Universidad Privada TelesupPg. 1 Prof. LEVA APAZA Antenor UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Carrera: Ingeniera de Sistemas Semestre: 2012-1 SEPARATA INVESTIGACION OPERATIVA PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL Profesor del curso: Leva Apaza Antenor Lima, Febrero del 2012Universidad Privada TelesupPg. 2 Prof. LEVA APAZA Antenor PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL INDICE I PROGRAMACION LINEAL II DESARROLLO DE CONTENIDOS SEMANA 1: INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Logros Resumen Desarrollo DefinicinTipos de matrices Propiedades Inversa de una matriz Actividades Glosario Anexos y textos SEMANA 2: FORMULACION Y REPRESENTACION MATEMATICA DE UN PROGRAMALINEAL Logros Resumen Desarrollo Fundamento de la programacinlineal Formulacin de unmodelo de programacinlineal Representacinmatemtica Actividades Glosario Anexos y textos SEMANA3: SOLUCION DE UN P.L.(METODO GRAFICO) Logros Resumen Desarrollo Solucin de un problema de maximizacin Solucin de un problema de minimizacin Anlisis de sensibilidad Actividades Universidad Privada TelesupPg. 3 Prof. LEVA APAZA Antenor Glosario Anexos y textos III BIBLIOGRAFIA IV AUTOEVALUACION PARA LA UNIDAD VRESOLUCION DEL CUESTIONARIO Universidad Privada TelesupPg. 4 Prof. LEVA APAZA Antenor PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL I INTRODUCCIONY ORIENTACION PARA EL ESTUDIO Seaplicaamodelosdeoptimizacinenlosquelasfuncionesobjetivoyrestriccinson estrictamentelineales.Latcnicaseaplicaenunaampliavariedaddecasosenloscamposde industria, agricultura, transporte, economa, salud, ciencias sociales y de la conducta militar. Formalacolumnavertebraldelosalgoritmosdesolucinparaotrosmodelosdeinvestigacin operativa, como las programaciones enteras, estocstica y no lineal. II DESARROLLO DE CONTENIDOS SEMANA 1: INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES LOGROS El participante logra recordar la teora de matrices para poder utilizar en la programacin lineal. RESUMEN En esta seccin presentamos la teora dematrices y sus propiedades. DESARROLLO MATRIZ Definicin: Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros reales ordenados en filas o en columnas. Son ejemplos de matrices: Notacin.- Las matrices se denotan con letras maysculas, tal como A, B, C,...,etc. El conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierran entre parntesis o corchetes y en los casos en que no se usen nmeros especficos, se denotan con letras minsculas subindicadas: aij , bij ,cij ,es decir, ( )2 120 1 3 , sin cos tg , 1 2 10 3abct| | || || | | | | | ||\ .\ .11 12 121 22 2. . ...11 12 11 2......:: : ....nnijm m m nm m mna a aa a aA aa a aa a a | | | | | ( = = | | | |\ .Universidad Privada TelesupPg. 5 Prof. LEVA APAZA Antenor Los subndices de un elemento indican, el primero la fila en la que est la componente y el segundo la columna correspondiente; as, el elementoija ocupa la interseccin de la i-sima fila y la j-sima columna. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden o dimensin de una matriz est dado por el producto indicado mxn , donde mindica el nmero de filasynel nmero de columnas. Por ejemplo: El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en ( puede sero ), se denotar, es decir: As, en el ejemplo anterior: AeR2x3. Ejemplo N1 Escribir explcitamente lasmatrices: TIPOS DE MATRICES a) Matriz rectangular.- La matriz deorden mxn, con m = n, recibe el nombre de matriz rectangular.Por ejemplo: b) Matriz fila.- La matriz deorden 1xn,se denomina matriz fila.Por ejemplo: c) Matriz columna.- La matriz de mfilas y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden m x 1,por ejemplo: 1 2 5es una matriz de orden 2x32 1 3A| |= |\ .{ }mxnijmxnK AA a( = = 2 33 32 4 2ija) 2b) min( , )c) C cxij ijxij ijxijA a R a i jB b R b i jR c i j ( = e = = e =( ( = e = + 1 1 25 0 4A| |= |\ .( ) 1 6 8 B = 23 07C| | | |= | |\ .Universidad Privada TelesupPg. 6 Prof. LEVA APAZA Antenor d) Matriz cero.- Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0,i, j recibe el nombre de matriz cero o nula. Por ejemplo: e) Matriz cuadrada.- La matriz que tiene mismo nmero de filas y columnas se llama matriz cuadrada.Una matriz cuadrada con n filas y ncolumnas se llama tambin matriz de orden n. Por ejemplo: OBSERVACIONES En una matriz cuadrada, la diagonal principal es una lnea formada por los elementos 11 22 33; ; ;...;nna a a aLa suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se llama traza de la matrizy se denota por: IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son idnticas. Esto es: Ejercicio: Dadas las matrices Hallar los valores de x e y de modo queA=B SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices ijmnA a ( = , B=[bij]mxn , se llama suma de A y B a otra matriz C=[cij]mxn tal que: aij+ bij= cij, i,j .Esto es: 0 0 00 0 00 0 00 0 0u| | | |= | |\ .11 12 13 14 1521 22 23 24 2531 32 33 34 3541 42 43 44 4551 52 53 54 55a a a a aa a a a aA a a a a aa a a a aa a a a a| | | | |= | | |\ .( ) ( )1niiiTr A a==, ,ij ij ij ijmxn mxna b a b i j(( = = 2 22 ( 1)13 3x i jij ijA a R ax yBx y ( = e = | |= |\ .ij ij ij ijA B a b a b((( + = + = + Universidad Privada TelesupPg. 7 Prof. LEVA APAZA Antenor Ejercicio: Dadas las matrices: Hallar A+B. PROPIEDADES DE LA ADICIN DE MATRICES Si A, B, C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las siguientes propiedades: PRODUCTO ESCALAR POR UNA MATRIZ Dados una matriz A y un nmero real k, el producto de k por A se define: Cada componente de A se multiplica por el escalar k. MULTIPLICACIN DE MATRICES Definicin.- Si A=[aij]mxp , B=[bij]pxn elproducto AxB, en ese orden, es la matriz C=[cij]mxn cuyos elementos de A y B se obtienen de los elementos de A y B siguiendo el siguiente desarrollo: Ejercicio: Hallar AB , sabiendo que: Propiedades de la multiplicacin de matrices Si A, B, C son matrices de dimensiones compatibles (conformables) respecto a la suma y producto, entonces se tiene: 7 2 2 5;5 2 4 1A B | | | |= = ||\ . \ .( )( ) ( ) ( )12345A ., , ( )A . A .( )A ., /A ., /mxn mxnmxn mxnmxn mxnA B K A B KA B B AA B C A B CA K K A A AA K A K A A A Au u uu e + e+ = ++ + = + + e - e + = + = e - e + = + =ij ijkA k a ka(( = = 1 1 2 2...ij i j i j ip pjc ab ab ab = + + +2x2 2 32 3 1 2 3, 1 2 4 1 2xA B | | | |= = ||\ . \ .123456M . ( ) ( )M . ( )( )M .M . ,no implica queM . ,no implica que M . / ,n nA BC AB CA B C AB ACA B C AC BCAB BAAB A BAB AC B CI K A K IA AI Au u u=+ = ++ = +== = == =- e e = =Universidad Privada TelesupPg. 8 Prof. LEVA APAZA Antenor Matriz Transpuesta.Dada una matriz de orden n , se llama matriz transpuesta de A y B , se denota por yt tA B a la matriz de orden n cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por columnas. Ejemplo: Sea Matrices cuadradas especiales a) Matriz simtrica.- Dada una matriz nijA a K( = e si ocurre quetA A = diremos queAessimtrica. Si la matriz A es simtrica, entonces para una constantecualquiera, la matrizA tambin es simtrica.Ejemplo: Si se tiene que: Como,entonceses una matriz simtricay tambin lo es: b) Matriz antisimtrica.- Se dice que una matriz es antisimtrica si cumple.

Ejemplo: demostrar que la matriz dada es antisimtrica: OBSERVACIN.- En una matriz antisimtrica los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros. 5 45 7 17 14 1 21 2tA A| || | |= = | |\ . |\ .2 2 42 6 04 0 8A| | |= | |\ . 2 2 42 6 04 0 8tA| | |= | |\ . tA A =A1 1 211 3 022 0 4A A | | |= = | |\ .nijA a K( = e tA A = 0 2 32 0 13 1 0A | | |= | |\ .Universidad Privada TelesupPg. 9 Prof. LEVA APAZA Antenor MATRIZ INVERSA Si, se dice que A es inversible si existe una matriz B tal que AB=I BA=I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota B=A-1. CLCULO DE LA INVERSA POR EL MTODO DE GAUSS JORDAN El mtodo de Gauss Jordan consiste en: Para una matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular de orden nx2n, aadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, se reducea la matriz de la forma , lo que es posible si es que A es inversible. La matriz B resulta ser la inversa de A. Ejemplo: Determinar si la matriz A es inversible, s as lo fuera, calcular su inversa por el mtodo de Gauss Jordan. Solucin: PROPOSICIN 1: Una matriz cuadrada es invertible si y slo si su determinante es diferente de cero. PROPOSICIN 2: Sea Una matriz, tiene inversa A-1 si y slo si el , entonces: PROPOSICIN 3: Si A es una matriz invertible, entonces: nA K e( )A A I I =( )A I( )IB1 1 10 0 11 1 -1A | | |=| |\ .11 1221 22a aAa a| |= |\ .det( ) 0 A =22 12 121 11

1 det( )a aAa a A | |= |\ .11( )det( )A adj AA=Universidad Privada TelesupPg. 10 Prof. LEVA APAZA Antenor ACTIVIDADES Practica dirigida 1)Considerar las siguientes matrices: { }3 33 32 1 0 ,, ,0 1 1 ,1 2, , max ,3 4ij ijxij ijxi j si i jA B b bi j si i jC D d d i j+ >( ( = = = ( < ( ( = = = ( Calcular (si es posible) a ) TAA B +b ) ( )13 22TBD AA + 2)Calcular la matriz X, en : ( ) ( ):1 2 1 2 0 0 1 0 20 1 3 , 0 2 0 , 0 1 10 0 1 0 0 2 3 2 0T T T T TAX CB B CB BCBAdondeA B C = ((( (((= = = ((( ((( 3)Hallar le determinante de cada una de las siguientes matrices: 6 5 3 2 4 5, ,2 3 4 5 1 2A B C (((= = = ((( 4)Aplicando propiedades , hallar el determinante de cada uno de las siguientes matrices: 1 2 3 2 3 42 4 1 , 5 6 71 5 2 8 9 1A B(( ((= = (( (( 5)Hallar la inversa de la matriz: 1 0 04 2 31 1 2A ( (=( ( 6)Sean las matrices2 1 4 1 1 31 2 0 , 2 2 01 0 0 0 1 1A B(( ((= = (( (( a ) Hallar BA b ) Hallar la matriz inversa de la matriz BA 7)Calcular la matriz X , si : 1 1 1A X B C =Universidad Privada TelesupPg. 11 Prof. LEVA APAZA Antenor Donde: 1 12 0 1/ 3 2/ 3 4 0, ,1 1 0 1/ 3 0 4A B C (((= = = ((( 8)Calcular la matriz X, si: 1AX B C+ = , donde: 12 3 1 1, , 23 1 2 0A B C I A ((= = + = (( 9)Resolver el siguiente sistema: 2 3 17 4 47x yx y+ = + = 10)Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2 63 2 3 58 2 5 11x y zx y zx y z+ + = =+ + = 11)Resolver el siguiente sistema: 84 23 2 0x y zy zx y z+ + = = + = 12)Resolver el sistema de ecuaciones: 12 3 35 2 2x y zx y zx y z+ =+ + = + = 13)Resolver el sistema ecuaciones: 4 3 02 3 2 02 11 7 8 07 4 5 0x y z wx y z wx y z wy z w + + =+ = + + = = 14)Resolver el sistema: 27 9 3 112248 4 2 13x y z wx y z wx y z wx y z w+ + = + + = + + + =+ + + = 15)Tres ingenieros desistemas, Alan, Maray Esteban, recibieron un bonoa fin deao, de 10000solesparacadauno,ydecidieroninvertirenunplanderetiroauspiciadoporsu empresa. Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo accionario I , un fondo de desarrollo II y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del ao se resumen en la matriz Universidad Privada TelesupPg. 12 Prof. LEVA APAZA Antenor 4000 3000 30002000 5000 30002000 3000 5000I II IIIAlanA MariaEsteban ( (= ( ( Los rditos de los tres fondos despus de un ao estn dados por la matriz 0.180.240.12IA IIIII ( (= ( ( 16)ConstructoraMallorcaconstruyedepartamentosentresdistritoslimeos.Elnmero proyectado de departamentos en cada modelo por construir en cada distrito est dado por: 60 80 120 4020 30 60 1010 15 30 5I II III IVMirafloresA San IsidroLos Olivos ( (= ( ( Las ganancias proyectadas son $ 18000, $20000, $25000 y $30000, respectivamente, para cada modelo de departamento, del I al IV. a)EscribeunamatrizcolumnaBquerepresentelagananciaporcadatipode departamento. b)EncuentrelautilidadtotalesperadaporconstructoraMallorcaencadadistrito,sise venden todos los departamentos. 17)LaUPTdisponede$27200paraactividadesdecapacitacinde100docentes.Despus de estudiar las necesidades de los profesores, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvencin por persona para el curso A es de $ 400, para el curso B es de $160y de$200paraelC.SilacantidadquesededicaalcursoBeslaquintapartequela correspondiente al curso A, cuntos docentes siguen cada curso? 18)Uningenieronecesita4775m3dearena,5770m3 degravafinay5655m3degrava gruesaparaciertaconstruccinypuedetomarlosmaterialesdetresbancos.LA composicin de cada banco , en porcentaje , se presenta en la siguiente tabla: BancoArenaGrava FinaGrava gruesa 1523018 2205030 3252055 Cuntosm3debeextraerelingenierodecadabancoparaobtenerlascantidades deseadas? 19)Un fabricante produce tres artculos diferentes (A, B y C), cada uno de los cuales precisa parasuelaboracindetresmateriasprimas(M1,M2yM3).Enlasiguientetablase representa el numero de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto:

Productos ABC Universidad Privada TelesupPg. 13 Prof. LEVA APAZA Antenor Materias primas M1213 M2322 M3124 Dispone de 50 unidades de M1, 70 unidades de M2 y 40 unidades de M3. a)Determinar las cantidades de artculos A, B y C que produce dicho fabricante. b)Si los precios de venta de cada articulo son respectivamente , S/500 , S/600 y S/1000 y se gastaencadaunidaddemateriaprimaS/50,S/70yS/60,respectivamente,determinael beneficio total que consigue con la venta de toda la produccin obtenida (utilizando todos los recursos disponibles) 20)Una fbrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminacin N, 200 unidades en la terminacin L y 50 unidades en la terminacin S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminacin N, 100 unidades en la terminacin L y 30 unidades en la terminacin S. La terminacin N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracin. La terminacin L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administracin. La terminacin S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administracin. a)Representar la informacin en dos matrices.b)Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracin empleadas para cada uno de los modelos. 21)Juan decide invertir una cantidad de 12000 en bolsa, comprando acciones de tres empresas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y en C juntas. Transcurrido un ao. Las acciones de la empresa a se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 . Determinar cunto invirti Juan en cada una de las empresas. 22) Unestudianteobtuvoun6enunexamendeInvestigacindeOperacionesIque constabadetrespreguntas.Enlaprimerapreguntaobtuvounacalificacinigualal dobledelacalificacinqueobtuvoenlasegundapreguntayenlatercerapregunta obtuvo una calificacin igual a la suma de las calificaciones de las otras dos preguntas. Averiguar razonadamente la calificacin de cada pregunta. Universidad Privada TelesupPg. 14 Prof. LEVA APAZA Antenor Gua de Laboratorio 1

1)INVERSIONES Tresingenierosdesistemas,Alan,MarayEsteban,recibieronunbonoafindeao,de 10000solesparacadauno,ydecidieroninvertirenunplanderetiroauspiciadoporsu empresa.Bajoesteplan,cadaempleadopuedecolocarsusinversionesentresfondos,un fondo accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del ao se resumen en la matriz ((((

=5000 3000 20003000 5000 20003000 3000 4000EstebanMaraAlanAIII II I Los rditos de los tres fondos despus de un ao estn dados por la matriz 0.180.240.12IB IIIII ( (= ( ( Culempleadoobtuvolosmejoresbeneficiosensuinversinparaelaoencuestin? Quin obtuvo los peores beneficios? (Utilice operaciones con matrices en la solucin) 2)ALMACENES DE TELEVISORES Unaempresajaponesafabricatrestiposdetelevisores:de14,21y29pulgadas.Sus almacenesprincipalesseencuentranenGunmaKen,Kyoto,KanagawayNagano.Las ventas durante el mes de julio del 2007 fueron: En el almacndeGunma Kensecifraron en400, 100 y500 televisores de 14,21 y29 pulgadas respectivamente. En el almacn de Kyoto se cifraron en 300, 150 y 400 televisores de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente. EnelalmacndeKanagawasecifraronen100,100y200televisoresde14,21y29 pulgadas respectivamente. EnelalmacndeNaganosecifraronen200,150y300televisoresde14,21y29 pulgadas respectivamente. Los precios de venta de los televisoresfueron de $100, $200 y $300 para los de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente.a)ExpresalasventasdelaempresamedianteunamatrizAdeorden4x3,luegoexpresa mediante una matriz columna B el precio de cada tipo de televisor. b) Obtn matricialmente el beneficio total obtenido en cada uno de los almacenes. 3)BANCOS LamatrizArepresentalascantidadesdetrestiposdecuentasbancariasexistentesalprimero de enero en el Scotiabank y sus sucursales. A= 2820 1470 11201030 520 4801170 540 460Cero Libre A plazoLimaTrujilloCusco ( ( ( ( La matriz B representa los nmeros y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los nmeros y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. As: Universidad Privada TelesupPg. 15 Prof. LEVA APAZA Antenor ((((

=50 70 12050 60 140110 120 260By ((((

=40 20 6040 30 7080 80 120C a)EncuentrelamatrizDquerepresenteelnmerodecadatipodecuentaalfinaldelprimer trimestre en cada local. b) Debido a la apertura de una fbrica cercana, se prev un incremento de 10% en la cantidad decuentasencadalocalduranteelsegundotrimestre.EscribalamatrizEquereflejeeste incremento previsto. 4)INVENTARIO DE UNA LIBRERA El inventario de la librera San Cristbal es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficcin, 1680; no ficcin, 2320; consulta, 1890. Rstica: ficcin, 2810; no ficcin, 1490; consulta, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librera Crisol es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficcin, 2220; no ficcin, 1790; consulta, 1980. Rstica: ficcin, 3100; no ficcin, 1720; consulta, 2710; libros de texto, 2050. a) Represente el inventario de la Librera San Cristbal como una matriz A. b) Represente el inventario de la Librera Crisol como una matriz B. c) Si las dos libreras deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario total de la nueva empresa. 5)INVERSIONES Las acciones de Ral y Sol estn dadas por la matriz: KFCRBCIBM GLOBAL 200 300 100 200100 200 400 0Rau lASol (= ( Al cierre de operaciones en cierto da, los precios de las acciones estn dados por la matriz.B =KFCRBCIBMGLOBAL

(((((

82984854 a) Calcule B A . b) Explique el significado de las entradasde la matriz B A . 6)CAMBIO DE MONEDA EXTRANJERA Yoshi est regresando aPerdespusde un viaje por Europa y Asia, desea cambiar las diversasmonedas(divisas)pornuevossoles.Alcontarsudineroencontrquetena80euros, 45000yenesjaponeses,1200yuaneschinosy10000wonescoreanos.Supongaqueelcambio de moneda extranjera es 4,39 soles por un euro, 0,026 soles por un yen, 0,41 soles por un yuan y 0,0027 soles por un won.Fuente: http://www.todopropiedades.com.es/servicios/convertidor_moneda.asp (Visitado el martes 05 de agosto del 2008). a) Escriba una matriz renglnAque represente los valores de las divisas que tiene Yoshi. b) Escriba una matriz columnaBque represente las tasas de cambio para estas divisas. c) Si Yoshi cambia todas las divisas que tiene, Cuntos nuevos soles recibir? 7)VENTA DE DEPARTAMENTOS Constructora Mallorca construye departamentos en tres distritos limeos. El nmero proyectado de departamentos de cada modelo por construir en cada distrito est dado por la matriz. MODELO I II III IV Universidad Privada TelesupPg. 16 Prof. LEVA APAZA Antenor A=MirafloresSan IsidroLos Olivos

60 80 120 4020 30 60 1010 15 30 5 ( ( ( ( Lasgananciasproyectadasson$18000,$20000,$25000y$30000, respectivamente, para cada modelo de departamento, del I al IV. a) Escriba una matriz columnaBque represente la ganancia por cada tipo de departamento. b) Encuentre la utilidad total esperada por Constructora Mallorca en cada distrito, si se venden todos los departamentos. 8)POLTICA: AFILIACIN DE VOTANTES La matrizA da elporcentaje de votantes elegibles en la ciudadde Lima, clasificados segn su afiliacin partidista y grupo de edad. UN APRA AF A=3030 50.50Menos deaMs de

((((

10 . 0 50 . 0 40 . 015 . 0 40 . 0 45 . 020 . 0 30 . 0 50 . 0 La poblacin de votantes elegibles en la ciudad por grupo de edad est dada por la matrizB : Menos de 3030 a 50ms de 50 | | 800000 400000 600000 B =Halle una matriz que proporcione el nmero total de votantes elegibles en la ciudad que votarn por un candidato de Unidad Nacional, Partido Aprista o Alianza para el Futuro. GLOSARIO Universidad Privada TelesupPg. 17 Prof. LEVA APAZA Antenor SEMANA2: FORMULACION Y REPRESENTACION MATEMATICA DEPROGRAMACION LINEAL LOGROS Elparticipantelograformularydarlarepresentacinmatemticayaplicaamodelosde optimizacin. RESUMEN En esta seccin presentamos la formulacinyformas de representar un modelo de programacin lineal. DESARROLLO 2.1 QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES? LOS ORIGENES DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA Las primeras actividades formales de la Investigacin Operativa se dieron en Inglaterra (II guerra mundial) cuando se encomend a un equipo de cientficos inglesesla toma de decisiones acerca delamejorutilizacindematerialesblicos.Altrminodelaguerra,lasideasformuladasen operaciones militares fueron adaptadas para mejorarlaeficienciay la productividad en el sector civil. QU ES Y PARA QUE SIRVE LA INVESTIGACIN OPERATIVA? HoyendalaInvestigacinoperativaesunaherramientadominanteeindispensableparatomar decisiones.Unelementoprincipaldelainvestigacindeoperacioneseselmodelomatemtico, aunque el modelo matemtico establece una base para la toma de decisiones. LA TOMA DE DECISIONES EN NUESTROS DIAS Para la toma de decisiones se requiere identificar 3 componentes bsicas: a.- Cules sonlas alternativas de decisin?. b.- Bajo que restricciones se toma la decisin?. c.- Cul es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?. FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES Son las siguientes: 1.- la definicin del problema. 2.- la construccin del modelo 3.- la solucin del modelo. 4.- la validacin del modelo. 5.- la implementacin de la solucin. Delas5fases,sololasolucindelmodeloeslaqueestmejordefinidayeslamsfcilde implementar en un estudio de investigacin de operaciones, por que maneja modelos matemticos precisos. La implementacin de las dems fases es ms un arte que una teora. Universidad Privada TelesupPg. 18 Prof. LEVA APAZA Antenor MODELOS Es la representacin de un sistema de acuerdo a los objetivos del estudio del sistema. Es decir para ciertoobjetivodelestudio,laspartesrelevantes;ysicambiaelobjetivodelestudio,laspartes relevantes del sistema probablemente sern otros. Esto implica que segn el objetivo del estudio, un sistema puede estar representando por diferentes modelos. En esencia, un modelo es una imagen de un sistema y en funcin de las interrogantes planteadas, un sistema puede tener diversos modelos. CLASIFICACION DE LOS MODELOS SEGN LA FORMA DE SU PRESENTACION. Deacuerdoalaformaenqueestnexpresados,sepuededistinguirlossiguientestiposde modelos: 1.- Modelos Descriptivos: Son aquellos que estn expresados en lenguaje comercial (espaol, ingles o cualquier otro idioma). Usando este tipo de modelos la seleccin de alternativas se hace en base a la intuiciny el sentido comn. 2.- Modelos Icnicos o Fsicos: Son aquellos que lucen como el sistema fsico correspondiente. Ejemplo la maqueta de un edificio, constituye un ejemplo de modelo Icnico. 3.- Modelos Simblicos: Sonaquellosqueestnexpresadosenunaformaconcisaatravsdesmbolosmatemticos. Pueden ser representados en forma analtica o grafica va un conjunto de funciones en la forma de ecuacioneseinecuaciones.Tambinpuedenserrepresentadosmedianteunalgoritmocompuesto por un conjunto de paso Inter-relacionados, como es el caso de los diagramas del flujo. 4.- Modelo tipo Procedimiento: Son aquellos cuya expresin bsica no esta formada por relacionesfuncionales explcitas sino por un conjunto de pasos que indican el procedimiento a seguir en la solucin de un problema. CLASIFICACION DE LOS MODELOS SEGN SU ESTRUCTURA. Existen ciertas caractersticas estructurales que tipifican a los modelos en una u otra categora. 1.- Modelos Determinsticos: Son aquellos que no incluyenpropiedades relacionadas con fenmenos aleatorios (probabilsticas) 2.- Modelos Estocsticos:Aquellas que incluyen variables o relaciones funcionales que dependen de fenmenos aleatorios. 3.- Modelos Lineales: Aquellas que incluyen solamente funciones lineales. Ejemplo 1 2( , ) y f x x =Donde 1 1 2 2y a x a x = +4.- Modelos No Lineales: Aquellas que incluyen funciones no lineales.Ejemplo: 2 31 2 1 1 2 2( , ) f x x x x x x = + +Universidad Privada TelesupPg. 19 Prof. LEVA APAZA Antenor 5.- Modelos Esttico:Es aquel que representa a un sistema de manera que los variables y las reacciones funcionales no sufren alteraciones debido a cambios en el tiempo. 6.- Modelo Dinmico: Aquel que representaa un sistema de manera que el tiempo juegue un rol muy importante. 7.-Modelo continuo: Modelo continuo con el tiempo: se caracteriza por tener variables yfunciones continuas en el tiempo. 8.-Modelo Discreto: Modelo discreto en el tiempo:Es aquel que incluye solo variablesy funciones discretas en el tiempo. PROCESOSENLASOLUCIONDEUNPROBLEMAMEDIANTEINVESTIGACION OPERATIVA. Noexisteunareglatilentodosloscasos,queindiquecomoseprocede,pararesolverun problemarealmediantelainvestigacinoperativa.Sinembargo,deunamaneraaproximada,los procesos requeridos son los siguientes: a)Definicin del sistema del Mundo Real. Consisteenlaconcepcindelproblemalocualesoriginadoporeldecididorosugerido por el analista (o tambin por un dependiente del decididor) b)Definicin del sistema a ser modelado Esto consiste en abstraer del Sistema Real, la parte relevante al estudio. Se trata de definir un sistema Abstracto de acuerdo al concepto de sistema indicado anteriormente. c)Definicin del problema En esta parte se define el objetivo deseado. El decididor establece los criterios de decisin y las restricciones fsicas, operativas, polticas, etc. d)Formulacin del modelo Esto es mayormente responsabilidad del analista, quien define funciones de utilidad basada enloscriteriosdedecisin.Enseguida,deserposible.Trataradeaplicarunmodelo existente. De otro modo, tratara de desarrollar un modelo nuevo. e)Solucin del Modelo Esta es una funcin del Analista f)Validacin de Resultados Esto lo hace el Analista en interaccin con el decididor. g)Validacin del Modelo Es una fase necesaria, paraestimar la validez del modelo como instrumentos quepermite estudiarelcomportamientodelsistemabajodiferentescondiciones.Esunafuncindel analista. h)Presentacin de Resultados. Estoessumamenteimportante.Setratadepresentarlosresultadostantoseantilese importantes para el decididor, y esto debe ser presentado en formato, estilo, dimensiones y lenguaje de uso practico para el decididor. Podraocurrirquemuchosmodelosmuybienhechos,nuncaseanusadosporestarmal presentados. i)Implementacin del Modelo Enestafaseserequiereelaportedepersonaldesoporte,talescomoProgramadores.Al inicio el analista participa activamente, y luego gradualmente disminuye su participacin. j)Documentacin del Modelo Universidad Privada TelesupPg. 20 Prof. LEVA APAZA Antenor k)Toma de Decisin usando el modelo. Esta es una fase de aplicacin del modelo. Parallegar hasta aqu, el modelo habra tenido que vencer una serie de pruebas. PROCESOS EN LA MODELACION DE UN PROBLEMA PRCTICO Cuandoelproblemaestadefinido,laformulacindelmodeloesunapartecrucial.Nosetrata solamentedeformularunmodeloadecuadoentrminosdequeseaapropiadoparaelproblema; pues existen otras consideraciones. a )Cmo va a resolver el modelo?Que requerimientos computacionales tiene? b )Cunto costara resolver el modelo? Lasiguientefiguramuestraelprocesotpicoparaseleccionarodesarrollarelcaso,unmodelo apropiado para un problema dado. 1)Inciso : Formulacin del problema 2)Existe un modelo apropiado 3)Es factible construir un modelo analtico apropiado 4)Permite experimentar con modelos numricos. 5)Desea cierta sofisticacin y acepta costos de valor medio a altos 6)Formular un modelo de simulacin 7)Identificar alternativas 8)Buscar la mejor alternativa 9)No use modelos. Tome decisiones basadas en el sentido comn 10) Formulas en modelo heuristico. 11) Enumerar las alternativas. 12) Experimentar y seleccionar una alternativa aceptable. 13) Especificar el problema en el formato del modelo. 14) Resolver el modelo. 15) Comprobar los resultados con experimentos. 16) La solucin es aceptable 17) Implementar y usar el modelo. Universidad Privada TelesupPg. 21 Prof. LEVA APAZA Antenor 1121110915141386723451617 Universidad Privada TelesupPg. 22 Prof. LEVA APAZA Antenor MODELOS DE USO FRECUENTE EN INGENIERIA b )PERT-CPM.- muy usado en programacin de proyectos. c )ProgramacinLineal.-Tieneaplicacionesenproblemasrelacionadosconoptimizacinde mezclas,mantenimientodeinventarios,programacindeproyectos,manufacturacinde productos, etc. d )Programacin dinmica.-Usada en programacin en etapas mltiples. e )ColasdeEspera.-Seusacuandounbienesproducidoenciertoconjuntodelugares,ylos consumidores estn en otro conjunto de lugares. f )Modelos de transporte.-Se usa cuando un bien es producido en cierto conjunto de lugares, y los consumidores estn en otro conjunto de lugares. g )ModelosdeSimulacin.-Sonusadoscuandosetienedificultadparaestablecerrelaciones analticasaceptables,desdeelpuntodevistacomputacional,ocuandoelproblemaes inherentemente estocstico(probabilistico) 2.2 INTRODUCCION A LA PROGRAMACINLINEAL 2.2.1. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL Seaplicaamodelosdeoptimizacinenlosquelasfuncionesobjetivoyrestriccinson estrictamentelineales.Latcnicaseaplicaenunaampliavariedaddecasosenloscamposde industria, agricultura, transporte, economa, salud, ciencias sociales y de la conducta militar. Formalacolumnavertebraldelosalgoritmosdesolucinparaotrosmodelosdeinvestigacin operativa .como las programaciones enteras, estocsticas y no lineales. 2.2.2 MODELO DE PROGRAMACIN LINEALProgramacinlinealesunatcnicadeoptimizacinqueconsisteenlamaximizacino minimizacindelafuncinlineal,llamadafuncinobjetivo,sujetaarestriccionestambin lineales. Elcriteriodeoptimizacinesporlogeneralunobjetivoeconmico,porejemplomaximizarun beneficio o minimizar un costo y por esta razn recibe el nombre de funcin econmica o funcin objetiva. El modelo de programacin lineal toma la siguiente forma. 1 1 2 211 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2.......................................................0, 1, 2,..n nn nn nm m mn n mjMax o Min z c x c x c xsujetoaa x a x a x ba x a x a x ba x a x a x by las restricciones de no negatividadx j n= + + ++ + + s+ + + =+ + + >> = Enprogramacinlineal,yengeneralenlateoradeprogramacinmatemtica,eltermino optimizarseusaparaindicarlamaximizacinolaminimizacindeunafuncin,segnsea conveniente.Losrequerimientos,capacidades,ganancias,etc.Sonfuncionesquesedeben maximizar,encambioloscostos,perdidas,losaccidentes,etc,sonfuncionesquesedeben minimizar. Un modelo de programacin lineal consta de tres elementos. Universidad Privada TelesupPg. 23 Prof. LEVA APAZA Antenor Una funcin objetivo Un conjunto de restricciones estructurales, como se indica. Un conjunto de restricciones de no- negatividad Debidoalavariedaddenotacionesenusocomn,podremosencontrarelproblemageneralde programacin lineal (PL) expresado en otras que son las siguientes: 11, 1, 2,..., ; 1, 2,...,0nj jjnij j ijjMaxoMin z c xsujeto aax b i m j nx===s ( (= = = ( ( > > Utilizando la notacin matricial, un programa lineal puede expresarse en forma compacta, como se indica a continuacin: 1 1 11 12 1 12 2 21 22 2 21 2:0. .. .. ; . ; . . . . . ; .. . . . . . . .. .tnnn n m m mn mMax o Min z cxsujeto aA x bxdondec x a a a bc x a a a bc x A bc x a a a b=s( (= ( ( > > (((( (((( (((( (((( = = = = (((( (((( (((( Observacin: (USO DE LA PROGRAMACION LINEAL EN EL PERU) Desdelosprimerosaosdeladcadadel60diversasempresasyentidadeshanaplicadola programacinlinealparalatomadedecisionesenproblemasespecficos.Lautilizacindeesta tcnica ha sido sistematizada unos casos y puntual en otros. Cabe sealar que empresas extranjeras hacen uso de la programacin lineal. Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio, mencionaremos los siguientes: 1)MINISTERIO DE TRANSPORTES Modelodeevaluacindeproyectosdeconstruccinvialconsiderandolosefectos regionales de centros de produccin y consumo. 2)MINISTERIO DE AGRICULTURA Modelo de rotacin de cultivos para los valles de la costa norte del Per. 3)MODELOS MATEMATICOS EN LA MINERIA Universidad Privada TelesupPg. 24 Prof. LEVA APAZA Antenor El objetivo de este modelo es determinar un plande minado ptimo para la mina. Esto es, elegirdeentremuchasalternativasposibles,aquellasquealserejecutadaenlamina, permita a la empresa la mayor utilidad bruta sujetndose a los criterios siguientes: Produce el mayor valor de concentrados al mnimo de costos variables totales. Toma en cuenta las limitaciones operativas de la mina: personal, equipo, transporte, etc. Mantiene las reservas de la mina en su nivel tal que al final de la ejecucin del plan la mina queda en condiciones de seguir produciendo. 4)LECHE GLORIA Modelodetransportesparalasasignacionesderutasyvehculosderepartodelecheen Lima metropolitana 5)PETROPERU Modelo matemtico de transporte de crudo y refinado para la asignacin optima de la flota nacional. Modeloderefinerasparalaobtencindegasolinadeloctanajeadecuadoalcosto mnimo Modelo de seleccin de crudos Modelo matemtico para la planta de lubricantes del Callao. 6)INSTITUTO NACIONAL DE PLANIFICACION Modelo de seleccin de Cartera de proyectos de desarrollo econmico. Ejemplo 1. (Modelo de programacin lineal con dos variables) La fabrica ANYPSA produce pinturas para interioresy exteriores M1yM2, la tabla siguiente proporcione los datos bsicos del problema. Toneladasde materiaprimade Pinturaspara exteriores Toneladasde materiaprimade Pinturaspara interiores Disponibilidad diaria mxima (ton) M. Prima M1 M. Prima M2 Utilidad x Ton (Miles S/.) 6 1 5 4 2 4 24 6 Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayorque1toneladamsquelapinturaparaexteriores.Tambinquelademandamxima diariadepinturaparainterioresesde2toneladas.ANYPSAdeseadeterminarlamezcla ptima(lamejor)deproductosparaexterioresyparainterioresquemaximicenlautilidad diaria total. Solucin El modelo de Programacin lineal, como en cualquier modelo de Investigacin de operaciones tiene 3 componentes bsicos. 1)Las VARIABLES de decisin que se trata de determinar. 2)El OBJETIVO (la meta) que se trata de optimizar. 3)Las RESTRICCIONES que se deben satisfacer. ParaelproblemadeANYPSA,senecesitadeterminarlascantidadesaproducirdepinturas para exteriores e interiores. Entonces las VARIABLES se definen como sigue: X1: ton. Producidas diariamente de pinturas para exteriores. X2: ton. Producidas diariamente de pinturas para interiores. Universidad Privada TelesupPg. 25 Prof. LEVA APAZA Antenor Entonces para formar la funcin OBJETIVO, la empresa deseaaumentar sus utilidades todo lo posible. Z representa la utilidad diaria total (miles de s/.). Por lo tanto el objetivo de la empresa se expresa. Z = 5 X1 + 4 X2(MAXIMIZAR Z) Entoncesbuscamoslasrestriccionesquelimitanelusodelasmateriasprimasylademanda. Las restricciones en materia prima se expresan: Uso de materia prima para ambas pinturas disponibilidad mxima de materia prima Entonces Segn daros: Uso de materia prima M1, por da = 6 X1 + 4X2 toneladas.Uso de materia prima M2, por da = X1 + 2X2 toneladas. YaqueladisponibilidaddelasmateriasprimasM1^M2selimitana24y6toneladas respectivamente. Entonces LAS RESTRICCIONES correspondientes se expresan como: 6X1 + 4X2 24 (materia prima M1) X1 + 2X2 6 (materia prima M2) -La primera restriccin de la demanda indica que la diferencia entre la produccin diaria de pintura para Interiores y Exteriores (X2 X1) no debe ser mayor que 1 tonelada, entonces X2 X1 1 -Lasegundarestriccindelademandaestipulaquelademandamximadiariadepintura para interiores se limita a 2 ton. Entonces X2 2 -UnaRESTRICCIONimplcita(quesesobreentiende)esquelasvariablesX1^X2no pueden asumir valores negativos. Por lo tanto: El modelo de ANYPSA completo es:MAXIMIZARZ = 5 X1 + 4X2 (funcin utilidad)Sujeto a : 6X1 + 4X2 24X1 + 2X2 6- X1 + X2 1 X2 2X1 0, X2 0 CualquiervalordeX1^X2quesatisfagatodoslasrestriccionesdelmodeloesunasolucin factible. Ejemplo X1 = 3 ton/da. X2 = 1 ton/da es factible por que no viola ninguna restriccin. Desdeelpuntodevistadetodoelmodelo,nosinteresadeterminarlasolucinptimaque produzca la utilidad total mxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones. No se acepta enumerar las soluciones factibles por que el modelo tiene una cantidad infinita de ellas..Paraellorecurrimosalaprogramacinlinealatravsdelmtodogrficoysu generalizacin algebraica. Universidad Privada TelesupPg. 26 Prof. LEVA APAZA Antenor Ejemplo 2.(Aplicacin de la programacin lineal en la gestin de operaciones) EngranjassanFernandoseusadiariamenteunmnimode800Lb.Deunalimentoespecial, que es una mezcla de maz y soya, con las composiciones siguientes: lb. Por lb. De alimentoAlimento protenasfibrascosto (s/lb) Maz0.090.020.30 Soya 0.600.060.90 Lasnecesidadesdietticasdelalimentoespecialsonunmnimode30%deprotenasyun mximode5%defibras.SanFernandodeseadeterminarlasproporcionesdealimentoque produzcan un costo diario mnimo. Solucin Como la mezcla de alimentos consiste en maz y soya las VARIABLES DE DECISIN: X1 = lb. de maz en mezcla diariaX2 = lb. de soya en mezcla diaria LA FUNCION OBJETIVO:Trata de minimizar el costo (s/) diario total de la mezcla de alimentos ser:Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2 LAS RESTRICCIONES: Reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietticas, entonces X1 + X2 800 (necesita como mnimo 800lb de alimento)En cuanto a las restricciones dietticas de necesidades de protenas0.09 X1 + 0.60 X2 0.30 (X1 + X2) Cuando menos = al 30% de la mezcla de alimento (X1 + X2) Similar a la fibra. 0.02X1 + 0.06 X2 s 0.05 (X1 + X2) Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.9 X2 sujeto a: X1 + X2 800 0.21 X1 0.30 X2 s 00.03 X1 0.01 X2 0X1; X2 0 Ejercicio. JuanacabadeingresaralaprestigiosaUniversidadTELESUPysedacuentaquesisolo estudiaynojuegasupersonalidadsergris.Desearepartirsutiempodisponible aproximadamentede10horasporda,entrejuegoyestudio.Tambindeseaestudiarcuando menos un tiempo igual al que pasa jugando. Sin embargo, se da cuentaque si debe hacer todas sus tareas universitarias,no puede jugar ms de 4 horas diarias. Cmo debe repartir Juan su tiempo, para maximizar su placer de estudiar y jugar? Universidad Privada TelesupPg. 27 Prof. LEVA APAZA Antenor ACTIVIDADES Practica dirigida 1)Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. la empresa de transporte tiene8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos, pero solo dispone de 9 conductores. el alquiler de un autocar grande cuesta s/. 350 y el de uno pequeo, s/. 280. Calcula cuntos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica y viable para la escuela. 2)Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 soles en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo? 3)Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al dobleque el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de s/. 250 por electricista y s/. 200 por mecnico. cuntostrabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este? 4)Se dispone de s/. 210 000 para invertir en bolsa. Se recomienda dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10 % y las del tipo B, que rinden el 8 %. Se decide invertir un mximo de s/. 130 000 en las del tipo A y como mnimo s/. 60 000 en las del tipo B. Adems la inversin en las del tipo A debe ser menor que el doble de la inversin en B. cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?5)A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotera y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen ms riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son ms seguras, pero producen slo el 7% anual. Despus de varias deliberaciones decide invertir como mximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Adems, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. Cmo deber invertir 10 millones para que le beneficio anual sea mximo? 6)Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 solespor cada impreso repartido y la empresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada da es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiantees: Cuntos impresos habr que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea mximo? 7)Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodn y 120 m2de tela de lana. Un traje requiere 1 m2dealgodn y 3 m2de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2de cada una de las dos telas. Calcular el nmero de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. 8)Una refinera de petrleo tiene dos fuentes de petrleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dlares por barril y crudo pesado a 30 dlares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinera produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefaccin (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinera ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mnimo. Universidad Privada TelesupPg. 28 Prof. LEVA APAZA Antenor 9)La fbrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al pblico de una mesa es de 2.700 soles. y el de una silla 2.100 soles. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 soles. de materias primas y de 1.400 soles. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 soles. de materias primas y 1.000 soles de costos laborales. La construccin de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintera y un proceso final de acabado (pintura, revisin de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintera y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintera y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero slo puede contar semanalmente con un mximo de 80 horas de carpintera y un mximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como mximo, 40 mesas a la semana. No ocurre as con las sillas, para los que no hay ningn tipo de restriccin en cuanto al nmero de unidades fabricadas. Determinar el nmero de mesas y de sillas que semanalmente deber fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. 10)Una fbrica produce chaquetas y pantalones. Tres mquinas (de cortar, coser y teir) se emplean en la produccin. Fabricar una chaqueta representa emplear la mquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la mquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teir ninguna. La mquina de teir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cadapantaln. ? Cmo emplearamos las mquinas para conseguir el beneficio mximo? 11)La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de bolvares, y el modelo B en 2 millones. La oferta est limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaa, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolvares Cuntos automviles de cada modelo deber vender para maximizar sus ingresos? 12)En una explotacin agrcola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades detrabajo de explotacin son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que unade B precisa slo 2 jornadas. La subvencin de la Unin Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvencin mxima por explotacin agrcola de 200 euros.a. Representar el conjunto factible. b. Calcular el beneficio mximo.. 13)Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compaa ferroviaria son de 540 por vagn de coches y 360 por vagn de motocicletas, calcular cmo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea mximo y cunto vale dicho beneficio. Universidad Privada TelesupPg. 29 Prof. LEVA APAZA Antenor GLOSARIOFUNCION OBJETIVO. Todos los programas lineales tienen una funcin lineal objetivo que debe ser maximizada o minimizada SOLUCION. Cualquier conjunto de valores para las variablesSOLUCION PTIMA. Una solucin factible que maximice o minimice el valor de la funcin objetivo Universidad Privada TelesupPg. 30 Prof. LEVA APAZA Antenor SEMANA3: SOLUCIONDE UNPROGRAMACION LINEAL(METODO GRAFICO) LOGRO Explica y resuelve problemas de programacin lineal por el mtodo grafico RESUMEN La programacin lineal es un procedimiento de resolucin de problemas desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. En este caso desarrollaremos el mtodo grafico. DESARROLLO 3.1METODO GRAFICO Este mtodo consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condicin de no negatividad) la regin de soluciones factibles; y luego graficando sobre ella la funcin objetivo, se ubica la solucin ptima. 3.2Regin Factible: Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad.

3.3Solucin Factible: Es cualquier punto situado dentro de la regin factible.

3.4Solucin Bsica: Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o en la interseccin con los ejes coordenados. Ejemplo: En este caso la solucin bsica factible comprende todos los puntos donde se encuentran las intersecciones Universidad Privada TelesupPg. 31 Prof. LEVA APAZA Antenor

3.5Solucin Bsica Factible: Es una solucin bsica que pertenece a la regin factible. Ejemplo: En ese caso la solucin bsica factible comprende slo los puntos 1, 2, 5, 7 y 8. PROPIEDADES La funcin objetivo alcanza su mximo (mnimo) en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de programacin lineal. Para el caso de maximizacin se tomara el punto mas alto de la interseccin entre la funcin objetivo y el polgono trazado Para el caso de minimizacin se tomara el punto mas bajo de la interseccin de la funcin objetivo y el polgono trazado Universidad Privada TelesupPg. 32 Prof. LEVA APAZA Antenor Si alcanza este mximo (mnimo) en mas de un punto extremo entonces toma el mismo valor para toda la combinacin convexa de estos puntos particulares. 3.6CASOS ESPECIALES Funcin Objetivo Paralelo a un lado del Polgono. En el caso de que la recta de la funcin objetivo sea paralela a un lado del polgono, entonces en cualquier punto de esta recta se puede alcanzar el mximo (mnimo) de la funcin. Ejemplo: En este caso se aprecia que la recta de la funcin objetivo no es tangente al vrtice del polgono factible, sino que es coincidente con uno de los lados del polgono (lado CD), en este caso para que la funcin objetivo sea mxima se tomara cualquier punto sobre la recta CD y hallar en consecuencia el valor mximo. No se puede garantizar que todo problema tenga solucin factible Ejemplo 1 Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto perodo de tiempo. Existen dos pldoras de Universidad Privada TelesupPg. 33 Prof. LEVA APAZA Antenor vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada pldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (ver tabla). Cules combinaciones de pldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca AMarca B Requerimientos mnimos Hierro40 mg10 mg2400 mg Vitamina B-110 mg15 mg2100 mg Vitamina B-25 mg15 mg1500 mg Costo por pldora (US$) 0,06 0,08 Solucin: Sea x el nmero de pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, est dado porC = 6x+ 8yque representa la funcin objetivo por minimizar. La cantidad de hierro contenida en x pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca Best dada por 40x+10ymg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad.40x+10y>2400 Consideraciones similares con los requisitos mnimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 10x+15y>21005x+15y>1500 respectivamente. As el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a 40x+10y>240010x+15y>21005x+15y>1500x>0, y>0El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vrtices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0). Los valores de la funcin objetivo C en estos vrtices en la tabla que sigue Universidad Privada TelesupPg. 34 Prof. LEVA APAZA Antenor VrticeC=6x + 8y A (0,240)1920 B(30,120)1140 C(120,60)1200 D(300,0)1800 La tabla muestra que el mnimo de la funcin objetivo C=6x+8y ocurre en el vrtice B(30,120) y tiene un valor de 1140. As el paciente debe adquirir 30 pldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mnimo de $11,40. 3.7ANALISIS GRAFICO DE SENSIBILIDAD Estudia la sensibilidad de la solucin ptima respecto a los cambios que se haga en el modelo. Se investiga dos casos de anlisis de sensibilidad basados en la solucin grafica de la programacin lineal. 1.Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo 2.Cambios en el lado derecho de las restricciones. A continuacin desarrollaremos cada uno de estos casos. 1.Cambios en los coeficientes dela funcin objetivo. La funcin objetivo puede presentarse: 1 1 2 2Max oMin z c x c x = +Los cambios de los coeficientes c1 y c2 harn cambiar la pendiente deZ y en consecuencia, posiblemente el punto de esquina optimo. Sin embargo, hay un intervalo de variacin, tanto para c1 como parac2, dentro del cual el ptimo del momento permanece sin cambio. En forma especfica nos interesa determinar el intervalo de optimalidad de la relacin c1/c2(o de c2/c1) donde se mantenga sin cambio la solucin optima del momento. 2.Cambios en el lado derecho de las restricciones En los modelos de programacin lineal, las restricciones representan el uso de recursos limitados, ya sea en forma directa o indirecta. En este caso, se puede imaginar que el lado derecho representa lmites de disponibilidad de los recursos. En esta seccin se investigara la sensibilidad de la solucin ptima a cambios en la cantidad de los recursos disponibles. Valor por unidad de un recurso Se trata de determinar el valor por unidad deun recurso, que se define como la tasa de cambio en el valor de la funcin objetivo debido a cambios en la cantidad disponible de un recurso. Si yi representa el valor de cada unidad del recurso i, la formula correspondiente para calcular esta medida es intinticambiodevalor de z correspondienteal ervalo factibledel recurso iyervalo factibledel recurso i= Universidad Privada TelesupPg. 35 Prof. LEVA APAZA Antenor 3.8Ejercicios 1)Hacer el anlisis de sensibilidad del siguiente programa lineal. 1 21 21 21 215 202 2 82 6, 0Max z x xsujeto ax xx xx x= ++ s+ s> 2)Considere el programa lineal 1 21 21 21 21 21 22 3102 43 242 16, 0Max z x xsujetoax xx xx xx xx x= ++ s+ >+ s+ s> a)Resuelva este programa usando el mtodo grafico b)Calcule el rango de optimalidad para 1cc)Calcule el rango de optimalidad para 2cd)Suponga que 1cse incrementa de 2 a 2.5 .cual es la nueva solucin optima? e)Suponga que 2cse reduce de 3 a 1 .cual es la nueva solucin ptima? f)Calcule los precios duales de las restricciones 1 y 2. 3)Considere el programa lineal. 1 21 21 21 21 22 72 56 11, 0Min z x xsujetoax xx xx xx x= ++ >+ >+ >> a)Resuelva este problema utilizando el procedimiento de solucin grafica. b)Calcule el rango de optimalidad para 1cc)Calcule el rango de optimalidad para 2cd)Suponga que 1cse incrementa a 1.5. Encuentre la nueva solucin ptima. e)Suponga que 2cse reduce a 1/ 3 encuentre la nueva solucin ptima. f)Calcule los precios duales de las restricciones. Universidad Privada TelesupPg. 36 Prof. LEVA APAZA Antenor 4)Considere el programa lineal 1 21 21 21 21 21 21 25 72 35 42 3 63 2 353107, 0Max z x xsujetoax xx xx xx xx xx x= ++ > + > s+ s+ s> a)Resuelva este problema utilizando el procedimiento de solucin grafica. b)Calcule el rango de optimalidad para 1cc)Calcule el rango de optimalidad para 2cd)Suponga que 1cse reduce a 2. Cul ser la solucin optima nueva? e)Suponga que 2cse incrementa a 10. Cul ser la nueva solucin ptima? 5)Sea el siguiente programa lineal 12x Numero de bolsas estndarproducidasx Numero de bolsas de lujoproducidas== Entonces1 21 21 21 21 21 210 97630101 56002 6270831 113510 4, 0Max z x xsujetoax xx xx xx xx x= ++ s+ s+ s+ s> Utilice el procedimiento de anlisis de sensibilidad grafico para determinar el rango de optimalidad de los coeficientes de la funcin objetivo. 6)Electra produce dos clases de motores elctricos, cada uno en una lnea de produccin aparte. Las capacidades diarias de las dos lneas son de 600 y de 750 motores. El motor tipo 1 usa 10 unidades de cierto componente electrnico, y el motor tipo 2 usa 8 unidades. El proveedor de ese componente puede suministrar 8000 piezas por da. Las utilidades son $ 60 por cada motor de tipo 1 y $ 40 por cada uno de tipo 2. a)Determine la mezcla ptima de produccin diaria. b)Determine el intervalo de optimalidad para la relacin de utilidades unitarias que mantenga inalterada la solucin en el punto a). Universidad Privada TelesupPg. 37 Prof. LEVA APAZA Antenor 7)Muebles B&S emplea 4 carpinteros durante 10 das para armar mesas y sillas. Se necesitan 2 horas hombre para armar una mesa, y o.5 horas hombre para armar una silla. Los clientes suelen comprar una mesa y de 4 a seis sillas. Las utilidades son $ 135 por mesay $ 50 por silla. La empresa trabaja un turno diario de 8 horas. a)Determine la proporcin ptima de producciones de mesas y sillas en 10 das, grficamente. b)Determine el intervalo de la relacin de utilidades optimas que mantenga sin cambiar al optimo del punto a). c)Si las utilidades por mesa y por silla se reducen en 10%, ambas, use la respuesta del punto b) para mostrar como puede afectar ese cambio a la solucin optima obtenida en a). d)Si las utilidades actuales por mesa y silla se cambian a $120 y a $25, respectivamente, use el resultado de sensibilidad en el punto b) para determinar si cambia la solucin en el punto a). 8)Salvaje oeste produce dos clases de sombrero vaquero. Un sombrero de la clase 1 requiereel doble de mano de obra que uno de la clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase 2, la empresa podra producir diariamente 400 de esos sombreros. Los lmites de mercado respectivos son de 150 y 200 sombreros diarios para esas clases. La utilidad es $ 8 por cada sombrero de la clase 1, y $5 por cada uno dela clase 2. a)Aplique la solucin grafica para determinar la cantidad de sombreros diarios de cada clase con la que se maximiza la utilidad. b)Determine el valor de aumentar la capacidad de produccin en la empresa en un sombrero de clase 2, y el intervalo dentro del cualse aplica este resultado. c)Si el lmite de demandadiaria de sombreros de clase 1disminuye a 120, aplique el valor por unidad del recurso para determinar el efecto correspondiente sobre la utilidad optima. d)Cul es el valor por aumento unitario en la parte de mercado del sombrero clase 2? En cuanto se puede aumentar la participacin en el mercado conservando el valor calculado por unidad? 9)Una empresa fabrica dos productos, A y B .El volumen de ventas de A es, cuando menos, 80%de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la empresa no puede vender ms de 100 unidades de A por da. Los dos productos usan una materia prima cuya disponibilidad diaria mxima es 240 lb. Los consumos de la materia prima son 2 lb por unidad de A y 4 lb por unidad de B. Los precios unitarios de A y B son $20 y $50, respectivamente. a)Determine la combinacin optima de productos para esta compaa b)Calcule el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima, y su intervalo de aplicabilidad. c)Determine el intervalo de utilidad que corresponde al intervalo de factibilidad de la materia prima. d)Useel valor unitario por unidad para determinar el efecto de cambiar la demanda mxima del producto A en10 unidades. 10)En dos productos se requieren tres procesos consecutivos. El tiempo disponible para cada proceso es 10 horas diarias. La tabla siguiente resume los datos del problema: Minutos por unidadProductoProceso 1proceso 2Proceso 3Utilidad Unitaria 11068$ 2 252010$ 3 a) Determinar la combinacin optima de fabricacin de los dos productos. Universidad Privada TelesupPg. 38 Prof. LEVA APAZA Antenor b)Determine un procedimiento para priorizar los tres procesos, para una posible ampliacin. 11)Impacto S.A, puede anunciar sus productos en estaciones locales de radio o TV. El presupuesto para publicidad se limita a $10000 mensuales. Cada minuto de un anuncio en la radio cuesta $15, y cada minuto decomercial en TV cuesta $300. A impacto le gusta usar al menos el doble de publicidad por la radio que por TV. Al mismo tiempo, no es prctico usar ms de 400 minutos de anuncios radiofnicos cada mes. La experiencia indica que se estima que la publicidad por TV es 25 veces mas efectiva que por la radio. a)Determine la asignacin ptima del presupuesto para publicidades por radio y por TV. b)Calcule el valor por unidad de aumento del lmite mensual de publicidad por radio. c)Si el presupuesto mensual aumentara a $15000, use la medida de valor por unidad para determinar la medida ptima obtenida de la eficacia de la publicidad. Universidad Privada TelesupPg. 39 Prof. LEVA APAZA Antenor ACTIVIDADES Gua de Laboratorio 2 1)Considere el siguiente modelo: 1 21 21 21 21 240 502 3 30122 20, 0Min z x xsujeta ax xx xx xx x= ++ >+ >+ >> a.Use el mtodo grfico para resolver este modelo b.Cmo varia la solucin ptima si la funcin objetivo cambia 1 240 70 Z x x = + ? c.Cmo varia la solucin ptima si la tercera restriccin funcional cambia a 1 22 15 x x + > ? 2)La compaa de seguros Prima est en proceso de introducir dos nuevas lneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $ 5 por el seguro de riesgo especial y de $ 2por unidad de hipoteca. La administracin desea establecer las cuotas de venta de las nuevas lneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Departamento Horas - Hombre por unidad Horas -Hombre disponiblesRiesgo especialHipoteca Suscripciones322400 Administracin01800 Reclamaciones201200 a.Formule un modelo de programacin lineal b.Use el mtodo grafico para resolver el modelo. c.Verifique su solucin usando Tora. 3)Suponga que se proporcionaron las siguientes restricciones de un modelo de programacin lineal. 1 21 21 23 303 300, 0x xx xx x + s + s> > a.Demuestre que la regin factible es no acotada. b.Si el objetivo es maximizar 1 2Z x x = +Tiene el modelo una solucin ptima? Si es as, encuntrela. Si no, explique las razones de ello. c.Repita el inciso b) cuando el objetivo es maximizar 1 2Z x x = d.En las funciones objetivo con las que el modelo no tiene solucin optima, significa esto que no existe buenas soluciones segn el modelo? Explique. Qu es probable que est mal en la formulacin del modelo? 4)Considere el siguiente problema, donde el valor dektodava no se ha establecido. Universidad Privada TelesupPg. 40 Prof. LEVA APAZA Antenor 1 21 221 21 22232 3, 0, 0Max z x xsujetaax xxkx x k kx x= + + ss+ s + >> La solucin que se usa por ahora es 1 22, 3 x x = = . Utilice el anlisis grafico para determinar los valores de k tales que esta solucin sea de hecho ptima. 5)El rea sombreada de la siguiente grafica representa la regin factible de un problema de programacin lineal cuya funcin objetivo debe maximizarse. Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera y despus justifique su respuesta con base en el mtodo grafico. En cada caso d un ejemplo de una funcin objetivo que ilustre su respuesta. (6,3)(3,3)(6,0)(0,0)(0,2)y a.Si(3, 3)produce un valor ms grande de la funcin objetivo que(0, 2) (6, 3) y , entonces(3, 3)debe ser una solucin optima. b.Si(3, 3)es una solucin optima y existen soluciones optimas mltiples , entonces uno de los dos,(0, 2) (6, 3) o , tambin debe ser una solucin optima. c.El punto(0, 0)no puede ser una solucin ptima. GLOSARIO LIMITANTE Una ecuacin o desigualdad que restringe los valores de variables de decisin. SOLUCION Cualquier conjunto de valores para las variables. FUNCIN OBJETIVO Universidad Privada TelesupPg. 41 Prof. LEVA APAZA Antenor Todos los programas lineales tiene una funcin lineal objetivo que debe ser maximizada o minimizada. III BIBLIOGRAFIA EPPEN, GOULD Investigacin de operaciones HILLER LIEBERMANIntroduccin a la investigacin de operaciones ANDERSON SWEENEYMtodos cuantitativos para los negocios IV AUTOEVALUACION PARA LA UNIDAD FORMULACION DE PROGRAMAS LINEALES1)Una firma elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artculo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformacin o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto P1P2 Disponibilidad (kilogramos) Componentes A 1315000 B 2 1 10000 C 2 2 12000 D 1 1 10000 Beneficios S/. unidad 4 3 2)Una compaa manufacturera fabrica los productos 1 y 2; y es suficientemente afortunada como para vender todo lo que puede producir actualmente.Cada producto requiere un tiempo de manufacturacin en los tres departamentos y la disponibilidad de una cantidad fija de horas-hombre por semana en cada departamento; tal como se muestra en el cuadro siguiente: TIEMPO DE MANUFACTURACION/ HORA PRODUCTODPTO.ADPTO.BDPTO.C 1214 2222 H.Hdisponible/semana160120280 El problema consiste en decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de produccin, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto 1 es S/. 1.00 y el producto 2 es S/. 1.50 3)Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinadadisponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cadaartculo que debe fabricarse,con elfin de maximizar los beneficios. Universidad Privada TelesupPg. 42 Prof. LEVA APAZA Antenor El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformacin sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto ComponentesP1P2 disponibilidad (disponibilidad) A1315000 B2110000 C2212000 D1110000 Beneficios S/. Soles43 4)La Cia XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta s/.2 por unidad, mientras que la materia primapara cada clavo cuesta s/.2.50. Un clavo requiere 2 horasde mano de obraen el departamento # 1 y 3 horas en el departamento #2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento #1y dos horas en el departamento #2, el jornal porhorasen ambos departamentos es de s/.2 si ambos productos se venden a s/18 y el nmero de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresa el problema propuesto como un programa lineal, tal que se maximicen las utilidades. 5)A un joven matemtico se le pidi que entretuviese a un visitante de su empresadurante 90 minutos. El pens que seria una excelente idea que un husped se emborrache. Se le dio al matemtico s/ 50. El joven sabia que al visitantele gusta mezclar sus tragos, pero que siempre beba menos de 8 vasosde cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 Martnis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutospor cada vaso de cerveza, 6 minutos por vaso de ginebra, 7minutos por vaso de whiskyy 4 minutospor cada vaso de martni. Los precios de las bebidas por vaso eran: Cerveza s/ 1, ginebraS/ 2, Whisky s/ 2, martni s/4 El matemtico pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohlico durante los 90 minutosque tenia para entretenera su husped. Logro que un amigo qumico le diese el contenido alcohlicode las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohlicas por un vaso de 17, 15,16, y 7por vaso, El visitante siempre beba un mnimo de 2whiskys. Cmo resolvi el matemtico el problema? 6)Lan Per esta considerado la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado mundial: USA. Inglaterra o Rusia. El costo del avin(USA)A es de $ 6.7 millones el avin(Ingles) B en $5 millones y el avin (Ruso) c de $3.5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizadola compra de avionespor valor de 150 millones. Los economistas de Lan Per han calculado que cualquieraque sea el tipo A de mayor capacidad proporcionara una utilidad netade $420,000anuales, el avin Bproporcionar una utilidad neta de $300,000 y el avin C una utilidad de $230,000 anuales. Por otro lado se conoce que la Fuerza AreaPeruana solo le podraproporcionar 30 pilotos debidamente entrenados .Si solo se adquieren losaviones ms pequeos, los servicios de reparacin y serviciosque cuenta Lan Per solamente podrn mantener en operacin un mximo de 40 unidades. Adems se sabe que mantener un avin B requiere1 1/3 ms que el avin Cy que el avin A requiere1 2/3 ms que el C. Determine el nmero de cada tipo de avinque se debe comprar para maximizar las utilidades.Universidad Privada TelesupPg. 43 Prof. LEVA APAZA Antenor 7)Una compaa de artculos elctricos produce tres lneas de productos que son: Transistores micromdulosy circuito armadoy el centro de produccin tiene cuatro reas de proceso: rea 1 Produccin de transistores rea 2Armaduria de circuitosrea 3Control de transistores y micromdulosrea 4 Prueba de circuitos Embalaje La produccin de un transistor en: 0.1horas- hombres en rea 1 0.5Horas- hombre en Aerea3 s/. 70 En costos directos La produccin de un micromdulo requiere: 0.4horas hombres en rea 2 0.5horas-hombre en rea 33transistoress/. 50 en costos directos. La produccin de un circuito armado requiere: 0.1horas- hombre en rea 2 0.5horas hombre en rea 4 1transistor 3 micromdulos s/ 200en costos directos Cada uno de los tres productosse puede vender a 200, 800 y 2,500soles respectivamente (transistores, micromdulos y circuitos armados)la cantidad de venta es ilimitada; si hay 200 horas hombre disponibleen cada rea de trabajo Formule el programa lineal para obtener una mxima ganancia. 8)Un vendedor tiene a su cargo 2 productos A y B desea establecer un programa de llamadaspara los meses siguientes. El espera ser capaz de vendera lo ms 20 unidadesdel producto A y a lo menos 78 unidades del producto B. El debe vender al menos 48 unidades del producto B para satisfacer su cuotamnima de ventas, l recibe una comisin de 10% sobre la venta total que realiza, Pero l debe pagar propios costos (que son estimados en 30 soles por hora en hacer llamadas) de su comisin. El est dispuesto en emplear no ms de 160 horas por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos estn disponibles.Producto Precio Venta soles/unidad Tiempo empleado Hora/llamada Probabilidad de una venta en llamada A300030.5 B140010.6 Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor. 9)Un contratista esta considerando una propuesta para la pavimentacin de un camino, las especificaciones requiere un espesor mnimode 12 y un mximo de 48.El camino deber pavimentado en concreto, asfaltado o gravilla, o cualquier combinacinde los tres. Universidad Privada TelesupPg. 44 Prof. LEVA APAZA Antenor Sin embargo, las especificaciones requieren una consistenciafinal igual o mayor que la correspondientea una superficie de concretode 9 de espesor. El contratista a determinado que3 de su asfalto son tan resistentes como 1 de concreto,y 6 de gravillason tan resistentes como 1de concreto . Cada pulgada de espesor por yarda cuadradade concreto le cuenta S/ 100, el asfaltado s/380 y la gravillas/ 150. Determine la combinacin de materiales que el debera usarpara minimizar su costo. 10)Una granjera puede criar ovejas, cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdoso 20 cabezas de ganado vacuno o cualquier combinacin de estos (con la relacin siguiente), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animales son 500, 500, 100 soles por oveja, cerdo y vacasrespectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntos. 11)Una compaa puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $ 1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto en televisin cuesta $100. la compaa deseara utilizar la radio cuando menos dos veces ms que la televisin. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisin generar en trminos generales25 veces ms ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisin. 12)OilCo construye una refinera para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles /da) de esos productos son 14000, 30000, 10000 y 8000, respectivamente. Irn y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de produccin que especifica la OPED (Organizacin de Pases Exportadores de Petrleo) la nueva refinera puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irn, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecern estables durante los 10 aos siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irn rinde 0.2 barril de Diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avin. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1 respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mnima de la refinera, en barriles de crudo por da. 13)Un vendedor tiene a su cargo 2 productos A y B desea establecer un programa de llamadaspara los meses siguientes. El espera ser capaz de vendera lo ms 20 unidadesdel producto A y al menos 78 unidades del producto B. El debe vender al menos 48 unidades del producto B para satisfacer su cuotamnima de ventas, l recibe una comisin de 10% sobre la venta total que realiza, Pero l debe pagar propios costos (que son estimados en 30 soles por hora en hacer llamadas) de su comisin. El est dispuesto en emplear no ms de 160 horas por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos estn disponibles. Producto Precio Venta soles/unidad Tiempo empleado Hora/llamada Probabilidad de una venta en llamada A400020.7 B240030.8 Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor. 14)Dos fbricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 toneladas de bajo grado, 5 toneladas de medio grado y20 toneladas de alto grado. Los costos de operacin son de S/. 1000 /da para la primera fabrica y S/. 2000 para la salida. Universidad Privada TelesupPg. 45 Prof. LEVA APAZA Antenor La fabrica Nro 1, produce 8 toneladas de bajo grado, 1 tonelada de medio grado y 2 toneladas de alto grado en un da de operacin. La fabrica Nro 2produce 2 toneladas de bajo grado, 1 tonelada de grado medio y 7 toneladas de alto grado por da. Cuntos das debe trabajar cada fbrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma ms econmica? 15)Se elabora cuatro productos en forma sucesiva en dos maquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan para las dos maquinas: Maquina Tiempos por unidad (hr) Producto 1Producto 2Producto 3Producto 4 12342 23212 El costo total de produccin de una unidad de cada producto est basado directamente en el tiempo de la maquina. Supngase que el costo por horas de las maquinas 1 y 2 es $ 10 y $ 5. Respectivamente. El total de horas presupuestadas para todos los productos en las maquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta unitario de los productos 1,2 ,3 y 4 son $ 65, $70, $ 55 y $45, formule el problema como un modelo de programacin lineal para maximizar la ganancia neta total. Analice la solucin ptima. 16)Un pequeo banco asigna un mximo de $ 20000 para prstamos personales y para automvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de inters anual del 14% a prstamos personales y del 12 % a prstamos para automvil y ambos tipos de prstamos se saldan en periodos de tres aos. El monto de los prestamospara automvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los prestamos personales. la experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los prstamos personales. Como deben asignarse los fondos. 17)Una planta armadora de radios produce dos modelos, A y B , en la misma lnea de ensamblaje. La lnea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son: Estacin de servicio Minutos por unidad de AB 164 255 346 Cada estacin de trabajo tiene una disponibilidad mxima de 480 minutos por da. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones1, 2 y 3, respectivamente. La compaa desea determinar, las unidades diarias que se ensamblaran de A y B a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones. 18)Se tiene el siguiente programa lineal : 2 33 63 2 6, 0Max z x ySujeta ax yx yxy= ++ s+ s> a)Determine todas las soluciones bsicas del problema. Universidad Privada TelesupPg. 46 Prof. LEVA APAZA Antenor b)Use sustitucin directa en la funcin objetivo para determinar la mejor solucin bsica factible. 19)Demuestre que todas las soluciones bsicas del siguiente programa lineal son no factibles. 2 62 16, 0Max z x ysujeta ax yx yxy= ++ s+ >> 20)Resolver grficamente 36 3 82 9 3, 0Min z x ySujeto ax yx yxy= ++ >+ >> 21)Resolver grficamente 1 21 21 21 2121 22 346 2 85 423, 0Min z x xSujeto ax xx xx xxxx x= ++ s+ =+ >ss> 22)Resolver grficamente: 1 21 21 21 22 21122, 0Max z x xSujetoax xx xx x= + + s + s> 23)Encontrar la solucin factible si se tiene para el siguiente programa lineal: 3 212 2 2, 0Max z x ySujeto ax yx yxy= + s+ >> 24)Resolver grficamente 1 21 21 21 25 10 5010, 0Max z x xsujeto ax xx xx x= ++ s+ >> Universidad Privada TelesupPg. 47 Prof. LEVA APAZA Antenor 25)Resolver grficamente 21 21 21 255 102, 0Max z xsujeto ax xx xx x= > + s> V RESOLUCION DEL CUESTIONARIO 1). Consideremos las variables: 1x : numero de unidades del producto 1 2x : numero de unidades del producto 2 Entonces el programa lineal ser: 1 21 21 21 21 21 24 33 150002 100002 2 120002 10000; 0Max Z x xSujeto ax xx xx xx xx x= ++ s+ s+ s+ s> 2). 1 21 21 21 21 21.52 2 1602 1204 2 280; 0Max Z x xSujeto ax xx xx xx x= ++ s+ s+ s> 3). 1 21 21 21 21 21 24 33 150002 100002 2 120002 10000; 0Max Z x xSujeto ax xx xx xx xx x= ++ s+ s+ s+ s> 4). Universidad Privada TelesupPg. 48 Prof. LEVA APAZA Antenor 1 21 21 21 24 5.54 2 1602 3 180; 0Max Z x xSujeto ax xx xx x= ++ s+ s> 5). 1 2 3 41 2 3 41231 2 3 417 15 16 72 3 4 508102 1215 6 7 4 900 ; 1, 2, 3, 4jMax Z x x x xSujeto ax x x xxxxx x x xx j= + + ++ + + ssss s+ + + s> = 6). Considerando: 123x numero de aviones tipo Ax numero de aviones tipo Bx numero de aviones tipo C=== Entonces el P.L. esta expresado por: 1 2 31 2 31 2 31 2 3420 300 2306.7 5 3.5 150302 1 1 1 12 . 2 . 13 40 3 40 400 ; 1, 2, 3jMax Z x x xSujeto ax x xx x xx x xx j= + ++ + s+ + s+ + s> = 7). Considerando: 123modx numero de transistores aproducirx numero demicro ulos aproducirx numero de circuitos armados a producir=== Entonces el P.L. esta expresado por: Universidad Privada TelesupPg. 49 Prof. LEVA APAZA Antenor 1 2 31 2 32 31 2 33130 540 14500.1 0.3 2000.4 1.3 2000.5 2 6.5 2000.5 2000 ; 1, 2, 3jMax Z x x xSujeto ax x xx xx x xxx j= + ++ + s+ s+ + ss> = 8) Consideremos las siguientes variables: X: numero de llamadas para vender el producto 1 Y: numero de llamadas para vender el producto 2 Luego el programa lineal ser: | | ( ) 0.1 3000(0.5) 1400(0.6) 30 3(0.5) 2048 0.6 783 160, 0Max z x y x ysujeto axcantidaddeproductosA y Bvendidosyx y Tiempoempleadoenhacer llamadasxy= + +s `s s)+ s> 9).. Consideremos las variables: 1: x Numero de pulgadas de concreto 2: x Numero de pulgadas de asfalto 3x Numero de pulgadas de gravilla Luego el programa lineal correspondiente ser: 1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3100 380 15012481 1543 6, , 0Min z x x xsujetoax x xx x xx x xx x x= + ++ + >+ + s+ + >> 10) . Consideremos las variables: 1: x Numero de ovejas a criar 2: x Numero de cerdos a criar 3x Numero de vacas a criar Luego el programa lineal correspondiente ser: Universidad Privada TelesupPg. 50 Prof. LEVA APAZA Antenor 1 2 31231 3 21 2 31 2 3500 500 1003050203 3305 2, , 0Min Z x x xsujeto axxxx x xx x xx x x= + +sss+ s+ + s> 11) . Consideremos las variables: 1: x Minutos de publicidad en radios 2: x Minutos de publicidad en TV Luego el programa lineal ser: 1 21 21 21 2255 100 10002 0, 0Max Z x xsujeto ax xx xx x= ++ s >> 12) . Consideremos las siguientes variables: 1: x Miles de barriles por da de Irn 2: x Miles de barrilespor da de Dubai Luego el programa lineal ser: 1 21 21 21 21 21 21 20.6 0.4 00.25 0.6 300.2 0.1 140.1 0.15 100.15 0.1 8, 0Min Z x xsujetoax xx xx xx xx xx x= + + s+ >+ >+ >+ >> 13) . Consideremos las siguientes variables: X: numero de llamadas para vender el producto 1 Y: numero de llamadas para vender el producto 2 Luego el programa lineal ser: Universidad Privada TelesupPg. 51 Prof. LEVA APAZA Antenor | | ( ) 0.1 3000(0.5) 1400(0.6) 30 3(0.5) 2048 0.6 783 160, 0Max z x y x ysujeto axcantidaddeproductosA y Bvendidosyx y Tiempoempleadoenhacer llamadasxy= + +s `s s)+ s> 14) Consideremos las siguientes variables: 1: x Numero de das de trabajo de la fbrica 1 por semana 2: x Numero de das de trabajo de la fbrica 2 por semana Luego el programa lineal ser: 1 21 21 21 21 21000 20008 2 1652 7 20, 0Min Z x xsujetoax xx xx xx x= ++ >+ >+ >> 15) . Consideremos las variables: jx : numero de unidades producidas del producto( 1, 2, 3, 4) j j =Luego para el clculo de la funcin objetivoUtilidad Ingreso Costo = 1 2 3 465 70 55 45 Ingreso x x x x = + + +( )1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4cos cos10 2 3 4 2 5(3 2 2 )35 40 45 30to to horario horas utilizadasx x x x x x x xx x x x= = + + + + + + += + + + Entonces el programa linealser: 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 430 30 10 152 3 4 2 5003 2 2 380, , , 0Max Z x x x xsujeto ax x x xx x x xx x x x= + + ++ + + s+ + + s> 16) . Consideremos las siguientes variables :px Cantidad para prstamos personales :Ax Cantidad para prstamos de automviles Se tiene que la Utilidad= Intereses Adeudos no cubiertosDondeUniversidad Privada TelesupPg. 52 Prof. LEVA APAZA Antenor (0.99)(0.14) 0.12p AIntereses x x = +0.01pAdeudos x =Entonces0.1286 0.12p AUtilidad x x = +Por lo tanto el programa lineal ser: 0.1286 0.12200002 0, 0p Ap Ap Ap AMax Z x xsujeto ax xx xx x= ++ s + >> 17) . Consideremos las variables: 1: x Unidades diarias ensambladas del modelo A 2: x Unidades diarias ensambladas del modelo B :is Tiempo ocioso en la estacin i (i = 1, 2,3) Tiempo total para cada estacin 480(4.79) 432480(0.86) 413480(0.88) 422=== La funcin objetivo es: 1 2 31 1 22 1 23 1 2:1 (6 4 )2 (5 5 )3 (4 6 )Min Z s s ssiendos tiempo disponible x xs tiempodisponible x xs tiempodisponible x x= + += += += + Equivalente a: 1 21 2(15 15 )15 15Min Z tiempos disponibles x xMax Z x x= += + Entonces el programa lineal queda como: 1 21 21 21 21 215 156 4 4325 5 4134 6 422, 0Max Z x xsujeto ax xx xx xx x= ++ s+ s+ s> 18) . 120.861.716.86xxz=== Universidad Privada TelesupPg. 53 Prof. LEVA APAZA Antenor 19) . 120312xxz=== 20) . 121.310.041.44xxz=== 21) . 121.140.574.00xxz=== 22) . 12cotxxz noa ado=== 23) . 12012xxz=== 24) . 1210030xxz=== 25) . 12200xxz===