Trar Boles

Ideas generalesArboles binarios

Arboles generalesRecorridos de arboles

Arboles binarios de busquedaEjemplos y ejercicios

Arboles

R. Gonzalez del Campo - Yolanda Garcıa Ruiz (UCM)

April 14, 2010

R. Gonzalez del Campo - Yolanda Garcıa Ruiz (UCM) Arboles




IntroduccionAplicacionesTerminologıa

Arboles: Estructuras no lineales

Idea formal: Un arbol es un grafo conexo sin ciclos

Idea intuitiva: Los arboles expresan relaciones jerarquicas enlas que:

Cada elemento (excepto el primero) tiene un unico superiorinmediatoCada elemento tiene varios siguientes inmediatos






Son una generalizacion de las listas:

Listas: cada elemento tiene un unico sucesor.Arboles: los elementos pueden tener mas de un sucesor.

Permiten representar la nocion de jerarquıa. Ejemplos:

Arboles genealogicos: familiares, linguısticos.Arboles sintacticos.Estructura de los directorios.






Representacion de estructuras anidadas

Representacion de expresiones






A los elementos de la relacion se les llama nodos

El unico nodo sin antecesores es la raız

Los nodos sin descendientes se llaman hojas y el resto nodosinternos

Se llama rama a la secuencia de nodos que lleva de la raız acualquiera de las hojas

Llamamos padre de un nodo a su antecesor inmediato

Llamamos hijos de un nodo a sus descendientes inmediatos






Arboles binarios: todo nodo tiene siempre dos hijos (aunquealguno pueda ser vacıo). Un arbol binario puede ser vacıo.

Arboles generales: el numero de hijos de cada nodo esvariable.

Grado del arbol: maximo numero de hijos que un nodo puedetener → Arboles n-arios.

¡Los arboles binarios no son un caso particular de arbolesn-arios con n=2!:

En un arbol binario si un nodo tiene un solo hijo (el otro esvacıo), es preciso distinguir si se trata del hijo izquierdo oderecho.






¿Como distinguir un arbol binario de un arbol n-ario cuando n=2?Si para nosotros significa lo mismo

A

∅B y

A

B∅ ,es un arbol n-ario. Si significan dos cosas distintas, se trata de unarbol binario.





Especificacion de los arboles binariosImplementacion con punterosImplementacion con tablas

Operaciones a considerar:

crear un arbol vacıo,

construir un arbol a partir de un elmento y dos arboles,

consultar la raız,

calcular el hijo izquierdo,

calcular el hijo derecho, y

determinar si un arbol es vacıo.






Especificacion

especificacion ARBOLES-BINARIOS[ELEM]usa BOOLEANOStipos arbolBinoperaciones

arbolBBV acio : arbolBin(constructora)plantar : arbolBin× elemento× arbolBin→ arbolBin(constructora)raiz : arbolBin→ elementohijo− iz : arbolBin→ arbolBinhijo− de : arbolBin→ arbolBines− arbolBBV acio? : arbolBin→ bool

variables

e: elementoiz,de: arbol

ecuaciones

hijo− iz(arbolBBV acio) = errorhijo− iz(plantar(iz, e, de) = izhijo− de(arbolBBV acio) = errorhijo− de(plantar(iz, e, de) = deraiz(arbolBBV acio) = errorraiz(plantar(iz, e, de) = ees− arbolBBV acio?(arbolBBV acio) = ciertoes− arbolBBV acio?(plantar(iz, e, de)) = falso

fin-especificacion






Observaciones:

Las constructoras son libres → No son necesarias ecuacionesde equivalencia.

Extension de la especificacion de arboles binarios. Operaciones aconsiderar:

calcular la altura de un arbol: el numero de nodos de la ramamas larga,

calcular el numero de nodos,

calcular el numero de hojas: aquellos cuyos hijos son vacıos, y

calcular la imagen especular de un arbol.






Especificacion

especificacion ARBOLES-BINARIOS+[ELEM]usa ARBOLES-BINARIOS[ELEM],BOOLEANOSoperaciones

altura : arbolBin→ natnum− nodos : arbolBin→ natnum− hojas : arbolBin→ natespecular : arbolBin→ arbolBin

variables

e: elementoiz,de: arbol

ecuaciones

altura(arbolBBV acio) = 0altura(plantar(iz, e, de)) = 1 + max(altura(iz), altura(de))num− nodos(arbolBBV acio) = 0num− nodos(plantar(iz, e, de)) = 1 + num− nodos(iz) + num− nodos(de)num− hojas(arbolBBV acio) = 0num− hojas(plantar(iz, e, de)) = 1⇐es− arbolBBV acio(iz) ∧ es− arbolBBV acio(de)num− hojas(plantar(iz, e, de)) = num− hojas(iz) + num− hojas(de)⇐¬(es− arbolBBV acio(iz)) ∨ ¬(es− arbolBBV acio(de))especular(arbolBBV acio) = arbolBBV acioespecular(plantar(iz, e, de)) = plantar(especular(dr), e, especular(iz))

fin-especificacion






Representacion:

Cada nodo de la estructura enlazada representa a un nodo delarbol.

Cada arista se representa mediante dos punteros.






Representacion

tipos

enlace-arbol: puntero a nodo-arbolnodo-arbol : reg

valor: elementoiz,de: enlace-arbol

fregarbolBin: enlace-arbol

ftipos






Operaciones:

Operacion

fun arbolBBVacio() dev a: arbolBina ← nil

fin fun

Operacion

fun plantar(iz: arbolBin, e: elemento, de: arbolBin) dev a:arbolBin

reservar(a)a ↑ .valor ← ea ↑ .iz ← iza ↑ .de ← de

fin fun






Operacion

fun hijo-iz(a: arbolBin) dev b: arbolBinsi a = nil entonces

Error(arbol vacıo)si no

b ← a ↑ .izfin si

fin fun

Operacion

fun hijo-de(a: arbolBin) dev b: arbolBinsi a = nil entonces


b ← a ↑ .drfin si

fin funR. Gonzalez del Campo - Yolanda Garcıa Ruiz (UCM) Arboles





Operacion

fun raiz(a: arbolBin) dev e: elementosi a = nil entonces


e ← a ↑ .valorfin si

fin fun

Operacion

fun es-arbolBBVacio(a: arbolBin) dev b: boolb ← (a=nil)

fin fun






Idea: Almacenar el arbol por niveles dejando los huecos paraa los hijos ”ausentes”

|’+’ | ’9’ | ’-’ | | | ’*’ | 4 | | | | | ’5’ | ’8’ | | | |0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Para un arbol de altura n se necesita un array de longitud2n − 1Si un nodo esten la posicion i:

Su hijo izquierdo estara en la posicion 2*i+1Su hijo derecho estara en la posicion 2*i+2

Si un nodo esta en la posicion i su padre estara en la b i−12 c






Quedan huecos. Es preferible para minimizarlos que el arbolsea completo o semicompleto

Si el arbol va a contener pocos nodos (en relacion a su altura)sera preferible utilizar la implementacion basada en punteros

La implementacion con tablas exige que todos los nodos estenconsecutivos, mientras que la de punteros puede aprovechar”trozos”pequenos de memoria.

Ventaja: en la implementacion con tablas es posible pasardirectamente de los hijos al padre, mientras que en la depunteros habrıa que incluir un puntero adicional





Especificacion de los arboles generalesImplementacion de los arboles generales


Habra tres constructoras: plantar que crea un arbol general apartir de una raız y una lista de arboles hijos.bosqueVacıo que crea una lista vacıa de arbolesanadirArbol a una lista de arboles.

consultar la raız,

calcular la sucesion de hijos,

calcular el numero de hijos,

calcular el hijo i-esimo, y

determinar si un arbol es una hoja.






Notas:

Los tipos bosque y arbol se definen mutuamente:

Un arbol se construye a partir de un bosque.Un bosque consta de una lista de arboles.Caso base: un bosque vacıo que da lugar a un arbol que notiene hijos (hoja) → No existe ”el arbol vacıo” para arbolesgenerales.

Como el numero de hijos es variable necesitamos un tipo pararepresentar las listas de arboles → ”bosques”.

Las constructoras (libres) del tipo bosque son bosqueVacio yaniadirArbol.

plantar es la unica constructora del tipo arbol.






Especificacion

especificacion ARBOLES-GENERALES[ELEM]usa BOOLEANOS, NATURALEStipos arbolGen, bosqueoperaciones

plantar : elemento× bosque→ arbolGen(constructora)bosqueV acio : bosque(constructora)aniadirArbol : arbolGen× bosque→ bosque(constructora)raiz : arbolGen→ elementohijos : arbolGen→ bosquenumHijos : arbolGen→ natlongitud : bosque→ natsub− arbol : arbolGen× nat→ arbolGen−[−] : bosque× nat→ arbolGenes− hoja? : arbolGen→ bool

variables

e: elementoa: arbolGenb: bosquei: nat






Especificacion

ecuaciones

raiz(plantar(e, b)) = ehijos(plantar(e, b)) = bnumHijos(plantar(e, b)) = longitud(b)longitud(bosqueV acio) = 0longitud(aniadirArbol(a, b)) = 1 + longitud(b)subarbol(plantar(e, b), i) = b[i]b[i] = error ⇐ i = 0 ∨ i > longitud(b)aniadirArbol(a, b)[1] = aaniadirArbol(a, b)[i] = b[i− 1]⇐ 1 < i ∧ i ≤ longitud(b) + 1es− hoja?(a) = (numHijos(a) = 0)

fin-especificacion






Extension de los arboles generales:

calcular la altura de un arbol,

calcular el numero de nodos,

calcular el numero de hojas, y

calcular el grado de un arbol.






Especificacion

especificacion ARBOLES-GENERALES+[ELEM]usa ARBOLES-GENERALES[ELEM],NATURALESoperaciones

altura : arbolGen→ natnum− nodos : arbolGen→ natnum− hojas : arbolGen→ natgrado : arbolGen→ nat

Operaciones privadas

altura− bosque : bosque→ natnum− nodos− bosque : bosque→ natnum− hojas− bosque : bosque→ natgrado− bosque : bosque→ nat

variables

e: elementoa: arbolGenb: bosque






Especificacion

ecuaciones

altura(plantar(e, b)) = 1 + altura− bosque(b)altura− bosque(bosqueV acio) = 0altura− bosque(aniadirArbol(a, b)) = max(altura(a), altura− bosque(b))num− nodos(plantar(e, b)) = 1 + num− nodos− bosque(b)num− nodos− bosque(bosqueV acio) = 0num−nodos−bosque(aniadir(a, b)) = num−nodos(a)+num−nodos−bosque(b)num− hojas(plantar(e, bosqueV acio)) = 1num− hojas(plantar(e, aniadir(a, b))) = num− hojas− bosque(aniadir(a, b))num− hojas− bosque(bosqueV acio) = 0num−hojas−bosque(aniadir(a, b)) = num−hojas(a)+num−hojas−bosque(b)grado(plantar(e, b)) = max(long(b), grado− bosque(b))grado− bosque(bosqueV acio) = 0grado− bosque(aniadir(a, b)) = max(grado(a), grado− bosque(b))

fin-especificacion






Representacion: Utilizamos un arbol binario para representarlo.Ejemplo:

A

D

H

CB

GF






se representa como:

A

∅B

C

D

∅H

∅

F

G∅






Semantica del arbol binario:

La arista izquierda de un nodo senala al primer hijo.

La arista derecha de un nodo senala a su primer hermano.






Representacion

tipos

enlace-arbol: puntero a nodo-arbolnodo-arbol : reg

valor: elementoprimerHijo,siguienteHermano: enlace-arbol

fregarbolGen: enlace-arbolbosque: enlace-arbol

ftipos






Operaciones:

Operacion

fun plantar( e: elemento, b: bosque) dev a: arbolGenreservar(a)a ↑ .valor ← ea ↑ .primerHijo ← ba ↑ .siguienteHermano ← nil

fin fun






Operacion

fun bosqueVacio() dev b: bosqueb ← nil

fin fun

Operacion

proc aniadirArbol(a: arbolGen, b:bosque)a ↑ .siguienteHermano← bb← a

fin proc






Ejemplo. Construccion del arbol:

A

DCB

Operacion

D ← plantar(D, bosqueV acio())

D

∅∅

que representa al arbol:

D






B ← plantar(B, bosqueV acio())C ← plantar(C, bosqueV acio())Bosque← bosqueV acio()aniadirArbol(D,Bosque)

Bosque = [D]

D

∅∅






aniadirArbol(C, Bosque)aniadirArbol(B, Bosque)

Bosque = [B, C,D] a traves del enlace siguienteHermano!!!

B

C

D

∅∅

∅

∅






Arbol← plantar(A, Bosque)

A

∅B

C

D

∅∅

∅

∅






Operacion

fun raiz(a: arbolGen) dev e: elementoe← a ↑ .valor

fin fun

Operacion

fun hijos(a: arbolGen) dev b: bosqueb← a ↑ .primerHijo

fin fun






Operacion

fun numHijos(a: arbolGen) dev n: natn← longitud(a ↑ .primerHijo)

fin fun

Operacion

fun longitud(b: bosque) dev n: natvar c: enlace-arbolc← bn← 0mientras c 6= nil hacer

n← n + 1c← c ↑ .siguienteHermano

fin mientrasfin fun






Operacion

fun sub-arbol(a: arbolGen, i: nat) dev h: arbolGenh← consultar(a ↑ .primerHijo, i)

fin fun

Operacion

fun consultar(b: bosque, i: nat) dev h: arbolGensi i=0 entonces

Error(Indice no valido)si no

h← bj ← 1mientras h 6= nil ∧ j 6= i hacer

j ← j + 1h← h ↑ .siguienteHermano

fin mientrassi h=nil entonces

Error(Indice no valido)fin si

fin sifin fun






Operacion

fun es-hoja?(a: arbolGen) dev r: boolr ← (a ↑ .primerHijo = nil)

fin fun





Arboles binariosArboles generales

Ejemplos:

A

C

GF

B

ED

Recorridos:

Preorden (Raiz-Izq-Der): A,B,D,E,C,F,G

Inorden (Izq-Raiz-Der): D,B,E,A,F,C,G

Postorden(Izq-Der-Raiz): D,E,B,F,G,C,A






Especificacion

especificacion RECORRIDOS-ARBOLES-BINARIOS[ELEM]usa ARBOLES-BINARIOS[ELEM],LISTAS[ELEM]operaciones

preorden : arbolBin→ listainorden : arbolBin→ listapostorden : arbolBin→ lista

variables

e: elementoiz,de: arbolBin

ecuaciones

preorden(arbolBBV acio) = []preorden(plantar(iz, e, de) = [e] + +(preorden(iz) + +preorden(de))inorden(arbolBBV acio) = []inorden(plantar(iz, e, de) = inorden(iz) + +([e] + +inorden(de))postorden(arbolBBV acio) = []postorden(plantar(iz, e, de) = postorden(iz) + +(postorden(de) + +[e])

fin-especificacion






Implementacion:

Operacion

fun preorden(a: arbolBin) dev l: natvar r: listasi es-arbolBBVacio(a) entonces

l← lista− vacia()si no

r ← preorden(hijo− iz(a))aniadir − izq(raiz(a), r)l← concatenar(r, preorden(hijo− de(a))

fin sifin fun






Operacion

fun inorden(a: arbolBin) dev l: natvar r: listasi es-arbolBBVacio(a) entonces


r ← inorden(hijo− iz(a))aniadir − der(r, raiz(a))l← concatenar(r, inorden(hijo− de(a))

fin sifin fun






Operacion

fun postorden(a: arbolBin) dev l: natvar r: listasi es-arbolBBVacio(a) entonces


r ← postorden(hijo− iz(a))l← concatenar(r, postorden(hijo− de(a))aniadir − der(l, raiz(a))

fin sifin fun






Especificacion

especificacion RECORRIDOS-ARBOLES-GENERALES[ELEM]usa ARBOLES-GENERALES[ELEM],LISTAS[ELEM]operaciones

preorden : arbol→ listapostorden : arbol→ listaniveles : arbol→ listafrontera : arbol→ lista (La lista de hodos hojas tomados de izquierda a derecha)

operaciones privadas

preorden− bosque : bosque→ listapostorden− bosque : bosque→ listaniveles− bosque : bosque→ lista− + +− : bosque× bosque→ bosquefrontera− bosque : bosque→ lista

variables

e: elementoa: arbolb, b’: bosque






Especificacion

ecuaciones

preorden(plantar(e, b)) = [e] + +preorden− bosque(b)preorden− bosque(bosqueV acio) = []preorden− bosque(aniadirArbol(a, b)) = preorden(a) + +preorden− bosque(b)

postorden(plantar(e, b)) = postorden− bosque(b) + +[e]postorden− bosque(bosqueV acio) = []postorden−bosque(aniadirArbol(a, b)) = postorden(a)++postorden−bosque(b)

niveles(plantar(e, b)) = [e] + +niveles− bosque(b)niveles− bosque(bosqueV acio) = []

niveles− bosque(aniadirArbol(plantar(e, b′), b︸︷︷︸

Lista de arboles

)) =

[e] + +niveles− bosque(b + +b′)

bosqueV acio + +b = baniadirArbol(a, b′) + +b = aniadirArbol(a, b′ + +b)

fin-especificacion






Especificacion

ecuaciones

frontera(plantar(e, bosqueV acio)) = [e]frontera(plantar(e, aniadirArbol(a, b))) =

frontera− bosque(aniadirArbol(a, b))frontera− bosque(bosqueV acio) = []frontera− bosque(aniadirArbol(a, b)) = frontera(a) + +frontera− bosque(b)

fin-especificacion






Implementacion:

Operacion

fun preorden(a: arbolGen) dev l: natvar b: bosque, k: listal← unitaria(raiz(a))b← hijos(a)n← longitud(b)desde i=1 hasta n hacer

k ← preorden(consultar(b, i))l← concatenar(l, k)

fin desdefin fun






Operacion

fun postorden(a: arbolGen) dev l: natvar b: bosque, k: listal← lista− vacia()b← hijos(a)n← longitud(b)desde i=1 hasta n hacer

k ← postorden(consultar(b, i))l← concatenar(l, k)

fin desdeaniadir − der(l, raiz(a))

fin fun






Operacion

fun frontera(a: arbolGen) dev l: natvar b: bosque, k: listasi es-hoja(a) entonces

l← unitaria(raiz(a))si no

l← lista− vacia()b← hijos(a)n← longitud(b)desde i=1 hasta n hacer

k ← frontera(consultar(b, i))l← concatenar(l, k)

fin desdefin si

fin fun






Operacion

fun niveles(a: arbolGen) dev l: natvar sig, hijo: arbol, b: bosque, c: cola[arbol]si es-hoja(a) entonces

l← unitaria(raiz(a))si no

l← lista− vacia()c← cola− vacia()encolar(a, c)mientras ¬es− cola− vacia(c) hacer

sig ← primero(c))desencolar(c)aniadir − der(l, raiz(sig))b← hijos(sig)n← longitud(b)desde i=1 hasta n hacer

hijo← consultar(b, i)encolar(hijo, c)

fin desdefin mientras

fin sifin fun





EspecificacionImplementacion

Caracterısticas:

Son arboles binarios cuyos nodos almacenan datos entre losque existe una relacion de orden.

Cada nodo es mayor que todos los nodos de su hijo izquierdoy menor que todos los nodos que los de sus hijos derechos.

Permiten acceder a la informacion eficientemente.

Operaciones mas habituales:

BuscarInsertarBorrar

El contenido de cada nodo se utiliza como clave para accedera la informacion asociada.






Ejemplo: un diccionario.

Para cada palabra un diccionario asocia una informacion → Elnombre de la palabra es la clave.

La clave esta ordenada segun orden alfabetico.

La operacion tıpica es buscar

En nuestro arbol el contenido de los nodos serıa la clave obien la clave mas la informacion.







crear un arbol binario de busqueda vacıo,

insertar un elemento,

determinar si un elemento pertenece al arbol,

consultar el menor elemento,

consultar el mayor elemento,

eliminar un elemento, y

determinar si el arbol es vacıo






Especificacion

especificacion ARBOLES-BINARIOS-BUSQUEDA[ELEM]usa BOOLEANOStipos arbolBBoperaciones

arbolBBV acio : arbolBB(constructora)plantar : arbolBB × elemento× arbolBB → arbolBB(constructora)insertar : elemento× arbolBB → arbolBBesta : arbolBB → boolminimo : arbolBB → elementomaximo : arbolBB → elementoeliminar : elemento× arbolBB → arbolBBes− arbolBBV acio? : arbolBB → bool

variables

e, f: elementoiz,de: arbolBB

ecuaciones






Especificacion

ecuaciones

plantar(iz, e, dr) = error ⇐ ¬(es− arbolBBV acio(iz) ∨ e >maximo(iz)) ∨ ¬(es− arbolBBV acio(de) ∨ e < minimo(de))

insertar(e, arbolBBV acio) = plantar(arbolBBV acio, e, arbolBBV acio)insertar(e, plantar(iz, e, dr)) = plantar(iz, e, dr)insertar(e, plantar(iz, f, dr)) = plantar(insertar(e, iz), f, dr)⇐ e < finsertar(e, plantar(iz, f, dr)) = plantar(iz, f, insertar(e, de))⇐ e > f

esta(e, arbolBBV acio) = falsoesta(e, plantar(iz, e, dr)) = ciertoesta(e, plantar(iz, f, dr)) = esta(e, iz)⇐ e < festa(e, plantar(iz, f, dr)) = esta(e, dr)⇐ e > f

minimo(arbolBBV acio) = errorminimo(plantar(arbolBBV acio, e, dr) = eminimo(plantar(iz, e, de) = minimo(iz)⇐ ¬es− arbolBBV acio?(iz)

maximo(arbolBBV acio) = errormaximo(plantar(iz, e, arbolBBV acio) = emaximo(plantar(iz, e, de) = maximo(de)⇐ ¬es− arbolBBV acio?(de)

fin-especificacion






Especificacion

ecuaciones

eliminar(e, arbolBBV acio) = arbolBBV acioeliminar(e, plantar(iz, e, arbolBBV acio)) = izeliminar(e, plantar(arbolBBV acio, e, de)) = deeliminar(e, plantar(iz, e, dr)) =plantar(iz, minimo(dr), eliminar(minimo(dr), dr))⇐¬es− arbolBBV acio?(iz) ∧ ¬es− arbolBBV acio?(de)eliminar(e, plantar(iz, f, dr)) = plantar(eliminar(e, iz), f, dr)⇐ e < feliminar(e, plantar(iz, f, dr)) = plantar(iz, f, eliminar(e, de))⇐ e > f

es− arbolBBV acio?(arbolBBV acio) = ciertoes− arbolBBV acio?(plantar(iz, e, dr)) = falso

fin-especificacion






Representacion: La misma que la de los arboles binarios.

Representacion

tipos

enlace-arbolBB: puntero a nodo-arbolBBnodo-arbolBB : reg

valor: elementoiz,de: enlace-arbolBB

fregarbolBB: enlace-arbolBB

ftipos






Operaciones:

Operacion

fun arbolBBVacio() dev a: arbolBBa← nil

fin fun

Operacion

proc insertar(e: elemento, a: arbolBB)si a = nil entonces

reservar(a)a ↑ .valor ← ea ↑ .iz ← nila ↑ .de← nil

si nocasos

e < a ↑ .valor :insertar(e, a ↑ .iz)

e > a ↑ .valor :insertar(e, a ↑ .de)

fin casosfin si

fin proc






Operacion

fun plantar(iz: arbolBB, e: elemento, dr: arbolBB) dev a: arbolBBreservar(a)a ↑ .iz ← iza ↑ .de← dea ↑ .valor ← e

fin fun

Operacion

fun esta(e: elemento, a: arbolBB) dev b: boolsi a = nil entonces

b← falsosi no

casose = a ↑ .valor :

b← ciertoe < a ↑ .valor :

b← esta(e, a ↑ .iz)e > a ↑ .valor :

b← esta(e, a ↑ .iz)fin casos

fin sifin fun






Operacion

fun minimo(a: arbolBB) dev e: elementosi a = nil entonces


si a ↑ .iz = nil entoncese← a ↑ .valor

si noe← minimo(a ↑ .iz)

fin sifin si

fin fun






Operacion

fun maximo(a: arbolBB) dev e: elementosi a = nil entonces


si a ↑ .de = nil entoncese← a ↑ .valor

si noe← maximo(a ↑ .de)

fin sifin si

fin fun






Operacion

proc eliminar(e: elemento, a: arbolBB)var b: arbolBBsi a 6= nil entonces

casose = a ↑ .valor :

casosa ↑ .de = nil :

b← aa← a ↑ .izliberar(b)

a ↑ .iz = nil :b← aa← a ↑ .deliberar(b)

a ↑ .de 6= nil ∧ a ↑ .de 6= nil :eliminar − aux(a, a ↑ .de)

fin casose < a ↑ .valor :

eliminar(e, a ↑ .iz)e > a ↑ .valor :

eliminar(e, a ↑ .de)fin casos

fin sifin proc






Operacion

proc eliminar-aux(a,b: arbolBB)var c: arbolBBsi b ↑ .iz 6= nil entonces

eliminar − aux(a, b ↑ .iz)si no

a ↑ .valor ← b ↑ .valorc← bb← b ↑ .deliberar(c)

fin sifin proc






Operacion

fun es-arbolBBVacio(a: arbolBB) dev b: boolb ← (a=nil)

fin fun





Arbol binario equilibrado en alturaDiametro de un arbol binarioArbol binario zurdoInferencia de un arbol binario a partir de listas

Definicion

Un arbol binario es equilibrado en altura si cumple:

la diferencia entre las alturas de sus hijos es como mucho 1, y

ambos estan equilibrados en altura.

Disena un algoritmo que determine si un arbol binario estaequilibrado con la menor complejidad posible.






Consideremos el calculo de la altura:

Operacion

fun altura(a: arbolBin) dev alt: natsi es− arbolBBV acio(a) entonces

alt← 0si no

alt← 1 + max(altura(hijo− iz(a)), altura(hijo−de(a)))fin si

fin fun






El tiempo de ejecucion es:

T (n) ={

c, si n = 0;T (p) + T (q) + c, si n > 0.

Donde:

n: numero de nodos del arbolp: numero de nodos del hijo izquierdop: numero de nodos del hijo derechop + q + 1 = nCasos:

Caso ”extremo”: q = 1 y p = n− 2. Entonces:

T (n) ={

c, si n = 0;T (1) + T (n− 2), si n > 0.

Caso promedio: q ≈ 12n y p ≈ 1

2n. Entonces:

T (n) ={

c, si n = 0;2T (n/2), si n > 0.

Luego el coste del calculo de la altura es lineal.R. Gonzalez del Campo - Yolanda Garcıa Ruiz (UCM) Arboles





Operacion

fun equilibrado-1(a: arbolBin) dev eq: boolsi es− arbolBBV acio(a) entonces

eq ← ciertosi no

eq ← equilibrado− 1(hijo− iz(a)) ∧ equilibrado− 1(hijo− de(a)) ∧diferencia(altura(hijo− iz(a)), altura(hijo− de(a)))

fin sifin funfun diferencia(n,m:nat) dev d: nat

si n ≥ m entoncesd← n−m

si nod← m− n

fin sifin fun







T (n) ={

c, si n = 0;T (p) + T (q) + cn, si n > 0.

donde cn proviene de llamar a altura. Luego es Θ(n2).






Ineficiencia: equilibrado− 1(hijo− iz(a)) calcula las alturas desus hijos aunque altura(hijo− iz(a) vuelve a hacerlo. Idea clave:Simultaneamente vemos is un arbol esta equilibrado y calculamossu altura:

Operacion

fun equilibrado− 2(a : arbolBin)dev〈eq : bool, alt : nat〉si es− arbolBBV acio(a) entonces〈eq, alt〉 ← 〈cierto, cero〉

si no〈eq − iz, alt− iz〉 ← equilibrado− 2(hijo− iz(a))〈eq − de, alt− de〉 ← equilibrado− 2(hijo− de(a))eq ← eq− iz∧eq−de∧ (diferencia(alt− iz, alt−de) ≤ 1)alt← 1 + max(alt− iz, alt− de)

fin sifin fun







T (n) ={

c, si n = 0;T (p) + T (q) + c, si n > 0.

Luego es Θ(n).






Dado un arbol:

Definicion

La distancia entre dos nodos es la longitud del unico camino quelos conecta.

Definicion

El diametro del arbol es la maxima distancia sobre todos los paresde nodos.

Disena un algoritmo de coste lineal que determine el diametro deun arbol binario dado.






Consideremos el subarbol izquierdo y el derecho:

Si los nodos que estan a la maxima distancia estan en elmismo hijo, el diametro es el mismo que el diametro del hijo.

Si estan de distintos el camino debe pasar por la raız. Paraque el camino sea maximo la distancia debe coincidir con lasuma de las alturas de los dos hijos.

Como no sabemos que alternativa nos lleva a la solucionprobamos las 3:

El camino esta en el hijo izquierdo.El camino esta en el hijo derecho.El camino esta en arbol principal.






Operacion

fun diametro(a : arbolBin) : 〈diam : ent, alt : nat〉si es− arbolBBV acio(a) entonces〈diam, alt〉 ← 〈−1, 0〉

si no〈diam− iz, alt− iz〉 ← diametro(hijo− iz(a))〈diam− de, alt− de〉 ← diametro(hijo− de(a))diam← max(max(diam−iz, diam−de), alt−iz+alt−de)alt← 1 + max(alt− iz, alt− de)

fin sifin fun






Definicion

Un arbol binario es zurdo si se da alguna de las siguientescondiciones:

es el arbol vacıo,

es un nodo hoja, o

sus hijos izquierdo y derecho son zurdos y mas de la mitad desus descendientes estan en el hijo izquierdo.

Determina si un arbol binario es zurdo con coste lineal.






Mas de la mitad de los descendientes estan en el hijoizquierdo:

di > di+dd2 ⇔ 2di > de + dd⇔ di > dd

Idea clave: Calculamos simultaneamente si un arbol es zurdoy el numero de hijos.






Operacion

fun zurdo(a : arbolBin) : 〈zurdo : bool, num : nat〉casos

es− arbolBBV acio(a) :〈zurdo, num〉 ← 〈cierto, 0〉

es− hoja(a) :〈zurdo, num〉 ← 〈cierto, 1〉¬es− arbolBBV acio(a) ∨ ¬es− hoja(a) :〈zur − iz, des− iz〉 ← zurdo(hijo− iz(a))〈zur − de, des− de〉 ← zurdo(hijo− de(a))zurdo← zur − iz ∧ zur − de(des− iz > des− de)num← 1 + des− iz + des− de

fin casosfin fun






a Desarrolla un algoritmo que reconstruya un arbol binario apartir de las dos listas que definien sus recorridos en preordene inorden, suponiendo todos los elementos distintos.

b ¿Es posible reconstruir univocamente el arbol a partir de susrecorridos en inorden y postorden?

c ¿Y con las recorridos en preorden y postorden?






Ambas listas poseen el mismo numero de elementos.

El primer elemento de lpre contiene la raız del arbol.

La raız esta en la lista lpre en la posicion k:

Los elementos anteriores a k forman el hijo izquierdo.Los elementos posteriores a k forman el hijo derecho.

¡Los elementos entre 2 y k de lpre son el recorrido en preordenpara subarbol izquierdo! por la recursividad de la definicion derecorrido en preorden.

Lo mismo ocurre con los elementos mayores que k

Idea clave: Aplicar la misma idea a cada recorrido parcial.






Funciones auxiliares:

proc coger(n : nat, l : lista)mientras longitud(l) > n hacer

elim− der(l)fin mientras

fin proc

proc tirar(n : nat, l : lista)m← nmientras m > 0 ∧ ¬es− lista− vacia(l) hacer

elim− izq(l)m← m− 1

fin mientrasfin proc






Apartado (a)

Operacion

fun reconstruir − 1(lpre, lin : lista) : a : arbolBinvar iz, de : arbolBin, lpre− iz, lpre− de, lin− iz, lin− de : listasi es− lista− vacia(lpre) entonces

a← arbolBBV acio()si no

x← izquierdo(lpre)k ← posicion(x, lin)lpre− iz ← copiar − lista(lpre); eliminar(lpre− iz); coger(k − 1, lpred− iz)lin− iz ← copiar − lista(lin); coger(k − 1, lin− iz)iz ← reconstruir − 1(lpre− iz, lin− iz)lpre− de← copiar − lista(lpre); tirar(k, lpre− de)lin− de← copiar − lista(lin); tirar(k, lin− de)de← reconstruir − 1(lpre− de, lin− de)a← plantar(iz, x, de)anular − lista(lpre− iz)anular − lista(lpre− de)anular − lista(lin− iz)anular − lista(lin− de)

fin sifin fun






Apartado (b)

Operacion

fun reconstruir − 2(lpost, lin : lista) : a : arbolBinvar iz, de : arbolBin, lpost− iz, lpost− de, lin− iz, lin− de : listasi es− lista− vacia(lpost) entonces

a← arbolBBV acio()si no

x← derecho(lpost)k ← posicion(x, lin)lpost− iz ← copiar − lista(lpost); coger(k − 1, lpred− iz)lin− iz ← copiar − lista(lin); coger(k − 1, lin− iz)iz ← reconstruir − 2(lpost− iz, lin− iz)lpost− de← copiar − lista(lpost); eliminar(lpost− de); tirar(k − 1, lpost− de)lin− de← copiar − lista(lin); tirar(k, lin− de)de← reconstruir − 1(lpost− de, lin− de)a← plantar(iz, x, de)anular − lista(lpost− iz)anular − lista(lpost− de)anular − lista(lin− iz)anular − lista(lin− de)

fin sifin fun






Apartado (c) Los siguiente arboles poseen el mismo recorrido enpreorden y postorden.

A

B

D∅

∅

A

∅B

∅D


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