UNIVERZA V MARIBORU

EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA

Magistrsko delo

Obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj

September 2017 Martina Shundovska

UNIVERZA MARIBOR

EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA

Magistrsko delo

Obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj

Installments of capital insurance

Kandidat: Martina Shundovska

Študijski program: Ekonomske in poslovne vede

Študijska usmeritev: Finance in bančništvo

Mentor: prof. dr. Janko Marovt

Somentor: prof. dr. Miklavž Mastinšek

Študijsko leto: 2017

Lektorica: Melita Goljevšček

Maribor, september 2017

ZAHVALA

Iskreno se zahvaljujem mentorju prof. dr. Janku Marovtu za čas, iskrene nasvete in

podporo pri pisanju magisterske naloge.

Posebno zahvalo namenjam somentorju prof. dr. Miklavžu Mastinšku, ki mi je z idejami,

s potrpežljivostjo in koristnimi nasveti vseskozi stal ob strani.

Največa zahvala pa vsekakor gre mojim staršem!

i

POVZETEK

V Sloveniji se število sklenjenih življenjskih zavarovanj v zadnjih letih povečuje. Sklenitev

življenjskega zavarovanja pomeni dolgoročno finančno obvezo. Ko želimo izbrati

zavarovanje, ki bi najbolj ustrezalo našim kriterijem in zadovoljilo naše potrebe, se soočimo z

različnimi težavami. Najprej moramo ugotoviti, katera zavarovalnica nam nudi najboljše

storitve, in katera vrsta zavarovanj nam najbolj ustreza. Analizirati moramo, kolikšen znesek

smo pripravljeni plačati, za kakšno obdobje se bomo zavarovali, kakšno zavarovalno vsoto

bomo dobili, kolikšna je razlika, če denar vložimo na banko ali v zavarovalnico itn.

Na začetku pričujočega dela smo predstavili in opisali različne vrste rent: časovne rente,

dosmrtne rente, odložene dosmrtne rente in začasne rente. Računali smo njihove sedanje

vrednosti in predstavili komutativna števila, to so oznake, s katerimi zamenjamo in

poenostavljamo zapletene aktuarske izraze. Različne vrednosti komutativnih števil smo

predstavili v tablici smrtnosti, ki je priložena na koncu drugega poglavja in s pomočjo katere

smo rešavali aktuarske probleme iz vsakdanjega življenja.

V tretjem poglavju smo obravnavali kapitalska zavarovanja. Spoznali smo zavarovanje za

doživetje, zavarovanje za primer smrti, začasno zavarovanje za primer smrti, poseben

poudarek pa smo dali mešanemu zavarovanju, saj gre za zavarovanje, ki v zadnjem obdobju

zbuja veliko zanimanja. V zadnjem poglavju smo predstavili obročno odplačevanje

kapitalskih zavarovanj. Izpeljali smo formule za izračun letnih in mesečnih premij.

Ko se odločamo v izbiri zavarovanja in primerjamo različne tipe zavarovanj, moramo poznati

njihove lasnosti in razlike med njimi. Cilj magistrskega dela je predstaviti te lastnosti in

razlike ter načelo enakovrednosti, ki pravi da mora biti znesek, ki ga vložimo danes,

enakovreden tistemu, ki ga dobimo v prihodnosti.

V empiričnem delu smo s pomočjo načela enakovrednosti izpleljali in analizirali formule za

posamezne vrste zavarovanj. Te formule smo uporabili v konkretnih primerih. S primerjavo

le-teh smo ugotovili, katero zavarovanje je primernejše, koristnejše za določeno osebo. Prišli

smo do ugotovitve, da se hipoteze, ki smo jih podali v uvodnem poglavju, potrjujejo.

Ključne besede: zavarovalna premija, zavarovalna vsota, časovna renta, kapitalsko

zavarovanje, tablica smrtnosti.

ii

ABSTRACT

The number of life contracts has been increasing in Slovenia in recent years. Life insurance is

a long-term financial commitment. When we want to choose the insurance which best

matches with our needs, we are dealing with various difficulties. In order to satisfy our needs,

we have to choose the insurance which is the most suitable for us and our budget. First, we

should determine which insurance company offers the best services and what type of

insurance is the most appropriate for us. We need to analyze how much we are willing to pay

for the certain insurance, how long we would like to be insured for, how much of the insured

sum we would receive, what is the main difference between investing our money in a bank

and in an insurance company, etc.

At the beginning of the present work we introduced and described some types of annuities:

time annuities, life annuities, deferred life annuities and temporary annuities. We have

calculated their present values and presented commutative numbers, i.e. symbols with which

we replace and simplify complex actuarial terms. The various values of the commutative

numbers are presented in the mortality table, which is attached at the end of the second

chapter, and which helps us solve the actuarial problems from everyday life.

In the third chapter, we have dealt with capital insurance. We have presented longevity

insurance, life insurance, temporary life insurance, and we have put special emphasis on

mixed insurance, which has taken big interest by customers these days. We have introduced,

in the last chapter, installments of capital insurance. We have deduced formulae for

calculation of annual and monthly premiums.

When we are about to make a decision, which type of insurance is the most suitable for our

needs, we have to know the main qualities and differences between them. The purpose of our

master thesis is to present properties of different types of insurance and differences between

them through the principle of equivalence, which states that the amount which we invest

today is equivalent to the one we obtain in the future.

In the empirical part, we have analyzed and determined through the principle of equivalence

the general formulae which are given for several types of insurance. We applied these

formulae in concrete examples. By comparing these examples, we found out what type of

insurance is the appropriate, or more useful for a particular person. Finally, we confirmed the

hypotheses that are presented in the introductory chapter.

Key words: insurance premium, insurance sum, time annuity, capital insurance, mortality

table.

iii

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.1 Opis področja in opredelitev problema -------------------------------------------------------------------------------- 1

1.2 Namen, cilji in hipoteze magistrskega dela ---------------------------------------------------------------------------- 2

1.3 Predpostavke in omejitve raziskave ------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.4 Predvidene metode raziskovanja ----------------------------------------------------------------------------------------- 3

2. RENTE ----------------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.1 Časovne rente ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.2 Komutativna števila --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6

2.3 Verjetnost smrti -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8

2.4 Dosmrtne rente -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

2.4.1 Prenumerandne rente --------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

2.4.2 Postnumerandne rente -------------------------------------------------------------------------------------------------- 13

2.5 Začasne rente ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15

2.6 Odložene dosmrtne rente ------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

3. KAPITALSKA ZAVAROVANJA ---------------------------------------------------------------24

3.1 Zavarovanja za doživetje ------------------------------------------------------------------------------------------------- 25

3.2 Zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------------------- 29

3.2.1 Začasno zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------- 33

3.3 Mešano zavarovanje ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 36

3.4 Zavarovanje na trajni rok ------------------------------------------------------------------------------------------------ 40

4. OBROČNO PLAČEVANJE KAPITALSKIH ZAVAROVANJ --------------------------42

4.1 Letne premije ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 42

4.1.1 Zavarovalne rente ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 44

4.1.2 Zavarovanje za primer doživetja -------------------------------------------------------------------------------------- 45

4.1.3 Zavarovanje za primer smrti ------------------------------------------------------------------------------------------- 47

4.1.4 Začasno zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------- 50

4.1.5 Mešano zavarovanje ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 51

4.1.6 Zavarovanje na trajni rok ---------------------------------------------------------------------------------------------- 53

iv

4.2 Mesečne premije ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 54

4.2.1 Dosmrtne in začasne rente -------------------------------------------------------------------------------------------- 54

4.2.2 Plačevanje premij 12-krat na leto (mesečno plačevanje) -------------------------------------------------------- 55

5. SKLEP -----------------------------------------------------------------------------------------------59

6. LITERATURA IN VIRI -------------------------------------------------------------------------61

v

KAZALO SLIK

Slika 1: Tablica smrtnosti ..................................................................................................................... 22

Slika 2: Vrednost aktuarskih oznak za i = 4 % ..................................................................................... 23

1

1

1 UVOD

1.1 Opis področja in opredelitev problema

Zavarovalništvo je ena od pomembnejših in uspešnejših gospodarskih dejavnosti

na slovenskem trgu. Država ima razvit zavarovalniški sektor in trg, zavarovalnice pa so

izpostavljene izredno močni konkurenci in se vsak dan borijo za tržni delež. Danes so

najzanimivejša življenjska zavarovanja. Življenjsko zavarovanje je pomembna sestavina

finančnega portfelja vsakega posameznika. Pred sklenitvijo zavarovanja in podpisom

pogodbe z zavarovalnico si pogosto postavljamo več vprašanj; katero vrsto

življenjskega zavarovanja naj izberemo, kakšna naj bo višina premije, zanimajo nas

ključni razlogi za sklenitev posamezne vrste življenjskega zavarovanja. Magistrsko

delo obravnava različne tipe življenjskih zavarovanj in načine obročnega plačevanja

premij.

Obstajajo različni tipi življenjskih zavarovanj. V zadnjih letih se število življenjskih

zavarovanj povečuje, največ je sklenjenih mešanih življenjskih zavarovanj. Ljudje se

vedno bolj odločajo poskrbeti za svojo varnejšo prihodnost in za prihodnost svojih

najbližjih. V nadaljevanju se bomo osredotočili na načine obročnega plačevanja

kapitalskih zavarovanj. Ko se zavarujemo, se ponavadi vprašamo, kolikšen znesek

moramo plačati danes, da bi čez pet, deset ali petdeset let dobili dvakrat, trikrat ali

desetkrat večji znesek.

Razvoj izdelkov in obvladovanje tveganja v zavarovalni industriji zahteva vedno več

matematičnih orodij s posebnim poudarkom na aktuarskih razmišljanjih. Težava je v

tem, ker večina zavarovancev dejansko ne ve, zakaj je letni obrok tolikšen, kot je, in

kakšen je dobiček zavarovalnice.

Osnova življenjskih zavarovanj je podatek o smrtnosti. Če imamo podatek, koliko ljudi

določene starosti znotraj neke skupnosti letno umre, obstaja možnost za zavarovanje teh

ljudi za primer smrti ali doživetja (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962).

Aktuar ne more opraviti izračuna za eno osebo, lahko pa ga za več oseb, ki sklenejo

enako vrsto zavarovanja. Na podlagi podatkov o smrtnosti se število živih oseb (𝑙𝑥) iz

leta v leto zmanjšuje, seštevek verjetnosti smrti in verjetnosti doživetja pa je vedno enak

1.

Za vsako državo obstaja določena tabela smrtnosti, tako dobimo zaporedje umiranja za

prebivalstvo posamezne države.

2

1.2 Namen, cilji in hipoteze magistrskega dela

Namen magistrskega dela je predstaviti zavarovalno tehnično podlago obročnega

plačevanja kapitalskih zavarovanj. Najprej bomo spoznali različne vrste rent, potem pa

se bomo ukvarjali s kapitalskimi zavarovanji. V nadaljevanju se bomo posvetili

postopku izračunavanja enkratne, letne ter mesečne premije.

Ključni cilj dela je preučiti in predstaviti načelo enakovrednosti. Znesek, ki ga vložimo

danes, mora biti enakovreden tistemu, ki ga dobimo v prihodnosti. S pomočjo različnih

primerov iz vsakdanjega življenja in z uporabo ustreznih matematičnih enačb bomo

določili znesek zavarovalne premije za osebo, staro x let, za vse vrste življenjskih

zavarovanj. Zavarovalnica je dolžna izplačati zavarovancu določeno zavarovalnino, če

se zgodi zavarovalni primer in če zavarovanec izpolnjuje predpisane pogoje

zavarovalnice.

Drugi cilj je ugotoviti vsebinske razlike med enkratno, mesečno in letno premijo.

S pomočjo hipotez, naštetih v nadaljevanju, bomo prišli do zastavljenih ciljev naloge.

Hipoteze magistrskega dela so:

H1: Osebe lahko s pomočjo kapitalskih zavarovanj pridobijo varno naložbo za svojo

prihodnost, na primer s pokojninskim zavarovanjem.

H2: S pomočjo življenjskih tabel lahko dobimo dejansko vrednost kapitalskih

zavarovanj in premij.

H3: S pomočjo komutativnih števil je mogoče dobiti pregledno strukturo kapitalskih

zavarovanj in premij.

Pričakujemo, da se bo v Sloveniji trend povečevanja števila sklenjenih življenjskih

zavarovanj v prihodnosti nadaljeval in bo s tem sledil trendu razvoja zavarovalništva v

drugih evropskih državah.

1.3 Predpostavke in omejitve raziskave

Predpostavljamo, da je začetno število oseb 100 000. Iz tabel smrtnosti bomo pridobili

podatke o tem, koliko od teh 100 000 oseb bo živelo še 10, 20, 30 let …

Predpostavljamo, da bodo podatki, ki jih bomo razbrali iz tabel smrtnosti, resnični in

pravilni.

V raziskavi se bomo omejili na starost 102 leti, kar pomeni, da bodo v le-to vključene

osebe do 102. leta starosti. Raziskava je omejena na sklepanje življenjskih zavarovanj, v

njej bomo opazovali izbrane dejavnike: starost (x), žive osebe (𝑙𝑥 ), mrtve osebe ( 𝑑𝑥) in

komutativne številke: 𝐷𝑥, 𝐶𝑥, 𝑁𝑥 in 𝑀𝑥.

3

1.4 Predvidene metode raziskovanja

Magistrska naloga je zasnovana tako, da vključuje različne matematične primere, s

katerimi bomo razložili obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj. Nalogo bomo

razdelili na dva dela. V prvem delu bomo predstavili izračune sedanjih vrednosti

prenumerandnih in postnumerandnih rent, v drugem pa kapitalska zavarovanja. Posebej

se bomo osredotočili na mešano življenjsko zavarovanje.

V nalogi bo poudarek predvsem na empiričnem delu. Teoretični del temelji na

poglobljenem proučevanju strokovne in znanstvene literature, na kratko so

predstavljene najpomembnejše značilnosti vsakega zavarovanja. Empirični del temelji

na različnih primerih iz finančno-aktuarske matematike. Predstavili in pojasnili bomo

postopke reševanja problemov iz omenjenih primerov in vsebinski pomen končnih

rezultatov. Uporabili bomo natančne podatke o starosti, številu živih oseb, številu

umrlih, ki jih bomo našli v tabelah smrtnosti, ki so objavljene na spletu.

Uporabljene so naslednje metode:

Metoda deskripcije in komparacije je uporabljena v teoretičnem delu pri

opredelitvi rente in kapitalskih zavarovanj;

komparativna metoda je uporabljena pri preverjanju hipotez;

metoda analiziranja je uporabljena na koncu vsakega primera.

4

2. RENTE

Rentno zavarovanje je namenjeno vsem, ki si želijo s vplačilom enkratnega zneska

(premije) ali zaporedja zneskov (premij) zagotoviti izplačevanje (običajno mesečne ali

letne) rente. Poznamo različne tipe rent, na primer dosmrtne rente, ki se začnejo

izplačevati takoj in trajajo dokler zavarovanec živi. Drugi primer rent so odložene

dosmrtne rente, ki se začnejo izplačevati čez določen čas in trajajo do smrti

zavarovanca. Še en primer rent so začasne rente, ki se začnejo izplačevati takoj in

trajajo omejen čas (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 141).

Glede na to, ali se rente izplačujejo ob začetku ali ob koncu časovne enote, delimo le-te

na prenumerandne rente z izplačili ob začetkih časovnih enot in postnumerandnih rente

z izplačilim ob koncih časovnih enot (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste,

1962, str. 141).

2.1 Časovne rente

Vzemimo n zneskov v višini 1 denarne enote, ki dospevajo v časih t+1, t+2, t+3, ...,

t+n. Z 𝑎𝑛|̅̅ ̅ bomo označili sedanjo vrednost n postnumerandnih zneskov v višini 1

denarne enote. Gre za (neto) sedanjo vrednost teh zneskov v času ene časovne enote

pred dospetjem prvega zneska (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih

sredstev, 2014, str. 23).

Z i bomo označili efektivno obrestno mero na časovno enoto. Naj bo i ≠ 0. Z 𝑣 bomo

označili sedanjo vrednost ene denarne enote, ki dospe čez eno časovno enoto.

Sledi, da je: 𝑣 = 1

1+𝑖 .

Zneske, ki dospevajo v časih t + 1, t + 2, ..., t + n, razobrestimo v čas t in dobimo

𝑎𝑛|̅̅ ̅ = 1 ∙ 𝑣 + 1 ∙ 𝑣2 + ⋯ + 1 ∙ 𝑣𝑛

oziroma

𝑎𝑛|̅̅ ̅ = 𝑣 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛.

Zaporedje 𝑣, 𝑣2, 𝑣3… je geometrijsko s prvim členom 𝑣 in količnikom sosednjih

členov v.

Tako je

5

𝑣 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑣 ∙ 1− 𝑣𝑛

1− 𝑣 =

1− 𝑣𝑛

1−𝑣

𝑣

= 1− 𝑣𝑛

1

𝑣 − 1

.

Ker je

1

𝑣 − 1 =

11

1+𝑖

− 1 = 1 + i − 1 = i,

dobimo: 𝑎𝑛|̅̅ ̅ = 1− 𝑣𝑛

𝑖.

Z �̈�𝑛|̅̅ ̅ označujemo sedanjo vrednost n prenumerandnih zneskov v višini 1 denarne enote.

Gre za (neto) sedanjo vrednost teh zneskov v trenutku dospetja prvega zneska (v našem

primeru je to čas t+1).

Zneske razobrestimo v čas t+1 in dobimo

�̈�𝑛|̅̅ ̅ = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + ... + 𝑣𝑛−1

in zato �̈�𝑛|̅̅ ̅ = 1 ∙ 1− 𝑣𝑛

1−𝑣

oziroma �̈�𝑛|̅̅ ̅ = 1− 𝑣𝑛

1−𝑣.

Obstaja smiselna povezava med 𝑎𝑛|̅̅ ̅ in �̈�𝑛|̅̅ ̅. Če sedanjo vrednost n postnumerandnih

zneskov 𝑎𝑛|̅̅ ̅ naobrestimo za eno časovno enoto, dobimo sedanjo vrednost n

prenumerandnih zneskov �̈�𝑛|̅̅ ̅ (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih

sredstev, 2014, str. 24):

�̈�𝑛|̅̅ ̅ = (1 + 𝑖) ∙ 𝑎𝑛|̅̅ ̅.

Sedanjo vrednost n prenumerandnih zneskov lahko izračunamo tudi tako, da

izračunamo sedanjo vrednost n −1 postnumerandnih zneskov (vrednost v času t+1), ki

dospevajo v časih t + 2, t + 3 …, t + n in k dobljeni vrednosti prištejemo znesek v višini

1 denarne enote (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 2014,

str. 25):

�̈�𝑛|̅̅ ̅ = 𝑎𝑛−1|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + 1.

Če bi želeli uporabiti dobljeni formuli za izračun enkratne premije, ki bi jo morali

vplačati, da si zagotovimo dosmrtno rento, bi naleteli na težavo. Ne vemo namreč,

kateri n naj bi v formuli uporabili. Zgornje rente so odvisne le od časa trajanja le-teh,

niso pa odvisne od oseb, ki bi te rente prejemale. Oseba, ki se bo zavarovala, bo lahko

živela še dolgo časa, lahko pa bo umrla kmalu po sklenitvi zavarovanja. Odgovor na

zgornji problem nam dajeta aktuarska matematika in zakon velikih števil. Problema ne

moremo rešit na ravni posameznika, saj so življenske dobe ljude različne.

6

Vpeljimo še oznaki za končni vrednosti zneskov, ki jih bomo uporabili v nadaljevanju.

S 𝑠𝑛|̅̅ ̅ označujemo končno vrednost n postnumerandnih zneskov v višini 1 denarne

enote. Gre za vrednost teh zneskov v času dospetja zadnjega zneska.

S �̈�𝑛|̅̅ ̅ označujemo končno vrednost n prenumerandnih zneskov v višini 1 denarne enote.

Gre za vrednost the zneskov v času ene časovne enote za dospetjem zadnjega zneska.

Med vrednostima 𝑠𝑛|̅̅ ̅ in �̈�𝑛|̅̅ ̅ velja naslednja povezava (Marovt, Aktuarski pristop k

vrednotenju netveganih sredstev, 2014):

�̈�𝑛|̅̅ ̅ = (1 + 𝑖) ∙ 𝑠𝑛|̅̅ ̅.

Zavarovalnica lahko zavaruje posameznika le v primeru, če obstaja veliko ljudi, ki se

želi zavarovati. Ta množica posameznikov bo vplačala tisto premijo, ki je potrebna, da

bo zavarovalnica izpolnila svoje obveznosti. Še preden bomo izračunali enkratno

premijo, ki bi jo morali vplačati, da si zagotovimo dosmrtno rento, bomo vpeljali

oziroma definirali matematična orodja, ki nam bodo v pomoč pri izračunih zavarovalnih

premij.

2.2 Komutativna števila

Število živih oseb starosti x let bomo označili z 𝑙𝑥. Podatke o številu živih oseb 𝑙𝑥 bomo

odčitali iz tablic smrtnosti. Primer le-te, ki jo bomo uporabili v nadaljevanju, prilagamo

k magistrski nalogi. Omenimo, da je prve tablice smrtnosti izdelal angleški astronom

Halley leta 1693, kasneje pa so tablice smrtnosti izdelovali v zavarovalnicah na podlagi

preteklih izkušenj (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 127).

Ker je življenjska doba žensk in moških v povprečju različna, poznamo tablice

smrtnosti posebej za moške in posebej za ženske. Priložena tablica smrtnosti je tablica

smrtnosti za moške. Opazimo, da so v njej v prvem stolpcu navedene možne starosti

oseb od x = 10 let do x = 99 let in da so v drugem stolpcu navedeni podatki za število

živih oseb 𝑙𝑥. Tako podatek 𝑙10 = 100 000 pomeni, da je 100 000 (živih) oseb starih 10

let.

V tablici smrtnosti so prikazane tudi druge vrednosti, ki nam bodo služile pri aktuarskih

izračunih. Te pomožne vrednosti (𝐷𝑥, 𝑁𝑥, 𝑆𝑥, 𝐶𝑥, 𝑀𝑥 in 𝑅𝑥) imenujemo komutativna

števila (commutation symbols = оznake s katerimi zamenjamo zapletene izraze) (Vranić

& Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 135).

Najprej bomo preučili komutativna števila, ki jih bomo uporabili pri izračunih premiji

za rentna zavarovanja (glej stran 11).

Vrednosti, ki so navedene v tretjem stolpcu tablice smrtnosti, so izračunane po formuli

(Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 134):

𝐷𝑥 = 𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥.

7

Z 𝑁𝑥 bomo označili seštevek vseh vrednosti 𝐷𝑥 od x do 99 (zadnji podatek v tretjem

stolpcu tablice). Tako je 𝑁𝑥 vsota diskontiranih števil živih oseb (Vranić & Martić,

Matematika za ekonomiste, 1962, str. 135):

𝑁𝑥 = 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . + 𝐷99.

Iz zgornje enačbe sledi, da je

𝑁𝑥+1 = 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . + 𝐷99

in zato 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1 = 𝐷𝑥

oziroma 𝐷𝑥 = 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1.

Na primer 𝐷40 = 𝑁40 − 𝑁41 = 263 643,62 − 247 261,06 = 16 382,56.

Sedaj pa še vpeljimo komutativna števila, katera bomo potrebovali pri izračunih premij

za kapitalska zavarovanja (glej poglavje 3).

Označimo z 𝑑𝑥 število umrlih oseb starosti x let. Tako je

𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1.

Te osebe umirajo skozi vse leto med x in na x+1 rojstni dan. Zaradi enostavnosti bomo

privzeli, da se vsa izplačila zavarovalnice udejanijo ob koncu danega leta. Denimo, da

zavarovalnica za vsako osebo, ki umre, izplača 1 denarno enoto. Skupaj bo tako

izplačanih 𝑑𝑥 denarnih enot v času x+1 rojstnega dne. Ena denarna enota, ki dospe ob

koncu x+1 časovne enote, je v trenutku rojstva omenjenih oseb (x = 0) vredna

𝑣𝑥+1 denarnih enot. Sledi, da je 𝑑𝑥 denarnih enot v tem trenutku vredno 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1

denarnih enot (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 137).

Ta produkt, ki pomeni diskontirano število umrlih oseb, bomo označili s 𝐶𝑥. Tako je:

𝐶𝑥 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1.

Vrednosti 𝐶𝑥 so navedene v sedmem stolpcu tablice smrtnosti.

V osmem stolpcu so navedene vrednosti 𝑀𝑥. Te vrednosti predstavljajo seštevek

diskontiranih števil umrlih oseb. Formula za 𝑀𝑥 je podobna formuli za 𝑁𝑥, pri čemer

vrednosti 𝐷𝑥 nadomestimo z vrednostmi 𝐶𝑥 (Vranić & Martić, Matematika za

ekonomiste, 1962, str. 137):

𝑀𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1 + 𝐶𝑥+2 + ...+ 𝐶99.

Kot smo to storili pri formuli za 𝑁𝑥, lahko izpeljemo:

𝐶𝑥 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+1.

8

Stolpec, ki sledi stolpcu za 𝑀𝑥, podaja vrednosti 𝑅𝑥, ki so definirane na naslednji način:

𝑅𝑥 = 𝑀𝑥 + 𝑀𝑥+1 + 𝑀𝑥+2 + ...+ 𝑀99.

Velja: 𝑀𝑥 = 𝑅𝑥 − 𝑅𝑥+1.

Z definiranimi komutativnimi števili si bomo pomagali pri aktuarskih izračunih, v

katerih se pojavljajo zapleteni izrazi. Še preden preidemo na konkretne primere, pa

prikažimo nekaj povezav med 𝐷𝑥 , 𝑁𝑥, 𝐶𝑥 in 𝑀𝑥.

Vemo, da je

𝐶𝑥 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1

in 𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1.

Formula za 𝐶𝑥 tako dobi drugačen zapis:

𝐶𝑥 = (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1)𝑣𝑥+1 = 𝑙𝑥𝑣𝑥+1 − 𝑙𝑥+1𝑣𝑥+1 = 𝑙𝑥𝑣𝑥 ∙ 𝑣 − 𝑙𝑥+1𝑣𝑥+1 = 𝐷𝑥 ∙ 𝑣 − 𝐷𝑥+1.

Tako je 𝐶𝑥 = 𝑣 𝐷𝑥 − 𝐷𝑥+1.

Vemo, da je 𝑀𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1 + 𝐶𝑥+2 + ... + 𝐶99

in 𝐶𝑥 = 𝑣𝐷𝑥 − 𝐷𝑥+1, 𝐶𝑥+1 = 𝑣𝐷𝑥+1 − 𝐷𝑥+2 , 𝐶𝑥+2 = 𝑣𝐷𝑥+2 − 𝐷𝑥+3

itn.

Vstavimo in dobimo:

𝑀𝑥 = 𝑣𝐷𝑥 − 𝐷𝑥+1 + 𝑣𝐷𝑥+1 − 𝐷𝑥+2 + 𝑣𝐷𝑥+2 − 𝐷𝑥+3 +...

= 𝑣 ( 𝐷𝑥+ 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . ) − (𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+ 𝐷𝑥+3+. . . )

= 𝑣𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1.

Imamo torej:

𝑀𝑥 = 𝑣𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1.

2.3 Verjetnost smrti

Iz tablice smrtnosti lahko odčitamo število živih oseb, starih x let. Podatek lahko

najdemo v tablici smrtnosti, v stolpcu za 𝑙𝑥. Torej je ustrezna vrednost za osebe, ki so

stare x + 1 let, 𝑙𝑥+1. Nekatere osebe bodo umrle med x in x+1 letom. Tako je

𝑙𝑥+1 < 𝑙𝑥 .

Teh oseb, ki so umrle med x in x+1 letom, je

9

𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1.

Verjetnost, da oseba doživi v nadaljevanju opredeljeno starost, bomo označili s 𝑝𝑥 .

Verjetnost, da bo oseba, stara x let, doživela prihodnjo leto (x + 1 let), je

𝑝𝑥= 𝑙𝑥+1

𝑙𝑥.

Ustrezno verjetnost smrti bomo označili s 𝑞𝑥. Verjetnost, da bo oseba, stara x let, umrla

prihodnje leto, je

𝑞𝑥= 𝑑𝑥

𝑙𝑥.

Denimo, da je 𝑙50= 69 517 in 𝑙84= 6 685 (vrednosti odčitamo iz priložene tablice

smrtnosti za moške). Denimo, da potrebujemo verjetnost doživetja naslednjega leta za

osebe, stare 50 in 84 let. Tako je

𝑝50 = 𝑙51

𝑙50 =

68409

69517 =̇ 0,98406

in

𝑝84 = 𝑙85

𝑙84 =

5417

6685 =̇ 0,81032.

Verjetnosti, da bosta osebi, ki sta stari 50 oziroma 84 let, umrli v prihodnjem letu, sta po

vrsti

𝑞50 =𝑑50

𝑙50 =

𝑙50−𝑙51

𝑙50=

69517−68409

69517=̇ 0,01594

in

𝑞84 =𝑑84

𝑙84 =

𝑙84−𝑙85

𝑙84 =

6685−5417

6685 =̇ 0,18968.

Iz zgornjih enačb lahko ugotovimo, da je verjetnost smrti osebe, stare 84 let, višja od

verjetnost smrti osebe, stare 50 let, kar je logično.

Opazimo, da je

𝑝50 + 𝑞50 = 1,

saj je

0,98406 + 0,01594 = 1.

Podobno je

𝑝84 + 𝑞84 = 1,

saj je

0,81032 + 0,18968 = 1.

10

Relacija velja tudi v splošnem. Dogodek, da bo oseba doživela naslednje leto ali bo

umrla v naslednjem letu, je gotov. Njegova verjetnost je 1:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 1.

V našem magistrskem delu se bomo osredotočili na primere, ki obravnavajo verjetnost,

da neka oseba doživi opredeljeno starost. Zanimalo nas bo, kolikšna je verjetnost, da

oseba, stara x let, doživi ali ne doživi x+n let. Verjetnost, da oseba, stara x let, doživi

x+n let, je enaka

𝑝𝑥 =𝑙𝑥+𝑛

𝑙𝑥𝑛 .

Verjetnost, da oseba, stara x let, ne doživi x+n let, je

𝑞𝑥 = 1 − 𝑝𝑥𝑛 = 1 −𝑙𝑥+𝑛

𝑙𝑥𝑛 =

𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛

𝑙𝑥.

Moški, star 40 let, doživi 60 let z verjetnostjo

𝑝40 =𝑙60

𝑙4020 =

55973

78653 =̇ 0,711645.

Verjetnost, da ta oseba umre, je

𝑞40 =𝑙40 − 𝑙60

𝑙4020 =

78653 − 55973

78653=̇ 0,28835.

Iz zgornje enačbe lahko ugotovimo, da bo od 1 000 moških, starih 40 let, okoli 712

moških doživelo starost 60 let.

2.4 Dosmrtne rente

Dosmrtna renta je renta, ki začne teči takoj ob sklenitvi zavarovanja in traja dokler

zavarovanec živi.

2.4.1 Prenumerandne rente

Predpostavljamo, da zavarovalnica zavaruje osebe stare x let z dosmrtno

prenumerandno rento. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je teh oseb 𝑙𝑥 − torej ravno

toliko, kot je po tablici smrtnosti oseb starih x let. Privzemimo še, da plača vsak

zavarovanec zavarovalnici enkratni znesek, ki ga imenujemo enkratna premija. To

premijo bomo označili z 𝑎𝑥 (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str.

142).

Opomba: V mednarodnih aktuarskih notacijah se uporablja za prenumerandno

življenjsko rento z označba �̈�𝑥.

Zavarovalnica se obveže, da bo vsakemu zavarovancu do smrti izplačevala

prenumerandno letno rento v višini 1 denarne enote. Zavarovanih je 𝑙𝑥 oseb in če vsaka

11

položi premijo 𝑎𝑥, bo skupaj zavarovalnici vplačano 𝑙𝑥 ∙ 𝑎𝑥 denarnih enot. Na začetku

prvega leta izplača zavarovalnica vsem zavarovancem rento v višini 1 denarne enote.

Tako je izplačano skupaj

𝑙𝑥 ∙ 1 = 𝑙𝑥 denarnih enot.

Na začetku drugega leta zavarovalnica spet izplača rento v višini 1 denarne enote, pri

čemer zavarovalnica ne bo izplačala rento 𝑙𝑥 ljudem, zato ker v prvem letu nekaj ljudi

umre. Predpostavljamo, da je umrlo toliko oseb, kot nam kaže podatek iz tablice

smrtnosti. To pomeni, da je na začetku drugega leta ostalo 𝑙𝑥+1 živih oseb.

Zavarovalnica na začetku drugega leta izplača 𝑙𝑥+1 ∙ 1 = 𝑙𝑥+1 denarnih enot. Podobno

bo zavarovalnica na začetku tretjega leta izplačala 𝑙𝑥+2 ∙ 1 = 𝑙𝑥+2 denarnih enot, na

začetku četrtega leta pa 𝑙𝑥+3 ∙ 1 = 𝑙𝑥+3 itn.

Po načelu ekvivalence glavnic mora biti vplačan znesek 𝑙𝑥 ∙ 𝑎𝑥 enakovreden skupnim

izplačilom zavarovalnice. To pomeni, da moramo razobrestiti izplačila na trenutek, ko

so bile vplačane premije.

Izplačilo, ki je dospelo na začetku prvega leta, je danes vredno 𝑙𝑥 denarnih enot.

Izplačilo, ki je dospelo na začetku drugega leta, je danes vredno 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣 denarnih enot.

Izplačilo, ki je dospelo na začetku tretjega leta, je skupaj danes vredno 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣2

denarnih enot.

Izplačilo, ki je dospelo na začetku četrtega leta, je danes vredno 𝑙𝑥+3 ∙ 𝑣3 denarnih

enot.

Vsa ta izplačila so danes vredna 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣2 + 𝑙𝑥+3 ∙ 𝑣3 + …

Vsota plačil zavarovancev je enakovredna vsoti izplačila zavarovalnice:

𝑙𝑥 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣2 + 𝑙𝑥+3 ∙ 𝑣3+ ...

Dobljeno enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥 in dobimo:

𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+1 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣𝑥+2 + 𝑙𝑥+3 ∙ 𝑣𝑥+3 + ...

Zgornjo enačbo lahko poenostavimo z uporabo komutativnih števil 𝐷𝑥, ki smo jih

vpeljali v poglavju 2.2.

Ker je

𝐷𝑥 = 𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 ,

dobimo naslednjo enačbo:

𝐷𝑥 ∙ 𝑎𝑥= 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2 + 𝐷𝑥+3 + …

12

Sledi, da je

𝐷𝑥𝑎𝑥=𝑁𝑥.

Iz zadnje enačbe izračunamo enkratno premijo 𝑎𝑥:

𝑎𝑥 = 𝑁𝑥

𝐷𝑥.

Zaključimo lahko, da je 𝑁𝑥

𝐷𝑥 sedanja vrednost dosmrtne rente. Dosmrtna renta traja dokler

zavarovanec živi. Če zavarovanec umre, se izplačila zavarovalnice ustavijo in s tem je

zavarovanje prekinjeno (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 144).

V nadaljevanju bomo prikazali nekatere primere izračunov za dosmrtne prenumerandne

rente.

Primer 1: Simon, ki je star 60 let, si želi zagotoviti dosmrtno rento v višini 15 000 evrov

letno, ki bodo izplačani ob začetku let. Kakšna je sedanja vrednost dosmrtne rente v

višini 1 evro letno?

Najprej ugotovimo, kakšna je vrednost dosmrtne rente z znesekom 1 evro, če

zavarovanje sklene oseba stara 60 let. Iz tablice smrtnosti ugotovimo, da je

𝑎60 =𝑁60

𝐷60 =

55 414,907

5320,816 =̇ 10,415.

Če bi Simon vplačal zavarovalnici 10,415 evrov, bi prejemal 1 evro na začetku vsakega

leta. V našem primeru se Simon zavaruje za rento v višini 15 000 letno, zato znaša

enkratna premija

A= 15 000 ∙ 10,415 = 156 225 €.

Pri izračunu smo predpostavili, da zavarovalnica ni obračunala dodatnih stroškov.

Enkratna premija v višini 156 225 evrov je sedanja vrednost dosmrtne prenumerantne

rente 15 000 evrov letno.

Primer 2: Simon trenutno nima 156 225 evrov, zato se odloči, da bo plačal

zavarovalnici nižjo premijo v višini 100 000 evrov. Kolikšno življenjsko

prenumerandno dosmrtno rento si bo Simon s tem vplačilom zagotovil?

Spomnimo se, da si v primeru, če Simon položi 10,415 evrov, zagotovi prenumerandno

dosmrtno rento v višini 1 evro letno. V nadaljevanju bomo izračunali rento, ki jo bo

Simon dobil za premijo 100 000 evrov.

Označimo z X znesek, ki bi ga Simon prejemal na začetku vsakega leta do smrti, če

vplača premijo 100 000 evrov. Ker je

X : 1 = 100 000 : 10,415, dobimo

13

X = 100 000

10,415 =̇ 9 601,54.

Simon si torej z vplačilom 100 000 evrov zagotovi prenumerandno dosmrtno rento v

višini 9 601,54 evrov letno.

2.4.2 Postnumerandne rente

Postnumerandna letna renta se od prenumerandne letne rente razlikuje v tem, da pri

postnumerandnih renti zavarovalnica izplačuje zneske ob koncih let. Tako dobi pri

postnumerandnih renti vsak zavarovanec en (to je prvi) obrok manj.

Denimo, da izplačuje zavarovalnica na podlagi enkratne premije vsakemu zavarovancu

do smrti 1 denarno enoto ob koncu vsakega leta. Označimo z α𝑥 premijo, ki jo mora

vplačati zavarovanec, da si zagotovi opisano rento.

Sedanja vrednost take dosmrtne postnumerandne rente je za 1 manjša od sedanje

vrednosti ustrezne prenumerandne rente. Tako je (Vranić & Martić, Matematika za

ekonomiste, 1962, str. 146):

α𝑥 = 𝑎𝑥 − 1,

kjer je 𝑎𝑥 enkratna premija (𝑎𝑥 = 𝑁𝑥

𝐷𝑥), ki bi jo zavarovanec vplačal v primeru

prenumerandne rente. Sledi, da je

α𝑥 = Nx

Dx − 1 =

𝑁𝑥− 𝐷𝑥

𝐷𝑥.

Spomnimo se, da je

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1 = 𝐷𝑥.

V zgornjo enačbo namesto 𝐷𝑥 vstavimo 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1 in dobimo

α𝑥 =𝑁𝑥−(𝑁𝑥−𝑁𝑥+1)

𝑁𝑥−𝑁𝑥+1 =

𝑁𝑥− 𝑁𝑥+ 𝑁𝑥+1

𝑁𝑥−𝑁𝑥+1

oziroma

α𝑥= 𝑁𝑥+1

𝐷𝑥.

14

Primer 3: Simon, ki je star 60 let, razmišlja, da bi sklenil zavarovanje za dosmrtno rento

v višini 15 000 evrov letno, ki bodo izplačani ob koncih let. Kolikšno enkratno premijo

mora Simon plačati zavarovalnici, da si zagotovi takšno rento?

V primeru 1 smo ugotovili smo da je 𝑎60 = 10,415. Ker je

𝛼60 = 𝑎60 − 1,

sledi, da je = 10,415 − 1 = 9,415.

Do enakega rezultata pridemo, če uporabimo formulo za izračun premije pri

postnumerandni renti:

α60 = N61

D60

=50 094,091

5320,816=̇ 9,415.

Če si Simon želi zagotoviti dosmrtno postnumerandno rento v višini 15 000 evrov, mora

zavarovalnici plačati premijo v višini

A= 15 000 ∙ 9,415 = 141 225 €.

Primer 4: Trenutno Simon nima 141 225 evrov, lahko pa vplača 50 000 evrov. Kakšno

dosmrtno postnumerandno rento bi si s tem vplačilom zagotovil?

Za dosmrtno rento z letnimi postnumerandnih zneski 1 evro bi moral Simon vplačati

enkratno premijo v višini

𝛼60 = 𝑁61

𝐷60 =

50 094,091

5 320,816 =̇ 9,415 €.

Označimo z X rento, ki si jo bo Simon zagotovil, ko bo vplačal premijo 50 000 evrov.

Tako je

X : 1 = 50 000 : 9,415

in zato

X = 50 000

9,415 = 5 310,67 €.

Simon si bo z vplačilom 50 000 evrov zagotovil dosmrtno postnumerandno rento v

višini 5 310,67 evrov letno.

Z dosedajnimi primeri smo obravnavali dosmrtne rente, torej rente, ki se začnejo takoj

in trajajo do smrti. V naslednjem poglavju bomo obravnavali rente, ki so časovno

15

omejene, hkrati pa trajajo do smrti samo v primeru, če smrt zavarovanca nastopi znotraj

v naprej določenega obdobja.

2.5 Začasne rente

Začasna renta je renta, ki se izplačuje skozi vnaprej določeno in omejeno obdobje,

hkrati pa traja do smrti zavarovanca, če se ta zgodi pred iztekom tega obdobja. Denimo,

da zavarovalnica na osnovi enkratne premije, ki jo bomo označili z 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅, izplača 1

denarno enoto na začetku vsakega leta naslednjih n let. Vzemimo, da se 𝑙𝑥 oseb starosti

x, zavaruje za isti zavarovalni primer. Vsaka od teh 𝑙𝑥 oseb položi zavarovalnici

enkratno premijo 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅. Skupno vplačilo zavarovancev je

𝑙𝑥 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Zavarovalnica bo izplačevala rento največ n let.

Na začetku prvega leta bo zavarovalnica izplačala rento z zneskom 1 denarne enote za

𝑙𝑥 oseb. Tako je skupno izplačilo 𝑙𝑥 ∙ 1 = 𝑙𝑥 denarnih enot.

Na začetku drugega leta bo zavarovalnica izplačala rento za 𝑙𝑥+1 oseb z zneskom 1

denarne enote. Tako je skupno izplačilo 𝑙𝑥+1 ∙ 1 = 𝑙𝑥+1 denarnih enot.

Na začetku tretjega leta bo zavarovalnica izplačala rento za 𝑙𝑥+2 oseb z zneskom 1

denarne enote. Tako je skupno izplačilo 𝑙𝑥+2 ∙ 1 = 𝑙𝑥+2 denarnih enot itn.

Na začetku n-tega leta bo zavarovalnica izplačala rento še živim zavarovancem. Po

tablici smrtnosti je teh zavarovancev še 𝑙𝑥+𝑛−1. Tako bo zadnje izplačilo zavarovalnice

znašalo

𝑙𝑥+𝑛−1 ∙ 1 = 𝑙𝑥+𝑛−1 denarnih enot.

Vse vrednosti, ki jih zavarovalnica izplača ob začetku 1., 2., 3., … , n-tega leta, moramo

diskontirati na današnji dan. Njihova skupna sedanja vrednost tako znaša:

𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑙𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑛−1.

Tako je

𝑙𝑥𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑙𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑛−1 .

Če zgornjo enačbo pomnožimo s 𝑣𝑥 , dobimo:

𝑙𝑥𝑣𝑥𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑙𝑥𝑣𝑥 + 𝑙𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+1 + 𝑙𝑥+2 ∙ 𝑣𝑥+2+. . . +𝑙𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑥+𝑛−1

ali

16

𝐷𝑥 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅= 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . +𝐷𝑥+𝑛−1.

Vemo, da je

𝑁𝑥 = 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . +𝐷99

in

𝑁𝑥+𝑛 = 𝐷𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛+1+. . . +𝐷99.

Tako je

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛 = 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2+. . . +𝐷𝑥+𝑛−1.

Sledi, da je

𝐷𝑥 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

oziroma

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ =𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Primer 5: Primož, ki je star 30 let, se pogosto zelo slabo počuti in ne pričakuje, da bo

živel še več kot 20 let. Primož želi uživati rento v višini 800 evrov letno, ki bodo največ

20 let izplačevani ob začetku let, pri čimer se bodo izplačila prekinila v primeru

Primoževe smrti. Kakšna je sedanja vrednost te rente?

𝑎3020|̅̅ ̅̅̅ =𝑁30 − 𝑁50

𝐷30

= 479 951,73 − 131 765,619

26 605,43= 13,087 €

Primož si bo z vplačilom 13,087 evrov zagotovil začasno rento v višini 1 evro letno ki

bo izplačevana skozi 20 let (če smrt zavarovanca nastopi prej, izplačilo rente preneha).

V omejenem primeru želi Primož uživati rento v višini 800 evrov. Tako je sedanja

vrednost te rente

A = 800 ∙ 13,087 =10 469,62 €.

Ta renta v višini 800 evrov traja 20 let, vendar obstaja možnost, da preneha prej, če se

smrt zavarovanca zgodi pred potekom teh 20 let.

Denimo, da z zavarovalnico (ali pogosteje banko) sklenemo pogodbo, po kateri le-ta na

osnovi enkratnega pologa izplačuje 800 evrov naslednjih 20 let ob začetku vsakega leta.

V tem primeru ne gre za začasno rento, gre za časovno rento, ki smo jo obravnavali v

poglavju 2.1.

17

Sedanja vrednost opisane časovne rente je večja od sedanje vrednosti ustrezne (največ

20 let trajajoče) začasne rente. Časovna renta se bo namreč izplačevala skozi celo

obdobje 20 let, medtem ko je začasna renta prekinjena predčasno, če nastopi smrt

zavarovanca znotraj dogovorjenega roka 20 let (Vranić & Martić, Matematika za

ekonomiste, 1962, str. 153).

Predpostavljamo, da je efektivna obrestna mera 4 %. Iz tabele za i = 4 %, ki jo

prilagamo, bomo odčitali sedanjo vrednost 𝑎19|̅̅̅̅̅ postnumerandne časovne rente v višini

1 € na časovno enoto, ki je izplačevana 19 časovnih enot (𝑎19|̅̅̅̅̅ = 13,1339).

Spomnimo se, da je �̈�𝑛|̅̅ ̅ = 1 + 𝑎𝑛−1|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, kjer je �̈�𝑛|̅̅ ̅ sedanja vrednost prenumerandne

časovne rente, ki je n časovnih enot izplačevana v višini 1 denarne enote na časovno

enoto.

Tako je

�̈�20|̅̅ ̅̅̅ = 1 + 𝑎19|̅̅̅̅̅ = 1 + 13,1339 = 14,1339.

Ker je 𝑎3020|̅̅ ̅̅̅ = 13,087, lahko potrdimo, da je res sedanja vrednost pri začasni renti

manjša od sedanje vrednosti ustrezne časovne prenumerandne rente:

𝑎3020|̅̅ ̅̅̅ < �̈�20|̅̅ ̅̅̅.

V primeru, da izplačila znašajo 800 evrov, lahko ugotovimo, da bo enkratna premija pri

začasni renti iz našega primera

A = 800 ∙ 13,087 = 10 469,62 €

manjša od zneska

B = 800 ∙ 14,1339 = 11 471,2 €,

ki bi ga morali vplačati, da si zagotovimo ustrezno prenumerandno (20 let trajajočo)

časovno rento.

Primer 6: Uroš, ki je star 50 let, razmišlja o nakupu začasne, 5 let trajajoče letne

prenumerandne rente. Kakšno rento bo prejemal, če bo vplačal enkratno premijo v

višini 10 000 evrov?

𝑎50 5|̅̅̅̅ =𝑁50 − 𝑁55

𝐷50

= 131 765,619−87 924,183

9 781,919=̇ 4,482 €

Uroš si bo z vplačilom 4,482 evrov zagotovil začasno rento v višini 1 evro letno,

izplačano prenumerandno skozi naslednjih 5 let. Denimo, da Uroš plača zavarovalnici

10 000 evrov. Velja razmerje:

18

X : 1 = 10 000 : 4,482, kjer je X višina (letne) rente.

Tako je

X = 10 000

4,482 =̇ 2 231,15 €.

Uroš si bo z vplačilom 10 000 evrov zagotovil začasno rento v višini 2 231,15 evrov, ki

bo izplačevana skozi naslednjih 5 let ob začetku let (izplačila lahko prenehajo prej, v

primeru, če predčasno nastopi Uroševa smrt).

2.6 Odložene dosmrtne rente

V primeru, ko se začetek izplačevanja dosmrtne rente odloži za v naprej določen čas,

govorimo o odloženi dosmrtni renti. Pri tem se užitek rente odloži za določen čas,

zavarovanec pa plača premijo v trenutku, ko sklene zavarovanje. Denimo, da se 𝑙𝑥 oseb

starosti x zavaruje z odloženo dosmrtno rento, ki se bo začela izplačevati čez n let in se

bo v višini 1 denarne enote izplačevala ob začetku vsakega leta vse do smrti

zavarovanca.

Vsak od 𝑙𝑥 zavarovancev plača zavarovalnici premijo, ki jo bomo označili z 𝑛|𝑎𝑥.

Tako plača 𝑙𝑥 oseb zavarovalnici 𝑙𝑥 ∙ 𝑛|𝑎𝑥 denarnih enot. (Vranić & Martić,

Matematika za ekonomiste, 1962, str. 148).

Izračunajmo vrednost 𝑛|𝑎𝑥. Do nje bomo prišli z izenačitvijo vplačil zavarovancev z

diskontiranimi izplačili zavarovalnice. Prvo rento bo zavarovalnica izplačala čez n let.

Od prvotnih 𝑙𝑥 oseb jih bo v n letih nekaj umrlo, zato bo zavarovalnica čez n let (ob

začetku n+1 leta) izplačala skupaj 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 1 = 𝑙𝑥+𝑛 denarnih enot. Čez n+1 let (ob

začetku n+2 leta) bo zavarovalnica izplačala rento v skupni višini 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 1 = 𝑙𝑥+𝑛+1

denarnih enot itn. Vsa izplačila moramo diskontirati na dan, ko se vplačajo premije,

dobljene zneske nato seštejemo. Vrednost 𝑙𝑥+𝑛, ki dospeva čez n let, je vredna v času

sklenitve zavarovanj 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑥 denarnih enot. Podobna je vrednost 𝑙𝑥+𝑛+1, ki dospe čez

n+1 let, vredna sedaj 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑛+1 denarnih enot itn.

Sledi, da je 𝑙𝑥 ∙ 𝑛|𝑎𝑥= 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑛 + 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 𝑣𝑛+1 + 𝑙𝑥+𝑛+2 ∙ 𝑣𝑛+2 + ...

Enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥 in dobimo

𝑙𝑥𝑣𝑥 ∙ 𝑛|𝑎𝑥= 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑥+𝑛 + 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 𝑣𝑥+𝑛+1 + 𝑙𝑥+𝑛+2 ∙

𝑣𝑥+𝑛+2 + ...

Sledi, da je 𝐷𝑥 ∙ 𝑛|𝑎𝑥 = 𝐷𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛+1 + 𝐷𝑥+𝑛+2 + ...

in zato 𝐷𝑥 ∙ 𝑛|𝑎𝑥 = 𝑁𝑥+𝑛.

Zaključimo lahko, da je

19

𝑛|𝑎𝑥 = 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Zgornja enačba predstavlja formulo za izračun enkratne premije pri odloženi dosmrtni

prenumerandni renti.

Denimo sedaj, da se za n let odložena renta izplačuje postnumerandno (ob koncu let s

prvim izplačilom ob koncu n+1 leta). Označimo z 𝑛|𝛼𝑥 enkratno premijo. Prvo

izplačilo bo zavarovalnica udejanila čez n+1 let. Skupaj bo izplačanih 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 1 =

𝑙𝑥+𝑛+1 denarnih enot. Drugo izplačilo, ki bo dospelo čez n+2 let, bo skupaj znašalo

𝑙𝑥+𝑛+2 denarnih enot itn.

Tako je 𝑙𝑥 ∙ 𝑛|𝛼𝑥= 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 𝑣𝑛+1 + 𝑙𝑥+𝑛+2 ∙ 𝑣𝑛+2 + ...

in zato 𝑙𝑥𝑣𝑥 ∙ 𝑛|𝛼𝑥= 𝑙𝑥+𝑛+1 ∙ 𝑣𝑥+𝑛+1 + 𝑙𝑥+𝑛+2 ∙ 𝑣𝑥+𝑛+2 + …

Sledi, da je 𝐷𝑥 ∙ 𝑛|𝛼𝑥 = 𝐷𝑥+𝑛+1 + 𝐷𝑥+𝑛+2 + ...

in zato 𝐷𝑥 ∙ 𝑛|𝛼𝑥 = 𝑁𝑥+𝑛+1.

Zaključimo lahko, da je premija pri odloženi postnumerandni dosmrtni renti v višini 1

denarne enote na časovno enoto (v našem primeru na leto) enaka

𝑛|𝛼𝑥 = 𝑁𝑥+𝑛+1

𝐷𝑥.

Pri odloženih dosmrtnih rentah se lahko zgodi, da bo zavarovanec umrl že pred

dogovorjenim rokom začetka izplačevanja rente. V tem primeru se renta ne bo

izplačevala in tudi zavarovančevi potomci nimajo pravice do uživanja le-te. Lahko se

tudi zgodi, da bo zavarovanec pred smrtjo prejel le nekaj obrokov. V vsakem primeru se

zavarovanje konča s smrtjo zavarovanca, zavarovalnica pa s smrtjo zavarovanca nima

koristi. Vplačilo (premijo) umrlega zavarovanca koristijo namreč drugi (še živi)

zavarovanci (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 149).

Vzemimo sedaj prenumerandno dosmrtno rento, ki je odložena za eno leto (n=1).

Tako je 1|а𝑥 = 𝑁𝑥+1

𝐷𝑥.

Ker je premija pri ustrezni postnumerandni dosmrtni renti enaka 𝛼𝑥 = 𝑁𝑥+1

𝐷𝑥, lahko

zaključimo, da je

𝛼𝑥 = 1|а𝑥.

To pomeni, da je dosmrtna postnumerandna renta enaka za eno leto odloženi dosmrtni

prenumerandni odloženi renti.

20

Primer 7: Žan, ki je star 40 let, se želi od svojega 60 leta starosti naprej zavarovati z

dosmrtno (odloženo) rento z zneski 6 000 evrov, ki bodo izplačani letno,

prenumerandno (s prvim izplačilom čez 20 let). Žan bo enkratno premijo plačal takoj

(vnaprej). Koliko znaša ta premija?

20|а40 = 𝑁60

𝐷40 =

55 414,907

16382,56 =̇ 3,383

Žan bi si z vplačilom 3,383 evrov zagotovil dosmrtno (odloženo) rento v višini od 1

evro letno, ki bo začela teči čez 20 let (ko bo Žan star 60 let). V našem primeru želi Žan

rento v višini 6 000 evrov letno, zato mora zavarovalnici vplačati 6000-krat več:

A = 6 000 ∙ 3,383 = 20 298 €.

Premija, ki jo bo Žan vplačal vnaprej, znaša 20 298 evrov.

Primer 8: Pavel, ki je star 30 let, vplača zavarovalnici enkratno premijo v višini 30 000

evrov. Kakšno dosmrtno (odloženo) prenumerandno rento si je s tem zagotovil od

svojega 65 leta naprej?

35|а30 = 𝑁65

𝐷30 =

32 276,412

26 605,43 =̇ 1,213

Pavel bi si z vplačilom 1,213 evrov zagotovil dosmrtno (odloženo) prenumerandno

rento v višini 1 evro letno od svojega 65 leta starosti naprej. Označimo z X rento, ki si

jo je Pavel zagotovil z vplačilom premije 30 000 evrov. Tako je

X : 1 = 30 000 : 1,213.

Sledi, da je

X = 30 000

1,233 = 24 732,07 €.

Pavel se z vplačilom 30 000 evrov zagotovil za 35 let odloženo dosmrtno letno

prenumerandno rento v višini 24 330,90 evrov.

21

22

Slika 1:Tablica smrtnosti

Vir: http://imft.ftn.uns.ac.rs/~rade/Procenti_i_Finansije.pdf

23

Slika 2: Vrednost aktuarskih oznak za i = 4 %

Vir: (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 2014)

24

3. KAPITALSKA ZAVAROVANJA

Posamezniki se lahko odločajo in izbirajo med različnimi kombinacijami ter vrstami

življenjskega zavarovanja. V prejšnjem delu smo spoznali rentno zavarovanje. Način

izplačevanja zavarovalnine je eden od pomembnih kriterijev, ki določa vrste

življenjskih zavarovanj. Zavarovalnica lahko izplača zavarovancu zavarovalnino v

enkratnem znesku, v mesečnih ali letnih rentah. Ko je zavarovalnina izplačana v

enkratnem znesku, govorimo o kapitalskih zavarovanj (Pavšič, 2004, str. 50).

V našem magistrskem delu bomo obravnavali kapitalska zavarovanja za primer smrti in

primer doživetja ter se osredotočili na mešana kapitalska zavarovanja. Glede na

nevarnosti, ki krijejo posamezne vrste kapitalskih zavarovanj, poznamo različne vrste

zavarovanj (Vrabič, 1979, str. 12):

Zavarovanje kritičnih bolezni – takšna oblika zavarovanj je namenjena kritju

nevarnosti nastanka tiste bolezni, pri kateri zavarovanec potrebuje tujo pomoč.

Takšne vrste bolezni so: rak, infarkt itd. Zavarovanje kritičnih bolezni je zelo

drago in za to vrsto zavarovanj se odločajo predvsem samostojni podjetniki ali

zelo premožne osebe.

''Zavarovalna dota'' (zavarovanje po meri ali dodatno zavarovanje) – z

zavarovanjem dote zavarujemo dogodek doživetja ali uresničitve določenega

dogodka (na primer poroke). Zavarovalnica izplača zavarovalno vsoto v primeru

doživetja ali uresničitve določenega dogodka. Zavarovanje dote je primerno za

otroke, ki jim želijo starši zagotoviti določena sredstva v dobi

odraščanja (šolnina) ali ob določenih dogodkih1. Ta vrsta zavarovanj je poznana

tudi kot štipendijsko zavarovanje.

Naložbeno življenjsko zavarovanje – v ponudbi naložbenih zavarovanj lahko

izbiramo med naslednjimi oblikami naložbenih zavarovanj: enkratno naložbeno

zavarovanje, naložbeno življenjsko zavarovanje, naložbeno zavarovanje za

otroke. Za vse tri oblike naložbenih zavarovanj je značilno, da združujejo

življenjsko zavarovanje in varčevanje, vezano na gibanje vrednosti enot

premoženja izbranih investicijskih skladov. Omogočajo vam aktivnejši pristop k

zavarovanju, saj poleg življenjskega zavarovanja na koncu dobite tudi vrednost

vložkov v sklad. Večinoma so to zavarovanja, pri katerih zavarovalec sam

prevzema naložbeno tveganje, možne pa so tudi oblike z zajamčeno

donosnostjo, pri katerih naložbeno tveganje vsaj delno prevzame zavarovalnica.

1 http://www.zavpro-zavarovanje.si/zavarovanje_dote.html

25

3.1 Zavarovanja za doživetje

Predpostavljamo, da zavarovalnica zavaruje osebe za doživetje, ki so stare x let, pri

čemer se osebi v primeru, da doživi x+n-to leto, izplača glavnica 1. Obstaja tudi

možnost, da zavarovana oseba umre, preden dopolni x+n let. V tem primeru

zavarovalnica ni dolžna izplačati nikakršnega zneska zavarovancu (Vranić & Martić,

Matematika za ekonomiste, 1962, str. 155).

Zavarovanje za doživetje je zavarovanje, kjer se zavarovalna vsota izplača pod

pogojem, da zavarovanec doživi dogovorjen čas (čas, ki je predviden za doživetje).

Denimo, da plača vsak zavarovanec zavarovalnici enkratno premijo, ki jo bomo označili

z 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 . Zavarovanih je 𝑙𝑥 oseb (s starostjo x) in če vsaka položi premijo 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1 , bo

zavarovalnici skupaj vplačanih

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 ∙ 𝑙𝑥 denarnih enot.

Obveznost zavarovalnice je izplačati zavarovalno vsoto v znesku 1 denarne enote po n

letih tistim osebam, ki bodo preživele. Če je 𝑙𝑥 oseb starih x let, bo preživelo 𝑙𝑥+𝑛 oseb

naslednjih n let. Teh 𝑙𝑥+𝑛 oseb bo starih x+n let. Zavarovalnica bo tem 𝑙𝑥+𝑛 osebam,

ki bodo preživele, izplačala

𝑙𝑥+𝑛 ∙ 1 = 𝑙𝑥+𝑛 denarnih enot.

Po načelu ekvivalence glavnic mora biti vplačan znesek 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 ∙ 𝑙𝑥 enakovreden skupnim

izplačilom zavarovalnice. To pomeni, da moramo razobrestiti izplačila na trenutek, ko

so bile vplačane premije. Tako je

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 ∙ 𝑙𝑥 = 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑛.

Zgornjo enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥 in dobimo:

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 ∙ 𝑣𝑥𝑙𝑥 = 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑥+𝑛

in zato 𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 = 𝐷𝑥+𝑛.

Sledi, da je enkratna premija za zavarovanje glavnice (zavarovalne vsote) v višini 1

denarne enote za primer doživetja enaka

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 =

𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Primer 9: Sotir, ki je star 35 let, želi zavarovati zavarovalno vsoto (glavnico) v višini 1

denarne enote, ki jo bo prejel, če doživi 50 let. Tako je

26

𝐴3515|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷50

𝐷35 =

9 781,919

20 927,30 =̇ 0,4674.

Sotir bi si z vplačilom 0,4674 denarne enote zagotovil zavarovalno vsoto 1, če doživi 50

let. Lahko se tudi zgodi, da Sotir umre prej (pred 50 letom), v tem primeru se

zavarovanje v celoti ukine. Zavarovanje se konča s smrtjo zavarovanca, pri čemer

zavarovalnica nima koristi od denarja, ki ga je zavarovanec vplačal. Premijo umrlega

zavarovanca koristijo preostali zavarovanci. Iz tega sledi, da je lahko zavarovanje za

primer doživetja poceni, ker vplačano premijo umrlih zavarovancev koristijo tisti

zavarovanci, ki doživijo dogovorjeno starost (Vranić & Martić, Matematika za

ekonomiste, 1962, str. 156).

Zastavimo si naslednje vplašanje. Kakšen znesek mora komitent položiti na banko, da

mu bo banka čez 15 let izplačala glavnico v višini 1 denarne enote ne glede na to, ali

komitent čez 15 let še živi ali je že umrl?

Predpostavljamo, da je efektivna letna obrestna mera 4 %. Iz tabele za i= 4 %, ki smo jo

prikazali v prejšnjem poglavju, bomo odčitali sedanjo vrednost glavnice v višini 1 evro,

ki dospeva čez 15 let (𝑣15 = 0,5553) (Marovt, 2014, str. 68). Če torej komitent položi

na banko 0,5553 denarne enote, bo čez 15 let prejel glavnico v višini 1 denarne enote.

Če komitent umre pred časom, ki je opredeljen v pogodbi, denar ne propade.

Zaključimo lahko, da je enkratna premija za zavarovanje za primer doživetja nižja od

ustrezne vloge pri banki, saj se po zavarovalni pogodbi za doživetje glavnica izplačuje

samo v primeru doživetja (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 156).

0,5553 je sedanja vrednost glavnice 1 denarna enota, ki je narasla po 15 letih pri

efektivni letni obrestni meri 4 %.

0,4674 je sedanja vrednost glavnice (zavarovalne vsote) 1 denarna enota, ki je narasla

po 15 letih pri zavarovanju za primer doživetja, če je sedaj zavarovanec star 35 let.

V zavarovalništvu ima sedanja vrednost drugačen pomen od sedanje vrednosti v

finančni matematiki. Sedanja vrednost v zavarovalništvu upošteva, če zavarovanec po

dogovorjenem roku še živi.

Sedanjo vrednost 1 denarne enote pri zavarovalni pogodbi za primer doživetja

izračunamo po formuli

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 =

𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

To vrednost izračunamo v finančni matematiki, kjer ne upoštevamo možnosti, da lahko

zavarovanec umre, drugače:

𝐴𝑛|̅̅ ̅ = 𝑣𝑛.

Znesek 1 denarna enota naraste v n letih na:

27

𝐺𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛.

Če vložimo znesek 1 denarna enota v banko pri 4 % letni efektni obrestni meri, bomo

imeli po 20 letih

𝐺20 = 1,0420 =̇ 2,19112 denarnih enot.

Denimo, da oseba, stara 30 let, plača zavarovalnici določeno premijo. Na koliko naraste

glavnica 1 denarna enota čez 20 let, če ima oseba pravico do zavarovalne vsote, če

doživi starost 50 let?

Zavarovalno vsoto za primer doživetja bomo označili z Z. Oseba ima pravico do

zavarovalne vsote pod pogojem, da doživi 50 let. Zanima nas, kolikšna je zavarovalna

vsota za primer doživetja, če znaša enkratna premija 1 denarna enota. Za premijo 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥 je

zavarovalna vsota 1 denarna enota.

Postavimo razmerje

Z : 1 = 1 : 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥,

Sledi, da je Z = 𝐷𝑥

𝐷𝑥+𝑛.

Zgornja enačba se imenuje zavarovalno-tehnični faktor. V našem primeru je x = 30 in

n = 20. Tako je

Z = 𝐷30

𝐷50 =

26 605,43

9 781,919 =̇ 2,7199.

Iz zgornje enačbe lahko ugotovimo, da zavarovalno-tehnični faktor 1 doseže čez 20 let

vrednost 2,7199.

Zaključimo lahko, da zavarovalnica izplača zavarovancu višji znesek kot banka pod

pogojem, da zavarovanec doživi starost, ki je predvidena za doživetje. Pri zavarovanju

za doživetje je treba vedno upoštevati, da se končna vrednost (zavarovalna vsota) ne

obračunava po formuli (1 + 𝑖)𝑛, temveč po formuli 𝐷𝑥

𝐷𝑥+𝑛. Premija (sedanja vrednost

zavarovalne vsote) za primer doživetja se ne obračunava iz 𝑣𝑛, temveč po formuli 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥

(Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 1962, str. 158).

Vzemimo za primer moškega, starega 40 let. Ta oseba se zavaruje za primer doživetja

50 let. Premija zavarovalne vsote 1 denarna enota je enaka:

𝐴4010|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷40+10

𝐷40

=𝐷50

𝐷40

28

= 9 781,919

16 382,56 = ̇ 0,597093.

Predpostavljamo, da je zavarovalna vsota 1000 denarnih enot. Sledi, da je premija enaka

na 597,09 denarne enote (1000 ∙ 0,597093 = 597,09). Premijo v zavarovalnicah pogosto

izražajo s promili. Ker je premija za zavarovalno vsoto 1000 denarnih enot enaka

597,09 denarnih enot, pravimo, da je premija enaka 597,09 ‰. Za primer vzemimo, da

se oseba zavaruje za glavnico 50 000 denarnih enot. Premija A znaša v tem primeru

A = 50 ∙ 597,09 = 29 854,5 denarnih enot.

Primer 10: Tilen, ki je star 40 let, vplača zavarovalnici enkratno premijo v višini 2000 €.

Za kolikšen znesek je Tilen zavarovan, če doživi 60 let?

𝐴4010|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷60

𝐷40 =

5 320,816

16 382,56 =̇ 0,324785

Tilen bi si z vplačilom 0,324785 evrov zagotovil zavarovalno vsoto 1 denarne enote. Z

X bomo označili znesek, s katerim bo Tilen zavarovan, če zavarovalnici vplača 2000

evrov. Tako je

X : 2000 = 1 : 0,325.

Sledi, da je

X = 2000

0,325 = 6 153,85.

Tilen bi si z vplačilom 2000 evrov po 20 letih zagotovi izplačilo v višini 6 153,85

evrov.

V primeru, da Tilen 2000 evrov položi na banko (predpostavljamo, da je letna efektivna

obrestna mera na banki 4 %), bo po 20 letih imel:

𝐺20 = 2000 ∙ 2,191123 = 4 382,25 €.

Zaključimo lahko, da bo Tilen, če položi 2000 evrov na banko, prejel čez 20 let

1 771,6 evrov manj, kot če bi denar vplačal zavarovalnici.

Primer 11: Blaž, ki je star 20 let, vplača zavarovalnici 300 € in se zavaruje za primer

doživetja 50 let. Ob istem času njegov stric vplača enako premijo za primer doživetja

50 let. Koliko let je star Blažev stric, če se je zavaroval za dvakrat manjši znesek?

Z y bomo označili znesek (zavarovalno vsoto), ki ga zavarovalnica izplača Blažu za

primer doživetja 50 let. Z x bomo označili starost Blaževega strica.

𝐴2030|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷50

𝐷20 =

9 781,919

42 566,3 = 0,2298

Postavimo razmerje 0,2298 : 1 = 300 : y.

29

Sledi, da je y = 300

0,2298 = 1 305,483 €.

Zavarovalno vsoto Blaževega strica bomo označili z B in je dvakrat manjša od nečakove

zavarovalne vsote. Tako je

B = 1 305,48

2 = 652,74 €.

Dogovorjeni rok za doživetje je 50 let. Tako je

x + n = 50.

Velja razmerje

𝐷50

𝐷𝑥 : 1 = 300 : 652,74.

Sledi, da je

𝐷𝑥 = 652,74

300 ∙ 𝐷50

in zato

𝐷𝑥 = 2,1758 ∙ 9 781,919 = 21 283,5.

V tablici smrtnosti za moške v stolpcu za 𝐷𝑥 iščemo vrednost, ki se najbolj približa

vrednosti 21 283,5. Ker je 𝐷34 = 21 964,17 in 𝐷35 = 20 927,30, lahko zaključimo, da je

x =̇ 35. Blažev stric je star (približno) 35 let.

3.2 Zavarovanje za primer smrti

Začetki zavarovalništva temeljijo na zavarovanjih za primer smrti. V 2. polovici 20.

stoletja so se pojavile nove oblike zavarovanj, kot na primer zavarovanje za primer

doživetja. Zavarovanje za primer smrti je oblika zavarovanja, pri katerem se glavnica

izplača po smrti zavarovanca ne glede na to, kdaj umre. Enkratno premijo za

zavarovanje za primer smrti bomo označili z 𝐴𝑥. Zavarovalnica izplača zavarovalno

vsoto osebi, ki je imenovana za sprejemanje zavarovalne vsote, to je naslednik ali

uporabnik (Vranić & Martić, 1962, str. 159).

Predvidevamo, da zavarovalnica zavaruje 𝑙𝑥 oseb, starih x let. Če k temu dodamo, da

vsak zavarovanec plača zavarovalno premijo 𝐴𝑥, je skupaj vplačanih

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥 denarnih enot.

Zavarovalnica je zavezana izplačati zavarovalno vsoto z zneskom 1 denarna enota po

smrti zavarovanca. Zaradi poenostavitve vzemimo, da se zavarovalna vsota za osebe, ki

umrejo med letom, izplača ob koncu leta. Zavarovalnica tako ob koncu (1., 2., 3. ... itn.)

30

leta izplača vsem zavezancem (uporabnikom ali naslednikom) zavarovalne pogodbe

dogovorjeno zavarovalno vsoto.

V prvem letu je umrlo 𝑑𝑥 oseb in zavarovalnica izplača ob koncu prvega leta

𝑑𝑥 ∙ 1 = 𝑑𝑥 denarnih enot.

V drugem letu je umrlo 𝑑𝑥+1 oseb in zavarovalnica izplača ob koncu drugega leta

𝑑𝑥+1 ∙ 1 = 𝑑𝑥+1 denarnih enot.

Podobno bo v tretjem letu umrlo 𝑑𝑥+2 oseb in zavarovalnica bo ob koncu tretjega leta

izplačala

𝑑𝑥+2 ∙ 1 = 𝑑𝑥+2 denarnih enot.

Vsa ta izplačila diskontiramo na današnji dan, tako da so danes vredna

𝑑𝑥 ∙ 𝑣 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣2 + 𝑑𝑥+2 ∙ 𝑣3 + ...

Vemo, da morajo biti ta izplačila enaka vplačilom. Tako je

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣2 + 𝑑𝑥+2 ∙ 𝑣3 +...

Zgornjo enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥 in dobimo

𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 ∙ 𝐴𝑥 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+2 + 𝑑𝑥+2 ∙ 𝑣𝑥+3 + ...

Vemo, da je

𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 = 𝐷𝑥

𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1 = 𝐶𝑥

𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+2 = 𝐶𝑥+1

𝑑𝑥+2 ∙ 𝑣𝑥+3 = 𝐶𝑥+2.

Tako je

𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1 + 𝐶𝑥+2 + ...

ali 𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥 = 𝑀𝑥.

Sledi 𝐴𝑥 = 𝑀𝑥

𝐷𝑥.

31

Zgornja enačba predstavlja formulo za enkratno premijo za zavarovanje za primer smrti.

Vemo, da 𝑀𝑥 predstavlja seštevek diskontiranih števil umrlih oseb. Naj bo d = 1 − 𝑣.

Pokažimo, da je

𝑀𝑥 = 𝐷𝑥 − 𝑑 ∙ 𝑁𝑥.

Ker je (glej stran 8)

𝑀𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1

in

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+1 = 𝐷𝑥

ter zato

𝑁𝑥+1 = 𝑁𝑥 − 𝐷𝑥 ,

sledi, da je

𝑀𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥 + 𝐷𝑥

in zato

𝑀𝑥 = 𝐷𝑥 − (1 − 𝑣) ∙ 𝑁𝑥.

Ker je d = 1 − 𝑣, lahko zaključimo, da je

𝑀𝑥 = 𝐷𝑥 − 𝑑 ∙ 𝑁𝑥.

Če v formuli za enkratno premijo za zavarovanje za primer smrti upoštevamo dobljeno

formulo, dobimo

𝐴𝑥 = 𝐷𝑥−𝑑∙ 𝑁𝑥

𝐷𝑥 = 1 − d ∙

𝑁𝑥

𝐷𝑥.

Sledi (glej stran 12), da je

𝐴𝑥 = 1 − d ∙ 𝑎𝑥,

kjer je 𝑑 = 1 − 𝑣 in 𝑎𝑥 enkartna premija v primeru zavarovanja za dosmrtno

prenumerandno rento.

Primer 12: Mitja, ki je star 49 let, se želi zavarovati za primer smrti. Kolikšno enkratno

premijo mora Mitja plačati zavarovalnici, da si zagotovi zavarovanje z zavarovalno

vsoto 75 000 za primer smrti?

𝐴49 = 𝑀49

𝐷49 =

4 863,59

10 328,76 =̇ 0,470878 =̇ 470,88 ‰

32

Do rezultata lahko pridemo tudi s pomočjo naslednje formule:

𝐴49 = 1 − d ∙ 𝑎49.

Ker privzamemo, da je i=4 % in zato

𝑣 =1

1+𝑖 =

1

1,04,

sledi, da je

d = 1−1

1,04=̇ 0,03846

in zato

𝐴49 = 1 − 0,03846 ∙ 13,7572

oziroma

𝐴49 = 470,88 ‰.

Če je zavarovana vsota 75 000, sledi, da je enkratna premija A enaka

A = 75∙ 470,88 = 35 316.

Mitja bi si z vplačilom 35 316 evrov zagotovil zavarovalnino za primer smrti v višini

75 000 evrov. Če Mitja umre, bo zavarovalna vsota izplačana njegovim dedičem ne

glede na to, kdaj smrt nastopi. Mitja lahko umre takoj po sklenitvi zavarovanja za

primer smrti ali po 30 letih. Premija je obračunana, tako da se lahko smrt zgodi

kadarkoli.

Enkratno premijo zavarovanja, ki jo vsak zavarovanec vplača zavarovalnici in se

zavaruje za primer smrti, lahko izračunamo, četudi ne vemo, kdaj bo ta smrt nastopila.

Iz tablice smrtnosti lahko pridemo do podatka, da bo v prvem letu od 70580 49 let

starih oseb umrlo okoli 1060 oseb.

Ob tem nas ne zanima oziroma skrbi, kdaj bo 49-letna oseba umrla. Zavarovanje za

primer smrti temelji na konceptu, da tisti, ki živijo dlje, plačujejo za tiste, ki umrejo

prej.

Zaključimo lahko, da tisti, ki živijo dlje, relativno več plačajo.

Primer 13: Viktor, ki je star 30 let, se želi zavarovati za primer smrti. Kolikšno enkratno

premijo mora Viktor plačati zavarovalnici, da si zagotovi zavarovanje za primer smrti,

če bo zavarovalna vsota znašala 5 000 evrov ?

𝐴30 =𝑀30

𝐷30

33

=8 145,75

26 605,43 =̇ 0,3062 = 306,2 ‰.

Če je zavarovalna vsota 5000 evrov, je enkratna premija A enaka

A = 5 ∙ 306,2 = 1 531.

Viktor si bo z vplačilom 1531 evrov zagotovil zavarovanje za primer smrti v višini 5000

evrov.

Primer 14: Vladomir, ki je star 50 let, vplača zavarovalnici enkratno premijo v višini

1000 evrov. Za kašen znesek se lahko Vladomir zavaruje s tem vplačilo za primer

smrti?

𝐴50 = 𝑀50

𝐷50 =

4 714,01

9 781,919 =̇ 0,48191

Vladomir bi si z vplačilom 0,48191 denarne enote zagotovil zavarovalnino za primer

smrti z zneskom 1 denarne enote. Označimo z X zavarovalnino (zavarovalno vsoto), ki

si jo je Vladomir zagotovil z vplačilom premije 1000 evrov. Tako je

X : 1 000 = 1 : 0,4819.

Sledi, da je

X = 1 000

0,4819 = 2 075,12 €.

Vladomir si je z vplačilom 1000 evrov zagotovil zavarovanje za primer smrti

(zavarovalnino v enkratnem znesku 2075,12 evra) ob konca svojega življenja.

3.2.1 Začasno zavarovanje za primer smrti

Začasno zavarovanje za primer smrti je zavarovanje, pri katerem se glavnica izplača

takrat, ko zavarovanec umre v vnaprej določenem času. Če zavarovanec doživi ta rok,

sledi prekinitev zavarovanja (Vranić & Martić, 1962, str. 162).

Razlika med dosmrtnim in začasnim zavarovanjem za primer smrti je v tem, da je

začasno zavarovanje časovno omejeno, medtem ko dosmrtno ni. Zavarovanec, ki sklene

začasno zavarovanje za primer smrti, ima vnaprej omejen čas, do kdaj lahko nastopi

smrt. Zavarovanec, ki sklene dosmrtno zavarovanje, pa nima vnaprej omejenega roka za

svojo smrt, smrt lahko nastopi kadarkoli.

Denimo, da bo 𝑙𝑥 oseb s starostjo x sklenilo začasno zavarovanje za primer smrti.

Enkratno premijo bomo označili z 𝐴𝑥 𝑛|̅̅ ̅1 . Tako je skupno vplačilo zavarovalnici

34

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥 𝑛|̅̅ ̅1 .

Prvo leto bo zavarovalnica izplačala zavarovalno vsoto v znesku 1 denarne enote za 𝑑𝑥

oseb. Tako je skupno izplačilo 𝑑𝑥 ∙ 1 = 𝑑𝑥 denarnih enot.

Drugo leto bo zavarovalnica izplačala zavarovalno vsoto za 𝑑𝑥+1 oseb z zneskom 1

denarne enote. Tako je skupno izplačilo 𝑑𝑥+1 ∙ 1 = 𝑑𝑥+1 denarnih enot.

Tretje leto bo zavarovalnica izplačala zavarovalno vsoto za 𝑑𝑥+2 oseb z zneskom 1

denarne enote. Tako je skupno izplačilo 𝑑𝑥+2 ∙ 1 = 𝑑𝑥+2 denarnih enot.

Denimo, da bo zavarovalnica izplačala zavarovalno vsoto največ n let.

Ob koncu n-tega leta bo zavarovalnica izplačala zavarovalno vsoto za umrle

zavarovance v n-tem letu. Teh zavarovancev je 𝑑𝑥+𝑛−1. Tako bo zadnje izplačilo

zavarovalnice znašalo 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 1 = 𝑑𝑥+𝑛−1 denarnih enot.

Po n-tem letu ni več izplačil.

Vse vrednosti, ki jih zavarovalnica izplača (ob koncu) 1., 2., 3., ..., n-tega leta, moramo

diskontirati na današnji dan. Njihova skupna sedanja vrednost znaša

𝑑𝑥 ∙ 𝑣 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣2+. . . +𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑛.

Vemo, da morajo biti vplačila enaka kot izplačila. Tako je

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣2+. . . + 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑛.

Če zgornjo enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥, dobimo

𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+2+. . . + 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑥+𝑛

ali

𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 = 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1+. . . +𝐶𝑥+𝑛−1.

Desno stran enačbe lahko zapišemo kot

𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1+. . . +𝐶𝑥+𝑛−1 = (𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1+. . . +𝐶𝑥+𝑛−1 + 𝐶𝑥+𝑛 + 𝐶𝑥+𝑛+1+. . . )

− (𝐶𝑥+𝑛 + 𝐶𝑥+𝑛+1+. . . ) = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛.

Tako je

𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛.

Sledi, da je enkratna premija za začasno zavarovanje za primer smrti

35

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 =

𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Primer 15: Tino, ki je star 30 let, se želi zavarovati za primer smrti samo do svojega 50.

leta. V primeru, da Tino ne umre do svojega 50. leta, se zavarovanje zavrne in

zavarovalnica nima več obveznost izplačati zavarovalnine. Kakšno začasno enkratno

premijo bo Tino vplačal zavarovalnici, če je zavarovalna vsota 10 000 evrov?

𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅1 =

𝑀30 − 𝑀50

𝐷30

=8 145,75 − 4 714,01

26 605,43=̇ 0,12899 =̇ 128,99 ‰ =̇ 129 ‰

Če je zavarovalna vsota 10 000 evrov, mora Tino vplačati

10 ∙ 129 = 1 290 €.

Tino bi si z vplačilom 1290 evrov zagotovil začasno dosmrtno zavarovanje za primer

smrti v znesku 10 000 evrov. Tu se pojavi vprašanje, kakšna je verjetnost, da bo oseba,

ki je stara 30 let, umrla pred 50. letom. Tino bo vplačal zavarovalnici relativno majhen

znesek in v primeru smrti dobil izplačilo v višini 10 000 evrov. Zavarovalnica je

obvezana izplačati omenjeni znesek, če zavarovana oseba (v našem primeru Tino) umre

pred 50. letom. V nadaljevanju bomo izračunali, kolikšna je verjetnost, da Tino umre

pred 50. letom.

𝑞3020 = 𝑙30−𝑙50

𝑙30 =

86 292 −69 517

86 292 =̇ 0,194 =̇ 19 %

Verjetnost, da Tino umre pred 50. letom, je približno 19 %.

Primer 16: Jaka, ki je star 80 let, se zavaruje z začasnim zavarovanjem za primer smrti

oziroma samo do svojega 90. leta.

а) Kakšno enkratno premijo mora vplačati Jaka zavarovalnici, če se želi zavarovati za

zavarovalno vsoto v višini 3 000 evrov?

𝐴80 10|̅̅ ̅̅̅1 =

𝑀80 − 𝑀90

𝐷80 =

473,221 −34,9630

576,5777 =̇ 0,760102 = 760,102 ‰

Če znaša zavarovalna vsota 3 000 evrov, lahko ugotovimo, da bo enkratna premija A pri

začasnem dosmrtnem zavarovanju v našem primeru

A = 3 ∙ 760,102 = 2 280,31 €.

Jaka si bo z vplačilom 2280,31 evra zagotovil zavarovalno vsoto v višini 3000 evrov, ki

bo izplačana v primeru, če umre do svojega 90. leta (v prihodnjih desetih letih).

b) Kakšna je verjetnost, da bo Jaka umrl pred 90. letom?

Verjetnost, da bo Jaka bo umrl v prihodnjih desetih letih, je

36

𝑞8010 = 𝑙80−𝑙90

𝑙80 =

13 290−1 319

13 290 = 0,90075 =̇ 90 %.

Dejansko se začasno zavarovanje za primer smrti zelo redko sklene, ker ljudje v večini

nimajo radi zavarovanja za omejen čas. Takšno vrsto zavarovanja lahko sklene banka

kot garancijo za odobritev kredita.

3.3 Mešano zavarovanje

V naši magistrski nalogi bomo spoznali še eno zanimivo obliko zavarovanja,

imenovano mešano zavarovanje. Pri tej vrsti zavarovanja se zavarovalna vsota izplača

po določenem številu let (obdobje, ki ga opredelita zavarovalec in zavarovalnica v

zavarovalni pogodbi) ali prej, če smrt nastopi predčasno. Mešano zavarovanje je nastalo

v novem obdobju in je kombinacijа zavarovanja in varčevanja (Vranić & Martić, 1962,

str. 164).

Poznamo več vrst mešanih zavarovanj, sodoben poslovni svet pa pomaga pri pojavu

novih. Nove vrste mešanih zavarovanj vzbujajo v teh dneh veliko zanimanja. V

nadaljevanju bomo prikazali najpreprostejše oblike mešanih zavarovanj.

Mešano zavarovanje je zavarovanje, ki vsebuje zavarovanje za primer smrti in

zavarovanje za primer doživetja.

Predvidevamo, da se oseba, stara x let, zavaruje začasno za primer smrti v naslednjih n

letih. V primeru, da ta oseba v tem obdobju umre, zavarovalnica izplača zavarovalno

vsoto. Spomnimo se iz prejšnjega poglavja, da je enkratna premija za takšno vrsto

zavarovanja z zavarovalno vsoto 1 denarne enote

𝐴𝑥 𝑛|̅̅ ̅1 =

𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Vzemimo, da ta isti zavarovanec sklene hkrati še zavarovanje za primer doživetja za n

let. Če zavarovanec ne umre v obdobju n let, zavarovanje za primer smrti postane brez

vrednosti. Če doživi predviden čas za doživetje, ki je določen v zavarovalni pogodbi,

pridobi pravico za izplačilo zavarovalne vsote iz zavarovanja za primer doživetja.

Enkratna premija za drugo zavarovanje (za primer doživetja z zavarovalno vsoto 1

denarne enote) je (glej stran 26)

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 =

𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Če oseba sklene pogodbo za mešano zavarovanje, bo vplačala zavarovalnici obe premiji

hkrati, premiji za zavarovanje za primer doživetja in za primer smrti. Tako je

𝐴𝑥 𝑛|̅̅ ̅1 + 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛

𝐷𝑥 +

𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Če obe vrsti zavarovanj združimo, je to mešano zavarovanje. Označimo z 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ enkratno

premijo mešanega zavarovanja. Tako je

37

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 + 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1

ali

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛+ 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Do istega rezultata lahko pridemo z neposrednim izračunom. Predvidevamo, da 𝑙𝑥 oseb,

ki so stare x let, sklene mešano zavarovanje. Če vsaka vplača zavarovalno premijo 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅,

bo vplačano

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ denarnih enot.

Konec prvega leta zavarovalnica izplača zavarovalno vsoto v višini 1 denarne enote za

𝑑𝑥 oseb (gre za osebe, ki so umrle v prvem letu). Predvidevamo, da je umrlo toliko

oseb, kot nam kaže podatek iz tablice smrtnosti. To pomeni, da zavarovalnica na koncu

prvega leta izplača 𝑑𝑥 ∙ 1 = 𝑑𝑥 denarnih enot. Na koncu drugega leta zavarovalnica

spet izplača zavarovalno vsoto v višini 1 denarne enote za 𝑑𝑥+1 oseb. Zavarovalnica ob

koncu drugega leta izplača 𝑑𝑥+1 ∙ 1 = 𝑑𝑥+1 denarnih enot.

Podobno bo zavarovalnica ob koncu tretjega leta izplačala 𝑑𝑥+2 ∙ 1 = 𝑑𝑥+2 denarnih

enot.

Ob koncu n-tega leta bo izplačala 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 1 = 𝑑𝑥+𝑛−1 denarnih enot.

Ob koncu n-tega leta zavarovalnica izplača zavarovalno vsoto še tistim osebam, ki

doživijo opredeljen rok za doživetje. Tako zavarovalnica izplača še

𝑙𝑥+𝑛 ∙ 1 = 𝑙𝑥+𝑛 denarnih enot.

Vse te vrednosti, ki jih zavarovalnica izplača (ob koncu) 1., 2., 3., n-tega leta,

diskontiramo na današnji dan in obračunamo njihove sedanje vrednosti. Tako je

𝑙𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣2+. . . + 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑛 + 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑛.

Če zgornjo enačbo pomnožimo z 𝑣𝑥, dobimo

𝑙𝑥 ∙ 𝑣𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑑𝑥 ∙ 𝑣𝑥+1 + 𝑑𝑥+1 ∙ 𝑣𝑥+2+. . . + 𝑑𝑥+𝑛−1 ∙ 𝑣𝑥+𝑛 + 𝑙𝑥+𝑛 ∙ 𝑣𝑥+𝑛

ali

𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1 + … + 𝐶𝑥+𝑛−1 + 𝐷𝑥+𝑛.

Spomnimo se, da je

𝐶𝑥 + 𝐶𝑥+1 + … + 𝐶𝑥+𝑛−1 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛.

38

Tako je

𝐷𝑥 ∙ 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛.

Sledi, da je

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Zgornja enačba predstavlja formulo za enkratno premijo mešanega zavarovanja.

Formula se lahko zapiše tudi v drugačni obliki. Na strani 31 smo izpeljali, da je

𝑀𝑥 = 𝐷𝑥 − 𝑑 ∙ 𝑁𝑥.

Sledi

𝑀𝑥+𝑛 = 𝐷𝑥+𝑛 − d ∙ 𝑁𝑥+𝑛.

Vstavimo in dobimo:

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥 =

𝐷𝑥 − 𝑑 ∙ 𝑁𝑥 − 𝐷𝑥+𝑛+𝑑 ∙ 𝑁𝑥+𝑛+𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐷𝑥 −𝑑 ∙(𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛)

𝐷𝑥

oziroma

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 1 − 𝑑 ∙ 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Spomnimo se, da je

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥,

kjer je 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ enkratna premija za primer začasne rente, ki bo izplačevana n let (glej stran

16). Sledi, da je

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 1 − 𝑑 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Pri tem je

d = 1 − 𝑣.

Primer 17: Oliver, ki je star 30 let, sklene mešano zavarovanje za obdobje 20 let (ali za

prihodnjih 20 let). Kakšno enkratno premijo bo Oliver vplačal zavarovalnici, da si bo

zagotovil zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov?

39

𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅ = 𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅1 + 𝐴30 20|̅̅ ̅̅ ̅

1 .

Najprej bomo izračunali enkratno premijo, ki jo mora Oliver vplačati, če se zavaruje za

primer smrti do svojega 50. leta:

𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅1 =

𝑀30 − 𝑀50

𝐷30

=8 145,75 − 4 714,01

26 605,43= 0,12899.

V našem primeru Oliver sklene mešano zavarovanje. Spomnimo se, da mešano

zavarovanje vsebuje zavarovanje za primer smrti in doživetja. Torej moramo v

nadaljevanju obračunati tudi enkratno premijo, ki jo bo Oliver vplačal v primeru, da

doživi 50 let. Tako je

𝐴30 20|̅̅ ̅̅ ̅ 1 =

𝐷50

𝐷30

= 9 781,919

26 605,43 =̇ 0,367666.

Sledi, da je

𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅ = 0,12899 + 0,367666 = 0,496656 = 496,66 ‰.

Do rezultata lahko pridemo tudi, če neposredno uporabimo formulo za enkratno premijo

mešanega zavarovanja. Tako je

𝐴30 20|̅̅ ̅̅̅ =𝑀30 − 𝑀50 + 𝐷50

𝐷30

= 8 145,75 − 4714,01 + 9 781,919

26 605,43= 0,49665 = 496,65 ‰.

Razlika med dobljenima rezultatoma na zadnji decimalki je posledica zaokroževanja.

Označimo z A enkratno premijo, ki jo je Oliver moral vplačati zavarovalnic ob sklenitvi

mešanega zavarovanja za obdobje 20 let in za zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov.

Tako je

𝐴 = 100 ∙ 496,65 = 49 665 €.

Oliver, ki je star 30 let in sklene mešano zavarovanje za obdobje 20 let, bi si z

vplačilom 49 665 evrov zagotovil zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov.

Primer 18: Mišo, ki je star 45 let, sklene mešano zavarovanje za obdobje 25 let. Kakšno

enkratno premijo bo Mišo vplačal zavarovalnici, da si bo zagotovil zavarovalno vsoto v

višini 20 000 evrov?

40

𝐴45 25|̅̅ ̅̅̅ =𝑀45 − 𝑀70 + 𝐷70

𝐷45

=5 461,36 − 1 653,74 + 2 301,431

12 743,15=̇ 0,4793988 = ̇ 479,4 ‰.

Tako je

A = 20 ∙ 479,4 = 9 588 €.

Mišo, ki je star 45 let in sklene mešano zavarovanje, bi si z vplačilom 9588 evrov

zagotovil zavarovalno vsoto v višini 20 000 evrov ob smrti, če bo ta nastopila v obdobju

naslednjih 25 let, oziroma v nasprotnem primeru natanko čez 25 let.

3.4 Zavarovanje na trajni rok

Zavarovanje na trajni rok je zavarovanje, ko se zavarovana vsota izplača na dogovorjeni

dan ne glede na to, če zavarovanec na ta dan še živi ali ne. Če zavarovanec umre prej, se

bo zavarovalna vsota prav tako izplačala na natančno dogovorjen dan, ki je opredeljen v

zavarovalni pogodbi. Zavarovanje na trajni rok je vrsta zavarovanja, ki ni je odvisna od

zavarovanca ali od tega, kdaj bo umrl (Vranić & Martić, 1962, str. 167).

Označimo z 𝐴𝑛|̅̅ ̅ premijo, ki jo mora vplačati zavarovanec, da si zagotovi zavarovanje na

trajni rok. Če želimo prejemati zavarovalno vsoto v znesku 1 denarne enote čez n let,

moramo danes vplačati zavarovalnici enkratno premijo 𝐴𝑛|̅̅ ̅. Tako je

𝐴𝑛|̅̅ ̅ = 𝑣𝑛.

Iz zgornjo enačbe lahko ugotovimo, da je enkratna premija prav gotovo neodvisna od

let x (starosti zavarovanca).

Zavarovanje na trajni rok ni ničesar drugega kot splošna bančna transakcija. Zgornja

enačba predstavlja sedanjo vrednost glavnice v višini 1 denarne enote, ki dospeva čez n

let.

Primer 19: Kakšna je enkratna premija za zavarovanje na trajni rok z zavarovalno vsoto

1 denarna enota, če je dogovorjeni rok 20 let? Pri tem naj bo letna efektivna obrestna

mera i = 4 %.

𝐴20|̅̅ ̅̅̅ = 𝑣20

Ker je v = 1

1+𝑖,

sledi, da je v = 1

1+0,04=

1

1,04.

Tako je

41

𝐴20|̅̅ ̅̅̅ = 𝑣20 = 1

1,0420 =̇ 0,45639 = 456,39 ‰.

Primer 20: Gorazd sklene 13. 08. 2017 zavarovanje na trajni rok. Kakšno enkratno

premijo bo vplačal, če je dogovorjeni rok 30 let in je zavarovalna vsota, ki jo bo

zavarovalnica izplačala na dan 13. 08. 2047, 7 000 evrov? Velja naj, da je i = 4 %.

𝐴30|̅̅ ̅̅̅ = 𝑣30 = 1

1,0430 =̇ 0,30832 = 308,32 ‰

Označimo z A enkratno premijo, ki jo mora Gorazd vplačati zavarovalnici.

A = 7 ∙ 308,32 = 2 158,24 €

Gorazd bi si z vplačilom 2 158,24 evrov zagotovil zavarovanje na trajni rok v višini

7000 evrov z izplačilom na dan 13. 08. 2047.

42

4. OBROČNO PLAČEVANJE KAPITALSKIH

ZAVAROVANJ

V praksi se zelo redko sklenejo zavarovanja, pri katerih se zavarovanec obveže, da bo

plačal enkratno premijo. V prejšnjem poglavju (glej primer 17, stran 39) smo opazili, da

mora Oliver, ki je star 30 let in sklene mešano zavarovanje za obdobje 20 let, plačati

zavarovalnici 49 665 evrov, da si zagotovi zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov. To

je zelo visoka premija in zavarovanci pogosto nimajo dovolj denarja, da bi plačali

takšno ali podobno premijo v enkratnem znesku. Če si želi Oliver zagotoviti

zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov, ni racionalno, da bi celotno premijo plačal v

enkratnem znesku. Bolj smiselno je, da zavarovanec plača premijo v letnih ali mesečnih

obrokih. V nadaljevanju bomo na primerih pokazali, kako lahko enkratno premijo

razdelimo na letne ali mesečne obroke.

4.1 Letne premije

Denimo, da želi nekdo skleniti katerokoli vrsto zavarovanja, ki smo jo omenili in

predstavili v prejšnjih poglavjih. Z A bomo označili enkratno premijo za to vrsto

zavarovanja. Pogosto zavarovanec nima možnosti vplačati celotno enkratno premijo

vnaprej. V tem primeru lahko zavarovalnica amortizira (razdeli) enkratno premijo na

letne premije skozi n let ali do konca njegovega življenja. S P bomo označili letno

premijo, ki jo bo zavarovanec vplačeval skozi n let. Vse letne premije, ki jih bo

zavarovanec plačal zavarovalnici, morajo biti ekvivalentne enkratni premiji.

Če se bo premija plačevala skozi n let ali vse do zgodnje smrti zavarovanca, bo

zavarovalnica prejela:

prvo leto P denarnih enot;

drugo leto P denarnih enot;

⋮

n-to leto P denarnih enot.

Zavarovanec izplačuje zavarovalnici začasno rento, a največ do konca svojega življenja.

S predčasno smrtjo zavarovanca se prekinejo vse obveznosti zavarovanca do

zavarovalnice. Začasna renta v višini 1 denarne enote ima sedanjo vrednost (spomnimo

se poglavja 2.5, glej stran 16)

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Sledi, da ima začasna renta v višini P denarnih enot sedanjo vrednost

P ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

43

Enkratno premijo bomo označili z A. Po principu enakovrednosti je

𝑃 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐴

oziroma

𝑃 = 𝐴

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Iz zgornje enačbe bomo lahko izračunali letno premijo, če vemo, kolikšna je enkratna

premija. Letne premije se plačujejo skozi n let ali vse do smrti zavarovanca.

Lahko zaključimo, da se lahko enkratna premija razdeli in plačuje vnaprej dogovorjeno

število let, pri čemer morajo biti vse plačane letne premije ekvivalente enkratni premiji.

Lahko tudi rečemo, da zavarovalnica omogoči zavarovancu plačevanje na obroke

oziroma amortizira znesek, ki ga mora zavarovanec vplačati zavarovalnici.

Pri izračunu letne premije moramo biti pozorni, da enkratno premijo A ne delimo s

številom let n, saj lahko smrt zavarovanca nastopi prej.

Pri življenjskem zavarovanju za primer smrti se lahko letna premija plačuje tudi vsako

leto vse do konca življenja. Zavarovanec vplačuje zavarovalnici dosmrtno rento v višini

P. Ker je (glej formulo za dosmrtno rento na strani 12)

𝑎𝑥 = 𝑁𝑥

𝐷𝑥,

sledi, da je sedanja vrednost dosmrtne rente P enaka

𝑃 ∙ 𝑎𝑥.

Po načelu enakovrednosti je

𝑃 ∙ 𝑎𝑥 = 𝐴

ali

𝑃 =𝐴

𝑎𝑥.

Če se letna premija plačuje do konca življenja, moramo enkratno premijo A razdeliti s

sedanjo vrednostjo 𝑎𝑥 dosmrtne rente.

44

4.1.1 Zavarovalne rente

V drugem poglavju smo spoznali formule za izračun enkratne premije za neposredno

življenjsko osebno rento, za začasno osebno rento in za odloženo osebno rento.

Neposredna in začasna osebna renta začneta teči v trenutku sklenitve zavarovanja.

Takšni vrsti zavarovanja se lahko skleneta samo z enkratno premijo. V nasprotnem

primeru se začetek izplačevanja odložene osebne rente odloži za v naprej določen čas in

se lahko sklene z letno premijo.

Enkratna premija za odloženo prenumerandno rento z zneski 1 denarne enote na leto

znaša (glej stran 19)

|𝑎𝑥𝑛 = 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Letno premijo za zavarovanje s prenumerandno odloženo rento in zavarovalno vsoto 1

denarne enote bomo označili s 𝑃( |𝑎𝑥𝑛 ). To vrednost dobimo tako, da enkratno premijo

delimo z začasno rento. Tako je

𝑃( |𝑎𝑥𝑛 ) = |𝑎𝑥𝑛

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅=

𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃( |𝑎𝑥𝑛 ) = 𝑁𝑥+𝑛

𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛.

Poznamo še postnumerandno odloženo rento. Letno premijo za zavarovanje s

postnumerandno odloženo rento bomo označili s P( |𝛼𝑥)𝑛 . Tako je (glej stran 19)

𝑃( |𝛼𝑥𝑛 ) = |𝛼𝑥𝑛

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅=

𝑁𝑥+𝑛+1

𝐷𝑥

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃( |𝛼𝑥𝑛 ) = 𝑁𝑥+𝑛+1

𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛.

Primer 21: Nik, ki je star 40 let, se želi od svojega 60 leta starosti zavarovati z dosmrtno

odloženo rento v znesku 6 000 evrov, ki bodo izplačani letno, prenumerandno (s prvim

izplačilom čez 20 let). Nik nima dovolj finančnih sredstev, da bi vplačal enkratno

premijo takoj (vnaprej). Zato bo zavarovalnica razdelila enkratno premijo na obdobje 20

let. Koliko znaša letna premija, ki jo bo Nik plačeval v 20 letih?

45

𝑃( |𝑎4020 ) = 𝑁60

𝑁40 − 𝑁60

=55 414,907

263 643,62 − 55 414,907

=̇ 0,266125

Nik bi si z vplačili 0,266125 denarnih enot letno skozi 20 let zagotovil dosmrtno

(odloženo) letno rento v višini 1 evra letno, ki bo začela teči čez 20 let (ko bo Nik star

60 let). V našem primeru želi Nik rento v višini 6 000 evrov letno, zato mora

zavarovalnici vplačati 6000-krat več:

𝑃 = 6 000 ∙ 0,266125 = 1 596,75 €.

Letna premija, ki jo bo Nik vplačeval skozi 20 let (vsako leto na začetku), znaša

1 596,75 evra. Spomnimo se, da smo imeli pri primeru 7 (glej stran 20) enake podatke

za obračun enkratne premije. Letna premija v višini 1 596,75 evra skozi 20 let, a najdlje

do smrti, ustreza enkratni premiji v višini 20 298 evrov.

Primer 23: Klemen, ki je star 30 let, bo vplačeval zavarovalnici letno premijo v višini

100 evrov skozi 20 let. Kakšno dosmrtno (odloženo) prenumerandno rento si bo s tem

zagotovil od svojega 50. leta naprej?

𝑃( |𝑎3020 ) = 𝑁50

𝑁30 − 𝑁50

=131 765,619

479 951,73 − 131 765,619=̇ 0,378434

Klemen bi si z vplačili 0,378434 denarne enote letno skozi 20 let zagotovil dosmrtno

(odloženo) prenumerandno rento v višini 1 evra letno od svojega 50. leta starosti naprej.

Označimo z X rento, ki si jo bo Klemen zagotovil z vplačilom letne premije 100 evrov.

Tako je

X : 1 = 100 : 0,378434.

Sledi, da je

X = 100

0,378434= 264,25 €.

Klemen si bo z vplačilom 100 evrov letno skozi 20 let zagotovil za 20 let odloženo

dosmrtno letno prenumerandno rento v višini 264,25 evra, od svojega 50. leta naprej.

4.1.2 Zavarovanje za primer doživetja

S 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 bomo označili letno premijo zavarovanja za primer doživetja z zavarovalno vsoto

1 denarne enote. Spomnimo se iz prejšnjega poglavja, da smo enkratno premijo za

46

zavarovanje za primer doživetja označili z 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 . Vemo, da se letna premija P

obračunava po formuli

𝑃 = 𝐴

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅,

kjer je A enkratna premija. Tako je v našem primeru

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 =

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ =

𝐷𝑥+𝑛𝐷𝑥

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 =

𝐷𝑥+𝑛

𝑁𝑥− 𝑁𝑥+𝑛.

Primer 23: Stefan, ki je star 30 let, se želi zavarovati z zavarovalno vsoto (glavnico) v

višini 5 000 evrov, ki jo bo prejel, če doživi 70 let. Kolikšna je letna premija, ki jo bo

vplačeval do 70. leta starosti?

𝑃30 40|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷70

𝑁30 − 𝑁70

= 2 301,431

479 951,73 − 16 840,036=̇ 0,004969 =̇ 4,97 ‰.

Stefan bi si z letnimi vplačili 0,004969 denarne enote zagotovil zavarovalno vsoto 1, če

doživi 70 let starosti. Če se Stefan zavaruje za zavarovalno vsoto v višini 5 000 evrov,

je

𝑃 = 5 ∙ 4,97 = 24,85.

Stefan bi si z vplačilom 24,85 evra letno vse do 70. leta zagotovil zavarovalno vsoto v

višini 5 000 evrov, če doživi 70 let. Če umre pred 70. letom, se zavarovanje ukine v

celoti.

Primer 24: Jan, ki je star 35 let, plača zavarovalnici vsako leto, 30 let, premijo v višini

200 evrov. Za kolikšen znesek je Jan zavarovan, če doživi 65 let?

𝑃35 30|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷65

𝑁35 − 𝑁65

= 3 653,017

358 785,45 − 32 276,412=̇ 0,011188.

Jan bi si z letnimi vplačili 0,011188 denarne enote zagotovil zavarovalno vsoto 1

denarne enote. Z X bomo označili znesek, s katerim bo Jan zavarovan, če zavarovalnici

vplača 200 evrov vsako leto, 30 let, vendar največ do njegove smrti. Tako je

𝑋 ∶ 200 = 1 ∶ 0,011188

47

X = 200

0,011188= 17 876,30.

Jan bi si z vplačilom 200 evrov vsako leto po 30 letih zagotovil izplačilo v višini

17 876,30 evra (če doživi 65 let, v nasprotnem primeru se zavarovanje v celoti ukine).

Obstaja tudi možnost, da Jan polaga 200 evrov na začetku vsakega leta, 30 let, na

banko. Predvidevamo, da je efektivna letna obrestna mera 4 %. Iz tabele za i = 4 %, ki

smo jo prikazali v drugem poglavju, bomo odčitali končno vrednost glavnice v višini 1

evro na leto, ki naraste čez 30 let na (glejte strani 6 in 23):

�̈�30|̅̅ ̅̅̅ = (1 + 𝑖) ∙ 𝑠30|̅̅ ̅̅̅

= 1,04 ∙ 56,0849

= 58,328296.

Tako je

𝑆 = 200 ∙ 58,328296 = 11 665,66.

Če komitent polaga na banko 200 evrov 30 let na začetku vsakega leta, bo čez 30 let

prejel glavnico v višini 11 665,66 evra. Če komitent umre pred časom, ki je opredeljen

v pogodbi, denar ne propade. Glavnica, ki jo bo Jan prejel, ko bo star 65 let, če letno

položi 200 evrov na banko, je manjša od zavarovalne vsote, ki jo bo prejel, če ta denar

nalaga v zavarovalnici. Razlog je v tem, da bo banka za razliko od zavarovalnice v

vsakem primeru izplačala glavnico ne glede na to, ali bo Jan čez 30 let še živel. Jan bo

pri zavarovalnici prejel višje izplačilo, vendar le pod pogojem, da bo doživel

predvideno starost (65 let).

4.1.3 Zavarovanje za primer smrti

Pri zavarovanju za primer smrti, če se premija plačuje letno, obstajata dve možnosti

(Vranić & Martić, 1962, str. 174):

a) Premije se plačujejo do smrti;

b) Premije se plačujejo skozi opredeljen čas.

S 𝑃𝑥, bomo označili premijo, ki se plačuje do smrti, za zavarovanje z zavarovalno vsoto

1 denarne enote. Spomnimo se (glej stran 30), da z 𝐴𝑥 označujemo enkratno premijo za

zavarovanje za primer smrti. Tako je

𝑃𝑥 =𝐴𝑥

𝑎𝑥 =

𝑀𝑥𝐷𝑥𝑁𝑥𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃𝑥 = 𝑀𝑥

𝑁𝑥.

48

𝑃𝑥 lahko izrazimo tudi na drugačen način. Če upoštevamo formulo za 𝐴𝑥 na strani 31,

dobimo

𝑃𝑥 =𝐴𝑥

𝑎𝑥=

1−𝑑∙𝑎𝑥

𝑎𝑥.

Sledi, da je

𝑃𝑥 =1

𝑎𝑥− 𝑑,

kjer je

𝑑 = 1 − 𝑣.

V primeru zavarovanja za primer smrti se lahko zgodi, da je v pogodbi zapisano, da se

premija plačuje samo določen čas. Z n bomo označili število let plačevanja premije. Z

𝑃𝑥𝑛 bomo označili takšno vrsto letne premije. Tako je

𝑃𝑥𝑛 = 𝐴𝑥

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅=

𝑀𝑥𝐷𝑥

𝑁𝑥− 𝑁𝑥+𝑛𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃𝑥𝑛 =𝑀𝑥

𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛.

Primer 25: Vasko, ki je star 50 let, se želi zavarovati za primer smrti. Kolikšno enkratno

premijo mora Vasko vplačati zavarovalnici vsako leto do konca svojega življenja, da si

zagotovi zavarovanje za primer smrti, če je zavarovalna vsota 9000 evrov?

𝑃50 = 𝑀50

𝑁50

=4 714,01

131 765,619

= 0,035776 = 35,776 ‰

Če je zavarovalna vsota 9 000 evrov, je letna premija enaka

P = 9 ∙ 35,776 = 321,98.

Do enakega rezultata lahko pridemo tudi s pomočjo naslednje formule:

𝑃𝑥 =1

𝑎𝑥− 𝑑.

Ker je d = 1−𝑣 in v = 1

1+𝑖, sledi, da je

49

d = 1−1

1,04.

Pri tem smo upoštevali predpostavko, po kateri je i = 4 %.

Iz

𝑎50 =𝑁50

𝐷50=

131 765,619

9 781,919

dobimo

1

𝑎50= 0,074237263.

Sledi

𝑃50 = 1

𝑎50− 𝑑

= 0,074237263 − (1 −1

1,04)

=̇ 0,035776 = 35,776 ‰.

Vasko se lahko odloči, da premij ne bo plačeval do smrti, temveč največ 10 let.

Imamo:

𝑃5010 =𝑀50

𝑁50 − 𝑁60

=4 714,01

131 765,619 − 55 414,907=̇ 0,0617415 = 61,7415 ‰.

Če je zavarovalna vsota 9000 evrov, je

𝑃 = 9 ∙ 61,7415 = 555,67.

Ugotovimo lahko, da je letna premija, ki jo bo Vasko vplačal vsako leto prihodnjih

deset let, višja od premije, ki bi jo vplačeval do smrti. (Letna premija, ki bi jo vplačeval

do konca svojega življenja, je nižja od letne premije, ki jo bo Vasko vplačal le

prihodnjih deset let.)

Primer 26: Toni, ki je star 45 let, vplačuje zavarovalnici, dokler živi, vsako leto 250

evrov. Za kakšen znesek se lahko Toni zavaruje s temi vplačili za primer smrti?

𝑃45 =𝑀45

𝑁45

=5 461,36

189 326,69= 0,028846223.

50

Toni bi si z vplačili 0,028846223 denarne enote zagotovil zavarovalno vsoto za primer

smrti v višini 1 denarne enote. Označimo z X zavarovalnino (zavarovalno vsoto), ki si jo

je Toni zagotovil z vplačilom letnih premij 250 evrov. Tako je

𝑋 ∶ 250 = 1 ∶ 0,028846.

Sledi, da je

𝑋 =250

0,028846= 8 666,65 €.

Toni si bo z vplačili 250 evrov vsako leto do konca življenja zagotovil zavarovanje za

primer smrti (zavarovalnino v enkratnem znesku 8666,65 evra).

4.1.4 Začasno zavarovanje za primer smrti

S 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅1 bomo označili letno premijo za začasno zavarovanje za primer smrti z

zavarovalno vsoto 1 denarne enote. Spomnimo se, da smo z 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 označili enkratno

premijo v primeru začasnega zavarovanja za primer smrti z zavarovalno vsoto 1.

Tako je (glej stran 37)

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅1 =

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ =

𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛𝐷𝑥

𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅1 =

𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛.

Denimo, da se želi moški star 30 let zavarovati za primer smrti samo do svojega 50.

leta. Če ta oseba ne umre do svojega 50. leta, se zavarovanje konča in zavarovalnica

nima več obveznosti izplačati zavarovalne vsote. Začasna letna premija za zavarovalno

vsoto 1 denarne enote znaša

𝑃3020|̅̅ ̅̅̅1 =

𝑀30 − 𝑀50

𝑁30 − 𝑁50

=8 145,75 − 4 714,01

479 951,73 − 131 765,619= 0,00985605 =̇ 9,856 ‰.

Če je zavarovalna vsota 3000 evrov, mora zavarovanec skozi 20 let vplačevati letno

premijo

3 ∙ 9,856 =29,568 €.

Vidimo, da so premije v primerjavi z zavarovalno vsoto zelo nizke. Zavarovanje namreč

traja samo 20 let, ko zavarovanec dopolni 50 let, ne bo več zavarovan. Če doživi to

51

starost, se zavarovanje v celoti konča, zavarovanec ''izgubi'' vse vplačane premije. V

praksi se pogosteje uporablja dosmrtno zavarovanje, ki je dražje zavarovanje.

4.1.5 Mešano zavarovanje

S 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ bomo označili letno premijo za mešano zavarovanje z zavarovalno vsoto 1

denarne enote. Spomnimo se, da smo z 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ označili enkratno premijo v primeru

mešanega zavarovanja z zavarovalno vsoto 1 denarne enote. Velja:

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ =𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ lahko izračunamo po formuli (glej stran 38)

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ =𝑀𝑥−𝑀𝑥+𝑛+𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥,

ali po formuli (glej stran 38)

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 1 − 𝑑 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Vstavimo in dobimo:

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ =

𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥

.

Sledi, da je

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ =𝑀𝑥−𝑀𝑥+𝑛+𝐷𝑥+𝑛

𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛.

Zgornjo enačbo lahko zapišemo drugače:

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ =1−𝑑∙𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Sledi, da je

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅− 𝑑.

Primer 27: Oliver, ki je star 30 let, sklene mešano zavarovanje za obdobje 20 let (ali za

prihodnjih 20 let). Kakšno letno premijo bo Oliver plačeval zavarovalnici, da si bo

zagotovil zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov?

Izračunali smo že enkratno premijo, ki jo mora Oliver plačati, če sklene mešano

zavarovanje za obdobje 20 let (glej primer 17). Enkratna premija A, ki jo je Oliver

52

moral plačati zavarovalnici ob sklenitvi mešanega zavarovanja za obdobje 20 let in za

zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov, je znašala 49 665 evrov.

V nadaljevanju bomo izračunali letno premijo, ki jo mora Oliver vplačati, če sklene

mešano zavarovanje za obdobje 20 let.

𝑃30 20|̅̅ ̅̅̅ =𝑀30 − 𝑀50 + 𝐷50

𝑁30 − 𝑁50

=8 145,75 − 4 714,01 + 9 781,919

479 951,73 − 131 765,619=̇ 0,03795 =̇ 37,95 ‰.

Spomnimo, da je mešano zavarovanje seštevek začasnega zavarovanja za primer

doživetja in zavarovanja za primer smrti. Do zgornjega rezultata lahko pridemo tudi s

pomočjo formule:

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 + 𝑃𝑥 𝑛|̅̅ ̅

1 .

Letna premija, ki jo mora Oliver vplačati, če se zavaruje za primer smrti do svojega 50.

leta, je enaka:

𝑃30 20|̅̅ ̅̅̅1 =

𝑀30 − 𝑀50

𝑁30 − 𝑁50

=8 145,75 − 4 714,01

479 951,73 − 131 765,619= 0,00985605 = 9,856 ‰.

Letna premija, ki jo mora Oliver vplačati, če se zavaruje za primer doživetja 50. leta, je

enaka:

𝑃30 20|̅̅ ̅̅̅ 1 =

𝐷50

𝑁30 − 𝑁50

=9 781,919

479 951,73 − 131 765,619=̇ 0,0280939 =̇ 28,09 ‰.

Sledi, da je

𝑃30 20|̅̅ ̅̅ ̅ = 9,856 ‰ + 28,09 ‰ =̇ 37,95 ‰.

Za zavarovalno vsoto v višini 100 000 evrov mora Oliver mora vplačati letno premijo P

v višini:

𝑃 = 100 ∙ 37,95 = 3 795 €.

Oliver, ki je star 30 let in sklene mešano zavarovanje za obdobje 20 let, bi si z

vplačilom 3 795 evrov vsako leto naslednjih 20 let zagotovil zavarovalno vsoto pri

mešanem zavarovanju v višini 100 000 evrov.

53

Primer 28: Žega, ki je star 70 let, sklene mešano zavarovanje za obdobje deset let.

Kakšno letno premijo bo Žega vplačal zavarovalnici, da si bo zagotovil zavarovalno

vsoto v višini 1 000 evrov?

𝑃70 10|̅̅ ̅̅̅ =𝑀70 − 𝑀80 + 𝐷80

𝑁70 − 𝑁80

=1 653,74 − 473,221 + 576,5777

16 840,036 − 2 687,2637=̇ 0,124152 =̇ 124,15 ‰.

Tako je

𝐴 = 1 ∙ 124,15 = 124,15 €.

Žega, ki je star 70 let in sklene mešano zavarovanje, bi si z vplačilom letnih premij v

višini 124,15 evra zagotovil zavarovalno vsoto v višini 1000 evrov ob svoji smrti, če bo

ta nastopila v obdobju prihodnjih deset let oziroma v nasprotnem primeru natanko čez

10 let.

4.1.6 Zavarovanje na trajni rok

Spomnimo, da se pri takšni vrsti zavarovanja zavarovalna vsota (zavarovalnina) po

dogovorjenem roku izplača ne glede na to, ali zavarovanec še živi ali je že umrl.

Premija se plačuje za vnaprej dogovorjen čas oziroma do zgodnje smrti zavarovanca. S

P𝑥

𝑛| bomo označili letno premijo za zavarovanje na trajni rok. Spomnimo se, da smo z

𝐴𝑛|̅̅ ̅ označili enkratno premijo v primeru zavarovanje na trajni rok z zavarovalno vsoto 1

denarne enote. Tako je

P𝑥

𝑛|=

𝐴𝑛|̅̅ ̅

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Sledi, da je

P𝑥

𝑛|=

𝑣𝑛

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅.

Primer 29: Spomnimo se primera 22. Zavarovanec Gorazd bi plačal zavarovalnici

enkratno premijo A = 2 158,24 evrov, da si pri zavarovanju za dogovorjeni rok 30 let

zagotovi zavarovalno vsoto 7 000 evrov. Gorazd nima dovolj finančnih sredstev, da bi

plačal premijo v višini 2158,24 evra v enkratnem znesku. Kakšno letno premijo bo

Gorazd plačeval zavarovalnici skozi 30 let oziroma vse do zgodnje smrti, če je

zavarovalna vsota 7 000 evrov in je Gorazd star 30 let?

Ker smo predpostavili, da je i = 4 %, dobimo

𝑣30 = (1

1+0,04)30 = 1,04−30 =̇ 0,30831867.

54

Spomnimo se (glej stran 16), da je

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝑁𝑥−𝑁𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Tako je

𝑎30 30|̅̅ ̅̅̅ =𝑁30 − 𝑁60

𝐷30

=479 951,73 − 55 414,907

26 605,43= 15,9567736.

Sledi, da je

𝑃30̅̅̅̅ |30 =

𝑣30

𝑎30 30|̅̅ ̅̅̅

=̇0,30831867

15,9567736=̇ 0,01932 = 19,32 ‰.

Gorazd bo vplačeval letno premijo v višini

𝑃 = 7 ∙ 19,32 = 135,24 €.

Zavarovanje na trajni rok je cenejše od mešanega zavarovanja. Bistvena razlika je v

tem, da se zavarovalna vsota pri mešanem zavarovanju izplača takoj po smrti (v

primeru, da le-ta predčasno nastopi), medtem ko se pri zavarovanju na trajni rok

zavarovalna vsota izplača šele ob dogovorjenem roku.

4.2 Mesečne premije

4.2.1 Dosmrtne in začasne rente

Spomnimo se, da smo v poglavju 2.4.1 z 𝑎𝑥 označil enkratno premijo, ki jo

zavarovanec, star x let, plača zavarovalnici, da si zagotovi dosmrtno prenumerandno

letno rento v višini 1 denarne enote.

Denimo sedaj, da se renta izplačuje mesečno z zneski 1

12 denarne enote ob začetku

vsakega meseca (če ne upoštevamo obresti, je na leto še vedno izplačana skupaj 1

denarna enota). Označimo z 𝑎𝑥(12)

enkratno premijo, ki jo mora zavarovanec plačati

zavarovalnici, da si zagotovi tako rento. Izkaže se, da obstaja naslednja približna

formula za izračun vrednosti 𝑎𝑥(12)

(Gerber, 1996, str. 50):

𝑎𝑥(12)

=̇ 𝑎𝑥 −11

24.

55

Primer 30: Janez, ki je star 30 let, si želi zagotoviti dosmrtno rento v višini 500 evrov ob

začetku vsakega meseca (na leto bi prejel 6 000 evrov). Približno koliko znaša enkratna

premija, ki jo mora v ta namen Janez vplačati zavarovalnici?

𝑎30(12)

= 𝑎30 −11

24

=𝑁30

𝐷30−

11

24

=479 951,73

26 605,43−

11

24=̇ 17,5812823.

Ker se želi Janez zavarovati za zavarovalno vsoto 6 000 evrov letno (z dejanskimi

prenumerandnimi izplačili 500 evrov mesečno), znaša enkratna premija

6 000 ∙ 17,5812823 = 105 487,69 €.

Spomnimo se sedaj, da smo v poglavju 2.5 z 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ označili enkratno premijo, ki jo

zavarovanec, star x let, plača zavarovalnici, da si zagotovi začasno, n let trajajočo, letno

rento v višini 1 denarne enote. Z 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

bomo sedaj označili enkratno premijo za začasno,

n let trajajočo rento z izplačili 12-krat na leto. Pri tem so izplačila v višini 1

12 denarne

enote udejanijo ob začetku vsakega meseca. Izkaže se, da velja naslednja formula

(Gerber, 1996, str. 51):

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

= 𝑎𝑥(12)

− 𝑝𝑥 ∙ 𝑣𝑛 ∙ 𝑎𝑥+𝑛.(12)

𝑛

4.2.2 Plačevanje premij 12-krat na leto (mesečno plačevanje)

Spomnimo se, da smo s 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 označili letno premijo zavarovanje za primer doživetja z

zavarovalno vsoto 1 denarne enote in s 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅1 letno premijo za začasno zavarovanje za

primer smrti z zavarovalno vsoto 1 denarne enote. Označimo sedaj s 𝑃(12)𝑥𝑛| ̅̅ ̅̅ 1

letno

(nominalno) premijo zavarovanja za primer doživetja z zavarovalno vsoto 1 denarne

enote, ki se plačuje mesečno z 12 enakimi obroki (s 𝑃𝑚 bomo označili en mesečni

obrok). Podobno označimo s 𝑃(12)𝑥𝑛|̅̅ ̅1

letno (nominalno) premijo za začasno zarovanje

za primer smrti z zavarovalno vsoto 1 denarne enote, ki se plačuje mesečno z 12

enakimi obroki.

Vemo že, da je po načelu enakovrednosti

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1

in

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅1 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ = 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1 .

56

Letni premiji 𝑃(12)𝑥𝑛| ̅̅ ̅̅ 1

in 𝑃(12)𝑥𝑛|̅̅ ̅1

dobimo tako, da v zgornjih enačbah 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅ zamenjamo

z 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

.

Tako je

𝑃(12)𝑥𝑛| ̅̅ ̅̅ 1

∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

= 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1

in zato

𝑃(12)𝑥𝑛| ̅̅ ̅̅ 1

=𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

.

Podobno je

𝑃(12)𝑥𝑛|̅̅ ̅1

=𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

.

Če s 𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

označimo letno premijo mešanega zavarovanja z zavarovalno vsoto 1

denarne enote, ki se plačuje mesečno z 12 enakimi obroki, potem velja

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

=𝑃(12)𝑥𝑛| ̅̅ ̅̅ 1

+ 𝑃(12)𝑥𝑛|̅̅ ̅1

= 𝐴

𝑥𝑛|̅̅ ̅1 +𝐴

𝑥𝑛|̅̅ ̅ 1

𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12) .

Upoštevamo, da je

𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅1 + 𝐴𝑥𝑛|̅̅ ̅

1 =𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥.

Tako je

𝑃𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

=𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛 + 𝐷𝑥+𝑛

𝐷𝑥 ∙ 𝑎𝑥𝑛|̅̅ ̅(12)

.

Primer 31: Jakob, ki je star 40 let, sklene mešano zavarovanje za obdobje 30 let. Kakšno

mesečno premijo bo Jakob plačeval zavarovalnici naslednjih 30 let (oziroma do svoje

smrti, če bo ta nastopila prej), če je zavarovalna vsota 50 000 evrov in je letna efektivna

obrestna mera i = 4 % ?

Velja: x = 40 in n = 30.

Tako je:

𝑎40(12)

= 𝑎40 −11

24

=𝑁40

𝐷40−

11

24

57

=263 643,62

16 382,56 −

11

24= 15,63461063

in

𝑎70(12)

= 𝑎70 −11

24

=𝑁70

𝐷70−

11

24

=16 840,036

2 301,431−

11

24= 6,858868877.

Če upoštevamo, da je

𝑝40 =𝑙70

𝑙4030

=35 837

78 653= 0,455634241

in

𝑣30 = 1,04−30 =̇ 0,308318668,

dobimo

𝑎40 30|̅̅ ̅̅ ̅(12)

= 𝑎40(12)

− 𝑝40 ∙ 𝑣30 ∙ 𝑎70(12)

30

= 15,63461063 − 0,963537619

= 14,67107301.

Tako je

𝑃40 70|̅̅ ̅̅̅(12)

=𝑀40 − 𝑀70 + 𝐷70

𝐷40 ∙ 𝑎40 30|̅̅ ̅̅ ̅(12)

=6 242,42 − 1 653,74 + 2 301,431

16 382,56 ∙ 14,67107301=̇ 0,028667 = 28,667 ‰.

Mesečni obrok 𝑃𝑚 je v tem primeru enak

𝑃𝑚 =𝑃

40 70|̅̅ ̅̅̅(12)

12

=0,028667

12=̇ 0,002388916.

Ker je zavarovalna vsota 50 000 evrov, mora Jakob zavarovalnici plačevati letno

nominalno premijo v višini

50 000 ∙ 0,028667 = 1 433,35

58

oziroma

50 ∙ 28,667 = 1 433,35 €.

Dejanska mesečna premija, ki jo bo plačeval Jakob, znaša (1

12 letne premije)

1 433,35

12=̇ 119,45 €.

59

5. SKLEP

Finančna varnost je temelj za razvoj civilizacij. Začetki zavarovalništva segajo skoraj

do začetkov človeške kulture. Prve začetke zavarovalne dejavnosti lahko zasledimo že

3000 let pr. n. št. pri kitajskih trgovcih, potem v času zakonodaje kralja Hamurabija

(1700 pr. n. št.). Prva zavarovalnica je bila ustanovljena v Londonu, imenovana Lloyd.

Ustanovili so jo trgovci, ki so sklepali pogodbe o morskem zavarovanju. Za razvoj

zavarovalništva sta najpomembnejša 19. in 20. stoletje. V tem obdobju so nastajale

pravne podlage za podjetniško organiziranje zavarovalne dejavnosti. Zavarovalništvo je

doseglo največji razvoj kot gospodarska dejavnost in dandanes predstavlja pomemben

segment gospodarstva. Zavarovalne dejavnosti dajejo poseben pomen področju

socialne varnosti ljudi.

Življenjsko zavarovanje je način zavarovanja prihodnosti v razvitih ekonomijah in je

označeno kot nujen ter temeljni element individualnega in družinskega življenjskega

načrta. Lahko rečemo, da življenjsko zavarovanje potrebuje vsak. S tem zagotovi sebi in

svojim najbližjim finančno varnost ter neodvisno prihodnost.

Slovenski zavarovalni trg se je začel dobro razvijati šele po osamosvojitvi Slovenije. Po

vstopu v EU postaja po svojih lastnostih podoben zavarovalnim trgom v drugih državah,

članicah EU. Z vstopom tujih konkurentov so se začele domače zavarovalnice razvijati

in ponujati nove izdelke. V zadnjih 20 letih je največjo rast doživelo ravno življenjsko

zavarovanje. V večini zavarovalnic v Sloveniji opazimo ponudbo številnih oblik

naložbenih življenjskih zavarovanj, mešanih zavarovanj, saj ponujajo različna jamstva

in možnosti ter davčne ugodnosti. Mešana življenjska zavarovanja zajemajo velik delež

med vsemi oblikami življenjskih zavarovanj. Pojavljajo se v najrazličnejših oblikah in

se razlikujejo glede na jamstvo, način obračunavanja stroškov itn. Najprivlačnejša

oblika zavarovanj v zadnjih letih je naložbeno zavarovanje. Zavarovalnice, ki želijo

imeti vpliv na investicijsko politiko, so pripravljene prevzeti del tveganja. Z mešanim

zavarovanjem varčujemo tudi za pokojnino. Pomembno je, da se tega zavedamo, saj so

pokojninske blagajne vedno bolj prazne in posledično bodo pokojnine nižje. Namen

mešanih zavarovanj je ublažiti finančne težave, do katerih lahko pride ob smrti človeka.

Sklenitev takšne vrste zavarovanja prinaša tudi boljše življenje zavarovancev, ki

doživijo dogovorjeno zavarovalno dobo. Že s plačilom prve premije zavarovanec

zagotovi vsaj minimalno zavarovalno vsoto svojcem v primeru smrti in s tem varne

kapitalske donose.

Slovenski zavarovalni trg spada med srednje razvite zavarovalniške trge in ima razvito

celotno ponudbo zavarovalnih storitev. V magistrskem delu smo prikazali, da se premije

obračunajo na podlagi tablic smrtnosti, ki jih ima vsaka država. S pomočjo

komutativnih števil in različnih aktuarskih izračunov lažje obračunavamo sedanje

vrednosti rent, premijo, ki jo mora vplačati zavarovanec, in zavarovalno vsoto, za katero

60

se bo odločil. Torej lahko potrdimo naše hipoteze, da lahko s pomočjo življenjskih tabel

dobimo dejansko vrednost kapitalskih zavarovanj in premij in da je s pomočjo

komutativnih števil mogoče dobiti pregledno strukturo kapitalskih zavarovanj in premij.

Opažamo, da so v zadnjih letih nekatere banke povezane z zavarovalnicami. Po našem

mnenju postaja bančno zavarovalništvo vse bolj razširjena in uspešna tržna pot

življenjskih zavarovanj. Menimo, da bo to pozitivno vplivalo na zavarovalniški sektor v

Sloveniji. Ljudje, ki želijo dobiti relativno visoke kredite, lahko v banki sklenejo polico

za življenjsko zavarovanje.

Cilj zavarovalnic na slovenskem trgu je seveda doseči konkurenčno prednost pred

drugimi zavarovalnicami. Zavarovalnice si želijo dolgoročno in stabilno poslovanje v

konkurenčnem okolju, zato si prizadevajo doseči čim večji ugled, kot zaupanja vredna

poslovna hiša, širitev na tuje trge, razvoj specializiranih izdelkov pri življenjskih

zavarovanjih za posamezne ciljne skupine zavarovancev, učinkovitejše poslovanje in

zmanjševanje stroškov poslovanja.

Zaključimo pričujoče delo z mislijo o zavarovalništvu in igrah na srečo. Mnogi namreč

verjamejo, da je zavarovanje ena od oblik iger na srečo, v resnici pa je prav nasprotje

tega. Igre na srečo zamenjajo gotovost z negotovostjo. Če igramo igre na srečo, je

denar, ki ga imamo v denarnici, ali denar na računu v banki izpostavljen negotovosti, to

je tveganju, da ga izgubimo. Za razliko od tega zavarovanje zamenja negotovost z

gotovostjo. Če se zavarujemo proti potencialnim izgubam premoženja (zaradi slabih

finančnih odločitev, naravnih nesreč, smrti itn.), preoblikujemo našo finančno negotovo

prihodnost v gotovost, da izgub premoženja ne bo ali pa bodo le-te (v obliki enkratnih

ali obročno odplačanih premij) veliko manjše.

61

6. LITERATURA IN VIRI

Gerber, H. (1996). Matematika življenskih zavarovanj. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije, Zavarovalnica Triglav, d.d.

Grawe zavarovalnica d.d - zavarovanje na vaše strani. (brez datuma). Pridobljeno iz

http://www.grawe.si/si/grawe_pokojnina.htm

Hickman, J. C., Gerber, H. U., Nesbitt, C. J., Jones, D. A., & Bowers, N. L. (1997). Actuarial

Mathematics:2nd edition. Schaumburg (Illinois) : The Society of Actuaries.

Indihar, S., Kavkler, I., & Mastinšek, M. (2006). Matematika za ekonomiste; prvi del. Maribor:

Ekonomsko-poslovna fakulteta.

Marovt, J. (2014). Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev. Maribor: Fakulteta za

naravoslovje in matematiko.

Marovt, J., & Breznik, K. (2011). Praktikum iz poslovno-finančne matematike. Maribor:

Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko.

Mccutcheon, J. J., & Scott, W. F. (1985). An introduction To The Mathematics of Finance.

Edinburgh: Heinemann.

Promislow, S. (2015). Fundamentals of Actuarial Mathematics, 3rd edition. UK: Wiley.

Vrabič, L. (1979). Vrste življenskih zavarovanj. Ljubljana: Obzornik.

Vranić, V., & Martić, V. (1962). Matematika za ekonomiste. Zagreb: Školjska knjiga, III IZRAZA.

Zavarovalnica Triglav. (brez datuma). Triglav, zavarovanja, posamezniki,

življenska_zavarovanja, rentno_zavarovanje. Pridobljeno iz Zavarovalnica Triglav, d. d:

http://www.triglav.si/zavarovanja/posamezniki/zivljenjska_zavarovanja/rentno_zavar

ovanje

Zima, P., & Brown, R. (2011). Mathematics of finance, 2nd edition. New York: McGraw-Hill.