A S T R 0 N 0 M I S C H E N A C H R I C H T E N. Bd, 74. 2 1766- 17'67. 14.

Ueber die Bestimmung der Genauigkeit mehrfach wiederholter Beobachtungen e i n e r Unbekannten.

w e n , fiir eine Unbekannte x a u s mehreren gleich guten Beobachtungen n,, as, ... a;, der wahrscheinlichste Werth

Cal als arithmetisches Mittel xo = - b e r e c h e t worden ist,

so ist in den meisten Fallen noch die Frage nach dem wahrscheinlichen Fehler r einer einzelnen Beobachtung, unrl dem wahrscheinlichen Fehler R d e s Resnltates x0, (die unter sich in der Beziehung stehen r = R v m ) zu beantworten.

Sine mehrfache Liisung dieser Aufgahe hat Gauss in der Abhandlung: , , B e s t i m m r l n g d e r G e n a u i g k e i t d e r Be o b a ch t u n g e n gegeben (Zeitschrift fiir Astronomie etc. Band I., MZrz und April 1816, S. 185 ff. iind Bearbeitung derselben von Encke, Bed. Jahrbuch t834 , S. 288 - 299) wornach sich T und seine wahrscheinliche Unsicberheit findet a u s einer der unendlich vielen Gleichnngen von der Form:

m

wobei E, die n t e Wurzel a u s dem arithmetischen Mittel der nten Potenzen der wahren Beobachtungsfehler, rr, und p, von n unabhhgige, sonst constante, Coeficienten und m die Anzahl der Beobachtungen bedeuten.

Von den unendlich vielen Formeln (1) ist die mit 12 = 2 erbaltene aus 2 Ursachen vor den iibrigen ausgezeichnet: erstens gilt dieselbe fiir jeden heliebigen (kleinen) Werth von m, wahrend die iibrigen auf die Voraussetzung einer s e h r g r o s s e n Anzahl von Beohachtungen gegriindet s ind ; zweitens gibt s i e den rnit der geringsten Unsicherheit (@) behafteten Werth von r.

Die praktische Anwendung dieser Formeln leidet in den meisten Fallen an einem Uebelstand, den Gauss in der angefiihrten Abhandlung noch nicht erwahnt, den er jedoch splter, mit Beziehung auf dieselbe, (1823, theoria conilina- tionis, art. 37) in Betracht zieht mit den Worten: , ,diese Methode selzt voraus, dass die w a h r e n Beobachtungsfehler in geniigender Anzahl genau bekannt seieii, eine Bedingung, welche in aller Strenge selten, urn nicht zu sagen niemals, erfiillt ist. Alle Rechner, welche s ich mit der Schatzung der Genauigkeit von Beobachtungen a posteriori beschaftigten, baben das Verfahren befolgt, d ie durch die Methotle der tleinsten Quadrate ermittelten Wertbe der Unbekannten als die wahren Werthe derselben zu behandeln; aber offenbar I& Ed.

is t dasselbe theoretisch unrichtig, und o6gleich e s in vielen Fallen far praktische Zwecke ausreichen kann, so kann es doch in anderen bedeutend fehlen. D i e g e n a u e r e B e h a n d l u n g d i e s e s G e g e n s t a n d e s i s t d a h e r d e r g r t i s s t e n M i i h e wer th ." Es wird sodann a. a. 0. fiir die Berechnung des m i t t l e r e n Fehlers p a u s w gleich genauen Beobachtungen, welche zur Bestiinmung von p Un- bekannten dienen, die Formel aufgestellt :

wobei, (wie kiinftig immer,) A die w a h r e n Beobachtungs- febler A = xo-a , und d die w a h r s c h e i n l i c h s t e n Be- obachtungsfehler 6 = xo-a bedeutet, deninach giebt die

2te Gleichung der Gruppe ( I ) nun niehr statt r = ag

die bessere Gleichung : m

wie Encke S. 284 angiebt. Uebrigens lasst s ich nicht hier- a u s der Schluss ziehen, d a s s allgemein bei Bildung der Grlissen s, in den Gleichungen (1) statt mit m mit m - 1

zu dividiren ist, so d a s s r = ocl ware, wornach - 1

Encke S. 294 rechnet (und wie auch i n der deutschen Be- arbeitung von 8aluitsch M. d. kl. Q. 111.: S. 254 angegeben ist); dagegen hat Herr Prof. Peters (Astr. Nachr. Bd. LXIV., S . 29) ein Mittel angegeben , welches in slmmtlichen Gleichongen (1) die A durch d zu ersetzen erlaubt. Es is t dieses die Naherung :

Bezeichnet man analog E, = y m . m

8; = m - so wird hiernach E, = 8: v& und

r = an Jf> 8; . . . . . . . . . . . . . . (3)

26

211 Nr. 1766. 212

und speziell: r = . Cr, wie nach Gmas,

sowie : r = a,

eine Gleichung, welche Herr Prof. Peters am a. a. 0. aufstellt. Ehe ich Zuni eigentlichen Ziel der vorliegenden Ab-

handlung iibergehe, das i n der Aufstellung solcber Formeln f ~ r r hesteht, welche von jeder A n n a h m e in Beziehung auf den wahren Werth der Unbekannten unabhangig sind, b a k e ich es hier f ~ r angezeigt, die sammtlichen Consequenzeo der Peters'schen Naherung zu ziehen :

Es kann die Frage aufgeworfen werden, wie sich in den Gleichuugen (1) die Berechnung der wahrscheinlichen

Unsicherheit von r namlich & r - gestaltet, wenn der

Umstand beriicksichtigt wird, dass die wahren Beobachtungs- fehler unbekannt sind. Es lasst sich v e r m u t h e n , d a s s dann vm- 1 statt vg zu nehmen ist; urn dieees zu h e - w e i s e n , folge ich der von Encke gegebenen Entwickelung der Gleichungen (1) (S.289 - 292) :

Mit Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen E, und E: ist der wahrscheinlichste Werth von s z :

m - 1

*) V m ( m - 1)

P v m

+ W

d-00

und zwar giebt die Auswerthung des integrals:

wobei A, ein nur von n abhangiger Coefficient ist. Da nun

R = - 9 ( p = 0,4769363) so Iblgt, indem ffir K, der

a ls heohachtet zu betrachteode Werth s: genommen wird:

r = p WFs,

r P

n

und mit p vz- - an verniage (2)

r = CL, y- - s',. . . . . . . . . .(2) 8. o. m - 1

*) Naeh Analogie dieser Gleichung hat Herr Prof. Liiroth in Carlsruhe bewiesen , dass allgemein bei n& Beobachtungen und ,u Unbekannten:

Cdl r = v m (rn- p )

(Astr. Nachr. 1740.)

Sol1 nun der wahrscheinliche Fehler von r berechnet werden, so kommt derjenige von E; in Betracht.

d t + d d , " + ... d; Nun is t ~2 = nz

und der wahrscheinlichste Werth von s'," nichts aoderes als der bei seiner Berechnung angestrehte (allerdings nie in aller Strenge zu erreichende) wahrscheinlichste Werth von E: nCmlich K n ; es findet sich daher der wahrscheinliche Fehler W von 6: in bekarinter Weise:

und mit der Gauss'schen Nlherung:

w = - m - I

hieraus vermiige (1)

[(I!!, - A;),] = m KZ + [ABn] - 2 Kn [A"] = m K ~ f K , , - 2 n i K ~ - - m K,, - ni KE

Sei nun ?u der wahrscheinliche Fehler von s; so findet eich in hekannter Weise durch DitTerenziirung:

W r u = n E'Rn -1

v2 y%k - i is t der in (1) mit B, bezeichnete n K n K n

Coefficient, somit nach (3):

Die Coefficienten C L ~ und p, sind von Gauss his n = 6 angegeben, bis n = 10 sind es die folgenden:

21 3 ffr. 1766, 914

0 1 ~ = p r w = 0,84535 j3, = 0,50968 aa = pv2 = 0,67449 j3, = 0,47694 % = 0,57719 f13 = 0,49720

a4 = 0,51250 fiq = 0,55072 @5 = 0,46555 ,B5 = 0,63551 '6 - - 0,42950 f ie = 0,75578 a7 = 0,40069 ,07 = 0,91984 a8 - - 0,37699 ,Bs = 1,14009 a9 = 0,35704 ,Eig = 1,43391

a1 0 - - 0,33996 plo= 1,82506 Ausser den Gleichungen (1) giebt Gauss noch eine

l e t h o d e , den wahrscheinlichen Fehler zn hestinirnen, welche darin hesteht, dass die Beohachtungsfehler nach ihrer ab- sioiuten Gr6sse geordnet wertlen , worauf bei ongerader An- zahl der die Mitte der Reihe einnehmende, und hei gerader Anzahl d a s MitteI aus den heiden niittleren = r genomrnen wird. 1st A' dieser Mittelweith, so ist:

(bei Gauss steht irrthiirnlich 0,7520974)

hieraus nach Analogie von (4):

r = r s d ' ( t k ........ (6)

Diese Methode ist somit in Beziehung auf Genauigkeit zwischen die Bestirnniungen ails den 6ten und 7ten Potenzen der Beohachtungsfehler zu setzen.

Es bietet noch die Untersnchong lnteresse, wie sich die Gleichuugen (4 ) gestalten, wenn, Beohachtungen von v e r s c h i e d e n e r Genaoigkeit vorliegen ; hierau dient die folgende allgemeinere Ausfiihrung des von Peters i n der Gleichung (2) ausgesprochenen Gedankens :

Man babe m Beobachtungen

Die Unbekannte sei x und ihr wahrscheinlichster Werth:

a,, a,, ... a, mit den Gewichten: PI, P z > . * * P ~

xo= - * hiermit : [PI

W [PI - B1 a, . fi a z + - a 3 + ... - - ti am - [PI [PI [PI 1st r der rvahrscheinliche Fehler einer Beobachtung vom

r r Gewicht = 1 , so. sind __ Y - ... heoiehungsmeise die

wahrscheinlichen Fehler von a,, a,,. .. sornit der wahr- scheinliche Fehler m der auf der rechten Seite der letzten Gleichung stehendeo Function dieser Beobachtungen :

V P l V P h

r = [PI -P , 271 €PI

,a = - Der wahrseheinlichete Wectk von d, ist = 0 und der

wahrscheinliche Fehler dieses Werthes ist = ru. Somit lasst sich 1~ bezeichnen a l s der ,, wahrscheinliche Werth I'

v m d,, d h r e n d I_ der ,,wakrscheialkhe Wer4h" von A,

ist. Das Verhlltniss dieser 2 wahrscheinlichen Werthe wird auch den Werthen d, und 4 selbst zuzuschreiben sein, soniit:

r

VP,

_ - Jl - m - YCPl - P1 '1 rvz- [PI

Es sei allgemein:

.......... (7) m

Man hahe nun m Beobachtungen al, a,, ... a, P l y Pz, * . f P, mit den Gewichfen

den w a h r e n Beohachtungsfehlern A,, A,, . * A m den w a h r s c h e i n l i c h s t e n Beob.-Fehler wobei : A, = clS,, alsdann lassen sich m andera Beobachtungen mit dem gleicheo Gewichte 1 denken, denen entsprecben wiirden die Fehler:

d, , d,, . . . 6 , Aa = C, d , , ... Am = cmdm

A, VP19 A, YPa, - * AmVPn* hieraus der wahrseheinliche Fehler r1 einer Beobachtung vom Gewichte 1 nach ( I ) :

Insbesondere : - PsdZ +... (*& ..................... (9) I Pl J?

r1 = N 2 r; rrP] - pt + [p] - p a Vm - 1

T1 = P V W Gjj 7 [4 Y[pl?p, + Jz Ylplpapa +.. .] (If vm%] ......... (10)

215 Nr. 1766. 216

Diese 2 Formeln sind ziemlich unbequem; s i e lassen s ich jedoch mit einem kleinen Opfer an Genauigkeit verein- fachen, indem in Gleichnng (8) die sammtlichen Coefficienten

c o ns t a n t angenon~men werden , namlich :

wobei p' den Mittelwerth !@ aller Gewichte bedeutet. Hier- m

mit wird C' = y 5 und es geht (8) iiber in: m--1

Insbesondere mit 12 = 2 die bekannte Formel:

r 1 = P O ym.. m - 1 . . ( i i ) (GerZing, S. 62.)

ferner mit I = I:

Diese letzte Gleichung ist dann hesonders bequem, wenn die Werthe v p (d. h. die Genauigkeiten oder die Reciproken der wahrscheinlichen Fehler) unmittelbar gegeben sind, was zuweilen vorkonrmt.

Die Gleichungen C 10) und ( i 1 ) sind offenbar etwas weniger genau als die entsprechenden (9) und (!O), was

s e h r v e r s c h i e d e n siiid, weshalb in diesem Falle die Rechnung nach (9) trotz der grijsseren Miihe zu empfeblen ist. Zum Nachweis der Uebereinstimmung sind im Folgenden die von Gerling S. 63 rnitgetheilten 14 Beobachtungen he- handelt mit den Resultaten :

namentlich zu beachterr ist, wenn die Gewichte pl, A,. . .pm

nach (9) r = 6,4083 (1 0 ) r = 6,2790 (1 1) r = 6,3907 (12) r = 6,2370

Die Resultate der genaueren Formeln passen etwas besser zusamnien als die der ungenaueren.

Um zu unserer Hauptaufgabe iiberzugehen, nlmlich der Aufstellung solcher Formeln fiis r, welche genauere Resultate geben als die bisherigen, und namentlich von der Kenntniss d e s w a h r e n Werthes der Unbekannten unabhangig sind, d i e d folgende Betrachtung :

Wenn zur Bestimmung einer Unbekannten 2 Beobach- tungen von den Genauigkeiten h, h' angestellt werden, so is t die Wahrscheinlichkeit Wd, dass drese 2 Beobachtuogen

urn die absolute Griisse d von einander abweichen, gleich der Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Beobachtung einen Fehler A und bei der 2ten einea solchen A & d zu begehen, also

h --"A2 h' -h'"(Af d)" e . - \/." r w

wobei A beliebig zwischen den Grenzen - w und + Q, also:

- w A m

I - w

Setzt man den Exponenten von e. . . = -t2 s o entsteht

mit Riicksicht darauf, dassJ'"dt = vr: - w

h" A'"

Diese Gleichung sagt: Die Wa!ycheinlichkeit der D i f - f e r e n z d z w e i e r Beobachtungen von den Genauigkeiteo h, 8' is t gleich der Wahrscheinlicbkeit d e s w a h r e n F e h -

h h' v @ v 1 e r s d einer Beobachtung von der Genauigkeit

D i e B e o b a ch t u n g s d i f f e r e n z e n d b e f o 1 g e n a I s o v o l l k o m m e n d a s G e s e t z d e r w a h r e n B e o b a c h t u n g s - f e h l e r A.

Wenn eine Anzahl m von Beobachtungen vorhanden ist, s o ist die Wahrscheinlichkeit, hei 2 willkiirlicheri Auswahlen a u s denselben die Differenz d zii erhalten = Wd. Die

skimmtlichen m - Differenzen kiinnen also aufgefasst

werden als Febler von ebenso vielen unabhhgigen Beob-

acbfungen, deren Genauigkeit je = -- hh' 9 wobei h und

R' jeweils die Genauigkeiten derjenigen 2 urspriinglichen Beobachtungen s iod, welche die betreffende Differenz d er- zeugt haben. Weno alle m urspriinglicben Beobachtungen von

m--i ungleicher Genauigkeit waren, s o habeo auch alle m -

2 fingirten Beobachtungsn im Allgemeinen ungleiche Genauig- keit. Waren dagegen die Genauigkeiten der ersteren sammt- lich gleich, = h , so sind auch die der letzteren einaoder

m - I 2

vr;l+p2

h gleich, = - - P

217 Nr. 1766.

Einzelne Sltce iiber die Beobachtungs f e h 1 e r lassen s icb nun unmittelbar auf Beobachtungsdi f f e r e n z e n iiber- fragen. Insbesondere i s t die , , w a h r s c h e i n l i c h e B e o h - 8 cb t u n g s d i f f e r e n 2'' 8 f i r 2 Beobachtungen von gegebener Genauigkeit h und h', analog dem wahrscheinlichen Fehler, diejenige Greuze, welche von der Differenz mit gleicher Wahr- scheinlicbkeit unterschritten und iiberschritten wird. Eine Betiehung zwischen a und r ergiebt s ich a u s Gleichung (12), es is t namlich die wahrscbeinliche D i f f e r e o z a fi ir 2 Be- obachtungen von den Genauigkeiten h undl h' oder den Gewichteo p = hz und p' = hf2 gleich dem wahrschein- lichen F e b l e r a e i n e r Beobachtung von der Genauigkeit

Also der wabr-

ecbeinliche Febler r, einer Beobachtung vom Gewichte = 1 :

Lh' P P' VhZ+ h'= P+P'

oder dem Gewichte -

rl = a v p"p. . . . . . . . . . . . (13)

und bei gleichen Gewicbten

..... a r = fi

Es is t von Interesse, d a s Wahrscheiolichkeitsgesetz cler Be- obachtungsdi f f e r e n z e n ernpiriseh zu bestatigen, in glcicher Weise, wie es Bessel niit den Beobachtungs f e h 1 e r n gethan bat. (Untersuchungen iiber die Beobachtungsfehler. Astr. Nachr. Bd. XV., S. 402 und Bearbeitung von Encke, Bciliner Jahrbuch 1834, S. 274.) Ich wahle hiezu 18 gleicb genaue Winkeiniessungen aus der Gradmessung in Ostprcirssen (8. d. Seite 78, Winkel: Mednicken -Trenk- Fuchsberg).

Grenzen. - 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 I t 12 13 14 15 16 OD

Nach ihrer absoluten Grtisse geordnet, nnd slmmtlicb urn d ie kleinste vermindert, s iod diese Beobacbtungen in Secunden:

1 0,oo 2 2,91 3 3,45 4 3,50 5 3,79 6 4,OO 7 4,32 8 4,50 9 4,50

Bus den mit Hiilfe d e s

10 4,52

12 5,OO

14 5,89 15 6,OO 16 6,25 17 6,71 18 7,25

I f 4,75

13 5,75

arithmetischeo Mittels 4,6161

Fehlervertheilung / \

Anzahl nach der Fehl1.r in O/O der Theorie. Beobachtung. theowl isclien Anzahl. - --

sieh ergebenden Werthen d erhalt man nach der 2ten Formel

der Gruype (4), namlich r = p\/2 v q den Wertb m- r = 1,1214, also die wahrscheinliche Differenz a = r v 2 = 1,5859 oach (14).

Unter Zugrnndelegung dieser 2 Werthe sind nun gaoz nach Maarsgabe d e s schon erwiihnten Beispiels (Eneke, s.274) mit Benutzung der 2ten von Encke mitgetheilten Tafel S. 309 die folgenden 2 Vergleichungen der Fehlervertheilung und de t Differenzenvertheilung niit der Tbeorie vorgenommen worden. Das constante Interval1 der Grenzen is t beziehuogsweise 0,2r und 0,2d un& es is t die (der Raumersparung wegeo nicht in aller Ausl'iihrlichkeit mitgetheilte) Tafel so auf zu fassen, dass z. B. die 3te Zeile sagt : Zwischen den Grenzeo 0 und 3. 0,Sr sollen nach der Theorie 5,66 Fehler liegen, die Beobachtung gab deren 7 und zwischeo den Grenzeo 0 und 3. 0,28 sollen nach der Theorie 48,09 Differenzen liegen, wahrend die Beobachtung 47 ergab.

1993 4 3983 6 5-66 7 7939 8 9900 9

10947 12 11979 13 12995 15 13996 15 14981 16 15952 16 169 10 17 16957 17 16994 17 17923 17 17944 17 18900 18

--lo793 -- 5 6 ~ 7 - 2377 _- 8 9 1

- 1496 - 1093 --- 1598 - 714 - 890

391 - 596 I 296 - 094 + 193 + 295

0

-

0

Mittel = 1697

Differenzenvertheilung. /

Fehler in O/O der' Theorie. Beobachtung. theoretischen Anzahl. - -- Anzahl nach der

16942 32954 48909 62981 76 9 50 89 9 00

100921 110~08 118962 125987 131 991 136986 140984 143998 146942 148927 153900

17 35 47 69 84 95

105 115 123 i 28 134 139 140 142 146 147 153

-395 -776 +2,3 -999 -998 -697 -498 -495 -397 - 1 9 7 -196 -196 +0,6 3-194 +093

0 +099

Mittel = 398

Wtt anderrr A n o r d n q g &r Grenwn behandclte icb noeh in gleichsr Weise d i e von Encke Seite 285 mitgetheilten 29 Benzenberg'schen Fallversuche sowohl in Beziehung auf die Fehler als auf die 406 Differenzen. Der wahrscheinliche -

Pollen nach der Theorie 5,46 Fehler liegen; die Beebacetueg I gah 7; und eotsprechend b e i den Differenzea Fehler ist nach Encke (aus r = p v 2 v n berechnet): m - I

r = 5,118, also d i s wabzscbeinliche Differerema a = +)f2 = 7,238. Die niit dem constantee Interval! 0,5r und 0,5a fortschreiteeden Grenzen eiod so a u h f a s s e n , d a m z. k d i e 3te Zeile sag t : Zwiechen d e n Grwgen 2, O,,5r nnd 3, 0,5a

Grenzen.

0 und 1 1 - 2 2 : 3 3 : 4 4 : 5 5 : 6 6 : m

- Fehlervertheilang.

..- -.- Amzahl nach der Fehler in O/o der

Theorie. Beobachtung. theoretischen Anzahl. - - - 7966 6 + 2197

293 6984 7 5946 7 - 2892 3990 5 - 2892 ' 2 9 48 0 +16090 1 9 4 t 4 -18397 f925 0 +too90

-

Differenzenvertheilung. .--- A

Anzahl nach der Fshler in O/O d 2 Thearie. Beobachtung. theoretisehen Anzahl. --. w r /

10792 t i t - 3x5 9598 94 + t99 7695 58 +2492 4495 $9 - 893 3497 49 - 4 9 1 t998 21 - 6 9 1 1795 14 +20 9 0

29900 29 Mittel = 6693

ES aeigt sich a u s diesen Vergleichungen, dass die IJifferenzenrertheiIusg wegen der griisseren Anzahl besser als die Fehlervertheiluog dem theoretischen Gesetze folgt.

Es handelt sich nun darum, die wahrscheinliche Differenz nnabhangig zu bestinimen, um dann den wahrscheinlichen Fehler aus ihr zu rechnen.

Hat man 1 9 ~ gleich genaue Beobachtungen, s o ergeben

dime m- = p Differenzen d, a u s denen s ich a rechnet m - 1

2

wobei En = - ; also vermiige (14): P

r = 2 o! E,(f* L). . . . . . . . . . . .(15)

I f 2 I f P

Diese Gleichungen haben 2 V o r z i i g e vor denen der Gruppe (4), namlich : 1) d a s s die wahrscheinliche Unsicher-

beit E m a l kleiner ist, und 2) dass der seiner Natur

nach hypothetische Correctionsfactor V L wegfallt, da

j a die Differenzen d g e n a u be tannt sind. Andererseits scheinen die Gleiehnngen (15) anf den ersten Blick den Nachtheil einer sehr beschwerlichen Rechnung von En zu haben. Wenn dieses auch irn Allgemeinen der Fall ist, s o lass t s ich doch e i n e r der Werthe En sehr hequenr rechnen, ohue die m - Differenzen selbst einzeln zu

Bitden, niimlicb

m - 1

m - 1 2

I4 El = -. P

40690 . 406 Mittel = 997

Wollte man die Differenzen wirklich bilden, so. wiirde man am besten alle m Beobachtungen a nach ihrer absoluten Griisse geordnet (a,, o,, . . .arn] in eine Columne schreiben. Durch Subtraction der ersten Beobachtung a, von allen fol- genden erhielte man eine Columne von (m - 1) DiiiTereszen, durch Subtraction V O R a2 von allen folgenden - 23 Differenzen a. s. f., so dam schliesslich d ie sammtliehea Differenzen in der Gestalt eines Dreiecks geordnet ersebieneeh Nach diesen Vorbereitungen l l s s t sichi d ie Rwbtigkeit der folgenden Gleichung einsehen, wobei

A, = u2-al , A, = u,-u,, . . . An-l = a,-a,,-,: [q = [n] - m . a ,

+ [ a ] - m . a , - (.z - 1)A, + [a] - m. a, - (m - I) A, - (m - 2) A2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . +[a]-m.a,-(m-t)A1-(~-2)A,-. . -2A,,-Ah,,

[dJ = m[al- ( rn"~,+(m-i)2b,+~m-2)2A,+ ... 4h,,+b,, 1 Diese Rechnung is t ausserst bequem, indem sich d ie

Coefficienten 1 , 4, 9 , 25 . . . .m% a u s dem Gedachtniss an- schreiben lassen, d a [a] ohnediess gebrawcht wird, und endlich weil die A, , A2. . . . nicht mehr BPuch - Decimalen haben, als die Beohachtungen selbriit. Vergleicht man hieniit die am meisten gebranchlichet Reehnung nach der Formel :

8.0 is t in Bezug auf B e q u e m l i a h k e i t d ie Rechnung mit fdJ vorzuzieheo , namentlich wegen der Vielzifferigkeit der Werthe 8 , in Bezug auf Geaauigkeit gleichfalls, denn d a s Genauigkeitsverhlttuiss ist :

DYtses Result& tst i n s n h n seht einleuchteqd, a ls die griissere oder geringere Uebereinstimmrrng der eineelnen Beobachtungen welche allein d a s Maass der Genauigkeit abgiebt, vie1 schlrfer zum Ausdruck komrnt, wenn alle Be- obachtungen i n a l i e n C o m b i n a t i o n e n as te r s ich ver- glichen werden, als wenn nur eine Vergleichung aller Be- obachtungen rnit e i n e m u n d d e m s e l b e n Werthe vor- gmammen wird.

Die Anwendung dcr ereten Gleichung der Gruppe ( 1 5 ) nlmlich

auf die von Gauss in der Abhandlung uber die Genauigkeit der Beohachtungen citirten 48 tlessel’schen Beobachtungen der Rectascension des Polarsterns gieht

r = 1,053 *0,016

wahrend Gauss nach der lw, %en und 3 ta Gleichung de‘r Grappe (1) beziehungsweise findet:

r = 1,065 20,078 r = 1,024 2 0 , 0 7 0 r = 1,001 +0,072

I. m = i

n =

n =

1 2 3 4%

5 6

Resultate pus ( I )

+ -

1,0898 (1 _+ 0,1124) 191575 (1 0,1172 1,2044 (I f 091298 1,2286 (1 & 0,1498) 1,4769 ( i rl: 0,4302)

~ , a m ( I f 0 ~ 5 2 0 1 )

1 ’ Resultat aue ( 5 )

\ /

1,1259 (1 f 0,1854)

Rwultate a u s (1)

5,302 (1 & 0,095)

49499 (1 f 0,140)

Resultat aus ( 5 )

DFe beste aus den Beohaebtuhgs f e h I 6 r n cu erbtdtende Bedimmung wiire iibrigens aus der 2tm Olei&ung der Grnppe (4): r = 1,035 &0,072

Die Rechnung mit den iibrigen Griissen En ist miihsam, und nur wean e s sich um Erreichung der lussers ten Ge- nauigkeit handelt, oder in den) (unten besoaders zu be- sprechenden) Falls sehr weuiger Beobachtuogen miisste mit Ez gerechnet werden.

Die Formeln rnit E3, E4 . . . haben, wie die entoprecben- den mit 86, 6;. . . keinen praktischeo Werth.

Wenn alle Differenzen geordnet vorliegen, so lasst s i c h noch nach Analogie von ( 5 ) der wahrscheinliche Fehler durch d a s Mittelglied d’ bestimmen, n2nilich

Um die Genauigkeit der verschiedenen Bestimmungen von r empirisch zu bestatigen, bahe ich die 2 oben wwahuteo Beohacbtungsreihen (I : 18 Bessel’sche Wjnkelmessungen; 11: 29 Benzmberg’sche Fallversuche) mit den Formeln (I), (4) und (l5), sowie auch ( 5 ) , (6) und (16) (io sehr miih- samer Weise) behandelt und die Resultate im Folgendeo zusamniengestellt :

p = 153.

Resultate aus (41)

~ 1,0311 ( t -& 0,1236) 1,1214 1 & 0,1157 191911 I l f 0 , 1 2 0 6 192393 (1 & 0,1336) 1,2642 ( I 0,1541 1,2100 (1 0,4427

1 Resultat aus (6)

1,1576 (1-F 0,1908)

[I. m = 29, p = 406.

Resultate aus (4)

5,396 ( I & 0,096) 59118 (1 & 0,090) 4,956 (1 3. 0,094) 4,826 (1 & 0,104) 4,702 (1 & 0,120 4,578 <(l f 0,143

Resultat a u s ~(6)

,Resultate apls (15)

\- /

i Y 1214 (1 & 0,0386 1,1490 (1 f 0,0402 1,1679 ( I f 0,0445 1,1770 (1 $-1),0514 1,1378 (1 f 0,1476)

1,0919 (1 ;t 0,0412j I Resultat a u s ( 1 6)

OE1

d’ I f 2 VP r = -{I_+

1,0465 (I _t 0,0636)

Resattate a w (15)

5 ~ 1 5 7 (1 & 0,025) 53,118 (1 f 0,024) 5,031 1 4 0,025) 4,933 I 1 4 0,027) 4,841 (1 0,032 4,756 ( I 4 0,038 I Resultat a u s (16)

4,950 (1 & 0,039) 5,914 (1 +. 0,146) 6,019 ‘(I 2 0 , 149)

2 s Nr. 1766. 2u

In diesen beiden Zusammenstellungen sind die den Wertheo r beigesetzten wahrscheinlichen Unsicherheiten auf- zufassen als aliquote Theile der w a h r e n oder wenigstens der b e s t b e s t i m n i t e n Werthe r und nur wenn blos eine einzelne Bestimmung von r vorliegt, darf die wahr- scheinliche Unaicherheit als der betreffende aliquote Theil derselben aufgefasst werden. Dieses geht aus der Ent- wickelung dieser wabrscheinlichen Unsicherheiten klar hervor,

iodem E; v ( a ) - K , gesetzt wurde, und wenn

die Sache anders aufgefasst wiirde, so ktmen Widerspriicbe zu Tage: es wurde z. B. bei I. die Bestimmung aus c1 besser erscheinen als die aus E ~ .

In beiden Zusamnienstellunqen passen die Bestimmungen aus 6; undE, sehr gut zusammen, und die fibrigen weichen von diesen nicht erheblich mehr ah , als die berechneten wahrscheinlichen Unsicherheiten gestatten , so dass also die Theorie vollkommen bestatigt wird.

Besondern Werth hat die Rechnung mit Beobachtungs- ditlerenzen i n dem in der Praxis sehr hlufigen Falle s e h r w e n i g e r Beobachtungen, weil hier die Unkenntniss d e s w a h r e n Werthes der Cnhekannten bei der Rechnung mit Beobachtungs fe h 1 e r n besonders stiirend ist. I n diesem Falle sind, wie schon zu Anfang erwahnt, nur die Be- stimmungen aus den Q u a d r a t summen hrauchbar.

Bei e i n e r Beobachtung geben ( 4 ) und ( 1 5 ) iiberein- stimmend: T = 8 (1-t. 00) was ganz der Anschauung ent- spricht.

Bei 2 Beobachtungen von gleicher Genauigkeit und der Differenz d erhalt man ebenfalls ubereinstimmend aus (4) und (15):

m n-

T = p d ( i + p , ~ = 0,47694 d { 1 f 0,47694 ]

Bei 3 Beobachtungen von der Form

a , a + ~ d , a + 2 d

erhalt man aus (4) und (15 ) beziehungsweise:

Im Allgemeinen differiren bei mehr als 2 Beobachtungen, d ie aus ( 4 ) und ( 5 ) erhaltenen Resultate, sowohl in Be- ziebung auf r als auch auf dessen Genauigkeit, letzteres zu Gunsten der Rechnung mit Differenzen. Eo geben z. B. die

4 ersten der oben mitgetheilten 18 Bessel'echen Winkel- messungen nach (4):

r = 1,1230 (i i 0,2754)

und nach (15 ) rnit n i c h t g r i i s s e r e r I i i b e :

r = 1,1215 (1f 0,1947)

Aus allen 18 Beobachtungen i d der best bestimmte Werth r = 1,1214 (s. 0.) also naber an der Bestimmung aus den Differenzen.

Hat man Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit, SO

ist nur bei massiger Anzahl derselhen die Rechnung rnit Differenzen von praktimhem Werth; e s diirfen dann nur die auf die Q u a d r a t summen gegrundeten Formeln angewendet werden.

B e i 2 B e o b a c h t u n g e n von der Form a und a + d mit den Gewichten pl und Pa ist die wahrscheinliche Differenz

somit der wahrscheinliche Fehler r, einer Beohacbtung vom Gewicht 1 nach (13):

giebt genau 'dasselbe indem

dP1 da = - PI+ P% PI + P5

dP!2 dl = -

B e i m e h r a l s 2 B e o b a c b t u n g e n differiren die Resultate zu Gunsten der Recbnung mit Differenzen. Bei

na Beobachtungen kann jede der p = rn- Differenzeo

betrachtet werden als Fehler einer Beobachtung, deren Ge- wicht q sich aus den Gewichten p, p' derjenigen 2 Beob- acbtungen, welche die Differenz erzeugt baben, bildet nacb

m - I 2

der Gleichung q = 9, P' P + P

Hat man alle diese Gewicbte gerecbnet, so findet sicb

Zur Erlhfernng miige folgendes Beiapiel dienen: 3 Ni- vellements kommen von e i n e m Punkte aus auf beziebungs- weise I, 2 , 5 Stunden langen Wegen wieder auf e i n e m Punkte zusammen mit den Resulten: a , a + 10, a + 3 0 Linien; e s fragt sicb, welcbes ist der wabrscheiulicbe Fehler des Yittels der 3 Resultate?

225 Nr. 1767. 226

Da die Gewicbte den Ljingen unigekehrt proportional sind, so se i :

p , c 10 p,= 5 p 3 = 2 ; [p] = 17

Den Differenzen : d ‘ = 10 d”- - 30 d”’ - - 20; (,u = 3)

entsprechen die Gewichte :

q‘ = 3733 g‘/= 1967 g”‘= 1 ~ 4 3 ; (&@I = 2408)

hieraus : r1 = 19, l iO ( 1 0 ,2912)

und 7‘ R = -2- = 4,635 ( l & 0,294)

VrPI Die gewlihnlicke Rechuung gieht :

a == 4,610 { 1 & 0,3603)

Die Betrachtong der Beohachtungsdifferenzen statt der Beobachtungsfehler kann endlich noch zur rationellen Be- handlung eines sonst nicht ganz klaren, in der Praxis sehr haufig vorkommenden, Falles dienen : Wenn riamlich mehrere gleich genaue Beobachtungen v e r s c h i e d e n e r G r i j s s e n j e 2 f a c h wiederholt wurden, wobei die Differenzen d,, d2, . . - d, entstanden, s o ist der wahrscheinliche Fehler r1 einer einzelnen Beobachtung aach Analogie von (1):

.-

oder wenn m nicht zu klein:

Dieser wichtige Fall kann auch mit ungleichen Gewichten vorkommen in fnlgender Form: 2 gleich genaue (Gew. = p,) Beohachtungen derselben Unbekannten halten die Differenz dl ergeben; ebenso 2 ahnliche Beohachtungen vom Gewicht p, die Differenz d2 etc.; man solll aus m solcher Doppelbeoh- achtungen den wahrscheinlichen Fehler einer Beobachtung vom Gewichte 1 berechnen.

Die Differenzen d,, dz,. . .d, klinnen betrachtet werden a l e w a h r e F e h l e r von Beobachtungen mit den Gewichten

Analogie von (11):

i & --I P” ....... (17) v m

Zur Eriauterung mage folgqndes Bekpiel clienen : die Grundlinie der Gradmessnng in Ostpreusfien ( s . d. Seite 54) wurde in 2 Theile g e t h i l t (Treak-A und A - Mednikm) und jeder Tbeile 2 ma1 geniessen; der erste von der Lange l1 c 113 Stangen gah die Di&reoz dl = 8,589 Linien:. der zweite von der Lanqe lz = 354 Stangen gab d, = 2,6911 Linien; e s fragt Ricb, was ist der wahrscheinliche Fehler R dee arithnietischen Blittds beider Resultate f i r die Gesammt- I h g e ?

Da der wahrscheinliche Fehler einer directen Langen- messung der Quadratwurzel der Lange proportional is t , so kijnnen dl und d, betrachtet werden a l s wahre Beohachtongs-

fehter zweier Beobachtungen mit den Gewichten - und

- somit nach (17):

1

1 2 4 ,-- 2 12

Die Gewichtseinheit bezieht sich auf eine Messung von der LZinge T 1 ; es ist daher der wahrscheinliche Feliler R d e s Mittels aus 2 Messungen von der Lange l1 + l,:

467 2 354

- - -!!- vg (0,589)” f - (2,691)%

R = 0,7905 { 1 f 0,3372)

A. a. 0. findet sicb d a s Resultat:

M i t t l e r e r F e h l e r = 1,657

also w a h r s c b e i n l i c h e r Febler = 1,1176

Dieses is t v2 ma1 so grass als unser Resultat.

Die im bisherigen behandelte Methode der Beohsehtungs- d i f f e r e n z e n llsst sicb auch auf Gehrere Unbekannte ah- wenden, zu deren Bestimmuog eine d a s Bedurfniss iiber- schreitende Aozahl von Gleiehungen durch Beobachtungen gegeben s ind; indessen werden die biezu dienenden Formeln sehr complicirt, so dass s ie wenig praktischen Werth haben.

C a r 1 sr u b e , t 869 Jnli 4. prof. w. Jordan.

I C Bd. 15