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  • une gnralisation de la thorie de Coulomb pour le calculde la pousse et de la bute des terres

    a generalisation of Coulomb's theory to calculateactive and passive thrust in soils

    Dr. Ing. A. STANCIU

    Facult de Constructions d'Jassy (Roumanie)Laboratoire de Gotechnique Routire et des Ouvrages Souterrains *

    Rev. Fran. Gotech. nO 50, pp. 39-59 (janvier 1990)

    Rsum

    On prsente ci-aprs une gnralisation du calcul de la pousse et de la butedes terres selon l'hypothse de Coulomb, pour le cas d'un sol avec cohsion,d'une adhrence mur-sol non nulle et d'une action sismique de direction quel-conque. On donne les calculs analytiques de la pousse et de la bute ainsique des valeurs extrmes (minimum et maximum) de la fonction de pousse.On prsente galement une mthode de rsolution graphique (Culmann) pourle cas gnral.

    AbstractThis paper deals with the calculation of active and passive thrust generatedin soils, by a seismic force, applied in any direction. The procedure follows Cou-lombs hypothesis for cohesive soils, considering the adhesion developed bet-ween the soil and the wall. The paper presente the algorithm utilized in calcu-lating the extreme values (minimum and maximum) of the thrust correspondingto passive and active thrust. In addition, it also presents the graphical solution(Culmann) for the general case.

    * Splai Bahlui 43, Iassy 6600, Roumania

  • 40

    1. INTRODUCTION

    Les thories utilises pour le calcul de la pousse etde la bute des terres sur les murs de soutnementsreposent sur l'une des hypothses suivantes (VER-DEYEN et al. 1971) :a. le sol est suppos en tat d'quilibre limite ou plas-tique (mthodes de Rankine, de Caquot, etc.) ;b. derrire l'cran de soutnement se forme un coinde glissement dont l'quilibre statique permet le cal-cul de la pousse ou de la bute (mthode de Cou-lomb avec les complments de CULMANN, PONCE-LET, REBAHN, MONONOBE-OBAKE, TERZAGHI,etc.) ;c. le sol situ derrire le mur de soutnement est sup-pos avoir un comportement lastique (mthode deB. Hansen, etc.).

    La plupart des thories, quelle que soit l'hypothseemploye, sont dveloppes sparment pour le casde la pousse et pour celui de la bute bien qu'ils'agisse du minimum et du maximum du mmephnomne.

    REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUE

    La mthode de Coulomb (1776), fonde sur l'hypo-thse b, est applicable dans la plupart des cas prati-ques en tenant compte ou non des complments ult-rieurs de PONCELET (1830), CULMANN (1866),REBAHN (1871), MONONOBE-OKABE (1929) etKREY (1936). Elle constitue une mthode analytique,voire graphique pour certains cas particuliers. On pro-pose une gnralisation de cette thorie, dans le cadredes hypothses classiques (BOWLES, 1982 ; BELESet VOINEA, 1958) au cas d'un sol avec cohsion,d'une adhrence non nulle entre l'cran de soutne-ment et le sol et d'une action sismique de directionquelconque.Pousse et bute sont obtenues par le mme calculet correspondent aux valeurs minimales et maxima-les de la fonction de la pousse.

    2. QUATIONS DE LA MTHODEDE COULOMB GNRALISE

    Soit le massif cohrent de la figure 1 soutenu par unmur de soutnement. Suivant l'hypothse de Cou-lomb, un dplacement de l'cran de soutnement

    --p

    X'

    X'-H/fq()-

    Fig. 1. - Schma de calcul dans la mthode Coulomb gnralise.Fig. 7 - Ca/cu/ation scheme of genera/ized Cou/omb's method.

  • UNE GNRALISATION DE LA THORIE DE COULOMB 41

    W' = W (1 - W.Ksv/W) / cos 8 0W' 0,5 . x . H . "( . (1 - Ksv)'sin (8 + (3) / (cos 8 0.sin 8) (7)

    C = BC.c soit C = c.(H + x.sin(3)/cos a (9)La rsultante des forces d'adhrence entre le mur etle sol est:

    Cw = AB .cw soit Cw = cw.H/sin 8 (10)

    En remplaant dans la relation (8) les forces C etCw par les expressions (9) et (10) on obtient:

    On peut alors dfinir le poids propre rduit W" duprisme de glissement par l'expression:

    W" = W' - C.cos (a - 8 0) - Cw.sin (8 - 8 0) (8)

    o C est la rsultante des forces de cohsion sur lasurface de glissement considre etCw la rsultante des forces d'adhrence sur le murde soutnement.La rsultante des forces de cohsion a pour expres-sion:

    o av et ah sont les composantes de l'acclration dumouvement sismique suivant les deux directions, et(m) la masse du prisme de glissement.En conformit avec les relations (2), (4) et le poly-gone des forces de la figure 2 on peut considrer laforce W' = W + S, d'intensit :

    W' = (W - Sv)/cos 8 0 (5)o : 8 0 = arc tg [Sh/(W - Sv)] 8 0

    arc tg [(ah/g)/(l - av/g)] d'o

    8 0 arc tg [Ksh/ (1 - Ksv)] (6)

    o Ksv et Ksh sont respectivement les valeurs descoefficients sismiques suivant les directions verticale ethorizontale.En tenant compte de la relation (2), la relation (5)s'crit:

    sin (8 + (3)W" = 0,5. x.H."(. (1 - Ksv)

    - E- - EXi 0R = Fi = 0M= E(~ x R) =

    => EYi 0 (1)

    EMzi 0

    2.1.1. Poids du prisme de glissementA partir des notations de la figure 1, le poids propredu prisme de glissement est:

    2.1. Expressions des forces

    conduit un prisme de rupture ABC. En supposantl'angle de frottement interne (0) ainsi que la coh-sion (c), respectivement l'adhrence (cw), complte-ment mobiliss sur le plan de rupture BC, les forcesqui agissent sur le prisme sont :W- le poids du prisme de glissement ABC, qui tend glisser;C - la rsultante des forces de cohsion mobilisessur la surface de glissement BC;R0 - la rsultante des composantes normales et desforces de frottement mobilises le long de la surfacepotentielle de glissement, incline l'angle 0 sur lanormale;5 - la force sismique considre comme agissant aucentre de gravit du prisme de glissement;Cw - la rsultante des forces d'adhrence mur-solmobilises intgralement sur l'interface AB;P - la pousse (la raction) du sol exerce sur le murde soutnement par le prisme de glissement considr(ABC), inclin de 0 par rapport la normale.

    L'quilibre statique du coin de glissement (ABC), con-sidr comme solide rigide, impose, qu'en tout point(par exemple le point B), le torseur du systme desforces extrieures soit nul :

    Les relations (1) se traduisent graphiquement par lafermeture du polygone vectoriel (fig. 2) et par le faitque les derniers rayons-vecteurs du polygone funicu-laire se superposent.

    (4)

    W = 0,5. x . BF. "(. 1 avec

    BF AB .sin (8 + (3) et AB H /sin 8

    BF H.sin (8 + (3) / sin 8

    d'o W 0,5.x.H."(.sin (8 + (3)/sin 8 (2)

    o "( est le poids volumique du sol.

    La force sismique dont l'orientation est donne dansles figures 1 et 2, est prise gale :

    S = W K s (3)

    o West le poids propre du prisme de glissementet Ks le coefficient sismique, dfini comme le rapportentre l'acclration sismique (as) et l'acclration gra-vitationnelle (g).

    Les composantes de la force sismique sont :

    selon la direction horizontale Sh = m.ah- selon la direction verticale Sv = m. av

    cos 8 0 sin 8cos (a - 8 0)c. (H + x sin (3)

    cos a

    - cw.H. sin (8 - 8 0) (8a)sin 8

    Explicitant dans la relation (8a) les termes :sin (8 + (3)/sin 8 = cos (3.(1 + cotg 8.tg (3)sin (8 - 8 0)/sin 8 = cos 8 0.(1 cotg 8.tg80)cos (a - 80)/cos a = cos 8 0.(1 + tg a.tg80)'On obtient:W" = 0,5.x.H."(. (1- Ksv).cos(3. (1 + cotg8.tg(3)/cos80

    c. (H + x.sin(3) .cos80c. (H + x.sin(3) .tga.tg80cw.H.cos80 ' (1- cotg8.tg80) (8b)

    Or, d'aprs la figure 1 le paramtre (tga) est gal :tga = BB (H + x.sin(3)

  • 42 REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUE

    b/

    /1/ 1 sxi ~--- a

    .\ LE LIEU GEOMETRIQUE DES

    ~ POINTS d

    \\

    \\

    Fig. 2. - Le polygone vectoriel.Fig. 2. - The vector po/ygon.

    (1 + cotg8 .tg(3)

    soit tga = (x.cos{3 - H.cotg8)/(H+x.sin{3) (11)

    et la relation (8b), aprs regroupement des termes,devient:

    la dernire dfinissant le poids volumique rduit,l'expression du poids rduit du prisme de glissementdevient:

    En utilisant les notations (fig. 1) :

    (12)

    x.cos{3 etx'

    [1-Ksv')Ir = ')1. . (1 + cotg8.tg(3)cos8o

    2.c ]- -- . cos8o ' (tg{3 + tg8o)')I.H

    (8c)

    W" = O,5.x.cos{3.H.')I [1-Ksvcos8o

    2.c ]--.cos8o (tg{3 + tg8o)')I.H

    - c.H.cos8o (1 - cotg8.tg8o)(1 + 1/)

    o 'YJ = cw/c.

  • UNE GNRALISATION DE LA THORIE DE COULOMB 43

    l'quation de la droite O'd (19), lieu gomtrique despoints (d) du polygone vectoriel, s'crit:

    Y = W".tgw + Yo (22)

    et b = Yo

    o Yo = c. H. tgw' (1 + 11) .cos80' (1 - cotg8. tg80)- c.H. (1 + 11) .cos80' (cotg 8 + tg80) (21)

    Y 2c 8 1 )"= --' cos o' -tg,8.tg80 W'Yr H

    2c+ c.H --.cos 8 0.(1 - tg,8.tg80)'

    'Yr H

    (1 + 11).COS 8 0.(1 - cotg8.tg80)-c.H.(1+11).

    cos 8 0.(cotg8 + tg80) (19)

    a.W" + b. En utilisant les

    2c-- . cos 8 0.(1 - tg,8.tg80) (20)

    'Yr Ho tgw

    qui est de la forme Ynotations:

    a = tgw

    (15)

    Remplaant dans la relation (15) les expressions deC et Cw, donnes par les relations (9) et (10) onobtient:

    y = c. (H + x.sin,8) .sin (a - 8 0)/ cosa- cw.H.cos (8 - 8 0)/sin8 (16)

    W" = 0,5.x'.H.'Yr-c.H.(1+11).cos80 (1 - cotg8.tg80) (13)

    2.1.2. Expression de la force YA partir de la figure 2 (polygone vectoriel) on peutdfinir la force Y, de direction perpendiculaire celle de W", comme la rsultante des forces, W"',C et Cw :

    y W'" + C + Cw (14)Son intensit est :

    En utilisant les relations : De mme avec les notations :

    sin (ex - 8 0)/ cosao = cos80' (tga - tg80),cos (8 - 8 0)/ sin 8 0 = cos 8 0,(cotg 8 + tg80)

    et la relation (11) pour tga, l'expression (16) s'crit:

    y = c.x'.cos80(1 - tg,8.tg80)

    c.H.cos80 (1 + 11). (cotg8 + tg80) (17)

    2.2. Trac du polygone vectoriel

    En examinant les relations (13) et (17), qui donnentles expressions de W" et Y, on observe que la seulevariable dimensionnelle est la longueur x' qui fixe laposition du plan de glissement. Dans un systme decoordonnes rectangulaires VOX (l'axe OX concidantavec la direction de