UCurs 12

CALCULUL STRUCTURILOR METALICE IN

DOMENIUL PLASTIC

1. Generalitati

La elementele ncovoiate in domeniul elastic, deformaiile au o variaie liniara pe inaltimea seciunii. Deoarece eforturile sunt proporionale cu deformaiile, variaia lor pe seciune rezulta teoretic liniara

In domeniul plastic, modul de repartizare a tensiunilor pe seciune se modifica in funcie de diagrama . Pentru otelul cu palier de curgere, se poate adopta in calculele practice diagrama materialului elasto-plastic ideal, sau diagrama Prandtl

Diagrama pentru oteluri cu palier de curgere distinct: a) reala; b) convenionala (Prandtl)

In cazul otelurilor cu palier de curgere, repartizarea tensiunilor in seciune au o variaie liniara pana la atingerea limitei de curgere. Dup aceasta valoare, tensiunile raman constante, dar in fibrele plastificate se dezvolta in continuare deformaii

Deformaiile fibrelor au valori mult mai reduse dect cele rezultate la ntindere pura, deoarece miezul elastic mpiedica deformaiile mari ale fibrelor exterioare deja plastificate.

URelaia dintre metoda de calcul si clasa sectiunii

Determinarea eforturilor in elementele structurale se poate face pe baza unei analize globale elastice sau plastice

In analiza globala elastica materialul se comporta elastic (este valabila legea lui Hooke) pe tot domeniul de ncrcare. In conformitate cu prevederile din EN 1993-1-1, eforturile interne trebuie limitate la rezistentele plastice ale seciunilor (pentru seciuni de clasa 1 si 2) sau elastice (seciuni de clasa 3 si 4).

UEx. - elemente ncovoiate

In analiza globala plastica, dup atingerea limitei de curgere se permite redistributia eforturilor pe seciune dar si intre diferite seciuni, ceea ce conduce la formarea articulaiilor plastice pana cnd se atinge mecanismul de cedare (daca nu se formeaz mecanisme plastice locale ex. mecanism de bara, mecanism de nod, mecanism de nivel)

Ramura 1

Forta elastica critica de flambajForta

Deplasare

Forta critica de flambaja cadrului deteriorat

Prima articulatie plastica

A doua articulatie plasticaRamura 2

Ramura 3 Ramura 4 Mecanismul de cedare

L2EPP

V H

H V

V H

V H

l

h

Rspunsul for-deplasare intr-o analiz elastic-perfect plastic

UCondiii pentru aplicarea unei analize plastice

UExemple:

UHala parter, cadre din elemente sudate cu seciuni de clasa 3

Analiza elastica, metoda de verificare a seciunii elastica

UCladire multi-etajata, cadre din profile laminate, sectiunii de clasa 1 Analiza elastica sau plastica, metoda de verificare a seciunii plastica (elemente cu seciuni de clasa 1)

2. Comportarea si calculul elementelor solicitate in domeniul elasto-plastic Extinderea plastificarii depinde de ncrcare si de lungimea palierului de

curgere Pana la valoarea momentului ncovoietor care produce curgerea de fibra,

denumit moment elastic ( el yel,Rd0

fM

M

W

= ), deformaiile seciunii si ale grinzii

cresc liniar Cnd plastificarea a ptruns in seciune, deformaiile cresc mai repede iar

momentul tinde ctre valoarea momentului plastic M Bpl,RdB. Momentul ncovoietor al seciunii dreptunghiulare plastificata parial, fata de

axa neutra este (vezi figura de mai jos):

2 22 2 1;

2 4 4 3 2 4 12p y y ybh h bc c h c

M f f b f

= =

(1)

Daca se considera valoarea c egala cu zero, se obin in final momentul plastic al seciunii si modulul de rezistenta plastic, a cror expresie este, pentru seciunea dreptunghiulara:

2

;4p y

bhM f=

2

4pbh

W = (1)

Daca raportam modulul de rezistenta plastic la cel elastic, obinem:

2

4p ebh

W k W= = (2)

o In cazul seciunii dreptunghiulare, raportul k are valoarea 1.5. o Pentru seciunea dublu T, raportul k are valoarea 1.12-1.17 o Pentru o seciune circulara plina, raportul k are valoarea 1.7 o Pentru o seciune tubulara, raportul k are valoarea 1.27

In seciunea in care a ptruns complet plastificarea, se formeaz o articulaie

plastica. Aceasta este caracterizata prin rotiri importante. Spre deosebire de articulaia mecanica, articulaia plastica se ncarc cu un moment egal cu momentul plastic MBpB

Figura urmtoare prezint variaia plastificarii pe lungimea grinzii

3. Comportarea elementelor supuse la solicitri repetate de ncovoiere in domeniul plastic 3.1 Incarcari si descrcri repetate

ncercrile experimentale pe elemente supuse la ncovoiere in domeniul elasto-plastic au artat ca, la descrcare, piesa se comporta aproape elastic, pstrnd insa dup ndeprtarea incarcarii o deformaie remanenta

La o noua ncrcare, piesa se comporta elastic pana la valoarea momentului de

la care s-a produs descrcarea. Intre cele doua curbe apare aa-numita Ubucla de histerezisU, datorita comportrii

elastice imperfecte a metalului. La descrcare, rezulta tensiuni remanente care se echilibreaz in interiorul

seciunii. Acest fenomen se poate explica prin faptul ca o parte a fibrelor a rmas in domeniul elastic si tinde ca dup descrcare sa revin forma iniiala, in timp ce restul fibrelor au suferit deformaii remanente.

3.2 Comportarea la aciunea momentelor ncovoietoare de sens contrar

Efectul Bauschinger apare si la elementele ncovoiate solicitate in domeniul plastic de momente de semn contrar

Acestea se manifesta prin reducerea domeniului elastic la solicitarea de sens contrar, a.i. amplitudinea domeniului elastic (intervalul de la MB+B la MB-B) ramane constanta si egala cu dublul valorii momentului maxim elastic (M BelB = WBelBfByB) al grinzii naintea primei incarcari.

3.2 Cedarea elementelor incovoiate datorita unor deformatii plastice ale fibrelor

exterioare in rgim de solicitare alternanta

In cazul unor solicitri alternante care produc o plastificare accentuata a seciunii, este posibila cedarea elementului ncovoiat. Fenomenul se mai numete si oboseala sub un numr redus de cicluri sau oligo-ciclica (low cycle fatigue). ncercrile au pus in evidenta ca, in cazul deformaiilor mari ( 0.3% > ), numrul de cicluri N care provoac ruperea depinde de amplitudinea deformaiilor impuse.

4. Influente asupra valorii momentului plastic 4.1 Influenta tensiunilor remanente (de origine termica sau mecanica)

In domeniul solicitrii statice, tensiunile remanente nu influeneaz valoarea momentului ncovoietor plastic, astfel ca diagrama de tensiuni corespunztoare momentului plastic MBplB, are aceeai forma .

In fazele intermediare insa, pot fi diferite repartizri de tensiuni, toate echilibrndu-se in sa cu momentul exterior corespunztor

4.2 Influenta forei tietoare

Prezenta forei teietoare intr-o seciune conduce la reducerea momentului plastic capabil

Condiia de plastificare in cazul prezentei tensiunilor si este data de relaia (criteriul Von Misses), ex. stare plana de tensiuni:

2 23 c + = (3)

Distributia concomitenta a tensiunilor si poate fi considerata dup diferite scheme - cea mai apropiata de realitate este cea in care ambele tensiuni actioneaza pe toata seciunea (cazul a)). Calculul fiind insa complicat, se pot adopta ipotezele simplificatoare din figurile b) si c).

In cazul din figura b), relaia de interaciune M-T (T V Uin notatie EurocodeU) este:

2

21

p p

M T

M T+ = (4)

In cazul din figura c), relaia de interaciune M-T este:

2

2

31

4p p

M T

M T+ = (5)

In general, influenta forei tietoare este redusa. Rezultatele ncercrilor experimentale au confirmat faptul ca atta vreme cat fora tietoare din grinda poate fi preluata de inima integral plastificata, influena asupra momentului plastic capabil al seciunii poate fi neglijata

4.3 Influenta forei axiale

In cazul prezentei forei axiale intr-o seciune, deformaia plastica va fi compusa dintr-o deformaie BNB si o rotire ce corespund celor doua solicitri N si M.

La o seciune dreptunghiulara, diagrama de tensiuni in stadiul plastic se considera formata dintr-o parte alctuind un cuplu (produsa de M) si o alta parte, produsa de fora axiala N. Se obine

Daca notam Np = bhBcB, relaia (7) devine:

adica:

(6) (7)

(8)

La o seciune dublu T, la care c nu depaseste inaltimea inimii (vezi figura urmtoare, se obine:

2

, 4i

x p x c

t cM M = si

2

, ,

14

x ic

p x p x

M t c

M W=

i c i

p c

t c t cN

N A A

= = si deci

p i

N Ac

N t=

Daca nlocuim valoarea c in relaia (9), obinem:

In figura urmtoare sunt trasate curbele N/NBpB M/MBpB pentru doua tipuri de

seciuni

Daca N/NBpB < 0.15, se poate neglija efectul forei axiale deoarece efortul N este preluat de o zona redusa din inima c si nu afecteaz sensibil momentul ncovoietor. Daca raportul N/NBpB > 0.15, atunci relaia (11) se poate nlocui cu:

(11)

de unde:

(12) (13)

(9) (10)

Relaia de interaciune (13) pentru ncovoiere dup axa maxima este ilustrata in figura urmtoare. Aceasta relaie acoper majoritatea cazurilor practice.

Daca ncovoierea se produce dup axa minima, se considera ca inima nu participa la preluarea momentul ncovoietor.

De aceea, daca:

0 i

p

AN

N A , atunci

,

1y

p y

M

M=

Daca 1ip

A N

A N , partea din

p

N

Ncare depaseste raportul 0.30i

A

A reduce

momentul plastic al tlpilor si in locul variaiei liniare vom avea o relaie de tip parabolic data de formula:

(14)

(15)

5. Capacitatea de deformare plastica sub aciuni seismice

Atunci cnd structurile metalice sunt supuse unor miscari seismice puternice, este posibil ca in anumite seciuni sa se depaseasca stadiul de comportare elastica si sa se formeze articulaii plastice. Producerea acestor deformaii plastice (rotiri plastice) contribuie la disiparea energiei seismice induse. Astfel, luarea in calcul a capacitatii structurii de deformare in domeniul post-elastic permite reducerea forelor seismice de calcul in structura. Acest lucru nu este posibil in cazul structurilor care, din cauza capacitaii reduse de disipare (elemente cu seciuni zvelte clasa 3, 4, materiale fara proprietati plastice, etc), nu pot disipa energie prin deformaii plastice.

Comportare ductila Comportare fragila

Cldirile rezistente la seism pot fi deci proiectate n concordan cu unul din urmtoarele doua concepte privind rspunsul seismic al structurilor:

a) Comportare disipativ - o parte din energia seismica este preluata prin deformaii plastice in anumite seciuni din structura. Structurile proiectate dup conceptul (a) trebuie s aparin claselor de ductilitate a structurii M sau H.

b) Comportare slab disipativ - starea de eforturi i deformaii este evaluat pe bazele unui calcul n domeniul elastic

Conceptul de proiectare Factor de

comportare q

Clasa de ductilitate

cerut

Structuri cu disipare mare

q 4,0 H (mare) a

Structuri cu disipare medie

2,0 q < 4,0 M (medie)

b Structuri slab disipative

q = 1,0 L (redus)

UConceptul disipativ de proiectare

Pentru a putea proiecta o cldire in conformitate cu conceptul disipativ, trebuie satisfcute cerine specifice n ceea ce privete ductilitatea locala si globala. Astfel, in ceea ce privete ductilitatea locala a elementelor, aceasta se asigura in principal prin limitarea clasei seciunilor si utilizarea unor oteluri cu proprietati plastice. In conformitate cu normativul P100/2006 elementele trebuie sa satisfac urmtoarele cerine:

a) Raportul dintre rezistena la rupere "fBuB" i rezistena minim de curgere "fByB" va fi cel puin 1,20, iar alungirea la rupere va fi cel puin 20%. Oelurile folosite n elementele structurale cu rol disipativ vor avea un palier de curgere distinct, cu alungire specific la sfritul palierului de curgere, de cel puin 1,5%.

b) Corelarea dintre capacitatea global a structurii de a disipa energia (clasa de ductilitate), exprimat prin factorul de comportare q i ductilitatea local a elementelor, exprimat prin clase de seciuni este indicat n tabelul urmtor.

Clasa de ductilitate Factorul de comportare q Clasa de seciune

H q > 4,0 clasa 1 M 2,0 < q 4,0 clasa 2 sau 1 L q = 1,0 clasa 3, 2 sau 1

Factorul q exprima capacitatea structurii de disipare a energiei. Acesta depinde de

raportul dintre fora seismica orizontala elastica (care conduce la formarea primei

articulaii plastice) si cea corespunztoare mecanismului de cedare BuB/B1

c) In plus, in funcie de tipologia structurii, norma prevede anumite cerinte pentru zonele potenial plastice. De exemplu, pentru structurile in cadre necontravantuite, in zonele potenial plastice trebuie ca momentul plastic capabil i capacitatea de rotire a seciunii s nu fie diminuate de eforturile axiale i de forfecare. Pentru aceasta trebuie ndeplinite urmtoarele condiii :

0,1M

M

Rd,pl

Ed

(16)

15,0N

N

Rd,pl

Ed

(17)

5,0V

V

Rd,pl

Ed

(17) in care:

NBEdB, MBEdB, VBEdB sunt eforturile de proiectare, respectiv fora axial, moment ncovoietor i fora tietoare de proiectare din gruparea de ncrcri care include aciunea seismic

NBpl, RdB, MBpl,RdB, VBpl, Rd B sunt eforturile (capabile) plastice de proiectare ale seciunii