Transversale Moden in optischen Resonatoren für

Transversale Moden in optischen Resonatoren für Anwendungen hoher Laserintensität

Transverse Modes in Optical Resonators

for High-Intensity Laser Applications

Von der Fakultät für Maschinenwesen der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen

zur Erlangung des akademischen Grades eines D o k t o r s d e r N a t u r w i s s e n s c h a f t e n

genehmigte Dissertation

vorgelegt von

Johannes Weitenberg

Berichter: Prof. Dr. rer. nat. Reinhart Poprawe Prof. Dr. rer. nat. Thomas Udem Tag der mündlichen Prüfung: 26. April 2017 Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Universitätsbibliothek online verfügbar.

ERGEBNISSE AUS DER LASERTECHNIK

Johannes Weitenberg Transversale Moden in optischen Resonatoren für Anwendungen hoher Laserintensität

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Johannes Weitenberg: Transversale Moden in optischen Resonatoren für Anwendungen hoher Laserintensität 1. Auflage, 2018 Gedruckt auf holz- und säurefreiem Papier, 100% chlorfrei gebleicht. Apprimus Verlag, Aachen, 2018 Wissenschaftsverlag des Instituts für Industriekommunikation und Fachmedien an der RWTH Aachen Steinbachstr. 25, 52074 Aachen Internet: www.apprimus-verlag.de, E-Mail: [email protected] Printed in Germany ISBN 978-3-86359-596-8

D 82 (Diss. RWTH Aachen University, 2017)

Abstract In this thesis it is shown, how an understanding of transverse modes in optical resonators, in particular in an enhancement resonator and in a periodic arrangement or multi-pass cell, allows finding and im-plementing new approaches to overcome limitations.

In the case of the enhancement resonator it is shown, how the combination of simultaneously resonant transverse modes in a quasi-imaging resonator can be used to achieve a geometrical output coupling of harmonics generated inside the resonator. With the simple slit mode composed of the Gauss-Hermite modes , and , an enhancement of the circulating power compared to the impinging power of 330 is demonstrated. With the same transverse mode, an enhancement of 50 and circulating power of 2.2 kW, harmonics have been generated inside the resonator. The power coupled out through a slit mir-ror reaches 11 μW for the 17th harmonic with 61 nm wavelength, which corresponds to a conversion efficiency of 2.4·10-7 referred to the impinging power of 45 W. The output coupling efficiency of the harmonics from the resonator is estimated to 30%, which is larger than the efficiencies for established methods (plate at Brewster’s angle, XUV grating). This shows how together with an improved spatial overlap by mode-matching of the impinging beam to the circulating slit mode and with an increased impinging power, output-coupled XUV powers in the mW range come into reach.

Within this thesis a new scheme for nonlinear pulse compression has been developed, making a parame-ter range accessible, which could not be reached with established schemes relying on spectral broaden-ing in a waveguide. The spectral broadening via self-phase modulation in a multi-pass cell (MPCSB) allows compression of pulses with a peak power larger than the critical power for self-focusing of the nonlinear medium. In contrast to spectral broadening at a single pass through a nonlinear medium, a homogeneous spectral broadening across the beam profile as well as a large efficiency is achieved. The scheme is suitable for high average powers, non-diffraction-limited beam quality and is insensitive against fluctuations of the beam axis. The multi-pass cell is designed such that the influence of the Kerr lens which inevitably goes along with self-phase modulation onto the transverse mode of the beam is small and a resonant coupling to higher transverse modes is avoided. Nonlinear pulse compression from 850 fs to 170 fs with a compressed pulse energy of 37.5 μJ and average power of 375 W at 10 MHz repe-tition rate as well as compression from 860 fs to 115 fs with 7.5 μJ pulse energy and 300 W average power at 40 MHz repetition rate are demonstrated. In both cases the compression efficiency is >90% and the beam quality close to the diffraction limit is preserved.

These pulse parameters achieved for the first time allow amongst others the scaling of the driving power at resonator-assisted high-harmonic generation. Together with the geometrical output coupling, they therefore represent an important step towards the realization of an XUV frequency comb, which will allow high-precision spectroscopy of the 1s-2s transition in He+ and a test of quantum electrodynamics.

Zusammenfassung Mit der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie ein Verständnis von transversalen Moden in optischen Resonatoren, speziell einem Überhöhungsresonator und einer periodischen Anordnung oder Multipass-Zelle es erlaubt, neue Lösungsansätze zur Überwindung von Limitierungen zu finden und umzusetzen.

Im Fall des Überhöhungsresonators wird gezeigt, wie die Kombination von gleichzeitig resonanten transversalen Moden in einem quasi-abbildenden Resonator genutzt werden kann, um eine geometrische Auskopplung von Resonator-intern erzeugten Harmonischen zu erreichen. Mit der einfachen Schlitz-mode als Kombination der Gauß-Hermite-Moden , und , wurde eine Überhöhung der zirkulie-renden Leistung gegenüber der einfallenden Leistung von 330 demonstriert. Mit der gleichen Mode wurden mit einer Überhöhung von 50 und einer zirkulierenden Leistung von 2,2 kW Resonator-intern Harmonische erzeugt und eine durch einen Schlitzspiegel ausgekoppelte Leistung von 11 μW für die 17. Harmonische mit 61 nm Wellenlänge erreicht, was einer Konversionseffizienz von 2,4·10-7 bezogen auf die einfallende Leistung von 45 W entspricht. Die Auskoppeleffizienz der Harmonischen aus dem Re-sonator wird zu 30% abgeschätzt, was größer ist als Effizienzen für etablierte Auskoppelmethoden (Brewster-Platte, XUV-Gitter). Damit wird aufgezeigt, wie zusammen mit einem verbesserten räumli-chen Überlapp durch Modenanpassung des einfallenden Strahls auf die zirkulierende Schlitzmode und einer Steigerung der einfallenden Leistung ausgekoppelte XUV-Leistungen im mW-Bereich möglich werden.

Im Rahmen der Arbeit wurde ein neuartiges Schema zur nichtlinearen Pulskompression entwickelt, das einen Parameterbereich erschließt, der mit etablierten Konzepten, die auf spektraler Verbreiterung in einem Wellenleiter beruhen, nicht erreichbar ist. Die spektrale Verbreiterung mittels Selbstphasenmodu-lation in einer Multipass-Zelle (MPCSB) ermöglicht es, Pulse mit einer Pulsspitzenleistung größer als die kritische Leistung für Selbstfokussierung des nichtlinearen Mediums zu komprimieren. Im Gegen-satz zur spektralen Verbreiterung im Einfachdurchgang durch ein nichtlineares Medium wird dabei eine über dem Strahlprofil homogene spektrale Verbreiterung sowie eine große Effizienz erreicht. Das Schema ist gleichzeitig geeignet für große mittlere Leistungen, nicht beugungsbegrenzte Strahlung und ist unempfindlich gegen Schwankungen der Strahllage. Die Multipass-Zelle ist so ausgelegt, dass sie den Einfluss der unvermeidbar mit der Selbstphasenmodulation einhergehenden Kerrlinse auf die trans-versale Mode des Strahls begrenzt und eine resonante Kopplung an höhere transversale Moden vermei-det. Demonstriert wurde die Kompression von 850 fs auf 170 fs mit einer komprimierten Pulsenergie von 37,5 μJ und mittleren Leistung von 375 W bei 10 MHz Repetitionsrate sowie die Kompression von 860 fs auf 115 fs mit einer Pulsenergie von 7,5 μJ und mittleren Leistung von 300 W bei 40 MHz Repeti-tionsrate. Die Effizienz der Kompression ist in beiden Fällen >90% und die nahe beugungsbegrenzte Strahlqualität ist erhalten.

Diese erstmals erreichten Pulsparameter ermöglichen u.a. eine Skalierung der treibenden Leistung bei der Resonator-unterstützen Erzeugung hoher Harmonischer und stellen damit zusammen mit der geo-metrischen Auskopplung einen wichtigen Schritt zur Realisierung eines XUV-Frequenzkamms dar, der die Spektroskopie des 1s-2s Übergangs in He+ und damit einen Test der Quantenelektrodynamik erlau-ben wird.

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Inhaltverzeichnis

1 Einleitung ...................................................................................................................................... 1

2 Propagation von Strahlung und optische Resonatoren ............................................................ 5

2.1 Propagation paraxialer Strahlung und die Gouy-Phase ...................................................... 5 2.1.1 Wellenoptische Beschreibung .................................................................................................... 5 2.1.2 Geometrisch-optische Beschreibung ....................................................................................... 17 2.1.3 Abbildung, Nah- und Fernfeld ................................................................................................. 20 2.1.4 Geometrische Bedeutung der Gouy-Phase .............................................................................. 27

2.2 Optische Resonatoren ............................................................................................................ 31 2.2.1 Resonatorstabilität und Eigenmoden ....................................................................................... 31 2.2.2 Resonatorempfindlichkeit ........................................................................................................ 44 2.2.3 Überhöhungsresonatoren ......................................................................................................... 57 2.2.4 Multipass-Zellen ...................................................................................................................... 70

3 Überhöhungsresonatoren mit geometrischer Auskopplung .................................................. 77

3.1 Stand der Technik .................................................................................................................. 80

3.2 Theorie Quasi-Abbildung ...................................................................................................... 83

3.3 Experimentelle Ergebnisse .................................................................................................. 105 3.3.1 Demonstration Quasiabbildung ............................................................................................. 105 3.3.2 Demonstration HHG mit Schlitzmode ................................................................................... 109

3.4 Ausblick ................................................................................................................................ 113

4 Pulskompression in Multipass-Zelle (MPCSB) ..................................................................... 115

4.1 Stand der Technik ................................................................................................................ 116

4.2 Theorie Pulskompression in Multipass-Zelle .................................................................... 118 4.2.1 Pulse in nichtlinearem Medium ............................................................................................. 118 4.2.2 Nichtlineare Multipass-Zelle ................................................................................................. 124

4.3 Experimentelle Ergebnisse .................................................................................................. 129 4.3.1 Pulskompression bei 10 MHz Repetitionsrate ....................................................................... 129 4.3.2 Pulskompression bei 40 MHz Repetitionsrate ....................................................................... 133

4.4 Ausblick ................................................................................................................................ 139

5 Zusammenfassung ................................................................................................................... 145

6 Abkürzungen und Formelzeichen .......................................................................................... 147

7 Referenzen ................................................................................................................................ 153

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8 Anhang .......................................................................................................................... 161 8.1 Propagation und Resonatoren ............................................................................................. 161 8.1.1 Höhere transversale Moden .................................................................................................... 161 8.1.2 Hyperbolisches Propagationsgesetz ....................................................................................... 162 8.1.3 Verallgemeinertes ABCD-Gesetz ........................................................................................... 165 8.1.4 Verknüpfung von Amplitude und Phase über die Helmholtz-Gleichung ............................... 167 8.1.5 Geometrisch-optischer Strahl ................................................................................................. 168 8.1.6 Transformation einer Kaustik mittels Abbildungsgleichung .................................................. 170 8.1.7 Collins-Integral ....................................................................................................................... 171 8.1.8 Gouy-Parameter ...................................................................................................................... 172 8.1.9 Resonatorempfindlichkeit ....................................................................................................... 174 8.1.10 Thermische Linse in Spiegeln ................................................................................................ 190 8.1.11 Überhöhungsresonator mit verlustbehaftetem Einkoppler ..................................................... 192 8.1.12 Überhöhungsresonator im nicht-stationären Fall.................................................................... 192 8.1.13 Multipass-Zelle mit nicht-paraxialem Strahlengang .............................................................. 194

8.2 Gouy-Teleskop ...................................................................................................................... 197

8.3 Überhöhungsresonatoren ..................................................................................................... 201 8.3.1 Loch- und Schlitzmoden ......................................................................................................... 201 8.3.2 Quasi-abbildender Bow-tie-Resonator ................................................................................... 202

8.4 Pulskompression ................................................................................................................... 206 8.4.1 Kerrlinse für ein Gauß-förmiges Strahlprofil ......................................................................... 206 8.4.2 Nichtlineare Phase für die spektrale Verbreiterung ................................................................ 209 8.4.3 Propagation in nichtlinearem Medium; kritische Leistung für Selbstfokussierung ............... 211 8.4.4 Periodische Anordnung mit Kerrlinse .................................................................................... 217 8.4.5 Pulskompression in gasgefüllter Multipass-Zelle ................................................................... 229 8.4.6 Spektrale Homogenität und Strahlqualität .............................................................................. 232

Einleitung

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1 Einleitung Der optische Resonator ist ein integraler Bestandteil eines Laseroszillators. Er erzeugt eine Rückkopp-lung, die benötigt wird, damit die stimulierte Emission gegenüber der spontanen Emission überwiegen kann. Diese Rückkopplung ist richtungsselektiv und frequenzselektiv, außerdem ggf. abhängig von der Polarisation. Es ist diese Selektivität des Resonators, die die herausragenden Eigenschaften von Laser-strahlung – Gerichtetheit/Fokussierbarkeit und mögliche kleine Bandbreite – erzeugt, die den Laser zum unverzichtbaren Werkzeug bei unzähligen Anwendungen in Wissenschaft, Industrie und Alltag machen. Die Selektivität des Resonators findet auch zahlreiche Anwendungen in passiven optischen Resonato-ren, d.h. ohne ein aktives Medium, etwa als Frequenz- oder Modenfilter.

Ein optischer Resonator besitzt Eigenmoden, d.h. Feldverteilungen im dreidimensionalen Raum, die mit einer bestimmten Frequenz schwingen und dabei ihre Gestalt nicht verändern. Im Allgemeinen ist in einem optischen Resonator eine Ausbreitungsrichtung der Strahlung ausgezeichnet, bezüglich der die Beschreibung in die Ausbreitungsrichtung und zwei dazu transversale Richtungen zerfällt. Die Eigen-moden setzen sich dann aus einem longitudinalen und einem transversalen Teil zusammen; außerdem besitzen sie einen definierten Polarisationszustand. Sie sind gegeben durch Feldverteilungen in einer transversalen Ebene, die nach einem Resonatorumlauf reproduziert werden, möglicherweise mit einem Verlustfaktor. Der wiederholte Umlauf der Strahlung im Resonator kann äquivalent durch eine periodi-sche optische Anordnung beschrieben werden (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Zwei-Spiegel-Resonator (a) und äquivalenter Linsenleiter (b) mit Brennweite = /2. Ein Bespiel für eine periodische optische Anordnung ist eine Multipass-Zelle (c), hier eine Herriott-Zelle mit 3 Resonatorumläufen.

Die periodische Anordnung ist in dem Sinne äquivalent zu einem Resonator, dass sie die gleichen trans-versalen Eigenmoden besitzt. Der Resonator zeichnet darüber hinaus longitudinale Moden, d.h. Fre-quenzen, aus. Die Bezeichnung Resonator bezieht sich darauf, dass nur bestimmte Frequenzen resonant sind. Auch eine periodische optische Anordnung, die keine Frequenzselektion aufweist und damit kei-nen Resonator im engeren Sinne darstellt, wird in dieser Arbeit als Resonator bezeichnet.

In der vorliegenden Arbeit werden zwei unterschiedliche Anwendungen von optischen Resonatoren dargestellt, die unter dem Aspekt der Behandlung transversaler Moden zusammengefasst werden kön-nen. Diese Anwendungen sind im Rahmen der Forschung in der Gruppe Ultrakurzpulslaser des Fraun-hofer-Instituts für Lasertechnik ILT in Aachen entwickelt worden, teilweise in Kooperation mit dem Max-Planck-Institut für Quantenoptik MPQ in Garching bei München.

Resonator periodische optische Anordnung (Linsenleiter)(a) (b)

Multipass-Zelle(c)

Transversale Moden in optischen Resonatoren

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Die erste Aufgabenstellung betrifft die geometrische Auskopplung bei der Resonator-unterstützten Er-zeugung hoher Harmonischer (engl.: high harmonic generation, HHG) von Infrarot-Strahlung (IR) mit Femtosekunden-Pulsdauer. Diese Frequenzkonversion erlaubt kompakte, zeitlich und räumlich kohären-te Strahlquellen im extrem-ultravioletten Spektralbereich (XUV) mit zahlreichen wissenschaftlichen Anwendungen. Der Prozess ist hoch nichtlinear und sehr ineffizient (<10–6). Bei großen Repetitionsra-ten ( 10 MHz) kann die treibende IR-Strahlung in einem Überhöhungsresonator überhöht werden, um einerseits die erforderlich Intensität (>1013

W/cm2) zu erreichen, andererseits die Gesamteffizienz durch das Recyceln der nicht konvertierten Leistung zu verbessern. Eine wesentliche Herausforderung bei der Weiterentwicklung dieser Resonator-unterstützten XUV-Quellen ist die effiziente Auskopplung der Harmonischen, ohne die Finesse und Bandbreite des Überhöhungsresonators zu verringern.

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde ein quasi-abbildender Resonator entwickelt, in dem mehrere transversale Moden gleichzeitig resonant sind und so kombiniert werden können, dass die resultierende Mode einem Hindernis ausweicht. Dadurch ist eine große Öffnung in einem Resonatorspiegel möglich, durch die die Harmonischen geometrisch ausgekoppelt werden, bei gleichzeitig kleinen Verlusten für die zirkulierende Strahlung (Abb. 1.2).

Abb. 1.2: Quasi-abbildender Überhöhungsresonator mit geometrischer Auskopplung der XUV-Strahlung, die Resonator-intern als hohe Harmonische der treibenden IR-Strahlung erzeugt wird (HHG). Die Harmonischen werden durch einen Schlitz im Resonatorspiegel hinter dem Fokus ausgekoppelt, in dem sie in einem Gasjet er-zeugt werden. Dieser Auskoppelspiegel ist zusätzlich in Aufsicht gezeigt, zusammen mit dem Intensitätsprofil der zirkulierenden „Schlitzmode“.

Die zweite Aufgabenstellung betrifft die Pulskompression durch nichtlineare spektrale Verbreiterung mittels Selbstphasenmodulation (SPM) in einem Dielektrikum. Nach dem Stand der Technik ist die Pulsspitzenleistung und damit die Pulsenergie der zu komprimierenden Pulse durch die katastrophale Selbstfokussierung im Dielektrikum begrenzt. Im Rahmen der Arbeit wurde ein neuartiges Schema zur Pulskompression entwickelt, das diese Limitierung über die kritische Leistung für Selbstfokussierung hinaus verschiebt. Es beruht auf dem Übergang von der spektralen Verbreiterung in einem Wellenleiter zur spektralen Verbreiterung in einem geeignet gestalteten Linsenleiter (Abb. 1.3). Dabei ist der Ein-fluss der unvermeidbar mit der SPM verbundenen Kerrlinse auf die transversale Mode des Strahls zu berücksichtigen und die resonante Kopplung an höhere transversale Moden zu vermeiden. Dies kann durch eine geeignete Ausführung des Linsenleiters erreicht werden.

Einkoppelspiegel

Schlitzmode

AuskoppelspiegelFokussierspiegel

XUVGasjet Schlitz

Einleitung

3

Abb. 1.3: Nichtlineare Pulskompression mittels SPM. (a) Nach dem Stand der Technik wird die nichtlineare Phase in einem Wellenleiter (bspw. einer Grundmode-Faser) aufgesammelt. Dabei wird das Spektrum verbreitert und

der Puls nach Entfernen des Chirps verkürzt. (b) Spektrale Verbreiterung in einem Linsenleiter, d.h. Aufteilen der nichtlinearen Phase auf viele kleine Schritte mit zwischengelagerter Propagation ohne Nichtlinearität, die durch den Gouy-Parameter quantifiziert ist. (c) Der Linsenleiter kann kompakt durch eine Multipass-Zelle ausgeführt werden. Das Schema kann als MPCSB (engl.: multi-pass cell spectral broadening) bezeichnet werden.

Die vorliegende Arbeit beginnt mit einem Kapitel zur Beschreibung der Propagation von paraxialer Strahlung und optischen Resonatoren in Hinblick auf die genannten Anwendungen. Es folgen Kapitel zu Überhöhungsresonatoren mit geometrischer Auskopplung und zur Pulskompression in einer Multipass-Zelle. Diese Kapitel enthalten jeweils einen Stand der Technik zu diesen Anwendungen, eine Beschrei-bung der Theorie und der experimentellen Ergebnisse sowie einen Ausblick. Die Arbeit schließt mit einer kurzen Zusammenfassung.

HR

spektrale Verbreiterung im Linsenleiter:

spektrale Verbreiterung im Wellenleiter:

kompakte Ausführung mittels Multipass-Zelle:

AR

(a)

(b)

(c)

Propagation von Strahlung und optische Resonatoren

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2 Propagation von Strahlung und optische Resonatoren In diesem Kapitel soll die Beschreibung der Propagation von Strahlung und optischer Resonatoren vor-gestellt werden. Sie ist beschränkt auf den paraxialen Fall, also gerichtete Strahlung mit kleinem Diver-genzwinkel. Außerdem soll nur stigmatische (rotationssymmetrische) oder einfach astigmatische Strah-lung betrachtet werden, für die die beiden transversalen Richtungen verschieden sind, aber entkoppeln, d.h. unabhängig voneinander beschrieben werden können [1]. Diese Bedingungen sind für die meisten Laseranwendungen erfüllt, insbesondere für die in dieser Arbeit behandelten. Die Polarisation der Strah-lung wird nicht betrachtet, das elektrische Feld also als skalar behandelt. Dies schließt Strahlung mit einer über dem Profil variierenden Polarisation aus (sogenannte vector beams [2]).

Von besonderer Bedeutung für die Propagation von paraxialer Strahlung ist die Gouy-Phase. Sie ist in der Literatur beschrieben als zusätzlicher axialer Phasenterm des Gaußschen Strahls und anderer Strah-len [3], sowie in seiner Bedeutung für die Entwicklung des Strahlprofils bei der Propagation von Mo-denkombinationen [4] und der Frequenzen transversaler Resonatormoden [5]. Hier soll zusätzlich insbe-sondere die Bedeutung als absolutes Maß für die Propagation von paraxialer Strahlung herausgestellt werden.

Dieses Kapitel beschreibt im Wesentlichen den Stand der Technik, stellt mit einer Auswertung der Re-sonatorempfindlichkeit für einen allgemeinen Resonator als Funktion des Gouy-Parameters aber auch neue Ergebnisse vor.

2.1 Propagation paraxialer Strahlung und die Gouy-Phase

2.1.1 Wellenoptische Beschreibung

Die Propagation von Strahlung als elektromagnetischer Welle kann beschrieben werden mittels der Wellengleichung, die aus den Maxwellschen Gleichungen folgt [7]: ( , , , ) ( , , , ) = 0 mit dem Laplace-Operator = + + Gl. 2.1

Diese Gleichung für das elektrische Feld gilt im Vakuum oder in einem homogenen, isotropen und linearen Medium, wobei dann die Lichtgeschwindigkeit im Medium = 0/ bezeichnet, die gegen-über der Vakuumlichtgeschwindigkeit 0 um den Brechungsindex reduziert ist. Für den Fall, dass die Polarisation (Richtung des elektrischen Felds) sich über dem Strahlprofil nicht ändert, kann das elektri-sche Feld als Skalar geschrieben werden.1 Wenn eine Zeitabhängigkeit mit Kreisfrequenz angenom-men wird, d.h. ( , , ; ) = ( , , ) exp( ),2 ergibt sich die Helmholtz-Gleichung: ( , , ) + ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) = 0 Gl. 2.2

Dabei bezeichnet = / = 2 / die Wellenzahl (Wellenlänge ). Da gerichtete Strahlung beschrieben werden soll, wird im Folgenden die -Richtung als Ausbreitungsrichtung angenommen und das elektri-sche Feld geschrieben als Produkt einer Einhüllenden ( , , ) und einer ebenen Welle in -Richtung: ( , , ) = ( , , )exp( ) Gl. 2.3

Diese Schreibweise stellt zunächst noch keine Näherung dar. Eine Näherung der Helmholtz-Gleichung für paraxiale Strahlung ergibt sich durch Einsetzen von Gl. 2.3 in Gl. 2.2 und Vernachlässigung der Ableitung der Einhüllenden in Ausbreitungsrichtung gegenüber der Änderung des Felds gemäß der ebe-nen Welle ( / ). Das bedeutet die Annahme, dass sich die Einhüllende über der Strecke einer 1 Diese Bedingung kann nur für paraxiale Strahlung erfüllt sein. 2 Hiermit ist als Vorzeichenkonvention festgelegt, dass Phasenterme als exp( ) statt ) geschrieben

werden. Eine ebene Welle, die sich in positive -Richtung ausbreitet, lautet damit ( , ) = 0 exp( ( )). Das Vorzeichen des Terms ~ in der paraxialen Helmholtz-Gleichung hängt von dieser Konvention ab.


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Wellenlänge nur wenig ändert ( ( + ) ( ) 2 ( )). Die Näherung wird daher auch slowly vary-ing envelope (SVE) genannt. Damit folgt die paraxiale Helmholtz-Gleichung oder Helmholtz-Gleichung in SVE-Näherung: ( , , ) 2 ( , , ) = 0 mit = + Gl. 2.4

Neben dieser differentiellen Beschreibung kann die Ausbreitung der Strahlung auch integral beschrie-ben werden. Das Beugungsintegral in paraxialer Näherung, auch Fresnel-Näherung genannt, lautet [7]:3 ( , , ) = exp( ) exp [( ) + ( ) ] ( , , 0) Gl. 2.5

Das Beugungsintegral erlaubt, bei gegebener transversaler Feldverteilung in einer ersten Ebene die transversale Feldverteilung in einer zweiten Ebene im Abstand zu berechnen.4

Zur Helmholtz-Gleichung (Gl. 2.2) kann eine Vielzahl von Lösungen angeben werden. Die einfachste Lösung ist eine ebene Welle, die aber keine physikalische Lösung darstellt, da sie nicht normierbar ist; d.h. für eine endliche Feldstärke wäre eine unendliche Leistung erforderlich. Um einen realen Strahl zu beschreiben, muss die Feldverteilung transversal begrenzt sein (sie muss schneller als 1/ mit dem Ab-stand zur Strahlachse abfallen). Der einfachste Ansatz ist ein gaußförmiges Profil ( , , 0) = 0 /2 ( 2 + 2)/ ) und eine ebene Phasenfront in der Ebene = 0. Einsetzen dieses Ansatzes in Gl. 2.4 oder Gl. 2.5 ergibt, dass das Profil bei der Propagation gaußförmig bleibt.5 Diese Lösung heißt daher Gaußscher Strahl: ( , , ) = ( ) exp ( ) = ( ) exp ( ) Gl. 2.6

mit = ( ) + = + , = Gl. 2.7

Dabei wurde der -Parameter (auch komplexer Strahlparameter genannt) eingeführt, der eine kompakte Notation erlaubt. Um die einzelnen Terme zu interpretieren, kann nach Amplituden- und Phasentermen sortiert werden: ( , , ) = exp = exp arctan exp

= ( ) exp ( ) exp ( ) + ( ) Gl. 2.8

mit ( ) = 1 + ( ) = 1 + ( ) , ( ) = + ( ) , ( ) = arctan Gl. 2.9

Der Gaußsche Strahl besitzt also ein gaußförmiges Strahlprofil, das gemäß dem Strahlradius ( ) ska-liert. Gleichzeitig skaliert die Amplitude auf der Strahlachse gemäß 1/ ( ). In jeder -Ebene ist der Phasenverlauf quadratisch mit dem Abstand zur Strahlachse, wobei die Krümmung auf der Strahlachse durch den Krümmungsradius ( ) beschrieben wird.6 Die Gouy-Phase ( ) beschreibt eine Phase auf

3 Die Fresnel-Näherung des Beugungsintegrals ist äquivalent zur SVE-Näherung der Helmholtz-Gleichung;

beides wird als paraxiale Näherung bezeichnet. 4 Das Integral kann selbstverständlich auch für die Einhüllende ( , , ) statt für das elektrische Feld ( , , )

angegeben werden. Dazu muss nur der Exponentialterm vor dem Integral weggelassen werden. 5 Man beachte, dass der Gaußsche Strahl Lösung der paraxialen Helmholtz-Gleichung ist, während die ebene

Welle eine Lösung nur der ungenäherten Helmholtz-Gleichung ist. 6 Ein quadratischer Verlauf der Phase in einer -Ebene ist nicht exakt das gleiche wie eine parabolische Phasen-

front (Orte gleicher Phase). Wenn man einer gekrümmten Phasenfront von der Strahlachse ausgehend folgt, ändert sich mit der radialen Koordinate auch die -Koordinate, und neben dem radialen Phasenterm ~ 2/(2 ) müssen auch die longitudinalen Phasenterme sowie die -Abhängigkeit von berücksichtigt wer-den. Die Phasenfronten können in guter Näherung als sphärisch betrachtet werden: Ein sphärischer Spiegel ist


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der Strahlachse, die zusätzlich zur Phasenentwicklung einer ebenen Welle aufgesammelt wird. Die Grö-ßen ( ) sowie ( ), ( ) und ( ) sind in Abb. 2.1 dargestellt. Der Verlauf des Strahlradius über der Propagationskoordinate wird als Strahlkaustik bezeichnet. Die Position des kleinsten Strahlradius heißt Strahltaille ( = 0), der kleinste Strahlradius Taillenradius 0. Der Fernfelddivergenzwinkel der Strahlkaustik ist der Winkel (in Kleinwinkelnäherung), an den sich die Strahlkaustik für große Abstände

von der Strahltaille annähert: = lim ( ) = = = Gl. 2.10

Die Rayleighlänge bezeichnet den Abstand von der Strahltaille, an dem die Fernfelddivergenz den Taillenradius schneidet (siehe Abb. 2.1). Der Strahlradius ist hier um den Faktor 2½ größer als in der Strahltaille. Im Bereich um die Strahltaille ( ) ist der Strahl kollimiert, d.h. er besitzt nahezu ebe-ne Phasenfronten und der Strahlradius ändert sich näherungsweise nicht. Für große Abstände von der Strahltaille ( ) ist der Strahl divergent, d.h. der Strahlradius nimmt linear mit zu und die Krümmung der Phasenfronten ist ( ) (sie ähneln also einer Kugelwelle).

Abb. 2.1: Transversales Profil ( ), Strahlradius ( ), Krümmungsradius der Phasenfront ( ) und Gouy-Phase ( ) für einen Gaußschen Strahl. Für die Lage der Strahltaille ist 0 = 0 angenommen.

Das Produkt aus Taillenradius 0 und Fernfelddivergenzwinkel heißt Strahlparameterprodukt . Aus Gl. 2.10 folgt für den Gaußschen Strahl: = = = Gl. 2.11

Die Feldverteilung des Gaußschen Strahls in einer Strahlkaustik ist für eine gegebene Wellenzahl (bis auf eine globale Phase) vollständig durch die zwei Parameter Rayleighlänge und Lage der Strahltaille

geeignet, einen divergenten Strahl in sich selbst zurück laufen zu lassen (bspw. als Endspiegel eines Resona-tors). Ein parabolischer Spiegel ist geeignet, einen divergenten Strahl zu kollimieren bzw. einen kollimierten Strahl zu fokussieren. Für diese Situation ergibt ein sphärischer Spiegel eine Aberration der Wellenfront (wie in Kapitel 3.2 für einen Bow-tie-Resonator behandelt).

( )0

( )

( )0

0/

/2

2( )

/4


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0 beschrieben. Die beiden Parameter Abstand zur Strahltaille und Rayleighlänge , die zum kom-plexen -Parameter zusammengefasst werden, beschreiben gemäß Gl. 2.6 vollständig die Feldverteilung in einer transversalen Ebene.

Statt des -Parameters (Gl. 2.6) kann auch der inverse -Parameter 1/ benutzt werden: = = Gl. 2.12

Damit sind statt der Rayleighlänge und des Abstands zur Strahltaille der Krümmungsradius der Phasenfront und der Strahlradius angegeben [6]. Ersteres ist praktikabler bei der Beschreibung einer Propagation, bei der sich nur ändert, letzteres z.B. beim Durchgang durch eine dünne Linse, bei der sich nur ändert. In Gl. 2.12 wurden die Größen , die Krümmung der Phasenfront, und = 2/( 2) eingeführt.7 Beide Darstellungen sind äquivalent und können ineinander umgerechnet werden: = , = = , = Gl. 2.13

Da die Phasenfronten des Gaußschen Strahls in jeder Ebene parabelförmig sind, ändert der Strahl nicht nur bei der freien Propagation seine Gestalt nicht (Gl. 2.8), sondern auch beim Durchgang durch eine Linse, deren Wirkung durch Aufprägen einer quadratischen Phase beschrieben wird (1/ ' = 1/ 1/ , Brennweite ), und damit allgemein beim Durchgang durch ein paraxiales optisches System, das durch eine Strahltransfermatrix beschrieben wird. Die Transformation des -Parameters erfolgt dabei ge-mäß dem -Gesetz [7]: = oder = mit = Gl. 2.14

Die Gouy-Phase (Gl. 2.9) ergibt beim Durchlaufen einer Strahlkaustik eine Phasenverschiebung auf der Strahlachse von gegenüber einer ebenen Welle (bzw. einem kollimierten Strahl). Dies wurde be-reits 1890 von Louis George Gouy8 entdeckt [9] und ist seitdem Gegenstand theoretischer und experi-menteller Untersuchungen [10-16]. Die Gouy-Phase wird auch als Phasen-Anomalie bezeichnet. Dabei ist durchaus anschaulich, dass der Abstand der Phasenfronten (Flächen aus Orten gleicher Phase) auf der Strahlachse für einen Gaußschen Strahl nicht der gleiche sein kann wie für eine ebene Welle. Wäh-rend bei einer ebenen Welle in -Richtung der Wellenvektor nur eine Komponente in -Richtung besitzt ( = ), besitzt ein transversal begrenzter Strahl auch Beiträge zum -Vektor in den transversalen Rich-tungen. Der Wert in -Richtung wird dadurch entsprechend verringert ( 2 = 2 2 2) und der Abstand der Phasenfronten entlang der Strahlachse vergrößert (effektive Wellenlänge = 2 / ). Dieses Argument wird unten quantitativ ausgeführt (Gl. 2.32) [11]. Weiterhin wird der größere Abstand der Phasenfronten anschaulich, wenn nicht nur die Phase entlang der Strahlachse betrachtet wird, son-dern auch die Form der Phasenfronten (Abb. 2.2). Die Phasenfronten sind zur Taille hin gekrümmt und ihr Abstand in einem Abstand zur Strahlachse ist daher kleiner als auf der Strahlachse. Aufgrund der unterschiedlichen Krümmung der Phasenfronten ist klar, dass ihr Abstand für einen Gaußschen Strahl (anders als bei einer ebenen Welle oder einer Kugelwelle) nicht an jeder Stelle den gleichen Wert haben kann.9

7 Die Beschreibung einer Strahlkaustik über oder 1/ ist auch dann gültig, wenn es sich nicht um einen Gauß-

schen Strahl handelt. Dann lautet der -Parameter allgemeiner = / 2 mit dem Strahlparameterprodukt [21].

8 Manchmal findet man die Bezeichnung „Guoy“-Phase statt „Gouy“-Phase (beruhend auf einem Schreibfehler in [7]).

9 Die Wellenlänge kann trotzdem definiert werden als = 2 / .


9

Abb. 2.2: Phasenfronten eines Gaußschen Strahls (rot). Die gestrichelten Linien (grau) markieren die äquidistan-ten Phasenfronten einer ebenen Welle mit gleicher Wellenzahl . Der Übersichtlichkeit halber sind die Phasen-fronten nur im Bereich ( ) < < ( ) gezeichnet, obwohl die Feldstärke auch außerhalb nicht verschwindet, die Phasenfronten also weiter definiert sind.

Neben der Transformation des -Parameters beim Durchlaufen eines optischen Systems mit Strahltrans-fermatrix gemäß Gl. 2.14 kann auch angegeben werden, welche Gouy-Phase der Strahl dabei auf-sammelt [12]: tan( ) = tan( ) = = Gl. 2.15

Aus dieser Darstellung kann nicht die volle Phaseninformation abgelesen werden, da nicht die Gouy-Phase selbst sondern der Tangens der Gouy-Phase angegeben ist. D.h. die Phase ist nur bis auf ihren Wert Modulo bestimmt. Die volle Phaseninformation kann aus folgenden (äquivalenten)10 Darstellun-gen entnommen werden [7]:11 = = arg Gl. 2.16

= = arctan für + > 0+ arctan für + < 0 Gl. 2.17

Diese Phase wird beim Hintereinanderausführen mehrerer Transformationen addiert und wird daher auch akkumulierte Gouy-Phase genannt [12,13]. Sie hängt nur von den beiden Matrix-Einträgen und

ab, sowie vom Start- -Parameter ( = + oder 1/ = ). Für den einfachen Fall der Pro-pagation um die Strecke ab der Strahltaille wird Gl. 2.9 reproduziert: tan( ) = = für = 10 1 = arctan für = 0, = 0

Gl. 2.18

10 Dies gilt für reelle Einträge , , , der Strahltransfermatrix. Gl. 2.16 ist auch für den Fall von komplexen

Einträgen gültig, der in Kapitel 2.2.1 besprochen wird. Die beiden Darstellungen können sich um eine Phase von 2 (ohne physikalische Bedeutung) unterscheiden, je nachdem auf welches Intervall die arg-Funktion das Argument projiziert ( , ] oder [0, 2 ]).

11 Die Herleitung in [7] erfolgt durch das Einsetzen eines Gaußschen Strahls in das Collins-Integral, das die Transformation durch ein optisches System mit Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]] beschreibt. Die Gouy-Phase kann als die Phase auf der Strahlachse des transformierten Strahls abgelesen werden. Eine alternative Herleitung über geometrisch-optische Strahlen ist in Kapitel 2.1.2 angegeben.


10

Mit der Wirkung auf , , (oder , , ) ist die Wirkung eines optischen Systems vollständig be-schrieben. Da für die Determinante der Strahltransfermatrix = 1 gilt,12 bleiben für ein paraxia-les optisches System drei Freiheitsgrade, die durch die Wirkung auf diese drei Strahlparameter ausge-drückt werden können [12].13

Astigmatismus der Strahlkaustik

Die Feldverteilung des Gaußschen Strahls kann in den beiden transversalen Richtungen unterschiedlich lauten, d.h. die Rayleighlänge und Lage der Strahltaille 0, und damit , und können in - und

-Richtung verschieden sein: ( , , ) = ( , ) ( , ) = ( ) exp ( ) exp ( ) + ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) + ( )

mit | ( , )| = 1, ( , ) = 1 Gl. 2.19

( ) = , 1 + ,, , ( ) = , + , , , ( ) = arctan ,,

( ) = , 1 + ,, , ( ) = , + , , , ( ) = arctan ,,

Gl. 2.20

Hier ist die Feldverteilung in normierter Form angegeben. Eine solche Mode, für die die Strahlpara-meter in den transversalen Richtungen unterschiedlich sind, heißt einfach astigmatisch. Die Abwei-chung von einem runden Strahl wird durch die beiden Größen Astigmatismus und Elliptizität der Strahlkaustik quantifiziert:14 = , ,, , , = ,, Gl. 2.21

Neben der Elliptizität der Strahlkaustik kann die Elliptizität des Strahlprofils = / angegeben werden, die sich abhängig von und entlang der Propagation ändert. Meist wird die Elliptizität de-finiert als = max( / , / ), so dass sie immer Werte größer eins annimmt.

12 Dies gilt, wenn die Brechzahl des Mediums in der Startebene die gleiche ist wie in der Zielebene. 13 Als weiterer Freiheitsgrad, der aber nicht aus der Strahltransfermatrix abgelesen werden kann, kommt noch die

Länge des optischen Systems hinzu. Dabei spielt sowohl die Länge selbst als auch ihr Wert Modulo der Wel-lenlänge eine Rolle. Die Länge bestimmt bspw. die Laufzeit für Pulse, der Wert Modulo der Wellenlänge die Phase des Feldes und damit bspw. die Resonanzbedingung in Resonatoren.

14 Diese Definitionen gelten nicht nur für den in Gl. 2.19 angegebenen einfach astigmatischen Gaußschen Strahl sondern für einfach astigmatische Strahlung allgemein. Da die Strahlqualität in den beiden transversalen Rich-tungen dann unterschiedlich sein kann, sind die Definitionen der Elliptizität = 0 / 0 über die Taillen-radien 0 und über die Rayleighlängen nicht äquivalent.


11

Höhere transversale Moden

Neben dem Gaußschen Strahl können weitere Feldverteilungen angegeben werden, die ihre Form bei der Propagation bis auf die Skalierung gemäß dem Strahlradius nicht verändern (A8.1.1). Diese höheren transversalen Moden können konstruiert werden in beiden transversalen Richtungen als Produkt aus einem Gaußschen Strahl mit einem Hermite-Polynom der Ordnung in -Richtung und der Ord-nung in -Richtung. Diese Moden heißen daher Gauß-Hermite-Moden , :

, ( , , ) = ( , ) ( , )

= ! ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) + + ( ) ! ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) + + ( )

Gl. 2.22

Die Moden sind in normierter Form angegeben. Die Mode mit Ordnung = = 0 (Grundmode) ist identisch mit dem Gaußschen Strahl (Gl. 2.19). Wenn die Strahlparameter in beiden transversalen Rich-tungen gleich sind, können die Moden in folgender Form geschrieben werden: , ( , , ) = ! ! ( ) ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) + ( + + 1) ( ) Gl. 2.23

Neben den -Moden können weitere transversale Moden angegeben werden, die ihre Form bei der Propagation nicht verändern. Die Gauß-Laguerre-Moden können konstruiert werden als das Pro-dukt eines rotationssymmetrischen Gaußschen Strahls mit einem zugeordneten Laguerre-Polynom der Ordnung und Parameter , sowie einer zusätzlichen radialen und azimutalen Abhängigkeit von . Es gibt zwei verschiedene Definitionen der Gauß-Laguerre-Moden, die hier als -Moden ohne Dreh-impuls (non-helical modes) und -Moden mit Drehimpuls (helical modes) bezeichnet werden.

-Moden ohne Drehimpuls: , ( , , ) = , !( )! ( ) ( ) ( ) cos( )sin( ) exp ( ) exp ( ) + (2 + + 1) ( )

Gl. 2.24

-Moden mit Drehimpuls: ,±( , , ) = !( )! ( ) ( ) ( ) exp(± )exp ( ) exp ( ) + (2 + + 1) ( )

Gl. 2.25

Dabei sind und die radiale und azimutale Modenzahl, welche ganze Zahlen 0 annehmen können.15 Zu jedem > 0 gibt es zwei linear unabhängige Moden, die im Fall der Moden ohne Drehimpuls als Co-sinus und Sinus des Arguments angegeben sind (für = 0 entfällt der Sinus-Term als Lösung) und im Fall der Moden mit Drehimpuls als komplexe Exponentialfunktion des Arguments mit positivem und negativem Vorzeichen.16 Es variiert also für > 0 entweder die Amplitude oder die Phase beim Umlau- 15 Manchmal findet man die Bedingung 0 [17]. Dies ist aber nicht richtig; auch Moden mit > sind Lö-

sungen der paraxialen Helmholtz-Gleichung. 16 Die Bezeichnung „ohne/mit Drehimpuls“ bezieht sich natürlich nur auf die Moden mit > 0; für = 0 stimmen

die Moden miteinander überein. Manchmal werden die Laguerre-Moden mit Drehimpuls auch durch ein Stern-chen gekennzeichnet und als „Doughnut-Moden“ (oder „Donut-Moden“) bezeichnet. Dieser Begriff soll hier aber vermieden werden, da er auch allgemein für ringförmige Intensitätsverteilungen benutzt wird, bspw. für eine inkohärente Überlagerung von Gauß-Hermite Moden (etwa 1,0 und 0,1), was im strengen Sinne keine Mode ergibt und damit eine unpräzise Bezeichnung darstellt.


12

fen der Strahlachse. Moden mit einer variierenden Phase besitzen daher schraubenförmige (engl.: heli-cal) Phasenfronten und tragen einen Drehimpuls ± .17 Wo erforderlich werden die Moden durch einen Zusatz an der Modenzahl gekennzeichnet ( / für Cosinus/Sinus, +/– für das Vorzeichen in der Ex-ponentialfunktion). Die Moden können leicht gemäß exp(± ) = cos( ) ± sin( ) durch die Moden der anderen Art mit gleichem ausgedrückt werden. Auch bei den -Moden ist die Mode niedrigster Ordnung (Grundmode) der Gaußsche Strahl. Das Intensitätsprofil einiger - und -Moden ist in Abb. 2.3 dargestellt, die Feldstärke und Intensität entlang einer transversalen Achse in Abb. 2.4.

Abb. 2.3: Intensitätsprofil einiger -Moden (links) und -Moden ohne Drehimpuls (Mitte) und mit Drehimpuls (rechts), angeordnet für ansteigende Modenzahlen. In dieser Darstellung ist die Bedeutung der Modenzahlen , und , anschaulich: In kartesicher Geometrie geben und die Zahl der Knotenlinien in - und -Richtung an. In zylindrischer Geometrie bezeichnet die Zahl der kreisförmigen Knotenlinien, die konzentrisch um die Strahl-achse liegen, und die Zahl der Knotenlinien, die die Strahlachse schneiden ( -Moden ohne Drehimpuls), bzw. ein wie Vielfaches von 2 die Phase bei einem Umlauf um die Strahlachse durchläuft ( -Moden mit Drehimpuls, Phase im Bild nicht dargestellt). Für Modenzahlen > 0 gibt es für jedes ( , ) eine weitere Mode, für die das In-tensitätsprofil um den Winkel /(2 ) um die Strahlachse gedreht ist ( -Moden ohne Drehimpuls, hier nicht dar-gestellt), bzw. für die die Phase mit umgekehrtem Vorzeichen um die Strahlachse läuft ( -Moden mit Drehim-puls). Dargestellt ist die Intensität normiert auf den Maximalwert des jeweiligen Intensitätsprofils. Die Abmessung der Kästchen ist 2,5 bis 2,5 in beiden Achsen.

17 Dieser Drehimpuls des Modenprofils („Bahndrehimpuls“) koppelt mit dem Drehimpuls des Photonen-Spins,

was zu einer Feinstruktur des Modenspektrums eines Resonators, also verschiedenen Frequenzen für + und – polarisiertes Licht führt [18]. Dieser Effekt ist in paraxialer Näherung vernachlässigt.

Gauß-Hermite-Moden ,

0,0 1,0

Gauß-Laguerre-Moden ohne Drehimpuls (non-helical GL modes)

2,0 3,0

0,1 1,1 2,1 3,1

0,2 1,2 2,2 3,2

0,3 1,3 2,3 3,3

00 01 02 03

1 0 1 1 1 2 1 3

2 0 2 1 2 2 2 3

3 0 3 1 3 2 3 3

00 01 02 03

1+0 1+1 1+2 1+3

2+0 2+1 2+2 2+3

3+0 3+1 3+2 3+3

Gauß-Laguerre-Moden mit Drehimpuls (helical GL modes)


13

Abb. 2.4: Feldstärke (oben) und Intensität (unten) einiger - und -Moden entlang der -Achse: Gauß-Hermite-Moden ,0 mit Modenzahlen = 0 bis = 6 (links), Gauß-Laguerre-Moden 0 mit Modenzahlen = 0 bis = 3 (Mitte) und Gauß-Laguerre-Moden , 0 mit Modenzahlen = 0 bis = 4 (rechts; für den Fall der Moden mit Drehimpuls ,±0 ist die Intensität für > 0 nur halb so groß). Zur besseren Übersichtlichkeit sind die geraden (rot) und ungeraden (blau) Moden in unterschiedlichen Farben gezeichnet. Die Moden sind normiert auf gleiche Leis-tung; Feldstärke und Intensität sind so skaliert, dass der Wert für die Grundmode 1 beträgt.

Strahlradius

Höhere transversale Moden sind transversal weiter ausgedehnt als die Grundmode. Der Strahlradius des Gaußschen Strahls in Gl. 2.23, Gl. 2.24 und Gl. 2.25 hat daher nicht mehr die Bedeutung des Strahl-radius, sondern stellt nur noch einen Parameter dar. Der Strahlradius für ein allgemeines Strahlprofil kann über das 2. Moment 2 des Intensitätsprofils ( , ) definiert werden: = 2 = 2 ( ) ( , ) , = 2 = 2 ( ) ( , )

mit = ( , ) , = ( , ) , = ( , ) Gl. 2.26

Der Strahlradius ist als das Doppelte der Wurzel des 2. Moments definiert, damit die Definition mit dem Abfall der Intensität auf 1/ 2 für ein gaußförmiges Intensitätsprofil zusammenfällt (Gl. 2.8, siehe Abb. 2.1).18 Der so definierte Strahlradius der transversalen Moden kann als Funktion der Modenzahlen an-gegeben werden. Für die -Moden ist der Strahlradius in -Richtung nur von der Modenzahl abhängig und der Strahlradius in -Richtung nur von der Modenzahl . Für die -Moden mit Drehimpuls sowie die -Moden ohne Drehimpuls und 1 ist der Strahlradius , in beiden Richtun-gen gleich und hängt von den Modenzahlen und ab (A8.1.1):19 = 1 + 2 , = 1 + 2 ; , = 1 + 2 + Gl. 2.27

Da der Strahlradius an jedem Ort in der Strahlkaustik um den oben angegeben Faktor größer ist als für die Grundmode, ist sowohl der Taillenradius als auch der Fernfelddivergenzwinkel entsprechend größer. Das Strahlparameterprodukt ist folglich um das Quadrat dieses Faktors größer. Damit lautet die

18 Da auch dieses Kriterium gewissermaßen willkürlich ist, sei ergänzend bemerkt, dass mit dem Faktor 2 in der

Definition der Strahlradius eines runden top-hat Profils mit der Abmessung des Profils zusammenfällt. 19 Für die -Moden ohne Drehimpuls und mit = 1 ist der Strahlradius in die Richtung der Knotenlinie durch die

Strahlachse kleiner (diese Moden sind identisch mit 1,0 und 0,1).

-3 -2 -1 0 1 2 3-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Feld

stär

ke u

[b. E

.]

-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsitä

t u2 [b

. E.]

-3 -2 -1 0 1 2 3-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-3 -2 -1 0 1 2 3-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

,0 0 , 0

,0 0 , 0/ / /

/ / /


14

Strahlqualitätskennzahl 2, die das Verhältnis des zur Beugungsgrenze (d.h. dem der Grund-mode) angibt, für die transversalen Moden in den jeweiligen Richtungen: = 1 + 2 , = 1 + 2 ; , = 1 + 2 + Gl. 2.28

Während die Größe also bei höheren transversalen Moden nicht den Strahlradius bezeichnet, hat auch bei den höheren transversalen Moden die Bedeutung des Krümmungsradius der Phasenfront.

Laut Gl. 2.23 und Gl. 2.24 sammeln höhere transversale Moden eine größere zusätzliche Phase auf der Achse auf, nämlich ( + + 1) bzw. (2 + + 1) . Der Begriff Gouy-Phase soll hier aber immer die Phase bezeichnen, die für alle transversalen Moden gleich ist, also nicht den gesamten Phasenterm. Das gilt auch, wenn die Strahlparameter in den transversalen Richtungen unterschiedlich sind (Gl. 2.19) und die Phasenterme ( + ½) und ( + ½) lauten; und heißen dann Gouy-Phase in - und

-Richtung. Die Gouy-Phase gibt also die Phasendifferenz an, die die transversalen Moden bei der Pro-pagation aufsammeln.

Die Transformation von höheren transversalen Moden durch ein optisches System erfolgt gleich wie beim Gaußschen Strahl, d.h. der -Parameter wird gemäß dem -Gesetz transformiert (Gl. 2.14) und ein von den Modenzahlen abhängiges Vielfaches der aufgesammelten Gouy-Phase (Gl. 2.18) auf-geprägt. Sowohl die -Moden als auch die -Moden zu einem festen -Parameter (bzw. und im Fall der -Moden) bilden eine vollständige und orthogonale Basis zur Beschreibung einer beliebi-gen Feldverteilung ( , , ) [7]:

, ( , , ) , ( , , ) = , , ( , , ) = , , ( , , ) mit , = ( , , ) , ( , , ) Gl. 2.29

Die Moden , sind orthogonal und normiert, und eine Feldverteilung ( , , ) kann nach den Mo-den mit den Entwicklungskoeffizienten , entwickelt werden, die in der oben angegebenen Weise berechnet werden. Wenn eine transversale Feldverteilung ( , , 1) in der Ebene = 1 entwickelt wird, kann leicht angegeben werden, wie sie in einer anderen Ebene = 2 eines optischen Systems aussieht, da die Transformation der einzelnen Moden einfach berechnet werden kann.

Die - und -Moden sind dadurch ausgezeichnet, dass sich ihre Form bei der Propagation nicht än-dert.20 Daher werden sie auch als Eigenmoden der freien Propagation bezeichnet [7]. Diese Bedingung ist aber nicht notwendig, um eine vollständige Basis anzugeben. Es können auch andere Moden angege-ben und zur Entwicklung einer Feldverteilung benutzt werden, z.B. die eleganten - oder -Moden [19]. In einem stabilen Resonator mit sphärischen Spiegeln (oder in einem quadratischen Medium) hin-gegen sind die - und ggf. -Moden tatsächlich als Eigenmoden ausgezeichnet (siehe Kapitel 2.2.1).

Die -Moden werden auch als transversale Moden in Kartesischen Koordinaten (rechteckiger Geo-metrie) und die -Moden als Moden in zylindrischen Koordinaten (zylindrischer Geometrie) bezeich-net [6]. Tatsächlich können die Koordinaten ineinander transformiert werden gemäß = cos( ), = sin( ). Ein Unterschied zwischen den beiden Moden-Systemen ist, dass der den Moden zugrunde-liegende -Parameter für die -Moden in beiden transversalen Richtungen gleich sein muss, während er für die -Moden verschieden sein kann (Gl. 2.22). Beide Moden-Systeme können aber benutzt wer-den, um eine beliebige Feldverteilung zu entwickeln, da sie beide eine vollständige Basis bilden. Insbe-sondere muss eine Feldverteilung nicht stigmatisch (d.h. die -Parameter der Feldverteilung in den transversalen Richtungen sind gleich) und erst recht nicht radial-symmetrisch sein, damit sie durch eine Entwicklung nach -Moden beschrieben werden kann. Die Wahl eines der Moden-Systeme ist häufig durch die Geometrie und Symmetrie eines Problems nahegelegt. Wenn bspw. ein stigmatischer Gauß-scher Strahl und rotationssymmetrische Phasenaberrationen untersucht werden sollen, können die 0 -Moden zur Beschreibung gewählt werden (siehe Kapitel 4).

20 Es kann gezeigt werden, dass dies nur für die - und -Moden gilt [20].


15

Die - und -Moden bilden eine vollständige Basis, wenn sie bezüglich eines beliebigen -Para-meters und einer beliebigen Strahlachse angegeben werden. Insbesondere können sie auch einen Gauß-schen Strahl bezüglich eines anderen -Parameters und einer anderen Strahlachse darstellen.21 Weil die Gouy-Phase gemäß Gl. 2.9 auf den -Parameter des Modensystems bezogen ist, dieser -Parameter aber für eine Modenentwicklung frei wählbar ist, scheint die Zuordnung der Gouy-Phase zu einem Strahl zunächst nicht mehr eindeutig. Es ist trotzdem eine eindeutige Zuordnung mit einer physikalischen Be-deutung möglich. Diese beruht darauf, dass der Strahlradius auch für eine beliebige Modenkombination, also auch wenn sich das Strahlprofil bei der Propagation ändert, immer einer Hyperbel folgt, und damit eine Rayleighlänge und Taillenposition 0 (also ein -Parameter) definiert ist. Damit ist auch die Gouy-Phase gemäß Gl. 2.9 definiert. Dies wird als hyperbolisches Propagationsgesetz bezeichnet [1, 7,21] und kann dargestellt werden als (gültig getrennt in beiden transversalen Richtungen): ( ) = 1 + ( ) Gl. 2.30

Dieses Gesetz wird auch 2-Methode genannt, weil es bedeutet, dass es zu jedem Strahl einen Gauß-schen Strahl mit dem gleichen -Parameter gibt (eingebetteter Gaußscher Strahl, engl.: embedded Gaus-sian beam), wobei der Radius des Strahls an jeder -Position um den Faktor größer als der Gaußsche Strahl ist. Dadurch kann die Propagation und Transformation des Strahls wie für den Gaußschen Strahl über das -Gesetz (Gl. 2.14) erfolgen [22].

Abb. 2.5: Kaustik eines Strahls ( ) (blau) zusammen mit der Kaustik des eingebetteten Gaußschen Strahls Gauß( ) (rot) mit gleichem -Parameter (Rayleighlänge und Lage der Strahltaille). Der Strahlradius ist an jeder Position in der Kaustik um den Faktor größer als der Strahlradius des Gaußschen Strahls, also auch Taillenradi-us 0 und Fernfelddivergenzwinkel . Der Strahl kann für eine höhere transversale Mode stehen, dessen Strahl-profil in der gesamten Kaustik unverändert ist, oder für einen beliebigen (auch teilkohärenten) Strahl, dessen Strahlprofil sich bei der Propagation ändert. Im Bild ist = .

Das hyperbolische Propagationsgesetzt ist gültig, wenn der Strahlradius gemäß Gl. 2.26 definiert ist.22 Diese Definition über das 2. Moment hat die Schwierigkeit, dass sie bei der Messung empfindlich auf Rauschen des Detektors und Streulicht ist, da kleine Intensitätsbeiträge in großem Abstand vom Schwerpunkt des Intensitätsprofils sich aufgrund der Gewichtung mit dem quadratischen Abstand stark auswirken. Darüber hinaus divergiert das 2. Moment für Intensitätsverteilungen, die nicht hinreichend schnell mit dem Abstand zum Schwerpunkt abfallen [24]. Daher wird das Integrationsgebiet für die Berechnung des 2. Moments begrenzt.23 Der so definierte Strahlradius folgt dann ggf. nicht mehr exakt einer Hyperbel; es kann aber eine Hyperbel an die gemessene Strahlkaustik angepasst werden.24

21 Eine Verschiebung 0 bzw. Verkippung der Strahlachse des Gaußschen Strahls ist in erster Näherung gege-

ben durch einen Beitrag der Mode 1,0 mit Koeffizient 1 = 0/ 0 bzw. c1 = – /2· . Eine Änderung des Taillenradius = 0'/ 0 bzw. der Taillenlage 0 in -Richtung ist in erster Näherung gegeben durch einen Bei-trag der Mode 2,0 mit Koeffizient 2 = 2–1/2(1 – ) bzw. 2 = 21/2/4· 0/ .

22 Außerdem ist weiterhin vorausgesetzt, dass die Strahlung paraxial ist. Außerhalb dieses Bereichs kann eine Intensitätsverteilung stark davon abweichen [23].

23 Das Integrationsgebiet soll nach der Norm ISO 11146 begrenzt werden auf die Wurzel des 2. Moments mul-tipliziert mit einem Faktor (self-convergent width factor). Da die Größe des Integrationsgebiets vom Strahl-

( )0Gauß0Gauß GaußGauß–


16

Das hyperbolische Propagationsgesetz (Gl. 2.30) kann leicht hergeleitet werden aus der Voraussetzung, dass jede Feldverteilung als Überlagerung von -Moden (oder -Moden) beschrieben werden kann. Für jede dieser Moden folgt der Strahlradius einer Hyperbel, d.h. das Quadrat des Strahlradius (das 2. Moment) ist eine quadratische Funktion in . Es kann gezeigt werden, dass auch für die Überlagerung das 2. Moment einer quadratischen Funktion folgt (Herleitung siehe A8.1.2). Dies gilt sowohl für kohä-rente als auch inkohärente Überlagerungen der Moden. Das 2. Moment einer Intensitätsverteilung folgt bei der Propagation durch ein paraxiales optisches System einem verallgemeinerten -Gesetz (siehe A8.1.3). Auch darüber kann das hyperbolische Propagationsgesetz für eine kohärente Feldverteilung hergeleitet werden.

Verknüpfung von Amplitude und Phase eines Strahls

Für eine einzelne -Mode ist die Phasenfront parabolisch mit Krümmungsradius ( ) und die Phase auf der Achse ist ein Vielfaches der Gouy-Phase ( ) zusätzlich zur ebenen Welle.25 Für eine Überlage-rung transversaler Moden haben sowohl die Phasenfronten eine andere Form als auch die Phase auf der Strahlachse 0( ) einen anderen Verlauf. Es ist diese Phase 0, die bspw. für die Phasenanpassung bei der nichtlinearen Frequenzkonversion maßgeblich ist (siehe Kapitel 3). Die Entwicklung der Phase auf der Strahlachse ist über die Helmholtz-Gleichung (Gl. 2.4) mit der Amplitude verknüpft. Um das aus-zuwerten, kann die komplexe Einhüllende ( , , ) geschrieben werden als: ( , , ) = ( , , )exp ( , , ) Gl. 2.31

mit den reellen Größen Amplitude ( , , ) und Phase ( , , ). Für die Entwicklung der Phase 0( ) und der Amplitude 0( ) auf der Strahlachse gilt für einen symmetrischen Strahl (Anhang A8.1.3):26 ( ) = ( ) + ( , , )|

( ) ( ) = + ( , , )| Gl. 2.32

d.h. die Entwicklung der Phase auf der Strahlachse ist gegeben durch die Krümmung der Amplitude auf der Strahlachse und umgekehrt die Entwicklung der Amplitude durch die Krümmung der Phase. Für eine Kombination von transversalen Moden mit einem bei der Propagation variierenden Profil ist daher auch der Verlauf der Phase auf der Strahlachse komplizierter als für eine einfache Mode und kann z.B. auch bei der Propagation abnehmen statt zuzunehmen, wenn die Krümmung der Amplitude ihr Vorzei-chen wechselt (siehe Kapitel 3.2).

radius abhängt, muss sie selbst-konsistent bestimmt werden. Der Faktor soll einerseits nicht zu klein sein, damit das hyperbolische Propagationsgesetz näherungsweise gültig ist, andererseits nicht zu groß, damit der Fehler auf die Strahlradien-Bestimmung durch Rauschen nicht zu groß ist. Üblicherweise wird ein Faktor 4 gewählt. Diese Definition des Strahlradius und der damit bestimmten Strahlqualitätskennzahl 2 heißt daher 4 -Methode.

24 Es stellt sich dabei die Frage, wie die Anpassung einer Hyperbel erreicht werden kann, die für einen Strahl unabhängig von der konkreten Strahlkaustik ist, also auch unabhängig davon den gleichen Wert für die Strahl-qualitätskennzahl 2 liefert. Dies wird erreicht, wenn die Messpunkte (Strahlradius über Propagation) äqui-distant bzgl. der Gouy-Phase liegen (bzw. mit diesem Abstand gewichtet werden). Dieses Kriterium unter-scheidet sich von der Vorgabe der Norm ISO 11146, nach der mindestens 5 Messpunkte innerhalb einer Ray-leighlänge um die Strahltaille und mindestens 5 Messpunkte im Abstand größer als zwei Rayleighlängen von der Strahltaille liegen müssen.

25 Eine parabolische Phasenfront ist die einzige Möglichkeit für eine Mode, die ihre Form bei der Propagation nicht verändert [20].

26 Diese Gleichungen heißen auch transport-of-intensity equations [25].


17

2.1.2 Geometrisch-optische Beschreibung

Die geometrische Optik beschreibt die Ausbreitung von Strahlung über geometrisch-optische Strahlen, d.h. Strahlen ohne transversale Ausdehnung, die sich im freien Raum geradlinig ausbreiten, bis sie auf eine optische Fläche treffen. Das Modellieren einer inkohärenten oder (teil-)kohärenten Strahlquelle mittels vieler Strahlen und das Verfolgen dieser Strahlen durch ein optisches System (ray tracing) ist ein mächtiges Werkzeug zur Auslegung und Optimierung optischer Systeme und Minimierung von Ab-errationen. Dabei kann für jeden Strahl die Brechung oder Reflexion an einer optischen Fläche gemäß dem Brechungs- oder Reflexionsgesetz ausgewertet werden. Hier soll wieder nur die paraxiale Nähe-rung betrachtet werden, also der Fall, dass die Strahlen achsnah und die Winkel zur optischen Achse klein sind. Der Sinus oder Tangens des Winkels kann dann durch sein Argument genähert werden. Die-se paraxiale Näherung heißt auch Gaußsche Optik oder Optik erster Ordnung (da die trigonometrischen Funktionen nur bis zur ersten Ordnung genähert werden).

Ein geometrisch-optischer Strahl wird in -Richtung vollständig durch den Vektor = [ , ] mit dem Abstand und Winkel zur optischen Achse beschrieben. Dieser Vektor wird in paraxialer Näherung durch ein optisches System mit Strahltransfermatrix transformiert gemäß ' = [7].

Ein geometrisch-optischer Strahl kann für den Schwerpunkt eines wellenoptischen (transversal ausge-dehnten) Strahls stehen, also beschreiben, wie sich die Strahlachse bezogen auf die optische Achse in einem optischen System entwickelt. Ein Bündel von geometrisch-optischen Strahlen kann aber auch einen wellenoptischen Strahl selbst modellieren. Dabei beschreiben die geometrisch-optischen Strahlen die Wellenfront, indem sie lokal die Normale der Wellenfront angeben [26]. Schon ein einziger geomet-risch-optischer Strahl repräsentiert eine Kugelwelle, da er über = / einen Krümmungsradius der Phasenfront angibt, der linear mit der Propagationskoordinate zunimmt (Abb. 2.6). Der geometrisch-optische Strahl schneidet die optische Achse im Ursprung der Kugelwelle.

Abb. 2.6: Ein geometrisch-optischer Strahl (rot) mit Abstand und Winkel zur optischen Achse und repräsen-tiert eine Kugelwelle mit Krümmungsradius der Phasenfront (blau), d.h. einem Ursprung im Abstand .

Während eine Kugelwelle einen realen Strahl in einigem Abstand von der Strahltaille näherungsweise beschreibt, weicht der Verlauf um die Strahltaille stark davon ab. Insbesondere wird der Krümmungsra-dius nicht kleiner als die doppelte Rayleighlänge und der Ursprung der Kugelwelle wird vermieden. Um einen realen Strahl zu beschreiben, darf ein geometrisch-optischer Strahl also die optische Achse nicht schneiden; er muss sie sozusagen verfehlen. Diese Situation kann leicht dadurch modelliert werden, dass für den geometrisch-optischen Strahl komplexe Werte zugelassen werden. Der Abstand und Win-kel zur optischen Achse lauten dann + und + (Abb. 2.7). Statt der Erweiterung auf die kom-plexe Ebene kann man sich unter auch die andere transversale Richtung vorstellen; der Strahl ist dann windschief zur optischen Achse und schneidet sie daher nicht. Das setzt aber voraus, dass sowohl der zu beschreibende Strahl als auch das optisches System, durch das er propagiert, rotationssymmetrisch ist. Tatsächlich können die beiden transversalen Richtungen unterschiedlich sein und jeweils durch einen komplexen geometrisch-optischen Strahl beschrieben werden.

= /0


18

Abb. 2.7: Ein geometrisch-optischer Strahl (rot) kann in der komplexen Ebene ( + ) einen Schnittpunkt mit der optischen Achse vermeiden. Der Strahl definiert dabei einen Strahlradius als Betrag des Abstands zur optischen Achse und eine Phase in der komplexen Ebene, die als Gouy-Phase identifiziert werden kann.

Durch den komplexen geometrisch-optischen Strahl wird ein komplexer Krümmungsradius durch den Quotienten aus komplexem Abstand und Winkel zur optischen Achse definiert, der mit dem -Para-meter identifiziert werden kann.27 Der Strahlradius ist der Betrag des Abstands zur optischen Achse; der reelle Krümmungsradius kann definiert werden durch den Abstand zur optischen Achse und den Winkel = / , den der Strahl in dieser Richtung mit der optischen Achse einschließt (d.h. Ab-stand und Winkel entlang der ê -Richtung, siehe Abb. 2.7). Die Phase in der komplexen Ebene ( + ) ist die Gouy-Phase. Für den einfachen Fall, dass der geometrisch-optische Strahl (wie in Abb. 2.7) nur um einen festen Betrag 0 in die komplexe Ebene verschoben ist, sind diese Größen besonders leicht auszuwerten: = = + mit = = = + +

= | | = + = + = 1 + ( ) , = = + , = arctan = arctan

Gl. 2.33

Der komplexe (oder windschiefe) geometrisch-optische Strahl ergibt also einen Strahlradius, der einer Hyperbel folgt. Daraus kann die Rayleighlänge als = 0/ abgelesen werden. Im Abstand der Ray-leighlänge von der Strahltaille ist die Phase in der komplexen Ebene = ±45°, der Strahlradius also um den Faktor 2½ größer als der Taillenradius.

Es ist leicht zu sehen, dass die Strahlparameter in der bekannten Weise durch ein optisches System transformiert werden und dass das Strahlparameterprodukt dabei invariant ist (Anhang A8.1.5):28

27 Daher wird der q-Parameter eines Gaußschen Strahls auch komplexer Krümmungsradius genannt [21]. 28 Die geometrische Optik kann als Näherung der wellenoptischen Beschreibung im Grenzübergang einer ver-

schwindenden Wellenlänge betrachtet werden ( 0 oder ). Dies erlaubt die Behandlung geometrisch-optischer Strahlen ohne transversale Ausdehnung, d.h. mit verschwindendem Strahlparameterprodukt . Es kann daher auch eine Punktquelle beschrieben werden durch ein Bündel von Strahlen, die sich in einem Punkt schneiden. Das bedeutet aber nicht, dass das im Rahmen der geometrisch-optischen Beschreibung ver-schwinden muss. Wie hier gezeigt kann auch ein Strahl mit endlichem beschrieben werden, und dieses

ist bei der Transformation durch ein optisches System erhalten. Es gibt im Rahmen der geometrisch-optischen Beschreibung lediglich keine durch den Wellencharakter bestimmte untere Grenze für das .

= 0 ==

êê


19

= = , = = , = Gl. 2.34

Außerdem kann ausgewertet werden, welche Gouy-Phase der Strahl bei Transformation durch ein opti-sches System aufsammelt (A8.1.5):

= = arctan für + > 0+ arctan für + < 0

mit = = , = =

Gl. 2.35

Dieses Ergebnis stimmt mit Gl. 2.17 überein und stellt eine alternative Herleitung der Gouy-Phase dar.

Die Bedeutung der Gouy-Phase ist für den geometrisch-optischen Strahl anschaulich, vor allem wenn er als windschiefer reeller Strahl betrachtet wird: Sie gibt an, unter welchem Winkel zur -Richtung sich ein Strahl in einer -Ebene befindet, und um welchen Winkel sich diese Position bei der Transformation durch ein optisches System verändert (Abb. 2.7). Es ist klar, dass dabei Werte im Bereich = 0 bis 2 physikalisch verschieden sind. Dass beim Durchgang durch einen Fokus eine Gouy-Phase von aufge-sammelt wird, ist anschaulich: Die geometrisch-optischen Strahlen wechseln die Seite zur optischen Achse. Für einen punktförmigen Fokus bedeutet das einen Phasensprung im Fokus, für einen realen Strahl mit endlichem Taillenradius eine um den Fokusbereich verschmierte Phasenänderung.


20

2.1.3 Abbildung, Nah- und Fernfeld

In diesem Kapitel soll eine Begriffsklärung für die Konzepte Abbildung, Abbildung des Winkelraums sowie Nah- und Fernfeld vorgenommen und der Zusammenhang mit der Gouy-Phase aufgezeigt werden.

Eine Abbildung ist ein optisches System, das ein Bild eines Gegenstands erzeugt. Dazu wird Licht, das vom Gegenstand ausgeht, durch geeignete optische Elemente gesammelt und an einer anderen Stelle zu einem Bild gefügt. Das Konzept enthält verschiedene Schwierigkeiten, weil im Allgemeinen nicht das gesamte Licht vom Gegenstand aufgesammelt werden kann und eine exakte Erzeugung eines Bildes für beliebige Gegenstände prinzipiell nicht möglich ist [27]. Wenn jedoch die Ausbreitung von paraxialer Strahlung in einem aberrationsfreien optischen System betrachtet wird, ist eine exakte Erzeugung eines Bildes möglich und die Lage des Bildes scharf definiert. Eine Abbildung bedeutet dann eine Verknüp-fung von zwei transversalen Ebenen in Ausbreitungsrichtung. Zu einer ersten Ebene (Gegenstandsebe-ne) ist eine zweite Ebene (Bildebene) dadurch ausgezeichnet, dass das transversale Intensitätsprofil bis auf einen Skalierungsfaktor (Vergrößerung der Abbildung) die gleiche Gestalt hat.29

Eine Abbildung zwischen zwei Ebenen liegt vor, wenn für die Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]], die diese Ebenen verknüpft, gilt = 0. Diese Bedingung kann sowohl geometrisch-optisch als auch wellenoptisch verstanden werden: Eine Abbildung liegt vor, wenn alle geometrisch-optischen Strahlen [ , ], die von einem Punkt in der Gegenstandsebene ausgehen, sich in einem Punkt ' in der Bildebe-ne treffen, unabhängig von ihrem Winkel zur optischen Achse (was für = 0 gegeben ist). Dadurch wird ein Bild des Intensitätsprofils mit Vergrößerung '/ = erzeugt. Wenn zusätzlich zu = 0 für die Strahltransfermatrix = 0 gilt, hängt außerdem der Winkel zur optischen Achse ' in der Bildebene nur vom Winkel zur optischen Achse in der Gegenstandsebene ab, ist also unabhängig vom Abstand zur optischen Achse. Insbesondere ergibt dann eine ebene Phasenfront in der Gegenstandsebene auch eine ebene Phasenfront in der Bildebene. Eine solche Abbildung heißt telezentrisch.

Wellenoptisch bedeutet = 0 nach Gl. 2.16, dass für die Gouy-Phase für die Propagation zwischen den Ebenen unabhängig vom -Parameter gilt tan( ) = 0, also = 0 oder (für > 0 oder < 0). Das bedeutet, dass die transversalen Moden, nach denen die Feldverteilung in der Gegenstandsebene entwi-ckelt werden kann, für = 0 in der Bildebene mit der gleichen relativen Phase addiert werden,30 und das Intensitätsprofil der Gegenstandsebene (bis auf eine Skalierung) reproduziert wird. Für = werden alle ungeraden Moden mit umgekehrtem Vorzeichen addiert, d.h. das Bild steht auf dem Kopf.31

Ein optisches System kann auch die Eigenschaft haben, dass der Abstand zur optischen Achse ' in der Bildebene nur vom Winkel zur optischen Achse in der Gegenstandsebene abhängt (und andersherum der Winkel zur optischen Achse ' nur vom Abstand zur optischen Achse ). Dann spricht man von einer Abbildung des Winkelraums. Das ist gegeben für = 0 (und = 0).

Diese Situation kann nicht in gleicher Weise wie die Abbildung auch wellenoptisch beschrieben wer-den. Für die Gouy-Phase, die der Strahl dabei aufsammelt, gilt nach Gl. 2.15: tan( ) = = = für = 0 = signum( ) arctan = signum( ) arctan

Gl. 2.36

29 Der Begriff der (optischen) Abbildung ist direkt mit dem mathematischen Begriff der Abbildung verknüpft:

Jeder Punkt in der Gegenstandsebene (Element aus der Definitionsmenge) wird einem Punkt in der Bildebene (Element aus der Zielmenge) zugeordnet.

30 Das gilt unabhängig von der Wahl des -Parameters, der dem Modensystem zur Entwicklung der Feldvertei-lung zugrunde liegt, da die Gouy-Phase unabhängig vom -Parameter 0 oder ist.

31 Die wellenoptische Bedeutung der Abbildungsbedingung = 0 kann außerdem auch durch Auswertung des Collins-Integrals gezeigt werden [1].


21

das bedeutet, sie hängt vom -Parameter in der Gegenstandsebene ab. Für = 0 ( = 0), d.h. wenn die Taille in der Gegenstandsebene liegt, ist die Gouy-Phase = /2 oder 3 /2 (abhängig vom Vorzeichen von ). Es hängen also bei einer Abbildung des Winkelraums die relative Phase, mit der die transversa-len Moden in der Bildebene addiert werden, und damit die Form des Strahlprofils vom -Parameter ab.

Abb. 2.8: Abbildung durch eine dünne Linse (links) und Abbildung des Winkelraums (rechts). Im Fall einer Ab-bildung treffen sich alle geometrisch-optischen Strahlen unabhängig von ihrem Winkel in der Bildebene wieder in einem Punkt, die in der Gegenstandsebene von einem Punkt ausgegangen sind. Im Fall einer Abbildung des Win-kelraums treffen sich alle Strahlen in einem Punkt, die mit dem gleichen Winkel gestartet sind.

Im einfachsten Fall wird eine Abbildung durch eine (dünne) Linse mit Brennweite erreicht. Die Ge-genstandsebene im Abstand vor der Linse wird auf die Bildebene im Abstand hinter der Linse abge-bildet, wobei die Abstände durch die Abbildungsgleichung (auch Linsengleichung genannt) verknüpft sind (Abb. 2.8):

Abbildungsgleichung = + , Vergrößerung = Gl. 2.37

Es sei darauf hingewiesen, dass (beinahe) jede Ebene vor der Linse als Gegenstandsebene betrachtet und eine Bildebene hinter der Linse zugeordnet werden kann (für > ). (Ein Abbildungssystem, das verschiedene Aberration kompensiert, ist hingegen meist nur für die Abbildung einer bestimmten Ebene ausgelegt.)

Auch eine Abbildung des Winkelraums kann durch eine Linse mit Brennweite erreicht werden. Die Bedingung = 0 wird in der Brennebene hinter der Linse ( = ) erfüllt, unabhängig vom Abstand vor der Linse. Zusätzlich gilt = 0, wenn der Abstand vor der Linse ebenfalls beträgt (Abb. 2.8).

Da bei einem Gaußschen Strahl das Strahlprofil in jeder -Ebene die gleiche Gestalt hat (Gauß-förmig), hat die Abbildung hier vermeintlich keine Bedeutung. Daher wird der Begriff im Zusammenhang mit dem Gaußschen Strahl auch anderweitig verwendet, nämlich synonym mit der Transformation durch ein optisches System. Es kann ein modifiziertes „Abbildungsgesetz“ angegeben werden, das aber nichts mit dem hier benutzten Begriff der Abbildung zu tun hat, sondern die Lage der Strahltaille vor und hinter einer Linse miteinander verknüpft [28]. Die Abbildung hat aber auch für einen Gaußschen Strahl eine Bedeutung: Sie erlaubt Aussagen über die Lage der Strahlachse und den Strahlradius und natürlich über die Entwicklung von Abweichungen von der Gaußform.

Die Begriffe Nahfeld und Fernfeld werden unterschiedlich benutzt. Zunächst kann unter dem Nahfeld das Feld in einem Abstand zu einem Gegenstand gemeint sein, der kleiner als die Wellenlänge ist. In diesem Abstand kann ein evaneszentes Feld vorhanden sein, d.h. ein Feld, das transversale Raumfre-quenzen , größer als die Wellenzahl des Lichts besitzt und daher nicht propagieren kann.32 Die Wellenzahl in Propagationsrichtung ist mit = ( 2 2 2)½ imaginär und das Feld klingt exponen-tiell ab. Dieses Feld wird bspw. in der Nahfeld-Mikroskopie abgetastet, die damit eine größere räumli-

32 Solche Raumfrequenzen der Strahlung und damit ein evaneszentes Feld liegen vor, wenn der Gegenstand ent-

sprechend kleine Strukturen besitzt.

Gegenstandsebene Bildebene

Abbildung des WinkelraumsAbbildung


22

che Auflösung erreicht. Das Fernfeld ist in diesem Zusammenhang dann das Feld in einem Abstand vom Gegenstand, in dem das evaneszente Feld abgeklungen ist.

In einem anderen Sinne werden die Begriffe Nahfeld und Fernfeld im Zusammenhang mit der Eintei-lung von Beugungsbereichen benutzt. Von einer Strahltaille ausgehend ist das Nahfeld der Bereich bis zum Abstand der Rayleighlänge, das Fernfeld der Bereich in einem größeren Abstand [29]. Auf diese Weise sind Nah- und Fernfeld nicht scharf definiert, sondern grenzen nur grob verschiedene Bereiche gegeneinander ab (Abb. 2.9a). Diese beiden Definitionen unterscheiden sich erheblich, da die Rayleigh-länge (abhängig vom Taillenradius) einige Größenordnungen größer als die Wellenlänge ist.

Abb. 2.9: Unterschiedliche Bedeutungen der Begriffe Nahfeld und Fernfeld sind gebräuchlich. (a) Nah- und Fern-feld als Bereiche in einer Strahlkaustik, die durch die Rayleighlänge voneinander abgegrenzt sind. (b) Nah- und Fernfeld als ausgezeichnete, aufeinander bezogene Ebenen: Das Fernfeld zu einem gegebenem Nahfeld ist das Feld in unendlichem (oder näherungsweise großem) Abstand.

Es ist auch möglich, als Fernfeld die Feldverteilung zu definieren, die in unendlichem Abstand von ei-ner gegebenen Ebene (mit dem zugehörigen Nahfeld) liegt, wobei diese Feldverteilung auch schon in endlichem Abstand (näherungsweise) erreicht wird, da sich die Form der Feldverteilung für große Ab-stände ( ) nicht mehr ändert (Abb. 2.9b). Die Schwierigkeit dieser Definition ist, dass das Feld in unendlichem (großem) Abstand dann nicht nur das Fernfeld zu der betrachteten Ebene darstellt, sondern auch zu jeder anderen Ebene in endlichem (kleinem) Abstand. Damit ist die Zuordnung von Nah- und Fernfeld nicht eindeutig.

Eine eindeutige Zuordnung wird daraus erst, wenn man hinzunimmt, dass das Nahfeld in der Taille der Strahlkaustik liegen soll. Dann ist die Propagation ins Fernfeld (unendlich großer Abstand von der Strahltaille) durch eine Gouy-Phase von = /2 gegeben (Gl. 2.9). Auch wenn das Nahfeld nicht in der Taille der Strahlkaustik liegt, kann das zugehörige Fernfeld dadurch definiert werden, dass es durch eine Gouy-Phase von = /2 (oder 3 /2) vom Nahfeld entfernt ist (Abb. 2.10). Das ist die Definition, die in dieser Arbeit benutzt werden soll. Entscheidend dabei ist, dass nur so sichergestellt wird, dass immer die gleiche Feldverteilung als Fernfeld zu einem Nahfeld gilt, unabhängig davon, wo in einer Strahl-kaustik dieses Nahfeld liegt. Die Definition bedeutet, dass das Fernfeld nicht notwendigerweise in gro-ßem Abstand vom Nahfeld liegen muss. Bspw. sind die Ebenen im Abstand einer Rayleighlänge vor und hinter der Taille als Nah- und Fernfeld miteinander verknüpft.

Es sei noch der Zusammenhang mit der Abbildung des Winkelraums diskutiert. Man sagt, eine Linse bilde das Fernfeld in die Brennebene ab. Das ist aus Gl. 2.37 mit = für leicht zu sehen. Aller-dings ist das nur dann identisch mit der hier benutzten Definition des Fernfelds, wenn die Strahltaille an einem definierten Ort liegt, also bspw. in der Brennebene vor der Linse. Nur in diesem Fall ergibt die Abbildung des Winkelraums auch eine Transformation ins Fernfeld.

( )(a)

FernfeldFernfeldNahfeld

( )(b)

Fernfeld

Nahfeld


23

Im Gegensatz zu einer Abbildung, die unabhängig vom -Parameter in der Gegenstandsebene definiert ist und das Nahfeld reproduziert, d.h. einer Gouy-Phase von = oder 2 entspricht, ist die Transfor-mation ins Fernfeld, d.h. eine Gouy-Phase von = /2 oder 3 /2, nicht unabhängig vom -Parameter möglich. Eine Abbildung des Winkelraums hingegen ist wie die Abbildung unabhängig vom -Para-meter. Die Begriffe Winkelraum und Fernfeld sind in diesem Sinne verschieden.

Abb. 2.10: Veranschaulichung des Begriffs Fernfeld als eine zu einem Nahfeld dadurch ausgezeichnete Ebene, dass sie durch eine Gouy-Phase von /2 voneinander getrennt sind. Das Fernfeld eines Rechteckprofils ist bspw. ein sinc2-förmiges Profil (oben). Die zweimalige Ausführung einer Transformation ins Fernfeld ergibt eine Gouy-Phase von , d.h. eine Abbildung mit negativer Vergrößerung. Eine Transformation mit einer Gouy-Phase von 3 /2 entspricht einer Abbildung der Ebene im Abstand /2, und kann daher auch als Transformation ins Fernfeld bezeichnet werden. Für ein asymmetrisches Strahlprofil ist zu erkennen, dass eine Abbildung mit Gouy-Phase einer negativen Vergrößerung entspricht (unten). Dargestellt ist die Intensität über einer transversalen Koordinate.

Bei der Abbildung des Winkelraums wird der -Parameter wie folgt transformiert: = 0 0 = und = Gl. 2.38

Daraus folgt für die transformierten Strahlparameter ' , ' , bzw. ' , ' : = , = = bzw. = , = Gl. 2.39

Das bedeutet, die Lage der Strahltaille ' hinter der Linse hängt nur von der Krümmung der Phasen-front (nicht vom Strahlradius) und die Rayleighlänge z' und damit der Taillenradius hinter der Linse hängt nur vom Strahlradius (nicht von der Krümmung der Phasenfront) in der Brennebene vor der Linse ab. Gleichzeitig hängt der Strahlradius ' in der Brennebene hinter der Linse nur von der Ray-leighlänge vor der Linse ab (nicht von der Taillenlage). Dieser Strahlradius gibt (mit bekannter Brenn-weite ) direkt den Fernfelddivergenzwinkel des Strahls vor der Linse an: = = = Gl. 2.40

Diese Eigenschaft rechtfertigt die Benennung des Winkelraums. Die Wirkung einer Abbildung und einer Abbildung des Winkelraums auf den -Parameter ist in Abb. 2.11 veranschaulicht.

/2= /2= 0 =

/2 /2= 3 /2 = 2

/2

/2= /2= 0 =

/2 /2= 3 /2 = 2

/2


24

Abb. 2.11: Transformation des -Parameters durch eine Abbildung (links) und eine Abbildung des Winkelraums (rechts). Gezeichnet ist der Verlauf des Strahlradius für zwei unterschiedliche einfallende -Parameter (rot/blau). Bei einer Abbildung ergibt ein fester Strahlradius in der Gegenstandsebene einen festen Strahlradius ' (mit Vergrößerung = '/ ) in der Bildebene unabhängig vom Krümmungsradius der Phasenfront . Bei einer Abbil-dung des Winkelraums ist der Radius ' ein Maß für den Divergenzwinkel der Strahlkaustik vor der Linse. Der festgehaltene Strahlradius ergibt einen festen Taillenradius 0 hinter der Linse, allerdings verschoben in Abhän-gigkeit des Krümmungsradius der Phasenfront .

Beugungsbereiche, Fresnel-Zahl

Die verschiedenen Bedeutungen des Begriffs Fernfeld sollen noch einmal anhand des Begriffs der Fres-nel-Zahl verdeutlicht werden, die benutzt wird, um Beugungsbereiche zu unterscheiden [7]. Die Fres-nel-Zahl beschreibt die Beugung hinter einer Blende und ist definiert als: = Gl. 2.41

mit dem Blendenradius (oder der halben Breite einer Spaltblende), der Wellenlänge und dem Ab-stand von der Blende. Wenn die Blende mit einer ebenen Welle beleuchtet wird, ist das Strahlprofil hinter der Blende allein durch die Fresnel-Zahl charakterisiert. Es werden dabei drei Beugungsbereiche unterschieden. Für , d.h. direkt hinter der Blende, ist das Profil durch den geometrischen Schatten der Blende gegeben. (In diesem Bereich ist die paraxiale Näherung des Beugungsintegrals nicht gültig.) Für Fresnel-Zahlen von der Größenordnung 1 kann das Beugungsintegral in paraxialer Näherung (Fres-nel-Integral Gl. 2.5) ausgewertet werden. Das Strahlprofil ändert sich hier stark mit der Propagation.33 Dieser Bereich heißt Fresnel-Beugung oder auch Nahfeld-Beugung [30]. Für Fresnel-Zahlen 1, d.h. große Abstände von der Blende, ändert sich die Form des Profil nur noch schwach mit der Propaga-tion, die transversale Ausdehnung skaliert proportional zum Abstand. Dieser Bereich heißt Fraunhofer-Beugung oder Fernfeld-Beugung. Für große Abstände können in der Exponentialfunktion im Integral die Terme quadratisch in ' und ' vernachlässigt werden. Das Beugungsintegral in Fraunhofer-Näherung34 lautet damit: ( , , ) = exp( ) exp ( + ) exp ( + ) ( , , 0) Gl. 2.42

Das Feld in großem Abstand ( 0) von der Blende ist also durch die Fourier-Transformierte des Felds in der Blendenebene gegeben. Für eine rechteckige Blende ist das in beiden transversalen Rich-tungen eine sinc-Funktion (Abb. 2.12).

33 Für den Fall einer Kreis-förmigen Blende gibt die Fresnel-Zahl die Anzahl der Intensitätsmaxima im Strahlpro-

fil an. Die Intensität auf der Strahlachse oszilliert gemäß 0( ) = 4 0(0)sin2( /2· ). 34 Der Begriff „Näherung“ kann an dieser Stelle missverständlich sein. Es sind damit keine weiteren Anforderun-

gen an die Strahlung oder über die paraxiale Näherung hinausgehenden Ungenauigkeiten verbunden. Bei der Fraunhofer-Beugung handelt es sich einfach um einen Spezialfall der Fresnel-Beugung, der durch eine Fourier-Transformation beschrieben wird. In der hier betrachteten Situation wird dieser Spezialfall „näherungsweise“ für große Abstände erreicht. Wie weiter unten gezeigt, kann dieser Spezialfall aber auch einfach für einen be-stimmten endlichen Abstand vorliegen.

Abbildung des WinkelraumsAbbildung ''


25

Diese Betrachtung gilt so aber nur dann, wenn die Blende mit einer ebenen Welle beleuchtet wird. Wenn hingegen die Phasenfront in der Blendenebene gekrümmt ist (Krümmungsradius ), steuert das Feld ( ', ', 0) einen Term exp( /(2 ) ( '2 + '2)) zum Integranden des Beugungsintegrals bei. Das Feld in großem Abstand ist dann nicht mehr durch eine Fourier-Transformation gegeben. Diese Situati-on kann durch die Einführung einer äquivalenten Fresnel-Zahl (engl.: equivalent Fresnel number) beschrieben werden, die vom Krümmungsradius R in der Blendenebene abhängt [7]: = , mit = = Gl. 2.43

Die Strahlprofile im äquivalenten Abstand haben die gleiche Form wie im Abstand für den Fall einer ebenen Phasenfront in der Blendenebene. Insbesondere ist das Feld für = 0 die Fourier-Transformierte des Felds (ohne die Krümmung der Phasenfront) in der Blendenebene (Abb. 2.12). Die-ses Feld ( = 0) ist nach der in dieser Arbeit benutzen Definition das Fernfeld zum Feld in der Blen-denebene (dem Nahfeld).

Abb. 2.12: Zur Bedeutung der äquivalenten Fresnelzahl . Die Graphik zeigt das Strahlprofil (rot) bei Beugung an einer Blende mit Durchmesser 2 in unterschiedlichen Abständen von der Blende. (a) Wenn die Blende mit einer ebenen Welle beleuchtet wird, liegt das Fernfeld, d.h. die Fourier-Transformierte des Felds in der Blenden-ebene in großem Abstand, also bei 0. Hier ist dieses Feld in endlichem Abstand gezeichnet, in dem das Fernfeld näherungsweise erreicht wird. (b) Wenn die Phasenfront in der Blendenebene gekrümmt ist (Krüm-mungsradius ), verschieben sich die Position der Strahlprofile. Ihre Position kann durch die äquivalente Fresnel-Zahl beschrieben werden. Insbesondere liegt das Fernfeld mit = 0 in der gezeigten Situation mit einer konvergenten Krümmung in der Blendeneben in endlichem Anstand von der Blende.

Die Umrechnung einer äquivalenten Fresnel-Zahl auf eine Gouy-Phase ist deshalb nicht allgemein mög-lich, weil die Fresnel-Zahl in Bezug auf einen Blendenradius definiert ist, die Gouy-Phase aber auf den

2

(a)

Blende

(b)

= 1=

eq = 1eq =eq = 0

0

eq = 0,2


26

Strahlradius bezogen ist, was nicht dasselbe sein muss.35 Auf jeden Fall entspricht aber = 0 ( = ) einer Gouy-Phase = /2 ( = 0).

Collins-Integral

Im Folgenden soll noch die Verallgemeinerung des Fresnel-Integrals auf die Transformation durch ein paraxiales optisches System betrachtet werden, das Collins-Integral [31]. Es wird nur eine transversale Richtung betrachtet. Das Fresnel-Integral lautet für eine transversale Richtung (vergleiche Gl. 2.5): ( ) = exp( ) exp ( ) ( ) Gl. 2.44

Der Phasenterm exp(– ) wird im Folgenden weggelassen. Das Collins-Integral für die Transformation durch ein optisches System mit Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]] lautet: ( ) = exp ( + 2 ) ( ) Gl. 2.45

Dieses Integral kann auch als Funktion der Gouy-Phase geschrieben werden (A8.1.7): ( )exp =sin( ) exp ( + )

tan( ) +sin( ) ( )exp =

sin( ) exptan( ) +

sin( ) ( )exp

Gl. 2.46

Hierzu wird ein optisches System angenommen, das um eine Gouy-Phase propagiert, dabei aber den vorgegebenen -Parameter konstant lässt. Da die bei der Transformation aufgesammelte Gouy-Phase vom -Parameter abhängt (Gl. 2.16), muss dieser ( , ) im Integral auftauchen.

Diese Gleichung kann folgendermaßen verstanden werden. Um ein Feld 1( 1) um eine bestimmte Gouy-Phase zu propagieren, wird zunächst die Krümmung der Phasenfront durch Multiplikation mit dem Phasenterm exp( /2· 1

2) entfernt. Dann ist die Propagation durch Integration mit einem Integ-ralkern gegeben, der quadratische Terme in 1, 2 und einen gemischten Term 1 2 abhängig von der Gouy-Phase enthält. Insbesondere verschwinden die quadratischen Terme für = /2 (d.h. eine Trans-formation ins Fernfeld). Der Strahlradius des propagierten Felds 2 ist gleich dem von 1. Abschließend kann dem Feld 2( 2) die Krümmung der Phasenfront wieder aufgeprägt werden.

Um Gleichung Gl. 2.46 anwenden zu können, müssen die Parameter und bekannt sein, d.h. der Strahlradius und die Strahlqualität 2 ( / ist der Strahlradius des eingebetteten Gaußschen Strahls, Abb. 2.5), sowie die Krümmung der Phasenfront . Diese Größen können aus dem Feld 1( 1) berech-net werden. Der Strahlradius wird gemäß Gl. 2.26 berechnet, die Krümmung der Phasenfront (in

-Richtung) gemäß folgender Gleichung (A8.1.3): = | ( ) ( ) ( ) ( )|| ( )| Gl. 2.47

Da diese Gleichung die transversale Ableitung des Felds ( ) enthält, ist sie ggf. nicht auswertbar, wenn Amplitude oder Phase Sprünge enthalten. Die Strahlqualität 2 kann folgendermaßen bestimmt werden. Nachdem die Krümmung der Phasenfront berechnet ist, kann sie vom Feld abgezogen wer-den. Das Feld mit ebener Phasenfront kann dann mit einem geeignet gewählten Parameter in den Winkelraum transformiert werden: 35 Für den Fall, dass der Blendenradius gleich dem Strahlradius ist, ist der Divergenzwinkel = / 2/ 0

und = 0/ = 2/( 2). Dann ist tan( ) = 2/ ·1/ . Die Blende erzeugt eine Feldverteilung mit scharfen Kanten. Das bedeutet, dass das 2. Moment des Intensitätsprofils nach Propagation divergiert und die Strahl-radiusdefinition und damit der Wert der Strahlqualitätskennzahl 2 von der Wahl eines begrenzten Integrati-onsgebiets abhängt, auf dem das 2. Moment ausgewertet wird.


27

( ) = exp ( ) Gl. 2.48

Dieses Integral ergibt sich aus dem Collins-Integral Gl. 2.45 mit = [[0, ],[ 1/ , 0]]. Wenn in der Startebene eine ebene Phasenfront vorliegt, gilt dies auch in der Zielebene, und die Strahlqualität kann aus den Strahlradien 1, 2 in beiden Ebenen berechnet werden (vgl. Gl. 2.39): = Gl. 2.49

Die Bestimmung der Strahlqualität aus zwei Strahlradien setzt voraus, dass die Strahlkaustik tatsächlich einer Hyperbel folgt. Wenn es aufgrund der Definition des Strahlradius als 2. Moment des Intensitäts-profils über einem begrenzten Integrationsgebiet Abweichungen davon gibt, ist die Zuordnung von Strahlqualität und Taillenlage nicht eindeutig, aber ggf. eine gute Näherung.

2.1.4 Geometrische Bedeutung der Gouy-Phase

Die Gouy-Phase kann für eine Strahlkaustik aus rein geometrischen Überlegungen eingeführt werden, d.h. ohne Bezug auf einen Gaußschen Strahl und einen Phasenterm. Dabei wird nur die Abbildungsglei-chung (Gl. 2.37) benutzt, mit der die Transformation einer Strahlkaustik in eine andere Strahlkaustik beschrieben werden kann. Die Gouy-Phase wird eingeführt als diejenige Funktion der Propagationsko-ordinate, deren Ableitung sich bei Transformation in eine andere Strahlkaustik nicht ändert. Transversa-le Ebenen, die in einer ersten Strahlkaustik bzgl. der Gouy-Phase äquidistant liegen, liegen auch in einer zweiten Strahlkaustik äquidistant. Der Abstand zweier Ebenen gemessen bzgl. der Gouy-Phase ändert sich bei Transformation in eine andere Strahlkaustik nicht. Dieser Sachverhalt ist dargestellt in Abb. 2.13.

Abb. 2.13: Schematische Darstellung der Bedeutung der Gouy-Phase als absolutes Maß für den Abstand zweier Ebenen in einer Strahlkaustik. In (a) und (b) sind zwei unterschiedliche Strahlkaustiken skizziert, in denen ausge-zeichnete Ebenen durch Kreise markiert sind, die von der einen Kaustik in die andere abgebildet werden. Zu zwei der Ebenen (A und B) ist zusätzlich das Strahlprofil ( ) gezeichnet. Der Abstand dieser Ebenen ist bezüglich der Propagationskoordinate in den beiden Strahlkaustiken unterschiedlich ( 1 bzw. 2), bezüglich der Gouy-Phase ist der Abstand gleich ( ). Die Auftragung der auf den gleichen Strahlradius normierten Strahlprofile gegen die Gouy-Phase ist eine von der konkreten Strahlkaustik unabhängige Darstellung des Strahls (c). Diese Auftragung wurde eingeführt in [32].

Es ist leicht zu sehen, dass eine Strahlkaustik, für die der Strahlradius einer Hyperbel folgt, durch die Abbildungsgleichung wieder in eine Strahlkaustik der gleichen Gestalt transformiert wird. D.h. eine erste Strahlkaustik mit dem Verlauf ( 1) = 01(1+ 1

2/ R12)½ wird transformiert in eine zweite Strahl-

kaustik, die durch (z2) = 02(1+ 22/ R2

2)½ dargestellt werden kann. Dabei stehen und für die Ge-genstands- und Bildgröße (siehe Anhang A8.1.6); und bezeichnen die Gegenstands- und Bildweite. Es soll jetzt die Frage behandelt werden, wie der Abstand zwischen zwei Ebenen von der einen Kaustik in die andere transformiert wird. Wenn die Ebene im Abstand vor der Linse auf die Ebene im Abstand

hinter der Linse abgebildet wird und die Ebene im Abstand – vor der Linse auf die Ebene im Abstand + hinter der Linse (siehe Abb. 2.14), dann hängen und wie folgt zusammen: = = ( ) = , also = Gl. 2.50

(c)

1

1

2

2

1

2

~(a) A B

A B A B(b)


28

Abb. 2.14: Zum Zusammenhang des Abstands zweier Ebenen bei der Transformation einer ersten Strahlkaustik in eine zweite Strahlkaustik mittels einer dünnen Linse.

Die Gouy-Phase kann nun als diejenige Funktion definiert werden, die für den Abstand der beiden Ebe-nen in den beiden unterschiedlichen Strahlkaustiken den gleichen Wert ergibt. D.h. sie gibt ein absolutes Maß für die Propagation an, das unabhängig von einer konkreten Strahlkaustik ist. Es soll gezeigt wer-den, dass folgende Funktion dies leistet: = arctan Gl. 2.51

wobei relativ zur Taille der jeweiligen Strahlkaustik zu beziehen ist und die Rayleighlänge der je-weiligen Strahlkaustik angibt. Die Ableitung der Funktion nach der Propagationskoordinate lautet: ( ) = arctan = = = ( ) Gl. 2.52

Für die Abstände der beiden Ebenen in Strahlkaustik 1 und Strahlkaustik 2 folgt: = = und = = = = = 1 Gl. 2.53

wobei Gl. 2.50 benutzt wurde. Damit ist die Gouy-Phase für eine Strahlkaustik gemäß Gl. 2.51 unab-hängig von einem Gaußstrahl und einem Phasenterm des elektrischen Feldes motiviert und definiert. Sie ist insbesondere unabhängig vom Wert des Strahlparameterprodukts . Die einzige Voraussetzung für die Wohldefiniertheit ist, dass die Strahlkaustik einer Hyperbel folgt. Auch wenn der Strahlradius (mit einer gegeben Strahlradiusdefinition) nicht exakt einer Hyperbel folgt, genügt es, wenn eine Hy-perbel als Fit-Funktion ausgezeichnet ist.36

Gouy-Phase als Maß für Abstände

Wie oben gezeigt wurde (Gl. 2.53) stellt die Gouy-Phase ein absolutes Maß für den Abstand zweier Ebenen in einer Strahlkaustik, d.h. ein absolutes Maß für Propagation, dar. Es soll ein Beispiel diskutiert werden, das diese Bedeutung der Gouy-Phase unterstreicht. Der Abstand von zwei ausgezeichneten Ebenen kann über die Gouy-Phase unabhängig von der Strahlkaustik angegeben werden. Zwei ausge-zeichnete Ebenen können bspw. sein eine Ebene A, in der dem Strahl Aberrationen (auf Phasen oder Amplitude) aufgeprägt werden, und der Ort, an dem sich die Aberrationen in Form von charakteristi-schen Strukturen im Strahlprofil ausprägen, etwa ein Intensitätsminimum auf der Strahlachse (Abb. 2.15). Ebene A kann bspw. einen Verstärkerkristall bezeichnen, in dem Aberrationen aufgeprägt wer-den. Dann prägen diese sich in Form von Strukturen im Strahlprofil hinter dem Kristall aus, die charak-teristisch für die Aberration sind [33]. Das Strahlprofil kann mit Hilfe eines M2-Messgeräts untersucht werden, in dem mit einer Fokussierlinse eine Strahlkaustik erzeugt wird und das Strahlprofil an ver-schiedenen Positionen aufgenommen werden. Die Lage von charakteristischen Strukturen in Bezug auf die Strahlkaustik im M2-Messgerät (bspw. „kurz vor der Strahltaille“) ist hierbei keine sinnvolle Anga-be. Diese Lage hängt u.a. vom Weg zum M2-Messgerät ab, der unterschiedlich aussehen und weitere

36 Dabei sollte die Zuordnung der Fit-Funktion nicht von der konkreten Kaustik abhängen, in der sie ausgewertet

wird, siehe Fußnote 24.

Strahlkaustik 1 Strahlkaustik 2

– +


29

Linsen enthalten kann. Aussagekräftig ist nur der Abstand der Struktur zur Ebene A angegeben als Gouy-Phase, der aus der Strahlkaustik abgelesen werden kann.37

Abb. 2.15: Zur Bedeutung der Gouy-Phase als absolutes Maß für den Abstand zweier Ebenen in einer Strahl-kaustik. (a) und (b) zeigt jeweils schematisch den Verlauf des Strahlradius ausgehend von einer Ebene A bis zueiner Strahlkaustik in einem M2-Messgerät. In Ebene A (bspw. der Ort eines Verstärkerkristalls) aufgeprägte Ab-errationen prägen sich in Form von charakteristischen Strukturen im Strahlprofil aus. Eine Struktur liegt in (a) und (b) an unterschiedlichen Positionen in der Strahlkaustik des M2-Messgeräts (vor bzw. hinter der Strahltaille). Der Abstand zur Position, an der Ebene A abgebildet ist, ist aber in beiden Fällen gleich. Er ist unabhängig vom

-Parameter A, von der optischen Transformation zum M2-Messgerät und von der Strahlkaustik im M2-Mess-gerät.

Außerdem kann aus Gl. 2.53 gefolgert werden, dass die Wirkung einer Aberration unabhängig ist vom Krümmungsradius der Phasenfront in der Ebene, in der sie aufgeprägt wird. Wenn die Aberration auf den Strahlradius am Ort ihrer Aufprägung bezogen wird, ist sie also unabhängig vom -Parameter. Für eine Aberration durch einen 4-Phasenterm (sphärische Aberration) ist die vom -Parameter unab-hängige Formulierung gegeben durch ( ) = ( 4/ 4

2 2/ 2 + 1/2), wobei die Phasenver-

schiebung durch den 4-Phasenterm im Abstand des Strahlradius von der Strahlachse und damit die Stärke der Aberration angibt. Hier ist zusätzlich eine quadratische und konstante Phase abgezogen, um die Fokussierwirkung und eine Phasenverschiebung für einen Gaußschen Strahl zu kompensieren. In [34] ist beschrieben, dass die Verschlechterung der Strahlqualität durch eine so definierte Aberration nicht davon abhängt, an welcher Stelle in der Strahlkaustik sie aufgeprägt wird. Es hängt auch der Ort der durch die Aberration erzeugten Strukturen im Strahlprofil nicht davon ab, wenn er als Abstand in der Gouy-Phase gemessen wird. Das erlaubt, diese Strukturen allgemein auszuwerten [33] und zu vergleichen, statt bspw. nur für den speziellen Fall einer mit einem kollimierten Strahl beleuchteten Fokussierlinse mit sphärischer Aberration und der Ausprägung von Strukturen um den so erzeugten Fokus [35].

In Anhang A8.2 ist ein optisches System angegeben, das es erlaubt, die Lage von charakteristischen Strukturen im Strahlprofil innerhalb einer Strahlkaustik zu verschieben, ohne dabei den -Parameter zu verändern. Dabei werden alle Profile in der Strahlkaustik um eine bestimmte Gouy-Phase verschoben; die relativen Abstände bleiben (notwendigerweise) erhalten. Die Anordnung heißt daher Gouy-Tele-skop.

37 Die Lage der Ebene A in der Strahlkaustik des M2-Messgeräts kann auch dann leicht identifiziert werden,

wenn die Transformation von Ebene A zum M2-Messgerät nicht bekannt ist. Dazu kann der Strahl in Ebene A mit einer Kante beschnitten werden und in der Strahlkaustik des M2-Messgeräts die Ebene gesucht werden, in der diese Kante scharf abgebildet wird.

M2-Messgerät

Ebene A

M2-Messgerät

Ebene A

Ebene A

Ebene A Struktur

Struktur

(a)

(b)

ATeleskop

A


30

Informationsdichte einer Strahlkaustik

Nach Gl. 2.52 ist die Ableitung der Gouy-Phase nach der Propagationskoordinate gegeben durch das Quadrat des inversen Strahlradius 1/ 2. Die Gouy-Phase ändert sich dort mit der Propagation am stärksten, wo der Strahlradius am kleinsten ist. Dieser Zusammenhang kann auch aus Gl. 2.32 abgeleitet werden. Die Ableitung / kann als Informationsdichte der Strahlkaustik aufgefasst werden, die in der Strahltaille am größten ist. Unter Information ist in diesem Zusammenhang die Kenntnis der im Strahl vorkommenden Strahlprofile zu verstehen. In Abb. 2.16 ist dieser Zusammenhang veranschau-licht.

Strahlradius ( ) und Gouy-Phase ( ) können in den beiden transversalen Richtungen unterschiedlich aussehen. Nur wenn der Strahl stigmatisch ist, ist die Ableitung der Gouy-Phase proportional zur Inten-sität. Genaugenommen darf sich zusätzlich das Strahlprofil bei der Propagation nicht ändern, da nur dann ein konstanter Zusammenhang zwischen Strahlradius und Intensität besteht.

Abb. 2.16: (a) Gouy-Phase , (b) Strahlradius und (c) Quadrat des inversen Strahlradius 1/ 2 über der Propaga-tionskoordinate . Die Gouy-Phase in einer Strahlkaustik lautet = arctan(( 0)/ ) und ist daher mit dem Strahl-radius = ( )½(1 + ( 0)2/ 2)½ verknüpft; für die Ableitung gilt / = / 2. In allen drei Graphen sind -Ebenen durch graue Linien gekennzeichnet, die äquidistant in der Gouy-Phase sind (Abstand = /20). Diese

Linien veranschaulichen die Informationsdichte der Strahlkaustik: Wenn sich das Strahlprofil mit der Propagation ändert, ist diese Änderung durch einen Abstand in der Gouy-Phase charakterisiert.

(a) (b) (c)( )/ 0

6 4 2 0 2 4 6

1

2

3

4

5

6

7

0

02/ 2( )

6 4 2 0 2 4 6

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0( 0)/z ( 0)/

( )

6 4 2 0 2 4 6

0

( 0)//2

/4

/4

/2


31

2.2 Optische Resonatoren

2.2.1 Resonatorstabilität und Eigenmoden

Unter einem optischen Resonator38 ist eine Anordnung zu verstehen, die Eigenmoden des elektromagne-tischen Feldes auszeichnet, d.h. Feldverteilungen im dreidimensionalen Raum, die mit einer bestimmten Frequenz oszillieren und dabei ihre Gestalt nicht verändern. Es gibt sehr unterschiedliche Ausführungs-formen und Anwendungen von Resonatoren. Eine wichtige Unterscheidung ist die zwischen aktiven und passiven Resonatoren, d.h. Resonatoren mit und ohne Verstärkungsmedium. Ein Resonator kann geschlossen (Mikrowellen-Resonatoren, optische Mikro-Resonatoren) oder offen sein. Im Fall eines offenen Resonators gibt es eine Ausbreitungsrichtung der Strahlung und zwei dazu transversale Rich-tungen. Die Eigenmoden des Resonators setzen sich dann aus einem longitudinalen und einem transver-salen Teil zusammen. Ein Resonator kann freie Propagation enthalten oder auf Wellenleitung beruhen (z.B. Faser-Laser). Im Fall der freien Propagation spielt der Begriff der Resonatorstabilität eine wichti-ge Rolle, die weiter unten erläutert wird.

Es sollen hier weiter nur offene Resonatoren mit freier Propagation und den folgenden Voraussetzungen betrachtet werden. Die beiden transversalen Richtungen sollen voneinander entkoppelt sein, können also unabhängig voneinander beschrieben werden (sie dürfen durchaus unterschiedlich sein). Das ist insbe-sondere der Fall, wenn der Resonator keine astigmatischen optischen Elemente enthält, deren Achsen nicht entlang der transversalen Richtungen ausgerichtet sind, und der Strahlengang in einer Ebene liegt. Die Strahlung im Resonator soll paraxial sein, d.h. keine großen Divergenzwinkel enthalten. Die Ei-genmoden eines solchen Resonators sind einfach astigmatisch (oder stigmatisch). Es ist dabei nicht vo-rausgesetzt, ob der Resonator linear ist, d.h. zwei Endspiegel besitzt, zwischen denen sich eine stehende Welle ausbildet, oder ein Ring-Resonator, d.h. ein Resonator ohne Endspiegel und mit einer laufenden Welle.

Als weitere Voraussetzung sollen zunächst alle optischen Elemente des Resonators nur parabolische Phasenverläufe aufprägen, also aberrationsfrei sein (dabei kann die Krümmung der Parabel in den trans-versalen Richtungen unterschiedlich sein). Ein solches optisches System heißt System erster Ordnung (engl.: first-order optical system) und wird beschrieben durch eine Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]] (bzw. in den transversalen Richtungen getrennt = [[ , ],[ , ]] und = [[ , ],[ , ]]). Ab-weichungen von parabolischen Phasenverläufen können dann in einem nächsten Schritt als (kleine) Störungen behandelt werden, die zu einer Kopplung zwischen den ungestörten Eigenmoden des Resona-tors führen. Im Gegensatz dazu können Resonatoren, die beliebige Phasenelemente enthalten, maßge-schneiderte Feldverteilungen erzeugen oder unterstützen [36,37].

Wie bereits in der Einleitung (Kapitel 1) erwähnt soll der Begriff Resonator auch für periodische opti-sche Anordnungen benutzt werden, die keinen Resonator im engeren Sinne darstellen, da sie keine Fre-quenzselektion aufweisen. Das ist darin begründet, dass ein solcher Resonator im weiteren Sinne die gleichen transversalen Moden besitzt. Abb. 2.17 stellt Beispiele für diese Begriffe dar.

38 Während der Begriff Kavität (Hohlraum) wenig gebräuchlich ist, findet man in der englischsprachigen Litera-

tur neben dem Begriff resonator häufig synonym den Begriff cavity. Der Begriff ist für offene Resonatoren je-doch weniger passend und wird hier vermieden.


32

Abb. 2.17: Zur Klassifizierung von optischen Resonatoren. Ein Resonator im engeren Sinne (obere Zeile) defi-niert sowohl transversale Moden, d.h. transversale Feldverteilungen, die nach einem Resonatorumlauf reprodu-ziert werden, als auch longitudinale Moden, d.h. Frequenzen. Ein Resonator im weiteren Sinne (untere Zeile) besitzt die gleichen transversalen Moden, aber keine Frequenzselektion. Die Abbildung zeigt jeweils ein Bespiel für einen aktiven (linke Spalte) und passiven (rechte Spalte) Resonator: (a) Laser-Resonator, d.h. Resonator als Teil eines Laseroszillators. (b) Überhöhungsresonator, der eine Leistungsüberhöhung für durch die Resonatorlänge vorgegebene Frequenzen erlaubt. Auch ein Modenfilter oder Etalon gehört in diese Kategorie. (c) Verstärker-Resonator, d.h. Spiegelanordnung, die einen Strahl mehrfach durch ein Verstärkungsmedium lenkt (hier ein in der dargestellten transversalen Richtung instabiler Resonator eines Innoslab-Verstärkers [38]). Auch der Resonator eines regenerativen Verstärkers gehört in diese Kategorie, da er keine Frequenzselektion bewirkt. (d) Multipass-Zelle, d.h. optische Anordnung, die ein Strahl nach einigen Umläufen wieder verlässt (hier eine Herriott-Zelle mit Gouy-Parameter = 4/3 für einen vollen Resonatorumlauf, d.h. 3 Umläufen).

Da ein einfach astigmatischer Resonator vorausgesetzt ist, für den die beiden transversalen Richtungen unabhängig sind, soll hier nur eine Richtung betrachtet werden. Die Stabilitätsbereiche eines Resonators können sich in den transversalen Richtungen unterscheiden.

Ein Resonator ist geometrisch stabil, wenn ein geometrisch-optischer Strahl mit Winkel oder Abstand zur optischen Achse nach vielen Umläufen innerhalb des optischen Systems verbleibt, während in ei-nem instabilen Resonator der Abstand unbeschränkt wächst und der Strahl das System verlässt. Um dieses Kriterium auszuwerten, soll die Entwicklung eines geometrisch-optischen Strahls = [ , ] mit Abstand x und Winkel zur optischen Achse in einem Resonator mit Strahltransfermatrix betrachtet werden. Der Strahl lautet nach Resonatorumläufen = –1 = 0 mit einem Start-Strahl 0. Zu diesem Resonator können zwei Eigen-Strahlen , und zugehörige Eigenwerte , angegeben werden, die folgende Eigenwertgleichung erfüllen [7]: , = , , Gl. 2.54

Jeder Strahl kann nach den Eigen-Strahlen , entwickelt werden (Entwicklungskoeffizienten , ), wo-durch die Beschreibung des Strahls nach Resonatorumläufen sich auf die Multiplikation mit den jeweiligen Eigenwerten zur -ten Potenz vereinfacht:39 = = + , mit = + Gl. 2.55 Die Eigenwerte , lauten als Funktion der Einträge der Strahltransfermatrix :

, = ± 1 , mit = Gl. 2.56

39 Die Eigen-Strahlen und Eigenwerte sind im Allgemeinen komplex. Trotzdem kann ein reeller Strahl 0 oder

mittels komplexer Entwicklungskoeffizienten darüber dargestellt werden.

aktives Medium

optische Achse

Verstärker-Resonator

aktives Medium

Multipass-Zelle

Überhöhungsresonator

Einkoppelspiegel

(a) (b)

(c) (d)

Laser-Resonator

Auskoppelspiegel


33

Dabei wurde der Parameter als die halbe Spur der Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]] eingeführt. Die Spur der Matrix – und damit auch die Eigenwerte – ist unabhängig von der Position der Referenz-ebene im Resonator, in der der Resonatorumlauf beginnt und der Strahl ausgewertet wird.

Ein Resonator ist geometrisch stabil, wenn für die halbe Spur der Strahltransfermatrix gilt:

Stabilitätsbedingung: 1 < < 1 oder 2 < + < 2 Gl. 2.57 In diesem Fall können die halbe Spur und die Eigenwerte der Strahltransfermatrix folgendermaßen ge-schrieben werden: = cos( ) und , = ± 1 = cos( ) ± sin( ) = exp(± ) Gl. 2.58

Dabei wurde ein Winkel eingeführt, der durch den Parameter bestimmt ist. Die Eigenwerte sind komplex mit Betrag 1. In einem stabilen Resonator pendelt ein geometrisch-optischer Strahl folgender-maßen in der Referenzebene mit den Umläufen um die optische Achse: = cos( ) + sin( ), mit = + , = ( ) Gl. 2.59 Der Winkel gibt also an, wie sich die Auslenkung gegen die optische Achse mit der Zahl der Resona-torumläufe verändert. Diese Situation ist dargestellt in Abb. 2.18a.

Abb. 2.18: Zur geometrischen Stabilität eines Resonators: Entwicklung der Auslenkung eines geometrisch-optischen Strahls gegen die optische Achse für einen stabilen (a) und instabilen (b) Resonator. Ein Resonatorum-lauf ist äquivalent zu einem Durchgang durch eine periodische Anordnung.

Wenn die Stabilitätsbedingung Gl. 2.57 nicht erfüllt ist, sind die Eigenwerte der Strahltransfermatrix reell und können folgendermaßen geschrieben werden: | | > 1 , = ± 1 = , 1/ Gl. 2.60

Dabei wurde als eine Vergrößerung (engl.: magnification) der Auslenkung pro Umlauf eingeführt. Sie sei so gewählt, dass | | > 1 ( und 1/ ist entsprechend auf + und – zu beziehen). In einem sol-chen geometrisch instabilen Resonator entwickelt sich die Auslenkung eines geometrisch-optischen Strahls folgendermaßen mit der Zahl der Umläufe : = + = cosh( ) + sinh( ), mit = ln( ) Gl. 2.61 Eine Auslenkung von der optischen Achse, die durch den Eigen-Strahl beschrieben wird, wächst also exponentiell mit der Zahl der Umläufe. Eine Komponente der Auslenkung, die durch den Eigen-Strahl

beschrieben wird, klingt hingegen exponentiell ab. Diese Komponente spielt daher nach wenigen Umläufen keine Rolle mehr. Für die Vergrößerung des instabilen Resonators kann gelten > +1 oder

< 1. Diese Fälle werden als positiver und negativer Ast bezeichnet. Die Situation ist dargestellt in Abb. 2.18b.

Resonator-umläufe

Auslenkung – 1 + 1 + 2

Auslenkung x

(a) geometrisch stabiler Resonator (b) geometrisch instabiler Resonator

positiver Ast

negativer Ast


34

Während die Strahlen also in einem stabilen Resonator durch fokussierende Elemente auf einen Bereich um die optische Achse beschränkt bleiben, wächst ihr Abstand zur Achse in einem instabilen Resonator. Trotzdem gibt es auch in einem instabilen Resonator Eigenmoden, also Feldverteilungen, die nach ei-nem Resonatorumlauf reproduziert werden. Diese Moden werden durch die transversalen Abmessungen der Spiegel (oder anderer optischer Elemente) festgelegt, an deren Rändern sie Beugungsverluste erfah-ren [39]. Die Eigenmoden können durch wiederholtes Anwenden des Beugungsintegrals (Gl. 2.5 oder Gl. 2.45) für die Propagation zwischen den transversal begrenzenden Elementen gefunden werden (Me-thode von Fox & Li [40]). Zu jedem Resonator gibt es eine Grundmode mit kleinsten Beugungsverlus-ten und höhere transversale Moden mit zunehmenden Verlusten. Als Laserresonatoren haben instabile Resonatoren große Bedeutung. Dort können die Beugungsverluste zur Auskopplung dienen. Für die in dieser Arbeit betrachteten Anwendungen sind sie aufgrund der Verluste nicht geeignet und werden nicht weiter betrachtet.

Die Stabilitätsbedingung Gl. 2.57 kann auch darüber abgeleitet werden, dass der Resonator einen Eigen--Parameter besitzt, der einen transversal begrenzten Strahl beschreibt. Dazu muss dieser einen end-

lichen und positiven Imaginärteil haben, d.h. die Rayleighlänge bzw. der -Parameter, muss endlich und positiv sein. Der Eigen- -Parameter ist der -Parameter, der durch einen Resonatorumlauf reprodu-ziert wird (gemäß -Gesetz Gl. 2.14). Er lautet in der Formulierung über den -Parameter und über den inversen -Parameter:40 = + = 0 = , + , = ± 1 Gl. 2.62 = + = 0 = , , = ± 1 Gl. 2.63

Die quadratische Gleichung hat jeweils zwei Lösungen, von denen diejenige gewählt werden muss, die ein positives , bzw. , ergibt (abhängig vom Vorzeichen von bzw. ), da nur diese Lösung einen transversal begrenzten Stahl beschreibt. Die Stabilitätsbedingung –1 < < 1 folgt aus der Forderung eines endlichen Imaginärteils. Dazu muss der Radikand positiv sein. Für diesen Fall ist außerdem er-füllt, dass und nicht null werden.41

Die Gouy-Phase, die ein Strahl mit Eigen- -Parameter bei einem Resonatorumlauf aufsammelt, soll Gouy-Parameter heißen. Einsetzen des Eigen- -Parameters (Gl. 2.62) in Gl. 2.17 ergibt:42 = arccos( ) für > 0 2 arccos( ) für < 0 oder äquivalent = signum( ) arccos( ) Gl. 2.64

Es kann also am Vorzeichen des Matrixelements (oder ) abgelesen werden, ob der Gouy-Parameter im Bereich 0 < < oder < < 2 liegt (siehe Anhang A8.1.8). Bei einem symmetrischen Resona-tor ist es ausreichend, die Strahltransfermatrix für einen halben Resonatorumlauf zu berechnen. Der Eigen- -Parameter für den halben Umlauf ist dann der gleiche wie für den vollen Umlauf; der Gouy-Parameter für einen halben Umlauf ist aber nur halb so groß wie für einen vollen Umlauf.

Bei jeder Reflexion an einem Spiegel muss das Koordinatensystem invertiert werden, um die Händig-keit des Koordinatensystems zu bewahren. Dabei wird die -Achse gespiegelt, die hier als in der Ebene des Strahlengangs liegend angenommen wird (tangentiale Richtung); die -Achse, die senkrecht zur Ebene des Strahlengangs steht (sagittale Richtung), bleibt unverändert [7]. Diese Inversion hat nur dann einen Effekt, wenn die Zahl der Reflexionen bei einem Resonatorumlauf ungerade ist. Während in einem linearen Resonator die Zahl der Reflexe immer gerade ist,43 ist sie ungerade in einem Ringresona- 40 Bei der Lösung der Quadratischen Gleichung ist benutzt, dass die Determinante der Strahltransfermatrix

eins ist: det( ) = – = 1. Dies gilt, wenn der Brechungsindex in der Zielebene gleich dem in der Start-ebene ist, was für einen Resonatorumlauf notwendigerweise erfüllt ist.

41 Dies folgt aus det( ) = – = 1 mit –1 < ( + )/2 < 1. 42 Zusätzlich Vielfache von 2 sind möglich, können aber nicht aus der Strahltransfermatrix abgelesen werden. 43 Es gibt zwei Endspiegel; jeder weitere Spiegel ergibt zwei zusätzliche Reflexionen.


35

tor mit einer ungeraden Zahl von Spiegeln. Der Effekt kann durch Multiplikation der Strahltransfer-matrix mit der negativen Einheitsmatrix berücksichtigt werden.44 Diese Multiplikation lässt den Ei-gen- -Parameter unverändert und ergibt eine zusätzliche Phase von für den Gouy-Parameter. Es kann stattdessen also auch ein zusätzlicher Term am Gouy-Parameter angebracht werden:

, = signum arccos + modulo( , 2) , , = signum( ) arccos( ) Gl. 2.65

Eine Spiegelung des Strahlprofils kann bspw. auch durch Prismen erfolgen. Die Spiegelung des Strahl-profils kann als Spezialfall einer Drehung des Strahlprofils um einen beliebigen Winkel angesehen wer-den. Andere Drehwinkel als ergeben sich bspw. für einen nicht-planaren Strahlengang [41]. Diese Situation wird in der vorliegenden Arbeit nicht behandelt. Da mit dem Strahlprofil auch die Richtung des elektrischen Feldvektors gedreht wird, ist die Voraussetzung einer vom Polarisationszustand unab-hängigen Behandlung nicht mehr erfüllt.

Die transversalen Eigenmoden eines stabilen Resonators sind die -Moden (Gl. 2.22) zum Eigen--Parameter des Resonators.45 Dies gilt im allgemeinen Fall, für den sich die Eigen-Parameter des Re-

sonators in den beiden transversalen Richtungen unterscheiden können. Im Spezialfall eines rotations-symmetrischen Resonators mit gleichen Eigen-Parametern in den transversalen Richtungen sind -Moden mit gleicher Summe der Modenzahlen + entartet, und es können daraus die -Moden (Gl. 2.24, Gl. 2.25) konstruiert werden, die dann ebenfalls transversale Eigenmoden des Resonators sind.

Die Phase , die eine Eigenmode mit Wellenzahl und den Modenzahlen , ( -Moden) bzw. , ( -Moden) bei einem Resonatorumlauf aufsammelt, lautet:46

, , = 2 + + , + + , , bzw. , , = 2 + (2 + ) Gl. 2.66

Dabei ist die Resonatorlänge im Fall eines linearen Resonators oder die halbe Resonatorlänge im Fall eines Ringresonators.47 Für die -Moden ist vorausgesetzt, dass der Gouy-Parameter für die beiden transversalen Richtungen gleich ist.48 Longitudinale Eigenmoden des Resonators sind über die Bedin-gung ausgezeichnet, dass die Phase für einen Umlauf ein Vielfaches von 2 betragen muss. Die mögli-chen Wellenzahlen sind also Vielfache von / , die Frequenzen also Vielfache von /(2 ). Zusätzlich ist eine Eigenmode noch durch seinen Polarisationszustand mit zwei Freiheitsgraden ausgezeichnet. Gruppen von transversalen Moden mit gleicher Summe der Modenzahlen + = (bzw. 2 + = ) sollen hier als -Resonanzen bezeichnet werden. Abb. 2.19 zeigt das Modenspektrum eines stabilen Resonators, d.h. die Frequenzen für die Eigenmoden des Resonators. Höhere transversale Moden sind

44 Multiplikation mit der negativen Einheitsmatrix für jede Reflexion oder netto für einen Resonatorumlauf im

Fall einer ungeraden Zahl von Reflexionen. 45 Es ist hier vorausgesetzt, dass die transversalen Abmessungen der Spiegel (und ggf. anderer Elemente im Re-

sonator) hinreichend groß sind, so dass die Moden nicht beschnitten werden. Im Gegensatz zu den Eigenmoden eines instabilen Resonators besitzen die Eigenmoden des stabilen Resonators keine Beugungsverluste (und können daher auch nicht mit der Methode von Fox & Li gefunden werden).

46 Zur Auswertung der Phase für einen Resonatorumlauf muss die Resonatorlänge auf einen Bruchteil der Wel-lenlänge = /2 bekannt sein. Für einen dielektrischen Spiegel mit einer Eindringung des Felds in den Schichtstapel ist nicht klar, dass die Ebene der Reflexion auf der Spiegeloberfläche liegt. Hier muss die Phase bei der Reflexion ausgewertet werden, die i.A. von der Wellenlänge abhängt. Die Phase kann sich außerdem für s- und p-Polarisation unterscheiden, so dass Moden mit unterschiedlichen Polarisationszuständen ggf. un-terschiedliche Resonanzfrequenzen haben.

47 In beiden Fällen ist 2 also die Strecke, die einem vollen Resonatorumlauf entspricht. 48 Selbst für einen gemäß Konstruktion rotationssymmetrischen Resonator kann es leicht passieren, dass die Ent-

artung der -Moden aufgehoben ist, bspw. aufgrund von in den transversalen Richtungen leicht unterschied-lichen Krümmungsradien eines eigentlich sphärischen Elements. Die -Moden sind dann keine Eigenmoden.


36

resonant bei größerer Resonatorlänge oder größerer Wellenzahl (d.h. Frequenz) als die transversale Grundmode 0,0.49

Abb. 2.19: Modenspektrum eines stabilen paraxialen Resonators mit unterschiedlichen Gouy-Parametern in den transversalen Richtungen. Links sind longitudinale Moden (zur transversalen Grundmode) gezeigt, deren Frequen-zen äquidistant bzgl. Variation der Wellenzahl liegen. Wenn (netto) keine Dispersion durch das Medium im Resonator oder bei Reflexion an den Spiegeln vorliegt, sind diese Moden auch äquidistant bzgl. Variation der Frequenz. Rechts ist eine Vergrößerung eines freien Spektralbereichs mit höheren transversalen Moden gezeigt, die links nicht dargestellt sind. Für die Moden sind Resonanzkurven gezeichnet, d.h. eine Leistung über der Phase für einen Umlauf, die durch die Resonatorlänge bzw. 2 oder die Wellenzahl variiert werden kann. Die Breite der Kurve ist durch die Finesse gegeben (siehe Kapitel 2.2.3). Die Höhe der Kurven ist willkürlich und zwecks Übersichtlichkeit gewählt. Dargestellt sind nur transversale Moden bis + = 4.

In Abb. 2.20 sind einige -Moden und -Moden als transversale Eigenmoden eines stabilen Resona-tors dargestellt. Sie sind nach Resonanzfrequenzen sortiert. Die Moden in einer Spalte innerhalb eines Modensystems können als Linearkombination der Moden in der gleichen Spalte innerhalb eines anderen Modensystems geschrieben werden. (Vorausgesetzt ist, dass der Resonator rotationssymmetrisch ist.)

49 Folgende Betrachtung kann zur Veranschaulichung dienen: Die größere transversale Ausdehnung der höheren

transversalen Moden bedeutet, dass für sie die Resonatorlänge effektiv kleiner ist, wenn sie an konkav ge-krümmten Spiegeln reflektiert werden, die bspw. einen stabilen Resonator bilden können. Bei fester Wellen-zahl muss das durch eine größere Resonatorlänge gegenüber der transversalen Grundmode ausgeglichen wer-den.

2

2

freier Spektralbereich

,

0,0

, 2 ,

2 ,

1,0

2

0,1 2,01,1

0,0

0,2

2

longitudinale Moden transversale Moden

2 /

3-R

eson

anze

n

4-R

eson

anze

n


37

Abb. 2.20: Transversale Eigenmoden eines stabilen paraxialen Resonators, gruppiert nach den Resonanzfrequen-zen, bis zur Gruppe der 4-Resonanzen. Dargestellt sind jeweils die Intensität (links, 0-Maximalintensität in Grau-stufen schwarz-weiß) und die Phase (rechts, 0-2 in Graustufen weiß-schwarz), vgl. Abb. 2.3.

0-Resonanz

1-Resonanzen

2-Resonanzen

3-Resonanzen

4-ResonanzenGauß-Hermite-Moden ,

0,0

1,0

1,1

2,0

0,1

0,2

2,1

3,0

1,2

0,3

3,1

4,0

2,2

1,3

0,4

+

Gauß-Laguerre-Moden ohne Drehimpuls (non-helical modes)

40

21

02

21

40

30

11

11

30

20

01

20

1s0

10

00

2 +

Gauß-Laguerre-Moden mit Drehimpuls (helical modes)

00

4+0

2+1

GL02

21

40

3+0

1+1

11

0

2+0

01

20

10

1+0

2 +


38

Die transversalen Eigenmoden eines stabilen Resonators sind also Feldverteilungen, die ihre Form bei der Propagation nicht verändern. Das Strahlprofil muss in jeder Ebene entlang der Resonatorachse die gleiche Form haben, weil in einem stabilen Resonator jede Ebene auf jede andere Ebene abgebildet wird [42]. Eine Abbildung entspricht einer akkumulierten Gouy-Phase von = oder Vielfachen von . Ausgehend von einer Ebene wird durch Schritte von nach einer geeigneten Zahl von Schritten und Resonatorumläufen jede andere Ebene erreicht. Abweichungen sind nur dann möglich, wenn der Re-sonator entartet ist, d.h. wenn unterschiedliche transversale Moden gleichzeitig resonant sind. Eine Li-nearkombination der entarteten Moden ist dann ebenfalls eine Eigenmode, die ihre Form nach einem Resonatorumlauf reproduziert. Eine solche Linearkombination ändert aber entlang der Propagation ihre Form, weil die beitragenden Moden eine unterschiedliche Phase bei der Propagation aufsammeln. Eine Entartung zwischen Moden mit Modenabstand = 2 – 1 liegt vor, wenn für den Gouy-Parameter gilt

= 2 / mit ganzzahligem . In diesem Fall wird nicht jede Ebene auf jede andere Ebene abgebil-det, da nach Schritten von (2 ) im Fall von geradem (ungeradem) wieder die Ausgangsebene er-reicht wird.

Im Folgenden soll noch eine Erweiterung des Begriffs der Resonatorstabilität diskutiert werden. Bei der bisherigen Analyse der Eigen-Parameter wurde angenommen, dass die Einträge der Strahltransfermatrix reell sind. Der Formalismus kann auf komplexe Einträge erweitert werden, um eine „weiche Blende“ (engl.: soft aperture) zu berücksichtigen, d.h. ein Element mit einer transversal variierenden Transmissi-on. Das kann ein absorbierendes Element mit räumlich variierender Absorption, ein Spiegel mit räum-lich variierender Reflektivität oder ein verstärkendes Element mit einem Verstärkungsprofil sein, das durch ein Pumpprofil aufgeprägt sein kann. Die weiche Blende sei durch die Multiplikation der Intensi-tät mit ( ) = 0

exp(– 2) beschrieben. Für die Wirkung auf die transversale Mode kommt es nur auf den Parameter an; die Abschwächung oder Verstärkung 0 auf der optischen Achse ist unerheblich. Die komplexe Strahltransfermatrix lautet mit der Wellenzahl [7]: = 1 01 , für ( ) = exp( ) Gl. 2.67

Die Wirkung des Elements besteht in einer Änderung des Strahlradius (vgl. Gl. 2.14): = = , = + Gl. 2.68

Für > 0 wird der Strahlradius = ( / )½ kleiner. Für einen Resonator mit einer weichen Blende ist die oben gemachte geometrische Stabilitäts-Analyse mittels eines geometrisch-optischen Strahls nicht anwendbar. Es können aber weiterhin die komplexen Strahlparameter angegeben werden, die sich nach einem Umlauf reproduzieren (siehe Gl. 2.62, Gl. 2.63): ( ) , = ± 1 , , = 1 Gl. 2.69

Die Parameter , , , ( , , , ) sind durch die Real- und Imaginärteile dieser (inversen) Eigen--Parameter gegeben. Für eine bekannte Strahltransfermatrix kann leicht ausgewertet werden, ob ein -Parameter , oder , (1/ , oder 1/ , ) mit einem endlichen und positiven (negativen) Imaginärteil

existiert, der einen räumlich begrenzten Strahl beschreibt. Die Existenz eines solchen Parameters kann als Stabilitätsbedingung gelten. Geometrisch eigentlich instabile Resonatoren können durch das Ein-bringen einer weichen Blende (mit > 0) zu stabilen Resonatoren gemacht werden.

Zusätzlich muss für einen Resonator mit komplexen Matrixeinträgen aber eine weitere Bedingung un-tersucht werden. Es ist nicht klar, dass eine Eigenmode stabil gegen Störungen, also kleine Abweichun-gen von der Eigenmode ist (engl.: pertubation-stable). Eine kleine Abweichung vom Eigen- -Para-meter ergibt eine Abweichung ‘ nach einem Resonatorumlauf:

, = , , mit , = ± 1 Gl. 2.70


39

D.h. die Entwicklung der Störung (Abweichung vom Eigen- -Parameter) ist durch die Eigenwerte der Strahltransfermatrix (Gl. 2.56) bestimmt. Die Größen = ( + )/2 und sind hier ebenfalls komplex. Damit der Resonator stabil gegen Störungen ist, muss der zum stabilen Eigen- -Parameter gehörige Eigenwert betraglich kleiner oder gleich eins sein [43]. Ein stabiler Resonator mit reellen Matrixeinträ-gen ist immer auch stabil gegen Störungen, da die Eigenwerte betraglich gleich eins sind (Gl. 2.58).

Es werden im Folgenden nur Resonatoren mit reellen Matrixeinträgen betrachtet, d.h. Resonatoren mit optischen Elementen, die nur auf die Phase des Felds wirken. (Trotzdem taucht in Kapitel 4 eine ähnli-che Situation auf. Zur Beschreibung eines Resonators mit einer Kerr-Linse wird der Begriff Kerr-Stabilität eingeführt, die angibt, ob eine Abweichung vom Eigen- -Parameter wächst oder abklingt. Instabile Bereiche ergeben sich daraus, dass die Stärke der Kerr-Linse vom Strahlradius abhängt, also aus einer nichtlinearen Dynamik beim Durchlaufen des Resonators.)

Wie in Gl. 2.59 angegeben, pendelt ein geometrisch-optischer Strahl (oder auch die Strahlachse eines Gaußschen Strahls) in einem stabilen (und reellen) Resonator mit den Umläufen um die optische Achse des Resonators. Die Auslenkung von der optischen Achse in der betrachteten Ebene nach Umläu-fen kann wie folgt ausgewertet werden: = cos( ) + , , ,, sin( ) = cos( ) + , , ,, ,, sin( )

Gl. 2.71

Dabei bezeichnen 0 und ,0 Auslenkung und Winkel des Strahls für = 0. Der in Gl. 2.59 eingeführte Winkel ist durch den Gouy-Parameter des Resonators gegeben.

Auch eine Abweichung vom Eigen- -Parameter ändert sich periodisch mit den Umläufen bei der Pro-pagation durch den Resonator. Der Strahlradius „pumpt“ (engl.: scallop) dabei periodisch um einen Mittelwert. Eine Analyse der Situation ergibt, dass das Quadrat des Strahlradius 2 harmonisch pumpt und sich der Mittelwert mit zunehmender Amplitude der Abweichung verschiebt [44,45]:50 = + + + + cos( 2 ) sin( 2 )

mit = , , = , Gl. 2.72

Die Größen und wurden eingeführt, um die Abweichung des -Parameters vom Eigen- -Para-meter zu beschreiben (der Index steht für „Modenanpassung“). ist der Strahlradius in der betrach-teten Ebene für den Fall eines angepassten -Parameters. Dabei ist 2 die Strahlqualitätskennzahl und

der Strahlradius der Grundmode des Resonators. Der Strahlradius pumpt mit der doppelten Frequenz verglichen mit dem Pendeln der Strahlachse. Das lässt sich folgendermaßen verstehen. Die Auslenkung eines Strahls wird dann reproduziert, wenn eine Abbildung mit Vergrößerung +1 (Gouy-Phase 2 ) vor-liegt. Eine Abbildung mit Vergrößerung –l liegt für eine Gouy-Phase von vor und ergibt eine Auslen-kung des Strahls auf die entgegengesetzte Seite von der optischen Achse. Der Strahlradius hingegen reproduziert sich unabhängig vom Vorzeichen der Vergrößerung der Abbildung, also doppelt so oft mit den Umläufen im Resonator.51

Das Pendeln der Strahlachse und Pumpen des Strahlradius ist insbesondere von Bedeutung in stabilen Resonatoren im weiteren Sinne (vgl. Abb. 2.17), bei denen der Strahlradius typischerweise durch An-passung des -Parameters (Moden-Anpassung) möglichst konstant gehalten, das Pumpen also minimiert wird. Stabile Resonatoren im engeren Sinne sind auf die Eigenmoden zum Eigen- -Parameter (und zur

50 Die Verschiebung des Mittelwerts ist klein für nicht zu große Amplituden des Pumpens. Mit der halben

Amplitude 2 gilt für die relative Verschiebung des Mittelwerts: 2/ 2 = ½( 2/ 2)2 + (( 2/ 2)4). 51 Für ein nicht symmetrisches Strahlprofil ist der Unterschied zwischen einer Abbildung mit Vergrößerung +1

und –1 trotz des gleichen Strahlradius ersichtlich.


40

optischen Achse) festgelegt. Abweichungen davon können durch Beiträge von höheren transversalen Moden beschrieben werden, die aber nicht gleichzeitig resonant sind und daher in einem Resonator mit Frequenzselektion nicht gleichzeitig angeregt werden.52

Zwei-Spiegel-Resonator

Im einfachsten Fall besteht ein Resonator aus nur zwei Spiegeln im Abstand (Abb. 2.21a). Die Krümmungsradien der Spiegel seien 1 und 2. Es ist üblich, zur Beschreibung folgende dimensionslose

-Parameter einzuführen: = 1 1 , = 1 2 Gl. 2.73

Der Resonator kann zusätzlich mit planen Spiegeln gefaltet sein. Auch zusätzliche optische Elemente können berücksichtigt und effektive -Parameter angegeben werden [7].

Abb. 2.21: (a) Zwei-Spiegel-Resonator. (b) -Parameter-Diagramm. Symmetrische Resonatoren liegen entlang der grünen Diagonalen. Drei ausgezeichnete Resonator-Konfigurationen sind markiert. Die grau hinterlegte Fläche markiert die stabilen Bereiche. Blaue gestrichelte Linien zeigen Resonatoren mit angegebenen Gouy-Parametern.

Die Eigen-Parameter des Resonators können gemäß Gl. 2.62-Gl. 2.64 berechnet oder aus der Bedingung abgelesen werden, dass der Krümmungsradius der Phasenfronten ( ) = +

2/ (Gl. 2.9) mit den Krümmungsradien der Spiegel 1, 2 übereinstimmen muss.53 Die Eigen-Parameter lauten (ausgewertet für einen Resonatorumlauf beginnend mit der Propagation von Spiegel 1 zu Spiegel 2):

, = ( ) , , = ( )| | = signum( ) arccos(2 1) = signum( )2 arccos Gl. 2.74

Die Stabilitätsbedingung als Funktion der -Parameter lautet [6]:54

Stabilitätsbedingung: 0 < < 1 Gl. 2.75 Das zugehörige Stabilitätsdiagramm ist in Abb. 2.21b dargestellt. Die -Parameter spannen zwei Stabi-litätsbereiche auf, die im Punkt = = 0 (dem symmetrisch-konfokalen Resonator) zusammensto-ßen. In einem stabilen Resonator müssen die -Parameter beide positiv oder beide negativ sein. Um den

52 Zwar können in einem stabilen Resonator Entartungen von transversalen Moden auftreten, Strahlachse oder

Strahlradius können sich aber nur ändern, wenn Moden mit Modenzahldifferenz = 1 oder = 2 entartet sind (vgl. Fußnote 21). Das ist in einem stabilen Resonator nicht möglich.

53 Der Krümmungsradius der Phasenfronten muss gleich dem Krümmungsradius der Endspiegel eines Resonators sein, da nur dann der Strahl bei Reflexion in sich zurücklaufen kann. Diese Bedingung gilt nur, wenn der Re-sonator reell ist, also keine weichen Blenden enthält.

54 Das kann aus Gl. 2.57 abgeleitet werden oder aus der Forderung abgelesen werden, dass die Rayleighlänge des Eigen- -Parameters endlich und reell ist.

(a)2

1

(b)

konfokal

plan-plan

zentrisch

02

1

1

2

–1

–2–2 –1 0 1 2

kon-

= /2= 3 /2


41

Gouy-Parameter für diese beiden Fälle (Quadranten im Stabilitätsdiagramm) richtig zu erhalten, geht das Vorzeichen in Gl. 2.74 ein. Es könnte dort äquivalent 1 statt 2 in der signum-Funktion stehen.

Die Strahlradien 1, 2 auf den beiden Spiegeln (und an jeder anderen Stelle im Resonator) können mittels des unter Gl. 2.74 angegebenen Eigen- -Parameters berechnet werden. Sie können aber auch direkt aus dem inversen Eigen- -Parameter abgelesen werden (hier ausgewertet in der Ebene vor der Reflexion an Spiegel 1):

, = = , , = ( )| | = , = | |( ) Gl. 2.76

Vertauschen der Indizes 1 und 2 ergibt die Krümmung und den Strahlradius auf Spiegel 2.

Von besonderer praktischer Bedeutung ist der symmetrische Zwei-Spiegel-Resonator aus zwei Spiegeln mit gleichem Krümmungsradius im Abstand . Die Eigen-Parameter lauten als Funktion des -Para-meters, der stabile Werte 1 < < 1 annehmen kann (Resonatorumlauf beginnend mit Propagation):55

, = , , = , = 2 arccos( ) Gl. 2.77

Als Funktion der geometrischen Größen und (ohne den -Parameter) lauten die Eigen-Parameter:

, = , , = 1, = 2 arccos 1 Gl. 2.78

Die Stabilitätsbedingung für diesen Resonator kann also auch als 0 < < 2 geschrieben werden.

Der Taillenradius 0 in der Mitte des Resonators und die Strahlradien 1 auf den Spiegeln können an-gegeben werden als Funktion der geometrischen Größen und oder als Funktion einer dieser Größen und des Gouy-Parameters . Sie hängen außerdem vom Strahlparameterprodukt (Gl. 2.11) ab: = 1 = ( )( ) = sin

= 1 = ( ) = ( )( ) Gl. 2.79

/2 ist dabei die Gouy-Phase für einen halben Resonatorumlauf. Wenn der Strahlradius 1 und der Gouy-Parameter vorgegeben sind (bspw. durch Zerstörschwellen und durch Überlegungen zur Resona-torempfindlichkeit oder Kerr-Stabilität), können umgekehrt die einzustellende Resonatorlänge und der erforderliche Krümmungsradius der Spiegel berechnet werden: = sin , = ( )( ) und = 1 cos Gl. 2.80

Abb. 2.22a zeigt die Strahlradien über dem Stabilitätsbereich des Resonators. Die Strahlradien auf den Spiegeln werden an den Rändern des Stabilitätsbereichs groß und nehmen in der Stabilitätsmitte ( = ) mit 1

= ( · )½ den kleinsten Wert an. Der Taillenradius 0 wird am unteren Stabilitätsrand groß und verschwindet bei Annäherung an den oberen Stabilitätsrand.

Im Folgenden soll die Empfindlichkeit dieses Resonators auf die Verkippung eines der Spiegel unter-sucht werden. Die Verkippung eines Spiegels ergibt eine veränderte optischen Achse (Anhang A8.1.9). Die Resonatorempfindlichkeit (engl.: sensitivity) ist definiert als die Verschiebung der optischen Ach-

55 Für den Gouy-Parameter ist die Ebene unerheblich, in der die Eigen-Parameter ausgewertet werden; für die

Rayleighlänge in diesem Fall auch, da es in dem Resonator nur eine Rayleighlänge gibt. Für den Parameter , den Abstand von der Strahltaille, ist die Lage der Referenzebene entscheidend. Ein negativer Wert bedeutet, dass die Strahltaille ab der Referenzebene in Propagationsrichtung liegt. Für den symmetrischen Resonator liegt sie wie aus Symmetriegründen zu erwarten in der Mitte des Resonators.


42

se relativ zum Strahlradius in einer Ebene und bezogen auf den Verkippungswinkel eines Spie-gels in einer (möglicherweise) anderen Ebene [1]:

, = Gl. 2.81

Über diese Größe kann also ausgewertet werden, wie empfindlich die Position der optischen Achse in einer Ebene, die bspw. einen gepumpten Laserkristall oder eine Blende enthält, auf die Verkippung der Spiegel des Resonators ist. Die Empfindlichkeiten des symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonators bei Verkippung eines Spiegels bezogen auf die Ebene dieses Spiegels, des gegenüberliegenden Spiegels und der Resonatormitte lauten:

, = = 1 2 , , = = 2

und , = = 2 Gl. 2.82

Die Resonatorempfindlichkeiten sind proportional zur Wurzel der Resonatorlänge und umgekehrt pro-portional zur Wurzel des Strahlparameterprodukts, außerdem abhängig von der Lage im Stabilitätsbe-reich. An den Stabilitätsrändern divergieren sie. Die Empfindlichkeiten sind in Abb. 2.22b über dem Stabilitätsbereich dargestellt.

Abb. 2.22: Modengröße und Empfindlichkeit eines symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonators. (a) Strahlradius in der Resonatormitte 0 und auf den Spiegeln 1, 2 über dem Stabilitätsbereich. (b) Resonatorempfindlichkeit bezogen auf den verkippten Spiegel 1,1, den gegenüberliegenden Spiegel 1,2 und die Resonatormitte 1,0 über dem Stabilitätsbereich.

Abb. 2.23: Schematische Darstellung eines Resonators mit Verkippung des Spiegels 1 um den Winkel 1. Die neue optische Achse (blau) ist in der Resonatormitte und auf dem gegenüberliegenden Spiegel um 0 und 2 verschoben. Sie stellt sich so ein, dass sie senkrecht auf den Spiegeloberflächen steht. Das Bild zeigt den Fall = .

(a) (b) /( / )½

1,1

1,0

1,2

/0

1

2

3

4

5

1

2

3

10,5 21,5

0 /10,5 21,5

0

1

2

3

0

/( · )½

1 = 2

0

2 0

12

2 2


43

Gouy-Phase im Resonator

In Kapitel 2.1 wurde die Gouy-Phase als absolutes Maß für Propagation eingeführt. Sie ist in Bezug auf eine Strahlkaustik definiert (Gl. 2.9), d.h. sie ist nicht fest mit der Propagationskoordinate verknüpft. Die in einem optischen System aufgesammelte Gouy-Phase hängt vom einfallenden -Parameter ab (Gl. 2.16). In einem Resonator ist die Situation verschieden. Hier ist ein -Parameter als Eigen- -Parameter ausgezeichnet. Damit ist eine feste Verknüpfung der Gouy-Phase mit der Propagationskoordinate hergestellt. Die Gouy-Phase, die bei einem Resonatorumlauf aufgesammelt wird, heißt Gouy-Parameter

des Resonators (Gl. 2.64).

Es ist möglich, die Strahltransfermatrix eines paraxialen stabilen Resonators allgemein als Funktion des Gouy-Parameters und des Eigen- -Parameters anzugeben:

= = cos( ) sin( ) ,, sin( ) , ,,sin( ) , cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 2.83

Die Parameter , , , und werden aus den Einträgen , , , der Strahltransfermatrix und mit = ( + )/2 richtig reproduziert (vgl. Gl. 2.62): = arccos( ), = , = 1 für 0 < < = arccos( ), = , = + 1 für < < 2

Gl. 2.84

Alternativ kann die Strahltransfermatrix als Funktion des inversen -Parameters geschrieben werden:

= = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,, Gl. 2.85

Auch hier werden die Parameter , , , und richtig reproduziert (vgl. Gl. 2.63): = arccos( ), = , = + 1 für 0 < < = arccos( ), = , = 1 für < < 2 Gl. 2.86

Wenn der Resonator nicht rotationssymmetrisch ist, können die Strahltransfermatrizen , für die transversalen Richtungen getrennt angegeben werden. So wie die Wirkung eines paraxialen optischen Systems vollständig durch die Transformation des -Parameters und die akkumulierte Gouy-Phase be-schrieben ist (vgl. Kapitel 2.1.1), ist ein stabiler Resonator vollständig durch seinen Eigen- -Parameter und seinen Gouy-Parameter bestimmt. Daher überrascht es nicht, dass die Strahltransfermatrix auch allgemein als Funktion dieser drei Eigen-Parameter angegeben werden kann. Die Strahltransfermatrix hat genau drei Freiheitsgrade bei vier Matrixeinträgen, da die Determinante der Matrix eins sein muss. Resonatoren mit gleichen Eigen-Parametern können sich stark unterscheiden; bspw. in der Resonator-länge oder dem Vorhandensein von bestimmten Strahlparametern (etwa eines kleines Fokus) an anderer Stelle im Resonator als der Ebene der Auswertung des Eigen- -Parameters. In vielerlei Hinsicht verhal-ten sie sich aber gleich, etwa dem Modenspektrum (Gl. 2.66) oder der Resonatorempfindlichkeit (s.u.).

Es ist möglich, dass ein Resonator in der Referenzebene gleiche Eigen- -Parameter in den transversalen Richtungen und trotzdem unterschiedliche Gouy-Parameter besitzt.56 Ein Resonator mit unterschiedli-chen Eigen- -Parametern in den transversalen Richtungen kann unterschiedliche oder auch identische Gouy-Parameter für diese Richtungen besitzen.

56 Das ist nicht nur dann möglich, wenn sich der Eigen- -Parameter an anderer Stelle im Resonator unterscheidet,

sondern kann auch durch eine ungerade Zahl von Spiegeln in einem Ringresonator bewirkt werden (Gl. 2.65).


44

2.2.2 Resonatorempfindlichkeit

Die allgemeine Darstellung eines paraxialen stabilen Resonators (Gl. 2.83 oder Gl. 2.85) kann bspw. benutzt werden, um die Empfindlichkeit eines Resonators gegen Störungen auszuwerten. Damit sind Änderungen der optischen Eigenschaften des Resonators gemeint, die beabsichtigt oder unbeabsichtigt sein können. Die einfachsten Formen einer Störung (im Folgenden elementare Störungen genannt) sind die Aufprägung einer Verkippung des Strahls um den Winkel 2 oder einer seitlichen Verschiebung , sowie die Aufprägung einer Brechkraft oder Einfügen eines longitudinalen Abstands im Resonator (Abb. 2.24). Oben wurde die Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung für einen symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonator bereits eingeführt (Gl. 2.82). Hier wird der Begriff auf andere Störungen erwei-tert und entsprechende Empfindlichkeiten definiert. Am Winkel der Verkippung des Strahls wird ein Faktor 2 angebracht, weil die Verkippung eines Spiegels um den Winkel eine Winkeländerung des reflektierten Strahls um 2 ergibt. So ist die Behandlung konsistent mit der üblichen Definition der Re-sonatorempfindlichkeit bezogen auf den Verkippungswinkel eines Spiegels.

Abb. 2.24: Elementare Störungen, die einem Strahl aufgeprägt werden können: (a) Verkippung und seitliche Ver-schiebung als Störungen der Strahlachse, (b) Brechkraft und longitudinale Verschiebung als Störung des -Para-meters. Der ungestörte Strahl ist rot und der Strahl mit aufgeprägter Störung blau gezeichnet.

Verkippung und seitliche Verschiebung ergeben eine veränderte optische Achse des Resonators; Brech-kraft und longitudinale Verschiebung ergeben veränderte Eigen-Parameter (Eigen- -Parameter und Gouy-Parameter ). Tatsächliche Störungen können aus mehreren dieser einfachsten Störungen zu-sammengesetzt sein, wie weiter unten diskutiert wird. Bspw. wird eine Störung in einem linearen Re-sonator ggf. doppelt aufgeprägt, auf dem Hin- und Rückweg durch den Resonator. Hier soll zunächst die Empfindlichkeit eines Resonators gegen diese einfachsten Störungen untersucht werden.

Die Empfindlichkeit von Resonatoren ist in verschiedenen Veröffentlichungen untersucht worden [1,43,46-52]. Während in diesen Arbeiten jeweils spezielle Resonatoren betrachtet wurden, soll das Problem hier allgemein für einen stabilen Resonator dargestellt werden. Darüber hinaus wird ein Bezug zur Empfindlichkeit gegen Störungen bei der freien Propagation hergestellt. Die Darstellung ist aller-dings beschränkt auf Resonatoren mit reellen Einträgen der Strahltransfermatrix, d.h. sie schließt Re-sonatoren aus, die eine weiche Blende enthalten (Spiegel mit räumlich variierender Reflektivität oder ein Verstärkungsmedium mit variierender Verstärkung).

Die Empfindlichkeit eines Resonators gegen Störungen ist eine wichtige Eigenschaft. Typischerweise sind kleine Empfindlichkeiten vorteilhaft, damit der Resonator unempfindlich ist gegen Dejustage oder Vibrationen von optischen Elementen oder thermisch induzierte Störungen. Bei einem Oszillator mit Kerrlinsen-Modenkoppeln (KLM) wird aber bspw. eine große Empfindlichkeit gegen die Kerrlinse be-nötigt, um eine Verlustmodulation zwecks Modenkopplung zu erreichen [53]. Es kann auch von Interes-se sein, in welchen Ebenen des Resonators sich eine Störung wie stark auswirkt, etwa um den Strahl in

(a) Störung der StrahlachseVerkippung 22

(b) Störung des -Parameters

seitliche Verschiebung

2 0

Brechkraft2 longitudinale Verschiebung

2

2


45

einer ausgezeichneten Ebene verschieben zu können und dabei die Veränderung der Resonatorachse insgesamt möglichst gering zu halten.

Definition der Empfindlichkeiten

Um die Empfindlichkeit zu quantifizieren, kann im Fall einer Störung der Strahlachse (Verkippung , seitliche Verschiebung ) die Empfindlichkeit definiert werden als die Verschiebung der Strahlachse

bezogen auf den Strahlradius und die Störung. Alternativ kann eine dimensionslose Empfindlich-keit benutzt werden, die allein die relative Verschiebung der Strahlachse angibt:

und bzw. = und = Gl. 2.87

Im Fall einer Störung des -Parameters (Brechkraft , longitudinale Verschiebung ) kann als Maß die Empfindlichkeit ² definiert werden als die relative Änderung des quadratischen Strahlradius, also als der Quotient aus dem quadratischen Strahlradius nach Aufprägung der Störung und dem ungestörten quadratischen Strahlradius ²:

und Gl. 2.88

Die Verschiebung der Strahlachse und der Strahlradius bzw. die (quadratischen) Strahlradien mit und ohne Störung sind jeweils in derselben Ebene auszuwerten; die Störung hingegen kann in einer anderen Ebene aufgeprägt werden. Die Empfindlichkeiten hängen also davon ab, in welcher Beziehung diese Ebenen zueinander stehen. Für jede Störung lässt sich (mindestens) eine Ebene angeben, in der = 0 bzw. = 1 ist. Außerdem gibt es jeweils (mindestens) eine Ebene, in der die Empfindlichkeiten ma-ximal sind (diese Ebene muss nicht innerhalb des Resonators liegen). Dieser maximale Wert bzw. 2 soll hier als absolutes Maß für die Empfindlichkeit angegeben werden. In Anhang A8.1.9 ist zu-sätzlich angegeben, wie die Empfindlichkeiten in der Ebene der Aufprägung der Störung lauten und wo die Ebenen mit maximaler und minimaler Empfindlichkeit liegen. Die Resonatorempfindlichkeiten können unabhängig von der transversalen Mode oder Form des Strahlprofils angegeben werden. Sie hängen aber ggf. vom Strahlparameterprodukt des Strahls ab.

Neben der (maximalen) Empfindlichkeit kann als absolutes Maß für die Auswirkung einer Störung der räumliche Überlapp des Feldes mit und ohne Störung angegeben werden. Dieser Überlapp ändert sich nicht bei Propagation und kann daher direkt in der Ebene der Störung ausgewertet werden.57 Die Be-rechnung des Überlapps setzt die Kenntnis der transversalen Mode voraus und ist für inkohärente Über-lagerungen nicht anwendbar. Hier soll der Überlapp für eine Grundmode angegeben werden.58 Im Fall einer Störung der Strahlachse kann der Überlapp zwischen zwei Grundmoden 0 angegeben werden, deren Strahlachsen um die Strecke gegeneinander verschoben und um den Winkel gegeneinander verkippt sind: , = | ( , 0) ( , ) | = exp ( )

mit ( , ) = exp exp exp( ) Gl. 2.89

Im Fall einer Störung des -Parameters kann der Überlapp zwischen zwei Grundmoden mit unterschied-lichen Strahlparamatern , bzw. , angegeben werden: = , , , , , , , , 2 = , ,, , , ,

mit ( , , ) = exp exp Gl. 2.90

57 Ein weiterer Vorteil des Überlapps als Maß für die Empfindlichkeit ist, dass er eine einfache Vergleichbarkeit

der Empfindlichkeit gegen eine Störung der Strahlachse und des -Parameters ermöglicht. 58 Die Empfindlichkeit für höhere transversale Moden wird weiter unten besprochen.


46

= , , , , , , , , 2 = , ,, , , ,

mit , , = exp exp Gl. 2.91

Im ersten Fall erfolgt die Integration 1-dimensional in -Richtung, da die -Richtung von der Verkip-pung/Verschiebung unbeeinflusst ist. Im zweiten Fall erfolgt die Integration 2-dimensional, d.h. für die Berechnung des Überlapps wird ein rotationssymmetrischer Strahl, eine rotationssymmetrische Störung und gleiche Wirkung in beiden transversalen Richtungen angenommen. Das muss nicht so sein; ggf. sind die transversalen Richtungen getrennt zu betrachten und jeweils die Wurzel des angegebenen Über-lapps zu nehmen.

Die Empfindlichkeit ist das entscheidende Maß, wenn es darum geht, in einer bestimmten Ebene ein Verstärkungsvolumen oder eine Blende zu treffen (oder ein Loch/einen Schlitz in einem Resonatorspie-gel auf die optische Achse zu legen, siehe Kapitel 3). In einem Überhöhungsresonator gibt der Überlapp zwischen einfallendem und zirkulierendem Feld an, wie stark die Überhöhung durch abweichende Strahlachse oder Strahlparameter reduziert ist. Eine Abweichung kann durch Dejustage des einfallenden Strahls oder des Resonators entstehen.

Empfindlichkeiten bei der freien Propagation

Bevor die Empfindlichkeit eines allgemeinen stabilen Resonators auf die elementaren Störungen unter-sucht wird, soll zunächst überlegt werden, wie diese Störungen auf einen Strahl bei freier Propagation wirken. Auch dafür können Empfindlichkeiten und Überlappe angegeben werden, die in Abgrenzung zur Resonatorempfindlichkeit mit dem Index für „freie Propagation“ gekennzeichnet sind. Die Über-lappe zwischen einer Grundmode mit und ohne Störung lassen sich leicht für die Verkippung um den Winkel 2 , eine seitliche Verschiebung um die Strecke , die Aufprägung einer Brechkraft und eine longitudinale Verschiebung um die Länge auswerten: = exp( ) = exp( ) mit = 2 2 = 2 = exp = exp( ) mit = = 1 1 + = 1 1 + mit = = = 1 1 + = 1 1 + mit =

Gl. 2.92

Dabei wurden normierte Störungen eingeführt, die die Störung auf eine Größe des Strahls beziehen.59 Der Überlapp bei Aufprägung einer Störung hängt jeweils nur von einer Größe des Strahls ab. Bei einer Verkippung ist das der Strahlradius auf dem verkippten Element (und das Strahlparameterprodukt, nicht aber der Krümmungsradius der Phasenfront oder des Spiegels), bei einer seitlichen Verschiebung der Taillenradius 0 (nicht aber der Strahlradius am Ort der Verschiebung), bei der Aufprägung einer Brechkraft der -Parameter, d.h. der Strahlradius = ( )½ (und das Strahlparameterprodukt, wiederum nicht der Krümmungsradius der Phasenfront oder des Spiegels) und bei einer longitudinalen Verschiebung nur die Rayleighlänge .60

59 Bei der Normierung ist nicht der Verkippungswinkel eines Spiegels sondern der Winkel 2 benutzt, um den

der Strahl dadurch verkippt wird. Das ist der Winkel, der unabhängig von der Ursache der Verkippung des Strahls relevant ist und bspw. mit der seitlichen Verschiebung h vergleichen werden kann. Die normierte Stö-rung kann auch betrachtet werden als Verkippungswinkel 2 bezogen auf den Fernfelddivergenzwinkel

= 1 , der für einen Strahlradius minimal möglich ist (nämlich wenn dort die Strahltaille liegt). 60 Die Strahltaille muss nicht im Propagations-Abschnitt (oder Resonatorabschnitt) vorkommen, in dem die seit-

liche Verschiebung aufgeprägt wird. Durch den -Parameter am Ort der Störung ist ein Taillenradius 0 = ( · )½ bestimmt, auf den die Verschiebung zu beziehen ist.


47

Die Überlappe sind ein absolutes Maß für die Empfindlichkeit gegen eine Störung. Die Empfindlichkei-ten bzw. ² enthalten zusätzlich Information darüber, in welcher Ebene sich eine Störung in Form einer Verschiebung der Strahlachse bzw. Veränderung des Strahlradius ausprägt. Die maximalen Emp-findlichkeiten eines Strahls bei der freien Propagation gegen die elementaren Störungen lauten:

, = 2 und , = bzw. , = , = 2 und , = , =

,, = 1 ± + ( ), = und ,, = 1 ± + ( ), = Gl. 2.93

Genau wie die Überlappe (Gl. 2.92) hängen die Empfindlichkeiten jeweils nur von einer Größe des Strahls ab und können als Funktion der normierten Störungen geschrieben werden.

Empfindlichkeiten des Resonators

Bei der freien Propagation ändern sich Winkel bzw. seitliche Position der Strahlachse einfach gemäß der Verkippung 2 bzw. seitlichen Verschiebung und die Krümmung der Phasenfront bzw. der Abstand von der Strahltaille gemäß der aufgeprägten Brechkraft bzw. der longitudinalen Ver-schiebung . Ein Resonator hingegen stellt sich auf eine Verkippung oder seitliche Verschiebung mit einer neuen optischen Achse ein, die gegenüber der ungestörten Achse jeweils verkippt und verschoben sein kann. Auf eine zusätzliche Brechkraft oder longitudinale Verschiebung (Längenänderung) reagiert er mit neuen Strahlparametern, d.h. es ändern sich jeweils Real- und Imaginärteil des Eigen- -Para-meters (oder inversen -Parameters), außerdem der Gouy-Parameter.

Die Änderung der optischen Achse des Resonators bzw. des Eigen- -Parameters durch die elementaren Störungen ist in Anhang A8.1.9 angegeben; hier werden sie zur Berechnung der Überlappe und der Resonatorempfindlichkeiten ausgewertet. Daneben ist die Änderung des Gouy-Parameters durch die Aufprägung einer Brechkraft oder longitudinale Verschiebung wichtig.61 Der Gouy-Parameter mit Stö-rung ist durch eine Tilde gekennzeichnet und lautet: cos = cos( ) sin( ) , = und cos = cos( ) sin( ) , = = signum( ) arccos cos( ) sin( ) = = cot( ) + ( )

Gl. 2.94

Dabei ist der -Parameter (Strahlradius = ( / )½) am Ort der aufgeprägten Brechkraft und die Rayleighlänge im Resonatorabschnitt, dessen Länge verändert wird. Die Änderung des Gouy-Parameters hängt nur von der normierten Störung ( oder ) und vom Gouy-Parameter ab. Die Nähe-rung durch die Entwicklung für kleine Störungen ist an den Stabilitätsrändern nicht sehr gut. Für eine positive/fokussierende Brechkraft ( > 0) wird der Gouy-Parameter größer, für eine negati-ve/defokussierende Brechkraft ( < 0) wird er kleiner. Für positives (Verlängerung des Resonators) wird der Gouy-Parameter größer, für negatives (Verkürzung des Resonators) wird er kleiner. In erster Näherung wird der Gouy-Parameter um die halbe normierte Störung verändert. An den Stabilitätsrän-dern kann sie beliebig groß werden; abhängig vom Vorzeichen der Störung passiert das am oberen oder unteren Stabilitätsrand. Eine fokussierende Brechkraft oder Verlängerung des Resonators ergibt eine starke Änderung am oberen Stabilitätsrand ( oder 2 ), während die Änderung am unteren Stabilitätsrand ( 0 oder ) verschwindet.62 Für eine defokussierende Brechkraft oder Verkür- 61 Bspw. bewirkt eine Änderung des Gouy-Parameters eine Verstimmung gegen eine Entartung von transversalen

Moden, die zur geometrischen Auskopplung aus Überhöhungsresonatoren ausgenutzt wird (siehe Kapitel 3). 62 Die Bezeichnungen „unterer“ und „oberer“ Stabilitätsrand beziehen sich hier nicht auf den Wert des Gouy-

Parameters am Stabilitätsrand, sondern darauf, aus welcher Richtung dieser (als Funktion des Gouy-Para-meters) erreicht wird. Da der Gouy-Parameter allgemein mit einer longitudinalen Verschiebung zunimmt, gilt das gleiche als Funktion der Länge eines Resonatorabschnitts. Es müssen aber nicht in jedem Resonator bei Variation einer beliebigen Länge die Stabilitätsränder mit = und = 2 erreicht werden.


48

zung des Resonators verhält es sich andersherum. Die Änderung des Gouy-Parameters durch eine Stö-rung ist in Abb. 2.25 dargestellt.

Abb. 2.25: Änderung des Gouy-Parameters bei Aufprägung einer Störung des -Parameters, bezogen auf den Betrag der Störung. Im Bild ist die normierte Störung = 0,1 (rot) und = 0,1 (orange).

Die Überlappe zwischen der Resonator-Grundmode mit und ohne Störung in einem Resonator mit Gouy-Parameter lauten: = exp ( ) = exp ( ) 1 ( ) = exp ( ) = exp ( ) 1 ( ) Gl. 2.95

= , ( ) , , ( ) , , ( ) = ( ) ( ) ( ) 1 ( )

= , ( ) , , ( ) , , ( ) = ( ) ( ) ( ) 1 ( )

Die Näherungen durch die Entwicklungen für kleine Störungen sind wiederum an den Stabilitätsrandern nicht sehr gut; sie werden hier nur für einen Vergleich zwischen freier Propagation und Resonatoren eingeführt. Die Überlappe hängen jeweils nur von der normierten Störung und vom Gouy-Parameter ab. An den Stabilitätsrändern mit = 0, 2 ist der Resonator besonders empfindlich gegen Verkippung und Verschiebung, während die Empfindlichkeit für = am kleinsten ist. Der Überlapp hängt dabei nicht vom Vorzeichen der Störung ab. Gegen eine Brechkraft und longitudinale Verschiebung ist der Resonator auch für = empfindlich. Für diese Störungen kommt es außerdem auf das Vorzeichen der Störung an. Eine Störung wirkt sich dort besonders stark aus, wo sie den Resonator in Richtung des Stabilitätsrands schiebt (Gl. 2.94); für eine positive Störung (fokussierende Brechkraft, Verlängerung des Resonators) ist das der obere Stabilitätsrand ( oder 2 ), für eine negative der untere Stabilitätsrand ( 0 oder ). Dies wird in der Näherung des Überlapps , in Gl. 2.95 durch die Verschiebung des Gouy-Parameters um die halbe Störung beschrieben. Der Überlapp für eine Störung der Strahlachse und für eine Störung des -Parameters ist als Funktion des Gouy-Parameters in Abb. 2.26a dargestellt.

/| |0

20 3 /2/2

1

0,5

-1

-0,5


49

Abb. 2.26: (a) Überlapp (für Grundmode) als Maß für die Empfindlichkeit eines Resonators gegen elementare Störungen: Störung der Strahlachse = ±0,1 (blau), Störung des -Parameters = 0,1 (rot) und = 0,1 (orange). (b) Maximale Resonatorempfindlichkeit , 2 gegen elementare Störungen: Störung der Strahlachse = ±0,1 (blau, rechte Achse), Störung des -Parameters = 0,1 (rot, linke Achse) und = 0,1 (orange). Zum Vergleich sind jeweiliger Überlapp und maximale Empfindlichkeiten für die freie Propagation für die gleichen normierten Störungen als gestrichelte Linie eingezeichnet.

Die maximalen Resonatorempfindlichkeiten eines Resonators mit Gouy-Parameter gegen die ele-mentaren Störungen lauten:

, = ( ) und , = ( )

bzw. , = ( ) und , = ( )

Gl. 2.96

, = ( )( ) ± und , = ( )( ) ±

Auch die maximalen Resonatorempfindlichkeiten hängen nur vom Gouy-Parameter und von jeweils einer Größe des Strahls ab und können als Funktion der normieren Störungen geschrieben werden. Für die Resonatorempfindlichkeiten gegen Störung der Strahlachse ist wieder das Vorzeichen der Störung wichtig. Die maximalen Resonatorempfindlichkeiten sind als Funktion des Gouy-Parameters dargestellt in Abb. 2.26b.

Die Überlappe und maximalen Empfindlichkeit im Resonator können mit den Größen bei der freien Propagation verglichen werden. Die Resonatorempfindlichkeit gegen Störungen der Strahlachse ist für = nur halb so groß wie die Empfindlichkeit bei der freien Propagation. Der Resonator wirkt hier gewissermaßen stabilisierend auf die Strahlachse. Da die Resonatorempfindlichkeiten bei Annäherung an die Stabilitätsränder = 0 und = 2 divergieren, werden sie beliebig viel größer als die Empfind-lichkeit bei der freien Propagation (die unabhängig von einem Gouy-Parameter ist). Gegen Störungen des -Parameters ist der Resonator nur halb so empfindlich wie die freie Propagation bei Gouy-Para-meter = /2 und = 3 /2. Die Bereiche, für die die Resonatorempfindlichkeit kleiner ist als die Empfindlichkeit bei der freien Propagation, lauten: > und , < , für < < > und , ,, < 1 für und

Gl. 2.97

Die Intervallgrenzen für den Fall einer Störung des -Parameters sind in erster Näherung um – /2 ver-schoben. Die Überlappe und maximalen Empfindlichkeiten gegen die elementaren Störungen für die freie Propagation und für einen stabilen Resonator sind zusammengefasst in Tab. 1 und Tab. 2.

20 3 /2/20,90

1,00

0,95

2

1

20 3 /2/2

-1

1

0

2

3

0

(a) (b)


50

Tab. 1: Zusammenfassung der Überlappe zwischen Grundmoden mit und ohne Störung für verschiedene ele-mentare Störungen bei der freien Propagation und in einem stabilen Resonator mit Gouy-Parameter .

Störung normierte Störung Überlapp freie Propagation Überlapp Resonator

Verkippung 2 = 2 = exp( ) = exp ( )

seitliche Verschiebung = = exp( ) = exp ( )

Brechkraft = = 1 1 + = ( ) ( ) ( ) longitudinale Verschiebung = = 1 1 + 14 = ( ) ( ) ( )

Tab. 2: Zusammenfassung der maximalen Empfindlichkeiten bzw. ² gegen verschiedene elementare Störungen bei der freien Propagation und in einem stabilen Resonator mit Gouy-Parameter .

Störung normierte Störung Empfindlichkeit freie Propagation Resonatorempfindlichkeit

Verkippung 2 = 2 , = , = ( )

seitliche Verschiebung = , = , = ( )

Brechkraft = ,, 1 ± , = ( )( ) ±

longitudinale Verschiebung = ,, 1 ± , = ( )( ) ±

Verknüpfung der Störungen über Abbildung des Winkelraums

Überlapp und Empfindlichkeiten haben als Funktion der normierten Störungen für die Störungen der Strahlachse und die Störungen des -Parameters jeweils die gleiche Form; sowohl bei der freien Propa-gation als auch im Resonator. Das liegt daran, dass eine Verkippung und seitliche Verschiebung sowie eine Brechkraft und longitudinale Verschiebung jeweils durch eine Transformation in den Winkelraum (Strahltransfermatrix ) miteinander verknüpft sind (vgl. Gl. 2.39). In gleicher Weise werden die Größen des Strahls transformiert, auf die diese Störungen jeweils zu beziehen sind. Die normierten Stö-rungen werden dabei ineinander transformiert (Größen nach Transformation in den Winkelraum sind mit einem Strich gekennzeichnet): = und = = =

= und = = = mit = 01 0 Gl. 2.98

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 2.27a veranschaulicht.

Die normierten Störungen können (im Fall einer Grundmode) auch betrachtet werden als Maß für das Phasenprofil, das die Störung dem Strahl am Ort eines unveränderten Strahlradius aufprägt. Die Pha-sendifferenz zwischen der Phase auf der Strahlachse und im Abstand des Strahlradius ist im Fall einer Verkippung durch die doppelte normierte Störung gegeben, im Fall der Aufprägung einer Brech-kraft durch die normierte Störung (siehe Abb. 2.27b):


51

Abb. 2.27: (a) Zur Verknüpfung von Störungen und Strahlparametern durch eine Transformation in den Winkel-raum. Eine Verkippung ergibt eine seitliche Verschiebung und der Strahlradius einen Taillenradius 0, der nicht in der Bildebene liegen muss (oben). Eine Krümmung der Phasenfront ergibt eine Verschiebung der Taillenebene und der Strahlradius eine Rayleighlänge (unten). (b) Zur Bedeutung der normierten Störung. Eine Verkippung oder Brechkraft bedeutet die Aufprägung eines linearen (oben) oder quadratischen (unten) Pha-senprofils ( ). Die Differenz zwischen Phase auf der Strahlachse und im Abstand des Strahlradius ist dabei durch die (doppelte) normierte Verkippung 2 oder die normierte Brechkraft gegeben. Das Intensitätsprofil einer Grundmode ist grau gestrichelt hinterlegt. Verkippung: ( ) = , = ( ) = = 2 = 2 , mit dem Winkel = 2

Aufprägung Brechkraft: ( ) = , = ( ) = = = = =

mit der Krümmung der Phasenfront =

Gl. 2.99

Eine Störung der Strahlachse wird in erster Näherung beschrieben durch eine Kopplung an die , -Mode, eine Störung des -Parameters durch eine Kopplung an die , -Mode (Störung in einer trans-versalen Richtung) bzw. -Mode (Störung und Strahl rotationssymmetrisch). Die Kopplungskoeffi-zienten sind durch die normierten Störungen bestimmt und in Anhang A8.1.9 angegeben.

Empfindlichkeiten für höhere transversale Moden

Es soll noch die Empfindlichkeit für höhere transversale Moden besprochen werden. Dabei werden im Folgenden die Empfindlichkeiten und der Überlapp bei der freien Propagation benutzt. Die Ergebnisse gelten aber genauso für den Resonator; dazu müssen nur die Faktoren mit dem Gouy-Parameter ein-gefügt werden. Nach Gl. 2.93 lautet die maximale Empfindlichkeit gegen Verkippung , = 2 / . Dieses Ergebnis gilt unabhängig von der transversalen Mode. Da höhere transversale Moden ein größe-res Strahlparameterprodukt haben (Gl. 2.28), ist diese Empfindlichkeit bei gleichem Strahlradius tatsächlich kleiner, d.h. die maximale Verschiebung ist bezogen auf den Strahlradius kleiner. Aufgrund des strukturierten Strahlprofils der höheren transversalen Moden ergibt eine kleinere relative Verschie-bung aber einen stärkeren Abfall des Überlapps. Der Überlapp bei Störung der Strahlachse in -Richt-ung für eine Gauß-Hermite-Mode , mit Modenordnung in -Richtung lautet: 1 (1 + 2 ) ß Gl. 2.100

Hierbei bezeichnet ß den Strahlradius des eingebetteten Gaußschen Strahls (Strahlradius eines Gaußschen Strahls mit gleichem -Parameter, ggf. der Grundmode im Resonator). Der Überlapp als

( )

( )Abbildung des Winkelraums

22

(a) (b)Abbildung des Winkelraums

2 2 0


52

Funktion des Winkels folgt keiner einfachen Gauß-Funktion sondern weist (symmetrisch in ) ab-hängig von der Modenordnung mehrere Maxima auf. Hier ist nur das Verhalten für kleine Störungen angegeben. Der Überlapp als Funktion der normierten Störung lautet: 1 (1 + 2 ) ß = 1 (1 + 2 )

mit = 2 , = ß 1 + 2 , = (1 + 2 ) Gl. 2.101

Der Überlapp einer Gauß-Hermite-Mode bei Störung des -Parameters lautet: 1 (1 + + ) ß 2 = 1 (1 + + )

mit = = 2 , = ß 1 + 2 , = (1 + 2 ) Gl. 2.102

Für die Berechnung des Überlapps wurde hier nur in einer transversalen Richtung integriert (anders als in Gl. 2.90). Daher ist der Vorfaktor in der Entwicklung mit 1/8 für die Grundmode nur halb so groß wie in Gl. 2.92.

Eine Gauß-Hermite-Mode mit Modenordnung in einem Resonator (mit festem -Parameter) erfährt die gleiche Reduzierung des Überlapps durch eine Störung wie die Grundmode bereits bei einem um den Faktor (1 + 2 )½ kleineren Verkippungswinkel oder bei einer um den Faktor (1 + +

2)½ kleineren Brechkraft (oder Längenänderung ).63

Diskussion der Resonatorstabilität

Das Verhalten der Resonatorempfindlichkeiten als Funktion des Gouy-Parameters kann verstanden werden über die Entartung von transversalen Moden, die für bestimmte Gouy-Parameter auftritt (vgl. Gl. 2.66). An den Stabilitätsrändern mit = 0 und = 2 sind alle transversalen Moden entartet; bei Annäherung an diese Stabilitätsränder wird die bei einem Resonatorumlauf aufgesammelte Phasendiffe-renz zwischen den transversalen Moden zunehmend kleiner. Eine Störung der Strahlachse kann als Kopplung der Grundmode an die Mode , betrachtet werden. Diese Kopplung ist bei Annäherung an den Stabilitätsrand zunehmend resonant; bei Erreichen des Stabilitätsrands64 sind die transversalen Mo-den vollständig entartet und eine optische Achse schon bei beliebig kleiner Störung nicht mehr definiert. Für einen Gouy-Parameter = sind die transversalen Moden in zwei Gruppen mit gerader und unge-rader Modenordnung entartet. Eine Kopplung der Grundmode an , ist dann gerade anti-resonant (Phasendifferenz nach einem Umlauf), was die gegenüber der freien Propagation kleinere Empfind-lichkeit erklärt. Eine Störung des -Parameters kann als Kopplung der Grundmode an die Mode , (bzw. im rotationssymmetrischen Fall) beschrieben werden. Diese Kopplung ist resonant auch bei = ; sie ist anti-resonant bei = /2 und 3 /2 und ergibt dort eine gegenüber der freien Propagati-on reduzierte Empfindlichkeit. Bei diesen Gouy-Parametern ist allerdings eine Kopplung an , (bzw.

) resonant, die bspw. durch sphärische Aberrationen bewirkt wird. Allgemein müssen daher ggf. Gouy-Parameter vermieden werden, für die Entartungen von transversalen Moden auftreten, um unemp-findlich gegen entsprechende Aberrationen zu sein [54].

Tatsächliche Störungen in einem Resonator können aus elementaren Störungen zusammengesetzt sein. In einem linearen Resonator werden Störungen, die nicht auf einem Endspiegel aufgeprägt werden, bei einem Resonatorumlauf zweimal aufgeprägt.65 Für den symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonator bedeu-

63 Für die in Kapitel 3 eingeführte Schlitzmode (Linearkombination aus 0,0 und 4,0) ist der Überlapp bei

Störung der Strahlachse 1 – ² ² ß ², der Faktor beträgt also 2,6. Der Überlapp bei Störung des -Parameters ist 1 – /121·1/8· ²·( ² ß/2)², der Faktor beträgt also 4,4.

64 Wirklich erreicht werden kann = 2 nur in einem entsprechenden abbildenden Resonator. Bei Annäherung an einen Stabilitätsrand (mit = 2 ) divergiert der Strahlradius.

65 Die Verschiebung eines Spiegels ergibt auch in einem Ringresonator oder beim Endspiegel eines linearen Resonators zwei Längenänderung, jeweils in den Resonatorabschnitten vor und hinter dem Spiegel, die im Fall


53

tet dies, dass die Empfindlichkeit gegen eine Längenänderung (oder die Aufprägung einer Brechkraft in der Mitte des Resonators) durch den Gouy-Parameter für einen halben Umlauf beschrieben wird. Daher ist der Resonator für = ( = /2 für einen halben Umlauf) stabil gegen diese Störungen des

-Parameters. Diese Symmetrie des Resonators erlaubt überhaupt, dass = keinen Stabilitätsrand mit divergierendem Strahlradius und Empfindlichkeiten darstellt. Dies gilt allerdings nur, solange die Symmetrie gewahrt bleibt. Wenn die Krümmungsradien der Spiegel nicht gleich sind, stellt = einen Stabilitätsrand mit großer Empfindlichkeit gegen eine Längenänderung dar. Gleiches gilt für die Auf-prägung einer Brechkraft außerhalb der Symmetrieebene (bspw. auf nur einem der Spiegel). Dies kann abgelesen werden am -Parameter-Diagramm Abb. 2.21b. Der symmetrisch konfokale Resonator mit 1 = 2 = 0 und = stellt einen speziellen Punkt im Diagramm dar, der nur bei Bewegung entlang der Diagonalen für symmetrische Resonatoren mittig im Stabilitätsbereich liegt. Jede Abweichung, die die Symmetrie verletzt, bringt den Resonator in den instabilen Bereich. Hingegen liegen Resonatoren mit einem Gouy-Parameter = /2 oder = 3 /2 mittig in den stabilen Bereichen.

Thermische Linsen

Störungen können an mehreren Ebenen im Resonator gleichzeitig auftreten. Im Fall einer thermischen Linsenwirkung durch Absorption in den Beschichtungen der Spiegel ist bspw. mit einer Linsenwirkung in allen Spiegeln zu rechnen. Solche Effekte spielen in Resonatoren mit großen zirkulierenden Leistun-gen eine Rolle, bspw. Gravitationswellendetektoren [55] oder Überhöhungsresonatoren für nichtlineare Konversionsprozesse [57,57]. Aus der dargestellten Analyse geht hervor, dass sich die Wirkung von gleichartig fokussierenden oder defokussierenden Brechkräften auf den Gouy-Parameter akkumuliert (unabhängig von der Position der Linsen). Eine Kompensation der Wirkung ist aber dann möglich, wenn thermisch fokussierende und defokussierende Elemente kombiniert werden, wie in [57] beschrie-ben. Außerdem kann eine Kompensation aktiv durch eine longitudinale Verschiebung (auch bei fester Resonatorlänge) erfolgen.

Die normierte Störung, d.h. die Stärke der Defokussierung durch die thermische Linse in einem Spie-gel kann folgendermaßen über die Ausdehnung des Spiegels auf der Strahlachse abgeschätzt werden [55] (Abb. 2.28a, Anhang A8.1.10):66 = 2 = Gl. 2.103

Dabei sind und der thermische Ausdehnungskoeffizient und die Wärmeleitfähigkeit des Substrat-materials; ist die in der Spiegelbeschichtung absorbierte Leistung; ist die Wellenzahl.67 Die Stö-rung ist also (in dieser Näherung) unabhängig vom Strahlradius auf dem Spiegel. Dies gilt für ein run-des Strahlprofil. Durch ein elliptisches Strahlprofil auf dem Spiegel kann die normierte Störung um das Aspektverhältnis des Profils reduziert werden (Abb. 2.28b): = 2 = = Gl. 2.104

Die thermische Linse geht mit Aberrationen einher, die zu einer Kopplung an höhere transversale Mo-den führen und (insbesondere für einen Resonator nah am Stabilitätsrand) das zirkulierende Strahlprofil

eines gekrümmten Spiegels (möglicherweise) andere Rayleighlängen besitzen. (Im Fall eines Faltungsspiegels in einem linearen Resonator ergeben sich vier Längenänderungen.)

66 Die Herleitung nimmt ein über dem Strahlquerschnitt homogenes Heizprofil an und macht Abschätzungen für die Wärmeleitung und thermische Ausdehnung. FEM-Simulationen der thermischen Ausdehnung [56] ergeben für Quarzglas und ein Gauß-förmiges Profil einen Vorfaktor von 0,1 statt 1/(2 ) = 0,16.

67 Durch die Wahl von ULE (ultra-low expansion glass) statt Quarzglas als Substratmaterial kann die Linsenwir-kung aufgrund des kleineren thermischen Ausdehnungskoeffizienten um eine Größenordnung reduziert werden [56].


54

deformieren können [56,58]. Die Aberrationen sind proportional zur Stärke der thermischen Linse und können daher vermutlich ebenfalls durch ein elliptisches Strahlprofil reduziert werden.68

Abb. 2.28: (a) Zur thermische Linse durch Absorption in der Spiegelbeschichtung. Auf der Spiegeloberfläche wird eine Leistung über dem Strahlquerschnitt 2 absorbiert. Die Wärme diffundiert in das Substrat, wobei die Umgebungstemperatur näherungsweise auf einer Halbkugelfläche mit Radius erreicht wird (blau). Thermi-sche Ausdehnung führt zu einer (näherungsweise sphärischen) Verbiegung des Spiegels mit einer Ausdehnung auf der Strahlachse (grün). (b) Rundes und elliptisches Strahlprofil auf einem Spiegel. Das Aspektverhältnis ( / = 4 im Bild) erlaubt die Reduzierung der Stärke der thermischen Linse und deren Aberrationen. Die Stärke der thermischen Linse hängt (für ein rundes Profil) nicht vom Strahlradius ab. Die in Gl. 2.95 und Gl. 2.96 definierte Resonatorempfindlichkeit gegen Aufprägung einer Brechkraft gilt aber für eine Störung mit fester Brechkraft . Diese Brechkraft kann zwar auf den (quadratischen) Strahlradius des ungestörten Resonators normiert werden, diese Normierung folgt aber nicht dem durch die Störung ge-änderten Strahlradius (mit = ). Eine auf den gestörten Strahlradius normierte Störung = ist aber im Fall einer thermischen Linse die richtige Beschreibung. Diese Situation wird in Kapitel 4 im Zusammenhang mit einer Kerrlinse betrachtet. Das Ergebnis sei hier der Vollständigkeit halber angegeben. Der Gouy-Parameter mit Störung lautet:

= signum( ) arccos cos( ) sin( ) 1 + sin ( ) = = + cot( ) + ( ) Gl. 2.105

Wie in Gl. 2.94 ist die Änderung des Gouy-Parameters in erster Näherung durch die halbe Störung ge-geben. An den Stabilitätsrändern (wo die Änderung des Strahlradius durch die Störung groß ist) gibt es aber einen Unterschied. Während die Änderung des Gouy-Parameters bei einer festen Brechkraft für positive (negative) Brechkraft am unteren (oberen) Stabilitätsrand verschwindet und bei Annäherung an den oberen (unteren) Stabilitätsrand beliebig groß wird (Abb. 2.25), verschwindet die Änderung bei einer festen normierten Brechkraft am oberen (unteren) Stabilitätsrand und nimmt am unteren (oberen) Stabilitätsrand den Wert der vollen Störung an; es entsteht also keine Stabilitätslücke mehr am oberen (unteren) Stabilitätsrand. Eine thermische Linse (deren Stärke dem Strahlradius folgt) kann einen Re-sonator nicht aus dem Stabilitätsbereich schieben,69 während eine Linse mit fester Brennweite das kann. Die maximale Änderung des quadratischen Strahlradius lautet:

68 Eine Vergrößerung des Strahlradius in -Richtung um einen Faktor erlaubt (bei festem Strahlquerschnitt)

eine Reduzierung des Strahlradius in -Richtung um denselben Faktor. Die Linsenwirkung und die Aberratio-nen sind dann um das Aspektverhältnis 2 reduziert. Dadurch wird in -Richtung immer noch ein Faktor ge-wonnen, wenn der Resonator um den Faktor näher am Stabilitätsrand liegen muss, um den größeren Strahl-radius zu erreichen (in -Richtung mit dem gleichen Argument sogar ein Faktor 3). In erster Näherung stellt eine Gauß-Hermite-Mode höherer Ordnung oder eine Schlitzmode (Kapitel 3) ein elliptisches Strahlprofil dar, das eine reduzierte Linsenwirkung ergibt, ohne dass dazu der Abstand zum Stabilitätsrand verändert werden muss. Aufgrund des strukturierten Strahlprofils ist allerdings mit stärkeren relativen Aberrationen zu rechnen.

69 Die thermische Linse kann den Resonator aber beliebig nah an den Stabilitätsrand schieben, so dass der Strahl-radius der Eigenmode nicht mehr auf die Resonatorspiegel passt.

2

(a) (b)


55

, = (1 + cos( )) sin( ) + 1 + (1 cos( )) ±

mit = ( ) ( ) Gl. 2.106

Dabei ist die Änderung des quadratischen Strahlradius am Ort der thermischen Linse. Der Überlapp der Mode mit und ohne thermische Linse ist: = = 1 ( ) + ( ) Gl. 2.107

Im Unterschied zu Gl. 2.96 ist dieser Überlapp symmetrisch bzgl. des Gouy-Parameters.

Resonator mit großen Strahlquerschnitten

Die Empfindlichkeit des symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonators kann als Funktion des Strahlradius angegeben werden (mit Gl. 2.79 und Gl. 2.96):

, = ( ) = mit = ( ) Gl. 2.108

Die Resonatorempfindlichkeit ist also proportional zur dritten Potenz des Strahlradius und umgekehrt proportional zur Resonatorlänge .70 Wenn ein großer Strahlradius erforderlich ist, um bspw. eine Zer-störschwelle der Spiegel nicht zu überschreiten, geht das mit einer größeren Empfindlichkeit einher. Eine größere Resonatorlänge kann die Empfindlichkeit zwar verringern, bedeutet aber auch eine größere Anforderung an die mechanische Stabilität und ist typischerweise aus praktischen Gründen begrenzt.

Um einen Resonator mit möglichst großen Strahlquerschnitten zu realisieren, ist der symmetrische Zwei-Spiegel-Resonator nicht gut geeignet, da für ihn große Strahlradien an den Stabilitätsrändern mit divergierender Empfindlichkeit gegen Verkippung erreicht werden ( = 0 und = 2 ). Aus diesem Grund ist ein Resonator mit Stabilitätsrand = zu bevorzugen.71,72 Es bleiben dann folgende Schwie-rigkeiten: Erstens führen für einen Ringresonator die Einfallswinkel auf den gekrümmten Spiegeln und daraus resultierenden effektiven Krümmungsradien73 zu einer relativen Verschiebung der Stabilitätsbe-reiche für die beiden transversalen Richtungen und damit zu einer elliptischen Mode.74 Dies kann durch eine geschickte Kombination der optischen Elemente, durch toroidale oder zylindrische Resonatorspie-gel reduziert werden [51]. Zweitens wird bei Annäherung an den Stabilitätsrand die Resonatorempfind-lichkeit gegen eine Störung des -Parameters groß. Dies betrifft bspw. eine Änderung der Eigen-Parameter durch thermische Linsenwirkung mit steigender Leistung im Resonator. Diese Änderung kann ggf. kompensiert werden. Drittens wirken sich Aberrationen im Resonator bei Annäherung an den

70 Dies gilt unabhängig von der Lage im Stabilitätsbereich, also unabhängig davon, ob ein großer Strahlradius

durch Annäherung an den oberen oder unteren Stabilitätsrand eingestellt wird. 71 Dann ist die Resonatorempfindlichkeit gegen Störung der Strahlachse klein. Sie ist sogar nur halb so groß wie

die Empfindlichkeit bei der freien Propagation, also bspw. die Empfindlichkeit gegen Verkippung eines Spie-gels vor dem Resonator, der einen einfallenden Strahl (mit gleichem Strahlradius wie auf den Resonator-spiegeln) auf die optische Achse des Resonators justiert.

72 Es sei angemerkt, dass durch eine ungerade Anzahl von Spiegeln in einem Ringresonator die Art des Stabili-tätsrands in tangentialer Richtung geändert werden kann, von = auf = 2 oder andersherum. Das ändert die Empfindlichkeit gegen Störung der Strahlachse in dieser Richtung. Die sagittale Richtung ist davon unbe-einflusst.

73 Effektive Krümmungsradien = cos( ) und = /cos( ) in tangentialer und sagittaler Richtung, mit dem Einfallswinkel zur Oberflächennormalen.

74 Ein stark elliptisches Strahlprofil kann für die Anwendung unerwünscht und für die Spiegelabmessungen un-passend sein. Insbesondere bedeutet die Verschiebung der Stabilitätsbereiche aber, dass der Resonator in einer transversalen Richtung näher am Stabilitätsrand liegt (mit der entsprechend größeren Empfindlichkeit), als für einen bestimmten Strahlquerschnitt eigentlich erforderlich.


56

Stabilitätsrand zunehmend stärker aus, da die Kopplung an die transversalen Moden zunehmend reso-nant ist. Aberrationen können bspw. auch durch die thermische Linsenwirkung entstehen. Alle drei Punkte bevorzugen einen Resonator mit einem nicht zu kleinen Abstand zum Stabilitätsrand. Wie klein dieser Abstand sein darf, hängt von der Stärke der (nicht kompensierten) Störung und der Aberrationen ab. Im Folgenden soll dargelegt werden, dass der Abstand zum Stabilitätsrand allgemein mit dem Strahl-radius der Eigenmode verknüpft ist.

Bei Annäherung an den Stabilitätsrand divergieren die Strahlradien auf allen gekrümmten Spiegeln und die Taillenradien in den Abschnitten dazwischen divergieren entweder auch oder werden beliebig klein. Im ersten Fall wird in dem Abschnitt eine Gouy-Phase 0 aufgesammelt (kollimierter Abschnitt), im zweiten Fall eine Gouy-Phase von (fokussierter Abschnitt). Der Gouy-Parameter ist die Summe der in den Abschnitten aufgesammelten Gouy-Phasen. Es soll angenommen werden, dass die Strahltail-len in der Mitte der Abschnitte liegen, die Strahlradien auf den gekrümmten Spiegeln also gleich groß sind.75 Es sei die Gouy-Phase, die in einem Abschnitt mit Länge aufgesammelt wird, und die (kleine) Differenz der Gouy-Phase zu 0 oder . Dann gilt: = sin( ) für = oder = (kollimiert / fokussiert) Gl. 2.109

Für gleiche Strahlradien auf den gekrümmten Spiegeln ist für einen Abschnitt also proportional zur Länge des Abschnitts und unabhängig davon, ob es sich um einen kollimierten oder fokussierten Ab-schnitt handelt. Im einfachsten Fall besteht der Resonator aus zwei Abschnitten.76 Um einen Gouy-Para-meter zu erhalten, muss ein Abschnitt fokussiert, der andere kollimiert sein: = + = ( ) + = + + und + = Gl. 2.110

Um einen möglichst großen Abstand zum Stabilitätsrand = zu erreichen, muss eine Länge deutlich größer als die andere sein. Das ist dann der kollimierte Abschnitt. Der Gouy-Parameter und der quadratische Strahlradius lauten damit: = + + mit , Gl. 2.111

Da der längere Abschnitt kollimiert ist, kann er mit Planspiegeln gefaltet werden, ohne dass dadurch nennenswert kleinere Strahlradien auf Spiegeln auftreten. Es können dem Resonator weitere kollimierte Abschnitte hinzugefügt werden, was aber kein günstigeres Verhältnis von 2 und erlaubt: = + = ( ) + + ( ) mit + = Gl. 2.112

Weitere fokussierte Abschnitte können nur paarweise eingefügt werden, um beim gegenüber Störungen der Strahlachse unempfindlichen Stabilitätsrand ( ) zu bleiben. Das ergibt zwei weitere Terme = , welche die für den Strahlradius wirksame Länge (bei fester Gesamtlänge) nur weiter redu-zieren. Zusammenfassend ist der Strahlquerschnitt 2 in einem stabilen Resonator begrenzt durch die Resonatorlänge und den Abstand zum Stabilitätsrand , der mit (nicht kompensierbaren) Störungen und Aberrationen vereinbar ist.77

75 Durch unsymmetrische Anordnungen lassen sich größere Strahlradien bei gleicher Resonatorlänge und Gouy-

Parameter erreichen, aber auf Kosten von kleineren Strahlradien auf anderen Spiegeln. Wenn die Strahlradien auf allen Spiegeln groß sein sollen, ist diese Forderung daher sinnvoll.

76 Das ist der symmetrische Bow-tie-Resonator mit zwei Fokussierspiegeln mit gleichem Krümmungsradius und einem langen und einem kurzen Arm. Die Bedingung, dass ein Abschnitt deutlich länger sein soll als der ande-re, bedeutet dass die Länge deutlich größer als der Krümmungsradius sein muss. Für gleich lange Arme ergibt sich der symmetrische Zwei-Spiegel-Resonator, für den die Strahlradien bei = nicht divergieren.

77 Aus diesem Grund werden im Fall von aktiven Resonatoren für große Strahlquerschnitte auch instabile Re-sonatoren gewählt, die für einen passiven Resonator aber aufgrund der großen Beugungsverluste nicht in Frage kommen.


57

2.2.3 Überhöhungsresonatoren

Ein passiver paraxialer stabiler Resonator kann vielfältigen Zwecken dienen. Er besitzt longitudinale und transversale Moden mit entsprechenden Eigenfrequenzen (Gl. 2.66) und kann daher als Frequenzfil-ter oder (für schmalbandige Strahlung) als räumlicher Filter (Moden-Filter) dienen. Strahlung mit der passenden Frequenz ist im Resonator in ihrer Leistung überhöht. Diese Überhöhung ist für viele An-wendungen der Zweck des Resonators, und der Begriff Überhöhungsresonator (engl.: enhancement resonator) wird insbesondere in diesem Zusammenhang verwendet. Sie tritt aber in allen (resonanten) passiven Resonatoren auf. In diesem Abschnitt sollen die Grundlagen der Überhöhung besprochen wer-den. Abb. 2.29 stellt verschiedene Typen von passiven Resonatoren zusammen.

Abb. 2.29: Verschiedene Typen von passiven Resonatoren. (a) Referenz-Resonator, der über seine Länge eine Frequenz definiert, auf die ein cw-Strahl stabilisiert werden kann. Dazu wird eine möglichst kleine Frequenzbreite der Resonanz benötigt, die durch eine große Finesse erreicht wird (die damit einhergehende Überhöhung kann sogar nachteilig sein, weil sie die einfallende Leistung auf sehr kleine Werte limitiert, um thermische Effekte im Resonator zu vermeiden). (b) Etalon, d.h. ein Frequenzfilter aus zwei planen Spiegeln in kleinem Abstand. Ein Etalon bildet keinen stabilen Resonator. (c) Moden-Filter (auch mode-cleaner) zur Verbesserung des transversalen Modenprofils eines cw-Laserstrahls, wie er bspw. für Gravitationswellendetektoren eingesetzt wird [59]. (d) Über-höhungsresonator in Bow-tie-Geometrie, d.h. mit zwei (oder mehr) Planspiegeln und zwei Fokussierspiegeln, die einen Resonator-internen Fokus ergeben, der zu Resonator-unterstützten Konversionsprozessen dienen kann. Die Überhöhung hilft, die zur Konversion erforderliche Intensität zu erreichen, und verbessert die Konversionseffizi-enz. (Alle PR-Spiegel sind typischerweise rückseitig AR-beschichtet.)

Der Begriff Etalon wird für verschiedene Effekte verwendet, in denen die Reflexion an optischen Flä-chen zu räumlichen oder spektralen Interferenzen führt. Insbesondere ist damit aber ein spektraler Filter bezeichnet, der aus zwei planen teilreflektierenden Flächen in kleinem Abstand besteht.78 Das kann ein beidseitig beschichtetes Substrat oder zwei Spiegel mit einem Luftspalt sein.79 Da die Spiegel plan sind, handelt es sich nicht um einen stabilen Resonator (Gl. 2.78). Wenn der Abstand klein ist und Propagati-onseffekte damit vernachlässigbar sind, gibt es (in erster Näherung) keine transversale Moden-Selekti-on: Ein kollimierter Strahl wird unabhängig von seiner transversalen Gestalt und nur abhängig von sei-ner Frequenz transmittiert oder reflektiert. Der Filter kann gegenüber dem Strahl verkippt werden, um

78 Häufig findet man neben Etalon auch die Bezeichnungen Fabry-Pérot-Etalon, Fabry-Pérot-Interferometer oder

Fabry-Pérot-Resonator. Letztere Begriffe werden aber auch für Resonatoren mit Frequenz-Selektivität allge-mein benutzt, also auch für stabile Resonatoren.

79 Es kann auch ein Etalon zwischen Strukturen in einem dielektrischen Schichtstapel sein, wie es zur Herstellung von dispersiven Spiegeln benutzt wird (Gires-Tournois-Interferometer-Spiegel).

(d) Bow-tie-Resonator

PR HR

HR HR

(c) Moden-Filter

HR

PRPR

(b) EtalonSpacer

PR PRPR

(a) Referenz-Resonator

Spacer

PR


58

die Resonanzfrequenzen zu verschieben.80 Dass die Spiegel keinen stabilen Resonator bilden, bedeutet, dass die Finesse limitiert ist durch die Parallelität und Ebenheit der Spiegel. In einem stabilen Resonator ergibt eine Verkippung der Spiegel gegeneinander lediglich eine veränderte optische Achse; in einem Etalon aus planen Spiegel führt sie zu einem über dem Strahlprofil variierenden Spiegelabstand, d.h. variierender Resonanzfrequenz. Oberflächendeformationen bedeuten in einem stabilen Resonator eine Kopplung an höhere transversale Moden, die aber für einen geeigneten Resonator nicht resonant ist. Deformationen müssen daher lediglich klein gegen die Wellenlänge sein, um geringe Verluste zu be-wirken. In einem Etalon bedeuten die Deformationen wiederum eine räumliche Variation des Spiegel-abstands; Deformationen müssen kleiner sein als die Wellenlänge geteilt durch die Finesse [60]. Die Finesse eines Etalons ist daher typischerweise <50; in einem stabilen Resonator kann sie viele Größen-ordnungen höher sein. Die folgende Darstellung der spektralen Eigenschaften eines passiven Resonators nimmt das elektrische Feld als einfachen Skalar an. Dieser kann für die Feldstärke einer Eigenmode eines stabilen Resonators stehen oder für die lokale Feldstärke eines Strahlprofils in einem Etalon.

Abb. 2.30: Zur Herleitung der Überhöhung in einem Resonator. (a) Im stationären Fall müssen die am Einkoppel-spiegel ein- und auslaufenden Felder mit dem Reflexions- und Transmissionskoeffizienten und konsistent sein. (b) Alternative Herleitung: Das zirkulierende Feld setzt sich zusammen aus allen Beiträgen, die sich nach Resonatorumläufen ergeben, was eine geometrische Summe mit dem gleichen Ergebnis ergibt.

Ein Resonator bestehe aus einem Einkoppelspiegel/Einkoppler (engl.: input coupler) und einem Re-sonatorumlauf mit weiteren Spiegeln. Im stationären Fall ist das im Resonator zirkulierende Feld gegeben durch die Summe des durch den Einkoppler transmittierten Felds und des nach einem Re-sonatorumlauf vom Einkoppler reflektierten zirkulierenden Felds (Abb. 2.30a):81

80 Dass die Resonanzfrequenz vom Winkel abhängt, bedeutet natürlich, dass die transversale Struktur des Strahls

durchaus eine Rolle spielt. Dabei ist die (lokale) Neigung der Wellenfront entscheidend. Der Strahl muss daher kollimiert sein, nicht aber auf eine bestimmte Modengröße angepasst. Eine gewisse Unabhängigkeit der Reso-nanz von der einfallenden Mode lässt sich auch durch einen symmetrisch-konfokalen Resonator erreichen. Über einen Winkel zwischen Strahlachse und Oberflächennormale des Etalons können die Resonanzen zu kleineren Wellenlängen ~ (1 – sin2( )/ 2)½ verschoben werden. Entscheidend für die Verschiebung ist der Winkel im Resonator. Falls der Resonator in einem Medium mit Brechungsindex liegt, muss das Etalon also entsprechend stärker verkippt werden. Dies gilt auch für dielektrische Filter mit einem effektiven Brechungs-index der dielektrischen Beschichtung.

81 Der Phasenfaktor vor dem Transmissionskoeffizienten des Einkopplers kann an dieser Stelle auch wegge-lassen werden. Die Phase von /2 (gegenüber dem einfallenden Feld), die sich daraus ergibt (Gl. 2.114), ist in Abb. 2.31 weggelassen. Dann muss aber bei der Reflexion am Einkoppler von der anderen Seite, die zur Be-rechnung der Reflektivität des Resonators benutzt wird (Gl. 2.123), der negative Reflexionskoeffizient – be-nutzt werden. Beide Möglichkeiten gewährleisten die Leistungserhaltung zwischen auf den Spiegel einlaufen-den und auslaufenden Feldern. Bei einer dielektrischen Grenzfläche ist der Transmissionskoeffizient reell und der Reflexionskoeffizient negativ/positiv bei Reflexion am optisch dichteren/dünneren Medium. Die Schreib-weise mit einem Faktor vor dem Transmissionskoeffizienten ist symmetrisch bezüglich der Strahlrichtung (was aus Übersichtlichkeitsgründen vorteilhaft sein kann).

(a) exp( )

,

exp( ) + == /(1 – exp( ))

(b)

= =0 exp( )= /(1 – exp( ))

,

… exp( )2 2exp( 2 )…


59

exp( ) + = = ( ) mit = , = 1 , =

Gl. 2.113

Dabei ist das einfallende Feld, die Reflektivität des Einkopplers, und Verlustfaktor und Pha-se für einen Resonatorumlauf. Es wird ein verlustfreier Einkoppler angenommen ( 2 + 2 = 1).82 Die Leistungsüberhöhung des zirkulierenden Felds bezogen auf das einfallende Feld und die Phase des zirkulierenden Felds lauten als Funktion der Phase für einen Resonatorumlauf: ( ) = = ( ) = ( ) ( ) = arg( ) = arg ( ) = arctan ( )( ) +

Gl. 2.114

Überhöhung und Phase sind dargestellt in Abb. 2.31.

Abb. 2.31: Überhöhung und Reflektivität sowie Phase des zirkulierenden und reflektierten Felds als Funktion der Umlaufphase für einen Resonator mit Reflektivität des Einkopplers und Verlustfaktor = 0,8 und = 0,9.

Die Überhöhung besitzt Maxima, d.h. Resonanzen, für Umlaufphasen von einem Vielfachen von 2 . Die Umlaufphase ist = – 2 , mit der Länge eines Resonatorumlaufs 2 und Wellenzahl .83 Zusätzli-che Phasenbeiträge kommen von der Gouy-Phase (Gl. 2.66) und der Reflexion an den Spiegeln. Reso-nanzen treten auf für Wellenzahlen mit Abstand / , d.h. Frequenzen mit Abstand : = Gl. 2.115

Diese Differenz zwischen den Resonanzfrequenzen heißt freier Spektralbereich (engl.: free spectral range). Die Überhöhung auf der Resonanz hängt ab von den Umlaufverlusten und der Reflektivität des Einkopplers und lautet: (0) = Gl. 2.116

82 Der Fall eines Resonators mit Verlusten im Einkoppelspiegel ist in Anhang A8.1.11 beschrieben. 83 2 bezeichnet also die Länge eines Ringresonators oder die doppelte Länge eines linearen Resonators.

( ), ( ) ( )

1

0 0/2– – /2

2

5

9

0


60

Für Umlaufphasen zwischen den Resonanzen ist die zirkulierende Leistung gegenüber der einfallenden Leistung unterdrückt.84 Die minimale Überhöhung (maximale Unterdrückung) für = lautet: ( ) = Gl. 2.117

Für einen gegebenen Verlustfaktor kann die Reflektivität des Einkopplers so gewählt werden, dass die Überhöhung maximal ist. Dazu muss die Reflektivität gleich dem Verlustfaktor sein. Der Resonator heißt dann Impedanz-angepasst (impedance-matched) mit Überhöhung . Für kleinere Transmissions-grade des Einkopplers ist der Resonator unterkoppelt, für größere ist er überkoppelt. Für einen verlust-freien Resonator (loss-less) ist die Überhöhung allein durch die Reflektivität des Einkopplers be-stimmt. Verglichen mit dem Impedanz-angepassten Fall erlaubt der verlustfreie (oder näherungsweise der mit 1 – 1 – stark überkoppelte) Resonator mit gleichem Einkoppler eine fast viermal größere Überhöhung: = = für = (Impedanz-angepasst) = für = 1 (verlustfrei) = ( ) 4

Gl. 2.118

Die Finesse ist definiert als das Verhältnis aus freiem Spektralbereich und FWHM-Breite der Resonanz, bzw. das Verhältnis aus einer Phase 2 und der Breite (Abb. 2.32): = = 2 arcsin Gl. 2.119

Die Finesse hängt von den Gesamtverlusten bei einem Resonatorumlauf (dem Produkt aus Verlustfaktor und Reflektivität des Einkopplers) ab; sie ist eine Eigenschaft des Resonators unabhängig von der Ein-kopplung.85 Die Näherungen gelten für kleine Gesamtverluste.

Abb. 2.32: Überhöhung über der Umlaufphase für Impedanz-angepasste Resonatoren mit unterschiedlichen Ver-lusten. Im Bild ist = = 0,6 (grün), 0,8 (blau) und 0,9 (rot). Die Überhöhung auf der Resonanz ist = 2,5, 5 und 10. (Die über die Umlaufphase gemittelte Überhöhung liegt für einen Impedanz-angepassten Resonator zwi-schen 1 und ½ für Verlustfaktoren zwischen 1 und 0. Im verlustfreien Fall ist sie 1 unabhängig vom der Reflektivi-

84 Diese Unterdrückung ist wichtig, wenn der Resonator benutzt wird, um transversale Moden (Mode-Cleaner)

oder Frequenzen (Filter-Cavity zur Vervielfachung der Repetitionsrate [61]) zu filtern. Zusätzlich zur Überhö-hung der resonanten Moden (transversalen Moden oder Frequenzen) sind die nicht-resonanten Moden um ei-nen ähnlichen Faktor unterdrückt.

85 Statt der Finesse wird manchmal der Begriff Güte (engl.: quality) benutzt. Die Güte ist (allgemein für ein schwingungsfähiges System) definiert als = / ; sie bezieht die Breite der Resonanz also nicht auf den freien Spektralbereich sondern auf die Frequenz . Für die Resonanzfrequenzen gilt = ; die Güte ist also um die Modenordnung größer als die Finesse: / = .

( )

3 /20– /2

5

10

– /2 5 /22

=1


61

tät des Einkopplers. Eine Überhöhung ist also nur für hinreichend schmalbandige Strahlung möglich.)

Ein Überhöhungsresonator muss nicht im stationären Fall betrieben werden. Bspw. kann ein einfallen-der Pulszug einen im Resonator überhöhten Puls aufbauen, der dann mittels eines Schalters ausgekop-pelt wird („Stack & Dump“). Dadurch kann aus einem Pulszug mit großer Repetitionsrate und kleiner Pulsenergie ein Pulszug mit kleiner Repetitionsrate und großer Pulsenergie erzeugt werden [62]. Bei der Cavity-Ringdown-Spektroskopie wird das zeitliche Abklingen der zirkulierenden Leistung bei unterbro-chenem einfallenden Strahl untersucht, um Aufschluss über die Absorption eines im Resonator enthal-tenen Gases oder über die Reflektivität eines Spiegels zu erhalten. Die Zeitkonstante des Resonators, die je nach Situation Abklingzeit oder Aufbauzeit heißen kann (engl.: build-up time, decay time/ring-down time) lautet (Anhang A8.1.12): = = Gl. 2.120

Innerhalb dieser Zeit ist die zirkulierende Leistung in einem Resonator ohne einfallendes Feld um den Faktor 1/ ² abgeklungen. Beim Aufbau der Leistung für ein konstantes einfallendes Feld mit resonanter Frequenz beginnend mit einem leeren Resonator ist nach dieser Zeit 40% der Leistung im stationären Fall erreicht. Die Zeitkonstante gibt an, wie schnell der Resonator sich auf veränderte Bedingungen einstellen kann, etwa bei einem Scan der Resonatorlänge (oder der Frequenz) [63]. Damit ein solcher Scan etwa das Ablesen der Finesse über die Breite der Resonanz erlaubt, muss der Resonator für eine geänderte Resonatorlänge Zeit haben, den stationären Fall zu erreichen; d.h. der Scan muss hinreichend langsam erfolgen:86 = Gl. 2.121

Große Finesse und große Überhöhung gehen miteinander einher. Das Verhältnis dieser Größen hängt von der Impedanz-Anpassung ab. Für den Impedanz-angepassten und den verlustfreien Fall lautet es (näherungsweise für große Finesse):

und 2 Gl. 2.122 Wenn eine Anwendung eine größtmögliche Überhöhung erfordert, die durch einen Verlustfaktor be-grenzt ist, wird das durch einen Einkoppler mit Impedanz-angepasster Reflektivität erreicht (Abb. 2.33). Das ist aber nicht für alle Anwendungen der Fall. Gleichzeitig kann bspw. eine möglichst geringe Fines-se vorteilhalt sein. Sie verringert nicht nur die Anforderungen an die Stabilisierung der Resonatorlänge oder Frequenz, sondern ist bspw. bei der in Kapitel 3 besprochenen Resonator-unterstützten Harmoni-schen-Erzeugung entscheidend für die Auswirkung einer nichtlinearen Phase durch Ionisation im Gas-Jet. Um die Finesse zu reduzieren, kann daher die Überhöhung reduziert und die einfallende Leistung entsprechend vergrößert werden. Wenn die Reduzierung der Überhöhung von einem Impedanz-ange-passten zu einem stark überkoppelten Resonator führt, bedeutet das einen zusätzlichen Faktor von bis zu 2 für die Reduzierung der Finesse.87

86 Wenn periodisch über einen freien Spektralbereich (entsprechend der Längenänderung einer Wellenlänge ,

bzw. /2 für einen linearen Resonator) gescannt wird, bedeutet das für die Frequenz / ². Gleichzei-tig muss der Scan hinreichend schnell sein, um nicht durch akustische Vibrationen der Resonatorlänge (kHz-Bereich) gestört zu werden. Ggf. können nicht beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden (für Resonatoren mit großer Länge und Finesse).

87 Bspw. kann ein Überhöhungsresonator mit einem Verlustfaktor = 0,995 eine Überhöhung von = 200 bei einer Finesse von = 200 erreichen (Impedanz-angepasst). Wenn die einfallende Leistung verdoppelt wird, kann die Überhöhung für gleiche zirkulierende Leistung auf = 100 reduziert werden (mit geeigneter Reflek-tivität des Einkopplers). Die Finesse wird dadurch auf = 58 verringert, also um einen Faktor 3,4. Bei einer Steigerung der einfallenden Leistung um einen Faktor 5, kann die Finesse um den Faktor 9,5 reduziert werden.


62

Abb. 2.33: Überhöhung (durchgezogen) und Verhältnis aus Überhöhung und Finesse / (gestrichelt) für Re-sonatoren mit unterschiedlichen Verlustfaktoren als Funktion der Reflektivität des Einkoppelspiegels. Die grüne Kurve gilt für den verlustfreien Resonator und gibt die maximal mögliche Überhöhung an. Die blauen Kur-ven gelten für Verlustfaktoren von = 0,995, 0,99 und 0,98. Sie besitzen Maxima der Überhöhung bei Impedanz-Anpassung. Die rote Kurve gilt im Impedanz-angepassten Fall, verbindet also diese Maxima.

Das reflektierte Feld , der Reflexionsgrad des Resonators und die Phase des reflektierten Feld lauten als Funktion der Umlaufphase: = + exp( ) = ( )( ) ( ) = = ( )( ) = ( )( ) = arg( ) = arg ( )( ) = arctan ( ) ( )( ) ( ) ( )

Gl. 2.123

Reflexionsgrad und Phase sind über der Umlaufphase dargestellt in Abb. 2.31. Statt des Reflexionsgrads kann die Einkopplung = 1 – in den Resonator definiert werden. Im Impedanz-angepassten Fall ver-schwindet die reflektierte Leistung auf der Resonanz (wird die Einkopplung 1). In allen anderen Fällen wird ein Teil der einfallenden Leistung am Einkoppler reflektiert; im verlustfreien Fall (näherungsweise im stark überkoppelten Fall) sogar die gesamte Leistung.

Einkopplung und Überhöhung lassen sich für einen Überhöhungsresonator messen.88 Der Verlust-faktor kann daraus berechnet werden:89 = 1 mit = 1 = ( )( ) und = Gl. 2.124

Diese Gleichung ist auch dann gültig, wenn der einfallende Strahl nicht vollständig mit der resonanten Mode überlappt. Es sei der räumliche Überlapp zwischen einfallendem und zirkulierendem Strahl. Da nur der überlappende Teil des Strahls resonant ist, ist die Überhöhung um den Überlapp reduziert. Der überlappende Teil des einfallenden Feldes wird gemäß Gl. 2.123 reflektiert, der nicht überlappende Teil

88 Die Einkopplung durch Vergleich von einfallender und reflektierter Leistung. Die zirkulierende Leistung und

Überhöhung über die Transmission durch einen Resonatorspiegel mit bekanntem Transmissionsgrad. 89 Dieser Zusammenhang ist direkt aus Gründen der Leistungserhaltung ersichtlich: Die eingekoppelte Leistung

muss im stationären Fall gleich der im Resonator dissipierten Leistung (1 ) = (1 ) sein.

/

1,000,90 0,980,94

200

1001/

2/

00,960,92

0

= 1

=0,980,99

0,995


63

wird unabhängig von der Umlaufphase vollständig reflektiert.90,91 Aus Einkopplung und Überhöhung auf der Resonanz können Verlustfaktor und Überlapp berechnet werden (mit bekanntem ):92 = 1 und = mit = , = und 1 = = + (1 ), =

Gl. 2.125

Dabei bezeichnen und die Überhöhung und Reflektivität, die sich für den Resonator bei vollstän-digem Überlapp ergeben. Für eine zirkulierende Grundmode und einen einfallenden Gaußschen Strahl ist durch Moden-Anpassung (mode-matching) ein räumlicher Überlapp nahe 1 erreichbar (typisch >90%). Für zirkulierende höhere transversale Moden ist der Überlapp mit einem Gaußschen Strahl be-grenzt (siehe Kapitel 3).

Stabilisierung der Resonatorlänge

Für eine resonante Überhöhung muss die Resonatorlänge mit der Frequenz des einfallenden Strahls zu-sammenpassen. Sie muss dabei auf einen durch die Finesse bestimmten Bruchteil der Wellenlänge ge-nau eingestellt werden. Da die Abstände der Spiegel vibrieren und driften, ist dafür typischerweise eine aktive Stabilisierung (engl.: stabilization oder locking) der Resonatorlänge erforderlich.93 Dazu wird ein Fehlersignal benötigt, das auf der Resonanz eine Steigung aufweist. Zur Erzeugung eines Fehlersignals kann ausgenutzt werden, dass das vom Resonator reflektierte Feld (wie auch das zirkulierende Feld) bezogen auf das einfallende Feld eine über der Resonanz variierende Phase mit maximaler Steigung auf der Resonanz aufweist (Abb. 2.31). Ein Fehlersignal ergibt sich durch Überlagerung des reflektierten Felds mit einem Feld, das mit einer von der Resonatorlänge unbeeinflussten Phase am Einkoppelspiegel reflektiert wird.94 Das kann auf drei verschiedene Arten erreicht werden, welche die drei Freiheitsgrade des Strahlungsfelds ausnutzen: Frequenz, Polarisation und transversale Struktur.

Beim Pound-Drewer-Hall-Locking [64] werden dem einfallenden Strahl durch sinusförmige Modulati-on der Frequenz oder Phase spektrale Seitenbänder aufgeprägt. Wenn diese Seitenbänder außerhalb der Resonanzkurve liegen, werden sie ohne Veränderung der Phase reflektiert und können als Phasenrefe-renz für die Trägerfrequenz dienen. Das Fehlersignal ergibt sich durch eine Demodulation des reflektier-ten Signals in einem elektronischen Mixer zusammen mit dem Modulationssignal.95 Diese Methode ist robust und weit verbreitet. Sie ist insbesondere unempfindlich gegen Schwankungen der Strahlachse und des Strahlprofils.

90 Darin steckt eine (typischerweise sehr gute) Näherung: Auch außerhalb der Resonanz muss die Einkopplung in

den Resonator nicht vollständig verschwinden. 91 Der räumliche Überlapp kann zusätzlich über die Resonanzen der transversalen Moden bei einem Scan der

Resonatorlänge ausgewertet werden. 92 Im Fall eines unvollständigen räumlichen Überlapps ändert sich das reflektierte Strahlprofil mit der Umlauf-

phase. Zur Berechnung von Einkopplung und Verlustfaktor ist die gesamte reflektierte Leistung zu messen. 93 Alternativ kann die Frequenz des Lasers angepasst werden, um den Längenänderungen des Resonators zu

folgen. Für einen Referenz-Resonators kann die Resonatorlänge auf kurzen Zeitskalen durch geeignete Maß-nahmen (kurzer robuster Resonator mit Spacer aus Glas mit verschwindendem Wärmeausdehnungskoeffizien-ten, Temperaturstabilisierung, Vakuum, kleine Leistung) passiv so stabil gemacht werden, dass eine Laserfre-quenz darauf stabilisiert werden kann.

94 Das als Phasenreferenz dienende Feld muss nicht notwendigerweise von der Resonanz unbeeinflusst sein; es genügt, dass die Phase bei der Reflexion eine andere ist als für das resonante Feld. Daher müssen die Resonan-zen für die orthogonale Polarisation oder die höhere transversale Mode nicht notwendigerweise weit weg von der Resonanz der überhöhten Mode liegen und die Modulationsfrequenz beim Pound-Drewer-Hall-Locking muss nicht größer sein als die Breite der Resonanz.

95 Die relative Phase des reflektierten Signals und des Modulations-Signal muss eingestellt werden (mit einem Phasen-Shifter oder über einen zusätzlichen Signal-Generator mit einstellbarer Phase). Ein Tiefpass-Filter un-terdrückt die Modulationsfrequenz (evtl. wirkt das Stellelement im Resonator bereits als Tiefpass).


64

Beim Hänsch-Couillaud-Locking (oder Polarisations-Locking) [65] wird die Polarisationsebene des ein-fallenden Strahls gegenüber der Polarisationsebene der resonanten Mode leicht verkippt, so dass ein kleiner Teil des einfallenden Felds auf den dazu orthogonalen Polarisationszustand projiziert wird. Die-ses Feld kann als Phasenreferenz dienen, wenn es ohne Veränderung der Phase reflektiert wird. Dazu muss der Resonator Polarisations-diskriminierend sein; d.h. der orthogonale Polarisationszustand darf entweder keine Resonanz besitzen (aufgrund von großen Verlusten etwa durch ein Brewster-Element) oder die Resonanz muss hinreichend weit verschoben sein (durch eine Polarisations-abhängige Umlauf-phase).96 Diese Methode ist also nicht für jeden Resonator anwendbar. Ein Fehlersignal kann durch die Analyse des Polarisationszustands des reflektierten Strahls mittels Polarisatoren, Wellenplatten und zwei Photodetektoren gewonnen werden.

Die dritte Möglichkeit nutzt höhere transversale Moden als Phasenreferenz und wird als Tilt-Locking bezeichnet [66]. Eine leichte Verkippung des einfallenden Gaußschen Strahls gegen die optische Achse des Resonators ergibt eine Kopplung in die Gauß-Hermite-Mode , , die in einem stabilen Resonator im Bereich um die Resonanz der Grundmode nicht resonant ist und daher ohne Veränderung der Phase reflektiert wird. Die relative Phase zwischen der Grundmode und der , -Mode im reflektierten Strahl führt zu einer Verkippung bzw. Verschiebung, die mit einem PSD (position-sensitive detector) oder einer geteilten Photodiode detektiert werden kann und direkt das Fehlersignal ergibt. Damit am Ort des Detektors die relative Verschiebung des reflektierten Strahls für eine gegebene Leistung in , maxi-mal ist, muss der Detektor am Ort einer Strahltaille stehen. Die absolute Verschiebung kann über den Taillenradius eingestellt werden.

Der Koeffizient 1 beschreibt die Amplitude in der , -Mode mit der relativen Leistung | 1|², die ge-mäß 1

= /2 durch eine Verkippung um einen Winkel erreicht wird (Strahlradius am Ort der Verkippung). Die Phase des Koeffizienten beschreibt, inwiefern sich der Beitrag der , -Mode als Verschiebung oder Verkippung des Strahls ausprägt. Dabei gibt der Realteil des Koeffizienten die rela-tive Verschiebung am Ort des Detektors an (Näherung für kleine Verschiebungen): Re ( ) | |( ) sin( ( ) + ) Gl. 2.126

Die Amplitude des Koeffizienten wird dadurch moduliert, dass der Reflexionsgrad ( ) für die resonan-te Grundmode auf der Resonanz sinkt; dadurch wird die Leistung in der , -Mode im reflektierten Strahl relativ größer (Näherung für nicht zu kleine Werte von ). Die Phase des Koeffizienten ist be-stimmt durch die Phase der reflektierten Grundmode ( ) (Gl. 2.123, Abb. 2.31) und die Gouy-Phase zwischen der Ebene einer Verkippung des einfallenden Strahls gegen die optische Achse des Resonators zwecks Kopplung an die , -Mode und dem Detektor. Die Ebene der Verkippung kann passend ge-wählt werden, ggf. virtuell durch Verkippung von zwei Spiegeln. Abb. 2.34 zeigt das Fehlersignale für verschiedene Gouy-Phasen.

96 Dies kann durch die polarisationsabhängige Phase bei der Reflexion an Spiegeln unter endlichem Einfallswin-

kel bewirkt werden.


65

Abb. 2.34: Fehlersignal beim Tilt-Locking: Strahlschwerpunkt bezogen auf den Taillenradius für eine gegebene Kopplung | 1| in die 1,0-Mode als Funktion der Umlaufphase für verschiedene Gouy-Phasen zwischen der Verkippung des einfallenden Strahls und dem Detektor: = 0 (rot), = /4 (blau) und = /2 (grün). Für ein optimales Fehlersignal (rot) muss der Strahl in einer Bildebene des Detektors verkippt werden. Zusätzlich sind in grau die Form der Resonanzkurve und die Reflektivität des Resonators gezeichnet. Der Verlustfaktor ist = 99,5% und die Reflektivität des Einkopplers = 98% (Überhöhung = 127, Finesse = 79 , Einkopplung = 63%).

Statt einer Kopplung an die , -Mode durch eine Verkippung/Verschiebung des Strahls kann auch eine Kopplung an andere transversale Moden ausgenutzt werden, etwa eine Kopplung an die , -Mode durch eine Fehlanpassung des Strahldurchmessers/Krümmungsradius. Für das Fehlersignal muss dann die Änderung des Strahldurchmessers detektiert werden, welche die Überlagerung von Grundmode und , -Mode abhängig von der relativen Phase ergibt [68].

( / 0)/| 1|

-1

0

1

0,05 0,1-0,05-0,1

1

0

( )/ , ( )


66

Überhöhung eines Frequenzkamms

Da der Resonator in der Umlaufphase periodische Resonanzen besitzt (Gl. 2.114), kann nicht nur schmalbandige kontinuierliche Strahlung überhöht werden, sondern auch ein Frequenzkamm, d.h. ein kohärenter Pulszug, dessen Spektrum aus äquidistanten Linien im Abstand der Repetitionsrate, den Kammmoden besteht. Wie weiter unten diskutiert, ist eine vollständige Überhöhung eines Frequenz-kamms nur möglich, wenn die Resonanzen periodisch in der Frequenz auftreten, was vorliegt, wenn die Umlaufphase eine lineare Funktion der Frequenz ist. Die Frequenzen der Kammmoden werden voll-ständig durch die beiden Kammparameter Repetitionsrate und Offset-Frequenz sowie die Mo-denzahl beschrieben: = + (Frequenzkamm) Gl. 2.127

Die Offset-Frequenz beschreibt den Versatz der äquidistanten Moden gegenüber der Frequenz null (Abb. 2.35). Im Zeitbereich bedeutet dieser Versatz einen Phasenschlupf zwischen der Trägerfre-quenz (engl.: carrier) und der Einhüllenden des Pulses (engl.: envelope) von einem Puls zum nächs-ten (daher die Benennung für carrier-envelope-offset frequency). Ein solches Kamm-förmiges Spektrum wird von einem modengekoppelten Laser erzeugt, wobei die Kammparameter zeitlich schwanken und driften können. Von einem Frequenzkamm spricht man üblicherweise nur dann, wenn die Kammparameter gemessen und stabilisiert werden.97 Ein Pulszug entspricht nur dann einem Kamm-förmigen Spektrum, wenn die Pulse untereinander zeitlich kohärent sind. Für Güte-geschalte oder Ge-winn-geschaltete Pulse ist das nicht der Fall.

Abb. 2.35: Optischer Frequenzkamm [69]. Das elektrische Feld ( ) über der Zeit ist mit der spektralen Amplitu-de ( ) über eine Fourier-Transformation verknüpft. Einem kohärenten Pulszug mit fester Repetitionsrate entspricht ein Kamm-förmiges Spektrum mit Kammmoden im Abstand der Repetitionsrate. Ein Phasenschlupf von einem Puls zum nächsten ergibt einen Versatz des Kamms um die Frequenz . Die Trägerfrequenz gibt den Abstand der Nulldurchgänge des elektrischen Felds an. (Der Phasenschlupf ist auf die Schwingungsperio-de 1/ der Trägerfrequenz zu beziehen; der zeitliche Abstand im Bild ist also = /(2 )·1/ .)

97 Während die Repetitionsrate leicht (mit einer hinreichend schnellen Photodiode) gemessen werden kann, ist

die Offset-Frequenz weniger leicht zugänglich. Sie kann mittels eines f-2f-Interferometers gemessen werden, in dem das Spektrum auf eine Oktave verbreitert und die Offset-Frequenz als Schwebungsfrequenz zwischen dem kurzwelligen und dem frequenzverdoppelten langwelligen Teil des Spektrums auftritt.

( )2

( ) 1/

1/

= 2 /


67

Wenn die Offset-Frequenz gleich null ist, kann die dann konstante CEO-Phase (auch CEP genannt) definiert werden, die den Abstand zwischen dem Maximum der Einhüllenden und dem Maximum der elektrischen Feldstärke angibt.98 Auch die CEO-Phase kann stabilisiert werden.

Bei der Propagation ändert sich die CEO-Phase aufgrund von drei Effekten:99 Reflexion an Spiegeln, chromatische Dispersion im Medium und Gouy-Phase;100 zusätzlich können nichtlineare Effekte eine Rolle spielen. Eine dielektrische Beschichtung kann in Reflexion eine unterschiedliche Verzögerung für die Einhüllende und für die Phasenfronten mit einem resultierenden Phasenschlupf erzeugen. Spiegel können für einen bestimmten Phasenschlupf ausgelegt werden [70]. Die Einhüllende propagiert mit der Gruppengeschwindigkeit, die Phasenfronten propagieren mit der Phasengeschwindigkeit. Diese Geschwindigkeiten sind unterschiedlich, wenn ein Medium mit Frequenz-abhängigem Brechungsindex

( ) vorliegt. Dann ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner als die Phasengeschwindigkeit und ergibt einen Phasenschlupf nach Propagation um die Strecke . Auch im Vakuum sind die Gruppen- und Phasengeschwindigkeit unterschiedlich, weil die Phasengeschwindigkeit von der transversalen Ge-stalt des Strahls abhängt. Der Abstand der Phasenfronten auf der Strahlachse ist für einen transversal begrenzten Strahl größer als die Wellenlänge (siehe Abb. 2.2), d.h. die Phasengeschwindigkeit ist größer als die Lichtgeschwindigkeit.101 Der dabei aufgesammelte Phasenschlupf ist proportional zur Gouy-Phase für die Propagation und hängt von der transversalen Modenordnung ab. Die Gruppenge-schwindigkeit ist durch diesen Effekt unverändert, wenn der -Parameter und damit die Gouy-Phase unabhängig von der Frequenz ist. In einem (passiven) Resonator ist das typischerweise der Fall; bei der freien Propagation kann der -Parameter über dem Spektrum variieren und die Situation verkomplizie-ren [71]. Die Änderung der CEO-Phase bei der Propagation lautet also: = + +

mit = ( , ) ( , ) und = + + + Gl. 2.128

Dabei ist 0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit, die Kreisfrequenz, die Trägerkreisfrequenz und und die transversale Modenordnung in - und -Richtung. Für die Propagation eines Gaußschen Strahls durch eine Strahltaille bedeutet das einen Phasenschlupf von (siehe Abb. 2.36) [72]. Auch in Wellenleitern gibt es eine von der transversalen Ordnung abhängige Phasengeschwindigkeit.

98 Für einen Puls von nur wenigen Zyklen Dauer macht es für die maximal auftretende Feldstärke/Intensität einen

Unterschied, ob beim Maximum der Einhüllenden ein Maximum der Feldstärke (Cosinus-Puls) oder ein Null-durchgang (Sinus-Puls) vorliegt.

99 Gemeint ist die Änderung der CEO-Phase eines Pulses entlang der Propagation, nicht die Änderung von einem Puls zum nächsten. Die Änderung entlang der Propagation ist für alle Pulse des Pulszugs gleich.

100 Der Phasenschlupf sei hier definiert als die Phase, die die Gruppenfront bei der Propagation aufsammelt, minus die Phase, die die Phasenfront dabei aufsammelt. Sowohl chromatische Dispersion (geringere Gruppenge-schwindigkeit) als auch Gouy-Phase (größere Phasengeschwindigkeit) ergeben somit einen positiven Phasen-schlupf.

101 Die Phasengeschwindigkeit ist = / mit = (1 – 1/ ·( + +1)·arctan( / )/ ) > (vgl. Gl. 2.22), die Gruppengeschwindigkeit ist = ( / )–1 = mit = / . Die Phasengeschwindigkeit ist maximal in der Strahltaille ( = 0) und nimmt dort den Wert = /(1 – ½ ²) mit = (2/( ))½ für einen Gaußschen Strahl an ( = = 0), bzw. den Wert = /(1 – ¼( ² + ²)) mit = (2 ² /( ))½, = (2 ² /( ))½ und

² = (1 + 2 ), ² = (1 + 2 ) für eine stigmatische -Mode.


68

Abb. 2.36: Phasenschlupf durch die Gouy-Phase. Im Bereich einer Strahltaille ist der Abstand der Phasenfronten größer als die Wellenlänge und die Phasengeschwindigkeit daher gegenüber der Lichtgeschwindigkeit und auch gegenüber der Gruppengeschwindigkeit erhöht. Der dadurch bewirkte Phasenschlupf zwischen Einhüllender und Trägerfrequenz ist proportional zur Gouy-Phase (dabei ist ein über dem Spektrum konstanter -Parameter ange-nommen). Für die Propagation durch eine Strahltaille (mit Abstand groß gegen die Rayleighlänge vor und hinter der Taille) wird für einen Gaußschen Strahl bspw. aus einem Cosinus-Puls ein –Cosinus-Puls.

Für die Überhöhung eines Frequenzkamms in einem Resonator müssen die Resonanzfrequenzen des Resonators mit den Frequenzen der Kammmoden zusammenpassen. Während die Kammmoden im Fre-quenzraum äquidistant sind, ist das für die Resonanzen nicht notwendigerweise der Fall, da die Umlauf-phase keine lineare Funktion der Frequenz sein muss (siehe Abb. 2.37). Um die Überhöhung eines Frequenzkamms zu erreichen, muss die Umlaufphase hinreichend linear in der Frequenz, die Dispersion für einen Umlauf also hinreichend klein sein. Das stellt Anforderungen an die spektrale Phase ( ) der Resonatorspiegel. Außerdem muss Dispersion von Medien im Resonator vermieden oder kompensiert werden; Überhöhungsresonatoren für Frequenzkämme werden daher üblicherweise in einer Vakuum-kammer platziert.102 Wie hoch die Anforderungen sind, hängt von der Bandbreite des Frequenzkamms und von der Finesse des Resonators ab. Nicht äquidistante Resonanzen ergeben sich für eine spektrale Phase, die nicht linear von der Frequenz abhängt; der führende Beitrag ist daher der quadratische Term, die Gruppenlaufzeitdispersion = ² / ². Aus der Forderung, dass die Phasendifferenz auf-grund der quadratischen Phase zwischen Mitte und Rand des Spektrums mit Bandbreite (bzw. ) kleiner als die Breite der Resonanz 2 / ist, folgt für die maximale für einen Resonatorumlauf: ( ) = ( ) = = und | | < | | < = Gl. 2.129

Pro Reflexion an einem Spiegel muss die entsprechend kleinere Werte annehmen. Diese Abschät-zung nimmt einen konstanten Wert der über dem Spektrum an, was typischerweise für HR-Spiegel nicht gegeben ist.103 Die Phasendifferenz am Rand des Spektrums ergibt sich dann über die zweimalige Integration über ( ), was bspw. für oszillierende Funktionen auch mit größeren Amplituden kleine Werte ergeben kann. Insbesondere für sehr große Bandbreiten, sollte daher die spektrale Phase ( ) selbst statt deren zweiter Ableitung betrachtet und spezifiziert werden [73].

102 Durch das Vakuum wird neben der Dispersion auch die Nichtlinearität der Luft (oder eines anderen Gases)

vermieden. 103 Für eine Beschichtung in Form eines /4-Stacks (abwechselnde Schichten eines hochbrechenden und niedrig-

brechenden Materials mit der Dicke einer ¼ Wellenlänge im Medium) verschwindet die GDD für die Zentral-frequenz und hat eine positive Steigung mit der Frequenz (hochbrechendes Medium als oberste Schicht) oder zusätzlich eine verschwindende Steigung und S-förmigen Verlauf (niedrigbrechendes Medium als oberste Schicht).

Puls vor Propagation Propagation durch Strahltaille Puls nach Propagation


69

Abb. 2.37: Überhöhung eines Frequenzkamms. Das Bild zeigt die Resonanzkurve des Resonators ( ) (blau) und die äquidistanten Kammmoden des Frequenzkamms (spektrale Leistung | ( )|², rot), deren Überhöhung teils durch die Übereinstimmung mit der Frequenz der Resonanzen limitiert ist.

Im Rahmen ihrer Breite äquidistante Resonanzen sind eine Voraussetzung zur Überhöhung eines Fre-quenzkamms. Außerdem müssen die Kammparameter zu der Lage der Resonanzen passen. Für kleine Bandbreiten genügt dazu die Anpassung der Resonatorlänge auf die Repetitionsrate (oder anders her-um). Für größere Bandbreiten muss zusätzlich die Offset-Frequenz zum Resonator passen. Da der Re-sonator keine (exakt) äquidistanten Resonanzen aufweist, besitzt er selbst keine Offset-Frequenz. Für ein gegebenes Spektrum des Frequenzkamms kann aber eine präferierte Offset-Frequenz des Resonators definiert werden, für welche die größte Überhöhung des Spektrums erreicht wird. Wenn die Offset-Frequenz des Frequenzkamms festgelegt ist (etwa auf den Wert null),104 muss die präferierte Offset-Frequenz des Resonators angepasst werden [70]. Das ist über die in Gl. 2.128 zusammengefassten Ef-fekte möglich, insbesondere durch entsprechende Spiegel, für die es neben der Gruppenlaufzeitdispersi-on dann auf die Gruppenlaufzeit ankommt.105 Die dort betrachtete Situation eines Phasen-schlupfs für einen Puls bei der Propagation ergibt einen Phasenschlupf von Puls zu Puls, also eine Off-set-Frequenz, wenn die Propagation für einen Resonatorumlauf steht. Es zirkuliert also ein Puls im Re-sonator, dessen Phasenschlupf von Umlauf zu Umlauf durch die Propagation im Resonator be-stimmt ist, und der nur durch einen einfallenden Pulszug mit der passenden Offset-Frequenz

= /(2 )· erreicht werden kann.

Während die Resonatorlänge stabilisiert werden muss, ist die präferierte Offset-Frequenz des Resona-tors typischerweise stabil. Vielmehr driftet die Offset-Frequenz des einfallenden Frequenzkamms und muss stabilisiert werden.106 Die Stabilisierung der Resonatorlänge erfolgt wie für einen Resonator für kontinuierliche Strahlung, wobei für das Fehlersignal typischerweise aus einem schmalen spektralen Bereich gewonnen wird.107

104 Eine Offset-Frequenz von null bedeutet eine gleichbleibende Gestalt (CEO-Phase) des Pulses nach jedem Um-

lauf, was für nichtlineare Prozesse mit Pulsen von wenigen Zyklen Dauer wichtig ist, etwa zur Erzeugung iso-lierter Attosekunden-Pulse. Außerdem ist bspw. die Offset-Frequenz eines Frequenzkamms, der auf Differenz-Frequenz-Erzeugung (DFG) basiert, auf null festgelegt.

105 Die anderen Möglichkeiten sind ein Medium mit geeigneter Dispersion, das aber mit der Voraussetzung äqui-distanter Resonanzen in Konflikt steht (und ggf. Nichtlinearität ergibt), und der Gouy-Parameter des Resona-tors, der aber üblicherweise durch andere Kriterien (insbesondere die Strahlradien) festgelegt ist.

106 Was für einen Frequenzkamm im strengen Sinne des Begriffs ohnehin vorausgesetzt ist. 107 In einem nicht spektral gefilterten Fehlersignal würde sich eine kleine Längenänderung des Resonators ggf.

nicht bemerkbar machen, wenn sie eine größere Überhöhung in einem spektralen Bereich auf Kosten einer ge-ringeren Überhöhung in einem anderen spektralen Bereich ermöglicht.

( ), | ( )|²

( )

=


70

2.2.4 Multipass-Zellen

Multipass-Zellen (MPC, engl.: multi-pass cell) sind passive optische Anordnungen, die von einem Strahl mehrfach durchlaufen werden, um eine lange Propagationsstrecke zu erreichen, bspw. mit dem Zweck einer Absorptionsmessung von Gasen mit großer Absorptionslänge oder der Verzögerung eines Pulses. Es handelt sich um einen Resonator im weiteren Sinne, der transversale Eigenmode besitzt, aber keine Frequenzen selektiert (siehe Abb. 2.17). Es gibt unterschiedliche Ausführungsformen von Multi-pass-Zellen. Hier soll nur die einfachste Form einer Zelle vom Herriott-Typ betrachtet werden [74], die aus zwei Spiegeln mit Krümmungsradius im Abstand besteht. Es handelt sich also um einen sym-metrischen linearen Zwei-Spiegel-Resonator, wie er in Kapitel 2.2.1 beschrieben ist.

Ein Strahl kann in der MPC in beiden transversalen Richtungen mit den Umläufen um die optische Ach-se des Resonators pendeln und dabei auf jedem Spiegel einen Kreis oder eine Ellipse beschreiben. Ein Kreis mit einem Muster von Reflexen mit gleichmäßigem Abstand ergibt sich, wenn der Gouy-Para-meter geeignete Werte annimmt und die Strahlachse (Position und Winkel in beiden transversalen Rich-tungen) des einfallenden Strahls geeignet gewählt ist (vgl. Gl. 2.71). Damit die Strahlradien für alle Reflexe gleich groß sind, muss der -Parameter des einfallenden Strahls mit dem Eigen- -Parameter der MPC in Übereinstimmung gebracht werden. Geeignete Gouy-Parameter (für einen vollen Resonatorum-lauf) sind von folgender Form: = 2 mit natürlichen teilerfremden Zahlen und < . Gl. 2.130

Dabei gibt die Zahl der Reflexe auf dem Kreis an und um wie viele Positionen der Strahl von einem Umlauf zum nächsten weiterwandert, wie in Abb. 2.38 dargestellt. Nach einem Durchgang durch die MPC, d.h. Umläufen, also einem vollen Umlauf auf dem Kreis, erreicht der Strahl wieder die Aus-gangsposition. Es liegt dann eine Abbildung vor; die akkumulierte Gouy-Phase ist ·2 . Das heißt auch, dass der -Parameter reproduziert wird, unabhängig vom einfallenden -Parameter.

Abb. 2.38: (a) Schematische Darstellung einer Multipass-Zelle mit = 13 Umläufen und = 12. Der Strahl wird in diesem Fall durch ein Loch in einem Spiegel ein- und ausgekoppelt. (b) Ansicht der Reflexe auf einem der MPC-Spiegel. Der Gouy-Parameter gibt den Winkel an, um den der Strahl von einem Umlauf zum nächsten wei-terwandert (im Bild von Reflex Nr. 0 zu Nr. 1). Auf dem gegenüberliegenden Spiegel ergibt sich ein Muster, das um den halben Gouy-Parameter verschoben ist.

Die Strahlradien der MPC-Eigenmode in der Mitte 0 und auf den Spiegeln 1 als Funktion der geomet-rischen Größen , und des Gouy-Parameters sind bereits in Gl. 2.79 angeben. Hier sei zusätzlich eine Näherung angegeben für den Fall, dass die MPC mit = – l für eine gegeben Zahl von Reflexen

(b)(a)01


71

möglichst nah am oberen Stabilitätsrand liegt und damit den größtmöglichen Strahlradius auf den Spie-geln erreicht (Näherung für nicht zu kleine ):108 = 1 = sin = ( )( ) Gl. 2.131= 1 = ( )( ) = ( ) , für = 2 Das Verhältnis der Strahlquerschnitte auf den MPC-Spiegeln und in der Mitte der MPC lautet: = = ( ) Gl. 2.132

Das Verhältnis kann wichtig sein für die Auslegung einer MPC, bspw. in Hinblick auf Zerstörschwellen.

Empfindlichkeiten in der Multipass-Zelle

Die Empfindlichkeit eines allgemeinen Resonators ist in Kapitel 2.2.2 beschrieben. Es soll hier darge-stellt werden, was das für eine Multipass-Zelle vom Herriott-Typ bedeutet. Die betrachteten Störungen sind eine Störung des Eingangsstrahls, eine Verkippung eines MPC-Spiegels, eine thermische Linse am Ort der Reflexe, sowie eine Längenänderung der MPC.

Da für den Durchgang durch die MPC eine Abbildung vorliegt (wenn Ein- und Auskopplung am glei-chen Ort erfolgen), wird jede Störung des Eingangsstrahls einfach auf den Strahl hinter der MPC wei-tergereicht. Voraussetzung ist allerdings, dass der gestörte Strahl in der MPC nicht beschnitten wird, wobei insbesondere die Ein- und Auskopplung eine begrenzende Apertur ergeben. Die maximal in der MPC auftretende relative Verschiebung des Strahls / ist gemäß Gl. 2.93 durch die normierte Stö-rung des einfallenden Strahls gegeben (Verkippung eines Spiegels um Winkel am Ort mit Strahlradius

1, Verschiebung um Strecke mit Taillenradius 0). Die Empfindlichkeiten gegen Verkippung und Verschiebung lauten (Index für „freie Propagation“):

, = = 2 und , = = Gl. 2.133

Diese relative Verschiebung ist unabhängig vom Gouy-Parameter der MPC.

Die Verkippung eines MPC-Spiegels ergibt eine veränderte optische Achse der MPC. Die MPC behält aber (in erster Näherung) ihre Eigenschaft, den Strahl nach einem Durchgang abzubilden.109 Der Strahl hinter der MPC wird daher durch die Verkippung nicht verändert,110 wohl aber die Position der Reflexe auf den MPC-Spiegeln (Abb. 2.39a). Die Verschiebung dieser Positionen ist für eine MPC nahe am Stabilitätsrand für die gleiche (normierte) Verkippung deutlich größer als bei einer Verkippung des ein-fallenden Strahls (vgl. Abb. 2.26b). Gemäß Gl. 2.96 ist die maximale Verschiebung der optischen Achse der MPC. Die maximal auftretende Verschiebung der Reflexe in der MPC ist doppelt so groß und die Empfindlichkeit lautet:

, = 2 = ( ) 2 Gl. 2.134

Bei Annäherung an den Stabilitätsrand nehmen der Strahlradius und die Empfindlichkeit zu. Die relative Verschiebung kann (gemäß Gl. 2.108) als Funktion des Strahlradius 1 oder für den Fall einer MPC möglichst nah am Stabilitätsrand als Funktion der Zahl der Reflexe angegeben werden: 108 Der Abstand zum Stabilitätsrand ist also = 2 – = 2 / . 109 Eine Abbildung (Vergrößerung 1) ergibt eine unveränderte Strahlposition (und Strahldurchmesser). Der Win-

kel des Strahls (und der Krümmungsradius) bleiben ebenfalls unverändert, weil die Abbildung telezentrisch ist. Die Strahltransfermatrix für Umläufe in der MPC ist die Einheitsmatrix.

110 Wenn Ein- und Auskopplung nicht an der gleichen Position erfolgen, fehlt ggf. eine Reflexion am verkippten MPC-Spiegel, um die Abbildung zu vervollständigen. Die resultierende Verkippung des Strahls hinter der MPC entspricht dann einfach einer Störung durch einen verkippten Spiegel wie unter Gl. 2.133 angegeben.


72

, = 2 oder , = 2 sin 2 für = 2 Gl. 2.135

Obwohl der Strahl durch die Verkippung eines MPC-Spiegels (in erster Näherung) nicht verändert wird, können dem Strahl beim Durchgang durch die MPC Schwankungen der Strahllage aufgeprägt werden. Dies kann durch Schwankungen der optischen Dichte der Luft (insbesondere bei großen Laserleistungen und erwärmten optischen Komponenten) zusammen mit der großen Propagationslänge in der MPC be-wirkt werden.

Wenn durch eine Absorption in der Spiegelbeschichtung thermische Linsen am Ort der Reflexe entste-hen, wirken sie sich nicht auf die Strahlachse aus, solange sie auf diese zentriert sind (also keinen ther-mischen Keil enthalten). Wenn die Stärke der Linse für alle Reflexe gleich ist, kann die Wirkung auf den -Parameter leicht angegeben werden. Gemäß Gl. 8.104 lauten die Änderung des quadratischen Strahlradius durch die thermische Linse auf den Spiegeln, und gemäß Gl. 2.96 die maximal auftretende Änderung: = = ( ) und , = ( )( ) ±

mit = Gl. 2.136

Dabei ist die normierte Brechkraft , die gemäß Gl. 2.103 mit der absorbierten Leistung verknüpft ist. Nah am Stabilitätsrand ist die Änderung des quadratischen Strahlradius auf den Spiegeln gleichzeitig die maximal auftretende Änderung. Für den Gouy-Parameter in Gl. 8.104 und Gl. 2.96 ist hier der halbe Gouy-Parameter /2 eingesetzt, weil die thermische Linse nach jedem halben Umlauf aufgeprägt wird. Am oberen Stabilitätsrand ( 2 ) wird der Strahlradius durch eine defokussierende Linse ( < 0) kleiner. Der einfallende -Parameter kann an den veränderten Strahlradius angepasst werden.

In Kapitel 4 werden Multipass-Zellen beschrieben, die zwecks nichtlinearer spektraler Verbreiterung die Transmission durch ein Element aus Quarzglas enthalten. Eine thermische Linse in Transmission ist bei gleicher absorbierter Leistung deutlich stärker als eine thermische Linse bei Reflexion an einem Spiegel (vgl. Gl. 8.146).

Eine Längenänderung um die Strecke ergibt ebenfalls eine Änderung des -Parameters. Insbesondere ergibt sie aber eine Änderung des Gouy-Parameters, aufgrund derer die Reflexe nicht mehr gleichmäßig auf dem Kreis liegen. Der Strahl sammelt aufgrund der Störung nach Umläufen in der MPC einen Winkel auf dem Kreis der Reflexe auf, der ihn gegenüber der Position zur Auskopplung verschiebt (siehe Abb. 2.39b): = mit = 2 arccos cos sin , = Gl. 2.137

Da die Längenänderung zweimal bei einem Umlauf auftritt, wurde hier Gl. 2.94 mit dem Gouy-Para-meter /2 für einen halben Umlauf benutzt. Der Winkel kann auf den Winkel 2 / bezogen wer-den, der für einen Reflex zur Verfügung steht. Das ist gleichbedeutend mit der tangentialen Verschie-bung bezogen auf den Kreisbogen für einen Reflex, der als Strahldurchmesser 2 mal einem Sicher-heitsfaktor geschrieben werden kann. Die Empfindlichkeit ist die Verschiebung bezogen auf den Kreisbogen 2 pro Längenänderung :

, = = = = ( )( ) = ( ) und , = mit für = 2

Gl. 2.138

Die MPC wird mit steigender Zahl von Reflexen empfindlicher. Für bspw. = 20, = 19 darf für eine relative Verschiebung /( 2 ) <10% die relative Längenänderung / nicht größer als 60 ppm sein. Bei einer Resonatorlänge = 1 m bedeutet das < 60 μm. Für eine Konstruktion zur Halterung der MPC-Spiegel aus Aluminium (mit thermischem Ausdehnungskoeffizienten = 23·10–6/K) erfordert das eine Temperaturstabilität < 2,6 K.


73

Abb. 2.39: Zur Empfindlichkeit einer Multipass-Zelle. (a) Die Verkippung eines MPC-Spiegels ergibt eine verän-derte optische Achse der MPC. Die Verschiebung der optischen Achse auf dem MPC-Spiegel, auf dem sich ein Loch zur Ein-/Auskopplung befindet, ist maximal bei Verkippung des gegenüberliegenden MPC-Spiegels. Das Muster von Reflexen nach Verkippung (blau) ist gegenüber dem ungestörten Muster (rot) verschoben, der Reflex nach einem vollständigen Durchgang ist (näherungsweise) unverändert. (b) Eine Längenänderung der MPC ergibt einen veränderten Gouy-Parameter und damit eine Verschiebung der Reflexe (blau) gegenüber den ungestörten Reflexen (rot), die sich mit jedem Umlauf addiert.

Geometrie einer Multipass-Zelle mit nicht-paraxialem Strahlengang

Der Durchmesser des Kreises aus Reflexen auf den Spiegeln einer Multipass-Zelle muss nicht klein gegen die Resonatorlänge sein. Entsprechend kann der Strahlengang große Winkel gegenüber der Re-sonatorachse enthalten, wenn der Strahl nah am oberen Stabilitätsrand bei jeder Propagation zwischen den Spiegeln von einer Seite der optischen Achse zur anderen wechselt (und dabei beinah den vollen Durchmesser des Kreises durchmisst). Der Einfallswinkel auf den Spiegeln und der Divergenzwinkel des Strahls sind dabei deutlich kleiner.111 Der große Winkel des Strahlengangs bedeutet einen deutlichen Unterschied zwischen dem Abstand der beiden Ebenen, in denen die Ringe aus Reflexen liegen, und dem Abstand zweier aufeinander folgender Reflexe. Weiterhin ist nah am Stabilitätsrand die Krümmung der Spiegel stark und der Abstand dieser Ebenen deutlich unterschiedlich von Abstand der Spiegel ge-messen auf der Resonatorachse

Es stellt sich also die Frage, welche dieser Längen (zusammen mit dem Krümmungsradius) für die Be-rechnung des Gouy-Parameters zu verwenden ist. Außerdem stellt sich die Frage, ob der Gouy-Para-meter, der das Pendeln des Strahls, also das Muster aus Reflexen auf den Spiegeln beschreibt, der glei-che ist, der die Eigenmode beschreibt, also deren Strahlradien und das Pumpen derselben. Es wäre bspw. denkbar, dass ein bestimmtes Muster aus Reflexen, das zu einem Gouy-Parameter nah am oberen Stabilitätsrand gehört, gar nicht realisierbar ist, weil der Resonator die Eigenmode betreffend bereits nicht mehr stabil ist (was natürlich vom Radius des Kreises der Reflexe abhängen würde, der aber nicht beliebig klein gewählt werden kann, da die Reflexe mit einem sinnvollen Sicherheitsabstand darauf untergebracht werden müssen).

Die Analyse dieser Situation ergibt, dass zwar die verschiedenen Abstände für den Fall eines großen Kreises von Reflexen deutlich voneinander abweichen, dass aber der Gouy-Parameter für das Pendeln und der Gouy-Parameter für die Eigenmode praktisch gleich sind. D.h. ein Muster aus Reflexen und die Strahlradien der Eigenmode sind miteinander verknüpft, und sie ändern sich nicht, wenn der Radius des Kreises der Reflexe vergrößert wird (wobei dafür ggf. der Abstand der Spiegel angepasst werden muss).

111 Der Divergenzwinkel des Strahls ist immer nur ein Bruchteil des Divergenzwinkels des Strahlenbündels

; das Verhältnis ist durch die Zahl der Reflexe und den Sicherheitsfaktor für ihren Abstand bestimmt. Der Einfallswinkel ist nah am oberen Stabilitätsrand, wo der Divergenzwinkel des Strahlenbündels große Werte annimmt, deutlich kleiner als dieser; in der unteren Hälfte des Stabilitätsbereichs ist er mit = sin( /2)( / ) größer als der (dann kleine) Divergenzwinkel des Strahlenbündels = (1 – cos( /2))( / ).

(a) =(b)

2 /


74

Abb. 2.40: Skizze einer Multipass-Zelle zur Darstellung der geometrischen Größen.

Es sei eine Multipass-Zelle aus zwei Spiegeln mit Krümmungsradius im Abstand und mit einem Ring aus Reflexen mit Radius auf jedem Spiegel betrachtet, siehe Abb. 2.40 und Anhang A8.1.13. Zusätzlich zum Abstand der Spiegel , der auf der Resonatorachse gemessen wird, ist hier die Größe ‘ eingeführt, die den Abstand der beiden Ringe aus Reflexen bezeichnet. Aufgrund der Krümmung der Spiegel ist dieser Abstand kleiner als . soll den Abstand zweier aufeinander folgender Reflexe auf den gegenüberliegenden Spiegeln bezeichnen.

Der Divergenzwinkel des Strahlenbündels ist durch den Radius des Kreisen der Reflexe und den Krümmungsradius gegeben: = arcsin Gl. 2.139

Um das Muster aus Reflexen mit Gouy-Parameter (d.h. Zahl der Reflexe , Zahl der Schritte ent-lang der Reflexe bei einem Resonatorumlauf ) einzustellen, muss für die Länge ‘ gelten: = 1 1 cos für = (Gouy-Parameter Pendeln, voller Umlauf) Gl. 2.140

Der Abstand der Spiegel auf der Resonatorachse und der Abstand zweier Reflexe lauten dann: = 2 1 1 + cos und = 1 cos 1 + Gl. 2.141

Alle drei Abstände ergeben im paraxialen Fall ( 1) den Wert [1 – cos( /2)]. Wenn der Kreis mit Radius aufgezogen wird, muss die Resonatorlänge angepasst, d.h. vergrößert werden, um das Muster aus Reflexen ( , ) zu erhalten. Der Abstand ‘ der Ebenen, in denen die Kreise liegen, wird kleiner – wie aufgrund der aufeinander zu gekrümmten Spiegel zu erwarten. Der Abstand der Reflexe wird etwas größer. Dieser Abstand definiert zusammen mit dem Krümmungsradius den Gouy-Parameter

, der die Eigenmode des Resonators und das Pumpen des Strahlradius beschreibt: = 2 arccos(1 ) (Gouy-Parameter Eigenmode, voller Umlauf) Gl. 2.142 Der Unterschied der so definierten Gouy-Parameter ist sehr klein und für die Berechnung der Strahlra-dien zu vernachlässigen. Wenn der Gouy-Parameter für das Pendeln um vom oberen Stabilitätsrand entfernt ist, liegt der Gouy-Parameter der Eigenmode nur um einen Bruchteil dieses Abstands näher am Stabilitätsrand (mit dem Divergenzwinkel des Strahlenbündels ): = 2 = = ( )( ) + ( ) + ( ) Gl. 2.143

Die Strahlradien in der Fokusebene 0 und auf den Spiegeln 1 können also in exzellenter Näherung mit dem Gouy-Parameter berechnet werden, der dem Muster aus Reflexen entspricht (vgl. Gl. 2.134): = sin und = ( )( ) mit = Gl. 2.144

2½


75

Der Einfallswinkel gemessen gegen die Oberflächennormale auf den Spiegeln lautet: = arcsin tan( ) = + ( ) Gl. 2.145

Aufgrund des endlichen Einfallswinkels (tangential zum Ring von Reflexen) auf den gekrümmten Spiegeln gibt es effektive Krümmungsradien cos( ) und /cos( ) in tangentialer und radialer Rich-tung, die die Entwicklung des -Parameters beim Durchlaufen der Zelle beschreiben. Es ist hier davon ausgegangen, dass die Eigenmode durch den (mittleren) Krümmungsradius gegeben ist, da sich die Achsen der effektiven Krümmungsradien von einem Umlauf zum nächsten drehen.112

Der nicht-paraxiale Strahlengang ergibt einen vernachlässigbaren Unterschied zwischen den Gouy-Para-metern für Pendeln und Eigenmode. Es gibt aber zwei weitere Effekte, die einen solchen Unterschied ergeben können. Thermische Linsen am Ort der Reflexe wirken nur auf den -Parameter und nicht auf die Strahlachse. Daher verändern sie die Eigenmode und , nicht aber das Muster aus Reflexen und

.113 Der andere Effekt ist eine Kerrlinse, die auftritt, wenn die MPC zur nichtlinearen spektralen Ver-breiterung mittels des Kerr-Effekts genutzt wird (Kapitel 4). Auch sie wirkt nur auf den -Parameter und nicht auf die Strahlachse. Eine im Resonator lokalisierte Kerr-Linse in einem optischen Element verschiebt dabei (wie eine thermische Linse) die Lage im Stabilitätsbereich. Im Fall einer gasgefüllten Zelle wirkt die Kerr-Linse kontinuierlich entlang der Propagation (mit einer zur Intensität proportiona-len Stärke). Das ergibt einen an jedem Ort um einen festen Faktor reduzierten Strahlradius. Das bedeutet eine größere Gouy-Phase bei der Propagation, aber in dem Sinne keine Verschiebung im Stabilitätsbe-reich, als die Rayleighlänge unverändert ist.

Ein Unterschied zwischen Pendeln und Eigenmode kann außerdem durch eine asphärische Krümmung der Resonatorspiegel entstehen.114 Diese kann durch die Fertigungstoleranz bedingt sein oder auch zu diesem Zweck spezifiziert werden. Ein gleichmäßiges Muster aus Reflexen, das sich nach einem Durch-gang durch die Zelle schließt, setzt rotationssymmetrische Spiegel, also gleiche Krümmungsradien in den transversalen Richtungen voraus. Die Anforderung an die Rotationssymmetrie nimmt nah am Stabi-litätsrand und für große Radien des Kreises von Reflexen zu.

112 Aufgrund des Einfallswinkels auf den Spiegeln stellt der Durchgang durch eine MPC genaugenommen keine

periodische Anordnung dar. Die Definition einer Eigenmode ist insofern eine Näherung. Der Unterschied der Brechkräfte ist in der oberen Hälfte des Stabilitätsbereichs sehr klein (Anhang A8.1.13).

113 Thermische Linsen können auch zur unterschiedlichen Brechkraft in tangentialer und radialer Richtung beitra-gen, die bereits durch den endlichen Einfallswinkel gegeben ist. Ein solcher Effekt wäre für eine in tangentialer Richtung kleinere Krümmung des Temperaturprofils aufgrund von Wärmestauung durch die benachbarten Re-flexe zu erwarten.

114 Wenn der Kreis von Reflexen für eine asphärische Fläche erhalten bleiben soll, muss sie rotationssymmetrisch sein und die Steigung der Fläche muss im Abstand der Reflexe von der Spiegelachse unverändert sein. Der ef-fektive Krümmungsradius in tangentialer Richtung ist dadurch bereits festgelegt; durch eine Asphärizität kann also nur der Krümmungsradius in radialer Richtung verändert werden. Sie geht also mit einem größeren Unter-schied von tangentialer und radialer Richtung einher (wenn sie nicht entsprechende Effekte durch eine thermi-sche Linse kompensiert, siehe Fußnote 113). Für eine asphärische Fläche steigt der Justageaufwand, da sie bzgl. der Resonatorachse exakt ausgerichtet sein muss.

Überhöhungsresonatoren mit geometrischer Auskopplung

77

3 Überhöhungsresonatoren mit geometrischer Auskopplung Passive optische Resonatoren haben mannigfaltige Anwendungen. Die vielen Resonatorumläufe, die die Strahlung abhängig von den Resonatorverlusten ausführt, ergeben eine erhöhte Sensitivität, die in der Metrologie genutzt wird [75-77], und eine erhöhte Intensität, die für nichtlineare Prozesse wie Fre-quenzkonversion oder Prozesse mit kleinen Wirkungsquerschnitten wie Thomson-Rückstreuung an Elektronen [78] genutzt wird. Für viele Anwendung ist ein optischer Zugang auf der optischen Achse des Resonators erforderlich, um Strahlung ein- oder auszukoppeln. Dies kann häufig durch dichroitische Spiegel erreicht werden. Für einige Anwendungen ist aber ein geometrischer Zugang auf der optischen Achse wünschenswert, bspw. wenn für die gegebenen Wellenlängen keine dichroitischen Spiegel mög-lich sind.

Das Problem, das die vorliegende Arbeit motiviert, ist die Auskopplung bei der Resonator-unterstützten Erzeugung hoher Harmonischer (engl.: high harmonic generation, HHG). HHG erlaubt räumlich und zeitlich kohärente Strahlung im XUV-Bereich115 mit zahlreichen wissenschaftlichen Anwendungen. Einige Anwendungen profitieren von einer großen Repetitionsrate. Dies gilt bspw. für die zeitaufgelöste Photoelektronen-Spektroskopie [79], in der mit jedem XUV-Puls nur ein Elektron erzeugt werden darf, um Raumladungseffekte zu vermeiden, und in der für eine ausreichende Statistik und für die Zeitauflö-sung sehr viele Einzelereignisse erfasst werden müssen. Eine große Repetitionsrate erlaubt daher kürze-re Messzeiten bzw. bessere Messungen. Eine andere Anwendung sind XUV-Frequenzkämme, die Repe-titionsraten im MHz-Bereich erfordern.116 XUV-Frequenzkamm-Spektroskopie wurde demonstriert an Übergängen in Argon (82 nm), Neon (63 nm) [80] und Xenon (147 nm) [81]. Eine besondere Herausfor-derung ist die Spektroskopie des 1s-2s-Übergangs in He+. Die zum Treiben dieses 2-Photonen-Übergangs benötigte Leistung bei 60,8 nm Wellenlänge liegt mit ca. 1 mW [82] deutlich über den bisher erreichten Werten. Der Übergang ist von besonderem Interesse, da He+ ein Wasserstoff-ähnliches Sys-tem darstellt, für das die Übergangsfrequenz berechnet werden kann. Die Messung erlaubt daher einen Test der Quantenelektrodynamik (QED) gebundener Systeme, wobei die Empfindlichkeit auf Korrek-turterme der QED aufgrund der doppelten Kernladungszahl deutlich größer als in Wasserstoff ist. Dar-über hinaus kann He+ als geladenes Teilchen in einer Falle gefangen und gekühlt werden, was prinzipi-ell geringere systematische Fehler bei der Messung erlaubt [82].

Der hoch nichtlineare HHG-Prozess erfordert Intensitäten >1013 W/cm2, was bei großer Repetitionsrate

und limitierter mittlerer Leistung schwer zu erreichen ist. Bei Repetitionsraten größer ca. 10 MHz kann ein Überhöhungsresonator benutzt werden, der die Leistung um ca. 2 Größenordnungen überhöht und damit die erforderliche Intensität mit einer für den Prozess geeigneten Fokusgröße ermöglicht.117 Die erste Demonstration von Resonator-unterstützter HHG bei Repetitionsraten von 112 MHz und 100 MHz 115 Der Begriff XUV (Extreme Ultraviolett) ist in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Nach DIN ISO 21348

sind die Wellenlängenbereiche folgendermaßen eingeteilt: X-Ray (Röntgen-Strahlung) 0,0001-0,1 nm, XUV (Extrem Ultraviolett) 0,1-10 nm, EUV (Extrem Ultraviolett) 10-121 nm, VUV (Vakuum-Ultraviolett) 10-200 nm. Im Rahmen dieser Arbeit soll mit XUV Strahlung im Wellenlängenbereich ca. 10-200 nm bezeichnet werden (für den eigentlich der Begriff VUV korrekt wäre); insbesondere ist die Wellenlänge von 60,8 nm ein-geschlossen, die für die He+ Spektroskopie benötigt wird.

116 Es gibt keine minimale Repetitionsrate für einen Frequenzkamm. Für kleine Repetitionsraten ist aber sowohl die Stabilisierung der Kammparameter als auch die Identifizierung der Kammmoden bei der Spektroskopie an-spruchsvoller. Mindestens muss die Repetitionsrate größer sein als die Breite des damit zu vermessenden Übergangs.

117 Gleichzeitig wird die Gesamteffizienz der Konversion durch das Recyceln der nichtkonvertierten Leistung verbessert. Motivation für die Benutzung eines Überhöhungsresonators ist aber üblicherweise nicht die Steige-rung der Effizienz sondern die große Repetitionsrate. Es ist unentschieden, ob eine größere Effizienz durch ei-nen Überhöhungsresonator bei großer Repetitionsrate oder im single-pass mit kleiner Repetitionsrate und gro-ßer Pulsenergie möglich ist. Das hängt entscheidend von den zur Verfügung stehenden Laserparametern ab.


78

wurde 2005 zeitgleich am MPQ, Garching [83] und JILA, Colorado [84] erreicht. Dabei wurden moden-gekoppelte Ti:Sa-Oszillatoren mit einer mittleren Leistung <1 W benutzt. Die ausgekoppelte Leistung beträgt nur 1 nW im Bereich 60-120 nm bei 38 W zirkulierender Leistung und 28 fs Pulsdauer [83]. In den folgenden Jahren konnte die ausgekoppelte Leistung um viele Größenordnungen gesteigert werden. Dies wurde insbesondere durch größere Leistungen der Lasersysteme und damit einhergehender Steige-rung der zirkulierenden Leistung auf bis zu 6,5 kW [80] erreicht.118 Neben Ti:Sa wurden Yb-basierte Laser benutzt, die eine deutlich größere mittlere Leistung erlauben.119

Abb. 3.1: Gegenüberstellung der erreichten mittleren Leistung der Harmonischen im Wellenlängenbereich 30-100 nm für verschiedene HHG-Experimente mit Repetitionsraten >10 MHz. Dargestellt ist jeweils die aus dem Resonator ausgekoppelte Leistung. Im Fall der HHG im single-pass entfällt die Auskopplung. Je nach Anwendung muss aber die treibende Strahlung unterdrückt werden, was ebenfalls mit Verlusten einhergeht. Angegeben ist die geschätzte Leistung vor Al-Filtern zur IR-Unterdrückung. Zu den Veröffentlichungen sind jeweils die Repetitions-rate, mittlere Leistung (vor Überhöhung) und Pulsdauer (im Resonator) angegeben. Experimente mit geometri-scher Auskopplung sind durch hohle Symbole gekennzeichnet. Das Ziel am MPQ soll durch eine Skalierung der Demonstration mit Schlitzmode erreicht werden. Referenzen: Yost 2008 [91], Ozawa 2008 [92], Hammond 2011 [93], Lee 2011 [94], Yost 2011 [95], Cingöz 2012 [80], Pupeza 2013 [96], Pupeza 2014 [90], Hädrich 2015 [88], Carstens 2016 [97]. Stand April 2017.

Es ergeben sich hauptsächlich zwei Limitierungen für eine weitere Skalierung der XUV-Leistung. Ers-tens limitiert die notwendigerweise mit dem HHG-Prozess verbundene Ionisation des Gases sowohl die Konversionseffizienz als auch die zirkulierende Leistung im Überhöhungsresonator. Diese Limitierung kann durch kürzere treibende Pulse und eine reduzierte Finesse des Überhöhungsresonators entschärft werden [85,86]. Eine kleinere Finesse und damit kleinere Überhöhung muss durch eine größere einfal-lende Leistung ausgeglichen werden. Hierzu sind Lasersysteme mit kleiner Pulsdauer und großer mittle-rer Leistung im geeigneten Pulsenergiebereich erforderlich (wie in Kapitel 4 besprochen). Zweitens limitieren etablierte Auskoppelmethoden für die Harmonischen die Skalierung der zirkulierenden Leis-tung durch thermische Effekte, Nichtlinearität, Dispersion, Verluste und Zerstörschwelle. Darüber hin-aus ist die Auskoppeleffizienz der etablierten Methoden begrenzt; dies gilt insbesondere für kleine Wel-

118 Deutlich größere Leistungen sind ohne das Gastarget möglich (8 kW in [80], mehrere 100 kW [56]). 119 Yb-basierte Lasersystem haben mit 1 μm eine größere Wellenlänge als Ti:Sa mit typischerweise 0,8 μm. Da

die Effizienz des HHG-Prozesses stark von der Wellenlänge abhängt, ist für Yb gegenüber Ti:Sa mit einer re-duzierten Effizienz zu rechnen. Der Faktor beträgt ca. (1 μm/0,8 μm)-5 = 0,33 [89].

30 40 50 60 70 80 90 100

0.1

1

10

100

1000

Carstens 2016 250 MHz/170 W/30 fs

136 MHz/10 W/100 fsYost 2008

Yost 2011154 MHz/80 W/120 fs

10,8 MHz/1 W/57 fs

154 MHz/30 W/120 fs

10,7 MHz/76 W/31 fs50 MHz/6 W/80 fs

mitt

lere

Lei

stun

g PX

UV

[μW

]

Wellenlänge [nm]

Ziel MPQ 2017Resonator-unterstütze HHG

Ti:Sa-Laser (0,8 μm) Yb-basierte Laser (1 μm) single-pass HHG

Schlitzmode78 MHz/43 W/57 fsLochspiegel

(40 MHz/300 W/115 fs)

Ozawa 2008

Cingöz 2012,

Pupeza 2014Pupeza 2013

Hädrich 2015

78 MHz/45 W/100 fs

Lee 2011,

66 MHz/0,7 W/70 fsHammond 2011

Lochspiegel

Wellenlänge [nm]30 40 50 60 70 80 90 100


79

lenlängen (<20 nm). Diese Probleme werden durch eine geometrische Auskopplung durch eine Öffnung in einem Resonatorspiegel gelöst, die in diesem Kapitel besprochen wird.

In Abb. 3.1 sind erreichte mittlere Leistungen im XUV gegenübergestellt, die durch HHG bei Repetiti-onsraten >10 MHz demonstriert wurden. Typischerweise werden bei solchen Repetitionsraten Überhö-hungsresonatoren eingesetzt. Nach der ersten Demonstration von HHG im single-pass mit MHz-Repeti-tionsrate [87] wurden vor kurzem mit diesem Schema vergleichbare XUV-Leistungen erreicht [88].120

Mittels einer zirkulierenden Schlitzmode und geometrischer Auskopplung wurden im Rahmen dieser Arbeit ausgekoppelte XUV-Leistungen erreicht [90], die vergleichbar sind mit Ergebnissen mit einer zirkulierenden Grundmode. Damit wurde die Eignung dieser Feldverteilung für die HHG demonstriert. Eine Skalierung der XUV-Leistung mit diesem Schema und einer größeren zirkulierenden Leistung mit dem Ziel von 1 mW bei 60,8 nm ist am MPQ geplant.

120 Es ist offen, ob eine weitere Skalierung der XUV-Leistung besser mit Überhöhungsresonatoren oder im Single-

Pass gelingt. Für die Anwendung der Frequenzkamm-Spektroskopie hat der Überhöhungsresonator zusätzlich die Funktion, hochfrequentes Rauschen des IR-Frequenzkamms zu unterdrücken.


80

3.1 Stand der Technik

Die Auskopplung der Harmonischen bei der Resonator-internen HHG stellt eine Herausforderung dar, weil es für Wellenlängen im XUV-Bereich keine dichroitischen Spiegel gibt. Da jedes Material die XUV-Strahlung absorbiert, sind transmissive Optiken nicht möglich.121 Gleichzeitig muss das Auskop-pelelement geringe Verluste für die treibende Strahlung aufweisen, damit eine große Überhöhung er-reichbar ist. Verschiedene Möglichkeiten sind in Abb. 3.2 zusammengefasst.

Abb. 3.2: Verschiedene Möglichkeiten der Auskopplung von Resonator-intern erzeugter XUV-Strahlung: (a) Auskopplung über eine Platte hinter dem Fokus, die für die zirkulierende IR-Strahlung unter Brewster-Winkel steht, (b) Auskopplung über ein Gitter in der obersten Schicht eines HR-Spiegel mit großem Einfallswinkel hinter dem Fokus, (c) geometrische Auskopplung durch eine Öffnung im Fokussierspiegel hinter dem Fokus.

Eine etablierte Möglichkeit der Auskopplung ist eine plan-parallele Platte aus Saphir oder einem ande-ren für die fundamentale Strahlung transparenten Material, die unter dem Brewster-Winkel für die Fun-damentale in den Resonator eingebracht ist. Diese Methode wurde gleichzeitig demonstriert von Gohle et al. [83] und Jones et al. [84]. Aufgrund des Brewster-Winkels sind die Fresnel-Verluste für die Fun-damentale (mit p-Polarisation) gering. Die Harmonischen werden teilweise an der Platte reflektiert. Für Wellenlängen um 60 nm werden Reflektivitäten (d.h. Auskoppeleffizienzen) von 17% erreicht [83]. Für kleinere (und größere) Wellenlängen sinkt die Reflektivität. Die Methode ist daher zur Auskopplung von Strahlung mit ca. <20 nm nicht geeignet. Eine weitere Limitierung der Methode ergibt sich aus der Dispersion und Nichtlinearität für die IR-Strahlung in Transmission sowie thermische Effekte und Zer-störschwelle/Degradation. Wenn die Brewster-Platte auf halber Strecke zwischen Fokus und Fokussier-spiegel platziert ist, ist die Intensität hier 4-mal so groß wie auf dem Spiegel, was die Limitierung ver-schärft. Zwei Weiterentwicklungen der Methode, die diese Limitierungen betreffen, wurden vorge-schlagen, aber noch nicht zur XUV-Auskopplung aus einem Überhöhungsresonator demonstriert. Zum einen kann der Winkel der Platte gegen die Strahlachse vergrößert werden, wenn sie mit einer geeigne-ten beidseitigen AR-Beschichtung für die Fundamentale versehen wird (Grazing-Incidence Plate, GIP), wie vorgeschlagen von Pronin et al. [98]. Dadurch werden größere Reflektivitäten für die XUV-Strahlung möglich, insbesondere wird eine sinnvolle Reflektivität auch bei kleineren Wellenlängen er-reicht (bis ca. 5 nm für 80° Einfallswinkel [98]). Zum anderen kann eine Brewster-Platte auf einen ge-eigneten Planspiegel aufgebracht werden, um thermische und mechanische Stabilität für eine dünne Platte zu verbessern. Damit Harmonische und Fundamentale getrennt werden, muss die Platte als Keil ausgeführt sein (Wedge-on-Mirror Output Coupler, WOMOC), vorgeschlagen durch Pupeza et al. [99]. 121 Einige Metalle mit Dicken im Bereich 100 nm erlauben eine sinnvolle Transmission, sind aber nicht als Spie-

gel für die treibenden IR-Strahlung mit großer mittlerer Leistung geeignet.

Gastarget XUV


Brewster-

Gastarget

XUV


Gitter-

Gastarget

XUV


Loch-/Schlitzspiegel

spiegelPlatte

(a) Auskopplung über Brewster-Platte (b) Auskopplung über Gitter

(c) Geometrische Auskopplung


81

Eine andere etablierte Methode ist ein Gitter mit kleiner Periode, das auf die Oberfläche eines dielektri-schen Resonatorspiegels eingebracht wird, vorgeschlagen und demonstriert von Yost et al. [91]. Um große Reflektivitäten im XUV zu erreichen, wird ein großer Einfallswinkel (70°) gewählt. Das Gitter hat eine Periode kleiner als die fundamentale Wellenlänge, so dass für sie keine höheren Beugungsord-nungen existieren und geringe Verluste erreicht werden. Die Auskoppeleffizienzen sind ca. 10% im Bereich um 60 nm [80]. Die ausgekoppelten Harmonischen erhalten durch das Gitter eine Winkeldis-persion. Wenn die Harmonischen für die Anwendung ohnehin separiert werden müssen, kann dies als Vorteil gelten. Wenn hingegen kollineare Harmonische benötigt werden, kann das nur mit großem Aufwand und Verlusten erreicht werden.122

Eine alternative Methode stellt die geometrische Auskopplung durch eine Öffnung im Resonatorspiegel hinter dem Gastarget dar. Da kein zusätzliches Element für die Auskopplung in den Resonator einge-bracht wird, gibt es keine zusätzliche Dispersion, Nichtlinearität oder Bandbreitebegrenzung. Für man-che Anwendungen kann auch von Bedeutung sein, dass durch eine geometrische Auskopplung keine Polarisationsdiskriminierung in den Resonator eingeführt wird.

Verschiedene Möglichkeiten der geometrischen Auskopplung sind vorgeschlagen worden. Die Resona-tor-unterstützte nicht-kollineare HHG mit zwei zirkulierenden Pulsen, die im Fokus unter einem kleinen Winkel überlappen, erlaubt die Auskopplung der Harmonischen durch die Lücke zwischen zwei Re-sonatorspiegeln (oder durch eine Öffnung darin). Dieses Konzept wurde vorgeschlagen von Moll et al. [100]. Experimente zur nicht-kollinearen HHG, allerdings ohne Überhöhungsresonator, wurden durch-geführt von Ozawa et al. [101].

In [100] wird auch die Möglichkeit diskutiert, transversale Eigenmoden des Überhöhungsresonators zu nutzen, die eine Nullstelle des elektrischen Felds auf der Resonatorachse besitzen, bspw. die Gauß-Hermite-Mode , . Solche transversalen Moden erlauben kleine Verluste durch ein Loch im Resona-torspiegel und damit eine große Überhöhung. Allerdings sind diese Feldverteilungen unvorteilhaft für den HHG-Prozess. Da die beiden Feldmaxima der , -Mode außer Phase schwingen, gilt dies auch für die damit erzeugten Harmonischen. Die Harmonischen haben daher wie die treibende Mode eine verschwindende Intensität auf der Resonatorachse und können nicht effizient durch ein Loch ausgekop-pelt werden. Dieser Nachteil kann möglichweise durch Phasenmasken im Resonator überwunden wer-den. Ein Phasenstufe von auf dem Fokussierspiegel vor dem HHG Fokus kann die beiden Feldmaxi-ma in Phase setzen, so dass sich im Fokus ein Intensitätsmaximum auf der Resonatorachse ergibt; eine zweite Phasenstufe in der Abbildungsebene der ersten (näherungsweise auf dem Fokussierspiegel hinter dem Fokus) setzt die Maxima wieder außer Phase [100].

Eine andere vielversprechende Möglichkeit zur geometrischen Auskopplung ist ein Überhöhungsre-sonator für Bessel-Gauß-Strahlen mit einem Intensitätsmaximum auf der Resonatorachse im Fokus und einer ringförmigen Intensitätsverteilung im Fernfeld, die eine große Öffnung im Resonatorspiegel er-laubt [37]. Die Eignung dieser Feldverteilung für HHG muss noch untersucht werden. Ein Nachteil könnte die große radialsymmetrische Ausdehnung der Feldverteilung um den Fokus darstellen, die die Zugänglichkeit für eine Gasdüse behindert. Außerdem scheint dieser Resonator sehr empfindlich auf Oberflächendeformationen der Resonatorspiegel zu sein [102].

Die konzeptionell einfachste Methode der geometrischen Auskopplung ist die Benutzung der transver-salen Grundmode ( , ) zusammen mit einem Loch im Auskoppelspiegel, das hinreichend klein sein muss, um geringe Verluste zu erreichen. Diese Methode ist in besonderer Weise für kleine Wellenlän-gen geeignet, da die Auskoppeleffizienz aufgrund des kleineren Divergenzwinkels für kleinere Wellen-längen zunimmt. Mit dieser Methode wurden Harmonische mit Wellenlängen bis hinunter zu 11,45 nm

122 Damit ist nicht nur an Anwendungen im Zeitbereich gedacht, also die Überlagerung mehrerer Harmonischer zu

as-Pulszügen (möglicherweise sogar isolierten as-Pulsen), sondern auch an XUV-Frequenzkamm-Spektro-skopie eines 2-Photonen-Übergangs. Auch die spektralen Anteile innerhalb einer harmonischen Ordnung dür-fen nicht räumlich gegeneinander verschoben sein, um den 2-Photonen-Übergang effizient zu treiben.


82

(Photonenenergie 108 eV) ausgekoppelt [96]. Für Harmonische im Bereich 30-50 nm Wellenlänge wur-den Leistungen pro Harmonischer im μW-Bereich erreicht.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein quasi-abbildender Resonator zur geometrischen Auskopplung von Harmonischen entwickelt und demonstriert. Das ist ein Resonator mit einer Entartung von transversalen Moden und einem Hindernis im Strahlengang, das durch die Öffnung im Resonatorspiegel gegeben ist. Gleichzeitig resonante transversale Moden werden zu einer Feldverteilung überlagert, die dem Hinder-nis ausweicht. Dadurch sind große Öffnungen bei kleinen Verlusten möglich. Es können Feldverteilun-gen angeregt werden, die in der Nähe des Fokus ein Intensitätsmaximum auf der optischen Achse auf-weisen. In diesem Maximum können Harmonische erzeugt und durch eine Öffnung im Spiegel ausge-koppelt werden [90].

Dieses generelle Konzept der Nutzung entarteter transversaler Moden wurde auch in aktiven Resonato-ren für Freie-Elektronen-Laser vorgeschlagen, in denen der Elektronenstrahl kollinear durch Löcher in den Resonatorspiegeln eingeführt werden kann [103]. Hier wird es auf passive Überhöhungsresonatoren für nichtlineare Prozesse angewendet.

Auskoppelspiegel

Unabhängig von der Methode der geometrischen Auskopplung werden Spiegel mit einer Öffnung benö-tigt. Für den Grundmode-Resonator mit Auskopplung durch ein kleines Loch und für den quasi-abbild-enden Resonator werden Löcher und Schlitze mit Durchmessern im Bereich von 100 μm in konkaven Substraten mit 6,35 mm Dicke benötigt. Solche Geometrien können aufgrund des großen Aspektver-hältnisses nicht mit Ultraschallbohren gefertigt werden. Im Rahmen der Entwicklung des quasi-abbild-enden Resonators wurden am Fraunhofer ILT verschiedene Möglichkeiten zur Fertigung solcher Spie-gelsubstrate mittels Laserverfahren untersucht. Mit der Methode des Inversen Laserstrahlbohrens konn-ten Löcher und Schlitze gebohrt werden [104], die bei den Experimenten in [90,96] zum Einsatz kamen. Dabei ist es neben der Bohrgeometrie wichtig, dass die optische Oberfläche durch den Bohrprozess nicht beschädigt wird und Deformationen der Oberfläche im Bereich der Bohrung hinreichend klein sind [104].


83

3.2 Theorie Quasi-Abbildung

Ein quasi-abbildender Resonator ist eine Möglichkeit, mit einer Öffnung in einem der Spiegel geometri-schen Zugang auf der optischen Achse in einem Überhöhungsresonator zu erhalten. Eine Überlagerung von transversalen Moden in einem stabilen entarteten Resonator ergibt eine Feldverteilung, die das Hin-dernis vermeidet und darum nur kleine Verluste aufweist. Bei der Propagation im Resonator sammeln die Moden unterschiedliche Phasen auf, so dass an einer anderen Stelle ein Intensitätsmaximum auf der optischen Achse entsteht. Abb. 3.3 stellt dieses Konzept schematisch dar. Die Situation heißt Quasi-Abbildung, weil sie in dem Sinne mit einer Abbildung verwandt ist, dass das Loch in der Feldverteilung, welches das Hindernis erzeugt, nach einem Resonatorumlauf reproduziert wird.

Abb. 3.3: Schematische Darstellung des Konzepts der Quasi-Abbildung. (a) In einem stabilen Resonator besitzen die transversalen Moden im Allgemeinen eine unterschiedliche Umlaufphase und nur eine Mode kann gleichzeitig resonant sein (rot = resonant, grau = nicht resonant). (b) Im Fall eines entarteten Resonators besitzt eine Gruppe von transversalen Moden die gleiche Umlaufphase und kann gleichzeitig resonant sein. Die resonanten transversa-len Moden propagieren unabhängig voneinander im Resonator, d.h. ihre relative Amplitude und Phase ist beliebig. (c) Ein quasi-abbildender Resonator ist ein entarteter Resonator mit einem Hindernis im Strahlengang. Das Hin-dernis führt zu einer Kopplung der transversalen Moden und legt deren relative Amplitude und Phase fest.

Die transversalen Moden , eines stabilen Resonators besitzen im Allgemeinen unterschiedliche Umlaufphasen , , (Gl. 2.66), sind also bei unterschiedlichen Frequenzen bzw. Resonatorlängen re-sonant. Für ausgezeichnete Werte des Gouy-Parameters jedoch sind transversale Moden mit einer Mo-denzahldifferenz = 2 – 1 entartet, d.h. gleichzeitig resonant. Die transversalen Moden zerfallen dann in Gruppen von untereinander entarteten Moden. Eine Entartung mit Modenzahldifferent liegt vor für folgende Gouy-Parameter:

, = 2 mit ganzzahligem , mit , , = 2 + + , + + , Gl. 3.1

Im Allgemeinen sind die beiden transversalen Richtungen verschieden. Es kann dann eine Entartung in -Richtung mit Modenzahldifferenz oder in -Richtung mit Modenzahldifferenz erreicht wer-

den. Wenn der Resonator zylindersymmetrisch ist und die Gouy-Parameter in den transversalen Rich-tungen gleich sind, kann eine Entartung von -Moden mit radialer Modenzahldifferenz erreicht werden: = mit ganzzahligem , mit , , = 2 + (2 + ) Gl. 3.2

Es können auch -Moden mit unterschiedlicher azimutaler Modenzahl entartet sein. Für die radiale Modenzahldifferenz und die azimutale Modenzahldifferenz muss gelten: 2 + = 2 .

Eine Modenzahldifferenz von = 1 oder = 2 ist in einem stabilen Resonator nicht möglich, weil ein Gouy-Parameter von , = 2 oder , = keinem stabilen Resonator entspricht.

stabiler Resonator entarteter Resonator quasi-abbildender Resonator

x xx

Hindernis

(a) (b) (c)


84

In einem entarteten Resonator kann eine beliebige Kombination von resonanten transversalen Moden angeregt werden, abhängig von der einfallenden Feldverteilung. Die Eigenschaften eines solchen Re-sonators werden diskutiert in [105].

In Abb. 3.4 ist veranschaulicht, wie die Entartung von transversalen Moden durch Variation der Lage im Stabilitätsbereich erreicht werden kann. Die folgende Darstellung ist größtenteils veröffentlicht in [106].

Abb. 3.4: Zur Entartung von transversalen Moden in einem stabilen Resonator mit (a) Stabilitätsbereich 0 < < und (b) Stabilitätsbereich < < 2 . Gezeichnet sind die Resonanzkurven für unterschiedliche transversale Mo-den über der Umlaufphase, die durch die Wellenzahl der einfallenden Strahlung und die Länge eines Resonato-rumlaufs 2 gegeben ist (Resonatorlänge für einen linearen Resonator oder 2 für einen Ringresonator). Zur besseren Unterscheidung sind die Resonanzen der transversalen Moden unterschiedlich hoch und farbig gezeich-net. Am Stabilitätsrand mit = 0 bzw. 2 (unten links/oben rechts) entarten alle transversalen Moden in einer Gruppe; am Stabilitätsrand mit = (oben links/unten rechs) sind sie in zwei Gruppen mit geraden und ungera-den Moden entartet. In der Mitte der Stabilitätsbereiche (mittlere Zeile) sind transversale Moden mit Modenzahl-differenz = 4 entartet. Die Entartung von , und , ist durch einen Kreis markiert. Die Resonanz der Grund-mode ist in der Abbildung bei der Variation des Stabilitätsbereichs zur besseren Übersichtlichkeit festgehalten.

Konstruktion von Lochmoden und Schlitzmoden

Wenn ein Hindernis in den Strahlengang eines stabilen Resonators eingebracht wird, sind die -Moden (und ggf. -Moden) keine Eigenmoden des Resonators mehr, wenn nicht die transversale

Ausdehnung des Hindernisses hinreichend klein ist und am Ort einer Nullstelle der Feldverteilung plat-ziert wird [100]. Die neuen Eigenmoden des Resonators mit Hindernis sind im Allgemeinen mit Beu-gungsverlusten behaftet. Im Fall eines quasi-abbildenden Resonators, für den eine Gruppe von

-Moden (ggf. -Moden) entartet ist, können jedoch neue Eigenmoden einfach als Linearkombinati-on dieser Moden konstruiert werden. Wenn eine solche Linearkombination das Hindernis vermeidet, kann sie als neue Eigenmode mit kleinen Beugungsverlusten gelten. Um das Feld auf einer endlichen Fläche exakt zu null zu setzen, wäre eine unbegrenzte Zahl von transversalen Moden erforderlich. Daher können die Beugungsverluste nicht vollständig verschwinden. Sie können aber für ein geeignetes Hin-dernis sehr klein sein für eine Kombination von nur wenigen transversalen Moden.

Von besonderem Interesse ist ein Hindernis auf der optischen Achse des Resonators, das bspw. durch ein Loch oder Schlitz in einem Resonatorspiegel gebildet wird. Modenkombinationen von -Moden, die ein Schlitz-förmiges Hindernis vermeiden, sollen hier als Schlitzmoden bezeichnet werden, Mo-

200,0 2

20,0 2

1,0

/22

0,0 2

1,0

2,03,0

4,0

0,0

20,0 2

20,0 2

1,0

3 /22

0,0 2

2,0

2

3,0

4,0

0,0

1,0

(a) (b)

0 < < < <2


85

denkombinationen von -Moden, die ein Loch vermeiden, als Lochmoden. Abhängig von der Geomet-rie des Resonators und dem Gouy-Parameter, d.h. der Modenzahldifferenz der entarteten Moden, kön-nen vielfältige Kombinationen konstruiert werden, die einem Hindernis auf der optischen Achse aus-weichen. Die einfachste Möglichkeit, ein verschwindendes Feld auf der optischen Achse zu erreichen, ist es, die Grundmode mit der nächsten resonanten geraden Mode zu kombinieren. Für die Mitte des Stabilitätsbereichs mit einem Gouy-Parameter von = /2 oder 3 /2 ist die Modenzahldifferenz = 4 bzw. = 2 und die Modenkombinationen sind , & , und & . Für die Schlitzmode ist eine Gauß-förmige Feldverteilung in der Richtung parallel zum Schlitz angenommen. Für einen Gouy-Parameter = /3 oder 5 /3 ist die Modenzahldifferenz = 6 bzw. = 3 und die Modenkombinati-onen sind , & , und & . Für = 2 /3 oder 4 /3 ist = 3. Die einfachste gleichzeitig mit der Grundmode resonante Mode , ist aber ungerade und kann daher nicht zusammen mit der Grundmode eine verschwindende Feldstärke auf der Resonatorachse ergeben.123 Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass im Fall eines abbildenden Resonators mit Gouy-Parameter = 2 oder alle Moden bzw. alle geraden oder ungeraden Moden entartet sind. Die einfachsten Modenkom-binationen, die einem Schlitz oder Loch ausweichen, sind dann , & , und & .

Die Modenkombinationen ergeben eine verschwindende Feldstärke auf der optischen Achse in der Ebe-ne des Hindernisses. Bei der Propagation im Resonator sammeln die transversalen Moden eine unter-schiedliche Phase auf, so dass die Intensität auf der optischen Achse für die Modenkombination zwi-schen null und einem Maximalwert oszilliert. Für zwei Moden , ( , ), , ( , ) mit Koeffi-zienten , lautet die Intensität auf der optischen Achse: ( ) = , (0,0) exp + ( ) + , (0,0) exp + ( )

= sin2 2 ( ) mit = 4 , (0,0) = 4 , (0,0)

für , (0,0) = , (0,0) und Normierung + = 1

Gl. 3.3

Dabei ist eine gerade Modenzahl angenommen (z.B. = 0). Im Fall zylindrischer Symmetrie lautet die Intensität auf der optischen Achse ( ) = sin2 ( ) . Der Verlauf der Intensität weicht von dieser Form ab, wenn weitere transversale Moden hinzutreten.

Falls das Hindernis ein Loch oder Schlitz in einem Fokussierspiegel hinter einem Resonator-internen Fokus ist, also dort die Intensität auf der Strahlachse zu null gesetzt ist, verschwindet im Fall = /2 die Intensität auf der Strahlachse auch in der Fokusebene. Die Intensität ist dann maximal eine Ray-leighlänge vor und hinter dem Fokus. Das folgt daraus, dass die Propagation um eine Rayleighlänge ab dem Fokus eine Gouy-Phase von = /4 ergibt (Gl. 2.9), die entarteten Moden mit Modenzahldifferenz = 4 also eine Phasendifferenz von aufgesammelt haben (d.h. mit umgekehrten Vorzeichen addiert werden). Die Propagation um viele Rayleighlängen vom Fokus bis zum Fokussierspiegel ergibt eine Gouy-Phase = /2, für welche die entarteten Moden wieder in Phase sind. Im Fall = /3 hingegen ist die Intensität auf der Strahlachse in der Fokusebene maximal.

Einfache , -Moden mit ungeraden Modenzahlen oder und -Moden mit azimutaler Moden-zahl > 0 besitzen eine Nullstelle auf der Resonatorachse und können einem kleinen Hindernis darauf ausweichen (wie für , demonstriert in [100]). Allerdings kann die Breite des Intensitätsminimums auf der optischen Achse durch Hinzunahme geeigneter transversaler Moden vergrößert werden. Zwei einfache Fälle in Kartesischer und zylindrischer Geometrie sind die Modenkombinationen , & , und ,± & ,±.

123 Die beiden Moden 0,0 & 3,0 können trotzdem kombiniert werden, um einem Hindernis auszuweichen.

Dieses muss dann gegen die optische Achse des Resonators verschoben sein.


86

Abb. 3.5: Intensitätsverteilung verschiedener Modenkombinationen in Kartesischer (links) und zylindrischer Ge-ometrie (rechts) in der Ebene des Hindernisses (blau) und in der Ebene, in der die beitragenden Moden mit ande-rem Vorzeichen addiert werden (rot). Das entspricht der Ebene der maximalen Intensität für (a)-(d) und (g)-(h) oder der minimalen Breite des Intensitätsminimums auf der optischen Achse (e)-(f). Graph (g) und (h) zeigen eine Modenkombination in einem abbildenden Resonator ( = ), statt eines quasi-abbildenden Resonators. Die Inten-sität der Grundmode mit gleichem -Parameter und Leistung ist in (a)-(d) und (g)-(h) als graue gestrichelte Linie abgebildet. In (e) und (f) sind jeweils die einfachen Moden 1,0 und ,± abgebildet. Die blaue gestrichelte Linie zeigt die Fernfeld-Verteilung des Feld in der Ebene des Hindernisses für den Fall, dass eine Phasenmaske benutzt wird mit Stufen von , die die vier Intensitätsmaxima auf gleiche Phase setzt (e), oder sinusförmig um die optische Achse mit exp( 2 ) (f). Die transversalen Koordinaten und sind auf den Strahlradius der Grundmode nor-miert. Für die zylindrische Geometrie ist die Verteilung zwecks klarer Darstellung zu negativen Radien verlängert. Die angegebenen Koeffizienten für die Moden sind gültig, wenn die Moden auf Leistungsinhalt 1 normiert sind.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

0

5

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

di /

-3 -2 -1 0 1 2 3

Kartesische Geometrie zylindrische Geometrie

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

3 11 , 8 11 ,3 11 , + 8 11 , 1 2 + 1 21 2 1 2

23 , 8 23 ,23 , + 8 23 ,

Inte

nsitä

t [b.

E.]

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

transversale Koordinate /

Inte

nsitä

t [b.

E.]

6 7 ,± + 1 7 ,±6 7 ,± 1 7 ,±


transversale Koordinate / transversale Koordinate /

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

Inte

nsitä

t [b.

E.]

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

Inte

nsitä

t [b.

E.]

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

21 , + 16 21 ,21 , 16 21 , 1 2 + 1 21 2 1 2

Inte

nsitä

t [b.

E.]

Inte

nsitä

t [b.

E.]


Inte

nsitä

t [b.

E.]


Inte

nsitä

t [b.

E.]

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

1 2 + 1 21 2 1 21 3 , + 2 3 ,1 3 , 2 3 ,

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)


87

Wenn ein Maximum der Feldverteilung auf der optischen Achse in der Fokusebene benötigt wird, kön-nen Phasenmasken benutzt werden. Ein solches Vorgehen wurde für die einfache , -Mode vorge-schlagen [100], ist aber mit geeigneten Masken auch für Moden-Kombinationen in einem quasi-abbildenden Resonator möglich. Eine Phasenmaske auf einem Spiegel vor dem Fokus setzt dabei die gegenphasigen Intensitätsmaxima in Phase, so dass sich bei der Propagation in die Fokusebene ein In-tensitätsmaximum auf der optischen Achse entwickelt. Eine zweite Phasenmaske in einer Bildebene der ersten macht die Phasenverschiebung rückgängig.124

Die angegebenen Modenkombinationen sind in Abb. 3.5 dargestellt.

Eigenschaften der Loch- und Schlitzmoden

Die Beugungsverluste der Loch- und Schlitzmoden an dem Hindernis können durch folgende Überle-gung abgeschätzt werden. Die Transmission einer normierten Feldverteilung am Hindernis und die beschnittene normierte Feldverteilung lauten: = | | und = in , 0 sonst Gl. 3.4

Dabei ist das Integrationsgebiet, welches das Hindernis ausspart. ist der Verlustfaktor aufgrund des Abschneidens von Intensität durch das Hindernis; falls das Hindernis ein Loch oder Schlitz in einem Spiegel ist, bezeichnet die Reflektion an diesem Spiegel. Zusätzliche Verluste sind bei der Propagati-on der beschnittenen Feldverteilung zu erwarten. Der räumliche Überlapp des beschnittenen Felds mit dem ursprünglichen Feld ist: ( , ) = = = | | = = Gl. 3.5

Das bedeutet, dass der gleiche Verlust, der am Hindernis selbst entsteht, noch einmal bei der Propagati-on der beschnittenen Feldverteilung hinzukommt. Der Verlustfaktor für einen Resonatorumlauf kann damit folgendermaßen abgeschätzt werden: = = Gl. 3.6 Diese Betrachtung geht davon aus, dass der Teil der beschnittenen Feldverteilung, der nicht mit der ursprünglichen Feldverteilung überlappt, bei einem Resonatorumlauf verloren geht. Das ist nicht not-wendigerweise richtig, insbesondere im Fall einer Moden-Entartung. Ein präziseres Modell für diesen Fall wird weiter unten entwickelt. Für einen nicht-entarteten Resonator stellt Gl. 3.6 eine sehr gute Be-schreibung dar, wie in [96] bestätigt.125 Die nach diesem Modell abgeschätzten Verlustfaktoren sind in Abb. 3.6 für verschiedene Moden und Modenkombinationen gegenübergestellt.

Vom räumlichen Überlapp , der die Beugungsverluste durch das Hindernis beschreibt, unter-schieden werden muss der räumliche Überlapp zwischen dem zirkulierenden Feld im Resonator (Mode oder Modenkombination) und dem einfallenden Feld (typischerweise ein Gaußscher Strahl), der den Überlapp am Einkoppelspiegel eines Überhöhungsresonators angibt: = Gl. 3.7

Ein unvollständiger Überlapp verringert proportional die Leistungsüberhöhung. Einige Eigenschaften verschiedener Moden und Modenkombinationen sind in Tab. 3 gegenübergestellt.

124 Näherungsweise werden die Fokussierspiegel aufeinander abgebildet und die Phasenmasken können auf diesen

Spiegeln angebracht werden. Um Verluste durch die Phasenmasken zu minimieren, sollte die zweite Phasen-maske aber tatsächlich in der Bildebene der ersten stehen, also bspw. die zweite Phasenmaske auf dem Fokus-sierspiegel hinter dem Fokus (der auch die Öffnung enthält) und die erste Phasenmaske auf einem Planspiegel in geeignetem Abstand vor dem Fokussierspiegel vorm Fokus.

125 Ggf. können Blenden im Resonator benutzt werden, um Anteile des zirkulierenden Felds zu dämpfen, die an dem Hindernis in höhere transversale Moden gebeugt werden [96].


88

Abb. 3.6: Verluste durch ein Hindernis auf der optischen Achse für verschiedene Moden und Modenkombinatio-nen in Kartesischer (a) und zylindrischer (b) Geometrie als Funktionen der Abmessung des Hindernisses. be-zeichnet den Strahlradius der Grundmode in der Ebene des Hindernisses. Die Verluste der Moden und Mo-denkombinationen an einem Loch statt Schlitz sind kleiner und hier nicht angegeben.

Tab. 3: Eigenschaften verschiedener Moden und Modenkombinationen. Räumlicher Überlapp ( ) des zirku-lierenden Felds mit einem einfallenden Gaußstrahl mit dem gleichen -Parameter und räumlicher Überlapp

( ) mit einem Gaußstrahl mit für maximalen Überlapp angepasstem -Parameter. Die Werte in Klammern gelten für den Fall der Modenanpassung des einfallenden Gaußstrahls mit einer Phasenmaske (Stufe von auf der optischen Achse für 1,0 und 1,0 & ,0, sinusförmig um die optische Achse für 20 und 20 & 22). Lochradius oder halbe Schlitzbreite bezogen auf den Gaußschen Strahlradius , der einen Verlust von 1% und 0,1% ergibt, was eine Überhöhung von 100 und 1000 erlaubt (mit vernachlässigbaren anderen Verlusten und Im-pedanz-angepasst), bezogen auf den räumlich und spektral überlappenden Teil des einfallenden Strahls. Der Ver-lust ist durch das Quadrat der Transmission durch das Hindernis abgeschätzt. Leistung 0 und maximale Intensität

0 im (transversal) zentralen Intensitätsmaximum; Abstand 1 von der optischen Achse zum Intensitätsmaximum in der Ebene des Hindernisses, Leistung 1 und maximale Intensität 1 im Ring um das Loch oder in den zwei Maxi-ma neben dem Schlitz. Die Leistung ist angegeben relativ zur Gesamtleistung , die Intensität relativ zur Intensität der Grundmode auf der Strahlachse = 2 /( 2) an der gleichen longitudinalen Position.

Geometrie Kartesisch zylindrisch

Gouy-Parameter /2 /3 /2 /3 / -Mode oder Modenkombination 0,0 1,0

0,0 &2,0

0,0 & 4,0

1,0 & 0

0,0 & 6,0 00 20

00 & 01

00 & 02

20 & 22

00 & 03

Überlapp ( ) 1 0 0,333 0,273 0 0,238 1 0 0,500 0,500 0 0,500

Überlapp ( ) 1 (0,827) 0,690 0,442 (0,819) 0,328 1 (0,844) 0,844 0,593 (0,559) 0,500 / für 2 = 0,99 0.003 0,134 0,321 0,254 0,403 0,222 0,050 0,411 0,411 0,326 0,626 0,285 / für 2 = 0,999 0.0003 0,062 0,199 0,157 0,285 0,137 0,016 0,274 0,274 0,217 0,481 0,190

am Ort der maximalen Intensität auf der optischen Achse: Feld im zentralen Maximum

Leistung 0/ 1 - 0,704 0,449 - 0,332 1 - 0,865 0,594 - 0,463

Intensität 0/ 1 - 1,333 1,091 - 0,952 1 - 2 2 - 2

am Ort des Hindernisses: Feld des Rings um das Loch oder in den zwei Maxima neben dem Schlitz

Abstand 1/ - 0,707 1 0,707 0,959 0,590 - 1 1 0,765 1,199 0,656

Leistung 1/ - 1 1 0,588 0,861 0,473 - 1 1 0,762 0,966 0,689

Intensität 1/ - 0,736 0,722 0,713 0,916 0,693 - 0,271 0,271 0,425 0,301 0,335

(a) (b)

halbe Schlitzbreite /

Verlu

ste

12

0,1

0,01

1

1E-3

1E-4

1E-5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Lochradius /

Verlu

ste

12

0,1

0,01

1

1E-3

1E-4

1E-5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

&

&

&

und ,±,± & ,±

,,, & ,, & ,, & ,, & ,


89

Schlitzmoden höherer Ordnung

Die diskutierten Modenkombinationen von zwei oder Moden sind Eigenmoden eines Resonators, in dem diese Moden gleichzeitig resonant sind und mit einem Hindernis auf der optischen Achse, das hinreichend klein ist, so dass die Beugungsverluste klein sind. Durch Hinzunahme weiterer gleichzeitig resonanter transversaler Moden können weitere Eigenmoden des quasi-abbildenden Resonators konstru-iert werden. Für einen quasi-abbildenden Resonator mit Modenzahldifferenz = 4 lautet die einfachste Schlitzmode, die die Grundmode enthält: ( ) = , ( ) , ( ) Gl. 3.8

Diese Mode wird hier daher als „einfache Schlitzmode“ (engl.: simple slit mode) bezeichnet. Eine wei-tere Schlitzmode, deren Intensität ebenfalls auf der optischen Achse verschwindet, und die orthogonal zur einfachen Schlitzmode ist, kann durch Hinzunahme der nächsten resonanten Mode ( , ) konstru-iert werden: ( ) = , ( ) + , ( ) , ( ) Gl. 3.9

Eine weitere Schlitzmode, die orthogonal zu den ersten beiden ist, lautet: ( ) = , ( ) + , ( ) + , ( ) , ( ) Gl. 3.10

Abb. 3.7: Schlitzmoden höherer Ordnung. Intensitätsverteilung der drei ersten Schlitzmoden 1, 2 und 3, die die Grundmode enthalten für einen quasi-abbildenden Resonator mit Modenzahldifferenz = 4 in der Ebene des Hindernisses (a) und nach Propagation mit einer Gouy-Phase = /4 (b). Die Grundmode ist als graue gestrichelte Linie gezeichnet. Einfache Schlitzmode mit einem Beitrag der nächst höheren Schlitzmode: = (1 | 2|2)½

1

+ 2 2, für die der Beitrag 2 so gewählt ist, dass sich eine maximale Schlitzbreite ( 2

= 0,535) oder ein maxima-ler Überlapp ergibt ( 2

= 0,554); Intensitätsverteilung in der Ebene des Hindernisses (c) und nach Propagation mit einer Gouy-Phase = /4 (d). Die einfache Schlitzmode ist als graue gestrichelte Linie gezeichnet. Der räumliche Überlapp ist durch die Beimischung vergrößert auf = 0,39 vergleichen mit = 0,27 für die einfache Schlitz-mode. Der räumliche Überlapp bei maximaler Schlitzbreite ist = 0,07.

(a)

(b)

-3 -2 -1 0 1 2 3

= 0 max. slit max. overlap

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

a1

a2

a3

= /4

-3 -2 -1 0 1 2 3

= /4 max. slit max. overlap

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

= 0 a1

a2

a3

1

2

3

1

2

3

(c)

(d)transversale Koordinate /

1,0

Inte

nsitä

t [b.

E.] 0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0


Inte

nsitä

t [b.

E.]


Inte

nsitä

t [b.

E.]


Inte

nsitä

t [b.

E.]

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

max. Schlitzmax. Überlapp

max. Schlitzmax. Überlapp = /4

= 0

= /4

= 0


90

Diese Eigenmoden eines quasi-abbildenden Resonators sind dargestellt in Abb. 3.7. Ein Beitrag von Schlitzmoden höherer Ordnung zum zirkulierenden Feld ändert den räumlichen Überlapp mit der einfal-lenden Feldverteilung und die Breite und Tiefenschärfe des Intensitätsminimums. Schlitzmoden höherer Ordnung sind transversal weiter ausgedehnt und empfindlicher auf Verluste durch zusätzliche Blenden, die die transversale Ausdehnung begrenzen. Sie ändern ihre Form bei der Propagation schneller als die einfache Schlitzmode, weil Moden mit höherer Modenzahl involviert sind. Abb. 3.7 zeigt zwei Bei-spiele dafür, wie die Form der zirkulierenden Mode durch Beiträge einer Schlitzmode höherer Ordnung verändert wird. Dargestellt ist die einfache Schlitzmode 1 mit einem Beitrag der Schlitzmode 2, der entweder eine maximale Schlitzbreite (verschwindendes | ) ergibt, oder einen maximalen Überlapp mit einem Gaußschen Strahl zum Eigen- -Parameter. Es ist anschaulich, dass diese beiden Bedingungen widersprechend sind, da das Feld der Grundmode maximal auf der optischen Achse ist.

Quasi-abbildender Bow-tie-Resonator

Ein einfaches und verbreitetes Resonatordesign für einen Überhöhungsresonator ist ein symmetrischer Ringresonator aus zwei Fokussierspiegeln und (mindestens) zwei Planspiegeln (Abb. 3.8), der als Bow-tie-Resonator bezeichnet wird und aus einem langen Arm und einem kurzem Arm besteht, der einen Fokus einschließt.126 Für einen Resonator mit Länge (die bspw. durch die Repetitionsrate eines einfal-lenden Frequenzkamms festgelegt ist) und Krümmungsradius der Fokussierspiegel muss der Abstand

der Fokussierspiegel wie folgt gewählt werden, um eine Modenentartung in der Mitte des Stabilitäts-bereichs zu erreichen (Anhang A8.3.2): = + 2 4 für = Gl. 3.11

Für eine vorgegebene Resonatorlänge bleibt damit nur der Krümmungsradius als Freiheitsgrad, der gewählt werden kann, um einen gewünschten Fokusradius 0 zu erreichen: = 4 + 1 2 Gl. 3.12

Der Strahlradius (für die Grundmode) auf den Fokussierspiegeln lautet: = ( ) Gl. 3.13

Für einen Überhöhungsresonator für nichtlineare Prozesse ist das Verhältnis der maximalen Intensität im Fokus und auf den Resonatorspiegeln von Bedeutung, da letztere durch Zerstörschwellen limitiert ist. Für die einfache Schlitzmode mit = 4 ist das Verhältnis der Intensität in der Fokusebene und auf den Fokussierspiegeln das gleiche wie für die Grundmode (die Intensität ist maximal in der Fokus-ebene); in der Mitte des langen Arms ist die Intensität um den Faktor 1,5 größer.

Der endliche Einfallswinkel auf den Fokussierspiegeln ergibt unterschiedliche effektive Krüm-mungsradien in den beiden transversalen Richtungen und damit unterschiedliche Eigen-Parameter (An-hang A8.3.2). Aus Symmetrie liegt die Fokusebene für beide transversale Richtungen in der Mitte zwi-schen den Fokussierspiegeln; der Fokusradius hingegen unterscheidet sich.127 Diese Elliptizität ist für einen kleinen Einfallswinkel und in der Mitte des Stabilitätsbereichs allerdings vernachlässigbar. Der Unterschied der Gouy-Parameter für die tangentiale und sagittale Richtung lautet: = , , 2 1 Gl. 3.14

126 Das englische Wort „Bow-tie“ bezeichnet das Kleidungsstück Fliege und bezieht sich auf die Form des Strah-

lengangs. 127 Der gekrümmte Spiegel unter einem endlichen Einfallswinkel stellt ein astigmatisches optisches Element dar.

Aus Symmetrie ist die Eigenmode nicht astigmatisch, sondern nur elliptisch. Dies gilt nur, wenn die Einfalls-winkel auf beiden Spiegeln und außerdem die Krümmungsradien gleich sind.


91

Abhängig von der Finesse des Resonators ist dieser Unterschied nicht vernachlässigbar, so dass eine Quasi-Abbildung nur in einer transversalen Richtung erreicht werden kann. In der anderen Richtung ist die Feldverteilung die der Grundmode. Im Folgenden wird angenommen, dass die Quasi-Abbildung in sagittaler Richtung eingestellt wird. Für diesen Fall können deutlich kleinere Einfallswinkel gewählt werden, da die Feldverteilung in Richtung der Quasi-Abbildung transversal weiter ausgedehnt ist.128

Abb. 3.8: Schematische Darstellung eines quasi-abbildenden Bow-tie-Resonators. In der Mitte des Stabilitätsbe-reichs ist der Gouy-Parameter , = 3 /2 in der sagittalen Richtung (senkrecht zum Strahlengang, hier als -Richt-ung bezeichnet) und die Moden 0,0 und 4,0 sind gleichzeitig resonant. Die im kurzen Arm aufgesammelte Gouy-Phase ist , und im langen Arm , /2. Die Intensitätsverteilung der einfachen Schlitzmode in der transversalen Richtung der Quasi-Abbildung ist in ausgewählten Ebenen gezeigt. Der Schlitz im Auskoppelspiegel ergibt einen geometrischen Zugang zur optischen Achse des Resonators, der zur Auskopplung von Resonator-intern erzeugter XUV-Strahlung benutzt werden kann.

Die Gouy-Parameter für die transversalen Richtungen können auf unterschiedliche Methoden angegli-chen werden. Weitere astigmatische Elemente wie Brewster-Platten können in den Resonator einge-bracht werden, was allerdings auch Dispersion und Nichtlinearität einführt. Statt der sphärischen Fokus-sierspiegel können off-axis Parabol-Spiegel benutzt werden, die den Astigmatismus vermeiden. Es ist außerdem möglich, einen (sphärischen) Defokussierspiegel in den langen Arm in der Nähe eines Fokus-sierspiegels einzubringen und die Gouy-Parameter für geeignet gewählte Einfallswinkel anzupassen. Diese Aufbauten gehen mit einem größeren Justage-Aufwand einher.

Zweifelsohne hat ein Resonator mit Quasi-Abbildung in beiden transversalen Richtungen mögliche Vorteile gegenüber der Quasi-Abbildung in nur einer Richtung: Die Lochmode erlaubt gegenüber der Schlitzmode eine größere Öffnung, besitzt einen größeren Überlapp mit einem einfallenden Gaußstrahl und einen größeren Bruchteil der Leistung im Intensitätsmaximum auf der optischen Achse (siehe Tab. 3). Andererseits muss bspw. auch die Zugänglichkeit der Intensitätsmaxima für eine Gasdüse zwecks HHG beachtet werden. Diese ist besser gegeben für eine Schlitzmode mit einer Gauß-förmigen Intensi-tätsverteilung in tangentialer Richtung. Darüber hinaus ist die Justage der Resonatorachse auf den Schlitz nur in einer Richtung wichtig.

Modenanpassung des einfallenden Strahls

Für die Eigenmoden eines quasi-abbildenden Resonators, die die Grundmode enthalten, kann der räum-liche Überlapp mit einem einfallenden Gaußstrahl mit Eigen- -Parameter an den Koeffizienten der be-teiligten oder Moden abgelesen werden. Diese Koeffizienten sind festgelegt durch die Bedin-gung, dass die Intensität auf der optischen Achse in der Ebene des Hindernisses verschwinden muss (Abb. 3.5). Da die Amplitude auf der Achse für normierte Moden unabhängig von der Modenord-nung ist (siehe Abb. 2.4), müssen die Moden mit gleichem Gewicht kombiniert werden, um null auf der Achse zu ergeben. Der räumliche Überlapp mit der Grundmode ist daher = 1/2. Die Amplitude auf der Strahlachse für gerade , Moden nimmt mit der Modenordnung ab. Daher ist der räumli-che Überlapp mit der Grundmode kleiner, bspw. = 3/11 für die Kombination aus , und , .

128 Bei Resonatoren für HHG ist außerdem die Richtung des Gasjets zu berücksichtigen.

Einkoppelspiegel

Auskoppelspiegel

XUV

Abstand

Resonatorlänge

Krümmungs-radius


92

Der räumliche Überlapp mit einem einfallenden Gaußstrahl kann vergrößert werden durch einen ange-passten -Parameter. Da sich der räumliche Überlapp zwischen zwei Moden (Gl. 3.7) bei der Propagati-on nicht ändert, kann er in einer beliebigen Ebene ausgewertet werden. Hier soll die Ebene mit maxima-ler Intensität auf der optischen Achse gewählt werden, um den -Parameter eines Gaußstrahls mit ma-ximalem räumlichen Überlapp mit der einfachen Schlitzmode zu finden. In dieser Ebene (nicht in ande-ren Ebenen) ist der Überlapp maximal, wenn die Krümmung der Phasenfront des Gaußschen Strahls die gleiche ist wie für die zirkulierende einfache Schlitzmode. Der räumliche Überlapp als Funktion des Strahlradius in Richtung der Quasi-Abbildung lautet:

, ( ) = ( )( ) mit = ,, Gl. 3.15

Diese Funktion besitzt Maxima bei einem kleineren und bei einem größeren Strahlradius mit einem maximalen Überlapp von = 0,44, was um einen Faktor 1,6 größer ist als = 0,27 für einen Gauß-strahl mit Eigen- -Parameter (Abb. 3.9). Dieses Verhalten kann folgendermaßen verstanden werden. Der Gaußstrahl mit Eigen- -Parameter ( = ) überlappt mit dem zentralen Maximum der Schlitz-mode und mit den angrenzenden Maxima mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Überlapp ist maximal, wenn der Gaußstrahl entweder nur mit dem zentralen Maximum überlappt ( = 0,36 ) oder wenn er auch mit den äußeren Intensitätsmaxima überlappt, die wieder das gleiche Vorzeichen besitzen wie das zentrale Maximum ( = 2,8 ).129 Eine Anpassung des Strahlradius verringert den räumlichen Überlapp in der anderen transversalen Richtung mit Gaußscher Feldverteilung gemäß:

, ( ) = ( ) mit = ,, Gl. 3.16

Um maximalen räumlichen Überlapp zu erreichen, muss der Strahlradius des einfallenden Strahls also in beiden Richtungen unabhängig eingestellt werden, bspw. mit einem zylindrischen Teleskop.

Der einfallende Strahl kann mittels einer Phasenmaske auf die zirkulierende Mode angepasst werden, die eine Phasenverschiebung von auf ausgewählte räumliche Bereiche aufprägt. Das ist insbesondere effektiv für ungerade zirkulierende Feldverteilungen wie 1,0 [100] oder die Schlitzmode 1,0 & 5,0 (Tab. 3).

Abb. 3.9: (a) Räumlicher Überlapp der einfachen Schlitzmode aus 0,0 und 4,0 mit einem Gaußstrahl als Funk-tion des Strahlradius (angepasste Krümmung der Phasenfront in der Ebene der maximalen Intensität auf der opti-schen Achse). (b) Feldverteilung der Schlitzmode in der Ebene der maximalen Intensität auf der optischen Achse und Feldverteilung der zwei Gaußstrahlen mit maximalem räumlichen Überlapp.

Auch ein Beschneiden des einfallenden Strahls kann den räumlichen Überlapp (bezogen auf den unbe-schnittenen Strahl) vergrößern, obwohl dabei Leistung verloren geht. Wenn die Amplitude des Felds in räumlichen Bereich auf null gesetzt wird, in denen einfallende und zirkulierende Mode unterschiedliche Phase besitzen, wird ein negativer Beitrag zum Überlapp-Integral entfernt und der Überlapp vergrößert. 129 Die beiden Situationen mit kleinerem oder größerem Strahlradius entsprechen einander bei der Propagation ins

Fernfeld, für das die Schlitzmode wieder ein Maximum auf der optischen Achse besitzt.

0 1 2 3 4 5

UIC,x UIC,y UIC,xUIC,y

(a) (b)

-4 -2 0 2 4

slit mode Gaussian beams

,,, ,

8,22325

0,44

0,27

36,02325

= 0,36

= 2,8

=

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

räum

l. Ü

berla

pp

relativer Strahlradius / transversale Koordinate /

1,5

1,0

0,5

0,0elek

tr. F

eld

[b.E

.]

SchlitzmodeGaußstrahlen


93

Der Überlapp eines Gaußstrahls mit angepasstem -Parameter mit der einfachen Schlitzmode kann von = 0,44 auf = 0,54 vergrößert werden (+25%), wenn die Intensität des einfallenden Strahls im Bereich der kleinen Intensitätsmaxima der Schlitzmode mit entgegengesetzter Phase zu null gesetzt wird. Diese Bereiche sind in Abb. 3.9b mit grauen Balken gekennzeichnet. Dazu können Blenden in einer geeigneten Bildebene vor dem Resonator verwendet werden.130

Abb. 3.10: Möglichkeiten der Moden-Anpassung eines Gaußstrahls auf die einfache Schlitzmode. (a) Zerschnei-den eines Gaußstrahls mit Eigen- -Parameter, womit ein Überlapp mit den äußeren Intensitätsmaxima erreicht und der Überlapp mit den gegenphasigen kleinen Intensitätsmaxima vermieden wird. (b) Aufteilung eines Gaußstrahls auf drei Strahlen mit Leistungsverhältnis 25:50:25, die mit den drei gleichphasigen Intensitätsmaxima der Schlitz-mode überlappen. Der Strahlradius ist in Richtung der Quasi-Abbildung um den Faktor 0,45 kleiner gewählt; der Strahl muss also mit einem Zylinderteleskop angepasst werden. (c) Mögliche Realisierung der Aufteilung auf drei Gaußstrahlen mit einem diffraktiven optischen Element (DOE).131 Um den Winkel zu kompensieren, können ein geeignetes Prisma, dünne Keile nur für die beiden äußeren Strahlen oder drei Spiegel verwendet werden, die leicht gegeneinander verkippt sind. (d) Mögliche Realisierung mit einem Gradienten-Index-Element (GRIN).

Prinzipiell ist ein vollständiger räumlicher Überlapp möglich, wenn der einfallende Strahl mit entspre-chenden optischen Elementen geformt wird. Dazu müssen Amplitude und Phase des einfallenden und zirkulierenden Strahls übereinstimmen. Dies kann mit zwei Phasenplatten und zwischengeschalteter Propagation erreicht werden. Entsprechende Phasenplatten müssen speziell für die Schlitzmode ausge-legt und gefertigt sowie richtig positioniert werden. Ein sehr großer räumlicher Überlapp ist auch mit einer näherungsweisen Angleichung des Strahlprofils möglich, bspw. durch das Auseinanderschneiden eines Gaußstrahl mit Eigen- -Parameter oder die Aufspaltung auf drei Gaußprofile, die mit den drei großen Intensitätsmaxima der Schlitzmode überlappen (Abb. 3.10). Dabei ist ein angepasster aber für die drei Profile gleicher Strahlradius in Richtung der Quasi-Abbildung gewählt. Der erwartete räumliche

130 Als Blenden können bei großer Leistung des einfallenden Strahls Streifen-förmige Spiegel verwendet werden.

Die Blenden müssen die passende Breite haben und in der passenden Ebene und mit dem richtigen Abstand zur Strahlachse positioniert werden. Der Justageaufwand ist also relativ groß.

131 Das DOE ist ein Gitter, das modifiziert ist, um eine gewünschte Verteilung der Leistung zwischen der 0. und ±1. Beugungsordnung zu erreichen. Es muss daher nicht transversal ausgerichtet werden. In der Praxis ergeben sich dadurch Verluste, dass eine verschwindende Beugungseffizienz in höhere Beugungsordnung nicht er-reichbar ist.

-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

a / w = 0.40x / w = 0.985

U = 86%

-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

25%25% 50%

a / w = 0.45

U = 92%

x / w = 1.75

DOE Prisma

Gaußstrahl

Inte

nsitä

t [b.

E.]


= 86% = 92%


(a) (b)

(c)

Inte

nsitä

t [b.

E.]

/ = 1,75

‘/ =0,45

/ = 0,985/ = 0,40

(d)

GRIN-Element

Gaußstrahl


94

Überlapp mit der einfachen Schlitzmode beträgt = 0,92. Die Aufteilung eines Gaußstrahls auf drei Strahlen mit gewünschtem Leistungsverhältnis und unter einem geeigneten Winkel ist mit einem dif-fraktiven optischen Element (DOE) möglich. Der Winkel zwischen den Strahlen muss mit einem zwei-ten Element kompensiert werden. Die Erzeugung eines solchen Profils ist prinzipiell auch mit einem Gradienten-Index Element (GRIN) möglich, das den Strahl umformt über die kontinuierlich entlang der Propagation durch das Element verteilte Wirkung eines geeigneten Brechnungsindexprofils [107].

Eine andere Möglichkeit, den räumlichen Überlapp zu verbessern, ist die Benutzung eines segmentier-ten Einkoppelspiegels (Abb. 3.11). Der einfallende Gaußstrahl kann auf ein Intensitätsmaximum der Schlitzmode auf dem Einkoppelspiegel angepasst werden, wobei ein räumlicher Überlapp mit diesem Maximum nahe 1 erreichbar ist. Wenn der Einkoppelspiegel in den Bereichen der anderen Intensitäts-maxima hochreflektierend ist, kann durch diese nicht mit dem einfallenden Strahl überlappenden Teile keine Leistung aus dem Resonator verloren gehen. Die Situation entspricht also effektiv einem großen räumlichen Überlapp. Ein segmentierter Einkoppelspiegel ist schwierig zu fertigen, weil neben der un-terschiedlichen Reflektivität in den unterschiedlichen räumlichen Bereichen auch die relative Phase bei der Reflektion zwischen diesen Bereichen klein sein muss. Eine Phasendifferenz stellt eine Aberration für die zirkulierende Schlitzmode dar, die die Überhöhung verringern kann.

Abb. 3.11: Segmentierte Einkoppelspiegel mit Bereichen mit hoch-reflektierender Beschichtung (HR) und partiell reflektierender Beschichtung (PR) zur Einkopplung in den Überhöhungsresonator. Die Schlitzmode auf dem Ein-koppelspiegel mit fünf Intensitätsmaxima ist in rot dargestellt. Der einfallende Gaußstrahl kann auf ein Intensi-tätsmaximum angepasst werden, das auf dem PR-Bereich liegt. Vorzugsweise ist das das zentrale Intensitätsma-ximum mit einem Leistungsanteil von 45%.

Modellierung eines quasi-abbildenden Resonators

Im Folgenden wird ein analytisches Modell vorgestellt, welches das zirkulierende Feld nach transversa-len Moden entwickelt und es erlaubt, die Empfindlichkeit gegen eine Verstimmung der Entartung und gegen Aberrationen zu beschreiben. Die Empfindlichkeit gegen eine Verstimmung ist von entscheiden-der Bedeutung für die experimentelle Realisierung eines quasi-abbildenden Resonators. Statt einer Mo-denentwicklung kann auch die Methode von Fox & Li [40] zur Modellierung benutzt werden. Durch die Modenentwicklung wird die Bedeutung der Gouy-Phase und der transversalen Moden unterstrichen.

Die in Gl. 3.8-Gl. 3.10 eingeführten Schlitzmoden setzen voraus, dass alle beitragenden -Moden gleichzeitig resonant sind. Um die Empfindlichkeit des Resonators gegen Verstimmung zu beschreiben, muss ein anderer Ansatz gewählt werden. Das zirkulierende Feld kann nach den transversalen Moden entwickelt werden, die nah an der Resonanz sind. Das stellt nur insofern eine Einschränkung der Allge-meinheit dar, dass nicht-resonante Moden vernachlässigt werden. Wenn mehrere -Moden, die unab-hängig im Resonator propagieren gleichzeitig überhöht werden sollen, muss die Differenz ihrer Um-laufphase = , die durch die Modenzahldifferenz und die Verstimmung gegen die Entar-tung gegeben ist, kleiner sein als die Breite der Resonanzkurve ( ) (Gl. 2.114), die durch die Finesse bestimmt ist. Wenn in einem Resonator nur Verluste vorhanden sind, die gleichmäßig auf die Amplitude der Feldverteilung wirken (wie die unvollständige Reflektivität von Spiegeln), propagieren die transver-salen Moden unabhängig im Resonator. Ein einfallender Strahl wird auf das orthogonale System der

-Moden projiziert, die abhängig von ihrer Umlaufphase überhöht (oder unterdrückt) werden

HRPRHR

1,2

PR

HR


95

[105,108]. Wenn zwei Moden mit Modenzahldifferenz in einem Resonator mit Verstimmung gegen die Entartung dieser Moden gleich stark überhöht werden sollen, müssen beide Moden um je-weils die Hälfte der Phasendifferenz aus der Resonanz verschoben sein. Die Verstimmungskurve, d.h. die Überhöhung dieser Modenkombination lautet dann als Funktion der Verstimmung: ( ) = ( ) mit ( ) = ( ) Gl. 3.17

Dabei ist der räumliche Überlapp, die Reflektivität des Einkopplers und der Verlustfaktor für einen Resonatorumlauf.

Wenn ein Hindernis in den Resonator eingebracht wird, ist diese Betrachtung nicht mehr gültig, da die -Moden an dem Hindernis aneinander gekoppelt werden. Die Verstimmungskurve wird dadurch

breiter. Dies soll für einen quasi-abbildenden Resonator mit den Moden 0,0, 4,0 und 8,0 behandelt werden. In diesem Modell wird die zirkulierende Feldverteilung nach diesen -Moden entwickelt (die selbst keine Eigenmoden des Resonators sind), weil für diese Moden die Gouy-Phase wohldefiniert ist, als die Phase, die bei einem Resonatorumlauf gemäß dem Gouy-Parameter aufgesammelt wird. Die zirkulierende Feldverteilung wird beschrieben durch die die komplexen Koeffizienten 0, 4 und 8 für die normierten Moden, die im Folgenden als 0, 4 und 8 abgekürzt werden. Die Kopplung zwischen den Moden wird beschrieben durch eine Matrix mit folgenden Einträgen [54]:

, = 2 ( ) ( ) mit , = 0, 4, 8 Gl. 3.18

Dabei ist die halbe Schlitzbreite und der Abstand von der optischen Achse zu einer zusätzlichen Blende, die eingebracht werden kann, um Beiträge von 8 oder höheren Moden zu unterdrücken. ist reell und symmetrisch für -Moden zum selben -Parameter. Ohne Hindernis ist die Einheitsmatrix; für eine endliche Schlitzbreite sind die Diagonalelemente kleiner 1 und die Nicht-Diagonalelemente sind von null verschieden. Durch diese Kopplung wird Leistung zwischen den transversalen Moden transferiert. Das ist bspw. notwendig, wenn der einfallende Strahl nur mit der Grundmode 0 überlappt, die zirkulierende Feldverteilung aber aus 0 und 4 zusammengesetzt ist, um die Verluste am Schlitz zu minimieren. Die Moden sammeln aufgrund einer Verstimmung gegen die Entartung bei einem Re-sonator-umlauf eine unterschiedliche Phase auf. Dies wird durch die Matrix mit folgenden Einträgen beschrieben: , = exp( ) mit = 0, 4, 8 Gl. 3.19

Die Koeffizienten , die die zirkulierende Feldverteilung für eine einfallende Feldverteilung mit Koeffi-zienten beschreiben, können berechnet werden aus der Forderung einer selbstkonsistenten Lösung folgender Gleichung (analog zur Herleitung der Resonanzkurve für eine einfache Mode, Abb. 2.30 und Gl. 2.113) [100,109]: , , ,, , ,, , , exp( ) 1 0 00 exp( 4 ) 00 0 exp( 8 ) + 1 = Gl. 3.20

Dabei wird ein Resonatorumlauf beschrieben durch die Kopplung der transversalen Moden am Schlitz (und der zusätzlichen Blende), eine aufgrund der Verstimmung aufgeprägte Phase , den Amplituden-verlustfaktor und die Reflexion am Einkoppler mit Reflexionskoeffizient . Die weiter unten einge-führte Matrix berücksichtigt mögliche Aberrationen der Fokussierspiegel. Die Einkopplung ist gege-ben durch den Überlapp des einfallenden Feld mit den Resonatormoden und den Transmissi-onskoeffizienten des Einkopplers = (1 – 2 )½. Dabei ist: = ( ) ( ) mit = 0, 4, 8 Gl. 3.21 Die Umlaufphase kann variiert werden, um eine maximale Überhöhung zu erreichen: = = | | Gl. 3.22


96

Aberrationen des Überhöhungsresonators

Phasenfront-Aberrationen in einem Überhöhungsresonator können die Überhöhung limitieren. Diese Limitierung ist schwerwiegender im Fall einer zirkulierenden Schlitzmode oder Lochmode im Ver-gleich zur Grundmode aufgrund ihrer größeren transversalen Ausdehnung. Die Reflexion an einem ge-krümmten Spiegel (Krümmungsradius ) unter einem endlichen Einfallswinkel ergibt Astigmatismus, sphärische Aberration, Koma und weitere Aberrationsterme. Astigmatismus, d.h. unterschiedliche effek-tive Krümmungsradien in den beiden transversalen Richtungen stellt in diesem Zusammenhang keine Aberration dar, weil es keine Abweichung von einem Gaußstrahl sondern lediglich unterschiedliche Eigen-Parameter in den transversalen Richtungen ergibt. Aberrationen, d.h. Abweichungen von einer parabolischen Phasenfront, haben im Wesentlichen zwei Effekte: Eine Kopplung zwischen den trans-versalen Moden und eine unterschiedliche Phasenverschiebung für die transversalen Moden. Letzteres kann auch dann einen Einfluss haben, wenn die Kopplung durch die Aberration schwach ist. Aus der zusätzlichen Moden-abhängigen Phasenverschiebung folgt, dass nicht alle Moden einer Entartung (in diesem Fall 0, 4, 8,…) für exakt den gleichen Gouy-Parameter resonant sind. Aus diesem Grund kann die Verstimmungskurve mehrere Maxima aufweisen, für die verschiedene Moden gleichzeitig resonant sind. Der Einfluss einer Phasenfront-Aberration auf die Feldverteilung im Resonator wird beschrieben durch die Matrix mit folgenden Einträgen:

, = ( , ) exp ( , ) ( , ) mit , = 0, 4, 8 Gl. 3.23

Dabei ist ( , ) die Differenz des aufgeprägten Phasenprofils bei der Reflexion am Spiegel und eines parabolischen Phasenprofils, das geeignet gewählt ist, um eine Fokussierwirkung und Verkippung zu kompensieren, so dass nur die Aberration beschrieben werden. Als Kriterium für die Kompensation von Fokussierung und Verkippung wird die rms-Phasenfrontdeformation gewichtet mit dem Intensitätsprofil der Grundmode 0 minimiert, was äquivalent ist zur Maximierung von | 0,0|. Zusätzlich ist eine Phasen-versatz (0, 0) gewählt, der eine verschwindende Phasenverschiebung für die Grundmode ergibt.

Für reine sphärische Aberration (bei verschwindendem Einfallswinkel) lautet die Phasendifferenz bei Reflexion an einem gekrümmten Spiegel, wenn Terme bis zur 4. Ordnung berücksichtigt werden: ( , ) = 2 + mit = Gl. 3.24

Der Parameter mit dem Strahlradius der Grundmode auf dem Spiegel beschreibt die Stärke der Aberration. Für einen quasi-abbildenden Bow-tie-Resonator kann dieser Parameter näherungsweise als Funktion von Resonatorlänge und Fokusradius 0 geschrieben werden (Anhang A8.3.2): = Gl. 3.25

Die Stärke der Aberration hängt also insbesondere von der Größe des Fokus ab. Eine Entwicklung der Phasenverschiebung der sphärischen Aberration nach ergibt folgende Phasen in erster Näherung: arg , = 0, arg , = , arg , = 21 Gl. 3.26

Ein endlicher Einfallswinkel auf den Spiegeln ergibt zusätzlich Koma. Dadurch vergrößert sich die Phasenverschiebung um einen Faktor 1/(1 – 2)3/2 für transversale Moden in sagittaler Richtung und um einen Faktor (1 + 4 2)/(1 – 2)7/2 für transversale Moden in tangentialer Richtung. Der Effekt ist also größer in tangentialer Richtung. Die Beträge der Matrixelemente beschreiben die Stärke der Kopplung durch die Aberration. Für einen verschwindenden Einfallswinkel lauten sie in erster Näherung:

, = 1 , , = 1 , , = 1 Gl. 3.27

Auch hier wird die Abweichung von 1 durch Koma vergrößert und dies stärker für transversale Moden in tangentialer Richtung vergleichen mit der sagittalen Richtung. Für kleine Einfallswinkel ist der Bei-trag der Koma klein und wird im Folgenden vernachlässigt.


97

Wenn | , | als Schätzung für den Verlustfaktor der Mode benutzt wird, ist der Verlust für 4 deutlich größer als für die Grundmode 0 (Faktor 170), was aufgrund der größeren transversalen Ausdehnung zu erwarten ist. Die Limitierung der Finesse durch (sphärische) Aberrationen ist daher in einem quasi-abbildenden Resonator deutlich kritischer als bei Betrieb mit der Grundmode.

Neben Aberrationen einer sphärischen Fläche können auch Deformationen von optischen Flächen Aber-rationen und eine Kopplung der transversalen Moden bewirken. Dies kann die Rauheit der Oberfläche sein [110], thermisch induzierte Deformationen [56] oder Deformation durch das Bohren eines Lochs oder Schlitzes [104].

Breite der Verstimmungskurve

Das hier vorgestellte Modell beschreibt die experimentell bestimmte Verstimmungskurve (siehe Kapitel 3.3.1) mit guter Übereinstimmung (Abb. 3.12). Die Finesse am Maximum der Verstimmungskurve ist = 3000, die Überhöhung = 330 und der räumliche Überlapp zwischen einfallendem Strahl und zirku-lierender Schlitzmode = 0,27. Als Hindernis auf der optischen Achse wurde ein Draht verwendet.

Abb. 3.12: Verstimmungskurve eines quasi-abbildenden Überhöhungsresonators mit zirkulierender einfacher Schlitzmode. Die simulierte Kurve ist zusammen mit den experimentellen Daten aus [111] dargestellt. Die Para-meter der Simulation sind gemäß der experimentellen Situation gewählt: halbe Breite des Hindernisses / = 0,05 und zusätzliche Blende im Abstand von der optischen Achse / = 2,9. Reflektivität Einkoppler = 99,86%, Verlustfaktor = 99,953%, sphärische Aberration = 0,678 mrad pro Fokussierspiegel, einfallender Gauß-strahl mit Eigen- -Parameter ( 0 = 1, 4 = 8 = 0). Die Resonatorlänge ist 3840 mm, der Krümmungsradius 150 mm und die Wellenlänge 1040 nm.

In dem Experiment wurde eine Blende benutzt, um Beiträge höherer transversaler Moden zur einfachen Schlitzmode zu unterdrücken. Eine Blende im Abstand = 2,9 von der optischen Achse ist ausrei-chend, um die Mode 8 und höhere Moden zu unterdrücken, und ergibt keine signifikanten Verluste für die Moden 0 und 4. Abb. 3.13 zeigt die Ergebnisse einer Rechnung mit den gleichen Parametern wie in Abb. 3.12, welche die Situation mit und ohne Blende gegenüberstellt. Wenn die Blende weggelassen wird, können Moden höherer Ordnung zur zirkulierenden Feldverteilung beitragen. Diese Beiträge tre-ten an einer Position im Stabilitätsbereich auf, die verstimmt ist gegen die Entartung 0 und 4 ( = 0), da diese Moden eine größere Phasenverschiebung durch die sphärischen Aberrationen erfahren. Das führt zu einer strukturierten Verstimmungskurve. Für eine gegebene Verstimmung gibt es ggf. mehrere Maxima bei Variation der Umlaufphase, die zu unterschiedlichen zirkulierenden Feldverteilungen gehö-ren. Die Simulation ergibt drei getrennte Bereiche mit großer Überhöhung in einem Raum, der durch die Verstimmung und die Umlaufphase aufgespannt wird. Die folgt aus der Berücksichtigung der Moden 0, 4, 8 und 12 in der Simulation, die zu den drei Schlitzmoden 1, 2 und 3 kombiniert wer-den können (Gl. 3.8-Gl. 3.10). Durch das Einfügen der Blende werden die Beiträge der höheren trans-versalen Moden effektiv unterdrückt.

-6 -4 -2 0 2 4 60

100

200

300

400 experiment model without

coupling

d = 17 μm

-20 -10 0 10 20g [μ ]

Verstimmung [mrad]

Übe

rhöh

ung

/

Verstimmung [μm]

= 17μm

ExperimentModellohneKopplung


98

Abb. 3.13: Überhöhung als Funktion der Verstimmung gegen die Entartung und der Umlaufphase , ohne (a) und mit (b) einer Blende im Abstand / = 2,9 von der optischen Achse, und die zugehörige Verstimmungskurve ohne (c) und mit (d) der Blende. Die Blende befindet sich in derselben Ebene wie das Hindernis auf der optischen Achse. Die Verstimmungskurve ist die Überhöhung über der Verstimmung, wobei die Umlaufphase für maximale Überhöhung gewählt ist. Die Stellen, an denen diese Umlaufphase einen Sprung macht, sind mit grauen gestrichel-ten Linien markiert. Auch die Leistungen in den Schlitzmoden verschiedener Ordnung sind angegeben. Die Para-meter sind: halbe Breite des Hindernisses / = 0,05, Reflektivität Einkoppler = 99,86%, Verlustfaktor = 99,953%, sphärische Aberration = 0,678 mrad pro Fokussierspiegel, einfallender Gaußstrahl mit Eigen-

-Parameter ( 0 = 1, 4 = 8 = 12 = 0).

Überhöhung der einfachen Schlitzmode

Im Folgenden wird das Modell benutzt, um auszuwerten, welche Schlitzbreite bezogen auf den Strahl-radius für eine gewünschte Überhöhung der einfachen Schlitzmode toleriert werden kann. Es sei ange-nommen, dass der einfallende Strahl für einen vollständigen räumlichen Überlapp mit der einfachen Schlitzmode angepasst ist. Ein Verlustfaktor von = 99,9% ist angenommen, der die endliche Reflekti-vität der Resonatorspiegel berücksichtigt. Sphärische Aberrationen von = 0,678 mrad pro Fokus-sierspiegel sind angenommen (als ein realistische Wert für einen Bow-tie-Resonator). Eine Blende un-terdrückt Beiträge höherer transversaler Moden. In Abb. 3.14 ist die berechnete Überhöhung für ver-schiedene Schlitzbreiten dargestellt, außerdem der räumliche Überlapp mit der einfachen Schlitzmode, der über einen weiten Bereich nahe 1 ist. Für sehr breite Schlitze, passt sich das zirkulierende Feld im Resonator auf eine Weise an, die mit einer reduzierten räumlichen Überlapp mit der Schlitzmode ein-hergeht. Überraschenderweise ist der räumliche Überlapp auch für sehr kleine Schlitzbreiten reduziert, und die Überhöhung ist kleiner als für eine Schlitzbreite von ca. / = 0,05. Dieses Verhalten liegt an der sphärischen Aberration, die die beitragenden Moden 0 und 4 außer Phase laufen lässt. Eine endli-che Schlitzbreite mit einer starken Kopplung der Moden hilft, dies zu vermeiden. Zusätzlich in der Ab-bildung gezeigt ist eine einfache Abschätzung der Überhöhung gemäß: ( ) = ( ) Gl. 3.28

Dabei ist der Verlust aufgrund des Schlitzes durch die Berechnung der Transmission der einfachen Schlitzmode mit Strahldurchmesser der Grundmode 2 an einem Schlitz mit Breite 2 abgeschätzt (Gl. 3.4). Die Abschätzung der Verluste durch das Quadrat dieses Faktors (Gl. 3.6), die im Fall eine nicht-entarteten Resonators gültig ist, ergibt hier eine Überschätzung der Verluste. Die zirkulierende Feldver-

-15 -10 -5 0 5 100

100

200

300

400

detuning [mrad]-15 -10 -5 0 5 10

0

100

200

300

400 enhancement

portion in slit modes: a1

a2

a3

pow

er e

nhan

cem

ent P

circ

/Pin

detuning [mrad]

Verstimmung [mrad]

Um

lauf

phas

e [m

rad]

0 10–10 5–5–15

350

0

150

250

50

200

100

300

–5

0

5

–10

–15

–20

Verstimmung [mrad]0 10–10 5–5–15

(a) (b)

(c) (d)

Pcirc/Pin

Verstimmung [mrad] Verstimmung [mrad]

Übe

rhöh

ung

P circ

/Pin Leistung in Schlitzmoden:

Gesamtleistung


99

teilung in einem entarteten Resonator kann sich dem Hindernis anpassen, um die Verluste zu minimie-ren. Das beinhaltet kleine Beiträge höherer transversaler Moden trotz der Blende und es bedeutet, dass das Feld nicht vollständig auf der optischen Achse verschwinden muss (wie für die einfache Schlitzmo-de angenommen). Für einen breiten Schlitz kann die Intensität am Rand des Schlitzes auf Kosten einer nicht verschwindenden Intensität auf der optischen Achse reduziert werden. Daher ist die Überhöhung für breite Schlitze größer als nach dieser einfachen Abschätzung der Verluste.

Abb. 3.14: (a) Überhöhung als Funktion der halben Schlitzbreite für verschiedene Reflektivitäten des Einkopplers, berechnet mit dem Modell der Moden-Entwicklung (durchgezogene Linien) und mit einer einfachen Verlustab-schätzung (gestrichelte Linien, siehe Text). Die Moden 0, 4 und 8 sind in der Simulation berücksichtigt. Das einfallende Feld ist die einfache Schlitzmode ( 0 = (3/11)½, 4 = (8/11)½, 8 = 0). Angenommen ist ein Verlustfaktor für einen Resonatorumlauf = 99,9%, sphärische Aberrationen von = 0,5 mrad pro Fokussierspiegel und eine Blende im Abstand / = 2,9 von der optischen Achse. Zusätzlich gezeigt ist der räumliche Überlapp der zirkulie-renden Feldverteilung mit der einfachen Schlitzmode . (b) Intensitätsprofil der zirkulierenden Feldverteilung am Ort des Schlitzes (blau) und nach Propagation mit Gouy-Phase = /4 (rot) für eine beispielhafte Situation mit Einkoppler-Reflektivität = 99,5% und Schlitzbreite / = 0,25, die eine Überhöhung von = 220 ergibt.

Abb. 3.14b zeigt das Intensitätsprofil in der Ebene des Schlitzes für eine ausgewählte Situation, die nah an der Impendanz-Anpassung ist und eine Überhöhung von = 220 bei einer Schlitzbreite von / = 0,25 ergibt. An dem Ausschnitt in der Abbildung kann abgelesen werden, dass die Intensität auf der Strahlachse nicht exakt verschwindet. Der Beitrag der Mode 8 ist | 8|2/ = 0,01 und der räumli-che Überlapp der zirkulierenden Felds mit der einfachen Schlitzmode = 0,98. Die Breite der Ver-stimmungskurve ist = 25 mrad. 0,16% der zirkulierenden Leistung (35% der einfallenden Leistung) werden durch den Schlitz transmittiert. Die grau gestrichelte Linie zeigt die Abmessungen von Schlitz und Blende. Deutlich größere Schlitzbreiten sind möglich, wenn große Beiträge von höheren transversa-len Moden zugelassen werden.

0

200

400

600

800

pow

er e

nhan

cem

ent P

circ

/Pin

-3 -2 -1 0 1 2 3

= 0,990

= 0,995

= 0,998

Übe

rhöh

ung

/

(a) (b)

/ = 0,25/ = 2,9

= 0,999, = 0,995/ = 220

/

halbe Schlitzbreite /

-0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3

0,10,0 0,2 0,3 0,4 0,5In

tens

ität [

b.E.

]

1,2

0,8

0,4

0,0


Inte

nsitä

t [b.

E.]

räum

l. Ü

berla

pp

0,05

0,00

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

1,00

0,95

0,90

0,85

0,80


100

Abbildender Resonator

Eine naheliegende Frage im Zusammenhang des geometrischen Zugangs zu einem Resonator ist, warum dazu kein abbildender Resonator verwendet wird. Unter einem abbildenden Resonator ist ein Resonator zu verstehen, der eine beliebige (ggf. gerade oder ungerade) Feldverteilung nach einem Resonatorum-lauf ohne Beugungsverluste reproduziert. Diese wird durch eine telezentrische Abbildung mit Vergröße-rung ±1 erreicht, d.h. die Strahltransfermatrix für einen Resonatorumlauf ist die positive oder negative Einheitsmatrix. Ein solcher Resonator mit + = ±2 erfüllt offensichtlich nicht die Stabilitätsbedin-gung | + | < 2 (Gl. 2.57) und ist in dem Sinne kein stabiler Resonator, als es keinen wohldefinierten Eigen- -Parameter gibt (Gl. 2.62). Vielmehr wird jeder beliebige -Parameter bei einem Resonatorum-lauf reproduziert. Ggf. kann ein -Parameter ausgezeichnet sein als die Fortsetzung eines Eigen-

-Parameters bei Annäherung an den abbildenden Punkt im Stabilitätsbereich. Der einfachste Fall eines abbildenden Resonators ist der symmetrisch konfokale Resonator, für den die Resonatorlänge gleich der Krümmungsradius der Resonatorspiegel ist. In diesem Fall ist der -Parameter mit der Rayleigh-länge gleich der halben Resonatorlänge = /2 ausgezeichnet als die Fortsetzung des Eigen-

-Parameters für kleinere oder größere Resonatorlängen (bei konstantem ). Der abbildende Punkt = grenzt also nur an stabile Bereiche (0 < < und < < 2 ). Dies gilt allerdings nur, wenn ein symmetrischer Resonator angenommen wird. Ohne diese Annahme grenzt der abbildende Punkt sowohl an stabile als auch an instabile Bereiche und kann daher als Punkt am Stabilitätsrand gelten (vgl. die Diskussion der Resonatorempfindlichkeit in Kapitel 2.2.2).

Ein abbildender Resonator mit Vergrößerung +1 (auch als „total entartet“ bezeichnet) [108,112] wirkt nicht als transversaler Modenfilter, weil alle transversalen Moden gleichzeitig resonant sind. Eine belie-bige Feldverteilung wird überhöht, d.h. die zirkulierende Feldverteilung ist vollständig durch das einfal-lende Feld bestimmt. Das bedeutet auch, dass die Strahlachse und Position eines Fokus nicht durch den Resonator vorgegeben sind. In einem abbildenden Resonator mit Vergrößerung –1 ist ebenfalls kein

-Parameter ausgezeichnet. Es gibt aber eine durch den Resonator vorgegebene optische Achse. Das zirkulierende Feld ist entweder gerade oder ungerade bezogen auf diese optische Achse, selbst wenn der einfallende Strahl verkippt oder verschoben ist. Aber auch hier ist die Größe und longitudinale Position eines Fokus allein durch den einfallenden Strahl vorgegeben. In einem quasi-abbildenden Resonator ist zusätzlich zur optischen Achse ein Eigen- -Parameter definiert und die zirkulierende Feldverteilung ist beschränkt auf eine Gruppe von -Moden zu diesem -Parameter. Dadurch ist bspw. auch die Position des Fokus festgelegt. Nur in einem Resonator ohne Entartung von transversalen Moden ist die zirkulie-rende Feldverteilung vollständig durch den Resonator bestimmt, d.h. unabhängig vom einfallenden Strahl.132 Durch den Einsatz von Blenden kann die zirkulierende Feldverteilung in einem quasi-abbild-enden Resonator bspw. auf die einfache Schlitzmode mit nur kleinen Beiträgen höherer transversaler Moden beschränkt werden. Natürlich kann auch in einem abbildenden Resonator die zirkulierende Feldverteilung durch Blenden festgelegt werden (wie gezeigt in [37]).

Während eine Quasi-Abbildung in jedem stabilen Resonator erreicht werden kann, gilt dies nicht für eine Abbildung. Eine Abbildung kann bspw. nicht in einem einfachen Bow-tie-Resonator erreicht wer-den, ohne Hinzunahme weiterer gekrümmter Spiegel. Das führt zu weiteren Abständen, die eingestellt werden müssen, um den abbildenden Punkt im Stabilitätsdiagramm zu erreichen. Dieser Punkt grenzt zudem an instabile Bereiche. Dies ist deutlich aufwändiger zu justieren als eine Quasi-Abbildung, die durch einen einzigen Parameter (den Abstand der gekrümmten Spiegel im Fall eines Bow-tie-Reso-nators) eingestellt werden kann, der aus einem Scan der Resonatorlänge abgelesen werden kann [111].

132 Damit ist die zirkulierende Feldverteilung auch unabhängig von Fluktuation der Strahlachse, des -Parameters

oder Strahlprofils des einfallenden Strahls.


101

Resonator-unterstützte HHG

Der Zugang auf der optischen Achse in einem quasi-abbildenden Resonator kann zur geometrischen Auskopplung von hohen Harmonischen dienen, die in einem Gastarget in der Nähe des Fokus erzeugt werden. Die Eignung der Feldverteilung der einfachen Schlitzmode für HHG ist experimentell gezeigt (siehe Kapitel 3.3.2). Die Intensitäts- und Phasenverteilung der einfachen Schlitzmode im Bereich um den Fokus sind in Abb. 3.15 dargestellt. Da die Schlitzmode ihre Form im Bereich der Fokusebene schnell ändert, ist der Intensitätsverlauf steiler als für eine Grundmode mit gleicher Rayleighlänge. Die Schlitzmode besitzt Intensitätsmaxima auf der optischen Achse ca. eine Rayleighlänge vor und hinter der Fokusebene und zwei zentrale Intensitätsmaxima in der Fokusebene. Die Maxima in der Fokusebene enthalten 0,59 der Leistung und besitzen eine ebene Phasenfront mit Steigung der Phase / = 3/ , was dreimal größer ist als für die Grundmode mit gleichem -Parameter. Die beiden Intensitätsmaxima sind in Phase, so dass damit erzeugte Harmonische im Fernfeld ein Maximum auf der optischen Achse besitzen und daher (teilweise) durch einen Schlitz auf der optischen Achse passieren können.

Abb. 3.15: Intensität und Phase der einfachen Schlitzmode. (b) Intensitätsverteilung der einfachen Schlitzmode in der - -Ebene im Bereich um den Fokus und (a) Intensitätsverlauf auf der optischen Achse ( = = 0) und in Ab-ständen = ( )/2½ und = ( )3½ von der optischen Achse, für die die einfache Schlitzmode in der Fokusebene Maxima besitzt. Diese Kurven sind mit weißen gestrichelten Linien in (b) gezeichnet. Der Intensitätsverlauf auf der optischen Achse für die Grundmode mit gleicher Leistung ist zum Vergleich gezeigt. Die Intensitäten sind normiert auf die maximale Intensität der Grundmode. Die Fokusebene und die Ebenen mit maximaler Intensität auf der optischen Achse im Abstand ± /2½ sind mit weißen gestrichelten Linien gekennzeichnet. (d) Phasenver-teilung zusätzlich zu einer ebenen Welle für die einfache Schlitzmode in der - -Ebene im Bereich um den Fokus und (c) Phasenverlauf entlang der gleichen Kurven wie in (a). Die Mode ist als nicht-elliptisch und nicht astigma-tisch angenommen.133

Die Intensität auf der optischen Achse ist maximal in einem Abstand von ± /2½ von der Fokusebene. Diese Maxima sind näher am Fokus als eine Rayleighlänge, wo die beitragenden Moden auf der Achse

133 Außerdem ist angenommen, dass die Ebene mit verschwindender Intensität auf der optischen Achse exakt in

der Fokusebene liegt. Tatsächlich ergibt sich eine geringfügige Verschiebung, da die Propagation vom Fokus-sierspiegel mit Schlitz, der die Ebene mit verschwindender Intensität festlegt, zum Fokus nur näherungsweise dem Fernfeld entspricht. Die Gouy-Phase ist tatsächlich etwas kleiner als /2; die Ebene mit verschwindender Intensität rückt daher etwas in Richtung des Schlitzspiegels.

-2 -1 0 1 2

GH0,0

slit mode GH0,0 & GH4,0: on-axis

= /2½

= 3½

(a)

longitudinale Koordinate /trans

. Koo

rdin

ate

/ 0

0 1–2 –1 2

01

3

–1–2

–4

2

4

–3

longitudinale Koordinate /trans

. Koo

rdin

ate

/ 0

0 1–2 –1 2

01

3

–1–2

–4

2

4

–3

longitudinale Koordinate /

longitudinale Koordinate /

Inte

nsitä

t [b.

E.]

Phas

e

0,0

0,6

0,2

0,8

0,4

–

/2

– /2

0

(b)

(c) (d)

-2 -1 0 1 20

0

0

/2

–

/2

0

Phase

Intensität0,0 & 4,0:

= 0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0


102

konstruktiv interferieren (Abb. 3.5), weil der Strahlquerschnitt mit der Entfernung von der Fokusebene zunimmt. Das Intensitätsmaximum auf der Strahlachse ähnelt einem Gaußprofil mit einem Strahlradius = 0,53 0 (in -Richtung), das 0,42 der Leistung enthält. Die Krümmung des Intensitätsverlaufs in Propagationsrichtung ist mit ½( 2 / 2)(1/ 0) = 5/ 2 größer als für die Grundmode in der Fokusebene mit ½( 2 / 2)(1/ 0) = 1/ 2 . Die Steigung der Phase ist / = 2/ , was zweimal größer ist als für die Grundmode in der Fokusebene. Die Krümmung der Phasenfront in -Richtung entwickelt sich ähn-lich wie für eine Grundmode in dem Sinne, dass sie negativ vor dem Maximum der Intensität ist und positiv dahinter. Die Ebene der verschwindenden Krümmung liegt im Abstand ±0,82 vom Fokus, also etwas gegenüber der Ebene mit maximaler Intensität bei ±0,71 verschoben. Die Intensitätsmaxima auf der optischen Achse ähneln also einem Gaußstrahl, so dass ähnliche Bedingungen für die HHG zu er-warten sind.

Der Zusammenhang zwischen dem Verlauf der Intensität und der Krümmung der Phasenfront gilt all-gemein für die Propagation von Strahlung (Gl. 2.32): Der Verlauf der Intensität auf der Strahlachse ist mit der Krümmung der Phasenfront verknüpft und der Verlauf der Phase auf der Strahlachse mit der Krümmung des transversalen Intensitätsprofils. Dabei sind jeweils die Krümmungen in beiden transver-salen Richtungen zu beachten. In der Fokusebene ist die Krümmung des Intensitätsverlaufs in Richtung der Quasi-Abbildung negativ, so dass auch die Steigung der Phase auf der optischen Achse ihr Vorzei-chen wechselt.

Das Intensitätsmaximum auf der optischen Achse vor und hinter dem Fokus ist leicht zugänglich für eine Gasdüse von der -Richtung (senkrecht zur Zeichenebene), weil das Intensitätsprofil in dieser Richtung Gauß-förmig ist.

Abb. 3.16: Intensitätsverteilung in der - -Ebene im Bereich um den Fokus für die einfache Schlitzmode (b) und für die einfache Schlitzmode mit einem Beitrag der nächst höheren Schlitzmode, der einen maximalen Überlapp mit einem Gaußstrahl mit Eigen-Parameter ergibt (a) oder der eine maximal Schlitzbreite erlaubt (c). Die Ebene mit maximaler Intensität auf der Strahlachse ist durch gestrichelte Linien gekennzeichnet. Das Intensitätsprofil auf dem Fokussierspiegel hinter dem Fokus hat die gleiche Form wie in der Fokusebene. Die größere mögliche Schlitzbreite in (c) ist daraus ersichtlich. Die Normierung der Intensität ist die gleiche wie in Abb. 3.15.

Die Intensitäts- und Phasenverteilung im Bereich des Fokus kann durch Beiträge höherer Schlitzmoden verändert werden. Abb. 3.16 zeigt beispielhaft die Intensitätsverteilung für Beiträge der Schlitzmode zweiter Ordnung 2 zur einfachen Schlitzmode 1, für die bereits in Abb. 3.7 angegebenen Fälle. In jedem Fall bedeutet ein Beitrag von höheren Schlitzmoden, dass die Feldverteilung transversal weiter ausgedehnt ist, und daher weniger Leistung in den Intensitätsmaxima auf der optischen Achse enthalten ist. Außerdem sind diese Maxima in Propagationsrichtung weniger ausgedehnt. Aus diesem Grund wird hier die einfache Schlitzmode zur HHG angestrebt und Beiträge höherer Schlitzmoden unterdrückt.

Während für die Grundmode des Resonators die gesamte Leistung in einem einzigen Intensitätsmaxi-mum enthalten ist und für den Konversionsprozess genutzt werden kann, wird bei der HHG mit Schlitz-mode nur ein Bruchteil der zirkulierenden Leistung genutzt. Für die einfache Schlitzmode und ein Gas-target am Ort eines der Intensitätsmaxima auf der optischen Achse ist der Bruchteil 0,45 (Tab. 3). Dies muss aber nicht notwendig ein Nachteil sein, da nicht die zirkulierende Leistung die Limitierung für die Konversionseffizienz darstellen muss. Tatsächlich besteht die Limitierung typischerweise in der nichtli-


103

nearen Wechselwirkung der zirkulierenden Strahlung mit dem Gastarget, das bei den großen für den Prozess erforderlichen Intensitäten teilweise ionisiert wird. Mit steigender Intensität im Gastarget steigt die Konversionseffizienz, es nimmt aber auch die Ionisation zu. Die erzeugten freien Elektronen erge-ben eine nichtlineare Phasenverschiebung, welche die Überhöhung begrenzt. Das bedeutet eine nur noch geringe Zunahme der Intensität bei gesteigerter einfallender Leistung und wird als Intensity Clamping bezeichnet. Die Intensität (Clamping-Intensität), auf die der Resonator durch die Ionisierung limitiert ist, hängt von der Pulsdauer, von Gasart, Dichte und Länge des Gastargets und von der Finesse des Re-sonators ab [86]. Wenn im Fall der Schlitzmode nur ein Bruchteil der zirkulierenden Leistung mit dem Gastarget wechselwirkt, ist von einer entsprechend schwächeren Limitierung auszugehen. Es kann eine effektive Finesse für die Wechselwirkung mit dem Gastarget definiert werden als die Finesse des Re-sonators multipliziert mit dem wechselwirkenden Bruchteil der Leistung. Ein Vergleich zwischen Grundmode und Schlitzmode stellt sich dann folgendermaßen dar. Um die gleiche Leistung und Intensi-tät im Intensitätsmaximum auf der Strahlachse zu erreichen wie die Grundmode, muss die Schlitzmode eine größere zirkulierende Leistung besitzen. Bei gleicher einfallender Leistung (vollständiger räumli-cher Überlapp angenommen) muss die Überhöhung entsprechend größer sein und dazu auch die Fines-se. Die für die Begrenzung der Intensität wirksame Finesse ist aber die gleiche. Entsprechend ist mit ähnlichem Verhalten bei der Skalierung der Intensität und ähnlicher Konversionseffizienz zu rechnen.134

Nichtkollineare HHG

Ein quasi-abbildender Resonator ist eng verwandt mit einem nicht-kollinearen Aufbau, für den sich zwei Gaußstrahlen in der Fokusebene unter einem kleinen Winkel schneiden (Abb. 3.17). Für diese Situation können hohe Harmonische, die im Fokus erzeugt werden, durch einen Spalt zwischen den Fokussierspiegeln für die beiden Strahlen ausgekoppelt werden. Zu diesem Zweck können die zwei Strahlen in zwei geeignet angeordneten Überhöhungsresonatoren überhöht werden [101]. Es ist auch möglich, einen einzelnen Überhöhungsresonator mit doppelter Länge zu verwenden, in dem zwei Pulse zirkulieren [100]. Die Resonatorgeometrie muss so gewählt und justiert werden, dass die beiden Pulse im Fokus zeitlich überlappen, und die beiden Resonatorhälften müssen so stabilisiert werden, dass die Pulse konstruktive Interferenz auf der optischen Achse beibehalten.

Ein solcher nicht-kollinearer Aufbau kann vereinfacht werden durch die Benutzung eines entarteten Resonators mit Gouy-Parameter , = 2 / , in dem der Puls in -Richtung um die optische Achse pendelt und nach Umläufen die anfängliche Auslenkung wieder erreicht, d.h. seinen Pfad schließt. Für den Fall eines solchen entarteten Resonators, dessen Länge gleich dem Abstand der Pulse ist, sind die Überlappung und Synchronisation der zirkulierenden Pulse im Fokus inhärent mit der Bedingung der Entartung verbunden und können mit einem einzigen Parameter eingestellt werden. Die Harmoni-schen können durch einen Schlitz im Spiegel hinter dem Fokus ausgekoppelt werden. Um die Situation in Abb. 3.17a zu erreichen, muss der Resonator abbildend (Vergrößerung 1) sein, so dass der Strahl nach jedem zweiten Umlauf seinen Pfad schließt. Die einfachste Realisierung mit einem stabilen Re-sonator ist dargestellt in Abb. 3.17b, wobei der Strahl nach = 4 Umläufen seinen Pfad schließt. Diese Situation wird in der Mitte des Stabilitätsbereichs erreicht.

134 Die nichtlineare Phasenverschiebung durch die freien Elektronen variiert außerdem tranversal und ergibt daher

eine Kopplung an höhere transversale Moden. Für einen Grundmode-Resonator ohne Entartung von transver-salen Moden ist diese Kopplung nicht resonant. In einem quasi-abbildenden Resonator muss sie ggf. berück-sichtigt werden. Eine Rechnung mit dem Modell der Modenentwicklung ergibt, dass für die einfache Schlitz-mode eine deutlich größere Phasenverschiebung des Intensitätsmaximums auf der Strahlachse gegenüber den äußeren Intensitätsmaxima ohne nennenswerte Verringerung der Überhöhung möglich ist als die maximal to-lierbare nichtlineare Phase durch das ionisierte Gastarget, die in [86] abgeschätzt ist zu 6,3/ mit der Finesse .


104

Abb. 3.17: Intensitätsprofile ( , = 0) von sich schneidenden Gaußstrahlen zwecks nicht-kollinearer HHG. (a) Zwei Strahlen, die sich in der Fokusebene schneiden. Die Strahlen sind im Fernfeld hinreichend weit getrennt, um einen Schlitz bei = 0 zu erlauben (oder einen Spalt zwischen zwei unabhängigen Spiegeln). (b) Pendelnder Strahl in einem stabilen Überhöhungsresonator, der seinen Pfad nach 4 Umläufen schließt. Die roten Linien zeigen die Intensitätsprofile für den Fall, dass zwei (a) oder vier (b) Pulse zirkulieren; die grünen Linien zeigen das Profil für den Fall, dass nur ein Puls zirkuliert. In der Abbildung beträgt der nicht-kollineare Winkel das Doppelte des Fernfelddivergenzwinkels.

Für einen nicht-kollinearen Aufbau ist ein kleiner Winkel zwischen den beiden Strahlen vorteilhaft, weil dadurch die Zahl der transversalen Interferenzstreifen im Fokus reduziert wird, die wiederum die Diver-genz der Harmonischen bestimmen. Die einfache Modenkombinationen in Abb. 3.5 (g) und (a) entspre-chen der Situation in Abb. 3.17 (a) und (b) mit dem kleinstmöglichen nicht-kollinearen Winkel. In die-sem Sinne kann ein abbildender oder quasi-abbildender Resonator als ein perfekter nicht-kollinearer Aufbau mit kleinstem nicht-kollinearem Winkel und inhärent synchronisierten nicht-kollinearen Strah-len betrachtet werden.

Schlitzspiegel

Fokusebene

(a) (b)


105

3.3 Experimentelle Ergebnisse

3.3.1 Demonstration Quasiabbildung

Die experimentelle Demonstration eines quasiabbildenden Resonators wurde zusammen mit I. Pupeza et al. im Rahmen des Projekts KORONA an einem bestehenden Überhöhungsresonator am MPQ realisiert und ist in [111] veröffentlicht.

Mit dem Experiment wird demonstriert, dass ein quasi-abbildender Resonator mit zirkulierender Schlitzmode experimentell erreicht werden kann und trotz eines Hindernisses auf der optischen Achse eine hohe Finesse möglich ist. Es wird gezeigt, dass die Entartung der transversalen Moden leicht einge-stellt werden kann und dass die Überhöhung nicht so empfindlich auf die Lage im Stabilitätsbereich ist, dass eine aktive Stabilisierung erforderlich wäre.

Abb. 3.18: (a) Skizze des experimentellen Aufbaus zur Demonstration eines quasi-abbildenden Resonators. Der einfallende Strahl ist modenangepasst auf die Grundmode des Resonators. Der Einkoppelspiegel (M1) besitzt eine Reflektivität = 99,86%; die Resonatorspiegel M2-M8 besitzen eine Reflektivität 99,995%. Ein vertikal ge-spannter Draht kann mit einem motorisierten Verschiebetisch in den Strahlengang gebracht und auf die optische Achse ausgerichtet werden. Die Lage im Stabilitätsbereich und die Resonatorlänge können mittels motorisierten Verschiebetischen variiert werden. (b) Abbildung der Ebene des Drahts mit dem Resonator außer Resonanz.

Der experimentelle Aufbau ist der gleiche wie in [113] und in Abb. 3.18 skizziert. Das Yb-basierte La-sersystem ist beschrieben in [114]. Es emittiert Pulse mit einer Pulsdauer von = 200 fs mit einer Repe-titionsrate von = 78 MHz. Die Zentralwellenlänge ist = 1040 nm und die Bandbreite = 7 nm (Puls-Bandbreite-Produkt · = 0,39). In diesem Experiment wird nur eine mittlere Leistung von = 1,4 W aus dem Lasersystem als einfallende Leistung auf den Überhöhungsresonator verwendet.

Der Strahl wird mit zwei sphärischen Linsen auf die Grundmode des Resonators Moden-angepasst. Der Überhöhungsresonator mit Länge = 3,84 m besteht aus 8 Spiegeln. Die beiden Fokussierspiegel besit-zen einen Krümmungsradius von = 150 mm. Das ergibt einen Fokusradius von 0 = 22 μm für die Grundmode in der Mitte des Stabilitätsbereichs. Der Resonator befindet sich in einer Vakuumkammer.

Die Resonatorlänge des Oszillators des Lasersystems wird mittels eines Piezos auf den Überhöhungsre-sonator stabilisiert. Das Fehlersignal wird aus dem vom Resonator reflektierten Strahl mittels Hänsch-Couillaud-Schema erzeugt. Die Offset-Frequenz des Pulszugs kann manuell durch ein Paar von Keilen im Oszillator verstellt werden. Die zirkulierende Leistung wird durch die Messung der transmittierten Leistung durch einen Resonatorspiegel (M8) mit bekannter Transmission 1,65 ppm bestimmt.

(b)(a)

Lage im StabilitätsbereichResonatorlänge

Regel-schleife

Vakuumkammer

Yb-basiertes Lasersystem:mittlere Leistung 1,8 WRepetitionsrate 78 MHzZentralwellenlänge 1040 nmPulsdauer 200 fs

Strahldiagnostik

CCD

100μm Draht

Blende

Abbildung Resonatormode

M1 M2

M5

M4

M8

M6

M3

M7

Teleskop zur Modenanpassung

1 mm


106

Ein vertikal gespannter Kupferdraht mit 100 μm Durchmesser auf einem motorisierten Verschiebetisch wird als Hindernis auf der optischen Achse benutzt. Um die Situation eines Schlitzspiegels im Fokus-sierspiegel hinter dem Fokus zu simulieren (Abb. 3.8), müsste der Draht in die Nähe dieses Spiegels gebracht werden. Die Position des Hindernisses spielt aber für die Demonstration der Quasi-Abbildung keine Rolle. Es verschieben sich lediglich die longitudinalen Positionen der Intensitätsminima und -maxima auf der optischen Achse. Für den Draht wird daher eine gut zugängliche Position gewählt (400 mm vor Spiegel M5, Strahlradius der Grundmode = 0,99 mm). Auch die vertikale Orientierung ist aus praktischen Gründen gewählt. Eine zusätzliche Blende wird in der gleichen Ebene platziert, um Beiträge höherer transversaler Moden (außer 0,0 und 4,0) zu unterdrücken.

Die Lage im Stabilitätsbereich kann variiert werden durch Verschieben des Fokussierspiegels M5 und Kompensation der Resonatorlänge durch Verschieben von Spiegel M7. Die Justage des Resonators än-dert sich dabei nicht.

Abb. 3.19: (a) Resonanzen transversaler Resonatormoden ohne Draht (transmittiertes Signal, grün, 1 mV/Div.) für einen linearen Scan (Piezo-Spannung, magenta, 5 V/Div.) der Resonatorlänge des Oszillators. Transversale Moden bis Modenzahl 4 sind erkennbar. Unter der Annahme eines linearen Verhaltens des Piezos kann der Gouy-Para-meter zu , = 0,78·2 und , = 0,76·2 abgelesen werden. (b) Lock der Schlitzmode mit Draht auf der optischen Achse. Transmittiertes Signal (grün, 50 mV/Div.) und reflektiertes Signal (blau, 500 mV/Div.). Die Abbildung zeigt die zeitlichen Fluktuationen der zirkulierenden Leistung und die Bedeutung der Größen und .

Zunächst wird der Resonator ohne Draht auf die Grundmode 0,0 und dann auf die transversale Mode 1,0 gelockt, um den Resonator zu charakterisieren. Mit der Grundmode wird eine zirkulierende Leis-

tung von = 1950 W erreicht, was einer Überhöhung von / = 1400 entspricht. Die zirkulie-rende Leistung schwankt zeitlich und fällt wiederholt auf ~80% des Maximalwerts. Das ist vermutlich auf relativ geringe Bandbreite des Piezos (<20 kHz) zusammen mit der hohen Finesse zurückzuführen. Die zeitgemittelte zirkulierende Leistung wird mit einem Leistungsmesskopf gemessen. Für die Aus-wertung soll angenommen werden, dass der Maximalwert der zirkulierenden Leistung durch die Umlaufverluste und den räumlichen Überlapp bestimmt ist und ein Abfallen durch eine Abweichung von der Resonanz bewirkt wird. Für den Maximalwert gilt = 1,1 , die entsprechende Überhö-hung ist also = 1540. Die aus dem vom Resonator reflektierten Signal bestimmte Kopplung in den Resonator beträgt = 0,70. Aus diesen Werten kann ein Verlustfaktor von = 1 – / = 99,955% be-rechnet werden. Die Finesse wird zu = 2 /(1 – ) = 3400 bestimmt. Der Unterschied der mit die-sem Verlustfaktor erwarteten Überhöhung = 1630 und der gemessenen Überhöhung = 1540 kann einem unvollständigen räumlichen Überlapp = / = 0,94 zugeschrieben werden (Gl. 2.125). Der spektrale Überlapp zwischen einfallendem und zirkulierendem Feld ist vollständig. Die zirkulierende Pulsdauer wird zu = 200 fs gemessen.

4-Resonanzen

3-Resonanzen2-Resonanzen

0-Resonanz 0-Resonanz

freier Spektralbereich1-Resonanzen

Zeit [1 ms/div] Zeit [4 ms/div]

0

Pin

0

Prefl

maxcircP

circP

(b)(a)Pi

ezo-

Span

nung

zirk

ulie

rend

e Le

istu

ng

refle

ktie

rte L

eist

ung

zirk

ulie

rend

e Le

istu

ng


107

Für einen Lock der 1,0 Mode (ohne Draht auf der Achse) wird der einfallende Strahl für einen maxi-malen räumlichen Überlapp verkippt. Der -Parameter ist unverändert. Der für diese Situation erwartete Überlapp ist = 1/ = 0,37. Eine Blende im Aufbau zur Erzeugung des Fehlersignals selektiert eines der Intensitätsmaxima im reflektierten Strahl. Da die präferierte Offset-Frequenz des Resonators von der Modenordnung abhängt (Gl. 2.128), muss die Offset-Frequenz des Oszillators angepasst werden. Eine Überhöhung / = 550, = 1,1 und eine Kopplung = 0,28 werden gemessen. Die Fi-nesse wird zu = 3400 bestimmt. Der räumliche Überlapp wird zu = 0,37 bestimmt, was mit der Erwartung für diese Mode übereinstimmt. Die kleinere Überhöhung verglichen mit der Grundmode ist auf den räumlichen Überlapp zurückzuführen. Der Verlustfaktor und die Finesse sind in beiden Fällen identisch. Wie für die Grundmode wird das gesamte Spektrum gleichmäßig überhöht.

Schließlich wird der Draht auf der optischen Achse gebracht und die Entartung in der Mitte des Stabili-tätsbereichs eingestellt. Um diese Position zu finden, können die Resonanzen der transversalen Moden für den Resonator ohne Draht ausgewertet werden (Abb. 3.19). Der einfallende Strahl wird wieder auf die Grundmode justiert und die Offset-Frequenz des Oszillators angepasst. Eine Blende selektiert ein Intensitätsmaximum für das Fehlersignal. Für den gelockten Resonator werden abhängig von der Lage im Stabilitätsbereich unterschiedliche zirkulierende Feldverteilungen mit einer unterschiedlichen Zahl von Intensitätsmaxima beobachtet, die auf Beiträge von höheren transversalen Moden ( 8,0, 12,0) zurückzuführen sind. Um diese Beiträge zu unterdrücken, wird eine Blende in den Resonator positio-niert und an die optische Achse angenähert, bis die einfache Schlitzmode mit 4 Intensitätsmaxima er-reicht ist. Das ist für einen Abstand der Blende von der optischen Achse von ca. = 2,9 der Fall. Das Intensitätsprofil der zirkulierenden Schlitzmode ist dargestellt in Abb. 3.20.

Abb. 3.20: Gemessene Intensitätsprofile der zirkulierenden Schlitzmode: (a) In der Abbildungsebene der Position des Drahts und der Blende, Strahlradius der Grundmode = 0,99 mm. Draht und Blende sind durch gestrichelte Linien angedeutet. (b) In der Ebene mit maximaler Intensität auf der optischen Achse (2,4 m vor dem Draht), Strahlradius der Grundmode = 0,77 mm. (c) Anpassung der Modenkombination 0 0,0 + 4 4,0 + 8 8,0 mit komplexen Koeffizienten an einen Schnitt durch das Intensitätsprofil aus (a). Der Beitrag der drei Moden ist angegeben.

Die Lage im Stabilitätsbereich wird durch Änderung des Abstands der Fokussierspiegel um einige 10μm im Bereich um die Entartung variiert und die jeweilige Überhöhung gemessen. Die Verstim-mungskurve als Funktion einer Verstimmung des Gouy-Parameters und des Abstands der Fokus-sierspiegel ist zusammen mit einer simulierten Kurve dargestellt in Abb. 3.21. Die gemessene Breite der Verstimmungskurve ist = 17 μm (FWHM). Einerseits ist das nur ein kleiner Bruchteil des gesamten Stabilitätsbereichs von 3,2 mm, andererseits ist das hinreichend breit, dass die Quasiabbildung manuell eingestellt werden kann und keine aktive Stabilisierung des Abstands erfordert.

-4 -2 0 2 4

measurement fit

|c0|² = 0.25|c4|² = 0.72|c8|² = 0.03

(b)

(a) (c)

1 mm

1 mm

MessungAnpassung1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,250,720,03

transversale Koordinate [mm]

Inte

nsitä

t [b.

E.]


108

Abb. 3.21: (a) Gemessene Überhöhung der Schlitzmode für verschiedene Einstellungen der Lage im Stabilitätsbe-reich zusammen mit einer berechneten Verstimmungskurve. Das Modell ist in Kapitel 3.2 beschrieben. (b) Nor-mierte im Resonator zirkulierende Spektren der 0,0-, 1,0- und Schlitzmode (logarithmische Skala). Die Kur-ven zeigen, dass der spektrale Überlapp für alle drei transversalen Moden identisch ist.

Für maximale Überhöhung / = 330 bei einer zirkulierenden Leistung von = 460 wird ein maximaler Wert der zirkulierenden Leistung = 1,08 und eine Kopplung = 0,24 gemessen. Die Finesse wird zu = 3000 bestimmt, was nur eine kleine Reduktion gegenüber dem Resonator ohne Draht auf der optischen Achse bedeutet. Die zusätzlichen Verluste durch den Draht betragen nur 230 ppm. Der räumliche Überlapp wird zu = 0,27 bestimmt. Das gesamte Spektrum wird gleichmä-ßig überhöht (Abb. 3.21b).

Aus dem gemessenen Intensitätsprofil der Schlitzmode werden die Beiträge der Moden 0,0, 4,0 und

8,0 abgeschätzt. Der Leistungsanteil in der 8,0-Mode ist nur | 8|2 = 0,03, da er mit der Blende unter-

drückt wird. Der Leistungsanteil | 0|2 = 0,25 in der Grundmode stellt die Erwartung für den räumlichen

Überlapp mit dem einfallenden Gaußstrahl dar und ist in guter Übereinstimmung mit dem gemessenen Wert von 0,27. Tab. 4 fasst die Ergebnisse für die verschiedenen Resonatormoden zusammen.

Tab. 4: Finesse, Überhöhung und räumlicher Überlapp für verschiedene transversale Resonatormoden.

0,0 1,0 Schlitzmode

ohne Draht mit Draht

Finesse 3400 3400 3000

Überhöhung / 1400 550 330

räumlicher Überlapp 0,94 0,37 0,27

0

100

200

300

400 measurement model

-20 -10 0 10 20

= 17 μm

1030 1040 1050

0.01

0.1

1 GH0,0

GH1,0

slit mode

(b)(a)

Verstimmung [mrad]

Verstimmung [μm]

= 17μm

ExperimentModell

Wellenlänge [nm]

0,1

0,01

spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.]

0,0

1,0Schlitz-mode

Übe

rhöh

ung

/


109

3.3.2 Demonstration HHG mit Schlitzmode

Die experimentelle Demonstration der Erzeugung und Auskopplung von Harmonischen mit einer Schlitzmode in einem quasi-abbildenden Resonator wurde zusammen mit I. Pupeza et al. realisiert und ist in [90] veröffentlicht.

Mit dem Experiment wird demonstriert, dass die Feldverteilung der einfachen Schlitzmode für effiziente HHG geeignet ist und eine große Auskoppeleffizienz möglich ist. Trotz der moderaten zirkulierenden Leistung von 2,2 kW (<1 kW im Intensitätsmaximum auf der optischen Achse) wird eine ausgekoppelte XUV-Leistung erreicht (11 μW bei 61 nm), die vergleichbar ist mit den leistungsstärksten XUV-Quellen auf Basis Resonator-unterstützter HHG (vgl. Abb. 3.1). HHG in einem quasi-abbildenden Überhöhungs-resonator sollte zu deutlich größeren Leistungen skalierbar sein und eröffnet so zusammen mit einem geeigneten IR-Lasersystem die Möglichkeit von XUV-Leistungen im mW-Bereich.

Abb. 3.22: Skizze des experimentellen Aufbaus zur HHG mit zirkulierender Schlitzmode.

Für das Experiment steht ein Yb-basiertes Lasersystem zur Verfügung, das nach einer nichtlinearen Kompressions-Stufe mit spektraler Verbreiterung in einer kurzen Quarzglas-Faser (20 mm, PCF) Pulse mit 65 fs Pulsdauer bei einer mittleren Leistung von 45 W und Repetitionsrate 78 MHz liefert [96,114].

Der Überhöhungsresonator besteht aus 8 Spiegeln und hat eine Länge von = 3,84 m. Die Fokussierung ist asymmetrisch mit Krümmungsradien 1 = 100 mm und 2 = 150 mm. In der Mitte des Stabilitätsbe-reichs ergibt das einen Fokusradius von 0 = 18,8 μm für die Grundmode. Die Reflektivität des Ein-kopplers ist = 99,5%, die Reflektivität der übrigen Resonatorspiegel 99,995%. Als Auskoppelspiegel stehen Schlitzspiegel mit Schlitzen verschiedener Breite zur Verfügung, die mittels Inversem Laserboh-ren eingebracht wurden [104]. Da beim Bohren Muschelausbrüche an den Schlitzkanten entstehen und damit eine verlorene Fläche entsteht, muss unterschieden werden zwischen der inneren Schlitzbreite, die die Auskoppeleffizienz bestimmt, und der äußeren Schlitzbreite, die die Verluste für die zirkulierende Mode bestimmt. Der gewählte Schlitz hat eine innere und äußere Schlitzbreite von 0,2 mm und 0,28 mm. Das entspricht 7,5% und 10% des Strahldurchmessers der Grundmode von 2 = 2,75 mm auf diesem Spiegel.

Der einfallende Strahl wird auf die Grundmode des Resonators Moden-angepasst, was einen erwarteten räumlichen Überlapp von = 0,27 ergibt. Der Laser wird mittels des Pound-Drewer-Hall-Schemas auf den Überhöhungsresonator gelockt. Aufgrund der großen Finesse (verglichen mit [96]) kann der Re-sonator nicht das gesamte Spektrum gleichmäßig überhöhen. Die zirkulierende Pulsdauer ist mit 100 fs daher etwas länger als die einfallenden Pulse. Mit der einfachen Schlitzmode wird eine zirkulierende Leistung von = 2,2 kW bei einer Überhöhung von = 50 erreicht. Diese Überhöhung ist kleiner als

Gasdüse

Regelschleife

Vakuumkammer

Yb-basiertes Lasersystem:mittlere Leistung <60 WRepetitionsrate 78 MHzZentralwellenlänge 1,04μmPulsdauer 200 fs

Strahldiagnostik

CCD

M1 M2

= 100 mm

M4

M8

Gitter

M3

M7

Teleskop zur Modenanpassung

nichtlineare Pulskompression:mittlere Leistung 45 WPulsdauer 65 fs

= 150 mmSchlitzspiegel Autokorrelator

Schirm XUV-Diode

M5M6


110

für den Einkoppler und die Verluste zu erwarten, einschließlich geschätzter Verluste der Schlitzmode am Schlitz (100 ppm für eine großzügige Abschätzung gemäß Gl. 3.6). Für einen räumlichen Überlapp von = 0,27 beträgt die erwartete Überhöhung = 190. Die kleinere gemessene Überhöhung ist neben dem unvollständigen spektralen Überlapp vermutlich auf Aberrationen durch die Oberflächendeforma-tion des Schlitzspiegels zurückzuführen. Durch das Bohren der Schlitze werden Spannungen in das Spiegelsubstrat eingebracht, die dazu führen, dass die Oberfläche um Rand des Schlitzes eine Verbiegung nach oben von etwa 100 nm aufweist. Durch Tempern der Substrate können die Spannungen gelöst und die Verbiegung rückgängig gemacht werden [104]. Die anschließend aufgebrachte HR-Beschichtung übt eine Druckspannung auf das Sub-strat aus und führt zu einer Verbiegung von gleicher Größenordnung nach unten (siehe Abb. 3.23a). Die Deformation erstreckt sich transversal über mehrere mm. Die Simulation des Resonators mit einer sol-chen Deformation der Oberfläche mit dem in Kapitel 3.2 angegebenen Modell ergibt eine deutliche Reduzierung der Überhöhung (Abb. 3.23b). Zusammen mit einem geschätzten spektralen Überlapp von 0,65 ist die mit Deformation erwartete Überhöhung 47, was mit der gemessenen Überhöhung überein-stimmt. Für Schlitzspiegel mit geringeren Deformationen sollten deutlich größere Überhöhungen er-reichbar sein.

Abb. 3.23: (a) Gemessenes Oberflächenprofil entlang einer Linie senkrecht zum Schlitz für den verwendeten Schlitzspiegel. Die Oberfläche zeigt eine Verbiegung im Bereich um den Schlitz. Zur Einordnung der transversa-len Ausdehnung ist das Intensitätsprofil der einfachen Schlitzmode auf diesem Spiegel dazu gezeichnet. (b) Simu-lation des Überhöhungsresonators bei variierter Stärke der Oberflächendeformation des Schlitzspiegels. Darge-stellt sind die Überhöhung (rot) und der räumliche Überlapp (blau) mit dem einfallenden Gaußstrahl. Dabei ist die Anpassung an das Oberflächenprofil aus (a) mit zwei Exponential-Funktionen benutzt und deren Höhe skaliert. Die Höhe der gemessenen Deformation ist durch eine senkrechte graue gestrichelte Linie markiert. Die rote gestri-chelte Linie markiert die mögliche Überhöhung für gegebenen Verlustfaktor und Einkoppler ohne Verluste an einem Schlitzspiegel für einen räumlichen Überlapp von = 3/11. Die blaue gestrichelte Linie markiert den erwarteten räumlichen Überlapp bei Modenanpassung auf die Grundmode ( = 3/11).

Zirkulierende Leistung und Fokusradius ergeben eine Pulsspitzenintensität auf der Strahlachse von 4,5·1013

W/cm² für die Grundmode. Die Intensität des Intensitätsmaximums auf der optischen Achse für die einfache Schlitzmode beträgt 0,64 dieses Werts. Diese Intensität ist unterhalb des Clamping-Limits durch Ionisation des Gastargets [96]. Eine getaperte Düse aus Glas wird seitlich an den Strahl im Be-reich des Fokus herangeführt und Xenon eingelassen. Die -Position der Gasdüse wird variiert. Hinter-grunddruck (3 bar) und Durchmesser der Gasdüse (100 μm) werden empirisch optimiert. Die Harmoni-schen werden hinter dem Schlitzspiegel mit einem Gitter dispergiert und treffen auf einen Fluoreszenz-schirm. Für eine Position der Gasdüse von = -0,55 mm wird die Leistung der 17. Harmonischen mit einer kalibrierten XUV-Photodiode gemessen. Die Leistung der Harmonischen mit Ordnung 13, 15 und 19 wird im Verhältnis dazu aus der Aufnahme des Harmonischen auf dem Schirm berechnet (unter Be-

-4 -2 0 2 4-200

-150

-100

-50

0

abgezogenR = 150 mm Krümmungsradius

Profil, gemessen Anpassung

Schlitzbreite 2a = 0,28 mm

transversale Koordinate x [mm]

2w = 2,75 mmSchlitzmode

0,0

0,5

1,0

Inte

nsitä

t [b.

E.]

-50 -25 0 25 50 75 100 125 150 1750

25

50

75

100

125

150

175

200

Leis

tung

sübe

rhöh

ung

P

Höhe der Deformation h [nm]

0

10

20

30

40

50(a) (b)

transversale Koordinate [mm]

Obe

rflä

chen

prof

il [n

m]

räum

liche

r Übe

rlapp

[%

]

Übe

rhöh

ung

Inte

nsitä

t [b.

E.]

Simulation mit 0, 4, 8Verlustfaktor = 99,965%Einkoppler = 99,5%


111

rücksichtigung der Beugungseffizienz des Gitters und der Quanteneffizienz des Schirms). Die ausge-koppelten Leistungen sind in Tab. 5 angegeben.

Tab. 5: Ausgekoppelte XUV-Leistungen für Harmonische mit Ordnung 13 bis 19.

Harmonische Ordnung 13 15 17 19

Wellenlänge 80 nm 69,3 nm 61,2 nm 54,7 nm

ausgekoppelte Leistung 8 μW 11 μW 11 μW 7 μW

Zur Abschätzung der Auskoppeleffizienz von mit der einfachen Schlitzmode erzeugten Harmonischen durch einen Schlitz im Fokussierspiegel hinter dem Fokus kann ein einfaches Modell aufgestellt wer-den. Dazu wird nur die transversale Richtung der Quasiabbildung betrachtet. Es sei angenommen, dass die Harmonischen in einer Ebene im Abstand ±0,82 vom Fokus erzeugt werden, in der die Krüm-mung der Phasenfront verschwindet. Das Intensitätsprofil in dieser Ebene ähnelt einem Gaußstrahl mit Strahlradius = 0,53 0, wobei 0 den Fokusradius der Grundmode bezeichnet. Es sei weiterhin ange-nommen, dass die Krümmung der Phasenfront , der Harmonischen gleich derjenigen der treibenden Strahlung ist (d.h. dort liegt die Strahltaille der Harmonischen) und das Strahlprofil der Harmonischen ebenfalls Gauß-förmig ist mit einem um die Wurzel der Modenordnung verringerten Strahlradius : = = 0, und , = , = 0 Gl. 3.29

Daraus folgt für den Divergenzwinkel der Harmonischen und das Verhältnis / von halber Schlitzbreite und Strahlradius am Ort des Schlitzspiegels: = = , = , = 0, Gl. 3.30

Dabei ist / das Verhältnis von halber Schlitzbreite und Strahlradius der Grundmode für die treibende Strahlung (das die Verluste für die Schlitzmode bestimmt). Die Auskoppeleffizienz der Harmoni-schen ist durch die Transmission des Gauß-förmigen Profils mit Strahlradius am Schlitz mit halber Breite gegeben: = 1 erfc 2 = 1 erfc 0, 2 Gl. 3.31

Eine detaillierte Simulation des HHG-Prozesses mit einer transversalen Feldverteilung gemäß der Schlitzmode ergibt eine gute Übereinstimmung mit dem beobachteten Profil der Harmonischen in der transversalen Richtung entlang des Schlitzes [90]. Die Simulation erlaubt die Berechnung der Auskop-peleffizienz durch einen Schlitz mit variierter Breite, die in Abb. 3.24 dargestellt ist. Daraus ergibt sich eine geschätzte Auskoppeleffizienz von 30% für die 17. Harmonische. Für größere Schlitzbreiten, die mit Verlusten für die zirkulierende Strahlung durchaus vereinbar sind, sollten deutlich größere Auskop-peleffizienzen erreichbar sein, bspw. 60% für eine relative Schlitzbreite von 17%. Die Abbildung zeigt auch Strahlprofile verschiedener Harmonischer am Ort des Schlitzspiegels für die Erzeugung im Intensi-tätsmaximum auf der optischen Achse vor ( = -0,8 mm) oder hinter ( = 0,8 mm) dem Fokus [90]. Es sei angemerkt, dass das Strahlprofil der ausgekoppelten Harmonischen im Allgemeinen elliptisch und astigmatisch ist.


112

Abb. 3.24: (a) Auskoppeleffizienz für Harmonische verschiedener Ordnung als Funktion der relativen Schlitzbrei-te simuliert für die Erzeugung in einem Gastarget im Abstand = 0,8 mm hinter dem Fokus [90]. Die Auskoppel-effizienzen nach dem einfachen Modell Gl. 3.31 sind als gestrichelte Linien gezeichnet. Das Modell ergibt für diese Harmonischen eine grobe Übereinstimmung. (b) Strahlprofile der Harmonischen mit Ordnung 15 und 17 am Ort des Auskoppelspiegels für die Erzeugung in einem Gastarget im Abstand = ±0,8 mm vor und hinter dem Fokus, entnommen [90]. Die -Richtung ist die Richtung der Quasi-Abbildung (der Schlitz liegt also horizontal).

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250

20

40

60

80

100Simulation HHG:

H19 H17 H15

einfaches Modell: H19 H17 H15

Schlitzbreite im Experiment

(b)(a)

relative Schlitzbreite 2 /2

Aus

kopp

elef

fizie

nz

[%]

-1,5 0 1,5

1,5

0

-1,5

trans

. Koo

rdin

ate

[mm

]

-1,5 0 1,5trans. Koordinate [mm]

H15, = 0,8 mmH15, = -0,8 mm

-1,5 0 1,5

1,5

0

-1,5-1,5 0 1,5

H17, = 0,8 mmH17, = -0,8 mm


113

3.4 Ausblick

Der geplante Aufbau am MPQ zur Erzeugung eines XUV-Frequenzkamms für die He+-Spektroskopie beruht auf der Skalierung der in Kapitel 3.3.2 beschriebenen experimentellen Ergebnisse. Dabei soll die zirkulierende Leistung bei gleicher Pulsdauer von 2,2 kW auf ca. 15 kW gesteigert werden. Zusammen mit einer von 30% auf ca. 60% verdoppelten Auskoppeleffizienz durch einen breiteren Schlitz ist bei gleicher angenommener Konversionseffizienz eine Steigerung der ausgekoppelten XUV-Leistung um eine Größenordnung auf >100 μW bei 61 nm zu erwarten. Die größere zirkulierende Leistung soll er-reicht werden durch eine Steigerung der einfallenden Leistung von 45 W auf 300 W und einen von 27% auf ca. 44% gesteigerten räumlichen Überlapp durch eine Modenanpassung auf die Schlitzmode mittels Zylinderlinsen. Die Repetitionsrate ist von 78 MHz auf 40 MHz reduziert. Zusammen mit der größeren Leistung ist damit die Pulsspitzenleistung im Resonator größer, und die Rayleighlänge des Fokus kann bei gleicher Intensität von 1,1 mm auf 3,7 mm vergrößert werden, so dass ein größeres Volumen zur Konversion zur Verfügung steht.

Die Entartung einer Gruppe transversaler Mode gibt der resonanten Feldverteilung Freiheitsgrade für ihre transversale Gestalt. Diese Gestalt wird neben der Öffnung zur geometrischen Auskopplung be-stimmt durch die einfallende Feldverteilung, durch eine Verstimmung gegen die Entartung, durch Pha-senaberrationen und durch die transversale Begrenzung. Im Experiment wurden Blenden benutzt, um die Feldverteilung auf die einfache Schlitzmode zu beschränken. Ggf. können auch andere Feldvertei-lungen vorteilhaft sein.

(Quasi-)Phasenanpassung

Von entscheidender Bedeutung für die Effizienz der Erzeugung hoher Harmonischer ist die Phasenan-passung dieses nichtlinearen Konversionsprozesses [115]. Die Möglichkeit, die zirkulierende Feldver-teilung über die Kombination transversaler Moden maßzuschneidern, kann möglicherweise zu verbes-serter Phasenanpassung bei der Resonator-unterstützen HHG führen. Bspw. kann ein flacherer Verlauf der Intensität auf der optischen Achse für ein Intensitätsmaximum eingestellt werden.

Die Feldverteilung der einfachen Schlitzmode enthält Intensitätsmaxima auf der Strahlachse vor und hinter der Fokusebene. Es bleibt zu untersuchen, ob durch die Benutzung von zwei getrennten Gasdüsen für diese Intensitätsmaxima eine Quasi-Phasenanpassung bei der HHG erreicht und die Konversionsef-fizienz gesteigert werden kann [116].

Das Intensitätsmaximum auf der Resonatorachse für die einfache Schlitzmode in einem quasi-abbild-enden Resonator mit gleichen Eigen-Parametern in den transversalen Richtungen ist elliptisch und as-tigmatisch. Durch angepasste Elliptizität und Astigmatismus der Resonatormode kann ein Intensitäts-maximum erreicht werden, das in beiden Richtungen den gleichen Durchmesser und eine ebene Phasen-front aufweist. Eine solche Mode besitzt die geringste Steigung der Phase auf der Resonatorachse bezo-gen auf den Strahlquerschnitt und ist möglicherweise vorteilhaft für HHG. Dazu muss die Strahltaille in der zur Quasi-Abbildung senkrechten Richtung um eine Rayleighlänge verschoben und ihr Taillen-durchmesser um den Faktor 0,36 verringert werden. Das bedeutet sehr große Werte für Astigmatismus und Elliptizität, kann aber mit einer geeigneten Auslegung des Resonators erreicht werden.

Modenentartung am Stabilitätsrand

Durch die Quasi-Abbildung ist die Lage des Resonators im Stabilitätsbereich festgelegt, bspw. auf die Mitte des Stabilitätsbereichs für die Schlitzmode aus 0,0 & 4,0. Dadurch sind auch die Strahlradien auf den Spiegeln zusammen mit der Resonatorlänge festgelegt, zumindest in der transversalen Richtung der Quasi-Abbildung. Größere Strahlquerschnitt können erreicht werden, wenn der Resonator in der zur Quasi-Abbildung senkrechten Richtung nah an den (unteren) Stabilitätsrand heranrückt. Die stark unter-schiedliche Einstellung des Stabilitätsbereichs in den beiden transversalen Richtungen erfordert astig-matische Elemente wie bspw. zylindrische Spiegel oder einen großen Einfallswinkel auf sphärischen Spiegeln (um den daraus resultierenden Astigmatismus zu nutzen), der aber mit zusätzlichen Aberratio-


114

nen einhergeht. Eine Möglichkeit, gleichzeitig eine geometrische Auskopplung und große Strahlradien zu erreichen, ist die Nutzung der Modenentartung am Stabilitätsrand.135 Bei Annäherung an den Stabili-tätsrand mit = (unterer Stabilitätsrand eines Bow-tie-Resonators) wird der Abstand der geraden transversalen Moden zunehmend kleiner (Abb. 3.4). Zwar bleibt der Abstand der transversalen Moden für einen endlichen Strahlradius der Eigenmode endlich, aber mit einer großen Öffnung im Spiegel und der resultierenden Kopplung der transversalen Moden sollte trotzdem eine Modenkombination angeregt werden können, die der Öffnung ausweicht und kleine Verluste erfährt. Dazu bietet sich eine Kombina-tion der Grundmode 0,0 mit der in diesem Fall nächsten transversalen Mode 2,0 an. Es bleibt zu untersuchen, wie eine solche Situation erreicht werden kann und welche Überhöhung, Strahldurchmes-ser und Schlitzbreite damit möglich sind.

Attosecond-Lighthouse

Ein fs-Puls erzeugt bei der HHG einen Pulszug von as-Pulsen mit einem as-Puls pro Halbzyklus. Um isolierte as-Pulse zu erreichen, darf die Dauer des treibenden fs-Pulses nur einen knappen Zyklus betra-gen. Gating-Methoden erlauben es, die für die HHG wirksame Pulsdauer eines längeren Pulses auf ei-nen Halbzyklus zu begrenzen. Einige dieser Methoden sind auch in Überhöhungsresonatoren anwend-bar, darunter das Attosecond-Lighthouse (Attosekunden-Leuchtturm), bei dem die Neigung der Phasen-front des Pulses sich über der Pulsdauer ändert („rotiert“) [117]. Die as-Pulse der einzelnen Halbzyklen des Pulses werden daher in unterschiedliche Richtungen emittiert und ein einzelner as-Puls kann im Fernfeld durch eine Blende isoliert werden. Eine rotierende Phasenfront kann erreicht werden durch die Überlagerung zweier Pulse, die sich im Fokus unter einem Winkel kreuzen und um einen Bruchteil ihrer Pulsdauer gegeneinander verzögert sind. Diese Situation kann in einem Überhöhungsresonator dadurch erreicht werden, dass die beiden Intensitätsmaxima einer 1,0-Mode mittels einer Phasenmaske gegen-einander verzögert werden und diese Verzögerung in der Bildebene der ersten Phasenmaske durch eine zweite Phasenmaske rückgängig gemacht wird [118]. Damit in der Fokusebene ein Intensitätsmaximum auf der Resonatorachse vorliegt, muss die Phasenmaske neben der Verzögerung um einen Bruchteil der Pulsdauer auch einen Phasendifferenz von für die Intensitätsmaxima erreichen; die Verzögerung muss also entsprechend genau eingestellt sein. Bei der Implementierung des Attosecond-Lighthouse in einem Überhöhungsresonator kann die Quasiabbildung ggf. hilfreich sein, etwa durch die Benutzung der Mo-denkombination 1,0 & 5,0, die geringere Verluste an einem Auskoppelschlitz erlaubt als die 1,0 -Mode allein.

135 Eine mögliche Bezeichnung für diese Situation wäre Quasi-Quasi-Abbildung.

Pulskompression in Multipass-Zelle (MPCSB)

115

4 Pulskompression in Multipass-Zelle (MPCSB) Ultrakurzpulslaser haben zahlreiche Anwendungen in Wissenschaft und Industrie, die auf der kurzen Pulsdauer, der großen Pulsleistung oder der zeitlichen Kohärenz dieser Strahlquellen beruhen. Viele Anwendungen profitieren von kleinen Pulsdauern und großen mittleren Leistungen, die aber schwer gleichzeitig zu erreichen sind. Während Ti:Sa-basierte Lasersysteme leicht Pulsdauern <100 fs errei-chen, ist ihre mittlere Leistung typischerweise auf wenige W limitiert. Im Gegensatz dazu erlauben Yb-basierte Systeme viele 100 W mittlere Leistung [38,119-122], sind aber bei diesen mittleren Leistungen aufgrund der Verstärkungsbandbreite auf Pulsdauern von einigen 100 fs limitiert. Die externe nichtlinea-re Pulskompression erlaubt es, die große mittlere Leistung von Yb-basierten Lasern mit einer kurzen Pulsdauer zu kombinieren. Die Kompression basiert auf nichtlinearer spektraler Verbreiterung über Selbstphasenmodulation durch den Kerr-Effekt und anschließendem Entfernen des Chirps.

Abb. 4.1: Ultrakurzpuls-Lasersysteme mit Pulsdauern kleiner 200 fs. (a) Auftragung der Pulsspitzenleistung über der mittleren Leistung. (b) Auftragung über der Repetitionsrate. Der grau hinterlegte Bereich bezeichnet Repe-titionsraten (10-500 MHz), für die der Betrieb eines Überhöhungsresonators möglich ist. Die grauen Diagonalen zeigen zur Orientierung den Zusammenhang von Pulsspitzenleitung und Repetitionsrate an für konstante bezeich-nete mittlere Leistungen und eine Pulsdauer von 100 fs. Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Systeme mit spektraler Verbreiterung in einer Multipass-Zelle sind mit einem roten Kasten markiert. Das Schema erschließt einen neuen Parameterbereich von Pulsleistungen im Bereich ca. 40 MW bis ca. 1 GW bei gleichzeitig großer mittlerer Leistung bzw. Repetitionsrate. Für einige Systeme mit externer Kompression ist die komprimierte Puls-dauer und Kompressionseffizienz angegeben. Die kritische Leistung von Quarzglas markiert die Grenze für die Eingangspulsleistung bei der Kompression in Quarzglas-Fasern; die komprimierte Pulsleistung erreicht typ. weni-ger als den 10-fachen Wert (gestrichelte Linie). Die kritische Leistung von Luft dient zur groben Orientierung; die kritische Leistung in einer Gas-Kapillare oder Kagome-Faser kann über Gasart und Druck eingestellt werden. Andere Konzepte für kurze Pulse beinhalten breitbandige Yb-dotiere Kristalle (Lu2O3 / LuScO3, KGW / KYW, CaF2, CALGO), XPW (cross-polarized wave generation), OPCPA (optical parametric chirped-pulse amplification) und Verstärker mit Nichtlinearität (PCMA).136 Abkürzungen: DPC – Divided Pulse Compression; CC-FCPA – Coherent Combining of Fiber-CPA; PCMA – Pre-Chirp Managed Amplification; IAP – Institut für Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universität Jena; ETH – Eidgenössische Technische Hochschule Zürich; ILT – Fraun-hofer-Institut für Lasertechnik, Aachen; MPQ – Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Garching. Referenzen: IAP (2012) [122], IAP (2013) [126], IAP (2014) [88], IAP (2016) [127], ILT (2016) [132], MPQ (2017) [133]. Die Übersicht ist für mittlere Leistungen <20 W nicht vollständig. Stand April 2017.

Bei etablierten Schemata zur spektralen Verbreiterung ist der Pulsenergie-Bereich limitiert, für den sie angewendet werden können. Der bisher nicht komprimierbare Parameterbereich mit Pulsenergien zwi-

136 Mit einem PCMA-Verstärker sind 51 MW Pulsspitzenleistung bei 50 MHz Repetitionsrate demonstriert [125].

Die mittlere Leistung ist mit 93 W allerdings deutlich kleiner als für die MPCSB-Kompression, MPQ (2017).

0 100 200 300 400106

107

108

109

1010

1011

1012

1013

IAP (2016) 30 fs, 59%IAP (2016)

115 fs, 91%MPQ (2017) 170 fs, 91%

23 fs, 69%

26 fs, 48%

30fs, 84%

CC-FCPA

IAP (2014)

Pcrit Luft (5 GW)

DPC

Pcrit Quarzglas (4 MW)

kommerzielle Ti:Sa-Lasersyst.andere Konzepte

nichtlineare Pulskompression:Gas-Kapillare KagomeQuarzglas-Faser Bulk

IAP (2013)

ILT (2016)

Puls

spitz

enle

istu

ng P

p [W

]

mittlere Leistung Pm [W]

IAP (2012)

7 fs, 32%

PCMA

101 102 103 104 105 106 107 108106

107

108

109

1010

1011

1012

1013

(2016)IAP

(2012)

(2016)ILT

DPC

1 W10 W

100 W, 100 fs

40 MHz

IAP

Puls

spitz

enle

istu

ng P

p [W

]

Repetitionsrate rep [Hz]

Pcrit Quarzglas (4 MW)

Pcrit Luft (5 GW)

kommerzielle Ti:Sa-Lasersyst.andere Konzpte

nichtlineare Pulskompression:Gas-Kapillare KagomeQuarzglas-Faser Bulk

MPQ(2017)

(a) (b)

0 108


116

schen wenigen μJ und ca. 100 μJ bei einigen 100 fs Pulsdauer und großer mittlerer Leistung wird von einem neuen Schema adressiert, das auf der spektralen Verbreiterung bei der freien Propagation im bulk-Medium beruht, d.h. ohne die Führung in einem Wellenleiter, und im Rahmen dieser Arbeit entwi-ckelt wurde. In Abb. 4.1 sind die erreichten Parameter der komprimierten Pulse mit anderen Systemen verglichen.

Komprimierte Pulse mit Energien in diesem Bereich sind für viele Anwendungen wichtig. Bei der in Kapitel 3 besprochenen Resonator-unterstützten HHG werden IR-Strahlquellen benötigt, die eine große mittlere Leistung mit einer Repetitionsrate >10 MHz und kurzen Pulsen kombinieren. Die große mittle-re Leistung wird benötigt, um auch bei großer Repetitionsrate eine große Pulsenergie und Pulsleistung für den hoch nichtlinearen Konversionsprozess zu erreichen. Die kurze Pulsdauer ist entscheidend, um eine akzeptable Konversionseffizienz zu erreichen, die durch Ionisation des Gases beeinflusst ist. Pulse mit vielen 100 fs Pulsdauer, wie sie Yb-basierte Systeme ohne externe Pulskompression erlauben, sind zu lang für effiziente HHG [115].

Um Effizienz und Durchsatz bei der Mikrostrukturierung zu steigern, werden große mittlere Leistung mit Pulsenergien im Bereich 10-100 μJ benötigt; gleichzeitig erlauben kürzere Pulsdauern einen präzi-seren Abtrag und ermöglichen neue Fertigungstechniken, die auf Multi-Photonen-Absorption oder Fila-ment-Bildung beruhen [123,124].

4.1 Stand der Technik

Etablierte Schemata für die nichtlineare spektrale Verbreiterung beruhen auf Wellenleitern (Fasern oder Kapillaren) und besitzen verschiedene Limitierungen, die sie nur für eingeschränkte Bereiche der Puls-energie anwendbar machen. Die spektrale Verbreiterung in einem dielektrischen Wellenleiter ist limi-tiert auf Eingangspulse mit Pulsspitzenleistungen unter der Material-abhängigen kritischen Leistung für Selbstfokussierung durch den Kerr-Effekt.137 Für Quarzglas beträgt die kritische Leistung 4 MW bei 1 μm Wellenlänge und linearer Polarisation, was bei 800 fs Pulsdauer 3 μJ Pulsenergie entspricht. Die größte mittlere Leistung für die Kompression in einem dielektrischen nichtlinearen Medium wurde durch spektrale Verbreiterung in einer Quarzglas-Faser (PCF) demonstriert, wobei eine Kompression von 265 fs auf 23 fs Pulsdauer bei 1 μJ Pulsenergie und 250 W erreicht wurde [122].

Für größere Pulsenergien wird üblicherweise die spektrale Verbreiterung in Kapillaren angewendet, die mit einem Edelgas gefüllt sind. Aufgrund der kleineren Nichtlinearität der Gase verglichen mit Dielekt-rika ist die kritische Leistung entsprechend größer, und katastrophale Selbstfokussierung kann vermie-den werden durch die Wahl eines geeigneten Gases und Drucks. Die größte mittlere Leistung, die mit diesem Schema erreicht wurde, ist 408 W mit 30 fs Pulsdauer und 320 μJ Pulsenergie [127]. Aufgrund der Verluste bei der Führung in der Kapillare und der kleinen Nichtlinearität des Gases ist das Schema nur für Pulsenergien größer ca. 100 μJ anwendbar. Der Innenradius der Kapillare darf nicht zu klein sein, weil die Verluste dann sehr groß werden. Gleichzeitig ist die Länge der Kapillare aus praktischen Gründen begrenzt, bspw. auf 1 m [149]. Um die Verluste über dieser Länge zu begrenzen, ist ein mini-maler Innenradius erforderlich, bspw. > 125 μm für Verluste von <20% in einer Glas-Kapillare und 1 μm Wellenlänge.138 Die in der Kapillare aufgesammelte Gouy-Phase ist daher begrenzt. Um trotzdem

137 Es ist tatsächlich die Pulsleistung, die durch die Selbstfokussierung limitiert ist. Es hilft nicht, den Strahlquer-

schnitt zu vergrößern, um die Intensität zu verringern. Der Strahlquerschnitt darf aber aufgrund der Zerstör-schwelle nicht zu klein sein. Zur Kompression von Pulsen, deren Pulsleistung der kritischen Leistung nah kommt, werden daher Fasern mit großem Modenfelddurchmesser benutzt (was für Grundmode-Fasern durch Photonische Kristall-Fasern, PCF, erreicht wird).

138 Die Transmission aufgrund der verlustbehafteten Führung in einer Kapillare lautet für die Grundmode = exp / 1/ ) mit der Abklinglänge 1/ = (2 / 0,1)2( 3/ 2)( 2 1)½/( 2+1) mit der Nullstelle der Besselfunktion 0,1 = 2,405, der Wellenlänge und dem Brechnungsindex der Kapillarenwand bezogen auf den Brechungsindex in der Kapillare [128]. Für eine Glas-Kapillare ( = 1,45) ergibt sich


117

eine große nichtlineare Phase für die spektrale Verbreiterung zu erreichen, muss die Pulsspitzenleistung der Eingangspulse der kritischen Leistung des Gases nahe kommen. Die kritische Leistung für Gase beträgt einige bis viele GW bei Normaldruck und kann nur durch große Gasdrücke auf unter 1 GW ge-bracht werden. Die Pulsspitzenleistung muss daher mindestens ca. 0,1 GW betragen, was bei 800 fs Pulsdauer ca. 100 μJ entspricht.

In den letzten Jahren wurden vielfältige Anstrengungen unternommen, die Lücke im Pulsenergie-Bereich zwischen ca. 3-100 μJ zu schließen, die von diesen Schemata nicht abgedeckt wird. Größere Pulsenergien in dielektrischen Wellenleitern sind möglich durch „divided-pulse compression“ (DPC), d.h. die zeitliche Aufspaltung des Pulses in mehrere Pulse mit kleinerer Energie, die nach der Propagati-on durch das nichtlineare Medium wieder überlagert werden. Komprimierte Pulse mit 7,5 μJ Pulsener-gie, 71 fs Pulsdauer und 0,75 W wurden erreicht [129]. Die Leistungsskalierbarkeit des Ansatzes muss allerdings noch gezeigt werden. Die Benutzung von gasgefüllten Hohlkern-Fasern anstelle von Kapilla-ren erlaubt die spektrale Verbreiterung von Pulsen mit Pulsenergie deutlich unter 100 μJ, weil sie klei-nere Kerndurchmesser besitzen und ohne erhebliche Verluste deutlich länger sein können [128]. Die größte komprimierte mittlere Leistung ist 76 W mit 7 μJ Pulsenergie und 31 fs Pulsdauer [88].

Ein anderer Ansatz besteht darin, den Wellenleiter wegzulassen und die spektrale Verbreiterung bei der freien Propagation durch ein dielektrisches bulk-Medium zu erreichen.139 Das erlaubt Pulsleistungen deutlich oberhalb der kritischen Leistung und erschließt damit den Pulsenergiebereich 3-100 μJ. Tat-sächlich muss die Pulsleistung größer als die kritische Leistung sein, damit eine beträchtliche nichtlinea-re Phase und spektrale Verbreiterung bei der freien Propagation erreicht wird, d.h. ohne einen Wellen-leiter, der den Strahl transversal einschließt und eine große Intensität über der Wechselwirkungslänge mit dem Medium aufrechterhält. Katastrophale Selbstfokussierung wird vermieden für einen präzise eingestellten Strahldurchmesser und Divergenz und eine geeignete Länge des nichtlinearen Mediums. Eine komprimierte Leistung von 30 W mit 43 fs Pulsdauer und 0,8 μJ Pulsenergie wurde demonstriert [130]. Auf einen Wellenleiter zu verzichten, kann als Vorteil gelten, weil die Kopplung in den Wellen-leiter eine Herausforderung ist, insbesondere bei großer mittlerer Leistung, die typischerweise mit Strahllagefluktuationen und einer begrenzten Strahlqualität einhergeht, die den Wellenleiter zerstören können. Spektrale Verbreiterung bei einem einzelnen Durchgang durch ein bulk-Medium ist aber un-vermeidlich inhomogen über dem Strahlprofil, was eine anschließende räumliche Filterung erfordert und damit inhärent die Kompressionseffizienz limitiert. Die Homogenität ist etwas verbessert, wenn ein Medium mit einem negativen nichtlinearen Brechungsindex benutzt wird [131].

Das hier vorgestellte Schema benutzt ebenfalls keinen Wellenleiter und vermeidet gleichzeitig diese Nachteile der spektralen Verbreiterung in einem einzelnen bulk-Medium. Das macht es gleichzeitig robust, Leistungs-skalierbar und effizient. Das Schema beruht auf der wiederholten Propagation durch ein nichtlineares Medium mit nur einer kleinen nichtlinearen Phase pro Schritt und mit zwischenge-schalteter Propagation ohne Nichtlinearität. Dies kann in einem kompakten Aufbau mit einer Multipass-Zelle erreicht werden.

Mit dem Schema wurden eine mittlere Leistung von 375 W bei 170 fs Pulsdauer und 37,5 μJ Puls-energie (Kapitel 4.3.1, [132]) sowie eine mittlere Leistung von 300 W bei 115 fs Pulsdauer und 7,5 μJ Pulsenergie (Kapitel 4.3.2, [133]) erreicht. Die Strahlqualität ist in beiden Fällen erhalten.

1/ = 2,31( 3/ 2). Der Innenradius ist damit verknüpft mit Länge und Transmission gemäß 3 = 0,433 2 /ln(1/ ). Für = 80%, = 1 m und = 1 μm ergibt sich = 125 μm.

139 Der Begriff „bulk“ bezeichnet ein optisches Medium, das ein Strahl ohne Wellenleitung durchläuft. Das engli-sche Wort ist schwer zu übersetzen und wird hier übernommen.


118

4.2 Theorie Pulskompression in Multipass-Zelle

4.2.1 Pulse in nichtlinearem Medium

Bei der Propagation von Strahlung durch ein optisches Medium wechselwirkt das elektrische Feld mit dem Medium, was durch den linearen Brechungsindex beschrieben wird, der eine Verringerung der Phasengeschwindigkeit bewirkt. Bei großen Intensitäten, wie sie für gepulste Strahlung erreicht werden, tritt zusätzlich eine nichtlineare Wechselwirkung mit dem Medium auf, die durch einen nichtlinearen Brechungsindex 2 beschrieben werden kann. Die Änderung des Brechungsindex mit der momentanen Intensität heißt Kerr-Effekt. Der Intensitäts-abhängige Brechungsindex lautet [134]: ( , ; ) = + ( , ; ) (Kerr-Effekt) Gl. 4.1 Der Kerr-Effekt hat eine zeitliche und eine räumliche (transversale) Wirkung auf den Puls im Medium. Die zeitliche Änderung der momentanen Intensität ( ) ergibt eine zeitliche Modulation der Phase (Selbstphasenmodulation, SPM), wodurch neue Frequenzen erzeugt werden. Dieser Effekt wird bei der spektralen Verbreiterung benutzt. Die Phase lautet mit der Wellenzahl und der Strecke im nichtline-aren Medium: ( ) = ( ) , mit ( ) = ( ) Gl. 4.2

Dabei ist für die Intensität ein räumlich gemittelter Wert benutzt. Die für den maximalen Wert der momentanen Intensität (für = 0) erreichte nichtlineare Phase quantifiziert den Effekt und lautet: = (0) , mit (0) = Gl. 4.3

Die transversale Änderung der Intensität gemäß dem Strahlprofil ( , ) ergibt eine Kerrlinse und damit eine Selbstfokussierung des Strahls. Die Brechkraft der Kerrlinse lautet (Anhang A8.4.1): = Gl. 4.4

Zur Quantifizierung des räumlichen Einflusses des Kerr-Effekts wird üblicherweise das B-Integral be-nutzt, das die bei der Propagation durch das Medium auf der Strahlachse aufgesammelte nichtlineare Phase angibt:140 = mit = Gl. 4.5

Da für das B-Integral die Intensität auf der Strahlachse zu benutzen ist, während für die nichtlineare Phase eine räumlich gemittelte Intensität benutzt wird, ist das B-Integral doppelt so groß wie die nichtli-neare Phase (für ein Gaußprofil).

Da die momentane Intensität vom Ort im Strahlprofil abhängt und das Strahlprofil von der Zeit, sind zeitlicher und räumlicher Effekt miteinander verknüpft und erfordern im Allgemeinen die (numerische) Lösung der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung zur Beschreibung der Propagation. Wenn der räumli-che Einfluss aber klein und damit vernachlässigt ist, kann der zeitliche Effekt unabhängig vom Strahl-profil untersucht werden. Diese Situation ist gegeben in einem Wellenleiter, in dem die Kerrlinse ge-genüber der Fokussierung durch die Führung im Wellenleiter vernachlässigt werden kann. Im Fall der freien Propagation (ohne Wellenleiter) ist das im Allgemeinen nicht der Fall. Die Anordnung zur Puls-kompression ist aber gerade so ausgelegt, dass auch hier der Einfluss der Kerrlinse klein ist und damit vom zeitlichen Effekt unabhängig beschrieben werden kann.

140 Die Integration entlang der Propagations-Koordinate ist hier unter der Annahme von konstanter Leistung und

Strahlquerschnitt durch eine Multiplikation mit der Strecke ersetzt. Das gleiche gilt für die nichtlineare Phase.


119

Nichtlineare spektrale Verbreiterung durch SPM

Zur Beschreibung der Selbstphasenmodulation wird eine nichtlineare Phase benutzt, die über eine räum-lich gemittelte Intensität definiert ist (Gl. 4.2). Bei der spektralen Verbreiterung in einem Wellenleiter kann das durch die Anschauung gerechtfertigt werden, dass das Strahlprofil bei der Propagation im Wellenleiter durchmischt wird. Gemittelt über die Propagation ergibt sich dadurch für jeden Teil des Profils eine nichtlineare Phase, die durch eine räumlich gemittelte Intensität beschrieben wird. Es soll hier angenommen werden, dass dies auch für die spektrale Verbreiterung mit freier Propagation gilt, wenn die Anordnung so ausgelegt ist, dass der Einfluss der Kerrlinse klein ist (siehe Anhang A8.4.1 ).

Abb. 4.2: Zeitlicher Intensitätsverlauf (rot) eines sech²-Pulses und die negative Steigung der Intensität (blau), die die momentane Frequenzverschiebung angibt. Die gestrichelten Linien gelten für einen Puls mit halbierter Puls-dauer bei gleicher maximaler Intensität, d.h. gleicher nichtlinearer Phase . Die Steigung und die Frequenzver-schiebung sind dann doppelt so groß. Da auch die ursprüngliche Bandbreite des Pulses für die halbierte Pulsdauer doppelt so groß sein muss, ist der spektrale Verbreiterungsfaktor der gleiche.

Die zeitliche Modulation der Phase bewirkt eine momentane Frequenzverschiebung gemäß: ( ) = ( ) mit ( ) = ( ) , = (0) = (0) Gl. 4.6

In der ansteigenden Flanke des Pulses ergibt sich also eine Verschiebung zu kleineren Frequenzen, in der fallenden Flanke des Pulses eine Verschiebung zu größeren Frequenzen (Abb. 4.2). Der resultieren-de Puls ist also positiv gechirpt. Die Pulsform ändert sich dabei nicht (wenn der Startpuls bandbreitebe-grenzt und Dispersion vernachlässigbar ist). Die maximale Frequenzverschiebung ist durch die maxima-le Steigung des Pulsprofils gegeben. Für einen sech²-förmigen Puls mit Pulsdauer (FWHM) lautet sie: = ± , = ± , für ( ) = sech 1,763

oder ohne numerische Näherung der Faktoren:

= ± arcsech für ( ) = sech 2 arcsech

Gl. 4.7

Wenn die resultierende Bandbreite des Pulses mit dieser Frequenzverschiebung abgeschätzt wird, folgt für den Verbreiterungsfaktor des Spektrums: = 2 = 0 = 10 2 0,216 = 0,4320 = 1,37 mit = 0,

oder ohne numerische Näherung der Faktoren:

= = mit = ln 1 + 2

Gl. 4.8

Die nichtlineare Phase gibt also unabhängig von der Bandbreite des Startpulses den Verbreiterungsfak-tor des Spektrums an, wobei der Zusammenhang zwischen und von der Pulsform abhängt.

normierte Zeit / 0

norm

ierte

Inte

nsitä

t / 0

neg.

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igun

g de

r Int

ensi

tät

–()/( 0/

0)

-2 -1 0 1 2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-3

-2

-1

0

1

2

3


120

Abb. 4.3: Spektrale Verbreiterung durch Selbstphasenmodulation. (a) Spektrum eines sech²-Pulses vor (rot) und nach (blau) spektraler Verbreiterung mit einer nichtlinearen Phase von 2 . (b) zugehöriger Puls vor (rot) und nach (blau) spektraler Verbreiterung und Kompensation der spektralen Phase. (c) Zunahme der spektralen Breite mit der nichtlinearen Phase für einen sech²-Puls. Dargestellt ist die Bandbreite mit unterschiedlichen Definitionen. (d) Abnahme der Pulsdauer (FWHM) und Vergrößerung der Pulsleistung mit der nichtlinearen Phase für einen sech²-Puls bei Kompression mit vollständiger Kompensation der spektralen Phase und ohne Berücksichtigung von Ver-lusten. (e) Zunahme des Puls-Bandbreite-Produkts (FWHM), für die Bandbreite aus (c) und die Pulsdauer aus (d). Die „figure of merit“ bezieht die Vergrößerung der Pulsleistung aus (d) auf die Änderung der Bandbreite aus (c), definiert über den Abfall der Intensität auf 1%. (f) relative Energie im Hauptpuls und relative Intensität der Ne-benpulse (bezogen auf den Hauptpuls) über der nichtlinearen Phase für einen sech²-Startpuls und vollständige Kompensation der spektralen Phase nach spektraler Verbreiterung.

Die maximale Frequenzverschiebung (Gl. 4.7), die dort erreicht wird, wo die Steigung des zeitlichen Pulsprofils maximal ist, ergibt die größten und kleinsten Frequenzen und damit die Bandbreite. Alle kleineren Steigungen treten im Puls zweifach auf (siehe Abb. 4.2). Das führt dazu, dass das verbreiterte Spektrum moduliert ist. Der Fourier-limitierte Puls zu einem modulierten Spektrum besitzt ebenfalls eine komplexere Struktur. Vor und nach dem Hauptpuls besitzt er Nebenpulse, die einen Teil der Leis-tung enthalten. Die gegenüber dem Startpuls veränderte Form von Puls und Spektrum ergibt ein größe-res Puls-Bandbreite-Produkt. Diese Eigenschaften der komprimierten Pulse sind prinzipiell nachteilhaft

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,50

1

2

3

4

5

NL = 2

FWHM

0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1% FWHM

0

NL = 2

0 1 2 3 4 5 6 7 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

= 0,315

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

14

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

40

45

spektrale Breite 1% 10% FWHM

0 1 2 3 4 5 6 7 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

normierte Frequenz ( 0)/ 0

1%

0

FWHM

spek

trale

Lei

stun

g [b

.E.]

spektrale Breite

0

FWHM

normierte Zeit / 0

Mom

enta

nlei

stun

g [b

.E.]

= 2= 2

nichtlineare Phase / Verg

röße

rung

Pul

slei

stun

g /

0

norm

. spe

ktra

le B

reite

/

0

norm

. Pul

sdau

er

/0

rela

tive

Inte

nsitä

t Neb

enpu

lse

rel.

Ener

gie

im H

aupt

puls

Puls

-Ban

dbre

ite-P

rodu

kt

·

· = 0,315

nichtlineare Phase /

nichtlineare Phase /nichtlineare Phase /

„figure of merit“

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

~~

~ ~

~ ~

0,8

1,0

0,4

0,6

0,2

1,0


121

gegenüber einem Puls mit glattem Spektrum und Pulsform. Wie groß der Nachteil ist, hängt von den Anforderungen ab. Bspw. ist das Puls-Bandbreite-Produkt für einen sech²-förmigen Puls nach Kompres-sion ca. doppelt so groß, wenn Pulsdauer und Bandbreite als FWHM-Werte definiert werden. Beim Spektrum kommt es aber typischerweise weniger auf die FWHM-Breite an als auf die „volle“ Bandbrei-te, also die Bandbreite, die ein optisches System (bspw. ein Überhöhungsresonator) für diesen Puls un-terstützen muss. Als Maß dafür kann bspw. die Bandbreite benutzt werden, bei der die Intensität auf 1% des Maximalwerts abgefallen ist. Die Zunahme dieser Bandbreite kann bspw. mit der Zunahme der Pulsspitzenleistung für die komprimierten Pulse verglichen werden. Dieses Verhältnis ändert sich im Wesentlichen bei der Kompression eines sech²-Pulses nicht (bei Vernachlässigung der Verluste durch die Kompression). Für viele Anwendungen spielen die Nebenpulse keine Rolle, solange ihre relative Intensität klein ist. Dies gilt insbesondere für nichtlineare Prozesse wie HHG.

In Abb. 4.3 sind diese Zusammenhänge für einen sech²-förmigen Startpuls dargestellt. Dabei ist ange-nommen, dass die spektrale Phase nach der nichtlinearen spektralen Verbreiterung vollständig kompen-siert wird. In der Praxis ist das schwer möglich, da die spektrale Phase einen komplexen Verlauf besitzt, von dem beispielsweise durch dispersive Spiegel mit konstanter nur der quadratische Anteil ent-fernt werden kann. Außerdem ist für diese Rechnungen ein bandbreitebegrenzter Startpuls sowie ver-schwindende Materialdispersion angenommen, was im Experiment nicht immer erreicht wird.

Propagation in nichtlinearem Medium

Bei der freien Propagation in einem nichtlinearen Medium ist die Selbstfokussierung aufgrund des Kerr-Effekts zu beachten. Wenn die Aberrationen der Kerr-Linse (Gl. 4.4) vernachlässigt werden, kann ihr Einfluss auf die Propagation eines Gaußstrahls analytisch beschrieben werden (Anhang A8.4.1). Für den Fall, dass ein Strahl mit Taillenradius 0 auf ein nichtlineares Medium einfällt, lautet die Entwicklung des Strahlradius wie folgt: ( ) = 1 + 1 , mit = Gl. 4.9

Ob die Kerr-Linse einen starken Einfluss auf die Propagation ausübt, hängt also vom Verhältnis der Momentanleistung zur kritischen Leistung des nichtlinearen Mediums ab. Für kleine Leistungen ist die Propagation unbeeinflusst. Mit steigender Leistung wird die Divergenz des Strahls kleiner, da die Selbstfokussierung der natürlichen Divergenz entgegen wirkt. Wenn die Leistung die kritische Leistung erreicht, wird die natürliche Divergenz des Strahls gerade durch die Selbstfokussierung kompensiert (daher die Benennung). Für größere Leistungen ist die Fokussierung katastrophal: Die Selbstfokussie-rung ist stärker als die Divergenz und der Strahl läuft auf einen Selbstfokus zu, der das Medium zerstört. Der Selbstfokus liegt in folgendem Abstand: = 1 Gl. 4.10

Dieser Sachverhalt ist in Abb. 4.4 dargestellt.

Die Zerstörung des Mediums kann auch für Leistungen größer als die kritische Leistung vermieden werden, wenn der Selbstfokus außerhalb des Mediums liegt, d.h. das Medium muss hinreichend kurz sein. Damit ist aber auch das B-Integral begrenzt.141 Wenn der Strahl am Beginn des nichtlinearen Me-diums divergent ist, vergrößert sich der Abstand des Selbstfokus gegenüber Gl. 4.10 und ein längeres Medium und größeres B-Integral ist möglich.

141 Da der Strahlquerschnitt bei Annäherung an den Selbstfokus beliebig klein und die Intensität groß wird, ist

theoretisch ein beliebig großes B-Integral möglich. Wie nah hinter dem Medium der Selbstfokus liegen kann, ist aber durch die Zerstörschwelle begrenzt [130], außerdem durch die genaue Einstellung der Strahlparameter..


122

Abb. 4.4: Selbstfokussierung aufgrund des Kerr-Effekts.

Das B-Integral kann dabei Werte deutlich größer als annehmen (mit einer entsprechenden spektralen Verbreiterung). In einem solchen Fall ist allerdings die Wirkung der Kerr-Linse sehr stark und die Be-trachtung allein der Pulsspitzenleistung unzulässig, d.h. es macht sich bemerkbar, dass die Wirkung der Kerrlinse gemäß der Einhüllenden des Pulses variiert und die spektrale Verbreitung gemäß dem Strahl-profil. Ein entsprechend verbreiterter Puls ist daher schlecht komprimierbar. Der Einfluss der variieren-den Kerr-Linse kann in Abb. 4.4 abgelesen werden: Für eine Pulsspitzenleistung von bspw. 2 kom-men auch alle kleineren Momentanleistungen im Puls vor, für die die Kaustiken deutlich abweichen.

Für große Pulsspitzenleistungen ist darüber hinaus zu beachten, dass auch räumliche Intensitätsmodula-tionen, die ein realer Strahl immer enthält oder die durch Imperfektionen des Mediums entstehen kön-nen, sich durch die Selbstfokussierung aufsteilen und ebenfalls katastrophal fokussiert werden können. Dies wird als Filamentierung des Strahls bezeichnet. Der Abstand des Selbstfokus für solche Störungen ist in der Regel deutlich kleiner als für das gesamte Strahlprofil und bestimmt daher die Limitierung des B-Integrals auf Werte nicht deutlich größer als = [135]. Tab. 6: Übersicht über Regime der Propagation in nichtlinearen Medien.

< > 2 ( )

kleine Nichtlinearität: geringer Einfluss auf Propagation und Spektrum (d.h. geringe spektrale Verbreiterung).

Möglich, wenn Intensität und Propagations-länge im nichtlinearen Medium hinreichend klein sind. Keine Selbstfokussierung (aber auch geringe spektrale Verbreiterung).

2 ( )

Geht bei freier Propagation mit starkem Ein-fluss der Kerrlinse auf die Kaustik einher, aber keine katastrophale Selbstfokussierung (dabei keine über das Strahlprofil homogene spektrale Verbreiterung). Auch bei Führung in Wellenleiter möglich.

Keine Zerstörung, wenn der Selbstfokus au-ßerhalb des nichtlinearen Mediums liegt, also die Propagationslänge im Medium hinrei-chend klein ist (dabei keine über das Strahl-profil homogene spektrale Verbreiterung).

2 ( )

In freier Propagation in einer Kaustik nicht möglich, aber bei Führung in einem Wellen-leiter. kann dabei beliebig groß werden, ohne dass Selbstfokussierung auftritt (dabei homogene spektrale Verbreiterung).

Katastrophale Selbstfokussierung oder Fila-mentierung bei freier Propagation oder in einem Wellenleiter. Ausbildung eines Filaments möglich, in dem die Plasma-Defokussierung der Kerrlinse entgegenwirkt [136].

Die im nichtlinearen Medium aufgesammelte nichtlineare Phase ist fest mit der Gouy-Phase für die Propagation verknüpft (Anhang A8.4.3): = Gl. 4.11

Die Tilde gekennzeichnet die Gouy-Phase für einen Strahl, dessen Propagation durch die Wirkung der Kerrlinse beeinflussst ist. Für den Fall, dass die Pulsspitzenleistung klein gegen die kritische Leistung

nichtlineares Medium

( )/ 0

/2

3

2 310–3 –2 –1Selbstfokus bei = /( / – 1)½

/ = 0/ = 1/ = ½

/ = 2


123

ist, kann eine große nichtlineare Phase bei einer einfachen Propagation durch ein nichtlineares Medium nicht erreicht werden, da die Propagation dann kaum beeinflusst ist und der Gouy-Parameter für eine Strahlkaustik lautet. Eine große nichtlineare Phase kann aber erreicht werden, wenn der Puls in einem Wellenleiter geführt wird, der eine große Intensität über einer großen Propagationslänge im Me-dium aufrechterhält und dabei gemäß = eine große Gouy-Phase erreicht (siehe Gl. 8.225). Dabei ist die Länge des Wellenleiters, das Strahlparameterprodukt (im Medium des Wel-lenleiters) und der Strahlradius im Wellenleiter (der durch die Kerrlinse verändert wird und daher mit einer Tilde versehen ist). Da die Wirkung der Kerrlinse auf die Propagation schwach ist, wird dabei eine homogene spektrale Verbreiterung erreicht (Anhang A8.4.3).

Eine Übersicht über Regime bei der Propagation in nichtlinearen Medien ist in Tab. 6 gegeben.


124

4.2.2 Nichtlineare Multipass-Zelle

Damit ein durch Selbstphasenmodulation spektral verbreiterter Puls auf eine kleinere Pulsdauer kom-primierbar ist, muss das Spektrum über dem Strahlprofil homogen verbreitert sein. Nach allgemeiner Auffassung ist das nur durch spektrale Verbreiterung in einem Wellenleiter (Faser oder Kapillare) mög-lich, während die spektrale Verbreiterung bei freier Propagation notwendigerweise am Rand des Strahl-profils schwächer ist als auf der Strahlachse. Dies ist aber nicht notwendigerweise so.

Die spektrale Verbreiterung wird dadurch erzeugt, dass dem Puls eine zeitlich variierende Phase aufge-prägt wird, die hier durch den zeitlichen Pulsverlauf selbst bestimmt ist (Selbstphasenmodulation). Wel-che nichtlineare Phasenverschiebung zu einem Zeitpunkt mit Momentanleistung ( ) erzeugt wird, ist zunächst nicht offensichtlich, da die nichtlineare Phase auch räumlich gemäß dem Intensitätsprofil ( , ) variiert. Die daraus resultierende (und zeitlich variierende) Kerrlinse führt dazu, dass nicht nur

die Phase zeitlich über dem Puls variiert, sondern auch die Strahlparameter. Wenn die Strahlparameter stark variieren und die zeitlichen Anteile des Pulses nicht vollständig räumlich überlappen, ist der Puls nicht vollständig komprimierbar. In einem Wellenleiter ist die Wirkung der Kerrlinse und damit die Variation der Strahlparameter bei nicht zu großer Momentanleistung aber schwach, der Puls daher gut komprimierbar. Das gleiche kann nun aber auch für eine Anordnung mit freier Propagation gelten: So-lange die zeitliche Variation der Strahlparameter, d.h. die Variation mit der Momentanleistung klein ist, ist der Puls komprimierbar. Dann ist auch das Spektrum über dem Profil homogen verbreitert. Eine in-homogene Verbreiterung würde für einige spektrale Anteile abweichende Strahlparameter bedeuten. Die schwache Variation der Strahlparameter über dem Spektrum kann bei freier Propagation auch für große Pulsleistung erreicht werden durch die Aufteilung der nichtlinearen Phase auf hinreichend kleine Werte im nichtlinearen Medium und geeignete Kombination mit Propagation ohne nichtlineares Medium.142

Für die Propagation in einem nichtlinearen Medium gilt allgemein, dass die aufgesammelte nichtlineare Phase verknüpft ist mit der aufgesammelten Gouy-Phase gemäß = ( / )· , da beide durch das Integral über den inversen Strahlquerschnitt bestimmt sind (Gl. 4.11). Dies gilt daher unabhängig davon, ob die Propagation frei oder geführt ist. In beiden Fällen wird der Strahlradius durch die Wirkung der Kerrlinse verändert, falls nicht gilt. In einem Wellenleiter wird die Eigenmode des Wellenlei-ters, durch die zusätzliche Wirkung der Kerrlinse verändert. Dabei ist das Verhältnis der Fokussierung durch die Kerrlinse und der Fokussierung durch den Wellenleiter durch das Verhältnis von Momentan-leistung und kritischer Leistung / bestimmt. Der Strahldurchmesser der Eigenmode wird durch die zusätzliche Fokussierung der Kerrlinse verkleinert. Damit der Einfluss der Kerrlinse auf die Eigenmode nicht zu groß ist ( > 0,97), muss ca. < 0,5· gelten. Für Leistungen > ist die Brechkraft der Kerrlinse zu stark und es existiert keine Eigenmode mehr.

Um diese Limitierung der Pulsleistung zu überwinden, kann von einem Wellenleiter zu einem nichtline-aren Linsenleiter übergegangen werden, d.h. die Fokussierung wird nicht mehr kontinuierlich entlang des Wellenleiters aufgeprägt, sondern diskret in Linsen (Abb. 4.5). Die nichtlineare Phase wird dann beim Durchgang durch die Linsen aufgesammelt und die Gouy-Phase bei der Propagation zwi-schen den Linsen. Sie werden also nicht mehr kontinuierlich wie bei der Propagation im Wellenleiter aufgesammelt, sondern stellen diskrete Parameter dar. Die Gouy-Phase, die den Linsenleiter charakteri-siert, wird daher im Folgenden als Gouy-Parameter bezeichnet. Im Linsenleiter sind im Gegensatz zum Wellenleiter die nichtlineare Phase und der Gouy-Parameter entkoppelt, d.h. sie sind nicht mehr fest durch / miteinander verbunden. Die nichtlineare Phase kann über die Dicke der Linse unabhängig vom Gouy-Parameter gewählt werden, der durch Brechkraft und Abstand der Linsen einge-stellt wird. Dadurch sind Werte > möglich.143 Im Folgenden soll die nichtlineare Phase pro 142 Es sei angemerkt, dass der Begriff der Komprimierbarkeit hier nur in Bezug auf eine zeitliche/spektrale Varia-

tion der Strahlparameter benutzt wird. Darüber hinaus kann eine ungünstige zeitliche/spektrale Phase zu einer schlechten Komprimierbarkeit führen, wenn sie nicht kompensiert werden kann.

143 Die Situation kann auch so aufgefasst werden, dass durch die Kombination von Linsen (als nichtlineares Me-dium) mit Luft (mit vernachlässigbarer Nichtlinearität) der „effektive“ nichtlineare Brechungsindex verringert


125

Durchgang durch das nichtlineare Medium bezeichnen. Die insgesamt aufgesammelte nichtlineare Pha-se ist dann = mit der Zahl der Durchgänge .

Abb. 4.5: Schematische Darstellung des Übergangs von einem Wellenleiter zu einem nichtlinearen Linsenleiter für die spektrale Verbreiterung. ist die nichtlineare Phase für einen Schritt, die Gouy-Phase für die Propa-gation zwischen den Schritten.

Wenn der Linsenleiter aus gleichartigen Abschnitten besteht, ist er charakterisiert durch die Brennweite der Linsen und deren Abstand . Stattdessen kann auch der Strahlradius der Eigenmode am Ort der Linse und der Gouy-Parameter zur Beschreibung benutzt werden, der Werte 0 < < annehmen kann. Dies wird als der Stabilitätsbereich des Linsenleiters bezeichnet.

Durch die Wirkung der Kerrlinse verändert sich die Eigenmode (Abb. 4.6) und wird damit abhängig von der Momentanleistung des Pulses. Die Änderung der Eigenmode kann auch unabhängig von der konkre-ten Anordnung beschrieben werden als Funktion der im nichtlinearen Element aufgesammelten Phase

und des Gouy-Parameters für die Propagation zwischen den nichtlinearen Elementen, siehe An-hang A8.4.4. Die Analyse ergibt, dass die Änderung der Eigenmode an den Rändern des Stabilitätsbe-reichs besonders stark ist. Diese Änderung kann durch den räumlichen Überlapp der Eigenmode mit und ohne Kerrlinse quantifiziert werden (Abb. 4.7a) Aufgrund der starken Änderung der Eigenmode mit der Kerrlinse ist eine Anordnung ungeeignet, die sehr nah an einem der Stabilitätsränder liegt.

In der Mitte des Stabilitätsbereichs ändert sich zwar die Eigenmode durch die Kerrlinse wenig, dort tritt aber ein Bereich auf, der instabil ist gegen Abweichungen von der Eigenmode. D.h. wenn ein Strahl durch die Anordnung läuft, dessen Strahlparameter von der Eigenmode abweichen, wird diese Abwei-chung zunehmend größer. Dieser Bereich soll als „Kerr-instabil“ bezeichnet werden. Er liegt in der Mit-te des Stabilitätsbereichs (um = /2) und wird mit der nichtlinearen Phase breiter (Abb. 4.7b).

und damit die kritische Leistung vergrößert wird. Da die Pulsleistung dann kleiner also diese „effektive“ kriti-sche Leistung ist, kann eine große nichtlineare Phase nur zusammen mit einer Führung der Strahlung erreicht werden. Diese Führung erfolgt aber nicht kontinuierlich wie in einem Wellenleiter sondern diskret mittels Lin-sen. Ohne diese Fokussierung, also durch die bloße Unterbrechung des nichtlinearen Mediums durch Abschnit-te ohne Medium, wird das Problem nicht gelöst.


spektrale Verbreiterung im Wellenleiter:~

~ ~ ~ ~ ~


126

Abb. 4.6: Durch die Wirkung der Kerrlinse ändern sich die Eigenmode und der Gouy-Parameter der optischen Anordnung. Darstellung eines Linsenleiters und der zugehörigen Eigenmode ohne Kerrlinse (oben) und mit Kerr-linse (unten), die einer in den Linsen aufgesammelten nichtlinearen Phase entspricht. Die Kerrlinse ist durch den Farbverlauf in der Linse angedeutet. Die Kaustik der Eigenmode ohne Kerrlinse ist als gepunktete Linien gezeichnet.

Auch außerhalb dieses Kerr-instabilen Bereichs wirkt sich die Kerrlinse auf Abweichungen von der Eigenmode aus. Solche Abweichungen „pumpen“ beim Durchlaufen der Anordnung, d.h. der Strahl-durchmesser ändert sich periodisch beim Durchlaufen der Anordnung, mit dem Strahlradius der Eigen-mode als Mittelwert. Diese Pumpfrequenz wird durch die Kerrlinse verändert. Daher entwickeln sich Abweichungen von der Eigenmode (die z.B. durch unvollständige Modenanpassung des Eingangsstrahls gegeben sind) beim Durchlaufen der Anordnung für verschiedene Momentanleistungen unterschiedlich, da die Kerrlinse und damit die Pumpfrequenz davon abhängt. Das führt zu einer Variation der Strahlpa-rameter über dem zeitlichen Verlauf des Pulses. Die Änderung der Pumpfrequenz ist am oberen Rand des Stabilitätsbereichs am kleinsten (Abb. 4.7c).

Außerdem sind die Aberrationen der Kerrlinse zu beachten, die für ausgezeichnete Werte des Gouy-Parameters zur resonanten Kopplung in höhere transversale Moden führen. Zu vermeiden sind daher Gouy-Parameter = / · mit Modenordnung und = 1,…, 1. Im Stabilitätsbereich der Anord-nung werden dadurch Werte ausgeschlossen, abhängig von der Stärke der Aberration und der Zahl der Durchgänge, d.h. abhängig von der nichtlinearen Phase und der Gesamtphase . Große Leis-tungsanteile in höheren transversalen Moden ergeben sind auch bei kleiner nichtlinearer Phase = /40 und nicht sehr großer Gesamtphase = 2 bei den Werten = /2, = /3, 2 /3, = /4, 3 /4 und = /5, 2 /5, 3 /5, 4 /5 (Abb. 4.7d). Für größere nichtlineare Phasen und grö-ßere Gesamtphasen werden diese Resonanzen stärker und es treten weitere Resonanzen hinzu.

Eigenmode mit Kerrlinse (große Momentanleistung):

Eigenmode ohne Kerrlinse (kleine Momentanleistung):

~ ~ ~ ~ ~


127

Abb. 4.7: (a) räumlicher Überlapp zwischen der Eigenmode mit und ohne Kerrlinse als Funktion des Gouy-Parameters für verschiedene nichtlineare Phasen . Die grau hinterlegten Felder markieren Bereiche, für die der räumliche Überlapp für die angegebenen nichtlinearen Phasen kleiner als 90% ist. (b) Kerr-Stabilitätsbereich als Funktion des Gouy-Parameters und der nichtlinearen Phase . (c) Änderung der Pumpfrequenz durch die Kerrlinse als Funktion des Gouy-Parameters und für verschiedene nichtlineare Phasen . Die grau hinter-legten Felder markieren die Kerr-instabilen Bereiche für die verschiedenen nichtlinearen Phasen. (d) Numerische Simulation eines nichtlinearen Linsenleiters für verschiedene nichtlineare Phasen pro Schritt. Die Gesamtpha-se ist = 2 ; die Zahl der Umläufe ist entsprechend gewählt ( = / ). Um den Einfluss der Aberration zu quantifizieren, ist der räumliche Überlapp des Felds mit der Grundmode nach dem Durchlaufen der Anord-nung dargestellt. Zur übersichtlicheren Darstellung sind die Flächen über den berechneten Kurven gefüllt.

Anhand der oben diskutierten Eigenschaften des nichtlinearen Linsenleiters können vorteilhafte Berei-che der Parameter Gouy-Parameter und nichtlineare Phase angegeben werden, die eine gute Komprimierbarkeit der spektral verbreiterten Pulse erwarten lässt. Die auszuwertenden Kriterien sind:

Änderung der Eigenmode durch die Kerrlinse (quantifiziert über den räumlichen Überlapp der Eigenmode für verschiedene Momentanleistungen)

Stabilität gegenüber Abweichung von der Eigenmode und Änderung der Pumpfrequenz mit der Momentanleistung.

Aberrationen der Kerrlinse und resonante Kopplung in höhere Moden.

Alle Abhängigkeiten sprechen für eine möglichst kleine nichtlineare Phase pro Durchgang. Da für die spektrale Verbreiterung eine bestimmte Gesamtphase erreichen werden muss, ist aber eine möglichst große nichtlineare Phase pro Durchgang vorteilhaft, da mit der Zahl der Durchgänge der Aufwand des optischen Systems steigt und bei einer großen Zahl von optischen Elementen die Ver-

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

= /40= /20= /10= /5= 2

Gouy-Parameter /

räum

liche

r Übe

rlapp

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Kerr-instabil

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4 NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

Gouy-Parameter /

räum

liche

r Übe

rlapp

Ä

nder

ung

Pum

pfre

quen

z

nich

tline

are

Phas

e

(a) (b)

(c) (d)

= /40= /20= /10= /5

= /40= /20= /10= /5

= /5~

~

~~~~

~~~~

~~~~~Gouy-Parameter /0,6

Gouy-Parameter /


128

luste durch die optischen Flächen ggf. erheblich werden. Es stellt sich daher die Frage, welche nichtline-are Phase pro Durchgang möglich ist. Dies ist abhängig vom Gouy-Parameter und von der Gesamt-phase . Die verschiedenen Abhängigkeiten ergeben dazu widersprechende Aussagen, so dass ein Ausgleich gefunden werden muss.

Die Änderung der Eigenmode mit der Momentanleistung ist an den Stabilitätsrändern am größten. Die Anordnung darf daher nicht zu nah an einem der Stabilitätsränder betrieben werden. Um die Stabili-tätsmitte ( = /2) ist die Anordnung instabil gegenüber Abweichungen von der Eigenmode. Dieser Bereich muss daher vermieden werden. Die Änderung der Pumpfrequenz mit der Momentanleistung ist um die Stabilitätsmitte am stärksten und wird nur bei Annäherung an den oberen Stabilitätsrand ( = ) klein. Aus diesen beiden Überlegungen folgt als vorteilhaft ein Bereich, der nah am oberen Stabilitäts-rand liegt, aber wieder nicht so nah, dass die Änderung der Eigenmode mit der Momentanleistung zu groß wird. Dieser Bereich ergibt sich auch aus der Betrachtung der Resonanzen höherer transversaler Moden. Die nichtlineare Phase pro Durchgang sollte nicht größer als ca. /10 sein.

Diese Überlegungen können nur dazu dienen, vorteilhafte Konfigurationen zu identifizieren. Eine Aus-sage dazu, wie sich der Effekt der Kerrlinse quantitativ auf die Komprimierbarkeit auswirkt, ist damit nicht möglich. Welche Konfiguration einer Multipass-Zelle tatsächlich vorteilhaft ist und welche nicht-lineare Phase möglich ist, entscheidet das Experiment.

Für die Auslegung eines konkreten Systems müssen weitere Kriterien beachtet werden, darunter Zer-störschwellen, Baulängen, Dispersionskompensation und thermische Effekte.

Der Linsenleiter kann kompakt in Form einer Multipass-Zelle ausgeführt werden (Kapitel 2.2.4). Dabei spielt es für das Schema keine Rolle, ob der Strahldurchmesser bei der Propagation zwischen den Ele-menten kleiner oder größer ist als im nichtlinearen Element; entscheidend ist allein die Gouy-Phase für die Propagation (Abb. 4.8).

Abb. 4.8: Schematische Darstellung einer Multipass-Zelle zur nichtlinearen Spektralen Verbreiterung, bei der (a) die MPC-Spiegel als nichtlineares Element genutzt werden oder (b) ein nichtlineares Element in Form einer plan-parallelen Platte in der Mitte der Zelle platziert ist. Die nichtlineare Phase pro Durchgang ist und die Gouy-Phase für die Propagation zwischen diesen Durchgängen .

HRAR

HR AR(a) (b)~~ ~


129

4.3 Experimentelle Ergebnisse

4.3.1 Pulskompression bei 10 MHz Repetitionsrate

Die erste experimentelle Demonstration des Kompressions-Schemas erfolgte 2013 am Fraunhofer ILT im Rahmen einer Masterarbeit [139]. Die Ergebnisse sind veröffentlicht in [132].

Mit den Experimenten wurde die prinzipielle Eignung des Schemas zur nichtlinearen Pulskompression gezeigt. Gleichzeitig wurden mit einer komprimierten Pulsdauer von 170 fs bei einer mittleren Leistung von 375 W und 37,5 μJ Pulsenergie Parameter erreicht, die weit über den Stand der Technik hinausge-hen und mit anderen Kompression-Schemata nicht erreichbar sind. Neben der Kombination von Puls-dauer, Pulsenergie und mittlerer Leistung ist die hohe Effizienz des Schemas von 91% hervorzuheben.

Abb. 4.9: Schematische Darstellung des experimentellen Aufbaus zur Pulskompression mit einer Multipass-Zelle.

Eine Skizze des experimentellen Aufbaus ist dargestellt in Abb. 4.9. Die Multipass-Zelle zur nichtlinea-ren spektralen Verbreiterung besteht aus zwei konvex-konkaven Spiegeln mit 350 mm Krümmungsradi-us und 50 mm Durchmesser. Die konkaven Seiten sind AR-beschichtet und zur Mitte der MPC orien-tiert; die konvexen Seiten sind für die substratseitige Reflexion HR-beschichtet. Auf diese Weise dienen die Spiegelsubstrate als nichtlineares Medium. Die Substrate bestehen aus Quarzglas und haben eine Dicke von 13 mm. Um die Materialdispersion auszugleichen, ist die HR-Beschichtung dispersiv mit einer = 400±100 fs2 pro Reflex. Für die MPC wird ein Gouy-Parameter von = 13/19·2 einge-stellt (Spiegelabstand 540 mm). Der Strahldurchmesser der Eigenmode ohne Kerrlinse beträgt 2 = 0,92 mm auf den MPC-Spiegeln. Die Ein- und Auskopplung aus der MPC erfolgt über zwei recht-winklige Prismen, die dicht an den MPC-Spiegeln auf den gegenüberliegenden Seiten platziert sind. Der einfallende Strahl wird so justiert, dass sich ein Kreis von 19 gleichmäßig verteilten Reflexen auf jedem MPC-Spiegel ergibt (von denen einer durch das Prisma verdeckt ist). Zusammen mit der Propagation durch die Prismen beinhaltet ein vollständiger Durchgang durch die MPC also 38 Durchgänge durch ein nichtlineares Medium. Die gesamte Propagationslänge im nichtlinearen Medium und in Luft beträgt ~1 m und ~20 m.

Das Lasersystem besteht aus einen kommerziellen Seedlaser und einem zweistufigen Yb:YAG Inno-slab-Verstärker, wie in [38] beschrieben. Das System beinhaltet einen räumlichen Filter, der die Strahl-qualität verbessert [38]. Das System erreicht bis zu 530 W Ausgangsleistung bei 10 MHz Repetitionsra-te, 850 fs Pulsdauer (FWHM) und 1,6 nm Bandbreite (FWHM). Die Strahlqualität beträgt 2 × 2 = 1,17 × 1,05, wobei die langsame Achse (slow axis) des Innoslab-Verstärkers bezeichnet. Der ver-stärkte Strahl wird mit drei sphärischen Linsen auf die MPC modenangepasst. Das durch einen MPC-

…

Multipass-ZelleModen-Anpassung3 sphärische Linsen

Kollimation2 sphärische Linsen

Spiegel-Kompressor3 × (-10,000) fs²

18 Reflexionen pro Spiegel

Kamera

Strahllageregelung & räumlicher Filter

530 W, 850 fs, 2 = 1,15 × 1,05

Zweistufiger Yb:Innoslab-Verstärker

580 W, 850 fs, 2 = 1,35 × 1,05

Yb:Faser-basierterOszillator

0,86 W, 10 MHz, 600 fs

Strahl-DiagnostikLeistungSpektrum

AutokorrelationStrahlqualität


130

Spiegel transmittierte Strahlenbündel wird auf eine Kamera abgebildet, um die Modenanpassung zu bewerten und die Strahldurchmesser am Ort des Spiegels zu bestimmen. Nach Auskopplung aus der MPC wird der Strahl mit zwei sphärischen Linsen kollimiert. Eine Blende im kollimierten Strahl ent-fernt dem Hauptstrahl überlagerte Reflexe der AR-beschichten Flächen, die in der MPC propagieren und teilweise über das Prisma ausgekoppelt werden.

Abb. 4.10: (a) Transmission durch die MPC. (b) Strahlqualität hinter der MPC als Funktion der Eingangsleistung.

Bis zu 500 W und 50 μJ werden in die MPC eingekoppelt. Basierend auf den gemessenen Strahlradien bei maximaler Leistung wird eine maximale nichtlineare Phase von ca. = 2,5 abgeschätzt. Die Ausgangsleistung hinter der MPC steigt linear mit der Eingangsleistung; eine maximale transmittierte Leistung von 446 W wird erreicht. Die Transmission durch die MPC beträgt 91% (Abb. 4.10a). Das übersteigt die typische Transmission bei der spektralen Verbreiterung in Kapillaren deutlich. Ein voll-ständiger Durchgang durch die MPC enthält 72 Durchgänge durch die AR-beschichteten Spiegelober-flächen und 36 Reflexionen an den HR-beschichteten Flächen. Die Verluste der MPC sind daher durch die linearen Verluste an den optischen Flächen dominiert. Die Eingangsleistung kann ohne eine Justage des Strahlengangs variiert werden. Aufgrund der Linsenwirkung ändert sich die Eigenmode dabei leicht. Neben der Kerrlinse trägt eine thermische Linsenwirkung in den MPC-Spiegeln mit gleichem Vorzei-chen und ähnlicher Stärke bei. Die Spiegel erwärmen sich am Ort der Reflexe auf der Seite der dispersi-ven HR-Beschichtung. Der maximale Temperaturanstieg bei ~500 W Eingangsleistung wird mittels einer Wärmebildkamera zu ~20 K abgeschätzt. Für die hier dargestellten Experimente ist die Modenan-passung und Kollimation für eine Ausgangsleistung von 375 W optimiert und festgehalten.

Bis zu einer Ausgangsleistung von 400 W ist die Strahlqualität hinter der MPC beinahe unverändert verglichen mit der Eingangs-Strahlqualität (Abb. 4.10b). Für größere Leistungen wird sie schnell deut-lich schlechter. Die Strahlqualität ist durch Aberrationen der Kerrlinse und der thermischen Linse in den MPC-Spiegeln beeinflusst. Vermutlich ergibt sich diese stark nichtlineare Abhängigkeit von der Leis-tung aus einem komplexen Zusammenspiel der Aberrationen für die einzelnen Durchgänge. Bei einer Ausgangsleistung von 354 W wird eine Strahlqualität von 2 × 2 = 1,14 × 1,12 gemessen. Bei Ver-größerung der Leistung hin zu diesem Punkt wird eine Angleichung der Strahlqualitätskennzahlen in den beiden transversalen Richtungen beobachtet. Der Grund für diese Angleichung bleibt zu untersu-chen.

0 100 200 300 400 500

0

100

200

300

400

500 Messdaten lineare Anpassung

Transmission 91%

0 100 200 300 400 5001,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6 Slow axis X Fast axis Y

Eingangsleistung [W]

Aus

gang

slei

stun

g [W

]

(a) (b)(slow axis)(fast axis)

Eingangsleistung [W]

Stra

hlqu

alitä

tsfa

ktor

²


131

Abb. 4.11: Spektrale Verbreiterung in der MPC. Eingangsspektrum (blau) und verbreitertes Spektrum (rot) bei (a) 354 W Ausgangsleistung und (b) maximaler Ausgangsleistung (446 W). Die grün gepunktete Linie wird für eine reduzierte Strahlqualität der Eingangspulse durch Entfernen des räumlichen Filters erreicht. Die Ausgangsleistung beträgt hier 370 W.

Bei 354 W Ausgangsleistung wird eine Bandbreite von 13,4 nm erreicht (abgelesen bei der halben spekt-ralen Intensität der äußeren spektralen Intensitätsmaxima). Bei maximaler Ausgangsleistung beträgt die Bandbreite 16,1 nm. Das entspricht einer 8,4-fachen bzw. 10-fachen Verbreiterung bezogen auf die Bandbreite der Eingangspulse von 1,6 nm (Abb. 4.11). Dieser Verbreitungsfaktor ist in Einklang mit der oben gegebenen Abschätzung der nichtlinearen Phase. Den Spektren entsprechen bandbreitebegrenzten Pulsdauern von 160 fs und 140 fs (FWHM).

Um die Eignung des Kompressions-Schemas für Strahlung mit nicht beugungsbegrenzter Strahlqualität zu untersuchen, wird der räumliche Filter hinter dem Innoslab-Verstärker entfernt. In diesem Fall ist die Strahlqualität vor der MPC 2 × 2 = 1,35 × 1,05, und eine ähnliche Angleichung in den beiden trans-versalen Richtungen wird beobachtet, die zu einer Strahlqualität von 2 × 2 = 1,26 × 1,28 hinter der MPC bei 370 W führt. Das verbreiterte Spektrum ist gegenüber dem räumlich gefilterten Strahl kaum verändert (Abb. 4.11a). Dies zeigt, dass die spektrale Verbreiterung in der MPC nicht empfindlich von der Strahlqualität abhängt.

Abb. 4.12: (a) Autokorrelation der Eingangspulse vor der MPC (blau) und der kürzesten gemessenen komprimier-ten Pulse (grün) bei einer komprimierten Leistung von 375 W. Zusätzlich ist die aus dem zugehörigen verbreiter-ten Spektrum berechnete Fourier-limitierte Autokorrelation gezeigt (rot gepunktet). (b) Strahlqualitätsmessung der komprimierten Pulse bei 375 W komprimierter Leistung.

Zur Pulskompression durchlaufen die spektral verbreiterten Pulse einen Spiegel-Kompressor mit drei Reflexionen auf einem Spiegel mit einer nominellen von (–10000+3000/–8000) fs2 und Bandbrei-

1010 1020 1030 1040 10500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 bandwidth = 13.4 nm

1010 1020 1030 1040 10500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 bandwidth= 16.1nm

(a) (b)

Wellenlänge [nm]

spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.]

Wellenlänge [nm]

spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.] = 13,4 nm = 16,1 nm

vor MPChinter MPChinter MPC

(reduzierte Strahl-qualität vor MPC)

vor MPChinterMPC

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

400 500 600 700 800 9000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

MX² = 1.33MY² = 1.32

Slow axis X Fast axis Y

Verzögerung [ps] Propagation [mm]

Aut

okor

rela

tion

[b.E

.]

Stra

hlra

dius

[m

m]

(a) (b)vor MPC

komprimiert

Fourier-Limit

² = 1,33 × 1,32

(slow axis)(fast axis)

= 200 fs


132

te 15 nm (Hersteller-Spezifikation). Bei einer Ausgangsleistung von 375 W und Bandbreite von 13,5 nm werden die kürzesten Pulse erreicht (Abb. 4.12a). Die gemessene Autokorrelation hat eine FWHM-Breite von 200 fs und ähnelt der Form der Fourier-limitierten Autokorrelation. Daraus wird eine Puls-dauer <170 fs abgeleitet. Das entspricht einer Reduktion der Pulsdauer um einen Faktor 5. Aus dem Autokorrelationen wird ein Anteil von ~75% im Hauptpuls abgeschätzt. Das entspricht einer geschätz-ten Pulsspitzenleistung von ~160 MW für eine Pulsenergie von 37,5 μJ.

Die Strahlqualität der komprimierten Pulse beträgt 2 = 1,33 × 1,32 (Abb. 4.12b). Die Verschlechterung gegenüber Abb. 4.10b stammt von thermischen Effekten in den Kompressor-Spiegeln aufgrund von Absorption in der dispersiven Beschichtung. Durch einen Spiegel-Kompressor mit mehr Reflexen auf Spiegeln mit geringerer Absorption und geringerer pro Reflex, kann die Strahlqualität der kom-primierten Pulse verbessert werden.


133

4.3.2 Pulskompression bei 40 MHz Repetitionsrate

Die erfolgreiche Demonstration des MPCSB-Kompressions-Schemas ermöglichte es, ein Projekt anzu-gehen, das ohne ein solches Schema nicht umsetzbar wäre: Die Nutzung der großen mittleren Leistung eines Yb:Innoslab-Verstärkers zur Skalierung der XUV-Leistung bei der Resonator-unterstützten HHG mit dem Ziel eines Frequenzkamms bei 60,8 nm zur Spektroskopie des 1s-2s Übergangs in He+ [82]. Die Bandbreite der Pulse des verwendeten Yb:Innoslab-Verstärkers von 2 nm erlaubt eine Pulsdauer von ca. 700 fs, was für effiziente HHG zu lang ist. Außerdem ist das Spektrum um 1030 nm zentriert, enthält also nicht die Wellenlänge 1033 nm, mit der die gewünschte XUV-Wellenlänge als 17. Harmo-nische erzeugt werden kann. Eine externe Pulskompression durch nichtlineare spektrale Verbreiterung ist daher für das Projekt unumgänglich. Mittels spektraler Verbreiterung in einer Quarzglas-Faser wur-den zuvor Pulse aus einem Yb:Innoslab-Verstäker auf 35 fs komprimiert; die Pulsenergie ist dabei aber auf 1 μJ limitiert [87]. Da die Repetitionsrate durch die Anwendung auf einen Bereich von ca. 10-100 MHz festgelegt ist,144 kann mit dieser Limitierung der Pulsenergie die mittlere Leistung des Ver-stärkers nicht genutzt werden. Mit dem MPCSB-Kompressions-Schema wird dies ermöglicht. Die Re-petitionsrate wird dabei zu 40 MHz gewählt, was einen Kompromiss darstellt zwischen einer möglichst großen Pulsenergie und einer handhabbaren Länge des Überhöhungsresonators.

Der Aufbau zur Pulskompression erreicht eine komprimierte Pulsdauer von 115 fs bei 300 W mittlerer Leistung und 7,5 μJ Pulsenergie und nahe beugungsbegrenzter Strahlqualität. Damit wird demonstriert, dass das MPCSB-Schema auch für kleinere Pulsenergien anwendbar ist und ein größerer Kompressions-faktor erreichbar ist als mit dem Aufbau in Kapitel 4.3.1. Darüber hinaus wird eine gute Homogenität der spektralen Verbreiterung bestätigt, die das Schema gegenüber der spektralen Verbreiterung im Ein-fachdurchgang durch ein bulk-Medium auszeichnet.

Abb. 4.13: Schematische Darstellung des experimentellen Aufbaus zur Pulskompression mit einer Multipass-Zelle. Die blauen Kästen enthalten die Kompressionseinheit. VA1, VA2 – variable Abschwächer; A1a, A1b, A2a, A2b – Aktuatoren der Strahllageregelung; PSD1, PSD2 – Positions-sensitive Detektoren; CCD – Kamera zur Be-wertung der Modenanpassung.

Aufgrund der kleineren Pulsenergie werden für diesen Aufbau nicht die MPC-Spiegel als nichtlineare Elemente verwendet sondern ein nichtlineares Element in der Mitte der Zelle vorgesehen, wo der Strahl-

144 Eine kleinere Repetitionsrate als 10 MHz würde einen unpraktisch langen Überhöhungsresonator erfordern

(>30 m). Bei einer Repetitionsrate größer ca. 100 MHz ist mit kumulativen Effekten durch die rasch aufeinan-der folgenden Pulse im Gastarget für die HHG zu rechnen, wodurch die Konversionseffizienz sinkt.

Yb:Innoslab-Seedlaser

3 nm, 700 fs3 W, 2 = 1,1 A1a

A1b

2 nm, 860 fs370 W, 2 = 1,4(nach Isolator)

VA1

nichtlineare spektrale Verbreiterung (MPCSB)Kompressor von 2 nm auf 25 nm Bandbreite, 92% Transmission99,5%

Kollimationslinse

Linse zur Moden-Anpassung

Scraper

nichtlineare Elemente(Quarzglas)

Scraper

MPCSpiegel

CCD

A2aA2b /2

Spiegeldisp.

32

PSD2

Ausgang

MonitorVA225 nm

115 fs300 W

2 < 1,257 Durchgänge

Reflexe

räumlicher Filter

Falle

SchlitzspiegelPSD1

zylind.Linse

330 W, 2 < 1,2

zylind.Linse

40 MHz Yb:FaserOszillator und

Faser-CPA

Spiegel-

Verstärker


134

querschnitt kleiner ist. Die Zahl der Durchgänge ist mit 57 gegenüber der ersten Demonstration vergrö-ßert, um eine größere nichtlineare Phase und einen größeren Kompressionsfaktor zu erreichen.

Der Aufbau ist skizziert in Abb. 4.13. Er besteht aus folgenden Elementen. Der Seedlaser ist ein kom-merzielles Faserlaser-System (femto orange, Menlo Systems), das kundenspezifisch auf eine Repetiti-onsrate von 40 MHz und eine Bandbreite von 3,0 nm (FWHM) modifiziert wurde, die der Verstär-kungsbandbreite des Innoslab-Verstärkers angepasst ist. Das System erreicht 4,3 W Ausgangsleistung bei voller Pumpleistung und wird mit 3,0 W betrieben. Die Strahlqualitätskennzahl ist 2 = 1,12 × 1,06. Der Laser seedet einen Yb:YAG Innoslab-Verstärker, wie in [38] beschrieben. Der Verstärker beinhaltet einen Isolator und ein Zylinderteleskop, um einen runden Ausgangsstrahl zu formen. Er erreicht eine Ausgangsleistung von 370 W (400 W vor dem Isolator). Die Strahlqualität ist 2 × 2 = 1,08 × 1,42, wobei die langsame Achse (slow-axis) des Verstärkers bezeichnet [38]. Die Bandbreite wird durch die Verstärkung auf 2,0 nm (FWHM) verringert. Die Pulsdauer ist 860 fs (FWHM) und damit einen Faktor ~1,2 größer als die Bandbreitebegrenzung. Das ist durch die spektrale Phase des Seedlasers bedingt, der mit 700 fs Pulsdauer bei 3,0 nm Bandbreite ebenfalls nicht bandbreitebegrenzt ist. Eine Messung der spektralen Phase des Seedlasers bei variiertem Pumpstrom bestätigt, dass dies auf nichtlineare Effekte in der Hauptverstärkerfaser des Seedlasers zurückzuführen ist. Nichtlinearität im Innoslab-Verstärker ist vernachlässigbar [119], obwohl er keine CPA (chirped pulse amplification) nutzt. Ein räumlicher Filter verbessert die Strahlqualität des verstärkten Strahls auf 2 × 2 = 1,07 × 1,20 durch das Beschneiden des Strahlprofils in -Richtung mit einer Schlitzblende. Dabei werden 10% der Leistung entfernt. Der Aufbau enthält eine 4-dimensionale Strahllageregelung und einen variablen Abschwächer, der aus einer motorisierten Wellenplatte und einem Dünnfilmpolarisator besteht.

Die Multipass-Zelle zur spektralen Verbreiterung besteht aus zwei konkav-konvexen Spiegeln mit 50,8 mm Durchmesser und 300 mm Krümmungsradius. Die konkaven Seiten zeigen in Richtung der Mitte der MPC und sind mit einer dispersiven HR-Beschichtung mit = 250±50 fs2 versehen, um die Materialdispersion des nichtlinearen Elements auszugleichen. Die konvexen Rückseiten sind AR-beschichtet. Das durch einen der Spiegel transmittierte Strahlenbündel wird mittels zweier achromati-scher Linsen mit 50 mm Durchmesser auf eine CCD-Kamera fokussiert. Zwei AR-beschichtete Quarz-glas-Platten mit 25 mm Durchmesser und 12 mm Dicke sind in der Mitte der MPC platziert, um als nichtlineare Elemente zu dienen. Ein einzelnes dickeres Element wäre äquivalent aber nicht verfügbar. Die Ein- und Auskopplung in der MPC erfolgt mit Scraper-Spiegeln mit 5 mm Breite.

Die MPC wird auf einen Gouy-Parameter von = 24/29·2 eingestellt und der einfallende Strahl wird so justiert, dass sich ein Kreis von 29 gleichmäßig verteilten Reflexen auf jedem Spiegel ergibt (von denen ein Reflex durch die Scraper verdeckt ist). Das ergibt 57 Durchgänge durch die nichtlinearen Elemente. Der Strahldurchmesser der Eigenmode ist 2 = 1,19 mm auf den MPC-Spiegeln und 2 0 = 0,32 mm in der Mitte der MPC; eine Kerr-Linse, die einer nichtlinearen Phase von = 0,07 entspricht, verändert die Strahldurchmesser auf 1,07 mm und 0,35 mm (siehe Gl. 8.237 und Gl. 8.239). Die gesamte in Glas und in Luft zurückgelegte Strecke beträgt 1,37 m und 30,8 m.

Die Moden-Anpassung auf die MPC und die Kollimation hinter der MPC wird jeweils mit einer einzel-nen sphärischen Linse erreicht. Die CCD-Kamera erlaubt es, die Moden-Anpassung zu bewerten. Die Strahldurchmesser variieren um ±10% entlang des Kreises von Reflexen. Die MPC enthält Blenden, die die Halter für die nichtlinearen Elemente schützen und transversal justierbare Blenden, die ca. mittig zwischen den MPC-Spiegeln und den nichtlinearen Elementen platziert sind und Reflexe von den AR-beschichteten Flächen der nichtlinearen Elemente abschneiden, die in der MPC propagieren.

Die spektral verbreiterten Pulse laufen durch einen Spiegel-Kompressor mit einer von -34 000 fs2 (32 Reflexe, aufgeteilt auf 12 Spiegel mit einer von -1000 fs2 und -1300 fs2). Der Aufbau enthält eine weitere 4-dimensionale Strahllageregelung mit beiden Aktuatoren zwischen MPC und Kompressor und dem Positionssensor hinter dem Kompressor. Diese Stabilisierung ist erforderlich, weil MPC und Kompressor Schwankungen der Strahllage erzeugen, was vermutlich durch bewegte Luft verursacht ist, die durch warme Spiegeloberflächen entsteht. Der Temperaturanstieg der MPC-Spiegel und Kompres-


135

sor-Spiegel wird mittels einer Wärmebildkamera zu ~20 K (~3 K mehr an den Orten der Reflexe) abge-schätzt. Halter und Blenden von MPC und Kompressor sind wassergekühlt und in einer Einhausung platziert. Ein weiterer variabler Abschwächer folgt hinter dem Kompressor. Ein Umlenkspiegel vor dem Abschwächer transmittiert 0,5% der Leistung als ein Monitor-Ausgang.

Abb. 4.14: Experimentelle Ergebnisse der komprimierten Pulse mit 300 W mittlerer Leistung und 7,5 μJ Pulse-nergie. (a) Zeitliche Pulsform und Phase bestimmt aus der FROG-Messung, (b) Spektrum und spektrale Phase bestimmt aus der FROG-Messung und Spektrum aus Messung mit optischem Spektrumanalysator, (c) FROG-Spuren, (d) Strahlqualitätsmessung und Strahlprofil in der Strahltaille.

Am zweiten Abschwächer wird eine Leistung von 303 W gemessen, was einer Transmission durch die Kompressionseinheit von 91% entspricht. Eine Transmissionsmessung bei kleiner Leistung ordnet der MPC und dem Spiegel-Kompressor eine Transmission von 92,0% und 99,3% zu. Der Durchgang durch die MPC enthält 58 Reflexionen auf den MPC-Spiegeln (>99,95% Hersteller-Spezifikation) und 228 Durchgängen durch die AR-Beschichtung der nichtlinearen Element (<0,05% Hersteller-Spezifikation), außerdem 4 Umlenkspiegel, 2 Linsen und eine Wellenplatte. Die Restreflektivität der nichtlinearen Elemente liegt offenbar deutlich unter der Spezifikation. Dies wird durch eine unabhängige Messung bestätigt, die ~50 ppm ergibt. Einige Verluste entstehen durch ein leichtes Beschneiden des Strahls an den Scrapern.

Bei voller Leistung werden eine spektrale Verbreiterung auf 24,8 nm Bandbreite (abgelesen bei der halben Intensität der äußeren spektralen Maxima) und eine komprimierte Pulsdauer von 115 fs (FWHM) erreicht. Aus der FROG-Messung (frequency-resolved optical gating) werden ein Leistungs-anteil von 86% im Hauptpuls und eine Pulsspitzenleistung von 52 MW abgeleitet. Das entspricht einer spektralen Verbreiterung um einen Faktor 12, eine Pulsverkürzung um einen Faktor 7,5 und einer Ver-größerung der Pulsspitzenleistung um einen Faktor 6. Die Strahlqualität ist durch die Kompressions-Einheit erhalten; die Strahlqualitätskennzahl ist 2 = 1,11 × 1,15 für die komprimierten Pulse. Die Er-gebnisse von FROG-Messung, Messung mit optischem Spektrum-Analysator und M²-Messung sind dargestellt in Abb. 4.14.

-600 -400 -200 0 200 400 6000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

= 115 fs(FWHM)

86% in main pulse52 MW peak power

-10

-8

-6

-4

-2

0

tem

pora

l pha

se [

rad]

(b)

1010 1020 1030 1040 1050

(FWHM)

retrieved spectrum measured spectrum

= 24.8 nm

0

1

2

31,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Wellenlänge [nm]

Inte

nsitä

t [b.

E.]

(a)

zeitl

iche

Pha

se [r

ad]

spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.]

spek

trale

Pha

se [r

ad]

Zeit [fs]

52 MW Pulsleistung86% im Hauptpuls

= 24,8 nm

zurückgerechnetesgemessenes Spektrum

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

400 600 800 1000 1200

M² = 1.11 x 1.15a = 0.016, = 1.014

(c) (d)

Verzögerung [ps]-2 -1 0 1 2

Verzögerung [ps]-2 -1 0 1 2

zurückgerechnetgemessen

Freq

uenz

[TH

z]

-10

-5

0

5

10 ² = 1,11 × 1,15

Propagation [mm]

Stra

hlra

dius

[m

m]

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0


136

Die dispersive Beschichtung kompensiert die Materialdispersion nur teilweise ( = 450 fs2 für 2x 12 mm mit 19 fs2/mm), und lässt eine von 200 fs2 für jeden halben MPC-Umlauf und 12 000 fs2 für einen vollständigen Durchgang durch die MPC. Das führt zu einer Pulsdauer von 1,67 ps (FWHM) hin-ter der MPC und erklärt die unvollständige Modulation des verbreiterten Spektrums und die große , die für den Kompressor benötigt wird. Der Aufbau war ursprünglich mit einem einzigen nichtlinearen Element mit 13 mm Dicke und kompensierter geplant. Das ergab aber keine ausreichende spektra-le Verbreiterung. Die unkompensierte Dispersion hat den Nebeneffekt, dass das nicht vollständig modu-lierte Spektrum komprimierte Pulse mit einem kleineren Leistungsanteil in den Nebenpulsen ergibt.

Aufgrund der beim Durchgang durch die MPC zunehmenden Pulsdauer nimmt die nichtlineare Phase pro Durchgang durch die nichtlinearen Elemente ab. Als mittlerer Wert wird eine nichtlineare Phase von = 0,07 abgeschätzt, als akkumulierte Phase für einen vollständigen Durchgang durch die MPC = 4 . Diese Schätzung nutzt den berechneten Strahldurchmesser in der Mitte der MPC zusammen mit der gemessenen Strahlqualität und eine angenommene mittlere Pulsspitzenleistung von ~6,5 MW.

Abb. 4.15: Charakterisierung der spektralen Homogenität über dem Strahlprofil. (a) Spektren über dem Strahlpro-fil, (b) relative Intensität und spektraler Überlapp über dem Strahlprofil entlang der beiden transversalen Achsen.

Allgemein wird angenommen, dass die spektrale Verbreiterung bei der freien Propagation durch ein nichtlineares Medium inhomogen ist. Dies wird jedoch durch das MPCSB-Schema vermieden, indem die einzelnen Schritte auf eine kleine nichtlineare Phase beschränkt wird und diese mit einer geeigneten zwischengeschalteten Propagation kombiniert werden. Eine inhomogene Verbreiterung würde sich in einer reduzierten Strahlqualität bemerkbar machen.145 Daher zeigt die erhaltene Strahlqualität bereits eine vernünftige Homogenität an (Anhang A8.4.6). Um die Homogenität der spektralen Verbreiterung zu charakterisieren, wird das Spektrum über dem Strahlprofil der komprimierten Pulse gemessen. Der Strahl wird auf einen Durchmesser 2 × 2 = 2,7 mm × 2,8 mm von kollimiert. Eine mehrmodige Fa-ser (400 μm Kerndurchmesser) mit FC/PC-Facette wird in Schritten von 0,15 mm entlang beiden trans-versaler Achsen über das Profil bewegt und Spektren mit einem optischen Spektrum-Analysator aufge-nommen (Abb. 4.15a). Für jedes Spektrum ( ) wird der spektrale Überlapp mit dem Spektrum 0( ) auf der Strahlachse berechnet gemäß: = ( ) ( )( ) ( ) Gl. 4.12

145 Neben der Strahlqualität ist auch die Komprimierbarkeit der Pulse für einen inhomogenen Strahl reduziert. Die

kurze gemessene Pulsdauer kann daher auch als Hinweis auf eine gute Homogenität dienen. Allerdings bedeu-tet die Messung eines kurzen Pulses in einer Ebene nicht notwendig, dass er in jeder Ebene kurz ist. Eine Mes-sung der Strahlkaustik hingegen untersucht den Strahl in jeder Ebene. Eine Messung der Pulsdauer kann au-ßerdem dadurch verfälscht werden, dass das Strahlprofil bei der Einkopplung in den FROG/Autokorrelator be-schnitten wird. Im Experiment wurde Sorgfalt darauf verwendet, das vollständige Strahlprofil einzukoppeln.

1010 1020 1030 1040 10500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 spectra along the x axis (x > 0, steps of 0.3 mm)

py

Ix

Iy

Ux

Uy

(a) (b)

spek

trale

r Übe

rlapp

rela

tive

Inte

nsitä

t1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1,00

0,95

0,90

0,85

0,80

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.]

Spektren entlang -Achse( > 0, Schritte 0,3 mm)

Wellenlänge [nm] transversale Koordinate / , /-1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5


137

Der spektrale Überlapp ist in Abb. 4.15b über der transversalen Koordinate aufgetragen. Er fällt zum Rand des Profils ab, ist aber > 89% für alle aufgenommenen Spektren. Durch Gewichten des spektra-len Überlapps mit der Intensität wird ein effektiver Überlapp von = 99,5% und = 99,2% errechnet.

Abb. 4.16: Charakterisierung der räumlichen Homogenität über dem Spektrum. (a) ungefiltertes Spektrum (grau) und gefilterte Spektren für die spektral aufgelöste Strahlqualitätsmessung. Die Spektren sind mit einem faserge-koppelten Spektrometer gemessen. Die maximale Intensität der Spektren ist auf 1 normiert. (b) Strahlqualitäts-kennzahl ² und räumlicher Überlapp über dem Spektrum. Die offenen Symbole gehören zur Messung mit spektralen Komponenten auf beiden Seiten des Spektrums, die keiner einzelnen Wellenlänge zugeordnet werden kann.

Zusätzlich zur räumlich aufgelösten Messung des Spektrums wird eine spektral aufgelöste Messung der Strahlqualität durchgeführt. Der Strahl wird mit einem Etalon mit freiem Spektralbereich 22 nm, Finesse 45 und freier Apertur 20 mm spektral gefiltert [33]. Das Etalon wird verkippt, um verschiedene Wellen-längen zu selektieren. Weil der freie Spektralbereich des Etalons kleiner als die Bandbreite des Spekt-rums ist, ergibt die Filterung am Rand des Spektrums auch spektrale Anteile vom anderen Rand des Spektrums; für eine Messung werden gleiche Beiträgen von beiden Seiten des Spektrums eingestellt (Abb. 4.16a). Ein sphärisches Teleskop vor dem Etalon wird benutzt, um den Strahl auf 3,6 mm Strahl-durchmesser aufzuweiten und ihn auf einen Divergenzwinkel von 0,2 mrad zu kollimieren.146

Die gemessene Strahlqualitätskennzahl ² variiert deutlich über dem Spektrum (Abb. 4.16b). Sie ist am kleinsten für die äußeren spektralen Intensitätsmaxima und am größten in der Mitte. Dies ist qualitativ verständlich, da die äußeren spektralen Intensitätsmaxima in den Teilen des Pulses erzeugt werden, die die größte Steigung des zeitlichen Intensitätsverlaufs besitzen, was nicht mit der größten Intensität und stärksten Kerrlinse zusammenfällt, während die anderen spektralen Komponenten Überlagerungen von verschiedenen Teilen des Pulses mit unterschiedlich starker Kerr-Linse sind.147

Für jede spektrale Komponente wird der -Parameter = + aus einer Anpassung einer Hyperbel an die Strahlkaustik bestimmt und der räumliche Überlapp mit dem ungefilterten Strahl mit -Para-meter 0 = 0 + 0 berechnet gemäß: = ( ) Gl. 4.13

146 Eine Kollimation des Strahls ist wichtig, damit nicht unterschiedliche Bereiche des Strahlprofils aufgrund des

lokalen Winkels der Phasenfront spektral unterschiedlich gefiltert werden, was die Strahlqualität verändern würde. Für einen Divergenzwinkel vom 0,2 mrad (Halbwinkel) wird dieser Effekt als unkritisch eingeschätzt.

147 Dieses qualitative Verhalten wurde auch in [130] bei der spektralen Verbreiterung im Einfachdurchgang durch ein nichtlineares Medium beobachtet. Dort ist allerdings nur das spektral gefilterte Strahlprofil in einer festen Ebene angegeben und keine spektral aufgelöste Strahlqualität durchgeführt.

1010 1020 1030 1040 1050.0

.1

.2

.3

.4

M²x

M²y

0.

0.

0.

0.

1.

Ux

Uy

1010 1020 1030 1040 10500

2

4

6

8

0

(a) (b) ²²

räum

liche

r Übe

rlapp

Stra

hlqu

alitä

tsfa

ktor

²

Wellenlänge [nm] Wellenlänge [nm]

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

1,00

0,98

0,96

0,94

0,92spek

trale

Inte

nsitä

t [b.

E.]


138

D.h. die Strahlqualitätskennzahl ist bei der Berechnung des Überlapps nicht berücksichtig. Dieser Über-lapp ist > 98,5% für alle gemessenen Wellenlängen. Alle Strahlparameter unterscheiden sich weniger als 17,5% und 14% vom ungefilterten Strahl in - und -Richtung.148

Der gemessene spektrale Überlapp (effektiv > 99,2%) und räumliche Überlapp > 98,5% werden als groß und die Homogenität der komprimierten Pulse damit als gut eingeschätzt. Der räumliche Überlapp gibt an, mit welcher Effizienz die Strahlkaustiken der spektralen Komponenten angeglichen werden können, was durch die Kopplung in einen stabilen Resonator erreicht wird. Dies gilt strenggenommen nur bei (für jede spektrale Komponente) beugungsbegrenzter Strahlung, kann aber auch bei wie hier nah beugungsbegrenzter Strahlung als Abschätzung dienen. Für die komprimierten Pulse wird also nur eine sehr kleine Reduktion des räumlichen Überlapp bei der Kopplung in einen Überhöhungsresonator auf-grund der Variation der räumlichen Inhomogenität erwartet.

148 Der räumliche Überlapp und die Variation des Strahldurchmessers stehen in Einklang mit der Stärke der Kerr-

linse. Eine nichtlineare Phase von 0,07 ergibt eine maximale Veränderung des Strahldurchmessers der Ei-genmode von 11%, d.h. einen räumlichen Überlapp von 98,9% zwischen den Eigen- -Parametern mit und oh-ne Kerrlinse. Das Modell der MPC mit Kerrlinse macht allerdings keine Vorhersage zur Homogenität der ver-breiterten Pulse, sondern soll nur günstige Bereiche identifizieren. Eine quantitative Übereinstimmung wird daher nicht erwartet.


139

4.4 Ausblick

Das in Kapitel 4.3.2 beschriebene System ermöglicht die Resonator-unterstützte Erzeugung eines XUV-Frequenzkamms, der für die spektroskopische Vermessung des 1s-2s-Übergangs in He+-Ionen entwi-ckelt wird [82].

Das MPCSB-Kompressionsschema erlaubt darüber hinaus mit dem Parameterbereich, den es erschließt, viele weitere Anwendungen. Die demonstrierten Werte sind in weiten Bereichen zu anderen Puls-energien, Leistungen und Pulsdauern skalierbar.

Skalierung des MPCSB-Schemas

Das MPCSB-Kompressionsschema erlaubt die Kompression von Pulsen mit einer Pulsspitzenleistung größer als die kritische Leistung für Selbstfokussierung des nichtlinearen Mediums und füllt damit die Lücke, die durch die etablierten Schemata durch spektrale Verbreiterung in einer Faser (Limitierung der Pulsspitzenleistung auf Werte kleiner als die kritische Leistung, Pulsenergie <3 μJ bei 800 fs) und in gasgefüllten Kapillaren gegeben ist (demonstriert für Pulsenergien >100 μJ). Der mögliche Pulsenergie-bereich des MPCSB-Schemas ist nach unten dadurch begrenzt, dass die Pulsspitzenleistung deutlich größer als die kritische Leistung sein muss, damit eine sinnvolle nichtlineare Phase ( /20) bei einem Durchgang durch ein nichtlineares Medium mit einer Dicke erreicht wird, die kleiner als die Ray-leighlänge des Strahls ist. Deutlich kleinere Pulsleistungen als in Kapitel 4.3.1 mit 7,5 μJ bei 860 fs Pulsdauer sind mit Quarzglas daher nicht möglich.

Die Pulsenergie ist nach oben begrenzt durch die Zerstörschwelle der optischen Komponenten zusam-men mit einer Begrenzung des Strahlquerschnitts, die durch die Abmessungen der Anordnung gegeben ist. Zusätzlich zur Limitierung der Fluenz durch die Zerstörschwelle ergibt sich eine Limitierung durch eine Begrenzung der Dicke des nichtlinearen Elements, das für einen mechanisch und thermisch stabilen Aufbau nicht zu dünn sein darf. Wenn bspw. für die Dicke 10 mm gelten soll, folgt mit = 800 fs, 1030 nm, Quarzglas und einer nichtlinearen Phase von = /10 für die Fluenz (auf der Strahlachse)

0 = 2 /( 22 ) 15 mJ/cm². Es ist hier 2 eingesetzt, da angenommen wird, dass das Element doppelt durchlaufen wird. Ein dünneres nichtlineares Element ist bspw. dadurch denkbar, dass ein nicht-lineares Medium auf einen (dicken) Spiegel aufgebracht wird. Dann kann die Fluenz abhängig von der Zerstörschwelle für eine solche Optik etwas größere Werte annehmen. Für große Pulsenergien wird ein großer Strahlquerschnitt benötigt, der durch eine große Länge der MPC und einen Gouy-Parameter nah am oberen Stabilitätsrand erreicht wird. Der Gouy-Parameter darf nicht zu nah am Stabilitätsrand liegen, damit die Wirkung der Kerrlinse begrenzt und die spektrale Verbreiterung damit homogen ist. Für einen maximalen Gouy-Parameter von bspw. = 18/19·2 und eine noch handhabbare Länge der MPC von = 1 m ist der Strahlquerschnitt 2

= 0,06 cm² (für 1030 nm). Das erlaubt Pulsenergien = 2· 0/2 0,5 mJ. Mit dem Schema scheinen also Pulsspitzenleistungen deutlich größer 1 GW nach Kompression möglich.

Das MPCSB-Schema ist geeignet für große mittlere Leistungen, da es die Kopplung in einen Wellenlei-ter vermeidet, für nicht beugungsbegrenzte Strahlqualität funktioniert und unempfindlich ist gegen Schwankungen der Strahlachse und des Strahlprofils. Im Aufbau mit 10 MHz (Kapitel 4.3.1) wurde eine Verschlechterung der Strahlqualität für Leistungen größer 400 W beobachtet [132]. Es ist dabei nicht klar, ob diese Degradierung durch die Wirkung der Kerrlinse oder durch die thermische Linse verur-sacht ist, die aufgrund der Absorption in den Beschichtungen und Erwärmung der Optiken wirkt. Der Aufbau mit 40 MHz (Kapitel 4.3.2) bleibt mit 300 W unter dieser Leistung. Dort wird keine Verschlech-terung der Strahlqualität beobachtet. Im ersten Aufbau ist die Empfindlichkeit auf die thermische Linse besonders groß, da die MPC-Spiegel mit dispersiver Beschichtung, für die die Absorption typischer-weise größer ist als für eine einfache HR-Beschichtung, in Transmission benutzt werden. Die Wirkung einer thermischen Linse ist für Quarzglas in Transmission größer ist als in Reflexion (Gl. 8.146). Dies kann bspw. umgangen werden durch nicht-dispersive MPC-Spiegel und die Faltung der MPC mit einem


140

dispersiven Planspiegel, der also in Reflexion benutzt wird. Eine Skalierung der mittleren Leistung auf Werte >1 kW scheint mit geeigneten Beschichtungen möglich.

Andere nichtlineare Materialien

Für die hier dargestellten Experimente wurde Quarzglas als Material für die nichtlinearen Elemente gewählt, da es in sehr guter optischer Qualität, sowohl das Volumen als auch die Oberfläche betreffend, verfügbar und preisgünstig ist.149 Quarzglas besitzt zwar eine kleine Wärmeleitfähigkeit (kleiner als für Kristalle), ist aber aufgrund der sehr geringen Absorption und des kleinen thermischen Ausdehnungsko-effizienten für große mittlere Leistungen geeignet. Quarzglas besitzt mit 2 = 2,7·10-16 cm²/W [140] eine relativ kleine Nichtlinearität.

Tab. 7: Zusammenstellung optischer Parameter für einige Gläser und Kristalle. Alle Werte sind für 1030 nm Wel-lenlänge angegeben; die Werte für die nichtlinearen Brechungsindex sind teilweise übernommen von 1064 nm. Für doppelbrechende Kristalle sind die Parameter für die ordentliche Kristallachse angegeben, gekennzeichnet mit (o). Die Werte für den nichtlinearen Brechungsindex sind mit einer großen Unsicherheit behaftet; Angaben schwanken in der Literatur. Die kritische Leistung ist berechnet gemäß = 0

2/(2 2). Die Daten sind entnommen aus [141-143] und [144] ( 2 YAG und Quarz). Der nichtlineare Brechungsindex für Diamant ist geschätzt aus den Angaben 2 = 13·10-16 cm²/W im Sichtbaren [141] und 2 = 8,2±3,5·10-16 cm²/W bei 1,5 μm [145].

Gläser Kristalle

Material Quarzglas SF6 Quarz YAG Saphir Diamant CaF2 MgF2 BaF2

Brechungsindex 1,45 1,77 1,53 (o) 1,82 1,75 (o) 2,39 1,43 1,37 (o) 1,47 (o)

nichtlinearer Brechungsindex 2

2,7·10-16 cm²/W

22·10-16 cm²/W

3,1·10-16 cm²/W

6,2·10-16 cm²/W

3,1·10-16 cm²/W

10·10-16 cm²/W

1,9·10-16 cm²/W

0,92·10-16 cm²/W

2,85·10-16 cm²/W

kritische Leistung 4,3 MW 0,4 MW 3,6 MW 1,5 MW 3,1 MW 0,7 MW 6,2 MW 13 MW 4,0 MW 19 fs²/mm

137 fs²/mm

22 fs²/mm

67 fs²/mm

32 fs²/mm

132 fs²/mm

18,5 fs²/mm

11 fs²/mm

27 fs²/mm 2/ bezogen

auf Quarzglas 1 1,13 0,74 0,65 0,68 0,53 0,72 0,59 0,74

Selbstverständlich kommen auch andere Materialien in Betracht, sofern sie in optischer Qualität verfüg-bar sind. In Tab. 7 sind die linearen und nichtlinearen Eigenschaften einiger Gläser und Kristalle zu-sammengestellt. Einige Materialien besitzen einen größeren nichtlinearen Brechungsindex, mit dem eine bestimmte nichtlineare Phase für einen Durchgang durch das nichtlineare Medium mit einem größeren Strahlradius oder kürzeren Element erreicht werden kann. Eine nennenswert geringere Materialdispersi-on (für diese Materialien bei dieser Wellenlänge), die durch dispersive Spiegel kompensiert werden muss, ist über ein kürzeres Medium allerdings nicht möglich, da das Verhältnis aus Nichtlinearität und Dispersion ähnlich ist. Kristalle wie Diamant oder Saphir besitzen eine um Größenordnungen größere Wärmeleitfähigkeit als Quarzglas, was für die Skalierung zu größeren Leistungen interessant sein kann.

Medien mit größerer Nichtlinearität können verwendet werden, um das Schema auf kleinere Pulsener-gien zu erweitern, für die Quarzglas keine hinreichende nichtlineare Phase in einem Durchgang ergibt. Mit YAG als nichtlinearem Medium sollte aufgrund seiner ca. 5-mal kleineren kritischen Leistung ver-glichen mit Quarzglas eine Kompression von Pulsen mit 2 μJ bei 800 fs möglich sein. Ein solcher Aufbau ist geplant, um Pulse mit gegenüber Kapitel 4.3.2 halbierter Pulsenergie (~4 μJ) zu erreichen.

149 Außerdem ist der nichtlineare Brechungsindex (und andere Materialparameter) für Quarzglas besser bekannt

als für andere Materialien.


141

Die halbierte Pulsenergie ergibt sich dadurch, dass die Pulse vor dem Verstärker mittels einer Verzöge-rungsstrecke auf Pulspaare aufgeteilt werden, die für das Spektroskopie-Experiment benötigt werden.150

Für einige Kristalle ist es möglich, die Stärke der Nichtlinearität einzustellen und sogar einen negativen nichtlinearen Brechungsindex zu erreichen [146]. Ein negativer Brechungsindex ist hilfreich bei der spektralen Verbreiterung im Einfachdurchgang durch ein nichtlineares Medium, weil die damit verbun-dene Selbst-Defokussierung eine homogenere Verbreiterung erlaubt als ein selbstfokussierendes nichtli-neares Medium [131]. Darüber hinaus erlaubt ein negativer Brechungsindex das einfache Entfernen des Chirps der spektral verbreiterten Pulse durch Materialdispersion (d.h. durch positive ).

Für das MPCSB-Schema ist ggf. die (über den Winkel zwischen Kristall und Polarisationsebene) ein-stellbare Nichtlinearität interessant, da es für dieses Schema sonst kaum eine Möglichkeit gibt, die spektrale Verbreiterung einzustellen und für verschiedene Pulsenergien anzupassen, wie das bei der spektralen Verbreiterung in einer gasgefüllten Kapillare oder Hohlkernfaser durch den Gasdruck mög-lich ist. Eine Möglichkeit, die Nichtlinearität immerhin um einen Faktor 1,5 zu verändern, ist der Über-gang von linearer zu zirkularer Polarisation der Pulse [147].151

Der einstellbare oder negative nichtlineare Brechungsindex in Kristallen wir KTP oder BBO geht mit Verlusten durch Frequenzverdopplung einher [131]. Es ist offen, ob dieser Nachteil vermieden werden kann oder die Vorteile in einem MPCSB-Schema überwiegen können.

Kürzere Pulse

Kleine komprimierte Pulsdauern sind möglich durch kürzere Eingangspulse bei festem Kompressions-faktor oder durch eine größere nichtlineare Phase und damit größeren Kompressionsfaktor. Letzteres kann durch eine größere Zahl von Schritten,152 eine größere nichtlineare Phase pro Schritt153 oder einen mehrstufigen Aufbau erreicht werden. In jedem Fall müssen die optischen Beschichtungen des Aufbaus eine hinreichende Bandbreite aufweisen.

In ersten Versuchen wurden äquivalent zum Aufbau in Kapitel 4.3.2 Pulse mit einer Pulsdauer von 250 fs komprimiert. Die Pulsspitzenleistung der zu komprimierenden Pulse ist ähnlich, da sie bei glei-cher Repetitionsrate (40 MHz) nur ein Drittel der Leistung und eine gut dreimal kleinere Pulsdauer be-sitzen [148]. Erste Ergebnisse zeigen, dass damit Pulsdauern unter 40 fs erreichbar sind.

Die Dispersion, die gleichzeitig mit der Selbstphasenmodulation wirksam ist, hat einen großen Einfluss auf die spektrale Verbreiterung. Üblicherweise wird versucht, eine geringe Dispersion zu erreichen, damit der Puls bei der Propagation durch das nichtlineare Medium kurz bleibt und eine große spektrale Verbreiterung erreicht wird. In einer nichtlinearen Faser kann die Wellenleiterdispersion ausgenutzt werden, um die Materialdispersion zu kompensieren.154 Beim MPCSB-Schema kann die Materialdisper-

150 Geplant ist eine anti-kollineare Anregung der He+ Ionen, für die sich zwei Pulse aus entgegengesetzter Rich-

tung am Ort des Ions treffen müssen. Da die Überlagerung eines Pulses mit dem folgenden Puls des Frequenz-kamms mit 40 MHz Repetitionsrate ein Interferometer mit 7,5 m Länge erfordern würde, was für XUV Strah-lung mit erheblichen Verlusten durch Faltungsspiegel verbunden wäre, sollen Pulspaare mit kleinerem Abstand (~1 m) erzeugt werden.

151 Die Nutzung von zirkularer Polarisation ist nur für ein isotropes nichtlineares Medium möglich. Eine Erhaltung des Polarisationszustands durch den Kerr-Effekt ist nur für lineare oder zirkulare Polarisation gegeben; für el-liptische Polarisation rotiert die Polarisations-Ellipse. Eine stufenlose Einstellung der Nichtlinearität ist daher nicht ohne weiteres möglich.

152 Der Puls kann bspw. mit gedrehter Polarisationsebene durch die MPC zurücklaufen, um die Zahl der Schritte zu verdoppeln (wenn das mit der thermischen Belastung der Optiken und der Empfindlichkeit des Lasersys-tems auf Rückkopplung vereinbar ist).

153 Die nichtlineare Phase pro Schritt kann vermutlich noch größer gewählt werden als in den hier dargestellten Experimenten. Ggf. ist die Homogenität der komprimierten Pulse dann geringer.

154 Die Wellenleiterdispersion ist groß für kleine Modenfelddurchmesser. Eine effektive Kompensation ist daher bei großen Modenfelddurchmessern nicht möglich.


142

sion des nichtlinearen Elements durch eine dispersive Beschichtung der MPC-Spiegel kompensiert wer-den. In den dargestellten Experimenten ist die Gesamtlänge der Propagation im nichtlinearen Medium mit ca. 1 m so groß, dass eine Kompensation der Materialdispersion erforderlich ist. Je kleiner die kom-primierte Pulsdauer, d.h. je größer die spektrale Bandbreite, desto entscheidender ist der Einfluss der Dispersion.155 Neben der Kompensation der Materialdispersion kann auch eine maßgeschneiderte Dis-persion gewählt werden, etwa um eine bessere Pulsqualität der komprimierten Pulse zu erreichen. Die dispersive Beschichtung der MPC-Spiegel eröffnet die Möglichkeit einer entsprechend optimierten spektralen Phase.

Mehrstufige Kompression

Um große Kompressionsfaktoren zu erreichen, kann die Kompression auf zwei (oder mehr) Stufen auf-geteilt werden. Das bedeutet, dass auf eine erste nichtlineare spektrale Verbreiterung ein Kompressor zum Entfernen des Chirps folgt, darauf eine zweite nichtlineare spektrale Verbreiterung und ein weiterer Kompressor. Die Pulsdauer, d.h. Bandbreite und Pulsleistung in den beiden Einheiten zur spektralen Verbreiterung ist also verschieden, und sie müssen entsprechend ausgelegt sein.

Die nichtlineare Phase und damit der Verbreiterungsfaktor für eine einzelne Kompressionsstufe ist für alle Schemata limitiert, wobei unterschiedliche Limitierungen eine Rolle spielen können. Bei der Kom-pression in einer gasgefüllten Kapillare ist die Gouy-Phase limitiert durch eine handhabbare Länge und akzeptable Verluste bei der Führung, die einen nicht zu kleinen Querschnitt erfordern (siehe Fußnote 138). Daher ist nach Gl. 4.11 auch die nichtlineare Phase limitiert, da die Pulsleistung unter der kriti-schen Leistung bleiben muss, um Selbstfokussierung zu vermeiden.156 Bei der spektralen Verbreiterung in einer Quarzglas-Faser kann die Dispersion eine Rolle spielen. Beim MPCSB-Schema ist die nichtli-neare Phase pro Schritt durch die Stärke der Kerrlinse limitiert. Die nichtlineare Gesamtphase ist also im Wesentlichen durch die (im Rahmen der Abmessungen und Verluste) realisierbare Zahl der Schritte limitiert. Eine Reduzierung der nichtlinearen Phase bedeutet für dieses Schema einen Vorteil, weil we-niger Schritte einen einfacheren kompakteren Aufbau, eine kürzere Propagationsstrecke und geringere Verluste erlauben.

Die Zunahme des Verbreiterungsfaktors mit der nichtlinearen Phase hängt von der Pulsform ab (die sich bei der Propagation im nichtlinearen Medium ändern kann). Sie folgt aber für einen Startpuls mit kon-stanter spektraler Phase immer einem näherungsweise hyperbolischen Verlauf: Die Aufprägung einer kleinen nichtlinearen Phase erzeugt zunächst nur kleine spektrale Komponenten, die gegenüber der Bandbreite des Startpulses keinen nennenswerten Verbreiterungsfaktor ergeben; für große nichtlineare Phasen wächst die spektrale Breite linear in der nichtlinearen Phase. Der Verbreiterungsfaktor kann also folgendermaßen geschrieben werden: = 1 + für 1 ; bspw. = , 1 = 0,36 Gl. 4.14

Für einen Gauß-förmigen Puls kann die rms-Bandbreite als Funktion der nichtlinearen Phase analytisch ausgewertet werden und ergibt eine Hyperbel mit dem angegebenen Wert für die Konstante [149].

Die Verbreiterungsfaktoren, die sich für eine nichtlineare Phase bei Aufteilung auf eine oder auf zwei Stufen (mit jeweils der halben nichtlinearen Phase) ergeben, lauten:

155 Der Einfluss der Dispersion kann durch den Vergleich einer Dispersionslänge = 0

2/| |, die quadratisch mit der Start-Pulsdauer 0 zunimmt, mit einer nichtlinearen Länge = 1/( ) abgeschätzt werden [134]. Dabei ist = 0 2/ der nichtlineare Parameter mit der Querschnittsfläche .

156 Für große Kompressionsfaktoren können zwei Stufen benutzt werden, deren Nichtlinearität an die jeweilige Pulsleistung angepasst ist, bspw. eine erste Stufe mit Xenon und eine zweite Stufe mit Argon [150].


143

1 Stufe: , = 1 + = , 1 Gl. 4.15

2 Stufen: , = 1 + 1 + = 1 + = , 1

Der Verbreiterungsfaktor ist größer für zwei Stufen als für eine Stufe ab einer nichtlinearen Phase von > 2 2 (für den oben angegebenen Wert von ist das > ). Andersherum ist die benötigte nichtlineare Phase für einen bestimmten Verbreiterungsfaktor bei zwei Stufen kleiner als bei einer Stufe ab einem Verbreiterungsfaktor > 3 (unabhängig von ). Diese Betrachtung vernachläs-sigt, dass sich nach der ersten Kompressionsstufe die Pulsform und die Konstante ändern.157

Neben der nichtlinearen Phase ist natürlich auch zu bedenken, dass zwei Kompressionsstufen mehr opti-sche Komponenten erfordern und einen größeren Aufwand bedeuten. Für Schemata, die auf einem Wel-lenleiter beruhen, steigen außerdem die Verluste, die hauptsächlich bei der Einkopplung in den Wellen-leiter entstehen.

Deutlich größere Kompressionsfaktoren als der hier beschriebene Faktor 7 (Kapitel 4.3.2) sind vermut-lich mit einer zweistufigen Kompression erreichbar, wobei die Strahlquerschnitte, Dicke der nichtlinea-ren Elemente und Bandbreite der Optiken der Multipass-Zellen für die beiden Stufen auf die jeweilige Pulsleistung und Bandbreite angepasst werden.

Kerr-Stabilität

Die Modellierung einer nichtlinearen Multipass-Zelle, d.h. eines periodischen Systems mit einer Kerr-linse (Kapitel 4.2.2) sagt einen „Kerr-instabilen“ Bereich in der Mitte des Stabilitätsbereichs der Anord-nung voraus. Außerdem ergeben sich daraus Bereiche im Stabilitätsbereich, die als vorteilhaft für eine homogene spektrale Verbreiterung eingeschätzt werden. Experimentell untersucht wurden bisher nur Multipass-Zellen mit Gouy-Parameter = 13/19·2 = 0,684·2 und = 24/29·2 = 0,828·2 , die also sowohl einigen Abstand zur Stabilitätsmitte als auch zum oberen Stabilitätsrand wahren und nicht nah an einer Resonanz von transversalen Moden niedriger Ordnung liegen. Für beide Anordnungen wurden gut komprimierbare Pulse erreicht; für die zweite Anordnung wurde die Homogenität der komprimier-ten Pulse experimentell charakterisiert.

Zum besseren Verständnis der nichtlinearen Prozesse in der MPC wäre es hilfreich, die spektrale Ver-breiterung und deren Homogenität über einem weiten Bereich von Gouy-Parametern der MPC und der nichtlinearen Phase experimentell zu untersuchen und dabei auch den Kerr-instabilen Bereich zu charakterisieren. Eine solche Untersuchung könnte Aufschluss über die tatsächlich erreichbare nicht-lineare Phase geben und möglicherweise günstigere Konfigurationen identifizieren. Um die nichtlinea-ren Effekte von thermischen Effekten zu trennen, bietet sich eine solche Untersuchung mit einer Strahl-quelle bei kleiner Repetitionsrate an.

Vielleicht kann darüber auch ein Verständnis der Beobachtung erreicht werden, dass die Strahlqualität ab einer gewissen Leistung mit zunehmender Leistung sehr schnell schlechter wird, und dass die Strahl-qualitätskennzahlen in den transversalen Richtungen sich angleichen (Kapitel 4.3.1).

157 Aus der Betrachtung folgt auch, dass es nicht vorteilhaft ist, den Chirp jeweils schon nach Aufsammeln einer

kleinen nichtlinearen Phase zu entfernen, also quasi kontinuierlich entlang der spektralen Verbreiterung zu komprimieren. Auf den ersten Blick klingt das nach einer Möglichkeit, jede Nichtlinearität sofort in eine kür-zere Pulsdauer und damit eine stärkere Nichtlinearität und möglichst große Verbreiterung zu übersetzen. Das funktioniert aber nicht, da eine kleine nichtlineare Phase für einen komprimierten Puls keine nennenswerte Verbreiterung ergibt (die Steigung der Hyperbel Gl. 4.14 im Ursprung verschwindet). Abgesehen davon würde eine abnehmende Pulsdauer während der Propagation im nichtlinearen Medium auch mit Schwierigkeiten ein-hergehen, etwa Zerstörschwelle oder Ionisation.


144

Pulskompression in gasgefüllter Multipass-Zelle

Das MPCSB-Kompressions-Schema beruht auf dem Übergang von einem Wellenleiter zu einem Lin-senleiter, der kompakt in Form einer Multipass-Zelle ausgeführt ist. Analog dazu kann auch von einem Hohlleiter (Kapillare) zu einem Linsenleiter übergegangen werden, der ebenfalls als Multipass-Zelle ausgeführt wird. Dieses Schema ist in Anhang A8.4.5 beschrieben. Gegenüber einer Kapillare hat es den Vorteil, Verluste durch die Führung durch streifenden Einfall zu vermeiden und unempfindlich zu sein gegen Schwankungen der Strahlachse und der Strahlparameter. Das Schema ist daher in besonderer Weise für große mittlere Leistungen geeignet.

Zusammenfassung

145

5 Zusammenfassung Mit der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie ein Verständnis von transversalen Moden in optischen Resonatoren, speziell einem Überhöhungsresonator und einer periodischen Anordnung oder Multipass-Zelle es erlaubt, neue Lösungsansätze zur Überwindung von Limitierungen zu finden und umzusetzen.

Im Fall des Überhöhungsresonators wird gezeigt, wie die Kombination von gleichzeitig resonanten transversalen Moden in einem quasi-abbildenden Resonator genutzt werden kann, um eine geometrische Auskopplung von Resonator-intern erzeugten Harmonischen zu erreichen. Mit der einfachen Schlitz-mode als Kombination der Gauß-Hermite-Moden , und , wurde eine Überhöhung der zirkulie-renden Leistung gegenüber der einfallenden Leistung von 330 demonstriert. Mit der gleichen Mode wurden mit einer Überhöhung von 50 und einer zirkulierenden Leistung von 2,2 kW Resonator-intern Harmonische erzeugt und eine durch einen Schlitzspiegel ausgekoppelte Leistung von 11 μW für die 17. Harmonische mit 61 nm Wellenlänge erreicht, was einer Konversionseffizienz von 2,4·10-7 bezogen auf die einfallende Leistung von 45 W entspricht. Die Auskoppeleffizienz der Harmonischen aus dem Re-sonator wird zu 30% abgeschätzt, was größer ist als Effizienzen für etablierte Auskoppelmethoden (Brewster-Platte, XUV-Gitter). Damit wird aufgezeigt, wie zusammen mit einem verbesserten räumli-chen Überlapp durch Modenanpassung des einfallenden Strahls auf die zirkulierende Schlitzmode und einer Steigerung der einfallenden Leistung ausgekoppelte XUV-Leistungen im mW-Bereich möglich werden.

Im Rahmen der Arbeit wurde ein neuartiges Schema zur nichtlinearen Pulskompression entwickelt, das einen Parameterbereich erschließt, der mit etablierten Konzepten, die auf spektraler Verbreiterung in einem Wellenleiter beruhen, nicht erreichbar ist. Die spektrale Verbreiterung mittels Selbstphasenmodu-lation in einer Multipass-Zelle (MPCSB) ermöglicht es, Pulse mit einer Pulsspitzenleistung größer als die kritische Leistung für Selbstfokussierung des nichtlinearen Mediums zu komprimieren. Im Gegen-satz zur spektralen Verbreiterung im Einfachdurchgang durch ein nichtlineares Medium wird dabei eine über dem Strahlprofil homogene spektrale Verbreiterung sowie eine große Effizienz erreicht. Das Schema ist gleichzeitig geeignet für große mittlere Leistungen, nicht beugungsbegrenzte Strahlung und ist unempfindlich gegen Schwankungen der Strahllage. Die Multipass-Zelle ist so ausgelegt, dass sie den Einfluss der unvermeidbar mit der Selbstphasenmodulation einhergehenden Kerrlinse auf die trans-versale Mode des Strahls begrenzt und eine resonante Kopplung an höhere transversale Moden vermei-det. Demonstriert wurde die Kompression von 850 fs auf 170 fs mit einer komprimierten Pulsenergie von 37,5 μJ und mittleren Leistung von 375 W bei 10 MHz Repetitionsrate sowie die Kompression von 860 fs auf 115 fs mit einer Pulsenergie von 7,5 μJ und mittleren Leistung von 300 W bei 40 MHz Repeti-tionsrate. Die Effizienz der Kompression ist in beiden Fällen >90% und die nahe beugungsbegrenzte Strahlqualität ist erhalten.

Diese erstmals erreichten Pulsparameter ermöglichen u.a. eine Skalierung der treibenden Leistung bei der Resonator-unterstützen Erzeugung hoher Harmonischer und stellen damit zusammen mit der geo-metrischen Auskopplung einen wichtigen Schritt zur Realisierung eines XUV-Frequenzkamms dar, der die Spektroskopie des 1s-2s Übergangs in He+ und damit einen Test der Quantenelektrodynamik erlau-ben wird.

Abkürzungen und Formelzeichen

147

6 Abkürzungen und Formelzeichen In der Arbeit benutzte Abkürzungen:

AR Antireflex-Beschichtung CCD Charge-Coupled Device (Kamera) CC-FCPA Coherent Combining of Fiber Chirped-Pulse Amplification CEO Carrier-Envelope-Offset (Frequenz) CEP Carrier-Envelope-Offset-Phase CPA Chirped-Pulse Amplification DFG Difference Frequency Generation (Differenzfrequenz-Erzeugung) DOE Diffraktives Optisches Element FEM Finite-Elemente-Methode FWHM Full Width at Half Maximum GD Group Delay (Gruppenlaufzeit) GDD Group Delay Dispersion (Gruppenlaufzeitdispersion) GVD Group Velocity Dispersion (Gruppengeschwindigkeitsdispersion) GH-Mode Gauß-Hermite-Mode GIP Grazing-Incidence Plate GL-Mode Gauß-Laguerre-Mode GRIN Gradienten-Index Element HHG High-Harmonic Generation (Erzeugung hoher Harmonischer) HOKE Higher-Order Kerr Effect HR Hochreflektierende Beschichtung IR Infrarot KLM Kerrlinsen-Modenkoppeln MPC Multi-Pass Cell (Multipass-Zelle) MPCSB Multi-Pass-Cell Spectral Broadening OPCPA Optical Parametric Chirped-Pulse Amplification PCMA Pre-Chirp Managed Amplification PR Partiell reflektierende Beschichtung PSD Position-Sensitive Detector QED Quantenelektrodynamik rms Root Mean Square (Wurzel des quadratischen Mittels) SPM Selbstphasenmodulation SPP Strahlparameterprodukt SVE Slowly Varying Envelope ULE Ultra-Low Expansion Glass WOMOC Wedge-on-Mirror Output Coupler XPW Cross-Polarized Wave Generation XUV Extrem Ultraviolett


148

In der Arbeit benutzte Formelzeichen:

halbe Schlitzbreite (eines Schlitzspiegels) 1, 2, 3 einfache Schlitzmode und Schlitzmoden höherer Ordnung Blendenradius oder halbe Breite einer Spaltblende Innenradius einer Kapillare Hilfsgröße für die Geometrie des Strahlengangs einer MPC ( , , ) Amplitude eines Strahls 0( ) Amplitude eines Strahls auf der optischen Achse , Amplitudenverlustfaktor und Verlustfaktor für einen Resonatorumlauf Verlustfaktor des Einkoppelspiegels Element der Strahltransfermatrix ( 1,1) 0, 1 Strahlquerschnitt in der Strahltaille und auf den Fokussierspiegeln eines Bow-tie-Resonators Astigmatismus einer Strahlkaustik , , Winkel eines Strahls zur optischen Achse (in -Richtung und -Richtung) , radialer und tangentialer Winkel eines windschiefen Strahls Parameter für unvollständige Modenanpassung (Verschiebung der Taillenlage) nicht-kollinearer Winkel bei der nicht-kollinearen HHG Einfallswinkel auf den gekrümmten Spiegeln eines Bow-tie-Resonators Divergenzwinkel eines Strahlenbündels in einer Multipass-Zelle thermischer Ausdehungskoeffizient

Bildweite einer optischen Abbildung Element der Strahltransfermatrix ( 1,2) Bildgröße Abstand einer Blende von der optischen Achse B-Integral , 0 Lichtgeschwindigkeit im Medium, Lichtigeschwindigkeit im Vakuum , Entwicklungskoeffizient für Entwicklung nach Eigen-Strahlen , Entwicklungskoeffizienten für Entwicklung nach -Moden Steigung der Bandbreite über der nichtlinearen Phase Element der Strahltransfermatrix ( 2,1) thermo-optischer Koeffizient relative Änderung des quadratischen Strahlradius longitudinale Verschiebung eines Strahls (Änderung Resonatorlänge) Abstand der Fokussiersspiegel in einem Bow-tie-Resonator Element der Strahltransfermatrix ( 2,2) , Kronecker-Delta normierte longitudinale Verschiebung (Änderung Resonatorlänge) , Laplace-Operator, transversaler Laplace-Operator , Einheitsvektor in radialer und in tangentialer Richtung (komplexe) elektrische Feldstärke

, , einfallendes, zirkulierendes und reflektiertes Feld für einen Überhöhungsresonator Pulsenergie

, Elliptizität eines Strahlprofils, Elliptizität einer Strahlkaustik


149

Parameter für unvollständige Modenanpassung (Änderung der Rayleighlänge) Abstand zum Stabilitätsrand, Differenz der Gouy-Phase zu 0 oder

einfallender Strahlradius bezogen auf den Strahlradius der Resonatormode (in der Richtung orthogonal zur Quasi-Abbildung)

Auskoppeleffizienz der Harmonischen mit Ordnung 2 Nichtlinearität eines Gases Brennweite

Brennweite der Kerrlinse 0 Fluenz (auf der Strahlachse) Finesse eines Resonators Vergrößerungsfaktor des Strahlparameterprodukts self-convergent width factor Verbreiterungsfaktor des Spektrums azimutale Koordinate in Zylinderkoordinaten

, Phase des zirkulierenden und des reflektierten Felds eines Überhöhungsresonators ( , , ) Phase eines Strahls 0( ) Phase eines Strahls auf der optischen Achse

, nichtlineare Phase aufgrund des Kerr-Effekts, nichtlineare Gesamtphase für mehrere Schritte für die spektrale Verbreiterung wirksame nichtlineare Phase (identisch ) Phasenverschiebung im Abstand des Strahlradius von der Strahlachse

( ) Phasenprofil einer Aberration Resonatorumlaufphase , , , , , Resonatorumlaufphase für , -Moden und -Moden mit Wellenzahl Gegenstandsweite einer optischen Abbildung

1, 2 -Parameter zur Beschreibung eines Resonators Gegenstandsgröße ( ), 0 Verstärkungsprofil, Verstärkung auf der optischen Achse , Gauß-Hermite-Mode

Gauß-Laguerre-Mode , / , ,± Gauß-Laguerre-Mode ohne Drehimpuls, Gauß-Laguerre-Mode mit Drehimpuls

Verkippungswinkel eines Spiegels seitliche Verschiebung eines Strahls reduziertes Plancksches Wirkungsquantum Hermite-Polynom der Ordnung imaginäre Einheit ( , ) Intensitätsprofil ( ) zeitlicher Intensitätsverlauf 0( ) Intensität auf der Strahlachse

( ) räumlich gemittelte Intensität , spektrale Intensität , 0 Wellenzahl im Medium (auch ), Wellenzahl im Vakuum , , Komponenten des Wellenvektors -Parameter (Realteil des inversen -Parameters) -Parameter (Imaginärteil des inversen -Parameters)


150

Brechkraft Kopplung in einen Überhöhungsresonator Anzahl von Schritten (Umläufe in einem Resonator/MPC) 2 Brechkraft pro Länge eines quadratischen Mediums normierte Brechkraft Wärmeleitfähigkeit

azimutale Modenordnung einer -Mode Abstand zweier Reflexe in einer Multipass-Zelle Resonatorlänge oder Länge einer Multipass-Zelle (gemessen auf der optischen Achse) ‘ Abstand der Kreise von Reflexen in einer Multipass-Zelle Wellenlänge effektive Wellenlänge in Ausbreitungsrichtung Bandbreite (in Wellenlängen)

, (komplexe) Eigenwerte der Strahltransfermatrix für einen Resonatorumlauf Strahltransfermatrix Vergrößerung eines instabilen Resonators 2 Strahlqualitätskennzahl halbe Spur der Strahltransfermatrix transversale Modenordnung einer -Mode in -Richtung halbe Spur der Pumpmatrix für die Propagation in einem nichtlinearen Linsenleiter

transversale Modenordnung einer -Mode in -Richtung Modenzahldifferenz (für -Moden)

Index für wiederholte Umläufe in einem Resonator oder einer MPC Modenzahl eines Frequenzkamms (linearer) Brechungsindex 2 nichtlinearer Brechungsindex 4 nichtlinearer Brechungsindex höherer Ordnung

Änderung des Brechungsindex mit der Temperatur Zahl der Reflexionen an einem Spiegel in einem Resonator , Fresnel-Zahl, äquivalente Fresnel-Zahl

Anzahl der Umläufe in einer Multipass-Zelle Frequenz Trägerfrequenz Repetitionsrate Offset-Frequenz freier Spektralbereich eines Resonators Terme höherer Ordnung bei einer Entwicklung Kreisfrequenz Integrationsgebiet, das eine Blende ausspart radiale Modenordnung einer -Mode Modenzahldifferenz (für -Moden) Gasdruck Heizleistungsdichte Überhöhung der Leistung (bezogen auf die einfallende Leistung)


151

mögliche Überhöhung der Leistung für gegebenen Verlustfaktor absorbierte Leistung Momentanleistung Pulsspitzenleistung (auch Pulsleistung) mittlere Leistung , , einfallende, zirkulierende und reflektierte Leistung für einen Überhöhungsresonator kritische Leistung für Selbstfokussierung

Gouy-Phase Verstimmung gegen eine Entartung eines Resonators Gouy-Phase als absolutes Maß für den Abstand zweier Ebenen Gouy-Parameter eines Resonators (vollständiger Resonatorumlauf) Gouy-Parameter für die Propagation zwischen nichtlinearen Elementen

in einer periodischen optischen Anordnung Änderung des Gouy-Parameters , Einträge der Matrix für die Propagation in einem Resonator -Parameter (komplexer Strahlparameter) Abweichung vom -Parameter Eigen- -Parameter eines Resonators Resonatorgüte radiale Koordinate in Zylinderkoordinaten Abstand zur optischen Achse Radius des Kreises von Reflexen in einer MPC geometrisch-optischer Strahl

0, geometrisch-optischer Start-Strahl und Strahl nach Umläufen , Eigen-Strahlen eines Resonators , Reflexionskoeffizient und Reflektivität des Einkoppelspiegels

Krümmungsradius der Phasenfront, Krümmungsradius eines Spiegels , effektiver Krümmungsradius in radialer und tangentialer Richtung in einer MPC , effektiver Krümmungsradius in sagittaler und tangentialer Richtung in einem Resonator

Reflektivität Reflektivität eines Überhöhungsresonators für gegebenen Verlustfaktor Parameter einer weichen Blende (Krümmung der Transmissionskurve)

, 0 Einfallswinkel auf den Spiegeln und auf einem plan-parallelen Element in einer MPC Summe der transversalen Modenzahlen , Einträge der Matrix für die sphärische Aberration Ausdehung eines Spiegels auf der Strahlachse

0 geometrisch-optischer Strahl, der die Steigung zu Beginn eines wiederholten Umlaufs angibt , 0 Strahlparameterprodukt im Medium (auch ), Strahlparameterprodukt im Vakuum , Resonatorempfindlichkeit (gegen Verkippung) Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung/seitliche Verschiebung Empfindlichkeit bei der freien Propagation Sicherheitsfaktor für den Strahlradius

2 2. Moment eines Intensitätsprofils +, Bezeichung für rechts- und links-zirkular polarisiertes Licht


152

normierte Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung/seitliche Verschiebung Zeit Transmissionskoeffizient des Einkoppelspiegels , Einträge der Koppelmatrix an einem Hindernis Transmission durch eine Blende Temperatur Pulsdauer Resonatorabklingzeit/-aufbauzeit Winkel, der das Pendeln in einem stabilen Resonator beschreibt (identisch Gouy-Parameter) Fernfelddivergenzwinkel (komplexe) Einhüllende des elektrischen Felds räumlicher Überlapp zwischen zwei (kohärenten) Strahlen räumlicher Überlapp zwischen zirkulierendem und einfallendem Strahl räumlicher Überlapp als Maß für die Empfindlichkeit bei der freien Propagation Vergrößerung einer optischen Abbildung spektraler Überlapp , 0 Strahlradius, Taillenradius , , , Strahlradien von - und -Moden Kartesische (transversale) Koordinate Abstand eines Strahls zur optischen Achse (in -Richtung) Verschiebung eines Strahls gegen die optische Achse Schwerpunkt eines Intensitätsprofils in -Richtung normierte seitliche Verschiebung eines Strahls Pumpfrequenz bei der Propagation in einem nichtlinearen Linsenleiter Pumpmatrix für die Propagation in einem nichtlinearen Linsenleiter Kartesische (transversale) Koordinate Schwerpunkt eines Intensitätsprofils in -Richtung longitudinale Koordinate

0 Position der Strahltaille Äquivalenter Abstand bei der Beugung an einer Blende

Abstand des Selbstfokus bei der katastrophalen Selbstfokussierung Abstand von der Strahltaille (Realteil des -Parameters) Rayleighlänge (Imaginärteil des -Parameters) , Rayleighlänge der Eigenmode eines Resonators normierter Verkippungswinkel

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Referenzen

159

Danksagung Ich möchte mich herzlich bei allen bedanken, mit denen ich in den vergangenen Jahren zusammengear-beitet habe und die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Mein besonderer Dank gilt:

Prof. Reinhart Poprawe für die Möglichkeit, am Fraunhofer-Institut für Lasertechnik ILT an diesen spannenden Themen zu arbeiten, die andauernde Unterstützung und die Betreuung der Arbeit.

Prof. Theodor Hänsch und Prof. Thomas Udem für die tatkräftige Unterstützung im Rahmen der Koope-ration der Institute und die Möglichkeit, am Max-Planck-Institut für Quantenoptik MPQ diese Arbeit weiterzuführen. Thomas Udem danke ich außerdem für die Übernahme des Koreferats.

Hans-Dieter Hoffmann und Peter Rußbüldt für die unentwegte Unterstützung.

Den Kollegen am ILT Jan Schulte, Dominik Esser, Thomas Sartorius, Guido Rotarius, Nadine Bey und Torsten Mans für die gute Zusammenarbeit sowie der gesamten Abteilung für die stetige Hilfsbereit-schaft und guten Diskussionen, insbesondere Stefan Hengesbach und Rolf Wester.

Den Kollegen am MPQ Akira Ozawa und Andreas Vernaleken für die gute Zusammenarbeit sowie der gesamten Arbeitsgruppe Prof. Hänsch.

Den Kooperationspartnern am MPQ Ioachim Pupeza, Simon Holzberger, Henning Carstens, Maximilian Högner und Tobias Saule für die fruchtbare Zusammenarbeit.

Den Mitarbeitern der Werkstätten und Verwaltungen von ILT und MPQ, insbesondere Wolfgang Simon und Karl Linner.

Anhang

161

8 Anhang 8.1 Propagation und Resonatoren

8.1.1 Höhere transversale Moden

Die -Moden sind Lösungen der paraxialen Helmholtz-Gleichung. Sie können durch folgenden An-satz gefunden werden [7]: ( , , ) = 2 2 exp( ) exp Gl. 8.1

Einsetzen in die paraxiale Helmholtz-Gleichung ergibt folgende Gleichungen für die Funktionen , und die Phase : + 2 = 0 + 2 = 0 + 2 = 0

Gl. 8.2

Die Gleichungen für und sind die Differentialgleichungen für die Hermiteschen Polynome, die fol-gendermaßen definiert sind: ( ) = ( 1) exp( ) (exp( )) Gl. 8.3

Die Polynome der Ordnung 0 bis 4 lauten: ( ) = 1, ( ) = 2 , ( ) = 4 2, ( ) = 8 12 , ( ) = 16 48 + 12 Gl. 8.4 Die -Moden bilden ein vollständiges Orthogonal-System; eine beliebige Feldverteilung kann nach den Moden zu einem frei wählbaren aber für das Moden-System festgehaltenen -Parameter entwickelt werden. Die Entwicklungskoeffizienten der -Moden mit Modenordnung lauten für einen Gauß-schen Strahl, der in -Richtung um den Winkel verkippt ist: = ( ) exp( ) ( ) = ! exp = ! exp , =

mit ( ) = ! 2 exp exp Gl. 8.5

Für Hermite-Polynome gilt folgende Rekursionsformel: ( ) = 2 ( ) 2 ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + + ( ) + ( 1) ( )

Gl. 8.6

Außerdem gilt folgende Orthogonalitätsrelation: ( ) ( ) exp( ) = 2 ! , Gl. 8.7

Daraus folgt für den Strahlradius der -Moden: = | | = ! exp 2

= ! ( ) ( ) exp( ) Gl. 8.8


162

= ! exp( ) + + exp( )! + ( 1) exp( )

= + = 2 = 1 + 2

8.1.2 Hyperbolisches Propagationsgesetz

Es soll gezeigt werden, dass der Strahlradius ( ) = 2( 2( ))½ definiert über das 2. Moment der Intensi-tätsverteilung 2 für jede beliebige Feldverteilung immer einer Hyperbel folgt. Das bedeutet, dass das 2. Moment eine quadratische Funktion in ist. Eine solche Herleitung wird hier erstmalig angegeben. Die Feldverteilung kann nach -Moden entwickelt werden. Für -Moden ist das 2. Moment eine quadra-tische Funktion. Zu zeigen ist, dass dies auch für Kombinationen von -Moden gilt. Wir betrachten nur eine transversale Richtung ( -Richtung).

Auch wenn dies nicht Teil der Entwicklung einer (kohärenten) Feldverteilung ist, sei vorangestellt, dass sich bei der inkohärenten Überlagerung von Moden (hier der Moden 1 und 2), d.h. der Überlagerung der Intensitäten, für das 2. Moment wieder eine quadratische Funktion ergibt: = ( ) | ( )| , mit | ( )| = | | | ( )| + | | | ( )| = | ( )| 2 | ( )| + | ( )| = | ( )| [ | ( )| ]

= | | | ( )| + | | | ( )| | | | ( )| + | | | ( )|

= | | + | | [| | + | | ]

Gl. 8.9

Das 2. Moment der Überlagerung kann geschrieben werden als Summe der 2. Momente der einzelnen Moden sowie linearer und quadratischer Terme der 1. Momente (Schwerpunkte der Intensitätsprofile). Da die 2. Momente der Moden quadratische Funktionen in sind und die 1. Momente lineare Funktio-nen in , ist auch das 2. Moment der Überlagerung eine quadratische Funktion in .

Das 2. Moment der Intensitätsverteilung einer (kohärenten) Überlagerung von zwei Moden lautet: = ( ) | ( )| , mit ( ) = ( ) + ( ) = | ( )| [ | ( )| ] = | ( ) + ( )| [ | ( ) + ( )| ] = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = | | | ( )| + | | | ( )| + ( ) ( ) + ( ) ( ) | | | ( )| + | | | ( )| + ( ) ( ) + ( ) ( )

Gl. 8.10

= | | | ( )| + | | | ( )| + ( ) ( ), + ( ) ( ),

| | | ( )| + | | | ( )| + ( ) ( ), + ( ) ( ),

= | | + | | + , + , | | + | | + , + , = | | + | | + , + , , + ,

Anhang

163

Die Moden 1 und 2 seien normiert, und die Modenkombination auch (d.h. | 1|2 + | 2|2 = 1). Außer-dem seien die Moden zentriert (d.h. = = 0). Das 2. Moment der Modenkombination ist also gege-ben durch die 2. Momente der einzelnen Moden (gewichtet mit den Koeffizienten der Modenkombinati-on) und Interferenzterme. Im Folgenden werden für 1 und 2 die -Moden mit Modenzahl 1 und 2 eingesetzt. Die Interferenzterme lauten damit:

, = ( ) ( ) = 2 2 exp 2 exp( )

, = ( ) ( ) = 2 2 exp 2 exp( )

mit =

Gl. 8.11

da 1 und 2 den gleichen Phasenterm besitzen bis auf exp( ( + ½) ). 1 und 2 sind Normierungsfak-toren der -Moden. Eine Koordinatentransformation ergibt:

, = ( ) ( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( )

, = ( ) ( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( )

mit = 2

Gl. 8.12

Unter Benutzung der Rekursionsformel und Orthogonalität der Hermite-Polynome (Gl. 8.6) folgt:

, = ( ) ( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( ) + + ( ) ( ) exp( ) + ( 1) ( ) ( ) exp( ) = exp( ) ( + 1)( + 2) , + + , + ( 1) ,

, = ( ) ( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( ) = exp( ) ( ) ( ) exp( ) + ( ) ( ) exp( ) = exp( ) , + ,

Gl. 8.13

Dabei wurde der Normierungsfaktor = (2 !( /2)½)–½ benutzt. Das bedeutet, dass die Interferenzter-me in Gl. 8.10 nur für = ±2 bzw. = ±1 nicht verschwinden ( = 0 stellt keine Modenkombinati-on dar). Man kann sich leicht überzeugen, dass die Interferenzterme unabhängig vom Vorzeichen von

sind. Das Ergebnis lässt sich verallgemeinern auf eine Kombination von mehr als zwei Moden. Die Interferenzterme verschwinden, wenn keine Moden mit Modenzahldifferenz < 3 beitragen, und das 2. Moment lautet damit: = | | ( ) mit | | = 1, 3 Gl. 8.14 Dieses 2. Moment ist damit nicht nur eine quadratische Funktion in , sondern die Strahlkaustik (und die Strahlachse) ist gegenüber den beitragenden Moden nicht verändert. (Diese Situation ist in einem stabilen Resonator gegeben, in dem nur Moden mit einer Modenzahldifferenz 3 gleichzeitig reso-nant sein können.)


164

Um die allgemeinere Situation weiter zu untersuchen, in der die Interferenzterme nicht verschwinden müssen, betrachten wir (o.B.d.A) = 2 ( 1 = , 2 = + 2) und = 1 ( 1 = , 2 = + 1):

, = ( ) ( ) = exp( 2 ) ( + 1)( + 2) , = exp( 2 ) ( )( ) ,

, = ( ) ( ) = exp( ) , = exp( ) , Gl. 8.15

Das 2. Moment lautet also: ( ) = | | ( ) + | | ( ) + , ( ) + , ( ) , ( ) + , ( ) = | | ( ) + | | ( ) + , exp 2 ( ) + exp 2 ( ) ( ) ( )( ) , exp ( ) + exp ( ) ( ) Gl. 8.16= | | ( ) + | | ( ) + , | || |2cos(2 ( ) ) ( ) ( )( )

, | | | | 4cos ( ( ) ) ( ) mit = arg( ) arg( )

Die Phasenterme können wie folgt ausgewertet werden:

mit cos( ) = cos arctan( ) = und sin( ) = sin arctan( ) = folgt:

cos(2 ) = cos(2 )cos( ) + sin(2 )sin( ) = [2cos ( ) 1]cos( ) + [2sin( )cos( )]sin( ) = 1 cos( ) + sin( ) = ( ) cos( ) + ( ) sin( ) cos( ) = cos( )cos( ) + sin( )sin( ) = cos( ) + sin( ) = ( ) cos( ) + ( ) sin( )

Gl. 8.17

Damit folgt für das 2. Moment: ( ) = | | ( ) + | | ( ) + , | || | cos( ) + sin( ) ( )( ) , | | | | cos( ) + sin( )

Gl. 8.18

Das 2. Moment der Modenkombination ist also eine quadratische Funktion in , wobei die Interferenz-terme zu einer Änderung der Strahlkaustik führen. Die Art der Änderung ist insbesondere von der rela-tiven Phase abhängig, mit der die Moden überlagert werden; mit = 2 ( = 1) wird für = 0 ein konstanter Term addiert (subtrahiert), für = /2 ein linearer (quadratischer) Term in . Das Ergebnis lässt sich verallgemeinern auf eine Kombination von mehr als zwei Moden. Dann treten Interferenz-terme für jede Modenkombination mit = 2 und = 1 auf. Das 2. Moment einer beliebigen Über-lagerung von -Moden ist eine quadratische Funktion in , der Strahlradius folgt also einer Hyperbel.

Diese Definition des Strahlradius ist möglich, solange die Zahl der beitragenden -Moden endlich ist oder die Koeffizienten mit der Modenordnung hinreichend schnell abfallen. Wenn das Feld einen schar-fen Rand aufweist (wie er durch eine harte Blende entsteht), enthält es unendlich viele -Moden und das 2. Moment divergiert nach Propagation. Das verletzt aber nicht das hyperbolische Propagations-gesetz, sondern bedeutet eine verschwindende Rayleighlänge.

Anhang

165

8.1.3 Verallgemeinertes ABCD-Gesetz

Die Transformation der 1. und 2. Momente einer Intensitätsverteilung durch ein paraxiales optisches System kann durch ein verallgemeinertes -Gesetz beschrieben werden. Es sei wieder vorausge-setzt, dass die beiden transversalen Richtungen unabhängig behandelt werden können. Daher wird nur die -Richtung betrachtet. Die 1. Momente sind definiert als [1]: = | ( , )| = , = ( , ) ( , )

mit = | ( , )| = ,

Gl. 8.19

Dabei ist eine Normierung, die mit der Strahlleistung verknüpft ist. Der Winkel ist über die Fou-riertransformierte ( , ) des elektrischen Felds ( , ) definiert (Entwicklung nach ebenen Wellen): , = ( , )exp + ( , ) = , exp +

Gl. 8.20

Er kann aber auch in der oben angegebenen Weise durch das Feld E(x, y) ausgedrückt werden.

Die 1. Momente beschreiben den Schwerpunkt des Intensitätsprofils und die Ausbreitungsrichtung (d.h. den Schwerpunkt im Fernfeld) und werden wie folgt durch ein optisches System transformiert (Herlei-tung mittels des Collins-Integrals möglich [1]): = + = +

Gl. 8.21

d.h. der Schwerpunkt eines Intensitätsprofils propagiert genau wie ein geometrisch-optischer Strahl durch ein optisches System (insbesondere entlang einer Geraden für die freie Propagation).

Die 2. Momente in -Richtung sind der quadrierte Strahlradius und Divergenzwinkel sowie ein gemisch-tes Moment, das mit dem Krümmungsradius der Phasenfront identifiziert werden kann. Wenn der Strahl als entlang der -Achse ausgerichtet angenommen ist (die 1. Momente also verschwinden), lauten sie: = | ( , )| = , = ( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Gl. 8.22

Diese Momente werden folgendermaßen transformiert (Herleitung wieder mittels des Collins-Integrals): = + 2 + = + 2 + = + ( + ) +

Gl. 8.23

Für den Fall der freien Propagation ( = 1, = , = 0, = 1) ist das Quadrat des Strahlradius 2 also eine quadratische Funktion in : = + 2 + = = (1 + ) +

Gl. 8.24


166

Das Minimum dieser Parabel liegt bei der Strahltaille, die durch = 0 definiert ist. Der Strahl-

radius an dieser Stelle ist der Taillenradius , = , . Über den Verlauf des Strahlradius ist die

Rayleighlänge , definiert: = , + = , 1 + , ( )

mit = 0 für = 0 und , = , Gl. 8.25

Hiermit ist eine Herleitung des hyperbolischen Propagationsgesetzes für eine kohärente Feldverteilung gegeben: Wenn das Quadrat des Strahlradius eine quadratische Funktion in ist, folgt der Strahlradius einer Hyperbel. Voraussetzung für die Beschreibung ist, dass die 2. Momente nicht divergieren, was erfordert, dass das Intensitätsprofil schneller als 1/ 2 mit dem Abstand zur Strahlachse abfällt. Das ist nicht gegeben, wenn der Strahl scharfe Ränder (z.B. durch harte Blenden) enthält.

Der Fernfelddivergenzwinkel = ändert sich während der freien Propagation nicht. Das ge-mischte Moment definiert zusammen mit dem Strahlradius einen verallgemeinerten Krüm-mungsradius der Phasenfront: = = = , Gl. 8.26

(In der Strahltaille verschwindet die Krümmung der Phasenfront.)

Es sei noch eine explizite Darstellung der Transformation des -Parameters und inversen -Parameters mittels des -Gesetzes (Gl. 2.14) angegeben: = , + = = ( ) , = = , = ( )( ) = ( )( ) , = ( )

Gl. 8.27

Die Darstellung ist gültig für reelle Matrixeinträge , , , und setzt det( ) = – = 1 voraus. Die Gleichungen können bei der Auswertung von allgemeinen Transformationen nützlich sein.

Anhang

167

8.1.4 Verknüpfung von Amplitude und Phase über die Helmholtz-Gleichung

Die Ableitungen von ( , , ) = ( , , ) exp( ( , , )) lauten: = + , = + 2 + , = + 2 + Gl. 8.28

Einsetzen in die paraxiale Helmholtz-Gleichung (Gl. 2.4) ergibt: + + 2 + + +

2 + = 0 Gl. 8.29

Aus dem Vergleich von Real- und Imaginärteil folgt (transport-of-intensity equations): = + + +

und = + + + Gl. 8.30

Für die Entwicklung der Phase und der Amplitude auf der Strahlachse ( = = 0) gilt: | = + | + +

und ( ) ( ) = + | + + Gl. 8.31

Für einen symmetrischen Strahl verschwinden die ersten Ableitungen der Phase und Amplitude auf der Strahlachse und es gilt: ( ) = ( ) + ( , , )|

und ( ) ( ) = + ( , , )| Gl. 8.32

Für einen Gaußschen Strahl gilt: ( , , ) = ( ) ( ) exp ( ) exp ( )

und ( , , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( )( ) ( ) und ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) und ( ) ( ) = ( ) im rotationssymmetrischen Fall

Gl. 8.33

Für höhere transversale gerade Moden ist die Krümmung der Amplitude auf der Strahlachse größer, so dass eine entsprechend größere Phase aufgesammelt wird, nämlich ein Vielfaches der Gouy-Phase. (Für ungerade Moden dürfen die einfachen Ableitungen in Gl. 8.31 nicht weggelassen werden; hier nimmt die Steigung der Amplitude mit der Modenordnung zu.)

Mit bekanntem Strahlradius ( ) und Krümmungsradius ( ) für den Gaußschen Strahl können die Phase und Amplitude auf der Strahlachse integriert werden, was auf das bekannte Ergebnis führt:


168

( ) = ( ) mit ( ) = 1 + ( ) = arctan + (0)

( ) ( ) = ( ) mit ( ) = + ( ) = ( ) Gl. 8.34

Der Verlauf der Phase auf der Strahlachse ist also für eine gleichbleibende Form des Strahlprofils durch den Verlauf des Strahlradius gegeben, wobei aus ~ (1 +

2/ 2)½ folgt 0 ~ arctan( / ).

8.1.5 Geometrisch-optischer Strahl

Ein komplexer geometrisch-optischer Strahl wird an einer -Position beschrieben durch den Vektor = [ + , + ]. Der Strahlradius ist durch den Betrag des Abstands zur optischen Achse und die

Gouy-Phase als Phase in der komplexen Ebene ( + ) gegeben: = | | = + , = arctan( ), > 0 + arctan( ), < 0 Gl. 8.35

Für die Gouy-Phase ist eine Fallunterscheidung zu machen, damit die Werte nicht auf den Bereich – /2 bis /2 eingeschränkt sind. Der reelle Krümmungsradius der Phasenfront kann angegeben werden über den Abstand zur optischen Achse und den Winkel , den der Strahl in dieser Richtung mit der optischen Achse einschließt. Der komplexe Winkel + kann folgendermaßen auf den Winkel in diese Richtung und den Winkel in die dazu senkrechte Richtung transformiert werden (ê - und ê -Richtung, siehe Abb. 2.7): = sin( ) cos( )cos( ) sin( ) = 11 = , = Gl. 8.36

Für den reellen Krümmungsradius folgt damit: = = Gl. 8.37

Der komplexe Krümmungsradius und sein Kehrwert lauten: = = + = = = = Gl. 8.38

Dabei wurde das Strahlparameterprodukt für den (komplexen) geometrisch-optischen Strahl einge-führt. Der komplexe Krümmungsradius ( -Parameter) und sein Kehrwert werden gemäß dem -Gesetz durch ein optisches System mit Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]] transformiert. Das ist invariant unter der Transformation (det( ) = – = 1 vorausgesetzt): = = = ++ und = = = ( + ) + + ( + ) = ( ) =

Gl. 8.39

In der Anschauung des windschiefen Strahls (in einem rotationssymmetrischen optischen System) kann das auch als Drehimpuls aufgefasst werden, die Invarianz des also als Drehimpulserhaltung. Das ist gegeben durch das Produkt des Winkels in tangentialer Richtung zum Kreis 2

+ 2

= 2

und des Radius dieses Kreises. Dabei gibt der Winkel die Änderung des Ortes an, also eine Winkel-geschwindigkeit:

Anhang

169

= = Gl. 8.40

Die Einführung der Gouy-Phase über einen (komplexen oder windschiefen) geometrisch-optischen Strahl erlaubt, die beim Durchlaufen eines optischen Systems mit Strahltransfermatrix aufgesammelte Gouy-Phase einfach zu berechnen und dabei in Erweiterung des Ergebnisses aus [12] die volle Pha-seninformation anzugeben, d.h. nicht nur Modulo .

Die Strahlparameter in der Startebene seien und bzw. und . Die Gouy-Phase in der Startebene kann o.B.d.A zu null gesetzt werden, d.h. es gilt = 0. Damit lautet die Gouy-Phase in der Zielebene: = + = , = + tan( ) = = = =

mit = = , = =

Gl. 8.41

Mit = 0 ist die aufgesammelte Gouy-Phase = ‘ – = ‘, wobei die Fallunterscheidung je nach Vorzeichen von ‘ gemäß Gl. 8.35 gemacht werden muss:

= arctan für + > 0 + arctan für + < 0

mit = , =

Gl. 8.42

Oder als Funktion der Winkel:

= arctan für + > 0 + arctan für + > 0

mit = + , = , =

Gl. 8.43


170

8.1.6 Transformation einer Kaustik mittels Abbildungsgleichung

Es soll gezeigt werden, dass eine Strahlkaustik, für die der Strahlradius einer Hyperbel folgt, durch die Abbildungsgleichung wieder in eine Strahlkaustik der gleichen Gestalt transformiert wird. D.h. eine erste Strahlkaustik mit dem Verlauf (z1) = 01(1+ 1

2/ 12)½ wird transformiert in eine zweite Strahl-

kaustik, die durch (z2) = 02(1+ 22/ 2

2)½ dargestellt werden kann. Die Situation ist skizziert in Abb. 8.1. Dabei stehen , und , für die Gegenstands-/Bildweite und die Gegenstands-/Bildgröße.

Abb. 8.1: Transformation einer ersten Strahlkaustik in eine zweite Strahlkaustik mittels einer dünnen Linse.

Mit der Abbildungsgleichung 1/ = 1/ + 1/ und der Vergrößerung der Abbildung / = – / folgt: = 1 + ( ) = = 1 + ( ) = 1 + ( ) Gl. 8.44

Die transformierte Kaustik folgt wie man leicht sieht wieder einer Hyperbel. Dabei ist: = ( ) , = ( ) , = ( ) Gl. 8.45

Bei der Transformation ist folgende Größe (das Strahlparameterprodukt ) erhalten geblieben: = mit = Gl. 8.46

Das ist das erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie bei der Berechnung über das -Gesetzt.

Strahlkaustik 1 Strahlkaustik 2

1

20201

1 = 01 – 2 = – 02

Anhang

171

8.1.7 Collins-Integral

Das Collins-Integral ist die Verallgemeinerung des Fresnel-Integrals für die Transformation durch ein optisches System mit Strahltransfermatrix = [[ , ],[ , ]]. In einer transversalen Richtung lautet es: ( ) = exp ( + 2 ) ( ) Gl. 8.47

Dabei bezeichnen 1 und 1 das Feld und die transversale Koordinate in der ursprünglichen Ebene und 2 und 2 das Feld und die transversale Koordinate in der Ebene nach Transformation durch das opti-

sche System. ist die Wellenzahl. Dieses Integral kann auch als Funktion der Gouy-Phase geschrieben werden. Hierzu wird ein optisches System benutzt, das um eine Gouy-Phase propagiert, dabei aber den vorgegebenen q-Parameter konstant lässt. Dieses optische System ist durch die allgemeine Darstel-lung eines Resonators gegeben mit Strahltransfermatrix , für den der q-Parameter der Eigen-q-Para-meter ist und dessen Gouy-Parameter durch die gewünschte Gouy-Phase gegeben ist (Gl. 2.16). Damit lautet das transformierte Feld 2: ( ) = ( ) exp ( ) cos( ) ( + ) sin( ) ( ) 2 ( )

mit = = cos( ) sin( ) sin( )sin( ) cos( ) + sin( ) Gl. 8.48

Dies lässt sich umformen zu: ( )exp =sin( ) exp ( + )

tan( ) +sin( ) ( )exp =

sin( ) exptan( ) +

sin( ) ( )exp

Gl. 8.49

Um das Integral auswerten zu können, müssen der -Parameter ( , ) und die Strahlqualitätskennzahl 2 des Felds 1 bekannt sein. Diese Größen können aus dem Feld berechnet werden.


172

8.1.8 Gouy-Parameter

Der Gouy-Parameter eines stabilen Resonators ist die Gouy-Phase, die ein Strahl mit Eigen-q-Para-meter bei einem Resonatorumlauf aufsammelt. Er kann allgemein aus den Einträgen der Strahltransfer-matrix für einen Resonatorumlauf abgelesen werden. Einsetzen des Eigen-q-Parameters (Gl. 2.62) in die Gouy-Phase für das Durchlaufen eines optischen Systems (Gl. 2.17) ergibt:

= arctan , , für + , > 0 + arctan , , für + , < 0 Gl. 8.50

Die auftretenden Terme können folgendermaßen vereinfacht werden: + , = + = = und , , = | | = signum( ) Gl. 8.51

Damit folgt für den Gouy-Parameter:

= signum( ) arctan für > 0 signum( ) arctan für < 0 Gl. 8.52

Und schließlich: = signum( ) arccos( ) für > 0 signum( ) arccos( ) = 2 + signum( ) arccos( ) für < 0 Gl. 8.53

Es kann der Strahltransfermatrix nicht entnommen werden, ob der Gouy-Parameter Vielfache von 2 enthält, und diese Information ist ohne physikalische Bedeutung; er kann daher (unabhängig vom Vor-zeichen von ) als = signum( ) arccos( ) geschrieben werden.158 Bei den Umformungen wurden folgende Eigenschaften der arccos- und arctan-Funktion benutzt: arctan( ) = arctan( ), arccos( ) = arccos( ) arctan = arccos( ) für 0 < < 1

Gl. 8.54

Während die halbe Spur der Strahltransfermatrix gemäß cos( ) = nicht die gesamte Information über den Gouy-Parameter enthält, gibt also das Vorzeichen von darüber Auskunft, ob der Gouy-Para-meter zwischen 0 und oder zwischen und 2 liegt. Die gleiche Information enthält das Vorzeichen des Matrixeintrags , da für einen stabilen Resonator ( 1 < < 1) gilt signum( ) = signum( ).159

Diese Bedeutung des Vorzeichens von oder kann statt über die Auswertung der Gouy-Phase, die ein Gaußscher Strahl im Resonator aufsammelt, auch aus der Betrachtung eines geometrisch-optischen Strahls abgelesen werden, der im Resonator um die optische Achse pendelt. Ein Strahl mit Auslenkung x von der optischen Achse r0 = [ , 0] lautet nach einem Umlauf 1 = 0 = [ , ]. Diese Situation lässt 158 Dass die Erweiterung von cos( ) = , die den Gouy-Parameter nur bis auf ein Vielfaches von angibt, auf

eine Gleichung, die die volle Information enthält, die Gestalt = signum( ) arccos( ) haben muss, ergibt sich auch über folgende Überlegung (ohne Verwendung von Gl. 2.17). Es sei = [[ , ],[ , ]] die Strahl-transfermatrix für einen stabilen Resonator mit Gouy-Parameter 0 < < . Wenn der Resonator um einen Ab-schnitt erweitert wird, der eine Abbildung mit Vergrößerung 1 darstellt (Strahltransfermatrix [[ 1, 0],[0, 1]]), so lautet die neue Strahltransfermatrix ‘ = [[ , ],[ , ]], d.h. ‘ = und ‘ = . Der Eigen- -Para-meter bleibt unverändert. Der neue Gouy-Parameter lautet ‘ = + , da in dem abbildenden Abschnitt (un-abhängig vom -Parameter) die Gouy-Phase aufgesammelt wird. Dies wird durch ‘ = signum( ‘) arc-cos( ‘) = signum( ) arccos( ) = + signum( ) arccos( ) = + erreicht.

159 Für einen stabilen Resonator mit 2 < + < 2 ( 1 < < 1) ist < 1. Mit det( ) = = 1 ist = 1 < 0 und damit signum( ) = signum( ).

Anhang

173

sich leicht interpretieren, wenn eine Ebene im Resonator gewählt wird, in der eine Strahltaille vorliegt, d.h. = 0 oder = 0 (ggf. kann diese Ebene virtuell sein, d.h. außerhalb des Resonators liegen). Dann ist mit = und 1 = 0 = [ , ]. Da der Strahl um den Wert > 0 gegen die optische Ache ausgelenkt ist, pendelt er gemäß Gl. 2.59 um die optische Achse. Der Startvektor markiert dabei die maximale Auslenkung von der optischen Achse, da sein Winkel verschwindet und die Startebene eine Symmetrieebene mit = ist. Es kann nun an den Vorzeichen der Größen und abgelesen werden, in welchem Bereich der Gouy-Parameter liegt. Wenn der Gouy-Parameter klein ist (0 < < /2), ist die Auslenkung nach einem Umlauf weiterhin positiv ( > 0) und der Winkel negativ ( < 0), da sich der Strahl beim folgenden Umlauf weiter vom der Startauslenkung entfernt. Für < 0 ist der Strahl schon nach einem Umlauf auf der entgegengesetzten Seite der optischen Achse angelangt ( /2 < < 3 /2). Es kann am Vorzeichen des Winkels, also von , abgelesen werden, ob der Strahl bei der Pen-delbewegung dabei noch vor dem Punkt maximaler Auslenkung in die Gegenrichtung liegt ( /2 < < , < 0) oder diesen bereits überschritten hat ( < < 3 /2, > 0). Für große Gouy-Para-meter ist die Auslenkung des Strahls und auch der Winkel positiv ( > 0, > 0). Zusammenfassend kann also am Vorzeichen des Matrixeintrags (oder ) abgelesen werden, in welchem Intervall der Gouy-Parameter liegt. Ob bei einem Resonatorumlauf zusätzlich Vielfache von 2 aufgesammelt wer-den, hat keine physikalische Bedeutung. Es sei hinzugefügt, dass zwar der Eigen- -Parameter von der Wahl der Ebene im Resonator abhängen, an der der Resonatorumlauf beginnt, nicht aber die halbe Spur und das Vorzeichen von und und damit auch der Gouy-Parameter .


174

8.1.9 Resonatorempfindlichkeit

Unter Resonatorempfindlichkeit wird meist die Empfindlichkeit des Resonators gegen die Verkippung eines Resonatorspiegels verstanden. Die Verkippung eines Spiegels ergibt eine veränderte optische Achse des Resonators. Sie steht senkrecht auf den Endspiegeln eines linearen Resonators, muss sich also bei deren Verkippung anpassen. Die Veränderung der optischen Achse kann folgendermaßen be-rechnet werden. Sei = [[ , ],[ , ]] die Strahltransfermatrix für einen Resonatorumlauf, der mit Pro-pagation ab dem verkippten Spiegel beginnt. Die Verkippung des Spiegels um den Winkel prägt dem Strahl einen Winkel 2 auf. Die neue optische Achse [ , ] ist daher der Strahl, der folgende Glei-chung erfüllt: = + 02 = , = Gl. 8.55

Dabei beschreiben und die Verschiebung und Verkippung der neuen optischen Achse am Ort des verkippten Spiegels. Für den symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonator ergibt das: = , = mit = = 1 2 2 24 + 4 1 6 + 4 , = 1 4 + 2

Gl. 8.56

Die Strahltransfermatrix beschreibt einen vollen Resonatorumlauf (beginnend mit Propagation von Spiegel 1 nach Spiegel 2). Die Empfindlichkeit ist die Verschiebung der optischen Achse relativ zum Strahlradius in einer Ebene und bezogen auf den Verkippungswinkel eines Spiegels in der Ebene :

, = Gl. 8.57

Die Verschiebungen der optischen Achse in der Ebene des gegenüberliegenden Spiegels und in der Re-sonatormitte sind: = + = , = + = Gl. 8.58

Die Empfindlichkeiten bezogen auf den verkippten Spiegel, auf den gegenüberliegenden Spiegel (mit dem Strahlradius 1 = 2) und auf die Resonatormitte (mit dem Taillenradius 0) lauten damit:

, = = 1 2 , , = = 2

und , = = 2

mit = = 1 , = 1

Gl. 8.59

Neben der Empfindlichkeit gegen die Verkippung eines Spiegels kann auch die Empfindlichkeit gegen eine seitliche Verschiebung des Strahls, Aufprägen einer Brechkraft oder longitudinale Verschiebung angegeben werden. Diese Empfindlichkeiten sollen im Folgenden für einen allgemeinen Resonator als Funktion des Gouy-Parameters angegeben werden.

Empfindlichkeit gegen Verkippung

Zunächst soll untersucht werden, welchen Einfluss eine Verkippung eines Strahls bei der freien Propa-gation, also außerhalb eines Resonators hat. Auch hier kann eine Empfindlichkeit definiert werden, die angibt, wie groß die aus einer Verkippung maximal resultierende Verschiebung ist (Index für

Anhang

175

„freie Propagation“ in Abgrenzung zum Resonator). Am Ort der Aufprägung ändert die Verkippung nur den Winkel der Strahlachse und ergibt keine Verschiebung. Daher verschwindet die Empfindlichkeit: = 0 mit = 0, = 2 Gl. 8.60

Der Winkel der Strahlachse ist gleich dem doppelten Verkippungswinkel eines Spiegels . In einem Abstand vom verkippten Spiegel bewirkt die verkippte Strahlachse eine seitliche Verschiebung des Strahls. Um das auszuwerten, kann eine Transformation des Strahls mittels der Strahltransfermatrix durchgeführt werden. Die Matrix ist so gewählt, dass sie den -Parameter unverändert lässt und um eine Gouy-Phase propagiert. Dass der -Parameter bei dieser allgemeinen Transformation reproduziert wird, ist nicht erforderlich sondern nur bequem (eine Vergrößerung würde Strahlradius und Verschie-bung der Strahlachse gleichermaßen betreffen); entscheidend ist, dass alle Gouy-Phasen 0 < < 2 betrachtet werden. Um die Empfindlichkeit in dieser Ebene auszuwerten, muss also die Verschiebung der optischen Achse in dieser Ebene berechnet werden ( ist bekannt, da durch die Transformation unverändert):

= 02 = sin( ) 2 mit = cos( ) sin( ) sin( )sin( ) cos( ) + sin( ) Gl. 8.61

Die Empfindlichkeit lautet damit als Funktion der Gouy-Phase für die Propagation ab der Ebene der Verkippung: ( ) = ( ) 2 = 2 sin( ) Gl. 8.62

Die maximale relative Verschiebung liegt vor im Fernfeld der Ebene der Verkippung ( = /2) und ist:

, = 2 Gl. 8.63

Der Überlapp zwischen den Feldern einer Grundmode mit gegeneinander verkippter und verschobener Strahlachse lautet mit der Verschiebung und dem Verkippungswinkel (Integration 1-dimensional in -Richtung, da -Richtung von Verkippung/Verschiebung unbeeinflusst):

, = | ( , 0) ( , ) | = exp ( )

mit ( , ) = exp exp exp( ) Gl. 8.64

Dieser Überlapp ändert sich bei Propagation nicht und ist damit ein absolutes Maß für die Empfindlich-keit gegen eine Störung. Er kann in einer beliebigen Ebene ausgewertet werden. Der Überlapp zwischen den Feldern der ungestörten und der gestörten Grundmode nach Verkippung lautet (hier ausgewertet am Ort der Verkippung): = exp ( ) = exp( ) mit = 0, = 2 Gl. 8.65

Da der Effekt einer Verkippung vom Strahlradius am Ort der Verkippung abhängt, kann der Verkip-pungswinkel 2 auf den Strahlradius bezogen und ein normierter Winkel eingeführt werden. Der Überlapp lautet als Funktion des normierten Winkels: = exp( ) = exp( ) mit = (2 ) 2 Gl. 8.66

Bei der Normierung ist nicht der Verkippungswinkel eines Spiegels sondern der Winkel 2 benutzt, um den der Strahl dadurch verkippt wird. Das ist der Winkel, der unabhängig von der Ursache der Verkip-pung des Strahls relevant ist und bspw. mit der seitlichen Verschiebung vergleichen werden kann. Die Empfindlichkeit wurde auf den Verkippungswinkel eines Spiegels definiert, um mit der Literatur konsistent zu sein.


176

Es kann auch betrachtet werden als der Verkippungswinkel 2 bezogen auf den Fernfelddivergenz-winkel = , der für einen Strahlradius minimal möglich ist (wenn dort die Strahltaille liegt).

In einem Resonator ändert sich die Strahlachse nicht einfach gemäß der aufgeprägten Verkippung, son-dern der Resonator reagiert auf die Verkippung mit einer neuen Resonatorachse, die gegenüber der un-gestörten Resonatorachse verkippt und verschoben sein kann. Es soll die Änderung der optischen Achse durch die Störung untersucht werden. Einsetzen des Strahltransfermatrix für einen allgemeinen Resona-tor Gl. 2.85 in die neue optische Achse bei Verkippung eines Spiegels (Gl. 8.55) ergibt: = , = = ( )( ) , , = 1 + ( )( ) ,, mit = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

, = cos( ) Gl. 8.67

Die Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung ist die Verschiebung der optischen Achse bezo-gen auf den Strahlradius und den Winkel , hier ausgewertet in der Ebene der Verkippung: = ( )( ) Gl. 8.68

Diese Empfindlichkeit ist proportional zum Strahlradius am Ort des verkippten Spiegels, außerdem umgekehrt proportional zum Strahlparameterprodukt. Sie hängt vom Gouy-Parameter ab und ver-schwindet für = . Neben der Auswirkung der Verkippung in der Ebene der Verkippung selbst ist aber auch die Auswirkung in anderen Ebenen von Interesse. Die Verschiebung der Strahlachse in einer Ebene nach Propagation um die Gouy-Phase kann mittels einer allgemeinen Transformation mit Strahltransfermatrix ausgewertet werden, die den -Parameter ( ) unverändert lässt: = = cos( ) sin( ) ,, + sin( ) , = cos( ) sin( ) ,, ( )( ) , + sin( ) , 1 + ( )( ) ,, = cos( ) ( )( ) + sin( ) ,

mit = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 8.69

Daraus folgt für die Empfindlichkeit gegen Verkippung in einer Ebene, die durch die Gouy-Phase von der Ebene der Verkippung getrennt ist: ( ) = = cos( ) ( )( ) + sin( ) Gl. 8.70

Diese Empfindlichkeit variiert mit der Gouy-Phase . Diese Gouy-Phase kann den Abstand einer Ebene zur Ebene der Störung innerhalb des Resonators beschreiben; dann ist 0 < < . Da nach einem Re-sonatorumlauf die Ebene der Störung wieder erreicht und die Störung erneut aufgeprägt wird, gilt die Glei-chung darüber hinaus nicht. Es kann auch die Auswirkung einer Störung im Resonator auf einen aus dem Resonator ausgekoppelten Strahl betrachtet werden; dann ist > 0. Die Auswirkung einer Störung hängt nicht von der Propagationsrichtung ab der Störung ab: ( ) = cos( ) ( )( ) + sin( ) = ( ) Gl. 8.71

Die Beziehung zwischen zwei Ebenen im Abstand ist symmetrisch in dem Sinne, dass wenn eine Verkippung in einer ersten Ebene eine maximale (verschwindende) Verschiebung in einer zweiten Ebe-

Anhang

177

ne ergibt, eine Verkippung in der zweiten Ebene auch eine maximale (verschwindende) Verschiebung in der ersten Ebene ergibt. Die Empfindlichkeit über der Gouy-Phase im Resonator ist dargestellt in Abb. 8.2.

Es lässt sich eine Gouy-Phase angeben, für die die Empfindlichkeit verschwindet: ( ) = 0 = ( ) Gl. 8.72

(Diese Ebene liegt nur dann innerhalb des Resonators, wenn > ist). In dieser Ebene verschwindet zwar die Verschiebung der Strahlachse, dafür ist der Verkippungswinkel der optischen Achse hier (rela-tiv) besonders groß. Als absolutes Maß für die Empfindlichkeit kann der maximal auftretende Wert gelten. Der Maximalwert der Empfindlichkeit gegen Verkippung lautet: ( ) = 0 = und , = = ( ) Gl. 8.73

(Diese Ebene liegt immer innerhalb des Resonators.) Die Empfindlichkeit gegen Verkippung ist für gegebenen Strahlradius und Strahlparameterprodukt am kleinsten für einen Gouy-Parameter = . Sie nimmt dann den Wert = / an. Dieser Wert ist nur halb so groß wie die Empfindlichkeit bei der freien Propagation (Gl. 8.63). Für Gouy-Parameter im Bereich < < ist die Resonatorempfind-lichkeit kleiner als die Empfindlichkeit bei der freien Propagation. Bei Annäherung an die Stabilitäts-ränder ( = 0, 2 ) divergiert die Resonatorempfindlichkeit.

Das Ergebnis für einen allgemeinen Resonator soll noch auf den symmetrischen Zwei-Spiegel-Resonator angewendet werden. Die maximale Empfindlichkeit lautet in diesem Fall:

, = ( ) = [sin( 2)] = 2 = ,

mit = ( ) und 2 = arccos 1 sin( 2) = 2

Gl. 8.74

Sie ist also durch die Empfindlichkeit 1,2 bezüglich des gegenüberliegenden Spiegels gegeben. Dass dem so ist, kann auch daran abgelesen werden, dass die maximale Empfindlichkeit erreicht wird in ei-nem Abstand, für den die Gouy-Phase gleich dem halben Gouy-Parameter ist (Gl. 8.73). Das entspricht im symmetrischen Resonator gerade einem halben Umlauf, also dem gegenüberliegenden Spiegel.

Der Überlapp zwischen den Feldern der ungestörten und der gestörten Grundmode nach Verkippung lautet (Einsetzen von Gl. 8.67 in Gl. 8.64): = exp , = exp ( ) = exp ( )

mit = ( )( ) , , = 1 + ( )( ) ,, Gl. 8.75

Die Empfindlichkeit eines Resonators gegen Verkippung eines Spiegels hängt also nur vom Strahlradius auf diesem Spiegel (nicht von der Krümmung der Phasenfront oder der Krümmung des Spiegels) und

vom Gouy-Parameter des Resonators ab. Als Funktion des mit dem Strahlradius auf dem verkippten Spiegel normierten Winkels lautet der Überlapp: = exp ( ) (2 ) = exp ( ) mit = (2 ) 2 Gl. 8.76

Der Überlapp ergibt das gleiche Ergebnis wie die Empfindlichkeit: Für = ist der Resonator nur halb so empfindlich wie die freie Propagation in dem Sinne, dass der Überlapp bei einer doppelt so gro-ßen (normierten) Verkippung gleichermaßen abnimmt.


178

Empfindlichkeit gegen seitliche Verschiebung

Eine seitliche Verschiebung kann bspw. durch die Verkippung eines optischen Elements in Transmissi-on entstehen. Zunächst sei wieder die Empfindlichkeit bei der freien Propagation untersucht. In der Ebene der Störung lautet die Empfindlichkeit: = mit = , = 0 Gl. 8.77

Die Empfindlichkeit als Funktion der Gouy-Phase für die Propagation ab der Ebene der Störung lautet: ( ) = cos( ) sin( ) mit = 0 = cos( ) sin( ) Gl. 8.78

Die maximale Empfindlichkeit liegt vor in der Ebene der Strahltaille und lautet: ( ) = 0 , = 1 + = 1 + = für = arctan Gl. 8.79

Der Überlapp zwischen einer Grundmode mit und ohne aufgeprägte Verschiebung lautet (hier ausge-wertet am Ort der Verschiebung): = exp ( ) = exp 1 + = exp

mit = , = 0 Gl. 8.80

Da der Effekt einer transversalen Verschiebung vom Taillenradius 0 abhängt, kann die Verschiebung auf den Taillenradius bezogen und eine normierte Verschiebung eingeführt werden. Der Überlapp lautet als Funktion der normierten Verschiebung: = exp = exp( ) mit = Gl. 8.81

Die Abhängigkeit von der normierten Störung ist die gleiche wie im Fall einer Verkippung. Das ist auch so zu erwarten, da die seitliche Verschiebung in einer Ebene einer Verkippung in einer anderen Ebene entspricht, die mit der ersten Ebene als Abbildung des Winkelraums verknüpft ist. Die Abbildung des Winkelraums mit Strahltransfermatrix (mit beliebiger Brennweite ) transformiert in solcher Weise die seitliche Verschiebung auf einen Winkel 2 und die Rayleighlänge auf den Strahlradius , dass die normierten Störungen (betraglich) identisch sind (in den Winkelraum transformierte Größen sind mit einem Strich gekennzeichnet): = = , = und 2 = mit = 01 0

= 2 = 2 = 2 = = = = Gl. 8.82

(Genau genommen lautet der Zusammenhang = signum( ) und das Vorzeichen hängt davon ab, ob die Transformation in den Winkelraum mit positiver oder negativer „Vergrößerung“ erfolgt.) In ei-nem stabilen Resonator ergibt eine seitliche Verschiebung des Strahls folgende neue optische Achse:= + 0 = , = = 1 ( )( ) ,, , = ( )( ) , ,,

oder = 1 ( )( ) ,, , = ( )( ) ,

Gl. 8.83

Die Empfindlichkeit h gegen die seitliche Verschiebung ausgewertet in der Ebene der Störung ist:

Anhang

179

= 1 ( )( ) ,, = 1 ( )( ) ,, Gl. 8.84

Wie bei der Empfindlichkeit gegen Verkippung (Gl. 8.69) soll als absolutes Maß für die Empfindlich-keit auf eine seitliche Verschiebung im Folgenden ausgewertet werden, wie groß der maximal auftre-tende Wert von h ist. Dazu wird wieder die Verschiebung der optischen Achse ' in einer Ebene nach Transformation mit der Gouy-Phase ausgewertet: = = cos( ) sin( ) ,, + sin( ) , ,,

= cos( ) sin( ) ,, 1 ( )( ) ,, sin( ) , ( )( ) , ,, = cos( ) 1 ,, ( )( ) sin( ) ,, + ( )( )

mit = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 8.85

Daraus folgt für die Empfindlichkeit in einer Ebene nach Transformation mit Gouy-Phase : ( ) = cos( ) 1 ,, ( )( ) sin( ) ,, + ( )( ) = cos( ) 1 ,, ( )( ) sin( ) ,, + ( )( ) Gl. 8.86

Anders als bei der Empfindlichkeit gegen Verkippung (Gl. 8.70) hängt die Gouy-Phase zur Transforma-tion zu minimalem oder maximalem h also nicht nur vom Gouy-Parameter sondern auch vom -Para-meter ab. h verschwindet für folgende Gouy-Phase:

( ) = 0 = arctan ( ) ,, [ ( )][ ( )] ,, ( ) Gl. 8.87

Die Gouy-Phase für maximales (extremales) h und der Maximalwert lauten:

( ) = 0 = arctan [ ( )] ,, ( )( ) ,, [ ( )]

, = ( ) mit = ,

Gl. 8.88

Der aus dieser Herleitung folgende Ausdruck für , ist etwas länglich und enthält Vorzeichensprün-ge (bei Werten von , die vom -Parameter abhängen). Das entscheidende Maß für die Empfindlich-keit ist der oben angegebene maximale Betrag von h. Die Empfindlichkeit ist umgekehrt proportional zum Taillenradius 0. Die Abhängigkeit der Empfindlichkeit vom Gouy-Parameter hat die gleiche Ge-stalt wie bei der Empfindlichkeit gegen Verkippung (Gl. 8.73). Für = ist sie am kleinsten und nimmt dann den Wert , = 1 (2 ) an. Diese Empfindlichkeit ist (genau wie bei der Empfindlich-keit gegen Verkippung) nur halb so groß wie die Empfindlichkeit bei der freien Propagation (Gl. 8.79).

Alternativ kann die Resonatorempfindlichkeit gegen seitliche Verschiebung auch über eine Transforma-tion in den Winkelraum und Benutzung der Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung (Gl. 8.70) hergeleitet werden, die dazu in einer normierten Form angegeben werden: ( ) = = cos( ) ( )( ) + sin( ) Gl. 8.89


180

Die normierte Verschiebung = entspricht im Winkelraum einer normierten Verkippung gemäß = (Gl. 8.82). Die normierte Resonatorempfindlichkeit gegen seitliche Verschiebung kann daher auf die normierte Resonatorempfindlichkeit gegen Verkippung zurückgeführt werden, wobei für die Gouy-Phase für die Propagation ab der Ebene die Störung die Gouy-Phase abgezogen werden muss, die bei der Transformation in den Winkelraum aufgesammelt wird (Gl. 2.36). ( ) = = ( ) = cos( ) ( )( ) + sin( ) Gl. 8.90

Für die Resonatorempfindlichkeit gegen seitliche Verschiebung bedeutet das: ( ) = cos( ) ( )( ) + sin( ) mit = arctan ,, ( ) = sin + arctan ,, ( )( ) cos + arctan ,, Gl. 8.91

Für die maximale Empfindlichkeit gilt: ( ) = 0 = arctan ,, und , = ( ) Gl. 8.92

Da arctan , , = arctan , , die Gouy-Phase für die Propagation von der Strahltaille zur Ebene mit den Strahlparametern , , , bzw. , , , ist, in der die Verschiebung aufgeprägt und ab der die Phase gerechnet wird, kann man auch sagen, die Ebene der maximalen Empfindlichkeit befin-det sich im Abstand 2 2 von der Strahltaille.

Der aus der Verschiebung resultierende Überlapp für die Grundmode ist: = exp , = exp ( ) = exp ( )

mit = 1 ( )( ) ,, , = ( )( ) , Gl. 8.93

Die Empfindlichkeit eines Resonators gegen seitliche Verschiebung des Strahls hängt also vom Taillen-radius 0 der Kaustik am Ort der Verschiebung (äquivalent: von der Rayleighlänge = 0

2/2) und vom Gouy-Parameter des Resonators ab. Der Überlapp lautet als Funktion der auf den Taillenradius normierten Verschiebung: = exp ( ) = exp ( ) mit = Gl. 8.94

Als Funktion der normierten Störung sind der Überlapp für eine Verkippung und für eine Verschiebung identisch.

Eine seitliche Verschiebung des Strahls ergibt sich bspw. bei Verkippung eines optischen Elements in Transmission oder wenn ein Spiegel, der unter einem Einfallswinkel getroffen wird, in Richtung der Oberflächennormale verschoben wird, um die Resonatorlänge zu ändern. Eine Verschiebung des Spie-gels um (Änderung der Resonatorlänge = 2 ) ergibt dabei eine Verschiebung des Strahls um

= sin( ). Der resultierende Überlapp lautet: = exp ( ) = exp ( ) sin ( ) Gl. 8.95

Zusätzlich ist die Wirkung der longitudinalen Verschiebung (siehe unten) zu beachten.

Empfindlichkeit gegen Brechkraft

Eine zusätzliche Brechkraft = 1/ (Brennweite ) kann bspw. durch die Wirkung einer thermischen Linse, durch die Verbiegung eines Spiegels oder bei der Änderung des Einfallswinkels auf einem ge-krümmten Spiegel entstehen.

Anhang

181

Zunächst soll die Auswirkung einer Brechkraft auf einen Strahl bei freier Propagation untersucht wer-den. Analog zur Empfindlichkeit gegen eine Verkippung oder Verschiebung soll hier eine Empfind-lichkeit ² eingeführt werden, die die relative Änderung des quadratischen Strahlradius durch die Stö-rung angibt. Da die Brechkraft nur die Krümmung der Phasenfront, nicht aber den Strahlradius verän-dert, ist die Empfindlichkeit am Ort der Aufprägung der Brechkraft gleich eins: , = = = 1 mit = , = Gl. 8.96

Die Tilde markiert die Strahlparameter nach Aufprägung der Störung. Mit der Propagation wirkt sich die veränderte Krümmung der Phasenfront auf den Strahlradius aus, und die Empfindlichkeit nimmt andere Werte an. Um das auszuwerten, soll der Strahl durch ein optisches System mit Strahltransfer-matrix transformiert werden, das die Strahlparameter des ungestörten Strahls unverändert lässt und dabei die akkumulierte Gouy-Phase variiert. Für die Transformation der gestörten Strahlparameter durch das optische System wird Gl. 8.27 benutzt. Die transformierten Parameter sind durch einen Strich ge-kennzeichnet. Als Funktion der Gouy-Phase lautet die Empfindlichkeit: , ( ) = ( ) = ( ) = = cos( ) sin( ) + sin( ) ( ) + sin ( ) = 1 2 cos( ) sin( ) + sin ( ) = 1 sin(2 ) + [1 cos(2 )]

mit = , = , =

und = = cos( ) sin( ) sin( )sin( ) cos( ) + sin( )

Gl. 8.97

Dabei wurde eingeführt als die Brechkraft bezogen auf den Parameter . Der gestörte quadratische Strahlradius oszilliert sinusförmig um einen Wert, der gegenüber dem ungestörten quadratischen Strahl-radius leicht erhöht ist. Die Empfindlichkeit weist folgende Maxima mit der Gouy-Phase auf:

, ( ) = 0 ,2, = 1 ± + ( 2) für = , , , + + ( ) Gl. 8.98

Die Änderung des Strahlradius verschwindet für folgende Gouy-Phasen: , = 1 für = 0, + arctan , , + arctan Gl. 8.99

Die Aufprägung einer Brechkraft wirkt sich auf den Strahlradius in den Bildebenen ( = , 2 ) nicht aus; auch bei Transformation ins Fernfeld von der Ebene der Aufprägung ( = /2, 3 /2) verschwindet die Änderung des Strahlradius in erster Näherung. Sie ist maximal in den Ebenen dazwischen, mit =

/4, 3 /4, 5 /4, 7 /4.

Der Überlapp 1/ zwischen Grundmoden mit unterschiedlichen Strahlparametern , lautet: = , , , , , , , , 2 = , ,, , , ,

mit ( , , ) = exp exp Gl. 8.100

Die Integration erfolgt 2-dimensional, d.h. für die Berechnung des Überlapps wird eine rotationssym-metrische Brechkraft und gleiche Wirkung in beiden transversalen Richtungen angenommen. Das muss nicht so sein; ggf. sind die transversalen Richtungen getrennt zu betrachten und jeweils die Wurzel des hier angegebenen Überlapps zu nehmen.


182

Für den Überlapp zwischen einer Grundmode mit und ohne Aufprägung einer Brechkraft ergibt das: = = = = mit = , = Gl. 8.101

Wenn eine zusätzliche Brechkraft in einer Resonatorebene aufgeprägt wird, ändern sich die Eigen-Para-meter des Resonators. Dies kann wie folgt ausgewertet werden: cos sin ,, sin ,sin , ,, cos + sin ,,

= 1 01 cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 8.102

Da die Wirkung einer Linse auf einen Strahl von dessen Strahlradius abhängt, wird die Darstellung des Resonators über den inversen -Parameter mit = / 2 gewählt (Gl. 2.66). Die neuen Eigen-Parameter sind mit einer Tilde gekennzeichnet und lauten:

, = , 1 + , cot( ) , = , 1 + cot( )

, = , = , , cos = cos( ) sin( ) = cos( ) sin( ) = signum( ) arccos cos( ) sin( ) mit = ,

Gl. 8.103

Die Krümmung der Phasenfront ändert sich um die halbe Brechkraft. Die relative Änderung des Strahl-radius und die Änderung des Gouy-Parameters hängen allein von der normierten Brechkraft und dem Gouy-Parameter ab. Für eine positive/fokussierende Brechkraft ( > 0) wird der Gouy-Parameter grö-ßer, für eine negative/defokussierende Brechkraft ( < 0) wird er kleiner.

Am Ort der Aufprägung der Brechkraft lautet die Resonatorempfindlichkeit: = ,, = ( ) Gl. 8.104

Um auszuwerten, in welcher Ebene entlang der Propagation die Änderung des Strahlradius am größten ist, werden die Strahlparameter mittels der Strahltransfermatrix so transformiert, dass eine Gouy-Phase aufgesammelt und dabei der ungestörte -Parameter unverändert gelassen wird. Dabei ändert sich der gestörte -Parameter und die Empfindlichkeit lautet als Funktion der Gouy-Phase (unter Benut-zung von Gl. 8.27): ( ) = ( ) = ,, ( ) = , , ,,

= ,, cos( ) sin( ) ,, + sin( ) , , + sin ( ) , ,

= ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ( ))( )

Gl. 8.105

Anhang

183

mit = = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

Die Änderung des Strahlradius ist maximal in der Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab der Störung (sowie deren Bildebene, falls sie innerhalb eines Resonatorumlaufs liegt), wie schon bei der Empfindlichkeit gegen Verkippung. Hinzu kommen hier die Fernfelder dieser Ebenen: ( ) = 0 = + 0, , ,

, = ( )( ) ± ( )( )± Gl. 8.106

Die Änderung des Strahlradius verschwindet näherungsweise in den Ebenen zwischen den Ebenen der maximalen Empfindlichkeit: = 1 für + , ( ) , + , + ( ) Gl. 8.107

Die Empfindlichkeit über der Gouy-Phase ist dargestellt in Abb. 8.2. Der Überlapp einer Grundmode mit und ohne Störung des Resonators lautet (Einsetzen von Gl. 8.103 in Gl. 8.100): = , ,, , , , = ( ) ( ) ( ) Gl. 8.108

Dieser Überlapp hängt nur von der normierten Brechkraft und vom Gouy-Parameter des Resonators ab. Besonders empfindlich ist der Resonator nahe bei Vielfachen von . Der Überlapp hängt (im Gegen-satz zur Störung der Strahlachse) auch vom Vorzeichen der Störung ab. Besonders empfindlich ist der Resonator gegenüber einer Störung, die ihn näher an den Stabilitätsrand bringt. Eine einfache Entwick-lung des Überlapps nach der normierten Störung würde diesen Unterschied an den Stabilitätsrändern vernachlässigen. Eine gute Näherung kann angegeben werden, wenn der Gouy-Parameter um die halbe normierte Störung verschoben wird: = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) Gl. 8.109

Die Näherung für die max. Empfindlichkeit (Gl. 8.106) erhält man, wenn man diese Näherung mit dem Überlapp gleichsetzt, der sich für zwei unterschiedliche Strahlradien (bei gleicher Phasenfront) ergibt: = , ,, , = = = 1 ( ) = ( )( )± Gl. 8.110

Empfindlichkeit gegen longitudinale Verschiebung

Eine longitudinale Verschiebung meint die Veränderung einer Propagationslänge, bspw. durch Ver-schiebung eines Spiegels. Zunächst sei wieder die Auswirkung der Störung bei der freien Propagation untersucht. Die Empfindlichkeit lautet am Ort der Störung: , ( ) = = = =

= = mit = + , = und = Gl. 8.111

Dabei wurde eingeführt als longitudinale Verschiebung bezogen auf die Rayleighlänge .

Eine longitudinale Verschiebung in einer Ebene entspricht der Aufprägung einer Brechkraft in einer Ebene, die als Abbildung des Winkelraums mit Strahltransfermatrix (mit beliebiger Brennweite ) mit der ersten Ebene verknüpft ist. Die Abbildung des Winkelraums transformiert in solcher Weise die longitudinale Verschiebung auf die Krümmung der Phasenfront und die Rayleighlänge auf den


184

Strahlradius (bzw. den Parameter = 2/( ²)), dass die normierten Störungen identisch sind (in den Winkelraum transformierte Größen sind mit einem Strich gekennzeichnet): = = , = mit = 01 0

,, = = = = 1, = + = = = = = =

Gl. 8.112

Die bei der Transformation in den Winkelraum aufgesammelte Gouy-Phase ist (vgl. Gl. 2.36): = arctan = arctan mit = 01 0 Gl. 8.113

Um die Empfindlichkeit gegen eine longitudinale Verschiebung als Funktion der Gouy-Phase und damit die maximale und minimale Empfindlichkeit auszuwerten, kann also in den Winkelraum transformiert und dann das Ergebnis für die Empfindlichkeit gegen Aufprägung einer Brechkraft (Gl. 8.97) benutzt werden: , ( ) = , ( ) = 1 sin(2 2 ) + [1 cos(2 2 )]

mit = arctan

, ( ) = 1 + sin 2 + 2arctan + 1 + cos 2 + 2arctan

Gl. 8.114

Für die maximale Empfindlichkeit gilt: , = 0 ,, = 1 ± + ( ) für = , , , arctan + + ( ) Gl. 8.115

Die Änderung des Strahlradius verschwindet für folgende Gouy-Parameter: , = 1 für = arctan , , + arctan , arctan Gl. 8.116

In welchen Ebenen sich die longitudinale Verschiebung wie stark auf den Strahlradius auswirkt, hängt also neben der Gouy-Phase über ‘ auch vom -Parameter ab. Die maximale Empfindlichkeit ist aber unabhängig davon und nur durch die normierte Störung gegeben.

Der Überlapp zwischen zwei Grundmoden mit unterschiedlichen Strahlparametern , lautet: = , , , , , , , , 2 = , ,, , , ,

mit , , = exp exp Gl. 8.117

Wie im Fall der Brechkraft erfolgt die Integration hier wieder 2-dimensional, d.h. es wird angenommen, dass die Störung in beiden transversalen Richtungen die gleiche ist. Zwar ist die longitudinale Verschie-bung unabhängig von der transversalen Richtung (während eine Brechkraft unterschiedlich sein kann), aber die normierte Verschiebung kann sich bei unterschiedlichen Strahlparametern unterscheiden. Ggf. muss für beide transversale Richtungen getrennt die Wurzel des Überlapps benutzt werden.

Der Überlapp einer Grundmode mit und ohne longitudinale Verschiebung lautet damit:

Anhang

185

= ( ) = = mit = + , = und = Gl. 8.118

Eine longitudinale Verschiebung, d.h. zusätzliche Propagation um die Strecke in einer Ebene des Re-sonators ergibt eine Änderung der Eigen-Parameter des Resonators. Dies kann wie folgt ausgewertet werden: cos sin ,, sin , ,,sin , cos + sin ,,

= 10 1 cos( ) sin( ) ,, sin( ) , ,,sin( ) , cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 8.119

Da die Wirkung der Verschiebung auf einen Strahl von dessen Rayleighlänge abhängt, wird die Dar-stellung des Resonators über den -Parameter gewählt (Gl. 2.83).

Die neuen Eigen-Parameter lauten:

, = , 1 + , cot( ) , = , 1 + cot( )

, = , + = , + , cos = cos( ) , sin( ) = cos( ) sin( ) = signum( ) arccos cos( ) sin( ) mit = ,

Gl. 8.120

Der Abstand zur Strahltaille , ändert sich um die halbe Verschiebung . Die relative Änderung der Rayleighlänge , ist durch die normierte Störung und den Gouy-Parameter bestimmt. Ob die Ra-yleighlänge größer oder kleiner wird, hängt vom Vorzeichen von und vom Gouy-Parameter ab. Für positives (negatives) , d.h. eine Verlängerung (Verkürzung) des Resonators, wird der Gouy-Parameter größer (kleiner).

Die Resonatorempfindlichkeit lautet in der Ebene der Verschiebung: = , , ,, , , = , , ,, , , = , , ( ) , ,( ) , , Gl. 8.121

Diese Empfindlichkeit hängt neben dem Gouy-Parameter und der normierten Störung auch vom -Parameter ( , , ) ab. Um die Empfindlichkeit als Funktion der Gouy-Phase und damit die maxi-

male Empfindlichkeit auszuwerten, soll wie für die freie Propagation (Gl. 8.112) in den Winkelraum transformiert und dann das Ergebnis für die Resonatorempfindlichkeit gegen Aufprägung einer Brech-kraft (Gl. 8.105) benutzt werden: ( ) = ( ) = ( ) ( )( ( ))( )

mit = arctan Gl. 8.122

Die Resonatorempfindlichkeit ist maximal in der Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab der Strahltaille, deren Bildebene und Fernfeld: ( ) = 0 , = ( )( ) ± ( )( )± Gl. 8.123


186

für + arctan ,, = + 0, , ,

Die Änderung des Strahlradius verschwindet näherungsweise in den Ebenen dazwischen: = 1 für + arctan ,, + , ( ) , + , +( ) Gl. 8.124

Einsetzen von Gl. 8.120 in Gl. 8.117 ergibt für den Überlapp für eine Grundmode mit und ohne lon-gitudinale Verschiebung in einem Resonator: = , ,, , , , = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) Gl. 8.125

Der Überlapp hat die gleiche Abhängigkeit von normierter Störung und Gouy-Parameter wie in der Situation einer Brechkraft und es kann die gleiche Näherung gemacht werden (Gl. 8.109).

Eine longitudinale Verschiebung entsteht durch die Änderung von Spiegelabständen. Wenn ein Plan-spiegel verschoben wird, verkürzt oder verlängert sich dabei ein Abschnitt im Resonator, der durch eine Kaustik mit einer Rayleighlänge beschrieben wird. Wenn hingegen ein gekrümmter Spiegel verschoben wird, ergibt das gleichzeitig eine longitudinale Verschiebung in zwei Abschnitten mit unterschiedlichen Kaustiken und (möglicherweise) unterschiedlichen Rayleighlängen. Das ist ggf. bei der Anwendung der obigen Gleichungen zu beachten.

Zusammenfassung der Empfindlichkeiten

Im Folgenden werden die Empfindlichkeiten eines Strahls bei der freien Propagation gegen die elemen-taren Störungen zusammengefasst. Angegeben ist die Empfindlichkeit als Funktion der Gouy-Phase für die Propagation ab der Ebene der Störung, dazu die maximale Empfindlichkeit und die Ebenen deren Auftretens, sowie die Ebenen der verschwindenden Empfindlichkeit ( = 0 bzw. ² = 1). Die Empfind-lichkeit in der Ebene der Aufprägung kann für = 0 abgelesen werden.

Die Empfindlichkeit eines Strahls mit Strahlradius und Strahlparameterprodukt gegen die Ver-kippung eines Spiegels um den Winkel , d.h. Aufprägung eines Winkels 2 lautet: ( ) = 2 sin( )

maximal = 2 für = , (Fernfeld der Ebene der Störung)

und = 0 für = 0, (Ebene der Störung und deren Bildebene)

Gl. 8.126

Die Empfindlichkeit eines Strahls mit Strahlradius = 1 + ½ und Taillenradius 0 gegen eine seitliche Verschiebung um die Strecke lautet: ( ) = cos( ) sin( ) maximal = für = arctan , arctan

(Ebene der Strahltaille und deren Bildebene)

und = 0 für = arctan , arctan (Fernfeld ab Strahltaille)

Gl. 8.127

Die Empfindlichkeit eines Strahls mit Strahlparameter , d.h. Strahlradius = ( )½ gegen Auf-prägung einer Brechkraft (entsprechend einer Brennweite = 1 ) lautet: , ( ) 22 = 1 sin(2 ) + [1 cos(2 )] mit = Gl. 8.128

Anhang

187

maximal , = 1 ± + ( ) für = , , , + + ( )

(näherungsweise die Ebenen zwischen Nah- und Fernfeld ab Ebene der Störung)

und , = 1 für = 0, + arctan , , + arctan

(Ebene der Störung, deren Bildebene und näherungsweise Fernfeld der Ebene der Störung)

Die Empfindlichkeit eines Strahls mit Rayleighlänge und Abstand von der Strahltaille gegen eine longitudinale Verschiebung um die Strecke , d.h. die Veränderung einer Propagationslänge lautet: , ( ) 22 = 1 + sin 2 + 2 arctan + 1 + cos 2 + 2 arctan mit =

maximal , = 1 ± + ( ) für = , , , arctan + + ( )

(näherungsweise die Ebenen zwischen Nah- und Fernfeld ab Strahltaille)

und , = 1 für = arctan , , + arctan , arctan

(Fernfeld ab Strahltaille und näherungsweise Strahltaille und deren Bildebene)

Gl. 8.129

Im Folgenden werden die Resonatorempfindlichkeiten gegen die elementaren Störungen zusammenge-fasst. Angegeben ist die Empfindlichkeit als Funktion der Gouy-Phase für die Propagation ab der Ebene der Störung, dazu die maximale Empfindlichkeit und die Ebenen deren Auftretens, sowie die Ebenen der verschwindenden Empfindlichkeit ( = 0 bzw. ² = 1). Die Resonatorempfindlichkeit in der Ebene der Aufprägung kann für = 0 abgelesen werden. Für Ebenen im Resonator gilt 0 < < ; Ebenen maximaler oder verschwindender Empfindlichkeit kommen daher (abhängig vom Gouy-Parameter) ggf. im Resonator nicht vor.

Die Resonatorempfindlichkeit eines Resonators mit Gouy-Parameter gegen Verkippung in einer Ebene mit Strahlradius der Eigenmode (und Strahlparameterprodukt ) lautet: ( ) = cos( ) ( )( ) + sin( )

maximal = ( ) für = , +

(Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab Störung und deren Bildebene)

und = 0 für = + , + (Fernfeld der obigen Ebenen)

Gl. 8.130

Für einen linearen Resonator wird die Ebene maximaler Empfindlichkeit nach einem halben Resonator-umlauf erreicht; bei Verkippung eines Endspiegels ist das der gegenüberliegende Endspiegel.

Die Resonatorempfindlichkeit eines Resonators mit Gouy-Parameter gegen eine seitliche Verschie-bung in einem Resonatorabschnitt mit Taillenradius der Eigenmode 0 lautet: ( ) = sin + arctan ,, ( )( ) cos + arctan ,,

maximal | | = ( ) für = ± arctan ,,

(Fernfeld der Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab Strahltaille)

und = 0 für + arctan ,, = , +

(Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab Strahltaille und deren Bildebene)

Gl. 8.131

Der Resonatorabschnitt muss die Strahltaille nicht enthalten. Der Eigen- -parameter am Ort der Störung legt unabhängig davon über 0 = ( · , )½ einen Taillenradius fest, auf den die seitliche Verschie-


188

bung zu beziehen ist. Der Parameter , gibt den Abstand der Ebene der Störung ab der (möglicher-weise virtuellen) Taillenebene an. (arctan( , / , ) ist die Gouy-Phase für die Propagation von der Taillenebene zur Ebene der Störung.)

Die Resonatorempfindlichkeit eines Resonators mit Gouy-Parameter gegen Aufprägung einer Brech-kraft in einer Ebene mit Strahlparameter , , d.h. Strahlradius der Eigenmode = , ½ lautet: ( ) = ( ) ( )[ ( )]( )

maximal = ( )( ) ± ( )( )± für = + 0, , , Gl. 8.132 (Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab Störung, deren Bildebene und Fernfeld)

und = 1 für + , ( ) , + , + ( ) (näherungsweise Ebenen zwischen den obigen Ebenen)

Die Resonatorempfindlichkeit eines Resonators mit Gouy-Parameter gegen eine longitudinale Ver-schiebung in einem Resonatorabschnitt mit Rayleighlänge der Eigenmode , lautet: ( ) = arctan , , ( ) arctan , ,( ) Gl. 8.133

maximal = ( )( ) ± ( )( )± für + arctan ,, = + 0, , ,

(Ebene im Abstand des halben Gouy-Parameters ab Strahltaille, deren Bildebene und Fernfeld)

und = 1 für + arctan ,, + , ( ) , + , + ( ) (näherungsweise Ebenen zwischen den obigen Ebenen)

Abb. 8.2: Resonatorempfindlichkeiten gegen Verkippung (blau) und gegen Aufprägen einer Brechkraft ² (rot) über der Gouy-Phase in einem Resonator. Die Ebene der Aufprägung der Störung ist = 0. Zum Vergleich sind die Empfindlichkeiten bei der freien Propagation als gestrichelte Linien gezeichnet. Im Bild ist = 3 /2 und

= = 0,2. Die Ebenen der maximalen Ausprägung der Störung liegen im Abstand = /2 = 3 /4, also im Abstand eines halben Resonatorumlaufs; für den Fall der Brechkraft zusätzlich in den Fernfeldern dieser Ebene (Abstand ± /2).

2,

0,2

0 5 /4/2

1

1,2

0/4 7 /4 2

0,8

0,6

0,4

-0,2

-0,4

3 /23 /4

Anhang

189

Kopplungskoeffizienten für transversale Moden

Ein Gaußscher Strahl mit verkippter oder seitlich verschobener Strahlachse kann nach den -Moden zur ungestörten Strahlachse entwickelt werden. Die Entwicklungskoeffizienten können als Kopplungs-koeffizienten aufgrund der Störung betrachtet werden. In erster Näherung wird die Verkippung oder Verschiebung durch einen Beitrag der , -Mode beschrieben. Der Kopplungskoeffizient bei Verkip-pung um den Winkel und Verschiebung um die Strecke lautet: ( ) = ( ) exp( ) ( ) = exp

= exp , = ( ) = ( ) ( ) = exp arctan exp

= exp( ) exp exp( ) , = , = arctan = arctan mit ( ) = ! 2 exp exp

Gl. 8.134

Für eine Verkippung ist der Kopplungskoeffizient imaginär. Für eine seitliche Verschiebung in der Tail-lenebene ist der Kopplungskoeffizient reell; wird die Verschiebung in einer Ebene in einem Abstand von der Taille betrachtet, muss die Gouy-Phase für die Propagation ab der Taillenebene hinzuge-nommen werden, die die relative Phase von Grundmode und , -Mode bei der Propagation angibt.

Die Aufprägung einer Brechkraft wird für eine Störung in einer transversalen Richtung in erster Nähe-rung durch einen Beitrag der , -Mode beschrieben.160 Der Kopplungskoeffizient lautet: ( ) = ( ) exp ( ) = ( ) = ( ) , =

mit ( ) = ! 2 exp exp , = Gl. 8.135

Für einen rotationssymmetrischen Strahl und Störung wird die Brechkraft in erster Näherung durch einen Beitrag der -Mode beschrieben. Der Kopplungskoeffizient lautet: ( ) = ( ) exp ( )2 = ( ) = ( ) , =

mit ( ) = 2 exp exp , = Gl. 8.136

Die Kopplungskoeffizienten sind also (in erster Näherung) durch die normierten Störungen gegeben, teils mit einem numerischen Vorfaktor und mit einer Phase, die von der Art der Störung abhängt.

160 Während Verkippung und transversale Verschiebung, die durch eine Transformation in den Winkelraum mit-

einander verknüpft sind, durch einen Beitrag der 1,0-Mode mit imaginärem und reellen Koeffizienten be-schrieben werden, gilt dies nicht analog für die Koeffizienten der 2,0-Mode bei Aufprägung einer Brechkraft und longitudinaler Verschiebung, die ebenfalls durch eine Transformation in der Winkelraum miteinander ver-knüpft sind. Ein imaginärer Koeffizient beschreibt in erster Näherung eine geänderte Krümmung der Phasen-front (Aufprägung einer Brechkraft), ein reeller Koeffizient beschreibt aber einen geänderten Strahlradius, wie er als Folge des geänderten Phasenfront schon nach einer Propagation um = /4 maximal wird. Eine lon-gitudinale Verschiebung beinhaltet gleichzeitig eine Änderung des Krümmungsradius und (abhängig vom

-Parameter) des Strahlradius. In erster Näherung wird die longitudinale Verschiebung ebenfalls durch einen imaginären Koeffizienten beschrieben: 1 = 2-3/2 . Die 2,0-Mode sammelt bei der Transformation in den Winkelraum gegenüber der Grundmode (abhängig vom -Parameter) eine Phase von ~ auf, was das gegen-über 1 = - 2-3/2 umgekehrte Vorzeichen ergibt.


190

8.1.10 Thermische Linse in Spiegeln

Die Absorption in der Beschichtung eines Spiegels führt zur Erwärmung und Verbiegung des Spiegels und damit zu einer (defokussierenden) Linsenwirkung. Die Stärke der thermischen Linse kann folgen-dermaßen abgeschätzt werden [55]. Die absorbierte Leistung diffundiert in das Substratmaterial und es stellt sich eine Temperaturverteilung ein mit einer Temperaturerhöhung auf der Oberfläche und Strahlachse. Näherungsweise wird die Umgebungstemperatur im Substrat auf einer Halbkugel mit Ra-dius gleich dem Strahlradius , d.h. mit Oberfläche erreicht: = grad( ) = 2 mit = 2 = Gl. 8.137

Dabei ist die Wärmeleitfähigkeit des Substratmaterials. Die Deformation der Spiegeloberfläche auf der Strahlachse ist durch die Tiefe und mittlere Temperaturerhöhung der Temperaturverteilung zusam-men mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Substratmaterials gegeben: = = Gl. 8.138

Die (normierte) Stärke der Linse ist durch die Phasendifferenz zwischen Strahlachse und Rand des Strahls gegeben und lautet mit der Wellenzahl (Faktor 2 für Reflexion am Spiegel): = = 2 = Gl. 8.139

Die Störung ist also (in dieser Näherung) unabhängig vom Strahlradius auf dem Spiegel. Sie hängt von Materialparametern des Spiegelsubstrats, der Absorption des Spiegelbeschichtung und der Leistung ab. Für ein elliptisches Strahlprofil mit Strahlradien und ist die Tiefe der Temperaturverteilung nähe-rungsweise durch den kleineren Strahlradius bestimmt (hier als angenommen): = grad( ) = 2 mit = 2 = = = = 2 = =

Gl. 8.140

Die Stärke der Störung kann also um das Aspektverhältnis des Profils reduziert werden. Die (normierte) Stärke der Störung ist für beide transversale Richtungen die gleiche; die dieser Stärke ent-sprechende Brennweite ist unterschiedlich mit jeweils 1 = 2 1 . Die Situation ist ähnlich der Reduzierung der thermischen Effekte über das Aspektverhältnis des Verstärkungsvolumens in ei-nem Innoslab-Verstärker [38].

FEM-Simulationen der Wärmeleitung und -ausdehnung ergeben für Quarzglas und ein Gaußförmiges Strahlprofil einen Vorfaktor von 0,1 statt des Faktors 1/2 nach diesem einfachen Modell [56].161 Für Spiegel aus Quarzglas lautet die (normierte) Störung durch die thermische Linse pro Reflex: = = 0,1 = 0,24 = 1,2 mit =

wobei = 0, 10 , = 1,38 für Quarzglas, bspw. = und = 2 1030

Gl. 8.141

Durch Substratmaterialien mit einem kleineren Verhältnis / von thermischen Ausdehnungskoeffi-zienten und Wärmeleitfähigkeit kann eine kleinere Störung erreicht werden. Dazu ist ULE (ultra-low expansion glass) mit einem kleineren thermischen Ausdehnungskoeffizienten geeignet, das allerdings keine optische Qualität in Transmission erlaubt und daher nicht für Einkoppelspiegel eingesetzt werden kann (thermische Linse ca. eine Größenordnung geringer als für Quarzglas [56]), sowie Saphir oder

161 Rechnungen zur Linsenwirkung von anderen transversalen Moden sind zu finden in [151].

Anhang

191

YAG mit einer größeren Wärmeleitfähigkeit, für das allerdings eine schlechtere Oberflächenqualität erreichbar ist.

Für einen quasi-abbildenden Resonator in der Stabilitätsmitte ( = 2 oder = 3 2) ist die Ände-rung des Gouy-Parameters durch die halbe Störung gegeben. Die Änderung des Gouy-Parameters, d.h. Verstimmung der Entartung, kann durch eine Längenänderung ausgeglichen werden: = und = = , = , Gl. 8.142

Dies ist die Längenänderung , die zur Kompensation pro Spiegel mit thermischer Linse erforderlich ist.

Thermische Linsen können nicht nur bei Reflexion an durch thermische Ausdehnung ausgebeulten Spiegeln entstehen sondern auch bei Transmission durch ein optisches Element. Angenommen der Strahl heizt das Volumen gleichmäßig, das durch seinen Strahldurchmesser 2 und die Dicke des Elements gegeben ist. Die Heizleistungsdichte sei als konstant über diesem Zylinder-förmigen Volumen angenommen. Wenn Wärmeleitung (oder Strahlung) über die Stirnflächen vernachlässigbar ist, wird die Wärme radial abgeleitet, was durch die radiale Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird (Wärmeleitfähigkeit ): ( ) + ( ) = = ( ) = = für <

Gl. 8.143

Die Temperatur fällt quadratisch von einem Maximalwert auf der Strahlachse ab, wobei die Krümmung durch die Heizleistungsdichte und die Wärmeleitfähigkeit gegeben ist. Die Temperaturdifferenz der Strahlachse und dem Rand des Strahls lautet: = (0) ( ) = Gl. 8.144

Daraus folgt für die Stärke der Linse: = = = = mit = Gl. 8.145

Dabei ist der thermo-optische Koeffizient, der die Effekte durch die Temperaturabhängigkeit des Bre-chungsindex / sowie thermische Ausbeulung und thermisch-induzierte Spannung zusammenfasst [152]. Wenn die Heizleistung nicht gleichmäßig über der Dicke des Elements verteilt ist, weil bspw. nicht das Volumen sondern die Oberfläche/Beschichtung absorbiert, tritt zusätzlich Wärmeleitung in Strahlrichtung auf. Solange die Wärme aber letztlich radial (also nicht über die Stirnflächen) abgeführt wird, ändert das die Abschätzung der Stärke der Linse nicht.

Die Stärke der Linse ist unabhängig vom Strahlradius. Für eine gegebene absorbierte Leistung ist sie auch unabhängig von der Dicke des Elements. Das ist der Fall, wenn die Absorption in der Oberflä-che/Beschichtung dominierend ist (oder wenn im Fall eines Laserkristalls die Dotierung an die Länge angepasst wird, um die Pumpleistung im Kristall vollständig zu absorbieren). Wenn die absorbierte Leistung durch die Absorption im Volumen mit einem festen Absorptionskoeffizienten entsteht, wächst die Stärke der Linse mit der Dicke (bei gegebener einfallender Leistung). Die Linse ist für den üblichen Fall eines positiven thermo-optischen Koeffizienten fokussierend.

Für ein optisches Element aus Quarzglas lautet die thermische Linse in Transmission: = = = 4

wobei = 11 10 , = 1,38 für Quarzglas und = 2 1030 Gl. 8.146

Diese Linse in Transmission ist für ein Element aus Quarzglas also bei gleicher absorbierter Leistung ca. 17-mal stärker als eine Linse bei Reflexion (Gl. 8.141).


192

8.1.11 Überhöhungsresonator mit verlustbehaftetem Einkoppler

Für den Fall, dass der Einkoppelspiegel verlustbehaftet ist, müssen die in Kapitel 2.2.3 angegebenen Gleichungen modifiziert werden. Es sei der Verlustfaktor des Einkoppelspiegels. Für das zirkulie-rende Feld gilt (unverändert): exp( ) + = = ( ) mit = , = , =

Gl. 8.147

Überhöhung , reflektiertes Feld , Reflexion und Einkopplung lauten: ( ) = = ( ) = ( ) , =

= + exp( ) = ( )( ) = ( )( )

( ) = = ( )( ) , = =

= 1 = = ( ) ( )

Gl. 8.148

Daraus folgt für den Verlustfaktor: = ( ) oder = 1 ( ) Gl. 8.149

Es gibt also eine kleine Korrektur gegenüber Gl. 2.124. Für den Fall eines unvollständigen räumlichen Überlapps lauten die Gleichungen: = 1 ( ) und =

mit = , = und 1 = = + (1 ), = Gl. 8.150

Der Verlustfaktor hängt im Fall eines verlustbehafteten Einkopplers also auch vom räumlichen Über-lapp ab. Wenn der Verlustfaktor des Einkopplers bekannt ist, können der Verlustfaktor für einen Umlauf und der räumliche Überlapp aus Überhöhung und Einkopplung bestimmt werden.

8.1.12 Überhöhungsresonator im nicht-stationären Fall

Wenn eine gegebene Leistung im Resonator zirkuliert und das einfallende Feld ausgeschaltet wird, klingt die zirkulierende Leistung exponentiell ab. Das zirkulierende Feld zu einem Zeitpunkt und zu einem Zeitpunkt + 1 nach einem Resonatorumlauf sind durch den Amplituden-Verlustfaktor , den Reflexionskoeffizient des Einkopplers und die Umlaufphase miteinander verknüpft: = exp( ) Gl. 8.151 Das elektrische Feld kann nach Amplitude und Phase getrennt geschrieben werden: exp = exp( ) exp( ) = und = +

Gl. 8.152

Anhang

193

Die Phase des Felds entwickelt sich einfach gemäß der Umlaufphase. Die Entwicklung der Amplitude kann näherungsweise durch eine Differentialgleichung beschrieben werden, unter der Voraussetzung, dass sich das Feld bei einem Umlauf nicht zu stark ändert:162 + (1 ) = 0 mit der Umlaufzeit = + [1 ] = 0

Gl. 8.153

Daraus folgt für die Amplitude und für die Leistung : ( ) = (0) exp [1 ] ( ) = exp 2 1 = exp( 2 ) mit = = Gl. 8.154

Dabei wurde eine Abklingzeit eingeführt, die durch die Finesse und die Repetitionsrate des Resonators bestimmt ist und die Zeit angibt, nach der das elektrische Feld um den Faktor 1/ , also die Leistung um den Faktor 1/ ² abgeklungen ist.

Der Aufbau der zirkulierenden Leistung im Fall eines konstanten einfallenden Felds kann folgen-dermaßen beschrieben werden: = exp( ) + +1 + [1 exp( )] = + [1 exp( )] =

Gl. 8.155

Wieder ist die Beschreibung durch die Differenzialgleichung nur eine Näherung, die gültig ist, wenn sich das Feld bei einem Resonatorumlauf wenig ändert.163 Die Lösung lautet: ( ) = ( ) 1 exp [1 exp( )] für (0) = 0 ( ) = 1 exp [1 ] auf Resonanz = 0 Gl. 8.156( ) = 1 exp 1 = [1 exp( )] mit =

Dabei bezeichnet die Überhöhung im stationären Fall. Zeitkonstante für den Aufbau der Leistung im Resonator ist die oben eingeführte Abklingzeit , die in diesem Zusammenhang auch als Resonator-Aufbau-Zeit bezeichnet werden kann. Nach dieser Zeit ist 40% der Überhöhung im stationären Fall erreicht, nach der doppelten (dreifachen) Zeit 75% (90%).

162 Die daraus abgeleitete Abklingzeit ist daher auch nur in dieser Näherung gültig (d.h. für große Finesse). 163 Das ist für den Aufbau der zirkulierenden Leistung auf der Resonanz in guter Näherung gegeben. Wenn die

Frequenz der einfallenden Strahlung aber nicht auf einer Resonanz liegt, kommt es beim Aufbau zu Oszillatio-nen in der Leistung, die deutlich schneller als die Resonator-Aufbau-Zeit sind, so dass die Näherung ggf. nicht sehr gut ist.


194

8.1.13 Multipass-Zelle mit nicht-paraxialem Strahlengang

Für eine Multipass-Zelle nah am Stabilitätsrand ergeben sich aufgrund der großen Winkel des Strahlen-gangs unterschiedliche Abstände für die Spiegel auf der Resonatorachse (Resonatorlänge), für den Kreis von Reflexen und für aufeinander folgende Reflexe.

Abb. 8.3: Schematische Darstellung einer Multipass-Zelle zur Bedeutung der unterschiedlichen Abstände.

Es soll eine Multipass-Zelle aus zwei Spiegel mit Krümmungsradius im Abstand (gemessen auf der Resonatorachse) mit einem Kreis von Reflexen mir Radius betrachtet werden, siehe Abb. 8.3. Die Reflexe seien gleichmäßig auf dem Kreis angeordnet. Winkel und Abstände sind also für alle Reflexe gleich. Das Koordinatensystem sei so gelegt, dass ein Reflex auf dem linken Spiegel auf der -Achse liegt. Die beiden Reflexe auf dem gegenüberliegenden Spiegel, die der Strahl davor und danach durch-läuft, liegen dann bzgl. der -Achse auf gleicher Höhe. Die Projektion der sie verbindenden Strahlen in die - -Ebene ergibt einen Winkel mit der Resonatorachse: = arcsin Gl. 8.157

Auf dem rechten Spiegel liegen die beiden Reflexe unter einem Winkel gegen die -Achse auf dem Kreis von Reflexen, der durch den halben Gouy-Parameter gegeben ist (den Gouy-Parameter für einen halben Umlauf). Die Koordinate der Reflexe entlang der -Achse ist daher: = cos( 2) mit Gouy-Parameter für Pendeln (voller Resonatorumlauf) Gl. 8.158 Es sei ‘ der Abstand der Ebenen, in denen die Kreise von Reflexen liegen. Über diesem Abstand muss der Winkel die Strecke von = auf dem linken Spiegel bis = auf dem rechten Spiegel über-brücken. Daraus folgt für diesen Abstand: tan( ) = = ( ) tan( ) = 1 cos tan arcsin

= 1 cos = 1 1 cos Gl. 8.159

Der große Winkel des Strahlengangs für einen Kreis mit Radius erfordert also einen um den Faktor (1 – ²/ ²)½ korrigierten Abstand der Ebenen, in denen diese Kreise liegen (vgl. Gl. 2.80). Der Abstand der Spiegel gemessen auf der Resonatorachse (die Resonatorlänge) lautet:

½

Anhang

195

= + 2 mit = = 1 1

= 1 1 cos + 2 1 1 = 2 1 1 + cos Gl. 8.160

Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Reflexen kann durch den Abstand des Reflexes auf dem linken Spiegel mit Koordinaten [ , 0, 0] und den Reflex auf dem rechten Spiegel mit Koordinaten [ cos( 2), sin( 2), ‘] berechnet werden: = [ cos( 2)] + [ sin( 2)] + [ ] = [1 cos( 2)] + sin ( 2) + 1 [1 cos( 2)] = 1 cos 1 +

Gl. 8.161

Für nehmen alle drei Abstände ‘, und gleichermaßen den Wert [1 cos( 2)] an. Für große Werte von (große Divergenzwinkel des Strahlenbündels ) können sie sehr unterschiedlich sein wie in Abb. 8.4 dargestellt.

Der Strahl besitzt einen Einfallswinkel gegen die Oberflächennormale auf den Spiegeln in tangentialer Richtung; in Abb. 8.3 entspricht das der -Richtung. Der Winkel kann darüber abgelesen werden, dass der Strahl über dem Abstand ‘ die Strecke von = 0 auf dem linken Spiegel bis = sin( ‘ /2) auf dem rechten Spiegel überbrückt: = arcsin sin = arcsin tan( ) = + ( ) Gl. 8.162

Der Einfallswinkel hängt also vom Divergenzwinkel des Strahlenbündels und von der Lage im Stabili-tätsbereich ab. Für eine feste Länge und festen (nicht zu großen) Radius des Kreises von Reflexen lautet der Einfallswinkel als Funktion der Lage im Stabilitätsbereich: sin( 2) mit = arcsin arcsin 1 cos Gl. 8.163

Der Einfallswinkel der Strahlen gegen die Normale einer planen Fläche in der MPC lautet: = arctan 2 sin( 4) 2 sin( 4) = Gl. 8.164

Dies ist bspw. der Einfallswinkel für ein planes nichtlineares Element in der MPC und wird für die Spe-zifikation einer AR-Beschichtung und im Fall eines Kristalls zur Abschätzung des Winkels zwischen Strahlachse und Kristallachse benötigt.

Der Gouy-Parameter, der die Eigenmode beschreibt, ist durch den Abstand der Reflexe zusammen mit dem Krümmungsradius gegeben: = 2 arccos(1 ) Gouy-Parameter für Eigenmode (voller Resonatorumlauf) Gl. 8.165

Dabei ist der unterschiedliche effektive Krümmungsradius in tangentialer = cos( ) und radialer = /cos( ) Richtung aufgrund des endlichen Einfallswinkels nicht berücksichtigt, bzw. es ist da-von ausgegangen, dass die Eigenmode durch den mittleren Krümmungsradius gegeben ist. Beim Durchgang durch die MPC drehen sich die tangentiale und radiale Achse gegenüber der - und -Achse des Strahls. Strenggenommen ist damit die Voraussetzung von einfach astigmatischer Strahlung nicht mehr erfüllt. Die Abweichung der effektiven Krümmungsradien ist zumindest in der oberen Hälfte des Stabilitätsbereichs (insbesondere am oberen Stabilitätsrand) und bei nicht zu großem Divergenzwinkel des Strahlenbündels sehr klein: = cos ( ) = 1 + ( ) Gl. 8.166


196

bzw. = = ( )( ) ( )( ) = ( ) cos ( )

= ( )( ) ( ) cos ( ) = 3 ( )( ) + ( )

mit = arcsin tan( ) und = ( )( ) , =

Neben einem über den Abstand der Reflexe zusammen mit dem Krümmungsradius definierten Gouy-Parameter (Gl. 8.165) können auch Gouy-Parameter mit den effektiven Krümmungsradien in tangentialer und radialer Richtung definiert und deren Abweichung vom durch das Pendeln definierten Gouy-Parameter untersucht werden:

, = , = 2 arccos 1 ( ) = 2 + ( ) = = 2 arccos 1 = + ( ) Gl. 8.167

, = , = 2 arccos 1 ( ) = [ ( )] + ( ) Der Gouy-Parameter definiert über den effektiven Krümmungsradius in radialer Richtung stimmt besonders gut mit dem Gouy-Parameter für das Pendeln überein (Abweichung erst mit einem Term ~ ). Die Abweichung (Term ~ ) für den über den Krümmungsradius definierten Gouy-Para-meter ist halb so groß wie die Abweichung für den Gouy-Parameter definiert über den effektiven Krümmungsradius in tangentialer Richtung .

In jedem Fall ist der Unterschied zum Gouy-Parameter für das Pendeln vernachlässigbar klein. Für ei-nen Abstand zum Stabilitätsrand des Gouy-Parameters für das Pendeln ergibt sich ein Gouy-Parameter für die Eigenmode, der nur um einen Bruchteil dieses Abstands näher am Stabilitätsbereichs liegt: = 2 = = ( )( ) + ( ) + ( ) Gl. 8.168

Nah am Stabilitätsrand hängen die Strahlradien der Eigenmode besonders stark vom Gouy-Parameter ab. Solange die relative Änderung des Abstands zum Stabilitätsrand aber klein ist (Bruchteil 4), kann sie für die Berechnung der Strahlradien vernachlässigt werden.

Abb. 8.4: Unterschiedlich definierte Abstände bezogen auf den Krümmungsradius in einer Multipass-Zelle über dem Divergenzwinkel des Strahlenbündels = arcsin( / ) in der Stabilitätsmitte mit = (durchgezogen) und in der Nähe des oberen Stabilitätsrands mit = 19/20 2 (gestrichelt): Die Resonatorlänge (rot), der Abstand der Ebenen der Reflexe ‘ (grün) und der Abstand aufeinanderfolgender Reflexe (blau).

/

30° 60° 90°

0,5

1,0

1,5

2,0

0

Anhang

197

8.2 Gouy-Teleskop

In diesem Abschnitt soll ein optisches System vorgeschlagen werden, dass eine (stufenlose) Einstellung der Gouy-Phase erlaubt, d.h. die Abbildung eines Strahlprofils an einen beliebigen Ort in der Strahl-kaustik. Dabei soll der -Parameter nicht verändert werden. Ein solches System soll Gouy-Teleskop heißen, in Anlehnung an ein Zoom-Teleskop, das eine stufenlose Einstellung des Strahlradius erlaubt.164 Die Bedeutung eines Gouy-Teleskops ist in Abb. 8.5 dargestellt. Durch die Einstellung der Gouy-Phase kann die Lage von charakteristischen Strukturen in der Strahlkaustik verschoben werden. Dies ist hilf-reich bei einem Strahl, der Strukturen im Strahlprofil enthält, die in der Strahlkaustik stark lokalisiert sind. Mit einem Gouy-Teleskop kann dann ein gewünschtes Strahlprofil dorthin gelegt werden, wo es für eine Anwendung benötigt wird, z.B. in den Fokus. Um ein beliebiges Strahlprofil an einen gegebe-nen Ort in der Strahlkaustik zu legen, wird ein Verstellbereich der Gouy-Phase von 2 benötigt. Ein Verstellbereich von (– /2 < < + /2) ist aber ausreichend, wenn es nicht auf die Orientierung des Strahlprofils ankommt oder nur symmetrische Strahlprofile auftreten. Ein optisches System, das einen beliebigen -Parameter konstant lässt, muss abbildend sein, und sammelt daher eine feste Gouy-Phase (Vielfache von ) auf. Das System muss also für einen festen -Parameter ausgelegt sein.

Ein solches Gouy-Teleskop kann ein Teil einer Strahlquelle mit nicht beugungsbegrenzter Strahlqualität sein. Es kann dann eine Alternative zu einem räumlichen Filter zur Verbesserung der Strahlqualität sein [38], insbesondere wenn ein räumlicher Filter nicht sinnvoll und effizient möglich ist. Darüber hinaus kann mit einem Gouy-Teleskop die CEO-Phase eines Pulses eingestellt werden (siehe Kapitel 2.2.3).

Abb. 8.5: Ein Gouy-Teleskop erlaubt es, die Gouy-Phase zu variieren, ohne den -Parameter zu verändern. So kann ein Strahlprofil innerhalb der Strahlkaustik verschoben werden, um z.B. ein gaußförmiges Strahlprofil in die Strahltaille zu legen. (a) Ausgangssituation, (b) nach Veränderung der Gouy-Phase um /3.

Das vorgeschlagene optische System besteht aus zwei hintereinander ausgeführten Abbildungen des Winkelraums mit Brennweite (also Anordnungen aus der Propagation um die Strecke , einer Sam-mellinse mit Brennweite und erneuter Propagation um die Strecke ) von Ebene 1 nach Ebene 2 und von Ebene 2 nach Ebene 3 sowie drei Elemente mit variabler Brechkraft in den Ebenen 1, 2, 3.165 Der

164 Der Begriff Gouy-Teleskop (oder Gouy-Phasen-Teleskop) wird auch in ganz ähnlichem Zusammenhang be-

nutzt, nämlich für ein optisches System, das einen feste Gouy-Phase zwischen zwei ausgezeichneten Orten ergibt, bspw. dem Einkoppelspiegel eines passiven Resonators und einem geteilten Detektor zur Erzeugung ei-nes Fehlersignals zur Regelung der Resonatorlänge [13]. Das hier vorgeschlagene System kann in Abgrenzung dazu auch variables Gouy-Teleskop genannt werden.

165 Linsen mit manuell oder elektrisch verstellbarer Brechkraft sind kommerziell erhältlich. Es ist auch möglich, effektiv eine variable Brechkraft durch zwei Linsen mit variablem Abstand zu erreichen.

Strahlquelle

/2

/4/4

0

Gouy-Teleskop

Strahlquelle

/2

/4/4

0

(a)

(b)


198

-Parameter soll so gewählt sein, dass die Rayleighlänge gleich der Brennweite ist und die Taille in Ebene 1 liegt. Dann sind auch die Rayleighlängen nach der Transformation durch die Linsen gleich der Brennweite und die Taillen liegen auch in den Ebenen 2 und 3 (siehe Abb. 8.6a). Das bedeutet für die Strahlradien 1, 2, 3 in den Ebenen 1, 2, 3 und den Strahlradius auf den Linsen:

, = , = , = , , = , = , = 0 = = = , = 2 Gl. 8.169

Abb. 8.6: Schematische Darstellung des optischen Systems. (a) Bei verschwindender Brechkraft der variablen Elemente in den Ebenen 1, 2 und 3 wird zwischen Ebene 1 und 3 eine Gouy-Phase von aufgesammelt; es handelt sich um eine 4 -Abbildung. (b) Durch Einbringen einer positiven Brechkraft in den Ebenen 1, 2 und 3 wird die aufgesammelte Gouy-Phase vergrößert; hier ist der Fall skizziert, dass bei einer Brechkraft von je 1/ eine Gouy-Phase von 3/2 aufgesammelt wird. (c) Durch eine negative Brechkraft in den Ebenen 1, 2 und 3 wird die Gouy-

eine Gouy-Phase von /2 aufge-sammelt wird. In dieser Darstellung ist die unterschiedliche Gouy-Phase, die zwischen den Ebenen 1 und 3 aufge-sammelt wird, leicht zu erkennen: Nach Gl. 2.52 ist die Gouy-Phase pro Strecke durch das Quadrat des inversen Strahlradius gegeben. Ein kleinerer Strahlradius wie in (b) ergibt daher eine größere Gouy-Phase und ein größerer Strahlradius wie in (c) eine kleinere Gouy-Phase.

Es sei zunächst die Transformation von Ebene 1 zu Ebene 2 betrachtet. Die Abbildung des Winkel-raums, die diese Ebenen verknüpft, hat die Eigenschaft, dass eine Veränderung der Krümmung der Pha-senfront ,1 in der ersten Ebene, die durch das erste Element mit variabler Brechkraft eingestellt wer-den kann, die zwischen diesen Ebenen aufgesammelte Gouy-Phase stark beeinflusst:

, = arctan ,, = arctan , Gl. 8.170

Gleichzeitig wird der -Parameter in Ebene 2 verändert:

, , = ,, , = ,, , , , = ,, , = ,

, = , = , 1 + ,, = 1 + , Gl. 8.171

1 2 3(a)

(b)

(c)

Anhang

199

Die Krümmung ,2 der Phasenfront in Ebene 2 ist in erster Näherung entgegengesetzt gleich der aufge-prägten Krümmung ,1 in Ebene 1. Der Strahlradius 2 in Ebene 2 ändert sich nur schwach und kann durch Variation von ,1 nur vergrößert werden. Der Strahlradius auf der Linse lautet als Funktion der Krümmung ,1:

, = , 1 + 2 , + , + , = 2 1 + , + , Gl. 8.172

In den obigen Gleichungen wurde jeweils ,1 = eingesetzt, d.h. der Strahlradius in Ebene 1 ist durch die Anpassung des einfallenden -Parameters auf die Brennweite gegeben und wird nicht verändert. Die Größen , ,2, 2, f sind in Abb. 8.7 als Funktion der in Ebene aufgeprägten Krümmung ,1 dar-gestellt.

Abb. 8.7: (a) Gouy-Phase , (b) Krümmung der Phasenfront ,2 in Ebene 2, (c) Strahlradius 2 in Ebene 2, und (d) Strahlradius auf der Linse bei Variation der Krümmung ,1 in Ebene 1. Die Krümmungen sind auf die Brechkraft 1/ bezogen, die Strahlradien auf 2(0) = ( 2 / )½. (Eine negative Krümmung der Phasenfront ,1 in Ebene 1, d.h. ein konvergenter Strahl, wird durch eine positive Brechkraft des variablen Elements erreicht.)

Es kann nun in Ebene 2 die Krümmung der Phasenfront mit dem zweiten Element mit variabler Brech-kraft so angepasst werden, dass sich ihr Vorzeichen umdreht. Bei der Transformation in Ebene 3 ergibt sich dann aus Symmetrie der gleiche Strahlradius wie in Ebene 1. Die Krümmung der Phasenfront kann hier so angepasst werden, dass der ursprüngliche q-Parameter reproduziert wird. Durch das Hinter-einanderschalten der zwei Teilstrecken wird außerdem die Variation der Gouy-Phase verdoppelt. Eine Variation der Krümmung um ,1 = 1/ ergibt für eine Teilstrecke eine Variation der Gouy-Phase von

= ± /4, für das gesamte System also = ± /2. Damit kann jeder beliebige Ort in einer Strahlkaustik adressiert werden. Für diese maximale Krümmung ist die resultierende Krümmung in Ebene 2 nur ,2 =

½ ,1. Um hier das Vorzeichen der Krümmung umzudrehen, genügt daher die gleiche maximale Brechkraft des variablen Elements wie in Ebene 1 und 3. Abb. 8.6 b) und c) zeigt die Anordnung für die Fälle einer maximalen Verschiebung der Gouy-Phase um ± /2.

Bei der Anordnung aus zwei hintereinandergeschalteten Abbildungen des Winkelraums handelt es sich um eine telezentrische 1:1-Abbildung, die (aufgrund ihrer Länge) auch 4 -Abbildung genannt wird.

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 10,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-1 0 10,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1 0 10,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

(a) (b)

,1

,2/

2(0)

,1

,1 ,1

2/2(

0)/

(c) (d)


200

Diese Abbildung (ohne die variablen Elemente) reproduziert jeden einfallenden q-Parameter. Wenn zum Verstellen der Gouy-Phase für die variablen Elemente nach dem dargestellten Konzept eine Brechkraft eingestellt wird, ändert sich neben der Gouy-Phase auch der q-Parameter hinter der Anordnung, falls der einfallende q-Parameter nicht genau auf die Anordnung angepasst ist. Die Anordnung sollte daher zu-sätzlich eine Überwachung des q-Parameters hinter der Anordnung besitzen und die Brechkraft der va-riablen Elemente so verstellen, dass er sich nicht ändert.

Die Transformation ins Fernfeld von Ebene 1 nach 2 und von Ebene 2 nach 3 erfordert eine bestimmte Länge des optischen Systems, die mit dem Strahlradius auf den optischen Elementen verknüpft ist. Ein minimaler Strahlradius , der durch die Zerstörschwelle der Elemente gegeben sein kann, erfordert eine minimale Länge = 4 des Systems. Bspw. ist = 2/( 2) = 500 mm, also = 2 m für = 0,4 mm und = 1 μm, 2 = 1. Der Strahlradius wird auch bei Variation der Gouy-Phase auf keiner Optik kleiner.

Die Rayleighlänge und damit die Brennweite und Baulänge kann deutlich kleiner gewählt werden, wenn Zylinderlinsen benutzt werden und damit die Einstellung der Gouy-Phase nur in einer transversalen Richtung vorgenommen wird. Das ist bei einem Strahl sinnvoll, der prominente Strukturen in der Strahl-kaustik nur in einer transversalen Richtung aufweist (bspw. ein Strahl aus einem Innoslab-Verstärker [38]). Der Strahlradius in der anderen Richtung kann dann auf allen Optiken deutlich größer gewählt werden, wodurch eine vorgegebene Querschnittsfläche erreicht wird. Ggf. kann die Einstellung der Gouy-Phase in der anderen transversalen Richtung in einem zweiten Schritt erfolgen. Der Einsatz von Zylinderlinsen und Strahlprofilen mit großem Aspektverhältnis ist jedoch mit einem erhöhten Justage-aufwand verbunden, da zusätzlich die Achsen der Zylinderlinsen eingestellt werden müssen.

Anhang

201

8.3 Überhöhungsresonatoren

8.3.1 Loch- und Schlitzmoden

Loch- und Schlitzmoden können als Modenkombination von gleichzeitig resonanten Moden in einem quasi-abbildenden Resonator konstruiert werden. In Tab. 8 sind die Feldverteilungen verschiedener Loch- und Schlitzmoden zusammen mit einfachen transversalen Moden angegeben. Tab. 9 gibt die Transmission dieser Moden und Modenkombinationen an einem Hindernis in Form eines Lochs oder Schlitzes als Funktion der Abmessungen der Öffnung an. Diese Transmission kann zur Abschätzung der Verluste der Feldverteilung durch das Hindernis benutzt werden.

Tab. 8: Feldverteilung verschiedener Moden und Modenkombinationen in quasi-abbildenden Resonatoren mit Gouy-Parameter . Die Gouy-Phase beschreibt, wie die Feldverteilung der Modenkombinationen bei der Pro-pagation ihre Form ändert. Dabei ist = 0 der Ort, an dem das Feld auf der optischen Achse verschwindet (bzw. für den die Breite des Intensitätsminimums am größten ist). ist der Strahlradius der Grundmode. bezeichnet den räumlicher Überlapp der Feldverteilung mit der Grundmode zum Eigen- -Parameter.

Mode oder Modenkombination

Feldverteilung (für Kartesische Geometrie nur -Abhängigkeit)

zylin

dris

che

Geo

met

rie

( ) = exp 1

, ( , ) = exp exp( 2 ) 0

( ; ) = 1 1 2 exp( 2 ) exp

( ; ) = 1 1 4 + 2 exp( 4 ) exp

( ; ) = 1 1 6 + 6 exp( 6 ) exp

Kar

tesi

sche

Geo

met

rie

, ( ) = exp 1

, ( ) = 2 exp 0

, + , ( ; ) = 1 1 4 exp( 2 ) exp

, , ( ; ) = 1 1 8 + exp( 4 ) exp

, , ( ; ) = 2 + exp( 4 ) exp 0

, + , ( ; ) = 1 1 12 + 16 exp( 6 ) exp


202

Tab. 9: Transmission verschiedener Moden und Modenkombinationen an einem Loch bzw. Schlitz als Funktion der Abmessungen der Öffnung.

Mode oder Modenkombination

Transmission an Hindernis in Form eines Lochs mit Radius bzw. eines Schlitzes mit Breite 2 bei = 0

zylin

dris

che

Geo

met

rie ( ) = exp 2

,± ( ) = 1 + 2 + 2 exp 2

( ) = 1 + 2 + 2 exp 2

( ) = 1 + 2 + 2 4 + 2 exp 2

( ) = 1 + 2 + 2 + + exp 2

Kar

tesi

sche

Geo

met

rie

, ( ) = erfc 2

, ( ) = erfc 2 + 2 exp 2

, + , ( ) = erfc 2 + 2 + exp 2

, , ( ) = erfc 2 + 2 + exp 2

, , ( ) = erfc 2 + 2 + + + exp 2

, + , ( ) = erfc 2 + 2 + + + exp 2

Zusätzlich sei die Transmission der , -Mode an einem Loch statt Schlitz angegeben: ( ) = 1 + 2 exp 2 Gl. 8.173

8.3.2 Quasi-abbildender Bow-tie-Resonator

Für einen symmetrischen Bow-tie-Resonator mit Krümmungsradius der Fokussierspiegel lautet der Gouy-Parameter als Funktion des Abstands der Fokussierspiegel bei festgehaltener Resonatorlänge : ( ) = + arccos 2 2 ( ) 1 Gl. 8.174

Der untere Stabilitätsrand 1 (mit = ), die Mitte des Stabilitätsbereichs (mit = 3 /2) und der obere Stabilitätsrand 2 (mit = 2 ) lauten: = , = 1 4 + 2 , = 1 4

und = = 1 4 = + Gl. 8.175

Der obere Stabilitätsrand existiert nur, wenn > 4 gilt; die Mitte des Stabilitätsbereichs existiert nur, wenn > 3,4 gilt. Es soll angenommen werden, dass die Resonatorlänge deutlich größer ist als der Krümmungsradius. Der lange Arm des Resonators kann für einen kompakten Aufbau mit zusätzlichen Planspiegeln gefaltet werden.

Anhang

203

Im Folgenden wird ein quasi-abbildender Resonator in der Mitte des Stabilitätsbereichs angenommen. Dadurch ist der Abstand der gekrümmten Spiegel festgelegt. Als Parameter für den Resonator bleiben die Resonatorlänge und der Krümmungsradius. Die Rayleighlängen im kurzen Arm und im langen Arm , des Resonators lauten: = und , = = 1 + und , = +

Gl. 8.176

Der Strahlradius 1 und der Strahlquerschnitt 1 auf den Fokussierspiegeln lautet: = ( ) = 1 + für = = ( ) = 1 Gl. 8.177

Der Fokusradius 0 und Fokusquerschnitt 0 im kurzen Arm lautet: = = + für = = = 1 + Gl. 8.178

Der Fokusradius kann also bei gegebener Resonatorlänge durch den Krümmungsradius gewählt werden. Der Krümmungsradius, der für einen gewünschten Fokusradius 0 benötigt wird, lautet: = 4 + 1 = 2 + 2 Gl. 8.179

Der Taillenradius und Strahlquerschnitt im langen Arm ist:

, = , = 1

, = , = , = 1 Gl. 8.180

Der minimale Strahlquerschnitt auf einem der Resonatorspiegel wird erreicht für den Planspiegel, der am nächsten an der Strahltaille im langen Arm liegt. Wenn der Resonator mehrfach gefaltet ist, ist die-ser Abstand klein gegen die Rayleighlänge im langen Arm und der minimale Strahlquerschnitt kann durch den Taillenquerschnitt , abgeschätzt werden. Da dieser Querschnitt in erster Näherung propor-tional zur Resonatorlänge ist und die Pulsenergie durch die Repetitionsrate also durch die Resonatorlän-ge mit der mittleren Leistung verknüpft ist, ist die maximale Fluenz auf den Spiegeln durch die mittlere Leistung festgelegt:166 = 2 = 2 = mit = , = Gl. 8.181

Für eine maximale Fluenz von bspw. 0 = 50 mJ/cm² ist eine mittlere Leistung von = 40 kW (bei 1030 nm) möglich. Bisher demonstrierte zirkulierende Leistungen bei der Resonator-unterstützten HHG

166 Es gibt die Möglichkeit, für die Resonatorlänge ein Mehrfaches des Pulsabstands des einfallenden Pulszugs zu

wählen, also mehrere Pulse im Resonator zirkulieren zu lassen. Durch die größere Resonatorlänge wird bei fes-ter Pulsenergie ein größerer Strahlquerschnitt und eine kleinere Fluenz erreicht. Eine Verdoppelte Resonator-länge ergibt einen halbierten Abstand der Resonanzen, von denen dann nur noch jede zweite durch den einfal-lenden Frequenzkamm genutzt wird. Die Breite der Resonanzen ist bei gleicher Finesse reduziert (die effektive auf den Abstand der genutzten Resonanzen bezogene Finesse verdoppelt). Die größere Resonatorlänge erfor-dert ggf. mehr Spiegel, was mit größeren Verlusten und Aufwand einhergeht.


204

liegen deutlich darunter. Für leere Resonatoren (ohne Gastarget) sind deutlich größere Leistungen mög-lich [56]. Dann ist ein Betrieb in der Mitte des Stabilitätsbereichs aufgrund der Zerstörschwelle nicht möglich.

Endlicher Einfallswinkel

Der endliche Einfallswinkel auf den Fokussierspiegeln eines Bow-tie-Resonators führt zu unter-schiedlichen effektiven Krümmungsradien in tangentialer (in der Ebene des Strahlengangs) und sagitta-ler (senkrecht zur Ebene des Strahlengangs) Richtung: = cos( ) , = cos( ) Gl. 8.182 Für einen symmetrischen Bow-tie-Resonator ist die Eigenmode aufgrund der Symmetrie trotz dieser astigmatischen optischen Elemente nicht astigmatisch. Sie ist aber elliptisch. Die Stabilitätsränder kön-nen für beide Richtungen getrennt nach Gl. 8.175 berechnet werden, wobei jeweils der effektive Krüm-mungsradius (Gl. 8.182) einzusetzen ist. Die Stabilitätsbereiche für die beiden transversalen Richtungen sind also gegeneinander verschoben, d.h. die Elliptizität wird bei Annäherung an den Stabilitätsrand (definiert durch die transversale Richtung, in der dieser zuerst erreicht wird) sehr groß. In der Mitte des Stabilitätsbereichs ist die Elliptizität am kleinsten. Es ist im Folgenden ein Resonator mit Quasi-Abbildung in sagittaler Richtung angenommen. Die Elliptizität der Strahlkaustik im kurzen und im lan-gen Arm des Resonators lautet: = ,, = 1 + + ( ) 1 + = , ,, , = 1 + + ( ) 1 + 1

Gl. 8.183

Der Fokus-/Taillendurchmesser ist in beiden Armen größer in sagittaler Richtung. Für kleine Einfalls-winkel ist die Elliptizität klein (nahe 1). Der Unterschied der Gouy-Parameter in den transversalen Rich-tungen aufgrund des endlichen Einfallswinkels lautet: = , , = 2 1 + 1 + ( ) 2 1 Gl. 8.184

Der Gouy-Parameter ist größer in tangentialer Richtung. Abhängig von der Finesse des Resonators ist dieser Unterschied des Gouy-Parameters in den transversalen Richtungen nicht vernachlässigbar und bedeutet eine Aufhebung der Entartung der transversalen Moden mit gleicher Summe der transversalen Modenordnungen. Das heißt, dass eine Quasi-Abbildung nur in einer transversalen Richtung erreicht werden kann, zumindest wenn der Unterschied des Gouy-Parameters nicht deutlich kleiner ist als die Breite der Verstimmungskurve.

Der Einfallswinkel kann nicht beliebig klein gewählt werden. Er muss so groß sein, dass der Strahl auf und neben dem Fokussierspiegel einen hinreichenden Sicherheitsfaktor zum Spiegelrand einhält. Mit Näherungen für kann der Unterschied der Gouy-Parameter als Funktion von Resonatorlänge , Fokusradius 0 und Sicherheitsfaktor geschrieben werden: = , , 2 2

mit = , und 2 Gl. 8.185

Der Unterschied in den Gouy-Parametern ist also besonders groß, wenn ein kleiner Fokusradius benötigt wird. Er hängt außerdem quadratisch vom gewählten Sicherheitsfaktor ab.

Anhang

205

Asymmetrischer Bow-tie-Resonator

Statt eines symmetrischen Bow-tie-Resonators kann ein asymmetrischer Bow-tie-Resonator mit zwei unterschiedlichen Krümmungsradien 1 und 2 benutzt werden, wie in Kapitel 3.3.2. Die Rayleighlän-gen im langen und kurzen Arm lauten für einen quasiabbildenden Resonator ( = 3 /2): = ( ) ( ) und , = ( ) ( ) Gl. 8.186

Die Strahlradien im Fokus und auf den beiden Fokussierspiegeln lauten: =

= ( ) und = ( ) , Gl. 8.187

Der Fokusradius ist also durch das geometrische Mittel der Krümmungsradien festgelegt. Die Strahlra-dien auf den Fokussierspiegeln unterscheiden sich um das Verhältnis der Krümmungsradien. Der asymmetrische Bow-tie-Resonator erlaubt es also (für feste Resonatorlänge), neben dem Fokusradius auch den Strahlradius auf den Fokussierspiegeln zu wählen. Wenn der Fokussierspiegel hinter dem Fo-kus ein Auskoppelspiegel zur geometrischen Auskopplung ist, kann der Strahldurchmesser auf dem Spiegel also auf die Breite der Öffnung angepasst werden.

Die Mode eines asymmetrischen Bow-tie-Resonators ist bei endlichem Einfallswinkel auf den Spiegeln nicht nur elliptisch sondern auch astigmatisch (im langen und im kurzen Arm des Resonators).


206

8.4 Pulskompression

8.4.1 Kerrlinse für ein Gauß-förmiges Strahlprofil

Das Phasenprofil, das einem Strahl mit Wellenzahl , Momentanleistung und Gauß-förmigem Strahl-profil mit Strahlradius beim Durchgang durch ein nichtlineares Medium mit Dicke und nichtlinea-rem Brechungsindex 2 aufgeprägt wird, lautet: ( ) = ( ) = exp 2 mit ( ) = exp 2 Gl. 8.188

Dabei ist angenommen, dass sich der Strahlradius über der Strecke nicht ändert. Da dieses Phasenpro-fil Gauß-förmig statt parabolisch ist, besitzt die Kerrlinse starke Aberrationen und die Zuordnung einer Brechkraft 1/ ist nicht offensichtlich. Für eine aberrationsfreie paraxiale Linse ist die Brechkraft wie folgt definiert: ( ) = Gl. 8.189

Während in einer numerischen Simulation die nichtlineare Phase aus dem Intensitätsprofil berechnet werden kann, wird für ein analytisches Modell, das die Aberrationen zunächst vernachlässigt, die Zu-ordnung einer Brechkraft benötigt. Oft wird die Brechkraft der Kerrlinse angegeben als [153]: = Gl. 8.190

Es können aber je nach Kriterium unterschiedliche Vorfaktoren abgeleitet werden. Wenn bspw. die Krümmung des Phasenprofils auf der Strahlachse benutzt wird, ist die Brechkraft doppelt so groß: ( ) = = Gl. 8.191

Für diese Zuordnung sind die Phasenprofile der Kerrlinse und einer Parabel nah der Strahlachse gleich; sie werden aber groß in einigem Abstand von der Strahlachse.

Hier soll die Brechkraft benutzt werden, die den räumlichen Überlapp eines Strahls mit einer idealen Linse dieser Brechkraft und eines Strahls, dessen Phase durch sein Intensitätsprofil gegeben ist, maxi-miert. Dieses Kriterium ist äquivalent dazu, die rms-Phasendifferenz zwischen parabolischer Phase und nichtlinearer Phase gemäß dem Strahlprofil bei Gewichtung mit der Intensität des Profils zu minimieren. = | 2 | maximal

mit ( ) = exp exp exp

und ( ) = exp exp exp ( )

Gl. 8.192

Dabei sind 1, 2 die normierten Felder von Gaußschen Strahlen mit einer idealen Linse und mit der Kerrlinse gemäß dem Strahlprofil. Mit der Phasendifferenz ( ) zwischen Gauß-förmigem Phasenpro-fil und parabolischem Phasenprofil lautet der Überlapp: = 12 exp 2 exp ( ) 2

mit ( ) = ( ) ( ) = exp 2 Gl. 8.193

Der Phasenterm im Integranden kann für kleine Phasendifferenzen entwickelt werden: = exp 2 1 + + 2 = 1 + + ( )

mit = 12 exp 2 2 Gl. 8.194

Anhang

207

Wenn Terme mit Ordnung größer 2 in vernachlässigt werden, lautet der Überlapp: 1 + = 1 + 1 = 1 ( ) + 1 ( ) 1 Gl. 8.195

Dabei ist die rms-Phasendifferenz gewichtet mit dem Intensitätsprofil: = 12 exp 2 2 Gl. 8.196

Maximieren des Überlapps ist also äquivalent zum Minimieren der rms-Phasendifferenz . Dies wird erreicht für folgende Brechkraft: = Gl. 8.197

Dieser Wert ist zweimal kleiner als der in Gl. 8.190 angegebene und viermal kleiner als in Gl. 8.191.

Diese Zuordnung einer Brechkraft ist unabhängig von der Strahlqualität. Es gehen dabei nur die Puls-leistung und der Strahlradius des Gauß-förmigen Strahlprofils ein. Der Phasenterm exp( /2· ²) des Strahls in Gl. 8.192 spielt keine Rolle.

Zur Quantifizierung der Nichtlinearität eines Durchgangs durch ein nichtlineares Medium sind zwei Kenngrößen üblich: Die nichtlineare Phase , die über die räumlich gemittelte Intensität bezogen ist, und das -Integral, das auf die Intensität auf der Strahlachse 0 bezogen ist. Beide Intensitäten bezie-hen sich auf die Pulsspitzenleistung . Für ein Gauß-förmiges Profil ist die Intensität auf der Strahlach-se doppelt so groß wie die räumlich gemittelte Intensität und das -Integral das Doppelte der nichtlinea-ren Phase: = = oder = = = 2 Gl. 8.198

Der Begriff -Integral bezieht sich darauf, dass der Wert durch Integration entlang der Propagation erhalten wird, wobei sich Leistung (bspw. in einem Verstärker) und Strahlradius ändern können. Für einen Durchgang durch ein nichtlineares Medium mit konstanter Leistung und Strahlradius kann auf das Integral verzichtet werden. Das -Integral wird üblicherweise benutzt, um die transversale Wirkung des Kerreffekts zu quantifizieren, während die nichtlineare Phase benutzt wird, um die Wirkung auf das Spektrum zu quantifizieren. Da es bei der nichtlinearen Pulskompression eben darum geht, wird im Folgenden die nichtlineare Phase benutzt. Mit der nichtlinearen Phase lauten die Phasenprofile: ( ) = 2 exp 2 und ( ) = mit = Gl. 8.199

Die rms-Phasendifferenz und der Überlapp lauten als Funktion der nichtlinearen Phase: = und = 1 = 1 Gl. 8.200

Dies Ergebnis erlaubt eine grobe Abschätzung des Effekts der Aberrationen. Unter der Annahme, dass der nicht überlappende Teil des Felds bei der Propagation zwischen den nichtlinearen Schritten verloren geht, kann der Überlapp für die einzelnen Schritte zu einem Gesamtüberlapp nach Schritten, d.h. einer Transmission durch die Anordnung, multipliziert werden. Dieser lautet für die Aufteilung einer akku-mulierten nichtlinearen Phase auf Schritte: = 1 mit = Gl. 8.201

Diese Betrachtung ergibt qualitativ, dass für jede akkumulierte nichtlineare Phase ein großer Überlapp erreicht werden kann, wenn diese auf hinreichend viele Schritte aufgeteilt wird. Tatsächlich ist die Transmission deutlich größer als nach dieser Abschätzung; für nicht zu große nichtlineare Phase ist der Verlust durch die Aberrationen vernachlässigbar. Da die Aberrationen der Wellenfront großskalig sind,


208

geht der nicht überlappende Teil des Felds bei der Propagation nicht einfach verloren. Zu starke Aberra-tionen zeigen sich zunächst in einer Verschlechterung der Strahlqualität.

Die Situation, dass Leistungsanteile in höheren transversalen Moden verloren gehen, ist näherungsweise realisiert in einer Grundmode-Faser, in der höhere transversale Moden nicht geführt und daher heraus-gebeugt werden. Dies erfolgt (abhängig von der Modengröße) über einer endlichen Propagationslänge. Wenn diese aber kurz gegenüber der Faserlänge ist, wirkt der Modenfilter näherungsweise kontinulier-lich (entsprechend 0). Verluste durch die Aberrationen der Kerrlinse sind daher in einer Grund-mode-Faser in der Regel klein. Die Diskretisierung der nichtlinearen Phase durch den Übergang vom Wellenleiter zum Linsenleiter wirft die Frage auf, wie groß die nichtlineare Phase pro Schritt sein darf und wie diese Schritte geeignet kombiniert werden. Diese Frage wird in A8.4.4 untersucht.

Abb. 8.8: (a) Phasenprofil der Kerrlinse für ein Gauß-förmiges Strahlprofil und parabolisches Phasenprofil der zugeordneten idealen Linse normiert auf die nichtlineare Phase über der radialen Koordinate normiert auf den Gaußschen Strahlradius . (b) Räumlicher Überlapp mit einem Gaußschen Strahl nach Durchgängen (zum Erreichen einer Gesamtphase ), d.h. Transmission durch die Anordnung, für verschiedene nichtlineare Phasen

je nichtlinearem Element. Dieses Modell nimmt an, dass Leistungsanteile in höheren transversalen Moden nach jedem Durchgang durch einen Modenfilter entfernt werden.

Transversales Strahlprofil

Andere transversale Moden statt eines Gaußschen Stahls ergeben stärkere Aberration pro nichtlinearer Phase [154]. Ein Strahl mit einem Flat-top Profil würde gar keine Kerr-Linse ergeben. Allerding ist ein idealer Flat-top mit großer Flankensteilheit und flachem Intensitätsprofil experimentell schwer zu errei-chen, und das Profil verändert sich bei der Propagation. Je steiler die Flanke, desto schneller verändert sich das Profil bei Propagation. Jede Abweichung von einem idealen Top-hat bedeutet eine sehr starke Phasenfrontaberration am Rand des Profils. Pulskompression mit einem Flat-top Strahl ist demonstriert in [155].

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2 Gaußprofil Parabel

0 2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

radiale Koordinate /

(a)

nichtlineare Phase /

Phas

enpr

ofil

/

räum

liche

r Übe

rlapp

(b)

= /40= /20= /10= /5

2-2

~~

Anhang

209

8.4.2 Nichtlineare Phase für die spektrale Verbreiterung

Bei der nichtlinearen spektralen Verbreiterung in einem Wellenleiter wird zur Beschreibung der Selbst-phasenmodulation eine räumlich gemittelte Intensität benutzt [134]. Für einen Gaußschen Strahl ist diese Intensität nur halb so groß wie die Intensität auf der Strahlachse. Dies kann durch die Anschauung gerechtfertigt werden, dass das Strahlprofil bei der Propagation im Wellenleiter durchmischt wird. Ge-mittelt über die Propagation ergibt sich dadurch für jeden Teil des Profils eine nichtlineare Phase, die durch eine räumlich gemittelte Intensität beschrieben wird.

Möglich ist auch folgende Betrachtungsweise. Die Selbstphasenmodulation ergibt sich aus einer von der Momentanleistung abhängigen Phase. Für jede Momentanleistung kann die Phase bei der Propagation für die transversale Mode ausgewertet werden. Dazu wird die Wirkung des Phasenprofils, das gemäß dem Strahlprofil aufgeprägt wird, in drei Anteile zerlegt: Die Phasenverschiebung auf der Strahlachse, die Fokussierung und die Aberrationen. Es sei angenommen, dass die Aberrationen unberücksichtigt bleiben können, weil entweder dadurch erzeugte Beiträge in höheren transversale Moden gedämpft werden (in einer Grundmodefaser) oder diese Beiträge bei der Propagation wieder in die Grundmode zurückgekoppelt werden. Unter Vernachlässigung der Aberrationen lautet die nichtlineare Phasenver-schiebung auf der Strahlachse nach Gl. 8.199: (0) = mit = Gl. 8.202

Das ist also kleiner als die Phase, die der Intensität auf der Strahlachse 0 entspricht (2 = 2 0).

Die Fokussierung durch die Kerrlinse wirkt zusätzlich zur Fokussierung durch den Wellenleiter und ergibt einen kleineren Strahlquerschnitt der Eigenmode (Gl. 8.227). Der kleinere Strahlquerschnitt be-deutet eine größere bei der Propagation aufgesammelte Gouy-Phase verglichen mit der Gouy-Phase für die Propagation ohne Kerrlinse:

= und = = Gl. 8.203

Die Differenz der Gouy-Phase mit und ohne Kerrlinse lässt sich als Funktion der nichtlinearen Pha-se schreiben unter Benutzung des Zusammenhangs von und (Gl. 8.222):

= mit = = Gl. 8.204

Diese beiden Effekte zusammen ergeben die Phasenverschiebung zwischen dem Teil des Pulses mit Pulsspitzenleistung und mit verschwindender Leistung, die die spektrale Verbreiterung beschreibt:

= (0) = = Gl. 8.205

Die unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Beiträge beruhen darauf, dass die (aberrationsbereinigte) Phasenverschiebung gemäß dem Strahlprofil eine Verzögerung bedeutet, während die größere Gouy-Phase durch die Fokussierung gemäß Kerrlinse eine größere Phasengeschwindigkeit und damit eine voreilende Phase bedeutet. Die Phasenverschiebung ist nach dieser Betrachtung ungefähr durch die über die räumlich gemittelte Intensität definierte nichtlineare Phase gegeben. Das Verhältnis der beiden Phasen ist als Funktion des Verhältnisses von Pulsspitzenleistung und kritischer Leistung darge-stellt in Abb. 8.9. Bei großen Pulsspitzenleistungen ist die getrennte Betrachtung der räumlichen und zeitlichen Effekte ggf. keine gute Näherung mehr und Gl. 8.205 ggf. nicht gültig.

Diese Betrachtungsweise liefert also das gleiche Ergebnis wie die Anschauung, dass das Strahlprofil bei der Propagation durchgemischt wird und die nichtlineare Phase daher durch eine räumlich gemittelte Intensität beschrieben wird.


210

Abb. 8.9: Verhältnis von Phasenverschiebung und nichtlinearer Phase als Funktion des Verhältnisses von Pulsspitzenleistung und kritischer Leistung . Für nicht zu große Pulsspitzenleistungen sind diese Phasen identisch ( / > 0,9 für / < 0,5).

Die Betrachtungsweise, nach der sich die Phasenverschiebung aus einer Phasenverschiebung gemäß dem Strahlprofil und einer veränderten Gouy-Phase zusammensetzt, lässt sich auf die Situation der spektralen Verbreiterung in einem Linsenleiter übertragen (A8.4.4). Da die Änderung des Gouy-Para-meters für den Linsenleiter aufgrund der Kerrlinse gemäß Gl. 8.236 näherungsweise durch die halbe nichtlineare Phase gegeben ist, gilt für die Phasenverschiebung: = = mit Gl. 8.206

In der Arbeit wird angenommen, dass die spektrale Verbreiterung in einem Linsenleiter in gleicher Wei-se wie in einem Wellenleiter durch die nichtlineare Phase beschrieben wird, die über die räumlich gemittelte Intensität definiert ist.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pulsspitzenleistung //~~

Anhang

211

8.4.3 Propagation in nichtlinearem Medium; kritische Leistung für Selbstfokussierung

Wenn die Aberrationen der Kerrlinse vernachlässigt werden, kann die Propagation eines Gaußschen Strahls im nichtlinearen Medium analytisch beschrieben werden. Die Propagation um eine kleine Stre-cke im nichtlinearen Medium wird durch folgende Strahltransfermatrix ( ) beschrieben, die zu-sammengesetzt ist aus der Propagation um die Strecke und eine Fokussierung mit der Brechkraft

der Kerrlinse, die vom Strahlradius ( ) in der betrachteten Ebene abhängt. Die Brechkraft der Kerrlinse gemäß Gl. 8.197 ist so definiert, dass sie die Wirkung auf einen Strahl außerhalb des nichtli-nearen Mediums beschreibt, wenn er ein nichtlineares Medium durchlaufen hat. Hier soll hingegen die Propagation im nichtlinearen Medium selbst betrachtet werden (aus diesem Grund wird der

-Parameter, bzw. und explizit mit dem Index versehen)., Daher muss für die Aufprägung der Kerrlinse aus dem Medium ins Vakuum und zurück transformiert werden, was einen Faktor 1/ vor der Brechkraft ergibt. Die Strahltransfermatrix für die Propagation im nichtlinearen Medium mit Moment-anleistung lautet: ( ) = 1 00 1 01 1 00 10 1 = 1 ( ) 1

mit = ( ) = , ( ) mit , = Gl. 8.207

Anwenden des -Gesetzes (Gl. 2.14) für die Entwicklung des inversen -Parameters 1/ (im Me-dium) ergibt:

( ) = , ( + ) , ( + ) = ( )( ) = , ( ) , ( ) , ( ), ( ) , ( ) Gl. 8.208

Die Gleichung kann folgendermaßen umgeformt werden:

, ( + ) 1 + , ( ) , ( ) , ( + ) 1 + , ( ) , ( ) = , ( ) , ( ) , ( ) Gl. 8.209

Trennen nach Real- und Imaginärteil ergibt folgende zwei (reelle) Gleichungen:

, ( + ) + , ( + ) , ( ) , ( + ) , ( ) = , ( ) , ( )

, ( + ) , ( ) + , ( + ) + , ( + ) , ( ) = , ( ) Gl. 8.210

Für die Funktionen können folgende Differenzenquotienten geschrieben werden: , ( ) , ( ) = , ( + ) , ( ) + , ( + ) , ( ) , ( )

, ( ) , ( ) = , ( + ) , ( ) , ( + ) , ( ) Gl. 8.211

Im Grenzübergang für infinitesimales ergeben sich folgende Differenzialgleichungen [156]:

, ( ) = , ( ) + , ( ) , ( )

, ( ) = 2 , ( ) , ( ) Gl. 8.212

Im Folgenden sei die Situation betrachtet, dass bei = 0 eine Strahltaille mit Taillenradius 0 liegt (Ra-yleighlänge , = und Strahlparameterprodukt im Medium). Bspw. kann ein Strahl aus dem Vakuum auf das nichtlineare Medium einfallen mit einer Strahltaille am Beginn des Mediums. Für den Fall einer verschwindenden Nichtlinearität ( 2 = 0 oder = 0) lauten Krümmungsradius der Pha-senfront und Strahlradius :


212

, ( ) = , ( ) = , ( ) = + ,

, ( ) = , , ( ) = , ( ) = 1 + ,

für , (0) = 0 , , (0) = = ,

Gl. 8.213

Mit Nichtlinearität, also Wirkung der Kerrlinse, sind die Strahlparameter folgendermaßen modifiziert (Strahlparameter mit Kerrlinse sind mit einer Tilde gekennzeichnet):

, ( ) = , ( ) = + , ,

, ( ) = , , ( ) = 1 + 1 ,

Gl. 8.214

Für kleine Nichtlinearität folgt der Strahlradius weiterhin eine Hyperbel. Da die Selbstfokussierung (für 2 > 0) der natürlichen Divergenz entgegenwirkt, ist der Divergenzwinkel der Strahlkaustik verringert,

d.h. die Rayleighlänge nimmt mit der Leistung zu (bei festgehaltenem Taillenradius 0). Für einen kriti-schen Wert der Leistung divergiert die Rayleighlänge; dann ist die natürliche Divergenz des Strahls durch die Selbstfokussierung gerade kompensiert. Diese Leistung heißt daher kritische Leistung für Selbstfokussierung: = = ( ) = Gl. 8.215

Diese Bedingung gilt unabhängig vom Strahlradius: Ein kleinerer Strahlradius mit größerer Intensität ergibt zwar eine stärkere Kerrlinse, besitzt aber auch eine größere Divergenz, die durch diese Kerrlinse kompensiert werden muss. Mit der kritischen Leistung lauten die Strahlparameter: ( ) = + ,( ) und ( ) = 1 + 1 , Gl. 8.216

Da die Strahlkaustik für kleine Momentanleistungen ( < ) einer Hyperbel folgt, können Rayleigh-länge und Strahlparameterprodukt mit Kerrlinse zugeordnetwerden:

, ( ) = , ( ) = + ,

, ( ) = 1 , , ( ) = 0 1 + 2,2 = , 1 + 2,2

mit , = , , = 1 für <

Gl. 8.217

Aus diesen Gleichungen, die für die Situation einer Strahltaille bei = 0 abgeleitet wurden, können folgende zwei allgemeingültige Aussagen für die Propagation im nichtlinearen Medium abgelesen wer-den. Die Abhängigkeit des Krümmungsradius der Phasenfront von der Rayleighlänge ist die gleiche wie im Fall ohne Selbstfokussierung (Gl. 8.213). In einem Resonator ist aber die Krümmung der Phasen-front an den Endspiegeln durch die Krümmung der Spiegel vorgegeben. Das bedeutet, dass die Raylei-ghlänge und die Taillenlage der Eigenmode eines Resonators (den ein nichtlineares Medium vollständig ausfüllt) unabhängig von der Selbstfokussierung sind. Außerdem ist der Strahlquerschnitt der Eigenmo-de ist an jeder Position in der Strahlkaustik um den Faktor (1 – / )½ reduziert [157]. Damit ist auch das Strahlparameterprodukt durch die Selbstfokussierung reduziert.

Anhang

213

Für Momentanleistungen > ist die Selbstfokussierung katastrophal, d.h. der Strahlradius wird bei der Propagation zunehmend kleiner und verschwindet in einem Selbstfokus in folgendem Abstand (für den Fall einer Strahltaille am Beginn des nichtlinearen Mediums): = , Gl. 8.218

Dadurch kann das Medium zerstört werden, falls nicht andere Effekte (bspw. Defokussierung durch freie Ladungsträger) der Selbstfokussierung entgegen wirken.

Die kritische Leistung hängt neben den Parametern , 2 des nichtlinearen Mediums auch von Eigen-schaften des Strahls ab. Sie steigt quadratisch mit der Vakuumwellenlänge 0 und der Strahlqualitäts-kennzahl ². Die Abhängigkeit von der Wellenlänge ergibt sich daraus, dass die Divergenz eines Strahls mit einem festen Strahlquerschnitt für kleinere Wellenlängen größer ist und daher eine stärkere Kerrlinse, d.h. größere Pulsleistung erforderlich ist, um sie zu kompensieren (zusätzlich sind die Para-meter , 2 Funktionen der Wellenlänge). Mit diesem Argument wird klar, dass die kritische Leistung auch von der Strahlqualität abhängen muss. Dabei ist diese einfache Definition nur gültig, wenn das Profil trotz ² > 1 (näherungsweise) Gauß-förmig ist, so dass sich die Definition der Kerrlinse nicht ändert. Für einen Gaußschen Strahl ( ² = 1) lautet die kritische Leistung:

für eine Brechkraft der Kerrlinse = Gl. 8.219

Die Definition der kritischen Leistung ist konsistent mit der oben begründeten Zuordnung der Brech-kraft der Kerrlinse. Solange die Selbstfokussierung schwach ist (und damit auch die in dieser Darstel-lung nicht berücksichtigten Aberrationen der Kerrlinse), beschreibt die so definierte kritische Leistung über den Faktor / die Wirkung der Selbstfokussierung. Wenn die Pulsspitzenleistung sehr nah an der kritischen Leistung liegt, ist eine detailliertere Betrachtung der Selbstfokussierung erforderlich und führt zu abweichenden Werten für die kritische Leistung [158].

Die bei der Propagation im nichtlinearen Medium aufgesammelte Gouy-Phase lautet (mit Gl. 2.52): = = = , = für , = , Gl. 8.220

Die Gouy-Phase ist verglichen mit der Propagation ohne Kerrlinse mit gleicher Rayleighlänge (die ggf. durch einen Resonator festgelegt ist) um den gleichen Faktor größer, um den der Strahlquerschnitt an jeder Position der Strahlkaustik aufgrund des kleineren Strahlparameterprodukts verringert ist (Gl. 8.217). Die Gouy-Phase kann daher bei der Propagation durch eine Strahlkaustik (bspw. bei der Propagation zwischen zwei Spiegeln eines Resonators oder einer Multipass-Zelle) auch Werte > an-nehmen. In diesem Sinn ist die Wirkung der Selbstfokusssierung eine andere als die des linearen Bre-chungsindex, der ebenfalls das Strahlparameterprodukt reduziert, aber die Gouy-Phase unverändert lässt.

Die bei der Propagtion im nichtlinearen Medium aufgesammelte nichtlineare Phase lautet: = = = = mit = Gl. 8.221

Die Behandlung eines Strahls mit ² > 1 setzt wieder voraus, dass das Strahlprofil (näherungsweise) Gauß-förmig ist. Für einen Gaußschen Strahl ( ² = 1) lautet die nichtlineare Phase: = mit = Gl. 8.222

Die nichtlineare Phase ist bei der Propagation durch ein nichtlineares Medium fest mit der Gouy-Phase verknüpft, da beide Größen über das Integral über den inversen Strahlquerschnitt gegeben sind.


214

Propagation in nichtlinearem Wellenleiter

Für die Propagation in einem nichtlinearen Medium gilt allgemein, dass die nichtlineare Phase für einen Gaußschen Strahl verknüpft ist mit der Gouy-Phase gemäß = / · (Gl. 8.222). Dies gilt unab-hängig davon, ob die Propagation frei oder in einem Wellenleiter geführt ist. In beiden Fällen wird der Strahlradius durch die Wirkung der Kerrlinse verändert, falls nicht gilt. In einem Wellenleiter wird die Eigenmode des Wellenleiters, d.h. die Mode, die bei Propagation erhalten bleibt, durch die zusätzliche Wirkung der Kerrlinse verändert. Dabei ist das Verhältnis der Fokussierung durch die Kerr-linse und der Fokussierung durch den Wellenleiter durch das Verhältnis von Momentanleistung und kritischer Leistung / bestimmt. Die Brechkraft der Kerrlinse pro Länge des nichtlinearen Mediums lautet: = = , = ( ) = , ( ) mit , =

Gl. 8.223

Der Wellenleiter soll hier als quadratisches Medium beschrieben werden, d.h. als ein Medium mit einem transversal quadratisch variierenden Brechungsindexprofil ( ). Die Strahltransfermatrix für einen sol-chen Wellenleiter lautet [7]: = = cos( ) sin( )sin( ) cos( ) , mit = ( ) ( )| Gl. 8.224

Dabei ist die Länge des Wellenleiters. beschreibt die Krümmung des Brechungsindexprofils. 2 kann auch als Brechkraft pro Länge aufgefasst werden. Für die Eigenmode des Wellenleiters und die im Wellenleiter aufgesammelte Gouy-Phase gilt:

, = 0, , = = und ( ) = Gl. 8.225

Wenn zusätzlich eine Kerrlinse wirkt, muss deren Brechkraft zur Brechkraft des Wellenleiters hinzuad-diert werden. Die Eigen-Parameter der Mode mit Kerrlinse sind mit einer Tilde gekennzeichnet. Die Brechkraft pro Länge des Wellenleiters und die Brechkraft pro Länge der Kerrlinse (die vom Strahlradi-us der veränderten Mode abhängt) lauten: = = , und = = , Gl. 8.226

Damit folgt für die Eigen-Parameter mit Kerrlinse:

, = 0, , = + = , + , , = , Gl. 8.227

Eine Eigenmode des Wellenleiters existiert also nur für < . Für größere Momentanleistungen ist die Brechkraft der Kerrlinse zu stark. Der Strahlradius der Eigenmode nimmt mit zunehmender Leistung aufgrund der zusätzlichen Brechkraft der Kerrlinse ab. Der räumliche Überlapp der Eigenmode mit und ohne Kerrlinse lautet:167 = , ,, , = Gl. 8.228

Auch für < ist die Wirkung der Kerrlinse ggf. nicht vernachlässigbar und führt zu einer Variation der Strahlparameter mit der Momentanleistung (und damit zu einer unvollständigen Komprimierbar-keit). Damit der Einfluss der Kerrlinse klein ist, muss ca. < 0,5 gelten. Das Verhältnis der Brech-kraft von Kerrlinse und Wellenleiter lautet: 167 Diese Auswertung des räumlichen Überlapp setzt voraus, dass der Strahl im Wellenleiter ein Gaußscher Strahl

ist. Die Analyse des Wellenleiters ist auch gültig für einen Strahl mit 2 > 1 und (näherungsweise) Gauß-förmigem Strahlprofil.

Anhang

215

= , , = Gl. 8.229

Dieses Verhältnis nimmt also mit der Momentanleistung zu. Der räumliche Überlapp und das Verhältnis der Brechkräfte sind als Funktion der Momentanleistung dargestellt in Abb. 8.10. Die hier beschriebene Situation eines quadratischen Mediums ist von einer Grundmode-Faser verschie-den, weil es zwar einen Eigen- -Parameter besitzt, diesem aber viele transversale Moden zugeordnet sind (Gauß-Laguerre-Moden), und auch Strahlen mit abweichendem -Parameter verlustfrei geführt werden, wobei der Strahldurchmesser dann bei der Propagation periodisch variiert. In einer Grundmode-Faser hingegen wird nur die Grundmode (nahezu) verlustfrei geführt, während höhere transversale Mo-den nicht geführt bzw. gedämpft werden. Diese Situation kann daher als Wellenleiter mit einem (konti-nuierlich verteilten) Modenfilter aufgefasst werden. Diese Eigenschaft ist in Bezug auf die Aberration der Kerrlinse wichtig, da die induzierten Phasenstörungen dadurch gefiltert werden. Die Limitierung der Pulsleistung auf Werte kleiner als die kritische Leistung gilt für Grundmode-Fasern genauso wie für ein quadratisches Medium.

Abb. 8.10: Überlapp der Eigenmode eines Wellenleiters mit und ohne Kerrlinse (rot) und Verhältnis der Brech-kraft von Kerrlinse 1/ und Wellenleiter 1/ (blau) als Funktion der Momentanleistung bezogen auf die kriti-sche Leistung .

Um die Limitierung der Pulsleistung zu überwinden, kann von einem Wellenleiter zu einem Linsenleiter übergegangen werden. Dann wird die Fokussierung nicht mehr kontinuierlich entlang des Wellenleiters aufgeprägt, sondern diskret in Linsen (die als dünne Linsen behandelt werden sollen). Die nichtlineare Phase wird dann beim Durchgang durch die Linsen aufgesammelt und die Gouy-Phase bei der Propagation zwischen den Linsen. Sie werden also nicht mehr kontinuierlich wie bei der Propagation im Wellenleiter aufgesammelt, sondern stellen diskrete Parameter dar. Die Gouy-Phase, die den Linsenlei-ter charakterisiert, wird daher im Folgenden als Gouy-Parameter bezeichnet.168 Im Linsenleiter sind im Gegensatz zum Wellenleiter die nichtlineare Phase und der Gouy-Parameter entkoppelt, d.h. sie sind nicht mehr fest durch / miteinander verbunden. Die nichtlineare Phase kann über die Di-cke der Linse unabhängig vom Gouy-Parameter gewählt werden, der durch Brechkraft und Abstand der Linsen eingestellt wird. Im Linsenleiter ist eine Brechkraft der Linsen und der Kerrlinse definiert, statt der Brechkraft pro Länge im Wellenleiter. Auch das Verhältnis der Brechkraft der Kerrlinse 1/ und des Linsenleiters 1/ ist nicht mehr durch die Momentanleistung / vorgegeben. Dadurch sind Werte > möglich. Die Situation kann auch so aufgefasst werden, dass durch die Kombination von Linsen (als nichtlineares Medium) mit Luft (mit vernachlässigbarer Nichtlinearität) der effektive nichtlineare Brechungsindex verringert und damit die (effektive) kritische Leistung vergrößert wird. Im Linsenleiter soll die nichtlineare Phase pro 168 Der Index kann dabei wahlweise für die Propagationsstrecke zwischen den Linsen stehen oder für „linear“,

also die Propagation ohne Nichtlinearität.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

1

2

3

4

Momentanleistung /

räum

liche

r Übe

rlapp

(1/

)/(1/)


216

Durchgang durch das nichtlineare Medium bezeichnen. Die insgesamt aufgesammelte nichtlineare Pha-se ist dann = mit der Zahl der Durchgänge .

Ein Linsenleiter aus gleichartigen Abschnitten ist charakterisiert durch die Brennweite der Linsen und deren Abstand . Stattdessen kann auch der Strahlradius der Eigenmode am Ort der Linse (bzw. der

-Parameter) und der Gouy-Parameter zur Beschreibung benutzt werden. Der Abstand der Linsen und deren Brennweite lauten damit: = sin( ) und = 1 12 sin1 cos mit 0 < < Gl. 8.230

Das Verhältnis der Brechkraft von Kerrlinse und Linsenleiter lautet: = 2 ( )( ) = ( )( ) Gl. 8.231

Im Gegensatz zum Wellenleiter ist dieses Verhältnis nicht durch das Verhältnis / fest vorgegeben. Mit zunehmendem Gouy-Parameter nimmt es kleinere Werte an. Es kann außerdem beliebig klein gewählt werden durch entsprechende Wahl der nichtlinearen Phase .

Im nächsten Abschnitt wird statt der konkreten Situation des Linsenleiters eine periodische Anodnung betrachtet die allgemein durch ihre Eigenmode und den Gouy-Parameter charakterisiert ist. Durch die Wirkung der Kerrlinse verändert sich die Eigenmode und wird damit abhängig von der Momentanleis-tung des Pulses. Die Änderung der Eigenmode kann unabhängig von der konkreten Anordnung be-schrieben werden als Funktion der im nichtlinearen Element aufgesammelten Phase und des Gouy-Parameters für die Propagation zwischen den nichtlinearen Elementen.

Anhang

217

8.4.4 Periodische Anordnung mit Kerrlinse

Es soll eine periodische Anordnung untersucht werden, in der periodisch eine Kerrlinse wirkt. Eine sol-che Anordnung kann durch eine Multipass-Zelle realisiert werden, es können aber auch bspw. mehrere Linsen in gleichem Abstand sein. Für eine periodische Anordnung können Eigen-Parameter angegeben werden, d.h. ein -Parameter der periodisch reproduziert wird, und ein Gouy-Parameter für die Propaga-tion zwischen den Kerrlinsen. Die Anordnung sei allgemein durch ihre Eigen-Parameter beschrieben (Gl. 2.85):

= = cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,, Gl. 8.232

Der Gouy-Parameter für diese optische Anordnung ist mit bezeichnet statt mit wie in Gl. 2.85. Grund ist, dass der Gouy-Parameter für einen vollen Umlauf in einer Multipass-Zelle definiert ist, während der Gouy-Parameter hier für die Propagation zwischen den Kerrlinsen stehen soll, die auch bei jedem halben Umlauf in der Multipass-Zelle aufgeprägt werden können (dann ist = /2). Mit der Zahl der Umläufe ist im Folgenden die Zahl der Durchgänge durch das nichtlineare Element be-zeichnet (die Zahl der Umläufe in einer Multipass-Zelle ist dann ggf. nur halb so groß).

Die Stärke der Kerrlinse (für die Pulsspitzenleistung) ist über die nichtlineare Phase und den Strahl-radius gegeben. Es wird eine fokussierende Linse mit 2 > 0 angenommen. Die Brechkraft lautet: = = = mit = Gl. 8.233

Die Aufprägung einer Kerrlinse ergibt veränderte Eigen-Parameter der Anordnung, die mit einer Tilde gekennzeichnet sind. Dies kann wie folgt ausgewertet werden: cos sin ,, sin ,sin , ,, cos + sin ,,

= 1 0, 1 cos( ) sin( ) ,, sin( ) ,sin( ) , ,, cos( ) + sin( ) ,,

Gl. 8.234

Diese Gleichung ist ähnlich zu Gl. 8.102, nur dass die aufgeprägte Brechkraft nicht konstant ist son-dern als Produkt von nichtlinearer Phase und gestörtem -Parameter geschrieben ist, also vom gestörten Strahlradius abhängt. Da die Brechkraft vom gestörten -Parameter abhängt und die Störung des -Parameters umgekehrt von der Brechkraft, muss diese Gleichung selbstkonsistent gelöst werden. Tatsächlich hängt die Brechkraft nicht quadratisch sondern mit der vierten Potenz vom Strahlradius ab. D.h. wenn die Pulsspitzenleistung erhöht wird, ändert sich die Brechkraft der Kerrlinse nicht nur durch den gestörten -Parameter, sondern auch die nichtlineare Phase ändert sich zusätzlich zur Puls-spitzenleistung gemäß dem gestörten Strahlradius. Eine Verdopplung der Pulsspitzenleistung muss da-her nicht eine Verdopplung der nichtlinearen Phase bedeuten. Je nach Änderung des Strahlradius durch die Kerrlinse kann die Änderung größer oder kleiner sein. Es soll hier aber der Zusammenhang von Eigenmode und nichtlinearer Phase (nicht der Pulsspitzenleistung) untersucht werden, da diese ent-scheidend für die spektrale Verbreiterung ist. Die Bedeutung von Gl. 8.234 ist veranschaulicht in Abb. 8.11.


218

Abb. 8.11: Durch die Wirkung der Kerrlinse ändern sich die Eigenmode und der Gouy-Parameter der optischen Anordnung. (a) Darstellung eines Linsenleiters und der zugehörigen Eigenmode ohne Kerrlinse (oben) und mit Kerrlinse (unten), die einer in den Linsen aufgesammelten nichtlinearen Phase entspricht. Die Kerrlinse ist durch den Farbverlauf in der Linse angedeutet. Die Kaustik der Eigenmode ohne Kerrlinse ist durch die gepunkte-ten Linien angedeutet. (b) Diese Situation kann auch für ein allgemeines optisches System gelöst werden, das durch die Strahltransfermatrix beschrieben wird und den Eigen- -Parameter besitzt. Die Kerrlinse ist hier durch die nichtlineare Phase bezeichnet und hängt außerdem vom Strahlquerschnitt der neuen Eigenmode ab.

Die Eigen-Parameter mit Kerrlinse lauten:169 cos = cos( ) sin( ) 1 + sin ( )

oder cos( ) = cos + sin

, = , , = ,

, = , ( ) = , cot( ) + 1 + sin ( )

Gl. 8.235

Die Krümmung der Phasenfront wird um die halbe Brechkraft der Kerrlinse verändert.170 Der Gouy-Parameter wird durch die Kerrlinse vergrößert: = = + cot( ) +

Gl. 8.236 Die Änderung des quadratischen Strahlradius am Ort der Kerrlinse lautet: = ,, = ( ) ( ) Gl. 8.237

Der Strahlradius (am Ort der Kerrlinse) ändert sich in der Mitte des Stabilitätsbereichs nur wenig; an den Stabilitätsrändern ändert er sich stärker. Er wird in der unteren Hälfte des Stabilitätsbereichs ver-kleinert und in der oberen Hälfte vergrößert. Die Änderung der Strahl-Parameter kann zu einem Über-lapp der Mode mit und ohne Kerrlinse zusammengefasst werden:

169 Die Darstellung ist so gewählt, dass sie für Gouy-Parameter 0 < < 2 richtig ist. Die Funktionen sind perio-

disch im Gouy-Parameter mit Periodizitätslänge . 170 Die Strahlparameter beziehen sich auf die Ebene direkt hinter der Aufprägung der Kerrlinse (der Umlauf in Gl.

8.234 beginnt mit der Propagation und prägt dann die Kerrlinse auf). Daher ist der Beitrag zur Krümmung ne-gativ. In der Ebene vor der Kerrlinse ist er entsprechend positiv; in der Mitte der Kerrlinse (zwischen zwei ge-dachten Linsen mit halber Brechkraft) verschwindet er.

Eigenmode mit Kerrlinse:

Eigenmode ohne Kerrlinse: (b)(a) ohne Kerrlinse:

mit Kerrlinse:

Anhang

219

= , ,, , , , = = 1 ( ) + Gl. 8.238

Der Überlapp ist maximal in der Stabilitätsmitte und fällt symmetrisch zu den Stabilitätsrändern ab.

Es kann wie für die elementaren Störungen in Kapitel 2.2.2 ausgewertet werden, wie sich der Strahlra-dius entlang der Propagation, d.h. an unterschiedlichen Positionen in der periodischen Anordnung, durch die Kerrlinse ändert. Hier soll nur die Änderung angegeben werden, die sich im halben Abstand zwischen den Kerrlinsen ergibt, also für die Propagation um die Gouy-Phase ½ . Dort ist die Ände-rung maximal. Im Fall einer MPC mit nichtlinearem Element in der Mitte der Zelle entspricht das dem Ort der MPC-Spiegel. Die quadratische Änderung lautet an diesem Ort (Herleitung analog Gl. 8.105): = ,, = , , ,,

= ,, cos sin ,, + sin , , + sin , ,

= cos cos sin + 1 + sin = (1 + cos( )) sin( ) + 1 + (1 cos( ))

mit = = cos sin ,, sin ,sin , ,, cos + sin ,,

Gl. 8.239

Die Änderung ist nah am oberen Stabilitätsrand so stark wie am Ort der Kerrlinse selbst, ergibt aber einen kleineren Strahl. Im Bereich der Stabilitätsmitte ist die Änderung stärker als am Ort der Kerrlinse.

Aufgrund der starken Änderung der Eigenmode mit der Kerrlinse ist eine Anordnung ungeeignet, die nah an einem der Stabilitätsränder liegt. Zum einen bedeutet eine starke Variation der Eigenmode mit der Momentaneistung, dass nicht der gesamte Puls mit seinem zeitlichen Leistungsverlauf modenange-passt sein kann. Zum anderen ist die Änderung der Verhältnisse bei einer Schwankung der Pulsenergie besonders groß. Abhängig von der nichtlinearen Phase wird daher ein Bereich im Stabilitätsbereich ausgeschlossen. Dieser ist in Abb. 8.12 durch grau hinterlegte Bereiche markiert und über die Bedin-gung festgelegt, dass der Überlapp der Eigenmode mit und ohne Kerrlinse größer als 90% sein soll.


220

Abb. 8.12: (a) Relative Änderung des Strahlradius der Eigenmode in der Ebene der Kerrlinse und (b) relative Änderung des Strahlradius in der Ebene im Abstand /2 von der Kerrlinse (wo die Änderung des Strahlradius maximal ist). (c) Räumlicher Überlapp zwischen der Eigenmode mit und ohne Kerrlinse. Die grau hinterlegten Felder markieren Bereiche, für die der Überlapp für die angegebenen nichtlinearen Phasen kleiner als 90% ist. (d) Änderung des Gouy-Parameters durch die Wirkung der Kerrlinse als Funktion des Gouy-Parameters für ver-schiedene nichtlineare Phasen .

Eine unabhängige Betrachtung der zeitlichen Bereiche des Pulses und Zuordnung einer Eigenmode ge-mäß der Momentanleistung ist nur eine näherungsweise Beschreibung der Situation. Tatsächlich muss zur vollständigen Beschreibung die Kopplung von räumlichen und zeitlichen Effekten berücksichtigt werden und dazu die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (numerisch) gelöst werden. Für den Fall, dass die Kerrlinse einen geringen Einfluss auf die Propagation hat, ist die unabhängige Betrachtung der räumlichen und zeitlichen Auswirkung des Kerr-Effekts aber eine gute Näherung. Für den Fall, dass der Einfluss nicht mehr gering ist, kann über diese Beschreibung die Aussage getroffen werden, dass der spektral verbreiterte Puls nicht mehr vollständig komprimierbar ist, da die Strahlparameter zeitlich über dem Puls variieren. Eine Quantifizierung der Komprimierbarkeit ist damit allerdings nicht möglich. Die hier dargestellte Betrachtung erlaubt die Identifizierung von günstigen und ungünstigen Bereichen der Anordnung.

Ein Strahl mit Eigen- -Parameter der Anordnung wird nach einem Umlauf reproduziert. Wenn der -Parameter vom Eigen- -Parameter abweicht, pumpt der Strahlradius während der Umläufe. Eine per-

fekte Modenanpassung ist experimentell schwierig und im Fall eines von der Momentanleistung abhän-gigen Eigen- -Parameters für den gesamten Puls auch nicht möglich. Pumpen in der Anordnung ohne Kerrlinse kann beschrieben werden durch die Entwicklung der Abweichungen und vom Eigen-

-Parameter. Nach dem -ten Umlauf lautet der inverse -Parameter:

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0 NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

(b)= /40= /20= /10= /5

Gouy-Parameter /

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

= /40= /20= /10= /5

(d)

Gouy-Parameter /

Gou

y-Pa

ram

eter

/

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

Gouy-Parameter / Änd

erun

g St

rahl

radi

us

/|

(a)

= /40= /20= /10= /5

Änd

erun

g St

rahl

radi

us

/

= /40= /20= /10= /5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

räum

liche

r Übe

rlapp

Gouy-Parameter /

(c)

~~~~

~~~~

~~~~

~~~~

Anhang

221

+ , + , = , ,, , Gl. 8.240

Dabei ist für [[ , ],[ , ]] die Matrix für einen Umlauf einzusetzen (Gl. 8.232). Der Ausdruck kann für kleine Abweichungen entwickelt werden und ergibt für eine Anordnung ohne Kerrlinse: ,, = ,, = cos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 ) ,, Gl. 8.241

Die Matrix und ihre Eigenwerte , können geschrieben werden als: = cos( ) sin( )sin( ) cos( ) , , = cos( ) ± sin( ) = exp(± ) , = 2 Gl. 8.242

Die Matrix beschreibt das Pumpen, d.h. die Entwicklung der Abweichung vom Eigen- -Parameter bei Umläufen in der Anordnung. Die Determinante der Matrix ist 1 und ihre Eigenwerte sind komplex mit Betrag 1. Die Strahlparameter ändern sich periodisch mit der Pumpfrequenz .171 Die Strahlparameter pumpen um den Eigen- -Parameter als Mittelwert.172 Die Pumpfrequenz ist durch das Doppelte des Gouy-Parameters gegeben. Wenn der akkumulierte Gouy-Parameter nach Umläufen ein Vielfaches von ergibt, wird also der Start- -Parameter reproduziert.

Im Folgenden soll untersucht werden, wie sich eine periodische Anordnung, in der eine Kerrlinse wirkt, gegenüber Abweichungen vom Eigen- -Parameter verhält. Im Gegensatz zur Anordnung ohne Kerrlinse gibt es hier eine nichtlineare Dynamik, da die Anordnung über die Kerrlinse vom jeweiligen -Para-meter (dem Strahlquerschnitt) abhängt. Um diese Situation für kleine Abweichungen zu beschreiben, muss an die Strahltransfermatrix für die Propagation durch die Anordnung eine Matrix mit Brechkraft

multipliziert werden, die die Änderung der Brechkraft mit der Änderung des -Parameters beschreibt: = + , , , = 2 + , 2 , Gl. 8.243

Hier wird die Brechkraft der Kerrlinse, die dem Strahlquerschnitt der Eigenmode entspricht, abgezogen und die Brechkraft, die der tatsächliche Strahlquerschnitt erzeugt, hinzuaddiert. Die Pulsspitzenleistung

soll unabhängig vom Pumpen des Strahls festgehalten werden; die tatsächlich aufgesam-melte nichtlineare Phase ändert sich daher mit variierendem Strahlquerschnitt ( bezeichnet die von der Eigenmode mit Kerrlinse aufgesammelte nichtlineare Phase). Für die Brechkraft bei abweichendem Strahlquerschnitt wird benutzt, dass die Brechkraft bei fester Pulsspitzenleistung proportional zu 1 also zu ist. Das ergibt, entwickelt für kleine Abweichungen vom Eigen- -Parameter:

,, = ,, = cos 2 + 2 sin 2 sin 2sin 2 2 cos 2 cos 2 ,, Gl. 8.244

Die Determinante der Matrix ist auch in diesem Fall 1. Aber die Eigenwerte sind nicht vom Betrag 1 für alle Werte von und . Die Eigenwerte können folgendermaßen geschrieben werden:

, = ± 1 mit = cos 2 + sin 2 Gl. 8.245

Diese Gleichung definiert einen Stabilitätsbereich, d.h. einen Bereich von Werten und , für die die Anordnung stabil ist gegenüber kleinen Abweichungen der Strahlparameter von der Eigenmode. Dies soll in Abgrenzung zur Stabilität der optischen Anordnung als „Kerr-Stabilität“ bezeichnet werden:

171 Die Bezeichnung „Pumpfrequenz“ ist frei gewählt. Genau genommen handelt es sich nicht um eine Frequenz

sondern um eine Phase. 172 Dies gilt in der Näherung für kleine Abweichungen. Die Größe, die exakt Sinus-förmig pumpt, ist der quadrati-

sche Strahlradius; der Mittelwert ist gegenüber dem Eigenparameter verschoben. Diese Verschiebung ist für kleine Abweichungen vernachlässigbar.


222

1 < < 1 „Kerr-Stabilitätsbereich“ Gl. 8.246

Im Kerr-stabilen Fall kann eine Pumpfrequenz eingeführt werden: cos = = cos 2 + sin 2 Gl. 8.247

Die komplexen Eigenwerte mit Betrag 1 lauten dann:

, = cos ± sin = exp ± Gl. 8.248

Im Kerr-instabilen Bereich ( < 1 oder > 1) gibt es zwei reelle Eigenwerte, von denen einer größer und einer kleiner als 1 oder 1 ist. Dies bedeutet ein Aufschaukeln einer Abweichung vom Eigen-

-Parameter. Als Funktion des Gouy-Parameters lauten die Kerr-Stabilitätsränder (Index 1 und +1): = cos 2 + sin 2 = 1 = , + arctan = cos 2 + sin 2 = +1 = 0, arctan Gl. 8.249

Die Kerr-instabilen Bereiche lauten also wie folgt: 0 < < arctan und < < + arctan Gl. 8.250

Die Breite der Bereiche nimmt also mit der nichtlinearen Phase zu. Für kleine nichtlineare Phase ist die Breite der Bereiche gleich der nichtlinearen Phase. Als Funktion des Gouy-Parameters ohne Kerrlin-se lautet der Parameter :

= cos 2 + sin 2 = ( ) ( ) ( ) Gl. 8.251

In dieser Auftragung gibt es nur eine Kerr-Instabilität um den Punkt im Stabilitätsbereich = /2. Dem Kerr-instabilen Bereich für kleine entspricht kein Gouy-Parameter , d.h. er liegt außerhalb des Stabilitätsbereichs der optischen Anordnung. Der Kerr-instabile Bereich lautet wie folgt: arccos < < arccos 1 + Gl. 8.252

Für kleine nichtlineare Phasen ist der Bereich symmetrisch um = /2. Für große nichtlineare Phasen geht die obere Grenze asymptotisch gegen = 2 /3. Die untere Grenze läuft gegen = 0 für = 2 (siehe Abb. 8.13).

Da es sich bei der Entwicklung von der Eigenmode um eine nichtlineare Dynamik handelt, ist die hier dargestellte Stabilitätsanalyse nur für kleine Abweichungen gültig. Tatsächlich zeigt eine numerische Analyse, dass bei größeren Abweichungen von der Eigenmode weitere Bereiche mit instabilem Verhal-ten auftreten, und zwar für bestimmte Werte des Gouy-Parameters. Dieses Verhalten kann als Resonanz von höheren transversalen Moden aufgefasst werden und wird weiter unten behandelt.

Anhang

223

Abb. 8.13: (a) Kerr-Stabilitätsbereich als Funktion des Gouy-Parameters und der nichtlinearen Phase . Der farbig hinterlegte Bereich ist Kerr-instabil. Dieser Stabilitätsbereich wurde hergeleitet unter Vernachlässigung der Aberrationen der Kerrlinse und für kleine Abweichungen von der Eigenmode und stellt daher für große nichtlinea-re Phasen keine gute Beschreibung dar. Zur Orientierung ist die maximal betrachtete nichtlineare Phase von = /5 eingezeichnet. (b) Betrag der Eigenwerte der Pump-Matrix als Funktion des Gouy-Parameters und für verschiedene nichtlineare Phasen .

Neben dem Kerr-Stabilitätsbereich ergibt die Betrachtung auch, wie stark die Pumpfrequenz durch die Kerrlinse gegenüber der Pumpfrequenz ohne Kerrlinse geändert wird. Die Pumpfrequenz beschreibt, wie eine Abweichung von der Eigenmode sich beim Durchlaufen der Anordnung periodisch entwickelt (um den Eigenwert pumpt). Die Änderung der Pumpfrequenz durch die Kerrlinse lautet: = = 2 = tan( ) + Gl. 8.253

Die Pumpfrequenz wird also in erster Näherung durch kleine nichtlineare Phasen nicht verändert, wäh-rend die Strahlparameter , , , sich auch linear in der nichtlinearen Phase ändern (außer , für = /2). Die Pumpfrequenz ändert sich am stärksten bei Annäherung an die Stabilitätsmitte. Bei Annäherung an den oberen Stabilitätsrand ( ) ist die Änderung der Pumpfrequenz klein.

Die Abhängigkeit der Pumpfrequenz von der Momentanleistung bedeutet (in der Näherung einer ge-trennten Betrachtung der räumlichen und zeitlichen Auswirkung des Kerr-Effekts), dass Abweichungen von der Eigenmode sich unterschiedlich beim Durchlaufen der Anordnung entwickeln für Bereiche des Pulses mit unterschiedlicher Momentanleistung. Wenn die Modenanpassung unvollständig ist, kann sich dadurch eine anfangs gleiche Abweichung von der Eigenmode so entwickeln, dass z.B. der Strahlquer-schnitt bei der Pulsspitzenleistung größer, bei kleiner Momentanleistung aber kleiner als die Eigenmode ist. Dadurch entsteht eine zeitliche Variation der Strahlparameter über dem Puls und damit eine verrin-gerte Komprimierbarkeit. Dieser Punkt ist also insbesondere in Hinblick auf die Unempfindlichkeit gegenüber der Modenanpassung und Schwankungen der Eingangs-Strahlparameter wichtig. Dass eine gleichzeitige Modenanpassung für alle Bereiche des Pulses bei Annäherung an die obere Grenze des Stabilitätsbereichs auch prinzipiell aufgrund der Abhängigkeit der Eigenmode von der Momentanleis-tung nicht möglich ist, spielt keine große Rolle, da die Änderung der Pumpfrequenz hier klein ist.

Welchen Einfluss die Abweichung der Pumpfrequenz hat, hängt (für gegebenes und ) von der Zahl der Umläufe ab. Um den Einfluss zu quantifizieren, wird die Differenz in der Abweichung von der Eigenmode = ( ) nach Umläufen bezogen auf eine ursprünglichen Abweichung

0 = (0) (durch unvollständige Modenanpassung) aufgetragen, die aufgrund der Abhängigkeit der Pumpfrequenz von der Momentanleistung zwischen Anteilen des Pulses mit maximaler Pulsleistung und mit verschwindender Pulsleistung entsteht: = exp exp( ) = 2 1 sin sin( ) cos cos( ) Gl. 8.254

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0 NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

Eige

nwer

te P

umpe

n |

,|

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Kerr-instabil

Gouy-Parameter /

nich

tline

are

Phas

e (a)

= /5

Gouy-Parameter /

(b) = /40= /20= /10= /5

~~~~

~

~


224

Dabei kann für eine Änderung von entweder , oder , stehen. Diese Abweichung soll mög-lichst klein sein, was am oberen Stabilitätsrand gegeben ist. Maximal kann diese Differenz den Wert ±2 annehmen. Dann ist eine Abweichung von der Eigenmode für die Pulsspitzenleistung und für kleine Momentanleistungen mit entgegengesetztem Vorzeichen wirksam. Als Kriterium für eine erträgliche Änderung der Pumpfrequenz kann | / 0| < ½ gewählt werden. D.h. dass die Abweichung der Strahlparameter innerhalb des zeitlichen Verlaufs des Pulses nicht größer wird als die Abweichung von der Eigenmode bei der Modenanpassung. Dieses Kriterium vergrößert also den Bereich, der bereits als instabil gegen Abweichungen von der Eigenmode ausgeschlossen ist (Abb. 8.14).

Abb. 8.14: (a) Änderung der Pumpfrequenz durch die Kerrlinse als Funktion des Gouy-Parameters und für verschiedene nichtlineare Phasen . Die grau hinterlegten Felder markieren die Kerr-instabilen Bereiche, d.h. Bereiche, die für die angegebenen nichtlinearen Phasen instabil gegen Abweichungen von der Eigenmode sind. (b)-(d) Differenz in der Abweichung von der Eigenmode nach Umläufen bezogen auf eine ursprünglichen Abweichung 0 als Funktion des Gouy-Parameters und für verschiedene nichtlineare Phasen pro Durch-gang. Die Gesamtphase ist 2 (b), 4 (c) und 8 (d). Die Zahl der Durchgänge ist entsprechend unterschied-lich gewählt. Die grau hinterlegten Felder markieren die Bereiche, die für die angegebenen nichtlinearen Phasen das Kriterium | / 0| < ½ überschreiten.

Die Analyse betrachtet nur den Fall eines regelmäßigen Linsenleiters, also eine Anordnung aus gleichen Abschnitten mit Gouy-Parameter . Es ist auch möglich, eine Anordnung zu verwenden, die aus unter-schiedlichen Abschnitten besteht, so dass der Gouy-Parameter für die Propagation zwischen den nichtli-nearen Elementen unterschiedlich ist (Abb. 8.15). Aufgrund der diskreten Aufprägung der Aberrationen treten Resonanzen von transversalen Moden allerdings auch für den Fall auf, dass der Gouy-Parameter nicht für jede Propagation gleich ist, sobald sich die Abfolge der Gouy-Parameter periodisch wiederholt. Eine solche Anordnung bietet daher vermutlich keine Vorteile.

Gouy-Parameter /

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2

-1

0

1

2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2

-1

0

1

2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2

-1

0

1

2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4 NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

Änd

erun

g Pu

mpf

requ

enz

(a) = /40= /20= /10= /5

= 2

= 4 = 8

Gouy-Parameter /Gouy-Parameter /

(b)

(c) (d)

/ 0 / 0/ 0

~~~~~

~~Gouy-Parameter /0,6

Anhang

225

Abb. 8.15: Analyse eines Linsenleiters mit reduzierter Symmetrie, bei dem die Propagation zwischen den nichtli-nearen Elementen abwechselnd durch zwei unterschiedliche Gouy-Parameter gegeben ist. Die Gouy-Parameter sind 1 = + und 2 = . Der Strahlradius ist auf den beiden Kerrlinsen der gleiche. Diese Situation liegt bspw. vor, wenn ein nichtlineares Element in einer MPC außerhalb der Mitte platziert wird. Die nichtlineare Phase pro Kerrlinse ist = /10. (a) Änderung des Strahlradius der Eigenmode in der Ebene der Kerrlinse als Funktion des Gouy-Parameters für verschiedene . Diese Änderung ist auf beiden Kerrlinsen die gleiche. (b) Betrag der Eigenwerte der Pumpmatrix für einen Umlauf aus zwei Propagationen ( 1 und 2 ) und zwei Kerrlin-sen. (c) Änderung der Pumpfrequenz für verschiedene Gouy-Parameter. Die periodische Variation des Gouy-Parameters erzeugt zusätzlich zu den Stabilitäträndern auch in der Stabilitätsmitte ( = /2) eine starke Änderung der Eigenmode. Es treten zusätzliche Kerr-instabile Bereiche um die Punke = /4 und = 3 /4 hinzu.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

= 0 = /10 = /5

NL = /10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

= 0 = /10 = /5

NL = /10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0 pi/10 pi/5

Gouy-Parameter / Gouy-Parameter /Ä

nder

ung

Pum

pfre

quen

z

Eige

nwer

te P

umpe

n |

,|

Änd

erun

g St

rahl

radi

us

/(a) (b)

(c)

= 0= /10= /5

= /10 = /10

= 0= /10= /5

= 0/10/5

= /10

~~

~

Gouy-Parameter / 1,00,8


226

Aberrationen der Kerrlinse

Bisher wurde die Kerrlinse als aberrationsfrei behandelt. Tatsächlich ist sie aberrationsbehaftet, und diese Aberrationen bedeuten eine Kopplung in höhere transversale Moden, die für bestimmte Gouy-Parameter resonant ist. Das ergibt eine weitere Eingrenzung des vorteilhaften Bereichs der periodischen Anordnung.

Resonanzen von transversalen Moden treten auf, wenn die relative Phase zwischen einer -Mode mit Modenordnung und der Grundmode für die Propagation zwischen den Kerrlinsen ein Vielfaches von 2 beträgt (Gl. 2.66): = 2 = 2 = , = 1, … , 1 Gl. 8.255

Entsprechende Gouy-Parameter sind daher zu vermeiden. Da die Aberration durch die Kerrlinse für einen stigmatischen Gaußstrahl rotationssymmetrisch ist, werden nur Moden mit azimutaler Mo-denordnung = 0 betrachtet. Die Vermeidung von Resonanzen gilt nur für Moden mit kleiner Moden-ordnung , für die die Kopplung an die Grundmode durch die Aberrationen nicht vernachlässigbar ist. Die Kopplungskoeffizienten , zwischen der Grundmode und höheren -Mode mit Modenordnung können berechnet werden gemäß:

, = ( ) exp ( ) , ( )2

mit ( ) = 2 exp 2 Gl. 8.256

Dabei ist ( ) das Phasenprofil, das gemäß dem Gauß-förmigen Strahlprofil aufgeprägt wird, abzügli-cher einer geeignet gewählten Parabel, um nur die Aberrationen und keine Fokussierung zu berücksich-tigen (siehe A8.4.1). Die Beträge dieser Kopplungskoeffizienten sind in Abb. 8.16a für die ersten acht

-Moden für verschiedene nichtlineare Phasen dargestellt. Es kann abgelesen werden, dass der Betrag der Koeffizienten mit der Modenordnung abnimmt.

Wenn eine Resonanz für eine transversale Mode vorliegt, addieren sich die Beiträge durch die Kopp-lung bei jedem Umlauf mit gleicher Phase, was zu einem großen Leistungsanteil und zu einer Ver-schlechterung der Strahlqualität führt. Wenn Resonanzen vermieden werden, erfolgt die wiederholte Kopplung in eine transversale Mode bei jedem Umlauf mit einer anderen Phase, so dass Leistung auch zurück in die Grundmode gekoppelt wird und der Leistungsanteil in der transversalen Mode klein bleibt.

Anhang

227

Abb. 8.16: (a) Betrag der Kopplungskoeffizienten zwischen Grundmode 00 und Gauß-Laguerre-Mode 0

durch die Aberrationen der Kerrlinse für verschiedene nichtlineare Phasen. Um die reine Aberration zu berück-sichtigen, ist eine geeignete Fokussierung abgezogen; daher ist der Kopplungskoeffizient für = 1 kleiner als für höhere Moden. (b)-(d) Numerische Simulation eines nichtlineares Linsenleiters für verschiedene Gesamtphasen

und Phasen pro nichtlinearem Element. Die Zahl der Umläufe ist entsprechend gewählt ( = / ). Dargestellt ist der Überlapp des Felds mit der Grundmode nach Durchlaufen der Anordnung. Zur übersichtlicheren Darstellung sind die Flächen über den berechneten Kurven gefüllt. Die angegebene nichtlineare Phase wird nur für den Fall erreicht, dass der Überlapp nahe 1 ist.

Abb. 8.16 zeigt die Ergebnisse einer Simulation eines Linsenleiters, in der das elektrische Feld durch numerisches Ausführen des Beugungsintegrals propagiert wird und die Kerrlinse gemäß dem Intensi-tätsprofil aufgeprägt wird. Es werden keine zeitlichen Effekte berücksichtig, sondern nur die Propagati-on eines kontinuierlichen Strahls mit der Leistung gleich der Pulsspitzenleistung. Die Simulation kann daher keine quantitativen Aussagen machen sondern nur vorteilhafte Bereiche für Gouy-Parameter und mögliche nichtlineare Phasen indentifizieren. Das Startfeld ist die Eigenmode des Linsenleiters unter Berücksichtigung der Brechkraft der Kerrlinse. In der Abbildung dargestellt ist der Überlapp des Strahls mit der Eigenmode nach Durchgang durch die Anordnung. Die Simulation ergibt Einbrüche des Über-lapps für Gouy-Parameter mit Resonanzen für transversale Moden. Die Lage der Resonanzen ist in gu-ter Näherung durch den Gouy-Parameter gegeben und nicht durch den Gouy-Parameter mit Kerr-linse, der aufgrund der zusätzlichen Fokussierung größere Werte annimt (Abb. 8.12d). Grund ist, dass diese zusätzliche Fokussierung im Wesentlichen auf die höheren transversalen Moden nicht wirkt, da die gemäß dem Intensitätsprofil aufgeprägte Phase nur über die Ausdehnung der Grundmode eine Krümmung aufweist (vgl. Abb. 8.8). Dies ändert sich auch dann nicht, wenn sich signifikant Leistung in höheren Moden befindet. Die Gouy-Phase für die Propagation der höheren transversalen Moden und die Lage der Resonanzen wird daher durch den Gouy-Parameter bestimmt. Ein Einbruch des Überlapps

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

= /40= /20= /10= /5= 2

Gouy-Parameter /rä

umlic

her Ü

berla

pp

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4 5 6 7 80,00

0,05

0,10

0,15

NL = /40 NL = /20 NL = /10 NL = /5

radiale Modenordnung

Kop

plun

gsko

effiz

ient

0,

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Gouy-Parameter /Gouy-Parameter /= 4 = 8

räum

liche

r Übe

rlapp

räum

liche

r Übe

rlapp

(a) (b)

(c) (d)

~ ~

~~~~~

= /40= /20= /10= /5

~~~~


228

ist auch bei einer kleinen nichtlinearen Phase von = /40 und nicht sehr großer Gesamtphase = 2 zu beobachten bei den Werten = /2, = /3, 2 /3, = /4, 3 /4 und = /5, 2 /5, 3 /5, 4 /5. Für größere nichtlineare Phasen und größere Gesamtphasen wird die Abweichung vom vollständigen räumlichen Überlapp für diese Resonanzen größer und es treten weitere Resonanzen hin-zu. Für eine Gesamtphase von = 2 können Bereiche identifiziert werden, für die der Überlapp nahe 1 ist. Dies ist für einen Bereich nahe dem unteren und einen Bereich nahe dem oberen Stabilitäts-rand der Fall. Diese Bereiche werden mit steigender Gesamtphase zunehmend schmaler. Die Aberratio-nen betreffend ist für = 2 eine nichtlineare Phase von ca. = /10 möglich (d.h. es sind ca. = 20 Umläufe erforderlich); dazu ist ein Bereich um ca. = 0,81 bis 0,97 vorteilhaft. Auch für = 4 ist noch eine nichtlineare Phase von ca. = /10 möglich (entsprechend ca. = 40 Um-läufen). Der Vorteilhafte Bereich ist etwas zu größeren Gouy-Parametern verschoben und schmaler (ca.

= 0,88 bis 0,96 ). Für = 8 muss die nichtlineare Phase kleiner sein; sie darf ca. = /20 betragen (entspechend ca. = 160 Umläufen). Der vorteilhafte Bereich liegt um ca. = 0,90 bis 0,97 . Daneben gibt es über den gesamten Stabilitätsbereich verteilt weitere Bereiche, die zwischen Resonanzen von transversalen Moden liegen und einen Überlapp nahe 1 ergeben. Bei Festlegung auf die obere Hälfte des Stabilitätsbereichs sind diese Bereiche aber wesentlich schmaler als der Bereich nahe dem oberen Stabilitätsrand.

Neben der Kerrlinse mit ihren Aberrationen kann bei großen mittleren Leistungen zusätzlich eine ther-mische Linse in der Anordnung auftreten. Eine fokussierende Linse (bspw. thermische Linse im nichtli-nearen Element) ergibt eine Verschiebung zu größeren Gouy-Parametern; eine defokussierende Linse (bspw. Reflexion an thermisch deformiertem Spiegel) ergibt eine Verschiebung zu kleineren Gouy-Parametern. Im Gegensatz zur Kerrlinse hängt eine thermische Linse nicht von der Momentanleistung ab. Eine thermische Linse besitzt ebenfalls Aberrationen, die die Limitierung durch Aberrationen der Kerrlinse verschärfen können. Das Temperaturprofil und damit das aufgeprägte Phasenprofil reicht in der Regel über die Ausdehnung des Strahlprofils hinaus und wirkt sich daher auch auf die Gouy-Phase der höheren transversalen Moden aus. Durch eine thermische Linse ist daher eine Verschiebung der Resonanzen zu erwarten. Für große mittlere Leistungen sind daher Bereiche im Stabilitätsbereich zu bevorzugen, die nicht zu nah an einer Resonanz liegen.

Anhang

229

8.4.5 Pulskompression in gasgefüllter Multipass-Zelle

Analog zum Übergang vom Wellenleiter zum Linsenleiter (Abb. 4.5) kann auch vom Hohlleiter zu ei-nem Linsenleiter übergegangen werden (Abb. 8.17). Die Strahlung wird dabei nicht durch den Hohllei-ter geführt und die Intensität dadurch über eine große Strecke groß gehalten, um eine große nichtlineare Phase zu ergeben. Stattdessen wird die Strahlung wiederholt in das Gas fokussiert und so eine große nichtlineare Phase erreicht. Die Pulsleistung muss wie beim Hohlleiter kleiner als die kritische Leistung des Gases sein.

Eine solche Anordnung kann auf ähnliche Pulsenergien angewendet werden wie ein Hohlleiter. Es wird also ein ganz anderer Pulsenergie-Bereich adressiert als mit dem in Kapitel 4.2.2 beschriebenen Linsen-leiter mit einem dielektrischen nichtlinearen Medium. Insbesondere geht es also nicht darum, die Lücke im Pulsenergiebereich von ca. 3-100 μJ zu schließen. Eine gasgefüllte Multipass-Zelle kommt vielmehr als Alternative zum Hohlleiter in Betracht. Dem gegenüber hat die Anordnung den Vorteil, dass sie die Verluste durch die Führung durch streifenden Einfall vermeidet, und dass sie unempfindlich ist gegen Schwankungen der Strahlachse und der Strahlparameter. Daher ist die Anordnung in besonderer Weise für große mittlere Leistungen geeignet.

Abb. 8.17: Schematische Darstellung des Übergangs vom Hohlleiter (Kapillare) zum Linsenleiter für die spektrale Verbreiterung, d.h. von der Führung in einem gasgefüllten Hohlleiter zur periodischen Refokussierung in das Gas. Die nichtlineare Phase soll im Gas und nicht in den fokussierenden Elementen aufgesammelt werden. Daher müs-sen diese durch Spiegel statt durch Linsen realisiert sein.

Es sei also eine MPC mit einem Gouy-Parameter für einen halben Umlauf betrachtet, in der ein Puls mit Pulsleistung vielfach umläuft und die mit einem geeigneten Gas mit Nichtlinearität 2 = 2/ gefüllt ist, für das die kritische Leistung über den Gasdruck eingestellt werden kann: = = Gl. 8.257

Die Eigenmode der MPC wird durch die Kerrlinse folgendermaßen verändert (Anhang A8.4.3): = 1 und = 1 Gl. 8.258

D.h. der Strahlquerschnitt wird an jeder Position in der Strahlkaustik um den Faktor (1 – / )½ klei-ner und die Gouy-Phase um den gleichen Faktor größer.173 Die Änderung der Eigenmode kann durch den räumlichen Überlapp der Mode mit und ohne Kerrlinse quantifiziert werden:

173 Die Gouy-Phase ist vergrößert, weil der Strahlquerschnitt durch die Fokussierung verkleinert ist; sie kann da-

her > für eine Kaustik sein. Die Rayleighlänge und der Gouy-Parameter, der die Empfindlichkeit der MPC beschreibt sind dabei unverändert (vgl. Kapitel 2.2.4).


spektrale Verbreiterung im Hohlleiter:

~ ~ ~ ~

~


230

= = Gl. 8.259

Die nichtlineare Phase, die bei der Propagation aufgesammelt wird, lautet damit: = ( ) = ( ) 1 Gl. 8.260

In dieser Anordnung tritt kein Bereich auf, der instabil gegen Abweichungen von der Eigenmode ist, und die Pumpfrequenz wird durch die nichtlineare Phase nicht verändert. Die Kopplung an höhere transversale Moden durch Aberrationen der Kerrlinse erfolgt nicht diskret wie im Linsenleiter mit dis-kreten nichtlinearen Elementen sondern kontinuierlich entlang der Propagation. Daher treten auch keine Resonanzen für ausgezeichnete Gouy-Parameter auf. Durch die Aberrationen wird Leistung periodisch in die höheren transversalen Moden und wieder zurück gekoppelt. Für / < 0,5 bleibt der Leistungs-anteil in den höheren transversalen Moden klein. Für dieses Verhältnis von Pulsleistung zur kritischen Leistung ist der Strahldurchmesser durch die Kerrlinse auf 84% verringert und der räumliche Überlapp der Mode mit und ohne Kerrlinse beträgt = 97% (Abb. 8.18). Dies gilt unabhängig vom Gouy-Para-meter der MPC.

Abb. 8.18: (a) Fokussierwirkung der Kerrlinse: Verringerung des Strahlradius (blau) und des Überlapps (rot) zwischen der Mode mit und ohne Wirkung der Kerrlinse bei zunehmender Leistung . Damit der Puls kom-primierbar ist, dürfen die Strahlparameter für verschiedene Momentanleistungen nicht zu stark abweichen. Für / < 0,5 bleibt > 0,84 und > 0,97. (b) Aberrationen der Kerrlinse: Simulation der Propagation unter Wirkung der Aberrationen, die ein gaußförmiges Intensitätsprofil ergibt. Leistungsanteil in der Grundmode (rot) und in höheren transversalen Moden (blau). Für / < 0,5 ist der Leistungsanteil, der in höhere transversale Moden gekoppelt wird, kleiner 2%. Hierbei wurde auch der Kerr-Effekt höherer Ordnung (HOKE, s.u.) berück-sichtigt. Dieser erzeugt eine stärkere Linse im Fokus, d.h. die Stärke der Kerrlinse / (grün) aufgetragen über der Gouy-Phase variiert periodisch gemäß / = / [1 + ½ 0· 4/ 2·cos2( )]. Im Bild ist / = 0,5 und

4 02/( 2 0) = 0,5. Diese periodische Störung führt nicht zu einem großen Leistungsanteil in höheren transversalen

Moden, da der Beitrag nicht stark lokalisiert ist.

Periodische Störungen

Die obige Analyse geht davon aus, dass die nichtlineare Phase und damit Aberrationen kontinuierlich mit der Propagation aufgesammelt werden. Die Aberrationen führen dann nicht zu einer resonanten Kopplung der Leistung in höhere transversale Moden und sind vernachlässigbar, solange sie nicht zu stark sind (d.h. / < 0,5). Wenn Aberrationen hingegen lokalisiert in der MPC auftreten und damit periodisch auf den propagierenden Puls wirken, kann die Kopplung in höhere transversale Moden reso-nant erfolgen, so dass sich auch schwächere Aberrationen stark auswirken. Der Gouy-Parameter be-schreibt die relative Phase, die transversale Moden bei einem Umlauf in der MPC aufsammeln. Wenn er nahe ist, erreichen Moden nach einem Umlauf beinahe wieder die gleiche Phase, so dass die Aberrati-onen jedes Umlaufs aufaddiert werden. Sie haben also ungefähr die Wirkung, die eine um die Zahl der

0 10 20 30 400,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

GL00

GL01

GL02

GL03

GL04

GL05

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Leistung /Änd

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Phas

e /(a) (b)

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eil

Gouy-Phase /~

Anhang

231

Umläufe 2 stärkere lokalisiert aufgeprägte Aberration hat. Damit diese Wirkung klein ist, muss die Störung klein gegen /(2 ) sein. Verschiedene Effekte ergeben lokalisierte Aberrationen:

Ionisation im Fokus: Die Intensität ist maximal auf der Strahlachse im Fokus und kann für zu große Werte zu Ionisation führen. Die dadurch erzeugten freien Ladungsträger erzeugen eine (defokussie-rende) Plasma-Linse, deren Aberrationen periodisch wirken. Die Intensität muss daher kleiner als die Schwellintensität für Ionisation gewählt werden [149].

Kerr-Effekt höherer Ordnung (higher order Kerr effect, HOKE): Die nichtlineare Phase ist nur dann proportional zur Propagation , wenn der Kerr-Effekt linear in der Intensität ist. Bei großen In-tensitäten können Terme höherer Ordnung beitragen. Größe und Vorzeichen solcher Beiträge sind kontrovers. Eine Abschätzung für den möglichen Einfluss auf eine resonante Kopplung in transver-sale Moden erfolgt hier mit Bezug auf die aktuellste Publikation, die den Kerr-Effekt beschreibt ge-mäß = ( 2+ 4 ) , mit 4 = 9,5×10-34 cm4/W2 für Argon (1 bar) [137]. Für eine Intensität auf der Strahlachse im Fokus von bspw. 0 = 3×1013 W/cm2 ist der relative Beitrag der höheren Ordnung

4 02/( 2 0) = 0,3. Die Die Kopplung in höhere transversale Moden wird in diesem Fall als unkritisch

abgeschätzt (Abb. 8.18).

Nichtlineare Phase in der HR-Beschichtung: Die Strahlung dringt in den Schichtstapel der HR-Be-schichtung ein. Die dabei aufgesammelte nichtlineare Phase ist typischerweise vernachlässigbar klein.

Thermische Linse in der HR-Beschichtung: Eine thermische Linsenwirkung aufgrund der Verfor-mung eines Spiegels durch thermische Ausdehnung bedeutet in erster Näherung eine Brechkraft. Die Empfindlichkeit der MPC darauf ist in Kapitel 2.2.4 dargestellt (Gl. 2.136), außerdem eine Abschät-zung der Stärke (Gl. 8.141). Die Aberrationen der thermischen Linse sind typischerweise eine Grö-ßenordnung kleiner als die Fokussierwirkung.

Kreuzender Strahlengang: Die Strahlen in der MPC kreuzen sich, wie in Abb. 2.38 zu sehen. Für den Fall, dass der nichtlineare Brechungsindex nicht-instantane Beiträge besitzt, kann dies die Entwick-lung der Pulse in der MPC beeinflussen [159]. Solche Beiträge treten für molekulare Gase auf [160]. Für Edelgase ist mit keinem Einfluss zu rechnen.

Möglicher Pulsenergiebereich

Der mit einer gasgefüllten nichtlinearen MPC komprimierbare Pulsenergiebereich ergibt sich aus fol-genden Überlegungen. Eine Begrenzung der Pulsenergie nach unten ergibt sich durch die mögliche Nichtlinearität des Gases. Die nichtlineare Phase pro halbem Umlauf in der MPC ist durch die Selbstfo-kussierung auf ca. < /2 begrenzt ( / < 0,5). Sie darf aber auch nicht zu klein sein, um nicht zu viele Umläufe in der MPC zum Aufsammeln der nichtlinearen Phase zu erfordern, d.h. mindestens ca. = /10. Für Xenon mit der größten Nichtlinearität unter den Edelgasen ( 2 = 45,2×10 20

cm²/W/bar [138]) ist bei 800 fs Pulsdauer und einem Druck von 1 bar dafür eine Pulsenergie von 0,3 mJ erforder-lich. Noch kleinere Energien sind bei größerem Druck möglich, bspw. 30 bar.

Für große Pulsenergien kann ein Gas mit kleiner Nichtlinearität gewählt werden. Die Limitierung der Pulsenergie ergibt sich dann in erster Linie aus der Zerstörschwelle der Spiegel zusammen mit dem Strahlquerschnitt auf den MPC-Spiegeln. Der Strahlquerschnitt für eine MPC mit Länge und einem Gouy-Parameter = ( – 1)/ ·2 lautet 2 = · · (Gl. 2.131). Damit ist der größtmögliche Gouy-Parameter und Strahlquerschnitt gewählt, der sich für gleichmäßig entlang eines Kreises ange-ordnete Reflexe auf einem MPC-Spiegel ergibt. Mit einer noch habhabbaren Länge von = 1 m und bspw. = 20 ist der Strahlquerschnitt 0,06 cm2 für = 1 μm/ . Mit einer durch die Zerstörschwelle limitierten Fluenz (auf der Strahlachse) von ca. 0 = 200 mJ/cm2 ist eine maximale Pulsenergie von ca. = 0· 2/2 = 6 mJ möglich. In diesem Fall wäre die Intensität im Fokus (auf der Strahlachse) mit 4×1013

W/cm² für 800 fs Pulsdauer noch nicht limitierend, da ein Gas mit großer Ionisationsschwelle (Ne) gewählt werden kann.


232

8.4.6 Spektrale Homogenität und Strahlqualität

Eine Variation des Spektrums über dem Strahlprofil geht notwendigerweise einher mit einer Variation des Strahlprofils über dem Spektrum. Wenn bspw. die Breite des Spektrums von der Strahlachse zum Rand des Strahlprofils abnimmt, muss der Strahlradius für die spektralen Anteile am Rand des Spekt-rums kleiner sein als der Strahlradius für die Mitte des Spektrums. Zusätzlich kann der Krümmungsra-dius der Phasenfront über dem Spektrum variieren. Ein konstantes Spektrum über dem Strahlprofil in einer transversalen Ebene ist daher nur notwendig aber nicht hinreichend für einen homogenen Strahl. Ein inhomogener Strahl wird vollständig beschrieben durch die Strahlprofile entlang der Propagations-koordinate für jeden spektralen Anteil. Für jeden spektralen Anteil beschreibt der Strahlradius entlang der Propagationskoordinate eine Strahlkaustik, die durch einen -Parameter und ein Strahlparameter-produkt gekennzeichnet ist. Für große relative Bandbreiten muss das Strahlparameterprodukt auch für einen beugungsbegrenzten Strahl über dem Spektrum variieren, da es proportional zur Wellenlänge ist; es können die Strahlradien dann nicht für alle spektralen Anteile in jeder transversalen Ebene gleich sein.174 Auch für einen Strahl mit kleiner relativer Bandbreite ( ) können -Parameter und Strahl-parameterprodukt (das für eine konstante Wellenlänge als Strahlqualitätskennzahl 2 = · / geschrieben werden kann) über dem Spektrum variieren. Ursache kann bspw. die wellenlängenabhängi-ge Verstärkung in einem Laserverstärker sein, oder eine Kerrlinse, die von der Momentanleistung ab-hängt, also in ihrer Stärke zeitlich variiert, was für einen gechirpten Puls auch eine unterschiedliche Wirkung auf unterschiedliche spektrale Anteile bedeutet.

Die Strahlkaustik kann spektral aufgelöst gemessen werden, wie in dieser Arbeit für nichtlinear kom-primierte Pulse beschrieben. Daraus können -Parameter und Strahlqualität als Funktion der Wellenlän-ge bestimmt werden. Eine solche Messung ist aber aufwändiger als eine einfache Strahlqualitätsmes-sung, weil dazu ein durchstimmbarer spektraler Filter erforderlich ist, der die Strahlqualität nicht verän-dert.

Die Variation des -Parameters über dem Spektrum kann quantifiziert werden über den räumlichen Überlapp zwischen den spektralen Anteilen, bzw. dem räumlichen Überlapp der spektralen Anteile mit dem ungefilterten Strahl. Diese Angabe ist unabhängig von der speziellen Strahlkaustik im Messge-rät. Unter dem räumlichen Überlapp sei hier die Übereinstimmung der -Parameter bezeichnet. Identi-sche -Parameter ergeben also einen räumlichen Überlapp von 1, auch wenn das Strahlparameterpro-dukt verschieden ist, die Strahlradien sich also in jeder transversalen Ebene unterscheiden. Für den Fall eines für jeden spektralen Anteil beugungsbegrenzten Strahls mit deutlich unterschiedlichen Wellenlän-gen ist diese Definition insofern sinnvoll, als sie bspw. den möglichen räumlichen Überlapp des Strahls mit einem Resonator angibt (wenn der Eigen- -Parameter des Resonators nicht von der Wellenlänge abhängt, was für einen passiven Resonator mit ausschließlich reflektiven Optiken gegeben ist). Für den Fall von unterschiedlichen Strahlqualitätskennzahlen 2 der spektralen Anteile ist eine andere Berech-nung des räumlichen Überlapps ohne weiteres nicht möglich.

Eine Variation des -Parameters über dem Spektrum bedeutet eine Verringerung der Strahlqualität ge-genüber der Situation mit spektral konstantem -Parameter. Eine nahe beugungsbegrenzte Strahlqualität kann daher als Hinweis auf eine nicht zu starke Variation des -Parameters über dem Spektrum, also auf einen homogenen Strahl gelten. Im Allgemeinen sind -Parameter ( ), bzw. Überlapp ( ), Strahlqua-lität 2( ) und spektrale Intensität ( ) beliebige Funktionen der Wellenlänge. Trotz kaum verringerter Strahlqualität können spektrale Komponenten enthalten sein, deren räumlicher Überlapp mit dem Strahl beliebig klein ist, wenn ihr spektrales Gewicht entsprechend klein ist. 174 Es ist nicht eindeutig, welche Situation vorteilhaft ist: Wenn die Strahlradien für alle spektralen Anteile in

einer Ebene (bspw. einem Fokus) gleich sind, ist dort ein homogenes Spektrum und ein kurzer Puls über dem gesamten Strahlprofil möglich. Der Unterschied in den Strahlradien ist dann aber nach Propagation ins Fern-feld besonders groß. Wenn der -Parameter für alle spektralen Anteile gleich ist, ist der Unterschied in den Strahlradien in jeder transversalen Ebene gleich. Diese Situation kann in einem Resonator vorliegen, für den der Eigen- -Parameter nicht von der Wellenlänge abhängt.

Anhang

233

Um eine Abschätzung der Homogenität (quantifiziert über den räumlichen Überlapp) aus der Strahlqua-lität zu ermöglichen, soll hier die Situation betrachtet werden, dass ein Strahl aus zwei spektralen Antei-len mit unterschiedlichen -Parametern 1, 2 aber identischem Strahlparameterprodukt besteht. Die quadratischen Strahlkaustiken lauten: ( ) = 1 + ( ) und ( ) = 1 + ( ) Taillenradien = , = , Divergenzwinkel = , =

Gl. 8.261

Da die beiden Strahlkaustiken zu unterschiedlichen Wellenlängen gehören sollen, werden sie inkohärent überlagert. Der überlagerte Strahlradius ( ) ergibt sich durch Addition der quadratischen Strahlradien und folgt wieder einer Hyperbel (vgl. A8.1.2): ( ) = ( ) ( ) = 1 + ( ) Gl. 8.262

Es sei gleiches spektrales Gewicht 1 = 2 angenommen. Die Strahlparameter der Überlagerung können als Funktion der Strahlparameter der spektralen Anteile geschrieben werden: = , = 1 + ( )( ) , = ( ) ( )( ) , =

und = = ( ) ( ) Gl. 8.263

Der Unterschied der -Parameter der spektralen Anteile kann folgendermaßen abgekürzt werden: = und = Gl. 8.264

Diese Größen sind analog zu Elliptizität und Astigmatismus einer Strahlkaustik definiert (Gl. 2.21), beziehen sich hier aber nicht auf den Unterschied des -Parameter in den beiden transversalen Richtun-gen eines Strahls, sondern auf den Unterschied des -Parameters für verschiedene spektrale Anteile (in der gleichen transversalen Richtung). Die Betrachtung gilt getrennt in beiden transversalen Richtungen.

Der Faktor , um den das Strahlparameterprodukt der Überlagerung gegenüber den spektralen Antei-len vergrößert ist, lautet mit diesen Abkürzungen: = = ( ) ( ) = + + 1 Gl. 8.265

Für beugungsbegrenzte spektrale Anteile ist dieser Faktor gleich der resultierenden Strahlqualitätskenn-zahl 2. In Abb. 8.19 ist die Verschlechterung der Strahlqualität durch die Überlagerung von spektralen Anteilen mit unterschiedlichen -Parametern veranschaulicht.175

175 Dass sich die Strahlqualität bei über dem Spektrum variierendem -Parameter verschlechtern muss, kann auch

daraus gefolgert werden, dass das Strahlprofil bei Überlagerung von Gauß-förmigen Profilen mit unterschiedli-chem Strahlradius nicht Gauß-förmig ist.


234

Abb. 8.19: Strahlkaustik (rot) als Überlagerung zweier Kaustiken (blau) für zwei spektrale Anteile mit gleichem spektralen Gewicht und (a) unterschiedlichem Taillenradius ( = 2) und (b) unterschiedlicher Taillenlage ( = 1,5). Die Strahlqualität der Überlagerung ist in beiden Fällen um den Faktor = 1,25 verschlechtert. Pro-pagationskoordinate und Strahlradius sind auf die Rayleighlänge und den Taillenradius der Kaustik eines spektral-en Anteils normiert. Die Strahlqualitätsverschlechterung ist insbesondere augenfällig in (b): Der Taillenradius der überlagerten Kaustik ist größer als für die spektralen Anteile, während der Divergenzwinkel unverändert ist.

Der räumliche Überlapp der beiden Strahlkaustiken untereinander lautet: = ( ) ( ) = = = Gl. 8.266

Der räumliche Überlapp einer der Strahlkaustiken mit der resultierenden Strahlkaustik lautet: = ( ) ( ) = = = 1 Gl. 8.267

Damit ist die Verschlechterung der Strahlqualität mit dem räumlichen Überlapp der spektralen Anteile verknüpft. Diese Verknüpfung gilt exakt nur für den Fall von zwei spektralen Anteilen mit gleichem Strahlparameterprodukt und gleichem spektralen Gewicht. Sie soll hier darüber hinaus als Abschätzung für den Zusammenhang von Homogenität und Strahlqualität benutzt werden.

Im Experiment ist die Strahlqualität durch die Pulskompression ungefähr erhalten. Daraus kann aber nicht abgeleitet werden, dass die komprimierten Pulse vollständig homogen sein müssen. Der Grund für die nicht beugungsbegrenzte Strahlqualität der Eingangspulse kann bereits ein inhomogener Strahl sein. Wenn sie durch Aberrationen gegeben ist, könnten diese in der Anordnung zur Pulskompression her-ausgefiltert werden. Für eine Abschätzung der Homogenität allein aus der Strahlqualität muss daher die Strahlqualitätskennzahl der komprimierten Pulse von 2 = 1,15 benutzt werden. Sie ist nach dieser Abschätzung kompatibel mit einem räumlichen Überlapp von 93%. Der aus der spektral aufgelös-ten Strahlqualitätsmessung bestimmte Überlapp ist mit > 98,5% für alle spektralen Anteile deutlich größer. Teilweise ist die Strahlqualität daher durch Aberrationen bestimmt. Der Überlapp > 98,5% entspricht einer Strahlqualitätskennzahl 2 < 1,03.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

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Propagation z/zR

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

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2

3

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w/w

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Propagation z/zR

(a) (b)

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Transversale Moden in optischen Resonatoren für