TURNIR GRAF

Student: Almedin Ljajić 01-025/11

Mentor: Igor Ž. Milovanović

Novi Pazar, jun 2015.

Sadržaj

Uvod u teoriju grafova......................................................................3

Usmereni grafovi..............................................................................4

Turnir graf.........................................................................................6

Literatura........................................................................................11

2

Uvod u teoriju grafova

Kombinatorika, sa Teorijom grafova je jedna od najstarijih oblasti matematike, ali i danas je veoma aktuelna. Neke oblasti Teorije grafova su postale vrlo aktuelne sa vrtoglavim razvojem računara i njihovom sve većom primenom pri rešavanju matematičkih problema.

Grafovi su matematički objekti koje srećemo u svakodnevnom životu npr. strukturna formula nekog molekula ili jedinjenja, šema električnog kola u elektronici i dr. što nam govori da su grafovi našli veliku primenu, pored matematičkih oblasti (kombinatorike, kombinatorne optimizacije, operacionih istraživanja, linearne algebre, kompleksne analize) i u drugim naukama elektrotehnika, hemija, računarstvo, fizika, biologija, vojne nauke....

Dobri primeri primene grafova u računarstvu jesu:

- Algoritam ranga stranice – (eng. PageRank algorithm) koji koristi Google pri pretraživanju- Širenje virusa u računarskim mrežama – model prati promenu stanja čvora (zaražen ili

zdrav)

Def: Graf G je uređen par (V,E), elementi skupa V su čvorovi (eng. vertex), a elementi skupa E su grane (eng. edge) grafa G. Za dati graf G, skup čvorova se označava sa V(G), a skup grana E(G).

3

Usmereni grafovi

Definicija: Usmjereni graf ili digraf D sastoji se od nepraznog konaˇcnog skupa V (D), ˇcije elemente zovemo vrhovi, i konaˇcne familije A(D) uredenih pa- rova elemenata skupa V (D) koje zovemo lukovi.

Kad govorimo o skupu V (D) govorimo o skupu vrhova (u engleskoj termino- logiji vrh se kaˇze vertex, pa zato oznaka V (D)), a kad govorimo o skupu A(D) govorimo o skupu lukova (engleski se luk kaˇze arc, pa zato oznaka A(D)). Umjesto precizne oznake (u, v) za luk od vrha u do vrha v, ˇcesto ´cemo kratko pisati uv i misliti na orijentaciju tog luka od u prema v.

Gotovo svi pojmovi teorije grafova koje smo radili se analogno definiraju za digrafove. Ako danom digrafu D ,,pobriˇsemo” orijentaciju lukova, te svaki luk pretvorimo u brid, onda graf G koji tako dobijemo zovemo pripadaju´ci graf di- grafa D.

Za digraf D kaˇzemo da je jednostavan ako su svi lukovi od D razliˇciti, te ako on nema petlji (lukova oblika vv). Pripadaju´ci graf jednostavnog digrafa ne mora biti jednostavan – mogu´ce je da ima dvostruke bridove koji su nastali od (razliˇcitih!) lukova uv i vu.

Definicija: Dva digrafa su izomorfna ako postoji izomorfizam izmedu pripad- nih grafova koji ˇcuva poredak vrhova svakog luka.

Definicija: Vrhovi v i w digrafa D su susjedni ako postoji luk u A(D) oblika

4

vw ili wv. Vrhovi v i w su tada incidentni s dotiˇcnim lukom.

5

Turnir graf

Definicija: Za povezani digraf D re´ci ´cemo da je eulerovski ako postoji za- tvorena staza koja sadrˇzi svaki luk od D. Takvu stazu onda zovemo eulerovska staza.

Primjer: Digraf sa slike nije eulerovski digraf, iako je njemu pripadni graf eulerovski.

Uoˇcimo da je nuˇzan uslov za eulerovost digrafa da je on jako povezan. Naime zasigurno moramo mo´ci do´ci do svakog vrha, i pro´ci svakim lukom.

Definicija: Izlazni stupanj vrha v ∈ V (D) je broj lukova oblika vw; oznaˇcavamo ga s outdeg(v). Ulazni stupanj od v je broj lukova oblika uv; njega oznaˇcavamo s indeg(v).

6

Definicija: Vrh od D ulaznog stupnja 0 zovemo izvor, a vrh od D izlaznog stupnja 0 zovemo ponor.

Eulerovski digraf ne moˇze imati ni izvora ni ponora (u izvor ne moˇzemo do´ci, a iz ponora ne moˇzemo iza´ci). Karakterizacija eulerovskih grafova u sluˇcaju digra- fova mora se produbiti, naime vidimo da digraf ˇciji je pripadaju´ci graf eulerovski ne mora biti eulerovski.

Teorema: Povezani digraf D je eulerovski onda i samo onda ako za svaki vrh

v od D vredi

Uoˇcimo da se lako vidi da je stupanj svakog vrha pripadaju´ceg grafa paran, jer je zbroj dva ista broja. Dakle, pripadaju´ci graf eulerovskog digrafa svakako je eulerovski. Puno je teˇze dati analogne teoreme onima iz neorijentiranih grafova kod digrafova u sluˇcaju hamiltonovosti (podsje´camo, tamo smo imali samo nuˇzne uvjete za hamiltonovost, Diracov i Oreov teorem).

Definicija: Za digraf D kaˇzemo da je hamiltonovski ako postoji ciklus koji sadrˇzi svaki vrh od D. Nehamiltonovski digraf koji sadrˇzi put kroz svaki vrh zovemo semihamiltonovski.

Definicija: Turnir je digraf u kojem su svaka dva vrha spojena toˇcno jednim lukom.

Primjer: Do izomorfizma postoje toˇcno dva turnira s 3 vrha. Oni su dani sljede´com slikom

7

Iz definicije slijedi da turnir T s n vrhova ima n(n − 1)/2 lukova. Takoder,

lako se vidi za svaki vrh v od T vrijedi

Zadatak: Nadite nuˇzne i dovoljne uvjete na broj vrhova n turnira T uz koje je T regularan.

8

Primjer :Evo jednog turnira s 5 vrhova. Uoˇcimo da je turnir zgodan grafiˇcki zapis rezultata pravog turnira, kod kojeg se igralo ,,svaki sa svakim”, a gdje na primjer luk iz x u y znaˇci da je momˇcad x pobijedila momˇcad y (nerijeˇsenih re- zultata nema).

Teorema:

(i) Svaki nehamiltonovski turnir je semihamiltonovski. (ii) Svaki jako povezani turnir je hamiltonovski.

9

10

Zadatak :Kaˇzemo da je turnir T tranzitivan ako je za svaka dva luka (uv i vw od T , i uw luk od T . Dokaˇzite da je turnir tranzitivan ako i samo ako ne sadrˇzi ciklus.

11

11

Literatura

Snežana Stojanović, Korenska stabla i Huffmanov kôd, Beograd, 2012

Anamari Nakić, Mario – Osvin Pavčević, Usmereni grafovi,Zagreb, 2014

Dragoš Cvetković, Teorija Grafova i njene primene, Naučna knjiga, Beograd, 1990

Vojislav Petrović, Teorija Grafova, Novi Sad, 1998

12