Union 001 006 Racionales

7/25/2019 Union 001 006 Racionales

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Marzo de 2005, Nmero 1, pginas 17 - 35ISSN: en trmite

Modelos de medida para la enseanza

del nmero racional en Educacin Primaria

Rafael Escolano Vizcarra y Jos Mara Gairn Salln

Resumen

En la primera parte de este trabajo mostramos los obstculos didcticos provocados alpriorizar la enseanza de la fraccin como relacin parte-todo en Espaa. En la segundaparte presentamos una propuesta didctica alternativa para alumnos de 4, 5 y 6 deEducacin Primaria, propuesta que se apoya en el uso de tres modelos de aprendizaje:

medida, cociente y razn.

Abstract

In the first part of this study we present the didactic problems brought about by to prioritizethe teaching of the fraction as a part-whole relationship in Spain. In the second part wepresent an alternative didactic proposal for pupils in the 4th, 5th and 6th levels of PrimaryEducation, this proposal is based on the use of three learning models: measure, quotient andratio.

Introduccin

La instruccin sobre los nmeros racionales positivos ocupa una parte muydestacada de la Aritmtica que figura en los currcula oficiales de la EnseanzaPrimaria en Espaa. Sin embargo, un estudio del INCE con alumnos espaoles desexto curso de Educacin Primaria (12 aos) concluye que son casi tres de cadacuatro los que tienen dificultad para comprender el concepto de fraccin y operarcon fracciones (INCE, 2002, pg. 2).

Es cierto que buena parte de las dificultades de comprensin de los escolaresse sita en el conjunto de conceptos, procedimientos, relaciones y operaciones de lapropia estructura numrica de los nmeros racionales; y as se pone de manifiestoen distintas investigaciones (Kerslake, 1986; Bezuk y Bieck, 1993; Mack,1993;Kieren, 1993). Pero tambin es cierto que existen dificultades de comprensinprovocadas por el proceso instructivo.

En la primera parte de este trabajo nos proponemos analizar las dificultades decomprensin que provoca el significado parte-todo puesto que en este significado sesustenta, de forma casi exclusiva, el proceso de enseanza de la fraccin en elsistema educativo espaol. Es ms, este mismo significado tambin se utiliza para

introducir el nmero decimal como otra forma de escribir las fracciones decimales.


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Modelos de medida para la enseanza del nmero racional en Educacin PrimariaRafael Escolano y Jos Mara Gairn

REVISTAIBEROAMERICANADEEDUCACINMATEMTICA -MARZODE2005-NMERO1-PGINA 18

En la segunda parte de este trabajo enunciamos una propuesta didcticaalternativa que elude el significado de la fraccin como relacin parte-todo, y cuyosreferentes principales son la fenomenologa y la epistemologa del nmero racional.

El objetivo principal que ilumina esta propuesta es la de incrementar la comprensinde los alumnos sobre el nmero racional, entendido tal incremento en el sentido quele otorgan Hiebert y Carpenter (1992). Con esa finalidad hemos caracterizadodistintos modelos de aprendizaje para alcanzar objetivos parciales: el modelo demedida para introducir las fracciones, el modelo de cociente para fortalecer lasconexiones entre las notaciones fraccionaria y decimal, y el modelo de razn paraconstruir ideas sobre proporcionalidad aritmtica.

Adems de los enunciados generales de la propuesta, solamente podemosincluir una descripcin de las caractersticas esenciales de la propuesta didctica encuarto curso de Educacin Primaria (9-10 aos), as como el enunciado de algunos

de los resultados obtenidos al implementar la propuesta en el aula.

1. Parte I: Consideraciones sobre el significado parte-todo

El nmero racional positivo sintetiza diversos significados o interpretacionesque han participado en la construccin de este concepto. En estas condicionesparece adecuado que la enseanza de la representacin fraccionaria del nmeroracional se articule alrededor de estos significados. Hay autores como Behr et al.(1993, pg. 14), que admiten cinco significados diferenciados de la fraccin: parte-

todo, cociente, razn, operador y medida; mientras que otros autores consideran elsignificado parte-todo incluido en los de cociente y medida (Kieren, 1993), o loconsideran como una razn (Figueras, 1988).

La realidad del sistema educativo espaol es que la relacin parte-todo priorizael proceso educativo sobre la fraccin (Morcote y Flores, 2001); por tanto, resultapertinente responder a tres cuestiones relacionadas con el proceso instructivofundamentado desde la relacin parte-todo: es un significado diferenciado o estincluido en otros?, por qu se prioriza su utilizacin?, qu efectos provoca en elaprendiz? Las respuestas a estas cuestiones las buscamos en la prctica docente,en la interpretacin de las formas de presentacin de las fracciones a travs de los

manuales escolares que ha utilizado el sistema educativo espaol.

1.1 La fraccin con signif icado de parte-todo

Al iniciar la enseanza de las fracciones aparecen tareas similares a la queenunciamos y en la que reconocemos el significado parte-todo.

Tarea 1: Expresa con una fraccin la parte pintada de la figura 1:


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Fig. 1.

La resolucin de este tipo de tareas exige del escolar realizar transferenciasentre representaciones grficas y representaciones simblicas. Para ello, debeactuar del siguiente modo:

1.Interpretar, en la representacin grfica, aquellos aspectos que representanel todo y los que representan las partes destacadas.

2. Realizar un doble recuento: el de las partes iguales que forman el todo y elde las partes destacadas.

3.Representar, de forma simblica, el resultado de los dos recuentos: colocar

debajo de una raya el resultado de contar el todo, y escribir, encima de laraya, el resultado de contar las partes destacadas.

Esta tarea resulta representativa de lo que entendemos por el significado parte-todo: la relacin simblica que se establece entre dos nmeros naturales a partir deuna representacin grfica. Posteriormente, y desde estas representacionesgrficas, el proceso instructivo formula definiciones sobre los componentes de lafraccin: el denominador indica las partes que existen y el numerador las partes quese consideran.

Como caractersticas, desde la perspectiva cognitiva, de la construccin delsignificado parte-todo mediante tareas como la enunciada, cabe sealar lassiguientes:

1. Buena parte del conocimiento se adquiere de forma visual. Las tareas sepresentan con grficos, generalmente figuras geomtricas regulares, en lasque se destaca, mediante recursos grficos o colores, alguna parte.

2.Se ignora la medida de magnitudes. Al escolar se le oculta la existencia deun proceso de medida, puesto que en la instruccin se producen lossiguientes hechos:

!

Omisin de la magnitud utilizada. En el enunciado de las tareas sesuele utilizar la magnitud superficie, pero no se hace mencin de ellaporque la actividad se resuelve sin realizar la medida de ningunacantidad de superficie, simplemente hay que hacer dos recuentos.

! Indefinicin de la unidad. El todo o unidad no necesita que semuestre de forma explcita. Por este motivo las figuras suelenpresentarse superpuestas y claramente diferenciadas segn el atributodel color de modo que el alumno no tiene la necesidad de reconocer launidad para resolver la tarea.

! Irrelevancia de la igualdad de cantidades de magnitud. El alumno debereconocer el nmero de regiones que conforman dos figuras planas,

pero el nfasis se pone en la cardinalidad, no en la igualdad de lassuperficies de las regiones que aparecen en el fraccionamiento.


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3. Se refuerza el sentido del nmero natural. La respuesta a la tarea se alcanzarealizando un doble recuento y, por lo tanto, el alumno no ve la necesidad deintroducir ninguna estructura numrica superior a la del nmero natural.

4. La fraccin no tiene el status de nmero. Ante el escolar la fraccin aparececomo la relacin simblica entre dos nmeros naturales, pero para esteescolar dicha expresin simblica no tiene la entidad de nmero porque laentiende como una situacin descriptiva.

5. Promueve el aprendizaje pasivo. La relacin entre la parte y el todo presentauna situacin esttica entre cantidades de superficie; no hay situacinproblemtica porque la tarea est perfectamente preparada para asegurar elxito de los escolares.

1.2. Origen del signi ficado parte-todo

En la gnesis histrica de la fraccin hemos buscado aquellas actividadeshumanas que dieron lugar a la aparicin de este concepto. En esta gnesis cabensituar los significados de medida, cociente (con sentido partitivo) y razn.Brevemente sealamos la diferencia entre estos tres significados y el de parte todo,y lo haremos mostrando cmo la tarea 1 no tiene cabida en ellos:

La relacin parte-todo no tiene significado de medida

No es infrecuente que se identifiquen los significados de parte-todo y demedida. Consideramos conveniente establecer las diferencias existentes entre

ambos significados, y lo vamos a hacer desde una nueva reformulacin de la Tarea1 (Fig. 2):

Ahora la respuesta a la tarea no es evidente porque nos encontramos ante unproblema cuya solucin no es inmediata puesto que, ahora, el resolutor debe unatomar decisiones y proceder por ensayo y error:

Sabiendo que la unidad de superficie es:

Calcular la superficie de la siguiente figura:

u

Fig. 2. Reformulacin de la tarea 1


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1. Es evidente que la superficie a medir no contiene un nmero entero deveces la unidad de medida u; por tanto, hay que decidir sobre el tamao deuna nueva unidad de medida que, necesariamente, ha de ser una parte

alcuota de la unidad u. Pero, cul es esa parte o subunidad?, la mitad deu, la tercera parte de u,...?; no queda otra opcin que construir tal subunidady comprobar que est contenida un nmero entero de veces en la superficiea medir.

2. Una vez finalizado el proceso, hay que expresar el resultado de la medida. Yeste resultado depender de la tcnica utilizada en el proceso de medida:habr que mencionar la subunidad o subunidades utilizadas y el tamao destas respecto a la unidad u. En consecuencia, pueden aparecer distintasformas de expresar el resultado de la medida, como 4/9 de u, 1/3 + 1/9 de u,8/18 de u

A la vista de estas consideraciones resulta evidente que el significado demedida es muy diferente del significado parte-todo, tanto por las exigenciascognitivas que exige la tarea, como por las ideas matemticas que se derivan de laresolucin de la tarea.

La relacin parte-todo no tiene significado de cociente

Entendemos que el significado de cociente se corresponde histricamente conla idea de cociente partitivo, a la expresin del resultado de repartir de formaigualitaria a unidades entre b personas, o de distribuir a unidades en b gruposiguales. Por tanto, en esta idea intervienen la cantidad a repartir (que puede ser

continua o discreta) y el nmero de grupos o personas que participan (siempre unnmero natural). Con estas consideraciones, la expresin a/b indica el resultado delreparto, la cantidad de la magnitud considerada que corresponde a cada uno de losparticipante. Adems, la fraccin a/b aparece solamente si se aplica la tcnica delreparto en una sola fase: cada una de las aunidades a repartir se fraccionan en bpartes iguales y a cada participante se le entrega una parte de cada una de lasunidades previamente fraccionadas.

Por consiguiente hay que considerar a los significados de cociente y de parte-todo como significados diferenciados.

La relacin parte-todo no tiene significado de razn

Sostenemos que el significado de razn surge histricamente en actividadescomerciales en las que aparece la necesidad de comparar dos cantidades de unamisma magnitud o de dos magnitudes diferentes, y que el resultado de lacomparacin define una nueva magnitud. Posteriormente, se ampli hacia nuevosusos: la probabilidad surge de comparar dos cardinales; el sabor o concentracinde una mezcla es la razn entre las cantidades de dos ingredientes; la escala es unarazn de semejanza; etc.

El significado parte-todo se podra considerar como un caso particular delsignificado de razn, se interpretara como la relacin entre cantidades de la misma


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magnitud y medidas con la misma unidad; y, en estas condiciones, el resultado detal relacin sera un nmero no medida, como ocurre en el caso de las escalas.Ahora bien, desde el enunciado de la Tarea 1 el alumno no puede percibir esta

relacin; para dicho alumno la fraccin 4/9 indicara que estamos sealando 4regiones de las 9 en las que est fraccionado el todo, y la fraccin no pretendeexpresar una razn entre reas, no pretende definir una nueva magnitud. Por lotanto, la relacin parte-todo tiene un significado claramente diferenciado del derazn.

Adems de los tres significados mencionados anteriormente, las propiasmatemticas aportan dos significados de la fraccin -operador y cociente indicado-que estn presentes en el proceso educativo. Pero estos significados sonclaramente distintos del significado parte-todo, como mostramos brevemente.

La relacin parte-todo no tiene significado de operador

Entendemos que el significado de operador es el de una funcin racional queproduce transformaciones de una cantidad de magnitud, obtenindose otra cantidadde esa misma magnitud medida con la misma unidad. Esta transformacin se logramediante la realizacin de dos acciones: multiplicar la cantidad inicial por el nmeroentero del numerador y dividir el resultado por el nmero entero del denominador.Ahora bien, para poder aplicar estas transformaciones es preciso conocerlaspreviamente, y tal conocimiento lleva implcito el smbolo a/b como convenio queexpresa que aes el nmero por el que se multiplica la cantidad y bpor el que sedivide.

Con el significado parte-todo la fraccin 4/9 describe una situacin esttica quees muy diferente de la transformacin que impone la funcin racional: el significadoparte-todo es un significado claramente diferenciado del significado de operador.

La relacin parte-todo no tiene significado de coc iente indicado

Es frecuente que los textos escolares indiquen que la fraccin expresa elcociente indicado de dos nmeros. Bajo este enunciado encontramos reminiscenciasde la construccin formal del conjunto de los nmeros racionales, aunque los textosescolares solamente se preocupan por mostrar que en este conjunto numricosiempre se pueden dividir dos nmeros enteros. Desde la perspectiva del alumnoeste significado de la fraccin es muy diferente del de parte-todo, pues no tienesentido el cociente de dividir el nmero de partes que se consideran entre el nmerode partes existentes.

A modo de conclusin

A la vista de las consideraciones anteriores, vemos que la fraccin consignificado parte-todo no surge de las necesidades humanas (en el sentido quenombra Bishop, 1999), puesto que la gnesis histrica del nmero racional se

encuentra en la medida de cantidades de magnitud bien realizada directamente obien realizada para expresar el resultado de un reparto, o en la comparacin de dos


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cantidades de magnitud, ya medidas, que da sentido a la idea de razn. Estesignificado tampoco es un significado generado por las propias matemticas.

Por tanto, pensamos que el origen del significado parte-todo habra que situarloen la prctica educativa, habra que ubicarlo entre los recursos didcticos creadospor necesidades del proceso de la enseanza y del aprendizaje de las matemticas.En efecto, en uno trabajo reciente (Escolano, 2004) se pone de manifiesto cmo enlos textos escolares espaoles se puede detectar la presencia del significado parte-todo desde el primer tercio del siglo XX. Asimismo, seala dos razones que

justificaran la introduccin y consolidacin de este recurso didctico:

! Eludir el proceso de medida con objetos tangibles (dificultad del propioproceso de medida, gestin del aula por la utilizacin de material, controlde la diversidad de resultados obtenidos, prioridad de la enseanza del

Sistema Mtrico Decimal, etc.),! Abreviar los perodos de instruccin: el significado parte-todo permite una

introduccin rpida de la representacin simblica de la fraccin y,adems, con elevados niveles de xito a corto plazo.

1.3. Consecuencias de la prctica docente

La aparente facilidad, desde el punto de vista docente, con la que se introduceel significado del nmero racional como relacin parte-todo tambin tiene unoscostos en trminos de comprensin. Aparecen as los que Brousseau (1983)

denomina obstculos didcticos, o dificultades y errores que se originan comoconsecuencia del modo en que se presentan los conceptos matemticos. Haremosreferencia a tres de estos obstculos que tienen especial relevancia en laconstruccin significativa de las fracciones por parte de los escolares espaoles:

1 Se obstaculiza la formacin de concepciones adecuadas.

Un seguimiento de las actividades que proponen los textos escolares,sustentadas por el significado parte-todo, nos ha permitido identificar en los alumnoslas siguientes ideas errneas:

! No existen las fracciones impropias. El alumno se crea la idea de que elnmero de partes que se toman debe ser menor o igual que las partes deltodo (Bonotto, 1993).

! Las fracciones son nmeros no medida. Las fracciones se presentan almargen de las magnitudes, de modo que, por ejemplo, anterepresentaciones grficas de medio cuadrado, o de medio crculo o demedia tarta, el alumno escribir simplemente 1/2. Desde esta creencia, yvarios aos despus de recibir instruccin, no resulta infrecuente queestudiantes para Maestro al enfrentarse a problemas del tipo encontrar elnmero de manzanas que haba en una cesta sabiendo que despus de

retirar la mitad de las manzana menos 7 quedan 40, digan que el


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problema no tiene sentido porque el resultado de la operacin 1/2 7 esun nmero negativo. (Gairn, 2004a)

! El todo o unidad no es un nmero. En el proceso instructivo no se

explicita el sentido y funciones de la unidad, lo que provoca laidentificacin de las fracciones del tipo a/a con la unidad, pues losestudiantes tienden a sealar que este tipo de fracciones representa eltodo, o que han tomado aelementos (Gairn, 2001)

2 Se obstaculiza la separacin conceptual del nmero racional y del nmeronatural.

La instruccin desde el significado de parte-todo no justifica la introduccin deuna nueva estructura numrica puesto que para la resolucin de las tareas basta elrecuento de nmeros naturales, lo que provoca ideas errneas en los alumnos:

! La fraccin est formada por dos nmeros naturales. La fraccin describeuna situacin esttica en la que hay involucrados dos nmeros naturales;por tanto, ni la fraccin, ni la expresin decimal, se entienden como unsolo ente numrico de naturaleza diferente a la de los nmeros naturales.

! Las relaciones y operaciones con nmeros racionales tienen el mismosignificado que en los nmeros naturales. Los alumnos extienden lossignificados y tcnicas del nmero natural a una nueva situacin en la que,desde sus creencias, los entes numricos no cambian de sentido: el ordende los nmeros racionales es igual que el de los naturales, lamultiplicacin de racionales es una suma reiterada, el resultado del

producto de dos nmeros racionales es mayor que cualquiera de losfactores, etc.

3 Se obstaculiza la formacin de ideas abstractas.

No se sita a los alumnos en disposicin de buscar estrategias de resolucinde situaciones problemticas que le faciliten el paso del mundo de los objetos almundo de las ideas; as, los alumnos se forjan creencias como las siguientes:

! Los conceptos son las tcnicas asociadas a los mismos. Para los alumnos

las ideas sobre relaciones y operaciones se limitan al uso de sus tcnicasasociadas; por ejemplo, el significado de la suma de fracciones es elalgoritmo que proporciona el resultado de dicha suma.

! Los contenidos tiles son los procedimentales. Los alumnos memorizanlas tcnicas de clculo sin preocuparse de sus fundamentos tericos, loque provoca resultados de esta ndole: solo el 33% de los alumnos de 6curso de Educacin Primaria (12 aos) responde correctamente a lapregunta qu tanto por ciento representan 2/5?(INCE, 2002, pg.2).


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2. Parte II: Propuesta alternativa

Hemos puesto de manifiesto las limitaciones de la enseanza del nmero

racional basada en el uso casi exclusivo del significado parte-todo. Otrosinvestigadores consideran que el parte-todo es el menos valioso de los significadosde la fraccin (Lamon, 2001).

Con el propsito de mejorar la prctica docente analizamos la viabilidad deofrecer a los escolares un proceso instructivo diferente: que eluda el significadoparte-todo y que ayude a superar las dificultades de comprensin de las fraccionesque ya hemos sealado.

Tras un periodo de anlisis y reflexin formulamos una propuesta didcticagenuina para la enseanza del nmero racional a lo largo de los tres ltimos cursos

de Educacin Primaria (desde los 10 hasta los 12 aos), con tres objetivosprincipales:

1 Favorecer la construccin de concepciones adecuadas.

Al escolar se le presenta un proceso instructivo sustentado en el uso demodelos de aprendizaje1 que tienen como caracterstica comn la medida decantidades de magnitud. De este modo disponen de un mundo de objetos fsicos enlos que justificar los resultados matemticos.

2 Potenciar la idea de nmero racional

Se provoca una ruptura entre la idea de nmero natural y la de nmero racionala partir de sus diferentes usos: contar y medir son actividades de naturalezadiferenciada que demandan tcnicas y procesos distintos. En consecuencia, losnmeros naturales y los nmeros racionales se representan con signos distintos, lasrelaciones y operaciones entre ellos tienen significados tambin distintos, y tambinson distintos los algoritmos de clculo que se utilizan en los dos campos numricos.

3 Facilitar la construccin de ideas abstractas.

A travs de los modelos de aprendizaje el alumno dispone de una herramientaque, mediante la interaccin con el mundo de los objetos, le facilita la construccinmental de los nmeros racionales y le permite la evaluacin semntica de cualquierexpresin simblica en la que aparezcan nmeros racionales.

Esta propuesta, que tiene en cuenta la gnesis histrica del nmero racional,se sustenta en una prctica educativa que prioriza el uso de modelos de aprendizajeen tanto en cuanto constituyen soportes fsicos estables sobre los que los alumnosconstruyen sus conocimientos. Ahora bien, como los modelos de aprendizaje tienenunas potencialidades y unas limitaciones que delimitan su utilizacin en el proceso

1 Gairn J. M. (2004 b): Nmeros racionales. Modelos y significados.


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educativo, hemos optado por utilizar tres modelos distintos con intencionalidadeseducativas bien diferenciadas:

!

Los modelos de medida directa se utilizan en cuarto (10 aos). En estosmodelos la representacin fraccionaria aparece desde la necesidad decomunicar el resultado de una accin de medida de una cantidad demagnitud.

! Los modelos de cociente, basados en la medida del resultado de unreparto igualitario, se utilizan en quinto curso (11 aos)2. Estos modelospermiten introducir la notacin decimal y conectarla con la fraccionaria.

! Los modelos de razn entre cantidades de magnitud en utilizan en sextocurso (12 aos). Estos modelos vinculan el nmero racional con las ideasde proporcionalidad.

El orden seguido en la introduccin de estos modelos se ha establecidoteniendo en cuenta las capacidades cognitivas que exige cada uno de ellos. Enefecto, an siendo conscientes de que la medida presenta dificultades derivadas dela propia naturaleza del concepto, entendemos que son mayores las dificultades enel caso del cociente (adems de las dificultades de la medida se aaden lasderivadas de la idea de cociente partitivo), y de la razn (hay que disponer de lamedida de dos cantidades de magnitud para despus establecer relaciones entreellas). Con el uso de estos modelos se espera que los escolares integren losdiferentes significados del nmero racional, as como los sistemas de representacinasociados, y que se evite la exclusividad de alguno de ellos puesto que cualquierade los significados destaca alguno de los aspectos del nmero racional mientras que

oscurece otros (Figueras, 1988).

La metodologa de la propuesta toma como referente el paradigmaconstructivista del aprendizaje: prioriza el trabajo personal y en grupo de losalumnos, y potencia el aula como espacio natural para la construccin delconocimiento.

El proceso de instruccin parte del trabajo de los alumnos, de sus respuestas alas situaciones problemticas que se les proponen y que han sido elaboradas,organizadas y secuenciadas de acuerdo con los modelos de aprendizaje elegidos.Una vez finalizada la tarea (en el aula o en sus casas) hay un proceso de reflexincolectiva en el que los alumnos discuten las respuestas incorrectas y exponendistintas estrategias utilizadas en la resolucin de la tarea, siendo el profesor quieninstitucionaliza el conocimiento matemtico. Todos los alumnos disponen, una vezterminado el tema, un pequeo texto encuadernado en el que figuran los conceptosy procedimientos objeto de la instruccin, as como actividades resueltas ypropuestas.

Esta propuesta, que forma parte de una investigacin en Didctica de laMatemtica, se implement, durante los cursos 1999-00, 2000-01, 2001-02 y 2003-04 en el colegio pblico To Jorge de la ciudad de Zaragoza (Espaa). A lo largo de

2 Una descripcin de las caractersticas del modelo puede consultarse en Escolano (2002a y 2002b)


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esta experimentacin participaron 160 alumnos y se implicaron 5 profesores delcolegio.

2.1 Enseanza de las fracciones con el s igni ficado de medida

Por razones de espacio no podemos incluir en este trabajo la propuestadidctica completa, por lo que nos limitamos a enunciar los aspectos msdestacables de dicha propuesta correspondientes a cuarto curso de EducacinPrimaria (10 aos); es decir, la parte de la propuesta didctica en que los alumnostienen el primer contacto con la fraccin.

El modelo de medida directa

Es el modelo de aprendizaje utilizado en este curso, entendiendo como talmodelo de aprendizaje un entorno fsico con el que se esquematiza y recrea unaparte del mundo real, con variables bien definidas, estable frente a interacciones conel mundo exterior, y que permite las acciones de los sujetos (Gairn, 1999, pg. 15).En este caso de los modelos de medida las cuatro variables tomaron los siguientesvalores:

a) Magnitudes medibles.

Se utilizan las de longitud, superficie y cardinalidad. Se eligen estasmagnitudes porque interesa utilizar las que figuran en los currcula oficiales, y

porque este tipo de magnitudes facilitan al escolar la obtencin del resultado de lamedida.

b) Objetos en los que resulta perceptible una cantidad de magnitud.

Los objetos utilizados son listones de madera, tiras de papel, cartulinas, folios,cubos ensamblados, pues se pueden manipular fcilmente, no crean problemas delimpieza o de seguridad, y son agradables al tacto.

c) Acciones realizadas sobre los objetos.

Se propone a los escolares la medida de cantidades de magnitud en diferentessituaciones.

d) La tcnica elegida para realizar la accin es la de medir en una sola fase3.

3 Existen otras tcnicas de medida que no se ha considerado pertinente su utilizacin por estar alejadas de las

capacidades cognitivas de los escolares de 4 curso. As ocurre, por ejemplo con la tcnica de medir en variasfases (utilizar la unidad y sucesivos fraccionamientos de sta o de las subunidades obtenidas en a partes iguales y

cuyo resultado se expresa de la forma n " n11

a" n2

1

a 2 " ... " np

1

ap de unidad), o con la tcnica de medir por

conmensuracin (hallar el nmero de veces (b) que hay que reiterar la cantidad a medir y el nmero de veces (a)que hay que reiterar la unidad (u) hasta que las cantidades reiteradas sean iguales; por lo que el resultado a/bexpresa la razn entre cantidades de magnitud)


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Consiste en fraccionar la unidad de medida con la finalidad de crear unasubunidad que est contenida un nmero entero de veces en la cantidad a medir. Laeleccin de esta subunidad se logra mediante un proceso de ensayo y error y

existen mltiples subunidades para medir una misma cantidad. El resultado de lamedida se expresa mediante una fraccin.

Consideraciones sobre los contenidos

Una vez concretados los modelos de medida que utilizamos en nuestrapropuesta, hay que justificar las decisiones que se han tomado para organizar ysecuenciar los contenidos de dicha propuesta:

1 Comenzar con la notacin fraccionaria

Una idea esencial para la comprensin de los nmeros racionales es la delfraccionamiento o particin de la unidad en un nmero finito de partes iguales. Estaidea aparece cuando la unidad de medida es mayor que la cantidad a medir, cuandose necesita establecer una subunidad de medida que quepa un nmero de veces enla cantidad a medir (Gairn, 2001). La idea de fraccionamiento aparece con la tcnicade medir en una fase.

Es ms, si la instruccin comenzase por la notacin decimal se plantearanalgunas cuestiones de difcil respuesta: cmo se realiza una construccin efectivade la fraccin a partir de la notacin decimal?, o cmo se justifica la existencia denmeros racionales no decimales?

2 Trabajar inicialmente con la longitud

Es conveniente que las situaciones problemticas que sirven para introducir lafraccin conlleven la medida de magnitudes realizadas con tcnicas lo ms sencillasposible; de lo contrario la tarea de medir acaparara toda la atencin del escolar endetrimento de la resolucin del problema. En este sentido, hemos optado portrabajar inicialmente la longitud porque su carcter unidimensional facilita lapercepcin de la cantidad y porque facilita la construccin de cantidades de longitudconocida su representacin fraccionaria.

Una vez que el alumno est familiarizado con la notacin fraccionaria interesaque no asocie esta representacin, exclusivamente, a la longitud, sino que laextienda a otras magnitudes. En este sentido proponemos el trabajo con la magnitudsuperficie porque fortalece el significado de fraccin como resultado de la medida decantidades de magnitud que tienen formas distintas, y desaconsejamos el uso de lamagnitud masa porque crea dificultades sobre su percepcin visual.

3 Incorporar la magnitud cardinalidad

El modelo basado en la magnitud cardinalidad presenta caractersticas

diferentes al resto de los modelos construidos con magnitudes continuas porque elfraccionamiento de la unidad no puede hacerse en el nmero de partes que se


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desee, tan solo puede hacerse teniendo en cuenta los divisores del cardinal de launidad. Proponemos el trabajo con esta magnitud porque ofrece al escolar unanueva perspectiva del significado de la fraccin y porque es un conocimiento

socialmente til por su amplia presencia en el mundo real.4 Anteponer la enseanza de las fracciones a la del Sistema Mtrico Decimal

Si se adelanta la enseanza del Sistema Mtrico Decimal a la enseanza de lafraccin resulta muy complejo justificar la necesidad de introducir el conjunto de losnmeros racionales para resolver el problema de la medida; en efecto el SistemaMtrico Decimal se ide pensando que cualquier cantidad se pueda expresar con unnmero natural (para lo que basta elegir una unidad lo suficientemente pequea).Es ms, la enseanza de este Sistema lleva asociado el uso de la regla graduada, yesta prctica educativa obstaculiza la aparicin de ideas sobre las fracciones.

5 La instruccin se limita a tres bloques de contenido: Construccin delsistema de representacin fraccionario con magnitudes continuas, relaciones deequivalencia y orden de fracciones y construccin del sistema de representacinfraccionario con la magnitud cardinalidad.

Ejemplif icacin de la primera tarea de medida

Con la finalidad de ilustrar este discurso, nos parece oportuno incluir lasituacin inicial, la primera de las tareas que se proponen al alumno, con el fin deque el lector pueda hacerse una idea ms precisa de cmo se hace surgir en el

alumno la idea de fraccin y de qu tipo de tareas se proponen para afrontar loscontenidos de este curso.

Deseis encargar, por carta, una barra para colgar la cortina que tenis en la pared4.

Qu le escribirais al vendedor para que os venda una barra que tenga la mismalongitud que la de la cortina?

El vendedor nos ha mandado lo que llama una unidad de medida que tiene la mismalongitud que las tiras de papel que os entrego.

Tambin os entrego una carta para que solo tengis que rellenar los espacios enblanco.

En este momento incipiente del proceso de enseanza los alumnosdesconocen la representacin simblica de la fraccin; sin embargo, son capaces demedir la longitud de la barra. Mostramos la respuesta que escribe Iratxe que midecorrectamente la barra y que est en condiciones de comprender la representacinsimblica de la fraccin:

4 En la pared se cuelga una pequea cortina de papel con una barra de madera que la sujeta


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2.2. Resultados

Nos limitamos a enunciar algunas conclusiones de las obtenidas en lainvestigacin referidas a cuarto curso. Estos resultados provienen de los anlisis(cualitativos y cuantitativos) de las 30 tareas que realizan los alumnos de este cursoa los largo de las 23 sesiones de clase, de 50 minutos de duracin, que sedesarrollaron en la fase experimental.

Comprensin de los alumnos

1 Los alumnos no intuyen la necesidad de fraccionar en partes iguales launidad de medida cuando intentan resolver la primera situacin problemtica, lo queobliga al profesor a sugerir esta idea central para dar significado a la fraccin.

2 En las tareas de medida los alumnos encuentran con facilidad la fraccinque expresa la cantidad longitud, superficie o cardinalidad. Sin embargo, tienen

serias dificultades en el trabajo con la magnitud masa.3 Los alumnos saben construir la cantidad de magnitud a partir del

conocimiento de la representacin simblica de la fraccin, aunque el porcentaje deacierto desciende si se compara con los de las tareas de medida.

4 No se detectan diferencias significativas en la comprensin de los escolarescuando trabajan con las magnitudes longitud o superficie.

5 Los alumnos aceptan de forma natural la existencias de fracciones mayores,menores o iguales que la unidad.


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6 El concepto de equivalencia de fracciones aparece de forma natural, desdelas primeras tareas de medida, porque los alumnos expresan la medida de unamisma cantidad con distintas subunidades.

7 Los alumnos saben construir fracciones equivalentes a una dada utilizandocomo recurso didctico materiales manipulativos. Sin embargo, la mayora de losalumnos tienen dificultad para formular la regla general de obtencin de fraccionesequivalentes y para aplicar dicha regla en las tareas de comparacin de fracciones.

8 Los alumnos de cuarto curso saben ordenan fracciones utilizando comoestrategia bsica el significado de fraccin como medida, es decir, justifican susresultados a partir de las cantidades de magnitud que expresan las fracciones. Estees el caso de Abel que al resolver la tarea 24: Has comprado dos cartulinas: unatiene una superficie de 5/4 de unidad y otra tiene una superficie de 4/3 de unidad.

Qu cartulina tiene menor superficie?, ofrece estos argumentos (Fig. 3):

Potencialidades de la propuesta didctica

1. Los modelos utilizados han facilitado a los alumnos el paso de lasrepresentaciones manipulativas a las representaciones grficas; y, aunque lasrepresentaciones grficas sean imprecisas, stas les sirven para fijar los aspectosesenciales de los procesos de medida, como muestra el caso de Silvia que en latarea 24 (Fig. 4), anteriormente enunciada, utiliza este dibujo:

2 Los modelos de aprendizaje que se han utilizado son coherentes con la lneametodolgica que caracteriza la propuesta de enseanza, porque:

Fig. 4. Respuesta de Silvia en la tarea 24.

Fig. 3. Argumentos de Abel en la tarea 24.


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a) Facilitan el aprendizaje de los alumnos a partir de acciones fsicas conobjetos manipulables.

b) Respetan los diferentes niveles de comprensin de los alumnos, puesto queel diseo de las tareas les deja libertad para elegir la estrategia ms adecuada a sunivel de abstraccin para resolver el problema.

c) Potencian la construccin social del conocimiento porque, durante laevaluacin conjunta de las tareas, los alumnos exponen las estrategias deresolucin puestas en juego.

Limitaciones de la propuesta

1. La magnitud masa ha causado dificultades asociadas a la complejidad de la

percepcin visual de cantidades de esta magnitud, as como a lasdificultades de realizar el fraccionamiento con una balanza de dos brazos.2.La mayor parte de los alumnos de cuarto curso no alcanzan a gestionar la

equivalencia de fracciones a nivel simblico: no formulan la tcnica deobtencin de fracciones equivalentes a una dada y no saben utilizar laequivalencia para comparar fracciones. Estos alumnos saben compararfracciones manipulando objetos y, sin embargo, al trabajar con los smbolossuman la misma cantidad al numerador y al denominador para encontrarfracciones equivalentes a una dada. Estos hechos nos hacen pensar que lagestin de la equivalencia a nivel simblico debe ubicarse en un cursoposterior, en quinto curso.

3. Se intuye que, a largo plazo, los alumnos de Educacin Primaria puedenhaberse forjado la idea de que la medida de cualquier cantidad continuapuede ser expresada mediante una fraccin. Asumimos que esta limitacindeber superarse, en estudios posteriores, cuando los alumnos estncapacitados para entender tanto los procesos infinitos de aproximacin en larecta real, como la densidad de los nmeros racionales en los nmerosreales.

3. Parte III: Discusin e implicaciones

La experimentacin realizada y los resultados obtenidos ponen de manifiestoque es factible una propuesta didctica alternativa a la tradicional enseanzasustentada por el significado parte-todo. Es ms, durante cuatro cursos hemosimplementado nuestra propuesta respetando la programacin y temporalizacin delrea de Matemticas que figura en el Proyecto Curricular del Centro.

Las respuestas que dan los alumnos a las tareas propuestas indican ladesaparicin de obstculos didcticos que, como hemos manifestado, se producensi en la instruccin se utiliza el significado parte-todo: las fracciones propias eimpropias tienen el mismo estatus como expresin de cantidades de magnitud; lasfracciones son entes numricos asociados a la medida y la unidad de medida juegaun papel esencial para interpretar las fracciones.


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Adems, los alumnos perciben que la fenomenologa asociada a la fraccindifiere sustancialmente de la del nmero natural. Para los alumnos la fraccin surgecomo una necesidad para formular la respuesta a problemas en los que los nmeros

naturales se muestran insuficientes, situaciones en las que el resultado de la medidano puede expresarse con un nmero natural.

Desde sus experiencias previas con los nmeros naturales, para un nio de 9-10 aos resulta difcil de admitir que una cantidad se puede representar de formasdiferentes. Sin embargo, la constatacin personal de las actividades realizadas conmateriales manipulativos lleva a los alumnos que han participado en laexperimentacin a admitir y comprender la existencia de fracciones equivalentes, aadmitir que existan formas diferentes de escribir la misma cantidad.

Tambin queremos dejar constancia de que, para estos alumnos, la

comparacin de fracciones es una idea muy ntida: una cantidad puede ser mayor,menor o igual que otra; mientras que la interpretacin y aplicacin, a nivel simblico,de las correspondientes tcnicas de clculo asociadas les resulta bastantedificultoso.

Pero esta propuesta tambin presenta desventajas respecto a la tradicionalenseanza sustentada en el significado parte-todo: el aprendizaje es ms dilatadoen el tiempo porque se retrasa la introduccin de la representacin simblica de lafraccin. No obstante, podemos afirmar que los alumnos que intervienen en lasfases experimentales desarrollan ideas adecuadas de la fraccin como resultado deuna medida cuando interactan con distintos sistemas de representacin

(manipulativos, grficos y verbales). Y, a pesar de que en cuarto curso no soncapaces de gestionar correctamente la representacin simblica de la fraccin hansentado las bases para hacerlo en el siguiente curso. Hemos constatado que losmismos alumnos, un ao despus, en quinto curso de Educacin Primaria (11 aos),han ido gradualmente utilizando la estrategia basada en la equivalencia defracciones para resolver situaciones problemticas sobre relaciones y operacionescon fracciones.

Hemos presentado una propuesta que en la fase experimental ha mostradoms ventajas que inconvenientes respecto a la enseanza tradicional; queda eldesafo de que otras investigaciones confirmen la incidencia de dicha propuesta enun incremento de la comprensin de los escolares y, caso de ser as, queda el retode formar a unos profesores para que enseen de forma diferente a comoaprendieron.

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Rafael Escolano Vizcarra es profesor del rea de Didctica de la Matemtica de laUniversidad de Zaragoza (Espaa) e imparte docencia en la Facultad de Educacin deesta Universidad. Es miembro del grupo de Pensamiento Numrico y Algebraico de laSEIEM (Sociedad Espaola de Investigacin en Educacin Matemtica) e investiga enla didctica del nmero racional y en la formacin del Profesorado.E-mail: [email protected] de Educacin de la Universidad de ZaragozaC/ San Juan Bosco, n 750009-Zaragoza (Espaa)

Jos Mara Gairn Salln es profesor del rea de Didctica de la Matemtica de laUniversidad de Zaragoza (Espaa) e imparte docencia en las Facultades de Educaciny de Ciencias de esta Universidad. Es miembro del grupo de Pensamiento Numrico yAlgebraico de la SEIEM (Sociedad Espaola de Investigacin en Educacin

Matemtica) e investiga en la didctica del nmero racional, en la formacin delProfesorado y en juegos educativos matemticos.E-mail:[email protected] de Educacin de la Universidad de ZaragozaC/ San Juan Bosco, n 750009-Zaragoza (Espaa)

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