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Università degli Studi di Bologna – Scuola di Ingegneria e Architettura – CdS di Forlì PROGRAMMA del CORSO di

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE CdL in INGEGNERIA MECCANICA (Componente del C.I. MECCANICA DELLE MACCHINE E DEI MATERIALI)

CdL in INGEGNERIA AEROSPAZIALE Anno Accademico 2015-2016

prof. Alessandro RIVOLA

(Tel. 0543.374441 e-mail: [email protected]) 1. Composizione dei meccanismi. Macchine e loro classificazione. Macchina e meccanismo. Elementi cinematici e coppie cinematiche. Gradi di libertà di un meccanismo nel piano e nello spazio. Applicazione della formula di Grubler: esempi e limiti. 2. Richiami di cinematica del corpo rigido. Cinematica del punto nel piano. Cinematica del corpo rigido nel piano. Centro di istantanea rotazione. Teorema di Kennedy-Aronhold e suoi corollari. Accelerazione dei punti di un corpo rigido nel piano. Moti relativi. 3. Analisi cinematica di meccanismi. Modello cinematico. Analisi e sintesi. I sistemi articolati piani: il quadrilatero articolato; regola di Grashof; la catena cinematica 3R-1P; applicazioni. Meccanismi in catena aperta e catena chiusa. Il manipolatore piano R-R. Analisi cinematica per via grafica e per via analitica del manovellismo di spinta, del quadrilatero articolato e di meccanismi piani in genere. Singolarità. Coefficienti di velocità e accelerazione. 4. Richiami di statica e dinamica. Le equazioni cardinali della Statica. Diagrammi di corpo libero. Principio di sovrapposizione degli effetti. Metodi diretti grafici ed analitici per l’analisi statica. Metodi energetici: il principio dei lavori virtuali (PLV). Azioni di inerzia risultanti in un corpo rigido. Energia cinetica di un corpo rigido. Equazioni della dinamica: principio di d’Alembert; equazione dei lavori. 5. Forze agenti sulle macchine. Rendimento. Forze di contatto. Coefficiente di attrito. Lavoro delle forze d’attrito. Generalità sul rendimento. Definizione di rendimento. Rendimento di macchine in serie e in parallelo. Moto retrogrado. Rendimento nel moto retrogrado. Leggi che governano l’attrito di strisciamento. Attrito di strisciamento in condizioni di lubrificazione limite. Valori del coefficiente di attrito. L’usura e l’ipotesi del Reye. Attrito di rotolamento. Applicazioni di elementi rotolanti. Trasporto con rulli. 6. Analisi statica di meccanismi. Reazioni vincolari nelle coppie cinematiche elementari. Analisi statica grafica e analitica di meccanismi piani. Analisi statica di meccanismi piani con il PLV. L’attrito nelle coppie cinematiche. Coppia prismatica, piano inclinato, coppia rotoidale, coppia elicoidale. Comportamento delle ruote nella locomozione. Analisi statica di meccanismi piani con attrito (per via grafica). 7. Componenti ed organi delle macchine. Ingranaggi. Profili ad evolvente. Proporzionamento delle dentature. Dentiera di riferimento. Rapporto di trasmissione. Cenni sulla fabbricazione delle ruote dentate. Ingranaggi cilindrici a denti dritti ed elicoidali. Forze trasmesse. Ruote dentate coniche. Ingranaggio a vite e ruota a denti elicoidali. Rotismi ordinari ed epicicloidali. Formula di Willis. Applicazioni degli organi flessibili. Puleggia fissa e puleggia mobile. Paranchi. Trasmissione del moto mediante cinghie piatte e trapezoidali. Freni a nastro (cenni). Freni ed innesti. La coppia rotoidale di spinta; freni e innesti a frizione a dischi e conici; freno a ceppi. 8. Dinamica della macchina alternativa. Masse di sostituzione. Azioni di inerzia nel manovellismo di spinta. Analisi cinetostatica del manovellismo di spinta. Compensazione delle forze di inerzia. Equilibramento della macchina monocilindrica e pluricilindrica. 9. Dinamica dei rotori (cenni). Squilibrio statico e dinamico di un rotore.

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10. Dinamica dei sistemi funzionanti in condizioni di regime periodico. Regime periodico. Grado di irregolarità. Calcolo del momento d’inerzia del volano. 11. Vibrazioni meccaniche. Sistemi vibranti e loro modellazione. Vibrazioni libere e forzate di un sistema vibrante smorzato ad un grado di libertà. Isolamento delle vibrazioni: eccitazione della massa; eccitazione della base (sismografo). Testi di riferimento

1. Funaioli E., Maggiore A., Meneghetti U., Lezioni di Meccanica applicata alle macchine. Prima parte: Fondamenti di Meccanica delle Macchine, ed. Pàtron, Bologna.

2. Callegari M., Fanghella P., Pellicano F., Meccanica Applicata alle Macchine, CittàStudi, 2013. 3. Doughty S., Mechanics of Machines, John-Wiley & Sons, 1988. 4. C. E. Wilson, J. P. Sadler, Kinematics and dynamics of machinery, Prentice Hall, 2003. 5. Materiale integrativo (schemi e lucidi impiegati durante le lezioni).

Modalità di esame La prova finale d'esame è orale e prevede tre domande sugli argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni. Sono ammessi alla prova orale gli studenti che superano positivamente un breve test scritto somministrato il giorno stesso dell'appello. Per ciascun appello d’esame i candidati devono iscriversi utilizzando esclusivamente il sito https://almaesami.unibo.it Propedeuticità consigliate Meccanica Razionale L

Informazioni generali sugli esami http://www.ingegneriarchitettura.unibo.it/it/esami?target=studenti-iscritti

Programma, informazioni e altro materiale sono disponibili ai siti:

http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola

http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola

D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\00Introduzione.doc 0 – 1

Università degli Studi di Bologna – II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena PROGRAMMA del CORSO di

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE L Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA

Corso di Laurea in INGEGNERIA AEROSPAZIALE

prof. Alessandro RIVOLA [email protected]

LA MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE 1. La Meccanica applicata alle macchine è la disciplina che, nel settore della Meccanica dell'Ingegneria, si occupa dei problemi connessi con il movimento dei corpi solidi di cui sono costituite le macchine, distinguendosi in ciò dalla Scienza delle costruzioni - che tratta le strutture, soggette a situazioni statiche - e dalla Meccanica dei fluidi. Si può dire pertanto che la Meccanica applicata alle macchine studia i problemi che nascono per il fatto che gli organi delle macchine e dei meccanismi sono dotati di moto; gli organi che si considerano sono solitamente corpi solidi, essendo demandato ad altre discipline il compito di considerare il caso in cui siano presenti nella macchina anche fluidi con funzioni fondamentali (e non accessorie, come ad esempio nel caso del lubrificante). 2. La Meccanica applicata alle macchine tratta innanzi tutto alcuni problemi relativi alla Composizione delle macchine, come i gradi di libertà di un meccanismo, e fornisce alcune definizioni fondamentali, come quella di rendimento meccanico. Formano poi oggetto di studio della Meccanica applicata alle macchine i problemi riguardanti il contatto fra gli organi delle macchine durante il loro moto relativo: essi vengono studiati da quella parte della disciplina che prende il nome di Tribologia. Questi problemi riguardano prima di tutto l'attrito di strisciamento e i suoi effetti: modalità di trasmissione delle forze, dissipazione di energia, usura. Si considerano poi l'attrito di rotolamento e i principali casi di interesse tecnico in cui lo si incontra, come le ruote e i cuscinetti a rotolamento. Infine, in stretta connessione con i problemi precedenti, si studiano i principali tipi di lubrificazione (idrodinamica, elastoidrodinamica, idrostatica) e i più importanti organi lubrificati, come i perni portanti e reggispinta. Una vasta gamma di problemi nascono poi dalla considerazione del comportamento delle macchine e dei meccanismi sotto l'aspetto funzionale. Nella parte della Meccanica applicata alle macchine che va sotto il nome di Teoria dei meccanismi si descrivono le principali classi dei meccanismi e dei loro componenti, come i sistemi articolati, i giunti, le camme, le ruote dentate e i rotismi, i freni, gli organi flessibili. Per ognuna di tali classi si espongono i fondamenti delle metodologie che permettono di affrontare i più importanti problemi tecnici relativi al funzionamento dei meccanismi

mailto:[email protected]

D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\00Introduzione.doc 0 – 2

stessi, come la realizzazione di determinati movimenti, la trasmissione del moto, la trasmissione delle forze . In conseguenza del movimento impresso agli organi delle macchine, nascono in questi delle azioni d’inerzia, alle quali sono connessi molti importanti problemi. Quelli che possono venire studiati prescindendo, almeno in linea di principio, dalla deformabilità dei corpi, vengono studiati nella Dinamica delle macchine: si tratta dei problemi relativi al calcolo e al bilanciamento delle azioni di inerzia, all'accoppiamento fra motore e macchina utilizzatrice, al funzionamento delle macchine e degli impianti a regime periodico, ai transitori meccanici. I problemi strettamente connessi con la deformabilità elastica dei corpi vengono invece trattati nella Meccanica delle vibrazioni, che affronta problemi di grande rilevanza tecnica come, fra gli altri, l'isolamento delle vibrazioni, l'analisi modale, la diagnostica industriale. Una grande rilevanza tecnica hanno infine, come è evidente, i problemi relativi alla Dinamica dei rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le velocità critiche flessionali, le oscillazioni torsionali, i problemi di instabilità. 3. Se dal punto di vista dei contenuti l'elemento unificante dei vari settori della Meccanica applicata alle macchine è, come abbiamo visto, il movimento, da quello metodologico l'elemento caratterizzante è la modellazione dei sistemi meccanici, che fornisce il mezzo fondamentale per affrontare in modo corretto ed efficiente l'ampia gamma dei problemi della meccanica delle macchine. Per affrontare lo studio di un qualsiasi sistema meccanico è necessario infatti formularne dapprima un adeguato modello fisico e successivamente dedurre da questo il relativo modello matematico. Per modello fisico si intende qui un sistema fisico immaginario che sia equivalente al sistema reale nell'ambito di una prefissata approssimazione e rispetto alle caratteristiche che riguardano lo studio a cui si è interessati. Prerogativa essenziale del modello fisico, ai fini della sua effettiva utilità, deve essere la possibilità di studiarlo con gli strumenti a disposizione, di regola di tipo matematico. Il passaggio dal sistema reale al suo modello fisico comporta un certo numero di approssimazioni consapevolmente accettate, la più importante delle quali consiste nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli, o comunque ritenuti trascurabili, sul comportamento del sistema. Una volta individuato il modello fisico del sistema, si può procedere a determinarne il modello matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che descrivono il comportamento del modello fisico stesso. Si passerà infine alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione delle equazioni del modello matematico. Solo in casi semplici la soluzione può venire ottenuta in forma chiusa: di solito si ottiene la soluzione per via numerica, mediante l'uso di un calcolatore. In alcuni casi, infine, può essere preferibile risolvere il problema per via grafica: agli ovvi inconvenienti della lentezza e della scarsa precisione si accompagnano, infatti, gli importanti vantaggi della chiarezza e della sicurezza interpretativa dei risultati.

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:01Composizione_Meccanismi.doc 1 – 1

Bici da camera Disegno esploso e Schema cinematico


(a) (b)

(c) Esempi di meccanismi piani: a, b) in catena chiusa; c) in catena aperta

(a) (b)

Esempi di meccanismi spaziali Robot seriale RRRS (a) e piattaforma parallela 3-RPS (b).


Esempio di meccanismo spaziale: il giunto di Cardano

Meccanismi piani contenti solo coppie prismatiche: a) 1 gdl; b) 2 gdl

Meccanismo con glifo a croce

(a) (b) Meccanismi isostatici: a) quadrilatero articolato; b) manovellismo di spinta


(a) (b) Sospensione McPherson (a) e suo modello cinematico (b).

Sospensione McPherson dell’Alfa 147 e 156.


a) b)

c) d) Impiego di sistemi articolati piani: a) elevatore; b) pala meccanica; c) pantografo; d) tecnigrafo

Manipolatore S.C.A.R.A. (catena RRP)

C:\Users\rivola\Google Drive\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\02Richiami_Cinematica.doc 2 – 1

RICHIAMI DI CINEMATICA DEL PUNTO NEL PIANO. Posizione del punto P(t) = (P-O) = x(t) i + y(t) j P = x(t) + i y(t) forma cartesiana P = P eiθ forma polare P modulo θ anomalia

Significato del vettore posizione P (a) e sua corrispondenza con il numero complesso P (b).

Velocità del punto

jijiP

V V V (t)y (t)x dt

(t)d (t) yx +=+== ɺɺ

x y x i y V i V= + = +V ɺ ɺ

i i i e i e eP P Vθ θ αθ= + =V ɺɺ

Significato del vettore velocità V (a) e sua corrispondenza con il numero complesso V (b).


Il termine i eP θɺ ha anomalia pari a θ

Il termine ( )iii i 22i e e e eP P Pππ θθ θθ θ θ+

= =ɺ ɺ ɺ è ad esso perpendicolare

Il vettore velocità è tangente alla traiettoria del punto. Infatti: x

y

x

y

V

V

x

y

d

dtg ===

ɺ

ɺα

Accelerazione del punto

jiV

a (t)y (t)x dt

(t)d (t) ɺɺɺɺ +==

x i y= +a ɺɺ ɺɺ

i i

t n e i eV Vα αα= + = +a a aɺ ɺ

Il termine i

t eV α=a ɺ ha anomalia pari a α e quindi è tangente la traiettoria in P. Il suo modulo indica

la variazione del modulo della velocità.

Il termine ( )ii 2n i e eV V

π ααα α += =a ɺ ɺ è ad esso perpendicolare e quindi è normale alla traiettoria in

P. Il suo modulo indica la variazione della direzione della velocità.

Essendo: Vαρ

=ɺ dove ρ è il raggio del cerchio oscuratore in P

si ha: 2

i i e i eV

V α α

ρ= +a ɺ

Significato del vettore accelerazione a (a) e sua corrispondenza con il numero complesso a (b).


RICHIAMI DI CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO. Teorema di Kennedy-Aronhold. Allineamento dei centri di istantanea rotazione.

Velocità e accelerazioni dei punti di un corpo rigido. Descritto il moto del corpo utilizzando due coordinate di un suo punto qualsiasi A e la rotazione β del corpo stesso, la posizione di un altro punto B appartenente al corpo può essere espressa come:

B i B A i A ix y x y AB e β= + = + +B

Moto rototraslatorio nel piano (posizione)


Teorema di Rivals per le velocità )( AB AB −∧+= ωVV

( )i 2Ax Ay A BA i eB V V AB

π ββ += + + = +V V Vɺ

Teorema di Rivals per le accelerazioni

)()())(()( 2AAB ABωABABAB −−−∧+=−∧∧+−∧+= ωaωωωaa ɺɺ

( )i 2 i2B Ax Ay A BAt BAn A BA i e ea a AB AB

π β ββ β+= + + − = + + = +a a a a a aɺɺ ɺ

Moto rototraslatorio nel piano (velocità e accelerazione)

i 2 iBA BAt BAn

i 2 i

e e

e e

i AB AB

i AB AB

β β

β β

β βω ω

= + = − =

= −

a a a ɺɺ ɺ

ɺ

2 2tg

β ωαβ ω

= − = −ɺɺ ɺ

ɺ

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:03Analisi_Cinematica.doc 3 – 1

SISTEMI ARTICOLATI. Il quadrilatero articolato piano.

Quadrilateri articolati piani di Grashof (G) e non.


Quadrilateri articolati piani: classe limite. Parallelogramma articolato (a); antiparallelogramma articolato (b); quadrilatero isoscele (c).

La catena cinematica con tre coppie rotoidali e una prismatica.

In figura le linee tratteggiate mostrano una estensione comune del meccanismo nel caso in cui il cedente debba possedere moto rettilineo alterno con ritorno rapido.


ANALISI CINEMATICA DI MECCANISMI. Manipolatore piano R-R (manipolatore S.C.A.R.A.)

Manipolatore S.C.A.R.A.

Schema cinematico del manipolatore S.C.A.R.A.

)(BB bay i x βαα ++=+= ii eeB

)( cos bcosa xB βαα ++= )(sin bsina yB βαα ++=


Manovellismo di spinta: esempio numerico.

Vettura Alfa Romeo 2000 GT Veloce (1971)

raggio manovella r = 44.25 mm lunghezza biella l = 157 mm regime di rotazione di potenza massima 5800 giri/min Considerando la manovella nella posizione ϕ = π/4 si ottiene (nell’ipotesi di regime costante di rotazione dell’albero motore): s = 16 mm (misurato a partire dalla posizione di punto morto superiore) v = 22.87 m/s a = 11640 m/s2


Manovellismo di spinta: confronto tra soluzioni esatte e soluzioni approssimate (del II e I ordine). Soluzioni esatte al variare del rapporto λ confrontate con le soluzioni approssimate del I ordine.


Coefficienti di velocità: confronto tra andamenti esatti e quelli approssimati del I e II ordine.


Manovellismo di spinta: espressioni esatte e approssimate (del II e I ordine) del moto del corsoio. Espressioni esatte Posizione ϕλγ 22 sin1cos −−= ϕλϕ 22 sin1cos −−−+= lrrls

Velocità γϕ

λγcoscos

Ω=! )cos(sin γϕϕ tgrs −Ω=!

Accelerazione ϕγγϕγγ cossinsincos 22 Ω++Ω−= !!!! rlrl

ϕγγγγϕ sinsincoscos 22 Ω+−−Ω= !!!!!! rllrs Espressioni approssimate al II ordine

Posizione )2cos1(4

1cos2

ϕλ

γ −+−=II ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+= ϕλ

ϕλ 2cos

4cos

41rsII

Velocità ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Ω= ϕλ

ϕ 2sin2

sinrsII!

Accelerazione ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Ω++Ω= ϕλ

ϕϕλϕ 2sin2

sin2coscos2 !!! rrsII

Espressioni approssimate al I ordine Posizione ( )ϕcos1−= rsI Velocità ϕsinΩ= rsI! Accelerazione ϕϕ sincos2 Ω+Ω= !!! rrsI

C:\Users\rivola\Google Drive\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\04Richiami_Statica_Dinamica.doc 4 – 1

RICHIAMI DI STATICA : ANALISI STATICA GRAFICA.

Equilibrio di due forze Equilibrio di tre forze convergenti Equilibrio di tre forze parallele Equilibrio impossibile di quattro forze

Equilibrio indeterminato di quattro forze

Equilibrio di quattro forze (metodo della retta ausiliaria)

F1

r1

F2

F3

r3 r2

A

a b

F1

r1

A

r4

F1

r1

r3

r2

A

r4

2′FF1

2′′′F

2′′F 3′F

3′′′F

3′′F

4′F

4′′′F4′′F

F1

r1

F2

F1

F3 r3

r2

P

A F1

r F2

F1

r1

r3 r2

A r4

F1

B

ra

F2

F4

F3

B

A

C:\Users\rivola\Google Drive\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\04Richiami_Statica_Dinamica.doc 4 – 2

RICHIAMI DI STATICA : ESEMPIO. Con riferimento alla figura, due pulegge il cui peso è noto sono calettate sull’albero ad asse verticale di peso noto G3. Note le dimensioni e date le tensioni Qi (i=1, 2, 3) delle funi, si determinino le razioni vincolari nei cuscinetti A e B e la forza esterna P, nell’ipotesi di assenza di attrito. Dati Geometrici: 0.2ma = , 0.4mb = , 1 0.2mr = , 2 0.15mr = ; Carichi noti: 1 300NQ = , 2 75NQ = , 3 100NQ = , 1 200NG = , 2 45NG = , 3 60NG = ; L’equilibrio alla traslazione porge

(1) A 1 2 B 0x xR Q Q R− − + =

(2) A 1 2 3 0yR G G G− − − =

(3) A B 3 0z zR R Q P+ − − =

mentre da quello alla rotazione si ricava

(4) ( ) ( ) ( )B 3 2 0zR a b Q P a b+ − + + =

(5) ( ) ( )2 1 1 3 2 0Q Q r P Q r− + − =

(6) ( ) ( )1 2 B 0xQ Q a R a b+ − + =

Le Eq. (5), (6) e (2) porgono rispettivamente

( ) 13 1 2

2

400Nr

P Q Q Qr

= + − =

( )B 1 2 125Nx

aR Q Q

a b= + =

+

A 1 2 3 305NyR G G G= + + =

mentre le Eq. (1), (4) e (3) forniscono

( )A 1 2 1 2 250Nx x

bR Q Q B Q Q

a b= + − = + =

+

( ) ( ) 1B 3 3 1 2

2

2 22 667Nz

a b r a bR Q P Q Q Q

a b r a b

+ += + = + − = + +

( ) 1A 3 3 1 2

2

2 167Nz z

r aR Q P B Q Q Q

r a b

= + − = − + − = − +

Q1

a

Q2

Q3 P

RAy

z

y

x

b

a

RBz

RBx

2r1

2r2

G1

G3

G2

O

RAz

RAx

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:05Forze_Rendimento.doc 5 – 1




APPLICAZIONI DI ELEMENTI VOLVENTI


ATTRITO RADENTE



Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:06Statica_Meccanismi.doc 6 – 1

ANALISI STATICA DI UNA PRESSA DA BANCO (senza attrito)

In Figura è rappresentato lo schema di una pressa da banco. Si tratta di un sistema articolato piano con quattro membri e quattro coppie cinematiche di tipo C1 (tre coppie rotoidali e una prismatica). Il meccanismo possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler ( 3 3 2 4 1⋅ − ⋅ = ). Occorre applicare una forza di serraggio nota Q mediante il membro (2). L’attuazione è realizzata mediante una leva manuale (membro (3)) nel cui punto D l’operatore applica la forza incognita P. Applicando il PLV risulta:

0cos =⋅+⋅−=⋅+⋅ αDBDB vPvQvPvQ !!!! αcosD

B

vvQP ⋅

=

per cui, affinché la forza esercitata sia minima, deve risultare α=0: D

B

vvQP ⋅

=min

Conviene pertanto applicare la forza P in direzione parallela alla velocità del punto D. La direzione della velocità del punto D può essere facilmente determinata individuando il centro di istantanea rotazione assoluto C31 del membro (3). Si noti infatti che di due punti della leva, A e B, sono note le direzioni della velocità: la velocità di A è ortogonale alla congiungente O con A, mentre il punto B trasla in direzione verticale. Una volta scelto di applicare la forza P nella direzione di VD, la forza può essere determinata tramite analisi cinematica, al fine di valutare il rapporto di velocità tra VB e VD, o un’analisi statica (per via grafica o analitica).

1

2

3

4

P

O

A

B

D

Q

α VD

C31

1

2

3

4

P

O

A

B

D

Q

VD

C31


ANALISI STATICA DI UN ESCAVATORE (senza attrito)


ANALISI STATICA GRAFICA DI UNA PIATTAFORMA DI SOLLEVAMENTO (senza attrito)

In Figura è rappresentato lo schema di una piattaforma di sollevamento per autoveicoli. Si tratta di un sistema articolato piano con otto membri e dieci coppie cinematiche di tipo C1 (sette coppie rotoidali e tre prismatiche). Il meccanismo possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler (3 7 2 10 1⋅ − ⋅ = ). L’attuazione è realizzata mediante un martinetto idraulico, costituito dai membri (5) e (6). Il fluido in pressione, inviato nella camera inferiore del cilindro (6), agisce sul pistone collocato all’estremità dello stelo (5), provocandone la fuoriuscita dal cilindro. A sua volta, lo stelo spinge sul membro (4) attraverso la coppia in E, costringendolo a ruotare intorno all’asse della coppia D: ciò produce il sollevamento della pedana (1).

Figura 1

e

l

c

qf

Q

g

d

y

x

� �

� �

�

�

��

F

A B

D C

GE

a

H


Analisi statica grafica

R21

eQ

� �

� �

QR31

f

( )( )

21 21 31

31

Qe R e f Q R R

e f e fQf R e f

= +⎧⎪⇒ = =⎨

+= +⎪⎩

�

�

�

�

R13

R13

R43 R73

g h

( )13 73 13 73 43

13 43

R g R h R R RR g h R h h g g h

=⎧⎪⇒ = =⎨

+ = +⎪⎩

�

�

�

�

R24

R34

R34

R24

S

n m

( )34 24 34 24

34

R n R m R R SR n m Sm m n n m

=⎧⎪⇒ = =⎨

+ = +⎪⎩

�

�

� �

�

SR84

F

84+ + =F S R 0


ANALISI STATICA ANALITICA DI UN SISTEMA ARTICOLATO (senza attrito)

Nel meccanismo rappresentato in figura, sullo spintore 1 agisce la forza resistente nota Q. Si determini la coppia M da applicare al bilanciere 3.

Applicando il PLV risulta:

011 =Ω⋅+⋅−=Ω×+× MvQMvQ BB

!!!!

da cui: 1Ω⋅

= BvQM

La coppia incognita può quindi essere determinata tramite una analisi cinematica, in modo da valutare il rapporto di velocità tra VB e Ω1. Per l’analisi cinematica, si faccia riferimento alla figura seguente. L’equazione di chiusura è:

0!

=+++→→→→

DOBDABOA

ovvero: ⎩⎨⎧

=+

=+

hbasba

21

21

sinsincoscosϕϕ

ϕϕ

Derivando si ottiene: ⎩⎨⎧

=Ω+Ω

=Ω−Ω−

0coscossinsin

2211

2211

ϕϕ

ϕϕ

basba !

da cui risulta: ( )2111

2

112

tancossincoscos

ϕϕϕ

ϕϕ

−Ω−==

Ω−=Ω

aVsba

B!

L’analisi cinematica può essere condotta anche mediante la ricerca dei centri di istantanea rotazione (vedi schema a lato).


ANALISI STATICA GRAFICA DEL MECCANISMO PER L’AZIONAMENTO DI UNA PORTA INDUSTRIALE

(senza attrito)



ANALISI STATICA GRAFICA DEL MANOVELLISMO (senza attrito)


ANALISI STATICA GRAFICA DEL MANOVELLISMO (con attrito)


ANALISI STATICA GRAFICA DI UN MECCANISMO CAMMA-BILANCIERE (con attrito)

In Figura è rappresentato lo schema di un meccanismo camma-bilanciere. Il meccanismo ha tre membri e tre coppie cinematiche (due rotoidali ed una superiore) e, pertanto, possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler ( 3 2 2 2 1 1⋅ − ⋅ − = ). Al membro (2) (il bilanciere), dotato di moto orario, è applicata la forza resistente Q. Occorre determinare il momento M da applicare al membro (1) (la camma) per assicurare l’equilibrio. Si consideri noto l’angolo d’attrito cinetico ϕ nella coppia superiore ed il raggio dei circoli di attrito nelle due coppie rotoidali.

Per la soluzione occorre determinare i versi delle velocità assolute e relative dei membri. Per farlo è utile ricorrere ai centri di istantanea rotazione. Ad esempio, una volta individuato C12 si nota come questo sia interno ai due centri assoluti; pertanto le due velocità angolari Ω2 e Ω1 hanno verso opposto. La velocità angolare relativa Ω21 avrà quindi lo stesso verso di Ω2. E’, infatti:

1221 Ω−Ω=Ω!!!


ANALISI STATICA GRAFICA DI UN SISTEMA ARTICOLATO (con attrito)

Nel meccanismo rappresentato in figura, sullo spintore 1 agisce la forza resistente nota Q. Noto l’angolo di attrito cinetico ϕ e il raggio del circolo di attrito nelle coppie rotoidali, si determini la coppia da applicare al bilanciere 3.


PARTENZA DI UN AUTOVEICOLO

Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore su una strada orizzontale. Sia m la sua massa e h l’altezza sul suolo del suo baricentro. Note le distanze a e b della forza peso dagli assi delle ruote e noto l’angolo di attrito di aderenza ϕ a tra il suolo e la ruota posteriore, si determini l’accelerazione massima che si può imprimere al veicolo da fermo.

Nell’ipotesi di trascurare l’attrito volvente nei contatti ruota-strada e l’attrito nelle coppie rotoidali delle ruota (in tal caso la reazione RA risulta verticale), si perviene alla seguente:

ghfp

afxa

aMAX −=!! dove: aa tgf ϕ= e p = a+b

Nel caso in cui sia: h = 0.2 p a = b = p/2 se fa = 0.3 risulta: =MAXx!! 1.6 m/s2 ( t = 18 s ) se fa = 0.7 risulta: =MAXx!! 4.0 m/s2 ( t = 7 s ) dove t è il tempo necessario per raggiungere la velocità di 100 km/h pensando di avanzare ad accelerazione costante.


AUTOVEICOLO IN SALITA

Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore che percorre una strada in salita con al traino un tiro T. Sia m la sua massa e h l’altezza sul suolo del gancio di traino. Noto l’angolo di attrito di aderenza ϕ a tra il suolo e la ruota posteriore, si determini il tiro massimo applicabile al gancio di traino in condizioni limiti di aderenza supponendo il moto uniforme. SOLUZIONE GRAFICA

Si osservi che se la pendenza diventa troppo elevata, il tiro massimo assume verso concorde con quello del moto, ovvero non si può trainare nulla ed occorre spingere il veicolo.


AUTOVEICOLO IN DISCESA

Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore che percorre una strada in discesa. Nota la sua massa m si determini la coppia da applicare alle ruote posteriori in condizioni di moto uniforme. Verificare inoltre che, noto l’angolo di attrito di aderenza ϕ a tra il suolo e le ruote posteriori, non avvenga strisciamento tra queste ultime ed il terreno. SOLUZIONE GRAFICA Si osservi che se la discesa supera una certa pendenza, alle ruote posteriori è necessario applicare una coppia frenante.

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:07a_Ruote_Rotismi.doc 7a – 1

TAGLIO di RUOTE DENTATE alla macchina utensile per inviluppo

Taglio con utensile dentiera Taglio con coltello Fellows

Taglio con utensile creatore

Taglio con utensile dentiera Taglio con coltello Fellows


DENTIERA NORMALIZZATA

p0 = πm0

= =

h =

2.5

m0

== linea di riferimento

SEGMENTO di AZIONE e ARCO di AZIONE

N2

N1B1

O1

O2

R2

R1

CA1

K1

K2

A2B2

Segmento di azione

2121 NNCNCN =+

Arco di azione

ABCBCACBCA =+=+ 2211

CONDIZIONE DI CONTINUITA’

Fattore di ricoprimento

1≥=pAB

ε


Ruote dentate cilindriche a DENTI DRITTI

Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI

I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani


FORZE negli INGRANAGGI CILINDRICI a DENTI DRITTI

RMFt = αcos

tN

FF = αtantr FF =


FORZE negli INGRANAGGI CILINDRICI a DENTI ELICOIDALI

RMFt = βtanta FF = βα cos/tan ntr FF =

βcos/tn FF = nnN FF αcos/=


Ruote dentate CONICHE


INGRANAGGIO VITE SENZA FINE – RUOTA ELICOIDALE

Zi

=τ

i = n. di principi della vite Z = n. di denti della ruota


ROTISMI ORDINARI



ROTISMI EPICLOIDALI

31

1

1 ZZZP

+=

ΩΩ

31

421 1ZZZZ

P

−=ΩΩ



DIFFERENZIALE PER AUTOVETTURA

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:07b_Organi_Flessibili.doc 7b – 1



TRASMISSIONE con CINGHIE PIATTE

Puleggia CONDOTTA (raggio R2) Equilibrio di un elemento infinitesimo di cinghia

αdR2 lunghezza dell’elemento di cinghia

T, T+dT forze agenti in

direzione normale al piano trasversale cinghia

f coefficiente di attrito cinetico p reazione radiale della puleggia sulla cinghia (forza per unità di lunghezza) f p reazione tangenziale della puleggia sulla cinghia (forza per unità di lunghezza) q massa per unità di lunghezza della cinghia v velocità (tangenziale) dell’elemento di cinghia a accelerazione (centripeta) dell’elemento di cinghia

222

RaRv

Ω=

Ω=

2

2

Rva =

reazione RADIALE αdRp 2 reazione TANGENZIALE αdRpf 2

forza CENTRIFUGA αα dvqdRqa 22 =

Equilibrio RADIALE 2sin)(

2sin2

2αα

ααddTTdTdvqdRp ++=+

Equilibrio TANGENZIALE 2cos)(

2cos2

ααα

ddTTdTdRfp +=+

22sin1

2cos ααα ddd

≅≅ TvqRp =+ 2

2 dTdRfp =α2

dTdvqTf =− α)( 2

2vqTdTdf−

=α )log(' 2vqTCf −=+α 2vqTCe f −=α (1)

Condizioni al contorno per la puleggia CONDOTTA

12

20TTTT==

==

αα

α 2)()( 2

22

1αfevqTvqT −=−

Puleggia CONDOTTA 2)()( 22

21

αfevqTvqT −=− (2)

Puleggia MOTRICE 1)()( 22

21

αfevqTvqT −=− (3)


Osserviamo che: 2122

21 12 αααα ===−

− ff eevqTvqT

La (2) e la (3) sono valide entrambe SOLO SE le pulegge hanno lo stesso diametro. Se i diametri delle pulegge sono diversi, vale solo una tra le (2) e la (3), quella relativa alla puleggia minore. Per l’altra puleggia (quella maggiore) deve valere:

βfevqTvqT )()( 22

21 −=−

β angolo della zona di strisciamento nella puleggia maggiore

e deve aversi αβ = α angolo di avvolgimento della puleggia minore

Se la puleggia maggiore è CONDOTTA vale la (3) con βα =1 e 2ββ = Se la puleggia maggiore è MOTRICE vale la (2) con βα =2 e 1ββ = Nel caso descritto, nella puleggia minore si ha slittamento su tutto l’arco di avvolgimento. Un sovraccarico porterebbe ad uno slittamento globale che deteriorerebbe rapidamente la cinghia. E’ pertanto opportuno mantenere un margine di sicurezza, assicurando che:

11 αβ < 22 αβ < (ovviamente è: βββ == 21 )

Per ENTRAMBE le pulegge vale allora: βfevqTvqT )()( 2

22

1 −=− (4)

TIRO nei RAMI di CINGHIA e TIRO di MONTAGGIO

)()( 22

2121

2

2 vqTvqTTTRM

−−−=−=

)()( 22

22

2

2 vqTevqTRM f −−−= β

βfevqTvqT

RM )()(

212

12

2 −−−=

2

2

22 )1(

vqeRMT f +

−= β

2

2

21 )1(

vqeeRMT ff +−

= ββ

2

2

2210 2

1)1(2

vqeeRMTTT

f

f ++

−=

+=

β

β


FRENO A NASTRO (ORDINARIO)

FRENO A NASTRO DIFFERENZIALE

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:07c_Freni_Frizioni.doc 7c – 1

FRENI A DISCO


INNESTI A FRIZIONE


Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:08Macchina_Alternativa.doc 8 – 1

ESEMPIO DI COMPENSAZIONE DELLE FORZE DI INERZIA ALTERNE CON MASSE CONTROROTANTI


ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA ALTERNATIVA A QUATTRO CILINDRI IN LINEA

1

2

1

2

3

4

3

4

FORZE DI INERZIA ROTANTI (Fr) E FORZE ALTERNE DEL I ORDINE (FaI)

La risultante 1+2+3+4 è nulla. Le risultanti 1+4 e 2+3 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.

1

2

1234

3

4

FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII)

La risultante 1+2+3+4 non è nulla.


ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA A SEI CILINDRI IN LINEA: PRIMA DISPOSIZIONE

1

2

3

4 5

6

1

23

4

5

6

1,2

5,6

3,4


La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. I momenti delle coppie di forze (1, 2), (3, 4) e (5, 6) hanno risultante nulla.

1

2

3

4 5

6

1

2

34

56

FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII) La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla.

Le risultanti 1+2, 3+4 e 5+6 non sono complanari e quindi il momento risultante non è nullo.


ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA A SEI CILINDRI IN LINEA: SECONDA DISPOSIZIONE

12

3

4

5

6

1

234 5

6


La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. Le risultanti 1+6, 2+5 e 3+4 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.

12

3

4

5

6

1

2 345

6

FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII)

La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. Le risultanti 1+6, 2+5 e 3+4 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.


Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:09Dinamica_Rotori.doc 9 – 1

AZIONI D’INERZIA SU UN CORPO RIGIDO

La risultante delle forze d’inerzia è uguale e opposta alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto del corpo:

dtd

iQF −=

Dalle definizioni di baricentro e quantità di moto si ricava:

GG

i mdtdm

dtd avQF −=−=−=

Sia ω la velocità angolare del corpo rispetto ad un riferimento inerziale e sia O un punto appartenente al corpo, origine di una terna di riferimento (x, y, z) solidale con il corpo. Assumiamo che O coincida con un punto fisso (qualora esista) ovvero con il baricentro. Il momento della quantità di moto del corpo rispetto al punto O risulta espresso dalla:

ωOO JK =

dove la matrice simmetrica ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

O

JJJJJJJJJ

J è detta tensore di inerzia.

Il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto a un punto O (fisso o baricentrico) è uguale ed opposto alla derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto:

dtd O

OiKM −=,

Si dimostra che vale la seguente:

ωωω OOO

dtd JJK ~+= ! dove ω~ è la matrice antisimmetrica:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

00

0~

xy

xz

yz

ωω

ωω

ωω

ω

Pertanto si ha: ωωω OOOi JJM ~

, −−= !

O’

G

X O

Y

Z Y’

X’ Z’


Supponiamo il caso di corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso. Sia questo l’asse z della terna solidale con il corpo.

La risultante delle forze d’inerzia vale: Gi maF −= Per quanto riguarda il momento risultante delle forze d’inerzia, essendo:

{ }Tzω00=ω ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

0000000

~z

z

ω

ω

ω risulta:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−=−−=

zzyzxz

yzyxy

xzxyx

z

z

zzyzxz

yzyxy

xzxyx

OOOi

JJJJJJJJJ

JJJJJJJJJ

ω

ω

ω

ω

00

0000000

00

~,

!

! ωωω JJM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−=

z

xzxyx

yzyxy

zz

z

yz

xz

Oi JJJJJJ

JJJ

ω

ωω 00

000, !M

In definitiva: 2,

0zxz

yz

z

z

yz

xz

Oi JJ

JJJ

ωω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= !M

X

O

Y

Z=Z’


Se l’asse z (fisso) è principale d’inerzia (ma non è baricentrico)

Gi maF −=

2,

000

00

zz

z

Gi

Jωω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= !M

Se l’asse z (fisso) è baricentrico (ma non è principale d’inerzia)

0=iF 2,

0zxz

yz

z

z

yz

xz

Gi JJ

JJJ

ωω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= !M

Se l’asse z (fisso) è baricentrico e principale d’inerzia (asse centrale di inerzia)

0=iF 2,

000

00

zz

z

Gi

Jωω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= !M

O=G

Y

Z’ Z

X


Nel caso in cui la velocità angolare sia costante, si ha:

Fi = − m ωz2 GO 2

,

0zxz

yz

Oi JJ

ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

+=M

In tal caso, se l’asse è principale d’inerzia ma non è baricentrico, si ha: SQUILIBRIO STATICO Fi = − m ωz

2 GO 0, =OiM

Se, al contrario, l’asse è baricentrico ma non è principale d’inerzia, risulta:

SQUILIBRIO DINAMICO Fi = 0 2,

0zxz

yz

Oi JJ

ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

+=M


Azioni su due supporti dovute allo squilibrio STATICO e DINAMICO di un rotore.

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:10Dinamica_Impianti.doc 10 – 1

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:new:10Dinamica_Impianti.doc 10 – 2

Macintosh HD:Users:rivola:Google Drive:DIDATTIC:FORLI:MaM:Dispense:11Vibrazioni.doc 11 – 1

RIGIDEZZA DI MOLLE IN SERIE E IN PARALLELO

ESEMPI DI CALCOLO DELLA RIGIDEZZA


ESERCIZIO 1 Un compressore centrifugo di massa complessiva m = 40 kg, ruota a n = 1500 rpm e presenta uno squilibrio statico s = 200 kg mm. Si supponga di collegarlo al suolo con una sospensione schematizzabile con una molla ed uno smorzatore viscoso. Noto il fattore di smorzamento ζ = 0.15, si determini quale deve essere la costante elastica k della molla affinché la trasmissibilità della sospensione abbia il valore 0.08. Calcolare inoltre l’ampiezza della forza trasmessa al suolo. ESERCIZIO 2 In un aeroplano per ridurre le vibrazioni trasmesse agli strumenti di bordo, questi sono stati collegati al telaio dell’aereo mediante sospensioni aventi smorzamento trascurabile. Se tali sospensioni si accorciano di una quantità δ = 2.6 mm sotto il peso Q = 180 N degli strumenti, trovare il rapporto tra l’ampiezza delle vibrazioni degli strumenti e l’ampiezza delle vibrazioni del telaio dell’aereo nel caso in cui sia f = 30 Hz la frequenza di queste ultime. Si calcoli inoltre la costante elastica equivalente della sospensione.


ESERCIZIO 3 Una macchina di massa complessiva m = 450 kg, con un rotore avente uno squilibrio statico s = 0.2 kg m, funziona a regime alla velocità n = 1200 rpm. La macchina è montata su una sospensione che ha freccia statica δ = 5 mm e fattore di smorzamento ζ = 0.1. Calcolare la rigidezza k della sospensione, l’ampiezza T0 della forza trasmessa al suolo e l’ampiezza X0 delle oscillazioni della macchina alla velocità di regime. Volendo ridurre l’ampiezza delle oscillazioni al valore X0’ = 0.1 mm, lasciando inalterata l’ampiezza T0 della forza trasmessa al suolo, si monta la macchina su un blocco di calcestruzzo e si modifica la sospensione. Si calcoli la massa M del blocco e la nuova rigidezza k' della sospensione, ipotizzando che il fattore di smorzamento resti inalterato.

Nel primo modo di installazione (fig. 1) risulta: 602 nπ

ω = δ

ωg

n = 2nmk ω=

NsT

nn

n 514

21

21

222

2

20 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ζωω

ωω

ζ

ω (1)

mmsX

nn

n

3

2222

2

10506.0

21

1 −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

ωω

ζωω

ωω

(2)

Confrontando la (2) e la (4)

risulta: Mmm

XX

+='

Aggiungendo il blocco di calcestruzzo e modificando la sospensione (fig. 2), l’ampiezza T0 deve restare inalterata e quindi, per la (1), ωn non può essere modificato:

Mmk

mk

n +==

'2ω (3)

da cui si ricava:

kgXXmM 12861'

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

inoltre l'ampiezza dell'oscillazione deve ridursi al valore:

2222

2

21

1)(

'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

nn

nMmsX

ωω

ζωω

ωω

(4)

Infine, dalla (3) si ricava:

mkN

XXkk 4466'

' ==


ESERCIZIO 4 Si consideri il veicolo elementare schematizzato in figura che si muove con velocità v = 100 km/h su una strada ondulata il cui andamento è ben rappresentato da una funzione sinusoidale avente lunghezza d’onda λ = 4 m ed ampiezza Y. La massa del veicolo a pieno carico è mP = 1200 kg, mentre a vuoto è mV = 400 kg. La costante elastica della sospensione vale k = 400 kN/m ed il fattore di smorzamento a pieno carico vale ζP = 0.4. Determinare il rapporto tra l’ampiezza delle oscillazioni del veicolo e l’ampiezza delle oscillazioni del suolo, sia a pieno carico che a vuoto.

Il legame tra la lunghezza d’onda e la pulsazione dell’eccitazione è: ωπ

λ2v=

Per cui risulta: sradv 432

==λπ

ω

Il fattore di smorzamento vale: kmc

2=ζ da cui: kmc ζ2=

La costante di smorzamento c resta ovviamente inalterata, pertanto deve essere:

VVPP kmkmc ζζ 22 == da cui si ricava: 693.0==V

PPV mm

ζζ

Il rapporto tra le ampiezze di vibrazione e dell’eccitazione vale:

222

2

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

nn

n

YX

ωω

ζωω

ωω

ζ

τ


I risultati sono riepilogati in tabella e rappresentati nel grafico seguente.

VUOTO PIENO CARICO m 400 kg 1200 kg

ωn 31.6 rad/s 18.3 rad/s

(ω/ωn)2 1.90 5.66

ζ 0.693 0.4

τ=X/Y 1.02 0.43 In figura è riportato l’andamento del rapporto tra le ampiezze nelle due condizione, a pieno carico (linea rossa) e a vuoto (linea blu), in funzione del rapporto tra pulsazione dell’eccitazione e pulsazione propria del sistema. I due cerchietti evidenziano le due condizioni di funzionamento.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

caricovuoto

Documents

Università degli Studi di Bologna – Scuola di Ingegneria e ...diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mam/00MAM1516.pdf · rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le