SadržajSadržaj

mUvod

mMarkovljevi modeli

mSkriveni Markovljevi modeli

mAlgoritmi za skrivene Markovljeve modele

1

Temporalni podaci Temporalni podaci

mPodaci dobiveni otipkavanjem

mUz prostornu i vremenska komponentaq Uređenost vremenske komponente i usporedivost u

smislu “ranije” i “kasnije”

2

MarkovMarkovljevljev mmodelodel (1/2)(1/2)

mDefinicijaq Stanja

q Sekvenca

q Markovljevo svojstvo N-tog reda

P(qt = j | qt-1 = i, … , qt-N = x, … , qt-(N+M) = z) =P(qt = j | qt-1 = i, …, qt-N = x)

q Stacionarnost

P(qt = j | qt-1 = i)= P(qt+x = j | qt+x-1 = i)

Uz pretpostavku Markovljevog svojstva1. reda

3

MarkovMarkovljevljev mmodelodel (2/2)(2/2)

mVjerojatnost sekvenceq Uvjetna vjerojatnost – Bayesov teorem

P(A, B)= P(A | B) P(B)

q Vjerojatnost sekvence Markovljevog modela

P(q1, q2, …, qT)=

= P(q1)P(q2|q1)P(q3|q1,q2) … P(qT|q1,…, qT-1)=

= P(q1)P(q2|q1)P(q3|q2) … P(qT|qT-1)

q Vjerojatnost inicijalnog stanja

πi = P(q1 = i) 1≤ i ≤NUz pretpostavku Markovljevog svojstva1. reda

4

Primjer Primjer –– dijagram stanjadijagram stanja

q Dijagram dobiven uz sekvencijalno opažanje upravilnim intervalima (npr. 1 opažanje dnevno)

q Suma izlaznih prijelaza stanja je 1

Sunčano Oblačno

Kišovito

0.2

0.2

0.5

0.3

0.1

0.1

0.4

0.7 0.5

5

Primjer Primjer -- predikcijapredikcija

mPredikcija (prognoza): koja je vjerojatnost da ćevrijeme počevši od sutra biti “sunčano-sunčano-sunčano-oblačno-oblačno-kišovito-sunčano”?Danas je sunčano.S: Sunčano, O: Oblačno, K: Kišovito

P({S,S,S,O,O,K,S} | model)=

= P(S) P(S|S) P(S|S) P(S|S) P(O|S) P(O|O) P(K|O) P(S|K)=

=1.0∙ 0.7∙0.7∙0.7∙0.2∙0.5∙0.3∙0.1 = 1.029E-3

6

Utjecaj Markovljevog svojstva na Utjecaj Markovljevog svojstva na složenost složenost -- ilustracija (1/2)ilustracija (1/2)

mVjerojatnost stanjaq Vjerojatnost stanja u trenutku t: P(qt= i)

q Naivan algoritam

l Vjerojatnost da put u trenutku t završava u stanju iQt(i)= (q1, q2, …, qt=i)

l Suma vjerojatnosti preko svih putova koji završavaju ustanju i u trenutku t

O(Nt)

7

Utjecaj Markovljevog svojstva na Utjecaj Markovljevog svojstva na složenost složenost -- ilustracija (2/2)ilustracija (2/2)

mVjerojatnost stanjaq Efikasan algoritam

l Rekurzivan izračun vjerojatnosti: pamtimo sumuvjerojatnosti da parcijalni put završava u nekom čvoru, zasvaki čvor

mAlgoritmi preko Markovljevih modela o kojima ćebiti riječi upravo su rekurzivnog tipa

O(N2t)

8

mN (neprozirnih) urni sa obojenim kuglicama u Mrazličitih boja.

l konkretno: N= 3 and M= 4

q Svaka urna sadrži kuglice uz poznatu distribuciju

q Izvukavši kuglicu iz urne, vraćamo je nazad u istu urnu

q Proces selekcije urne je stohastički

MM MM –– Primjer (1/3)Primjer (1/3)

Urna 1 Urna 2 Urna 3

9

MM MM –– Primjer (2/3)Primjer (2/3)

mProces selekcije urne

Početna urna

10

Urna 3

Urna 1 0.5

0.2

0.1

0.1

0.80.20.4

0.1

0.6

Urna 2

MM MM –– Primjer (3/3)Primjer (3/3)

mPrimjer sekvence - vidljiva su oba procesa:q Proces odabira urne

q Proces vađenja kuglice

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5

11

Urna 1 Urna 1 Urna 2 Urna 2Urna 3

Primjer sa urnama Primjer sa urnama –– skriveni Markovljev skriveni Markovljev model (HMM)model (HMM)

mVidljiv je samo proces vađenja kuglice iz urne(sekvenca je ista)q Opažamo rezultate vađenja kuglica u trenutku t

q Ne možemo opaziti koja urna je odabrana u trenutku t

q Dakle, odabir urne, tj. informacija o trenutačnom stanjuje skrivena.

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5

Urna 1,2 ili 3? Urna 1,2 ili 3? Urna 1,2 ili 3?Urna 1,2 ili 3?Urna 1,2 ili 3?

12

HMMHMM

mHMM je MM sa skrivenom sekvencom stanjaq Opažamo samo sekvencu opažanja.

q Dvostruki stohastički proces:

l Skriveni stohastički proces (sekvenca stanja)l Vidljivi stohastički proces koji generira sekvencu

opažanja

q Primjene: prepoznavanje govora, identifikacijagovornika, prepoznavanje rukopisa, raspoznavanjegesti, modeliranje jezika, praćenje objekata na temeljuvideo signala...

13

HMM HMM –– definicija (1/2)definicija (1/2)

mNotacija: λ=(A, B, π)q A: Vjerojatnosna distribucija prijelaza stanja

A= {aij }, 1≤ i, j ≤ N,gdje je N broj stanja

q B: Vjerojatnosna distribucija vidljivog simbola

B= {bj(k)}, 1≤ j ≤ K,gdje je K broj simbola

q π : Vjerojatnosna distribucija početnog stanja

π= {πi}, 1≤ i ≤ N

14

HMMHMM –– definicija (2/2)definicija (2/2)

mStruktura ovisnostiq Markovljevo svojstvo 1. reda za tranziciju

q Uvjetna nezavisnost opservacijskih parametara

15

HMM HMM –– primjer sa urnamaprimjer sa urnama

q Broj stanja: N=3.

l {1, 2, 3}

q Broj opservacija: M=4.

l {žuta, plava, crvena, magenta }

q Distribucija početnog stanja.

l π=[1, 0, 0]

16

Urna 3

Urna 1 0.5

0.2

0.1

0.1

0.8

0.20.4

0.1

0.6

Urna 2

HMM HMM –– primjer sa urnamaprimjer sa urnama

q Vjerojatnosna distribucija prijelaza stanja

q Vjerojatnosna distribucija vidljivog simbola

17

Urna 3

Urna 1 0.5

0.2

0.1

0.1

0.80.20.4

0.1

0.6

Urna 2

Osnovni problemi i algoritmiOsnovni problemi i algoritmi

mOsnovni problemi1. Estimacija stanja (filtriranje)

2. Predikcija

3. Zaglađivanje (smoothing)

l FORWARD-BACKWARD

4. Najvjerojatnije objašnjenje opservacijske sekvence

l Viterbi

5. Učenje modela

l Baum-Welch

FORWARD

18

Osnovni problemi i algoritmiOsnovni problemi i algoritmi

mOsnovni problemi1. Estimacija stanja (filtriranje)

2. Predikcija

3. Zaglađivanje (smoothing)

l FORWARD-BACKWARD

4. Najvjerojatnije objašnjenje opservacijske sekvence

l Viterbi

5. Učenje modela

l Baum-Welch

FORWARD

19

NotacijaNotacija

q Skriveno stanje – stohastička varijabla:

q Skriveno stanje – ishod:

q Opaženo stanje:

q Indeksiranje – vremenski indeks

l Raspon indeksa označavamo dvotočkom, npr.

20

Estimacija stanja (1/2)Estimacija stanja (1/2)

mOdržavati trenutačnu estimaciju stanja na onlinenačin

mPoželjno (i ostvarivo) – rekurzivna estimacija

q Na temelju estimacije stanja u prošlom vremenskomkoraku i nove opservacije, generirati novu estimaciju

21

Estimacija stanja (2/2)Estimacija stanja (2/2)

Poznato iz modela Predikcija

Forma poruke

22

Estimacija stanja Estimacija stanja –– primjer sa primjer sa urnamaurnama

m Neka je opservacijski slijed

m Tražimo:

23

Urna 3

Urna 1 0.5

0.2

0.1

0.1

0.8

0.20.4

0.1

0.6

Urna 2

Predikcija stanjaPredikcija stanja

mRekurzivni izraz – slično kao kod estimacije stanja

mPrimjer sa urnama – za vježbu.

24

Zaglađivanje (1/2)Zaglađivanje (1/2)

mA posteriori distribucija preko prošlih stanja, uzopservacije do aktualnog trenutka:

m I ovaj algoritam bit će u rekurzivnoj formi

FORWARD-BACKWARD

25

mPreostaje BACKWARD dio:

Zaglađivanje (2/2)Zaglađivanje (2/2)

Poznato iz modela

•Inicijalizacija:

26

Zaglađivanje Zaglađivanje –– primjer sa urnamaprimjer sa urnama

m Neka je opservacijski slijed

m Tražimo:

m Otprije (FORWARD):

m Dalje:

27

Urna 3

Urna 1 0.5

0.2

0.1

0.1

0.8

0.20.4

0.1

0.6

Urna 2

FORWARDFORWARD--BACKWARD, složenost BACKWARD, složenost (1/2)(1/2)

mNaivno:q Jedna rekurzija FORWARD i BACKWARD (za jedan

vremenski trenutak): O(t)

q Zaglađivanje preko cijele sekvence: O(t2)

mPametno:q Najprije izračun FORWARD i spremanje rezultata (kao

u prethodnom primjeru)

28

FORWARDFORWARD--BACKWARD, složenost BACKWARD, složenost (2/2)(2/2)

29

Najvjerojatnija sekvenca stanja (1/2)Najvjerojatnija sekvenca stanja (1/2)

mProblem: pronaći najvjerojatniju sekvencu stanjakoja je generirala neku sekvencu opažanjaq Sekvencu stanja promatramo kao put kroz graf čiji su

čvorovi moguća stanja za svaki trenutak

q Markovljevo svojstvo (prvog reda) omogućavarekurzivnu relaciju najvjerojatnijeg puta do xt+1 inajvjerojatnijih putova do svakog od stanja xt

30

Najvjerojatnija sekvenca stanja (2/2)Najvjerojatnija sekvenca stanja (2/2)

mViterbi algoritam

q Rekurzija je tipa filtriranja

q Umjesto FORWARD poruke ima desni maksimizirajućičlan

mZa vježbu: primjer sa urnama

31