Lp: 10CT
NM HC 2014 – 2015
TRONG VIC GII CÁC DNG TOÁN C BN
Nguyên lí Dirichlet và ng dng trong các dng toán c bn
Trang 1
LI NÓI U Trong các kì thi chn i tuyn, chn hc sinh gii các cp hin nay, các bài
toán i s s cp ang xut hin ít dn trong các thi, thay vào ó là s xut hin
ngày càng nhiu ca các bài toán S hc, T hp. Các bài toán này chim t l khá
cao trong thang im. c bit, câu T hp thng c hc sinh mc nh ngm là
câu khó nht trong thi. Tuy nhiên, nu nm vng mt s phng pháp, câu T
hp hoàn toàn có th c gii quyt. Mt trong nhng phng pháp c bn nht là
s dng nguyên lí Dirichlet, hay còn gi là nguyên lí “chung và th”, nguyên lí
ngn kéo, v.v… Nguyên lí Dirichlet có ni dung khá n gin, song li là công c
quan trng và có nhiu ng dng sâu sc trong toán hc.
Trong gii hn khuôn kh tài, tác gi xin c trình bày các khái nim v
nguyên lí Dirichlet và ng dng ca nguyên lí trong 2 dng toán: T hp và Bt ng
thc. Do ã có nhiu tài liu vit v các bài toán s dng Dirichlet nên các bài toán
trong c tác gi a ra trong phn ng dng là nhng bài toán hay và mang tính
chn lc. Hy vng tài s giúp ích cho nhng ai cha quen vi vic s dng
Dirichlet gii toán.
Mc dù rt c gng nhng chc chn tài vn còn nhng thiu sót, mong
ngi c thông cm và góp ý tài c hoàn thin hn.
Nguyên lí Dirichlet và ng dng trong các dng toán c bn
Trang 2
Phn I:
1. Vài nét v nguyên lí Dirichlet:
guyên lí Dirichlet c t theo tên ca nhà toán hc
ngi c Johann Dirichlet (1805-1859). Ông là ngi
u tiên xut và phát biu nguyên lí này vào nm 1834.
Nguyên lý này có rt nhiu ng dng quan trng trong hu ht
các lnh vc toán hc. i vi các bn hc sinh, ây là công c
không th thiu khi gp nhng bài toán mà các phng pháp
thông thng không mang li hiu qu.
2. Nguyên lí Dirichlet:
Nguyên lí Dirichlet có nhiu cách phát biu khác nhau, sau ây là cách phát
biu di dng “ngn kéo”:
Nu xp vt vào ( ≥ 2) ngn kéo thì luôn tn ti ít nht 1 ngn có
cha ít nht ⌈
⌉ vt. (Kí hiu ⌈⌉ ch s nguyên nh nht không nh hn ).
Hoc: Nu xp + ( > ) vt vào ngn kéo thì luôn tn ti ít nht 1
ngn có cha ít nht + 1 vt.
Chng minh: Gi s tt c các ngn u có nhiu nht là vt, khi ó tng s vt
s không vt quá , iu này vô lý. Do ó nguyên lí c chng minh.
Li th ca nguyên lí Dirichlet là ta có th ch ra s tn ti ca mt i tng
mà không cn quan tâm n tính cht ca i tng ó. Chng hn khi ta phân hoch
mt tp hp gm 10 phn t thành 3 tp con, thì dù ta không bit nhng phn t ó
là gì, ta vn có th khng nh rng tn ti mt tp con có cha ít nht 4 phn t.
Khi gii toán, mun áp dng nguyên lí Dirichlet, cn phi nhn ra hai yu t,
ó là “vt” và “ngn”. Có khá nhiu bài toán, hai yu t này xut hin khá mp m
trong bài, òi hi chúng ta phi có k nng nhn ra chúng. Các bài toán trong
phn II s cho chúng ta thy rõ hn iu này.
N
Trang 3
Phn II:
1. T hp:
Do ã có nhiu chuyên nói v các bài toán T hp nên tác gi ch xin a
ra nhng bài toán hay và mang tính tiêu biu.
Ví d 1: Cho bng ô vuông kích thc 2000 × 2001 (hàng × ct). Hãy tìm s
nguyên dng ln nht sao cho ta có th tô màu ô vuông con ca bng tha mãn
iu kin: hai ô vuông con nào c tô màu cng ko có nh chung. VMO 2001 – Bng B
Gii:
ánh s các hàng t trái qua phi, các ct t trên xuông di.
Quy c: ô có ta (; ), (, ∈ ∗, ≤ 2000, ≤ 2001), là ô nm hàng , ct
Chia bng ô vuông nh sau:
1 2 3 4 … 1999 2000 2001
1
2
3
4
Trang 4
D thy rng bng ô vuông c chia thành 1000.1001 min phân bit.
Gi s có nhiu hn 1000.1001 ô vuông c tô màu. Theo nguyên lí
Dirichlet, có ít nht hai ô vuông c tô màu nm trong cùng mt min, tc là tn
ti hai ô vuông c tô màu có chung nh, iu này trái vi gi thit.
Suy ra, ≤ 1000.1001
Ta s ch ra cách tô tha = 1000.1001:
Tô tt c các ô có ta (2 − 1, ; 2 − 1), ∀, ∈ ∗, ≤ 1000, ≤ 1001
D thy cách tô trên tha và s ô c tô là 1000.1001
Vy, giá tr ln nht ca là 1000.1001
Nhn xét: ây là bài toán khá d, ý tng chia bng ô vuông thành các min
phân bit là rt rõ ràng.
Ví d 2: Vi mi s nguyên dng , ( ≥ 2), ta xét mt bng ô vuông × . Mi
ô vuông con c tô bi màu hoc màu xanh. Tìm s nh nht sao cho vi mi
cách tô ta luôn chn c mt hình ch nht kích thc × (2 ≤ , ≤ ) mà
bn ô vuông con 4 góc ca hình ch nht này có cùng màu.
thi chn i tuyn HSG lp 10 – KHTN Hà Ni (2014 – 2015)
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 5
Gii:
Gi mt hình ch nht (HCN) tho mãn bài là mt HCN tt.
Vi ∈ {2; 3; 4} thì tn ti cách tô sao cho không tn ti HCN tt.
Ta chng minh: ∀ ∈ ∗, ≥ 5, hình vuông × luôn tn ti mt HCN tt.
Vi = 5, xét hình vuông 5 × 5:
Theo nguyên lí Dirichlet, mi ct luôn tn ti ít nht 3 ô cùng màu.
Nu tn ti mt ct có 5 ô (xanh), d thy luôn tn ti mt HCN tt vi 4
nh màu xanh ().
Nu tn ti mt ct có 4 ô hoc xanh. Gi s ct ó có 4 ô :
Ta thy rng trong 4 ct còn li nu có nhiu hn mt ct có 2 ô thì s tn ti mt
HCN tt vi 4 nh màu . Do ó trong 4 ct còn li ch có nhiu nht mt ct có
2 ô . Tc là ta s có 3 ct có ít nht 4 ô xanh, do ó tn ti mt HCN tt vi 4
nh màu xanh.
Xét trng hp tt c các ct c tô 3 ô , 2 ô xanh hoc 3 ô xanh, 2 ô :
Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nht 3 ct có 3 ô c tô cùng màu, không mt tng
quát gi s các ô này c tô cùng màu .
Xét 4 hàng bt kì trong 5 hàng. Do hàng còn li có ti a 3 ô nên tng s ô
ca 3 ct 4 hàng này không nh hn:
3.3 − 3 = 6 = 4 + 2
Do ó theo nguyên lí Dirichlet, tn ti 2 ct có cùng ô 2 trong 4 hàng này nên
tn ti mt HCN tt vi 4 nh màu .
Vy, luôn tn ti mt HCN tt trong hình vuông 5 × 5.
Vi > 5, hình vuông × cha hình vuông 5 × 5 nên luôn tn ti mt HCN tt.
Vy, = 5 là giá tr nh nht tha mãn bài.
Nhn xét: ây là câu t hp ca thi chn i tuyn ca trng KHTN c
ng trên Din àn VMF. Ý tng n khá t nhiên thông qua vic c gng tìm mt
cách v tha trng hp = 5. Tác gi oán rng không th v c nh vy, và ý
tng s dng nguyên lí Dirichlet c ny sinh. Công vic còn li ch là chia trng
hp và gii quyt bài toán.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 6
Ví d 3: Cho và là hai tp con ca tp {1; 2; 3; … ; 100} tha || = || và
| ∩ | = ∅. Xác nh s phn t ln nht ca tp ∪ sao cho vi ∈ , ta luôn
có 2 + 2 ∈ .
Gii:
Vì 2 + 2 ∈ mà ⊂ {1; 2; 3; … ; 100} nên: 2 + 2 ≤ 100 ⇒ ≤ 49
Do ó: ⊂ {1; 2; 3; … ; 49}
Ta chia tp {1; 2; 3; … ; 49} thành 33 tp con nh sau:
Nhóm 1: Gm 16 tp con cha úng 2 phn t: {1; 4}, {2; 6}, {3; 8}, {5; 12}, {7; 16},
{9; 20}, {10; 22}, {11; 24}, {13; 28}, {14; 30}, {15; 32}, {17; 36}, {18; 38}, {19; 40},
{21; 44}, {23; 48}. Các tp này u có dng {, 2 + 2}.
Nhóm 2: Gm 17 tp con cha úng 1 phn t: {25}, {26}; {27}, {29}, {31}, {33},
{34}, {35}, {37}, {39}, {41}, {42}, {43}, {45}, {46}, {47}, {49}.
Nu || ≥ 34, khi ó theo nguyên lí Dirichlet tn ti ít nht mt trong 16 tp con
nhóm mt có 2 phn t u thuc tp , tc là tn ti 2 s và 2 + 2 cùng thuc
tp , iu này mâu thun vi gi thit.
Suy ra, || ≤ 33 ⇒ | ∪ | = || + || − | ∩ | = 2|| ≤ 66
Ta chn hai tp , nh sau:
Chn tp : = {1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19; 21; 23;
25; 26; 27; 29; 31; 33; 34; 35; 37; 39; 41; 42; 43; 45; 46; 47; 49}
Chn tp B: = {2 + 2| ∈ }
Rõ ràng 2 tp , tha và | ∪ | = 66
Vy, s phn t ln nht ca tp | ∪ | là 66.
Nhn xét: Bn cht bài toán khá n gin, tuy nhiên gii úng nó thì cn
phi có s kiên nhn trong vic phân hoch tp {1; 2; 3; … ; 49}. ây là mt trong
nhng bài rt d sai áp s.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 7
Ví d 4: Cho tp = {1; 2; 3; … ; 15}. Gi là mt tp con ca tha iu kin
tích 3 phn t bt kì ca u không phi là s chính phng. Tìm s phn t ln
nht ca .
IMO Shortlist 1994
Gii:
Gi b ba phn t bt kì ca có tích là s chính phng là mt b xu.
Chia tp thành 5 tp con nh sau:
1 = {1; 4; 9}, 2 = {2; 6; 12}, 3 = {3; 5; 15}, 4 = {7; 8; 14}, = {10; 11; 13}
Ta thy rng các b ba phn t ca ( = 1,2,3,4) u là các b xu.
Nu || ≥ 12 thì theo nguyên lí Dirichlet, có ít nht 2 trong 5 tp trên là tp con
ca , suy ra có ít nht mt b xu c cha trong . Suy ra || ≤ 11.
Gi s || = 11. Áp dng nguyên lí Dirichlet, có 1 trong 5 tp trên là tp con ca
. không cha b xu thì tp phi là tp con ca , các tp ( = 1,2,3,4)
mi tp có 2 phn t thuc .
Vì ⊂ nên ta có 10 ∈ . Ta có hai b xu i vi 10 là (2; 5; 10), (6; 10; 15).
D thy rng thy rng nu c 3 và 12 không thuc thì s có ít nht mt trong hai
b xu trên c cha trong .
Suy ra 3 ∈ và 12 ∈ . Tuy nhiên ta li có hai b xu i vi 3 và 12 là hai b
(3; 12; 1), (3; 12; 9). Mt khác 1 và 9 u thuc tp 1, nên chc chn có ít nht
mt trong hai phn t này thuc . iu này ng ngha vi vic mt trong hai b
xu trên s c cha trong , gây mâu thun vi gi thit.
Suy ra, || ≤ 10.
Ta s ch ra tp có úng 10 phn t tha yêu cu bài:
= {1; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14}
Vy, s phn t ln nht ca là 10.
Nhn xét: Bài toán này cng thuc dng phân hoch tp hp nh bài trên,
nhng li là mt bài toán khá khó, òi hi tính t duy t hp cao. Vic chia tp hp
ch ra || ≤ 11 là iu d nhn ra, nhng ch ra || ≤ 10 thì li là c mt
vn . ây là mt bài toán rt hay và thú v.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 8
Ví d 5: Cho + 1 s nguyên dng khác nhau và nh hn 2. Chng minh tn ti
ba s trong + 1 s ó mà mt s bng tng hai s kia.
Gii:
Gi + 1 s nguyên dng ã cho là 1, 2, … , +1
Không mt tng quát gi s: 1 ≤ 1 < 2 < < < +1 ≤ 2 − 1
t = − 1 ( = 2,3, … , + 1).
Suy ra: 1 ≤ 2 < 3 < < < +1 ≤ 2 − 1
Xét dãy 2 s 2, 3, … ; +1; 2; 3; … ; +1. Các s này nhn 2 − 1 giá tr khác
nhau nên theo nguyên lí Dirichlet, có ít nht 2 s trong dãy trên bng nhau.
Mt khác ta có: ≠ , ≠ , ∀ ≠ , 2 ≤ , < + 1
Ngoài ra ≠ , ∀ = 2,3, … , + 1 (do 1 ≠ 0)
Suy ra tn ti = ( ≠ , 2 ≤ , ≤ + 1)
Hay = − 1 ⇔ 1 + =
Vy, ta có iu phi chng minh.
Nhn xét: ây là mt bài toán thuc dng xây dng dãy s. Ý tng là to ra
mt dãy có 2 s và nhn 2 − 1 giá tr khác nhau, t ó suy ra trong dãy có hai s
bng nhau. tuyn sinh ca trng chuyên Nguyn Du k Lk (2014 – 2015) có
mt câu tng t vi = 2013, nhng li cho gi thit là các s t nhiên nên không
th chng minh c.
Ví d 6: Cho 2014 s t nhiên bt kì. Chng minh rng luôn tn ti 729 s có tng
chia ht cho 729.
thi chn i tuyn tnh – chuyên Nguyn Du k Lk (2014-2015)
Gii:
Ta chng minh b n gin:
Trong 5 s t nhiên bt kì luôn tn ti 3 s có tng chia ht cho 3. (1)
Chng minh: Gi 5 s t nhiên ã cho là 1, 2, 3, 4, 5. Gi 5 s d ca 5 s này
khi chia cho 3 tng ng là 1, 2, 3, 4, 5.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 9
Nu các s ( = 1, 2, 3, 4, 5) ch nhn cùng mt giá tr 0,1,2 thì d thy 3 s
bt kì trong u có tng chia ht cho 3.
Nu các s nhn 2 giá tr trong 3 giá tr 0,1,2 thì theo nguyên lí Dirichlet,
tn ti 3 s có giá tr bng nhau. Gi s 1 = 2 = 3 thì 1 + 2 + 3 3.
Nu các s nhn c 3 giá tr 0,1,2. Gi s 1 = 0, 2 = 1, 3 = 2 thì
d thy 1 + 2 + 3 3.
Vy, b (1) c chng minh.
Ta chng minh b tip theo:
Trong 53 s t nhiên bt kì luôn tn ti 53 s có tng chia ht cho 27. (2)
Chng minh:
Gi tp 53 s t nhiên ã cho là . Ta có: || = 53 = 17.3 + 2
Áp dng b (1), tn ti 3 phn t có tng chia ht cho 3, gi tng này là 1
B i 3 phn t trên, áp dng b (1), tn ti 3 phn t có tng chia ht cho 3, gi
tng này là 2
C tip tc làm nh vy…
Mà ta có: 53 = 3.17 + 2 nên suy ra tn ti 17 s có tính cht tng t.
Xét 17 s ( ∈ {1; 2; … ; 17}), chng minh tng t nh trên, ta có 17 = 5.3 + 2
nên tn ti 5 s ( ∈ {1; 2; 3; 4; 5}) sao cho mi s là tng ca 3 s và chia ht
cho 3. Mt khác các s này chia ht cho 3 nên suy ra các s chia ht cho 9.
Xét 5 s trên, áp dng b (1), tn ti s sao cho là tng ca 3 s và
3. Mt khác các s này chia ht cho 9 nên suy ra 27. Ngoài ra, còn là
tng ca 3.3.3 = 27 phn t ca .
T ây suy ra b (2) c chng minh.
Tr li bài toán: Ta chng minh bài toán vn còn úng vi 1457 s t nhiên.
Gi tp 1457 s t nhiên ã cho là . Áp dng b (2), chng minh tng t nh
trên, tn ti tng 27.27 = 729 và tng ca 27.27 = 729 phn t ca .
Vy, bài toán c chng minh.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán T hp
Trang 10
Nhn xét: Mu cht ca bài toán là vic phát hin ra 729 = 36 a bài toán
v các b n gin hn. Bài toán này còn có th tng quát hóa nh sau:
Trong 2 − 1 s luôn tn ti s có tng chia ht cho .
Li gii ca bài toán tng quát này tng i dài và c ng trên báo Toán hc
và Tui tr s 383, tác gi xin phép không nêu lên ây.
Chú ý: Li gii trên i theo con ng: 3 → 33 → 36. Ta có th chng minh
c bài toán bng cách s dng b (1) mà không cn chng minh b (2).
Tuy nhiên theo tác gi cách làm trên s ngn gn hn.
Nhn xét chung: Ý tng ca các bài toán trên là to ra hai yu t “vt” và
“ngn kéo” áp dng nguyên lí Dirichlet. ó có th là “im” và “min”, “phn
t” và “tp hp”, v.v… Nm c hai yu t này thì bài toán tr nên n gin. Tuy
nhiên cng có mt s bài toán mà vic áp dng nguyên lí Dirichlet ch là bc khi
u cho mt chui suy lun, ánh giá logic nh bài toán VD4. Hy vng nhng bài
toán trên s giúp các bn góp nht nhng kinh nghim trong vic gii toán T hp.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán Bt ng thc
Trang 11
2. Bt ng thc (BT):
ng dng ca nguyên lí Dirichlet trong vic gii các bài toán i s s cp
(phng trình, h phng trình,…) là không áng k. Tuy nhiên, vn có mt s bài
toán i s c gii bng phng pháp s dng nguyên lí Dirichlet, in hình là
mt s bài toán v BT ba bin i xng.
Trong phng pháp này, thng thì ta d oán im ri ca BT ri ánh giá
mt s i lng () = () = () = 0 sao cho hp lý. Mc ích là ánh
giá các i lng không thun nht.
Ta s xét ba VD m u thy c s hiu qu ca phng pháp trên:
Ví d 1: Cho , , là các s thc dng. Chng minh rng:
2 + 2 + 2 + 2 + 1 ≥ 2( + + )
BT trên có th chng minh bng BT Schur bc 3. Tuy nhiên, chúng ta th
s gii quyt nó bng cách s dng nguyên lí Dirichlet:
Gii:
Xét 3 s − 1, − 1, − 1. Áp dng nguyên lí Dirichlet, có ít nht 2 trong 3 s
trên cùng du. Không mt tng quát gi s − 1 và − 1 cùng du, ta có:
( − 1)( − 1) ≥ 0 ⇔ + 1 ≥ + ⇔ 2 ≥ 2 + 2 − 2
Ta cn chng minh: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 − 2 + 1 ≥ 2( + + )
⇔ ( − )2 + ( − 1)2 ≥ 0
iu này hin nhiên úng.
ng thc xy ra khi và ch khi = = = 1.
Nhn xét: ây là ví d c bn nht v phng pháp s dng nguyên lí
Dirichlet. Trong ví d trên, ta ã d oán im ri ti = = = 1, ri s dng
nguyên lí Dirichlet ánh giá các i lng − 1, − 1, − 1, sau ó s dng phép
nhóm bình phng hoàn tt chng minh. Có th thy rng phng pháp này ã
làm cho BT n gin i rt nhiu. Trong các VD s 4, 5, 6, ta s thy c s hiu
qu ca phng pháp này khi kt hp vi phng pháp dn bin.
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán Bt ng thc
Trang 12
Ví d 2: Cho , , > 0. Chng minh rng:
+ √(1 + 3)(1 + 3)(1 + 3) 3
≥ + +
Gii:
Áp dng nguyên lí Dirichlet, trong 3 s − 1, − 1, − 1 có ít nht 2 s cùng du.
Không mt tng quát gi s − 1 và − 1 cùng du, ta có:
( − 1)( − 1) ≥ 0 ⇔ + 1 ≥ + ⇔ + ≥ +
Áp dng BT Hölder ta có:
(13 + 3)(13 + 3)(3 + 1) ≥ ( + )3
Suy ra: + √(1 + 3)(1 + 3)(1 + 3) 3
≥ + + ≥ + +
ng thc xy ra khi và ch khi = = = 1.
Nhn xét: Cm giác ban u v bài toán là s phc tp vi lp cn bc ba và
các biu thc không thun nht vi nhau. Tuy nhiên li gii bng nguyên lí Dirichlet
trên li cho thy iu ngc li.
Ví d 3: Cho , , ≥ 0, chng minh rng:
+ 2 + 1
√2 [( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 1)2] ≥ + +
Gii:
Áp dng nguyên lí Dirichlet, trong 3 s − 1, − 1, − 1 có ít nht 2 s cùng du.
Không mt tính tng quát gi s − 1 và − 1 cùng du, ta có:
( − 1)( − 1) ≥ 0 ⇔ ≥ + − 1
Nh vy ta cn chng minh:
( + − 1) + 2 + 1
√2 [( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 1)2] ≥ + +
⇔ ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 1)2 ≥ √2( + − 2)(1 − )
Áp dng BT Cauchy-Schwarz (C-S) và BT AM-GM, ta có:
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán Bt ng thc
Trang 13
2 + ( − 1)2
≥ √2|( + − 2)( − 1)| ≥ √2( + − 2)( − 1)
ng thc xy ra khi và ch khi = = = 1.
Nhn xét: ây là thi tuyn sinh lp 10 KHTN – Hà Ni. Khó có th kim
c li gii nào phù hp hn cho BT này, c bit là trong áp lc phòng thi.
Nh vy qua ba VD trên, bc u ta ã thy c s hiu qu ca phng
pháp s dng nguyên lí Dirichlet trong mt s BT i xng không thun nht.
Bây gi ta s xét mt s BT s dng phng pháp dn bin bng cách s
dng các BT kinh in kt hp vi nguyên lí Dirichlet:
Ví d 4: Chng minh BT sau úng vi mi s thc dng , , :
( + − )2
22 + ( + )2 +
( + − )2
22 + ( + )2 +
( + − )2
22 + ( + )2 ≥
3(2 + 2 + 2)
2( + + )2
Nhn xét: Vi mt BT thun nht phc tp nh trên thì iu u tiên ta ngh
ti là s dng phng pháp chun hóa làm n gin hóa bài toán.
Gii:
BT ã cho thun nht vi 3 bin , , nên ta chun hóa + + = 1.
BT c vit li thành:
(1 − 2)2
3 , −
1
3 . Áp dng nguyên lí Dirichlet thì ít nht 2 có trong 3 s
trên cùng du. Gi s 2 s ó là − 1
3 và −
(1 − 2)2
Nguyên lí Dirichlet trong gii toán Bt ng thc
Trang 14
= 122
3 − )
5
9
Vy ta ch còn phi chng minh BT mt bin sau:
(1 − 2)2
5
6
1
Ta cn chng minh:544 − 723 + 332 − 14 − 5 ≤ 0
⇔ ( − 1)[(542 − 182 + 15) + 1] − 4 ≤ 0 (∗)
Vì , , > 0, + + = 1 ⇒ 0 < < 1 ⇒ (∗) úng.
Vy, BT c chng minh.
ng thc xy ra khi và ch khi = = .
Chú ý 1: Ta không nên chun hóa + + = 3 vì s làm các h s trong
BT ln hn, vô tình gây nên khó khn cho các bc bin i tip theo.
Chú ý 2: bc phân tích nhân t chng minh BT mt bin sau cùng,
nu ta ã d oán c ng thc xy ra khi = = = thì s luôn xut hin
nhân t − hoc ( − )2.
Ví d 5: Cho , , là các s thc tha mãn + + = 3. Chng minh:
1
Trang 15
Gii:
Xét 3 s − 1, − 1, − 1. Áp dng nguyên lí Dirichlet thì ít nht 2 có trong 3 s
trên cùng du. Gi s 2 s ó là − 1 và − 1, ta có:
0 ≤ ( − 1)( − 1) ⇔ 2 + 2 ≤ (2 − )2 + 1
Ta thy rng không th áp dng ngay BT C-S vì BT s b i chiu. Ta s bin
i BT nh sau:
(∗) ≥ (3 − 1)2
52 − 4 + 11 +
≥ (7 − 3)2
92 − 42 + 49
52 − 16 + 35
92 − 42 + 49
52 − 16 + 35 ≥
9 + 4 − 52
52 − 4 + 11
BT này hin nhiên úng.
ng thc xy ra khi và ch khi = = = 1.
Chú ý: Nu ta bin i BT thành:
1
52 − 4 + 11 +
52 − 4 + 11 ≥
Trang 16
thì xut hin bình phng t ca hai phân thc, ta cn phi áp dng BT C-S
cho 4 s. Rõ ràng ta ã làm cho v trái ca BT yu i nhiu hn so vi cách gii
“chun”. Kt qu là BT mt bin cui cùng s không luôn úng ∀ ∈ :
( − 1)2(452 − 276 + 211)
(52 − 16 + 35)(52 − 4 + 11) ≥ 0 (!)
Ví d 6: Cho , , là các s thc dng. Chng minh:
√
+

+

Gii:
ây là mt BT hoán v nên ta s a nó v dng i xng bng cách t:
=
, =
BT cn chng minh tng ng:
√ + + − 2 + 8
( + 1)( + 1)( + 1) ≥ 2 (∗)
Áp dng nguyên lí Dirichlet thì ít nht 2 có trong 3 s − 1, − 1, − 1 cùng
du. Gi s − 1 và − 1 cùng du, ta có:
( − 1)( − 1) ≥ 0 ⇔ ( + 1)( + 1) ≤ 2( + 1)
⇒ (∗) ≥ √2√ + − 2 + 4
( + 1)( + 1)
√2 + 1
2 − 2 +
≥ 2
Trang 17
(2 − 1)2
( + 1)2
(2 + 1)2 ] ≥ 0
Ti ây thì ta ch cn chng minh nhân t trong ngoc vuông luôn dng.
Áp dng BT AM-GM, ta có:
2 + 1
( + 1)2
(2 + 1)2 ≥
2 + 1
+ 2
(23 + 2 + 1)(2 + 1)2 > 0 ( > 0)
Vy, BT c chng minh.
ng thc xy ra khi và ch khi = = .
Nhn xét chung: Qua các ví d trên ta thy rng nguyên lí Dirichlet không
ch có ích trong nhng bài toán mang tính T hp mà còn giúp chúng ta rt nhiu
trong vic gii toán BT. Ý tng ch o là s dng nguyên lí làm n gin
BT ban u, sau ó kt hp vi các phng pháp khác nh nhóm bình phng,
dn bin, s dng các BT kinh in,… Hy vng ngi c s thy thích thú vi
phng pháp này và thng xuyên áp dng nó.
Nguyên lí Dirichlet và ng dng trong các dng toán c bn
Trang 18
TÀI LIU THAM KHO Mt s tài liu t Internet, c bit là t diendantoanhoc.net
Tp chí Toán hc và Tui tr.
S dng phng pháp Cauchy-Schwarz chng minh bt ng thc ca
Võ Quc Bá Cn – Trn Quc Anh.