Una Restas, Dos Restas Damisa Carla

8/17/2019 Una Restas, Dos Restas Damisa Carla

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La enseñanza de la sustracción, así como dela adición, la multiplicación y la división soncontenidos que se encuentran, en principio,bajo la responsabilidad de la escuela primaria.¿Cómo organizar ese contenido para serenseñado?, ¿qué aspectos de las operaciones

enseñar?, ¿qué recortes hacer?, ¿cómo secuen-ciar la enseñanza de ese contenido para cadagrado?, ¿qué acuerdos institucionales lograr?,estas son algunas de las interrogantes quesurgen al pensar en las operaciones para serenseñadas.

En esta oportunidad centraremos laatención en el análisis de los algoritmosconvencionales en relación ala sustracción.Profundizaremos en la fundamentación del

funcionamiento de esos algoritmos, quécuestiones intervienen, porqué funcionan, quépropiedades los sustentan, tanto del sistema denumeración decimal (SND) como de lasoperaciones.

A la hora de trabajar en la escuela con lasustracción esta no aparece sola o como unacuenta suelta, es necesario usarla como modelode resolución de ciertos problemas, que noviven aislados. Forman parte de un conjunto deproblemas, que llamamos problemas aditivos,donde la adición y la sustracción son modelosque se ponen en juego para la resolución deestos.

En este sentido, cuando se proponenproblemas con el fin de enseñar la sustrac-ción, aparecen diferentes algoritmos decálculo que representan la solución a esosproblemas. Expresamos «aparecen» porquelos alumnos producen, cuando se les

brindan ciertas condiciones, algoritmos noconvencionales o artesanales, personales,vinculados con lo que ellos saben sobre losnúmeros en juego del problema, sobre laspropiedades del SND y las propiedades delas operaciones. Analizaremos brevementealgunos de esos algoritmos personales quesurgen cuando aún no se ha enseñado cómohacer la cuenta y los alumnos resuelven unproblema en el que deben realizar unasustracción para responder a las interrogan-

tes planteadas. Las producciones quesiguen nos indican que la docente realizó untrabajo con numeración: recorriendocomposiciones, descomposiciones, diferen-tes representaciones de los números, entreotros aspectos. El algoritmo que analizare-

(2) mos a continuación pertenece a alumnosde segundo año de la escuela públicauruguaya, a cargo de la maestra: Alicia SilvaPalumbo.

¿Una resta,

(1) Análisis de los algoritmos convencionales de la sustracción

o muchas restas?dos restas

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Carla DAMISAProfesora y especialista en laenseñanza de la Matemática

La actividad propuesta a los alumnos seresolvía restando. Al grupo no le habíanenseñado aún cómo se ejecutaba el algoritmoconvencional de la sustracción con dificultad .

Si analizamos desde esta última idea laexpresión«con o sin dificultad» vemos que notodas las cifras que forman los números de lasituación presentan dificultad . Sin embargo alrealizar la tarea este alumno no da cuenta deque exista dificultad. Nos animamos a afirmar

que esta dificultad es externa al sujeto que estáejecutando ese cálculo, el alumno no la percibecomo tal y busca la manera de resolverla con loque sabe de esos números.

¿Pero entonces, si el alumno resuel-ve el problema coherentemente, porqué hablamos dedificultad ? Esta dificul-tad la percibe el que enseña, cuandopiensa en la ejecución del cálculo de unasola manera asociada a un algoritmo

experto que no fue creado para suenseñanza.

Esa forma de ejecutar los cálculosusando el algoritmo convencional nopermite establecer vinculacionesexplícitas con lo que se sabe de losnúmeros y por tanto del SND, a no serque: no solamente se ejecute elalgoritmo convencional, sino quetambién se comprenda.

Por lo tanto, ¿cómo resuelve acáeste alumno esa dificultad? Realizandorestas sucesivas que conoce. Descompo-ne el 605 en 600 y algo más que noescribe, pero controla lo que le faltarestar. Además, al 294 lo descomponeen 200 y 94. Por lo que registra, conocealgún repertorio de cálculo y lo usa: sabeque 600 – 200 = 400.

¿Por qué resta 400 – 100?, si en el

cálculo expresado el 100 no figuraba.Una posible explicación es que cuandopiensa que debe restar 94,sabe que este

605 - 294

600 - 200 = 400

400 - 100 = 300

100 - 90 = 10

300 + 10 = 310

5 - 4 = 1

310 + 1 = 311


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4 12 17

5 3 7

1 7 9

3 5 8

Análisis del algoritmo conven-cional por préstamo

Este análisis lo realizaremos con elejemplo 537 - 179.

En la figura adjunta se observan algunosnúmeros tachados y otros nuevos, arriba delos tachados. A continuación realizaremosuna descripción literal de lo que decimos cuando ejecutamos el algoritmo convencio-nal de la resta por préstamo, y analizaremossu sustento matemático.

Para alguien externo a la ejecución delalgoritmo, que no la conozca o que la estéconstruyendo y mire el registro anterior,

observará que aparecen nuevos númerosque no estaban en el cálculo que se debíarealizar. Son los números marcados con .rojoEl minuendo parece que cambió, que ya noestamos restando 179 a 537, sino que se ve el 41217 como minuendo, aunque semantiene el mismo sustraendo. Esta es unaprimera dificultad cuando el algoritmo porpréstamo no se maneja con sentido ysolamente se observa el registro sin cargarlode significado.

En general lo primero que se dice alaplicar este algoritmo es que «al 7 no lepuedo sacar 9, entonces le pido prestado un1 al 3 y el 7 me queda en 17. Ahora 17 menos9 es 8, pongo el 8…»

¿Cuántos supuestos?, ¿porqué funcionaasí?, ¿qué lo sustenta?, ¿sigo restando elmismo número o lo cambié?

El minuendo 537, sigue siendo el

mismo, pero se expresa de manera diferentey el registro se hace omitiendo algunasoperaciones que se realizan. Al decir «pido

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número está cerca del 100 y utiliza el«400 -100» pues sabe ese resultado, por el reperto-rio de cálculo que maneja.

Restar «400 – 100», no es lo exigido en lasituación, por lo tanto, tiene que controlar yajustar esos cálculos. Como restó 100, ladiferencia entre 100 y 90 que es 10 (y lo sabepor repertorio) es lo que debe sumar a lohallado porque es lo que ha restado de más.Entonces tiene 300 + 10. Aún le falta restar «5 –4», que no le exige ninguna dificultad extra,obteniendo 1 y sumándolo al resultado parcialanterior.

Este alumno maneja de maneraconveniente la descomposición y composiciónaditiva de los números. Da cuenta además que

no lo hace mecánicamente, alcanza conanalizar su registro que deja huellas de lorealizado. Esto es claro pues al sustraendo nolo descompone en 200, 90 y 4, sino que lo haceapoyándose en repertorios de cálculo quedomina y también en el valor posicional de lascifras que le conviene.

El trabajo de estos alumnos con el SND,sus propiedades y los repertorios de cálculoson elementos que les dan autonomía para

realizar las cuentas exigidas en ciertas activida-des, aún cuando no se han enseñado previa- mente los algoritmos convencionales.

Nos centraremos en el análisis de lo quesustenta la ejecución de los algoritmosconvencionales para la sustracción. El algorit-mo por préstamo y por compensación.


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un 1 prestado y el 7 se transforma en 17»,significa que descompuse aditivamente el537 en 520 + 17. ¿Porqué se presta un 1 yno un 3? Con prestar un 1 es suficiente porque en el sustraendo la cifra de lasunidades es un 9 y con que aparezca en el

minuendo, en el lugar de las unidades, unnúmero mayor que 9 será suficiente parapoder calcular la diferencia entre 17 y 9;aunque ahora ese lugar está momentánea-mente ocupado por el 17. Ese uno que sepresta no es una unidad, sino que es una delas decenas de las 53 que tiene el 537. Sinembargo, este aspecto, casi nunca loponemos a discusión, si la escritura realiza-da no lo muestra, entonces ¿cómo loaprendemos?

Ahora estamos en condiciones derealizar la resta: 17 – 9 = 8, este 8 es el queponemos en el lugar de las unidades delresultado que estamos calculando.

Hasta ahora tenemos:

Siguiendo con los pedidos de présta-mo, ahora tenemos que restar las cifrasque se encuentran en el lugar de lasdecenas, que son 2 – 7. Procedemos así:

En la segunda columna descompusi-mos de otra manera conveniente al 537,pero tenemos la misma dificultad anterior ,al 20 no le puedo quitar 70. Esta dificulta- d es obviamente falsa, al igual que laanterior, porque los números que estamos

restando cumplen con las condicionesexigidas en el conjunto de los númerosnaturales

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537 520 + 17

- 179 - 170 + 9

..........+ 8

(lo transformamos)

520 + 17 500 + 20 + 17 400 + 120 + 17

- 170 + 9 - 100 + 70 + 9 - 100 + 70 + 9

.......+ 8 .......+ 8 300 + 50 + 8


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537 > 179 y por lo tanto al 537 le puedosacar 179.

¿Por qué surge la dificultad?

El problema surge porque no estamostomando al número entero, sino que lo

estamos considerando con las cifras sueltas ensus respectivos lugares, omitiendo expresar loque cada una de ellas vale (propiedad deposicionalidad del sistema de numeracióndecimal). Sin embargo los préstamos quevamos haciendo suponen que conocemos laposicionalidad del sistema y las descomposi-ciones convenientes para poder transformar elminuendo y poder realizar la sustracciónadecuadamente. Evidenciamos una serie desupuestos que naturalizamos, tanto en la

ejecución del algoritmo como en su enseñan-za.

Obsérvese que al decir «el 2 no me alcanzapara restarle 7», omitimos decir que noestamos hablando ni de un dos ni de un siete,sino que son dos decenas y siete decenas ycomo «el 5 le presta un 1 al 2 que ya teníamos,éste se transforma en 12», que a su vez no esun 12, sino que es 120 porque el uno que leprestó no es, nada más ni nada menos, que un

cien (100). Aparecen nuevamente lasnaturalizaciones pero en el orden siguiente, eneste caso en las decenas o los dieces. En latercera columna solucionamos todas lasdificultades y encontramos la diferencia como:300 + 50 + 8 = 358.

Hasta aquí lo que sustenta la validez delalgoritmo convencional por préstamo es:

- la posicionalidad del sistema,

- la descomposición del minuendo y delsustraendo usando la base del sistemade manera conveniente.

A la hora de la enseñanza del algoritmoconvenc iona l po r p rés tamo , nospreguntamos ¿cuántos elementos ocultos?,¿cuánta falsa dificultad? Es importante tenerpresente estos interrogantes a la hora detrabajar con los algoritmos,para poder

transparentarlos y establecer vinculacionescon las producciones que los alumnos hayanido construyendo siempre y cuando loshabilitemos a ello.

Análisis del algoritmoconvencional por compensación

Muchas veces los docentes tomamos la

decisión de enseñar el algoritmoconvencional de la sustracción porcompensación, porque es el que, de algunamanera, también funciona en el algoritmo

(3) convencional de la división .

Ut i l i z ando e l m i smo e jemp loanalizaremos las propiedades que se ponenen juego, tanto de la sustracción como delSND, e intentaremos una breve justificacióndel mismo para usarlo con fundamento.

S igu iendo con e l 538 – 179desarrollaremos algunos pasos y dichossobre la ejecución del algoritmo porcompensación. Cuando decimos: «el 8 nome alcanza para sacarle 9…»aparece lamisma falsedad que en el caso anterior. Sevuelve a considerar al número partido porsus cifras, sin analizar el valor del número ensí, ni las consecuencias en el sujeto queaprende a partir de esa proposición.

En este nuevo algoritmo no está en juego el pedir prestado sino la propiedad deinvarianza de la sustracción:«si sumamos alminuendo y al sustraendo el mismo número,


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537 530 + 10 + 7 530 + 17 500 + 100 + 30 + 17

- 179 - 170 + 10 + 9 180 + 9 100 + 100 + 80 + 9

........................+ 8

sumamos 10 (segunda columna), pero ahora con 100. La resta expresada volverá a ser lamisma que las anteriores por lo que servirá para poder calcular la primera sustracciónplanteada gracias a la propiedad de invarianza.

¿Por qué tuvimos que sumar 100 a cada término? Porque a 30 no le podíamos restar 80 , alsumarle 100 tenemos 130 – 80, esto sí lo podemos hacer .

En definitiva, volvemos a compensar lo que precisamos en el minuendo para restar sindificultad , pero en este caso debemos ir controlando esas transformaciones en el sustraendo,

es decir, lo que sumamos al minuendo debemos sumarlo al sustraendo. Ahora son cienes porque estamos con las cifras del orden de las decenas y para poder restar, en este caso,necesitamos cienes.

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la diferencia no varía». ¿Cómo aplicamosesta propiedad? Tendremos que elegir¿qué sumamos?, ¿cuándo conviene? y¿cómo lo registramos? o cuando no lohacemos ¿qué es lo que estamosocultando? o ¿qué estamos suponiendo

que entiende el que lee o el que intentaejecutarlo por ese método?

A continuación desarrollaremos laserie de transformaciones que no seescriben, que se dicen o que se suponendichas, pero seguramente no han sidointeriorizadas con fundamento.

Sumamos en la segunda columna 10 alminuendo y otro 10 al sustraendo con el finde poder restar 7 a 9, transformando el 7

en 17 y de esa forma poder realizar: 17 – 9.

Como sumamos 10 al minuendo, debesumársele un 10 en el sustraendo, lo quetenemos entonces es la transformación enbase a la propiedad de invarianza de:

537 – 179 en 547 – 189, cuyos resultadoserán iguales.

Una diferencia importante con elalgoritmo convencional por préstamo es queen este no solo se modifica el minuendo, sinoque también se actúa modificando alsustraendo más allá de la descomposición conrespecto a la base del sistema.

En la última columna aparece un 100 en elminuendo y otro en el sustraendo,transformando al 547 en 647 y al 189 en 289.

Se repite el procedimiento realizado cuando


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En suma, para ejecutar el algoritmoconvencional de la sustracción por compen-sación necesitamos:

- usar la posicionalidad del SND,

- d e s c o m p o s i c i o n e s a d i t i v a sconvenientes del minuendo y delsustraendo, pues sumamos dieces,cienes, etcétera,

- la propiedad de invarianza de lasustracción.

Por ahora…

Es significativa la cantidad deelementos que consideramos naturalizadosporque se dan de hecho a la hora de mostrarcómo se ejecuta un algoritmo, y caemos enla ilusión de que así se enseña y así seaprende. Luego, con e l t iempo,necesitamos encontrar razones de loserrores a la hora de la ejecución de estos

algoritmos tanto con números Naturalescomo con expresiones decimales.

Si no hay errores a la hora de pensar porqué hacemos lo que hacemos, a veces noencontramos razones matemáticas quecarguen de significado esos hechos. Sinembargo analizamos que esas razones sonsencillas, pero están ocultas en ese hacer.

El hermetismo de los algoritmosconvencionales es una de las grandesdiferencias con los algoritmos personales: el juego de supuestos de los algoritmos

convencionales queda transparentado en lospersonales. Esto tiene consecuencia sobre laenseñanza del cálculo algorítmico: la puerta

de entrada no debería ser el trabajo con losalgoritmos convencionales.

A lo largo del artículo recorrimos lasrazones matemáticas que están en juego:

- la propiedad de posicionalidad delSND: valor posicional,

- el trabajo con descomposiciones ycomposiciones convenientes segúnsea el algoritmo a usar,

- y la propiedad de invarianza de lasustracción.

500 + 130 + 17

- 200 + 80 + 9

300 + 50 + 8 = 358

500 + 100 + 30 + 17

- 100 + 100 + 80 + 9

..........................+ 8

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A c t i

v i d a d e s

A

P r o p

o n e m o s

a l g u n a s

a c t i v i d a

d e s

c o m o

i n s u m o s p a r a s e g u i r p e n s a n d

o

l o

q u e

h a c e m o s . E s t a s n o

s o n

ú n i c a s

, s e

d e b e r í a n

e n g a n c h a r d e f o r m a c o n s c i e n t e

d e n t r o d e u n a s e r i e d e a c t i v i d a d e s c o

n e l

f i n d e t r a b a j a r l o s a l g o r i t m o s d e c á l c u l o d e

l a s u s t r a c c i ó n . E s t a s a c t i v i d a d e s o f r e c e n

o p o r t u n i d a d e s a l o s a l u m n o s e n f o r m

a d e

a p o y a r e

s a

c o n s t r u c c i ó n

d e

s e n t i d o

e n

r e l a c i ó n a

l c á l c u l o .

P a r e c e r í a

e n t o n c e s

q u e

c u a

n d o

h a b l a m o s d e r e s t a y n o s c e n t r a m o s e

n e l

t r a b a j o c

o n l o s a l g o r i t m o s n o h a y u n

o , n i

d o s n i t r e

s , s i n o u n o s c u a n t o s a l g o r i t

m o s

m á s .

C a d a

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a l g o r i t

m o s

p r o d u c i d

o s p o r n u e s t r o s a l u m n o s m u e

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l o q u e e l l

o s s a b e n y h a n p o d i d o i r c o n s t r u -

y e n d o . E

s t o

e s p o s i b l e s i e m p r e q u e

l e s

o f r e z c a m o s

c o n d i c i o n e s

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p r o d u c c i ó n ,

y

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c o n

u n

t r a b a j o

p r o f u n d o

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. E s

n e c e s a r i o

e s t a b l e c e r p u e n t e s e n t r e

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a l g o r i t m o

s p r o d u c i d o s p o r l o s n i ñ o s y l o s

c o n v e n c i o n a l e s . T r a b a j a r c o n a c t i v i d a d e s

d o n d e s e

c o m p a r e n

e x p l í c i t a m e n t e

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q u é

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p a r e c e n ; a y u d a r á

a

c a r g a r d e

s e n t i d o c

a d a u n a d e l a s m a n e r a s d e l h a c e r .

( 4 )

·

P a r a l o s p r i m e r o s c u r s o s


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·

P ar a

pr o b l em a t i z ar el t r a b a j o c on

l o s

al g or i t m o s

d e

l a

s u s t r a c c i ó n

en 5 °

y 6 ° .

L ai d e a

e s ¿ q u é h a c em o s c u an d o y

a s a b en

e j e c u t ar al g un o d e

l o s

al g or i t m o s c

onv en ci on al e s ? ¿ C ó m oi n t en

t ar q u e s e c ar g u e d e s en t i d o

e s e

t r a b a j o

d e

e j e c u ci ó n ?

E s i m p or t an t e

r om p er al g un a s c u e s t i on e s

d e

e j e c u ci ó nm

e c á ni c a d el o s al g or i t m o s p

ar a p en s ar c ó m of un ci on a e s t e

al g or i t m o q u e y oh a g o enr el a ci ó n c on o t r o s .A n al i z ar yr ef l exi on ar q u

é s e

a pl i c a c u an d o s e e j e c u t a d e un am an e

r a u o t r a ,i m p or t a al ah or a d e

em p ez ar a c om pr en d er p or q u é h a g ol o q

u eh a g o , en q u é m e b a s o , q u

é l o

s u s t en t a d e s d el am a t em á t i c a .

C on s i gn

a p ar al o s al umn o s

0

( 5 )

A n a q u e e s t á en2 añ o

, al r e s ol v e

r un pr o b l em a en el q u e d e b í a

r e al i z ar un ar e s t al oh i z o a s í :

-

¿ E l r e s ul t a d o e s c or r e c t o ? E x pl i c a

.

-

E n d

u pl a s : pi en s en c ó m ol oh a c en u s t e d e s y c om p ar en c o

nl o

h

e ch o p or A n a .

A c t i vi d a d e s

A O t r a s …


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BROITMAN, C., Las operaciones en el primer ciclo.Aportes para el trabajo en el aula, Buenos Aires:Ediciones Novedades Educativas, 2010.

CHARLOT, B (1986), «La epistemología implícita en lasprácticas de la enseñanza de las matemáticas»,conferencia dictada en Cannes, en Marzo de1986.

CURTI, M; DAMISA, C.,«Las propiedades de lasoperaciones. En búsqueda de relaciones», enrevista Quehacer Educativo, N° 104, Montevideo:FUM-TEP, 2010.

CURTI, M; DAMISA, C., «Ya saben hacer las cuentas, ¿yahora qué?», en revista Quehacer Educativo, N°105, Montevideo:FUM-TEP, 2011.

ITZCOVICH, H. (coordinador), La Matemática escolar ,Buenos Aires: Aique Educación, 2007.

MAZZALOMO Lidia, Ponchi 2 . Proyecto didácticocolectivo, en Matemática, CURTI-DAMISA,Buenos Aires: Editorial SM, 2011.

OSIN, L., (1966) Introducción al análisis matemático,Buenos Aires: Editorial Kapelusz, 1966.

REY PASTOR J, Pi CALLEJA P; TREJO C., AnálisisMatemático, tomo I, Buenos Aires: EditorialKapeluz, 1969.

SADOVSKY, P., Enseñar Matemática hoy miradas, sentidos y desafíos, Buenos Aires: Editorial el Zorzal, 2005.

VÁZQUEZ Nelly, TAPIA A., TAPIA C. Matemática I,Argentina: Editorial Estrada, 1985.

VERGNAUD, Gérard, El niño, las matemáticas y la realidad:problemas de la enseñanza de las matemáticas enla escuela,México: Editorial Trillas, 1991.

1) A lo largo de este artículo nos referiremos siempre a lasustracción en el conjunto de los números Naturales con lasrestricciones necesarias para poder considerarla comooperación: el minuendo es mayor o igual al sustraendo paraque el resultado sea un número Natural.

2) Las escrituras que aparecen están transcriptas para su mejorlectura manteniendo fielmente lo producido por los alumnos.

3) En próximos artículos profundizaremos en cómo se vincula yqué algoritmo de la sustracción se usa en el algoritmoconvencional de la división.

4) Las actividades que siguen son extraídas de:Ponchi 2 , BuenosAires: Editorial SM, 2011.5) Producción de alumnos del mismo curso de la maestra

Alicia Silva Palumbo.

BibliografíaB

NotasN

Documents

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