TRASLACIONES, “ESTIRAMIENTOS”, REFLEXIONES SIMÉTRICAS

Por: Silvia E. Mora Álvarez.

TRASLACIÓN VERTICAL g(x)=f(x)+c

a

f(a)

a

f(a)

f(a)+c

b

f(b)

f(b)+c

f(b)

b

Si c >0Si c <0

la gráfica se traslada verticalmente hacia arriba.la gráfica se traslada verticalmente hacia abajo.

y=f(x)

y=f(x)+c

Ejemplo TV1: f : ; f x x

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

g : ; g x f(x) 2

g x x 2

Ejemplo TV2: f : 0, ; f x x

1 2 3 4 5 6

1

2

3

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

g : 0, ; g x f(x) 2

g x x 2

Ejemplo TV3: 2f : ; f x x

g : ; g x f(x) 1

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

2g x x 1

TRASLACIÓN HORIZONTAL g(x)=f(x+c) [1]

Analicemos primero un caso particular:Considere la función y sea c = 1 3f : ; f x x

x

x

-2

-1

0

1

2

¿Qué sucede con la imagen de “a” en el dominio?

g(x)=f(x+1)

(x+1)3

-1

0

1

8

27

f(x)

x3

-8

-1

0

1

8

TRASLACIÓN HORIZONTAL g(x)=f(x+c) [2]

a

f(a)

a

f(a+c)

b

f(b)

f(b+c)

f(b)

b b+cb-c

Si c >0Si c <0

la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA IZQUIERDA.la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA DERECHA.

y=f(x)y=f(x+c)

Ejemplo TH1: f : ; f x x

g : ; g x f(x 2)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

g x x 2

Ejemplo TH2: f : 0, ; f x x

g : 2, ; g x f(x 2)

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

2.5

g x x 2

Ejemplo TH3:

* * 1f : ; f x

x

g : 2 ; g x f(x 2)

-4 -3 -2 -1 1 2

-40

-20

20

40

-4 -3 -2 -1 1 2

-20

-10

10

20

1g x

x 2

AMBAS TRASLACIONES 3

g : ; g x x 1 2 ¿Qué gráfica básica

origina esta función?

¿Cuáles son las

transforma_ciones?

g : ; g x f x 1 2

-1-2-3-4 1 2 3 4-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

-1-2-3-4 1 2 3 4-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

3f : ; f x x

AMBAS TRASLACIONES (2) 2g : ; g x x 2x 3

¿Qué gráfica básica

origina esta función?

g : ; g x f x 1 4

2f : ; f x x

Completando cuadrados 2

g x x 1 4

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

10

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

10

¿Cuáles son las

transforma_ciones?

TRANSFORMACIONES DE LA FORMA g(x)=kf(x); k>0

Si k >1, resulta un ESTIRAMIENTO VERTICAL.

Veamos el caso: 2f : ; f x x ; k 2

-2 -1 1 2

2

4

6

8

-2 -1 1 2

1

2

3

4

2g : ; g x 2f x 2x

TRANSFORMACIONES DE LA FORMA g(x)=kf(x); k>0

Si 0< k <1, resulta un ESTIRAMIENTO HORIZONTAL.

Veamos el caso: 2f : ; f x x

-2 -1 1 2

1

2

3

4

1k

2

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

21 x

g : ; g x f x2 2

Con respecto al “eje x” g(x)= –f(x)

a

f(a)

b

f(b)

ab

–f(a)

–f(b)

y=f(x) y= g(x)= – f(x)

Ejemplo:

2f : ; f x x 2

g : ;

g x f x x

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

Con respecto al “eje y” g(x)= f(– x)

a

f(a)

b

f(b)

– a – b

f(b)

y=f(x) y=g(x)= f(– x)

f(a)

Ejemplo: f : 0, ; f x x

g : ,0 ; g x f x x

-6 -4 -2 2 4 6

0.51

1.52

2.5

-6 -4 -2 2 4 6

0.51

1.52

2.5

¿Cómo definiríamos g(x)=|f(x)|?

f x , si f(x) 0

f x , si f(x) 0

g x f x

¿Cómo afectaría esto la gráfica de f?

Veamos: 3f : ; f x x

-1-2-3-4 1 2 3 4-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

¿Cuál es el conjunto solución de f(x)<0?

R/ x

3

3

3

g : ;

x ; si xg x x

x ; si x

-1-2-3-4 1 2 3 4

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

Otro ejemplo: 2f : ; f x x 4

¿Cuál es el conjunto solución de f(x)<0?

R/ x 2,2

-4 -2 2 4

5

10

15

20

-4 -2 2 4

2

4

6

8

3

3

3

g : ;

x ; si x 2,2g x x

x ; si x 2,2

Resumeng(x) = Transformación

f(x)+c Traslación vertical de c unidades hacia arriba.

f(x) – c Traslación vertical de c unidades hacia abajo.

f(x+c) Traslación horizontal de c unidades a la izquierda.

f(x – c) Traslación horizontal de c unidades a la derecha.

kf(x), k>1 “Estiramiento” vertical

kf(x), 0< k < 1 “Estiramiento” horizontal

– f(x) Reflexión simétrica con respecto al eje x

f(–x) Reflexión simétrica con respecto al eje x