Chapter 10. Radiation by Relativistic Charge

3.4 Bremsstrahlung dan Rugi Coulomb

Elektron sebagai partikel bermuatan listrik yang bergerak dengan kecepatan tinggi, apabila

melintas dekat ke inti suatu atom, maka gaya tarik elektrostatik inti atom yang kuat akan

menyebabkan elektron membelok dengan tajam. Peristiwa itu menyebabkan elektron

kehilangan energinya dengan memancarkan radiasi elektromagnetik yang dikenal sebagai

bremsstrahlung.

Gambar 10.12. Geometri dasar dari bremsstrahlung dan persoalan rugi Coulomb

Untuk menghitung spektrum frekuensi radiasi yang dipancarkan selama hamburan tunggal,

digunakan persamaan 71 :

Untuk frekuensi rendah, yaitu pada peristiwa tumbukan, aproksimasi tersebut menghasilkan

Untuk pendekatan nonrelativistik (ini, fin << 1), ungkapan persamaan (72) menjadi

Dengan Q adalah momentum yang di transfer dari pusat hamburan ke muatan yang

tersebar dan adalah sudut antara vektor Q dan arah n (Gambar 12).

Kerapatan spektral pada keadaan ini yaitu

Fitur baru utama dari bremsstrahlung, sebagai masalah hamburan, adalah keharusan untuk

menggunakan statistik atas semua nilai kemungkinan dari parameter dampak b (Gambar

12) yang tidak diketahui untuk setiap peristiwa hamburan tertentu. Untuk tumbukan

Coulomb elastis ( ini = fin ) dapat digunakan rumus yang disebut Rutherford formula for

the differential cross-section of scattering

dimana d = 2bdb, diperoleh

dan

Kita dapat mengungkapkan persamaan (76) dalam bentuk yang lebih sederhana

Dengan menggabungkan persamaan (75) dan (79), diperoleh

Hasil ini disebut differential radiation cross-section.

Cara sederhana untuk menjelaskan efek ini yaitu dengan menulis

Untuk sudut hamburan yang kecil, persamaan (81) menjadi

Yang merupakan rumus Bohr untuk bremsstrahlung klasik.

Terlihat bahwa momentum rendah yang terputus akan membuat spektrum warna dengan

lebih banyak energi yang akan menurunkan frekuensi. Peristiwa ini terjadi pada divergensi

formal yaitu saat 0, meskipun demikian perbedaan ini dapat diintegrasi, sehingga tidak

menimbulkan masalah dalam menemukan kerugian total energi radiasi (-d/dx) sebagai

integral dari Persamaan (82) atas semua frekuensi radiasi. Masalah yang lebih besar untuk

prosedur ini adalah batas atas integrasi, . Ini berarti bahwa deskripsi perkiraan

sebelumnya, yang mengabaikan anggapan tumbukan sebagai proses elastis salah, dan

harus diubah dengan memperhatikan perbedaan antara energi kinetik awal dan akhir dari

partikel karena radiasi energi kuantum h dari foton yang dipancarkan :

Akibatnya, dengan mempertimbangkan bahwa nilai-nilai minimum dan maksimum dari Q

sesuai satu sama lain, diperoleh

Ungkapan ini menghasilkan yang disebut Bethe-Heitler formula untuk kuantum

bremsstrahlung. Perhatikan bahwa pada pendekatan ini, Qmax mendekati pendekatan

klasik, tetapi Qmin ~ h / u, sehingga

dimana z dan z’ adalah partikel bermuatan dalam satuan e, dan merupakan konstanta

   Sekarang tidak ada yang menghalangi untuk menghitung total kerugian radiasi energi per

satuan panjang:

dimana h max = T adalah energi maksimum dari kuantum radiasi. Dengan

memperkenalkan variabel integrasi berdimensi h / T = 2h / (mu2 / 2) integral ini

direduksi, dan diperoleh

persamaan (88) dikenal dengan sebutan rugi Coulomb.

Kita dapat mencari momentum yang di transfer melalui medan listrik ke muatan q’ :

Oleh karena itu, energi kinetik yang diperoleh melalui pusat hamburan adalah

Pada konsentrasi muatan n per satuan volume, db adalah dN = n2πbdbdx, sehingga

dan dapat di estimasi b max ~ u / max, sehingga

Sekarang dapat dibandingkan rugi Coulomb (89) dengan bremsstrahlung tersebut, yang

diberikan oleh Persamaan (88):

Karena ~ 10 << 1, untuk partikel nonrelativistik ( << 1) rugi Coulomb jauh lebih tinggi dan

hanya untuk partikel ultrarelativistic, atau sebaliknya.

Menurut Persamaan (91), untuk hamburan elektron-elektron (q = q '=-e, m' = me), dengan

nilai n 6 1.026 m-3, karakteristik panjang dari kehilangan energi

3.5 Density Effects dan Radiasi Cherenkov

Untuk benda terkondensasi, dengan kerapatan partikel n lebih tinggi, tumbukan yang paling

memenuhi kondisi

Dalam Bab 6, digunakan persamaan Maxwell makroskopik untuk menurunkan Pers. (6,101)

yang menggambarkan evolusi waktu dari potensial dalam suatu medium dengan

frekuensitidak bergantung pada dan . Cari semua fungsi dalam bentuk expansi

gelombang bidang

dan mengharuskan semua koefisien pada eksponen yang sama harus menjadi seimbang,

diperoleh

Seperti telah dibahas dalam Bab 7, dalam bentuk Fourier, persamaan Maxwell tetap berlaku

bahkan untuk medium dispersif, sehingga Persamaan (97) digenerelisasikan sebagai

Keuntungan nyata dari persamaan ini adalah bahwa solusi formalnya tidak berpengaruh:

sehingga yang "hanya" hal tersisa untuk dilakukan adalah menghitung transformasi Fourier

dari fungsi (r, t) dan j (r, t), menggunakan transformasi balik ke persamaan (96),

Masukkan persamaan (102) dan (103) ke dalam persamaan (99)

Selanjutnya hitung Fourier image dari E dan B, diperoleh

Jadi integral dalam persamaan (96) menjadi

Mengikuti persamaan (51), integral ini mungkin dipartisi sebagai

berdasarkan persamaan (107),

Fungsi delta menghilangkan satu integral (pada kx) dari tiga integral, dan diperoleh

integral bagian terakhir (pada ky) dapat direduksi menggunakan tabel integral. Hasilnya

dapat ditampilkan sebagai

dimana parameter (secara umum merupakan fungsi kompleks dari frekuensi) didefinisikan

sebagai

Sedangkan energi yang hilang per satuan volume adalah

Integral ini dapat dengan mudah diekspresikan melalui Fourier image parsial E dan

demikian pula j., Sama seperti turunan yang dilakukan pada Pers. (54):

Persamaan (113) menghasilkan

Akhirnya, hanya pada bagian terakhir, kita diharuskan untuk menghitung tingkat kerugian

energi rata-rata melebihi nilai acak dari parameter dampak b :

dengan menggunakan fungsi Bessel, akhirnya didapatkan hasil :

Hasil ini berlaku untuk medium linier yang berubah-ubah, dengan hubungan dispersi ()

dan () yang berubah-ubah. Untuk mendapatkan hasil yang lebih konkret, digunakan

beberapa model khusus dari medium. Misalnya menggunakan model osilator harmonik

independen, yang digunakan dalam Sub bab 7.2 untuk pembahasan dispersi dan redaman

dari bidang gelombang,atom:

yaitu = * / u adalah bilangan real. Dalam kasus ini, Pers. (117) ditampilkan untuk

memberikan Persamaan (91) dengan

Ini berarti bahwa vektor Poynting meluruh menjadi 1/b, sehingga fluks yang melalui

permukaan silinder putar dengan jari-jari b, dengan sumbu pada lintasan partikel (yaitu

aliran listrik), tidak tergantung pada b. Oleh karena itu, ini adalah radiasi gelombang EM -

yang terkenal dengan sebutan radiasi Cherenkov.

sudut Cherenkov dapat diperoleh melalui rasio komponen medan (Gambar 13a):

Rasio ini dapat dihitung dengan cara menghubungkan formula asimtotik (123) ke dalam

Pers. (112) dan (113) dan mengambil rasionya :

Intensitas radiasi Cherenkov dapat juga diperoleh dengan mudah yaitu dengan

menghubungkan ekspresi asimtotik (119), dengan imajiner, ke dalam Pers. (119). Hasilnya

adalah

3.6 Radiation’s Back-Action

Sebagai upaya awal mengenai radiation’s back-action, marilah kita mencoba pendekatan

fenomenologis berdasarkan pada formula yang sudah diturunkan untuk radiasi daya P.

Untuk lebih sederhananya, mari kita perhatikan titik muatan q nonrelativistik di ruang bebas,

sehingga P yang telah digambarkan oleh Persamaan (8.27), dengan turunan momen dipol

listrik dari waktu ke waktu sama dengan qu:

Pendekatan yang paling tepat akan menulis persamaan gerak partikel dalam bentuk

dan mencoba menghitung gaya radiation back-action dengan membutuhkan daya instan,

-Fself u, untuk menjadi sama dengan P. Namun, pendekatan ini (katakanlah, untuk gerak

1D) akan memberikan hasil yang sangat tidak wajar,

Untuk menghitung nilai rata-ratanya, dapat ditulis

Di sisi lain, gaya back-action akan memberikan

Kedua rata-rata ini berimpit jika

Ini disebut gaya Abraham-Lorentz for self-action. Sebelum membahas lebih serius lagi

mengenai derivatif dari formula ini, terlebih dahulu memperkirakan skala, dengan mewakili

Persamaan (135) sebagai

dimana konstanta jelas memiliki dimensi waktu. Kita dapat menuliskan sebagai

Persamaan (130) dapat ditulis

Dengan mencari solusi untuk persamaan diferensial linear dalam bentuk eksponensial

biasa, x (t) exp { t}, kita peroleh persamaan karakteristik berikut,

Solusi persamaan (139) dengan menggunakan deret Taylor pada parameter kecil ',

diperoleh

Ini berarti bahwa energi osilasi bebas berkurang dalam waktu seperti exp {2 't} = exp {- 02

t}, ini persis serupa dengan redaman radiasi yang dianalisis sebelumnya. Hal ini sangat

mudah untuk melihat partikel bebas, dengan 0 = 0. Kemudian Persamaan (139) menjadi

sangat sederhana,

Namun sekali lagi khusus pada kasus non-relativistik (sehingga komponen magnetik dari

gaya Lorentz tidak penting), kita harus menghitung

Untuk membuat perhitungan, perlu dibuat asumsi a << rc, menganggap rasio R / rc ~ a / rc

sebagai parameter kecil, dan memperluas hasil dalam deret Taylor di R. Diperoleh

Untuk n = 1,

dan untuk n = 0,

yang dapat ditafsirkan sebagai “gaya" inersia dengan massa elektromagnetik efektif

Terima Kasih