SOAL.1. Buktikan Persamaan Poison Ratio berikut ini.

PENYELESAIAN.

1. Poisons rasio , berhubungan dengan modulus elastik K, modulus geser, kecepatan gelombang P() dan kecepatan gelombang S ().

A. Kecepatan gelombang primer (P) dan kecepatan gelombar sekunder (S)Jika sebuah medium/benda padat berada dalam keadaaan setimbang dipengaruhi gaya-gaya yang berusaha menarik, menggeser, atau menekannya maka bentuk benda tersebut akan berubah (terdeformasi). Jika benda kembali ke bentuknya semula bila gaya-gaya dihilangkan maka benda dikatakan elastik. Hubungan antara gaya dan deformasinya dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep tegangan (stress), regangan (strain), hukum Hooke dan konstanta elastiknya.

1. Tegangan () Tegangan (stress) didefenisikan sebagai gaya persatuan luas. Apabila gaya yang bekerja tegak lurus terhadap permukaan, maka tegangan yang demikian dikatakan tegangan normal (normal stress). Sedangkan gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan dikatakan sebagai tegangan geser (shearing stress). Gaya yang bekerja dalam arah yang tidak sejajar dan tidak tegak lurus pada permukaan, tegangannya dapat diuraikan ke dalam komponen normal dan komponen geser.

Gambar 2.10 Komponen Tegangan (W.M.Telford,1992)

Jika ditinjau sebuah elemen kecil volume di mana tegangannya berada pada dua permukaan yang tegak lurus terhadap sumbu x, maka komponen-komponen tegangannya ditunjukkan seperti pada gambar 2.10 Tegangan normal ditunjukkan oleh xx, sedangkan tegangan geser ditunjukkan oleh yx dan zx. Jika benda berada dalam kesetimbangan statis, gaya-gaya yang bekerja padanya harus setimbang. Berarti ketiga tegangan yakni xx, yx dan zx bekerja pada bidang OABC haruslah sama dan berlawanan dengan hubungan tegangan yang ditunjukkan pada bidang DEFG.

2. Regangan () Regangan didefinisikan sebagai gaya yang bekerja pada suatu benda untuk meregangkan benda tersebut. Perubahan fraksional suatu benda elastik baik bentuk maupun dimensinya dinamakan dengan regangan. Analisis kuantitatif dua dimensi regangan dapat diilustrasikan seperti pada gambar (2.11) Pada gambar dibawah terlihat perubahan posisi koordinat PQRS menjadi P', Q, R, S. Pada saat titik P berubah menjadi P akan mempunyai komponen u dan v, misalkan u = u (x,y) danv = v (x,y), maka :

Gambar 2.11 Analisis Tekanan Dua Dimensi. (W.M Telford.1992)

Dalam bentuk tiga dimensi, komponen perpindahan titik P (x, y dan z) ditulis dengan (u, v dan w), sehingga regangan normal tunjukkan oleh persamaan (1), regangan geser persamaan (2), sedangkan komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara rotasional ditunjukkan oleh persamaan (3).Regangan normal : = = (1) =

Regangan geser : = + = + (2) = + sedangkan komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara rotasional adalah:

= ; = ; = ; (3)

Perubahan dimensi yang disebabkan oleh strain normal akan mengakibatkan perubahan volume. Perubahan volume per satuan volume disebut dilatasi (dilatation) dan diberi simbol , dimisalkan =.

+ + (4) (W.M.Telford, 1992: 140-143)

3. Hukum Hooke Pada tahun (1635-1703) Robert Hooke menunjukkan eksperimen bahwa pertambahan panjang benda sebanding dengan berat atau gaya yang diberikan pada benda. Perbandingan dinyatakan dalam persamaan: (5)Disini F menyatakan gaya (berat benda) yang menarik benda, L adalah perubahan panjang, dan k adalah konstansta pembanding. Ternyata persamaan (5) berlaku untuk hampir semua materi padat dari besi sampai tulang, tetapi hanya sampai pada batas tertentu. Karena jika gaya terlalu besar, benda merenggang sangat besar dan akhirnya patah. (Giancoli, 2001: 299).

Dalam hal ini, Hooke merumuskan hubungan antara tegangan dan regangan. Hooke mengemukakan bahwa jika tegangan bekerja pada sebuah benda dan menimbulkan regangan cukup kecil, maka terdapat hubungan secara linier antara tegangan dan regangan. Tanpa memperhitungkan komponen arah atas kedua variabel tersebut, pada medium yang bersifat homogen isotropik. Dalam seismologi, medium elastik yang bersifat homogen isotropik didefinisikan sebagai sifat medium di mana tidak terdapat variasi densitas di dalam medium sehingga gelombang menjalar dengan kecepatan yang sama dalam medium. Hooke mendefinisikan: i = x, y, z j = x, y, z, i dan disebut konstanta Lame, dengan menyatakan hambatan regangan geser. Pada harga tegangan tetap () regangan akan menjadi besar bila modulus gesernya kecil, begitu juga sebaliknya.4. Konstanta Elastik Konstanta elastik adalah tinjauan hubungan antara tegangan-regangan dan perubahan bentuk benda yang ditimbulkannya. Untuk medium yang homogen isotropik konstanta elastik meliputia. Modulus Young (E) Modulus Young didefinisikan sebagai besarnya regangan yang ditunjukkan oleh perubahan panjang suatu benda. Semua komponen regangan yang tidak searah sumbu panjang adalah nol. Hal ini disebabkan tegangan hanya terjadi pada arah sumbu panjang tersebut, pada arah yang lain tegangannya nol. (8)b. Modulus Bulk (K)Jika benda mengalami gaya internal dari semua sisi, maka volume bendanya akan berkurang. Tekanan yang dikenakan pada suatu benda didefinisikan sebagai gaya per luas yang ekivalen dengan tegangan (tekanan hidrostatik). Untuk keadaan ini, perubahan volume (v) sebanding dengan volume awal(v0). Jadi modulus Bulk adalah hubungan antara tegangan (tekanan hidrostatik) Ph= F/A dan regangan volume , maka persamaan matematis modulus Bulk:

= (9)Tanda minus menunjukkan bahwa volume berkurang terhadap penambahan tekanan.

c. Modulus Rigiditas () Tekanan terhadap suatu benda dapat menimbulkan regangan berupa pergeseran pada salah satu permukaan bidangnya. Tekanan yang bekerja pada benda ini disebut tekanan geser dan regangannya disebut regangan geser. Perubahan bentuk akibat pergeseran ini tidak disertai perubahan volumenya. Hubungan antara tegangan dan regangan yang menimbulkan pergeseran sederhana ini disebut modulus Rigiditas. Perumusan matematisnya sebagai berikut:

d. Rasio Poisson () Rasio Poisson atau poissons ratio adalah ukuran besarnya regangan pada suatu benda berupa kontraksi dalam arah transversal dan peregangan dalam arah longitudinal akibat terkena tekanan. Apabila diterapkan pada silinder, di mana arah transversalnya dinyatakan dengan diameter silinder (D) dan arah longitudinal dengan panjang silinder (Y), maka rasio Poisson adalah: = (11) Hubungan antara konstanta elastik pada medium homogen isotropik saling terkait membentuk perumusan sebagai berikut, yaitu

E = (12)

K = (13)

(14)

5. Kecepatan gelombang primer (P) Penentuan kecepatan gelombang primer, diawali dengan tinjauan terhadap sebuah benda (medium) homogen berbentuk kubus yang dikenakan oleh sebuah gaya tertentu. Tekanan yang mengenai benda tersebut jika ditinjau pada salah satu permukaa, maka akan mempunyai komponen-komponen sebagai berikut: (15)

Karena tekanan ini berlawanan dengan yang bertindak di bagian belakang, maka tekanan bersih yang bekerja pada elemen volum kubus adalah

(16)

Tekanan ini bekerja pada permukaan yang luasnya (dy,dz) dan mempengaruhi volume (dx,dy,dz), dengan itu didapatkan gaya bersih per satuan volume dalam arah sumbu x, y, dan z bernilai :

(17)

Untuk ke-empat permukaan yang lain, persamaanya dapat diperoleh dengan cara yang sama, sehingga gaya total persatuan volume dalam sumbu x adalah:

(18)

Komponen-Komponen tekanan di atas disebut gaya tiap unit volume benda pada bidang x yang berarah pada sumbu x, y, z. Untuk permukaan bidang lainnya, hubungan variabel gaya tiap satuan volumenya analog dengan bidang x. Total gaya pada sumbu x yang terjadi pada benda kubus adalah: (19)

Dengan satuan volume kubus Sedangkan menurut hukum II Newton, gaya adalah perkalian antara massa dan percepatannya, F = m.a, bila dikaitkan dengan densitas benda q= maka:F = ma = (20)

Dengan menggunakan definisi gaya tersebut, maka persamaan (18) menjadi;

= = (21)

Di mana q adalah kerapatan eleman kubus. Hubungan ini disebut persamaan gerak yang searah sumbu x. Pada persamaan gerak untuk sumbu y dan z, dapat diperoleh dengan cara yang sama yaitu hanya dengan menggantikan tegangan normal dengan atau

Pada persamaan (21) dapat diperoleh penyelesaiannya dengan mensubtitusikan persamaan (16) dan (17) berupa definisi dari hukum Hooke

= (22) = + (23)

Dengan menggunakan tetapan regangan geser dan regangan normal berupa

maka dapat diperole penyelesaian persamaan (24) sebagai berikut.

Persamaan diatas dapat disederhanakan dengan menggunakan tetapan laplacian maka diperoleh persamaan 25:

Dengan ;

Sehingga persamaan gerak untuk media elastik dan homogen isotropis didapatkan persamaan (26), (27), (28) sabagai berikut

Gelombang yang merambat pada suatu media ke segala arah, secara tiga dimensi arah perambatan gelombang dinyatakan dengan sumbu x, y, z, untuk menentukan persamaan gelombang ini masing-masing dideferensiasikan terhadap x, y dan z. maka diperoleh persamaan (29) sebagai berikut.

Dengan menjumlahkan ketiganya, maka akan diperoleh persamaan (30) berikut,

Dengan dan persamaan laplacian: maka hasil penjumlahan di atas dapat disederhanakan sebagai berikut

Dari persamaan gelombang tersebut diperoleh kecepatan gelombang longitudinal atau dikenal dengan kecepatan gelombang primer yaitu

Keterangan Vp = kecepatan perambatan gelombang Primer (m/s) = konstanta Lame (m/s) = rigiditas medium (N/m2) = massa jenis medium (kg/m3) = perubahan volume atau dilatasi

6. Kecepatan Gelombang Sekunder (S)

Kecepatan gelombang sekunder didapat dengan menurunkan terlebih dahulu persamaan (26) diturunkan terhadap z maka didapat persamaan (31).

dan persamaan (27) diturunkan terhadap y maka didapatkan persamaan (32)

Dengan mengurangkan hasil turunan persamaan (31) dengan turunan persamaan (32) maka akan diperoleh persamaan berikut

Dengan mensubtitusikan dengan tetapan rotasi berupa = maka akan diperoleh persamaan (33) dan (34) berikut.

Persamaan (33) menyatakan persamaan gelombang transversal. Dari persamaan gelombang tersebut diperoleh kecepatan gelombang transversal atau dikenal dengan kecepatan gelombang sekunder yaitu

Vs = kecepatan perambatan gelombang sekunder (m/s) = rigiditas medium (N/) = massa jenis medium (kg/)

(W.M.Telford, 1992: 143-145)

Berdasarkan hubungan poisson ratio dengan modulus elastik dan modulus geser. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:

(35)Kecepatan gelombang P (Vp) dan S(Vs) dapat ditulis sebagai fungsi dari dua sifat modulus diatas:

, dimana adalah densitasDengan menuliskan kembali sifat modulus dari fungsi Vp dan Vs

(36)

(37)Dengan mensubstitusikan persamaan (36) dan persamaan (37) kedalam persamaan (35)

.......................terbukti

Jadi persamaan terbukti...