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Matemticas I

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Matemticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Direccin General de Materiales Educativos (DGME) de la Subsecretara de Educacin Bsica,Secretara de Educacin Pblica.

Coordinacin tcnico-pedaggica

Direccin de Desarrollo e Innovacin de Materiales Educativos,DGME/SEPMara Cristina Martnez Mercado, Gabriel Caldern Lpez,Alexis Gonzlez Dulzaides

AutoresDiana Karina Hernndez Castro, Jos Alfredo Rutz Machorro,Citlali Yacapantli Servn Martnez, Eladio Escobedo Trujillo,Francisco ngel Vela Snchez, Leonardo Jimnez Hernndez,Adriana Rodrguez Domnguez, Olga Leticia Lpez Escudero,

Manuel Garca Minjares, Jess Manuel Hernndez Soto, Vctor ManuelGarca Montes, Ana Mara Lpez Avils, Mauricio Hctor Cano Pineda,Jess Miguel Buenda Solorio

Revisin tcnico-pedaggicangel Daniel vila Mujica

Coordinacin editorial

Direccin Editorial DGME/SEPAlejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza

Cuidado editorial

Anne Alberro Semerena

Produccin editorialMartn Aguilar Gallegos

Primera edicin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2012 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN: 978-607-514-022-3

Impreso en MxicoDISTRIBUCINGRATUITA-PROHIBIDASU VENTA

Servicios editoriales

Roco Mireles Gavito

Diseo y diagramacinRoco Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafn

Investigacin iconogrfica

Cynthia Valdespino, Erandi Alvarado

Correccin de textosEduardo Mndez Olmedo

Ilustraciones

Leonardo Olgun Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180,183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).

Crditos iconogrficos

Adam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59,60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63,78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207,227, 234); Fernando Villafn (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242,278); Roco Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29,66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208,248, 249, 252, 271, 279, 282)

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Presentacin institucionalPresentacin

En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulacin

de la Educacin Bsica, as como del Acuerdo 593 que seala los programas

de estudio de la asignatura de Tecnologa para la educacin secundaria, la

Secretara de Educacin Pblica ha consolidado una propuesta de libros de

texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participacin de los alumnos

en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias bsicaspara la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria,

el libro de texto se complementa con las Tecnologas de la Informacin

y Comunicacin (TIC), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y

equipos audiovisuales e informticos que, junto con las bibliotecas escolares,

representan el soporte pedaggico de los nios mexicanos en su proceso de

adquisicin del conocimiento escolarizado.

Esta nueva generacin de libros de texto para Telesecundaria responde al

principio de mejora continua, por lo que ha puesto atencin en el replanteamiento

de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el

trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas

fuentes de informacin, busca que los estudiantes adquieran habilidades para

aprender de manera autnoma incentivando el uso intensivo de la tecnologa

informtica. Asimismo, con la intencin de dar continuidad a la propuesta

editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido

la lnea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto

el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus pginas una muestra

representativa de gneros y tcnicas plsticas, as como propuestas iconogrficas

que no slo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman

por s mismos una fuente de informacin para el alumno.

En la preparacin de este libro confluyen numerosas acciones de colaboracin

de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres

de familia, investigadores del campo de la educacin, instituciones evaluadoras,

maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretarade Educacin Pblica les extiende un agradecimiento por el compromiso

demostrado con cada nio residente en el territorio nacional y con aquellos

mexicanos que se encuentran fuera de l.

Secretara de Educacin Pblica

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Bloque 2

Bloque 1

ndice

Conoce tu libro 6

8

Secuencia 1 De fraccin a nmero decimal 10

Secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta 18

Secuencia 3 Sumas y restas de fracciones 26

Secuencia 4 Sucesiones de nmeros y figuras 31

Secuencia 5 Literales en frmulas geomtricas 40

Secuencia 6 Trazo de tringulos y cuadrilteros50

Secuencia 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los tringulos 56

Secuencia 8 Reparto proporcional 62

Secuencia 9 Juegos de azar 68

78

Secuencia 10 Criterios de divisibilidad 80

Secuencia 11 MCD y mcm 88

Secuencia 12 Sumas con fracciones y decimales 93

Secuencia 13 Multiplicacin y divisin con fracciones 98

Secuencia 14 Propiedades de la mediatriz y bisectriz 106

Secuencia 15 Frmulas para calcular rea y permetro 112

Secuencia 16 Proporcionalidad directa 118

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Bloque 5

Bloque 4

Bloque 3 124

Secuencia 17 Multiplicacin con decimales 126

Secuencia 18 Divisin con decimales 130

Secuencia 19 Ecuaciones de primer grado 134

Secuencia 20 Construccin de polgonos regulares 142

Secuencia 21 Clculo de rea y permetro 149

Secuencia 22 Factor de proporcionalidad 154

Secuencia 23 Registro de una experiencia aleatoria 162

Secuencia 24 Anlisis de frecuencia absoluta y relativa 170

178

Secuencia 25 Nmeros positivos y negativos 180

Secuencia 26 El crculo y cmo construirlo 189

Secuencia 27 Pi en el crculo 196

Secuencia 28 Regla de tres 203

Secuencia 29 Proporcionalidad utilizando escala 210

Secuencia 30 Problemas de conteo 214

Secuencia 31 Tipos de grficas 225

234

Secuencia 32 Sumas y restas con enteros 236

Secuencia 33 Notacin exponencial 244

Secuencia 34 Raz cuadrada 252

Secuencia 35 Sucesiones con progresin aritmtica 262

Secuencia 36 rea y permetro del crculo 269

Secuencia 37 Proporcionalidad mltiple 278

Hoja para las familias 284

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6

Has estudiado Matemticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la se-

cundaria, uno de los propsitos del plan de estudios es que uses lo que ya sa-

bes para aprender los nuevos conocimientos que te sern presentados. Tu

profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnolgi-

cos, te ayudar a que lo logres.

Lo primero ser conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman.

Tu libro de Matemticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias deaprendizaje. En cada secuencia estudiars un tema del programa de Matemticas a travs devarias sesiones. Una sesin est diseada para que la trabajes en una clase, aunque en oca-siones ser necesario que le dediques un poco ms de tiempo.

Conoce tu libro

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7

En cada secuencia de aprendizaje podrs encontrar los apartados siguientes:

196

Secuencia

27

Pi en el crculo

Justificacin de la frmula para calcular la longitudde la circunferencia y el rea del crculo (grfica

y algebraicamente). Explicacin del nmero (pi)

como la razn entre la longitud de la circunferenciay el dimetro.

Sesin 108En esta sesin medirs el permetro de una circunferencia.

Qu sabes t?Observa la siguiente imagen.

Formen parejas y propongan cmo calcular la longitud de la circunferencia (permetro) y el rea

del crculo de la imagen anterior.

Qu mtodos se les ocurrieron y qu resultados obtienen utilizndolos?

crculocircunfere

ncia

radio

dimetro

-matematicas1.indb 1 1 1 1 :

B3

176

Sesin 98

Evaluacin

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.

1. Jacinto requiere comprar 150.45 dlares para pagar un artculo que se ofrece en una tienda

en internet. Cuntos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio est en

$14.30?

a) $ 2 152.534

b) $ 2 152.354

c) $ 2 152.435

d) $ 2 152.4035

2. Considera la ecuacin 9 x= 270.

Cul de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuacin anterior?

a) El volumen de un enegono regular mide 270 cm.

b) El rea de un enegono regular mide 270 cm.

c) El permetro de un enegono regular mide 270 cm.

d) El permetro de un enegono irregular mide 270 cm.

3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se

muestra en la tabla.

Tiempo (minutos) 21 min 42 min 55 min 84 min

Distancia 7 km 14 km 28 km

Si corre durante 55 minutos, qu distancia recorri?

a) 15.00 km

b) 20 km

c) 18.33 km

d) 22 km

4. Un rollo higinico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, cuntas

hojas higinicas contiene el rollo?

a) 300.23

b) 499.10

c) 400.51

d) 420.19

_ A 1 _ _ .in dd 1 -1

B1

76

3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

bolsa. Obtuvieron los mismos resultados?

Si algn equipo eligi la bolsa 4, pregntenle cul fue el color de canica que ms veces sali?

Por qu consideran que se obtuvieron esos resultados?

Si algn equipo eligi la bolsa 2, pregntenle cul fue el color de canica que ms veces sali?

Consideran que influye el hecho de que hay igual nmero de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, qu color ha salido con ms

frecuencia?

Se puede saber el color de la canica que sale en una extraccin?

Comparen los clculos que hicieron y vean quines se acercaron ms.Si el juego se gana cuando se saca ms veces una canica azul, qu bolsa conviene elegir?

Autoevaluacin

Responde lo siguiente.

1.Describe un juego que sea de azar.

2.Si se lanza una canica por cada laberinto, en cul de ellos es ms probable que salga la

canica por la salida 1?

a)

1 1 112 2 223 33 4

b) c) d)

En los juegos de azar no podemos predecir quin ganar porque no se puede controlar los resultados. Sin

embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.

_ A 1 _ 1_ .indd 1 1 1 :

B4

230

Sesin 129En esta sesin resolvers problemas utilizando grficas circulares.

Manos a la obra

1. La siguiente informacin se refiere a la distribucin porcentual de horas a la semana que los

integrantes del hogar de 12 y ms aos d e edad dedican a actividades de esparcimiento.

Convivenciasocial

Asistenciaa eventosculturales, deportivosy de entretenimiento

Deportes y ejerciciofsico

Participacinenjuegosy aficiones

Utilizacinde mediosmasivos de comunicacin

59.0

4.2

2.16.7

28.1

Fuente: INEGI, EncuestaNacional de Usodel Tiempo 2009.

A qu actividad le dedican ms tiempo?

A qu actividad le dedican menos tiempo?

A la grfica circular se le llama tambin de pastel, o diagrama de sectores, y se

construye empleando la frecuencia relativa (fraccin o nmero decimal) de cada dato.

Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.

Consulta en

Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes grficas de estadsticas:

- m at e ma t ic a s1 . in d b 1 1 1 :

B2

110

La bisectriz de un ngulo es la recta que lo divide en dos

ngulos iguales.

Tambin es el lugar geomtrico de los puntos del plano que

estn a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas

de un ngulo.

Slo en un tringulo equiltero la bisectriz de sus tres

ngulos internos es tambin la mediatriz de los lados

opuestos.

Sesin 60

En esta sesin continuars aplicando las propiedades

de la bisectriz de un ngulo.

Manos a la obra

Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

Un dato interesante

Un problema que interes durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tresngulos iguales) un ngulo, utilizando slo regla y comps. En el siglo XIX se demostr que

esto es imposible.

Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con

ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de

este punto a los lados del ngulo. Mdelas.

Qu observas?

En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las pro-

piedades de la bisectriz que utilizaron en la solucin y tra-

zo de esta situacin.

Dibujen en su cuaderno tres ngulos de diferentes tama-

os y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y sealen

con color rojo las partes en las que se observen las propie-

dades de dicho lugar geomtrico.

En la figura de la derecha podemos observar un tringulo

rectngulo. Si el segmento BC representa el pilar central

de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se

pretenden colocar tres tirantes ms que salgan del vrti -

ce B dividiendo al ngulo en partes iguales, en qu pun-

tos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre

el puente?

b

ca

A

B

C

En cuntas partes es necesario dividir el ngulo B para

colocar las tres cuerdas?

Los extremos sobre el segmento b quedan a la misma

distancia uno del otro?

Cuntas veces se puede dividir un ngulo?

.

.

.

, ,

,

.

:

.

:

,

_ A 1_ _ 1 .indd 11 -111 1 1 11: A

B4

200

Sesin 111En esta sesin encontrars una frmula para calcular el rea de un crculo.

Manos a la obra

Lleva a cabo las siguientes actividades.

1. Observa la imagen.

Mide y calcula el permetro y el rea de los polgonos. Antalos abajo de cada uno.

Qu sucede con los permetros conforme aumenta el nmero de lados del polgono?

Y con el rea?

Qu relacin hay entre el permetro de los polgonos y el permetro de la circunferencia?

Qu relacin hay entre el rea de los polgonos y el rea del crculo?

2. En equipos, analicen las construcciones de la sesin anterior.

- m at e ma t ic a s1 . in d b 1 1 1 :

EvaluacinSe te presentarn tanto ejercicios comoproblemas en los que podrs elegir larespuesta correcta entre cuatro opcio-nes, aunque en algunos casos tendrsque escribir una respuesta breve.

Consulta en

Son sugerencias para que revises otros ma-teriales, de modo que puedas ampliar yejercitar tus aprendizajes por medio de vi-deos, libros de la biblioteca y sitios de in-ternet, entre otros.

En cada bloque encontrars:

Un dato interesante

Es una informacin curiosa y a veces pococonocida.

Autoevaluacin

Su propsito es que valores los aprendi-zajes, tanto de conocimientos como dehabilidades, que desarrollaste durante lasecuencia, contestando una pregunta ocompletando alguna informacin.

Manos a la obraInicia con una breve introduccin, la cual continacon una actividad en la que hallars preguntas quete ayudarn a construir tu conocimiento y a analizarlo que ests aprendiendo. Algunas veces trabajarsindividualmente y otras en equipo o con todo el gru-po. En esta seccin tambin encontrars las conclu-siones sobre los conceptos estudiados.

Qu sabes t?Es una actividad que te permitir diagnosticary rescatar las ideas previas. Aqu se relacionael nuevo conocimiento que aprenders conalgo que ya hayas estudiado.

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Bloque1

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9/77

Convertirnmerosfrac

cionariosadecimalesyv

iceversa.

Conoceryutilizarlasc

onvencionespararepres

entar

nmerosfraccionariosyd

ecimalesenlarectanum

rica.

Representarsucesione

sdenmerosodefigura

sapartir

deunareglada

dayviceversa.

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10

Secu

encia

1

De fraccina nmero decimal

Conversin de fracciones decimales y no decimalesa su escritura decimal y viceversa.

Sesin 1En esta sesin identificars lo que es una fraccin decimal.

Qu sabes t?Renete con un compaero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando sison decimales o no.

34

37

12

310

59

31100

16

58

231000

9210

411

Fracciones decimales Fracciones no decimales

Escriban en la tabla dos ejemplos ms en cada columna.

Comenta con tu compaero cmo establecieron cules son las fracciones decimales.

Recuerda que toda expresin de la forma ab

,donde b es diferente de cero, recibe elnombre de fraccin comn.

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11

1. Junto con tu compaero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.

Contesten lo siguiente:

Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, son tambin

fracciones comunes?

Observen las fracciones siguientes:

310

31100

231000

Qu pueden comentar sobre los denominadores?

2. En equipos, contesten lo que se les pide.

Escriban una fraccin decimal que sea equivalente a 25 =

Cmo obtuvieron esa fraccin decimal equivalente?

Encuentren una fraccin decimal que sea equivalente a 23 =

Pudieron obtenerla?

Por qu?

Completen el siguiente enunciado:

Una fraccin comn puede expresarse como fraccin decimal cuando

A las fracciones comunes que tienen

como denominador una potencia de10, es decir 10, 100 y 1 000 se lesconoce como fracciones decimales.

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B1

12

Sesin 2En esta sesin representars fracciones comunes en su notacin decimal.

Manos a la obra

1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.Adrin compr cuatro carretes de listn de 15 m cada uno, necesita hacer moos de dife-rentes tamaos y para ello cortar un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, eltercero en 5 y el cuarto en 2.

Cunto medir cada trozo?

Del primer carrete Del segundo carrete

Del tercer carrete Del cuarto carrete

Cmo determinaron lo que debe medir cada tramo de listn?

Realizaron alguna operacin?

Cul?

Cules trozos se pueden representar con una fraccin decimal?

2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproxi-men sus resultados a dos o tres cifras decimales.

a) 45 = b)310= c)

214 = d)

35100=

e) 57 = f)49 = g)

715= h)

32 =

Pongan atencin en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente:

En cules casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0?

Qu observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0?

Con la participacin de todo el grupo y con la gua de su profesor concluyan cmoobtener la notacin decimal de una fraccin comn. Antalo en tu cuaderno.

En algunas ocasiones, las fracciones comunesrepresentan divisiones como en el problemaanterior, donde el numerador es el dividendo

y el denominador es el divisor, esto esnd

= d n

Una fraccin se puedeescribir tambin con nota-cin decimal.

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S1

13

En esta sesin obtendrs la representacin de nmeros decimales como

fracciones comunes.

Sesin 3

Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Al dividir ciertos nmeros enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000)Noem obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen unposible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente.

Cociente 0.4: divisor , dividendo






Comparen sus respuestas con las de otros equipos.

Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores.

2. En parejas, contesten las preguntas siguientes.

a) En una clase de telesecundaria Martn dice que 0.4 corresponde a 410, y Hctor que a 25 .Quin de los dos tiene la razn?

b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 920, y Guadalupe que a45100.

Quin de los dos est en lo correcto?

Son equivalentes las fracciones 920 y45100? Por qu?

c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milsimas a una fraccin decimal y sim-

plificarla, obtuvo 18 . Es correcto lo dicho por Rosa?

Expliquen brevemente por qu.

d) Cmo se convierte un nmero decimal a fraccin?

e) Describe en tu cuaderno cmo se puede simplificar una fraccin a su mnima expresin.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen unprocedimiento para escribir un nmero decimal como fraccin comn representada en sumnima expresin.

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B1

14

3. Relacionen los nmeros decimales con su respectiva fraccin.

0.9

0.58

0.276

0.75

0. 840

a) 69250

b)

3

4

c) 2125

d) 910

e) 2950

4. Resuelvan los siguientes problemas.

a) Vctor pidi 1 3

4kg de tortillas, el encargado coloc en su bscula digital una pila de

tortillas y en la pantalla apareci 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamenteo no las tort illas a Vctor.

b) La mam de Rubn quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las si-guientes cantidades:

Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad est mal representada.

Cul es la cantidad incorrecta?

Expliquen en su cuaderno por qu.

Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar unnmero decimal como fraccin comn.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0000101 Firma

15 de agosto 2013

Luz Mara Archundia 2 538. 68

Dos mil quinientos treinta y ocho pesos 68

100M.N.

Su Banco Fecha:



10 de agosto 2013

Luz Mara Archundia 561. 220

Quinientos sesenta y un pesos 220

100M.N.

Su Banco Fecha:



11 de agosto 2013

Luz Mara Archundia 5 000. 06

Cinco mil pesos 6100M.N.

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15

En esta sesin representars nmeros decimales como

fracciones no decimales.

Sesin 4

Manos a la obra1. Renete con dos compaeros para realizar lo que se plantea a continuacin.

a) Sumen el nmero que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

8 = 6 + 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qu el resultado es otra igualdad.

b) Resten el nmero que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

750 = 500 + 250


c) Multipliquen por el nmero que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

15 = 20 5


d) Dividan entre el nmero que quieran distinto de 0, en ambos lados de lasiguiente igualdad:

1000 = 500 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qu el resultado es otra igualdad.Despus de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cua-les usars en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cmo repre-sentar las fracciones en su forma comn o decimal.

2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que serepiten varias veces en los cocientes siguientes y encirrenlo con color rojo.

29 = 0.2222

311= 0.27272727

41333 = 0.123123123123

16 = 0.16666

Al expresar una fraccin comn en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repiteindefinidamente, se dice entonces que el cociente es peridico y esto se representa colo-cando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo,

29 = 0.2

311= 0.27

41333 = 0.123

16 = 0.16

De los nmeros decimales anteriores:

a) Cul es el decimal peridico del primer cociente?

b) Cul de las fracciones tiene un cociente peridico de tres dgitos?

Cuando se tiene una igualdad,al operar en ambos lados desta con un mismo nmero,

sumando, restando, multipli-cando o dividiendo se obten-dr otra igualdad.

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B1

16

3. Contina con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener lafraccin comn de los nmeros decimales peridicos.

Se quiere encontrar la fraccin comn correspondiente al nmero decimal 0.3

Como no se conoce la fraccin, se dejar el espacio, representado por un cuadrado.

Para encontrar cunto vale se iguala con el nmero decimal peridico:

= 0.3 Se multiplican ambos trminos de la igualdad por 10 para tener unanueva igualdad, porque el periodo est formado por un decimal quese repite. Si el periodo tuviera dos dgitos que se repiten, se multipli-cara por 100, si tuviera 3 por 1 000, y as consecutivamente.

Entonces:

= 0.333 1

10 = 10 0.333

10 = 3.333 2

Para eliminar los decimales peridicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :

10 = 3.333 0.333

9 = 3

Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al slo de un lado de la igualdad:

9 9 =39

Entonces, como 99 = 1 se tiene:

= 39

Esto quiere decir que, 0.3 = = 39

Como 39 se puede expresar como13 , se concluye que 0.3 =

13

4. Identifiquen el decimal peridico de los nmeros decimales siguientes y con el procedi-miento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes.

a) 0.6666...

b) 0.36363636...

c) 0.135135135135135...

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S1

17

Consulta en

Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer ms sobre eltema: Luz Mara Marvn, Escritura decimal infinita y Otros smbolos para nmeros noenteros, en Representacin numrica, Mxico, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincn).

Entra al sitio: . Elige en elrecuadro de la izquierda las opciones Fraccin a decimal y Decimal a fraccin. Seleccionael nivel en el que quieras practicar estas conversiones.

AutoevaluacinEscribe en tu cuaderno lo siguiente.

Un procedimiento para expresar una fraccin comn como nmero decimal.

Un procedimiento para expresar un nmero decimal como fraccin comn.

5. En equipos, contesten lo siguiente.

a) Qu tipo de fraccin da como resultado un nmero decimal peridico?

b) Cul es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio

anterior?

c) Qu relacin encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la

cantidad de cifras que tiene el periodo?

d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fraccin comn, se obtiene la misma fraccin?

Por qu?

Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos.

6. Relaciona ambas columnas escribiendo den-

tro del parntesis la letra que corresponda.

( )0.7

( )0.45

( )0.405

a) 511

b) 1537

c) 79

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Secu

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Fracciones y decimalesen la recta

Representacin de nmeros fraccionariosy decimales en la recta numrica a partirde distintas informaciones, analizandolas convenciones de esta representacin.

Sesin 5En esta sesin aprenders que en la recta numrica se pueden representar

nmeros enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy til porquepermite comparar nmeros o comprobar equivalencias.

Qu sabes t?Grada las siguientes rectas numricas segn se te indique, es decir, marca las partes quecorresponden a cada divisin.

En cuartos.

0 1

En quintos.

0 1

En dcimos.

0 1

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Manos a la obra1. En equipos de a lo ms tres integrantes, escriban los nmeros que hagan falta para com-

pletar la graduacin de cada recta.

a)

0 210510

910

b)

0 0.3 0.8

c)

0 0.4 510 0.9

2. Expliquen por qu en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.

3. En la siguiente recta escriban la fraccin comn o el nmero decimal correspondiente alpunto donde se ubica cada letra.

0 a c b= 12 d

Ahora comenten qu es lo que deben considerar para representar en una recta numricauna fraccin comn y un nmero decimal.

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Sesin 6En esta sesin observars cmo se puede representar en la recta numrica

una fraccin si se conoce la ubicacin de otro par de fracciones.

Manos a la obra1. En una escuela telesecundaria realizaron

competencias atlticas para conmemo-rar el 40 aniversario de su fundacin.

En la tabla se muestran las tres mejores mar-

cas obtenidas en salto de longitud por distin-tos alumnos:

En la siguiente recta se ha representado elsalto de Erik Lpez.

4 4 3

5

Renete con un compaero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dosalumnos.

Considerando que el ganador es el que realiz el salto ms largo, cmo otorgaras lasmedallas?

Alumno Longitud aproximada del salto (metros)

Juan Godnez 4 12

Jos Sandoval 423

Erik Lpez 4 35

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21

2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los nmeros 73 ,13 ,

126 , 0, 1

16 y

25 .

56 1

Qu hicieron para ubicar el 0?

Cuntos sextos se representan en la marca de 13 ?

Qu otro nmero representa 126 ?

Qu hicieron para ubicar a 25 ?

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedi-miento que les permita ubicar cualquier fraccin cuando se tienen como referencia otrasdos fracciones.

3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso.

a) En la siguiente recta numrica ubica las fracciones 23 ,79 y

96 .

0 13 46

b) En la siguiente recta numrica ubica el 0 y las fracciones 32 ,310y

115 .

25

c) En la siguiente recta numrica ubica las fracciones 14 ,35 y

512 .

13 12

Comenta con un compaero qu deben hacer cuando en una recta hay previamente locali-zadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador comn y se desea ubicar otra.

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Sesin 7En esta sesin representars nmeros decimales en la recta numrica.

Manos a la obra1. En parejas, completen la graduacin de las siguientes rectas.

a)

5 5.5 6

Cunto representa cada segmento de la recta?

b)

7.2 7.24 7.29 7.3

Cunto representa cada segmento de la recta anterior?

2. En parejas, lean la informacin siguiente y realicen lo que se indica.

Entre las competencias atlticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las

pruebas. Para determinar quin es el ganador se requiere manejar nmeros decimales. Paratal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas msrpidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.

Alumna Tiempo (en segundos)

Ana Jurez 13.6

Sonia Martnez 13.3

Claudia Prez 13.4

Ubiquen cada una de las marcas en la recta numrica siguiente.

12 14

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3. Lee la siguiente situacin y realiza lo que se pide.

En la escuela tambin se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registra-ron los diez mejores saltos.

Competidor Altura del salto (m) Competidor Altura del salto (m)

Braulio 1.43 Alexa 1.55

Efrn 1.50 Antonia 1.43

Teresa 1.45 Jess 1.49

Daniel 1.48 Emmanuel 1.54

Reyna 1.51 Aline 1.40

a) Ubica en la recta numrica los saltos registrados.

1.3 1.7

b) Contesta las preguntas.

Por qu la recta numrica no inicia en 0?

Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, en cuntas partes se tendr que dividir el

espacio que hay entre 1.4 y 1.5?

c) Compara tus resultados con los de tus compaeros de grupo y contesten.

Hay saltos que estn ubicados en el mismo lugar en la recta numrica?

Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en elmismo punto de la recta. Expliquen si es co-rrecta o no la afirmacin de Andrea.

Qu otro decimal se ubica en el punto 1.5?

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530

1.4 1.5 1.6

Para ubicar nmeros decimales en la recta, como1.5, 1.52, 1.524, etctera, es necesario dividir cadasegmento en 10 partes iguales y cada una de stasen otras 10, y as sucesivamente.

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Consulta en

Entra al sitio: ,ah encontrars ms informacin sobre la ubicacin de nmeros en la recta numrica.

Sesin 8En esta sesin continuars trabajando con la ubicacin de fracciones

y decimales en la recta numrica.

Manos a la obra1. Realiza lo que se te indica y contesta.

a) Ubica 12 ,35 ,

14 y

78 en la recta numrica.

0 1

b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.

0 1

Al comparar las rectas numricas de los incisos a y b, qu fracciones comunes y nmeros

decimales se ubican en el mismo punto?

Cmo puedes usar una sola recta numrica para ubicar fracciones comunes y nmeros

decimales?

2. En parejas, ubiquen en la recta numrica 3

10

, 0.5, 1

4

, 0.75 y 3

4

.

0 1

Cmo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta?

a) Cmo graduaron la recta?

b) En una recta graduada con fracciones, es posible ubicar tambin decimales?

c) Cmo se hara?

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AutoevaluacinResponde en tu cuaderno lo siguiente.

Cmo se ubica una fraccin en la recta numrica cuando ya estn localiza-

das otras dos?

Describe una estrategia que te permita ubicar fracciones y nmeros decima-

les en la misma recta numrica.

3. Expresa las siguientes fracciones en notacin decimal y ubcalas en la siguiente recta.

a) 38100= b)38 = c)

25 =

d) 720 = e)3651000=

0 1

Explica cmo ubicaste las fracciones anteriores en la recta.

Para ubicar una fraccin comn en una recta numrica graduada con decimales, qu im-portancia tiene expresarla en notacin decimal?

4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.

0 12

Qu hiciste para ubicar en la recta los nmeros decimales?

Compara tus respuestas con las de otros compaeros y escriban un procedimiento que lespermita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numrica.

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Secu

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3

Sumas y restasde fracciones

Resolucin y planteamiento de problemasque impliquen ms de una operacin de sumay resta de fracciones.

Sesin 9En esta sesin identificars cundo un problema se puede resolver

con una adicin, y para solucionarlo aplicars tus conocimientos sobrenmeros fraccionarios.

Qu sabes t?En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertosproductos es comn el uso de fracciones para sealar la cantidad que se desea adquirir, porlo que es habitual escuchar expresiones como: quiero un cuarto de queso, y medio de jamn.Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehculo en trminosfraccionarios, al decir: le queda un cuarto de gasolina, o alguna otra expresin semejante.

1. En parejas, resuelvan lo siguiente.

En carpintera, es habitual expresar las medidas enfracciones de pulgada. Observa la siguiente ima-gen y escribe abajo de cada clavo su medida enpulgadas.

Compara tus medidas de los clavos con las de otro compaero.

Cul de los clavos mide 78 de pulgada?

Cul clavo mide 23 de pulgada?

Cuntos clavos miden ms de 12 pulgada?

Cules clavos miden menos de 34 de pulgada?

1 pulgada

12 pulgada

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Manos a la obra1.

En parejas, resuelvan los siguientes problemas.a) En el esquema de al lado se presentan pa-

res de clavos de distinta medida, calculencul sera el tamao total de cada pareja declavos. Consideren las medidas de los cla-vos anteriores.

Cmo realizan una suma de fracciones condiferente denominador?

b) Las distancias entre la telesecundaria y las

casas de Juan, Laura y Mara se ilustran enel siguiente esquema.

Con base en la informacin que se presentacontesten lo siguiente:

Cul es la distancia total que recorrerJuan si primero va por Mara y despus van

juntos a la telesecundaria?

Qu distancia recorrer Juan para ir a latelesecundaria si previamente va por Laura y

luego por Mara?

Comparen sus respuestas con las de otrasparejas.

c) Con base en la informacin del ejercicio an-terior resuelvan en equipos las siguientespreguntas.

Si consideramos el recorrido ms corto desus casas a la telesecundaria, cul es ladistancia que recorren los tres estudiantes

en total?Indiquen la ruta que muestra la siguientesuma de fracciones y elaboren un enunciadoque describa el problema.

12 +

14 +

34

Para llevar a cabo la suma de nmeros fraccionarios condenominadores distintos se emplean fracciones equivalen-

tes. Por ejemplo, para efectuar la operacin 23 +34 se

deben buscar fracciones equivalentes para ambos trmi-nos, con la consigna de que tengan el mismo denominador.

Algunas fracciones equivalentes de 23 son 46 , 69 , 812y 1015,

y de 34 son68 ,

912y

1216.

Para este problema las fracciones que tienen el mismo

denominador son 812y9

12.

De esta manera:

23 +

34 =

812+

912=

1712

1 12 km

34 km

12 km

34 km

14 km

45 km

TELEsecundariaCasaMara

CasaJuan

CasaLaura

Distancias entre las casas de Juan, Laura y Mara con la telesecundaria

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Sesin 10En esta sesin aplicars tus conocimientos sobre sustraccin de fracciones

para resolver problemas.

Para resolver una sustraccinde fracciones con diferentesdenominadores deben buscarsefracciones equivalentescon el mismo denominador.Un problema que se solucionacon una sustraccin de fraccio-nes responde a preguntascomo: cunto falta?, cuntosobra?, por cunto es mayor?,por cunto es menor?,cul es la diferencia?

12 pulgada

Manos a la obra1. Resuelve el problema que se plantea.

En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos quese van a clavar en un bloque de madera. Considerando lasmedidas de los clavos de la sesin anterior, indica qu longitudde cada clavo quedar fuera de la madera.

Hay algn clavo cuya longitud coincida con el

grosor de la madera?

Cmo resolviste el problema?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) A una madera de 38 de pulgada se le coloc un clavo de34 de pulgada. Si la punta del

clavo llega exactamente al otro lado de la madera, qu longitud del clavo qued sin

ser clavado?

b) La seora Julia compr 2 34 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas,

qu cantidad de guayabas compr ms que de naranjas?

c) Una jarra contiene 3 14 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, ngel,

Alejandro y Sofa se sirvieron cada quien un vaso con 12 litro de agua,

qu cantidad de agua queda en la jarra?

d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operacin34

512y resulvanlo.

Cul es el resultado?

Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que ste impli-que una sustraccin de fracciones.

e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustraccin,

qu tipo de preguntas se deben hacer?

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Sesin 11En esta sesin aplicars tu conocimiento sobre adicin y sustraccin de

fracciones para resolver problemas.

Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al dalos alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entrehombres y mujeres.

GneroGrado

Primero Segundo Tercero

Masculino 6 14 L 7 18

L 734

L

Femenino 5 1

2

L 7 1

2

L 9 1

4

L

Qu cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10?

Quines toman ms agua, los hombres o las mujeres?

Cul es la diferencia en litros?

Cul es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo

respecto de las de primer grado?

La fraccin 38 es resultado de sustraer

9 14 734

7 12 718

De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operacindel inciso anterior.

b) En cierta poblacin, el canal XW es visto por13 de los hombres y por

12 de las mujeres,

mientras que el canal XZ es visto por 15 de los hombres y por58 de las mujeres.

Qu canal es ms visto por la poblacin?

En qu medida es ms visto este canal?

Hasta aqu has aprendido a determinar cundo aplicar una adicin o una sustraccinpara resolver problemas de fracciones.

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Sesin 12En esta sesin aprenders a identificar cmo resolver problemas,

cules y cuntas operaciones son necesarias para su solucin.

Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) Andrea compr y puso en una bolsa 12 kg de jamn,34 kg de queso y

14 kg de salchi-

chas, y en otra bolsa lleva 12 kg de cebollas,12 kg de jitomates,

14 kg de chile de rbol,

12 kg de tomates y

14 kg de aguacates. Cul de las dos bolsas pesa ms?

b) El tiempo que destin un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes

34 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el mircoles

14 de hora, el viernes 2 horas

12 ,

el sbado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas 34 .

Cul fue el tiempo total que dedic el joven a visitar a su novia?

Cul fue el tiempo total de visita el fin de semana?

Qu diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sbado y domingo respecto del

resto de la semana?

2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrate-gia para identificar cundo deben utilizar la adicin y cundo la sustraccin.

AutoevaluacinResponde lo siguiente.

Indica la operacin + o , segn corresponda en cada inciso.

24

28 =

68

13

19 =

29

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Sucesiones de nmerosy figuras

31

Construccin de sucesiones de nmeros o de figurasa partir de una regla dada en lenguaje comn.Formulacin en lenguaje comn de expresiones generalesque definen las reglas de sucesiones con progresinaritmtica o geomtrica, de nmeros y de figuras.

Sesin 13

En esta sesin estudiars la relacin que existe entre varias figuras que se

forman con un patrn, lo cual te permitir conocer la formacin de otras

figuras que tengan las mismas caractersticas.

Qu sabes t?

Cuando al analizar una coleccin de figuras ordenadas es posible encontrar un patrn o unaregla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha coleccin, sedice que conforman una sucesin.

Observa la siguiente sucesin y en tu cuaderno compltala hasta la figura 6.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesin.

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Manos a la obra1. En parejas, analicen la siguiente sucesin de figuras y realicen lo que se indica en cada

inciso.

a) En su cuaderno, completen la sucesin dibujando hasta el trmino 10.Trmino 1 Trmino 2 Trmino 3 Trmino 4

b) Completen la tabla con la informacin obtenida de la sucesin anterior y contesten laspreguntas.

Nmero de trmino 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nmero de puntos 1 3 5

Cuntos puntos debe tener el trmino 15?

Cuntos puntos tendr el trmino 22?

Y cuntos el trmino 27?

Cmo determinaron el nmero de puntos en cada trmino?

c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el nmero depuntos que tiene cada trmino.

Nmero de trmino 1 2 3

Nmero de puntos 1 3 5

Diferencia 3 1= 2 5 3 = 2

Cuntas puntos hay de diferencia entre cada trmino?

Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada trmino.

d) Subrayen la regla que permite determinar el nmero de puntos que tendr cada trminode la sucesin.

Los nmeros impares.

Se multiplica por dos el nmero de cada trmino.

A partir del segundo trmino se agrega dos al nmero de puntos del trmino anterior.

Se multiplica por dos el nmero de cada trmino y se le resta uno.

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2. A continuacin se muestran algunos elementos de una sucesin.

a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez trminos de esta sucesin.

Trmino 5Trmino 2Trmino 1

b) Completen las siguientes tablas.

Nmero de trmino 1 2 3 4 5 8 10

Nmero de cerillos

Diferencia

Nmero de trmino 15 21 26 30

Nmero de cerillos

Cuntos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente?

c) Contesten las siguientes preguntas.

Cul ser el trmino con 51 cerillos?

Cul ser el trmino que tenga 63 cerillos?

Habr algn trmino con 100 cerillos?

Explica tu respuesta.

Una sucesin de figuras es una coleccin de lasmismas que est determinada por una regla deformacin o de crecimiento, de tal manera que si seidentifica la regla podemos generar los elementosde esa sucesin.

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Sesin 14

En esta sesin estudiars sucesiones con progresin aritmtica.

Manos a la obra1. Realiza lo siguiente.

a) Completa la sucesin

15, 27, , 51, 63, , 87, , 111, , , 147,

Una sucesin numrica es una secuencia de nmeros que siguen una regla. Se llama trminoa cada uno de los nmeros que la componen.

b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los trminos de la sucesin anterior.

c) Completa la siguiente tabla.

Trmino 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nmero de la sucesin 15 27 51 63 87 111

Diferencia 27 15 =

d) Encuentra una regla para obtener cualquier trmino de la sucesin anterior y completala tabla siguiente, que es su continuacin.

Trmino 21 22 23 24 25 30 40 50

Nmero de la sucesin 375 519

e) De las siguientes reglas, cules son equivalentes a la que encontraste para obtener lostrminos de la sucesin?

Sumar 12 al trmino anterior.

Calcular algunos mltiplos del 12.

Multiplicar por 12 el trmino y sumar 15.

Multiplicar por 12 el trmino y sumar 3.

Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compaeros.

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2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del parntesis la letra que contenga la reglade formacin correspondiente a cada sucesin.

Trminos de la sucesin Reglas de formacin de la sucesin

( )7, 11, 15, 19, 23,

( )8, 13, 18, 23, 28, 33,

( )2, 6, 10, 14, 18, 22,

( )3, 8, 13, 18, 23, 28,

( )7, 16, 25, 34, 43, 52,

( )9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,

a) Sumar 4 al trmino anterior

b) Multiplicar el trmino por 5 y quitarle 2

c) A cuatro veces el trmino agregarle 3

d) Multiplicar el trmino por 5 e incrementarle 3

e) Multiplicar el trmino por 5 y sumar 4

f) Nueve veces el trmino y 2 unidades menos

Compara tus respuestas con las de tus compaeros.

3. Escribe un ejemplo de una sucesin numrica que sea progresin aritmtica.

4. Crea una sucesin cuya regla de formacin no genere una progresin aritmtica.

5. Intercambia con un compaero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pdele que

identifique cul es la progresin aritmtica. En caso de que su respuesta no sea correcta,explcale la regla de formacin de tu progresin aritmtica. Si no logran un acuerdo, consul-ten con su profesor.

Una sucesin numrica es una progresin aritmtica si para obtener cadauno de sus trminos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, altrmino anterior.

Las reglas que permiten obtener los trminos de una sucesin se pueden dara partir del lugar que ocupa un trmino y la diferencia (es decir, la cantidadconstante) que hay entre dos trminos consecutivos.

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Sesin 15En esta sesin estudiars cmo se forman las sucesiones de figuras con

progresin geomtrica.

Manos a la obra1. En equipos, analicen la siguiente sucesin.

a) Dibujen las dos figuras siguientes.

b) Respondan las siguientes preguntas.

Cuntos y de qu color sern los tringulos que forman la sptima figura?

Cuntos tr ingulos tendr la octava figura?

De qu color sern los tr ingulos que forman la dcima figura?

c) Completen la tabla.

Figura Nmero de tringulos Diferencia1 2

2 4 4 2 = 2

3 8 8 4 = 4

4 16

5

6

Es constante la diferencia entre los tringulos que forman cada figura?

Encuentran alguna relacin entre el nmero de tr ingulos de cada figura nueva respec-

to de la que le precede?

Cmo obtuvieron los tringulos que conforman la quinta y la sexta figura?

Cmo obtendran el nmero de tringulos de cualquier figura de esta sucesin?

d) Andrea afirma que la regla es: El nmero de tringulos de cada figura se genera duplican-do el total de tringulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmacin.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

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2. Analiza la siguiente sucesin y completa la tabla.

Figura 2Figura 1 Figura 3

Figura 1 2 3 4 5 6

Cantidad detringulos

Azules 1 4 16 36

Naranjas

Total 108 324

Cmo estableciste la cantidad de tr ingulos de la cuarta figura?

Cmo determinaste el nmero de tringulos azules de cada figura?

Y de los tringulos naranjas?

Y el total de tringulos de cada trmino?

Cul es la regla que determina la cantidad total de tringulos de cada figura (o trmino) de

esta sucesin?

3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formacin anterior. Ral afirma que para obtener el nmero total de cada trmino se debe triplicar la canti-

dad de tringulos del trmino anterior.

Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de tringulos del trminoque le antecede.

ngel, por el contrario, dice que se suman 8 tringulos al trmino que le antecede.

De estas tres afirmaciones, cul es correcta?

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Sesin 16

En esta sesin estudiars sucesiones numricas con progresin geomtrica.

Manos a la obra

Contesta lo que se te pide.

1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los trminos que se marcan enla sucesin.

El quntuple del anterior.

Trmino 1 Trmino 2 Trmino 3

Completa la tabla.

Trmino 1 2 3 4 6 9

Cantidad de estrellas 3Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los trminos consecutivos de

esta sucesin?

2. Completa los trminos que hacen falta en cada sucesin.

a) 2, 6, , 54, , ,

Cul es la regla para esta sucesin?

b) 2, 12, , 432, , ,

Explica por qu la regla de esta sucesin es: El sxtuple del trmino anterior.

c) 3, , 48, 192, , ,

Escribe la regla para esta sucesin

d) Encuentra el cociente entre cada par de trminos consecutivos de la ltima sucesin.

3 =48=

19248 = 192=

Cmo son los cocientes de dos trminos consecutivos?

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1.Si se conocen dos trminos consecutivos de una progresin aritmtica, cmo se obtiene la

regla de toda la sucesin?

2.Si se conocen dos trminos consecutivos de una progresin geomtrica, cmo se obtiene la

regla para generar la sucesin?

3. Indica con una A si la sucesin es una progresin aritmtica, con una G si es una progresingeomtrica, y con una X si no es ninguna de las dos.

5, 10, 15, 20, 25, 15, 18, 17, 20, 19, 22

4, 6, 9, 13.5, 20.25 0, 3, 6, 9, 12,

3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son:

a) Cuatro veces el trmino anterior.

b) El triple del trmino anterior.

Las piezas son las siguientes:

20

80

270

90 12805

320 1030

810

Sucesin A: , , , , .

Sucesin B: , , , , .

Cul es la razn de la sucesin A?

Y de la B?

4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesin con progresin geomtrica e inter-cmbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco trminos de la sucesin yrevisen que sea correcta la construccin de los mismos.

Una sucesin numrica se denomina progresingeomtrica cuando cada trmino se obtiene multipli-cando al anterior por una constante llamada razn.

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Secu

encia

5

Literales en frmulasgeomtricas

40

Explicacin del significado de frmulas geomtricas,al considerar a las literales como nmeros generalescon los que es posible operar.

Sesin 17En esta sesin representars nmeros por medio de literales,

con las que realizars operaciones.

Qu sabes t?

4 cm

Figura 1

4 cm

4 cm 4 cm

3 cm

Figura 2

3 cm3 cm

2.5 cm

Figura 3

2.5 cm2.5 cm

2.5 cm 2.5 cm

Cunto mide el permetro de la figura 1?

Y el de la figura 2?

Y el de la 3?

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Manos a la obra1. En parejas, calculen el permetro de los siguientes tringulos equilteros.

3 cm

Figura 1

3 cm3 cm

4 cm

Figura 2

a

Figura 3

Cunto mide el permetro de la figura 1?



Expliquen cmo calcularon el permetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3,en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados.

Un tringulo equiltero mide bpor lado, cul de las siguientes expresiones pueden utilizar

para calcular su permetro? Subrayen sus respuestas.

b+ b+ b b+ 3 3b b 3

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2. Completen la tabla.

3 cm3 cm

3 cm

Figura 1

5 cm

Figura 2 Figura 3

Figura geomtrica Longitud de sus lados Permetro

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Cmo representaron la longitud de los lados de la figura 3?Cmo calcularon el permetro de la figura 3?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

3. Usa literales para expresar el permetro de las siguientes figuras.

Permetro Permetro Permetro

3 cm3 cm

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Sesin 18

En esta sesin trabajars con figuras geomtricas que se parecen en su forma

y en sus propiedades, as como en la manera en que se calcula su permetro.

Manos a la obra1. En parejas, contesten las preguntas.

A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectn-gulo. Observen sus respuestas.

b

Figura 2

a

b

a

a

Figura 1

aa

a

Figura 3

ca

a

Figura 4

b

b

a

a) En cul de los rectngulos expresaron correctamente la longitud de los lados?

b) Expliquen por qu es o no correcta la forma en que se sealaron las longitudes en losrectngulos anteriores.

c) Cuntos pares de lados de la misma longitud tiene el rectngulo?

d) Cmo se calcula el permetro de un rectngulo?

e) Para calcular el permetro de un rectngulo se puede emplear alguna de las siguientesexpresiones algebraicas:

a+ b+ a+ b 2a+ 2b 2(a+ b)

Por qu son correctas estas expresiones algebraicas?

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2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientesromboides.

Usen las letras que anotaron y escriban una expresin algebraica para calcular el permetrode cada romboide.

Es posible calcular el permetro del romboide con la misma expresin algebraica que em-

plearon para el rectngulo? Por qu?

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Sesin 19

En esta sesin trabajars con las frmulas para calcular el permetro

de tringulos y trapecios issceles.

Manos a la obra1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en

cuenta que son tringulos issceles. Completen la tabla.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura Longitud de los dos lados iguales Longitud del tercer lado Permetro

1

2

3

Una expresin algebraica que permite obtener el permetro de un tringulo issceles es:

Es la nica? , por qu?

Un tringulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, cmo se puede expresar

su permetro?

2. Observa el siguiente trapecio issceles.

B(base mayor)

b(base menor)

ll

Cmo se puede expresar su permetro?

En una figura geomtrica sealamos con la misma lite-ral los lados que tienen igual longitud, y si stos tuvie-ran longitudes diferentes se emplearan ms literales.Por ejemplo, en un rectngulo, el permetro se puedeexpresar como:

P= a+ a+ b+ b, o bien P= 2a + 2bo P= 2(a+ b)

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Para calcular el permetro de unpolgono regular se debe conocer elnmero de lados que lo forman ymultiplicarlo por su longitud.

Sesin 20

En esta sesin trabajars con las frmulas de los permetros

de polgonos regulares.

Manos a la obra1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.

Qu figuras regulares conocen?

Cmo se calcula el permetro de una figura geomtrica que tiene todos sus lados iguales?

Escriban una expresin algebraica que les permita calcular el permetro de una figura

regular.

Cmo se calculara el permetro de un polgono regular de 38 lados?

2. Completa la tabla.

Nombre de la figura Longitudde sus ladosNmerode lados Permetro

Pentgono regular a

Hexgono regular b

Octgono regular m

Decgono regular h

Heptadecgono x 17

Triacontgono s 30

Observa que en la tabla anterior la letra mrepresenta una literal, sin embargo, la mismaletra tambin es el smbolo de metro. Por ejemplo:

5m= m+ m+ m+ m+ m,

mientras que 5 m representa 5 metros.

Lo mismo ocurre con otras letras que tambin son utilizadas como sm-bolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etctera.

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Sesin 21

En esta sesin trabajars con las frmulas para calcular el rea

de distintas figuras.

Manos a la obra1. Lee la siguiente informacin y contesta.

Un ejemplo de unidad de superficie es un centmetro cuadrado, que es de este tamao:

y se abrevia cm2.

Observa los siguientes rectngulos y mide su rea.

6 cm

Rectngulo A

5 cm

1 cm

Rectngulo B

3 cm

s

Rectngulo C

t

El rea del rectngulo B es:

Del rectngulo A es:

Del rectngulo C es:

2. Si ees el largo de un rectngulo y fel ancho, subraya de las siguientes expresiones alge-braicas cules son equivalentes y permiten calcular el rea del rectngulo con resultadosiguales.

A= e f= e f A= 2(e+ f) A= (2e) (2 f)

A= 2e+ 2 f A=f e

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3. Subraya la frmula que te permita calcular el rea del siguiente cuadrado.

x

x

x

x

Expresiones algebraicas.

4x x+x (x )(x )(x )(x ) x+x+x+x (x )(x ) 4 +x x 2

4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.

b

a

b

a

a

Cul es la frmula para calcular el rea de un cuadrado?

Y la del rectngulo?

Cmo determinan el rea de la parte naranja del cuadrado?

Y la parte naranja de los rectngulos?

Qu fraccin representa el rea naranja con respecto a toda la figura?

a

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Slo una de las siguientes expresiones no determina el rea del tringulo azul, cul es?Mrquenla.

A = 12 (ab) A=a2

b2 A =

a2 b A = a

b2

De manera grupal expliquen por qu la frmula que comunmente usamos para calcular el

rea de un tringulo es: A = b h2 , donde bes la base y hes la altura.

b

h


Qu representan las letras o literales en una expresin algebraica?

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6

Trazo de tringulosy cuadrilteros

Trazo de tringulos y cuadrilteros mediante el usodel juego de geometra.

Sesin 22

En esta sesin aprenders a trazar cuadrilteros y tringulos a partir de lneas

paralelas, utilizando escuadras.

Qu sabes t?Cmo puedes trazar lneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometra? Realiza tustrazos en hojas blancas.

Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blancacoloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y trazalneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadracomo lo indican las flechas.

Ahora observa las siguientes imgenes para trazar las l-neas perpendiculares y paralelas que se obtienen al moverla escuadra.

Compara tus trazos con los de tus compaeros.

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Manos a la obra1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.

Usa las escuadras y el comps para trazar en una hoja blanca dos lneas rectas paralelasde 20 cm cada una. Las lneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas.

Traza las siguientes figuras geomtricas, considerando que dos de sus lados deben estarsobre las lneas paralelas que ya trazaste.

Un cuadrado.

Un rectngulo, uno de sus lados mide 3 cm.

Un romboide cuya base mide 7 cm.

Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ngulos mide 60.Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.

a) Cunto mide cada lado del cuadrado?

b) Cunto miden los otros lados del rectngulo?

c) Cunto mide la altura de cada romboide?

Compara tus respuestas con las de tus compaeros.

2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de lneas paralelas para construir sobreellas los trapecios que se enlistan a continuacin.

Trapecio recto.

Trapecio issceles.

Trapecio escaleno.

Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm.

A qu distancia deben trazarse las lneas paralelas?

Qu tienen en comn los tres trapecios que trazaste, el permetro o el rea?

Por qu?

3. En una hoja blanca, y a partir de dos lneas paralelas, traza tres tringulos diferentes cuyabase mida 6 cm y su altura mida 5 cm.

Cunto mide el rea de cada tringulo?

4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un tr ingulo cuyas reas sean iguales.

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Sesin 23

En esta sesin construirs tringulos utilizando el juego de geometra.

Manos a la obra1. Lee con atencin las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.

Con tu regla traza una lnea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has tra-zado un segmento. Los puntos son sus extremos.

Ahora utiliza tu comps, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento quemarcaste.

Coloca la punta de metal del comps en uno de los puntos extremos del segmento ytraza un crculo.

Sin cambiar la apertura del comps y colocando la punta metlica en el otro extremo,traza otro crculo.

De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a laque t trazaste.

En cul de las construcciones anteriores obtienes un tringulo equiltero al unir los extre-mos del segmento con uno de los puntos de interseccin de las circunferencias?

Qu tipo de tringulo se obtiene con las instrucciones que seguiste?

2. Renete con un compaero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener untringulo equiltero.

Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que s se obtiene ese tringulo. Es impor-tante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron.

Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo quecualquiera pueda construir un tr ingulo equiltero al seguirlas.

3. Identifiquen en cul de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un tringulo issce-les. Trcenlo.

Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.

4. En grupo, comenten qu cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir untringulo equiltero que mida 3 cm por lado.

5. Con regla y comps, traza en tu cuaderno un tringulo escaleno cuyos lados midan 3 cm,4 cm y 2 cm.

a) Al trazar la primera lnea, cul es la apertura del comps con respecto a la distanciaque hay entre los dos puntos que se marcan en ella?

Compara tu construccin con la de otros compaeros.

Construccin 1

Construccin 2

Construccin 3

Construccin 4

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Sesin 24

En esta sesin seguirs construyendo tringulos

y cuadrilteros utilizando el juego de geometra.

Manos a la obra1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en

la sesin anterior e identifica aquellas dos en las queal unir los puntos extremos del segmento con los dospuntos de interseccin de las circunferencias se trazaun rombo. Cules son esas construcciones? Subrayatu respuesta.

Construccin 1

Construccin 2

Construccin 3 Construccin 4

2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal me-nor y la diagonal mayor.

Qu tipo de ngulo se forma en el punto donde se

cortan?

3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para cons-truir un rombo.

Intercmbialas con algn compaero y comprueba sial seguir tus instrucciones logra construir esa figura.Si es necesario hacer correcciones, antalas y com-prueba nuevamente el procedimiento, pero ahora conla ayuda de otro compaero.

4. Observa los pasos de la columna de la derecha paratrazar un tringulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y4.5 cm. Sguelos y traza en tu cuaderno ese tringulo.

5. En tu cuaderno traza un tr ingulo con un lado de 6 cmy otro de 5 cm.

Compara el tringulo que construiste con los de tuscompaeros y contesten las siguientes preguntas.

Por qu los tringulos no son todos iguales?

Qu dato hay que determinar para que todos lostringulos sean iguales?

Paso 3. Abrir el comps a 4.5 cm y apoyarlo en elotro extremo del segmento, trazar otro arco que corteal primero.

Paso 2. Abrir el comps a 3.5 cm y colocarlo en unextremo del segmento, trazar un arco.

Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.

Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el puntode corte de los arcos para obtener el tringulo.

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Sesin 25

En esta sesin trazars cuadrilteros que cumplan con ciertas condiciones.

Manos a la obra

1. Utiliza tu juego de geometra para completar los trazos y construir las figuras que se pidenen cada inciso.

a) Traza un rectngulo a partir del siguiente segmento. b) Traza un cuadrado.

c) El segmento siguiente es la base de un rectngulo. d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.

2. En equipos, comparen los cuadrados y rectngulos que trazaron. Contesten las siguientespreguntas.

Cules de las figuras trazadas son iguales? Por qu?

En el caso del rectngulo a), qu datos habra que definir para que todos los rectngulos

que construyeron fueran iguales?

Y en el caso del rectngulo c)?

3. Utilicen el juego de geometra para trazar de manera individual lo que se indica a continuacin.

a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm.

b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm.

Comparen sus trazos con los de sus compaeros, todas las figuras fueron iguales?

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Sesin 26

En esta sesin trazars tringulos y cuadrilteros a partir

de ciertas condiciones.

Manos a la obra1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas

siguientes.

a) Se puede trazar un trapecio con 10 cm de basemayor y 5 cm de base menor?

Si se puede trazar, cuntas soluciones tiene?

Si se puede trazar ms de una figura, qu otrodato o datos se tienen que definir para que seanica la solucin?

b) Se puede trazar un romboide con base de 7 cm?


Si se puede trazar ms de una figura, qu otrodato o datos se tienen que especificar para quesea nica la solucin?

c) Se puede trazar un tringulo con lados de 3 cm,2 cm y 4 cm, y un ngulo de 90?


Si se puede trazar ms de una figura, qu otrodato o datos se tienen que dar para que sea nica

la solucin?

d) Se puede trazar un rombo con una diagonal de5 cm?


Si se puede trazar ms de una figura, qu otrodato o datos se tienen que dar para que sea nicala solucin?

e) Se puede trazar un cuadrado que tenga diagona-les de 4 cm?


Si se puede trazar ms de una figura, qu otrodato o datos se tienen que dar para que sea nicala solucin?

2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las fi-guras en su cuaderno.

3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen susrespuestas. Si se requiere, hagan las correcciones ne-

cesarias.


1.Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm

por lado y un rectngulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura.

2.Cuntos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?

Consulta en

Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html ,donde encontrars animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes paraque, dadas ciertas condiciones, construyas tr ingulos o cuadrilteros empleando solamenteregla y comps.

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Secu

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7

Trazo y anlisis de las propiedades de las alturas,medianas, mediatrices y bisectrices en un tringulo.

Sesin 27En esta sesin aprenders a trazar las alturas de cualquier tipo de tringulo,

y sus propiedades.

Qu sabes t?Relaciona las imgenes con el nombre de la recta correspondiente.

( ) Altura

( ) Mediana

( ) Mediatriz1 2 3

A

B

C

Manos a la obra1. En equipos, observen que en el siguiente

tringulo se marcaron con rojo las alturas.Contesten las preguntas en su cuaderno.

De dnde a dnde van los segmentosque indican las alturas del tringulo?

Alturas, medianas, mediatricesy bisectrices en los tringulos

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a) Qu tipo de ngulo se forma entre el segmento AB y su altura?

b) Y entre el segmento BC y su altura?

c) Sin medirlo, qu tipo de ngulo crees que se formar entre el segmento AC y su altura?Utiliza tu juego de geometra para comprobarlo.

d) Cmo pueden trazar una altura en un tringulo empleando las escuadras?

e) A qu se le llama altura en un tringulo?

f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la tcnica ms prctica paraencontrar las alturas en diferentes tringulos.

2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes tr ingulos.

La altura en un tringulo es el segmento de recta que va desde el vrtice de un ngulo hasta el ladoopuesto, formando un ngulo de 90 con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar laaltura: se coloca la escuadra de 60 sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se deslizala otra escuadra, usando su ngulo de 90, hasta encontrar el vrtice opuesto a dicho segmento

y se traza la altura.

altura

Paso 1. Paso 2. Paso 3.

Dado un tringulo, sus alturas siempre se intersecan en un nico punto, llamadoortocentro.

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A B

CA B

C

A B

C

La mediana es el

segmento que uneun vrtice de untringulo con elpunto medio dellado opuesto.

Las medianas seintersecan siempreen un nico puntollamado baricentro.

Sesin 28En esta sesin conocers otra recta notable de los tringulos: la mediana.

Manos a la obra

1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el tringulo ABC. A este segmento se ledenomina mediana.

a) Cunto mide la distancia de A a D?

b) Cunto mide la distancia de D a B?

c) Desde dnde hasta dnde va la mediana que lle-

ga al segmento AB?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equiposy contesten.

e) Cules son las caractersticas de una mediana?

f) Cules son los pasos a seguir para trazar una me-diana en un tringulo?

g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CAde tal forma que tengan las mismas propiedadesque el trazo de color azul.

h) Las medianas tienen algn punto de interseccin?

2. Traza las medianas en los siguientes tringulos y observa dnde se intersecan.

D

A

C

B

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Sesin 29En esta sesin te presentamos otra recta notable de los tringulos, llamada

mediatriz, y sus propiedades.

Manos a la obra1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en

el recuadro una instruccin que describa claramente lo que se hace en cada paso.

A

P

BA B A B

El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz.

Respondan las siguientes preguntas.

a) Cmo son los segmentos AP y PB?b) Qu ngulo forman la mediatriz y el segmento AB?

c) De qu otra forma se podr trazar la mediatriz de un segmento?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento paratrazar una mediatriz sin usar el comps.

e) Explica brevemente qu es una mediatriz

2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres tringu-los de diferentes formas y tamaos y trazalas mediatrices de los lados de cada unode ellos.

Llamen O al punto en el que se cortan lasmediatrices.

En un tringulo, la mediatriz es la recta perpendiculara uno de sus lados que pasa por su punto medio.

El punto en el que siempre se intersecan las tresmediatrices de un tringulo se llama circuncentro.

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Sesin 30En esta sesin trazars las bisectrices de un tringulo.

Manos a la obra

Formen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican.1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.

A

BD

C

Cmo quedaron divididos los ngulos por las diago-

nales que trazaron?

Observen ahora la siguiente figura.

BD

C

Midan los ngulos en los que qued dividido el n-gulo C.

Qu hace la recta roja al ngulo C?

Dividan los ngulos D y B de la misma forma en queest dividido el ngulo C.

Las rectas que trazaron se llaman bisectrices.

2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ngulo y escriban

en cada recuadro una instruccin clara para realizar dicho trazo.

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3. Dibuja en tu cuaderno un tringulo equiltero de 5 cm, un tringulo escaleno de 3 cm, 5 cmy 7 cm respectivamente, y un tr ingulo issceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el ladodiferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ngulos interiores de cada tringulo con elmtodo anterior.

Resalta en color rojo el punto de interseccin de las bisectrices decada uno de los tringulos. Todas las bisectrices tienen un mismo

punto en comn?

Ahora traza un tringulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qusucede con el punto que tienen en comn las bisectrices.

Comenta tus observaciones con tus compaeros.

La bisectriz es la recta que divide aun ngulo en dos ngulos iguales.

En un tringulo las bisectricessiempre se intersecan en un solopunto, llamado incentro.

AutoevaluacinResponde en tu cuaderno lo siguiente.

Cmo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier tringulo?

En qu tipo de tringulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las

bisectrices?

Consulta en

Para conocer ms sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro:Carlos Bosch y Claudia Gmez, Construcciones bsicas y Paralelas con doblado de papel,en Una ventana a las formas, Mxico, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincn).

Un dato interesante

La recta de EulerEn un tringulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una mismarecta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama as en honor delmatemtico suizo Leonhard Euler, quien descubri este hecho a mediados del siglo XVIII.

alturas H: ortocentro

medianas G: baricentro

mediatrices O: circuncentro

H

G

O

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Secu

encia

8Reparto proporcional

Resolucin de problemas de reparto proporcional.

Sesin 31

En esta sesin aprenders a repartir basndote en ciertos criterios o en

determinados factores.

Qu sabes t?1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectreas, l quiere repartirlo por partes igualesa sus hijos: Salvador, Martn, Hctor, Ricardo y Jess, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guada-

lupe y Carmen. Qu cantidad de terreno le corresponde cada uno?

b) Tres amigos ganaron un premio de lotera de $100 000.00 con un boleto que cost$40.00. Para comprar el boleto Ral aport $8.00, Andrs colabor con 4 pesos msque Ral, y Braulio pag el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron,

a quin le corresponde la mayor cantidad del premio y a quin la menor?

Por qu?

Cmo resolvieron el primer problema?

Y el segundo?

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Manos a la obra

1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten.

Qu cantidad de dinero le corresponde a Andrs?

Y cunto a Braulio?

Y a Ral?

Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas.

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades ob-tenidas sean las mismas.

Si hay algn procedimiento diferente al suyo, explquenlo.

2. Lee el siguiente problema y resulvelo.

De los 24 metros de listn que trae un carrete, Mara ocup 8 metros para hacer una tareaescolar, Ramiro emple 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les cost $60.00. Si se re-parten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listn que cada quien utiliz,

quin de ellos deber aportar $20.00? Por qu?

Con cunto dinero deber contr ibuir Javier?

Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste.

Reflexionen sobre cules son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y unreparto equitativo.

De manera grupal escriban en su cuaderno las caractersticas que tiene un problema dereparto proporcional.

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Sesin 32

En esta sesin continuars con la solucin de problemas de reparto

proporcional, slo que ahora utilizars tus conocimientos sobre fracciones.

Manos a la obra

Albail Cantidad de m2

construidos

Fraccin querepresentan del

total de m2

Cantidad dedinero que lecorresponde

Alberto

Flavio

Gonzalo

Total

1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

a) Tres albailes levantaron una barda de 30 m2. Al-berto levant 10 m2, Flavio 5 m2y Gonzalo 15 m2.Por esta construccin les pagaron $2 100.00, y serepartieron el dinero de acuerdo con el nmero demetros cuadrados que cada quien levant. Comple-ten la tabla.

Cmo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-

rresponde a cada uno?

2. De acuerdo con el problema del premio de lotera de lasesin anterior, contesten las siguientes preguntas.

Quin de los tres contribuy con la mitad del costo

del boleto?

Qu fraccin del total del boleto aport Ral?

Qu cantidad del premio le habra tocado a Braulio si

hubiera colaborado con la cuarta parte del costo delboleto?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y ensu cuaderno empleen fracciones para comprobar lascantidades que corresponden a cada uno de los tresamigos.

Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultadosque en la sesin anterior.

3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas.

a) Para completar un pedido que deben exportar, cin-co artesanos de una comunidad juntaron los sute-res de lana que tejen. Hortensia fabric 24 prendas;Alonso, 40; Toms, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00,que repartieron proporcionalmente de acuerdo conla cantidad de prendas que cada uno confeccion.

Qu cantidad de dinero le corresponde a cada

uno de los artesanos?

b) Entre Anglica, Mnica y Francisco sacaron 400 co-pias fotostticas de una invitacin. El costo total lopagaron en proporcin a las invitaciones que cadauno quiere repartir. Anglica pag $22.00 por la

cuarta parte de las copias; Mnica, 35 partes, y lodems lo aport Francisco.

Cunto pag Francisco?

Cunto se pag en total por todas las copias?

Cmo obtuvieron la respuesta de la pregunta an-

terior?

Comparen sus respuestas con las de otros compaeros y verifiquen que sean correctas.Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Ex-pliquen en qu situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones.

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Sesin 33

En esta sesin resolvers problemas de reparto proporcional

considerando el valor unitario.

Manos a la obra1. Lean la siguiente informacin y contesten.

Recuerdan que en el problema del boleto de lotera Ral aport $8.00 para comprar elboleto, Andrs, cuatro pesos ms que Ral, y el resto lo pag Braulio?

Cunto aport cada uno de ellos?

Si se repar tieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, cunto le habra toca-do a Ral si nicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que cost el boleto?

Qu importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada

peso invertido?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Cuatro campesinos rentaron un camin por la can-tidad de $4 200.00 para llevar al mercado las2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y quetransportan en 120 cajas de madera. Observa elregistro que realizaron y completa la tabla.

A quin de ellos le conviene ms que se reparta elpago del camin de acuerdo con la cantidad de

cajas?

Cul reparto le conviene ms a Efrn?

Emplearon fracciones para resolver este problema? Por qu?

Cunto se pag por cada caja que se transport?

Y cunto por kilogramo de aguacate transportado?

b) Yolanda pag $2 280.00 por los 60 m

2

de bardaque pintaron entre Ernesto, Lorena y Jos. El prime-ro pint 28 m2, Lorena, 19 m2, y Jos el resto. Deacuerdo con el t rabajo que cada uno realiz, cun-to se le debi pagar? Para responder, completa lasiguiente tabla y en la ltima fila escribe la canti-dad de metros cuadrados que pint Jos.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algn otro procedi-miento sus resultados.

Nombre Cantidadde cajasPeso

(kilogramos)

Cantidad de dineroa pagar por el flete, de

acuerdo con:

Cajas Peso

Irma 30 605

Lorena 45 945

Armando 20 450

Efrn 25 500

Total 120 2 500

Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar

60

1

28

19

El valor unitariose refiere a lacantidad quele correspondea una pieza,objeto o unidad.

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Sesin 34

En esta sesin aplicars tus conocimientos sobre las diferentes formas

aprendidas del reparto proporcional y resolvers diversos problemas

que lo involucran.

Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2de csped de unjardn. Cunto le pagaron a Anselmo si pod nicamente una cuarta par te de todo el

csped?

b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noem aport$80.00, Abraham, $50.00 y Jess dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recom-pensara. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequi

$500.00 para los tres, con la condicin de que se repartieran conforme a lo que cadauno de ellos aport para su boleto.

Qu cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno?

c) El dueo de una fbrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre loscuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la informacin de las siguientes gr-ficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; adems se sabe que en juniose vendieron 140 unidades.

35

30

25

20

15

10

5

0 Andrs Ana Lizbeth Jos

Ventas de mayo

Unidadesvendidas

Andrs50%

Ana28%

Lizbeth10%

Jos12%

Ventas de junio

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