Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)

8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)

1/18

TUGAS KOMPUTASI NUMERIK

Penyelesaian Persamaan Polinomial Linier-Multivariable dan Non

Linear-Single/Multivariable

Mauhibah Yumna

1406577650

Teknologi Bioproses

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS INDONESIA

2016


2/18

FILE 1 - SOAL 6

Ternyata hasil kajian juga menunjukkan hasil perumusan HHV dapat juga dikorelasikan

sebagai fungsi dari variable karbon terikat (fixed carbon) dan zat mudah terbang (volatile

matter). Sepintas gambaran hasil perumusannya diuraikan dalam kalimat berikut.

The HHV (MJ kg-1) of the biomass samples as a function of fixed carbon (FC, wt%) and

volatile matter (VM, wt%) can be calculated from:

HHV = 0.312(FC) + 0.1534(VM).....……………………………………………………. (3)

It is seen that the HHV is also a function of FC and VM for biomass fuel. The HHVs

calculated by using Equation (3) are given in Table 4. From the data in Tables 2-4, there is a

good relation between the determined and the calculated HHV and the formulae (Equations

(1)-(3)) have given acceptable approximations to the measured values. The determined and

the calculated HHVs using Equations1997Fuel


3/18

Dengan kemampuan komputasi numerik yang telah anda miliki, selesaikanlah

bagaimana persamaan (3) tersebut bisa diperoleh berdasar data-data terkait??

Jawab =

1.

Pembentukan j eni s persamaan

Berdasarkan soal yang tertera diatas dapat diketahui bahwa terdapat persamaan (3) dimana

bentuk persamaannya adalah HHV = 0.312(FC) + 0.1534(VM). Bentuk persamaan tersebut

adalah jenis persamaan aljabar linear multi variable.

2. Konstanta atau vari able dan Metode yang digunakan

Dengan konstanta-konstanta yang telah diketahui dari persamaan (3) dan table 3, didapat X1

= FC (Fixed Carbon), X2 = Volatile Matter, dan Y = HHV. Maka, metode-metode yang

digunakan pada perhitungan di soal ini adalah

a. Metode Numerik Regresi Linear Berganda

Pada kasus soal ini menggunakan penyelesaian Regresi Linear Berganda, yaitu :

FC VM HHV

26,1 70,3 18.92722

28,3 69,3 19.4325

27 71,2 19.3176

28,1 70 19.4772

25 72,3 18.861923,5 63 16.971

31,8 66,6 20.1114

16,8 78,7 17.2827

12,5 86,5 17.1345

13,6 85 17.4012

17,6 78,7 17.5323

28,3 70,2 19.5702

24,6 74 18.9972

11,2 72,6 14.6022

24,8 73,5 18.9831

18 79,6 17.7948

b. Metode Least Square

Untuk membuat persamaan normal dibutuhkan komputasi dengan metode least square,

sebagai berikut :

No Y X1 X2 X1^ X2^ X1Y X2Y X1X2

1 18.92722 26.1 70.3 681.21 4942.09 494.0004 1330.584 1834.83


4/18

2 19.4325 28.3 69.3 800.89 4802.49 549.9398 1346.672 1961.19

3 19.3176 27 71.2 729 5069.44 521.5752 1375.413 1922.4

4 19.4772 28.1 70 789.61 4900 547.3093 1363.404 1967

5 18.8619 25 72.3 625 5227.29 471.5475 1363.715 1807.5

6 16.971 23.5 63 552.25 3969 398.8185 1069.173 1480.57 20.1114 31.8 66.6 1011.24 4435.56 639.5425 1339.419 2117.88

8 17.2827 16.8 78.7 282.24 6193.69 290.3494 1360.148 1322.16

9 17.1345 12.5 86.5 156.25 7482.25 214.1813 1482.134 1081.25

10 17.4012 13.6 86 184.96 7396 236.6563 1496.503 1169.6

11 17.5323 17.6 78.7 309.76 6193.69 308.5685 1379.792 1385.12

12 19.5702 28.3 70.2 800.89 4928.04 553.8367 1373.828 1986.66

13 18.9972 24.6 74 605.16 5476 467.3311 1405.793 1820.4

14 14.6022 11.2 72.6 125.44 5270.76 163.5446 1060.12 813.12

15 18.9831 24.8 73.5 615.04 5402.25 470.7809 1395.258 1822.8

16 17.7948 18 79.6 324 6336.16 320.3064 1416.466 1432.8

∑ 292.397 357.2 1182.5 8592.94 88024.71 6648.288 21558.42 25925.21

Kemudian, dibuat matriks seperti di bawah ini :

[ ] [] [

]

[ ] [] [ ] c. Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks yang di dapat dari hasil metode least square kemudian di eliminasi menggunakan

metode gauss-jordan :

[

] [

]

[ ] [ ]

[ ] []


5/18

[ ] []

[ ] []

[ ] []

[ ] []

[ ] []

Maka, didapat nilai A0 = 0, A1 = 0.312, A2 = 0.1534. Metode ini terbukti benar karena

angka pada konstanta A1 dan A2 sama dengan persamaan (3) pada soal yaitu HHV =

0.312(FC) + 0.1534(VM).

3. H itunglah error dan beri kan dalam bentuk plot/diagram sumbu x-y

Error untuk persamaan ini dapat dicari dengan → SSE = (Yterukur – Yprediksi)2

Dengan y merepresentasikan nilai HHV

No HHV Literatur HHV Hitung

(rata-rata)

Error (Error)2

1 19.0 18.9 0.1 0.01

2 19.3 19.5 0.5 0.25

3 19.3 19.3 0 0

4 20.0 19.6 0.4 0.16

5 18.8 18.9 -0.1 0.01

6 17.0 17.7 -0.7 0.49

7 20.5 20.3 0.2 0.04

8 17.1 17.3 -0.2 0.04

9 17.0 17.0 0 0

10 17.1 17.1 0 0

11 17.8 17.6 0.2 0.04

12 20.1 19 1.1 1.21

13 19.2 18.9 0.3 0.09

14 15.0 15.5 -0.5 0.25


6/18

15 19.0 18.9 0.1 0.01

16 17.7 17.7 0 0

SSE 2.6

Error yang didapatkan sebesar 2.6.

Grafik Perbandingan nilai HHV

4. Buatlah algoritma dan diwujudkan dalam bentuk diagram ali r (F low chart)

0

5

10

15

20

25

Literatur

Hitung

START

Mengasumsi FC

sebagai x, HHV

sebagai y

Membuat tabel

Mencari nilai a & b

dengan regresi linear

Mendapatkan nilai a

= 14.119 dan b =

0.196

Mendapatkan persamaan

y = 0.196x + 14.119

END


7/18

5. Buatlah program komputer perhi tungan tsb.

Dengan menggunakan eliminasi Gauss yang dibantu dengan Program Ezy Pascal maka

didapatkan berdasarkan bentuk ketik di dalam aplikasinya adalah :

program SPAL;

type

Matriks = array [1..12,1..12] of Real;

Vektor = array [1..12] of Real;

var

i,j,k,jp : integer;

A : Matriks;

b,x : Vektor;

Procedure EliminasiGauss(n: Integer;

A: Matriks;

Var x: Vektor;

b: Vektor);

Var

pivot, lambda: Real;

i,j,k : Integer;

begin

for j:=1 to n-1 do

begin

pivot := A[j,j];

for i:= j+1 to n do

begin

lambda := A[i,j]/pivot;

for k := j+1 to n do

A[i,k] := A[i,k] - lambda*A[j,k];


8/18

b[i] := b[i] - lambda*b[j];

end;

end;

x[n] := b[n]/A[n,n];

for i := n-1 downto 1 do

begin

for k := i+1 to n do

b[i] := b[i] - A[i,k]*x[k];

x[i] := b[i]/A[i,i];

end;

end;

begin

writeln('PROGRAM SPAL');

write('Jumlah persamaan : ');readln(jp);

for i:=1 to jp do

begin

for j:=1 to jp do

begin

write ('A(',i,',',j,')=');

readln(A[i,j]);

end;

write('b(',i,')=');

readln(b[i]);

end;

writeln('matrik augmented= ');

for i:= 1 to jp do

begin


9/18

for j:=1 to jp do

begin

write(A[i,j]:5:2)

end;

write(b[i]:5:2);

writeln;

end;

EliminasiGauss(jp,A,x,b);

for i:=1 to jp do

write('x(',i,')=',x[i]:5:10,' ; ')

end.

PROGRAM SPAL

Jumlah persamaan : 3

A(1,1)=16

A(1,2)=357.2

A(1,3)=1172.5

b(1)=293.9

A(2,1)=357.2

A(2,2)=8592.94

A(2,3)=25749.61

b(2)=6691.16

A(3,1)=1172.5

A(3,2)=25749.61

A(3,3)=86501.91

b(3)=21480.46

matrik augmented=

16.00357.201172.50293.90


10/18

357.208592.9425749.616691.16

1172.5025749.6186501.9121480.46

=3.5487351316 ;

=0.2887429951 ;

=0.1142697143 ;

Pada penyelesaian soal ini digunakan pendekatan hasil, sehingga persamaan (3)

HHV = 0.312 (FC) + 0.1534 (VM) terbukti benar dengan =0.2887429951≈ 0.312dan=0.1142697143 ≈ 0.1534 (persamaan yang didapat menjadi HHV = 0.289 (FC) + 0.1143(VM).)

FILE 2 - SOAL 3

The data for the adsorption of amonia on barium flouride are reportade below. Confirm that

they fit a BET isotherm and find values of c and Vmon.

Answer :

This rearranges to

Therefore a plot of the left-hand side againts z should result in a straight line if the data obeys

the BET isotherm. We draw up the following tables.

00C, p* = 3222 Torr.

p/Torr 105 282 492 594 620 755 798

10 z 32.6 87.5 152.7 184.5 192.4 234.3 247.7

3.04 7.10 12.1 14.1 15.4 17.7 20.0

180C, p* = 6148 Torr.

p/Torr 39.5 62.7 108 219 466 555 601 765

103 z 6.4 10.2 17.6 35.6 75.8 90.3 97.8 124.4

0.07 1.05 1.74 3.27 6.36 7.58 8.09 10.8

Solving the equations gives

c = (a) 164, (b) 264, V mon = (a) 13.1 cm3, (b) 12.5 cm

3

JAWAB :


11/18

(a) 00C, p* = 3222 Torr.

p/Torr 105 282 492 594 620 755 798

10 z 32.6 87.5 152.7 184.5 192.4 234.3 247.7

3.04 7.10 12.1 14.1 15.4 17.7 20.0

Langkah pertama adalah memplot data diatas dengan x = z dan y =

sehinggadidapatkan tabel dan grafik sebagai berikut :

X y

0,0326 0,00304

0,0875 0,00710,1527 0,0121

0,1845 0,0141

0,1924 0,0154

0,2343 0,0177

0,2477 0,02

Y = b + m x

b =

y = 0.0762x + 0.0005

R² = 0.9949

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

/ ( ( 1 −

) (

/

^ 3 ) )

z

Grafik z Vs

/((1−

)(

/

^3 ))

Series1

Linear (Series1)

)/()/(11

)/1(

/00

0

0 P P P P

cV

c

cV P P V

P P

mm


12/18

0,0005 =

cVm = 2000 153,4 Vm = 2000

Vm = 13,03

m =

0,762 =

152,4 = c-1

C = 153,4

(b)

180C, p* = 6148 Torr.

p/Torr 39.5 62.7 108 219 466 555 601 765

10 z 6.4 10.2 17.6 35.6 75.8 90.3 97.8 124.4

0.07 1.05 1.74 3.27 6.36 7.58 8.09 10.8

Langkah pertama adalah memplot data diatas dengan x = z dan y =

sehingga

didapatkan tabel dan grafik sebagai berikut :

x y

0,0064 0,00007

0,0102 0,00105

0,0176 0,00174

0,0356 0,00327

0,0758 0,00636

0,0903 0,00758

0,0978 0,008090,1244 0,0108


13/18

Y = b + m x

b =

-5x10-6 =

cVm = -200000-17021 Vm = -200000

Vm = 11,75

m =

0,0851 =

0,0851 (-200000)= C-1

C -1= -17020

C = -17021

Jadi didapatkan nilai c dan Vm sebagai berikut :

C(a) 153,4 (b) 17021 Vmom (a) 13,03 cm3 (b) 11,75 cm

3

1. Pembentukan j eni s persamaan

Jenis persamaan adalah persamaan aljabar linear multi-variable.


y = 0.0851x - 5E-06

R² = 0.9953

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 0.05 0.1 0.15

/ ( ( 1 −

) (

/

^ 3 ) )

z

Grafik z Vs

/((1−

)(

/

^3 ))

Series1

Linear (Series1)

)/()/(11

)/1(

/00

0

0 P P P P

cV

c

cV P P V

P P

mm


14/18

Konstanta yang didapat adalah Vmon = 13.1 cm2 dan c = 164, dengan variabel x yaitu z/Vmon c

= (a)


Angka error didapatkan dengan rumus regresi linear:

Angka b dan delta b didapatkan dari perhitungan sebelumnya. Angka TK yang didapatkan

sebesar 32.13%, sehingga error yang terjadi adalah 67.87%.

Grafik menunjukkan kelinearan.

4. Buatlah algori tma dan diwuj udkan dalam bentuk diagram alir (F low chart)

y = 0.076x + 0.000452

R² = 0.994

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.1 0.2 0.3

A x i s T i t l e

Axis Title

Series1

Linear (Series1)

START

Memplot rumus

penentuan Vmon dan c

Membuat tabel

Mencari nilai a & b

dengan regresi linear

Mendapatkan nilai a =

0.00043 dan b =

0.0762

Mendapatkan

persamaan dan angka

Vmon dan c

END


15/18

FILE 3 - SAMPEL 8

Pengukuran luas permukaan karbon aktif pada setiap sampelnya dengan menggunakan teknik

adsorpsi BET (Brunauer-Emmett-Teller) isotherm. Adsorpsi menggunakan gas nitrogen,

adsorpsi pada suhu cairnya sekitar -160 oC (luas permukaan molekul Nitrogen Am = 16.2 x

10-20

m2

/molekul. Data hasil pengukuran dinyatakan dalam bentuk Relative Pressure (P/Po)dengan N2 Gas adsorbed Vgas (ml/g) pada kondisi STP, ditabelkan sebagai berikut (lihat

tabel dibawah ini)

Untuk menguji kelinieran garis sesuai persamaan, maka perlu diolah data sebagai berikut :

Plot antara Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas(cc/g) STP.

Bagaimanakah pola kurva yang terbentuk, linier, melengkung atau ada kecenderungan

linier?? Apakah titik-titik data cenderung membentuk suatu hubungan variabel.

Data-data dapat dilinearisasi sesuai dengan persamaan isothermal BET yakni ,

dengan membuat harga Y = dan harga X= p/po, dapatkah andamemperoleh

data-data pola kurva yang cenderung membentuk grs lurus/linier setelah diplot.

Dengan komputasi numerik, bisakah menentukan metode yang mana yang anda pakai

sehingga didapat konstanta persamaan adsorpsi isotermis BET yakni Vm dan c.

Data-data sampel untuk setiap mahasiswa disajikan pada tabel dibawah dan lihat tabel

pembagian soal ketiga.

sample 8

Zeolit

Relative

Press P/Po

N2 adsorbed

Vgas(cc/g)

0.01 8.4507

0.05 9.8001

0.09 10.4592

0.129 10.9189

0.169 11.267

0.209 11.5568

0.249 11.8112

0.289 12.0478

0.329 12.2709

0.369 12.4956

0.408 12.7229

0.448 12.8995

0.488 13.2088

0.528 13.4859

0.568 13.7868

0.608 14.1180.648 14.516

)/()/(11

)/1(

/00

0

0 P P P P

cV

c

cV P P V

P P

mm

)/1(

/

0

0

P P V

P P


16/18

0.687 14.9579

Jawab:

Melalui data di atas, kita dapat mencari nilai Y dengan rumus:

akan didapat data-data sebagai berikut:

X Y

0 0

0.01 0.001195287

0.05 0.005370514

0.09 0.0094558950.129 0.013564153

0.169 0.018050007

0.209 0.022862947

0.249 0.028071485

0.289 0.03373809

0.329 0.039957376

0.369 0.046799358

0.408 0.05416919

0.448 0.062916718

0.488 0.0721583340.528 0.082949159

0.568 0.095367657

0.608 0.109861199

0.648 0.126819309

0.687 0.146737722

Diplot dalam bentuk grafik:

Pada grafik, didapat bahwa persamaan garis adalah:

Y ( P P

o)

V (1 P P o)

y = 0,179x - 0,011

R² = 0,951

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 0.2 0.4 0.6 0.8


17/18

y = -0.01+0.179x

Dan pada keterangan sebelumnya dikatakan bahwa persamaan dari sample berupa:

Dapat dikatan bahwa persamaan tersebut sama. Dengan itu kita dapat menyamakan:

100

01.0

1

101.0

m

m

m

cV

cV

cV

(1)

Kemudian nilai dari persamaan (1) dapat dimasukkan ke persamaan:

Maka akan didapat nilai c:

(2)

Dan jika dikembalikan hasik persamaan (2) ke persamaan (1), maka akan didapat nilai Vm

sebagai berikut:

1. Pembentukan j eni s persamaan

Jenis persamaanyang digunakan adalah aljabar linear multi variabel


Konstanta yang didapat adalah Vm = 5.917 dan c = -16.9, dengan variabel x yaitu P/Po


Angka error didapatkan dengan rumus regresi linear:

Angka b dan delta b didapatkan dari perhitungan sebelumnya. Angka TK yang didapatkan sebesar

44%, sehingga error yang terjadi adalah 56%.

0.179 c 1

cV m

0.179 c 1

100

c 1 17.9

c 16.9

(16.9) V m 100

V m 5.917

)/()/(11)/1(

/00

0

0 P P P P

cV

c

cV P P V

P P

mm


18/18

4.

Buatlah algori tma dan diwuj udkan dalam bentuk diagram alir (F low chart)

y = 156.69x + 164.67

R² = 0.3984

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.5 1 1.5

Y

X

Series1

Linear (Series1)

START

Memplot rumuspenentuan Vmon dan

c

Membuat tabel

Mencari nilai a & bdengan regresi linear

Mendapatkan nilai a =164.6 dan b = 156.6

Mendapatkan

persamaan dan angka

Vm dan c

END

Documents

Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)