Unitatea de Invatare 16

8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

1/21


2/21

Formule de speţa a II-a

156 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 16

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 16 sunt: Cunoaşterea şi aplicarea formulelor care leagă funcţiile

trigonometrice (sin, cos, tg, ctg) de semiunghiurile sisemilaturile unui triunghi sferic în rezolvareaproblemelor

Cunoaşterea şi aplicarea formulelor lui Delambre şianalogiilor lui Neper în rezolvarea exerciţiilor

16.1 Formula sinusului semiunghiului.

Formula cosinusului semiunghiului.

Formula tangentelor semiunghiurilor.

Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor.

1.1. Formula sinusului semiunghiului

În formula fundamentală a cosinusului unghiului:

înlocuim şi obţinem:

de unde

Deoarece

rezultă

Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală cu produsul dublu al sinusului semisumei cusinusul semidiferentei luată în ordine inversă,

Notăm . Prin urmare , .Făcând subtituţia, obţinem:


3/21



Analog, obținem grupul de formule:(IX)

Observaţie. În faţa radicalului avem numai semnul plus, deoarece se consider ă triunghiurisferice ale căror unghiuri şi laturi sunt mai mici de .

1.2. Formula cosinusului semiunghiului

În acelaşi mod, din formula cosinusului laturii:

deoarece

obţinem:

Dar.

Rezultă

sau

Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală cu dublul produs al sinusului semisumei cusinusul semidiferenței luate în ordine inversă,

Cum , se obţine:

Analog, obţinem grupul de formule:

(X)


4/21



1.3. Formula tangentelor semiunghiurilor

Raportul dintre formulele (IX) şi (X) ne dă un alt grup de formule:

(XI)

După cum am ar ătat, în faţa radicalului se ia întotdeauna semnul deoarece jumătateaunghiului trigonometric sferic este întotdeauna .

1.4. Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor

Consider ăm triunghiul polar corespunzător triunghiului sferic . Formulele (IX),(X) şi(XI) aplicate triunghiului polar ne dau:

(8)

Ştim că , , , , ,.

Notăm , şi avem şi:


5/21



Înlocuind aceste relaţii în (8), obţinem, prin analogie, următoarele grupuri de formule:

(9)

sau

(9’)

Analog avem formulele şi pentru celelalte două laturi:(10)

(11)


6/21



Suma unghiurilor sferice este întotdeauna mai mare de , deci P este întotdeauna maimare de şi expresia de sub radical este totdeauna pozitivă.

Ştim că sau , sau .Deci

Substituind valorile aflate în formulele sinusurilor, cosinusurilor şi tangentelor jumătăţilor deunghi, obţinem formulele:(XII)

(XIII)

(XIV)


7/21



De reţinut!

Formula sinusului semiunghiului.

Formula cosinusului semiunghiului.

Formula tangentelor semiunghiurilor.

Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei

semilaturilor

Test de autoevaluare 16.1

Să se arate că dacă , atunci:


8/21



16.2 Formulele lui Delambre

Consider ăm identităţile:

Înlocuind în aceste relaţii pe cu expresiile lor obţinute în (IX) şi

(X):

Obţinem formulele lui Delambre:(XV)

sau


9/21



Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule.

De reţinut!

Formulele lui Delambre pentru un triunghi sfericoarecare


Stabiliţi formula:


10/21



16.3 Analogiile lui Neper

Împăr ţim formulele lui Delambre (XV) şi obţinem:

Analog avem:

(XVI)

În mod asemănător se demonstrează:

(XVII)


11/21



Formulele excesului sferic a. Din formulele lui Delambrie:

înlocuind şi rezultă:

Aplicăm proprietăţi ale propor ţiilor, formulele se rescriu:

Transformăm sumele şi diferenţele de sinusuri şi cosinusuri şi, după reducerea termenilorasemenea şi simplificare, obţinem:


12/21



Înmulţim relaţiile, membru cu membru:

.

Astfel, avem formula lui Simon L’Huilier :(10)

b. Din formulele (XII) şi (XIII), facem produsul sinusurilor a două semilaturi şi îl impăr ţimla cosinusul semilaturii a treia:

deci

de unde(11)

De reţinut!

Analogiile lui Neper

Formulele excesului sferic pentru un triunghioarecare


13/21




Fiind dat un triunghi sferic în care se cunosc:

Să se determine .

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 16

1. Să se arate că în orice triunghi sferic avem relaţia:

.

2. Să se arate că într-un triunghi sferic dreptunghic avem relaţiile:

a. .

b. .

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare


Cum vom avea:sau sau

de unde

Folosind formulele care exprimă laturile în funcţie de unghiuri:


14/21



relaţia din enunţ se rescrie:

Împăr ţind la , eliminăm numitorii şi luăm în considerare faptulcă şi obţinem:

. Înmulţim relatia cu 2 şi folosim formula:

şi ajungem la:

deoarece .

Cum obţinem egalitatea dorită.

Test de autoevaluare 16.2Cu formulele lui Delambrie scrise sub forma:

înmulțim prima relaţie cu şi pe a doua cu şi le adunăm:

În primul membru avem

În membrul doi înlocuim:

și obținem

Transformând suma şi diferenţa de cosinusuri în produse:


15/21



Înmulțim cu :

de unde

sau

Cum Avem

Test de autoevaluare 16.3Cum

Din formulele lui Neper:

de unde

Rezultă

Analog

de unde


16/21



Prin adunare şi scădere avem:

Pentru calcului lui avem relaţia:

Prin logaritmare,

de unde

Recapitulare

Formula sinusului semiunghiului (IX)

Formula cosinusului semiunghiului

(X)


17/21



Formula tangentelor semiunghiurilor

(XI)

Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor


18/21



(XII)

(XIII)

(XIV)


19/21



Formulele lui Delambre:(XV)

sau

Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule. Analogiile lui Neper:

Analog

(XVI)


20/21



În mod asemănător ,

(XVII)

Formulele excesului sferic Formula lui Simon L’Huilier :


21/21



Bibliografie1. F.F. Pavlov, V.P. Maşkevici, Trigonometrie

sferic ă, Editura Tehnică, Bucureşti, 19542. E. Bălăbănescu, C. Chiriac, Trigonometrie

sferic ă şi aplicaţ iile ei în astronomia nautic ă,Editura Militar ă a Ministerului For ţelor Armate aleR.P.R., Bucureşti, 1964

3. Gh.D. Simionescu, Trigonometrie sferic ă, EdituraTehnică, Bucureşti, 1965

Documents

Unitatea de Invatare 16