U1. Integrales Multiples

Clculo de varias variables II Unidad 1. Integrales mltiples

Educacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas 1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

Clculo de varias variables II

6 cuatrimestre

Unidad 1. Integrales mltiples

Clave:

050920622/060920622



Contenido

Licenciatura en Matemticas ....................................................................................................... 1

Unidad 1. Integrales Mltiples ..................................................................................................... 4

Presentacin de la unidad ............................................................................................................ 4

Propsitos de la unidad ................................................................................................................ 4

Competencia especfica ................................................................................................................ 4

1.1. Integral doble ........................................................................................................................... 4

Actividad 1. Anlisis de la integral doble ................................................................................. 5

1.1.1 Definicin y propiedades .......................................................................................................... 5

1.1.2 Principio de Cavalieri y Teorema de Fubini ......................................................................... 8

1.1.4. rea, volumen, momentos de inercia y centros de masa ........................................... 16

1.1.5. Teorema de cambio de variable ........................................................................................... 20

1.1.6. Integrales dobles en forma polar (cambio de coordenadas) ....................................... 22

1.1.7. Integrales impropias ............................................................................................................... 24

Actividad 2. Solucin de Integrales Dobles ......................................................................... 24

1.2. La Integral triple .................................................................................................................... 25

1.2.1. Definicin y propiedades....................................................................................................... 25

1.2.2. Integrales triples sobre regiones acotadas y determinacin de lmites de

integracin............................................................................................................................................ 26

1.2.3. Volumen de una regin en el espacio ................................................................................ 30

1.2.4. Centros de masa y momentos de inercia en tres dimensiones .................................. 31

1.2.5. Valor promedio de funciones en el espacio ..................................................................... 32

1.2.6. Cambio de variable para integrales triples ....................................................................... 33

1.2.7. Integrales triples en forma esfrica y cilndrica .............................................................. 34

Actividad 3. Solucin de Integrales Triples .......................................................................... 35

Autoevaluacin ............................................................................................................................. 35



Evidencia de aprendizaje: Integrales mltiples .................................................................... 36

Autorreflexiones ........................................................................................................................... 37

Cierre de la unidad ....................................................................................................................... 37

Para saber ms.............................................................................................................................. 37

Referencias Bibliogrficas ......................................................................................................... 38



Unidad 1. Integrales Mltiples

Presentacin de la unidad

Dentro de las aplicaciones del clculo vectorial, las Integrales mltiples y sus propiedades nos

brindan las herramientas necesarias para resolver problemas que pueden estar relacionados

con volmenes, reas, centros de masa, momentos de inercia, valores promedio etc.

En la unidad 1 se estudian dos subtemas: Integrales dobles e Integrales triples.

El subtema de Integrales dobles nos muestra los teoremas de Fubini y de Cavalieri, as como

el cambio de variable, operaciones que permiten el clculo de integrales dobles en regiones

rectangulares y no rectangulares. Despus utiliza estos resultados para aplicarlos en problemas

especficos.

El segundo subtema corresponde a las Integrales triples, se retoman resultados de Integrales

dobles y se adaptan para integrales triples para facilitar la solucin de problemas especficos.

A lo largo de la unidad, se presentarn en fondo color rosa las definiciones, teoremas y

propiedades, mientras que en fondo verde se mostrarn los ejemplos.

Propsitos de la unidad

Aplicar los teoremas (Fubini, Cavalieri y cambio de variable) y propiedades de la integral

doble y triple para resolver problemas de rea, volumen, centros de masa, valor

promedio y momentos de inercia sobre regiones rectangulares y no rectangulares

(generales).

Representar en su forma polar integrales dobles y la representacin cilndrica y esfrica

para integrales triples

Competencia especfica

Utilizar los teoremas y propiedades de las integrales mltiples para resolver problemas

especficos.

1.1. Integral doble

En la asignatura de Clculo integral, se define la integral de una variable como una suma de

Riemann, en esta asignatura la integral doble es un caso particular de sta.



Debes tener presente los conceptos de continuidad, lmite, teoremas y propiedades para

integrales de una variable, cambio en los lmites de integracin, derivadas de n-esmo

orden, derivadas parciales, funciones lineales y conocimientos slidos de geometra

analtica.

1.1.1 Definicin y propiedades

Imagina que la figura 1, muestra una curva sobre un rectngulo. Si vas a calcular el volumen

bajo la curva, es necesario obtener el volumen de cada uno de los rectngulos (fig. 2), es decir:

Actividad 1. Anlisis de la integral doble A travs de esta actividad podrs utilizar las definiciones y teoremas para interactuar con tus

compaeros en el foro.

instrucciones

1. Investiga el concepto general de una integral doble, sus aplicaciones y que es un

cambio de variable.

2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas.

Qu es una integral doble?, Cules son sus aplicaciones? Cmo ayuda a la solucin de integrales dobles el cambio de variable?

3. Revisa las respuestas de tres de tus compaeros aceptando o rechazando su

respuesta.

Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin

Material de apoyo.



Figura 1 Figura 2

La integral doble se define de la siguiente forma:

( )

( )

Una funcin de dos variables es integrable si el lmite de la definicin anterior existe. La

expresin ( )

, se conoce como la doble suma de Riemann. As, cada

rectngulo tiene rea y altura (

), la suma de todas ellas es el volumen aproximado

de la curva.

Es importante sealar que dentro de la definicin de integral, el punto muestra es cualquier

punto sobre R, algunos autores proponen usar como punto muestra, la esquina superior

derecha de cada rectngulo de R. En tal caso, la definicin se escribe de la siguiente forma:

( )

( )

Ahora sabes cmo se define la integral doble, es momento de aplicarla en un ejemplo utilizando

sumas de Riemann. Recuerda que nuestra funcin debe ser positiva para que tenga sentido

hablar de volumen.

Ejemplo

Aplica la suma doble de Riemann, para encontrar el volumen aproximado del slido

, divide el rectngulo , - , -, en cuadros de igual rea. Toma como punto muestra, la esquina superior derecha de cada rectngulo y m,n = 3.

Solucin:

Identifica qu tipo de slido define la ecuacin , en este caso es un paraboloide.



Propiedades

Sean f y g integrables sobre el rectngulo R, con k una constante. Las siguientes propiedades

son vlidas para cualquier integral doble.

Localiza los puntos muestra en R, ya que con ellos obtendrs la aproximacin.

Cuando en los ejercicios/problemas no se mencione el tamao de los , es conveniente

establecer cul vamos a utilizar, en este caso , es decir cada rectngulo tiene rea 1. Evala los puntos muestra (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) y (3,3), en la

ecuacin . Escribe la definicin que necesitas, y desarrolla:

( )

Solucin de Integrales triples

f(1,1)A + f(1,2) A+ f(1,3) A+ f(2,1) A+ f(2,2) A+ f(2,3) A+ f(3,1) A+ f(3,2) A+ f(3,3) A= 23(1) + 20(1) + 15(1) + 20(1) + 17(1) + 12(1) + 15(1) + 12(1) + 7(1) = 141.

, ( ) ( ) - ( ) ( )

La integral doble es lineal:



1.1.2 Principio de Cavalieri y Teorema de Fubini

El principio de Cavalieri, tambin conocido como el mtodo de las secciones transversales, se

utiliza para aproximar el volumen de un slido. En la asignatura de Clculo Integral, el volumen

se obtiene usando la frmula ( )

. Imagina que tienes un slido cuya rea de su

seccin transversal es A(x), que se encuentra a una distancia d del plano de referencia, como

en la figura 1.

Figura 1

Al aplicar sumas de Riemann, se tiene que la aproximacin anterior es igual a:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Satisface homogeneidad:

Es montona, siempre que f(x,y) g(x,y).

Es aditiva, cuando , de tal forma que f es acotada e integrable en cada

uno de los Rij.



( )( ) .

Para integrales dobles, el principio de Cavalieri toma como seccin transversal, los cortes

perpendiculares a los planos x e y en cierto dominio como se muestra en la figura 2.

Figura 2

Sea ( ) sobre una regin rectangular , - , -, fija un punto , al evaluarlo

en la funcin, obtenemos una nueva expresin ( ). Por estar sobre una regin acotada

es continua en , entonces podemos definir al rea de esta seccin transversal como:

( ) ( )

De igual forma, el rea de la seccin transversal para el punto , en el plano es:

( ) ( )

El principio de Cavalieri afirma que ( )

, al aplicarlo a integrales dobles, el volumen

queda definido como:

( )

, ( )

-

.

El procedimiento anterior tambin se conoce como Integrales Iteradas.

Ejemplo

Utiliza el criterio de Cavalieri para obtener el volumen de la regin definida por la ecuacin



, -

.

Solucin:

Resuelve primero la integral que est dentro de los corchetes:

,( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )-

,( ( ) ) ( ( ) )- ,( ) ( )-

Y sustituye el resultado en la integral original , -

.

Ahora tienes una integral de una variable para resolver.

,( ) ( ( ) ( ))-

,( ( )) (0 + (1))] = 2

Cuyo resultado es: , -

=

Teorema de Fubini: Sea f una funcin continua, sobre el rectngulo , - , -, entonces se cumple:

( ) ( ) ( )

Demostracin:

Para demostrar: ( )

( )

Toma una particin de magnitudes iguales en , -, tales que , y

define la funcin.

( ) ( )

Ya que la funcin es acotada y continua porque as la definiste, aplica el teorema del valor

medio para integrales. Por lo tanto



( ) ( ( ))( )

Siempre que los pertenezcan a la particin .

Obtn el lmite de las sumas de Riemann de la siguiente igualdad.

( )

* ( )

+

( )( )

Donde los de magnitudes iguales, pertenecen al intervalo , -,y el

punto , -.

Define el punto ( ( )) , y lo aplicas a F.

( ) ( )( ))

( )

( )

( )( )

Con esto queda demostrada la siguiente igualdad.

( )

( )

Para demostrar la segunda igualdad, el procedimiento es el mismo, por lo tanto es validada

siguiente igualdad:

( )

( )

Ejemplo

Calcula el volumen del slido , si est sobre el rectngulo , - , - donde son cualesquiera nmeros reales.

Solucin:

Escribe la integral que se ha de resolver:.

, -



Resuelve la integral con respecto a

( )

( )

Sustituye el resultado en la integral original.

( )

( )

0

( ) 1

El teorema de Fubini es utilizado para evaluar funciones positivas y negativas, sin embargo el

clculo de volmenes se restringe a rectngulos, en esta parte de la asignatura aprenders a

integrar regiones no rectangulares (generales).

1.1.3. Integrales dobles sobre regiones acotadas no rectangulares

Definicin: Si es una regin no rectangular sobre el plano , tal que . Sea ( ) continua y acotada (excepto tal vez en la frontera de ), se define la integral de sobre , de

la siguiente forma:

( ) { ( ) ( ) ( )

En la demostracin del teorema de Fubini, definiste a , que por construccin es continua

sobre . Las regiones del tipo I, II y III que estudiars a continuacin, se resuelven como

integrales iteradas.

Definicin de integral iterada:

( ) ( )

2 Regiones tipo I

Es momento de aplicar la integral doble en regiones no rectangulares (generales). La figura 4,

muestra algunos ejemplos de regiones tipo I.



Fig. 4

Definicin:

Una funcin continua ( ), sobre una regin del tipo I satisface:

Si *( ) ( ) ( ) +, entonces:

( ) ( )

( )

( )

Ejemplo

Sea ( ) la superficie cuya regin son las rectas , y . Aplica la definicin anterior, para evaluar la integral.

Solucin:

Primero escribe la integral a resolver, en este caso ( ) .

Establece los lmites de integracin para e . Ya que , entonces las funciones ( ) , y ( ) , sern los lmites de integracin para .

Recuerda que para saber dnde se intersectan dos funciones, debes igualarlas, ya que al

resolver la igualdad

, obtienes los lmites de integracin para .

Reescribe toda la integral con los datos que tienes y procede a resolverla.

, -

,

-

( )

(

)

.



Regiones tipo II

Para una funcin continua ( ), sobre una regin del tipo II que satisface:

*( ) ( ) ( ) +, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

La figura 5 muestra algunos ejemplos de regiones tipo II.

Fig. 5

Ejemplo

, - ,

( )

-

Encuentra el volumen bajo la curva de la siguiente ecuacin: ( ) , que se encuentra

entre , 1, y .

En este ejemplo te proporcionan los lmites de integracin, por ello ya no es necesario

calcularlos.



Regiones del tipo III

Las regiones del tipo III son una combinacin del tipo I y II, eso quiere decir que puedes

resolverla como una regin del tipo I II.

Es importante que analices la informacin proporcionada al momento de resolver una integral,

ya que habr mtodos que te ayuden a simplificar los clculos: Las regiones de tipo II son un

buen ejemplo de ello.

Ejemplo

Calcula el valor de la funcin ( ) , que se encuentra entre la parbola

y la recta .

Encuentra los lmites de integracin en trminos de e , para determinar cul de los dos es

ms sencillo de evaluar en la integral.

Despeja , e iguala las funciones para obtener los lmites con respecto a .

Eleva al cuadrado , ambos trminos definen una ecuacin de segundo grado, a

saber , ahora iguala a cero para obtener los puntos de interseccin con respecto

los ejes e .

Los lmites de integracin son .

Ahora despeja con respecto a las ecuaciones y , al igualar tendrs que

, cuyas races son .

En la figura 6, se observar la regin que vas a calcular, sin embargo si escoges te

enfrentas a que algunas de las soluciones son imaginarias, adems de que el clculo de la

integral

, es ms complicado que la integral

.

Fig. 6



Escribe la integral a resolver:

.

, -

( )

-

1.1.4. rea, volumen, momentos de inercia y centros de masa

En este subtema de la asignatura, usars lo aprendido para calcular integrales dobles

relacionadas con aplicaciones.

rea:

Otra propiedad de las integrales dobles, para funciones del tipo ( ) , es el clculo del

rea de la regin .

( )

Ejemplo

Obtn el rea delimitada (Figura 1) por las rectas , y . Sustituyendo en la

frmula de rea, se tiene que , -

.

Figura 1

Volumen:

Existen diferentes formas de encontrar el volumen de un slido sobre una regin .



Una de ellas se utiliza para funciones positivas ( ( ) ), sobre una regin . Se calcula

como el volumen ( ) , utilizado en los ejemplos anteriores.

Para funciones del tipo ( ) ( ) , donde la regin es la proyeccin

de las superficies y sobre el plano, la integral es:

( ) ( ) . La figura 2 muestra un ejemplo de este caso.

Fig. 2

Ejemplo

Hallar el volumen que se encuentra entre y los planos

y .

Solucin:

La integral que vas a resolver es:

,

-

.

Centros de masa:

Definicin: Las coordenadas ( ) del centro de masa de una regin plana sobre , cuya

funcin de densidad se expresa como ( ). Tiene las siguientes ecuaciones.

( ) ;

( ) y ( )



Es importante sealar que algunas regiones tienen la funcin de densidad constante, es decir

( ) , y se calcula de igual forma que la integral constante de una variable.

Ejemplo

Encuentra el centro de masa ( ) de una lmina plana triangular con vrtices

( ) ( ) ( ), cuya funcin de densidad es ( ) .

Primero calcula todas las integrales que necesitas:

,

- ( )

, ( ) -

, ( ) -

Ahora sustituye en la frmula original cada integral obtenida.

;

Las coordenadas del centro es la pareja .

/

Momentos de Inercia:

El momento de inercia de una superficie plana de masa alrededor de los ejes coordenados y

el origen se definen como:

( ) ( )

( ) ( )

Ejemplo

Calcula el momento de inercia sobre el eje , de la regin plana limitada por la parbola

y las rectas e , la funcin densidad es ( ) .

Primero obtn los lmites de integracin y despus sustituye los datos en la frmula para

resolver la integral.



, ( )

-

( )

El teorema del valor medio, es una herramienta que te facilita conocer el valor aproximado de

una integral. La funcin sobre la que se trabaja debe ser continuay tener al menos un mximo y

mnimo sobre .

Teorema del valor medio para integrales dobles: Sea una regin no rectangular, tal que

es continua, entonces para algn punto ( ) , se tiene.

( ) ( ) ( )

Ejemplo

Sea ( ) continua sobre *( ) +, ya que se encuentra sobre una regin cerrada y acotada, tiene mximo y mnimo.

Sigue el procedimiento del teorema del valor medio.

1. Primero encuentra el mximo y mnimo de ( ). 2. Obtn los puntos crticos de y , al compararlosse tiene que tiene un mximo

en ( ) y un mnimo en ( ) .

3. Evala la integral

, cuya rea de ( ) . Por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) y ( ) ( ) ( )( ).

De ah que:

Al calcular la integral sabes que el valor exacto es



El teorema del valor medio se utiliza para acotar el valor de la integral como en el ejemplo

anterior. Es importante recordarte que debes tener presente los conocimientos aprendidos en la

asignatura de Clculo de varias variables I.

1.1.5. Teorema de cambio de variable

Algunas integrales necesitan un cambio de variable para que su clculo sea ms sencillo, as

que para que puedas aplicar dichos cambios de variable, es necesario establecer la teora que

te permita hacerlo.

En la asignatura de Introduccin al lgebra estudiaste qu tipo de funciones existen (inyectiva,

suprayectiva y biyectiva), un ejemplo particular de ellas, son las funciones Inyectivas /uno a

uno, que te sern de gran ayuda en esta seccin.

Sea subconjunto de , funcin definida como ( ) , es decir el conjunto de

puntos ( ) , tales que ( ) ( ) para algn ( ) .

Recordando: una funcin es uno a uno sobre , si para todo ( ) y ( ) , la funcin

( ) ( ) implica que y .

Cuando se realiza un cambio de variable, se emplea un teorema que te permitir realizar los

cambios necesarios para que los clculos sean vlidos.

Definicin:

Sea con primera derivada continua, que define a ( ) y ( ). El

Jacobiano de , se define como:

( )

( ) |

|

Teorema: Cambio de variable para integrales dobles, Sea , tal que ( ) y

con su primera integral continua y es uno a uno en . La siguiente igualdad se satisface.

( ) ( ( ) ( ))

|

|



Ejemplo:

Sea la regin acotada por las parbolas ( ) ( ), con ( ) y

( ) . Utiliza el cambio de variable y , para calcular la integral de

( ) y disea la nueva superficie despus del cambio de variable.

Solucin:

Obtn los lmites de integracin para la regin . Al igualar ambas parbolas, tendrs que

, y al resolver cada parbola por separado da como resultado que . Con

estos productos esboza la regin (Figura 1).

Fig. 1

Resuelve el sistema de ecuaciones con los puntos que obtuviste de la interseccin del eje

con el punto de interseccin entre ambas parbolas adems del origen.

Estos puntos son ( ) ( ) ( ) y ( ).

Por la forma en que est definido el cambio de variable, observa que el punto ( ) se enva al

( ) (origen del plano ); ya que el sistema , tiene como solucin

.

Para el punto ( ) escribe el siguiente sistema de ecuaciones:

,

La solucin del sistema es

Por lo tanto ( ) ( )



Siguiendo el mismo procedimiento, obtendrs que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Cuando escribas los puntos obtenidos en el plano, se logra la nueva regin como lo

muestra la figura 2.

Figura 2

Una vez que obtengas los lmites de integracin para el plano , escribe la frmula para

calcular la integral.

( )

( )

, ( ) ( ) - , ( )

-

Donde ( )

( ) ( ).

1.1.6. Integrales dobles en forma polar (cambio de coordenadas)

Ya que tienes la herramienta que te permite cambiar las variables de una integral, estudiars

un caso particular de mucha ayuda en funciones que involucran circunferencias y otras regiones

similares.



Definicin:

Sea ( ) continua sobre , - , -, tal que y , con

, se cumple:

( ) ( )

Para ( ) continua sobre una regin con y ( ) ( ), y para toda pareja

ordenada ( ), se cumple la siguiente igualdad:

( ) ( )

( )

Ejemplo

Encuentra el rea de los 4 ptalos de la flor .

Aplica el cambio de variable usando coordenadas polares:

; ( )

( )

( ) *(

( ))+

Ya que la funcin es , se tienen 8 ptalos de la flor (todos iguales), es suficiente

calcular el rea de un solo ptalo para encontrar el rea total. Los lmites de integracin se

obtienen al partir en tres el primer cuadrante del plano como se observa en la figura 2.



Fig. 2

1.1.7. Integrales impropias

En la asignatura de Clculo Integral estudiaste las integrales impropias de una variable, este

tipo de mtodo sirve para solucionar integrales de funciones que no son acotadas en ciertos

puntos de su dominio.

Definicin:

Sea ( ) ; * ( ) ( )+ regin no rectangular, cuyas derivadas de

primer grado son continuas, para . Si es integrable, entonces:

,

( ) - ( ) ( )

( )

( )

( )

Ejemplo

Sea ( )

para valores de en que est definida la funcin, cuya regin est

definida como * +. Evala la integral.

En Clculo diferencial, estudiaste dnde est definida una funcin, y qu puedes utilizar en

caso de tener discontinuidades. La funcin no est definida en la frontera de la regin ( ), en

este caso la frontera es el crculo y su denominador no est definido para todos los

puntos de .

Calculamos las integrales impropias iteradas, como sigue:

, (

)-

, ( ) ( )-

Actividad 2. Solucin de Integrales Dobles Al finalizar esta actividad podrs encontrar reas, centros de masa, momentos de inercia y

volumen de cuerpos que impliquen el uso de integrales mltiples, as como los cambios de

variable para facilitar su clculo.

Instrucciones:



1.2. La Integral triple

Este subtema te permitir definir y aplicar la integral triple a problemas especficos. Sus usos

son muy variados y entran en diferentes campos de estudio, siendo los ms comnes en fsica

e ingeniera.

1.2.1. Definicin y propiedades

Definicin:

Sea ( ) , continua sobre = {Dominio espacial limitado por una superficie cerrada +

La integral triple se define:

(

)

( )

1. Analiza, cada uno de los planteamientos que a continuacin se describen:

I. Demuestra el teorema de Fubini para integrales dobles.

II. El seor Wilfredo hered un terreno slo le notificaron que tiene la forma de

un ptalo ( ). Calcula el rea del terreno.

III. Una empresa de balones de ftbol, necesita determinar el volumen de los

nuevos modelos de stos si los describe la funcin

.

IV. Un artesano de charolas rectangulares cuya regin definen los puntos

( ) ( ) ( ) ( ) necesita encontrar la masa y su centro de masa de la

charola, si la funcin densidad est dada por ( ) .cules son

la masa y su centro de masa?

2. Resuelve cada una de las integrales triples dependiendo de su clasificacin.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCVV2_U1_A2_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Enva tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.



Al definir la integral doble en la seccin anterior estudiaste las sumas de Riemman dobles,

en esta ocasin analizars las sumas de Riemman triples.

As mismo, hars uso de la propiedad de la integral que te permitir resolver integrales triples

iteradas sobre regiones cuadradas.

Teorema: Para ( ) continua, sobre un cuadrado , - , - , -, se cumple:

( ) ( )

( )

( )

Ejemplo

Encuentra el valor de la integral, cuya regin es el cubo ,

donde ( ) .

Considera que puedes resolver la integral por medio de integrales iteradas, te recomiendo que

primero resuelvas la integral con respecto a , cuyo resultado se detalla a continuacin para

obtener una integral doble: , - ,

-

1.2.2. Integrales triples sobre regiones acotadas y determinacin de lmites

de integracin

En el subtema anterior aprendiste que los dominios de integracin se presentan como

regiones del tipo I, II y III respectivamente. Las integrales triples tienen una clasificacin similar

a las integrales dobles en su dominio, salvo algunas restricciones que vers a continuacin.

Definiciones:

Regin Solida tipo I

Sea ( ) continua, uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyeccin

(figura 1) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.



Figura 1

La integral para regiones slidas tipo I se escribe:

( ) , ( ) - ( )

( )

Debes tener en cuenta que los lmites de integracin de la proyeccin sobre el plano xy, se

calculan como en las regiones I, II y III que estudiaste en el subtema anterior.

Para *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, como en la figura 2.

La integral se representa:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Figura 2.



Cuando *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, como en la figura

3, la integral se expresa:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Figura 3.

Ejemplo:

Encuentra el valor de la integral ( ) , cuyos lmites de integracin se muestra en la

figura 4.

Figura 4.

Establece los lmites de integracin, escoge el tipo de regin que reconozcas para resolver la

integral.

En este caso 1.

Escribe la integral con los datos anteriores y resuelve.



, - , ( ) -

Regin Slida tipo II

Sea ( ) continua, uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyeccin

(figura 4) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.

Figura 4.

La regin del tipo II se representa:

( ) , ( ) - ( )

( )

Regin Slida tipo III

Sea ( ) continua uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyeccin (figura

5) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.

Figura 5.

La regin del tipo II se formula:



( ) , ( ) - ( )

( )

Ejemplo:

Encuentra el volumen del paraboloide, acotado por . Es importante verificar

cmo tomars los lmites de integracin, ya que de eso depende llegar al resultado por un

mtodo ms eficiente.

Con la informacin que te proporcion el enunciado, esboza la regin slida donde se

encuentra el volumen a calcular (usa las herramientas que aprendiste en Clculo de Varias

Variables I).

Paraboloide

Encontraste que

Es una regin slida tipo III y llegar a su

solucin es un proceso largo. Dejaremos pendiente la solucin, hasta llegar al subtema de

Cambio de variable para integrales triples.

1.2.3. Volumen de una regin en el espacio

El clculo de volmenes con integrales dobles ha sido aplicado en cada una de las regiones

anteriores. Cuando ( ) , el razonamiento es similar al clculo de reas para integrales

dobles.

La frmula para calcular el volumen con integrales triples se define como:

( ) , ( ) ( )-

Ejemplo:

Hallar el volumen del tetraedro que se encuentra acotado por los planos:



, - , -

( )

1.2.4. Centros de masa y momentos de inercia en tres dimensiones

El centro de masa nos permite conocer el punto donde actan las fuerzas que se ejercen sobre

un objeto, en este caso son regiones slidas de diversas formas.

Los momentos de inercia estudian el movimiento (rotacin) de cierto cuerpo slido (ya que

estamos en tres dimensiones) sobre alguno de los ejes.

En este subtema, estudiars algunas aplicaciones de las integrales triples, las definiciones

siguen el mismo camino que las integrales dobles.

Centros de masa

Definicin:

Las coordenadas ( ) del centro de masa de una regin plana sobre , cuya funcin de

densidad se expresa como ( ). Tienen las siguientes ecuaciones:

( )

( )

( ) ( )

( ) = (

,

)

Ejemplo:

Hallar las coordenadas del centro de masa de la siguiente integral

, cuya funcin de densidad est dada por la funcin ( ) :

Calcula cada una de las integrales que necesitas para encontrar el centro de masa.

,

-



, -

, -

Por lo tanto, las coordenadas son: ( ) (

).

Momentos de Inercia

Los momentos de inercia de una regin slida, son importantes porque a travs de las

integrales triples, se puede conocer el comportamiento de un slido en rotacin (sobre alguno

de sus ejes).

( )

( )

( )

El ejemplo relacionado con los momentos de inercia de una regin slida, lo dejaremos para

ms adelante ya que es necesario aplicar un cambio de variable para realizarlo.

1.2.5. Valor promedio de funciones en el espacio

Para ( ) continua sobre una regin , el valor promedio de dicha funcin se define

como:

( )

Ejemplo:

Encuentra el valor promedio de la funcin ( ) sobre el cubo

, - , - , -.

Calcula primero el volumen del cubo:

Y despus determina la integral con todo y la funcin.



,

- ,

-

1.2.6. Cambio de variable para integrales triples

El cambio de variable se usa para facilitar el clculo de algunas integrales sobre regiones, en

las que intervienen coordenadas polares, esfricas y cilndricas. Aunque es comn cambiar los

lmites de integracin dentro de coordenadas rectangulares para mover un cuadrado u otra

regin rectangular y as facilitar la solucin de la integral.

Definicin:

Sea uno a uno, con primera derivada continua tal que ( ) y

( ). El Jacobiano de , se define como:

( )

( ) |

|

|

|

Teorema: Cambio de variable para integrales triples, Sea , tal que (

) ,

con uno a uno sobre .

La siguiente igualdad se satisface.

( ) ( ( ) ( ) ( )) | ( )

( )|

Ejemplo:

Evala la siguiente integral.

Considera que es de regin slida tipo III



*

+

( )

Sea con . Con el cambio de variable para resolver la integral.

, (

)

- ( )

1.2.7. Integrales triples en forma esfrica y cilndrica

Definicin:

El cambio a coordenadas esfricas se escribe:

( ) ( )

No olvides tomar en cuenta las condiciones para que ( ) sea continua y tenga sus

primeras derivadas continuas.

El cambio a coordenadas cilndricas se escribe:

( ) ( )

Ejemplo:

Encuentra la masa que se ubica entre el cilindro

y el paraboloide . Si la funcin de densidad es ( ) .

Al utilizar el cambio de coordenadas cilndricas . Obtendrs los

nuevos lmites de integracin.

La integral a resolver es:

Recuerda que en cada cambio de variable, debes calcular el Jacobiano, en este caso es



Actividad 3. Solucin de Integrales Triples

Al finalizar esta actividad podrs encontrar reas, centros de masa, momentos de inercia,

volumen de cuerpos que impliquen el uso de integrales mltiples. As como los cambios de

variable para facilitar su clculo.

Instrucciones:

1. Analiza cada integral triple e identifica el mtodo de solucin de cada una de ellas.

I. En la clase de historia, se dej como proyecto, calcular el volumen de una

pirmide que se encuentra limitada por los planos

.

II. El equipo de mantenimiento elctrico de una empresa, ha decidido modelar

un nuevo tipo de lmpara, si los moldes se encuentran acotados por el cono

,y la esfera tal que .

III. Los estudiantes de ingeniera tecnolgica estn modelando un nuevo

ventilador con una sola hlice que consta de una sola placa de plstico. Si la

placa se encuentra al centro de

y la

funcin de densidad es constante. Localiza el momento de inercia , para la

funcin ( ) .

2. Resuelve cada una de las integrales triples dependiendo su clasificacin.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCVV2_U1_A2_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Enva tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.

Autoevaluacin

Al finalizar esta actividad tendrs todas las herramientas necesarias para aplicar la integral mltiple en problemas especficos.

Instrucciones: Elige la respuesta correcta que corresponda a la pregunta planteada

1.- Calcula el volumen aproximado del paraboloide ( ) , sobre el rectngulo , - , -. Toma como punto muestra la esquina superior derecha, con .



Evidencia de aprendizaje: Integrales mltiples

Es momento de realizar tu Evidencia de aprendizaje, donde tendrs que resolver

problemas especficos de integrales mltiples con el auxilio de todas las herramientas

que aprendiste durante la unidad para encontrar la solucin.

Instrucciones:

1. Descarga el documento llamado Integrales mltiples

a) 16 b) 1 c) 32 d) 64

2.- Evala la siguiente integral iterada

, tambin intercambiando los lmites de

integracin, para comprobar que de ambas formas es el mismo resultado.

a)

b) 3 c)

d)

3.- Sean y , encuentra el volumen de estas superficies y el plano , usando el cambio de coordenadas polares.

a) b) c) d) 4.- Evala la siguiente integral usando coordenadas esfricas

a)

b)

c)

d)

5.- Obtn el centro de masa de la siguiente regin slida.

a) (

) b) (

) c) (

) d) (

)

Para comparar tus respuestas revisa el archivo Respuestas autoevaluacin U1 colocada en la

carpeta material de apoyo en la pestaa de la unidad 1.

RETROALIMENTACION

1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el

contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro del contenido de la Unidad, sigue adelante.



2. Argumenta tu respuesta en base a lo que aprendiste en la unidad.

3. Resuelve el ejercicio que se te plantea en el documento.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U1_EA_XXYZ.

5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por

la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu

Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.

7. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser

evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de Autorreflexin para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que tambin

se toman en cuenta para la calificacin final.

Cierre de la unidad

En esta unidad 1, aprendiste a calcular integrales mltiples, a travs del uso de teoremas y

propiedades. Ahora sabes que las integrales mltiples tienen un uso especfico en otras ramas

como la ingeniera y la fsica.

Para la unidad 2 la meta es aprender a calcular integrales sobre curvas y sus diferentes

aplicaciones.

Para saber ms

Consulta la siguiente pgina de ejercicios resueltos de integrales dobles.

Usa el programa Wolfram para comprobar los resultados de los ejemplos utilizados en esta

unidad.

Consulta los videos para repasar la teora que aprendiste en esta unidad.



http://www.youtube.com/watch?v=E8XmJtKITO8 y http://www.youtube.com/watch?v=aWGsjvbJSnk

http://www.youtube.com/watch?v=Eu42dT6QVj4&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

http://www.youtube.com/watch?v=8wGIsvZiSdQ&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

Estn tomados de la pgina de YouTube con autorizacin de su autor

Referencias Bibliogrficas

Stewart, J. (2011). Clculo: trascendentes tempranas. Mxico D.F..Cengage Learning.

Zelada, Carlos (2010), integrales dobles partes 1 , 2, 3 y 4 extrado de Youtube.com,

Piskunov, N. (2008). Clculo diferencial e integral. Mxico. Limusa

Documents

U1. Integrales Multiples