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UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES. AÑO 2007 TÍTULO: TALLERES DURACIÓN: 12 HORAS DE DURACION TOTAL BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS, Boyce DiPrima CONTEXTUALIZACION GENERAL DE LA GUIA DE TRABAJO DE CLASE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES. OBJETIVOS Ilustrar los estudiantes en los diferentes principios y métodos de resolución de las ecuaciones. Adquirir los conocimientos teóricos necesarios y las fórmulas requeridas para identificar detalladamente cada uno de los principios y métodos de las ecuaciones. Renovar las series de ejercicios, agregando nuevas clases de problemas, algunos requieren resolverlos usando sistemas algebraicos de cómputo.

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UNIVERSIDAD LIBREFACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES. AÑO 2007

TÍTULO: TALLERESDURACIÓN: 12 HORAS DE DURACION TOTALBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS, Boyce DiPrima

CONTEXTUALIZACION GENERAL DE LA GUIA DE TRABAJO DE CLASE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES.

OBJETIVOS

Ilustrar los estudiantes en los diferentes principios y métodos de resolución de las ecuaciones.

Adquirir los conocimientos teóricos necesarios y las fórmulas requeridas para identificar detalladamente cada uno de los principios y métodos de las ecuaciones.

Renovar las series de ejercicios, agregando nuevas clases de problemas, algunos requieren resolverlos usando sistemas algebraicos de cómputo.

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CONCEPTUALIZACION

ECUACIONES DIFERENCIALES

Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x , la función incógnita )(xyy = y sus derivadas nyyy ......,, ′′′ , es decir una ecuación de la forma: F ( ) 0,.......,,,, =′′′ nyyyyxEn otras palabras se llama ecuación diferencial, una ecuación en la que figura la derivada o diferencial de la función incógnita.

ORDEN DE UNA ECUACION

Se llama orden de una ecuación derivada al “orden” de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Ejemplos: 04 =−′+′′ yyy Segundo orden xyyyy +=−− 257 24 Séptimo orden

GRADO DE UNA ECUACION

Se llama grado de una ecuación diferencial al mayor exponente al que esta elevado el mayor orden de la ecuación siendo este exponente un número natural (N). Si este número no es natural se dice que la ecuación diferencial no tiene grado.

Ejemplos: 0534 2 =′′+′+ yxyxyxy Primer grado 0445 2 =′−′′+′′′ yyy Segundo grado

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial ordinaria de orden “n” es lineal si es de la forma:( ) ( ) ( ) 0........1

21 =++ − yxayxayxa nnn

NOTA: en una ecuación lineal NO pueden aparecer productos de Y con nYYY ,....., ′′′ , ni funciones trascendentes de Y.

Ejemplos: 053 =′+′′+ yyxy Es linealcxyyxSenx +=′′′+′′− 534 Es lineal

05416 =′′+−′ yySenyx No es lineal, hay una función de Y.

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SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

La solución de una ecuación diferencial es una función de la forma ( )xyy = y que al reemplazarla en la ecuación diferencial nos resulta una Identidad.

Ejemplo: xSeny = es solución de 0=+′′ yyxSenyxCosy −=′′=′

Reemplazando tenemos:0=+− xSenxSen00 =

SOLUCION GENERAL

Es el conjunto de todas las soluciones que verifican la identidad )( cxyy ,= .

Ejemplo: Comprobar que la solución general de0=−′ yy Es xcey =

xcey =′Reemplazando tenemos:

0=− xx cece00 =

C es la clave en la solución general y C sale de las integrales y es una constante.

SOLUCION PARTICULARUna solución particular de la ecuación diferencial es una de las generales y se halla aplicando las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo: Hallar la curva donde la pendiente de la tangente es igual a la ordenada aumentada en 4 y que pasa por el punto (1,2).

Solución: ( ) 21;4 =+= yyddy

η

cxyLndxydy +=+=+

44

44 −==+ xx ceycey Solución generalReemplazando la condición inicial (1,2) ósea que cuando X=1 ; Y=2 entonces tenemos:

1,26642 1 ≈=−= −ee

cce x

Ahora reemplazo este valor en la solución general:41,2 −= xey Esta es la curva de la ordenada.

ECUACION DE RICCATI

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Es una ecuación diferencial desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.

Esta ecuación corresponde a la forma: ( ) ( ) ( )xfyxqyxpdxdy =++ 2 esta

ecuación se resuelve si previamente se conoce la solución particular, digamos ( ).1 xy

Ejemplo: resolver la ecuación de Riccati con la solución particular anterior.Conocida dicha solución hacemos el cambio y tenemos:

( ) ( ) ( )xyxzxy 1+=

Reemplazando obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )dxdy

dxxdzxfyxqyxp

dxdy 12 +=+−−=

Es decir

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxqxyxpdxdzxfyxqyxp +−−=+−− 2

112

( ) ( ) ( ) ( )2211 yyxqyyxp

dxdz −+−=

Lo que equivale a:

( ) ( ) ( ) )( ( ) 21 zxqzxyxqxp

dxdz −+−=

Que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio ( ) ( ) ( )xzxyxy 1

1 += esto nos lleva

directamente a una ecuación.

LEY DE CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO.

El problema de valor inicial ( ) 00, xtxkxdtdx == en donde k es una constante de

proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento o decaimiento o desintegración. En biología se ha observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de algunas poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en el tiempo t . Si conocemos una población en cierto tiempo inicial arbitrario 0t , la solución de 1 nos sirve para predecir la población en el futuro; esto es, para 0tt ≥ .

Ejemplo: Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de 5 segundos tengo 10.000. Cuanto tiempo necesito para que la población sea de 1.000.000 de bacterias.

( ) ( ) ( )12 2zyzxqzxp

dxdz +−−=

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( )

.01.1546.0

1000ln46.010ln

10

10.110.1

1000

tan

46.0510ln

5.10ln10

1000000.10

000.1051000

3

46.03

46.036

46.0

5

5

0

segt

t

A

tolopor

k

k

EntoncesAComo

A

AA

ee

e

ee

ee

t

t

t

k

k

kt

kt

==

=

=

=

=

==

==

=

==

=

CIRCUITOS ELECTRICOS SIMPLES

Un circuito eléctrico simple es aquel que está compuesto por un resistor, un inductor o un condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz.

CIRCUITOS R-C CIRCUITOS R-L

Representados por la ecuación Por la ley de Kirchoff unDiferencial lineal: circuito R-L es:

Ecq

dtdqR =+ ERI

dtdIL =+

Ejemplo: Una inductancia de 4 Hercios y una resistencia de 5 Ohmios se conectan en serie con una fem (fuerza electromotriz). Cuando el tiempo es cero. ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo?

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Circuito R-L

( )( )

10054

?100

10045

=+

=+

=+

==

==

Ω=

IdtdI

ERIdtdIL

EErEl

II

volEHL

R

Nota: Siempre en los C.E, R,C, L y E son constantes.

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( )

( )

( )

( )

( ) .26.141

11201

120

2020

201.200

.inttan20

20

20

25

25.

45ln

45

045

2545

2545

.

2545

45

45

45

45

45

45

45

45

45

45

AmperiosI

eI

etI

etI

Kk

inicialesscondicionelasutilizandokegracióndeteconslaHallamosketI

ekeI

uvIkeu

dtedu

edtdu

ev

tv

dtvdu

vdtdv

vvuvu

uvvuvu

vuI

IdtdI

t

t

t

tt

t

t

=

−−=

−−=

−−=

−=+=

+=

+=

=+=

=

=−

−=

−=

−=

=+

=

+′+′

=+′+′

=

=+

Nota: Siempre en los C.E, R,C, L y E son constantes.

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MEZCLAS

Al mezclar dos fluidos a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal, ( )tA′ , en el tanque de mezcla tiene una rapidez neta:

0RRsallasale

queconrapidezsallaentra

queconrapidezdtdA

i −=

=

Ejemplo: Un tanque grande inicialmente tiene 300gl de solución de salmuera y se le bombea salmuera a razón de 3gl por minuto, y se mezcla con la solución original. Y sale del tanque a 3gl por minuto. La concentración es de 2lb/galón.

uvA

AdtdA

AdtdA

AglR

lbR

lbgllbglR

CVRgllbCVgl

salmuerasolucióngl

=

=+

−=

=+

=

=

==

=

==

6100

1006

0300.

min32

min61

min.

min1

1.11

21,1min3300

100

0100

6100

6100

dtvdv

vdtdv

vvuvu

uvvuvu

−=

=+

=

+′+′

=+′+′

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ceu

dtedu

edtduu

ev

tv

t

t

t

t

+=

=

=

==

−=

100

100

100

100

600

6

6.

?

100ln

Se sabe que inicialmente hay 50 lb de NaCl (sal). Entonces aplicando estas condiciones iniciales hallamos C.

50= 600+C

C=-550

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Sea y = ( )axx ,′δ una familia monoparamétrica de curvas, para poder hallar sus trayectorias ortogonales.

1. Componemos la ecuación diferencial de esta familia derivando.=′y ( )axx ,′δ

A continuación eliminamos el parámetro entre las dos anteriores ecuaciones: (quitamos a).

Luego escribimos esta familia en forma implicita( ) 0,, =′yyxf

Para hallar la ortogonal sustituimos

yy

′=′ 1

01,, =

−y

yxf

Y obtuvimos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales.

Y por último integramos la ecuación. Esto en coordenadas rectangulares.

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En coordenadas polares la familia de curvas ( ) 0,, =ayρφ obtenemos las

trayectorias ortogonales sustituyendo ρρρ

′−′

2

por y obtenemos la familia

0,,2

=

−ppyρϕ .

Ejemplo: Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas.

axyaxykxy o

2

22

=′==

Eliminamos el parámetro a.

Parábolascxy

cxy

xdxydy

yxy

xy

y

yysSustituimo

curvaslasdefamilialadeDExyy

axyxaxy

142

42

2

2

21

1

..2

2.22

22

22

2

2

=+

+−=

−=

−=′

=′

−=′

=′

=′=

ECUACION DE LAGRANG

( ) ( ) 0=′++ yyxy ψϕ

Se reduce a una ecuación lineal con x como función y p como variable.

Además, para los λ tales que ( ) 0=+ λϕλ se obtienen como soluciones las rectas ( )λψλ −= xy .

Ejemplo: Observemos la siguiente ecuación:

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( ) ( )ρ

ϕρ=′

′+′=y

yyxy

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( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

22

2

2

2

2

2

1

1.

11.

1ln2ln

2

2

12

12

12

12

12

12

212

22

ln2ln2:.

ρρ

ρρ

ρ

ρ

ρρρ

ρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρ

ρ

ρρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρ

ρρϕρρρρρϕρρ

ρ

cx

cx

cu

dududdv

v

v

ddvdu

vddv

vvuvu

uvvuvu

vuvuxuvxddxLíneal

xdpdx

xdpdx

xddx

dxdx

dxdxdx

ddxxddy

xyyyxyEjemplo

aparamétricSoluciónddyxdxdy

xydxdy

+−=

+−=

+−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

+′+′

−=+′+′

′+′=′=

−=+

−−=

+=−

+=−

+

+=

++=

+=′+′=

′+′+=+=

=

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ρρρρ

ln12 2 +

+−= cy

ECUACION DE CLAIRAUT( ) 0=′+′− yyxy ψ

Es un caso particular de ecuación de Lagrange en el que solo aparecen rectas (y su envolvente).

Observemos: ( )yfyxy ′+′= (A)

Donde ( )xf es una función derivable, tiene como solución general ( )cfcxy += y como solución singular

( )( ) ( )

+′−=′−=

tftftytfx

Demostración Para resolver la ecuación (A) hacemos la sustitución yu ′= para obtener

( )ufxuy +=

Derivando ambos lados respecto a

( ) uufuuxy ′′++′=′ (B)

De donde obtenemos que

Surgen dos casos:

Caso 1: Si 0=′u , entonces cu = y sustituyendo en la ecuación (B) obtenemos la solución general ( )cfcxy +=

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación (A) y ′ por .

Caso 2: Si ( ) 0=′+ ufx , entonces ( )ufx ′−= y sustituyendo en la ecuación (A)

( ) ( )ufufuy +′−= , es decir

( )( ) ( )

+′−=′−=

ufuftyufx

( )( ) 0=′+′ ufxu

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Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial

212 tyxy ++′=

Solución: La solución general es la familia de rectas 212 tcxy +±= y como

( ) 212 ttf += la solución singular está dada por

+=

+

−=

2

2

12

1

2

ty

ttx

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de un círculo de radio 2,

Se muestra la familia de rectas tangentes 212 ccxy ++= y la envolvente 422 =+ yx .

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f una función definida para 0≥t . Entonces la integral

L ( )[ ] ( ) dttfetf st−∞∫= 0

Se llama transformada de laplace de f , siempre y cuando la integral converja.

Ejemplo: Evaluar L [ ]t

Solución: De acuerdo con la definición L dttet st−∞∫= 0 . Al integrar por partes

con 0,0 ≥=−

∞→

stelím st

tcomo resultado llegamos a:

[ ] ∫ =

==+−= −∞∞

200111111sss

Ls

dtess

tetL stst

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 1. Definiciones BásicasDURACIÓN: 2 HORASBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No. 1

1). Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). 044 3 =−+′−′′′ yexyxy

b). xSenxyyxxLn =−′′− 43

c). )( xSenxyyx 843/1 =−′−

d). 04433 =−+′−′′ yyyx

2). Indicar cuales de las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior son lineales.

3). Demostrar que cada una de las funciones dadas es solución de la correspondiente ecuación diferencial para un cierto intervalo (a,b) del eje OX.

a). ( ) tCostSentV += para la ecuación 0=+′ tVSentCosV

b). ( ) )( 12 += xexf x para la ecuación yyy −′=′′ 2

4). Verificar si las familias de funciones indicadas satisfacen las ecuaciones diferenciales correspondientes:

a). )( ceLny x ++= 12

2

para la ecuación )( xx eyye =′+1

b). ( ) tety −= para la ecuación )( 01 2 =+′+ yyxy

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c). 32

1 cxcxcY ++= para la ecuación 03 =

′+′′′

xyy

5). Determinar el valor de m para que mxy = sea la solución de las ecuaciones:

a). 02 =−′′ yyx

b). 0462 =+′+′′ yyxyx

6). Verificar que la siguiente función definida a trozos es solución de la ecuación diferencial ( ) xyy 92 =′

( )

≥≤

=00

3 xx

xO

xy

7). Hallar la solución de la ecuación 012 =+′ yCosyx que cumple que ( )316π→y cuando ∞→x .

8). Calcular la ecuación diferencial asociada a las siguientes familias:

a). Las hipérbolas Axyx =− 22

b). Las curvas )( BAxey x +=

c). Las rectas 032 =−+ cxy

9). Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyo centro está situado en el eje OX y son tangentes al eje OY en el origen de coordenadas.

10). La rapidez de propagación de un virus es proporcional al número de personas que se han contagiado ( )tx y al número de ellas que no se han expuesto a él. Siendo n el número de personas de la población, establecer el modelo de propagación del virus en función del número de personas contagiadas.

11). Se colocan 0x bacterias en una solución en un instante 0t . Llamamos ( )tx al número de bacterias en cada instante. Si el alimento y el espacio son limitados, lo cual implica que la población crece a un ritmo proporcional a la población existente en cada momento, modelizar el crecimiento de la población de bacterias en función del número de bacterias en cada instante.

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UNIVERSIDAD LIBREFACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 2. DURACIÓN: 1 HORASBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 2

Realizar los siguientes ejercicios de ecuaciones diferenciales:

a). ) ( )( 02 =++ dyxyCosxdxxyCosxyxySen

b). ) )(( 0242 2222 =′+++ yyxyxx

c). ) )(( 04663 3222 =+++ dyyyxdxxyx

d).

=

−+

++

+

+

+0111

22222dx

yx

yyxydx

yxyxx

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 3. DURACIÓN: 3 HORASBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 3

1). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). xCosdxdy 8=

b). xedxdy =

c). xdx

dy 1=

d). xSenexdx

dy x 312 +−=

e). xLndxdy =

f). xCosxdx

dy ++

=9

12

g). xedxdy x −= 2

2). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). 032 =+ dyxdxy

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b). )( xx edxdyye =+5

c). 2ydxdy =

d). 02 =− xdxdyy

e). ) )(( 011 =−−− dxyydyxx

f). ) =++ 01 2

dxdyxyy

3). Dada la ecuación diferencial 02

23

=+−

dxdy

xye yx se pide:

a). La solución generalb). La solución particular que pasa por P (1,1).

4). La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la del aire CT 0

0 20= . Si el cuerpo tarda en enfriarse 20 minutos desde C0100 a C060 . ¿Cuánto tardará en enfriarse hasta C030 ?

5). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). )( 02tan3 2 =−+ dyySecedxye xx

b). ( ) ( ) 012 22 =−−− dyyxdxyx

c). ( ) 012 =++ dyyCosxdxySenx

6). Encontrar la solución general o particular según cada caso, de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). )( 12243 2

−++=

yxx

dxdy

b). ( ) 1021 2 =

+= y

yxCosy

dxdy

c). 011 22

=−

+− y

dyx

dx

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d). 011 22 =+++ xdxdyyyx

7). Sea xdxdy = y sea ( )xgy = la solución particular que verifica que ( ) 2

71 =−g

se pide:

a). ( )∫−

2

2dxxg

8). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). xyxxy

dxdy

22 −=

b). )( 023 22 =+− dyxydxyx

c). ( ) ( ) 0132 =−+++− dyyxdxyxd). ( ) ( ) 01221 =−++−+ dyyxdxyx

e). ( ) ( ) 042 =+−+−+ dyyxdxyx

f). yx

xy

dxdy −=

9). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). ( ) ( ) 02243 22 =+++ dyyxdxxyx

b). ( ) ( ) 01 =++++ dyeedxeyx yxx

c). ( ) 01222

=+− dyedxyex xx

10). Resolver las siguientes las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). ( ) 0222 =−+ dyxydxyx

b). ( )dyyyxdxyLnxy 12 222 +++

11). Resolver la ecuación 032 2234 =′+− yyxxyxLnx

12). Integrar:

a). xxyy 42 =+′

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b). xxx

xyy ++=′

3

13). Resolver:

a). xCosydxdy =+

b). ( )xSenxCosyydxdy −=+ 2

14). Resolver las siguientes ecuaciones de Bernouilli:

a). 5xyydxdy =+

b). 5xyydxdy =−

c). xLnyxy

dxdy =+

2

15). Hallar las trayectorias ortogonales a:

a). La familia de hipérbolas cxy =

b). La familia de curvas 00 ≥≥∴= cxxy c

c). La familia ( )αα rCosar ∴= 22

16). a).Determinar el valor de a para que las familias de curvas 222

13 cayxyxcy =+= sean ortogonales.

b). Determinar n para que las siguientes familias de curvas sean

ortogonales: cxxykyx nn

+==+

1;

17). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de o2 orden:

a). xxedx

yd =2

2

b). xSendx

yd =2

2

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c). 32

2 1ydx

yd =

d). 2

2

2

1

−=dxdy

dxyd

e). ( ) xdxdyx

dxydx =++ 2

221

f). 02

2

=+ ydx

yd

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UNIVERSIDAD LIBREFACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 4. DURACIÓN: 1 HORA.BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 4

1). Desarrollar los siguientes problemas usando la ecuación de Riccati; considere la ecuación diferencial ( ) ( )212 2 −=−−+′ xxyyxy .

a). Encontrar la solución particular de la forma BAxy +=

b). Encontrar la solución general.

c). Encontrar la solución particular que pasa por el punto (2,2) y el intervalo máximo donde está definida.

2). Un objeto de un kilo de masa es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la luna con velocidad inicial 50 =v kilomillas/hora. Se supone que la única fuerza que domina es la fuerza gravitacional y que ésta es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la luna. Considerando 08,1=a kilomillas como radio de luna y 130 =g kilomillas/ 2hora como la gravedad sobre la superficie de la luna, encuentre:

a). Velocidad del objeto en función de su distancia al centro de la luna

b). Altura máxima que alcanza el objeto.

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UNIVERSIDAD LIBREFACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 5. DURACIÓN: 3 HORASBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No. 5

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento ( )t . Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

2. Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de 5 segundos tengo 000.10 . ¿Cuánto tiempo necesito para que la población sea de

000.000.1 bacterias?

3. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el momento ( )t es proporcional a la cantidad en dicho instante. Calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.

4. Un cultivo tiene una cantidad inicial Po de bacterias. Cuando ht 1= la

cantidad medida de bacterias es Po

23

. Si la rapidez de crecimiento es

proporcional a la cantidad de bacterias presentes ( )tP en el momento ( )t , calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos.

5. Un reactor de producción convierte el uranio 238 en plutonio 239. Al cabo de 15 años se tiene que se ha desintegrado al 0.043% de la cantidad inicial plutonial, es decir que de Ao . En donde Ao son condiciones iniciales de plutonio.

6. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.

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7. Cuando el interés se capitaliza continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero aumenta a razón proporcional a la cantidad presente

rsstdsS =: , donde r es la tasa de interés anual.

a). Calcule la cantidad reunida al término de cinco años, cuando se depositan $

5000 en una cuenta de ahorro que rinde 435 de interés anual compuesto

continuamente.

b). ¿En cuantos años se habrá duplicado el capital inicial?

c). Con una calculadora compare la cantidad obtenida en el punto a con el

valor de ( )( )45

0575,0411

+=S , este valor representa la cantidad reunida

cuando el interés se capitaliza cada trimestre.

8. En cualquier tiempo ( )t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especimenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

9. En un trozo de madera o de carbón se encontró que el %5,85 de C-14 se había desintegrado. ¿Qué edad tenía aproximadamente la madera?

10. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es

F070 y se lleva al exterior, donde la temperatura es F010 . Después de 21

minuto el termómetro indica F050 . ¿Cuál es la temperatura cuando 1=t minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a F015 ?

11. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es F05 . Después de un minuto, el termómetro indica

F055 ; cinco minutos después marca F030 . ¿Cuál era la temperatura del interior?

12. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de C020 , se deja caer en un recipiente con agua hirviente. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar C090 si se sabe que su temperatura aumentó C02 en un segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a C098 ?

13. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es F0300 . Después de tres minutos, de F0200 . ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de F070 ?

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14. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de

sal y le entran min

4 L de solución con 1 gramo de sal por litro; bien mezclado,

de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad ( )tA de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante ( )t .

15. Resolver el problema anterior suponiendo que entra agua pura.

16. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb

de sal disuelta. Le entra salmuera con lb21

de sal por galón a razón de min

6 gal.

El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de min

4 gal de

solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

17. A un circuito en serie, en la cual la inductancia es de 0.1 henerios y la resistencia es de 50 ohmios, se le aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios. Encuentre la corriente para valores grandes del tiempo.

18. Una inductancia de 4 henerios y una resistencia de 5 Ohmios. Se conecta en serie con una f.e.m. de 100 voltios. Si la corriente es cero cuando el tiempo es cero.

a). ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo?

b). Después de 10 segundos.

19. Una ecuación diferencial describe la velocidad (v) de una masa (m) en caída sujeta a la resistencia del aire; es proporcional a la velocidad instantánea

esto es: kvmgdtdvm −== . En que 0≥k es una constante de proporcionalidad

positiva. La dirección positiva es hacia abajo.

a). Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial ( ) ovv =0 .

b). Use la solución del punto a para determinar la velocidad limitante, o terminal

de la masa vdtds = .

20. La rapidez con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se

describe con la ecuación diferencial kxrdtdx −= , donde r y k son constantes

positivas. La función ( )tx describe la concentración del fármaco en la sangre en el momento ( )t . ¿En qué momento la concentración es la mitad de su valor limite?

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21. Un tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10

libras de sal disuelta. Le entra salmuera con 21

libra de sal por galón a razón de

min6 gal

. El contenido del tanque esta bien mezclado y de el sale a razón de

min4 gal

de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a

los 30 minutos.

22. Aplicar la ecuación logística con los siguientes datos:

10000 =N

( ) 10 =N

( )kNNdtdN −= 1000

De donde:N = número de alumnos infectados y1000-N = número de alumnos no infectados.

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NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 6. DURACIÓN: 1 HORABIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No 6

Resuelva el ejercicio suponiendo que la fuerza electromotriz sea: tsenE 60100=

a). Resuelva los siguientes circuitos R-L sabiendo que:

R= 50 ΩL=2HenriosE=100voltiosI(0)=0 Amperios

b). R= 8 ΩL=1HenriosE=6voltiosI(0)=0 Amperios

c). R=10 ΩL=10HenriosE= te vol.I(0)=0 Amperios Después de 10 seg.

Resuelva los siguientes circuitos R-C sabiendo que:

a). R=1 ΩC=1fE=12vol.

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q(0)=0

b). R=200 ΩC=5x10 5− fE=1000vol.q(0)=0

c). R=100 ΩC=10 fµE=100vol.q(0)=0

Con un tiempo de 10segundos.

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 7. DURACIÓN: 1 HORABIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No. 7

1. Hallar la transformada de:

a). 2t

e

b). 1248

23

+++ ttt

c). 21−− t

e

d). ( )thte t cos2 +

2. Hallar la transformada inversa de:

a). 94

32 ++ ss

b). 3510

122 ++

+ss

s

c). 259

872 ++

−ss

s

3. Resolver:

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a). ( ) ( ) 001045 2 ==⇒=+′−′′ yyeyyy t

4. Suponga que el circuito eléctrico se conecta en 0=t a una f.e.m. tE cos= de manera que ( ) ( ) 0000 == iyq . Suponer que: hL 1= , Ω= 6R y

faradiosC91= .

Hallar la intensidad ( )ti y la carga ( )tq .