TTG3D3a 4b Susunan N-AntenaIsotropisSegaris 2015 · 2015-11-24 · masing sumber isotropis pada diagram arah , diagram fasa, gain susunan, dan faktor susunan Parameter Susunan: Array

Modul#4b Modul#4b TTG3D3 TTG3D3 AntenaAntena dandan PropagasiPropagasi

Susunan N-Antena Isotropis Segaris

Susunan N-Antena Isotropis Segaris

Oleh :Nachwan Mufti Adriansyah, ST, MT

1Modul#4b - Susunan N Antena Isotropis Segaris

OutlineOutline

� Susunan N Antena Isotropis Distribusi Arus

Uniform

Pada sub bab ini, sejumlah N antena isotropis disusun dan

kemudian dilihat pengaruh perubahan distribusi arus pada masing-

masing sumber isotropis pada diagram arah , diagram fasa, gain

susunan, dan faktor susunan

Uniform

� Parameter Susunan: Array Factor & Gain Susunan

� Kasus-Kasus Distribusi Arus Uniform

� Susunan N Antena Isotropis Distribusi Arus Non-

Uniform

� Kasus: Distribusi Edge, Binomial, Dolph-Tscebishev


SusunanSusunan N N AntenaAntena

IsotropisIsotropis DistribusiDistribusi ArusArus

UniformUniform

Modul#4b - Susunan N Antena Isotropis Segaris 3

y

φcosd

Sehingga, medan gabungan

Et dapat dituliskan sebagai

berikut :

Referensi titik 1...

φλπ

=ϕ cosd2

Review:Review: 2 2 SumberSumber… … dgndgn AmplitudoAmplitudo dandan FasaFasa SamaSama

Maka E2 akan

mendahului sebesar :

Jika titik 1 dianggap

sebagai referensi (titik

dengan fasa = 0o ),

d

φx

φcosd

01 2


tE

ϕ= j

02 eEE

01 EE =

ϕ

berikut :

ϕ+= j

00t eEEE

SusunanSusunan N N SumberSumber……dgndgn DistribusiDistribusi ArusArus Uniform Uniform

Ke titik observasi pada medan jauhy

Referensi titik 1:

Normalisasi terhadap Eo,

ϕ−ϕϕ ++++= )1n(j2jj

tn e.....ee1E

ϕϕϕϕϕ ++++= jn3j2jjj

tn e.....eeeeE

ϕπ

=ϕ cosd2

j j2 j(n-1)

t 0 0 0 0E E E e E e ...... E eϕ ϕ ϕ= + + + +


d

φ

x1 2

φcosd

3

dn

-( ) ϕϕ −=+ jnj

tn e1e1E

−

−=

+−

= ϕ−

ϕ

ϕ−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2j

2j

2jn

2jn

2j

2jn

j

jn

tn

ee

ee

e

e

e1

e1E

Didapatkan,

ϕλπ

=ϕ cosd2

SusunanSusunan N N SumberSumber dgndgn DistribusiDistribusi ArusArus Uniform… Uniform…

d

Ke titik observasi pada medan jauh

φ

x

y

1 2

φcosd

3

dn

−

−=

+−

= ϕ−

ϕ

ϕ−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2j

2j

2jn

2jn

2j

2jn

j

jn

tn

ee

ee

e

e

e1

e1E

ϕ

6

dx

d

ζ∠

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Etn ϕ−=ζ2

1n

dan,

d = jarak spasi antar elemen

δ = beda fasa antar catuan arus yang berdekatan

Modul#4b - Susunan N Antena Isotropis Segaris

2d cos

πϕ = φ + δ

λ

Dengan cara yang sama, persamaan medan total ternormalisasi untuk referensi titik tengah, sbb :

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Etn

Diagram fasa persamaan

disamping berupa STEP

FUNCTION yang

diberikan dari polaritas

SusunanSusunan N N DistribusiDistribusi ArusArus Uniform Uniform

ζ∠

ϕ

ϕ

=sin

2nsin

Etn

Referensi titik 1:


2

sin diberikan dari polaritas

(+/-) harga Etn

Selanjutnya akan dipelajari :

• Menurunkan syarat medan maksimum dan minimum

• Array Factor

• Konsep Gain Susunan

• Tinjauan berbagai kasus

2

sin

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Etn

Medan Maksimum dan Minimum ...

• Medan maksimum terjadi jika suku penyebut sama

dengan atau mendekati nol

02

sin →

ϕatau 0

2→

ϕatau 0=ϕ

Jika ϕ tidak pernah mencapai harga nol, maka medan

maksimum terjadi jika ϕϕϕϕ mencapai harga minimum


maksimum terjadi jika ϕϕϕϕ mencapai harga minimum

• Medan minimum terjadi jika suku pembilang sama

dengan nol

02

nsin =

ϕatau

dst,...2,1,0kk

2n

=π±=

ϕ

Tetapi, k tidak boleh merupakan kelipatan dari n (k ≠ mn)

PR : Mengapa ?

Parameter Parameter SusunanSusunan

Faktor Susunan (Array Factor)Faktor Susunan (Array Factor)

Gain Susunan (Array Gain)


Array Factor ...Array Factor ...

Array factor :

“Normalisasi medan total susunan

antena terhadap nilai maksimum

dari medan total susunan tersebut” maks

tN

E

EEAFFactorArray ===

Contoh:


ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Et

Emaks tercapai pada ϕϕϕϕ = 0

n

2sin

2nsin

limE0

tmaks =

ϕ

ϕ

=→ϕ

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

n

1EN

Array Factor

tmaks

tN

E

EE =

Faktor susunan (untuk sejumlah sumber) dapat digambarkansebagai fungsi ϕ. Jika ϕ adalah merupakan fungsi φ, maka nilaidari faktor susunan dan pola medan akan dapat langsung diketahuidari grafik di bawah ini !

Array Factor ...Array Factor ...


Gain Gain SusunanSusunan

• Jika daya W masuk pada

1 antena � maka:

01 EE =

W

2

0av

EW ≈

η

01 EE =

Medan total susunan n antenaMedan total 1 antenaGF

t 1 0E E E⇒ = =

12

• Jika daya W masuk

pada n antena � maka

n

E'E 0

1 =

W

2

0av

EnW

n

≈ η

n

E'E 0

1 =


0t 1

EE n E ' n

n⇒ = =

Gain Gain SusunanSusunan ......

nEn

En'EnE 0

01makst ===

• Jika daya W masuk pada

1 antena � maka:

01 EE =

• Jika daya W masuk

pada n antena � maka

n

E'E 0

1 =


Definisi:

nE

nEG

0

0F ==

Penguatan Daya

( ) nGG2

F ==

Medan total susunan n antenaMedan total 1 antenaGF

Penguatan Medan

KasusKasus--KasusKasus SusunanSusunan

UniformUniform

1) Susunan broadside


2) Susunan endfire

3) Susunan endfire dgn direktifitas diperbesar

4) Susunan dengan medan maksimum untuk arahsembarang

Kasus #1 Susunan Broadside

Pola pancar broadside = pancaran menyebar , cocok untuk

komunikasi siaran (broadcast) , pola umum berbentuk “donat”

ϕ

ϕ

=sin

2nsin

Etn

Ke titik observasi pada medan jauhy

φcosd

Diinginkan medan

maksimum ketikaφ = π/2

15

ϕ2

sin

d

φ

x1 2

φcosd

3

dn

φ = π/2


0,2

d,4n =δλ

==

Arah maksimum, 2sin 0 cos

2

ϕ π= ϕ = φ+δ

λ

2

3dan

2m

ππ=φDidapat…

Kasus #1 Susunan Broadside…

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Etn

r md cos 0ϕ = φ =

Set,


2

Arah minimum,

02

nsin =

ϕ

dst,...2,1,0kk

2n

=π±=

ϕ

δ−π±=φ −

r

10

d

1

n

k2cos

±=φ→=

→=

1k

2k0

2

kcos

Didapat…oo

0 120/60 ±±=φ

oo0 180/0=φ

Pola pancar dan fasa susunan broadside


Susunan n elemen

antena disusun

Kolinier

Kasus #2 SusunanSusunan EndfireEndfire BiasaBiasa

Pola pancar endfire = pancaran menunjuk pada arah tertentu , cocok

untuk komunikasi point to point

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

EtnKe titik observasi pada medan jauh

y

Diinginkan medan

18

2

sin

d

φ

x1 2

φcosd

3

dn

Diinginkan medan

maksimum ketikaφ = 0o


Kasus #2 Susunan Endfire Biasa…

• Sifat endfire: E maksimum pada sudut φφφφ = 0 (φφφφm = 0 )

λ= = δ =

ϕ

ϕ

=

2sin

2nsin

Etn

Set,

Proses desain:

menentukan beda fasa δ yang memberi ,

harga Emaks pada kondisi φ=0atau ϕ=0o.


r m r

20 d cos d d

π⇒ = ϕ +δ ⇒δ = − = −

λ

• Untuk n = 4, d = λλλλ/2, didapat :

δ = -π

n 4, d , dicari!2

λ= = δ = • Jadi, ϕ=0o untuk φm =0o

sin 0 02

ϕ= ⇒ϕ =

Kasus #2 Susunan Endfire Biasa…


Kasus #3: Endfire Hansen-Woodyard dgn Direktifitas Diperbesar

• Syarat susunan Endfire Hansen-Woodyard dgn direktifitas diperbesar :

π+−=δ

ndr

( )n

1cosdr

π−−φ=ϕ⇒

• Emaks terjadi pada :


• Emaks terjadi pada :

ndan0 mm

π−=φ=φ

• Faktor susunan dapat dituliskan sbb:

ϕ

ϕ

π=

2sin

2

nsin

n2sinEN

Gambar diatas adalah contoh untuk :

π−=δλ

==4

5dan,

2d,4n

Kasus #4 : Medan Maksimum Untuk Arah Sembarang

Misalkan ditentukan medan maksimum untuk arah tertentu yang sembarang

• Maksimum terjadi ketika :

0=ϕ

ϕ

• Minimum terjadi ketika :


02

nsin =

ϕ

δ+φλπ

=ϕ cos2

dimana,

• Gambar disamping berasal dari perhitungan untuk :

om 60dan,

2d,4n =φ

λ==

SusunanSusunan N N AntenaAntena

IsotropisIsotropis DistribusiDistribusi ArusArus

NonNon--UniformUniform

� Distribusi Arus Binomial


� Distribusi Arus Binomial

� Distribusi Optimum (Dolph – Tschebyshev)

� Distribusi Edge

• Selain dgn pengaturan fasa untuk tiap catuan susunan, maka perubahan pola

pancar dapat juga dicapai dengan mengatur distribusi arus tiap catuan.

Tujuannya adalah untuk mendapatkan pola pancar yang diinginkan.

• Pada sub-bagian ini dipelajari beberapa macam distribusi arus tidak seragam dan

pengaruhnya pada pola pancar yang dihasilkan

Pendahuluan


Kasus#1: Kasus#1: DistribusiDistribusi Binomial Binomial ((DistribusiDistribusi John Stone)John Stone)

Distribusi binomial:

• amplituda arus harus sebanding

dengan koefisien-koefisien pada

deret suku banyak yang

memenuhi deret segitiga Pascal:

( ) ( ) ( )( )dst...ba

2n1nba1naba 23n2n1n1n +

−−+−+=+ −−−+


( ) ( ) ( )( )dst...ba

!2

2n1nba1naba 23n2n1n1n +

−−+−+=+ −−−+

Koefisien-koefisien

tersebut membentuk

Deret Segitiga Pascal

Sifat pengarahan yang didapatkan :

(1) perbandingan mayor terhadap minor lobe � ∞,

(2) lebar berkas mainlobe cukup besar

SusunanSusunan N N AntenaAntena IsotropisIsotropis DistribusiDistribusi

ArusArus NonNon--UniformUniform

Kasus #2: Distribusi Optimum Kasus #2: Distribusi Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)


KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum (DOLPH(DOLPH--TCHEBYSCHEF)TCHEBYSCHEF)

Tujuan distribusi Dolph-Tchebyscheff :

� untuk mendapatkan kriteria optimum dari pola pancar antena susunan. yaitukompromi antara lebar berkas (B) & perbandingan mayorlobe thd minorlobe (R)

Perbandingan antara mayor

2 macam kriteria optimum :

Lebar berkas mainlobe (B) ditentukan


Perbandingan antara mayor terhadap minor lobe (R) ditentukan

� maka lebar berkas main-lobe akan (menuju) minimum.

Lebar berkas mainlobe (B) ditentukan

� maka perbandinganmayor terhadapminorlobe akan (menuju) maksimum.

(maksimum):B R⇒ ↑↑ (minimum):R B⇒ ↓↓

Asumsi distribusi Dolph-Tchebyscheff:

• Antena ISOTROPIS dengan distribusi amplitudo arus

SIMETRIS

• Beda fasa antar elemen isotropis = 0 (δδδδ = 0)

• Jarak spasi antar elemen isotropis SERAGAM (d seragam)

KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum (DOLPH(DOLPH--TCHEBYSCHEF)TCHEBYSCHEF)

28

d2

ddgnr

r

r

sind

cosd

λπ

=θ=

φ=ϕSehingga, selisih fasa kuat medan penerimaan dari elemen berdekatan pd titik observasi yang jauh

θθθθ = 0

θθθθ

φφφφ


y

φcos2

d φcos2

d

Review:Review: SusunanSusunan 2 2 antenaantena isotropisisotropis

Jika titik O dianggap

sebagai referensi

(dianggap sbg titik

dengan fasa = 0o ),

Referensi titik 0...

Maka, E1 akan

tertinggal sebesar :

φλπ

=ϕ

cos2

d2

2

dan medan E2 akan

mendahului sebesar :

φλπ

=ϕ

cos2

d2

2

d

φx

2

01 2

2

Modul#4a - Konsep Dasar Susunan Antena 29

Sehingga, medan gabungan Et dr

2 elemen berjarak d:

2j

02

j

0t eEeEEϕ

−ϕ

+=

2cosE2E 0t

ϕ= φ=ϕ cosdr

d2

dr λ

π=

Maka, medan total Et dr 2 elemen

berjarak 3d:

t 0E 2E cos32

ϕ=

Review:Review: SusunanSusunan 2 2 antenaantena isotropisisotropis, , amplitudoamplitudo arusarus samasama

d

2d

2cosE2E 0t

ϕ=

E 2E cos3ϕ

=

t 0E 2E cos 22

ϕ=


3d

4d

5d

t 0E 2E cos32

ϕ=

t 0E 2E cos 42

ϕ=

t 0E 2E cos52

ϕ=

Referensi titik tengah susunan…

ϕ−

++ϕ

+ϕ

=2

1ncosA2...

23cosA2

2cosA2E e

k10ne

[ ]∑−=

=

ϕ+=

1Nk

0k

kne2

1k2cosA2E

ne = jumlah elemen (genap)

2

nN e=

k = 0, 1, 2, … , (N-1)

KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF))

Genap


k = 0, 1, 2, … , (N-1)

ϕ−

++ϕ+ϕ+=2

1ncosA2...2cosA2cosA2A2E o

k210no

[ ]∑=

=

ϕ=

Nk

0k

kno2

k2cosA2E2

1nN o −

=

no = jumlah elemen (ganjil)

k = 0, 1, 2, … , N

Ganjil

[ ]∑−=

=

ϕ+=

1Nk

0k

kne2

1k2cosA2E [ ]∑=

=

ϕ=

Nk

0k

kno2

k2cosA2E

KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF)…)…

GENAP GANJIL

A0 A0A1 A1A2 A2Ak Ak 2A0A1 A1

A2 A2Ak Ak


2 persamaan di atas, dapat dilihat sbg DERET FOURIER dengan suku

terbatas. Sepasang suku menyatakan “sepasang” sumber, dan dianggap sebagai

penjumlahan konstanta DC, fundamental, dan harmonik-harmonik.

Contoh :

θπ=θ

λλπ

=ϕ

λ==

sinsin2

2,maka

2ddan,9n

dan konstanta Ak diasumsikan � 2A0 = A1 = A2 = A3 = A4 = 1/2

[ ]∑=

=

ϕ=

Nk

0k

kno2

k2cosA2E

θπ=θ

λλπ

=ϕ⇒λ

== sinsin2

2

2ddan,9n

ϕ+ϕ+ϕ+ϕ+= 4cos3cos2coscos2

1E9

KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF)…)…


29

DC Fundamental Harmonik#2 Harmonik#3 Harmonik#4

Dalam distribusi arus OPTIMUM (Dolph-Tchebyscheff),

nilai konstanta-konstanta Ak ditentukan dgn perhitungan

untuk mendapatkan pola pancar optimum.

Optimum ditinjau dari sisi : Perbandingan mayor terhadap

minorlobe-nya (R), atau lebar berkas mainlobe (B)

KasusKasus #2: #2: DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF))

Arti: Metoda Dolph dipakai untuk mendapatkan susunan

optimum dengan menggunakan polinom Tchebyscheff


minorlobe-nya (R), atau lebar berkas mainlobe (B)

• Jika direncanakan susunan antena terdiri dari n sumber,

maka diagram arah medan susunan merupakan suku

banyak orde (n – 1)

� Suku banyak ini yang kemudian diekivalensikan

dengan Polinom Tchebyscheff orde (n – 1) �� Tn-1(x)

( ) ( ) ( )xTxTx2xT 1nn1n −+ −=

PersamaanPersamaan Medan Total Medan Total ∼∼∼∼∼∼∼∼ PolinomPolinom TchebyscheffTchebyscheff

m 0 cos m 12

ϕ= → =

m 1 cos m cos2 2

ϕ ϕ= → =

2m 2 cos 2 2cos 12 2

ϕ ϕ= → = −

0T (x) 1=

1T (x) x=

2

2T (x) 2x 1= −

totalE f cos m2

ϕ = ∼∼


2cosx

ϕ=dengan

m 2 cos 2 2cos 12 2

= → = −

3m 3 cos3 4cos 3cos2 2 2

ϕ ϕ ϕ= → = −

4 2m 4 cos 4 8cos 8cos 12 2 2

ϕ ϕ ϕ= → = − +

2

3

3T (x) 4x 3x= −

4 2

4T (x) 8x 8x 1= − +

m = kelipatan jarak d

5 3m 5 cos5 16cos 20cos 5cos2 2 2 2

ϕ ϕ ϕ ϕ= → = − +

5 3

5T (x) 16x 20x 5x= − +

Dibawah ini adalah grafik untuk polinom-polinom Tchebyscheff untuk nilai m = 1 sd 5

Sifat polinom :

1. Semua Tm(x) melewati

(1,1)

2. Jika –1 < x < 1, maka :

SifatSifat--sifatsifat PolinomPolinom TchebyscheffTchebyscheff


2. Jika –1 < x < 1, maka :

-1 < Tm(x) < 1

3. Semua akar Tm(x) ada

diantara –1 dan 1 atau

-1 < x0 < 1

4. Semua harga ekstrim

adalah �1

1. Untuk susunan n-sumber, pilih polinom orde (n – 1) � Tn-1(x)

( ) ( )

−−+−+= m

1

2m

1

20 1RR1RR

2

1x

2. Selesaikan Tn-1(x0) = R untuk mendapatkan harga x0. Untuk

m = n – 1 , dapat dihitung sebagai berikut :

ProsedurProsedur DesainDesain DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF))


37

( ) ( )

−−+−+=0 1RR1RR2

x

3. Penyekalaan. Jika R > 1, maka x0 > 1 juga. Padahal nilai x adalah berkisar (-1 < x < 1), sebab x = cos (ϕ/2). Lakukan perubahan skala x �� w

0x

xw =

2cosw

ϕ=

4. Persamaan medan total n-sumber

[ ]∑−=

=

ϕ+=

1Nk

0k

kne2

1k2cosA2E [ ]∑=

=

ϕ=

Nk

0k

kno2

k2cosA2E

n genap n ganjil

2

nN e=

2

1nN o −

=

ProsedurProsedur DesainDesain DistribusiDistribusi Optimum Optimum ((DOLPHDOLPH--TCHEBYSCHEFTCHEBYSCHEF))


5. Penyetaraan. En(w) disetarakan dengan Tn-1(x), dengan :

0x

xw =

( ) ( )xTwE 1nx

xwn

0

−==

Persamaan dapat dinyatakan dalam w (setelah penyekalaan)

Diperoleh harga-harga : A0, A1, A2, … Ak

dB26Rditentukan,2

d,8n dB =λ

==

1. Untuk n = 8, dipilih T8-1(x) = T7(x) = 64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x

2. R = 26 dB �� R(numerik) = 20

ContohContoh: : PerencanaanPerencanaan DistribusiDistribusi Optimum Optimum (DOLPH(DOLPH--TCHEBYSCHEF)TCHEBYSCHEF)


2. R = 26 dB �� R(numerik) = 20

( ) ( ) 1,15=

−−+−+= 7

1

27

1

20 1202012020

2

1x

Untuk orde

tinggi, x0 harus

teliti: 3-5 digit

3. R = 20 �� R > 1 , sehingga perlu perubahan skala !.

15,1

xw = untuk

2cosw

ϕ=

4. Persamaan setengah medan total (n = 8)

[ ]∑−=

=

ϕ+=

1Nk

0k

kne2

1k2cosA2E2

nN e=

27cosA

25cosA

23cosA

2cosAE 32108

ϕ+

ϕ+

ϕ+

ϕ=

persamaan medan total

persamaan setengah medan total



2222

1w18w48w322

7cos

w5w20w162

5cos

w3w42

3cos

w2

cos

246

35

3

−+−=ϕ

+−=ϕ

−=ϕ

=ϕ

Substitusi dgn w,

setelah

penyekalaan

medan total

( ) ( ) ( )( )w7w56w112w64A

w5w20w16Aw3w4AwAwE

3573

352

3108

−+−+

+−+−+=

( ) ( )( )wA16A112

wA64wE

5

738

−−

=



( )( )( )wAA3A5A7

wA4A20A56

wA16A112

0123

3123

523

−+−−

+−+

−−

= 64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x

5. Penyetaraan

( ) ( )xTwE 7x

xw8

0

==

( )

xA4A20A56

x15,1

A16A112

x15,1

A64wE

3123

5

7

23

7

7

38

+−

+

−−

= = 64x7

= – 112x5

Didapatkan :

A3 = 2,66

A2 = 4,56

A = 6,82



x15,1

AA3A5A7

x15,1

A4A20A56

7

0123

3

7

123

−+−−

+−+ = + 56x3

= – 7x

A1 = 6,82

A0 = 8,25

Jadi, kita dapatkan distribusi amplituda arus :

A3 A2A1 A0 A0 A1 A2

A3

2,66 : 4,56 : 6,82 : 8,25 : 8,25 : 6,82 : 4,56 : 2,66

1 : 1,7 : 2,6 : 3,1 : 3,1 : 2,6 : 1,7 : 1Atau,

Diagram Arah :

Untuk mendapatkan diagram arah kuat medan, dapat ditabelkan lalu diplot, untuk nilai-nilai variabel : θθθθ, x, En

θ=

2

sindcosxx r

0dan En = Tn-1(x)



Di bawah ini adalah perbandingan pola pancar yang dihasilkan dari beberapa distribusi arus untuk jumlah elemen 8 (n = 8)

ContohContoh: :


Berbagai distribusi arus

(ternormalisasi) untuk

berbagai R dengan n = 8.

Susunan dengan distribusi

BINOMIAL dan EDGE

merupakan SUBSET / kasus

dari distribusi DOLPH-

TCHEBYSCHEFF

ContohContoh: :


TCHEBYSCHEFF

Supplement SlidesSupplement Slides

PengenalanPengenalan PolinomPolinom TchebyscheffTchebyscheffPengenalanPengenalan PolinomPolinom TchebyscheffTchebyscheff


m

2jm

2sinj

2cos

2msinj

2mcose

ϕ+

ϕ=

ϕ+

ϕ=

ϕ

Teorema de Moivre

m

2sinj

2cosRe

2mcos

ϕ+

ϕ=

ϕ

sehingga,

PengenalanPengenalan PolinomPolinom TchebyscheffTchebyscheff


222

...2

sin2

cos!4

)3m)(2m)(1m(m

2cos

!2

)1m(m

2cos

2mcos

44m

2mm

−ϕϕ−−−

+

ϕ−−

ϕ=

ϕ

−

−

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai Deret Binomial sbb:

A

2cos

2mcos1m

12

mcos0m

ϕ=

ϕ→=

=ϕ

→=

A

2cos1

2sin 22 ϕ

−=ϕ

substitusiBentuk disamping kiri bawah, bersesuaian dengan Polinom Tchebyscheff, dgn rumus rekursif :

( ) ( ) ( )xTxTx2xT 1nn1n −+ −=( )( )( ) 1x2xT

xxT

1xT

22

1

0

−=

=

=



dst

12

cos82

cos82

mcos0m

2cos3

2cos4

2mcos3m

12

cos22

mcos2m

22

24

3

2

+ϕ

−ϕ

=ϕ

→=

ϕ−

ϕ=

ϕ→=

−ϕ

=ϕ

→=( )( )( )( )( )

dst

x7x56x112x64xT

1x18x48x32xT

x5x20x16xT

1x8x8xT

x3x4xT

3577

2466

355

244

33

2

−+−=

−+−=

+−=

+−=

−=

2cosx

ϕ=

dengan

Dibawah ini adalah grafik untuk polinom-polinom Tchebyscheff untuk nilai m = 1 sd 5

Sifat polinom :

1. Semua Tm(x) melewati

(1,1)

2. Jika –1 < x < 1, maka :



2. Jika –1 < x < 1, maka :

-1 < Tm(x) < 1

3. Semua akar Tm(x) ada

diantara –1 dan 1 atau

-1 < x0 < 1

4. Semua harga ekstrim

adalah �1

Pemahaman grafik polinom Misalkan R adalah perbandingan antara mainlobe

maksimum dan minorlobe level level minorlobe

maksimum mainlobeR =

Tn-1(x)R

• Tn-1(x) adalah menggambarkan diagram arah medan untuk sejumlah n elemen � En



• Titik (x0 , R) pada kurva menggambarkan harga mainlobe maksimum

• Akar-akar polinom menunjukkan harga-harga NOL diagram medan

• FNBW (First Null Beamwidth) pada titik (x = x1’)

End Of Modul#4b End Of Modul#4b


Documents

TTG3D3a 4b Susunan N-AntenaIsotropisSegaris 2015 · 2015-11-24 · masing sumber isotropis pada diagram arah , diagram fasa, gain susunan, dan faktor susunan Parameter Susunan: Array