Une caractérisation des formes exactes de degré 1 sur les espaces projectifs

Comment. Math. Helvetici 60 (t985) 046-053 0010-2571/85/010046-08501.50 + 0.20/0 t~) 1985 Birkh~iuser Verlag, Basel

U n e caract6risation des formes exactes de degr6 1 sat les espaces projecti is

JACQUES GASQUI et HUBERT GOLDSCHMIDT

Une forme de degr6 1 sur une varirt6 r iemannienne compacte est h ~nergie nuUe si son intrgrale le long de toute grodrs ique fe rmre est nulle. Une question naturelle qui se pose alors est de savoir si les formes exactes de degr6 1 sont les seules h possrder cette propr i r t r . Elle est particuli~rement intrressante pour un espace symrtr ique compact de rang 1, car les grodrsiques de sa mrt r ique canonique sont toutes ferm6es et de m~me longueur. Si l 'on exclut les spheres pour lesquelles les formes " impaires" fournissent facilement des exemples de formes de degr6 1, h 6nergie nulle et non exactes, la premiere contribution h cette question a 6t6 obtenue par R. Michel dans [4], oh il donne une r rponse positive pour les espaces projectifs rrels. Nous nous proposons ici de rrgler le cas des espaces projectifs restants, en prouvant le

T H E O R E M E . Sur un espace projectif complexe ou quatemionien de dimension >I 2, ou sur le plan projectif des octaves de Cayley, les formes de degr~ 1, ti ~nergie nulle, sont exactes.

C o m m e les grodrs iques de ces espaces sont les droites projectives rrelles, l inrairement plongres, notre rrsultat est en fait de nature topologique.

La preuve de ce thror~me se rrdui t facilement h l ' r tude du cas complexe et, via le rrsultat de Michel cit6 plus haut, elle revient ~ d rmon t re r l 'exactitude d 'un complexe d 'opr ra teurs diffrrentiels homog~nes sur l 'espace symrtr ique Pro(C)= U ( m + l ) / U ( 1 ) x U ( m ) . Ceci est men6 ~ bien en utilisant la thror ie des reprrsentat ions du groupe unitaire, d 'une mani~re tout h fait semblable h ce que nous avions fait dans [3] pour la conjecture infinitrsimale de Blaschke sur pm (C).

1. Soit X un espace projectif dont on note T l e fibr6 tangent et T* le fibr6 cotangent. On drsigne par AkT * la puissance extr r ieure k-i~me de T*. Si E est un fibr6 vectoriel sur X, on note E le faisceau des sections de E, et C=(E) l 'espace des sections globales de E sur X. On munit X de sa mr t r ique canonique g.

Dans ce paragraphe et le suivant, nous supposons que X est l 'espace projectif

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Une caracterisation des formes exactes de degr6 1 sur les espaces projectifs 47

complexe Pro(C), avec m~>2. On d6signe par J : T - - * T la structure presque-

complexe canonique de X, et si ~ T, on convient que C ~ = R ~ ) R J ~ . La

m6trique canonique g est dans ce cas la m6trique k~ihlerienne de Fubini-Study de

~m(C). Soit E le sous-fibr6 de A2T * form6 des 616ments to ~ A 2 T * dont les restric-

tions aux sous-vari&6s totalement g~od6siques, isom6triques au plan projectif r6el P2(R) muni de sa m&rique h courbure constante 1, sont nulles. Puisque ces sous-vari6t6s sont de la forme Exp~ (R~(~RB), avec x e X et ~, ~ e T~-{0}, tels que Cr et C~ soient or thogonaux (el. [2, p. 79]), un 616ment co de A2T * appartient h E si et seulement si

co(C, n) = 0,

pour tous ~, ~ ~ T tels que C~ et C~ soient orthogonaux.

L E M M E 1. Soit ot une [orme de degr~ 1 sur X. Les conditions suivantes sont

dquivalentes : (i) ot est h ~nergie nulle;

(ii) da est une section de E.

D~monstration. Soient x ~ X et ~, r l~ T~-{0}; supposons que Cr et C~/ soient orthogonaux. Alors Y = Exp~ ( R ~ R ~ I ) est une sous-vari6t6 totalement g6od6sique de X, isom6trique h p2(•) muni de sa m6trique h courbure constante 1. Si i : Y --~ X est l 'inclusion naturelle, la condition (i) implique que la forme i*a sur Y est h 6nergie nulle; le r6sultat de Michel (cf. [4, Th60r~me 1.7]) pour P2(R) nous dit que i*a est exacte, et ainsi clue (dct)(~, ~3)=0. Inversement, si (ii) est vraie, alors di*et = 0 et i*ct est exacte; donc l 'int6grale de a stir toute g6od6sique

de Y est nulle, ce qui entraine (i). Soit

d :T* ~ A2T*/E (1)

l 'op6rateur diff6rentiel lin6aire d 'ordre 1 qui envoie une forme a de degr6 1, sur [3da, off [3 est la project ion canonique de A 2 T * sur A2T*/E. Si 1 d6signe le fibr6 trivial r6el de rang un sur X, le l emme 1 nous dit que le th6or~me est vrai pour

X = P"~(C) si et seulement si le complexe

a

C~(,O -.~ C~(T *) --~ C~(A 2T*/E)

est exact.

48 JACQUES GASQU] ~ HUBERT GOLDSCHMIDT

Nous supposons connus les r6sultats des paragraphes 2 et 3 de [3] (qui sont en fait ind6pendants du w de ce papier); nous nous servirons des notations et de la terminologie qui y sont introduites.

Le groupe unitaire G = U(m + 1) agit sur C "§ et transit ivement sur (X, g) par des isom6tries. Le groupe d ' isotropie de l ' image canonique x0 dans P " ( C ) du point (1, 0 . . . . . 0) de C "~§ est 6gal au sous-groupe K = U(1) x U(m) de G. On identifie X avec G/K; rappelons que (X, g) est un espace hermitien sym6trique et que G agit sur X par des transformations holomorphes. On peut identifier Txo avec C m de telle sorte que la structure presque- complexe de Tx o soit celle de C m, que l 'action de K sur T~o soit donn6e par

( 7 O ) " z = e - ' ~

pour 0 e R, A e U(m) et z ~ C m, et que la m6trique k~ihl6rienne g en Xo soit d6termin6e par le produit scalaire hermitien standard de C m (cf. [2]).

Notons Fc le complexifi6 d 'un fibr6 vectoriel r6el F sur X. On 6crit

F1 = lc , F2 = T'c, F3 = (A2T*/E)c,

et on note tt :F2-->F 3 l 'op6rateur diff6rentiel induit par (1). Ces fibr6s sur G/K, munis des produits scalaires hermitiens provenant de la m6trique g, sont homog~nes et unitaires, et

d C-~(F1) --~ C~(F2) ~ C~(F3)

est un complexe d 'op6rateurs diff6rentiels lin6aires homog~nes sur G/K. L'op6ra teur d :F1---~F2 6tant h symbole injectif, la proposit ion 2.3 de E3] nous donne maintenant la

P R O P O S I T I O N 1. Le th~or~me est vrai pour X = P " ( C ) , avec m>~2, si et seulement si le complexe

d

C~(F1) --, C7~(F2) ~ C7~(F3)

est exact, pour tout 3' ~ G, avec G = U(m + 1).

Soit s = (s ~1 . . . . , s le systSme de coordonn6es s tandard de C r a + l . L'espace


sr des fonctions sur C re§ h valeurs complexes, et dont les restrictions h la sphbre unit6 S 2"§ sont invariantes par U(1), est un U ( m + 1)-module; si f ~ ~ , on note f la fonction sur P ' ( C ) , obtenue par restriction h S 2"§ puis passage au quotient. D6signons par ~q le sous- U ( m + 1)-module des polyn6mes complexes bihomog~nes sur C ~'§ de degr6 q en ( et de degr6 q en ~ et qui sont harmoniques. Tous ces polyn6mes sont invariants par U(1); l 'espace ~q des fonctions sur W"(C), d6duit de ~q, est isomorphe ~ ~(q en tant que U ( m + 1)- modules. Rappelons que ~q est l 'espace propre du laplacien A de (X, g), associ6 la valeur propre 4 q ( q + m ) , pour q~>0, et que ~q est un U ( m + l ) - m o d u l e irr6ductible de poids dominant qAo-q)t,, , (cf. [1, Propositions C.III.1 et C.I.8]). De plus, (r q est un 616ment de ~q de poids q;t0-q;tm et ~q est stable par la conjugaison de ~r qui envoie f sur [ (cf. [3, w

On pose f = (,,~0 et r = (m--l~0" Rappelons que le sous-U(m + 1)-module Wq de ~ , | engendr6 par fq @[/x[ ' , est irr6ductible et de poids dominant

(q + 2);% - )t m-1 - (q + 1)~t,,.

Son image r~q par la conjugaison de ~ q @ A 2 ~ l est un U ( m + l ) - m o d u l e irr6ductible de poids dominant

(q + 1),% + ;t 1 - (q + 2);t,,

(cf. [3, w Si T ~0""7 d6signe le fibr6 des formes de type (p, q) sur X, on a la d6composition

G-invariante

T* = T"'~ T ~~

avec T ~~ 17 = T(1. o).

Au w nous d6montrerons les lemmes suivants:

L E M M E 2. Pour q >I 1, on a

L E M M E 3. Pour q >t O, on a

dOr .Orof - r or3) ~ o.

Puisque ~q = ~q est un U ( m + 1)-module irr6ductible et que [q ~ ~q, il r6sulte

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du lemme 2 que 0~q (resp. 0 ~q) est un sous-U(m + 1)-module irr6ductible de ~".41 0)\ ~T(O 1)-~x C~Xo_qx~(l" " ) (resp. C~qxo-qX~( �9 1), pour q--> 1.

Les applications

~1' : ~ | A 2~ ~ C X ( T (1,o)),

71" : M @ A 2~ ~ C~(T(O,1) ) ,

d6termin6es par

TI ' q 0 ~ f l A / 2 ) : ? 0 q l Of 2 - - f2 ~ f l ) ,

avec/Co, f~, f2~ ~ , sont des morphismes de U(m + 1)-modules; nous avons aussi

n"(cv) = n' (w)

pour w ~ M @ A 2 M . Avec le lemme 3, pour q~>l, on voit que ~I ' (W,-0 (resp. rn ~ ~1 ( W q - 0 - ~l'(Wq_~)) est un sous-U(m + 1)-module irr6ductible de

(q + 1)h0__hm _, __qkml/T(l"~ (resp. C~x,,+x _(q + 1)x~(T(~

Les K-modules FI .... T~xo "~ et Tr176 ~) sont irr6ductibles et leurs poids dominants sont 6gaux ~ 0, h0 - hm et - h0 + hi, respectivement. A l'aide de la proposition 3.1 de [3] et du lemme de Schur, on obtient les multiplicit6s des modules C~(F) de la proposition suivante. On d6duit alors la description explicite des sous-modules C~(F) de cette proposition.

P R O P O S I T I O N 2. Si F est l 'un des fibres homog~nes ~c, T(l'~ ou T (~ pour

3' ~ G, le sous-G-module C~ de C~(F) est ou bien nul ou bien irr~ductible. Les

sous-G-modules irr~ductibles de C~(F) sont donn& par le tableau:

e r c:(1~) c?(7 ~'.~ c?(7 ~~

qho- qAm " q = 0 ~o 0 0

'W (q+l)Ao-hm_l-qh m q~>l 0 "r q-l) 0 rt[ ~ \ qho+hl-(q+l)h,, ~ q ~ l 0 0 71 ( q-l)

Le noyau Ker d de d :C-*~ ~ C-~(F2) est 6gal h l 'espace ~o des fonctions


constantes sur X, et on a donc

Ker d = C~(~c), avec 3" = 0.

A par t i r de ceci, de la propos i t ion 2.3 de [3] et des proposi t ions 2 et 3, on voit

que le th6or~me est vrai pour X = Pro(C) si et seu lement si

dC~(F2) # O,

pour 3' = qAo - qAm, (q + 1)Ao - A m- 1 - qA,, et qAo + )t 1 - (q + DAm, avec q >I 1. Cet te

derni~re condi t ion est 6quiva lente

a 0~, r O, an'(w,_x) ~ o,

pour tout q ~> 1. Les lemmes 2 et 3 nous d o n n e n t ces deux relations, et ainsi nous

avons donc dSmontr6 le th6or~me pour P " (C).

2. Nous d6mon t rons m a i n t e n a n t les l emmes 2 et 3. Soit p : C ' + ~ - { 0 } --~

W"(C) la p ro jec t ion na ture l le et U l ' ouver t de P ' ( C ) 8gal

p(C* x c m) = p({(~0 . . . . . G ) e c m+' I ~0 ~ 0}).

On note z = ( z l . . . . . zm) la coordonn6e ho lomorphe sur U, donnSe par les

coordonn6es homog~nes ; on a donc

z~ = ~/~o,

pour ] = 1 . . . . . m. On pose z~ =x~ +~Z- - t Yi, avec x~ et Yi ~ valeurs r6elles. O n

6crit

lzl = (tzd~ + - ' ' + tzm 12) "~.

U n potent ia l k~ihl6rien de g sur U est ~log (l+lz% ce qui fait que

a o ~ log (1 + Izl =) _1 ( a~ ~,z~ g'~ =2 0z, o~ = 2 \ l + l z l ~ (x+lzl~W

O n a

Zm f , = Z m - 1 f=1+l~F l + l z ?

s u r U .

52 J A C Q U E S G A S Q U I E T H U B E R T G O L D S C H M I I ) T

Sur u et v sont deux fonctions sur U, h valeurs complexes, on 6crit

u = v + gr (Z) ,

lorsque u - v s'annule sur la courbe complexe Z de U, d'6quations zl . . . . . z,,_x = 0. On pose

+ - - , r / = ~ 8ym 8y,.-1 " OX m OXm_ 1

Puisque

sur Z, les droites complexes C~ et C~ sont orthogonales de long de Z. On v6rifie facilement que

_ 2 q ~ / ~ 1 (d 0~)(~, rl) = + gr(Z). l+lzl 2

Ceci prouve que d O) ~q ~ 0, pour q >I 1, d 'oh le lemme 2. Par ailleurs, si i~ j, les droites C(O/Ox~) et C(O/Ox~) sont orthogonales le long de

Z. I1 est alors facile de voir que

( ~ t z . , - 1) + ~ ( z ) ,

pour q I> 0, d 'oh le lemme 3.

3. Supposons que X soit l 'espace projectif quaternionien pm (H), avec m >I 2, ou le plan projectif des octaves de Cayley p2(Ca). Soient x e X et ~, ~ des vecteurs unitaires et orthogonaux de T~. Dans le premier cas, consid6rons le sous-espace ~. K de Tx de dimension 4 d6fini dans [2, p. 74]. Dans le second, notons ~. K le sous-espace de T~ engendr6 par ~ et l 'espace propre de dimension 7 correspondant h la valeur propre 4 de l 'endomorphisme auto-adjoint

~ / ~ ( ~ , ~)~

de Tx, o h / ~ est la courbure de (X, g) section de A2T*@T'*t~T, telle qu'elle est d6finie dans [3,w Si ~ est orthogonal h ~ .K, alors Y = E x p x (R~| est


dans les deux cas une sous-var i6 t6 t o t a l e m e n t g60d6sique de X, i som6t r ique

P2(R) mun i de sa m6t r ique h c o u r b u r e cons tan te 1; no tons i : Y--~ X l ' inc lus ion

nature l le . Si 71 e ~" ~ , so ien t ~ un vec teu r uni ta i re de Tx o r t hogona l ~ ~ . K, e t

~ , ~2 deux vec teurs o r t h o g o n a u x a p p a r t e n a n t h ~ �9 K. A lo r s

Z = Exp~ ( R ~ l I ~ n (~ff~@l~K2)

est une sous-var i6 t6 t o t a l e m e n t g6od6s ique d e X, i som6t r ique ~ P~(C) 6quip6 de

sa m4t r ique canon ique ; no tons j : Z ~ X l ' inc lus ion na ture l l e (cf. [2, C h a p i t r e 3]).

Soit ot une f o r m e de degr6 1 sur X h 4nergie nulle. Si ~ est o r thogona l h ~ - •,

alors i*ot est h 6nergie nul le sur Y, e t d ' ap r~s le r6"sultat de Miche l [4] p o u r p2(~) ,

on a (dot)(~, ~!) = 0. Si ~ e ~ . K, a lors j*ot est ~ 6nergie nul le sur Z, e t d ' ap r~s le

th6or~me p o u r p2(C), on voi t que (dot)(~, 71) = 0. Ains i c~ est fe rm6e; pu i sque X

est s i m p l e m e n t connexe , ot est donc exac te , e t nous avons d6mont r6 le t h6or~me

pour X.

REFERENCES

[1] M. BERGER, P. GAUDUCHON et E. MAZET, Le spectre d'une vari~t~ riemannienne, Lecture Notes in Mathematics, no 194, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971.

[2] A. BESSE, Manifolds all of whose geodesics are closed, Ergebnisse der Mathematik, no 93, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

[3] J. GASQUt et H. GOLDSCr~ngT, D~.formations infinit~simales des espaces riemanniens sym~.triques. II. La conjecture infinit~.simale de Blaschke pour les espaces proiectifs complexes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 2 (1984) 191-226.

[4] R. MIO-tEL, Sur quelques probl~mes de g~om~trie globale des g~od~siques, Bol. Soc. Bras. Mat., 9 (1978), 19-38.

Institut Fourier B.P. 74 34802 St Martin d'H~res (France)

Department of Mathematics Columbia University New York, N.Y. 10027 (U.S.A.)

Re~u le 22 f6vrier 1984

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