Unitatea de nv are : INDUC¢IA MATEMATIC‚ ‍ .1 PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTIC‚ INSTRUCTIV—FORMATIV Unitatea de ®nvƒ£are : INDUC¢IA MATEMATIC‚ Aria

  • View
    223

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Unitatea de nv are : INDUC¢IA MATEMATIC‚ ‍ .1 PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTIC‚...

  • 1

    PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTIC INSTRUCTIVFORMATIV

    Unitatea de nvare : INDUCIA MATEMATIC

    Aria curricular : Matematic si tiine.

    Tipul unitii de nvare : Dobndire de noi cunotine.

    Timpul de lucru : 4 ore.

    Scopul temei: Dezvoltarea interesului pentru nvarea induciei

    matematice si aplicarea acesteia n contexte variate. Rezolvarea

    problemelor variate cu ajutorul raionamentului induciei

    matematice.

    Competene generale :

    C1. Identificarea datelor si relaiilor tipului de propoziii matematice

    si corelarea lor n contextul definiiei.

    C2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,

    contextual din enunurile propoziiilor matematice.

    C3. Utilizarea algoritmilor si conceptelor din propoziiile matematice

    pentru caracterizarea local sau global a unei situaii concrete.

    C4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative

    ale unei situaii concrete deduse cu ajutorul raionamentului

    induciei matematice.

    C5. Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei

    situaii- problem.

    C6. Modelarea matematic a unor contexte problematice variate,

    prin integrarea cunotinelor din diferite domenii.

  • 2

    Competene specifice:

    C1. Diferenierea problemelor n funcie de numrul de soluii

    admise.

    C2. Identificarea tipului de formul de numrare adecvat unei

    situaii - problem date.

    C3. Utilizarea unor formule matematice n raionamente de tip

    inductiv.

    C4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme n scopul simplificrii

    modului de numrare .

    C5. Interpretarea unor situaii problem cu coninut practic cu

    ajutorul raionamentului induciei matematice.

    C6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaii practice n scopul

    optimizrii rezultatelor.

    Obiective operaionale (acele competene dobndite de ctre elevi la

    sfitul leciei predate ):

    O1- elevii vor fi capabili s identifice o situaie problem care poate fi

    transpus intr-un limbaj matematic adecvat;s neleag formularea

    unei propoziii matematice (unui adevr matematic) dependent de

    o variabil n, numr natural 1,2,3,,n,n+1,.

  • 3

    O2- s selecteze din mulimea datelor culese, informaii relevante

    pentru rezolvarea de probleme;

    O3 s manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaiei n

    studiul matematicii;

    O4 s identifice corect propoziia matematic dependent de un

    numr natural oarecare n;

    O5 - s realizeze valabilitatea unei propoziii matematice de la

    particular la general;

    O6 aplicaie practic: s foloseasc corect toate ipotezele

    propoziiei matematice , pn la un moment dat pentru a trece la

    pasul urmtor;

    Strategii de instruire didactic :

    S1 - strategie deductiv prin descoperire semidirijat frontal

    combinat cu activitatea de grup, pe baza unui coninut structurat

    pe parcurs ;

    S2 - inductiv- analogic pe baza unor procedee de tip explicativ

    investigative, semidirijate frontal si combinate cu activitatea de grup

    prin metoda mozaicului;

    S3 strategie algoritmic analogic , respectiv analogic - deductiv

    pentru rezolvarea independent i individual a itemilor propui

    pentru evaluarea i realizarea feed - backului printr -un test .

  • 4

    Forme de evaluare :

    1) Observare sistematic se realizeaz pe parcursul leciei prin

    rspunsurile pe care le dau elevii la intrebri i n rezolvarea

    problemelor propuse, analiznd volumul i calitatea cunotinelor

    nsuite, gndirea logic a elevilor i posibilitatea de sintez,

    abilitatea aplicrii cunotinelor n practic, expunerea logic a

    ideilor, modul de participare al elevilor la lecie.

    2) Evaluare prin aplicarea unui test prin diverse forme de

    activitate, evaluare formativ-fis de munc independent,

    lucrul pe grupe.

    Momentul organizatoric este realizat prin verificarea prezenei

    elevilor i condiiilor optime de desfurare a leciilor.

    n una din ore trebuie s fie necesar prezena unui retroproiector i

    a unui computer, sau prezena ntr-un laborator de informatic.

    Anunarea temei i a obiectivelor este foarte important pentru

    evenimentul captrii ateniei elevilor, i anume profesorul subliniaz

    scriind pe tabl, ce se propune pentru aceast lecie.

    Pentru a capta atenia elevilor se poate ncepe cu cteva sublinieri

    din partea unor mari matematicieni pentru raionamentul induciei

    matematice. Spre exemplu matematicianul Miron Nicolescu spunea

    c Principiul induciei complete constituie unul din cel mai puternic

    raionament de demonstraie n matematic.

    Acest raionament apare pentru prima dat la Pascal folosindu-l n

    demonstrarea formulei combinrilor pe care-l descrie astfel:

  • 5

    Dei aceast propoziie conine infinit de multe cazuri, voi da o

    demonstraie foarte scurt care presupune dou Leme. Prima Lem

    afirm c pentru prima linie propoziia este adevarat. Lema a doua

    afirm c dac propoziia se dovedete adevarat pentru o linie

    oarecare atunci propoziia este valabil i pentru linia urmtoare.

    Sigur putem spune c este o variant apropiat de studiul induciei

    de astzi.

    Scurt istoric. Prima demonstraie prin inducie matematic apare

    pentru progresii aritmetice n cartea al-Fakhri scris de al Karaji n

    jurul anului 1000 IH. Proprieti ale triunghiului lui Pascal sunt de

    asemenea demonstrate aici.

    Nici unul dintre matematicienii antichitii nu au considerat principiul

    induciei matematice ca de sine stttor.

    Prima prezentare explicit apare n lucrarea Arithmeticorum libri duo

    (1575) a lui Francesco Maurolico care demonstreaz c suma

    primelor n numere impare este n 2 . Formularea principiul induciei

    matematice apare n lucrarea lui Pascal Trait du triangle

    arithmtique (1665).

    Apoi prin Fermat, Jacob Bernoulli principiul induciei este extins, folosit n demonstraii. Secolul al XIX-lea aduce studiul sistematic al acestui principiu n logica matematic prin matematicienii George Boole, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano i Richard Dedekind.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Francesco_Maurolicohttp://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://en.wikipedia.org/wiki/George_Boolehttp://en.wikipedia.org/wiki/George_Boolehttp://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peircehttp://en.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peanohttp://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind

  • 6

    Astzi metoda induciei matematice este aplicat n cele mai variate probleme de matematic, devenind un instrument uzual si eficace.

    Modalitatea de a obine cunotine tiinifice noi, din cele deja cunoscute o constituie raionamentul induciei matematice.

    Raionamentul deductiv , adic raionamentul demonstrativ al induciei face trecerea de la general la particular.

    Rezultatele obinute sunt certe ns au un caracter particular.

    Raionamentul inductiv (unul din raionamentele plauzibile) are marea importan pentru faptul c ne conduce pe baza unor situaii particulare cunoscute la concluzii generale, care ar putea ns s nu fie adevrate.

    Principiul induciei matematice const n a demonstra c o propoziie P(n) este adevrat pentru orice numr natural n dac se verific condiiile:

    1) propoziia este adevrat pentru n=n0. 2) Presupunnd c propoziia este adevrat pentru un n=k

    oarecare se demonstreaz c propoziia este adevrat pentru n=k+1. Acesta fiind efectiv pasul de inducie i de altfel cel mai important. Pe scurt: scriem c P(k) P(k+1).

    Astfel putem face afirmaia c propoziia este adevrat pentru orice numr natural n aplicnd raionamentul induciei matematice.

    Aplicaie:

    Celebra Sum a lui Gauss, care a fcut nconjurul lumii !!

  • 7

    Carl Friedrich Gauss(39 Aprilie 1777-23 Februarie 1855),

    este considerat cel mai mare matematician, geniu, dup Arhimede.

    Cartea care a intemeiat teoria modern a numerelor este:

    Disquitiones Arithmeticae publicat n anul 1801. Suma Gauss este atribuit lui Gauss, copil fiind, acest rezultat matematic fiind cunoscut nc din antichitate n China prin numerele triunghiulare n(n+1):2. Acest numr este egal cu un numr de puncte format din triunghiuri echilaterale alegnd pe laturile sale un numr de puncte care formeaz alte triunghiuri echilaterale.

    P(n): 1+2+3+...+n =

    , .

    Conform raionamentului suntem siguri c proprietatea poate fi adevarat dac verificm primul pas al induciei pentru n=1, anume

    Dac P(1) este adevrat: 1 =

    , astfel 1=1.

    Trecem la pasul de inducie P(k) P(k+1).

    Vom scrie pentru nceput cine este P(k), nlocuind n=k n propoziia dat P(n) obinem:

    P(k): 1+2+3+...+k =

    , pentru orice k .

    Demonstrm n continuare c pentru n=k+1 propoziia este adevrat:

    P(k+1): 1+2+3+...+k+(k+1)=

    .

    Conform presupunerii c P(k) este adevrat vom studia membrul

    stng din P(k+1) : 1+2+3+...+k+(k+1) =

    +(k+1) =

    .

  • 8

    Astfel am demonstrat c P(k+1) este adevrat. Conform metodei induciei matematice P(n) este adevrat pentru orice n .

    Aplicaie:

    Pentru o mai bun inelegere se lucreaz cu elevii suma ptratelor

    numerelor naturale.

    P(n): 12+22+32+...+n2 =

    , .

    Verificare: P(1): 12=

    1=

    adevrat.

    Presupunem c P(k): 12+22+32+...+k2 =

    este adevrat.

    Demonstrm c P(k+1): 12+22+32+...+k2+(k+1)2 =