Univerzitet u Beogradu

Elektrotehnički fakultet

Elementi elektroenergetskih sistema

minus računske vežbe minus

bull ELEKTRIČNI PRORAČUN NADZEMNIH VODOVA

Željko Đurišić

Kristina Vlajinac-Deletić

Beograd 2006

2

ZADATAK 1 Poprečni presek nadzemnog voda prikazan je na slici Fazni provodnici su izvedeni sa dva Al-Fe užeta prečnika d=26mm kod kojih je re=09r Rastojanje između provodnika jedne faze je Ds=04m Zaštitni provodnici izvedeni su izvedeni sa Al-Fe užetom prečnika dz=16mm kod kojih je rez=085rz Odrediti pogonske i nulte podužne parametre voda

Rešenje Da bi se mogli sprovoditi proračuni i analize razlitčitih radnih stanja i kvarova u EES-u svi elementi EES-a se predstavljaju matematičkim modelima odnosno zamenskim šemama koje mogu biti manje ili više složene u zavisnosti od toga kakve se analize sprovode Da bi se sastavila zamenska šema nekog elementa EES-a neophodno je poznavati parametre koji karakterišu taj element Nadzemni vod s obzirom na njegove dimenzije se obično opisuje podužnim parametrima a to su njegova otpornost induktivnost i kapacitivnost koji se svode na jedinicu dužine voda (obično na 1 km ili 100 km) Razlikuju se pogonski i nulti parametri voda

Pogonski parametri voda odgovaraju pretpostavci da je vod priključen na simetričan trofazan prostoperiodičan sistem napona i da kroz fazne provodnike teku prostoperiodične simetrične trofazne struje Treba primetiti da je pri ovakvim uslovima zbir faznih struja nula Nulti parametri voda odgovaraju eksitaciji voda nultim komponentinim sistemom napona i struja odnosno nulti parametri voda odgovaraju pretpostavci da je na sve fazne provodnike priključen isti prostoperiodični napon i da kroz sve fazne provodnike teku jednovremene prostoperiodične struje iste amplitude Pri nultoj eksitaciji voda mora postojati povratni put faznih struja jer je njihov zbir različit od nule (jednak je trostrukoj vrednosti fazne struje) Fizički taj povratni put je zemlja

U konkretnom zadatku dat je tipičan 400kV koji se koristi u EES-u Srbije Na slici 11 prikazan je detalj 400kV dalekovoda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4 m

h sg =

9 m

A B C

Površina zemlje

3

Slika 11 Detalj 400 kV dalekovoda kakav se analizira u zadatku

Proračun pogonske induktivnosti voda U elektromagnetskom pogledu vod predstavlja sistem magnetski spregnutih kontura koje se nalaze u nemagnetnoj sredini (pretpostavka je da i zemlja ima slične magnetske karakteristike kao i vazduh) Kao što je rečeno pri proračunu pogonskih parametara pretpostavka je da kroz fazne provodnike protiču simetrične trofazne struje S obzirom da je zbir struja u analiziranim pogonskim uslovima jednak nuli i da su zemljovonda užad po pravilu postavljena simetrično u odnosu na fazne provodnike u petljama koje čine zemljovodna užad se ne indukuju struje pa zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske induktivnosti Iz tog razloga pogonsku induktivnost definišu samo geometrijske karakteristike faznih provodnika i njihov međusobni položaj (pretpostavka je da je vod transponovan)

Slika 12 Uz proračun podužne pogonske induktivnosti voda

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanje između faznih provodnika

56726 3 Dsg =sdot= m

6 m 6 m A B C

Fazni provodnici (A B C)

Zaštitna (zemljovodna) užad (Z1 Z2)

4

Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika koji je izveden u vidu snopa sa n provodnika po fazi

8464031901 Drr n nsees =sdotsdot=sdot= minus cm

Proračun pogonske podužne induktivnosti voda

9410846

756102102 44

lnrD

lnLes

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun pogonske podužne reaktanse voda

295094105022 fLLX =sdotsdotsdot=== ππω Ωkm

Proračun pogonske kapacitivnosti voda U elektrostatičkom pogledu provodnici voda čine sistem elektroda koje se nalaze iznad beskonačne električno provodne ravni (zemlje) Pošto su zemljovodna užad postavljena simetrično u odnosu na vertikalnu osu stuba uz pretpostavku da je vod transponovan električno polje koje potiče od faznih provodnika se poništava (jednako je nuli) na mestu zaštitnih užadi Iz tog razloga zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske kapacitivnosti Uticaj zemlje se može matematički ekvivalentirati prema teoremi likova tako da se za proračun pogonske kapacitivnosti analizira sistem od šest elektroda (tri fazna provodnika i njihovih odgovarajućih likova postavljenih simetrično u odnosu na površinu zemlje) koje se nalaze u vazduhu kao što je prikazano na slici 13

Slika 13 Uz proračun podužne pogonske kapacitivnosti voda

Pošto između elektroda kondenzatora (faznih provodnika) kao i između faznih provodnika i zemlje postoji u pogonskim radnim uslovima napon onda postoji i kapacitivna struja punjenja voda i u uslovima kada je vod u praznom hodu Nivo struje punjenja voda zavisi od napona i pogonske kapacitivnosti voda Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika (snopa)

21740311 Drr n nesc =sdot=sdot= minus cm

9 m

6 m 6 m 9

m

A

AB0

B C

AC0 površina zemlje BC0

A0 B0 C0

5

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i odgovarajućih likova

( ) mD

BCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 22

0

22

0

22

03

0000

=++=

+++=sdotsdot=

Proračun pogonske kapacitivnosti voda

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555 minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdot

sdot=

sdot

sdotsdot

=

ln

DrhD

ln

C

sgffesc

sgsg Fkm

Proračun karakteristične impedanse voda za pogonske uslove uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage)

Ω=sdotsdot

== minus

minus

82771019312109410

9

3

CLZC

Proračun nulte induktivnosti voda Za izračunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju čini fazni provodnik ndash zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna užad ndash zemlja slika 14

Slika 14 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznačenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0

I0 I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

2

ZADATAK 1 Poprečni presek nadzemnog voda prikazan je na slici Fazni provodnici su izvedeni sa dva Al-Fe užeta prečnika d=26mm kod kojih je re=09r Rastojanje između provodnika jedne faze je Ds=04m Zaštitni provodnici izvedeni su izvedeni sa Al-Fe užetom prečnika dz=16mm kod kojih je rez=085rz Odrediti pogonske i nulte podužne parametre voda

Rešenje Da bi se mogli sprovoditi proračuni i analize razlitčitih radnih stanja i kvarova u EES-u svi elementi EES-a se predstavljaju matematičkim modelima odnosno zamenskim šemama koje mogu biti manje ili više složene u zavisnosti od toga kakve se analize sprovode Da bi se sastavila zamenska šema nekog elementa EES-a neophodno je poznavati parametre koji karakterišu taj element Nadzemni vod s obzirom na njegove dimenzije se obično opisuje podužnim parametrima a to su njegova otpornost induktivnost i kapacitivnost koji se svode na jedinicu dužine voda (obično na 1 km ili 100 km) Razlikuju se pogonski i nulti parametri voda

Pogonski parametri voda odgovaraju pretpostavci da je vod priključen na simetričan trofazan prostoperiodičan sistem napona i da kroz fazne provodnike teku prostoperiodične simetrične trofazne struje Treba primetiti da je pri ovakvim uslovima zbir faznih struja nula Nulti parametri voda odgovaraju eksitaciji voda nultim komponentinim sistemom napona i struja odnosno nulti parametri voda odgovaraju pretpostavci da je na sve fazne provodnike priključen isti prostoperiodični napon i da kroz sve fazne provodnike teku jednovremene prostoperiodične struje iste amplitude Pri nultoj eksitaciji voda mora postojati povratni put faznih struja jer je njihov zbir različit od nule (jednak je trostrukoj vrednosti fazne struje) Fizički taj povratni put je zemlja

U konkretnom zadatku dat je tipičan 400kV koji se koristi u EES-u Srbije Na slici 11 prikazan je detalj 400kV dalekovoda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4 m

h sg =

9 m

A B C

Površina zemlje

3

Slika 11 Detalj 400 kV dalekovoda kakav se analizira u zadatku

Proračun pogonske induktivnosti voda U elektromagnetskom pogledu vod predstavlja sistem magnetski spregnutih kontura koje se nalaze u nemagnetnoj sredini (pretpostavka je da i zemlja ima slične magnetske karakteristike kao i vazduh) Kao što je rečeno pri proračunu pogonskih parametara pretpostavka je da kroz fazne provodnike protiču simetrične trofazne struje S obzirom da je zbir struja u analiziranim pogonskim uslovima jednak nuli i da su zemljovonda užad po pravilu postavljena simetrično u odnosu na fazne provodnike u petljama koje čine zemljovodna užad se ne indukuju struje pa zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske induktivnosti Iz tog razloga pogonsku induktivnost definišu samo geometrijske karakteristike faznih provodnika i njihov međusobni položaj (pretpostavka je da je vod transponovan)

Slika 12 Uz proračun podužne pogonske induktivnosti voda

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanje između faznih provodnika

56726 3 Dsg =sdot= m

6 m 6 m A B C

Fazni provodnici (A B C)

Zaštitna (zemljovodna) užad (Z1 Z2)

4

Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika koji je izveden u vidu snopa sa n provodnika po fazi

8464031901 Drr n nsees =sdotsdot=sdot= minus cm

Proračun pogonske podužne induktivnosti voda

9410846

756102102 44

lnrD

lnLes

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun pogonske podužne reaktanse voda

295094105022 fLLX =sdotsdotsdot=== ππω Ωkm

Proračun pogonske kapacitivnosti voda U elektrostatičkom pogledu provodnici voda čine sistem elektroda koje se nalaze iznad beskonačne električno provodne ravni (zemlje) Pošto su zemljovodna užad postavljena simetrično u odnosu na vertikalnu osu stuba uz pretpostavku da je vod transponovan električno polje koje potiče od faznih provodnika se poništava (jednako je nuli) na mestu zaštitnih užadi Iz tog razloga zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske kapacitivnosti Uticaj zemlje se može matematički ekvivalentirati prema teoremi likova tako da se za proračun pogonske kapacitivnosti analizira sistem od šest elektroda (tri fazna provodnika i njihovih odgovarajućih likova postavljenih simetrično u odnosu na površinu zemlje) koje se nalaze u vazduhu kao što je prikazano na slici 13

Slika 13 Uz proračun podužne pogonske kapacitivnosti voda

Pošto između elektroda kondenzatora (faznih provodnika) kao i između faznih provodnika i zemlje postoji u pogonskim radnim uslovima napon onda postoji i kapacitivna struja punjenja voda i u uslovima kada je vod u praznom hodu Nivo struje punjenja voda zavisi od napona i pogonske kapacitivnosti voda Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika (snopa)

21740311 Drr n nesc =sdot=sdot= minus cm

9 m

6 m 6 m 9

m

A

AB0

B C

AC0 površina zemlje BC0

A0 B0 C0

5

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i odgovarajućih likova

( ) mD

BCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 22

0

22

0

22

03

0000

=++=

+++=sdotsdot=

Proračun pogonske kapacitivnosti voda

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555 minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdot

sdot=

sdot

sdotsdot

=

ln

DrhD

ln

C

sgffesc

sgsg Fkm

Proračun karakteristične impedanse voda za pogonske uslove uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage)

Ω=sdotsdot

== minus

minus

82771019312109410

9

3

CLZC

Proračun nulte induktivnosti voda Za izračunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju čini fazni provodnik ndash zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna užad ndash zemlja slika 14

Slika 14 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznačenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0

I0 I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

3

Slika 11 Detalj 400 kV dalekovoda kakav se analizira u zadatku

Proračun pogonske induktivnosti voda U elektromagnetskom pogledu vod predstavlja sistem magnetski spregnutih kontura koje se nalaze u nemagnetnoj sredini (pretpostavka je da i zemlja ima slične magnetske karakteristike kao i vazduh) Kao što je rečeno pri proračunu pogonskih parametara pretpostavka je da kroz fazne provodnike protiču simetrične trofazne struje S obzirom da je zbir struja u analiziranim pogonskim uslovima jednak nuli i da su zemljovonda užad po pravilu postavljena simetrično u odnosu na fazne provodnike u petljama koje čine zemljovodna užad se ne indukuju struje pa zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske induktivnosti Iz tog razloga pogonsku induktivnost definišu samo geometrijske karakteristike faznih provodnika i njihov međusobni položaj (pretpostavka je da je vod transponovan)

Slika 12 Uz proračun podužne pogonske induktivnosti voda

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanje između faznih provodnika

56726 3 Dsg =sdot= m

6 m 6 m A B C

Fazni provodnici (A B C)

Zaštitna (zemljovodna) užad (Z1 Z2)

4

Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika koji je izveden u vidu snopa sa n provodnika po fazi

8464031901 Drr n nsees =sdotsdot=sdot= minus cm

Proračun pogonske podužne induktivnosti voda

9410846

756102102 44

lnrD

lnLes

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun pogonske podužne reaktanse voda

295094105022 fLLX =sdotsdotsdot=== ππω Ωkm

Proračun pogonske kapacitivnosti voda U elektrostatičkom pogledu provodnici voda čine sistem elektroda koje se nalaze iznad beskonačne električno provodne ravni (zemlje) Pošto su zemljovodna užad postavljena simetrično u odnosu na vertikalnu osu stuba uz pretpostavku da je vod transponovan električno polje koje potiče od faznih provodnika se poništava (jednako je nuli) na mestu zaštitnih užadi Iz tog razloga zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske kapacitivnosti Uticaj zemlje se može matematički ekvivalentirati prema teoremi likova tako da se za proračun pogonske kapacitivnosti analizira sistem od šest elektroda (tri fazna provodnika i njihovih odgovarajućih likova postavljenih simetrično u odnosu na površinu zemlje) koje se nalaze u vazduhu kao što je prikazano na slici 13

Slika 13 Uz proračun podužne pogonske kapacitivnosti voda

Pošto između elektroda kondenzatora (faznih provodnika) kao i između faznih provodnika i zemlje postoji u pogonskim radnim uslovima napon onda postoji i kapacitivna struja punjenja voda i u uslovima kada je vod u praznom hodu Nivo struje punjenja voda zavisi od napona i pogonske kapacitivnosti voda Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika (snopa)

21740311 Drr n nesc =sdot=sdot= minus cm

9 m

6 m 6 m 9

m

A

AB0

B C

AC0 površina zemlje BC0

A0 B0 C0

5

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i odgovarajućih likova

( ) mD

BCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 22

0

22

0

22

03

0000

=++=

+++=sdotsdot=

Proračun pogonske kapacitivnosti voda

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555 minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdot

sdot=

sdot

sdotsdot

=

ln

DrhD

ln

C

sgffesc

sgsg Fkm

Proračun karakteristične impedanse voda za pogonske uslove uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage)

Ω=sdotsdot

== minus

minus

82771019312109410

9

3

CLZC

Proračun nulte induktivnosti voda Za izračunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju čini fazni provodnik ndash zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna užad ndash zemlja slika 14

Slika 14 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznačenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0

I0 I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

4

Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika koji je izveden u vidu snopa sa n provodnika po fazi

8464031901 Drr n nsees =sdotsdot=sdot= minus cm

Proračun pogonske podužne induktivnosti voda

9410846

756102102 44

lnrD

lnLes

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun pogonske podužne reaktanse voda

295094105022 fLLX =sdotsdotsdot=== ππω Ωkm

Proračun pogonske kapacitivnosti voda U elektrostatičkom pogledu provodnici voda čine sistem elektroda koje se nalaze iznad beskonačne električno provodne ravni (zemlje) Pošto su zemljovodna užad postavljena simetrično u odnosu na vertikalnu osu stuba uz pretpostavku da je vod transponovan električno polje koje potiče od faznih provodnika se poništava (jednako je nuli) na mestu zaštitnih užadi Iz tog razloga zaštitna užad ne utiču na proračun pogonske kapacitivnosti Uticaj zemlje se može matematički ekvivalentirati prema teoremi likova tako da se za proračun pogonske kapacitivnosti analizira sistem od šest elektroda (tri fazna provodnika i njihovih odgovarajućih likova postavljenih simetrično u odnosu na površinu zemlje) koje se nalaze u vazduhu kao što je prikazano na slici 13

Slika 13 Uz proračun podužne pogonske kapacitivnosti voda

Pošto između elektroda kondenzatora (faznih provodnika) kao i između faznih provodnika i zemlje postoji u pogonskim radnim uslovima napon onda postoji i kapacitivna struja punjenja voda i u uslovima kada je vod u praznom hodu Nivo struje punjenja voda zavisi od napona i pogonske kapacitivnosti voda Proračun ekvivalentnog poluprečnika faznog provodnika (snopa)

21740311 Drr n nesc =sdot=sdot= minus cm

9 m

6 m 6 m 9

m

A

AB0

B C

AC0 površina zemlje BC0

A0 B0 C0

5

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i odgovarajućih likova

( ) mD

BCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 22

0

22

0

22

03

0000

=++=

+++=sdotsdot=

Proračun pogonske kapacitivnosti voda

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555 minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdot

sdot=

sdot

sdotsdot

=

ln

DrhD

ln

C

sgffesc

sgsg Fkm

Proračun karakteristične impedanse voda za pogonske uslove uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage)

Ω=sdotsdot

== minus

minus

82771019312109410

9

3

CLZC

Proračun nulte induktivnosti voda Za izračunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju čini fazni provodnik ndash zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna užad ndash zemlja slika 14

Slika 14 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznačenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0

I0 I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

5

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i odgovarajućih likova

( ) mD

BCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 22

0

22

0

22

03

0000

=++=

+++=sdotsdot=

Proračun pogonske kapacitivnosti voda

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555 minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdot

sdot=

sdot

sdotsdot

=

ln

DrhD

ln

C

sgffesc

sgsg Fkm

Proračun karakteristične impedanse voda za pogonske uslove uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage)

Ω=sdotsdot

== minus

minus

82771019312109410

9

3

CLZC

Proračun nulte induktivnosti voda Za izračunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju čini fazni provodnik ndash zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna užad ndash zemlja slika 14

Slika 14 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznačenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0

I0 I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik ndash zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0) Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju čini fazni provodnik ndash zemlja Međutim zemljovodna užad su na svakom stubu uzemljena (metalno su pričvršćena za stub vidi sliku 11 koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik ndash zemlja te utiče na fluksni obuhvat ove petlje a samim tim i na nultu induktivnost Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju čine zaštitna užad ndash zemlja Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna užad - zemlja je shodno Lencovom zakonu takvog smera da teži da poništi fluks koji ju je izazvao Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u slučaju postojanja zemljovodne užadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji Pošto je po definiciji induktivnost L neke petlje i

L ψ= iz

prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja odnosno nulta induktivnost voda manja ako postoje zemljovodna užad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom teži da smanji fluks u petlji fazni provodnik ndash zemlja Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju Struja se kroz poprečni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi težila da se koncentriše uz samu površinu tla jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je površina petlje fazni provodnik ndash zemlja) Pošto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi težila da se rasprostire na što veću površinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran površini provodnika (u ovom slučaju zemlje) U realnim uslovima struja se raspoređuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna Iz ove kratke analize zaključuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (veća frekvencija znači veći uticaj reaktanse odnosno veću koncentaciju struje pri površuni tla) i specifične omske otpornosti ρ zemlje Karson je pokazao da se zemlja kao geološki provodnik može zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a raquoukopanlaquo je na ekvivalentnoj dubini f

]m[Deρ660= Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proračun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 15

Slika 15 Uz proračun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

7

Nulta podužna induktivnost voda se računa prema sledećem izrazu

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minussdot= minus

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DL

ln

lnln106 1

2

3 2

40

gde su Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika

3893350

100660660 f

De ==ρ m

Srednje geometrijsko rastojanje između faznih provodnika i zemljovodne užadi

mCZBZAZD sgfz 61645104544513 2222223

1111 =+++== Rastojanje između zaštitne uđadi

mDzz 9= Ekvivalentni poluprečnik zaštitne užadi

cmrr zez 68080850850 =sdot== Nulta podužna induktivnost analiziranog voda

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

sdotsdot

minussdotsdot

sdot=

minus

minus

minus

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

ln

ln

lnLz zLL 00 ∆minus

( ) kmmHLLLz 0453278531830639755238436106 4

000 =minus=minussdot=∆minus= minus L0 ndash nulta podužna induktivnost voda kada ne bi imao zaštitnu užad ∆L0

z ndash iznos za koji zemljovodna užad smanjuju nultu podužnu induktivnost voda Zaključuje se da zemljovodna užad značajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50) Nulta podužna reaktansa voda je

kmXXLX zz Ω=minus=∆minus== 6420561020310000 ω Proračun podužne nulte kapacitivnosti voda Za razliku od uslova proračuna pogonske kapacitivnosti kada je pretpostavka da je vod priključen na trofazni simetričan sistem napona kod proračuna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici priključeni na isti napon (nulti komponentni sistem napona) Pod ovom pretpostavkom u zemljovodnim užadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jačine električnog polja koje potiče od faznih provodnika na mestu zaštitnih užadi različit od nule pa zaštitna užad utiču na nultu kapacitivnost voda Na slici 16 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proračun nulte kapacitivnosti voda

Slika 16 Uz proračun nulte podužne kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se računa prema sledećem izrazu

[ ]kmF

ZZrZZh

lnDD

lnkDr

Dhln

C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

02

32

10555555

minus

sdot=

minus

gde je k=2 za dva užeta odnosno k=1 za jedno uže i tada je 121

201 rarrZZZZ

Proračun srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i likova zemljovodnih užadi

mCZBZAZD sgfz 942222510225422513 2222223

10101010 =+++=sdotsdot= Proračun rastojanja između zemljovonog užeta i lika drugog zemljovodnog užeta

mZZ 5127269 22201 =+=

Zamenom prethodno definisanih veličina u izraz za proračun nulte kapacitivnosti voda dobija se

kmFC z 9

8

0 1062880114477

10555555 minusminus

sdot=minussdot

=

6 m 6 m

9 m

A B C

površina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna užad nulta kapacitivnost bi bila

[ ]kmF

Dr

Dhln

C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 minusminus

sdot=sdot

=

Zaključuje se da zemljovodna užad relativno malo utiču na nultu kapacitivnost U slučaju postojanja zemljovodnih užadi nulta kapacitivnost je oko 10 veća u odnosu kada zaštitna užad ne bi postojala Nulta karakteristična impedansa voda bez zemljovodne užadi je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5716104671083063

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristična impedansa voda sa zemljovodnom užadi

Ω=sdotsdot

== minus

minus

884861062881004532

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

10

ZADATAK 2 Izračunati podužnu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajedničkim stubovima (za f=50 Hz) Ekvivalentni poluprečnik provodnika je 18mm Poprečni presek voda je prikazan na slici Kolika će biti podužna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu

Rešenje Iz ekonomskih razloga se često u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i više) vodova postavljaju na zajedničke stubove slika 21

Slika 21 Dva paralelno vođena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika sličnim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Površina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiču struje postoji magnetska sprega između faznih provodnika različitih vodova prema definiciji induktivnosti postoji međusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni određeni uslovi (vidi udžbenik str 108) Pod definisanim pretpostavkama u slučaju istog strujnog opterećenja oba voda pogonska podužna induktivnost jednog voda je

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 minussdot=

gde su

Dsg ndash srednje geometrijsko rastojanje između faza jednog voda Dsg

ii ndash srednje geometrijsko rastojanje između istoimenih faza dva voda Dsg

ij ndash srednje geometrijsko rastojanje između raznoimenih faza dva voda Proračun geometrijskih parametara voda

mbcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==+sdotsdot+=sdotsdot=sdotsdot=

mCcBbAaDiisg 604668633 =sdotsdot=sdotsdot=

mBcAcAbDijsg 89573766733 2222223 =+sdot+sdot+=sdotsdot=

Proračun podužne induktivnosti paralelno vođenih dalekovoda na istim stubovima

112216046018089579153102102 44 ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

sdotsdot

sdot=sdot= minusminus mHkm

Proračun odgovarajuće podužne pogonske reaktanse

34940112215022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekidač na kraju voda) onda kroz taj vod teče mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod pa se on u magnetskom pogledu može posmatrati kao da ne postoji drugi vod U tom slučaju pogonska induktivnost voda je

0764101809153102102 44 ln

rD

lnLe

sg =sdot=sdot= minusminus mHkm

Odgovarajuća podužna pogonske reaktanse je

33820076415022 LfLX =sdot=sdot=sdot= ππω Ωkm Kada su oba vod opterećena pogonska reaktansa vodova je veća od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

12

ZADATAK 3 Fazni provodnici dva identična paralelno vođena dalekovoda spojeni su kao na slici Uzimajući u obzir samo induktivnosti u datom kolu izračunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidača (P) Poznati su sledeći parametri vodova Dsg=4m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda Dsg

M=20m ndash srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika različitih vodova re=15mm ndash ekvivalentni poluprečnik svih faznih provodnika

Rešenje Pošto su vodovi identični i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike teći će iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici priključeni na isti napon Struju kroz jedan fazni provodnik ograničava odgovarajuća nulta reaktansa Kada je prekidač P uključen imamo dva paralelno vođena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno vođene identične vodove

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

primeprimesdot= minus

3 2

40 ln106

gde su

mf

De 4933660 ==ρ

kada se uzme u obzir visina vešanja provodnika

mHDD sgee 4943=+=prime Kada je prekidač (P) zatvoren struju I ograničava 16 nulte reaktanse

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

ρ=100Ωm De

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

13

kmmHLp

117895412041051

4943ln106 3 22

240 =

sdotsdotsdot=

minus

minus

kmLX pp

3512066

00 Ω==ω

AX

l

UI pp 6955

60

==

Kada je prekidač (P) otvoren kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utiče na drugi vod U osvom slučju struju I ograničava 13 nulte reaktanse usamljenog voda

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL minussdot=

kmmHDr

DL

sge

e 465140051

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =sdot

sdot=prime

sdot= minusminus

kmLX

4602033

00 Ω==ω

AX

l

UI 3454

30==

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da je struja u slučaju kada je zatvoren prekidač P veća za

AIII p 35134546955 =minus=minus=∆

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

14

ZADATAK 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su međusobno sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V prema slici Izračunati struju (I) uzimajući u obzir samo induktivnosti Fazni provodnici voda raspoređeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su Srednja geometrijska visina vešanja faznih provodnika je Hsg=10m

Rešenje U analiziranom slučaju ako se zanemari aktivna otpornost u kolu struju ograničava samo odgovarajuća reaktansa složene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika Pošto je kolo složeno i geometrija prostorna najzgodnije je proračunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red U opštem slučaju za sistem od m provodnika kroz koje protiču struje induktivnost jednog provodnika je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot= sum

=

minusm

jj

A

Bj

eA AB

II

rL

1

4 ln1ln102

U analiziranom slučaju zbog geometrijske simetrije odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C) važi LA=LC

e

ee

eCA r

DDDDr

LL

44 ln102lnlnln1ln102 minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++sdot==

Gde je De

= De + Hsg

244 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L minusminus sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++minussdot=

Fazni provodnici su redno vezani pa je ukupna podužna induktivnost petlje

D=4m re=10mm

U=100V50Hz

ρ=100Ωm

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

15

4

24

4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL minusminusminus sdot=sdot+sdot=++=

mf

De 493350

100660660 ===ρ

mDe 4943104933 =+=

kmmHlnL 687549434011

40094340104 4 =sdotsdotsdot

sdot= minus

Odgovarajuća podužna reaktansa je

kmLX 472631 Ω== ω

Proračun struje I

AXlUI 6790

10047261100

=sdot

==

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

16

ZADATAK 5 Na slici je prikazana principijelna šema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda dužine l za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neopterećene) Napisati potreban broj jednačina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA) neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivaču (IZ) Poznate veličine su U f=50 Hz ρ=100 Ωm Ruz1 Ruz2 rv l re D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprečnike (reA=reN=re) i iste podužne omske otpornosti (rA=rN=rv) Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivačem čiji je otpor Ruz2 a na početku voda sa uzemljivačem otpornosti Ruz1

Rešenje Pošto je prema uslovu zadatka neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zaštitnim uzemljenjem objekta (zaštitno nulovanje) pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA će se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju Proračun struja se može izvršiti prema zamenskoj šemi prikazanoj na slici 51

Slika 51 Zamenska šema Proračun parametara zamenske šeme

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika lrRRR vvNA sdot=== Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1

Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

ρ=100 Ωm Ruz2 Ruz1

rv

IN =

IA=

IZ=

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

17

lr

DhDL

e

eA sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++sdot= minus ln102 4

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika

mmmf

De 49332660][660 ===ρ

Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja

lr

DhL

e

eN sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sdot= minus ln102 4

Pošto je DDe gtgt važi da je AN LL asymp Međusobna induktivnost petlji fazni provodnik ndash zemlja i neutralni provodnik ndashzemlja

lD

hDlnM eAN sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sdot= minus4102

Aktivna otpornost zemlje između dva uzemljivača ( ) ][05010 42 Ωsdotasympsdotsdot= minus llfRZ π ][kml

Na osnovu zamenske šeme može se napisati sledeći sistem jednačina iz kojeg se mogu prorčunati nepoznate struje

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=++minusminus+=+++minus+=

)()(0)()(

21

21ωωωω

gde je fπω 2=

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

18

ZADATAK 6 Izračunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici Pri proračunu pored odgovarajuće reaktanse uzeti u obzir i omske otpornosti provodnika uzemljivača i zemlje Parametri provodnika su ekvivalentni poluprečnik - re=12 mm podužna omska otpornost - rv=01 Ωkm

Srednja visina vešanja provodnika je H=8 m Vod se nalazi iznad približno homogenog tla specifične otpornosti ρ =100 Ωm Vod nema zaštitno uže

Rešenje

Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograničava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogođenog kvarom uzemljivača i zemlje)

Slika 61 Petlja zatvaranja struje kvara

Pošto vod nema zaštitnih užadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara određuje sopstvena induktivnost petlje kvara

2X f L lπ= sdot sdot

42 10 ln e

e

D HL

rminus ⎛ ⎞+

= sdot ⎜ ⎟⎝ ⎠

100660 660 93350eD m

fρ

= = =

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

HzfkVU 503

110==

I C l = 100 km

Ruz1= 10Ω ρ=100 Ωm Ruz2= 20Ω

De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2 254 12 10

e

e

D HL mH km

rminus minus

minus

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= sdot = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠⎝ ⎠

32 31416 2 254 10 100 70 81X f L lπ minus= sdot sdot = sdot sdot sdot = Ω

Proračun omske otpornosti petlje kvara

1 2e v uz z uzR R R R R= + + +

01 100 10v vR r l= sdot = sdot = Ω 4 2 4 210 10 50 100 5zR f lπ πminus minus= sdot sdot = sdot sdot sdot asymp Ω

2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + = Ω

Proračun impedanse petlje kvara

2 2 2 245 7081 83 9eZ R X= + = + = Ω

Proračun struje kvara

110 3 75783 9

UI AZ

= = =

Ukoliko bi vod imao zaštitnu užad onda bi struja kvara bila veća jer bi zaštitna užad smanjila reaktansu petlje kvara

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

20

ZADATAK 7 Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprečnika 10 mm i vezani kao na slici Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m srednja geometrijska visina vešanja provodnika 12 m a dužina voda 100 km odrediti struju I pri učestanosti 50 Hz

Rešenje Fazni provodnici su međusobno kapacitivno i induktivno spregnuti S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna Pošto je napon priključen između faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 71 Jedan deo struje I se zatvara između faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice) zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni Struja I je raspodeljena duž provodnika A tako da idući prema kraju voda struja opada što je naznačeno crvenom strelicom Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona duž provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tačna kod dugačkih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda duž trase onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetričan odnosno transponovan

Slika 71 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

21

Svaki par provodnika (uključujući i zemlju) čini jedan kondenzator Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0 dok kapacitivnost između dva fazna provodnika je definisana kao međusobna kapacitivnost Cm Zamenska šema za analizirani slučaj je predstavljena na slici 72 bojama su naznačene kapacitivnosti u skladu sa slikom 71 Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega između faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj međusobnih induktivnosti zanemarljiv

Slika 72 Ekvivalentna šema

Ekvivalentna kapacitivnost je

me CCC 20 += Međusobna kapacitivnost se može izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti

30CC

Cmminus

=

Kada se ne zna tačan raspored provodnika za izračunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja između faznih provodnika i njihovih likova može se koristiti sledeća formula

2240 sgsg

sgff DHD +=

U konkretnom slučaju je

mD sgff 19243124 22

0=+sdot=

Podužna pogonska kapacitivnost voda je

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg1075369

192410101223ln

105555552

ln

10555555 9

3

88

0

minus

minus

minusminus

sdot=

sdotsdotsdotsdotsdot

=

sdot

sdotsdot

=

Podužna nulta kapacitivnost voda je

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

106464

31924

1010122ln

10555555

2ln

10555555 92

3

8

2

8

0

0

minus

minus

minusminus

sdot=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdot

sdot=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

sdot=

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 =gt kV3

110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani slučaj je

kmFCCCC

CCCC me 1005183

23

22 90000

minussdot=+

=minus

+=+=

Proračun struje punjenja voda

AI

AUlCI Ae

0616

0616103

110100518100502 39

=

=sdotsdotsdotsdotsdotsdot== minusπω

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

23

ZADATAK 8 Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda dužine l = 50 km podužne pogonske kapacitivnosti c = 10 nFkm i podužne nulte kapacitivnosti co = 52 nFkm vezani su kao na slici Odrediti struju I i napon faznog provodnika ldquoArdquo prema zemlji

Rešenje

Struja PrimepunjenjaPrime voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege među provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonačne provodne ravni) Veza između trenutnih vrednosti faznih napona (uABC) i odgovarajućih naelektrisanja faznih provodnika (qABC) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti prema sledećoj relaciji

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd

Pošto se radi o prostoperiodičnim režimima voda može se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUUI CBA 3350 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini ACB UII Sada se može napisati sledeći sistem jednačina

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛minus+==minus=rArr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=

+= 22

220ω

ωωωωωω

ωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledećim relacijama

420)10080(250102522

080503

10)2510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Napon faze PrimeAPrime prema zemlji je

0069873

3538103

35420

08022ang==

minussdotminus=minus= kVkV

)(U

CC

Uf

ffA

Proračun struje I

Aj393103

35100420082008042502πj2U

C2C

CCfj2π2III 362

f

2ff

fffCB =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminussdotsdotsdot=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot=+= minus

Zadatak se može rešiti metodologijom koja je korišćena u zadatku 6 ali je prethodni pristup opštiji

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

25

ZADATAK 9Trofazni transponovani 110 kV dalekovod dužine l = 100 km se nalazi u praznom hodu Ako pri isključenju dalekovoda pol prekidača u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti struju I napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i međufazni napon UAB

Podužna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nFkm a podužna nulta kapacitivnost je co = 5 nFkm

Rešenje

U ovom konkretnom slučaju dva fazna provodnika su isključena (odvojena od mreže) i na početku i na kraju dok je fazni provodnik faze C priključen na fazni napon Usled kapacitivne sprege između faznih provodnika voda u prisustvu zemlje koja se tretira kao beskonačna provodna ravan fazni provodnici faza B i C će imati neki napon prema zemlji koji je potrebno odrediti Pošto se radi o prostoperiodičnom režimu može se proračun vršiti u kompleksnom domenu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

ω

Za konkretan slučaj jednačine fizičke očiglednosti su kVUUII CBA3

1100 ==== pa su

nepoznate u prethodnoj matričnoj jednačini BAC UUI Može se napisati sledeći sistem jednačina

UCC

CCjI

UCC

CUU

UCjUCjUCjI

UCjUCjUCj

UCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus=

+minus==

rArr⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

22

0

0

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izračunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda

HzfkVU 503

110==

I B

C

A

l = 100 km

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

26

90)1020(210010522

201003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

micro

micro

=sdotminussdotminussdot=minus=minus=

minus=sdotminus

minus=minus

minus=minus

minus=minus=minusminus

minus

Naponi faza PrimeAPrime i PrimeBPrime prema zemlji su

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 1418

31102857028570

209020

=sdot=sdot=sdotminus

minusminus=

+minus==

Međufazni napon UAB

kVUUU BAAB 0=minus=

Struja u faznom provodniku C je

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 6815

31011010)

2090)20(290(502

2 36

22

=sdot

sdotsdotminusminussdot

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+minus= minusπω

U ovom zadatku je utvrđeno da napon na slobodnim faznim provodnicima može usled kapacitivne sprege biti značajno veliki i opasan po život Ovo je jedan od razloga da se pri izvođenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova)

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

27

ZADATAK 10 Odrediti parametre ekvivalentne π-šeme voda sa sledećim parametrima l = 400 km RS =127 MΩkm r = 01Ωkm L = 13mHkm C = 8710-9Fkm Izračunati parametre zamenske šeme ovog voda ako je on idealizovan Učestanost je 50Hz

Rešenje Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

šemama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju Takođe treba imati u vidu da podužni parametri duž voda nisu konstantni jer vod prelazi preko različitog terena različiti su ugibi specifična otpronost zemlje uslovi za pojavu korone temperaturni uslovi i slično Ipak za većinu praktičnih proračuna vod se može modelovati koncentrisanim parametrima čime se dobijaju ekvivalentne šeme

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se različite zamenske šeme u zavisnosti kakav se proračun sprovodi Za proračun tokova snaga koristi se ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda koja je prikazana na slici 101 Pored ove šeme koriste se i ekvivalentne PrimeTPrime PrimeГPrime i obrnuta PrimeГPrime šema

Slika 101 Ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Proračun parametara ekvivalentne PrimeПPrime zamenska šema voda Rednu impedansa u zamenskoj šemi kod kraćih vodova (do 200km) definišu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda dok otočnu admitansu definiše pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa) Kod dužih vodova kakav se u ovom primeru analizira potrebno je uvesti i Kenelijeve sačinioce popravke

kmSR

G

kmSx

B

kmfCC

x

kmfLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

minus

minus

minus

minus

sdot==

sdot===

Ω=sdotsdotsdot

===

Ω=sdotsdotsdot==

ππω

ππ

RS ndash specifična aktivna otpornost

2ΠY 2

ΠY

Zп

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

28

G ndash podužna aktivna odvodnost

( )( )

( ) ( )( ) ( ) SjjlyY

jjlzZ

kmSjjBGykmjjxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

minusminus

minus

sdot+=sdotsdot+=sdot=

Ω+=sdot+=sdot=

sdot+=+=

Ω+=+=

Pošto je vod dugačak dobijene redne i otočne parametre treba korigovati

( ) ( )( ) ( )Ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ sdot+++sdot+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

minus

715849376

102410935312163401216340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

π

π

( ) ( )( )( )( ) ( ) Sj

jjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085554351810241093531216340424

10241093531216340122410935312

42412

2

minusminus

minus

sdot+=sdot+++sdot+++

+=

++

=

π

π

Proračun parametar idelizovanog voda Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage a to znači da je kod idealizovanog voda r = 0 i G = 0

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednačinama telegrafičara (vidi udžbenik str142 do 145) hiperboličke funkcije prelaze u trigonometrijske pa su parametri zamenske šeme definisani sledećim relacijama

λπ sinCi jZZ = λλπ

sincos1

2 C

i

ZjY minus

=

Gde je λ električna ugaona dužina voda

oi l 24400060 =sdot== βλ

Karakteristična impedansa analiziranog voda je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

5538610781031

9

3

CLZC

Parametri ekvivalentne π šeme idealizovanog voda su

Ω=sdot= 2215724sin55386 jjZ iπ

SjjY i 6108754924sin55386

24cos12

minussdot=sdot

minus=π

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

29

ZADATAK 11 Dva elektroenergetska sistema EEC-I i EEC-II povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV) Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga izračunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I a koliku u EES-II Parametri idealizovanog voda su dužina voda - L=250 km podužna pogonska induktivnost voda l =1024 mHkm podužna pogonska kapacitivnost voda - c=001microFkm

Rešenje

Za proračun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda Za proračun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II može se koristiti ekvivalentna PrimeПPrime zamenska šema voda

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao između fazora napona Ovaj zaključak je opšteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore trensformatore i vodove)

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga između dva EES-a će biti takva da reaktivna snaga ldquotečeldquo od višeg ka nižem naponu a aktivna od napona čiji fazor prednjači ka naponu koji kasni Ako bi u konkretnom slučaju napon U1 bio veći od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII Ako bi uz to npr U2 prednjačio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom slučaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova Dakle tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno

U analiziranom slučaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su međusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga između EES-a I i EES-a II Pošto se vodom ne prenosi ni aktivna energija naponi na krajevima voda su u fazi odnosno

U1=U2=U=400 kV

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj šemi ne protiče struja

ЕЕС-II ЕЕС-I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = Q2 =

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2ΠY 2

ΠY

Zп

EEС II EEС I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

30

Vod u analiziranom režimu se ponaša kao izvor reaktivne snage pri čemu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II pošto je U1 = U2 odnosno važi

Q1=Q2=Q

Proračun parametara zamenske PrimeПPrime šeme idealizovanog voda

λλ

sincos1

2 cZjY minus

=Π

gde je

Ω=sdotsdot

== minus

minus

32010010100241

6

3

clZc

015250060 =sdot=sdot= Lβλ Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I odnosno u EES-II je

var82665320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUY

UQQQc

=minus

=minus

=sdot=== Π

λλ

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

31

ZADATAK 12 Izračunati dužinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno moguća reaktivna snaga prenosi bez pada napona Kolika je ta snaga ako je napon na početku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV Karakteristična impedansa voda je 380Ω

Rešenje

Maksimalna reaktivna sanaga koja se može preneti vodom je

λ2sin2max2

natPQ =

c

nnat Z

UP

2

= =gt λ2sin2

2

max2c

n

ZU

Q =

Veza između napona na kraju i početku voda data je jednačinom telegrafičara koja za analizirani slučaj prenosa reaktivne snage poprima sledeću formu

λλ sincos 221 X

ZUUU c+=

gde je

2

22

QU

X =

Zamenom prethodnog izraza u jednačinu telegrafičara dobija se

2

221

sincos

UQZ

UU c λλ +=

Uslov zadatka je da nema pada napona odnosno da je

U1=U2=Un Koristeći ovaj uslov dolazi se do sledeće jednačine iz koje se može izračunati električna ugaona dužina voda

λλ

λ sin2sin2

cos2

c

n

n

cnn Z

UUZ

UU +=

( ) λλλ

λ sincossin22

1cos1sdot

+=

o60

21cos

cos41cos1 =rArr=rArr+= λλλ

λ

Pošto je fazna konstanta za nadzemne vodove βi=0060 može se izračunati dužina voda pri kojem će se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona

kmli

1000060

60===

βλ

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

32

Odgovarajuća reaktivna snaga je

( ) MVArQ 5473120sin3802

10220 23

max2 =sdotsdotsdot

=

U tekstu koji sledi biće ukratko analizirana fizika radnog režima koji je opisan u ovom zadatku

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a priključen na simetričan napon na početku voda) napon na kraju voda je po modulu veći od napona na početku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat) U režimu praznog hoda vod generiše reaktivnu snagu pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži što je u skladu sa opštim zaključkom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je veći od napona na početku pa je tok reaktivne snage od voda ka mreži) Ovu činjenica da se vod u praznom hodu ponaša kao izvor reaktivne snage često koriste dispečeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljšavaju naponske prilike u sistemu

Ako se na kraju voda priključi neka reaktansa vod će dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je priključen U ovom režimu u skladu sa zaključcima u uvodu u prethodni zadatak napon na kraju voda će se smanjiti Ako se reaktansa smanji povećaće se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda će se dalje smanjivati U graničnom slučaju za neku reaktansu X napon na kraju voda biće jednak naponu na početku voda dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu

Pošto su po uslovu zadatka naponi na početku i kraju voda jednaki vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u kao u prethodnom zadatku Odnosno to znači da celokupnu reaktivnu snagu koju troši prigušnica X generiše sam vod Struja na sredini voda je u ovom slučaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su podužni parametri voda konstantni duž voda)

Slika 121 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se može potvrditi koristeći rezultate iz prethodnog zadatka odnosno

varMsin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 =minus

=minus

=sdot= Π

λλ

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

33

ZADATAK 13 Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(375 +j1587) Ω Napon na početku voda je 220kV Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta veća od reaktivne snage Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda Koliki je tada napon na kraju voda Rešenje

Često se u inženjerskim proračunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom slika 131

Slika 131 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se može definisati preko napona na početku voda i snage na kraju voda prema sledećoj relaciji (vidi udžbenik str 158 ndash 159)

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU minus+minusminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je

01010

2 22

2

1

222

1 =minussdotminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdotminusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ RXQ

UXRQU

07533606449110 2

22

2 =minusminus QQ 092243758610 2

22 =minus+ QQ

2036733758610

268975758610758610 2

21plusmnminus

=+plusmnminus

=Q

Q2 = 1114 Mvar =gt P2 = 1114 MW S2max = (1114 + j1114) MVA S2max = 11494 MVA Proračun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima

P2

Z=(375+1587)Ω

U1 U2

1 2

Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV

34

4878220

411171581411537

1

222

UXPRQb minus=

sdotminussdot=

minus= kV

U2 = a2 + jb2 U2 = (110 ndash j7848) kV U2 = 13512 kV