Unidad 5 Sistemas de Varios Grados

8/16/2019 Unidad 5 Sistemas de Varios Grados

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE LA REGIÓN CARBONÍFERA

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.

6 SEMESTRE

MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS

DOCENTE: M.C. VICTORIANO DE LUNA FLORES

ALUMNOS: GUSTAVO ADOLFO RUIZ POMPA. 111M0262.

EDGAR N. RODRIGUEZ LOPEZ. 101M0054

AGUJITA COA!UILA. 1"06"2016


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5.1 V#$%&'#() *+ ,-*- )-%,& /&%& #+,& *+ *- %&*- *+#$+%&*.

M&%#'+ *+ %##*+3 #)+%'#& &,-%#&,#+)-

Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema

discreto de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con

coordenadas generalizadas representadas por el vector de dimensión N ×1, se

pueden escribir como:

Donde M, C y 7 son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de

inercia, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simtrica y

positivo de!inida.

La matriz 7 tambin es simtrica pero puede ser positivo de!inida o positivo

semide!inida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades

anteriores.

E8+,/-

"btener las ecuaciones del movimiento e identi!icar las matrices de masas,

rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la #igura

1$.1.

%ara &allar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar las ecuaciones de

equilibrio a cada una de las dos masas. La #igura 1$.' muestra los diagramas de


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sólido libre, con todas las !uerzas actuantes. Sumando las !uerzas e igualando a

cero se llega a:

(eordenando trminos, estas dos ecuaciones se pueden poner de !orma matricial

)omo:

*denti!icando con la ecuación +.1'-, las matrices M, C y 7 resultan ser:

V#$%&'#-)+ #$%+ *+ #+,& )- &,-%#&*-

%articularizando la ecuación +.1'- para el caso de las vibraciones libres + 9 / 0

en sistemas no amortiguados +C0, se tiene:

Su0eto a las condiciones iniciales +$ / $ y +$ / $ .De !orma an2loga a

lo que se &izo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos

una solución armónica de la !orma:

Donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación +.1'3 en la

+.1'4, resulta:

%uesto que ni A ni este pueden ser nulos, ya que si no obtendr5amos la solución

trivial nula, se deduce que


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F%+'+)'#& )&%&+

%ara calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación +.1'6, que

representa un problema de valores y vectores propios generalizado. )omo es

sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz

de coe!icientes es singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo.

Se puede demostrar que si la matriz M es positivo de!inida y 7 es positivo de!inida

o positivo semide!inida, todos los valores propios s' son reales y negativos o

nulos.

%or ello, para mane0ar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de

variables

7ue equivale a


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5.2 A'-/&,#+)- *+ '--%*+)&*&.

C--%*+)&*& /%#)'#/&+.

Sin embargo, siempre es posible en un sistema no 8 amortiguado encontrar unsistema de coordenadas, qi , sin ning9n tipo de acoplamiento o desacopladas,

llamadas '--%*+)&*& /%#)'#/&+. %ropiedades de ortogonalidad de los

vectores propios. )onsideremos dos modos cualquiera i y j . De ecuación +'8

8 P&%& i ; j # i j < ;


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5.5 V#$%&'#() 9-%3&*& &$-%'#() *+


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Donde #$ es la amplitud y < la !recuencia de la !uerza e@citadora. La solución

general de la ecuación di!erencial se obtiene añadiendo a la solución general de la

&omognea una solución particular de la completa + x= xh+ x p .

La ecuación caracter5stica es mr'EFE/$, las ra5ces de esta ecuación son

imaginarias con0ugadas: r=±√ k

mi y la solución general de la &omognea es

xh=asen (w nt +ϕ)

La solución particular de la complete es

x p= Acoswt

As5, la solución general tiene por e@presión:

1−¿wn

2

w2

x=acos ( wn t +ϕ )+

F 0

k ¿

cos


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mx' ' +c x' +kx= F

La ecuación caracter5stica correspondiente a la ecuación di!erencial &omognea

es mr2+cr+k =0 . Se supone amortiguamiento in!erior al cr5tico para que resulte

una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la

ecuación di!erencial de la &omognea una solución particular de la completa +

x= xh+ x p , resultando

−¿2m

ct sen ( wn t +ϕ)+ Asen(wt −Θ)

x=ae¿

A$-%'#-) *+


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x1 (t ) x1∗eiwt

, x2 ( t )= x2∗eiwt

=l ob0etivo es reducir I1, amplitud de la vibración correspondiente al sistema

inicial de masa m1, por lo que interesar2 que el numerador correspondiente sea

nulo. Si, adem2s, inicialmente el sistema estaba operando cerca de la resonancia,

es decir w2=k 1/m1=w1 , se deduce que el absorbedor deber2 diseñarse de

!orma que su masa y rigidez cumplan:

As5, la amplitud de vibración de la m2quina o sistema original operando en su

!recuencia de resonancia original ser2 cero +anti resonancia. =s decir, no es que

se &aya reducido la amplitud de la vibración desde un valor in!inito a un valor !inito,

como ocurrir5a si lo que &icisemos !uera introducir amortiguamiento, sino que la

&emos reducido a cero +#ig. 6.


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A$-%$+*-% *#)=,#'- *+


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%or lo tanto, la amplitud de vibración del sistema I1 se puede &acer in!inita

+resonancia tanto para J'/$ como para J'/MN sin embargo, entre ambos l5mites

e@iste un punto en el que I1 se &ace m5nimo +#ig. -1. =n tal caso, se dice que el

absorbedor de vibraciones est2 sintonizado de !orma óptima.

%uede comprobarse que un absorbedor de vibraciones est2 óptimamente

sintonizado cuando el diseño de su masa +m' y rigidez +F' es tal que cumple la

condición:

A la vez que un valor óptimo para la relación de amortiguamiento utilizada en el

diseño de este tipo de absorbedores es:

=n este tipo de absorbedores cabe constatar dos aspectos a considerar en su

diseño: La amplitud del movimiento vibratorio de la masa del absorbedor +I'


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siempre ser2 muc&o mayor que la de la masa principal del sistema +I1. %or lo

tanto, el diseño deber2 de tener esta cuestión en cuenta de cara a posibilitar la

amplitud de vibración del absorbedor.

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