Università degli Studi “Mediterranea” di Reggio Calabria Facoltà d’Ingegneria – Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni –

A.A. 2006/2007 Appello del 28/06/2007

Un sistema materiale è costituito da un’asta AB, omogenea di massa 2m e lunghezza 2R, e da un punto materiale P di massa m. L’asta è incernierata nel proprio punto medio O a muoversi in un piano orizzontale Oxy, mentre il punto materiale P è vincolato a scorrere lungo il terzo asse verticale Oz. Sul sistema agiscono: I^) una molla elastica di costante positiva h collegante il punto materiale P all’estremo B dell’asta AB; II^) una coppia di forze agente sull’asta di momento dato da M = AB×mgi essendo, g il modulo del vettore accelerazione di gravità, ed i il versore dell’asse Ox. Supponendo i vincoli perfetti e che la terna Oxyz ruoti uniformemente con velocità angolare costante ω attorno al terzo asse verticale Oz, determinare: i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, ponendo che, all’istante iniziale, l’asta AB si trovi in quiete sull’asse Oy con l’estremo B dalla parte del semiasse positivo, mentre il punto P è situato nell’origine della terna Oxyz ed avente velocità vP = u0k con u0> 0 mentre k rappresenta il versore dell’asse verticale Oz; iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema, studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

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A.A. 2006/2007 - Appello del 18/09/2007

Un sistema materiale è costituito da un disco omogeneo avente centro C raggio R e massa 2m, e da un punto materiale P di massa m. Il disco è vincolato a rotolare senza strisciare sull’asse orizzontale Ox del piano verticale Oxy mentre il punto materiale è vincolato a scorrere sul terzo asse Oz ortogonale al piano Oxy. Sul sistema agiscono: I^) Una molla elastica di costante positiva h collegante il punto materiale P ad un punto Q del bordo del disco; II^) una coppia di forze agente sul disco di momento dato da M = OH×( mg + hCQ) essendo g il vettore accelerazione di gravità, ed H il punto di contatto tra disco e guida. Supponendo i vincoli perfetti, determinare: i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, ponendo che, all’istante iniziale, il punto P si trovi nell’origine della terna Oxyz ed avente velocità vP = u0k essendo u0> 0 e k il versore dell’asse Oz , mentre il disco giace con il centro C sull’asse verticale Oy ed avente velocità vC = w0i essendo w0 > 0 ed i il versore dell’asse Ox; iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema, studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

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A.A. 2006/2007 - Appello dell’ 11/12/2007

In un piano verticale Oxy, un sistema materiale è costituito da un’asta AB di lunghezza 2L ed avente densità di massa µ nel generico punto P data da µ(P) = (m/L2)AP, e da un punto materiale Q di massa m saldato nell’estremo B dell’asta. Il punto medio C dell’asta AB è vincolato a scorrere lungo l’asse orizzontale Ox. Sul sistema agiscono: I^) una molla elastica di costante positiva h, collegante il baricentro G del sistema materiale con l’origine O degli assi; II^) una coppia di forze di momento M, pari a M = h(CB’×B’B) essendo B’, la proiezione dell’estremo B dell’asta AB sull’asse orizzontale Ox. Supponendo i vincoli perfetti ed il piano Oxy fisso, determinare: i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, ponendo che, all’istante iniziale, l’asta AB giace: con l’estremo B sul semiasse orizzontale positivo dell’asse Ox, ed avente velocità vB = u0j essendo u0 > 0 e j il versore dell’asse verticale Oy, mentre il punto medio C e situato nell’origine O degli assi con velocità nulla; iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema (supponendo che le costanti siano legate dalla relazione (135√2)mg = 56hL, essendo g il modulo del vettore accelerazione di gravità), studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

Università degli Studi “Mediterranea” di Reggio Calabria Facoltà d’Ingegneria - A.A. 2007/2008 - Appello dell’8/01/2008

Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni

Un sistema materiale è costituito da una lamina rettangolare OABC omogenea, di massa M e lati OA = 2L e OC = L, e da un punto P di massa m. La lamina è vincolata nei vertici O e C ad un asse verticale fisso liscio Oz, mentre il punto è vincolato a scorrere lungo l’asse orizzontale Ox. Sul sistema agiscono:

a) una molla elastica, di costante h positiva, collegante il vertice A al punto P; b) una coppia di forze di momento N = h (OA’ × OA), essendo A’ la

proiezione di A su Ox. Supponendo che la terna Oxyz trasli con accelerazione costante d in direzione

del semiasse positivo di Oy e P sia vincolato a scorrere con attrito, determinare: i) la Lagrangiana del sistema; ii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale. Se il vincolo in P è anch’esso liscio, determinare: iii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante iniziale, la

lamina sia disposta lungo il semiasse orizzontale positivo di Ox, con il vertice A avente velocità vA = u0 j , ed il punto P sia a distanza 3L da O, con velocità vP = uP i , dove u0 > 0 , uP > 0 ed i e j sono i versori degli assi Ox ed Oy, rispettivamente;

iv) le equazioni di Hamilton. Infine, supponendo il sistema di riferimento fisso, calcolare: v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile del

sistema materiale da voi scelta.

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Facoltà d’Ingegneria – Metodi e Modelli matematici per le Applicazioni A.A. 2007/2008 – Appello Straordinario del 19/02/2008

Esercizio

Un punto Q di massa 2m è vincolato senza attrito a muoversi su una circonferenza giacente nel piano orizzontale Oxy, di centro O e raggio R, mentre un punto P di massa m è vincolato a muoversi con attrito lungo l’asse Oy. Sul sistema agiscono:

a) due molle di costanti elastiche h e k, entrambe positive, applicate, rispettivamente, la prima al punto P e centro O, la seconda collegante i punti materiali P e Q;

b) una forza costante F applicata in Q di direzione e verso parallela e concorde al versore k dell’asse verticale Oz.

Supponendo il sistema ruotante uniformemente con velocità angolare ω = w k attorno all’asse Oz, determinare:

i) la Lagrangiana del sistema; ii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale. Se il vincolo in P è anch’esso liscio, determinare: iii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante iniziale, Q si

trovi sul semiasse orizzontale positivo Ox con velocità vQ (0) = u0 j, mentre P sia nel punto O con velocità vP (0) = v0 j, con u0 e v0 costanti positive e j versore dell’asse Oy.

iv) le equazioni di Hamilton. Infine, supponendo il sistema di riferimento fisso ed h = k, calcolare: v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale, studiandone la

stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile del

sistema materiale da voi scelta.

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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni A.A. 2007/2008 - Appello del 25/03/2008

Una lamina quadrata omogenea ABCD, di massa m e lato 2L, è vincolata nel proprio baricentro G a scorrere con attrito lungo l’asse orizzontale Oy di un sistema di riferimento fisso ed a ruotare con il lato AD parallelo all’asse verticale Oz. Sul sistema agiscono:

a) una molla di costante elastica k positiva e centro O applicata nel punto D; b) un momento M = - h GG’ x GG”, con G’ punto medio del lato BC e G”

proiezione di G’ sull’asse Oy. Determinare: i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, e la disequaglianza dell’energia

meccanica, ponendo che, all’istante iniziale, il baricentro G ed il punto G’ si trovino entrambi con velocità u0 positiva ed a distanza L dall’asse Ox, con G’ nel primo quadrante del piano Oxy;

iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale. Supponendo ora i vincoli perfetti, determinare: iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema, studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni Anno Accademico 2007/2008 – Appello del 15/04/2008

In un piano verticale Oxy ruotante uniformemente attorno all’asse Oy con velocità angolare costante ω , un sistema materiale è costituito da una sbarra omogenea OA, di lunghezza 2L e massa M, incernierata con il suo estremo O nell’origine degli assi e da un punto materiale P vincolato a scorrere lungo l’asse Oy. Sul sistema agisce inoltre una molla, di costante k positiva, collegante il punto P all’estremo A della sbarra.

Supponendo i vincoli perfetti, determinare: i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, ponendo che, all’istante

iniziale, la sbarra sia disposta con l’estremo A sull’asse Oy e velocità vA = u0 i con u0 > 0, mentre il punto P sia a quota -L con velocità vP = w0 j e w0 < 0 ;

iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale.

iv) le equazioni di Hamilton. Supponendo ora che le costanti siano legate dalle seguenti

relazioni: m = M, kL = 2Mg e 2Lω2 = 3g (g accelerazione di gravità), determinare:

v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema, studiandone la stabilità;

vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

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Anno Accademico 2007/2008 – Appello del 26/06/2008

In un piano verticale Oxy un sistema materiale è costituito da un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza L, vincolata con l’estremo A nell’origine degli assi, mentre nell’estremo B è saldato un punto materiale T di massa 2m. Sul sistema agiscono:

I) una molla di costante elastica k > 0 applicata nel baricentro del sistema e centro il punto Q posto sull’asse verticale Oy a distanza 2L da O;

II) un momento M = (OB’ x mg)/6 agente sull’asta, con g accelerazione di gravità e B’ proiezione di B sull’asse orizzontale Ox.

Supponendo il piano Oxy ruotante uniformemente intorno all’asse Oy con velocità angolare costante ω ed i vincoli perfetti, determinare:

i) la Lagrangiana del sistema materiale; ii) eventuali integrali primi del moto, ponendo che, all’istante iniziale,

l’asta sia disposta sull’asse Ox con l’estremo B avente velocità vB = u0 j, u0 > 0;

iii) le equazioni differenziali pure del moto del sistema materiale. Supponendo, ora, che le costanti del moto siano legate dalle seguenti

relazioni, e cioè mg = kL = mω2L, determinare: iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema, studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile.

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Anno Accademico 2007/2008 – Appello del 14/07/2008

Un sistema materiale è costituito da una lamina quadrata omogenea ABCD, di lato L e massa m, vincolata nei punti D ed F del lato AD (F essendone il punto medio) all’asse scorrevole orizzontale Ox. Sul sistema materiale agiscono:

a) un momento M = 2 k (AB’ x AB), con B’ proiezione di B sul piano orizzontale Oxz e k > 0;

b) una molla di costante elastica k applicata nel vertice B della lamina e centro il punto B’ suddetto;

c) una molla di costante elastica h > 0 applicata nel vertice A della lamina e centro l’origine O della terna fissa.

Supponendo il solo vincolo in F con attrito, determinare: i) la Lagrangiana del sistema; ii) la, o le, equazioni differenziali pure del moto del sistema

materiale. Se il vincolo in F è anch’esso liscio, determinare: iii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante

iniziale la lamina è disposta sul piano Oxz con il punto A in quiete, a distanza L da O, ed il punto B avente velocità vB = u0 j, u0 > 0;

iv) le equazioni di Hamilton. Posto, inoltre, mg = kL, determinare: v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale,

studiandone la stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio

stabile da voi scelta.

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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni Anno Accademico 2007/2008 – Appello del 09/09/2008

In un piano verticale Oxy, che trasla lungo l’asse Ox con accelerazione

costante aτi, un sistema materiale è costituito da un’asta AB di lunghezza 2L, avente densità di massa nel generico punto T data da µ(T) = (m/2L2)|AT| e vincolata nel suo punto medio all’origine O degli assi, e da un punto materiale P di massa m, vincolato a scorrere lungo l’asse verticale Oy.

Sul sistema agiscono: I) una molla di costante elastica k > 0 applicata nell’estremo A dell’asta

e centro il punto Q posto sul semiasse positivo Oy a distanza 2L da O; II) una molla di costante elastica h > 0 collegante il punto P al baricentro

G dell’asta; III) un momento M = 8 mg x OG’ agente sull’asta, con G’ proiezione di

G sull’asse Ox. Determinare:

i) la Lagrangiana del sistema; ii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante iniziale, il

sistema è in quiete, con il punto A dell’asta sul semiasse negativo Oy ed il punto P nell’origine degli assi;

iii) la, o le, equazioni pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton. Posto, inoltre, mg = kL = hL ed aτ = 0, determinare:

v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale, studiandone la stabilità;

vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile da voi scelta.

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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni Anno Accademico 2007/2008

Appello straordinario del 12/12/2008

In un piano verticale Oxy un sistema materiale è costituito da un disco omogeneo di massa 2m e raggio R, che rotola senza strisciare lungo l’asse orizzontale Ox, e da un punto materiale di massa m saldato in un punto P del suo bordo. Sul sistema agiscono:

1°) una molla di costante elastica k > 0 applicata nel baricentro G del disco e centro il punto Q posto sul semiasse positivo Oy a distanza R da O;

2°) una forza costante F = βk applicata nel punto P, con k versore dell’asse Oz;

3°) un momento M = (OH + PG) x mg agente sul disco, dove H è il punto di contatto tra disco e asse Ox e g l’accelerazione di gravità.

Determinare: i) la Lagrangiana del sistema; ii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante iniziale, il

sistema si trova con P nell’origine O e vG = u0 i, u0 > 0 ed i versore dell’asse Ox; iii) la, o le, equazioni pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton; v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale, studiandone la

stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile da voi

scelta; vii) le reazioni vincolari all’istante iniziale.

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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni Anno Accademico 2007/2008 - Appello del 9/1/2009

In un piano verticale Oxy, che ruota uniformemente intorno all’asse verticale

Oy con velocità angolare ω , un sistema materiale è costituito da un’asta AB di lunghezza L, avente densità di massa nel generico punto P data da µ(P) = (6m/L2) |AP| e vincolata a scorrere con l’estremo A sull’asse orizzontale Ox.

Sul sistema agiscono: I) una molla, di costante elastica h positiva, applicata nell’estremo B

dell’asta e centro O; II) un momento, dovuto ad una coppia di forze, N = - h (OA x BB’), dove

B’ è la proiezione di B sull’asse Ox. Determinare: i) la Lagrangiana del sistema; ii) eventuali integrali primi del moto ponendo che, all’istante iniziale, l’asta si

trovi con l’estremo A in O e l’estremo B sul semiasse positivo orizzontale, entrambi con velocità u0 i, u0 < 0 ed i versore dell’asse orizzontale.

iii) la, o le, equazioni pure del moto del sistema materiale; iv) le equazioni di Hamilton. Posto, inoltre, , h = mω2 = mg/L, determinare: v) tutte le posizioni d’equilibrio del sistema materiale, studiandone la

stabilità; vi) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione d’equilibrio stabile da voi

scelta. vii) Dire, infine, come si modificano le equazioni del moto nel caso in cui

l’estremo A dell’asta scorra con attrito. Ai sensi del D. Lgs. 30/06/2003, n. 196, il sottoscritto autorizza la

pubblicazione online in chiaro dell’esito della propria prova. COGNOME: NOME: NUMERO DI MATRICOLA: CORSO DI LAUREA: FIRMA: