UNIDAD 1 - adistanciaginer NMEROS REALES UNIDAD 1 1. Los nmeros racionales Los nmeros naturales son los primeros nmeros conocidos por el hombre y, por ello, los primeros

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    eca el matemtico alemn Leopold Kronecker (1823-1891): Dios hizo los nmeros naturales,todo lo dems es obra del hombre. No estamos totalmente seguros de lo que queraafirmar Kronecker, tal vez que el ser humano nace con la facultad de contar (los nmerosnaturales sirven para contar) y a partir de ah vendra todo lo dems. Desde luego, no

    habra ciencia ni tecnologa, sin contar ni medir. Recordemos que medir es una forma de contar lasunidades de medida que caben dentro de una cantidad. Tampoco estara desarrollado el comercio:comprar y vender. Mediante todas estas actividades se han ido construyendo otros tipos de nmeros.

    Quizs como consecuencia de las operacionessuma y resta de naturales aparecen los enteros,positivos y negativos, que tan indicados resultanen los balances contables para mostrar lascantidades posedas o adeudadas. Las fracciones,o formalmente nmeros racionales, conocidaspor los egipcios y los griegos, surgen en problemasde medida al dividir la unidad en partes iguales.

    Los nmeros irracionales tienen su origentambin en el mundo griego y afloran en laescuela pitagrica, siglo V a C, al intentar medirla diagonal del cuadrado de lado 1. Pero no fuehasta el siglo XIX cuando fueron sistematizadoslos nmeros reales englobando: naturales,enteros, racionales e irracionales.

    En esta Unidad repasaremos los distintostipos de nmeros y nos centraremos en losnmeros reales. De los nmeros reales seestudian algunos de sus subconjuntos comoson los intervalos y su representacin grficasobre la recta real, as como las aproximacionesde los nmeros reales y el error que se cometeal sustituirlos por su aproximacin decimal.Recordaremos cmo escribir los nmeros ennotacin cientfica y haremos un estudio deta-llado de las potencias de exponente entero yde las potencias de exponente racional, tambin

    llamadas radicales. La Unidad termina con el estudio de las operaciones con radicales.En esta Unidad didctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:1. Introducir los nmeros reales como el conjunto formado por los racionales e irracionales.2. Construir sobre la recta real nmeros racionales e irracionales.3. Operar con nmeros irracionales con error acotado.4. Introducir el concepto de orden en los nmeros reales.5. Comprender el concepto de valor absoluto para expresar mediante l subconjuntos en la

    recta real.6. Operar con potencias de exponente entero.7. Introducir la notacin cientfica como medio para representar nmeros grandes y pequeos.8. Comprender el concepto de radicales equivalentes, previa definicin de potencias de

    exponente fraccionario.

    D

    UNIDAD

    Nmeros reales1

    Pitgoras de Samos (Wikimedia Commons)

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    1. LOS NMEROS RACIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.1. Formas decimales de los nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2. Representacin de nmeros racionales: recta racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2. NMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.1. Nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2. Los nmeros reales y la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3. Operaciones y orden en los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3. VALOR ABSOLUTO E INTERVALOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.2. Intervalos y entornos en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4. APROXIMACIN DE LOS NMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.1. Error absoluto y relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.2. Errores y nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5. POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.1. Potencias de exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.2. Operaciones con potencias de exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    6. NMEROS EN NOTACIN CIENTFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    7. RADICALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    7.1. Raz ensima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    7.2. Potencias de exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    7.3. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    N D I C E D E C O N T E N I D O S

    NMEROS REALES

    Operaciones y ordenacinRecta real

    Irracionales: Decimales noperidicos

    Racionales: Decimalesexactos o peridicos

    Aproximaciones y erroresValor absoluto e intervalos

    Radicales: Potencias deexponente racional y

    operacionesPotencias de exponente

    entero: Operaciones

    Nmeros en notacin cientfica

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    NMEROS REALES

    1UNIDAD1. Los nmeros racionales

    Los nmeros naturales son los primeros nmeros conocidos por el hombre y, por ello, los primeros usadospara contar. El conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra N y sus elementos son:

    N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}

    El nmero cero fue un descubrimiento posterior. No existe en la numeracin romana y su invencin se atribuyea los hindes, quienes lo incluyeron en su sistema de numeracin. La serie de los nmeros naturales es infinita,pues si pensamos en un cierto nmero como el ltimo, obtenemos otro mayor sin ms que aadirle uno. Comoeste procedimiento no tiene fin, tampoco lo tendrn los nmeros naturales.

    Los nmeros enteros estn constituidos por los naturales, el cero, y los opuestos de los nmeros naturales.Con ellos se pueden expresar saldos deudores ( 20 euros) y ordenaciones (1500 a. C; planta 2 ). El conjuntode los nmeros enteros se representa por la letra Z y son:

    Z = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}

    Los puntos suspensivos indican que las series de nmeros positivos y negativos son infinitas.

    No todas las situaciones se pueden describir con nmeros enteros. Cmo indicar la mitad de algo o sutercera parte? Para hacer esto tenemos que recurrir a los nmeros fraccionarios o fracciones. La fraccin

    indica la cuarta parte de la unidad y es un nmero que contiene tres veces a la cuarta parte de la unidad

    , mientras que es un nmero que contiene siete veces la cuarta parte de la unidad, es decir

    . Por otra parte, la divisin 3 : 4 da el mismo resultado que la fraccin . Por esta razn, se

    puede considerar a los nmeros racionales indistintamente como fracciones o como divisiones indicadas. Luego,toda fraccin es un cociente indicado. Si una fraccin tiene el numerador (dividendo) mltiplo del denominador(divisor) el resultado es un nmero entero. A la fraccin le corresponde el entero 3.

    14

    34

    34

    14

    14

    14

    = + + 74

    44

    34

    1 34

    + = + 34

    124

    Para saber ms...Para saber ms...

    El conjunto Q contiene al conjunto Z, ya que todo nmero entero a es igual que la fraccin a_1. Por otra parte, elconjunto Z contiene a N. Estos resultados se expresan mediante el diagrama siguiente:

    Q N Z