T_S11_Identidades Para Angulo Mitad II y Angulo Triple

8/18/2019 T_S11_Identidades Para Angulo Mitad II y Angulo Triple

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11TEMA

IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD (II)

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE

T R I G O N O M E T R Í A – T E M A

I. FÓRM ULA RACI ONALI ZADA DEL ÁNGULO MITAD

A.x

Tan Cscx – Cotx2

=

Demostración de:x

Tan Cscx –Cotx2

=

Sabemos que:

xSenx 2Tan

x2Cos

2

=

; multiplicando por:

x2Sen

2 (Numerador y denominador), tendremos:

2

Senx

x x xSen 2Sen 2Senx 1 – Cosx2 2 2Tan .

x x x x2 SenxCos 2Sen 2Sen Cos2 2 2 2

= = =

x 1 CosxTan –

2 Senx Senx

=

xTan Cscx –Cotx

2

∴ =

B.x

Cot Cscx Cotx2

= +

Demostración de:x

Cot Cscx Cotx2

= +

Sabemos que:

xCosx 2Cot

x2 Sen2

=

; multiplicando por:

x2Cos

2 (Numerador y denominador), tendremos:

2

Senx

x x xCos 2Cos 2Cosx 1 Cosx2 2 2Cot .x x x x2 SenxSen 2Cos 2Sen Cos2 2 2 2

+ = = =

x 1 CosxCot

2 Senx Senx

= +

xCot Cscx Cotx

2

∴ = +

II.IDENTIDADES AUXILIARESSabemos:

• ( )x

Cscx Cotx Cot ..... I2+ = • ( )x

Cscx– Cotx Tan ..... II2=

( ) ( )x x

I II 2Cscx Cot T an2 2

+ ⇒ = +

( ) ( )x x

I – II 2Cotx Cot – T an2 2

⇒ =

Ejercicios de aplicación:

Csc40 Cot40 Cot20° + ° = ° Csc6 – Cot6 Tan3α α = α

Cot20 Tan20 2Csc40° + ° = ° Cot12 – Tan12 2Cot24θ θ = θ

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD (II)

En este capítulo el estudio de las identidades del ángulo mitad la haremos para su forma racionalizada. Tambiéndesarrollaremos las identidades para el ángulo triple. Ambos temas tienen mucha preferencia en exámenes de admisión,sin olvidarnos del capítulo de identidades trigonométricas para un mismo ángulo que es la base de la resolución deproblemas. Para este capítulo tenemos los siguientes objetivos:

– Identificar, reconocer y aplicar las identidades del ángulo mitad en su forma racionalizada. – Reconocer las identidades auxiliares así como las propiedades para su aplicación en la reducción de problemas.


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128TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III11

TEMA

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE

A. 3Sen3x 3Senx– 4Sen x=

Demostración:

Sen3x = Sen (2x + x)Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx

Sabemos por ángulo doble

Sen2x 2SenxCosx=

2Cos2x 1–2Sen x=

Reemplazando:

Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 – 2Sen x) Senx2

2 3Sen3x 2SenxCos x Senx– 2 Sen x= +

Sabemos:2 2

Cos x 1– Sen x=

Reemplazando:

Sen3x = 2Senx (1 – 2Sen x)+ Senx – 2Sen x2 3

3 3Sen3x 2Senx– 2 Sen x Senx– 2 Sen x= +

3Sen3x 3Senx– 4Sen x=

Análogamente3Cos3x 4Cos x –3Cosx=

B. ( )Cos3x Cosx 2Cos2x –1=

Demostración:

Sabemos

3Cos3x 4Cos x –3Cosx=

2Cos3x Cosx 2 x 2Cos x – 3

=

Recordando

2

1 Cos2x 2Cos x+ = Doble

( )Cos3x Cosx 2 1 Cos2x – 3 = +

( )Cos3x Cosx 2Cos2x–1=

C.3

2

3Tanx – Tan xTan3x

1–3Tan x=

Demostración:Sabemos:

( )( )

TanA TanB TanC– TanATanBTanCTan A B C

1– TanATanB TanATanC TanBTanC+ +

+ + =+ +

Sea:

( )Tan3x Tan x x x= + +

( )

Tanx Tanx Tanx – TanxTanxTanxTan3x

1– TanxTanx TanxTanx TanxTanx+ +

=+ +

Efectuando operaciones:

3

2


1–3Tan x=

En general:

( )

( ) ( )

3Sen3x 3Senx –4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

=

= +

= ° ° +

( )

( ) ( )

3Cos3x 4Cos x– 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x–1

Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x

=

=

= ° ° +

( ) ( )

3

2


1–3Tan x

Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

=

= ° ° +

Nota:

( ) ( )Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60 x= ° ° +

Triángulo notable

IDEAS FUERZA

Triángulo notable

IDEAS FUERZA


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129SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA11

TEMA

Problema 1

Si: x20π

= , afirmar si es verdadero (V)

o falso (F)

I.5 –1

Sen2x4

=

II. ( )3

Cos 3x 105

= + =

III.5 1

Sen4x4

+=

Ni vel fácil

A) VVV B) VVF C) FFFD) VFF E) FFV

Resoluc ión:

Por dato x 9= °

I)5 –1

Sen184

° = (V)

II) ( )4

Cos 3x9 10 Cos375

° + ° = ° = (F)

III) ( )10 –2 5

Sen4 9 Sen364

= ° = (F)

Respuesta : D) VFF

NIVEL I

1. Simplificar:xTan Cotx2M

xCotx Cot2

A) 1 B) –1 C) 0

D)1

2E)

1

3

2. Simplificar:

3

3Sen3x Sen x ACos x Cos3x

A) Cotx B) Tanx C) SenxD) Cosx E) Secx

3. Simplificar:

x A Senx TanxCot 12

A) Tanx B) Cotx C) 1

D) 0 E)12

4. Calcular:K = 8Cos340º – 6Cos40º

A) 1 B) –1 C) 2

D) –2 E) 12

NIVEL II

5. Simplificar:

xE Tan (1 Cosx)Cotx2

A) Senx B) Cosx C) TanxD) Cotx E) Secx

6. Si:

2

Sen(30º x)4

Calcular: Cos3x

A)3 2

8B)

5 28

C)7 2

8D)

9 28

E)2

8

7. Simplificar:E=(Secx-1)(Cscx+Csc2x+Csc4x+Cot4x))

A) 1 B) Tanx C) CotxD) Senx E) Cosx

8. Simplificar:E = Cot18º(4Cos18º – 3Sec18º) A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

9. Simplificar: A=(Tan7x+Tan3x+Tan10xTan7x.Tan3x)Cot5x

Problema 2

Si: x y2π

+ = y ademásx

Cot 2 Secy2

= +

Calcular:K 6Tanx 5 Cosx= +

Nive l in t erm ed io

A) 1 B) 2C) 3 D) 4E) 5

Resoluc ión:

Aplicamos la fórmula de ángulo mitadCscx Cotx 2 Secy+ = +Por razones complementarias:

Secy Cscx=

Reemplazando

Cotx = 21

CACO

5

x2

1

Reemplazando en K

1 2K 6 5 K 5

25

= + → =

Respuesta : E) 5

Problema 3Hacer más simple la expresión:

2E 4Cos x –Cos3xSecx=Nive l in t erm ed io

A) 1 B) –1C) 3 D) 4E) 5

Resoluc ión:

( )2 31

E 4Cos x – 4Cos x – 3CosxCosx

=

Factorizando en el 2° término

( )2 21

E 4Cos x – Cosx 4Cos x – 3Cosx

=

2 2E 4Cos x –4Cos x 3= + = 3

Respuesta : E) 3


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130TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III11

TEMA

A) Sec10x + 1 B) Sec10x – 1C) Csc10x + 1 D) Csc10x – 1E) Sec10x – 3

10. Si:

1Cos6 Sec24

Calcular:

Cos8 A)

532 B)

332

C) 732 D)

932

E) 1132

11. De la figura: AOB es un sector circularO, O1 son centrosCalcular:

K Cot Tan

4

A) 1

B) –1

C) 2

D) –2

E) 1/2

12. Calcular: A = (1 – Cos40º)(1 – Cos80º)(1 – Cos160º)

A)18 B) 2 C)

38

D) 4 E) 6

NIVEL III

13. Si:

1Tan Cot a4 2

Calcular:

Cos

A) 1 – a2 B) 1 – 2a2

C) 1 + a2 D) 1 + 2a2

E) 1 – a

14. Calcular:

3M Sec80º 1 6Sen10º

A)3

4 B) 3

4C) 2 D) –2E) 1

15. Si se cumple:

3 21 Cos9 (x 3x 1)

1 Cos3Calcular el valor de x. A) 2Sen B) 2Cos C) 2Sen2 D) 2Cos2 E) Cos3

1. Completar (Ángulo mitad)Tan10º = ___________________ Tan3x = ___________________

Cot4 = ___________________

2. Completar (Ángulo triple)

Sen3x = ___________________ Sen3x = ___________________ Sen3x = ___________________

3. Completar:

4. Completar (Ángulo triple)Cos27º = ___________________ Cos27º = ___________________

Cos27º = ___________________

5. Calcular:Sen18º + Cos36º = ____________________ Tan26º30' + Tan18º30' = _______________

Cos Cot26º30 '

8 = __________________

6. Indicar el equivalente de:Cot5x – Tan5x = _____________________ Cot40º + Tan40º = ___________________

Tan Cot

2 2 = _____________________

7. Calcular:Sen10ºSen70ºSen50º = ___________________ Cos20ºCos40ºCos80º = ___________________ Tan5ºTan55ºTan65º = ___________________

8. Completar:3Sen10º – 4 Sen310º = ___________________ Cos20º(2Cos40º –1) = ___________________ 4Cos340 – 3Cos40º = ___________________

9. Completar:Sec36º = ____________________ Csc18º = ____________________

Tan8 = ____________________

10. 0º < x < 90º

I. 1Senx5

Calcular xCot2

= ________________

II. 2Cosx3

Calcular xTan2

= ________________

III. 1Tanx4

Calcular xCot2

= ________________


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