROPRIEDADES

TERMOFÍSICAS COM O MÉTODO DA SONDA LINEAR

Bernard Lamien

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Rio de Janeiro

Março de 2011

ii



Bernard Lamien

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Carolina Palma Naveira-Cotta, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Gilmar Guimarães, D.Sc.

________________________________________________

Prof. José Alberto Dos Reis Parise, Ph.D

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2011

iii

Lamien, Bernard

Uso de Inferência Bayesiana para Estimativa de

Propriedades Termofísicas com o Método da Sonda

Linear / Bernard Lamien. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE,

2011.

XIV, 91 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 87-91.

1. Inferência Bayesiana. 2. Nanofluidos. 3. Sonda

Linear. 4. Propriedades Termofísicas. I. Orlande, Helcio

Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Título.

iv

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por ter me dado saúde, força e vontade para a realização

deste trabalho.

Ao meu orientador, Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, por sua dedicação, sua

atenção e sua boa vontade na orientação deste trabalho.

A meus pais e a minha família pelo apoio e os conselhos.

Ao Prof. Abdoulaye Ouedraogo e a meu orientador por ter me oferecido a

oportunidade de fazer este Mestrado.

Aos professores do Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor(LTTC)

pela simpatia e pelo apoio.

Aos amigos do LTTC com quem tive o prazer de conviver, em especial à Milena

Vilar, Wellington Bitencourt, Italo Madeira, Maycon Magalhães, Ivana Cerqueira,

Evaldiney Monteiro.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)



Bernard Lamien

Março/2011


Programa: Engenharia Mecânica

A técnica da sonda linear é umas das mais utilizadas para medir a condutividade

térmica dos nanofluidos. Neste trabalho propõe-se aplicar o método inverso de

estimativa de parâmetros à técnica da sonda linear para a identificação simultânea da

condutividade térmica e da difusividade térmica de líquidos, em particular de

nanofluidos. Um modelo matemático que leva em conta a transferência de calor na

sonda e no material ensaiado é proposto para este fim. A solução do problema direto é

obtida pelo método dos volumes finitos. É feita a análise dos coeficientes de

sensibilidade junto com a otimização do experimento para assegurar um desvio padrão

mínimo para as estimativas. Como todos os parâmetros aparecendo na formulação

matemática não são conhecidos deterministicamente, uma técnica Bayesiana é utilizada

para a solução do problema inverso. Na solução do problema inverso de estimativa de

parâmetros foram utilizadas medidas simuladas de temperatura. Foram examinados os

casos de uma sonda com capacidade térmica volumétrica alta e de uma sonda com

capacidade térmica volumétrica baixa.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M. Sc.)

USE OF BAYESIAN INFERENCE FOR THERMOPHYSICAL PROPERTIES

ESTIMATION WITH THE TRANSIENT LINE HEAT SOURCE PROBE METHOD

Bernard Lamien

March 2011

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande

Department: Mechanical Engineering

The transient line heat source probe technique is widely used for the

measurements of the thermal conductivity of nanofluids. In this work an inverse

parameter estimation technique is applied to the transient line heat source probe

technique aiming at the simultaneous estimation of liquids thermal properties,

particularly of nanofluids thermal conductivity and thermal diffusivity. A mathematical

model that accounts for the heat transfer in the probe and the surrounding material is

proposed. The direct problem is solved with the finite volume method. To ensure

minimum variance in the estimated parameters, the D-optimal approach is used,

together with the analysis of the sensitivity coefficients, for the design of the

experiment. Since several parameters appearing in the mathematical formulation are not

deterministically known, a technique within the Bayesian framework is used for the

solution of the inverse problem. Simulated temperature measurements are used in the

inverse analysis. The cases involving probes with high heat capacity and with low heat

capacity are herein examined.

vii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA ....................................................................... 5

2.1 Nanofluidos ..................................................................................................... 5

2.2 A Sonda Linear ............................................................................................. 11

2.2.1 Técnica Clássica .................................................................................. 11

2.2.2 Método inverso .................................................................................... 14

2.3 Inferência Bayesiana na solução de problema de transferência de calor ...... 16

2.4 Contribuições do Trabalho ........................................................................... 20

3 PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMATICA ................... 21

3.1 Sonda TP02 da Hukseflux ............................................................................ 21

3.2 Problema físico ............................................................................................. 22

3.3 Formulação matemática do problema físico ................................................. 23

3.4 Adimensionalização da formulação matemática do problema ..................... 26

4 PROBLEMA DIRETO ................................................................................. 28

4.1 Descrição do Problema Direto ...................................................................... 28

4.2 Método de Solução do Problema Direto- Método dos Volumes Finitos ...... 28

5 PROBLEMA INVERSO .............................................................................. 37

5.1 Inversão Estatística ....................................................................................... 37

5.2 Análise dos Coeficientes de Sensibilidade e Projeto Ótimo ......................... 39

6 RESULTADOS .............................................................................................. 42

6.1 Verificação da Solução Numérica do Problema Direto ................................ 42

6.1.1 Solução Analítica ................................................................................ 42

6.1.1.1 Solução analítica do problema no período de aquecimento ...... 43

6.1.1.2 Solução do Problema no período de resfriamento ..................... 45

6.1.1.3 Comparação da Solução analítica e da solução numérica ......... 46

6.1.2 Solução de Blackwell .......................................................................... 49

6.1.3 Solução da rotina PDEPE da plataforma MATLAB ........................... 50

viii

6.2 Estimativas de Propriedades com Medidas de Temperatura Simuladas- Sonda

com Capacidade Térmica Volumétrica Alta ........................................................ 52

6.2.1 Análise dos coeficientes de sensibilidade ........................................... 52

6.2.2 Projeto Ótimo do Experimento ........................................................... 53

6.2.3 Estimativa de parâmetros .................................................................... 56

6.2.3.1 Problema inverso de tipo 1 ........................................................ 57


6.3 Estimativas de Propriedades com Medidas de Temperatura Simuladas- Sonda

com Capacidade Térmica Volumétrica Baixa ...................................................... 65

6.3.1 Análise dos coeficientes de Sensibilidade ........................................... 65

6.3.2 Projeto Ótimo do Experimento ........................................................... 69

6.3.3 Estimativa de parâmetros .................................................................... 70



6.3.4 Estimativa de Parâmetros e da Posição do Sensor .............................. 77


6.3.4.2 Problema inverso do tipo 2 ........................................................ 81

7 CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA A CONTINUAÇÃO DO

TRABALHO ........................................................................................................... 85

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 3.1: Sonda linear Hukseflux TP02 do LTTC .................................... 22

Figura 3.2: Connexões da sonda TP02 ......................................................... 22

Figura 3.3: Modelo Físico ............................................................................ 23

Figura 4.1: volume de controle ..................................................................... 28

Figura 6.1: Verificação da solução numérica ............................................... 47

Figura 6.2: Verificação da solução numérica utilizando a solução de

Blackwell e a função PDEPE ....................................................................... 51

Figura 6.3:Análise dos coeficientes de sensibilidade ................................... 53

Figura 6.4: Determinante da matriz de informação para medidas com

frequência variável ....................................................................................... 55

Figura 6.5: Efeito do tempo de aquecimento sobre o determinante da matriz

de informação ............................................................................................... 55

Figura 6.6: : Cadeia de Markov para o problema inverso do tipo 1 ............. 58

Figura 6.7: Distribuições marginais a posteriori para o problema inverso do

tipo 1 ............................................................................................................. 59

Figura 6.8: Cadeia de Markov para o problema inverso do tipo 1 - Mudando

o Estado Inicial da Cadeia de Markov .......................................................... 60

Figura 6.9: Cadeias de Markov para o problema inverso do tipo 2.............. 62

Figura 6.10 Distribuições marginais a posteriori para o problema inverso do

tipo 2 ............................................................................................................. 63

Figura 6.11: Cadeias de Markov para o problema inverso do tipo 2 -

Mudando o Estado Inicial da Cadeia de Markov ......................................... 64

Figura 6.12: Análise dos coeficientes de sensibilidade ................................ 66

Figura 6.13: efeito do tempo de aquecimento sobre o determinante da matriz

de informação ............................................................................................... 66

Figura 6.14: Cadeias de Markov para o problema inverso do tipo 1............ 67

Figura 6.15: análise dos coeficientes de sensibilidade ................................. 68

Figura 6.16: análise dos coeficientes de sensibilidade ................................. 68

Figura 6.17: efeito do tempo de aquecimento sobre o determinante da matriz

de informação ............................................................................................... 70

x



tipo 1 ............................................................................................................. 73



tipo 2 ............................................................................................................. 76



tipo 1 ............................................................................................................. 80



tipo 2 ............................................................................................................. 83

xi

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 6-1: Comparação das temperaturas obtidas com a solução analítica e a

solução numérica- Ponto 1 .................................................................................... 48


solução numérica- Ponto 2 .................................................................................... 48


solução numérica - Ponto 3 ................................................................................... 49


solução numérica – Ponto 4 .................................................................................. 49

Tabela 6-5: Distribuições de Probabilidade a priori dos Parâmetros para a Solução

do Problema de Tipo 1 .......................................................................................... 58

Tabela 6-6: Resultados obtidos para o problema inverso do tipo 1 ...................... 60

Tabela 6-7: Resultados obtidos para o problema inverso do tipo 1- Mudando o

Estado Inicial da Cadeia Markov .......................................................................... 61

Tabela 6-8: Distribuições de Probabilidade a priori dos Parâmetros para a Solução

do Problema de Tipo 2 .......................................................................................... 62

Tabela 6-9: Resultados obtidos para o problema inverso do tipo 2 ...................... 64

Tabela 6-10: Resultados obtidos para o problema inverso do tipo 2- Mudando o

Estado Inicial da Cadeia Markov .......................................................................... 65

Tabela 6-11: Distribuições de Probabilidade a priori dos Parâmetros para a

Solução do Problema de Tipo 1 ............................................................................ 71

Tabela 6-12: Resultados obtidos para o problema inverso do tipo 1 .................... 74










xii

NOMENCLATURA

LETRAS LATINAS

a coeficientes associados ao volume de controle

Bi número de Biot

pc

calor específico a pressão constante

Cs capacidade térmica volumétrica da sonda

D número de volumes de controle na região do fluido

E função integral exponencial

g(t) termo fonte de calor por unidade de volume

h coeficiente global de transferência de calor

Hs altura da sonda

I número de medidas de temperatura

L número de volumes de controle na região da célula

Iel intensidade de corrente na sonda

kf condutividade térmica do fluido

Kf* condutividade térmica adimensional do fluido

km condutividade térmica do material da célula

Km* condutividade térmica adimensional do material da célula

m coeficiente angular

fn normal ao fluido

Q potencia dissipada por unidade de comprimento da sonda

fq fluxo de calor transferido ao fluido pela sonda

P vetor dos parâmetros sendo estimados

r posição radial

xiii

R posição adimensional

Rem resistência elétrica por comprimento da sonda

Rint raio interno adimensional da célula

Rext raio externo adimensional

rext raio externo da célula

rint raio interno da célula

rs raio da sonda

t tempo

T temperatura calculada

Vs volume da sonda

Xp índice de posição do segundo sensor

y constante de Euler

Y vetor de medidas de temperaturas adimensionais

LETRAS GREGAS

αf difusividade térmica do fluido

αf* difusividade térmica adimensional do fluido

αm difusividade térmica do material da célula

αm* difusividade térmica adimensional do material da célula

β autovalor

Γ Norma das autofunções

passo de tempo adimensional

R largura do volume de controle

ρ densidade

σ desvio padrão

ϴ temperatura adimensional calculada

xiv

ϴ vetor de temperaturas adimensionais calculadas

τ tempo adimensional

ψ autofunção

ω variável randômica

SUBSCRITOS

0 tempo inicial

ex exato

f fluido

final tempo final

h período de aquecimento

m material da célula

nh período de resfriamento

s sonda

ref propriedades do material de referência

~ vetor

1

1 INTRODUÇÃO

As cargas térmicas vêm crescendo em várias áreas tais como a

microeletrônica, a indústria do petróleo, etc. Neste contexto a miniaturização dos

aparelhos (MEMS) e a nanotecnologia aparecem como uma nova revolução em

crescimento rápido. Porém, a gestão das cargas térmicas importantes nestes sistemas

aparece como um desafio e a condutividade térmica dos fluidos de transferência de

calor torna-se importante. Os fluidos de transferência de calor tradicionais tais como a

água, o etileno-glicol, o óleo de transformador possuem uma condutividade térmica

baixa (Chandrasekar e Suresh, 2009). Os metais no estado sólido têm a condutividade

térmica com três ordens de grandeza maior que a condutividade térmica dos fluidos de

transferência de calor tradicionais. Por exemplo, enquanto a água tem uma

condutividade térmica de 0.6 W/m. K, o valor para o cobre é 386 W/mK. Esta diferença

de três ordens de magnitude entre a condutividade térmica dos líquidos e dos metais

criou há mais de um século atrás a expectativa de um possível aumento das

propriedades termofísicas dos líquidos, formando-se suspensões de partículas metálicas

(Patel et al., 2003).

Seguindo essa ideia, Choi (1995) imaginou a aplicação da nanotecnologia

emergente à engenharia térmica para criar uma nova geração de fluidos com

propriedades termofísicas superiores às dos fluidos tradicionais. Essa nova classe de

fluidos é fabricada, formando suspensões de nanopartículas ou suspensões de nanotubos

com os fluidos tradicionais. O autor deu a essa nova classe de fluidos, o nome de

nanofluido. Ao contrário aos fluidos contendo partículas de tamanho da ordem do

micrômetro ou maior, os nanofluidos, devido a maior relação área por volume, podem

formar suspensões estáveis, e assim reduzir a erosão e o entupimento dos canais. Além

disso, devido ao tamanho menor das nanopartículas, elas são mais adequadas para o uso

em microssistemas (Murshed et al., 2008).

Masuda et al. (1993) foram os primeiros a publicar resultados de

caracterização de fluidos contendo partículas ultrafinas. Os resultados obtidos

mostraram que ocorrem mudanças na condutividade térmica e na viscosidade das

suspensões. Pesquisas posteriores mostraram que os nanofluidos apresentam

condutividades térmicas maiores, mesmo para baixas concentrações de partículas. Se

2

estes resultados são confirmados e consistentes, os nanofluidos tornariam-se

promissores para as aplicações em sistemas térmicos. Os nanofluidos podem ser usados

em diversas aplicações da engenharia tais como o resfriamento de equipamentos de

solda na indústria de produção e de fabricação, o resfriamento dos motores no

transporte, a melhoria das propriedades térmicas de transporte dos refrigerantes e dos

lubrificantes (Chandrasekar e Suresh, 2009). No entanto, os resultados da caracterização

dos nanofluidos, ainda são dispersos. Vários fatores como o tamanho e a forma das

partículas, a sedimentação, a temperatura, o fluido base, o pH da suspensão, etc., são

responsáveis pela discrepância dos resultados.

Umas das técnicas mais usadas na determinação da condutividade térmica

dos nanofluidos é a técnica da sonda linear. Porém, nos fundamentos dessa técnica

clássica, algumas hipóteses ideais tais como a não participação da sonda e do termopar

na transferência de calor, bem como a dimensão infinita da amostra podem constituir

um limite na sua aplicação (André et al., 2002). Por outro lado, a aplicação do método

inverso de estimativa de parâmetros à técnica do fio quente e à técnica da sonda linear,

usando modelos mais completos permitiu a estimativa de mais de um parâmetro, além

da condutividade térmica (André et al., 2002; Thomson e Orlande, 2006).

Um problema inverso pode ser entendido como o estudo das causas de um

fenômeno a partir das observações. Na área de transferência de calor, o objetivo de um

problema inverso será de determinar, por exemplo, uma fonte de calor ou as

propriedades termofísicas tais como a condutividade térmica, a emissividade, etc., a

partir de medidas de temperaturas ou de fluxo de calor. A solução de um problema

inverso passa para um passo de modelagem do fenômeno conhecido como problema

direto, que descreve como os parâmetros do modelo tornam os efeitos observáveis. Os

problemas inversos são do ponto de vista matemático, mal-postos, ou seja, as suas

soluções não satisfazem pelo menos um dos requisitos seguintes: a existência; a

unicidade; ou estabilidade (Hadamard,1923). Portanto, é necessária a imposição de

restrições para reduzir o espaço de possibilidades.

As diferentes técnicas de solução dos problemas inversos podem ser

classificadas em dois grupos:

- Os métodos não-Bayesianos

3

- A inversão estatística ou inferência Bayesiana.

A técnica de inversão estatística ou inferência Bayesiana, ao contrário dos

métodos determinísticos, conduz a uma descrição puramente probabilística da solução

do problema que fornece um quadro natural para quantificar as incertezas numa solução

de problema inverso (Jin, 2008).

O presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma

ferramenta para a identificação das propriedades termofísicas de fluidos através do

método de inversão estatística aplicado à técnica da sonda linear. Pretende-se com essa

ferramenta estimar simultaneamente a condutividade térmica e a difusividade térmica de

fluidos, em particular de nanofluidos. As características da sonda TP02 da Hukseflux

disponível no laboratório LTTC/COPPE/UFRJ são utilizadas no estudo (TP 02, 2001).

No capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica da literatura, sobre

trabalhos realizados na determinação da condutividade térmica dos nanofluidos, bem

como, a aplicação do método inverso de estimativa de parâmetros à técnica do fio

quente e à técnica da sonda linear. Também, são apresentados trabalhos relativos à

aplicação da inferência Bayesiana em problemas inversos de transferência de calor.

No capítulo 3 aborda-se a descrição do problema físico associado à técnica

da sonda linear, considerando-se a transferência de calor nas três regiões que são: a

própria sonda, o líquido de propriedades de interesse e a célula na qual é contido o

líquido. Também, é apresentada a formulação matemática associada ao problema físico

descrito, bem como a sua adimensionalização.

No capítulo 4 aborda-se a descrição do problema direto cuja solução é

necessária para a solução do problema inverso. Além disso, é apresentado o

desenvolvimento da solução do problema direto pelo método dos volumes finitos.

No capítulo 5 é apresentada a metodologia da solução do problema inverso

por inferência Bayesiana via a construção de Cadeias de Markov através do método de

Monte Carlo usando o algoritmo de Metropolis-Hastings (Kaipio e Somersalo, 2004).

Também, são abordados os conceitos de análise dos coeficientes de sensibilidade e do

projeto ótimo de experimento, que são necessários para a acurácia da solução do

problema inverso.

4

No capítulo 6 são apresentados os resultados de verificação da solução

numérica, bem como a análise dos coeficientes de sensibilidade e a otimização do

experimento. Além disso, são apresentados os resultados das estimativas de parâmetros

termofísicos do modelo considerando num primeiro caso uma sonda com alta

capacidade térmica volumétrica de calor e num segundo caso, uma sonda com

capacidade térmica volumétrica baixa.

No capitulo 7 são apresentadas as conclusões do presente estudo, bem como

as sugestões para trabalhos futuros.

5

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA

2.1 Nanofluidos

Desde o trabalho pioneiro de Masuda (1993), os nanofluidos têm gerado

grande interesse na comunidade de transferência de calor. A avaliação das propriedades

termofísicas dos nanofluidos, desde então tem sido o foco de vários grupos de pesquisa

(Mintsa et al., 2009). Como a condutividade térmica é o parâmetro mais importante para

o aumento da transferência de calor, muitos experimentos nos nanofluidos foram

conduzidos na sua determinação e umas das técnicas mais usadas é a da sonda linear. A

seguir são apresentados alguns resultados da medida da condutividade térmica dos

nanofluidos com o uso da técnica do fio quente e da sonda linear. Estas duas técnicas

têm os mesmos fundamentos teóricos.

Roy et al. (2007) estudaram o efeito da fração volumétrica e da temperatura

sobre o aumento da condutividade térmica de nanofluidos de alumina. A condutividade

térmica foi medida com a sonda linear KD2 da Decagon. A duração de cada

experimento foi de dois minutos. As medidas de temperatura dos primeiros 90 segundos

permitiram assegurar a estabilidade térmica do nanofluido, e durante os últimos 30

segundos à sonda foi aquecida usando uma taxa conhecida de corrente. A célula

contendo o nanofluido foi colocada num recipiente isolado contendo água quente.

Resfriando progressivamente este conseguir-se determinar a condutividade térmica em

função da temperatura. O procedimento experimental foi validado com água na faixa de

temperatura de 5o C a 40oC que mostrou uma boa concordância com os resultados da

literatura e caíram na faixa de precisão de 5% indicada pelo fabricante. Os experimentos

foram conduzidos com nanofluidos de óxido de alumínio, adquiridos da Nanophase

technologies, California, U.S.A, com partículas de tamanho médio 47 nm. Várias

frações de volume foram preparadas por diluição. Para uma fração de volume de 6% de

nanopartículas de 2 3Al O , à temperatura ambiente, o aumento de condutividade térmica

foi de 12%. Segundo, os autores, os resultados obtidos nesta temperatura apresentou

uma boa concordância com o modelo de Hamilton-Crosser. No estudo da influência da

temperatura sobre a condutividade térmica, várias frações volumétricas foram

consideradas. Os resultados apresentados para as frações de volume

6

4%, 6% 9%e , mostraram que a condutividade térmica aumenta com o

aumento da fração volumétrica e da temperatura. O ajuste linear dos dados

experimentais mostrou que o aumento da condutividade térmica foi relativamente baixo

para à fração volumétrica 9% . Segundo os autores, isso se deve à sedimentação das

nanopartículas. Eles deduziram que para uma fração volumétrica alta é difícil manter

uma boa dispersão, apenas misturando-se ocasionalmente a suspensão.

Leong et al. (2006) estudaram o efeito da concentração, do tamanho, do tipo

de nanopartículas e da temperatura no aumento da condutividade térmica dos

nanofluidos. Os nanofluidos utilizados foram obtidos preparando-se diferentes frações

de volume (1 a 5%) de nanopartículas de óxido de titânio (15 nm) e de nanopartículas

de óxido de alumínio (80nm) em água deionizada. Também foram preparados

nanofluidos de nanopartículas metálicas, dispersando nanopartículas de alumínio

(80nm) em etileno-glicol e em óleo de transformador. Os nanofluidos foram

homogeneizados com um vibrador ultrassônico e foi adicionado um surfactante

(CTAB), para assegurar uma boa dispersão e uma boa estabilidade. A técnica utilizada

para a medição da condutividade térmica foi a do fio quente, combinada com um

sistema resfriador/aquecedor para obter as diferentes temperaturas de medição

desejadas. Os resultados experimentais obtidos mostraram um aumento considerável da

condutividade térmica com o aumento da fração volumétrica. Para a fração volumétrica

máxima de 5% de nanopartículas de 2TiO (15 nm) e de nanopartículas de 2 3Al O (80 nm)

em água deionizada, os aumentos relativos máximos para a condutividade térmica

foram de 30% e 24% respectivamente. Comparando os seus resultados para nanofluido

de 2 3Al O (80 nm) com os resultados obtidos por Eastman et al. (1997), foi observado

que os aumentos obtidos foram menores do que os desses últimos autores. Segundo

Leong et al. (2006) isso se deve à diferença do tamanho das partículas utilizadas e a

adição do surfactante. Eastman et al. (1997) usaram nanopartículas de 2 3Al O (33 nm) e

não adicionaram nenhum surfactante. No caso do nanofluido de alumínio (80 nm)

/etileno-glicol, o aumento de condutividade térmica efetiva obtido foi de 45% para uma

fração volumétrica 5% , enquanto para a mesma fração volumétrica o aumento

relativo da condutividade térmica obtido para o nanofluido de 2TiO (15 nm) /etileno-

glicol foi de 18%. O estudo da influência da temperatura sobre a condutividade térmica

efetiva dos nanofluidos mostrou um aumento relativo de condutividade térmica

7

significativo com a temperatura. Para o nanofluido de 2 3Al O (80 nm) /etileno-glicol, os

aumentos obtidos foram 9% e 12 %, respectivamente para as frações volumétricas =

0.5% e =1%. Eles notaram um aumento relativo da condutividade térmica que cresce

linearmente com a temperatura.

Karthykeyan et al. (2008) estudaram o efeito da formação de agregados na

condutividade térmica dos nanofluidos de CuO/ água e CuO/etileno-glicol. As

nanopartículas foram obtidas de uma técnica de precipitação. A caracterização por

difração de raios X (XRD) e por microscopia eletrônica de transmissão mostrou que as

partículas tinham um tamanho médio de 8 nanômetros e forma esférica. Segundo os

autores, boas estabilidades foram obtidas sem adição de surfactante, devido às pequenas

frações volumétricas (0.1% a 1%) utilizadas. Ainda segundo os autores, devido ao

pequeno tamanho das partículas, o movimento Browniano mais intenso contribuiu para

a estabilidade dos nanofluidos. O método do fio quente foi usado para a determinação

da condutividade térmica. Os aumentos relativos da condutividade térmica obtidos para

uma fração volumétrica de 1% de nanopartículas de CuO na água e no etileno-glicol

foram respectivamente de 31.6% e 54%. Segundo os autores foi o aumento mais

elevado publicado para os nanofluidos de óxido de cobre. Eles acharam que este

resultado se deve ao pequeno tamanho das partículas e à boa dispersão das mesmas.

Também foi investigado o comportamento do aumento relativo da condutividade

térmica efetiva no tempo. Os resultados obtidos para os nanofluidos de CuO (0.3%) em

água e CuO (0.8%) em água mostraram uma redução do aumento relativo da

condutividade térmica, quase se anulou depois de 14 minutos. Segundo os autores, isso

se deve à sedimentação das nanopartículas. A observação no microscópio da suspensão

de 0.1% CuO de água no tempo mostrou a formação de aglomerados no nanofluido.

Eles concluíram que o tamanho das partículas, a dispersão, a formação de aglomerados

e a fração volumétrica das mesmas tinham uma influência significativa na

condutividade térmica efetiva das suspensões.

Duangthonsuk e Wongwises (2009) investigaram experimentalmente os

efeitos da fração de volume das nanopartículas e da temperatura sobre o aumento da

condutividade térmica de óxido de titânio com a água como fluido-base. O nanofluido

utilizado foi adquirido da DEGUSSA, VP. Disp.W740x. A mistura foi composta de

água e de nanopartículas de óxido de titânio de tamanho médio de 21 nm e de

8

concentração 40 % em peso. A solução inicial foi diluída para produzir nanofluidos com

frações de volume de 0.2%, 0.6%, 1% e 2%, com um pH próximo da neutralidade. A

caracterização dos nanofluidos produzidos mostrou que as partículas tinham um

tamanho médio de 21 nm, de acordo com o fornecedor. O método do fio quente foi

usado para medir a condutividade térmica. Os resultados obtidos mostraram que o

aumento relativo da condutividade térmica cresceu com a temperatura e a fração

volumétrica. A faixa de temperatura estudada foi de 15 o

C a 35 o

C. Para as

concentrações de 0.2% a 2%, os aumentos obtidos foram de 3 a 7%, respectivamente.

Os resultados obtidos foram comparados com vários modelos teóricos da literatura, mas

nenhum deles conseguiu prever os resultados. Então, eles propuseram uma nova

correlação que envolve alguns parâmetros obtidos por ajuste linear dos dados

experimentais para a determinação da condutividade térmica dos nanofluidos de óxido

de titânio, valida para a mesma faixa de temperatura e para as mesmas frações de

volume. Os autores concluem que a condutividade térmica efetiva dos nanofluidos

aumenta com o aumento da fração volumétrica e com o aumento da temperatura. Eles

também concluem que os modelos teóricos existentes para prever a condutividade

térmica dos nanofluidos subestimam os valores experimentais deste estudo.

Chandrasekar et al. (2010) estudaram teoricamente e experimentalmente a

influência da fração de volume sobre o aumento da condutividade térmica e da

viscosidade dos nanofluidos. Nanofluidos de fração volumétrica na faixa de 0.33% a 5%

foram preparados misturando nanopartículas de óxido de alumínio de tamanho média 43

nm com a água. O nanofluido foi obtido por mistura de água e de nanopartículas de

alumina obtidas de um método de precipitação. Para manter uma boa dispersão, eles

usaram um agitador ultrassônico durante 6 horas, nenhum surfactante foi usado. A

sonda linear KD2 da Decagon foi usada para medir a condutividade térmica dos

nanofluidos. Os aumentos da condutividade térmica observados foram 1.64%, 3.28%,

3.43%, 7.52% e 9.7% correspondendo respectivamente às frações de volume 0.33%,

0.75%, 1%, 2% e 3%. Eles notaram uma variação linear do aumento da condutividade

térmica efetiva com a fração de volume. Eles também propuseram um modelo

matemático para predizer a condutividade térmica dos nanofluidos baseado no modelo

de Weber, que é geralmente utilizado para o cálculo da condutividade térmica dos

líquidos com uma precisão de 15%. Alguns parâmetros aparecendo no modelo foram

9

obtidos por ajuste linear com os dados experimentais. Segundo os autores, o modelo

proposto, obtidos encontrou uma boa concordância com os resultados experimentais.

Fonseca et al. (2007) estudaram o efeito da temperatura na condutividade

térmica e na difusividade térmica efetivas de um nanofluido. O nanofluido utilizado

continha 1% em massa de nanopartículas de óxido de alumínio ( 2 3Al O ) em água

pura. As nanopartículas tinham um tamanho médio de 20 nm, e foram adquiridas da

Nanostructured & Amorphous Materials. A fabricação do nanofluido foi feita

misturando-se as nanopartículas ao fluido-base e posteriormente o nanofluido foi

colocado num banho ultrassônico, para a homogeneização e dispersão das

nanopartículas. Os métodos utilizados foram a sonda linear (TP 02, 2001) e o método

flash (Netzsch, LFA 447/1), respectivamente, para medir a condutividade térmica e a

difusividade térmica do nanofluido estudado. Os resultados obtidos foram próximos

daqueles do fluido base, exceto para a temperatura de 45 o

C. Para esta temperatura, eles

obtiveram um aumento relativo de 10% tanto para a condutividade térmica efetiva e

para a difusividade térmica efetiva. A condutividade térmica calculada por meio da

relação ( / )eff eff effk C , usando a difusividade térmica efetiva medida pelo método

flash e o calor específico do nanofluido obtido pela lei da mistura teve uma boa

concordância com o resultado obtido com a sonda linear. Segundo os autores, os

resultados obtidos tiveram uma boa concordância com o modelo de Maxwell.

Mintsa et al. (2009) investigaram experimentalmente o efeito da fração de

volume, da temperatura e do tamanho das partículas sobre o aumento da condutividade

térmica dos nanofluidos de alumina/água e de óxido de cobre/água adquiridos da

Nanophase Technologies. A medida da condutividade térmica foi realizada com a sonda

linear KD2 da Decagon. Para variar a temperatura a amostra foi colocada numa caixa

aquecida e isolada termicamente. O procedimento experimental foi validado medindo a

condutividade térmica da água na faixa de temperatura de 20 o

C a 40 o

C. Os autores

observaram um aumento da condutividade térmica dos nanofluidos com a fração de

volume, mas eles não notaram uma diferença significativa entre o aumento da

condutividade térmica obtida para os nanofluidos contendo as nanopartículas de

tamanho médio 36 nm e 47 nm. O efeito do tamanho das partículas no aumento da

condutividade térmica tornou-se menos significativo para partículas de tamanho maior.

Comparando os seus resultados com os disponíveis na literatura, os autores mencionam

10

que os aumentos obtidos foram da mesma ordem de grandeza. Porém, estes resultados

encontraram-se dispersos. Segundo os autores essa dispersão se deve a muitos fatores,

tais como o tamanho das partículas, a forma das partículas, a formação de aglomerados

e a sedimentação das mesmas. Para eles, estes fatores foram influenciados pelas técnicas

de preparação dos nanofluidos, as técnicas de dispersão utilizadas, bem como as

técnicas e procedimentos experimentais utilizados. Variando-se a temperatura, os

autores observaram um aumento significativo da condutividade térmica com o aumento

da temperatura. Eles observaram um aumento médio de 15% para as frações

volumétricas 3.1 %, 6% e 9% para ambos nanofluidos de alumina/água e nanofluido

óxido de cobre/água na faixa de temperatura de 20 o C a 40

o C, enquanto a

condutividade térmica da água nessa mesma faixa de temperatura aumenta de 5%.

Variando-se a temperatura, a diferença entre os aumentos obtidos para os nanofluidos

contendo as partículas de 36 nm e 47 nm, se tornou mais significativa. Os autores

concluem que o aumento da condutividade térmica cresce com o aumento da fração

volumétrica. Além disso, os resultados sugerem que o aumento relativo da

condutividade térmica é mais importante em altas temperaturas, bem como com a

redução do tamanho das nanopartículas.

Buongiorno et al. (2009) relataram os resultados do International

Benchmark on Nanofluids Thermal Conductivity (INPBE) . Vários grupos de pesquisa

dos Estados Unidos, da Europa e da Ásia, participaram deste estudo, que teve por

objetivo principal gerar um banco de dados confiável das propriedades dos nanofluidos,

especialmente da condutividade térmica e comparar as propriedades medidas com

diferentes técnicas. A metodologia seguinte foi adotada:

Todos os participantes receberam as mesmas amostras com as identidades

não reveladas;

Os participantes deveriam seguir o mesmo protocolo de manipulação das

amostras;

Os resultados foram coletados, tratados e publicados para os

administradores centralizados;

As identidades das amostras foram reveladas a posteriori.

Neste estudo foram utilizados nanobarras de óxido de alumínio (1% v.,

80x10 nm) dispersos em água deionizada, nanopartículas de óxido de alumínio (1 % v.,

11

10 nm) de forma esférica disperso em PAO com surfactante, nanopartículas de óxido de

alumínio (3% v., 10 nm) de forma esférica disperso em PAO com surfactante,

nanobarras de óxido de alumínio (1% v., 80x10 nm) disperso em PAO com surfactante

e nanobarras de óxido de alumínio (3% v., 80x10 nm) disperso em PAO com

surfactante. Segundo os autores, os resultados obtidos mostraram que o aumento da

condutividade térmica efetiva dos nanofluidos estudados cresceu com o aumento da

fração de volume, com a relação área sobre volume das nanopartículas e com a

diminuição da condutividade térmica do fluido-base. Eles obtiveram para todos os

nanofluidos contendo água como fluido-base, um aumento relativo da condutividade

efetiva menor que 5%, e para os nanofluidos usando o PAO como fluido-base, o

aumento relativo menor que 10%. Segundo os autores, a lei da mistura prevê bem os

resultados obtidos no estudo e algumas diferenças sistemáticas foram observadas nos

resultados obtidos com as diferentes técnicas de medições utilizadas, mas mantendo a

mesma tendência. Eles concluíram que a dispersão dos resultados publicados na

literatura é provavelmente causada pela diferença de amostras utilizadas.

2.2 A Sonda Linear

2.2.1 Técnica Clássica

O método clássico da sonda linear tal como a técnica do fio quente, é uma

técnica transiente baseada numa fonte linear para a medição da condutividade térmica

de materiais líquidos e sólidos. Apresentam-se nesta seção os fundamentos teóricos e as

fontes de erro dessa técnica.

No método clássico desenvolvido por Blackwell (1954), supõe-se uma fonte

linear imersa em um meio infinito, isotrópico e homogêneo, com temperatura inicial

igual a To, cujas propriedades não variam com a temperatura. A transferência de calor

por condução no meio é então formulada por:

1 10, 0

T Tr parat

t r r r

(2.1)

Com as seguintes condições de contorno e inicial:

, 0oT T parar t

(2.2)

12

2 0, 0T

rk Q Cte para r tr

(2.3)

0, 0oT T r t

(2.4)

Onde α e k são a difusividade térmica e a condutividade térmica do meio,

respectivamente e Q é a potência dissipada por unidade de comprimento da fonte linear,

a qual é suposta constante. A solução da equação (2.1), sujeita às condições de contorno

(2.2) e (2.3), à condição inicial (2.4), é dada por:

4

u

o

Q eT T du

k u

(2.5)

Onde 2

4

r

t

(2.6)

Usando a função integral exponencial (Ozisik, 1993):

1( )ue

E duu

(2.7)

Sendo que

1

1

( 1)( ) ln

. !

nn

n

E yn n

(2.8)

Onde y é a constante de Euler, y = 0.5772156649 e 2

4

r

t

, substitui-se a

equação (2.8) na equação (2.5), obtendo-se:

2 32 2 2 21

ln ...4 4 4 4 4 4

o

Q r r r rT T y o

k t t t t

(2.9)

Utilizando-se a hipótese de tempos longos, isto é 2

4

rt

, são desprezados

os termos de ordem 1t em diante, de forma que a equação (2.9) torna-se:

2

ln4 4

o

Q rT T y

k t

(2.10)

13

Para uma sonda de raio r = a pode-se reescrever a equação (2.10)

2

( , ) ( , ) ln( ) ln4 4

o

Q aT a t T a t T t y

k

(2.11)

Assim, em um gráfico de T em função de ln (t), tem-se uma porção linear

cujo coeficiente angular é m =4

Q

k, para tempos longos. Logo a condutividade térmica

do meio pode ser obtida como:

4

Qk

m

(2.12)

A potencia dissipada por unidade de comprimento da sonda, Q, considerada

constante, é dada por:

2

em elQ R I

(2.13)

Onde Iel é a corrente elétrica na sonda e Rem é a resistência elétrica por

comprimento da sonda. (Souza et al., 1999, Fonseca, 2007)

Na prática, existem alguns desvios do modelo ideal resultantes dos efeitos

relacionados com o tamanho finito do fio e a sua capacidade térmica volumétrica, assim

como os efeitos relacionados com as dimensões finitas da amostra. O comprimento

finito do fio dá origem às perdas ou ganhos longitudinais de calor que causam desvios

ao suposto perfil uniforme de temperatura das isotermas concêntricas ao redor do fio.

Esta fonte de erros pode ser eliminada se a temperatura é observada perto do meio do

fio, onde o seu perfil não é perturbado. Por outro lado, a capacidade térmica volumétrica

do fio faz que certa fração da energia fique armazenada pelo próprio fio ao invés de ser

liberado à amostra instantaneamente. Em oposição ao efeito do tamanho finito do fio,

que age durante todo o período de medição, este efeito só age em tempos pequenos. Em

tempos grandes, o efeito de contorno, devido ao tamanho finito da amostra torna-se

efetivo. Esses fatores têm como consequências, os desvios do comportamento linear do

aumento de temperatura. Por outro lado, na prática, numa amostra líquida, pode ocorrer

transporte de calor por convecção, assim como transferência de massa. (Codreanu et al.,

2007)

14

2.2.2 Método inverso

No uso tradicional da técnica da sonda linear, hipóteses tais como a não-

participação da sonda e do termopar podem constituir um limite na sua aplicação.

Recentemente, a aplicação do método inverso de estimativa de parâmetros à técnica da

sonda linear e à técnica do fio quente, permitiu a estimativa de mais de um parâmetro

incluindo a condutividade térmica, e com mais precisão (Thomson e Orlande, 2006;

André et al., 2002).

Banaszkiewicz et al. (1997) propuseram um algoritmo pela determinação

simultânea da condutividade térmica e da difusividade térmica com a técnica do fio

quente. O algoritmo utilizou a solução analítica completa do modelo clássico desta

técnica para o cálculo da temperatura ao invés da sua simples formulação assintótica. O

processo de minimização foi realizado com uma rotina especializada da biblioteca da

Numerical Algorithms Group (NAG). Além disso, eles propuseram um método que

utiliza uma taxa constante de corrente. Segundo os autores, o método da taxa constante

de corrente se mostrou mais precisa do que o método da taxa de calor constante. Os

resultados de estimativa da difusividade térmica foram menos precisos do que os da

condutividade térmica.

André et al. (2002) mostraram a necessidade de usar modelos matemáticos

mais completos para a identificação das propriedades de materiais cerâmicos com a

técnica do fio quente. O modelo proposto levou em conta o calor específico da sonda, a

resistência térmica de contato entre a sonda e o material e a dimensão finita da amostra.

Uma solução analítica baseada no método do quadrupolo foi usada para a solução do

problema direto. Quanto ao problema inverso, este foi resolvido pela minimização de

uma função objetivo (mínimos quadrados) usando os algoritmos de Levenberg-

Macquardt e Nedler-Mead Simplex. Segundo os autores, os resultados de estimativa

obtidos convergiram para os mesmos valores, independentemente dos algoritmos e das

estimativas iniciais utilizadas, mostrando assim a validade do modelo e do processo de

estimativa proposto.

Thomson e Orlande (2006) aplicaram o método inverso de estimativa de

parâmetros à técnica do fio quente para a estimativa de propriedades de um material

granular. O modelo matemático proposto considerou a condução de calor transiente

15

unidimensional radial na sonda e no meio de propriedades sendo estudado, e a

resistência térmica entre o material e a sonda foi incluída. Assim, eles obtiveram um

sistema de duas equações parabólicas cuja, solução foi obtida pela técnica de

transformada integral clássica. A solução do problema inverso foi investigada pela

minimização de uma função objetivo definida pelos mínimos quadrados. Para a

eficiência da estimativa, foram feitas, uma análise da dependência linear junto com o

projeto D-Ótimo do experimento. As variáveis tais como, o tempo de aquecimento e a

duração do experimento foram escolhidos baseados no critério D-Ótimo. O algoritmo de

Levenberg-Macquardt foi usado para estimativa dos parâmetros. Segundo os autores, os

resultados obtidos para a condutividade térmica, acharam uma boa concordância com os

resultados obtidos pelo método clássico da sonda linear. Além disso, o modelo permitiu

a estimativa dos parâmetros da sonda.

Fguiri et al. (2007) aplicaram o método inverso de estimativa de parâmetros

à técnica do fio quente para a determinação das condições de contorno. O modelo

utilizado na análise levou em conta o raio da sonda e a dimensão finita da amostra. A

análise de sensibilidade mostrou que foi possível usar as medidas de temperaturas até

um tempo dado para estimar o fluxo de calor e em seguida usar essa estimativa e as

medidas de temperaturas tomadas depois deste tempo para a estimativa do coeficiente

de troca de calor. A solução do problema inverso foi obtida usando o algoritmo de

Levenberg-Marquardt. Como este método pode convergir para os mínimos locais, foi

utilizado o filtro de Kalman para a validação dos resultados. Os autores observaram uma

diferença entre o fluxo de calor aplicado à sonda e o fluxo de calor estimado e acharam

que isto se deveu à perda de calor na direção axial. O fluxo de calor estimado foi

utilizado para calcular a condutividade térmica seguindo a técnica clássica da sonda

linear.

Carvalho e Neto (1999) usaram o método de estimativa de parâmetros junto

com a técnica do fio quente para a identificação das propriedades termofísicas de novos

materiais poliméricos. O modelo considerou a condução de calor transiente,

unidimensional radial em coordenadas cilíndricas com uma fonte de calor transiente ao

longo do eixo, de raio nulo. Além disso, foi considerada a troca de calor com o

ambiente. O problema direto foi resolvido pelo método das diferenças finitas com uma

forma explícita. Com o objetivo de estimar um número reduzido de parâmetros, o

coeficiente de troca de calor e a fonte de calor foram assumidos bem conhecidos.

16

Assim, o objetivo do problema inverso foi de estimar simultaneamente a condutividade

térmica e o calor específico dos materiais poliméricos testados. Foram utilizadas

medidas de temperatura disponíveis de experimentos anteriores conduzidos nestes

mesmos materiais, com a técnica clássica. Os autores concluíram que os resultados

obtidos são coerentes com os valores disponíveis da literatura e de seus próprios estudos

anteriores. No entanto, eles se propõem nos trabalhos futuros utilizar toda a história

transiente do sensor de temperatura e levar em conta a resistência térmica de contato

entre o fio e o material de propriedades desconhecidas. Além disso, usar o conceito de

projeto ótimo para a minimização da região de confiança dos parâmetros a serem

estimados.

Sassi et al. (2009) aplicaram o método inverso de estimativa de parâmetros a

técnica do fio quente através a minimização de uma função objetivo(mínimos

quadrados) para a determinação da difusividade térmica. Foram utilizados os algoritmos

de minimização de Gauss e de Levenberg-Marquardt. O modelo considerou as histórias

transientes de três sensores de temperatura em posições radiais diferentes. Foi assumida

a condução de calor unidimensional radial, com condições de contorno estabelecidas

pelas medidas dois sensores utilizados, as do terceiro servindo para a estimativa da

difusividade térmica. O modelo do estudo não considerou as medidas de temperatura do

fio quente. Segundo os autores, este procedimento tem a vantagem de obter uma

estimativa da difusividade que não seja dependente da dimensão e da forma do fluxo de

calor aplicado à resistência elétrica, além de não ser dependente das perdas de calor para

o ambiente. O proposto procedimento foi aplicado à estimativa da difusividade térmica

de um tubo cilíndrico de aço cheio de carvão ativado. Segundo os autores, bons

resultados de estimativas foram obtidos.

2.3 Inferência Bayesiana na solução de problema de

transferência de calor

Nesta parte são apresentados alguns trabalhos relativos à aplicação da

inferência Bayesiana através o método da Cadeia de Markov Monte Carlo na solução de

problema inverso de transferência de calor.

17

Parthasarathy e Balaji (2008) investigaram o efeito da informação à priori e

dos ruídos de medição na solução do problema inverso de estimativa de parâmetros em

condução de calor usando a inferência Bayesiana. Foram investigados modelos de

transferência de calor bidimensionais transientes com condições de contorno

convectivos e convectivo-radiativos, respectivamente. A solução do problema direto foi

obtida por meio do método das diferenças finitas para o problema com condições de

contorno convectivas e usando um pacote comercial de elementos finitos para o

problema com condições de contorno convectivo-radiativas. Para a solução do problema

inverso, foi utilizada a técnica de inversão estatística através o método de amostragem

MCMC-Metropolis-Hastings. Ambas, as técnicas da média a posteriori e do máximo a

posteriori foram utilizados para as estimativas dos parâmetros. Foi investigada a

influência dos níveis de erros experimentais 0.1 K, 0.5 K e 1K na temperatura, além da

influência das distribuições a priori normal, uniforme e log normal, todas escolhidas

como não-informativas. Segundo os autores, os resultados obtidos no caso da estimativa

de um único parâmetro foram independentes dos níveis de erro e das distribuições de

probabilidade a priori utilizadas. Uma sensibilidade das estimativas à escolha da

distribuição a priori foi observada no caso da estimativa simultânea de dois parâmetros

em ambiente poluído. Eles comentaram que, a baixa precisão do algoritmo neste caso

poderia ser causada pelo maior nível de erro utilizado para a geração das medidas

simuladas ou pela existência de alguma correlação entre os parâmetros sendo estimados.

No caso da estimativa simultânea de três parâmetros, foram escolhidas distribuições a

priori uniformes para todos os parâmetros. Neste caso, a solução do problema inverso

mostrou-se instável, devido à alta correlação entre o coeficiente de troca de calor e a

emissividade. Porém, o uso de uma distribuição a priori informativa para a emissividade

térmica permitiu obter-se uma boa estimativa dos parâmetros. Eles concluíram que o

uso de uma distribuição a priori não-informativa na inferência Bayesiana pode conduzir

a uma solução instável, quando existe uma forte correlação entre os parâmetros.

Mota et al. (2009) usaram a inferência Bayesiana através da técnica de

amostragem do método de Monte Carlo com Cadeia de Markov através do algoritmo de

Metropolis-Hastings (MCMC-M-H) para a estimativa simultânea de um fluxo de calor

transiente e de propriedades termofísicas em função da temperatura. Baseado nos seus

próprios resultados experimentais e das informações fornecidas pelo fabricante do

material do estudo foi assumido uma forma exponencial para as propriedades

18

termofísicas. Os parâmetros aparecendo nessas funções foram estimados pelo método

dos mínimos quadrados. A fonte de calor foi parametrizada, na forma de uma

combinação linear de pesos para uma função base de degrau unitário. Assim, o

problema inicial de estimativa de funções tornou-se um problema de estimativa de

parâmetros com o objetivo de estimar os pesos e os parâmetros aparecendo na forma

funcional das propriedades térmicas. As distribuições a priori dos parâmetros

aparecendo na forma funcional das propriedades termofísicas foram assumidas

gaussianas, com médias e covariâncias das estimativas obtidas por mínimos quadrados.

O fluxo de calor foi modelado como um processo de Markov com ruídos gaussianos e

media zero. Foram utilizadas medidas experimentais simuladas para a validação da

solução do problema inverso. Além disso, dados experimentais reais obtidos no

aquecimento de uma amostra de grafite cilíndrica com um maçarico de oxiacetileno

foram usados na solução do problema inverso. Segundo os autores, bons resultados

foram obtidos, isto se observou através a pequena magnitude dos resíduos.

Orlande et al. (2008) usaram a técnica de amostragem através das Cadeias de

Markov com metodo de Monte-Carlo, baseado no algoritmo de Metropolis-Hastings,

para a estimativa simulada das componentes da condutividade térmica de sólidos

ortotrópicos. A solução do problema direto foi obtida pelo método de transformada

integral clássica. As variáveis experimentais usadas na simulação foram aquelas do

trabalho de Meijias et al. (2003). Foram assumidas distribuições a priori uniformes para

todas as três componentes de condutividade térmica, de maneira a cobrir-se uma grande

variedade de materiais da engenharia. Eles obtiveram bons resultados e a solução do

problema inverso se mostrou estável para os níveis de erros examinados.

Wang e Zabaras (2004) apresentaram uma abordagem de inferência

Bayesiana para a solução de problemas inversos estocásticos em condução de calor, em

particular na reconstrução de termo-fontes e fluxo de calor dependente do tempo e do

espaço. A função a ser estimada foi discretizada numa base de elementos finitos. Em

seguida, o campo randômico de Markov foi assumido como distribuição a priori para os

pesos, que constituem os parâmetros desconhecidos a serem estimados. Na formulação

da distribuição a posteriori de probabilidade, eles utilizaram um modelo Bayesiano

hierárquico considerando o desvio-padrão das medidas de temperatura e o parâmetro de

regularização como variáveis randômicas com distribuição a priori gama e inversa-

gama, respectivamente. Para explorar a distribuição de probabilidade a posteriori, foi

19

utilizado o método de simulação MCMC com uma combinação da técnica de

amostragem de Metropolis-Hastings e da técnica de amostragem de Gibbs. O algoritmo

proposto foi testado com sucesso em exemplos numéricos de reconstrução de fluxo de

calor unidimensional transiente e de uma fonte de calor bidimensional transiente.

Naveira-Cotta et al. (2010) usaram o método de simulação de MCMC-

Metropolis-Hastings para a solução de um problema inverso de transferência de calor

unidimensional em meio heterogêneo. O foco principal do trabalho foi desenvolver uma

ferramenta para a estimativa simultânea de condutividade térmica e de capacidade

térmica volumétrica espacialmente variável. A solução do problema direto foi obtida

através da Técnica de Transformada Integral Generalizada (GITT). A expansão das

propriedades termofísicas em termos de autofunções mostrou-se uma perspectiva

interessante para o tratamento analítico de alguns termos aparecendo na solução do

problema direto. O experimento consistiu em duas placas de baquelite aquecidas

parcialmente por uma resistência elétrica presa entre elas. A simetria do problema foi

verificada e a distribuição de temperatura numas das placas foi então medida com uma

câmera infravermelha. A solução do problema inverso foi investigada no campo

transformado, o que permitiu uma redução considerável do número de medidas de

temperatura a ser tratado. O número de parâmetros a ser estimado ficou dependente da

ordem de truncamento da expansão em autofunções das propriedades termofísicas, dos

coeficientes de troca de calor efetivo e do filtro utilizado para facilitar a convergência

dos problemas de autovalores associados. Dois tipos de problema inverso foram

definidos dependendo do filtro utilizado, constante ou linear. Nos dois casos, foram

assumidas informações a priori Gaussianas com média conhecida do método flash para

as propriedades termofísicas e de correlações de convecção natural e de radiação

linearizada para os coeficientes de troca de calor efetivos. Foram assumidas

distribuições a priori uniformes para os outros parâmetros. Os resultados obtidos nos

dois casos foram consistentes. No entanto, os resíduos foram da ordem de 6 oC no

regime permanente. Segundo os autores, essa diferença se deve ao fato que o modelo

não levou em conta a variação do coeficiente de transferência de calor por convecção

com o tempo. Um terceiro caso foi então investigado usando as medidas do transiente e

um filtro linear para as funções desconhecidas. Neste caso, os resíduos máximos

observados foram da ordem de 3 o

C. Por outro lado, este último caso confirmou a

distribuição uniforme das propriedades.

20

Fudym et al. (2008) aplicaram a técnica de inferência Bayesiana via cadeia

de Markov e método de Monte Carlo, com algoritmo de Metropolis-Hastings para a

identificação de propriedades termofísicas espacialmente variáveis. O problema físico

considerou a transferência de calor unidimensional numa placa composta de dois

materiais inicialmente aquecida aleatoriamente e isolada nos contornos. Eles assumiram

disponíveis medidas de temperatura de uma câmera infravermelha. Para contornar a

dificuldade de se resolver o problema inverso em estudo causado pelo alto fluxo de

medidas de temperatura e de parâmetros a serem estimados, o problema inicial foi

reescrito numa forma não conservativa a fim de se aplicar a estratégia nodal. A

aplicação da estratégia nodal permitiu de transformar o problema não-linear de

estimativa de parâmetros inicial em um problema linear de estimativa de parâmetros.

Para a solução do problema inverso a placa foi discretizada em oitenta nós interiores nos

quais os parâmetros foram estimados. Foi utilizada uma distribuição a priori de campo

de Markov para a difusividade térmica e Gaussiana. Nos casos investigados, foi

assumida uma função degrau simples e uma função degrau com nove descontinuidades

para a difusividade térmica. Para os casos estudados a técnica se mostrou superior às

técnicas de máxima verossimilhança e do máximo da distribuição posteriori.

2.4 Contribuições do Trabalho

Com o objetivo de obter estimativas mais acuradas das propriedades dos

fluidos, um modelo mais completo é proposto para a técnica da sonda linear. O método

de simulação Monte Carlo com cadeia de Markov é aplicado aqui pela primeira vez à

técnica da sonda linear para a solução do problema inverso. O uso deste método no

estudo presente visa uma caracterização mais acurada e simultânea da condutividade e

da difusividade térmica dos fluidos levando em conta as incertezas dos demais

parâmetros do modelo.

Outra importante contribuição do trabalho presente é o fato de se levar em

conta as incertezas sobre a posição do sensor utilizado junto com a sonda, possibilitado

pelo uso da técnica de inferência Bayesiana através o método de Monte Carlo com

cadeia de Markov.

21

3 PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Antes da descrição do problema físico e de sua formulação matemática é

feita a descrição da sonda que será utilizada no estudo.

3.1 Sonda TP02 da Hukseflux

A sonda TP-02 do LTTC é apresentada na figura 3.1. Ela consiste de um

tubo (agulha) de aço-inoxidável com 150 mm de comprimento e 1.5 mm de diâmetro

externo, conectado a uma base também de aço-inoxidável, com 50 mm de comprimento

e 10 mm de diâmetro externo. Na agulha (ver figura 3.2) encontram-se o fio de

resistência de aquecimento feito de platina, assim como dois termopares tipo K ligados

de modo a prover a diferença de temperatura entre a sonda e o meio. Tal diferença de

temperaturas é usada no cálculo da condutividade térmica com as equações (3.12) e

(3.13). Na base encontra-se um sensor de temperatura PT-1000 para a medição da

temperatura da junta fria dos termopares, e que pode ser usado para a medição da

temperatura real da sonda e do meio.

Da base da sonda sai o cabo de conexão dos sensores de temperatura e da

resistência elétrica. A sonda TP02 é indicada para a identificação da condutividade

térmica de materiais granulares, solos, pastas, fluidos viscosos, etc., com condutividade

térmica entre 0.1e 6 W/mK. A sonda deve ser imersa no meio de modo que o mesmo

envolva completamente sua região aquecida. O raio do meio deve ser de pelo menos 40

mm A tensão aplicada deve ser de no máximo 3 V e a incerteza esperada nas medições

é de ± (3%+0.02) W/mK. No caso da sonda do LTTC, a resistência elétrica por unidade

de comprimento da sonda é de 75.72 Ω/m.

22

Figura 3.1: Sonda Linear Hukseflux TP02 do LTTC

Figura 3.2: Connexões da Sonda TP02

3.2 Problema físico

O problema físico analisado aqui consiste em um cilindro longo (a sonda) de

raio rs, que é inserido no fluido de propriedades desconhecidas, contido em uma célula

cilíndrica. Gradientes de temperatura são desprezados na sonda de modo que a mesma é

formulada em termos de parâmetros concentrados. O fluido no interior da célula é

considerado como um cilindro oco de raio interno rs e de raio externo rint (raio interno

da célula). A célula de raio externo rext é suposta colocada em um banho isotérmico. No

instante inicial, sonda, célula e fluido são considerados em equilíbrio térmico com o

banho a uma temperatura T0. Para tempos t > 0, a sonda é aquecida com uma fonte de

calor transiente g(t) e ocorre uma troca de calor da célula com o banho, modelada

através de um coeficiente global de transferência de calor h. Desprezando a condução de

calor na direção axial, o problema físico pode ser formulado como unidimensional.

23

Figura 3.3: Modelo Físico

3.3 Formulação matemática do problema físico

Condução de calor no interior da sonda

Aplicando-se a lei de conservação da energia à sonda utilizando-se a

hipótese de parâmetros concentrados, obtêm-se:

( ) 2s

s

s s p s s s f

dTV c V g t r H q

dt (3.1)

2( )

s

s s fs

s p

s

r H qdTc g t

dt V

(3.2)

Onde 2

s s sV r H (3.3)

Os símbolos Vs e Hs se referem respectivamente ao volume e à altura da sonda.

Substituindo (3.3) em (3.2), tem-se:

2( )

s

fs

s p

s

qdTc g t

dt r (3.4)

24

Aplicando a condição de continuidade do fluxo na interface entre a sonda e o

fluido, foi determinado o fluxo de calor transferido ao fluido.

0f

f f

f

Tq k

n

(3.5)

f

f f

Tq k

r

(3.6)

Substituindo (3.6) em (3.5), obtem-se:

2( )( ) , 0

s

s

f fs

s p

s r r

k TdT tc g t t

dt r r

(3.7)

Condução de calor no fluido

A equação de condução de calor no domínio do fluido é dada por:

int

1 1f f

s

f

T Tr r r r

t r r r

(3.8)

Continuidade da temperatura na interface sonda-fluido

( , ) ( ) , , 0f s sT r t T t r r t (3.9)

Continuidade da temperatura na interface fluido-célula

int( , ) ( , ) , , 0f mT r t T r t r r t (3.10)

Condução de calor na célula

No domínio da célula que envolve o fluido, a equação de condução de calor é

escrita como:

int

1 1, , 0m m

ext

m

T Tr em r r r t

t r r r

(3.11)

Continuidade do fluxo na interface fluido-célula

int

( , )( , ), , 0

fm

m f

T r tT r tk k em r r t

r r

(3.12)

25

Troca de calor na superfície da célula

0

( , )( , ) , , 0m

m m ext

T r tk hT r t hT em r r t

r

(3.13)

Os três meios foram considerados em equilibro térmico a t = 0, então temos

a seguinte condição inicial:

0( ) ( , ) ( , ) , , 0s m f s extT t T r t T r t T r r r t (3.14)

Resumindo as equações (3.7) à (3.14), formam o seguinte sistema misto de

equações diferenciais acopladas:

2( ) , 0

s

f fs

s p

s

k TdTc g t para t

dt r r

(3.7)

int

1 1, 0

f f

s

f

T Tr r r r para t

t r r r

(3.8)

int

1 1, 0m m

ext

m

T Tr em r r r para t

t r r r

(3.9)

( ) ( , ), , 0s f sT t T r t em r r t (3.10)

int( , ) ( , ) , , 0m fT r t T r t em r r t (3.11)

int

( , )( , ), , 0

fm

m f

T r tT r tk k r r t

r r

(3.12)

0

( , )( , ) , , 0m

m m ext

T r tk hT r t hT em r r t

r

(3.13)

0( ) ( , ) ( , ) , , 0s m f s extT t T r t T r t T r r r t (3.14)

26

3.4 Adimensionalização da formulação matemática do

problema

;s

rR

r (3.15)

2;

ref

ref s

k t

C r (3.16)

* ;ref

(3.17)

* ;ref

kK

k (3.18)

* s

s

ref

CC

C (3.19)

s

ref

h rBi

k (3.20)

0( , )( , ) ;

ref

T r t TR

T

(3.21)

2( ) s

ref

ref

g t ronde T

k (3.22)

ss s pC c (3.23)

ref

ref

ref

k

C (3.24)

Usando as variáveis adimensionais acima definidas na formulação

matemática do problema direto dada pelas equações (3.7) a (3.14), temos na forma

adimensional o seguinte sistema de equações diferenciais acopladas:

27

* *

1

( , )( )1 2 , 0

fs

s f

R

RdC K para

d R

(3.25)

int*

( , ) ( , )1 1, 1 R , 0

f f

f

R RR em R para

R R R

(3.26)

int*

( , ) ( , )1 1, R R , 0m m

ext

m

R RR em R para

R R R

(3.27)

( ) ( , ) 1, 0s f R em R (3.28)

int( , ) ( , ) , 0f mR R em R R (3.29)

* *

int

( , ) ( , ), 0

f m

f m

R RK K em R R

R R

(3.30)

*

e

( , )( , ) 0 R , 0m

m m xt

RK Bi R em R

R

(3.31)

( ) ( , ) ( , ) 0 1 , 0s f m extR R em R R (3.32)

Na técnica clássica da sonda linear só as medidas do tempo de aquecimento

são utilizadas para a determinação da condutividade. Baseado nas conclusões do

trabalho de Thomson (2006) pretende-se investigar o uso de medidas de temperatura

após o desligamento da fonte de calor na solução do problema inverso. Então, foi

definida uma formulação matemática correspondente ao período de resfriamento. A

formulação matemática do problema do período de resfriamento fica basicamente a

mesma, só mudando a condição inicial, e o termo-fonte que é nulo. A condição inicial

do período de resfriamento corresponde à distribuição de temperatura no tempo final do

período do aquecimento.

28

4 PROBLEMA DIRETO

4.1 Descrição do Problema Direto

Quando a geometria, as propriedades físicas, a condição inicial e as

condições de contorno são conhecidas, tem-se o Problema Direto em Condução de

Calor, cuja solução fornece o campo de temperaturas em todo o domínio temporal e

espacial. Desta forma, o objetivo do Problema Direto é a determinação da distribuição

de temperatura em todo o domínio temporal e espacial da região que será estudada, ou

seja, a solução do problema dado pelas equações (3.25) a (3.32).

4.2 Método de Solução do Problema Direto- Método dos

Volumes Finitos

O Problema Direto dado pelas equações (3.23) a (3.32), conforme

apresentado acima, pode ser resolvido por métodos numéricos. A técnica dos volumes

finitos foi escolhida para a solução do problema direto. No método dos volumes finitos

as equações aproximadas são obtidas através de balanços de conservação das

propriedades para cada volume elementar. (Patankar, 1980; Maliska, 2004). A malha

apresentada na figura 4.1 foi adotada para a discretização.

Figura 4.1: Volume de Controle

29

A discretização da equação de condução de calor na sonda foi feita como

segue:

Discretizando-se a fonte da equação (3.25) vem:

2 1

1

( , )2*

f ff

fR

R

R R

(4.1)

Usando a continuidade da temperatura na interface sonda-fluido e

discretizando a derivada total com o método de Euler:

2

0* *1 4

f ss ss f

f

C KR

(4.2)

Que re-arranjada resulta em:

1 2

0 0 1s s f f s sa a a (4.3)

Onde

1

*4f

f

f

Ka

R

(4.4.a)

*0 ss

Ca

(4.4.b)

2

0s f sa a a (4.4.c)

Com o objetivo de obter uma equação geral discreta das equações que

governam a condução de calor no fluido e na célula, são omitidos abaixo os subscritos

„f‟ e „m‟. Considerando o volume de controle unidimensional apresentado na figura 4.1

e integrando-se a equação de condução de calor unidimensional, radial (equação (3.26)

ou (3.27), sem os subscritos) no volume de controle V e no intervalo de tempo τ a τ +∆τ

obtém-se (Patankar, 1980):

*

1 1

VC VC

dVd R dVdR R R

(4.5)

30

Reescrevendo a equação (4.5), com as fronteiras interior e superior do

volume de controle definidas respectivamente por i+1/2 e i-1/2 quem são limites de

integração no espaço tem-se:

1/2 1/2

*

1/2 1/2

( )

i i

i i

RdR d R dR d

R R

(4.6)

Considerando-se que a temperatura no interior do volume de controle é

uniforme e prevalece sobre tudo o volume de controle, assim como o valor da derivada

da temperatura com relação ao tempo, a integral do lado esquerdo da equação (4.6) pode

ser escrita como:

1/2 1/2

* *

1/2 1/2

1i i

i i

RdR d R d dR

(4.7)

Integrando a equação (4.7) com relação a R, tem-se:

1/2

2 2

1/2 1/2* *

1/2

1 1

2

if i

i i

i

R d dR R R d

(4.8)

Fatorando e integrando no tempo, obtem-se:

1/2

0

1/2 1/2 1/2 1/2* *

1/2

1 1

2

if

i i i i i i

i

R d dR R R R R

(4.9)

Conforme as malhas utilizadas, têm-se as seguintes relações:

1/2 1/2i iR R R (4.10)

1/2 1/2

2

i i

i

R RR

(4.11)

Usando as equações (4.10) e (4.11) em (4.9), vem:

1/2

0

* *

1/2

if i

i i

i

RRdR d R

(4.12)

Onde o sobrescrito „‟0‟‟ refere-se à temperatura no tempo τ e as temperaturas no tempo

τ+Δτ não possuem sobescritos.

31

Substituindo o resultado obtido em (4.12) e efetuando a integração espacial

do lado direito da equação (4.6), obtem-se:

0

*

1/2 1/2

i

i i

i i

RR R R d

R R

(4.13)

Adotando uma formulação implícita, a equação (4.13) torna-se:

0

1/2 1/2*

1/2 1/2

i

i i i i

i i

RR R R

R R

(4.14)

A equação (4.14) acima definida é valida para todos os volumes de controle

do domínio estudado. Foram utilizadas malhas diferentes para as regiões do fluido e da

célula. A discretização da equação dos volumes de controle internos da região do fluido

foi feita da maneira seguinte:

Aproximando-se por diferenças finitas centradas de segunda ordem os

termos difusivos da equação (4.14)

1

1/2

i if ff

fiR R

(4.15)

1

1/2

i if ff

fiR R

(4.16)

Substituindo (4.15) e (4.16) em (4.14), tem-se:

1 101/2 1/2*

i i i i

i i

f f f fif f f i i

f ff

RR R R

R R

(4.17)

Que é re-arranjada da seguinte forma:

1 1 1 1

0 0

i i i i i i i if f f f f f f fa a a a

(4.18)

Onde

1

1/2

i

if

i

Ra

R

(4.19.a)

32

1

1/2

i

if

i

Ra

R

(4.19.b)

2

0

*i

f

f

f

Ra

(4.19.c)

1 1

0

i i i if f f fa a a a

(4.19.d)

Para a discretização das equações dos volumes de controle nas interfaces

da região do fluido, os fluxos nas interfaces num meio volume de controle.

Para o volume de controle da interface sonda-fluido, tem-se:

1

1/2

i if ff

fiR R

(4.20)

e

1

1/2

2 i if ff

fiR R

(4.21)

Substituindo (4.20) e (4.21) na equação (4.14) e depois re-arranjando tem-se:

1 1 1 1

0 0


(4.22)

Onde

1

1/2

i

if

i

Ra

R

(4.23.a)

1

1/22i

if

i

Ra

R

(4.23.b)

2

0

*i

f

f

f

Ra

(4.23.c)

1 1

0


(4.23.d)

33

Da mesma maneira, pelo volume de controle da interface fluido-célula, o

fluxo na interface fluido-célula é aproximado por diferenças finitas centradas de

segunda ordem em um meio volume de controle.

1

1/2

2 i if ff

fiR R

(4.24)

1

1/2

i if ff

fiR R

(4.25)

Substituindo (4.24) e (4.25) na equação (4.14) e depois re-arranjando, obtem-se:

1 1 1 1

0 0


(4.26)

Onde

1

1/22i

if

i

Ra

R

(4.27.a)

1

1/2

i

if

i

Ra

R

(4.27.b)

2

0

*i

f

f

f

Ra

(4.27.c)

1 1

0


(4.27.d)

As derivadas da equação de continuidade do fluxo na interface entre as

regiões do fluido e da célula dada pela equação (3.30) foram aproximadas por

diferenças finitas avançadas e atrasadas de segunda ordem, isto é:

2 12 D Df ff

fR R

(4.28)

3 22 D Dm mm

mR R

(4.29)

Da equação de continuidade da temperatura dada pela equação (3.29)

34

2 2 2D D Df m I (4.30)

Substituindo as equações (4.28), (4.29) e usando a equação (4.30) em (3.29), vem:

3 22 1* * D DD D m II f

f m

f m

K KR R

(4.31)

Que é re-arranjanda na seguinte forma:

2 2 1 1 3 3D D D D D DI I f f m ma a a (4.32)

Onde

1

*

D

f

f

f

Ka

R

(4.33.a)

3

*

D

mm

m

Ka

R

(4.33.b)

2 3 1D D DI m fa a a (4.33.c)

Discretizando a equação geral (4.14) com o sub-escrito „‟m‟‟, temos pela

região do material a seguinte equação:

1 101/2 1/2*

i i i i

i i

m m m mim m m i i

m mm

RR R R

R R

(4.34)

Que é re-arranjada na seguinte forma:

1 1 1 1

0 0

i i i i i i i im m m m m m m ma a a a

(4.35)

Onde

1

1/2

i

im

i

Ra

R

(4.36.a)

1

1/2

i

im

i

Ra

R

(4.36.b)

35

20

* *i

mm

m

Ra

(4.36.c)

1 1

0

i i i im m m ma a a a

(4.36.d)

Para o volume de controle da interface fluido-célula (na região da célula),

aproximou-se o fluxo na interface em um meio volume de controle.

1

1/2

i im mm

miR R

(4.37)

1

1/2

2 i im mm

miR R

(4.38)

Substituindo (4.37) e (4.38) na equação (4.14), e depois re-arranjando, tem-se:

1 1 1 1

0 0


(4.39)

Onde

1

1/2

i

im

i

Ra

R

(4.40.a)

1

1/22i

im

i

Ra

R

(4.40.b)

0

*i

mm

m

Ra

(4.40.c)

1

0

i i im m ma a a

(4.40.d)

Para o volume de controle da interface célula-meio exterior, o fluxo na

interface foi obtido da condição de contorno. Os fluxos nas fronteiras deste volume

foram aproximados da seguinte maneira:

*1/2

mm

i m

Bi

R K

(4.41)

36

1

1/2

i im mm

miR R

(4.42)

Substituindo (4.41) e (4.42) na equação (4.14), vem:

1 1 1 1

0 0


(4.43)

Onde

1

1/2

*i

im

i m

R Bia

R K

(4.44.a)

1

1/2 1i

im

i m

Ra

R R

(4.44.b)

2

0

*i

f

m

f

Ra

(4.44.c)

1 1

0

i i i im m m ma a a a

(4.44.d)

A discretização da equação do contorno usando diferenças finitas atrasadas

conduz à seguinte equação:

1 1L L L Lm m m ma a

(4.45)

Onde

*

2Lm

m m

Bia

R K

(4.46.a)

1

2Lm

m

aR

(4.46.b)

As equações discretas obtidas formam um sistema tridiagonal de equações

algébricas, cuja solução é obtida pelo algoritmo de Thomas, conhecido como TDMA

(Tridiagonal Matrix Algorithm). Nota-se que o mesmo esquema vale para a solução do

problema do período de resfriamento.

37

5 PROBLEMA INVERSO

O problema inverso a ser estudado tem o objetivo de estimar os parâmetros

aparecendo no modelo definido pelas equações (3.25) a (3.32) a partir de medições de

temperaturas.

5.1 Inversão Estatística

Na abordagem Bayesiana para estatística, é feita uma tentativa de utilizar

todas as informações disponíveis com o objetivo de reduzir as incertezas presentes

numa inferência. À medida que uma nova informação é obtida, ela é combinada com

todas as informações anteriores para formar uma base pelos procedimentos estatísticos.

O mecanismo formal utilizado para combinar a nova informação com as informações

disponíveis anteriormente é conhecido como o teorema de Bayes. Portanto, o termo

Bayesiano é frequentemente usado para descrever a bem-conhecida abordagem da

inversão estatística, que é baseada nos seguintes princípios (Kaipio e Somersalo, 2004):

1. Todas as variáveis incluídas no modelo são modeladas como variáveis

aleatórias.

2. A aleatoriedade descreve o grau de informação sobre as suas realizações.

3. O grau de informação relativa a estes valores é codificado em termo de

distribuições de probabilidades

4. A solução do problema inverso é a distribuição de probabilidade

posterior.

O teorema de Bayes pode ser escrito como segue:

( ) ( )( ) ( )

( )

P Y PP P Y

Y

prior

posterior

(5.1)

Onde posterior(P) é a densidade de probabilidade posterior, ou seja, a probabilidade de

obter os parâmetros, dado as medidas; prior(P) é a densidade a priori, ou seja, as

informações conhecidas sobre os parâmetros antes de fazer as fazer as medidas; (Y|P)

é a função de verossimilhança, a qual expressa a probabilidade de obter as medidas

38

dados os parâmetros; (Y) é a densidade de probabilidade marginal das medições, que

desempenha o papel de uma constante de normalização.

Assumindo que, os erros de medidas têm uma distribuição Gaussiana, com

médias e matriz de covariâncias conhecidas, e que os erros de medição são aditivos, a

verossimilhança pode ser escrita como segue (Kaipio e Somersalo, 2004; Tan et al.,

2006):

1/2/2 1 1

( ) (2 ) exp ( ( )) ( ( ))2

I T

s s

Y P W Y - P W Y - P (5.2)

Onde I é o número de medidas, W é a matriz de covariância dos erros de medidas, Y é o

vetor das medidas e ϴs(P) é o vetor das temperaturas calculadas à partir da solução do

problema direto com uma estimativa dos parâmetros.

Dependendo da densidade de probabilidade a priori assumida para os

parâmetros, a distribuição a posteriori pode não permitir um tratamento analítico. Neste

caso, o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC) é usado para gerar

amostras de todos os parâmetros possíveis, de modo que a inferência sobre a

probabilidade posterior torna-se a inferência sobre as amostras. Com o objetivo de

implementar a cadeia de Markov, é preciso uma densidade q(P*,Pt

), que dá a

probabilidade de passar do estado atual da cadeia Pt

para um novo estado P*( Kaipio

e Somersalo, 2004; Tan et al., 2006; Lee, 2004):

O algoritmo de Metropolis-Hastings é usado para implementar o método

MCMC. O algoritmo pode ser resumido nos seguintes passos (Kaipio e Somersalo,

2004; Tan et al. ,2006; Lee, 2004):

1-Gere uma amostra P*de uma distribuição de proposta q(P*,Pt

)

2- Calcule

* ( 1) *

( 1) * ( 1)

( | ) ( , )min 1,

( | ) ( , )

P Y P P

P Y P P

t

t t

q

q

(5.3)

3- Gere um número randômico U, que é distribuído uniformemente em (0,1)

4-Se U , defina ( ) *t P P , caso contrário, defina

( ) ( 1)t tP P

39

5-Retorne ao passo 1, a fim de gerar a sequência (1) (2) ( ), ,..., nP P P

Desta forma, temos uma sequência que representa a distribuição a posteriori,

e a inferência sobre essa distribuição é obtida a partir da inferência sobre as amostras

1 2, ,...,

nP P P . Notamos que os valores de

iP devem ser ignorados até a

convergência da cadeia ao equilíbrio (Kaipio e Somersalo, 2004; Tan et al., 2006; Lee,

2004).

5.2 Análise dos Coeficientes de Sensibilidade e Projeto

Ótimo

O estudo dos coeficientes de sensibilidade dos parâmetros permite verificar a

resposta do modelo matemático da variação da temperatura na sonda, quando se

efetuam variações nos valores dos parâmetros. O coeficiente de sensibilidade Jij é

definido pela primeira derivada da temperatura ( )s a um tempo em relação ao

parâmetro desconhecido Pj, sendo dado por si

ij

j

JP

. Um pequeno valor da

magnitude do coeficiente de sensibilidade indica que uma grande variação no parâmetro

causa uma pequena variação na temperatura. Isto significa que diferentes valores deste

parâmetro causam o mesmo efeito na temperatura; então, tal parâmetro é de difícil

estimativa. Quando os coeficientes de sensibilidade têm pequenas magnitudes e/ou são

linearmente dependentes, o determinante da matriz de informação ( TJ J ) é próximo de

zero e o problema inverso é mal-condicionado. Portanto, é desejável que os coeficientes

de sensibilidade sejam linearmente independentes e com grandes magnitudes, de tal

maneira que o problema inverso não seja muito sensível aos erros de medidas e uma

estimativa dos parâmetros com pequena incerteza possa ser obtida.

Em geral é feita a maximização do determinante da matriz de informação

com o objetivo de se realizar um projeto ótimo do experimento para a estimativa dos

parâmetros desconhecidos, que resulta na minimização do hipervolume da região de

confiança dos parâmetros estimados, a fim de assegurar um desvio padrão mínimo para

as estimativas (Ozisik e Orlande, 2000).

40

Para casos envolvendo um único sensor, a matriz de sensibilidade é definida

como segue:

1 1 1 1

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

1 2 3

s s s s

N

T s s s sT

sN

s I s I s I s I

N

P P P P

P P P P

P P P P

JP

(5.4)

Usando a definição da matriz de sensibilidade, cada elemento da matriz de

informação T

F = J J é dado por:

, ,1

, 1,...,I

si si

m n m ni m n

m n NP P

TF J J (5.5)

Onde N é o número de parâmetros e I e o número de medidas disponíveis

Assumindo disponível um número grande, porém fixo de medidas, e

igualmente espaçadas no tempo e conhecendo a temperatura máxima na região, torna-se

mais viável maximizar o determinante da matriz FM, cujos coeficientes são dados por

(Ozisik e Orlande, 2000):

2

, 0,max

1 1, 1,...,

final s s

M m nm n tfinal m n s

F P P d m n NP P

(5.6)

Onde ,maxs se refere à temperatura máxima da sonda, a qual é avaliada no tempo final

do aquecimento, h .

Em geral, avalia-se a acurácia das estimativas através o cálculo do intervalo

de confiança dessas mesmas. Assumindo distribuição Gaussiana para os parâmetros, o

intervalo de confiança a 99 % é dado por:

ˆ ˆˆ ˆ2.576 2.576 1,...,

j jj j jP P

P P P para j N (5.7)

41

Onde ˆjP e ˆ

jP correspondem respectivamente à estimativa e ao desvio padrão do

parâmetro jP

42

6 RESULTADOS

Neste capitulo são apresentados os resultados obtidos neste projeto.

Inicialmente é feita a verificação da solução numérica do problema direto, apresentada

no capitulo 4. Para tanto é usada uma solução analítica do problema de condução de

calor em uma única região, bem como a solução clássica de Blackwell e uma solução

numérica obtida com a função PDEPE do MATLAB. Em seguida são apresentados

resultados para a estimativa dos parâmetros do problema, utilizando-se medidas

simuladas de temperatura em duas condições, a saber: (i) sonda com capacidade térmica

volumétrica alta; e (ii) sonda com capacidade térmica volumétrica baixa. Para a

primeira condição, consideram-se disponíveis medidas do sensor da sonda. Para a

segunda condição, consideram-se disponíveis medidas do sensor da sonda e de outro

localizado à 3 mm da superfície da sonda. Neste caso, considera-se também a estimativa

da posição deste segundo sensor, a qual é de difícil medida e, por isto, também tratada

como um parâmetro randômico do modelo.

6.1 Verificação da Solução Numérica do Problema

Direto

O objetivo da verificação da solução numérica é de estabelecer a precisão

numérica, independentemente da precisão do modelo físico, que é o foco da validação

(ASME V&V, 20-2009).

6.1.1 Solução Analítica

Para a verificação da solução numérica do problema estudado, foi

considerada a condução de calor unidimensional transiente num cilindro maciço com

uma fonte de calor transiente ao longo do eixo (Ozisik, 1993). A formulação

matemática do problema foi divida em dois períodos. No primeiro período, modela-se o

problema de aquecimento com uma fonte de calor constante, e, pois no segundo período

modela-se o problema de resfriamento.

43

6.1.1.1 Solução analítica do problema no período de aquecimento

A formulação matemática do problema físico, assim formulado é a seguinte:

1 10 , 0h h

ext

g rT Tr r r parat

t r r r k

(6.1.a)

0

( , )( , ) , 0h

h ext

T r tk hT r t hT em r r parat

r

(6.1.b)

0( , ) 0 , 0h extT r t T r r parat (6.1.c)

Onde ( )0

s

s

g para r rg r

para r r

(6.1.d)

Usando as mesmas variáveis adimensionais definidas pelas equações (3.15) à

(3.22) tem-se:

* *

1 1 ( )0 , 0h h

ext

G RR R R para

R R R K

(6.2.a)

* ( , )( , ) 0 , 0h

h ext

RK Bi R em R R para

R

(6.2.b)

( , ) 0 0 , 0h extR R R para (6.2.c)

Onde 1 1

( )0 1

para RG R

para R

(6.2.d)

A solução analítica do problema, assim definido é obtida pelo método de

transformada integral clássica. Para a solução do problema, é preciso definir um

problema auxiliar. O problema auxiliar é aquele que resulta da separação das variáveis

da versão homogênea do problema original. O problema auxiliar é o seguinte:

22

2

( ) 1 ( )( ) 0 0 ext

d R d RR R R

R dRdR

(6.3.a)

* ( )( ) 0 ext

d RK Bi R em R R

dR

(6.3.b)

44

Definindo a transformada

0

( , ) ( , ) ( , )extR

h m l h

R

R R R dR

(6.4)

e a inversa é:

0

( , )( , ) ( , )

( )

l

h h l

l l

RR

(6.5)

A solução para este problema não-homogêneo é então obtida como:

* 2

* 21*

0*1 0 0

( , ) ( , ) ( ,0) ( )( )

(6.6)

l

l

h l h l l

l l R

eR R e R J R dRd

K

Calculando as integrais e depois rearranjando a equação resultante, obtém-se a solução

do problema na seguinte forma.

* 20 1

* 31

( ) ( )( , ) 1 ll l

h

l l l

J R JR e

K

(6.7)

Onde

0 ( )lJ R : Função de Bessel de Ordem 0 do primeiro tipo

1( )lJ : Função de Bessel de Ordem 1 do primeiro tipo

2

2 2

0 2 2

*

1 2

( )( )

l

l l ext

ext l

J R BiR

K

(6.8)

l são raízes positivas da seguinte equação transcendental:

0

0*

( )( ) ( ) 0l

l l ext l ext

l

dJ BiR J R

d K

(6.9)

Ou

45

1 0*( ) ( )l l ext l ext

BiJ R J R

K (6.10)

As autofunções, a norma e a equação dos autovalores são obtidas de (Ozisik,

1993).

6.1.1.2 Solução do problema no período de resfriamento

Para o período de resfriamento, a formulação matemática do problema na

forma adimensional torna-se:

*

1 10 ,nh nh

ext hR R paraR R R

(6.11.a)

* ( , )( , ) 0 ,nh

nh ext h

RK Bi R em R R para

R

(6.11.b)

( , ) ( , ) 0 ,nh h ext hR R R R para (6.11.c)

Nota-se que a condição inicial deste problema é a solução do problema do período de

aquecimento, avaliado no tempo final do aquecimento, τh.

Prosseguindo, como foi feito anteriormente, para a solução do problema no

período de aquecimento, obtem-se a seguinte solução:

* 2 ( )

1

( )( , ) ( , )

( )

l h

l

nh nh l h

l l

R eR

(6.12)

Onde

0

0

( , ) ( , ) ( )extR

nh l h h h l

R

R R J R dR

(6.13)

Usando a equação (6.7) para h e substituindo em (6.13), vem:

* 20 1

0* 310

( ) ( )( , ) 1 ( )

ext

l

R

l l

nh l h l

l l lR

J R JR e J R dR

K

(6.14)

Reescrevendo (6.14), obtem-se:

46

* 221

0* 31 0

( )( , ) 1 ( )

ext

l

R

l

nh l h l

l l l R

Je RJ R dR

K

(6.15)

Sendo,

2

0

0

( )extR

l

R

A RJ R dR

(6.16)

Integrando A, tem-se:

2

2 2

1 0( ) ( )2

ext

l ext l ext

RA J R J R (6.17)

Substituindo A em (6.14), vem:

* 2

2

2 21

1 0* 31

( )( , ) 1 ( ) ( )

2 ( )l hext l

nh l h l ext l ext

l l l

R Je J R J R

K

(6.18)

Substituindo a equação (6.18), na equação (6.12), obtemos a solução do problema.

* 2

* 2( )2

0 1

2 * 31

2 2

1 0

( ) ( )( , ) 1

2 ( )

( ) ( )

(6.19)

l h

l hext l l

nh

l l l

l ext l ext

h

R e J R JR e

K

J R J R

para

6.1.1.3 Comparação da solução analítica e da solução numérica

Para a verificação da solução numérica, os três meios envolvidos no modelo

proposto foram considerados como um meio único, com as propriedades termofísicas do

aço. A dimensão da célula foi escolhida conforme a dimensão mínima indicada pelo

construtor da sonda, para uma utilização clássica. A verificação da solução numérica foi

realizada considerando uma célula de 40 mm de raio interno com uma espessura de 3

mm. Os tempos de aquecimento e final a serem utilizados nas soluções de volumes

finitos e a analítico foram escolhidos iguais aproximadamente à τh = 80, τfinal = 110,

equivalentes à 200 e 275 segundos, respectivamente. Foi assumido um coeficiente de

troca de calor h = 20 W/mK. A figura 6.1 mostra o resultado obtido para a temperatura

da sonda com uma malha de 250 volumes de controle no domínio fluido e 16 volumes

de controle pelo domínio da célula e para um passo temporal de 0,5 s. Nesta figura é

47

também mostrada a solução analítica obtida pela Técnica da Transformada Integral

Clássica para o problema de uma única região.

Figura 6.1: Verificação da Solução Numérica

Com o objetivo de investigar o efeito do refinamento de malha sobre a

solução numérica obtida pelo método dos volumes finitos, foram definidas as três

malhas seguintes:

- Malha 1: 250 volumes no domínio fluido e 16 volumes pelo domínio da

célula


célula


célula

Nota-se que as malhas 2 e 3 têm números de volumes que são múltiplos

daquelas da malha 1, isto permite calcular a temperatura nos mesmos pontos ao mudar a

malha. Foi adotado em todo o estudo um passo temporal dimensional de 0,5 s. Para as

malhas acima definidas, foram calculadas as temperaturas nos seguintes pontos:

48

- Ponto 1: refere-se à superfície da sonda

- Ponto 2: refere-se à um ponto localizado à uma distância de 1 cm da sonda

- Ponto 3: refere-se se à um ponto localizado à uma distância de 2 cm da

sonda

- Ponto 4: refere-se à um ponto na superfície da célula.

As tabelas 6.1 a 6.4 apresentam os resultados obtidos na comparação da

solução analítica com a solução numérica para os diferentes pontos e malhas acima

definidas. Nesta tabela também são mostrados os erros absolutos relacionados. De

maneira geral, pode-se observar que os erros absolutos estão da mesma ordem de

grandeza para as diferentes malhas. Observa-se um erro absoluto máximo de 0.0000429

para a malha mais grossa contra um erro absoluto máximo de 0.0000324 para a malha

mais fina. Nota-se que, o ganho em precisão ao usar a malha mais fina é quase

insignificante e tem um custo computacional seis vezes maior. Consequentemente, a

malha 1 foi adotada no decorrer deste trabalho para os resultados apresentados abaixo.

Tabela 6-1: Comparação das Temperaturas obtidas com a Solução Analítica e a Solução

Numérica- Ponto 1


Numérica - Ponto 2

49


Numérica - Ponto 3


Numérica – Ponto 4

6.1.2 Solução de Blackwell

É importante comparar a solução obtida neste estudo com a solução de

Blackwell (eq.11) descrita anteriormente. Relembrando que essa solução é fundamental

para o uso clássico da sonda linear. A solução de Blackwell dada pela equação (2.11)

em termos das variáveis adimensionais definidas anteriormente pode ser escrita como:

*

1(1, ) ln( ) ln(4)

4* f

yK

(6.20)

Onde y é a constante de Euler.

Nota-se que a solução de Blackwell prediz um comportamento linear do

aumento de temperatura da amostra com o logaritmo natural do tempo. A figura 6.2

apresenta a comparação da solução de Blackwell com a solução numérica deste estudo

obtida para um caso envolvendo uma sonda e uma célula em aço e a água como o

50

líquido para o qual se deseja medir as propriedades termofísicas. Pode-se observar, que

para tempos 3 < ln(τ) < 7 a solução numérica obtida pelo método dos volumes finitos e

a solução de Blackwell ficam idênticas. Os desvios da solução de volumes finitos do

comportamento linear para tempos ln(τ) < 3 e ln(τ) >7 se devem ao fato que o modelo

deste estudo leva em conta a inércia térmica da sonda e as perdas de calor da célula para

um meio externo. Tais efeitos são desprezados com a solução de Blackwell.

6.1.3 Solução da rotina PDEPE da plataforma MATLAB

Ainda com o objetivo de verificar a solução numérica, foi considerado um

problema de condução de calor nos três meios envolvidos no modelo. As propriedades

termofísicas da sonda e da célula foram escolhidas iguais à do aço, enquanto as

propriedades termofísicas do fluido foram escolhidas iguais à da água. A solução

numérica obtida pelo método dos volumes finitos foi então comparada com a solução da

rotina PDEPE da plataforma MATLAB.

A rotina PDEPE resolve problemas de valor inicial e de contorno para os

sistemas de equações diferenciais parciais parabólicas e elípticas com uma variável de

espaço e tempo. As equações diferenciais ordinárias (EDOs), resultante da discretização

de segunda ordem no espaço são integradas para obter soluções aproximadas em tempos

especificados pelo usuário. Nota-se que para a integração temporal, a rotina faz uso de

um solver de EDO, que seleciona o passo de tempo e a fórmula de integração

dinamicamente, o que não é o caso pelo passo espacial que precisa ser definido pelo

usuário. Utilizou-se a mesma malha espacial usada na solução do problema pelo método

dos volumes finitos. A função PDEPE retorna valores da solução na malha espacial e na

malha temporal fornecida pelo usuário.

Para a solução do problema com a rotina PDEPE precisou-se formular o

problema na forma de um problema de condução de calor com propriedades variáveis,

sujeito às mesmas condições de contorno e inicial. A formulação matemática na forma

adimensional se-escreve da seguinte forma:

* *( , ) ( , )1( ) ( ) ( ) , 0 ext

R RC R K R R G R R R

R R R

(6.21.a)

51

* ( , )( ) ( , ) 0 , , 0ext

RK R Bi R R R

R

(6.21.b)

( , ) 0 , 0 , 0extR R R

(6.21.c)

Onde 1 1

0 1

para RG R

para R

(6.21.d)

A figura 6.2 mostra a comparação da solução numérica obtida pelo método

dos volumes finitos deste trabalho com a solução da rotina PDEPE, pelo problema de

aquecimento. Pode-se observar uma excelente concordância entre as duas soluções.

Figura 6.2: Verificação da Solução Numérica utilizando a Solução de

Blackwell e a Função PDEPE

52

6.2 Estimativas de Propriedades com Medidas de

Temperatura Simuladas- Sonda com Capacidade

Térmica Volumétrica Alta

Esta parte do trabalho trata da estimativa dos parâmetros termofísicos do

modelo, assumindo-se disponíveis medidas de temperatura com uma sonda de

capacidade térmica volumétrica alta. A fim de realizar as simulações foram utilizados

parâmetros termofísicos conhecidos a priori, incluindo as dimensões características da

sonda TP02 da Hukseflux. As propriedades termofísicas da sonda e da célula foram

escolhidas iguais a do aço (km=43.2 W/moC; αm=11.8x10

-6 m

2/s; Cs=3661300 J/m

3 oC).

Considerou-se a água como sendo o líquido para o qual se deseja medir as propriedades

termofísicas (kf =0.6 W/moC, αf =1.4x10

-7 m

2/s). Foi assumido um coeficiente de troca

de calor global h= 20 W/moC da célula para o meio externo. Consideraram-se as

propriedades do material de referência como iguais às propriedades do fluido base. Tal

escolha permite, no caso de um nanofluido, de obter-se diretamente o aumento relativo

das propriedades, se for o caso. No caso da estimativa das propriedades termofísicas da

água, temos os seguintes parâmetros adimensionais Km*= 72; αm

*=82.2067; Bi = 0.02;

Kf*=1; αf

*=1 e C

*s =0.8759.

6.2.1 Análise dos coeficientes de sensibilidade

Para esta análise foram utilizados os coeficientes de sensibilidade reduzidos.

Os coeficientes de sensibilidade reduzidos são definidos como os coeficientes de

sensibilidade multiplicados pelos parâmetros aos quais os coeficientes se referem, ou

seja,

siij j

j

J PP

(6.22)

A figura 6.3 apresenta o comportamento transiente dos coeficientes de

sensibilidades reduzidos dos parâmetros que estão presentes na formulação do

problema, para um sensor de temperatura na sonda. A variação da temperatura

adimensional foi também incluída no gráfico. Esta figura mostra que os coeficientes de

sensibilidade reduzidos do líquido em estudo e a temperatura adimensional da sonda

53

têm a mesma ordem de grandeza, mas tendem a ser linearmente dependentes. No

entanto, após o término do aquecimento, pode-se observar uma diminuição rápida dos

coeficientes de sensibilidade em relação à condutividade térmica e à difusividade

térmica do fluido, bem como à capacidade térmica volumétrica da sonda. Além disso,

pode-se notar que os coeficientes de sensibilidade dos parâmetros do material da célula

e do número de Biot são nulos. Portanto, tais parâmetros não podem ser estimados com

medições feitas em tal posição do sensor.

Figura 6.3:Análise dos Coeficientes de Sensibilidade

6.2.2 Projeto Ótimo do Experimento

Assumindo-se medidas de temperatura disponíveis para um sensor no

interior da sonda, foca-se agora na determinação do tipo de medição a ser adotado, isto

é medidas com frequência variável ou medidas com frequência fixa e na determinação

de variáveis experimentais, tais como a duração do aquecimento e do experimento. Para

essa análise foram utilizadas as mesmas propriedades termofísicas definidas

anteriormente. Descartando os parâmetros pouco sensíveis às perturbações a matriz de

sensibilidade torna-se:

54

1 1 1

1 2 3

1 2 3

J

s s s

sI sI sI

P P P

P P P

(6.23)

Onde P1, P2 e P3 se referem respectivamente aos parâmetros adimensionais

da condutividade térmica do fluido, da difusividade térmica do fluido e da capacidade

térmica volumétrica da sonda. Os índices „s‟ e „I‟ se referem ao sensor da sonda e ao

número de medidas, respectivamente.

A Figura 6.4 mostra os resultados da maximização do determinante da

matriz de informação, considerando que as medidas de temperatura são tomadas com

frequência variável, para um tempo de aquecimento adimensional igual a vinte. A

temperatura máxima na região foi incluída na análise. O valor máximo do determinante

é atingido em um curto período de tempo, quando os coeficientes de sensibilidade estão

variando dos seus valores iniciais nulos. Em seguida, o determinante diminui devido à

tendência dos coeficientes de sensibilidade à dependência linear. O determinante tende

novamente a crescer quando o aquecimento é desligado, porque a dependência linear

dos coeficientes de sensibilidade é reduzida. No entanto, logo os coeficientes de

sensibilidade tendem a zero e o determinante volta novamente a diminuir. Pode-se

notar, nesta mesma figura, que o determinante cresce com o número de medidas

disponíveis. No entanto, este tipo de medição não é adequado para a solução do

problema inverso, porque o máximo do determinante é atingido por um curto período.

A figura 6.5 mostra os resultados obtidos para o determinante da matriz de

informação, considerando medidas de temperatura com frequência fixa de uma medida

a cada meio segundo. Cada curva nesta figura corresponde a tempos de aquecimento

diferentes. É bom notar nesta figura que, quando o tempo de aquecimento é tomado

igual à duração do experimento, a maximização do determinante conduz a um valor

relativamente baixo em comparação com os casos em que o aquecimento é desligado

antes o fim do experimento. A mesma conclusão foi feita por Thomson (2006). Nota-se

que o aumento do determinante não é significativo para um tempo final adimensional de

experimento maior do que 110. Assim o valor máximo do determinante é obtido para o

tempo de aquecimento adimensional τh=79.7448, já que os coeficientes de sensibilidade

55

tendem à dependência linear durante o aquecimento e tendem a zero depois de

terminado o aquecimento. Portanto, o tempo de aquecimento e a duração do

experimento foram escolhidos iguais a 79.7448 e 110, correspondendo respectivamente

à 200 s e à 275 s.

Figura 6.4: Determinante da Matriz de Informação para Medidas com

Frequência Variável

Figura 6.5: Efeito do Tempo de Aquecimento sobre o Determinante da

Matriz de Informação

56

6.2.3 Estimativa de parâmetros

Com o objetivo de testar o desempenho do algoritmo são utilizadas medidas

simuladas de temperatura com parâmetros predefinidos assim a expectativa é de obter

esses mesmos parâmetros que foram usados para gerar as medidas. Tais medidas são

obtidas somando à solução do problema direto erros randômicos da seguinte forma:

Y(τ) = Yex (τ) +ωσ (6.24)

Onde:

-Y(τ) são as medidas de temperatura simuladas contendo erros

experimentais;

-Yex (τ) são as medidas de temperatura exatas obtidas com a solução do

Problema Direto;

-σ é o desvio padrão dos erros das medidas;

-ω é uma variável randômica com distribuição normal, média zero e desvio

padrão unitário.

Para os resultados de simulação apresentados, o fluido considerado foi a

água e o material da célula e da sonda foi o aço. Como os parâmetros da célula

mostraram-se praticamente insensíveis às perturbações, o material da célula e de suas

dimensões foram escolhidas baseados no objetivo de obter facilmente as temperaturas

de medições desejadas. O tempo de aquecimento e o tempo final do experimento

escolhidos são aqueles que foram obtidos da otimização do experimento. O desvio

padrão das medidas simuladas de temperatura foi escolhido igual à 1% da temperatura

máxima da sonda, correspondendo à 0.02 oC. Foram investigados níveis de erros

maiores, mas devido à relativa baixa amplitude dos coeficientes de sensibilidade, não

foi possível obter boas estimativas.

Para poder alcançar o nosso objetivo, basicamente dois tipos de problemas

inversos foram considerados. No problema inverso de tipo 1, é usado um fluido de

propriedades conhecidas a priori. Também foram assumidas conhecidas a priori as

propriedades termofísicas da célula de outro experimento, por exemplo, o método flash.

Neste caso, o foco principal é obter uma estimativa da capacidade térmica volumétrica

57

da sonda. A estimativa da capacidade térmica volumétrica obtida é utilizada como

conhecida a priori no problema inverso do tipo 2. No problema inverso do tipo 2, foi

então assumido um fluido com propriedades termofísicas desconhecidas conhecendo os

parâmetros da célula e da sonda. Nota-se que utilizando a inferência Bayesiana, todos os

parâmetros termofísicos aparecendo na formulação matemática são estimados. Isto

permite de levar em conta as incertezas sobre os valores julgados conhecidos. Para estes

parâmetros foram utilizadas distribuições a priori Gaussianas com média exatas e desvio

padrão igual à 5% da média exata, e para os parâmetros desconhecidos foram utilizadas

distribuições a priori uniformes, com limites inferior e superior iguais aos valores exatos

mais ou menos 20% de seus valores. O número de amostras utilizado nas cadeias de

Markov foi de quarenta mil.

6.2.3.1 Problema inverso de tipo 1

São apresentadas na tabela 6.5 as distribuições a priori utilizadas na solução

do problema inverso de tipo 1. Pode-se observar na figura 6.6 a evolução da cadeia de

Markov para cada parâmetro. Note-se que para a capacidade térmica volumétrica da

sonda a cadeia alcançou a convergência a partir de 10000 amostras, então a média a

posteriori de cada parâmetro foi calculada desprezando as 10000 primeiras amostras. A

tabela 6.6 apresenta os resultados de estimativa obtidos. Nota-se os valores exatos da

capacidade térmica volumétrica da sonda e dos outros parâmetros encontram-se dentro

dos intervalos de confiança estimados. A figura 6.7 apresenta as distribuições marginais

a posteriori, de cada um dos parâmetros estimados. Tais distribuições são Gaussianas,

tendo em vista que a verossimilhança é Gaussiana e as distribuições a priori são

uniformes ou Gaussianas.

Foi investigada a influência do estado inicial da cadeia de Markov na

solução do problema inverso. A evolução da cadeia para cada parâmetro é mostrada na

figura 6.8, onde foram usados estados iniciais diferentes dos anteriores (ver tabela 6.6 e

6.7). As estatísticas relativas a estas estimativas foram feitas desprezando as 10000

primeiras amostras. A Tabela 6.7 apresenta as estatísticas obtidas. Pode-se observar que

o resultado da estimativa varia muito pouco, com o estado inicial da cadeia de Markov e

está dentro do intervalo de confiança da estimativa anterior. Como foi dito

anteriormente a estimativa da capacidade térmica volumétrica da sonda obtida do

58

problema inverso do tipo 1 foi então utilizada como informação a priori no problema

inverso do tipo 2.

Tabela 6-5: Distribuições de Probabilidade a priori dos Parâmetros para a Solução do

Problema de Tipo 1

Figura 6.6: Cadeia de Markov para o Problema Inverso do Tipo 1

59

Figura 6.7: Distribuições Marginais a Posteriori para o Problema Inverso do

Tipo 1

60

Tabela 6-6: Resultados obtidos para o Problema Inverso do Tipo 1

Figura 6.8: Cadeia de Markov para o Problema Inverso do Tipo 1 - Mudando

o Estado Inicial da Cadeia de Markov

61

Tabela 6-7: Resultados obtidos para o Problema Inverso do Tipo 1- Mudando o Estado

Inicial da Cadeia Markov


Para a solução do problema inverso de tipo 2 foram utilizadas as

distribuições a priori apresentadas na tabela 6.8. A figura 6.9 mostra a evolução da

cadeia de Markov para cada um dos parâmetros em estudo. Notamos que as cadeias de

Markov dos parâmetros do fluido atingiu a convergência ao torno de 2000 mil amostras.

Portanto a média a posteriori foi calculada desprezando as duas mil primeiras amostras.

A Tabela 6.9 apresenta os resultados de estimativas obtidos e são apresentadas na figura

6.10 as distribuições marginais a posteriori dos parâmetros. É bom notar que os

parâmetros do fluido têm resultados bem próximos dos valores exatos, enquanto os

parâmetros da célula são um pouco mais afastados de seus valores exatos. Tal resultado

se deve ao fato que as medidas de temperaturas tomadas pela sonda são mais

informativas para a estimativa dos parâmetros do fluido e da própria capacidade térmica

volumétrica da sonda do que os parâmetros da célula.

Com o objetivo de investigar a estabilidade da solução com respeito ao

estado do inicial da cadeia de Markov, iniciou-se a cadeia pelos limites inferiores dos

intervalos dos parâmetros. A figura 6.11 e a Tabela 6.10 apresentam respectivamente as

saídas da cadeia de Markov para cada parâmetro e as estatísticas relativas à estimativa.

Pode-se observar que os resultados de estimativa dos parâmetros adimensionais

relativos à condutividade térmica e à difusividade térmica do fluido, foco do problema

inverso de tipo 2 estão dentro do intervalo de confiança da estimativa anterior. Isto

mostra a estabilidade da solução do problema inverso com respeito ao estado inicial da

62

cadeia de Markov. Os resultados obtidos mostraram o desempenho do algoritmo e da

abordagem proposta para a solução do problema inverso em estudo.


Problema de Tipo 2

Figura 6.9: Cadeias de Markov para o Problema Inverso do Tipo 2

63

Figura 6.10 Distribuições Marginais a Posteriori para o Problema Inverso do

Tipo 2

64


Figura 6.11: Cadeias de Markov para o Problema Inverso do Tipo 2 -

Mudando o Estado Inicial da Cadeia de Markov

65

Tabela 6-10: Resultados obtidos para o Problema Inverso do Tipo 2- Mudando o Estado

Inicial da Cadeia Markov

6.3 Estimativas de Propriedades com Medidas de

Temperatura Simuladas- Sonda com Capacidade

Térmica Volumétrica Baixa

Nesta parte do trabalho trata-se da estimativa dos parâmetros termofísicos do

modelo, assumindo-se disponíveis medidas de temperatura com uma sonda de

capacidade térmica volumétrica baixa suposta igual a 10% da capacidade térmica

volumétrica do aço. Foram utilizadas as mesmas propriedades dos materiais definidos

anteriormente, ou seja, o aço para e a célula, e a água como o fluido de propriedades de

interesse.

6.3.1 Análise dos coeficientes de Sensibilidade

A figura 6.12, apresenta o comportamento transiente dos coeficientes de

sensibilidade reduzidos dos parâmetros que estão presentes na formulação do problema

para um sensor de temperatura na sonda, além da variação da temperatura adimensional.

Pode-se observar um comportamento muito parecido ao caso da sonda com capacidade

térmica volumétrica alta, estudado anteriormente, só que desta vez os coeficientes de

sensibilidade da capacidade térmica volumétrica da sonda são muito próximos de zero.

Como no caso anterior, os coeficientes de sensibilidade dos parâmetros do material da

célula e do número de Biot são nulos. Portanto, tais parâmetros não podem ser

66

estimados com medições feitas em tal posição do sensor. A maximização do

determinante da matriz de informação (figura 6.13) assumindo disponíveis medidas de

temperatura com uma frequência de uma tomada cada 0.5 s de um sensor de

temperatura no interior da sonda ficou praticamente igual ao caso da sonda com

capacidade térmica volumétrica alta. Portanto, foi utilizado o mesmo tempo de

aquecimento (200 s) e a mesma duração do experimento (275 s) para a solução do

problema inverso.

Figura 6.12: Análise dos Coeficientes de Sensibilidade



67

No entanto, a solução do problema inverso de tipo 1 neste caso mostrou a

existência de uma correlação entre os parâmetros do fluido. Lembrando que no

problema inverso de tipo 1, assume-se conhecidos todos os parâmetros, exceto a

capacidade térmica volumétrica da sonda, e o foco é de estimar essa mesma. Utilizaram-

se distribuições a priori Gaussianas com média exata e desvio padrão igual a 5% do

valor exato pelos parâmetros conhecidos a priori e uma distribuição a priori uniforme

para a capacidade térmica volumétrica da sonda com a restrição de ser positiva e com

limite superior a capacidade térmica volumétrica do aço. A figura 6.14 mostra as

cadeias de Markov para os diferentes parâmetros. Pode-se notar nesta figura um

comportamento muito semelhante das cadeias de Markov dos parâmetros do fluido e a

incapacidade de se obter uma boa estimativa destes, apesar de se usar uma informação a

priori informativa para esses parâmetros. Portanto, torna-se necessário se usar um

segundo termopar junto com o termopar da sonda a fim de se reduzir a correlação que

existe entre os parâmetros do fluido, possibilitando assim a estimativa dos parâmetros

desejados.


68

As figuras 6.15 e 6.16 mostram o comportamento transiente dos coeficientes

de sensibilidade para um sensor de temperatura a uma distância de 3 mm da sonda, e

para um sensor de temperatura à 10 mm da sonda, respectivamente. Pode-se observar

que quanto mais próximo da sonda, maiores são as amplitudes dos coeficientes de

sensibilidade relativos aos parâmetros termofísicos do fluido. Então, foi escolhido usar

medidas de temperatura a uma distância de 3 mm da sonda, juntamente com as medidas

de temperatura da sonda, na estimativa dos parâmetros nos casos estudados a seguir.



69

6.3.2 Projeto Ótimo do Experimento

De acordo com as observações feitas anteriormente, assume-se disponíveis

medidas de temperatura de um sensor no interior da sonda e de um sensor a uma

distancia de 3 mm da sonda. Foram utilizadas as mesmas propriedades termofísicas

definidas anteriormente, ou seja, um material com capacidade térmica volumétrica igual

a 10% da capacidade térmica volumétrica do aço para a sonda, e o aço para a célula, e a

água como o fluido de propriedades de interesse. Para o presente caso a matriz de

sensibilidade é dada por:

1 1

1 2

1 1

1 2

1 2

1 2

JP

s s

t t

TT

sI sI

tI tI

P P

P P

P P

P P

(6.25)

Onde P1, P2 correspondem aos parâmetros adimensionais que se referem à

condutividade térmica do fluido e à difusividade térmica do fluido, respectivamente. Os

índices „s‟ e „t‟ se referem ao sensor da sonda e ao sensor distante de 3 mm da sonda,

respectivamente, e I é o número de medidas de temperatura por sensor.

A figura 6.17 mostra os resultados obtidos para o determinante da matriz de

informação, considerando medidas de temperatura com frequência fixa de uma medida

a cada meio segundo, para cada um dos sensores utilizados. Cada curva nesta figura

corresponde a tempos de aquecimento diferentes. Pode-se notar que o aumento do

determinante não é significativo para um tempo final adimensional de experimento

maior do que 110, assim como o valor máximo do determinante é obtido para o tempo

de aquecimento adimensional τh=79.7448. Portanto, o tempo de aquecimento e a

duração do experimento podem ser escolhidos iguais a 79.7448 e 110, correspondendo

respectivamente aos tempos 200 s e 275 s.

70



6.3.3 Estimativa de parâmetros

Considera-se o problema de estimativa das propriedades termofísicas da

água contida numa célula de aço, com a sonda linear feita de um material com

capacidade térmica volumétrica igual à 10% da capacidade térmica volumétrica do aço.

Para a estimativa dos parâmetros desejados, simula-se medidas de temperatura para um

sensor de temperatura no interior da sonda e para um sensor à uma distancia de 3 mm da

sonda. O desvio padrão do erro das medidas é da ordem de 1% da temperatura máxima

calculada nas posições de sensores utilizados.


Apresentam-se na tabela 6.11 as distribuições de probabilidade a priori

assumidas para cada parâmetro. A figura 6.18 mostra as saídas da cadeia de Markov

para cada parâmetro. Note-se que para a capacidade térmica volumétrica da sonda a

cadeia alcançou a convergência a partir de 2000 amostras. Então a média a posteriori de

cada parâmetro foi calculada desprezando as 2000 primeiras amostras. Pode-se observar

que as saídas da cadeia para a capacidade térmica volumétrica da sonda e para os

71

parâmetros do fluido tendem a convergir pelo valor exato, enquanto as saídas dos

parâmetros termofísicos do material da célula e do número de Biot tem um

comportamento oscilatório. A Tabela 6.12 e a figura 6.19 apresentam as estatísticas da

estimativa obtida e as distribuições marginais a posteriori dos parâmetros. É importante

notar-se nesta tabela a excelente estimativa da capacidade térmica volumétrica da sonda,

apesar da informação a priori usada para este parâmetro ser não-informativa e o estado

inicial da cadeia do mesmo ser bem distante de seu valor exato. Observa-se que as

distribuições marginais a posteriori dos parâmetros do fluido e da capacidade térmica

volumétrica da sonda estão muito próximas de uma Gaussiana. Pode-se notar na figura

6.18 que apesar de se usar uma informação a priori Gaussiana e de se iniciar a cadeia

para os valores exatos dos parâmetros do material da célula e do número de Biot, as

suas cadeias de Markov tem um comportamento oscilatório. Isto se deve ao fato que os

seus coeficientes de sensibilidade são nulos. Tentou-se investigar a influência do estado

inicial da cadeia iniciando-se as cadeias pelos valores limites inferiores admissíveis para

os parâmetros. No entanto, devido o baixo valor do coeficiente de sensibilidade da

capacidade térmica volumétrica da sonda para valores menores do que o valor exato

tornou-se difícil de estimar esse mesmo iniciando-se a cadeia por valores mais baixos

do que o exato. Como foi dito anteriormente a estimativa da capacidade térmica

volumétrica da sonda obtida do problema inverso de tipo 1 foi utilizada como

informação a priori no problema inverso de tipo 2.


Problema de Tipo 1

72


73


Tipo 1

74



São apresentadas na tabela 6.13 as distribuições de probabilidade a priori

assumidas pelos diferentes parâmetros. A figura 6.20 apresenta as saídas da cadeia de

Markov de cada parâmetro. Pode-se observar que a cadeia de Markov atingiu a

convergência ao torno de 1000 amostras pelos parâmetros relacionados às propriedades

do fluido. Portanto as estatísticas relativas foram feitas desprezando as mil primeiras

amostras. A Tabela 6.14 apresenta os resultados de estimativas obtidos e são

apresentadas na figura 6.21 as distribuições marginais a posteriori dos parâmetros. De

novo, observa-se que as distribuições marginais a posteriori das propriedades do fluido

e da capacidade térmica volumétrica da sonda são muito próximas de uma distribuição

Gaussiana, enquanto as dos parâmetros da célula e do número de Biot não são

Gaussianas. Pode-se notar que os parâmetros do fluido e a capacidade térmica

volumétrica da sonda têm estimativas bem próximas dos valores exatos, enquanto os

parâmetros da célula e o número de Biot são um pouco mais afastados de seus valores

exatos. Note-se que a utilização do segundo sensor, além de possibilitar a estimativa

para o caso de uma sonda de baixa capacidade térmica volumétrica, contribuiu para a

redução do intervalo de confiança das estimativas das propriedades do fluido.

75


Problema de Tipo 2


76


Tipo 2

77


6.3.4 Estimativa de Parâmetros e da Posição do Sensor

Nesta parte é considerado o mesmo problema de estimativa de parâmetros

com uma sonda de capacidade térmica volumétrica baixa e um segundo sensor de

temperatura posicionado à uma distancia de 3 mm da sonda. As propriedades dos

materiais utilizados são as mesmas dos casos anteriores. Note-se que no caso anterior as

posições dos sensores de temperatura foram assumidas conhecidas deterministicamente.

No entanto, devido à alta sensibilidade da solução do problema inverso em relação à

posição do segundo sensor, estima-se essa mesma junto com os parâmetros termofísicos

e o número de Biot. Tal abordagem tem a vantagem de levar em conta as incertezas

relacionadas à posição deste sensor de temperatura, já que pode ser difícil medi-la com

uma boa precisão. Devido ao caráter discreto da solução do problema direto por

volumes finitos, estima-se a posição do sensor através a estimativa do seu índice de

discretização.


A tabela 6.15 apresenta as informações a priori assumidas para os diferentes

parâmetros incluindo a posição do segundo sensor para a solução do problema inverso

de tipo 1. Simula-se um erro de medição da distância que separa os dois termopares

assumindo uma distribuição Gaussiana com média afastada de 1 mm do valor exato

utilizado para gerar as medidas de temperatura simuladas e com uma incerteza de ± 2

mm . São apresentadas na figura 6.22, as saídas da cadeia de Markov para cada

78

parâmetro, além das saídas do índice da posição do sensor. Pode-se observar uma

convergência rápida das saídas da cadeia para o índice de posição do sensor. Note-se

que para a capacidade térmica volumétrica da sonda a cadeia de Markov alcançou o

equilibro em torno de 5000 amostras. Então, a média a posteriori foi calculada

desprezando as cinco mil primeiras amostras. São apresentadas na figura 6.23 as

distribuições marginais a posteriori. Pode-se observar nesta figura que os parâmetros do

fluido e da capacidade térmica volumétrica da sonda têm distribuições marginais a

posteriori muito próximas de uma distribuição Gaussiana. É bom notar nesta mesma

figura que as distribuições marginais a posteriori dos parâmetros da célula e do número

de Biot não são Gaussianas. Lembrando que tal resultado era esperado, por conta de

seus coeficientes de sensibilidades serem nulos. A tabela 6.16, apresenta as estatísticas

relativas às estimativas obtidas. Nota-se que apesar de se especificar uma média errada

para a posição do sensor e de se iniciar a cadeia por um valor bem longe do valor exato,

foi possível estimar a posição exata do sensor. Por outro lado, a comparação das tabelas

6.16 e 6.12 revela que a estimativa simultânea da posição do sensor não afeta a

estimativa dos outros parâmetros.


Problema de Tipo 1

79


80


Tipo 1

81


6.3.4.2 Problema inverso do tipo 2

São apresentadas na tabela 6.17 as distribuições de probabilidade a priori

assumidas para os diferentes parâmetros, no estudo do problema inverso do tipo 2. A

figura 6.24 apresenta as saídas da cadeia de Markov para cada parâmetro. Pode-se

observar que a cadeia de Markov das propriedades do fluido atingiu a convergência ao

torno de 5000 amostras dos parâmetros relacionados às propriedades do fluido.

Portanto, as estatísticas relativas foram feitas desprezando as cinco mil primeiras

amostras. Novamente, pode-se notar nesta mesma figura, o comportamento oscilatório

das cadeias de Markov dos parâmetros da célula e do número do Biot. Lembrando que

tal comportamento era esperado da análise de sensibilidade, já que eles possuem

coeficientes de sensibilidades nulos. A figura 6.25 apresenta as distribuições marginais

a posteriori dos parâmetros. De novo, pode-se notar que as distribuições marginais a

posteriori dos parâmetros do fluido têm distribuições bem próximas de uma distribuição

Gaussiana. É bom notar, nesta mesma figura que as distribuições marginais a posteriori

dos parâmetros da célula do número de Biot não são Gaussianas, como consequência de

seus nulos coeficientes de sensibilidade. Os resultados de estimativa obtidos são

apresentados na tabela 6.18. Nota-se que os parâmetros do fluido e da capacidade

térmica volumétrica da sonda têm estimativas bem acuradas, ou seja, com estimativas

próximas dos valores exatos, enquanto os parâmetros da célula e do número de Biot têm

valores um pouco mais afastados de seus valores exatos. Pode-se notar nesta mesma

tabela que o valor exato da difusividade térmica do material da célula não está dentro do

intervalo de confiança da estimativa. Lembrando que este é um dos parâmetros pouco

82

sensível do modelo, portanto de difícil estimativa. É bom notar nesta mesma tabela que,

conseguiu-se estimar a posição exata do sensor e que a estimativa simultânea da posição

do sensor e dos outros parâmetros não afeita a solução do problema inverso (ver tabela

6.14 e 6.18).


Problema de Tipo 2


83


Tipo 2

84


85

7 CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA A CONTINUAÇÃO

DO TRABALHO

Nesta dissertação um método inverso Bayesiano de estimativa de parâmetros

foi aplicado à técnica da sonda linear para a caracterização térmica dos líquidos, com

foco em nanofluidos. O modelo deste estudo considerou a transferência de calor nas três

regiões que são a sonda, o líquido de propriedades de interesse e a célula. O problema

direto foi resolvido pelo método dos volumes finitos. Para a verificação da solução

numérica considerou-se um problema análogo de condução de calor que foi resolvido

pela Técnica de Transformada Integral Clássica (CITT). Outras verificações foram

feitas comparando-se a solução numérica com a solução de Blackwell e com a solução

obtida pela rotina PDEPE da plataforma MATLAB.

A análise dos coeficientes de sensibilidade com relação aos parâmetros

desconhecidos foi realizada e revelou a possibilidade de se estimar os parâmetros do

fluido e da sonda. O conceito de projeto ótimo foi utilizado para a escolha do tempo de

aquecimento e da duração do experimento, bem como o tipo de medida a ser utilizado.

Para poder alcançar o nosso objetivo, basicamente dois tipos de problemas

inversos foram considerados. O foco do problema inverso de tipo 1 era de estimar a

capacidade térmica volumétrica da sonda, assumindo conhecidos as outras

propriedades. Enquanto no problema inverso de tipo 2, o valor estimado da capacidade

térmica volumétrica era utilizado como informação a priori informativa junto com as

propriedades da célula e o número de Biot, e o foco era estimar as propriedades

termofísicas do líquido.

Foram examinados os casos envolvendo uma sonda com capacidade térmica

volumétrica alta e baixa. No caso da sonda com capacidade térmica volumétrica alta

utilizaram-se medidas de temperatura de um sensor no interior da sonda para a

estimativa dos parâmetros. No entanto, no caso da sonda com capacidade térmica

volumétrica baixa foi necessário usar as medidas de um segundo sensor junto com as

medidas da sonda para poder estimar os parâmetros do fluido e da sonda. Neste último

caso as estimativas foram bem mais acuradas do que o caso que envolveu só as medidas

de temperatura da sonda. Devido à alta sensibilidade da solução do problema inverso às

86

incertezas relativas à posição do sensor, estimou-se a sua posição do segundo sensor

junto com os parâmetros.

Á partir dos resultados de estimativas obtidos neste trabalho, conclui-se que

o uso da inferência Bayesiana e a proposta metodologia resultaram em excelentes

resultados. Observou-se que as melhores estimativas foram obtidas para o caso

envolvendo medidas simuladas disponíveis de uma sonda com capacidade térmica

volumétrica baixa, juntas com as medidas de um segundo sensor. Por outro lado, notou-

se que a estimativa simultânea da posição do sensor e dos parâmetros não afeitou a

acurácia da solução do problema inverso investigada.

É importante notar que embora os coeficientes de sensibilidade da

capacidade térmica volumétrica serem relativamente baixos, conseguiu-se obter

estimativas acuradas dessa mesma. Os resultados obtidos mostram a robustez do

algoritmo e da metodologia proposta.

Sugere-se em trabalhos futuros a realização de experimentos otimizados com

líquidos, em particular com os nanofluidos, baseados nesta investigação a fim de se

obter medidas experimentais para a validação da metodologia proposta.

87

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

ANDRÉ S., REMY B., PEREIRA F. R., CELLA N., NETO A. J. S., 2002, “ Hot

Wire Method for the Thermal Characterization of Materials: Inverse Problem

Application”, Engenharia Térmica, no 4, pp.55-64.

ASME V&V 20-2009, “Standard for Verification and Validation in Computational

Fluid Dynamics and Heat Transfer’’, The American Society of Mechanical Engineers,

Three Park Avenue, New York, NY

BANASZKIEWICZ M., SEIFERLIN K., SPOHN T., KARGL G., KOMLE N.,

1997, “A New Method for the Determination of Thermal Conductivity and Thermal

Diffusivity from Linear Heat Source Measurements”, Rev. Sci. Instrum. 68 (11) pp.

4184-4190

BLACKWELL, J.V., 1954, “A Transient-Flow for the Determination of Thermal

Constants of Insulating Materials in Bulks‟‟, Journal of Applied Physics, v.25, pp.137-

144

BUONGIORNO J., VENERUS D. et al., 2009, “A Benchmark Study on the Thermal

Conductivity of Nanofluids”. Journal of Applied Physics, v.106, 094312

CARVALHO D. G., NETO A. J. S., 1999, “An Inverse Analysis for Polymers

Thermal Properties Estimations‟‟, In: Proceedings of the 3rd

Int. Conference on Inverse

Problems in Engineering, June 13-18, Port Ludlow, WA, USA

CHANDRASEKAR M. , SURESH S., 2009 „‟ A Review on the Mechanisms of

Heat Transport in Nanofluids‟‟, Heat Transfer Engineering, 30:14, 1136-1150.

CHANDRASEKAR, M., SURESH, S., CHANDRA, B. A., 2010, “Experimental

Investigations and Theorical Determination of Thermal Conductivity and Viscosity of

Al2O3/Water Nanofluids‟‟, Experimental Thermal and Fluid Science 34 210-216,

pp.211-215.

CHOI S.U.S, 1995, “Enhancing Thermal Conductivity of Fluids with

Nanoparticles‟‟, Developments and Applications of Non-Newtonian Flows, FED-v.

231/MD- v. 66, ASME, New York, pp.99-105

88

CODREANU C., CODREANU N.-I, OBREJA V. V. N., 2007, “Experimental Set-

Up for the Measurement of the Thermal Conductivity of Liquids‟‟, Romanian Journal

of Information Science and Technology v. 10, No 3, 2007, pp. 215-231

DUANGTHONGSUK, W., WONGWISES, S., 2009, “Measurement of

Temperature-Dependent Thermal Conductivity and Viscosity of TiO2-Water

Nanofluids‟‟, Experimental Thermal and Fluid Science 33 706-714 pp. 707-713

EASTMAN, J. A., CHOI, S. U. S., LI, S., THOMPSON, L. J., 1997, “Enhanced

Thermal Conductivity Through the Development of Nanofluids”, In: Proceedings of the

Symposium Nanophase and Nanocomposite Materials II, Materials Research Society,

Boston, 457, 3-11

FGUIRI, A., DAOUAS, N., BORJINI, N., RADHOUANI, M-S., AISSIA, H. B.,

2007 „‟Experimental Inverse Analysis for the Determination of Boundary Conditions in

the Parallel Hot Wire Technique‟‟, Experimental Thermal and Fluid Science v.31 pp.

209-220

FONSECA H. M. D., 2007, “Caracterização Termofísica de Nanofluidos‟‟,

Dissertação de M.Sc. COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

FONSECA H. M. D., ORLANDE H. R. B, COTTA R. M. , 2007,‟‟ Measurements of

Nanofluids Physical‟s Properties‟‟, Proceedings of the 19th International Congress of

Mechanical Engineering, November 5-9, Brasilia, DF

FUDYM, O., ORLANDE, H. R. B, BAMFORD, M., BATSALE J. C., 2008,

‘‟Bayesian Approach for Thermal Diffusivity Mapping from an Infrared Images with

Spatially Random Heat Pulse Heating‟‟, Journal of Physics: Conference Series 135,

012042

HADAMARD, J., 1923, Lectures on Cauchy‟s Problem in Linear Differential

Equations, Yale University Press, New Haven, CT.

JIN, B., 2008, „‟Stochastic Numerical Methods for Inverse Problems‟‟, <

http://www6.cityu.edu.hk/ma/events/conference/ icam2008/abstract/jin,bangti.pdf>

KAIPIO, J., SOMERSALO, E., 2004,”Statistical and Computational Inverse

Problems‟‟, Applied Mathematical Sciences 160, Springer-Verlag.

89

KARTHIKEYAN, N. R., PHILIP, J., RAJ, B., 2008, “Effect of Clustering on the

Thermal Conductivity of Nanofluids”, Materials Chemistry and Physics 109 pp.50-55

LEE, P. M., 2004, Bayesian Statistics, Oxford University Press, London.

LEONG K. C., MURSHED S. M. S, YANG C., 2006 „‟ Experimental and Analytical

Investigations of Thermophysical Properties of Nanofluids‟‟, In: Proceedings of 13th

International Heat Transfer Conference, Sydney, Australia, 13-18 August.

MALISKA C. R., 2004, Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos

Computational, 2a Edição, Rio de janeiro, LTC.

MASUDA, H., EBATA, A., TERAMAE, K., HISHINUMA, N., 1993.‟‟ Alteration

of Thermal Conductivity of Liquids by Dispersing Ultra-fine Particles‟‟, Netsu Bussei 4

(4), 227-233

MINTSA, H. A., GILLES R., NGUYEN C. N., DOUCET D., 2009.‟‟New

Temperature-Dependent Thermal Conductivity Data for Water-Based Nanofluids‟‟,

International Journal of Thermal Sciences 48 363-371 pp. 364-370

MOTA, C. A. A, ORLANDE H. R. B., DE CARVALHO, M. O. M,

KOLEHMAINEN, V. KAIPIO, J. P., 2009, „‟Bayesian Estimation of Temperature-

Dependent Thermo Physical Properties and Transient Boundary Heat Flux‟’, Heat

Transfer Engineering, v.31 No.7, pp.1-11.

MURSHED, S. M. S, LEONG K. C, YANG C. 2008 ‘‟Thermophysical and

Electrokinetic Properties of Nanofluids- A Critical Review‟‟, Applied Thermal

Engineering 28 2109-2125

NAVEIRA-COTTA, C. P., ORLANDE, H.R.B., COTTA, R.M., NUNES, R.M.,

2010, “Integral Transforms, Bayesian Inference, and Infrared Thermography in the

Simultaneous Identification of Variable Thermal Conductivity and Diffusivity in

Heteregeneous Media”, In: Proceedings of the 14th

International Heat transfer

Conference, August 8-13, Washington, DC, USA.

NETZSCH, Instruments Inc., Burlington, MA, USA: Instructions Manual LFA 447/1

NanoflashTM

, 12/2002

90

ORLANDE H. R. B., COLAÇO M. J., DULIKRAVICH G. S., 2008 „‟ Bayesian

Estimation of the Thermal Conductivity Components of Orthotropic Solids ‟‟, In: V

Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, 18 a 22 de agosto - Salvador-Bahia-

Brasil.

OZISIK M. N., 1993, Heat Conduction, 2nd

Edition, Wiley, New York.

OZISIK M. N. , ORLANDE H. R. B., 2000, .Inverse Heat Transfer: Fundamentals

and Applications, Taylor and Francis, New York.

PARTHASARATHY, S., BALAJI, C, 2008,‟‟ Estimation of Parameters in Multi-

Mode Heat Transfer Problems using Bayesian Inference –Effect of Noise and a Priori‟‟,

International Journal of Heat and Mass transfer, v.51, pp. 2113-2334

PATANKAR, S. V., 1980, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Minkowycz,

W.J. and Sparrow, E.M. Editors.

PATEL, H. E, DAS, S. K., SUNDARAJAN, T., 2003, “Thermal Conductivity of

Naked and Monolayer Protected Metal Nanoparticle Base Nanofluids”: Manifestation

of Anomalous Enhancement and Chemical Effects‟‟ Applied Physics letters, v. 83, no

14, pp. 2931

ROY, G. NGUYEN, C. T., DOUCET D., SUIRO S., MARÉ T., 2007, „‟

Temperature Dependent Thermal Conductivity Evaluation of Alumina Based

Nanofluids‟‟ In: Proceedings of 13th

International Heat Transfer Conference, Sydney,

Australia, 13-18 August.

SASSI, M. B. H, SANTOS, C. A. C. D., SILVA E. D. Z., GURGEL, J. M., JUNIOR,

J. P. A., 2009 „‟ Heat Conduction Models for the Transient Hot Wire Technique‟‟ High

Temperatures-High Pressures, v.38, pp. 97-117

SOUZA R, ORLANDE H.R.B., PIMENTEL L.C.G, 1999, „‟Determinação da

Condutividade Térmica Utilizando o Método da Sonda Linear‟‟, In: XV Congresso

Brasileiro de Engenharia Mecânica, Novembro 22-26, Água de Lindóia, SP, Brasil

TAN, S., FOX, C., NICHOLLS G., 2006, Inverse Problems, Course Notes for

Physics 707, University of Auckland.

91

THOMSON, N. H., ORLANDE H. R. B., 2006, “Computation of Sensitivity

Coefficients and Estimation of Thermophysical Properties with the Line Heat Source

Method‟‟, In: Proceedings of the 3rd

European Conference on Computational

Mechanics Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering, Lisbon, Portugal.

THOMSON, N. H., 2006, Análise Teórico-Experimental para a Identificação de

Propriedades Termofísicas com a Técnica da Sonda-Linear, Dissertação de M.Sc.,

COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.

TP02, 2001, Non-steady-state Probe for Thermal conductivity Measurement, User‟s

Manual Hukseflux Thermal Sensors, The Netherlands.

WANG J., ZABARAS N., 2004, “Spatial Statistics Models for Stochastic Inverse

Problems in Heat Conduction‟‟, In: Proceedings of the 9th

ASCE Specialty Conference

on Probabilistic mechanistic and Structural Reliability.

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USO DE INFERÊNCIA BAYESIANA PARA ESTIMATIVA DE ...objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/BernardLamien.pdf · Primeiramente a Deus, por ter me dado saúde, força e vontade para a realização