Trasporto di massa Metabolismo cellulare Introduzione Processi di trasporto: trasporto passivo, diffusione facilitata e trasporto attivo Le reazioni del

Trasporto di massa Trasporto di massa Metabolismo cellulare

Introduzione Processi di trasporto: trasporto passivo, diffusione facilitata e trasporto attivo Le reazioni del catabolismo e della biosintesi Elementi di bioenergetica

Modellazione e regolazione delle reazioni biochimiche Stechiometria e cinetica delle reazioni cellulari Bilanci di materia:

utilizzo dei substrati, formazione di prodotti e produzione di biomassa in colture cellulari bilanci elementari

Regolazione dei cammini metabolici regolazione dell’attività enzimatica regolazione della concentrazione enzimatica

Controllo delle reazioni metaboliche Analisi dei flussi metabolici (Metabolic Flux Analysis) Metabolic Control Analysis

coefficienti di controllo e teoremi di somma coefficienti di elasticità e teoremi di connettività tecniche per la determinazione dei coefficienti di controllo

Fenomeni di trasporto in sistemi biologici Introduzione ai fenomeni di trasporto nei sistemi biologici

meccanismi di trasporto fenomeni di trasporto a livello intra/inter-cellulare, nei tessuti e in sistemi fisiologici

Richiami di relazioni fondamentali di conservazione e relazioni costitutive bilanci di massa e quantità di moto relazioni costitutive

Caratteristiche reologiche del sangue

Trasporto di massa Il meccanismo di trasporto di massa

legge di Fick della diffusione stima dei coefficienti di diffusione

Bilanci di massa: applicazione a membrane, vasi sanguigni e particelle sferiche

Influenza del trasporto di massa sulle reazioni biochimiche trasporto di massa e rezioni biochimiche in sistemi cellulari trasferimento di massa gas-liquido in sistemi biologici trasporto di macromolecole e drug delivery

Trasporto di massa Trasporto di massa

Trasporto di massa e reazioni

Si consideri la situazione in cui un soluto A diffonde con concentrazione cA in presenza di una seconda molecola B al quale A può legarsi

in generale dovranno essere considerati i profili temporali e spaziali delle concentrazioni di soluto libero A, cA=cA(x,t), della molecola B, cB=cB(x,t), e del complesso AB, cAB=cAB(x,t)

si supponga che il complesso AB si formi attraverso la reazione

non necessariamente la formazione del complesso AB implica una reazione chimica. Comunemente, ciò che avviene è il binding del soluto ad una proteina della membrana (recettore)

i recettori sono proteine transmembraniche con una porzione nel citoplasma

la formazione del complesso ligando-recettore può modificare la porzione citoplasmatica del recettore dando luogo ad una serie di eventi molecolari (reazioni biochimiche) che alterano le funzioni cellulari

il binding al recettore può aprire un canale transmembranico per il trasporto di ioni

BA 1k

1k

AB



I bilanci di massa monodimensionali per le tre specie saranno dati da

in generale, D(AB) è diverso da DB. Tuttavia, se B è una molecola di dimensioni molti maggiori di A (es.: una proteina trans-membranica), si può ipotizzare che D(AB)= DB

le equazioni di bilancio possono essere ulteriormente semplificate qualora la molecola B non venga trasformata dal legame con A, ovvero se, per ogni posizione e per ogni istante temporale, si ha che il bilancio di B è dato da

dove cBT è la concentrazione totale della specie B. Se D(AB)= DB, allora cBT

è

costante

txctxctxcTBABB ,,, )(

2

)(2

)()(11)(

2

2

)(11

2

2

)(11

x

cckcck

t

c

x

cckcck

t

c

x

cckcck

t

c

ABABABBA

AB

BBABBA

B

AAABBA

A

D

D

D



Si consideri il caso in cui il sito di legame (binding site) non si muova (B è un recettore immobile) e mantenga costante la sua concentrazione. Allora DB=D(AB)=0 e cB/x=0 ed il bilancio per la diffusione della specie A è dato da

Se le velocità di formazione e scomparsa del complesso sono entrambe molto più veloci della velocità di diffusione, allora è possibile ipotizzare un equilibrio rapido della reazione di binding

2

2)(

2

)(2

)()(112

2

)(11)(

x

c

t

c

t

c

x

cckcck

x

cckcck

t

c

t

c

AA

ABA

ABABABBA

AAABBA

ABA

D

DD

)(1

1

AB

BAb c

cc

k

kK



e quindi

Sostituendo c(AB)/t nell’equazione di bilancio, si ottiene

t

c

cK

Kc

t

c

cK

Kc

c

c

cK

ccc

K

ccc

K

ccc

t

c

c

c

t

c

c

c

t

c

c

c

t

c

cccK

ccc

c

cc

k

kK

x

c

t

c

t

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A

Ab

bBAB

Ab

bB

A

AB

Ab

BAAB

b

ABBA

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BAAB

A

A

ABB

B

ABA

A

ABAB

BABBb

BAAB

AB

BAb

AA

ABA

TT

TT

T

2

)(

2

)(

)()(

)(

)()()()(

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1

2

2)(

,

D

2

2

2

2

2

2

1 x

c

cKKct

c

x

c

t

c

cK

Kc

t

c

A

AbbB

AA

AA

A

Ab

bBA

T

T

D

D



Il coefficiente di diffusione effettivo dipende perciò dalla concentrazione totale di B e dalla concentrazione locale di A

più siti di legame ci sono, maggiore è l’effetto di rallentamento del processo diffusivo

più elevata è la concentrazione del soluto, minore sarà l’effetto del binding sulla diffusione

22 111 bAbB

A

AbbB

A'A

KcKccKKcTT

DDD

DA

’ /DA

cA/Kb

100

10

1

0.1

cBT/Kb



Suppponendo che A e B siano rappresentabili come molecole sferiche di raggio r ed s e che il legame avvenga sulla superficie di B, il bilancio allo stato stazionario è dato da

0

22

0

AA

A

AAA

ccr

csr

dr

dcr

dr

d

rdt

dc

D

con le condizioni al contorno che, sulla superficie del recettore, tutto il ligando viene consumato (la sua concentrazione è nulla) mentre lontano dal recettore il ligando ha una concentrazione uniforme

l’integrazione dell’equazione fornisce il profilo di concentrazione

r

scc AA 10

Ligandodi raggio r

cellula

Recettori di raggio s



Qualora anche il sito di legame possa diffondere (B è un recettore mobile), DB=D(AB)≠0, il bilancio per la diffusione della specie A è dato dalla somma dei flussi relativi del soluto libero A e del complesso AB ovvero è maggiore rispetto alla diffusione del solo A

Ipotizzando l’equilibrio rapido della reazione di binding e considerando il bilancio della molecola-recettore

2

)(2

)()(

)(

2

2

)(

)(

x

c

cc

c

x

c

cc

c

t

c

t

c ABAB

ABA

ABAA

ABA

AABA

DD

bA

BAAB

b

ABBAAB

BABBAB

BAb

Kc

ccc

K

cccc

cccc

cc

k

kK

TT

T

)()(

)(

)()(1

1 ,

2

)(2

)(2

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2

)(2

)(2

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x

c

cKc

c

x

c

cKc

Kc

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c

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c

x

c

Kc

ccc

Kc

cc

x

c

Kc

ccc

c

t

c

t

c

ABAB

BbA

BAA

BbA

bAABA

ABAB

bA

BAA

bA

BA

AA

bA

BAA

AABA

T

T

T

T

T

T

DD

DD



La crescita di aggragati cellulari oltre una certa dimensione (es.: 100 m) è limitata dalla disponibilità di ossigeno. Infatti, le cellule nella porzione centrale dell’aggregato spesso necessitano di quantitativi di ossigeno maggiori di quelli disponibili per semplice diffusione

Misurando radialmente la pressione parziale di ossigeno in un aggregato di 800 m si nota che la quantità di ossigeno diminuisce rapidamente spostandosi dalla superficie all’interno dell’aggregato



La diminuzione di pressione parziale è più marcata in mancanza di moto convettivo del mezzo che trasposta l’ossigeno (triangoli pieni)

Quindi lo sviluppo di aggregati cellulari complessi (organi) ha richiesto la contemporanea messa a punto di sistemi di trasporto dell’ossigeno più efficienti della semplice diffusione

sistema circolatorio permette il trasporto dell’ossigeno attraverso il moto convettivo del sangue e

attraverso vasi di piccole dimensioni, i capillari, lo convoglia nelle vicinanze degli aggregati cellulari

una volta trasportato per convezione in prossimità delle cellule, l’ossigeno viene rilasciato alle cellule per semplice diffusione, data la piccola distanza da coprire

emoglobina una proteina specializzata nel trasporto dell’ossigeno contenuta nei globuli

rossi la presenza dell’emoglobina permette di superare la limitata solubilità

dell’ossigeno nell’acqua, ovvero nella componente preponderante del plasma



Emoglobina

l’emoglobina, indicata normalmente con Hb (e chiamata emoglobina A negli esseri umani adulti), consiste di 4 catene polipetidiche, rispettivamente due catene e due catene , tenute assieme da forze di legame non covalenti

la molecola di emoglobina ha una forma quasi sferica con un diametro di circa 5.5 nm ed un peso molecolare di 68000 daltons



Emoglobina

la capacità di legare l’ossigeno è data dalla presenza di un gruppo non-polipeptidico chiamato eme

il gruppo eme è anche chiamato gruppo prostetico in quanto conferisce all’emoglobina le sue caratteristiche funzionali

il ferro contenuto nell’eme conferisce al sangue la sua colorazione rossa

l’eme è costituito da una parte organica, detta protoporfirina e formata da quattro anelli pirrolici uniti da legami metilici, legata attraverso quattro atomi di azoto all’atomo di ferro in posizione centrale

poichè l’atomo di ferro può formare 6 legami, di cui 4 dedicati agli anelli pirrolici, rimangono 2 legami disponibili, uno per ciascun lato del piano dell’eme, e quindi l’eme può legare una molecola di ossigeno

ciascuna delle 4 catene dell’emoglobina contiene un gruppo eme e quindi un proprio sito di legame per l’ossigeno. Quindi, una molecola di emoglobina può legare fino a 4 atomi di ossigeno

l’emoglobina è una proteina allosterica in cui la formazione di legami con l’ossigeno aumenta le proprietà di binding ad altre molecole di ossigeno (cooperazione positiva)



Emoglobina

il legame tra ossigeno ed emoglobina è espresso dalla curva di dissociazione dell'emoglobina dall’ossigeno

la curva fornisce il grado di occupazione dei siti dell’emoglobina per una data pressione parziale di ossigeno (pO2

)

La pressione parziale di ossigeno è data dal solo ossigeno disciolto e

la relazione tra pO2 e quantità di ossigeno legato

all'emoglobina è non lineare a basse pressioni parziali aumenta rapidamente

l’affinità dell’ossigeno all’emoglubina fino a stabilizzarsi quando la saturazione si avvicina al 100% (tutti i siti occupati dall’ossigeno)

il 50% di saturazione (metà siti occupati) è un valore di riferimento per capire gli effetti di sostanze sull’affinità ossigeno-emoglubina

Henry di costante 22222

OOOOO HcHPxp



Emoglobina

il legame (affinità) ossigeno-emoglobina dipende oltre che dalla pO2,

dalla temperatura e dal pH, anche dalla presenza di H+, di CO2 e di fosfati organici (difosfoglicerolo: composto dei globuli rossi che favorisce la liberazione di ossigeno nei tessuti) che hanno la capacità di generare interazioni allosteriche abbassamento del pH

diminuisce l’affinità dell’ossigeno per l’emoglobina

aumento della CO2

per livelli costanti del pH, un aumento della CO2 sposta verso destra la curva di dissociazione

alti livelli di CO2 e di H+ hanno un effetto benefico sul rilascio di ossigeno nei tessuti: l’affinità dell'emoglobina per l'ossigeno diminuisce quando l’emoglubina si lega agli ioni idrogeno (effetto Bohr) o all’anidride carbonica (effetto carbaminico)

l’affinità dell'emoglobina per gli ioni idrogeno e l'anidride carbonica diminuisce all’aumento della pO2

(effetto Haldane) favorendo il rilascio di

anidride carbonica negli alveoli



Emoglobina



Emoglobina

la concentrazione di emoglobina varia al variare dell’ematocrito

nell’emoglobina, il monossido di carbonio si lega ai medesimi siti attivi dell’ossigneo, ma con un’affinita di circa 210 volte maggiore



Emoglobina

la concentrazione dell’emoglobina nel sangue è di circa 150 g/L (2200 M)

poichè ciascuna molecola di emoglobina può legare 4 molecole di ossigeno, la concentrazione di ossigeno legato all’emoglobina saturata (Y=1) è pari a circa 8800 M

la concentrazione di ossigeno disciolto è di circa 130 M nel sangue arterioso e di 54 M nel sangue venoso. È perciò chiaro che la maggior parte dell’ossigeno disponibile nel sangue è portato dall’emoglobina



Emoglobina

nel 1913, Archibold Hill dimostrò che la forma sigmoidale della curva di dissociazione dell’emoglobina dall’ossigeno poteva essere descritta dal seguente equilibrio

dove n rappresenta il numero di molecole di ossigeno che si legano all’emoglobina Hb a formare ossiemoglobina [Hb(O2)n]

la velocità di comparsa di Hb assumendo l’equilibrio è data da

la frazione di emoglobina saturata dall’ossigeno (Y) sarà data da

nOHb 2 1k

1k

2nOHb

nOHbOHb

nOHbOHb

Hb cKcccckckdt

dcnn 2222

011

HbOHb

OHb

cc

cY

n

n

2

2



Emoglobina

utilizzando la costante di equilibrio e la legge di Henry

tale relazione lega la frazione di emoglobina saturata dall’ossigeno alla sua pressione parziale ed è detta equazione di Hill

K

Hp

pp

pY

H

pc

Kc

Kc

c

cc

c

cc

cY

nOn

nO

n

nO

O

OO

nO

nO

Hb

OHb

Hb

OHb

HbOHb

OHb

n

n

n

n

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5050

dove

11



Letto capillare (modello Krogh tissue cylinder)

i capillari rappresentano il sito di scambio di gas e nutrienti tra i tessuti ed il sangue

i capillari sono i soli vasi sanguigni le cui pareti permettono scambi tra il sangue e il circostante liquido interstiziale. Poiché le pareti capillari sono relativamente sottili, le distanze di diffusione sono piccole e lo scambio può avvenire rapidamente

il flusso ematico nei capillari è relativamente lento, concedendo un tempo sufficiente per la diffusione o il trasporto attivo dei materiali attraverso le loro pareti

a differenza dei grossi vasi, la parete capillare è limitata ad un unico strato, l'endotelio. Molti capillari possiedono addirittura piccoli pori oppure finestre più ampie (capillari fenestrati) che sono chiuse da un sottile strato di membrana, ovvero da un diaframma. I capillari di questo tipo lasciano passare piccole molecole, ma impediscono la fuoriuscita di sostanze di grosso peso molecolare, in particolare proteine




la pressione all'interno dei capillari (pressione idrostatica) causa lo stillicidio continuo di liquido dal plasma sanguigno negli spazi intercellulari (interstizio) che circondano i capillari e i tessuti. Questo liquido è noto come liquido interstiziale ed è composto soprattutto da acqua in cui sono disciolte sostanze nutritive, ormoni, gas, sostanze di rifiuto e piccole proteine del sangue

le grandi proteine plasmatiche, i globuli rossi e le piastrine non sono in grado di uscire dai capillari a causa delle loro dimensioni, sebbene i globuli bianchi possano filtrare attraverso gli interstizi tra le cellule delle pareti dei capillari

i capillari formano reti intrecciate chiamate letti capillari ed il flusso in queste reti si chiama microcircolo

la quantità di sangue che entra in un letto capillare è regolata dalle fibre nervose del tessuto muscolare e da condizioni locali (segnali biochimici)




Schack August Steenberg Krogh fu il fisiologo danese che studiò i processi biochimici del ricambio, i meccanismi fisiologici della respirazione e della circolazione e soprattutto il meccanismo di regolazione vasomotoria dei capillari sanguigni. In riconoscimento dei risultati ottenuti, venne insignito, nel 1920, del premio Nobel per la medicina




il modello del cilindro di tessuto di Krogh prevede che un letto capillare sia riconducibile ad una successione di condotti (i capillari) ciascuno circondato da uno strato cilindrico di tessuto (Krogh tissue cylinder)

Krogh utilizzò questo modello per studiare l’apporto di ossigeno ai muscoli (Krogh A., 1919, The number and the distribution of capillaries in muscle with the calculation of the oxygen pressure necessary for supplying the tissue, Journal of Physiology, 52, 409-515)

il modello di letto capillare di Krogh può essere utilizzato per sviluppare un modello matematico del trasporto di soluti




il tessuto che circonda il capillare sia inteso come una fase continua ignorando il fatto che in realtà è composto da cellule. Viene rappresentato come un cilindro di raggio rT

la diffusione di un soluto nello spazio tissutale sia descritta attraverso una diffusività effettiva DT

il soluto sia presente nello spazio tissutale con una concentrazione c nel capillare, il soluto è trasportato principalmente per convezione

lungo la direzione assiale e per diffusione lungo la direzione radiale il sangue fluisca con una velocità media v si conderi un volume di controllo del cilindro di Krogh esteso da z a

z+z

v

z+zz

r+rr

rcrc+tm

rT




si consideri il bilancio di massa per l’emoglobina ossigenata nel sangue ignorando la natura particellare del sangue e la resistenza al trasferimento di materia dei globuli rossi

dove c’ e RHbO rappresentano rispettivamente la concentrazione e la velocità volumetrica di formazione dell’emoglobina ossigenata

v

z+zz

r+rr

rcrc+tm

rT

HbOzzz zRrrrvcrrvcrt

czrr

2|'2|'2'

2




dividendo ambo i lati per 2rrz e facendo il limite per z0, si ottiene l’equazione differenziale che descrive il bilancio di materia per l’emoglobina ossigenata che dal sangue viene trasportata attraverso il capillare

il bilancio di materia per l’ossigeno disciolto nel sangue è invece dato da

dove, oltre al flusso convettivo, si considerano pure la diffusione radiale e assiale dell’ossigeno disciolto

HbORz

cv

t

c

''

22

|2|2

|2|2

|2|22

O

zzz

rrr

zzz

zRrrz

crr

z

crr

r

czr

r

czr

rvcrrvcrt

czrr

DD

DD diffusione radiale

diffusione assiale

flusso convettivo




dividendo ambo i lati per 2rrz e facendo il limite per z, r0, si ottiene l’equazione differenziale che descrive il bilancio di materia per l’ossigeno disciolto che dal sangue viene trasportato attraverso il capillare

poichè la velocità di scomparsa dell’ossigeno disciolto deve essere pari alla velocità di comparsa dell’emoglobina ossigenata, RHbO=RO2

inoltre la concentrazione di emoglobina ossigenata può essere ricavata in funzione della concentrazione di ossigeno disciolto attraverso la curva di dissociazione dell’emoglobina dall’ossigeno

dove m è la pendenza della curva di dissociazione dell’emoglobina

22

21ORz

c

r

cr

rrz

cv

t

c

D

z

cm

c

c

z

c

z

c

t

cm

c

c

t

c

t

c

''

''




i due bilanci possono quindi essere uniti al fine di ricavare il bilancio complessivo di massa dell’ossigeno disciolto che dal sangue viene trasportato attraverso il capillare

ovvero, ricordando che per la legge di Henry pO2=HO2

cO2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

111

1

''1

1

12

z

c

r

cr

rrz

cmv

t

cm

z

cmv

t

cm

z

c

r

cr

rrz

cv

t

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c

z

c

r

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rrz

cv

t

c

Rz

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cv

t

c

Rz

c

r

cr

rrz

cv

t

c

HbO

O

D

D

D

D

D

2

2

22221

11z

p

r

pr

rrz

pmv

t

pm OOOO D




ricordando che la frazione di emoglobina saturata dall’ossigeno (Y) è data da

e utilizzando l’equazione di Hill, è possibile ottenere la dipendenza di m da pO2

2

2

2

2

2

2

'

,'

'''

'

OsatO

O

O

satsatHbOHb

OHb

dp

dYcHm

H

pc

dc

dcm

Yccc

c

cc

cY

n

n

2

50

1

50

50

2

2

2

2

2

2

2

''nO

n

nO

satOn

OsatO

nO

n

nO

pp

pcHnpm

dp

dYcHm

pp

pY




nello spazio interstiziale, caratterizzato da un volume di vuoti T, dell’elemento cilindrico di tessuto sovrastante il capillare, il bilancio dell’ossigeno disciolto è dato da

dove cT è la concentrazione dell’ossigeno disciolto nello spazio interstiziale, la diffusione nello spazio tissutale è descritta attraverso una diffusività effettiva DT e metabolic rappresenta la velocità volumetrica di consumo metabolico dell’ossigeno nello spazio tissutale

metabolic

zz

TT

z

TT

rr

TT

r

TT

T

T

zrrr

crr

r

crr

r

czr

r

czr

t

czrr

2

|2|2

|2|2

2

DD

DD




dividendo ambo i lati per 2rrz e facendo il limite per z, r0, si ottiene l’equazione differenziale che descrive il bilancio di materia per l’ossigeno disciolto nella regione tissutale

dove, utilizzando la legge di Henry, la concentrazione di ossigeno disciolto nel tessuto può venire riscritta in termini di pressione parziale di ossigeno nel tessuto

metabolicTO

TO

TOT

TO

T

metabolic

TTT

T

T

Hz

p

r

pr

rrt

p

z

c

r

cr

rrt

c

2

222

2

2

2

2

1

1

D

D




le condizioni al contorno per risolvere i due bilanci sono date da

metabolicTO

TO

TOT

TO

T

OOOO

Hz

p

r

pr

rrt

p

z

p

r

pr

rrz

pmv

t

pm

2

222

2222

2

2

2

2

1 tessuto

111 capillare

D

D

r

p

r

ppprrBC

r

prBC

z

pLzBC

tppzBC

rrLz

TOTOT

OOc

O

O

OO

c

22

22

2

2

22

,,4

0,03

0,2

,01

0,0 :sangue

DD0,7

0,6

0,05

,0 :tessuto

2

2

2

r

prrBC

z

pLzBC

z

pzBC

rrrLz

TO

T

TO

TO

Tc




BC1 esprime il fatto che la pressione parziale dell’ossigeno in ingresso al capillare è assunta essere nota e può essere una funzione del tempo

BC2 esprime il fatto che l’ossigeno non può uscire assialmente dal capillare per diffusione assiale

BC3 il profilo dell’ossigeno disciolto è simmetrico rispetto all’asse centrale del capillare

BC4 si assume che la parete del capillare non opponga resistenza al flusso diffusivo di ossigeno (solubile nella membrana lipidica) per cui all’interfaccia tra capillare e tessuto sia la concentrazione di ossigeno che il suo flusso sono continui

v

z+zz

r+rr

rcrc+tm

rT

r

p

r

ppprrBC

r

prBC

z

pLzBC

tppzBC

TOTOT

OOc

O

O

OO

22

22

2

2

22

,,4

0,03

0,2

,01

DD




BC5 esprime il fatto che l’ossigeno non può uscire assialmente dal tessuto per diffusione assiale a z=0

BC6 esprime il fatto che l’ossigeno non può uscire assialmente dal tessuto per diffusione assiale a z=L

BC7 il profilo dell’ossigeno nella regione tissutale tra capillari distanti 2rT (ovvero ad una distanza pari al diametro del cilindro di Krogh) è simmetrico

qualora esista una regione anossica, si può avere un’ulteriore condizione al contorno

v

z+zz

r+rr

rcrc+tm

rT

0,7

0,6

0,05

2

2

2

r

prrBC

z

pLzBC

z

pzBC

TO

T

TO

TO

0,0,82

2

T

O

TO

anoxic pr

pzrrBC




la determinazione dei profili di concentrazione di ossigeno nel sangue e nello strato di tessuto adiacente presenta notevoli problemi computazionali per cui molto spesso si ricorre a soluzioni numeriche

con opportune semplificazioni è tuttavia possibile ricavare delle soluzioni analitiche che rappresentano dei buoni punti di partenza per l’analisi dei fattori fondamentali che influenzano il trasporto di ossigeno

semplificazione 1: stato stazionario permette di ignorare le derivate rispetto al tempo

semplificazione 2: m costante si può utilizzare un valore medio della pendenza della curva di dissociazione

dell’emoglobina nell’intervallo di pressione parziale di ossigeno interessata semplificazione 3: diffusione assiale trascurabile nel tessuto

poiché, nel modello di Krogh, la lunghezza del capillare è molto maggiore del raggio del cilindro di tessuto si può ipotizzare che la diffusione assiale nel tessuto sia trascurabile

semplificazione 4: diffusione assiale trascurabile nel capillare nel capillare il trasporto assiale avviene soprattutto in virtù del moto

convettivo e quindi si può ipotizzare che la diffusione assiale sia trascurabile




applicando le ipotesi precedenti si ottengono le seguenti equazioni di bilancio

la derivata parziale lungo la coordinata radiale può essere eliminata considerando un valore medio della pressione parziale lungo la coordinata radiale del capillare <pO2

(z)>

T

metabolicTO

TO

OO

metabolicTO

TO

TOT

TO

T

OOOO

rH

dr

dpr

dr

d

r

pr

rrz

pmv

Hz

p

r

pr

rrt

p

z

p

r

pr

rrz

pmv

t

pm

D

D

D

D

22

22

2

222

2222

tessuto

11 capillare

1 tessuto

111 capillare

2

2

2

2




con l’introduzione di <pO2(z)> entrambi i bilanci possono essere integrati

analiticamente con le condizioni al contorno BC1BC8 ottenendo i profili di concentrazione dell’ossigeno nel capillare e nel tessuto

il raggio rT del cilindro tissutale è dato da

dove L è la lunghezza del capillare e qb=Q/VT è detta velocità di perfusione sanguigna del tessuto (VT= volume della regione di tessuto considerata, Q= portata volumetrica di sangue)

c

T

metabolicTOT

cT

metabolicTOc

OO

c

TmetabolicTO

inOO

r

rHr

r

rHrzpzrp

zr

r

vm

Hzpzp

ln2

14

, tessuto

11

capillare

22

22

2

22

222

2

DD

Lq

vrr

bcT



Organo bioartificiale

analizzare il trasporto dell’ossigeno è un aspetto critico qualora si voglia progettare un organo bioartificiale

in una tipologia di pancreas artificiale, cellule pancreatiche note come isole di Langerhans, adibite alla secrezione dell'insulina, sono immobilizzate tra due membrane semipermeabili ricoperte da una matrice di materiale polimerico che viene vascolarizzato dall’ospite

le membrane hanno una struttura molecolare porosa tale da renderle permeabili a molecole di piccole dimensioni quali ossigeno, nutrienti fondamentali ed eventuali agenti terapeutici, ma contemporaneamente impermeabili alle cellule del sistema immunitario (immunoprotezione)







si consideri il trasporto di ossigeno in un organo bioartificiale descritto dal seguente schema

in cui si suppone che la resistenza maggiore al trasporto sia data dalla membrana immunoprotettiva e dallo strato di cellule

regione tissutalevascolarizzata

membranaimmunoisolante

xx+x

pO2 arteriosa pO2 venosa

piano di simmetria

cellule trapiantate




il bilancio di massa per l’ossigeno nello spessore x dello strato cellulare allo stato stazionario è dato da

dove Ax(1-) è il volume cellulare nello strato di isole di Langerhans, è il volume degli spazi vuoti nello strato cellulare e De è la diffusività effettiva dell’ossigeno nello strato di isole di Langerhans (spazi interstiziali e cellule)

dividendo per x, facendo il limite per x0 e utilizzando la legge di Henry per esprimere la concentrazione dell’ossigeno in termini di pressione parziale si ottiene che

supponendo che, essendo la resistenza al trasporto data dalla membrana immunoprotettiva e dallo strato di cellule, la pressione parziale dell’ossigeno sulla superficie della membrana sia assimilabile a quella nel sangue

01|| xAdx

dcA

dx

dcA metabolicxxexe DD

12

2

2

2

OmetabolicO

e Hdx

pdD




condizioni al contorno

BC1fornisce il livello della pressione parziale dell’ossigeno all’interfaccia tra la membrana immunoprotettiva e lo strato di cellule

BC2deriva dalla simmetria del sistema ed esprime il fatto che non c’è flusso netto di ossigeno attraverso il piano di simmetria

l’integrazione del bilancio differenziale con le condizioni al contorno fornisce il profilo di concentrazione dell’ossigeno nello strato di cellule

0,2

,01

2

22

0

dx

dpxBC

ppxBC

O

xOO

xxH

pxpe

OmetabolicxOO 2

2

1 220 2

22 D




benché il valore di pO2x=0 sia incognito, è possibile mettere in

relazione il consumo totale di ossigeno da parte delle cellule al flusso di ossigeno nella membrana immoprotettiva

dove Pm è la permeabilità della membrana e pO2B è la pressione

parziale media dell’ossigeno disciolto nel sangue nella regione vascolarizzata ovvero nel flusso sanguigno (es.: pO2

B=68 mmHg)

essendo noto pO2B, il valore di pO2

x=0 può essere calcolato dalla

relazione precedente

metabolicxO

BO

O

m AppH

AP 10

22

2

m

metabolicOBO

xO P

Hpp

12

22

0





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