Universidad �acional de La Plata

Facultad de Ciencias �aturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática

Asignatura: Matemática

Contenidos de la Unidad Temática nº 8 Integral indefinida. Primitivas inmediatas. Uso de tablas de integrales. Integración por sustitución, por partes y por descomposición en fracciones simples. Integral definida; definición, propiedades. Función integral. Fórmula de Barrow. Cálculo de áreas planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Integración aproximada. Formulas de los trapecios y de Simpson.

Ing. Carlos Alfredo López Profesor Titular

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Matemática

Unidad Temática nº 8

Ing. Carlos Alfredo López

I�TEGRACIÓ�: I�TEGRAL I�DEFI�IDA:

Estamos acostumbrados a decir que el producto y el cociente son operaciones inversas. Lo mismo sucede con la potenciación y la radicación. Vamos a tratar ahora sobre la operación inversa de la diferenciación. Dada la función f (x), llamaremos función primitiva de ésta y la designamos con F (x) a toda función tal que

(((( )))) (((( ))))xfx'F ====

(((( )))) (((( ))))dxxfxdF ==== Por ejemplo si ( ) 3xxf = , entonces una función primitiva de f (x) es:

(((( ))))4

xxF

4====

ya que (((( )))) (((( ))))xfx4x4

x'F 33

============

o bien (((( )))) (((( )))) (((( ))))dxxfdxxdxx'FxdF 3============

Otras funciones primitivas distintas son, por ejemplo: 54

xy

4++++==== ;

21

4x

y4

−−−−==== ;

esto ocurre porque la derivada de una constante es igual a cero. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL: “ TODAS las funciones que tienen igual derivada difieren entre sí en una constante “

Luego, hallada una primitiva de f (x), todas las primitivas de f (x) difieren de la calculada en una constante.

La operación de encontrar todas las primitivas de f(x) es

la antidiferenciación, que simbolizamos:

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫ ++++==== CxFdxxf

en la cual C es una constante arbitraria, debiendo leerse el miembro de la izquierda “integral de f de x, diferencial de x “. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Si recordamos las propiedades de la derivación de

funciones, podemos deducir fácilmente propiedades análogas para la integración. ACTIVIDAD: Completar: 1- (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}∫∫∫∫ ====±±±± dxxgxf

2- (((( ))))∫∫∫∫ ====dxxfk

3- (((( ))))∫∫∫∫ ====dxxfd

4- (((( ))))∫∫∫∫ xdF

TABLA DE INTEGRALES. A partir de las tablas de derivación podemos obtener reglas para la integración: Por ejemplo: ∫∫∫∫ ++++==== Cxsendxxcos

porque (((( )))) xcosCxsenD ====++++ (((( )))) dxxcosCxsend ====++++ ACTIVIDAD: Siguiendo un procedimiento similar al del ejemplo, escribir los segundos miembros de:

1- ∫∫∫∫−−−−≠≠≠≠∀∀∀∀ dxx; 1n n

2- ∫∫∫∫ ====x

dx

3- ∫∫∫∫ ====dxx1

4- ∫∫∫∫ ====dxxsen

5- ∫∫∫∫xcos

dx2

6- ∫∫∫∫xsen

dx2

7- ∫∫∫∫ dxex

8- ∫∫∫∫ dxax

9- ∫∫∫∫−−−−

2x1

dx

EJEMPLOS: Hallar: 1-

(((( )))) Cx23x2

x2Cx2

2

3x

4x8

dx2dxxdxx8dx2xx83

42/34

2/133++++−−−−++++====++++−−−−++++====−−−−++++====−−−−++++∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫

2-

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++−−−−++++====++++−−−−

++++−−−−

−−−−====++++−−−−====

++++−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−− C

t3

4

t

3

2

tC

3

t4

1

t3t

2

1dtt4dtt3dt

2

1dt

t

4

t

3

2

13

3142

42

METODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.

Las fórmulas de integración de la Tabla de Integrales pueden utilizarse en un sentido más amplio; por ejemplo, en una integral del tipo

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫ •••• dxx'uxucos , en la cual con (((( ))))xu y (((( ))))x'u simbolizamos una función

cualquiera de x y su correspondiente función derivada, observamos que; (((( )))) (((( ))))dxx'uxdu ====

si reemplazamos en la anterior nos da:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) Cxusenxduxucosdxx'uxucos ++++========••••∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ( I )

dado que, recordando la regla para derivar funciones compuestas

(((( )))) (((( )))) (((( ))))x'uxucosxusenD ••••====

y (((( )))) (((( )))) (((( )))) dxx'uxucosxusend ••••====

que justifica la solución obtenida en ( I )

A los efectos del cálculo, puede simplificarse la notación, escribiendo:

Cusenduucos ++++====∫∫∫∫

En forma similar:

(((( ))))1nC1n

uduu

1nn

−−−−≠≠≠≠∀∀∀∀++++++++

====∫∫∫∫++++

∫∫∫∫ ++++==== Cu2u

du

∫∫∫∫ ++++==== Culnu

du

Cucosduusen ++++−−−−====∫∫∫∫

∫∫∫∫ ++++==== Cutgucos

du2

∫∫∫∫ ++++−−−−==== Cutgcusen

du2

∫∫∫∫ ++++==== Cedue uu

∫∫∫∫ ++++==== Caln

adua

uu

∫∫∫∫ ++++====

−−−−

Cusenarcu1

du2

∫∫∫∫ ++++====

++++

Cutgarcu1

du2

Resumiendo : el método de integración por sustitución debe utilizarse cuando se advierte en el integrando la presencia simultánea de una función y su diferencial, aunque en la última no coincidan exactamente los coeficientes y signos, lo que se compensa realizando una simple operación aritmética. Ejemplo 1:

Calcular (((( ))))dxex2 1x2

∫∫∫∫++++ (II)

Para resolver esta integral podemos usar el método de sustitución porque en ella

encontramos la función 1x2++++ y su derivada x2 .

A la función la llamamos 1xu 2++++==== (III) y con la derivada y el dx formamos el du:

(((( )))) dxx21xddu 2====++++==== (IV)

reemplazando (III) y (IV) en (II)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))1xdedxex2 21x1x 22++++====•••• ∫∫∫∫∫∫∫∫

++++++++ (V)

que es de la forma Cedue uu++++====

Luego:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) Ce1xdedxex2 1x21x1x 222++++====++++====••••

++++++++++++∫∫∫∫∫∫∫∫

Ejemplo 2:

Resolver: ∫∫∫∫−−−−

3

2

x8

dxx (I)

Llamemos

(((( ))))dxx

3du

dxx3dudxx3x8dx8u

2

2233

====−−−−

⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

reemplazando en (I)

====++++

++++−−−−

••••−−−−====••••−−−−====••••−−−−====

−−−−

⇒⇒⇒⇒ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫++++−−−−

−−−−

C1

21

u31

duu31

udu

u

1

x8

dxx1

2

1

2

1

3

2

Cu231

C

21

u31 2

12

1

++++••••••••−−−−====++++••••−−−−====

pero ∫∫∫∫ ++++−−−−−−−−====++++−−−−====

−−−−

⇒⇒⇒⇒−−−−==== Cx83

2Cu

3

2

x8

dxxx8u 3

3

23

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.

El método de integración por sustitución debe utilizarse, como hemos visto, cuando se advierte en el integrando la presencia simultánea de una función y su diferencial, aunque en la última no coincidan exactamente los coeficientes y signos. Lo utilizamos, por ejemplo, para resolver integrales del tipo

∫−dx

x

x

4

22

en la cual si hacemos 42−= xu , resulta dxxdu ⋅= 2 , reemplazo que

permite resolver ∫ udu

.

Si, en cambio, queremos resolver ∫−dx

x 4

12

como es

imposible encontrar en el integrando el diferencial de 42−= xu , se utiliza la

metodología de descomponer el denominador en fracciones simples cuya integración nos sea conocida. Para ello hacemos:

( )( )22

1

4

12 +−

=− xxx

y ahora reemplazamos

( )( ) ( ) ( )2222

1

++

−+− x

B

x

Apor

xx

operando

( ) ( )( ) ( )( )( )22

22

22 +−

−++=

++

− xx

xBxA

x

B

x

A

ahora, comparando las expresiones deducidas, podemos escribir

=− 4

12x

( ) ( )( )( )22

22

+−

−++

xx

xBxA;

comparando numeradores: ( ) ( ) 122 =−++ xBxA que nos permite obtener los valores de A y B con el siguiente procedimiento:

si x = -2 ( ) 122 =−−→ B 4

1−=→ B

si x = 2 ( ) 122 =+→ A 4

1=→ A

y concluimos:

∫−dx

x 4

12

=( ) ( )

( ) ( ) Cxxdxx

dxx

++−−=+

−+

− ∫∫ 2ln4

12ln

4

1

24

1

24

1

que puede simplificarse, aplicando las propiedades de los logaritmos:

∫−dx

x 4

12

( )( )

Cx

x+

+

−=

2

2ln

4

1

Volveremos sobre este tema al tratar el capítulo sobre ecuaciones diferenciales.

ACTIVIDAD: Calcular: ∫+−dx

xx 23

12

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

Recordemos la fórmula para diferenciación de un producto de dos funciones:

(((( ))))xuu ==== y (((( ))))xvv ==== (((( )))) (((( ))))

dx'uvdx'vu

dx)'vuv'u(dx'vuvud

++++====

••••++++••••====••••====••••

pero dudx'u ==== y dvdx'v ==== entonces dvuduv ••••++++••••====

luego:

dvuduv)vu(d ••••++++••••====•••• Integrando ambos miembros

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ••••++++••••==== dvuduv)uv(d

y finalmente:

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ••••−−−−====•••• duvuvdvu (VI)

La (VI) es la llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula es útil cuando en el integrando apreciamos la coexistencia de una función y la derivada de otra. Ejemplo:

Calcular dxxlnx2∫∫∫∫

Elegimos una de las funciones y la llamamos u; por ejemplo

xlnu ==== (VII) en estas condiciones las expresiones restantes que están bajo el signo de integral corresponden a dv, o sea:

dxxdv 2==== (VIII)

de (VII) obtenemos dxx1

du ==== (IX)

y por (VIII), v es una primitiva de x2

3

xv

3==== (X)

reemplazando en la expresión (V I)

Cx91

xln3

x

dxx31

xln3

xdx

x1

3x

xln3

x

duvvudvudxxlnx

33

2333

2

++++−−−−====

====−−−−====••••−−−−====

====−−−−••••========

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫

DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN.

En los ejemplos desarrollados vimos que, al integrar una función aparece una constante de integración. Esta constante se puede calcular cuando se impone una condición suplementaria. Ejemplo:

Determinar la curva cuya pendiente en el punto (x,y) es 1

2x , si debe pasar por el punto P ( 4,3 ).

Solución: Como la pendiente en el punto ( x,y ) viene dada por la derivada, entonces planteamos la igualdad:

x21

dxdy

==== (XI);

ecuaciones del tipo ( XI ), donde intervienen diferenciales y las soluciones son funciones, se llaman ecuaciones diferenciales; en nuestro ejemplo se trata de resolver la ecuación diferencial.

x21

dxdy

====

con las condiciones iniciales y = 3 para x = 4 Escribimos

dxx21

dy ====

e, integrando miembro a miembro

C4

xy

2++++==== (XII)

Para calcular C aplicamos las condiciones iniciales considerando que el punto P (4,3) pertenece a la curva cuya ecuación se busca

1C;C4

43

2−−−−====++++====

Sustituyendo el valor de C en (XII) obtenemos la curva particular que tiene

pendiente 1

2x y pasa por el punto dado.

x y

0 -1

2 0

-2 0

4 3

-4 3

6 8

-6 8

ACTIVIDAD: En la figura hemos trazado la recta tangente a la curva en el punto P (4,3). Obtener analíticamente la medida de la inclinación x y verificar con un transportador. EJERCITACIÓN de INTEGRALES INDEFINIDAS. Ejercicio Nº 1: Hallar

a) ∫

+− dxx

x 53

21

b) ( ) dzzz∫ − 3

c) ( ) dxx∫ +22 2

d) ( )∫ − dyyy 23 22

e) dxx

x∫

−2

3 1

f) dxe

x

x

∫

−

4cos2

12

g) dttsent

∫

−

− 2

1

1

1

2

Ejercicio Nº 2: Hallar las siguientes integrales aplicando el método de sustitución. a) ( )∫ + dxxsenx 132

4

1 2

2 1

1

3

3

6

8 y

x=

2

4

6

tg en P

--

-

b) ∫ −dxx

senx

cos1

c) ∫ dxx

3

2cos

d) ∫ • dxex senxcos

e) ∫−

−dx

xx

x

3

15102

f) ( )∫ + dxxx3225

g) ∫ • dxsenxx3cos

h) ∫+

dxe

ex

x

1

i) ( ) dtwtsen∫ +α

j) ∫+

24 x

dxx

k) ∫+

24 x

dx

l) ∫−

24 x

dx

Ejercicio Nº 3: Hallar a) dxxsen∫

3

b) dxx∫2cos

c) dxxtg∫

d) dxxxsen 23 cos∫

Ejercicio Nº 4: Hallar las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes. a) ∫ dxxx cos

b) ∫ dxtgxarco

c) ∫ dxxx 2sec

d) ∫+

dxx

x

2

e) ∫ dxx

x2

ln

Ejercicio Nº 5: Determinar la curva cuya pendiente es el doble del valor de la abscisa y que pasa por el punto P (3,7). Representar gráficamente.

LA INTEGRAL DEFINIDA:

Aunque es incuestionable que la evaluación de una integral definida no comporta mayores dificultades si se dispone de alguna primitiva del integrando, ello no significa necesariamente que los métodos de búsqueda de primitivas deban ser desarrollados con antelación a la definición de la integral definida y al establecimiento de sus propiedades, interpretaciones y aplicaciones más importantes, para lo que, como veremos, no se requiere de la integral indefinida. Quizá, por el contrario, procediendo de ese modo hayamos estado velando lo que verdaderamente hay importante y significativo en la teoría de la integración.

Algunas razones que tienen que ver con el contexto actual y los factores que lo configuran, entre los que tiene primordial importancia la revolución Informática, hacen que esté cambiando nuestra concepción del proceso enseñanza-aprendizaje, sobre todo por la preponderancia que están adquiriendo los métodos numéricos aproximados de cálculo como complementos y alternativas muchas veces ventajosas respecto de los métodos exactos.

En las aplicaciones que necesitan del cálculo de una

integral es infrecuente que se presente una función para integrar que tenga como primitiva una función de uso corriente (expresada como polinomio, en senos, cosenos, logaritmos, funciones exponenciales y demás funciones usuales).

Es indudable además, que si a través de realizar

muchos esfuerzos de cálculo puede obtenerse una primitiva, no es compatible dicho esfuerzo con los resultados que se logran mediante una buena aproximación numérica, obtenida mediante la utilización de algún sencillo software.

Lo que verdaderamente interesa en las aplicaciones es

obtener, por ejemplo, una buena aproximación numérica de

dxx

xsen2

1 2

2

∫∫∫∫

ya que solo con mucha dificultad operatoria podrá encontrarse una primitiva de

2

2

x

xsen

Resulta entonces, que lo más inteligente que puede hacerse, es encontrar una buena aproximación, utilizando algún método numérico de resolución.

Existe una cantidad muy importante de funciones para las cuales tiene interés particular el cálculo del área bajo su gráfica: algunos ejemplos son:

Ejemplo 1: Las ganancias de una compañía de Electricidad durante el primer semestre del año, se representa en la siguiente gráfica: Millones de $ 5 4,5 4 Ene Feb Mar Abr May Jun meses

Si queremos conocer las ganancias acumuladas al

finalizar el mes de Marzo, sólo tenemos que calcular el área bajo la curva de ganancias para los tres primeros meses:

5 + 4,5 + 4 = 13,5 millones de pesos. Ejemplo 2: La siguiente gráfica representa la velocidad media en cada una de las seis etapas, de un corredor del Gran Premio de Turismo Carretera de la República Argentina. Se desea saber cuantos kilómetros ha recorrido en las tres primeras etapas. (el área bajo la curva, nos proporciona la información requerida) Velocidad (km/h)

210 180 175 9 8,5 8 8 8,5 7,5 tiempo (horas)

9 x 210 + 8,5 x 180 + 8 x 175 = 4.820 km.

Ejemplo 3: Potencia (kW)

14

12

10

8

6 4 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (horas)

La figura representa la potencia, en kW, que se está empleando en cada momento en un cierto local, a lo largo del día. Queremos calcular el consumo de energía entre las 0 horas y las 4,5 horas de la mañana. La energía, en kWh, es el área bajo la curva de potencia y, para nuestro caso es aproximadamente:

(12,1 kW)•(4,5 horas) = 54,45 kWh

Terminamos de ver tres ejemplos en los cuales el área bajo al curva de una determinada función tiene, en cada caso, un significado especial: � El área bajo la curva de ganancias nos da el monto de las ganancias

acumuladas � El área bajo la curva de velocidad nos indica el espacio total recorrido. � El área bajo la curva de potencia, nos proporciona la energía consumida.

Resulta entonces, que el cálculo del área bajo una curva no es sólo un problema de interés geométrico, sino una información de mucha utilidad en gran número de casos. ACTIVIDAD: Indicar en cada caso que se obtiene, calculando: � El área bajo la curva de aceleración en función del tiempo. � El área bajo la curva que representa la magnitud de una fuerza en función del

espacio. � El área bajo la curva que indica el caudal de agua vertida por una canilla en un

tanque. � Interpretar que significa en cada caso, el área bajo la curva:

Km/h Velocidad de un automóvil

Tiempo (horas) l/min Velocidad de desagüe de una pileta. min. Para cada uno de los ejemplos anteriores, representar aproximadamente una función que indique el área bajo la curva desde el punto inicial hasta un punto variable x. � Dibujar aproximadamente, la gráfica de la función área bajo la curva en cada

uno de los siguientes casos:

Hasta ahora hemos puntualizado la importancia que tiene el cálculo del área bajo una curva en numerosos casos. De allí el interés de averiguar como puede calcularse esa área, es decir investigar, conocida la ecuación de una curva y = f (x), cómo computar el área entre dicha curva, el eje de las x y dos rectas que pasan por los puntos cuyas abscisas son x = a y x = b.

Una idea consiste, como veremos mas adelante, en

aproximar el área mediante rectángulos con base en el eje x y altura equivalente al mínimo valor que toma la función en todo el ancho del correspondiente rectángulo. Cuando la base del rectángulo se achica, es decir cuando se realiza una partición del intervalo a b, , el valor computado se aproxima tanto como se quiera al área bajo la curva.

Dado entonces, un intervalo cerrado a b, y n+1 valores xi, pertenecientes a dicho intervalo, tales que:

a x x x x x x bi i n= < < < < < < =−0 1 2 1......... ..... llamaremos partición de orden n y la denotamos Pn al conjunto de subintervalos definidos por dos valores sucesivos xi . (Fig. 1) [ ] [ ] [ ] [ ]{ }nniin xxxxxxxxP ,,......,,.........,,, 112110 −−=

Si a su vez subdividimos al menos uno de los

subintervalos de la partición Pn , obtenemos una nueva partición Ps que decimos que es posterior. LONGITUD DE UN INTERVALO.

Vamos a llamar longitud del intervalo a b, al número:

b a− , y entonces la longitud del subintervalo i – ésimo será el número :

∆x x xi i i= − −1

1x∆ 2x∆ 3x∆

x1 x0

x2 x3

1−∆ nx nx∆

xn−2 xn−1 xn−6

x a

Llamaremos norma de la partición al mayor número de los ∆xi , es decir la norma N es:

N = máximo ∆xi y nos proporciona la longitud del subintervalo más largo de la partición. AUMENTO.

Dada una partición Pn vamos a llamar aumento de dicha partición al conjunto de números t1 , t2 , ......,ti ,......, tn pertenecientes cada uno a un subintervalo distinto de la partición . En símbolos.

Tn = { }ni tttt ,.....,,.......,, 21 tal que cumplan las condiciones :

x t xi i i− ≤ ≤1 para i = 1, 2, .........,n.

Ejemplo:

Si tenemos el

− 3;

2

5 entonces una partición de orden

5 la podemos elegir así :

−

−−= 3,

2

5,

2

5,

2

1,

2

1,0,0,

2

3,

2

3,

2

55P

donde la longitud de cada subintervalo viene dada por :

∆ ∆ ∆x x x1 2 3

3

2

5

21 0

3

2

3

2

1

20

1

2= − + = = + = = − =, ,

∆ ∆x y x4 5

5

2

1

22 3

5

2

1

2= − = = − =

y como la norma de esta partición es el mayor de los números ∆xi , entonces

N = 2 y un aumento de esta partición es :

T5 = { }3,1,0,1,2 −−

En general, si tenemos un intervalo a b; existen infinitas particiones de orden n, y para cada partición elegida existen infinitos aumentos Tn. Actividad:

Dado el intervalo

−

2

7;

3

14, hallar un partición de orden

8, decir cuál es la norma de la partición y escribir un aumento T8. SUMA DE RIEMANN.

Consideremos una función f(x) que esté definida en el intervalo cerrado a b; , es decir una función cuyo dominio contiene al a b; , y además consideremos una partición Pn de ese intervalo y un aumento Tn correspondiente a esa partición. Consideremos ahora el producto entre la longitud ∆xi de un sub-intervalo dado de la partición y el valor de la función f(x) cuando x toma el valor del aumento Tn que corresponde a ese intervalo, es decir el producto.

( ) ii xtf ∆

Vamos a llamar suma de Riemann a la suma de todos estos productos, es decir a :

Sn = ( ) 11 xtf ∆ + ( ) 22 xtf ∆ +...............+ ( ) ii xtf ∆ +.........+ ( ) nn xtf ∆ que en forma abreviada escribimos:

Sn = i

n

=

∑1

( ) ii xtf ∆

esta suma dará un valor que depende de la función f (x) que se esté considerando de los valores de a y b, de la partición específica Pn que se haya elegido, y también de los valores ti tomados para el aumento. Actividad:

Dada la función f (x) = x2

21+ en el

−

2

3,1 hallar la

suma de Riemann para n = 6.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA.

Consideremos ahora que vamos tomando distintas particiones Pn cada una posterior a la otra a medida que n, el número de sub-intervalos crece; y consideremos que seguimos aumentando el número de intervalos haciendo tender n a infinito, pero teniendo la precaución de no dejar ningún subintervalo sin subdividir. Esto puede lograrse por ejemplo haciendo que cada partición posterior se obtenga de una anterior por una subdivisión de cada subintervalo en dos.

Si decimos que a medida que aumentamos n hacemos tender la norma N a cero, también estamos asegurando que ningún subintervalo permanezca sin subdividir.

Teniendo en cuenta estas consideraciones sobre la forma particular de hacer tender n a infinito, podemos definir la Integral Definida como el límite I al cual tiende la suma de Riemann, siempre que dicho límite exista (Si el límite l existe, decimos que f(x) es integrable sobre a b; . Si una función es

continua sobre a b; entonces se puede demostrar que es integrable sobre dicho intervalo, cuando el número de subintervalos n tiende a infinito.

( ) Ixtf ii

n

in

=∆∑=

∞→1

lim

y para expresarlo usaremos el símbolo de Leibnitz.

( ) dxxfIb

a∫=

que se lee “integral entre a y b de f de x, diferencial de x “. El símbolo

∫ proviene de una deformación de la S de suma; el número “a“ recibe el nombre

de límite inferior de integración y “b“ el de límite superior. Llamaremos intervalo de integración al intervalo a b, y

a f(x) integrando. Entonces:

( ) ( ) ii

n

in

b

axtfdxxf ∆= ∑∫

=∞→

1

lim

usando el concepto de norma, esto mismo se podrá escribir:

( ) ( ) ii

n

i�

b

axtfdxxf ∆= ∑∫

=→

10

lim

Se puede demostrar, que una vez aplicado el límite sobre la suma de Riemann, el valor resultante, es decir la integral, ya no depende de la partición ni del aumento particularmente tomados, sino sólo de la función f(x) y de los extremos a y b. Se hace notar especialmente que una integral es un número, el que resulte del límite propuesto sobre la suma de Riemann.

APLICACIÓ� DE LA I�TEGRAL DEFI�IDA AL CÁLCULO DE ÁREAS PLA�AS.

La integral definida, como hemos dicho al comenzar este estudio, surgió como una necesidad de calcular el área de recintos planos encerrados por curvas. Por tal motivo generalmente se presenta a la integral definida a través del concepto de cálculo de un área. Este camino es bastante lógico y, especialmente muy intuitivo; sin embargo frecuentemente induce al concepto erróneo de suponer que el cálculo de una integral definida da un número que es el valor de un área en el sentido estrictamente geométrico. Esta es la razón por la cual preferimos hacer una definición más general y ahora aplicarla.

Supongamos que queremos calcular el área encerrada por la curva c de la figura, representativa de la función f(x), el eje de las x y las rectas de ecuación x = a y x = b.

x =

a

b

c = f ( x )

a 0

y

x

x =

b

A

Una grosera aproximación de dicha área consistirá en tomar el área del rectángulo de lados ab y f(xm) siendo xm la abscisa para la cual la función f(x) asume su valor mínimo en el intervalo considerado; evidentemente tal área será menor que el área que pretendemos medir.

Llamemos al área Am. Ésta será el producto de f (xm) por (b – a). Es decir

( ) ( )abxfAm m −•=

Algo similar ha de ocurrir si tomamos el rectángulo de lados ab y f(xM) siendo xM la abscisa donde la función asume su valor máximo; en tal caso el área calculada supera el valor del área bajo la curva.

y

b

c = f ( x )

a 0 x

f ( xm )

A

xm

AM = f (xM) ( b – a )

f (xM)

b a 0

y

x

AM

XM

Resulta evidente que una aproximación mejor se obtiene haciendo una partición Pn del a b, , definiendo en ella un aumento Tn y tomando como área la suma de las áreas de los rectángulos elementales. ( ) iii xtfA ∆=

Como se ve en la figura el área aproximada está dada por la suma

A Ai

i'==

∑1

7

pero ( ) iii xtfA ∆=

entonces Ai

'==

∑1

7

( ) ii xtf ∆

Intuitivamente nos damos cuenta que el área aproximada A’ se ajustará cada vez más al área A bajo la curva a medida que mayor sea el número de intervalos de la partición. También es intuitivo que en el límite, cuando el número de los rectángulos elementales tiende a ∞ , la suma dará exactamente el área A.

( ) ( )

0

lim1

→

=∆= ∫∑=

∞→

�

dxxfxtfAb

aii

n

in

t1 t6 t7

∆x6 ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆x4 ∆x5

f (t1)

f (t4)

f (t6)

∆x7

X x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

y

a

0

b

t2 t3 t4 t5

etc.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

1) Intervalo de integración de longitud nula. ( ) 0=∫ dxxfa

a

2) Aditividad de los intervalos de integración.

( ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a ∫∫∫ += si c es un punto del intervalo a b,

3) Intercambio de los extremos de integración ( ) ( ) dxxfdxxfa

c

c

a ∫∫ −=

4) Propiedad lineal de las integrales definidas.

a) Propiedad de aditividad o superposición.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] dxxgxfdxxgdxxfb

a

b

a

b

a+=+ ∫∫∫

b) Propiedad de homogeneidad.

( ) ( ) dxxfKdxxfKb

a

b

a ∫∫ =

FUNCIÓN INTEGRAL.

Anteriormente hemos señalado que el valor de la integral definida de una función f(x) depende de los límites de integración. Teniendo en cuenta ese hecho y considerando una función f(x) continua en el intervalo a b, e integrada entre el extremo fijo a y un extremo variable x, el valor resultante de la integral depende del valor que asuma x.

Entonces, mediante la expresión

( ) ( ) dxxfxAx

a∫=

queda definida una función que depende del límite superior de integración y que llamaremos Función Integral. La función integral A(x) puede interpretarse como el área limitada por la gráfica de f (x) y el eje x y las rectas de ecuaciones x= a y x=x.

x a 0

y

x

A (X)

y = f (x)

TEOREMA DE LA FUNCIÓN INTEGRAL.

Si f(x) es una función continua en a b, entonces la

función integral ( ) ( ) dxxfxAx

a∫=

es una primitiva de f(x); o sea: ( ) ( )xfxA ='

REGLA DE BARROW. Sea F(x) una primitiva de f(x), entonces se verifica que

( ) ( )xfxF =' (I);

por el teorema anterior la función integral A(x) es otra primitiva de f(x) o sea : ( ) ( )xfxA =' (II)

y por el teorema fundamental del cálculo integral sabemos que dos funciones que tienen igual derivada difieren de una constante. Por lo tanto de las ecuaciones (I) y (II).

(((( )))) (((( )))) CxFxA ++++====

(((( )))) (((( )))) CxFdxxfx

a++++====∫∫∫∫ (III)

Para calcular la constante C hagamos x = a.

(((( )))) (((( )))) CaFdxxfa

a++++====∫∫∫∫

Si recordamos una de las propiedades de la integral definida

(((( )))) CaF0 ++++==== de donde

(((( ))))aFC −−−−==== (IV) Reemplazando (IV) en (III)

( ) ( ) ( ){c

x

aaFxFdxxf −=∫

y haciendo x = b, resulta

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a−=∫ (V)

que se conoce con el nombre de Regla de Barrow. Recordemos que F(x) es una primitiva de f (x).

La expresión (V) liga el concepto de integral definida y el de

antiderivada, que como sabemos, se calcula mediante integración indefinida. El uso de esta regla simplifica notablemente el cálculo de las integrales definidas.

Resulta cómodo usar la notación:

( ) ( ) ( ) ]ba

xFaFbF =−

con ello la regla de Barrow puede escribirse:

( ) ( ) ]ba

b

axFdxxf =∫

Ejemplo :

Hallar dxx 22

1∫−

331

38

3x

dxx

2

1

322

1====

−−−−−−−−====

====

−−−−−−−−∫∫∫∫

Actividad. Verificar las siguientes integrales definidas.

1) 123

18

0=∫ dxx

2) 6

1)1( 2

1

0=−∫ dxx

3)2

12

2

1=∫ x

dx

CÁLCULO DE AREAS POR INTEGRACION DEFINIDA.

Las áreas, siendo números que representan una medida de superficie, es decir el número de veces que cabe la unidad de superficie, no pueden ser negativas.

Las integrales definidas en cambio, sí pueden dar como

resultado un número negativo. Esto ocurre precisamente toda vez que la función asume valores negativos en la totalidad del intervalo de integración.

Ejemplo:

Hagamos la integral de la función ( ) ( ) 23

2−−= xxf entre los valores 2 y 4.

Dentro de ese intervalo la función toma exclusivamente

valores negativos y el valor resultante de la integración es un número negativo; sin embargo el área entre la curva y el eje no puede ser negativa; en consecuencia debe tomarse el valor absoluto del resultado de la integral cuando lo que se está calculando es un área. El valor negativo de la integral en estos casos lo único que indica es que la curva está por debajo del eje x.

La verdadera dificultad se presenta cuando a lo largo

del intervalo de integración la función cambia de signo de modo que parte de la curva queda debajo del eje x y parte encima de él. Si no se tiene la precaución de graficar la curva y con ello evidenciar este hecho, se cometerá el error de suponer que la integral está dando el área entre la curva y el eje x, cuando en realidad el resultado de la integral estará dando la diferencia entre las áreas que están por encima del eje x y las que están debajo.

En el ejemplo, ocurriría esto si integramos entre 0 y 6.

Para evitar este inconveniente debemos dividir el intervalo de integración en tantos subintervalos como sea necesario a fin de tener subintervalos dentro de los cuales la función tenga un mismo signo; integrar entonces separadamente sobre cada intervalo y sumar luego los valores absolutos de cada resultado.

Actividad: Calcular (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫ −−−−−−−−6

02 dx23x

Este problema que se presenta en el cálculo de áreas

usando integrales definidas, no se presenta, por ejemplo en el cálculo del trabajo realizado por una fuerza que se desplaza, y esto es debido a que el trabajo si puede tener valores negativos.

2 4

x

y

Ejemplo 1: Calcular el área limitada por y x x= −2 2 y el eje x. 1) Hallamos las intersecciones de la curva con el eje x.

( ) 0202 2=−⇒=− xxxx

resulta x y x1 20 2= =

2) Calculamos la integral definida en 0 2,

( )3

4

3

84

32

2

0

322

2

0=−=

−=−= ∫x

xdxxxA

Ejemplo 2: Calcular el área encerrada entre la recta y = x y la parábola y = x2 y

y = x2

El área deberá obtenerse como diferencia entre el área bajo la recta y el área bajo la parábola, entre los límites que marcan las intersecciones de ambas gráficas, es decir:

x2 = x ⇔⇔⇔⇔ x2 – x =0

que tiene como raíces 0 y 1

(((( ))))∫∫∫∫ ====−−−−====−−−−====−−−−1

0

1

0

31

0

22

61

31

21

3x

2x

dxxx

0 1 2 x

y

1

Ejemplo 3:

Hallar el área encerrada por la recta y x= − + 5 y la

parábola de ecuación y x x= −2 5

1) Hallamos por igualación las intersecciones entre ambas gráficas -1 Resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos x1 = -1 y x2 =5 que determinan los extremos de la integración. 2) Para hallar el área encerrada, calculamos la integral definida de la diferencia

de las ordenadas de las dos curvas.

( ) ( )[ ] ( ) 36523

5455

5

1

23

25

1

25

1=

++−=++−=−−+−=

−−− ∫∫ xx

xdxxxdxxxxA

De la gráfica conjunta de las dos ecuaciones puede visualizarse que el área bajo la curva y = x2-5x entre los puntos de abscisas 0 y 5 está ubicada debajo del eje de las x, debiendo en consecuencia resultar negativa la integral entre esos límites. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que al efectuar la diferencia entre las áreas de la recta y la parábola, la correspondiente a la parábola ingresó en el cálculo de la integral con signo negativo, es decir restando, lo que significa que la parte positiva del área correspondiente se restará, en tanto que la parte negativa se sumará al efectuar el cómputo total. Resulta entonces que el cálculo que hemos realizado es equivalente a:

a) Computar la ∫∫∫∫−−−− ++++−−−−5

1dx)5x(

b) Restar la ∫∫∫∫−−−− −−−−0

12 dx)x5x(

c) Sumar el valor absoluto de la ∫∫∫∫ −−−−5

02 dx)x5x( (parte de la parábola debajo del

eje x) Actividad: Realizar la correspondiente comprobación.

0

y

x

5

5

x x x

x x

2

2

5 5

4 5 0

− = − +

− − =

Integración numérica:

En las aplicaciones prácticas, como hemos dicho al comenzar el desarrollo de este capítulo, son pocas las veces en que se necesita conocer el resultado exacto de una integral. Como la integral de una función puede obtenerse exactamente hallando el límite de una sucesión, un procedimiento aproximado consiste en emplear el mismo procedimiento tomando un término de la sucesión suficientemente avanzado.

Partiendo el intervalo [a,b] en n sub-intervalos iguales

de longitud ∆∆∆∆x y tomando el valor de la función en el extremo izquierdo de cada intervalo, la integral tiene como valor aproximado:

y a b x ∆x

nab

x−−−−

====∆∆∆∆

∫∫∫∫ ∆∆∆∆−−−−++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆====b

a]x)1n(a(f)x2a(f)xa(f)a(f[xdx)x(f

Ejemplo:

Calcular la integral: ∫∫∫∫1

0dxx

a) método exacto: ∫∫∫∫1

0dxx = 5,0

20

21

2x 221

0

2====−−−−====

b) método aproximado: hacemos n = 100 para lo cual resulta ∆∆∆∆x = 01,0100

01====

−−−−

∫∫∫∫ ====

++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++++++====

1

0495,0

10099

10098

1002

1001

0100

1dxx 0,5)es exacto valor (el

Como hemos dicho, si no se puede calcular en forma exacta la función F(x) (función primitiva de f(x)), lo que sucede con suma frecuencia, será necesario apelar a métodos de cálculo aproximado.

Tampoco resulta posible utilizar la Regla de Barrow en el caso en que no se conoce una expresión analítica de f(x), sino una tabla de valores que puede ser obtenida a través de cálculos experimentales o de mediciones.

Un método de cálculo aproximado que mejora el descripto de tomar rectángulos de igual base y alturas correspondientes al valor de la función en el extremo izquierdo de los subintervalos es el llamado:

Método de los Trapecios:

Este método reemplaza cada uno de los rectángulos elementales por un trapecio de altura igual a la longitud ∆∆∆∆x común de los sub-intervalos y bases respectivamente iguales a los valores de la función en los extremos de cada uno de los sub-intervalos, consiguiéndose, de este modo una mejor aproximación al valor exacto de la integral. y An-2 An-1 An A2

A1 A0

y0 y1 y2 yn-2 yn

x0 x1 x2 xn-2 xn-1 xn

Suponemos entonces conocidos los valores que toma la función en los puntos situados a igual distancia x0, x1, ..., xn siendo ∆x = xi – xi-1.

Un primer valor aproximado del área limitada por los

puntos A0, An, xn, x0 puede obtenerse sumando las áreas de los trapecios inscriptos en cada una de las superficies parciales.

Por ejemplo: Área (A0,A1,x1,x0) = ½ ∆x∗(y0 + y1); por lo que la suma

resulta:

(((( ))))

++++++++∆∆∆∆====++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++++++∗∗∗∗

∆∆∆∆≅≅≅≅ −−−−∫∫∫∫ IP

2E

xyy2y2y2y2x

dx)x(f n1n210x

xn

0

siendo E = suma de las ordenadas extremas; P = suma de las ordenadas de subíndices pares; I = suma de las ordenadas de índices impares. Ejemplo:

Calcular: ∫∫∫∫++++

1

0 2x2

dx (esta integral no puede calcularse fácilmente con la Regla de

Barrow)

siendo 2x2

1)x(f

++++

==== ; tomando ∆x = 0,1 puede construirse la siguiente tabla:

X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f(x) 0,707 0,706 0,705 0,702 0,696 0,686 0,672 0,653 0,631 0,605 0,577

Resultando 642,02

577,0707,02E

====++++

====

∫∫∫∫ ≅≅≅≅∗∗∗∗≅≅≅≅

====++++

1

0670,0698,61,0dx)x(f

y

056,6IP

Fórmula de Simpson: En la fórmula de los trapecios, hemos sustituido la curva por una poligonal inscripta. Una mejor forma de aproximación es sustituir la curva por arcos de parábola. La fórmula de Simpson, aproxima el cálculo del área bajo al curva, sustituyendo la curva por una parábola de segundo grado, resultando para el cálculo la siguiente expresión:

(((( ))))P2I4E3x

Área ++++++++∆∆∆∆

≅≅≅≅

teniendo E, I y P significado análogo al descripto para la fórmula de los trapecios. Ejemplo:

Calcular: ∫∫∫∫++++

1

0 2x2

dx; tomando ∆∆∆∆x = 0,1 como en el método de los trapecios,

podemos computar (usando la tabla construida para dicho método): E = 0,707 + 0,577 = 1,284 4I = 4(0,706+0,702+0,686+0,653+0,605) = 13,408 2P = 2(0,705+0,696+0,672+0,631) = 5,408

(((( )))) 670,01,2031,0

408.5408,13284,131,0

A ≅≅≅≅∗∗∗∗≅≅≅≅++++++++≅≅≅≅

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.

La parábola de ecuación xy 42= , cuyo eje focal es el

eje de las abscisas, tiene como representación aproximada:

Restringiendo la figura entre x = 0 y x = a, generamos

la zona sombreada

y

x

x=a x=0

Si hacemos girar esta zona alrededor del eje x se genera el sólido de revolución de la figura siguiente, que recibe el nombre de paraboloide de revolución cuyas secciones con planos paralelos al plano coordenado yz son circunferencias cuyo radio aumenta en forma directamente proporcional para los valores de x positivos.

Si, en el volumen obtenido, tomamos un diferencial del mismo que designamos dV éste resultará un cilindro cuya base tiene como área

2yπ , siendo su altura igual a dx dxydV ⋅⋅=

2π

dxyV ⋅⋅= ∫2π

para nuestro problema xy 42= ; si tomamos como límites inferior y superior

respectivamente 0 y 2, reemplazando en la integral:

ππππ 82

4442

0

2

0

2

0

2

=

⋅=⋅=⋅⋅= ∫ ∫x

dxxdxxV

x

y

z

x

y

z

dx

ACTIVIDAD; Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la bisectriz del primer cuadrante comprendida entre x = 0 y x = 4, que gira alrededor del eje x. Graficar aproximadamente.

EJERCITACION SOBRE INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio Nº 1: Verificar

a) 3ln3

0

2=

+∫− x

dx

b) ( )e

edxee xx 11

0−=+

−

∫

c) ( ) 4230

2=+∫− dxx

d) 12

cos2

0−=∫

ππ

dxxx

e) 2

2ln

4

1

0−=∫

πdxtgxarc

f) 3

712

3

0=+∫ dttt

g) 3

1cos22

0=•∫ dxsenxx

π

h) 4

126

0=∫ dxxsen

π

i) ( )1221

0

1−=

−∫− x

dx

j) 2

1cos 22

0=∫ dxxx

π

Ejercicio Nº 2: Verificar

a) 12

1

0−=∫

πdxsenxarc

b) 11

0=∫

−

dxex x

c) 1ln1

=∫ dtte

d)

e) 4

32cos6

0=∫ dnn

π

f) 4

1cos4

0=∫ dzzzsen

π

g) 222 2

2

0−=

+∫ dy

y

y

h) 2

12sec28

0=∫ dxx

π

i) 129 2

9

0

π=

+∫ x

dx

Ejercicio Nº 3: Hallar el área limitada por: a) y x x= −

2 3 y el eje x.

b) yx

= −

2

41 y el eje x.

c) y x x= + −2 2 y = 0 ; x = 0 ; x = 2

d) y x= −2 9 el eje x ; x = 1 y x = 4

e) x y y= − +2 4 y el eje y.

f) x y= −2 1 y el eje y.

g) y x x x= + −3 2 2 y el eje x.

h) yx

x= −

42

9 y el eje x.

Ejercicio Nº 4: Calcular el área comprendida entre las curvas. a) y x x e y x= − = −

2

b) y x e y x= − = −2 22 6

c) y x e y x= − = +9 72

Ejercicio Nº 5: Si la gráfica de la función f(x) es

cuál de las siguientes gráficas puede ser la función ∫∫∫∫==== dx)x(fy . Justificar la

respuesta.

Ejercicio nº 6: Hallar el área comprendida entre:

a) y = -x2 – 2x +3 e y = -x

2 + 5

b) y = x2 e y = 5x

d) y = x2 e y

2 =x

Ejercicio nº7: Si la ecuación de la parábola de la figura es: y = x² - 4x +3, calcular el área de la superficie rayada usando la integral definida. 0 1 3 5 Ejercicio nº 8:

a) Hallar el valor aproximado de ∫6

2

1dxx

aplicando la fórmula de los trapecios con

n=4

b) Calcular el valor aproximado como en el problema anterior para dx35x5

1∫∫∫∫ ++++

c) Idem para dxx

xsen0∫∫∫∫ππππ

d) Si una curva viene dada por la siguiente tabla:

X 1 2 3 4 5 Y 1,8 4,2 7,8 9,2 12,3

hallar el área bajo la misma por aplicación de las fórmulas de los trapecios y de Simpson.