TTI [LAB.2]

CERCETAREA SPECTRELOR SEMNALELOR

CPAE 525.3 01 Mod Coala Nr. document. Semnat. Data

Litera Coala ColiElaborat

Verificat 2 23Brinza N.Nicolaev P.

UTM.FIMET.TLC-131

CERCETAREA SPECTRELOR SEMNALELOR

1. Scopul lucrării: Analiza şi sinteza semnalelor periodice şi aperiodice.

2. Mersul lucrarii

2.1 Să se efectueze calculul spectrului discret a succesiunii periodice de impulsuri

dreptunghiulare cu ajutorul programului fourier2, sintaxa căreia are forma:

fourier2(0,N,1)

unde 0=/T=1/Q– durata relativă a impulsurilor; N– numărul armonicilor calculate. Se

recomandă valorile pentru calcul: 0=0.1; 0.2; 0.5; N=50. Calculul amplitudinilor şi fazelor

armonicelor se efectuează după relaţiile:

cu presupunerea că amplitudinea impulsurilor A=1.

Cercetaţi cum influenţează durata relativă 0 asupra spectrului. Pentru aceasta analizaţi

rezultatele calculului spectrelor cu programul fourier2 pentru diferite valori 0: 0.1; 0.2; 0.5 şi de

asemenea rezultatele calcului spectrelor pentru trei valori 0: 0.1; 0.05; 0.01, afişate pe ecran cu

comanda fourier3.

fourier2(0.1,50,1)

>> delta_tau = 0.1; % durata relativa a impulsurilor>> imax = 50; % numarul armonicilor calculate>> flag = 1; >> d_ik = imax/200; % pasul de esantionare>> i = 0:imax; % diapazonul de armonici>> ik = 0:d_ik:imax; % formarea axei X - a numarului de esantioane>> Aik = 2*(delta_tau)*(sin(ik*pi*delta_tau+eps)./(ik*pi*delta_tau+eps)); % Amplitudinea semnalului>> phik = -(pi/2)*(1-sign(Aik)); % Faza semnalului>> Ai = 2*(delta_tau)*(sin(i*pi*delta_tau+eps)./(i*pi*delta_tau+eps)); % Spectrul de amplitudine>> phi = -(pi/2)*(1-sign(Ai)); % Spectrul de faza

>> Aik = abs(Aik);

Coala

Mod Coala Nr. document Semnat. DataCPAE 525.3 012 02 ME

>> Aik(1) = Aik(1)/2;>> Ai = abs(Ai);>> Ai(1) = Ai(1)/2;>> if flag == 1

>> figure(1); clf;>> subplot(211), plot(ik, Aik); hold on;>> stem(i, Ai); grid;>> title('Spectrul de amplitudine'); xlabel('Numarul de armonici')>> hold off

>> subplot(212), plot(ik, phik); hold on;>> stem(i, phi); grid;>> title('Spectru de faza'); ylabel('rad'); >> xlabel(['Numarul de armonici (relative Pulsdauer =',... num2str(delta_tau),' )']);>> hold off;>> end;

Fourier 3

Coala


>> imax = 50; % Numarul maxim de armonic>> figure(1); clf;>> delta_tau = 0.1; >> d_ik = imax/200; % pasul de esantionare>> i = 0:imax; % diapazonul de armonici>> ik = 0:d_ik:imax; % formarea axei X - a numarului de esantioane>> Aik = 2*(delta_tau)*(sin(ik*pi*delta_tau+eps)./(ik*pi*delta_tau+eps)); % >> Amplitudinea semnalului>> phik = -(pi/2)*(1-sign(Aik)); % Faza semnalului>> Ai = 2*(delta_tau)*(sin(i*pi*delta_tau+eps)./(i*pi*delta_tau+eps)); % Spectrul de amplitudine>> phi = -(pi/2)*(1-sign(Ai)); % Spectrul de faza>> Aik = abs(Aik);>> Aik(1) = Aik(1)/2;>> Ai = abs(Ai);>> Ai(1) = Ai(1)/2;>> subplot(311), stem(i, Ai); hold on;>> plot(ik, Aik);>> title(['Spectrul de amplitudine (delta-tau = ', num2str(delta_tau),' )']);>> hold off; >> p = get(gca,'Position');

>> set(gca,'Position',[p(1),p(2),p(3),p(4)*0.9]);

Fourier 3

>> delta_tau = 0.05; >> d_ik = imax/200; % pasul de esantionare>> i = 0:imax; % diapazonul de armonici>> ik = 0:d_ik:imax; % formarea axei X - a numarului de esantioane>> Aik = 2*(delta_tau)*(sin(ik*pi*delta_tau+eps)./(ik*pi*delta_tau+eps)); % >> Amplitudinea semnalului>> phik = -(pi/2)*(1-sign(Aik)); % Faza semnalului>> Ai = 2*(delta_tau)*(sin(i*pi*delta_tau+eps)./(i*pi*delta_tau+eps)); % Spectrul de amplitudine>> phi = -(pi/2)*(1-sign(Ai)); % Spectrul de faza>> Aik = abs(Aik);>> Aik(1) = Aik(1)/2;>> Ai = abs(Ai);>> Ai(1) = Ai(1)/2;>> subplot(312), stem(i, Ai); hold on;>> plot(ik, Aik);>> title(['Spectrul de amplitudine (delta-tau = ', num2str(delta_tau),' )']);>> hold off; >> p = get(gca,'Position');

>> set(gca,'Position',[p(1),p(2),p(3),p(4)*0.9]);Fourier 3

Coala


>> delta_tau = 0.01; >> d_ik = imax/200; % pasul de esantionare>> i = 0:imax; % diapazonul de armonici>> ik = 0:d_ik:imax; % formarea axei X - a numarului de esantioane>> Aik = 2*(delta_tau)*(sin(ik*pi*delta_tau+eps)./(ik*pi*delta_tau+eps)); % >> Amplitudinea semnalului>> phik = -(pi/2)*(1-sign(Aik)); % Faza semnalului>> Ai = 2*(delta_tau)*(sin(i*pi*delta_tau+eps)./(i*pi*delta_tau+eps)); % Spectrul de amplitudine>> phi = -(pi/2)*(1-sign(Ai)); % Spectrul de faza>> Aik = abs(Aik);>> Aik(1) = Aik(1)/2;>> Ai = abs(Ai);>> Ai(1) = Ai(1)/2;>> subplot(313), stem(i, Ai); hold on;>> plot(ik, Aik);>> title(['Spectrul de amplitudine (delta-tau = ', num2str(delta_tau),' )']);>> hold off; >> p = get(gca,'Position');

>> set(gca,'Position',[p(1),p(2),p(3),p(4)*0.9])

Coala


Coala


2.2 Să se cerceteze procedura de sinteză a semnalului de tip meandru după

numărul limitat al primelor n armonici a acestui semnal. Să se convingă de faptul că,

cu creşterea lui n calitatea aproximaţiei se îmbunătăţeşte. Remarcaţi prezenţa

oscilaţiilor în vecinătatea salturilor de semnal, legate cu aşa numitul efectul Gibbs,

ce apare la tăierea seriei Fourier. Cercetarea se efectuează cu ajutorul programului

gibbs1 adresarea la care are forma:

gibbs1(n,1)

unde n– numărul de armonici considerate (se recomandă valorile n=2, 5, 10).

Cu ajutorul programului gibbs2 să se afişeze pe ecran concomitent trei

oscilograme ale semnalului sintetizat la n=2, 10, 20. » t=0:0.001:1.023;

gibbs1(2,1)

>> n=2; % numarul de armonici >> flag = 1;>> T = 200; % perioada>> t = 2*(-T/2:0.1:T/2); % intervalul de timp>> y = zeros(1, length(t)); % initializare>> nt = 2*n-1; % numarul maxim de armonici>> m = 0;>> for k = 1:2:nt >> y = y + ((-1)^m)*cos(k*2*pi*t/T)/k;>> m = m+1;>> end;>> y = y*4/pi;>> if flag == 1>> figure(1); >> clf;>> plot(t, y); >> grid;>> title(['Reconstructia semnalului cu n = ', num2str(fix(n)),' armonici']);>> xlabel(['Timpul in secunde (T = ', num2str(T), ' s)']);

>> end;

Coala


a)

b)

Coala


Coala


2.3 Analiza spectrelor semnalelor poliarmonice

Vom analiza ca exemplu semnalul ce constă din trei oscilaţii armonice cu frecvenţele 1, 2 şi 3Hz şi amplitudinile corespunzător 3, 1 şi 4.

y(t)= 3cos(2t)+ sin(4t)+ 4cos(6t)

Vom afişa graficele a însuşi semnalului, a spectrului de amplitudine (modulul spectrului) şi

de asemenea a părţilor reale şi imaginare ale spectrului.

» Ts=0.01;T=100;t=0:Ts:T;

» y=3*cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)+4*cos(6*pi*t);

» plot(t,y);grid

Aflăm modulul spectrului acestui semnal:

» df=1/T;Fm=1/Ts;len=length(t);

» f=-Fm/2:df:Fm/2;x=fft(y)/len; xs=fftshift(x);

» A=abs(xs);s1=len/2-500;s2=len/2+500;

» stem(f(s1:s2), A(s1:s2));grid

» xlabel('frecventa(Hz)');ylabel('Modulul')

Coala


În rezultat se obţine modulul spectrului complex, ce corespunde formei complexe a seriei Fourier cu coeficienţii de două ori mai mici ca amplitudinile reale Ak, deoarece ele sunt “distribuite” egal între eşantioanele pozitive şi cele negative. Pentru construcţia spectrului de fază este suficient că operatorul calculului modulului A=abs(xs) să-l schimbăm cu operatorul calculului unghiului de fază

P=angle(xs)cu schimbările corespunzătoare în operatorii de afişare a graficelor stem şi

ylabel.Evidenţiem partea reală şi cea imaginară ale spectrului complex:» Re=real(xs);Im=imag(xs);» s1=len/2-500;s2=len/2+500;» subplot(2,1,1)» plot(f(s1:s2),Re(s1:s2));grid» ylabel('Partea reala')» subplot(2,1,2)» plot(f(s1:s2),Im(s1:s2));grid» ylabel('Partea imaginara')După graficele obţinute se poate judeca nu doar despre frecvenţele şi

amplitudinile, dar şi despre fazele unor armonici separate.

Coala


Coala


2.4 Analizaţi posibilitatea apariţiei în spectrul calculat a componentelor spectrale false la alegerea incorectă a frecvenţei fs de discretizare a semnalului (efectul de suprapunere sau alising effect). Dacă semnalul armonic cu frecvenţa fm se eşantionează cu frecvenţa fs, atunci în spectrul semnalului discret calculat după TFR(TFD) vor apărea componente cu frecvenţa . Pentru anumite valori ale lui k şi fm> fs în spectrul calculat în gama de la 0 la fs pot apărea componente false. De exemplu la fm=4300Hz şi fs=1000Hz la k=-4 apare o componentă falsă cu frecvenţa Hz, iar la k=-5 componenta cu frecvenţa Hz şi cu faza opusă fazei iniţiale la frecvenţa 700Hz, care de asemenea este falsă.

Cu ajutorul programului fourier4 priviţi graficele semnalelor cu frecvenţele f1=100Hz, f2=4300Hz şi frecvenţa de discretizare fs=1000Hz, şi de asemenea spectrele sumei acestor semnale. Graficul spectrului ilustrează că în afară de componentele reale cu frecvenţele de 100, 1000-100=900Hz sunt două componente spectrale false cu frecvenţele 300 şi 700Hz, ce lipsesc în semnalul de intrare. Pentru eliminarea efectului de suprapunere a spectrelor este necesar ca frecvenţa de discretizare să satisfacă condiţia , unde fm– frecvenţa maximă în spectrul semnalului analizat.Fourier 4

>> f1 = 100; % frecventa primului semnal >> f2 = 4300; % frecventa celui de al doilea semnal>> fs = 1000; % frecventa de discretizare a semnalului>> Ts = 1/fs;>> t = 0:0.1e-4:49e-3; % Diapazonul de timp pentru semnalul continuu >> td = 0:Ts:49e-3; % Diapazonul de timp pentru semnalul discret>> x1 = 5*cos(2*pi*t*f1-pi/2); % Semnalele continue>> x2 = 10*cos(2*pi*t*f2+pi/3);>> xd1 = 5*cos(2*pi*td*f1-pi/2); % Semnale discrete>> xd2 = 10*cos(2*pi*td*f2+pi/3);>> %------ Reprezentarea semnalelor>> figure(1); clf;>> subplot(211), plot(t,x1); hold on;>> stem(td,xd1); grid;>> title('Semnalul cu frecventa f1 = 100 Hz (fs = 1000 Hz)');>> xlabel('Timpul in secunde'); hold off;>> tm = max(t)/10;>> p = find(t<=tm);>> q = find(td<=tm);>> subplot(212), plot(t(p),x2(p)); hold on;>> stem(td(q),xd2(q)); grid;>> title('Semnalul cu frecventa f2 = 4300 Hz (fs = 1000 Hz)');>> xlabel('Timpul in secunde'); hold off;

Coala


>> %------ Reprezentarea FFT (modulul(FFT)/N si unghiul (FFT))>> xd = xd1 + xd2;>> Xi = fft(xd);>> N = length(Xi);>> figure(2);>> subplot(211), stem((0:N-1)*fs/N, abs(Xi)/N); grid;>> title('Spectrul de amplitudine (modului(FFT)/N)');>> xlabel('Frecventa in Hz');>> phase = angle(Xi); >> for m = 1:N >> if abs(real(Xi(m)))& abs(imag(Xi(m))) < 1e-9;>> phase(m) = 0;>> end;>> end; >> subplot(212), stem((0:N-1)*fs/N, phase); grid;>> title('Spectrul de faza (unghiul (FFT))');>> xlabel('Frecventa in Hz');

Coala


2.5 Cu ajutorul programului fourier5 să se efectueze calculul spectrelor semnalelor armonice cu frecvenţele f1=130Hz şi f2=200Hz, utilizând intervalul de observare T=50ms şi frecvenţa de discretizare fs=800Hz. Deoarece pentru primul semnal intervalul de observare conţine un număr fracţionar de perioade m1=Tf1=6.5 se observă efectul, amintit mai sus, de întindere a spectrului(leakage effect). Pentru al doilea semnal, la care m2=Tf2=10, acest efect lipseşte. Este arătată de asemenea influenţa utilizării funcţiei Hanning cu scopul micşorării influenţei acestui efect.

Fourier 5>> f1 = 130; % Frecventa primului semnal >> f2 = 200; % Frecventa celui de al doilea semnal>> fs = 800; % frecventa de discretizare>> Ts = 1/fs;

>> x1max = 15; % Amplitudinea>> x2max = 5;

>> t = 0:0.1e-4:49e-3; % Diapazonul de timp pentru semnalele continue >> td = 0:Ts:49e-3; % Diapazonul de timp pentru semnalele discrete

Coala


>> x1 = x1max*cos(2*pi*t*f1-pi/2); % Semnalele continue>> x2 = x2max*cos(2*pi*t*f2+pi/3);

>> xd1 = x1max*cos(2*pi*td*f1-pi/2); % Semnalele discrete>> xd2 = x2max*cos(2*pi*td*f2+pi/3);

%------ Reprezentarea semnalelor>> figure(1); clf;>> subplot(211), plot(t,x1); hold on;>> stem(td,xd1); grid;>> title(['Semnalul cu frecventa f1 = ',num2str(f1),' Hz (fs = ',... num2str(fs),' Hz)']);>> xlabel('Timpul in secunde'); hold off;

>> tm = max(t)/1;>> p = find(t<=tm);>> q = find(td<=tm);

>> subplot(212), plot(t(p),x2(p)); hold on;>> stem(td(q),xd2(q)); grid;>> title(['Semnalul cu frecventa f2 = ',num2str(f2),' Hz (fs = ',... num2str(fs),' Hz)']);>> xlabel('timpul in secunde'); hold off;

%------ Reprezentarea FFT (modulul(FFT)/N si unghiul(FFT))>> Xi1 = fft(xd1);>> Xi2 = fft(xd2);

>> N = length(Xi1);>> N_2 = fix(N/2);

>> figure(2);>> subplot(211), stem((0:N_2-1)*fs/N, abs(Xi1(1:N_2)/N)); grid;>> title(['Spectrul de amplitudine a semnalului xd1 (f1 = ',... num2str(f1), 'Hz)']);>> xlabel('Frecventa in Hz');>> ylabel('Modulul (DFT/N)');

>> subplot(212), stem((0:N_2-1)*fs/N, abs(Xi2(1:N_2)/N)); grid;>> title(['Spectrul de amplitudine a semnalului xd2 (f2 = ',... num2str(f2), 'Hz)']);>> xlabel('Frecventa in Hz');>> ylabel('Modulul (DFT/N)');

%------ >> m1 = N*f1/fs;>> m2 = N*f2/fs;

>> in = 0:0.1:N-1;

Coala


>> Xdin1 = zeros(1,length(in));>> Xdin2 = zeros(1,length(in));

>> for l = 1:length(in) Xdin1(l) = sum(xd1.*exp(-j*2*pi*in(l)*(0:N-1)/N)); Xdin2(l) = sum(xd2.*exp(-j*2*pi*in(l)*(0:N-1)/N)); end;

>> in1 = find(in <= N_2);>> figure(3); clf;>> subplot(211), plot(in(in1)*fs/N, abs(Xdin1(in1)/N));>> hold on; stem((0:N_2-1)*fs/N, abs(Xi1(1:N_2)/N)); grid;>> hold off;>> title('DFT ca functie continua si discreta');>> ylabel('Modulul (DFT/N)'); >> xlabel(['Frecventa in Hz; (f1 = ',num2str(f1),' Hz; fs = ',... num2str(fs),' Hz; m1 = ',num2str(m1),')']);>> subplot(212), plot(in(in1)*fs/N, abs(Xdin2(in1)/N)); grid;>> hold on; stem((0:N_2-1)*fs/N, abs(Xi2(1:N_2)/N));>> hold off;>> ylabel('Modulul (DFT/N)'); >> xlabel(['Frecventa in Hz; (f2 = ',num2str(f2),' Hz; fs = ',... num2str(fs),' Hz; m2 = ',num2str(m2),')']);

>> w = hanning(N); >> w_t = hanning(length(t));>> text_1 = 'hanning';

>> figure(4); clf;>> xd1_f = xd1.*w';>> subplot(211), stem(td, xd1_f); hold on>> plot(t, x1.*w_t'); >> hold off; grid;>> title(['Semnalul xd1 cu efect ',text_1,' (f1 = ',... num2str(f1),' Hz; fs = ',... num2str(fs),' Hz)']);>> xlabel('Timpul in secunde'); hold off;%-------------------------------------------------------->> Xd1_f = fft(xd1_f);

>> in = 0:0.1:N-1;>> Xdin1_f = zeros(1,length(in));>> for l = 1:length(in) Xdin1_f(l) = sum(xd1_f.*exp(-j*2*pi*in(l)*(0:N-1)/N)); end;

>> subplot(212), stem((0:N_2-1)*fs/N, abs(Xd1_f(1:N_2)/N)); grid;>> hold on; >> plot(in(in1)*fs/N, abs(Xdin1_f(in1)/N));>> title(['Spectrul de amplitudine a semnalului xd1 cu efect ',text_1,' (f1 = ',... num2str(f1), 'Hz)']);>> xlabel('Frecventa in Hz');>> ylabel('Modulul (DFT/N)');

Coala


Coala


Coala


2.6 Să se genereze un semnal sub unui impuls unitar dreptunghiular cu

amplitudinea A=0.8 şi lăţimea w=0.5s. Vom da pasul de discretizare T s=0.01s, iar

durata analizei T= 1s.

» Ts=0.01;T=1;

» A=0.8;

» w=0.5;N=T/Ts;t=0:Ts:T;

» y=A*rectpuls(t,w);

» plot(t(1:100),y(1:100)); grid

Vom aplica procedura fft la vectorul y şi vom construi graficul modulului

rezultatului de frecvenţă.

» x=fft(y)/N;df=1/T;Fm=1/Ts;

» f=0:df:Fm;a=abs(x);

» stem(f,a);grid

Graficul spectrului este prezentat în intervalul de frecvenţe de la 0 la f s. Pentru

construcţia graficului modulului spectrului în formă obişnuită, în gama de frecvenţe

de la -fs/2 la fs/2 utilizăm comenzile

» xp=fftshift(x);f1=-Fm/2:df:Fm/2;

» a=abs(xp);stem(f1,a),grid;xlabel('Frecventa, Hz');

»ylabel('Modulul')

Vom construi graficele părţilor reale şi imaginare ale imaginii Fourier a impulsului dreptunghiular:

» Re=real(xp);Im=imag(xp);

» plot(f1,Re,f1,Im),grid

» xlabel('Frecventa, Hz')

» ylabel('Partea reala si imaginara')

Coala


Coala


Coala


Concluzii:

În urma efectuării acestei lucrări de laborator am constatat că:

- Cu ajutorul programului MATLAB, putem modela diferite forme a semnalelor neperiodice in forma discreta si continua. Studiind primul program observam spectrul de amplitudine si faza al semn periodic – analogic la care componenta continue are val 0,1, iar celelalte sunt armonicele acestui semnal, care sunt in descrestere. In spectrul de faza putem vizualiza care din armonici au faza 0 si care au faza 3,14 adica π. Studiind celelalte 2 programe, observam acelasi semnal doar cu componenta continue de 0,2 si 0,5, si, respectiv, armonicele acestora. Analizind aceste 3 grafice, putem concluziona ca odata cu marirea perioadei, amplitudinea scade, iar valoarea amplitudinii armonicelor scade mai incet;

- Studiint programul Fourier 3, pe spectrul de amplitudine al semnalului este clar accentuat faptul cum si in ce mod amplitudinea esantioanelor scade cu marirea perioadei;

- Cercetind programul Gibbs se poate observa ca odata cu marirea nr de armonice, calitatea aproximatiei se imbunatateste, astfel putem obtine un semnal dreptunghiular mai bun. In vecinatatea saltului semnalului sunt niste oscilatii, care sunt legate cu aşa numitul efectul Gibbs, ce apare la tăierea seriei Fourier;

- Studiind diferite semnale poliarmonice, cu diferite frecvente si amplitudini, putem observa spectrul acestora, cit si modului spectrului ce corespunde formei complexe a seriei Fourier cu coeficienţii de două ori mai mici ca amplitudinile reale, deoarece ele sunt “distribuite” egal între eşantioanele pozitive şi cele negative, la fel si partea reala si imaginara a acestor spectre complexe;

- Exista posibilitatea apariţiei în spectrul calculat a componentelor spectrale false la alegerea incorectă a frecvenţei fs de discretizare a semnalului. Pentru eliminarea efectului de suprapunere a spectrelor este necesar ca frecvenţa de discretizare să satisfacă condiţia . La fel se observă efectul de întindere a spectrului (leakage effect).

Documents

TTI [LAB.2]