Universität Koblenz–LandauFachbereich Informatik

3D Morphing

Joschka BödeckerMatrikelnummer 2000110153

Seminar Computergraphikbetreut von Prof. Dr.-Ing. H. Giesen

Wintersemester 2000/2001

Vortrag vom 12.04.01

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 2

2 Vorstellung verschiedener Techniken 2

2.1 Begriffsklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Volumenbasierte Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Die Arbeiten von Hughes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Die Arbeiten von Lerios et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Polygonbasierte Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Die Arbeiten von Kent et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 Die Arbeiten von Gregory et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Vergleich und Bewertung der Ansätze 13

4 Ausführung zweier aktueller Ansätze 14

4.1 Volumenbasierte Methode nach Cohen-Or et al. . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Polygonbasierte Methode nach Zöckler et al. . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Ausblick 21

1

1 Einführung

Morphing-Techniken, mit deren Hilfe ein kontinuierlicher, sanfter Übergang zwischenzwei Bildern ermöglicht wird, gehören heute zum Standard in der Film- und Fernseh-Industrie. In Filmen wie “Willow”, “Indiana Jones and the Last Crusade” und in Fol-gen der Science-Fiction Serie “Akte X” werden die Möglichkeiten dieser Technik ein-drucksvoll genutzt. Doch obwohl längst Filmszenen, die im Computer unter Einsatzvon 3D Techniken entstanden sind, in Filme integriert werden, ist der Einsatz von 3DMorphing Techniken noch eher die Ausnahme. Diese haben jedoch gegenüber den 2DTechniken entscheidende Vorteile.

Da beim 3D Morphing alle geometrischen und topologischen Informationen des Mo-dells bekannt sind, können die Morphing-Sequenzen unabhängig von Beleuchtungspa-rametern und Kamerawinkeln berechnet werden. Sind die Morphing-Sequenzen dannvorhanden, können die optimalen Lichtverhältnisse und Blickwinkel schnell angepasstwerden, ohne dass jedesmal eine neue Sequenz berechnet werden muss. Weiterhin sinddie 2D Techniken nicht in der Lage, Beleuchtungsveränderungen oder Änderungen derSichtbarkeit von Teilen der Objekte der Morphing-Sequenz Rechnung zu tragen, dahierfür die nötigen räumlichen Informationen fehlen. So werden z.B. Schatten oderSpitzlichter während des Übergangs verzerrt. In einer Sequenz, in der ein Schauspielerseinen Mund öffnen soll, ist es nicht möglich, seine Zähne zum Vorschein zu bringen,da die räumlichen Informationen dafür fehlen.

Ein sehr gutes Beispiel für die Möglichkeiten der 3D Morphing Technik ist im Film“Terminator 2” zu sehen. In einer Szene entsteht dort aus einer spiegelnden, queck-silberartigen Flüssigkeit ein Cyborg. Mit 2D Techniken wäre dieser Effekt nicht zurealisieren gewesen, denn die Spiegelung der Umgebung in der Flüssigkeit hätte nichtrealistisch wiedergegeben werden können [17].

2 Vorstellung verschiedener Techniken

2.1 Begriffsklärung

Zunächst soll erklärt werden, was unter dem Begriff “3D Morphing” verstanden wer-den kann. 3D Morphing ist der kontinuierliche Übergang eines Quellobjekts über meh-rere Zwischenobjekte in ein Zielobjekt. Die Generierung der Zwischenobjekte findetdabei vollständig im drei-dimensionalen Objektraum statt und ist zu unterscheiden vonTechniken, die im zwei-dimensionalen Bildraum arbeiten [3]. Es werden, je nach An-satz, sowohl die Form, als auch Eigenschaften wie Farbe, Texturen und die Richtungvon Normalen interpoliert [10].

Eine Morphing-Sequenz sollte verschiedenen Anforderungen genügen. Zum einensollte der Übergang der Zwischenobjekte kontinuierlich und glatt geschehen, d.h. es

2

dürfen keine Risse in der Oberfläche der Objekte entstehen und die Transformationinsgesamt darf nicht sprunghaft wirken. Zum anderen sollten die Zwischenobjekte je-derzeit glaubhaft, bzw. realistisch erscheinen. Letztlich ist es wünschenswert, dassdie charakteristischen Formen des Quellobjekts, wie z.B. die Nase oder die Ohren, inFormen des Zielobjekts überführt werden, die zueinander in semantischer Beziehungstehen [19]. Gerade um dies zu erreichen, ist es bisher noch unerlässlich, dem BenutzerInteraktions- und Kontrollmöglichkeiten zu bieten.

2.2 Volumenbasierte Ansätze

Bei den volumenbasierten Methoden werden, ähnlich den 2D Techniken, sowohl dieForm, als auch die Voxelwerte (Farbinformationen) interpoliert. Das Rendering derfertigen Animation geschieht dann entweder direkt mit Volume-Rendering Techniken,oder aus den Volumendaten wird (z.B. durchMarching Cubes[15] ) wieder eine Ober-fläche (isosurface) extrahiert, die dann mit Polygon-Rendering Techniken dargestelltwerden kann.

Die Daten für volumenbasierte Methoden stammen im Wesentlichen aus vier Quellen[13] :

1. Volumendaten aus räumlichen Scans, wie z.B. Computertomogramm- oder Mag-netresonanz-Bildern

2. Daten aus der Abtastung geometrischer Modelle und deren Überführung in eineVoxel-Darstellung

3. Direkte Modellierung volumetrischer Daten

4. Prozedurale Definition der Daten, z.B. Hypertextures [16]

Im folgenden werden nun zwei Ansätze vorgestellt, deren Techniken mit dieser Art vonDaten arbeiten.

2.2.1 Die Arbeiten von Hughes

Hughes [7] fasst die Menge der abgetasteten Daten der Ausgangsmodelle als Funktio-neng(x,y,z)undh(x,y,z)auf. Ihre Oberflächen werden alsisosurfacedargestellt. Theo-retisch ließe sich der Übergang zwischen den Modellen einfach interpolieren, dochstellte sich heraus, dass die hohen Frequenzen der Funktionen Störungen in der Ober-fläche der Zwischenobjekte erzeugen. Um dieses Problem zu umgehen, wird bei die-sem Ansatz daher mit den Fourier-Transformierten der Ausgangsfunktionen gearbeitet.Nun ist es möglich während der Morphing-Prozedur die hohen Frequenzen des ersten

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gesampelten Volumenmodells schrittweise zu reduzieren, zu den niedrigen Frequen-zen des zweiten Modells zu interpolieren (diese stellen die grobe Form des Objektesdar) und schließlich dessen hohe Frequenzen einzublenden. Dieser Prozess folgt einemfestgelegten Zeitplan.

Mathematisch lässt sich der Vorgang folgendermaßen darstellen :Sei S1(t, fx, fy, fz) eine Funktion die beschreibt, welcher Anteil der Daten des er-sten Modells bei einer Frequenz(fx, fy, fz) zum Zeitpunktt erhalten bleiben soll.Sei S2 die entsprechende Funktion für das zweite Modell.F bezeichne die Fourier-Transformation,g undh weiterhin die jeweilige Menge der gesampelten Volumenda-ten. Das Übergangsmodell zum Zeitpunktt ergibt sich dann als

Kt = F−1(S1(t, fx, fy, fz)F(g) + S2(t, fx, fy, fz)F(h))

Mit J = |fx| + |fy| + |fz| lassen sich verschiedene Zeitpläne für die Überblendungangeben, z.B. benutzt Hughes folgende Funktionen:

a(t, J) = (W + 3n2 )( 1−t

W )− JW

S(t, J) = max(0,min(a(t, J), 1.0))

S1(t, J) = S(t, J)

S2(t, J) = 1− S1(t, J)

Der Verlauf des Zeitplans fürW = 32 undW = 16 ist in den Abbildungen 1 und 2dargestellt.

Abbildung 1: Überblendungsfunk-tion für W=32

Abbildung 2: Überblendungsfunk-tion für W=16

Die Wahl des ParametersW beeinflusst die Geschwindigkeit, mit der die hohen Fre-quenzen des ersten Modells ausgeblendet, bzw. die des zweiten Modells eingeblendetwerden. Bei einem großen Wert fürW werden die tiefen Frequenzen ineinander über-führt, obwohl noch Feinheiten (in Form von hohen Frequenzen) des ersten Objektssichtbar sind. Wird der Wert fürW klein gewählt, verschwinden die Feinheiten desersten Objekts, noch bevor der Übergang der tiefen Frequenzen beginnt. Die richtigeWahl des ParametersW hängt vom Modell ab.

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2.2.2 Die Arbeiten von Lerios et al.

Der Ansatz von Lerios et al. [13] ist eine Erweiterung der Techniken in [2] auf dasDrei-dimensionale. Die Methode gibt dem Benutzer Möglichkeiten an die Hand auffäl-lige Formen (features) der Objekte zu kennzeichnen, die dann während des Morphing-Prozesses ineinander überführt werden. Zu diesem Zweck steht eine Auswahl ver-schiedener Elemente (feature elements) zur Verfügung : Punkte, Linien(-segmente),Vierecke und Quader. Welches dieser Elemente man zum Kennzeichnen einesfeaturesbenutzt, hängt davon ab, wie seine Dimension wahrgenommen wird. Die Spitze des inAbbildung 3 dargestellten Dart-Pfeils wird als Punkt, sein Schaft als Volumen wahrge-nommen, die Kante des in Abbildung 4 gezeigten Flugzeugs als Linie, die Heckflosseals Fläche.

Abbildung 3: Volumenmodell einesDart-Pfeils

Abbildung 4: Volumenmodell einesX-29 Flugzeugs

Der Benutzer wählt zunächst paarweise die sich entsprechendenfeaturesdes Quellm-odellsS und des ZielmodellsT aus. Die einzelnenfeature elementshaben verschiede-ne Einfluss-Felder, die während des Morphings miteinander interagieren, ähnlich wiedie Felder von Magneten. Die Position und Orientierung einesfeatureswerden mit Hil-fe des lokalen Koordinatensystems des Elementes dargestellt. Dieses enthält die dreiEinheitsvektorenx, y, undz, die jeweils senkrecht aufeinander stehen und die Rich-tung der Koordinatenachsen angeben und einen Positionsvektorc, der den Ursprungdes lokalen Koordinatensystems kennzeichnet. Um eine noch bessere Kontrolle überden Prozess zu erhalten, kann die Ausdehnung der einzelnenfeature elementsentlangdieser Achsen noch mit Skalierungs-Faktorensx, sy undsz angepasst werden.

Damit jedes dieser Element-Paare (es,et) ineinander übergehen kann, müssen diefea-turesvonS im allgemeinen translatiert, rotiert und gedehnt (nicht-affine Transformati-on, sog.warping) werden, um mit den korrespondierenden features vonT in Position,Orientierung und Größe übereinzustimmen. Für jedes Teilbild der Animation soll dannein ModellS´ ausS bzw. ein ModellT ´ ausT erzeugt werden, dessen Größe, Posi-tion und Orientierung Übergangswerte einnehmen. Daswarpingeines Element-Paares(es,et) geschieht in zwei Schritten:

5

Abbildung 5:User-Interface mit entsprechenden feature-elements

1. Interpolation :

Die lokalen Koordinatensysteme der Elementees undet werden interpoliert underzeugen ein interpoliertes Elemente

′. Dieses Element gibt die räumliche Infor-

mation desfeaturesin S´ bzw. T ´ an.

2. Inverse mapping :

Für jeden Punktp´ vonS´ bzw.T ´ kann der entsprechende Punktp des ModellsS bzw. T nun in zwei Schritten gefunden werden:

• die Koordinaten vonp´ im skalierten lokalen Koordinatensystem lassensich bestimmen durch

px = (p´- c ) · x´/s′

x

py = (p´- c ) · x´/s′

y

pz = (p´- c ) · x´/s′

z

• p ist dann der Punkt mit den Koordinatenpx, py undpz im skalierten loka-len Koordinatensystem vones bzw. et, also der Punktc+pxsxx+pysyy+pzszz

Abbildung 6:Warp eines einzelnen Elements.

6

Das Einfluß-Feld der einzelnen Element-Paare erstreckt sich über den gesamten Volu-menkörper und beeinflusst jeden Punkt darin. Dieses gilt für jedes der Element-Paare.Um nun den korrespondierenden Punktp ausS bzw. T zum Punktp´ ausS´ bzw.T ´ zu finden, wird ein gewichtetes Mittelungsverfahren ähnlich dem in [2] benutzt.Zunächst berechnet man auf welchen Punktpi jedes der Element-Paare den Punktp´abbilden würde, wenn nur das jeweils betrachtete Element-Paar vorhanden wäre. Die-se Punktepi werden dann mit(d + ε)−2 gewichtet, wobeid der Abstand des Punktesp´ vom jeweiligen Elemente

′

i undε eine kleine Konstante ist, um eine Division durchNull auszuschließen. Die gewichteten Punktepi werden gemittelt, wodurch sich derPunktp in S bzw. T ergibt.

Die einzelnenfeatures,der aus demwarpingder Ausgangsmodelle entstandenen Kör-perS´ undT ´ sind unter Umständen nicht genau aufeinander ausgerichtet. Deshalbist es wichtig, dass zu Anfang der Morphing-Animation nur das vollständige Quell-modell zu sehen ist. Dessen Form wird dann während der Animation zu der des Ziel-modells interpoliert, die Deckkraft der Fabwerte der Voxel wird graduell verringert.Für das Zielmodell geschieht dieser Vorgang in umgekehrter Reihenfolge. Die Deck-kraft der Farben ist zunächst auf Null gesetzt und wird graduell erhöht, die Form istzunächst zum Quellmodell verzerrt und wird zur Ausgangsform des Zielmodells inter-poliert. Die Interpolationen können dabei linear oder nicht-linear erfolgen, wobei sichdie nicht-lineare Variante für das 3D Morphing als effektiver erwiesen hat.

2.3 Polygonbasierte Ansätze

Polygonbasierte 3D Morphing Techniken haben generell zwei Probleme zu lösen [9,10], um eine zufriedenstellende Morphing-Sequenz zu erzeugen :

1. DasKorrespondenzproblem:

Da die beiden Ausgangsmodelle für die Morphing-Sequenz im allgemeinen un-terschiedliche Topologien besitzen und deshalb keine Zuordnung von korrespon-dierenden Eckpunkten (vertices) vorgenommen werden kann, ist ein direktesMorphing nicht durchzuführen. Die verschiedenen Techniken benutzen daheralle Projektionen des gesamten Drahtgittermodells (mesh), oder von Teilen derModelle, auf ein 2D Polygon oder einen einfachen 3D Körper, vereinigen dieseProjektionen und erhalten durch inverse Projektion auf die beiden Ausgangsmo-delle Objekte mit gemeinsamer Topologie unter Beibehaltung der ursprünglichenForm.

2. DasInterpolationsproblem:

Besitzen sowohl das Quell- als auch das Zielmodell gleiche Topologie, so kön-nen die entsprechenden Eckpunkte durch Interpolation ineinander überführt wer-den.

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2.3.1 Die Arbeiten von Kent et al.

Kent et al. beschreiben in ihrer Arbeit [9] eine Methode, bei der sie das Korrespon-denzproblem lösen, indem sie bestimmte Klassen von Modellen auf die Einheitskugelprojizieren, die Projektion der Ausgangsobjekte vereinen und dann zurück projizieren.Die Projektion muss dabei eindeutig sein, d.h. jeder Punkt der Modelloberfläche wirdauf genau einen Punkt der Kugeloberfläche abgebildet. Ausserdem muss sie Kontinui-tät garantieren, so dass Punkte, die auf der Oberfläche des Modells in einem kleinenRadius um einen gegeben Punkt angeordnet sind, so projiziert werden, dass dies aufder Kugeloberfläche immer noch der Fall ist. Für die verschiedenen Modellklassenwerden unterschiedliche Projektionsmethoden verwendet:

• Methoden für sternförmige Objekte

Dies sind Modelle, bei denen es mindestens einen inneren Punkt p gibt, von demaus alle Eckpunkte des Modells sichtbar sind. Die Projektion der Eckpunkteerfolgt, indem jeder Eckpunkt entlang des Strahls vom Punkt p durch den je-weiligen Punkt solange bewegt wird, bis er sich auf Einheitslänge vom Punkt pbefindet.

• Methoden für Rotationskörper

Modelle, die entstehen, indem eine Kontur um eine Achse gedreht wird. Sie be-stehen also aus einer Menge von ebenen Konturen (Speichen), die in bestimmtenWinkeln um eine Achse angeordnet sind. Hier werden alle Punkte einer Spei-che des Objektes auf einen Längengrad der Kugel projiziert, dessen “Nord/Süd”Achsen mit denen des Modells übereinstimmen.

• Methoden für extrudierte Objekte

Modelle, die entstehen, indem ein planares Polygon entlang einer Linie extru-diert wird. Sie werden zunächst auf ihre konvexe Hülle abgebildet. Da jedeskonvexe Objekt auch ein sternförmiges Objekt ist, kann die oben beschriebeneProjektionsmethode benutzt werden.

• Physik-basierte Methoden

Durch Simulationen, in denen die Objekte als Masse-Feder-Systeme modelliertwaren (die Eckpunkte entsprechen dabei den Massen, die Kanten den Federn),versuchte man, die Ausgangsmodelle in eine Form zu bringen. Wenn es gelang,einen ebenen konvexen Kantenzug des Objektes zu finden, der die konkavenRegionen des Modells komplett umschließt, so war es möglich, alle Eckpunkte inseine konvexe Hülle “schnappen” zu lassen (s. Abbildung. 7). Ein anschaulichesBild zu diesem Vorgang wäre folgendes : angenommen, man hätte einen ebenenund konvexen hölzernen Rahmen, bei dem in jeder Ecke ein Nagel steckt. Spanntman um diese Nägel ein Gummiband, so wird dies immer wieder in die Lage desHolzrahmens zurückschnappen, wenn man es nach unten zieht. Es ist allerdingsnicht immer möglich, solch einen Kantenzug ohne sich überschneidende Kanten

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Abbildung 7:Ein Objekt „schnappt´´ in seine konvexe Hülle

zu finden. Das entstandene konvexe Objekt kann wie oben beschrieben auf dieKugel projiziert werden.

• Hybride Methoden für röhrenförmige Objekte

Diese Objekte bestehen aus einer Folge von planaren Konturen, die entlang ei-nes Pfades miteinander verbunden sind. Die Projektionsmethode ist eine Kom-bination aus den Physik-basierten Methoden und denen für extrudierte Objekte.Zunächst werden zwei aneinander grenzende Konturen fixiert. Sind diese nichtkonvex, so werden sie auf ihre konvexe Hülle projiziert. Anschliessend wird dieoben beschriebene Simulation durchgeführt, die alle nicht fixierten Eckpunkte indie Ebenen der fixierten Konturen schnappen lässt (s. Abbildung 8). Nun kanndas erhaltene konvexe Objekt ebenfalls, wie oben beschrieben, auf die Kugelprojiziert werden.

Abbildung 8:Verfahren für röhrenförmige Objekte

Nachdem sowohl von Quell- als auch Zielobjekt eine Projektion auf die Einheitskugelgefunden wurde, werden diese übereinandergelegt und die Schnittpunkte berechnet.Diese werden anschliessend sortiert und die neue, kombinierte Topologie wird auf bei-de Modelle zurück projiziert. Bei der Rückprojektion werden die Punkte des jeweilsanderen Modells und die neu entstandenen Schnittpunkte mit Hilfe von baryzentrischenKoordinaten [18] auf der Oberfläche des Ausgangsobjektes positioniert.

Der letzte Schritt ist die Interpolation der sich entsprechenden Eckpunkte. Diese kannentweder linear oder durch Hermite´sche Splines durchgeführt werden. Neben den

9

Eckpunkten können auch nicht-geometrische Attribute wie die Farbe, eine Textur oderdie Transparenz interpoliert werden.

2.3.2 Die Arbeiten von Gregory et al.

Gregory et al. [6] präsentieren eine Methode bei der das Korrespondenzproblem mitHilfe von feature netsgelöst wird. Einfeature netwird von verschiedenenmorphingpatchesgebildet. Dies sind geschlossene Kantenzüge der AusgangsmodelleA undB,die der Benutzer definiert, um deren charakteristische Merkmale (features) zu kenn-zeichnen. Sie werden immer paarweise in den beiden Ausgangsmodellen angelegt, sodass eine eindeutige Zuordnung der korrespondierendenpatchesgewährleistet ist (s.Abbildung 10).

Der vorgestellte Algorithmus verwaltet die Objekte in einerwinged edgeDatenstruktur,d.h. für jede Kante werden alle vorkommenden Punkte (vertices), die rechte und linkeangrenzende Fläche und die vorhergehende und nachfolgende Kante in Richtung ge-gen den Uhrzeigersinn gespeichert. Ausserdem wird für jedes Modell ein gewichteterAdjazenz-Graph gehalten. Die Gewichte ergeben sich aus dem Euklidischen Abstandzwischen den Eckpunkten (extremal vertices) der jeweiligen Kante.

Zunächst wählt der Benutzer ein noch unmarkiertes Punkte-Paar VAi1, VA

i2 bzw. V Bi1,

VBi2 in den Ausgangsmodellen aus (s. Abbildung 9). Der Algorithmus berechnet dar-

aufhin den kürzesten Kantenzug (chain) zwischen den beiden entsprechenden Punkten,wobei nur unmarkierte Punkte und Kanten berücksichtigt werden. Ist dies nicht mög-lich, so ist das entsprechende Punkte-Paar nicht erlaubt. Alle Punkte und Kanten imgefundenen Kantenzug werden markiert.

Abbildung 9:Ausgangsmodelle mit benutzerdefinierten Korrespondenzen

Der Benutzer muss nun genügend viele dieser Kantenzüge auswählen, so dass alleKantenzüge letztlich geschlossen sind. Die geschlossenen Kantenzüge bilden danninsgesamt diefeature netsder AusgangsmodelleA und B. Beide feature netsbesit-zen dieselbe Anzahl anmorphing patchesundextremal verticesund definieren somit

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eine bijektive Abbildung. Sind beide feature nets vollständig spezifiziert, werden fürjedesmorphing patchmit Hilfe der Informationen aus derwinged edgeDatenstrukturzunächst die Umrandung und anschliessend alle zugehörigen inneren Flächen, Kantenund Punkte mit einer angepassten Tiefensuche im Adjazenz-Graphen berechnet.

Abbildung 10:Zwei ausgewählte morphing-patches

Anschliessend wird für jedes Paar vonmorphing patcheseine Parametrisierung übereinem konvexen, dem Einheitskreis einbeschriebenen, 2D Polygon bestimmt. Dabeiwird versucht, das Größenverhältnis der Flächen zueinander in der Parametrisierungmöglichst beizubehalten.

Abbildung 11:Abbildung der morphing-patches auf planare 2D Polygone

Im nächsten Schritt des Algorithmus werden die beiden 2D Polygone kombiniert unddie Schnittpunkte der Kanten berechnet. Die Schnittpunkte werden sortiert und dieneue kombinierte Topologie wird bestimmt.

Zuletzt werden die Flächen der kombinierten Parametrisierung in Dreiecke zerlegt undauf die Ausgangsmodelle A und B abgebildet. Die Position von Punkten des jeweilsanderen Ausgangsmodells, sowie die aus Schnitten neu entstandenen Punkte, werdenmit Hilfe von baryzentrischen Koordinaten ermittelt.

Nachdem nun beide Modelle über gleiche Topologie verfügen, kann die Interpolationder korrespondierenden Punkte erfolgen. Im vorgestellten Anstatz kann der Benutzer

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Abbildung 12:Kombination der 2D Polygone zu einem einzigen mit vereinigter Topo-logie

zu diesem Zweck Bewegungsbahnen (morphing trajectories) für die extremal verticesin Form von Bezier-Kurven angeben. Die Bahnen aller anderen Punkte werden in-terpoliert, indem diejenigen derextremal verticeszwischen denen sie sich befinden,gewichtet werden.

Abbildung 13:Ausgangsmodelle nach der Rückprojektion der kombinierten Topologie

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3 Vergleich und Bewertung der Ansätze

Es sollen nun die vier vorgestellten Techniken in tabellarischer Form gegenübergestelltund verglichen werden.

Methode Modellre-präsenta-

tion

Interak -tionsmög-lichkeiten

Interak -tionszei-

ten

Genuswech-sel

möglich

Berechnungszei-ten

ScheduledFourier Volume

Morphing(Hughes)

Volumen nein - ja ?

Feature-basedVolume

Morphing(Lerios et al.)

Volumen ja 3-8 h ja 8 h für 50 Bilder(Auflösung 3003

Voxel)

Kent et al. Polygone nein - nein ?

Gregory et al. Polygone ja 5 min -6 h

nein 1 s - 2,5 min (ca.17,5k Dreiecke)

Es ist ersichtlich, dass die volumenbasierten Methoden während des Morphings leichteinen Genuswechsel der Zwischenobjekte darstellen können. Dies ist möglich, weil siesich nicht, wie die polygonbasierten Methoden, die Konnektivität der einzelnen Punkteberücksichtigen müssen. Der Komfort bei der Darstellung wird jedoch erkauft durcheinen Rechenaufwand, der aufgrund der großen Datenmengen um ein Vielfaches höherliegt, als der für die Polygon-Ansätze. Vergleicht man die Ergebnisse der Ansätzeaus dem Jahre 1992 (Hughes und Kent et al.) mit denen des Jahres 1995 (Lerios etal. und Gregory et al.), so sind diejenigen jüngeren Datums in der Qualität eindeutigüberlegen. Dies ist vor allem damit zu begründen, dass dem Benutzer Interaktions- undKontrollmöglichkeiten zur Verfügung gestellt wurden.

Ein detaillierter Überblick über vorliegende 3D Morphing Techniken auf dem Standvon 1998 wird in [10] gegeben. Aktuellere Methoden werden in [8, 12, 17] beschrie-ben.

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4 Ausführung zweier aktueller Ansätze

Im folgenden sollen nun zwei aktuelle Ansätze vorgestellt werden, die die oben be-schriebenen Probleme größtenteils lösen, oder zumindest Methoden benutzen, um de-ren Auswirkungen zu verringern.

4.1 Volumenbasierte Methode nach Cohen-Or et al.

Cohen-Or et al. [3] stellen eine Methode für das dreidimensionale Morphing zweierObjekte mit Hilfe derdistance field interpolation[14] vor. Die Objekte liegen dabei ineiner Voxel-basierten Form vor. Das Morphing der Oberfläche der Objekte wird dabeivon einerwarping Transformation von Kontrollpunkten in den Objekten geführt, umVerzerrungen der Oberfläche während des Morphings zu minimieren.

Zunächst soll der Begriff derdistance field interpolation(DFI) erklärt werden. DieDFI wird vor allem bei der Oberflächen-Rekonstruktion aus Querschnitts-Bildern (z.B.Computertomogramm-Bilder) eines Objektes verwendet. Dabei wird für eine endlicheMenge von (n - 1)-dimensionalen Querschnitten

Ωtj = x = (x1, ..., xn−1) | (x1, ..., xn−1, tj) ∈ Ω , t0 < t1... < tM

eines KörpersΩ für jede Ebenet0, t1, ..., tM ein distance fieldDtjdefiniert. Fürx =

(x1, ..., xn−1) ist

Dtj(x) =

−dist(x, δΩtj ) wenn x ∈ Ωtj

dist(x, δΩtj) sonst,

wobeiδΩtjdie Begrenzung vonΩtj

unddist den euklidischen Abstand imRn−1 be-zeichnet . Nun werden zwischen den Querschnitten die Abstandswerte der Punkte mitgleichenn - 1 Koordinaten interpoliert. Diese Interpolation approximiert den euklidi-schen Abstand zwischeny = (x1, ..., xn−1, t) undδΩt. Alle Punkte dieses interpolier-ten distance fieldsmit Abstandswert Null gehören dann zur Oberfläche des Objekts,Punkte mit negativem Abstandswert gehören zum Körperinneren. Als Anwendung fürdas 3D Morphing kann man die DFI als drei-dimensionale Formrekonstruktion übereinem endlichen Zeitraum (vierte Dimension) verstehen.

Um zu gewährleisten, dass die Entwicklung der Oberfläche während des Morphingsglatt und kontinuierlich verläuft, wird in der vorliegenden Methode einewarpingTans-formation eingesetzt, die die Begrenzungen des Quell- und Zielmodells bestmöglichin Übereinstimmung bringen. Ohne eine solche Transformation kann es passieren,dass in der Morphing Sequenz Teile eines Objektes plötzlich verschwinden, und an-dere aus dem Nichts auftauchen (s. Abbildung 14). Entsprechend den 2D Techniken,bei denen daswarping den zwei-dimensionalen Bildraum deformiert, wird hier derdrei-dimensionale Objektraum deformiert.

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Abbildung 14:Vergleich der Ergebnisse beim Morphing mit der DFI-Methode (a) ohnewarping (b) mit geeignetem warping

Die warping Transformation wird in einen affinen und einen elastischen Teil zerlegt.Dies dient dazu, dass Objekte, die allein mit affinen Transformationen aufeinanderAusgerichtet werden können, nicht unnötig verzerrt werden. Der Benutzer spezifi-ziert zu diesem Zweck im Quell- und Zielobjekt korrespondierende Kontrollpunkte,die dann mittels Translation und Rotation angenähert werden. Nur wenn die Ausrich-tung noch ungenügend ist, muss die elastische Transformation durchgeführt werdenum sie vollständig aufeinander abzubilden.

Der affine Teil der Transformation, der aus der RotationRund der Translationcbesteht,muss so gewählt werden, dass er den Ausdruck

Q =N∑

i=1

||Rp0,i + c− p1,i ||2

minimiert, wobei|| · || für die euklidische Norm imR3 steht. SeiE der elastische TeilderwarpingTransformationWt, die dann für den im drei-dimensionalen Fall als

Wt(x) = ((1− t)I + tE)(Rtx + tc), x ∈ R3

definiert. Für E werden hierRadiale Basis Funktionen[1] eingesetzt, auf die hier abernicht näher eingegangen werden soll.

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SeienD0 undD1 die distance fieldsdes QuellobjektesΩ0 bzw. des ZielobjektesΩ1.Weiterhin sei angenommen, dass sich alle alsdistance field volumesrepräsentiertenKörper, und die Kontrollpunkte innerhalb eines endlichen RaumsX ⊂ R3 befinden.Es muss nun also eine TransformationWtt∈[0,1] gefunden werden, die die Kontroll-punkte aufeinander abbildet so dassW1(Ω0) das ZielobjektΩ1 möglichst gut approxi-miert. Für jedesx = (x1, ..., xn−1) wird dann die Interpolation der WerteD0(W0(x))undD1(W1(x)) in Hinsicht auf den Parametert durchgeführt. Sie soll hier mitdx(t)bezeichnet werden soll.

Die Approximation∼Ω ist dann definiert als

∼Ω = y = (Wt(x), t) | dx(t) ≤ 0 .

Es gehören also alle diejenigen Voxel des zum Zeitpunktt deformierten Voxelraumeszum Übergangsobjekt, deren Abstandswert zu diesem Zeitpunktt kleiner oder gleichNull ist.

Um nun für jedes Voxel eines ÜbergangskörpersDt zum Zeitpunktt den richtigenAbstandswert zu finden, wird zunächst die TransformationWt auf die Kontrollpunk-te des Quellobjekts angewandt, um deren Übergangpositionen zu bestimmen. DieseÜbergangspunkte seien mitmi ≡ Wt(p0,i)N

i=1 bezeichnet. Die korrespondierendenVoxel zum Zeitpunkt 0 und 1 werden mit Hilfe von zweibackward mappingFunktio-nenB1 undB2 gefunden. Dabei giltB1, B2 : X → R3 sowieB1(mi) = p0,i undB2(mi) = p1,i , für i = 1, ..., N .

Für die Kontrollpunkte stelltB1 genau die Inverse vonWt dar, für alle anderen Punkteist das nicht notwendigerweise der Fall. WennB1 und B2 bestimmt sind, kannDt

generiert werden, indem für jedesv ∈ X der AbstandswertDt(v) ausgewertet wirdmit

Dt(v) = (1− t)D0(B1(v)) + tD1(B2(v))

Änderungen im Genus der Objekte während des Morphings darzustellen, ist mit die-ser Methode, aufgrund der Volumenrepräsentation der Modelle, leicht möglich. DerBerechnungsaufwand ist dagegen immer noch relativ hoch. Es wird berichtet, dassdie Berechnung eines Übergangsobjekts in einer Auflösung von 2003 Voxeln mit 20Kontrollpunkten auf einer SGI R4400 immerhin 40 Minuten dauerte. Dennoch sinddie Ergebnisse beeindruckend und der Ansatz ist eine der überzeugendsten volumen-basierten Methoden, die es heute gibt [10].

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Abbildung 15: Beim Generieren vonDt beteiligte Transformationen :Wt bildet dieKontroll-Punkte aufeinander ab,B1 und B2 sind die backward mapping Funktionenfür die distance-values

4.2 Polygonbasierte Methode nach Zöckler et al.

Die von Zöckler et al. vorgestellte Methode [19] für das Morphing von drei-dimensionalenPolygon-Objekten, basiert, ähnlich wie der Ansatz von [6], auf der Parametrisierungvon einzelnenpatches. Ihr Ansatz ist jedoch weiter entwickelt. Der Benutzer kanneine beliebige Anzahl vonpatchesum die gewünschtenfeaturesanlegen und in diesenzusätzlichfeature pointsdefinieren, ist aber nicht wie in [6] gezwungen, dass ganzeModell mit patcheszu umgeben. Diesepatchesundfeature pointswerden, ähnlich wiein anderen Ansätzen korrespondierend angelegt und während des Morphings ineinan-der überführt, wobei diepatchesfür die grobe, diefeature pointsfür die feine Kontrolledes Vorgangs einzusetzen sind.

Die einzelnen Schritte der vorgestellten Methode sind:

• Definition der Korrespondenzen

• Parametrisierung

• Abgleich der feature points

• Interpolation

Diese Schritte werden im folgenden näher beschrieben.

Definition der korrespondierendenfeatures

Der Benutzer wählt korrespondierende Regionen in beiden Ausgangsmodellen aus, in-dem er sie mit Hilfe der Maus eingrenzt. Es müssen dabei nur einzelne Punkte ausge-wählt werden die dann vom System automatisch (durch Berechnungen des kürzesten

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Pfades auf den Kanten des Modells) verbunden werden. Die Regionen können dabeidie Topologie einer Scheibe (eine Begrenzungskurve), oder die eines Zylinders (zweiBegrenzungskurven) aufweisen. Innerhalb der Regionen können beliebig vielefeaturepointsausgewählt werden, die während des Morphings genau aufeinander abgebildetwerden.

Parametrisierung der patches

Jedes derpatcheswird einzeln parametrisiert, indem es auf den Einheitskreis abge-bildet wird. Für diese Parametrisierung wird hier dasbarycentric mapping[18] ver-wendent. Um regionenübergreifende Kontinuität und Eindeutigkeit zu erhalten, ist eswichtig, dass die Abbildung derpatch-Begrenzungen bestimmte Voraussetzungen er-füllt.

Im allgemeinen ist jeder Begrenzungspunkt in mindestens zwei angrenzendenpatchesenthalten. Einige Punkte sind aber auch Teil von drei oder mehr dieserpatches. Diesewerden Verzweigungspunkte genannt und in den Ausgangsmodellen aufeinander ab-gebildet. Vom Benutzer definiertefeature pointsinnerhalb derpatcheswerden wieVerzweigungspunkte behandelt. Diese Punkte werden nun auf den Rand des Einheits-kreises abgebildet. Um Verzerrungen zu vermeiden, erfolgt die Verteilung proportionalder gemittelten Bogenlänge zwischen den Punkten auf den Ausgangsmodellen. DiePunkte innerhalb der Begrenzung werden mit Hilfe desbaryzentric mappingim Ein-heitskreis positioniert. Da die Parametrisierungen der einzelnenpatchesvoneinanderunabhängig ist, muss die Korrespondenz-Funktion, die in einem späteren Schritt al-le Punkte der vereinigten Parametrisierungen beider Ausgangsmodelle wieder zurückauf diese abbildet, eine Kontinuität gewährleisten. Sie muss also einen PunktXA aufder Begrenzung zwischen den patchesPA

1 und PB1 des QuellmodellsA auf densel-

ben Punkt im ZielmodellB abbilden. Verzweigungspunkte werden dabei eindeutigabgebildet, alle anderen Begrenzungspunkte proportional zur Bogenlänge in den Aus-gangsmodellen. Für die Abbildung auf zylindrischepatchessei auf [19] verwiesen.

Abgleich der feature points

Hier soll nur der Abgleich für ein Paar vonfeature pointsbeschrieben werden. Als ge-nerelle Methode wird in [19] eine angepasste Variante desfoldover-free image warpingvon Fujimora und Makarov [5] benutzt.

SeienPA und PB zwei korrespondierendepatchesmit einer Topologie gleich einerScheibe, mit den PunktenV A

i und V Bi und den parametrischen KoordinatenvA

i undvB

i . FA undFB seien zwei innere Punkte dieserpatches, die aufeinander abgeglichenwerden sollen. Die Parametrisierung muss daher so verändert werden, dass die WertefA undfB übereinstimmen. Dies wird erreicht, indem beiden Werten der neue Wertf

′

A = f′

B = (fA +fB)/2 zugewiesen wird. Die Parameterwerte von Punkten die keinefeature- pointssind, werden wie folgt verändert:

v′= f

′

A + α(q − f′

A), α =|v − fA||q − fA|

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wobeiq den Schnittpunkt der Linie durchfA undv mit dem Einheitskreis bezeichnet.Bei dieser Art der Abbildung können allerdings Probleme in Form von sich überschnei-denden Kanten auftreten.

Abbildung 16:Um einen feature-pointfA zu einer neuen Positionf′

A zu bewegen, wirdein einfaches geometrisches warping auf den Einheitskreis angewandt

Interpolation

Aus den parametrisierten und ausgerichtetenpatcheskann nun ein neuesmeshmitkombinierter Topologie berechnet werden. Dazu werden die jeweils korrespondie-rendenpatchesüberlagert, übereinanderliegende Punkte werden identifiziert und alleKanten, die sich schneiden, werden durch Einfügen von neuen Punkten in den Schnitt-punkten geteilt. Begrenzungskanten werden dabei gesondert behandelt, um zu vermei-den, dass neue Punkte entlang der Begrenzung eingefügt werden. Die ursprünglichenKanten zwischen den Begrenzungspunkten werden durch neue ersetzt, die die Begren-zungspunkte der Ausgangsmodelle A und B in fortlaufender Reihenfolge miteinanderverbinden. Danach erfolgt eine Unterteilung aller Polygone mit mehr als drei Punktenin Dreiecke. Die resultierende ParametrisierungM mit den PunktenvM

i ist nun für dasMorphing geeignet.

SeienPA undPB die Gesamtheit der Parametrisierungen der Ausgangsmodelle A undB. Für jeden PunktvM wird nun eine korrespondierende PositionXA = P−1

A (vM ) inA, sowieXB = P−1

B (vM ) in B berechnet. Die Inverse der ParametrisierungPA bzw.PB müssen jedoch erst bestimmt werden. Um den PunktXA zu berechnen, muss dasDreieckvA

i , vAj , vA

k im Parameterraum bestimmt werden, dass den PunktvM enthält.Der korrespondierende PunktP−1

A (vM ) liegt dann im Ausgangsmodell A im DreieckV A

i , V Aj , V A

k . Seien(bA1 , bA

2 , bA3 ) die baryzentrischen Koordinaten des PunktesvM

in vAi , vA

j , vAk . Die exakte Position ergibt sich dann als

P−1A (vM ) = bA

1 V Ai + bA

2 V Aj + bA

3 V Ak .

Der korrespondierende Punkt für B wird analog berechnet. Ausser den Positionender Punkte des neuenmesheskönnen mit dieser Formel auch Attribute wie Farbe undNormalenwerte interpoliert werden.

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Die Morphing-Sequenz wird nun generiert, indem die Positionen aller Punkte der kom-binierten Parametrisierung M von ihrer Position im Ausgangsmodell A zur entspre-chenden Position im Ausgangsmodell B als Funktion über der Zeit t bewegt werden:

V Mi (t) = (1− t)P−1

A (vMi ) + tP−1

B (vMi ).

Die vorgestellte Methode ist in der Lage, mit Genus-Wechseln während des Morphingsumzugehen. Im einfachen Fall, bei dem in der Oberfläche des Übergangsmodells einLoch entstehen soll, muss der Benutzer einen Kantenzug im ersten Modell markie-ren, entlang dessen die Oberläche aufreissen soll. Es werden dann künstlichepatch-Begrenzungen eingeführt, die denen des Loches im zweiten Modell entsprechen. Kom-pliziertere Fälle sind auch möglich, sollen hier aber nicht näher erläutert werden.

Die Interaktionszeiten für einen Benutzer der Methode liegen im Bereich von 5-15 Mi-nuten, was gegenüber früheren Techniken eine drastische Reduzierung darstellt. DieBerechnung der für das Morphing geeigneten Ausgangsmodelle erfolgt auf einer SGIO2 Workstation mit R10000 Prozessor in weniger als 10 Sekunden, die Zwischen-schritte der Morphing-Sequenz können in Echtzeit berechnet werden.

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5 Ausblick

Während die volumenbasierten Techniken mittlerweile gereift sind [10], wird bei denpolygonbasierten Methoden noch rege geforscht. In neueren Ansätzen zum polygonba-sierten 3D Morphing werden inzwischen häufigmultiresolutionTechniken eingesetzt[4, 11]. Bei diesen Techniken werden zunächst beide Ausgangsmodelle auf eine sehrgrobe Repräsentation mit gleicher Topologie gebracht, um sie dann, von dieser grobenDarstellung aus, wieder gleichmäßig zu unterteilen (subdivision). Man erhält durchdie multiresolutionParametrisierungen sowohl eine Lösung für das Korrespondenz-problem, als auch eine Menge von Modellen mit abnehmendem Detailgrad. Solch eineModell-Menge könnte z.B. fürlevel-of-detailAnwendungen verwendet werden, wasim Bereich des 3D Morphings wünschenswert wäre, da beim Verschmelzen der Para-metrisierungen der Ausgangsmodelle oft sehr viele Dreiecke entstehen. Da evtl. nichtzu jedem Zeitpunkt alle Details eines Zwischenobjektes des Morphs sichtbar sein müs-sen, werdenlevel-of-detailTechniken sicher in Zukunft in den 3D Morphing-Prozessmit integriert werden[10, 19].

Darüberhinaus ist man bestrebt, bessere Möglichkeiten für die Lösung des Interpolati-onsproblems zu finden. Ideen dazu gehen z.B. in die Richtung, physikalische Simulati-onsmethoden zu benutzen, um intrinsische geometrische Parameter (Winkel zwischenKanten, etc.) zu interpolieren [10].

Um die Qualität verschiedener Morphing-Techniken beurteilen zu können, ist es ambesten, die Ergebnisse in Form einer Animation zu betrachten. Zu diesem Zweck sol-len hier abschliessend einige Internet-Adressen aufgeführt werden, unter denen (zumZeitpunkt der Erstellung der Arbeit) solche Animationen abrufbar sind:

http://www.zib.de/Visual/projects/morphing/

http://www.math.tau.ac.il/˜dcor/research/framepage.html

http://graphics.stanford.edu/papers/morph/video/

http://www.cs.unc.edu/˜gregory/3Dmorphing/

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Literatur

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[4] Eck, M., DeRose, T., Duchamp, T., Hoppe, H., Lounsbery, M. und Stuetzle,W., “Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes”,Computer Graphics Pro-ceedings, Annual Conference Series (SIGGRAPH 95), Seiten 173-182

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[11] Lee, A. W. F., Sweldens, W., Schröder, P., Cowsar, L. und Dobkin, D., “MAPS:Multiresolution Adaptive Parametrisation of Surfaces”,Computer Graphics Pro-ceedings, Annual Conference Series (SIGGRAPH 98), Seiten 95-104

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[19] Zöckler, M., Stalling, D. und Hege, H.-C., “Fast and Intuitive Generation of Geo-metric Shape Transitions”,The Visual Computer 5 (2000), Seiten 241-253

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