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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Aufgabe :
Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (P.v.V.)
• die Auflagerreaktion AV
• die Auflagerreaktion BV
• Biegemoment M an der Stelle x = a
• Querkraft an der Stelle x = a
q
A B
lx
a
Entwurf: Ricarda Prior – Studentische Hilfskraft
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Auflagerreaktion AV
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflager entfernen
2/l 2/l
)qGleichlastderausndeResultiere(lqR
Auflagerreaktion AV
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflager entfernen,
System wird kinematisch:
(virtuelle Formänderungsenergie)
0 2/l 2/l
)qGleichlastderausndeResultiere(lqR
Auflagerreaktion AV
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Aufbringen der virtuellen Verschiebung entgegengesetzt zur gesuchten Auflagerreaktion.
1_
1
lqR
2/l2/l
Auflagerreaktion AV
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Verformungsfigur des beweglichen Systems einzeichnen. _
1
lqR
2/l2/l
Auflagerreaktion AV
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Mittels Strahlensatz lässtsich die gesuchte Ver-formung unter der Resultierenden bestimmen.
__1 11
/ 2 2
rr
l l
r_
1
lqR
2/l2/l
Auflagerreaktion AV
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
r_
1
lqR
2/l2/lArbeitssatz anwenden um
Auflagerreaktion AV
zu bestimmen.
Auflagerreaktion AV
2
02
111
01
)(
__
_
lqA
lqA
rRA
Systemehekinematiscfüro
V
V
V
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Auflagerreaktion BV
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion BV
r _
1
lqR
2/l 2/l
2
01
0_
lqB
rRB
w
V
V
Vorgehensweise wie bei Auflagerreaktion AV.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung des Biegemomentes M (x=a)
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Lagerung der Originalsystemsübernehmen.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Durch das Einfügen des korrespondierendenGelenkes an der Stelle x = alässt sich die gesuchte Kraftgröße M ermitteln.
M
a b
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Die Gleichlast wird für dieBereiche links und rechts des Gelenkes getrennt betrachtet.
Bilden der Resultierenden R1
im Abschnitt a und R2 imAbschnitt b.
M
2/a 2/b1R
2R
a b
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Aufbringen der virtuellen Verschiebungsgröße(Knick der Größe )entgegengesetzt zur gesuchten Kraftgröße und einzeichnender Verformungsfigur des beweglichen Systems.
M2/a 2/b1R 2R
a b
_
1Knick
_
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Antragen der unbekannten Verformungen und Winkel an allen relevanten Stellen.
M
1r
2/a
l r
2/b
2r
1R 2R
a b
_
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
M
1r
2/a
l r
2/b
2r
1lr
1R 2R
a b
_
1
Bestimmung der Verformung am Biegemomentengelenk mit Hilfe des Strahlensatzes.
Die unbekannte Länge unterhalb des Auflagers B lässt sich durch die Beziehung bestimmen
_
1tantan rl
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
?
M
1r
2/a
l r
2/b
1lr
1R 2R
a b
2r
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Ankathete
teGegenkathetan
r
l
rechtsDetail :
c
d
b_
1
Bestimmung der unbekannten Länge unterhalb Auflager B.
_
1
)tan(tantan
1tantantan
b
dcbb
d
dcbb
c
lrl
lrr
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Mittels Strahlensatz lassensich die gesuchtenVerformungen bestimmen.
)(22/
)(22/
)()(
1
22
11
_
ba
bar
bb
r
ba
bar
aa
r
ba
ba
ba
b
a
M
1r
2/a
l r
2/b
2r
lr
1R 2R
b_
1
a b
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Arbeitssatz anwenden um
das gesuchte Moment
zu bestimmen.
M
1r
2/a
l r
2/b
2r
lr
1R 2R
b_
1
a b
2).(
)(2
0)(2)(2
1
01_
2211
_
baqba
ba
baqM
ba
babq
ba
baaqM
rRrRM
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Querkraft Q (x=a)
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
Lagerung der Originalsystemsübernehmen.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Durch das Einfügen des korrespondierendenGelenkes an der Stelle x = awird die gesuchte Kraftgröße Qausgelöst.
Querkraft an der Stelle x = a
a b
Q
Q
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
2/a2/b
1R
2R
a b
Q
Q
Die Gleichlast wird für dieBereiche links und rechts des Gelenkes getrennt betrachtet.
Bilden der Resultierenden R1
im Abschnitt a und R2 imAbschnitt b.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Aufbringen der virtuellen Verschiebungsgröße(Sprung der Größe ) entgegengesetzt zur gesuchten Kraftgröße.
Querkraft an der Stelle x = a
2/a2/b
1R
2R
a b
Q
Q_
1
_
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Verformungsfigur des beweglichen Systems einzeichnen
Querkraft an der Stelle x = a
2/a2/b
1R
2R
_
1
a b
_
1
Q
Q_
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Antragen der unbekannten Verformungen.
Querkraft an der Stelle x = a
1r
2/a2/b
2r
1R
2R
_
1
a b
_
1
Q
Q _
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Mittels Strahlensatz lassensich die gesuchtenVerformungen bestimmen.
Querkraft an der Stelle x = a
_
22
_
_
11
_
1)(22/
1
1)(22/
1
ba
br
b
r
ba
ba
ar
a
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ba
1r
2/a2/b
2r
1R
2R
_
1
a b
_
1
Q
Q _
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Arbeitssatz anwenden um
Querkraft Q zu bestimmen.
Querkraft an der Stelle x = a
1r
2/a2/b
2r
1R
2R
_
1
a b
_
1
Q
Q _
1
)()(2
)(2)(2
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